Roman numeral 10000 CC DD.svg

Integrale

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Integrale functionis est una ex his duabus notionibus mathematicis:

  • functio quae est derivativum functionis datae (integrale indefinitum);
  • numerus qui totum effectum functionis in certo intevallo describit (integrale definitum). Exemplum est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et limites intervalli.

Theorema fundamentale calculi relationem inter has duas notiones indicat. Methodus integrale alicuius functionis inveniendi integratio vel calculus integralis (seu calculus summatorius (ſummatorius)[1]) appellatur.

Integrale indefinitum[recensere | fontem recensere]

Sit functio in . est integrale functionis si . Ex hac definitione sequitur etiam , designante quemcumque numerum realem, integrale functionis esse. Quia est quantitas constans, hoc est , hic terminus nihil addit integrali.

Exempli gratia, si , tum .

Integrale definitum[recensere | fontem recensere]

Approximatio integralis f(x) = √x inter 0 et 1

Integrale definitum est quasi summa collationum functionis in omnibus punctis intervalli . Geometrice, integrale est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et lineas et , si functio est positiva in hoc intervallo. Si autem est negativa, ea magnitudo quoque negativa esse intellegitur. Ad integrale definitum computandum, numerum infinitum functionis collationum infinitesimalium (hoc est omnibus numeris positivis inferior) addere opportet, quod per limitem definitur.

Exemplum hoc illustrabit. In adumbratione vides . Possumus magnitudinem aestimare si parva rectangula facimus, eisdem latitudinibus, altitudinibus autem , valores functionis in sinistris aut dextris lateribus intervallorum.

Talia rectangula in adumbratione reperiuntur. Sunt quinque rectangula, colore flavi, quorum latitudo est 1/5, et altitudines sunt √ 1/5, √ 2/5, √ 3/5, √ 4/5, et √ 1. Magnitudines rectangulorum igitur sunt (1/5) x √ 1/5, (1/5) x √ 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.74974.

Sunt etiam duodecim rectangula, colore viridi, quorum latitudo est 1/12 et altitudines sunt √ 0, √ 1/12, et cetera. Si magnitudines horum rectangulorum addimus, habemus (fere) 0.62029.

Integrale (per definitionem) est limes magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit copia numerorum inter et , sicut . Deinde summatio Riemanni est

et integrale est limes huius summationis dum ad infinitatem it (aut, dum semper plures rectanguli sunt).[2] Bernardus Riemann hanc definitionem invenit.

Saepe autem facilius est integrale alio modo computare. Theorema fundamentale calculi enim dicit:

, si

Ita integrale definitum computari potest si integrale indefinitum cognoscitur.

Usus[recensere | fontem recensere]

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Zedler, vol. 5, p. 115
  2. Spivak, cap. 13; Hardy, sectio 240; haec non est definitio accuratissima.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]