Relativitas specialis

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Ortus solis monstratus in tempore accelerato. Ab antiquitate tempus motu Solis Lunaeque demonstratum et symbolizatum est. Theoria relativitatis Einsteiniana autem magnopere temporis ideam saeculo vicensimo commutatura erat. Simul eadem theoria quomodo sol noster per reactiones nucleares lucem et energiam producat explicatura erat.

Relativitas specialis sive theoria relativitatis specialis est theoria physica de natura spatii temporisque ab Alberto Einstein anno 1905 edita. Theoria leges electromagneticas Maxwellianas accurate adservat, sed multas aequationes Newtonianas commutat, notiones Newtonianas de spatio ac tempore exauctorans.

Theoria "specialis" vocatur quia ea sola adamussim idonea est, ubi effectus gravitatis ignorabiles sunt. Decem annis post Einstein theoriam relativitatis generalis edidit, quae etiam gravitationem comprehendit.

Relativitas specialis Einsteiniana similis est theoriae aetheris ab Henrico Lorentz prius anno 1904 editae, sed discrepat interpretatione naturae spatii temporisque, modo formulationis mathematicae, variisque conclusionibus experimentis pertinentibus.

Conclusio praeclara theoriae ab Alberto Einstein factae fuit aequatio:

E = \gamma mc^2\,,

ubi E est energia, m massa et c celeritas luminis. Haec aequatio, quae fundamentum energiae nuclearis dat, monstrat generaliter quomodo massa m in energiam E transformari possit. Quae aequatio etiam, si E est completa energia corporis interna, quoque dat totam massam, quam particula cohibet.

Prima theoria relativitatis a Galilaeo concepta[recensere | fontem recensere]

Galilaeus Galilei circum annum 1605, qui primam theoriam relavitatis instituit.

Prima theoria relativitatis concepta est a Galilaeo Galilaei in libro eius Dialogus de Duobus Systematis Maximis Mundani[1] anno 1632 edita. Salviatus, persona illius libri, invitat Simplicium, alteram personam, ad experimentum in parte magnae navis inferiore faciendum, ut motum detegat ipsius navis, quae velocitate constanti in mari aequo sine fluctuatione movet. Simplicius autem non potest, neque possumus hodie, motum detegere, quod navis velocitas per se non producit effectus mensurabiles, et sola navis acceleratio producit illos. Experimenta similia etiam possumus hodie facere in aëroplanibus autocinetisque velocitatibus constantibus. Et possumus animadvertere exemplum Telluris nostrae circum solem velocitate 30 km/s volantis, cuius motum non possumus detegere ob accelerationem eius debilissimam.

Transformationes Galileanae[recensere | fontem recensere]

Post repperta Newtoniana saeculo XVII, principium relativitatis Galilaei modo novo adhibitum est in aequationibus quae sinunt transformare inter systemata coordinatorum inertialia (id est systemata velocitatum constantium quae inter se velocitate discrepant). Hae aequationes dicuntur transformationes Galileanae.

Ut transformationes scribamus, coordinata spatialia \left(x', y', z'\right) et tempus t' coniunctim putamus definere systema coordinatorum \left(x',y',z',t'\right) primum velocitate \vec V= V_o\, \hat x constante relativa systemati coordinatorum \left(x,y,z,t\right) alteri movens. Tunc, secundum Newtonum tempus est idem ubiquaque, ut habeamus t'=t.

Tempus Absolutum, verum, et mathematicum, in se et natura sua sine relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alioque nomine dicitur Duratio: Relativum, apparens, et vulgare est sensibilis et externa quaevis Durationis per motum mensura (seu accurata seu inaequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.
Isaacus Newtonus, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Definitio VIII, Scholium, p.7., 1687.

Proin, cum \vec V constans sit, integrando continuo potiamur:

x'=x-V_ot
y'=y
z'=z
t'=t .

Secundum has transformationes velocitas (v_x, v_y, v_z) in systemate altero quaedam in systemate primo est:

v'_x = v_x - V_o
v'_y = v_y
v'_z = v_z .

Quid experimenta a Michelson et Morely facta demonstraverint[recensere | fontem recensere]

Albertus Michelson anno 1923, qui experimentum celeberrimaum fecit, aetherem indetegibilem esse demonstrans.

Theoria electromagnetica a Maxwell et Lorentz facta putabat materiam totum spatium complentem nomine aetheris esse necessariam, ut undae electromagneticae a sole propagare possunt. Secundum hanc theoriam lux propagat celeritate luminis aetheri relativa

 c = 299\,792\,458 \;\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Experimenta, autem, quae Albertus Michelson and Edwardus Morely anno 1887 fecerunt, inter experimenta quae umquam quisquam fecit celeberrima, demonstraverunt aethera non posse detegi.[2] Celeritas luminis erat eadem, ubique omnibus directionibus et omnibus temporibus, etsi scientifici in Tellure circum sole movente eam attente mensi sunt. Haec repperta transformationes Galileanas plane contradixerunt, quod secundum eas, si Tellus in eadem directione lucis moveat, celeritas luminis apparens c'=c - V.

De theoria aetheris a Lorentz concepta[recensere | fontem recensere]

Ad experimenta Michelson et Morely facta explicanda, Georgius Fitzgerald anno 1889 [3] et Hendricus Lorentz anno 1892,[4] independenter contemplaverunt omnia corpora physica se contrahunt secundum cursum suum per aethera. Tandem anno 1904 Lorentz proposuit novam theoriam aetheris comprehensivam, omnia experimenta adhuc explicans, ubi si corpus quoddam velocitatem \vec V = V_o \hat x aetheri relativam habet:

  • Longitudo corporis L se contrahit secundum cursum corporis per aethera, ut nova longitudo L' movens detur
L' = L \sqrt{1-\left(\frac{V_o}{c}\right)^2};
  • Horologium omne ad corpus affixum segnius factum est, ut omne secundum T' eo designatum relativum durationi secundi T horologii quiescentis sit
T' = \frac{T} {\sqrt{1-\left(\frac{V_o}{c}\right)^2}}.
Hendricus Lorentz anno 1916, qui transformationes Lorentzianas, ut dicuntur, invenit.

Quamobrem novae transformationes inter systemata coordinatorum definiendae sunt, quas Lorentz per multa argumenta enarrata facessit:[5][6]

x' = \gamma (x - V_o t)\,
y' = y\,
z' = z\,
t' = \gamma \left(t - \frac{V_o x}{c^{2}} \right)

ubi \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{V_o}{c}\right)^2}}\, dicitur factor Lorentzianus. Cum V_o \ll c, hae transformationes Lorentzianae novae ad transformationes Galileanas veteres reducuntur.

Secundum theoriam Lorentzianam solum illud systema quiescens relativum aetheri est "verum" et "absolutum", et omnia systemata relativa aetheri moventia sunt "apparentia" et "relativa". Transformationum Lorentzianarum natura autem effecit, ut fieri non possit detegere, utrum quiescens vel movens sit systema quoddam solo utendo effectibus electromagneticis. Motum aetheri relativum detegere possumus, secundum hanc theoriam, solum per effectus non-electromagneticos.

Nova theoria axiomatica ab Einstein proposita[recensere | fontem recensere]

Einstein anno 1921.

Anno 1905 Albertus Einstein novam theoriam proposuit. Quamquam Lorentz suas transformationes per tanta argumenta perplicata deduxit, Einstein simpliciter de axiomatis inferis potuit omnes eas transformationes derivare.[7]

  1. Axioma primum (principium relativitatis Galileanum)
    In systemate intertiale (velocitatis constantis), est impossibilis per experimenta motum systematis ipsis detegere. Vel, equivalenter: omnes leges physicae sunt aequales in omnibus systematis.
  2. Axioma alterum (constantia celeritatis luminis)
    Celeritas luminis in vacuo, quae saepe c abbreviatur, eadem est in omnibus systematis inertialibus, ut demonstratum est a experimentis a Michelson et Morely factis.

Haec theoria Einsteiniana a theoria Lorentziana discrepat, non solum quod secundum Einstein luminis celeritas est maxima celeritas possibilis in universo, re vera et non solum in apparentia, nec solum quod omnia coordinata, secundum Einstein, sunt relativa, ut superflua sit hypothesis Lorentziana, aetheris existentiam praedicens, quam nemo umquam potest verificare. Demagis theoria Einsteiniana leges motus Newtonianas magnopere emendari necesse esse demonstravit, tantum ut novae definitiones motus energiaeque corporis quaerendae sunt.

Quo modo Einstein transformationes Lorentzianas nanctus sit[recensere | fontem recensere]

Einstein incipit suam derivationem scribendo axioma alterum in forma differentiali[8]

dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2=0

Quoniam in hac aequatione tempus est sicut quarta dimensio, possumus definire novum coordinatum

Angulum θ relativum axi w = ict quod transformationem Lorentzianam definit.
w=ict

numero imaginario i utendo, ut

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2=0.

Haec aequatio nunc describit vectorem abstractam longitudinis zeri. Tunc Einstein semet rogavit: quae transformationes omnes vectorum longitudines asservant? Responsum quippe fuit: rotationes! Et pro rotatione in planum x-w simpliciter habemus

x'= x\,cos\theta - w\, sin\theta
y'= y
z'= z
w'= x\,sin\theta + w\,cos\theta

Hoc in instante autem cautela quaedam est necessaria, quod angulum \theta axi w relativum est numerus imaginarius, ubi tan\theta = x/w = -i V/c, ut

sin \theta = \frac {x}{\sqrt{x^2+w^2}}= \frac {-iV/c}{\sqrt{1-(V/c)^2}}\;

et

cos \theta = \frac{w}{\sqrt{x^2+w^2}}=\frac {1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}.

Hos valores supponiendo super, continuo obtinemus illas transformationes Lorentzianas.

De aequivalentia inter energiam et massam[recensere | fontem recensere]

Celeritas electronum versus eorum energiam cineticam. Linea curva theoriam Einsteinianam repraesentante, circuli monstrant puncta experimentalia quae Guilielmus Bertozzi anno 1964 commetitur, theoriam confirmans.[9]
Bomba atomica cuius energia e fissione atomica secundum formulam Einsteinianam provenit.

Axioma Alberti Einstein primum requirit omnes leges physicas esse identicas in omnibus systematis inertialibus, sed transformationibus Lorentzianis asservati sunt soli quattuor dimensionum vectores, vel quantitates scalares, vel tensores ex talibus vectoribus facti.[10] Quoniam in physica Newtoniana habemus quantitates fundamentales sicut positio \vec x et velocitas \vec v, quae soli trium dimensionum vectores sunt, tales ideae magnopere emendandae sunt, ut omnes leges physicae primum axioma satisfaciant.

Quod ut perficeret, Einstein docuit quo modo possumus 4-vectorem velocitatis v_{\mu} definire ex 4-vectore positionis x_{\mu}=(x,y,z,ict) legibus Lorentzianis transformante, differentiando respectu illi tempori invariabili[11]

\tau =c^{-1}\sqrt{c^2t^2-x^2-y^2-z^2}= t\sqrt{1-(\frac{V}{c})^2} ,

ut

v_{\mu}=\frac{d x_{\mu}}{d\tau} =\frac{\left( v_x, v_y, v_z, ic \right)}{\sqrt{1-(\frac{V}{c})^2} }.

Tunc 4-motus p_{\mu} definitur ut

p_{\mu}=m\,v_{\mu}=\frac{\left( mv_x, mv_y, mv_z, imc \right)}{\sqrt{1-(\frac{V}{c})^2} }.

Pars spatialis huius 4-vectoris est motus relativisticus

\vec p = \frac {m \vec v} {\sqrt{1-(\frac{V}{c})^2}}

et pars temporalis celeritate luminis multiplicata est energia relativistica

E = \frac{m c^2}{\sqrt{1-(\frac{V}{c})^2}} = mc^2 + \frac{1}{2} m v^2 + ...

quae cohibet, ut super series monstrat, energiam intra particulam mc^2 inertam et energiam ob particulae motum cineticam. Haec praeclarissima aequatio a Einstein concepta, callide postea confirmata, hodie est fundamentum energiae nuclearis, et scientiae solis. His in duobus exemplis energia provenit secundum E=mc^2 quia elementorum intialium massa excedit massam elementorum finalium.

Paradoxum geminorum celeberrimum[recensere | fontem recensere]

Figura paradoxum geminorum monstrans: geminus (ruber) qui iter facit redit iuvenior gemine (viridi) qui Tellure manet. Ruber rucheta vivit 30+20=50 annos, dum Viridis simul Tellure vivit 60+20=80 annos.

Paradoxum geminorum accidit ob effectum dilatationis temporalis relativisticum cum geminus, qui iter ad astrum distans facit, redit postilla multum iuvenior gemine altero qui Tellure manet.

Haec dilatatio temporalis ob corporis motum, quam aequationes Lorentzianae praecinunt, cotidie Tellure verificata est, cum physici periti particulas impellunt ad celeritates paene luminales, ut particulae, quae quiescentes haud microsecunda vivunt, acceleratae diutius fere 30 microsecunda permanant.[12] Effectus etiam verificatus est experimentis ubi aëroplana horologiis atomicis instructa itinera circum orbem terrarum faciunt. [13]

Dilatatio observata nullum paradoxum patefacit in theoria Lorentziana, quia in illa theoria Tellus fere non movet aetheri relativus, ut sola ruchetae horologia segnia sint. Paradoxum autem videtur in theoria Einsteiniana, quia, secundum axioma primum theoriae, ambo systemata coordinatorum sunt valida. Quia est impossibile certe, ut simul et ruchetae horologia segnia Telluris horologiis sint, et Telluris horologia segnia ruchetae, ecce paradoxum!

Resolutionem huius paradoxi habemus, ut Einstein docuit,[14] quia rucheta Tellurem reditura, postquam ad astrum distans eat, est acceleranda. Et, cum rucheta distans accelerat, Tellus lapsum temporalem \Delta t=\Delta x\, V/c^2 transformationibus Lorentzianis supris datam patitur, ut exactiter omnes contradictiones possibiles ruchetae relativae solvantur.

Effectus Geminorum, qui dicitur, seu Effectus Horologii partem conspicuam habet in multis pelliculis cinematographicis et mythistoriis rerum futurarum, exempli gratia pellicula Planeta Simiorum,[15] in qua astronautae iter longum in spatium facientes mysterio redeunt longe in futuro quando simii Tellurem regnant et homines sunt eorum servi.

De natura spatii temporisque secundum Einstein[recensere | fontem recensere]

Einstein anno 1905 imprimis peraccessit in faciendo tempus spatiumque res physicas de qua leges physicae possunt tractare.[16] Proporro, in legibus Einsteinianis, tempus est dimensio par spatii. Hae ideae ducturae erant Albertum Einstein ad novum reppertum anno 1915: theoriam relativitatis generalis, secundum quam gravitas est ob curvationem rei spatio-temporalis.

Vide etiam[recensere | fontem recensere]

Nexus externus[recensere | fontem recensere]

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. (Italice) Galileo Galilei, "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo", 1632; Wikifons Italica
  2. Albert Michelson and Edward Morely, American Journal of Science, 34, 24 1887
  3. G. F. FitzGerald, The ether and the earth's atmosphere, Science, 13 (1889) 390, reprinted with a commentary by S.G. Brush.
  4. H. A. Lorentz, The relative motion of the earth and the ether, Versl.Kon.Akad.Wetensch. 1 (1892) 74
  5. Lorentz, H.A., "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light", KNAW, Proceedings, 6, 1903-1904, Amsterdam, 1904, pp. 809-831 (1904). online
  6. Bell, John S, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (1987), Cambridge University Press, ISBN 0-521-36869-3, 2004 edition with introduction by Alain Aspect and two additional papers: ISBN 0-521-52338-9
  7. A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, 891-921, 1905; A. Einstein, "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?", Annalen der Physik 18, 639-641, 1905; Et vide Lectura Praemii Nobilici Alberti Einstein, "Fundamental Ideas and Problems of the Theory of Relativity."
  8. Albert Einstein, "The Meaning of Relativity: Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field, 5th Ed., Princeton University Press., 1922.
  9. William Bertozzi, Am. J. Phys. 32, 551 (1964).
  10. In re physica, scalaris (-is) dicitur magnitudo simplex, quae directione caret; vector (-is) dicitur quantitas cui est et directio et magnitudo, et sicut positio transformatur.
  11. Dicimus "In calculo infintesimali dicimus "differentiare Y respectu X ", X in casu dativo, cum calculum dY/dX facimus. Vide etiam nexum externum: Elementa Calculi Variationum Carolo Eduardo Senff auctore, 1838
  12. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit," Nature 268, 301 (1977).
  13. J. Hafele and R. Keating, "Around the world atomic clocks:predicted relativistic time gains", Science 177. 166 (1972); J. Hafele and R. Keating, "Around the world atomic clocks:observed relativistic time gains", Science 177, 168 (1977).(Anglice)
  14. A. Einstein, "Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie", Die Naturwissenschaften 48, 697, 29 (1918).
  15. Vide exempli gratia Wikipediam anglicam: Planet of the Apes.
  16. Rajesh Gopakumar, "Space, time and Einstein", Frontline India 22, (2005).

Mille Paginae.png


Roman numeral 10000 CC DD.svg