Roman numeral 10000 CC DD.svg

Aequationes Maxwellianae

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Aequationes Maxwellianae (pro nomine physici Scotiensis Iacobi Maxwell) praeclarae sunt series aequationum quae campos magneticos et electricos atque eorum interactionem cum materia plane describunt. Hae aequationes et aequatio Lorentziana basim physicae electromagneticae coniunctim fundant.Aequationes Maxwellianae in vacuo sunt basis pro theoria electromagnetica lucis in quo velocitas lucis

 c=2.99792458 \times 10^8 m/s

in vacuo esse praecinitur.

Aequationes Maxwellianae Modernae[recensere | fontem recensere]

Multa sunt modi Maxwellianarum aequationum scribendarum. Quamquam Maxwell primitus scripsit 20 aequationes cum viginti variabilibus, in usu moderno vocabulum "Aequationes Maxwellianae" solum quattuor principalibus aequationibus Maxwellianis vectoriali modo scriptis refert. [1] Historia eiusdem aequationium in pagina "physica electromagnetica" iam praesentata, in hac pagina aequationes praesentamus in variis formis modernis sicut in literatura scientifica invenire possumus.

Aequationes Maxwellianae modernae vectorali forma unitatibus MKSA scriptae[recensere | fontem recensere]

Hae sunt aequationes Maxwellianae modernae principales forma vectorali [2] unitatibus MKSA [3] modo scriptae:

\nabla \cdot \vec \mathbf{E} = \rho/\epsilon_o
\nabla \cdot \vec \mathbf{B} = 0
\nabla \times \vec \mathbf{E} = -\frac{\partial\vec \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \vec\mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec \mathbf{E}} {\partial t} +\mu_0 \vec \mathbf{J}

ubi

\vec \mathbf{B} est campus magneticus in Teslis,
\vec \mathbf{E} campus electricus in Newtonis per Coulomb,
 \rho densitas oneris electrici in Coulombibus per metrum cubicum,
\vec \mathbf{J} = \rho \vec \mathbf{v} densitas currentis electricae in Amperiis per metrum quadatum,
 \epsilon_o = 8.85412 \times 10^{-12} Faradii per metrum,
 \mu_o = 4 \pi \times 10^{-7} Henrii per metrum, et
 \times est productum vectorialis sive productum crucis.

Aequationes Maxwellianae modernae tensorali forma unitatibus MKSA scriptae[recensere | fontem recensere]

Manifestum est ex tempore Alberti Einstein aequationes Maxwellianas praecepta relativitatis specialis obtemperare, qua de causa notatione tensorali [4] exprimi possunt. Aliquas definitiones primum statuimus. Sit \phi potentiale electricum et \vec \mathbf{A} vector magnetici potentialis, tunc ponamus (unitatibus MKSA)

A^{\alpha} =  \left(\phi/c, \vec \mathbf{A}  \right), J^{\alpha} =  \left(c\rho, \vec \mathbf{J}  \right), \partial^\alpha =  \left(-\frac{\partial}{c\partial t}, \vec \nabla  \right)

et tensorem {F}^{\alpha\beta}, Faraday tensor dictum, sic definimus:

F^{\alpha\beta} = \partial^\beta A^\alpha - \partial^\alpha A^\beta \,\!

ex quo sequitur matrix

{F}^{\alpha\beta} = \left(
\begin{matrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{matrix}
\right) .

Tunc aequationes Maxwellianae in vacuo scribere sequente modo possumus

\partial_\alpha F^{\alpha\beta} =\mu_o J^\beta ,

atque

\partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma}=0

Hoc tensorali modo manifestum est ut phaenomena electromagnetica principio relativitatis pareat, i.e., omnes aequationes physicae sunt identicae in omnibus systematibus coordinatium inertialibus. Etiam videmus separationem inter magneticum electricumque campum artificialem esse, quod ab uno spectatore in uno systemate referentiale campum magneticum vocatum alius spectator in systemate alio potest campum electricum vocari et vice versa.

Aequationes Maxwellianae modernae differentiali forma unitatibus MKSA scriptae[recensere | fontem recensere]

Aequationes Maxwellianae etiam differentiali forma [5] exprimi possunt, quae modus est omnium simplissimus. Mathematice definimus 1-forma

\mathbf{A} = \sum_\alpha A_\alpha dx^\alpha = -\phi dt + A_x dx + A_y dy +A_z dz

ex quo 2-formam "Faraday" \mathbf{F} obtinemus applicando derivativum exteriore d = \sum_\alpha \frac {\partial} {\partial x^\alpha} \; dx^\alpha \wedge

 \mathbf{F}= d\mathbf{A}= -dt \wedge (E_x dx + E_y dy + E_z dz)  + B_x dy \wedge dz + B_y dz \wedge dx + B_z dx \wedge dy  .

Bianchi identitas d^2 =0 bene nota plene satisfacta obtinemus recta

d\mathbf{F}=0

qui duas aequationes Maxwellianas continet. Duas autem alias aequationes Maxwellianas a sequente aequatione differentialibus formis modo dantur,

d*\bold{F}=\mu_o \mathbf{J}

si definimus 3-formam de densitate currentis

 \mathbf{J} = \rho dx \wedge dy \wedge dz - dt \wedge ( J_x dy \wedge dz + J_y dz \wedge dx + J_z dx \wedge dy )

et per Hodge operator * 2-formam "Maxwell"

\mathbf{M}= *\mathbf{F} = dt \wedge (B_x dx + B_y dy + B_z dz) + E_x dy \wedge dz + E_y dz \wedge dx + E_z dx \wedge dy.

Aequationes Maxwellianae vectorali forma unitatibus Gaussianis (CGSF)[recensere | fontem recensere]

Unitates Gaussianae CGSF permittent aequationes Maxwellinas scribere ut symmetria inter campos magneticum et electrum manifestum sit. Haec sunt aequationes Maxwellianae forma vectorali unitatibus Gaussianis (CGSF) [6] modo scriptae:

\nabla \cdot \vec \mathbf{E} = 4 \pi \rho
\nabla \cdot \vec \mathbf{B} = 0
\nabla \times \vec \mathbf{E} = -\frac {1}{c} \frac{\partial\vec \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \vec\mathbf{B} = \frac {1}{c} \frac{\partial \vec \mathbf{E}} {\partial t} + \frac {4 \pi} {c} \vec \mathbf{J}

ubi

\vec \mathbf{B} est campus magneticus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,
\vec \mathbf{E} campus electricus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,
 \rho densitas oneris electrici in Franklinibus per centimetrum cubicum,
\vec \mathbf{J} = \rho \vec \mathbf{v} densitas currentis electricae in Franklinibus per secundum per centimetrum quadatum.

Aequationes Maxwellianae tensorali forma unitatibus Gaussianis (CGSF)[recensere | fontem recensere]

Et haec sunt aequationes Maxwellianae forma tensorali unitatibus Gaussianis (CGSF) modo scriptae: [7]

A^{\alpha} =  \left(\phi, \vec \mathbf{A}  \right), J^{\alpha} =  \left(c\rho, \vec \mathbf{J}  \right), \partial^\alpha =  \left(-\frac{\partial}{c\partial t}, \vec \nabla  \right)

et tensorem {F}^{\alpha\beta}, Faraday tensor dictum, sic definimus:

F^{\alpha\beta} = \partial^\beta A^\alpha - \partial^\alpha A^\beta \,\!

ex quo sequitur matrix

{F}^{\alpha\beta} = \left(
\begin{matrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & B_z & -B_y \\
E_y & -B_z & 0 & B_x \\
E_z & B_y & -B_x & 0
\end{matrix}
\right) .

Tunc aequationes Maxwellianae in vacuo scribere sequente modo possumus

\partial_\alpha F^{\alpha\beta} =\frac{4 \pi}{c} J^\beta ,

atque

\partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma}=0

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. J. C. Maxwell, "A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field", 1865; Vide etiam analysim modernam Andre Waser, "On the Notation of Maxwell's Field Equations, 2000; et paginas Anglice Victorian Web: James Clerk Maxwell.
  2. Inventa ab Iosepho Williad Gibbs: J. W. Gibbs, "Elements of Vector Analysis," 1881,1883 in E. B. Wilson "Vector Analysis, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs," Charles Scribner's Sons, New York, 1902.
  3. Bureau International des Poids et Mesures;
  4. Inventa anno 1846 ab Williamus Rowan Hamilton: W. R. Hamilton On some Extensions of Quaternions versio interretialis (pdf) apud www.emis.de
  5. Theoria formae exterae differentialium ab Élie Josephus Cartan annis 1894-1904 primitus definitur; vide E. J. Cartan, "Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques," 1945.
  6. De historia Systematis Internationalis
  7. Vide nota (6) supra.

Fontes[recensere | fontem recensere]

  • Jackson, John David. 1998. Classical Electrodynamics. New York: John Wiley & Sons.
  • Griffiths, David. 1987. Introduction to Elementary Particle Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60386-4.