Numerus pi

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Systemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii

Naturales \mathbb{N} {0,1,2,3...}

Integri \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}

Rationales \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reales \mathbb{R} {Q U I}

Complexi \mathbb{C}

Infinitas \infty

Variae radices
Adhibetur parva π ut constans exprimatur.

In mathematicae scientia, numerus π (pi) est praeclarus numerus irrationalis, quem ex divisione circumferentiae magnitudinis per diametrum eius emanat, vel, ut dicitur, "quantitas, in quam cum multiplicetur dyameter, proveniet circumferentia"[1]. A littera Graeca \pi denotatur, ut notum est anno 1706 a Gulielmo Jones mathematico primum scriptum fuisse; omnes autem tantum hac notatione usi sunt solum post ipsius adoptionem a Leonhardo Eulero mathematico Helvetico. Omni ratione, \pi est prima verbi περιφέρεια littera, quae Graece 'longinquitas circuitus' vel 'mensura circum figuram' significat.

Numerus pi ad quinquaginta figuras decimales est praeterpropter

\pi ≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

sed ultra quam satis est tantas figuras scire in computationibus physicae, fere semper solum quinque aut sex primis figuris sex uti sufficit.

Curiositatis tantum causa, in his locis (vicifons) numerus pi multis figuris decimalibus scribitur:

Proprietates et curiositates[recensere | fontem recensere]

Numerus pi est numerus irrationalis, i.e., exprimi ut duorum naturalium numerorum fractionem nequit, quemadmodum ab Ioanne Henrico Lambert anno 1761 bene demonstratus est. Praeter irrationalem, etiam constat numerum pi esse transcendentem, ut anno 1882 a Ferdinando Lindemann probatum, qua de causa integris sive rationalibus coefficientibus polynomium non est talis ut numerus π sit huius polynomii radix. Quamobrem manifestum est numerum π ut numerum finitum integrorum numerorum et rationalium fractionium aut radicium eorum scribi nequire.

Propter numeri π transcendentiam, problema quadraturae circuli solvi non potest: Dato quodam circulo nemo est qui regula et circino tantum utendo quadratum cuius area sit accurate aequalis circuli areae describat.

Formula Euleriana numerum π cum aliis numeris maximi monenti coniungit: cum numero Euleris ab e littera notata, cum cifra, cum uno. Haec est formula:

e^{i\pi} + 1 = 0

quae dicitur esse inter pulcherrimas formulas omnis scientiae.[2]

Numeri π computatio[recensere | fontem recensere]

Explicatio oculorum propotionis pi ad diametrum circuli.

Multi sunt modi ad numerum π computandum, pauci quarum infra monstrantur:

  • François Viète, 1593:
\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
qua etiam sequente modo scribi potest,
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{\pi}{4}
  • Productus Wallianus:
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
  • Functio gamma puncto 1/2 computa:
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
  • Coniectio Stirlingiana:
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{i \pi} + 1 = 0\;
  • Area quartae partis circuli radium 1 habentis:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,
unde via integrationis (anglice:path of integration) est circulus circum originem in curso anti-horologium ambulata.

Singulorum figurarum decimalium computatio[recensere | fontem recensere]

Anno 1995, David Bailey, Peter Borwein, et Simon Plouffe formulam mirabilem ad numerum pi computandum inventi sunt (vocatam BBP pro eorum nominibus), quam infra scribimus:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Enesimam (n) figuram binariam aut hexadecimalem hac formula BBP facile computare possumus, sine necessitudine computandi alias enesimas minus unam (n-1) figuras praecedentes, quod verum est mirabile. Hoc interretis locus (Pagina Bailey) huius formulae demonstrationem habet et ipsius usum in computatoris linguis diversis continet.

Historia numeri pi[recensere | fontem recensere]

Approximatio Archimedis

Archimedes primum demonstravit omnem circulum aream \pi r^2 et circumferentiam 2\pi r habere, ubi r est radius circuli. Ut quantitem π calculet, figuras polygonias et in circulo inscripsit et e circulo exscripsit. Circumferentia circuli, ut plane videtur, minor est quam polygoniae extra circulum, maior quam intra circulum. Quanta plura latera polygoniae habent, eo melior est approximatio; calculavit Archimedes π esse inter 3 + 10/71 et 3 + 1/7.[3]

Iohannes Lambert, mathematicus Helveticus, anno 1761 demonstravit numerum π irrationalem esse. Theorema eius hoc est: si x est numerus rationalis (praeter 0), tunc tan(x) est irrationalis. Et quia tan(π/4) = 1, π/4 non potest esse numerum rationalem; π ipse ergo numerus est irrationalis.[4]

Acus Buffonius: qui est probabilitas acum in linea incidere, ut acus a, aut non incidere, ut acus b?

Georgius Buffon, botanicus Francicus, secundam calculationem anno 1777 fecit, dum probabilitatem studuit; haec ratio "acus Buffonius" dicitur. Finge cogitatione tabulam esse in qua lineae parallelae scribuntur; sit t spatium inter lineas. Acus cuius magnitudo est l, minor quam t, in tabula cadit. Buffon probabilitatem quaeret intersectionis inter acum et lineam. Haec probabilitas est p = \frac{2l}{\pi t}; π in formula intervenit quod acus potest angulum quemlibet cum lineis facere.[5]

Euler non modo formulam \exp{i\pi} + 1 = 0 invenit, sed functiones trigonometricas similiter definit:

\cos{x} = \frac{\exp{i x} + \exp{-i x}}{2}, \sin{x} = \frac{\exp{i x} - \exp{-i x}}{2i}

Re vera, possumus numerum π per has formulas definere. Sit \cos{x} = \mathfrak{R}(\exp{ix}) et \sin{x} = \mathfrak{I}(\exp{ix}), hoc est \exp{ix} = \cos{x} + i\sin{x}. Tunc est numerus realis P ut \cos(\frac{P}{2}) = 0 \text{ et } \cos{x} \neq 0 \text{ si } 0 \leq x < \frac{P}{2}. Et hic numerus P est π.[6]

Numerus π non solum irrationalis sed etiam transcendens est; hoc est, non potest esse radix aequationis cuius coefficientes sunt numeri rationales. F. Lindemann, mathematicus Theodiscus, anno 1882 primus hoc demonstravit; plures aliae demonstrationes elegantissimae sunt.[7] Et quia π transcendens numerus est, non potest "circulum quadrare" compasso et regula modo utens: non potest quadratum facere cuius area eadem est areae circuli dati.

Numerus pi in memoria humana[recensere | fontem recensere]

Die 2 Iulii 2005, Akira Haraguchi Iaponicus, anno 59 aetatis suae, plures figuras decimales memoriter recitavit quam ullus antea potuit: 83 431 figuras recte recitavit.[8] Plures inter se certant ad figuras huius numeri cognoscandas et recitandas; etiam sunt qui figuras recitant dum praestigias agunt.[9]

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Oratio Prof. Dr. Maria Specovius-Neugebauer. (Germanice)
  2. Eymard et Lafon, p. 88.
  3. Eymard et Lafon, 1-3.
  4. Eymard et Lafon, p. 142.
  5. Eymard et Lafon, 34-36.
  6. Eymard et Lafon, 88-89.
  7. Eymard et Lafon, 169
  8. BBC NEWS | World | Asia-Pacific | Japanese breaks pi memory record apud news.bbc.co.uk.
  9. Vide situm Pi World Ranking List.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

  • Berlinghoff, William P., et Fernando Q. Gouvêa. 2002. Math Through the Ages. Farmington: Oxton House. ISBN 1-881929-21-3.
  • Eymard, Pierre, et Jean-Pierre Lafon. 2004. The Number Pi, versio anglica a Stephen S. Wilson scripta. Providence: AMS. ISBN 0-8218-3246-8.
  • Hardy, G. H. 1952. A Course of Pure Mathematics. Editio 10a. Cantabrigiae: Cambridge University Press.

Nexus externi[recensere | fontem recensere]

Mille Paginae.png