Paradoxum geminorum

Figura paradoxum geminorum monstrans: geminus (ruber) qui iter facit redit iuvenior gemine (viridi) qui Tellure manet. Ruber rucheta vivit 30+20=50 annos, dum Viridis simul Tellure vivit 60+20=80 annos.

Paradoxum geminorum est prodigium celeberrimum ob dilatationis temporalis effectum theoriae relativisticae Einsteinianae. Paradoxum accidit cum geminus qui iter ad astrum distans facit, redit postilla multum iuvenior gemine altero qui Tellure manet.

Tam celeberrimus est Effectus Geminorum, qui dicitur, seu Effectus Horologii seu Dilatatio Temporalis, ut partem conspicuam habeat in multis pelliculis cinematographicis et mythistoriis rerum futurarum, exempli gratia pellicula Planeta Simiorum, in qua astronautae iter longum in spatium facientes mysterio redeunt longe in futuro quando simii Tellurem regnant et homines sunt eorum servi.

Paradoxum videtur quia, secundum primum theoriae relativitatis axioma, ambo systemata coordinatarum sunt valida: ruchetae et Telluris. Itaque ruchetae relativus est Tellus qui movet, non rucheta, ut sola horologia apud Tellurem segnia sint. Ecce igitur paradoxum, quod est impossibile certe, ut simul et ruchetae horologia sint segnia Telluris horologiis, et Telluris horologia segnia ruchetae!

De effectu horologii

Iter Telluri relativum incepit, cum rucheta Telluri relativa quiescens est. Distantia inter rucheta et stellas Centauri est 4.0 c.a. id est lucis iter annuum, computatum multiplicando celeritatem c. per spatium anuum a.. Rucheta est 4.0 c.a. longitudinis. Omnia horologia indicant tempus zeri.

Omnes partes ruchetae simul ruchetae relatativae accelerant ad fere 0.95 c ut $\gamma =+3.20$. Ruchetae longitudo nunc est 1.25 c.a.. Puncta quae Telluri relativa sunt simulatanea habent $\Delta t=0$, ut horologia secundum ruchetae longitudinem $x'$ ostendant discrepantiam $\Delta t'=-\Delta x'V_{o}/c^{2}$, tantum ut horologium ad tergum ruchetae situm indicet tempus +3.80 annorum futurum.

Ruchetae caput ad stellas Centauri advenit, cum $\Delta t=4.0{\text{c.a.}}/0.95{\text{c}}=4.21{\text{a}}$. Apud ruchetam horologia autem sola ingrediuntur $\Delta t'=\Delta t/\gamma =4.21{\text{a.}}/3.20=1.32{\text{a.}}$. Nunc ad ruchetae caput, igitur, horologium indicat tempus $1.32{\text{a.}}$, quamquam ad tergum tempus $3.80{\text{a.}}+1.32{\text{a.}}=4.21{\text{a.}}$.

Omnes partes ruchetae simul ruchetae relatativae accelerant ad fere 0 c relativa Telluri. Ob hanc accelerationem, mutationes inversas nunc accidunt, respectu puncto accelerationis, ut ruchetae longitudo ad 4.0 c.a. revertat et, cum ruchetae tergo $\Delta t'=+\Delta xV_{o}/c^{2}=-3.80{\text{a.}}$, horologium ad tergum ruchetae situm tempus 4.21-3.80 = 1.32 a. indicet.

Iter ruchetae relativum incepit, cum Tellus ruchetae relativa quiescens est. Distantia inter Tellurem et stellas Centauri est 4.0 c.a.Rucheta est 4.0 c.a. longitudinis. Omnia horologia indicant tempus zeri.

Omnes partes universi simul Telluri relatativae accelerant ad fere 0.95 c ut $\gamma =+3.20$.Distantia inter Tellurem et stellas Centauri nunc est 1.25 c.a.. Puncta quae Ruchetae relativa sunt simulatanea habent $\Delta t'=0$, ut $\Delta t=+\Delta xV_{o}/c^{2}$, et ut horologium ad stellas Centauri situm indicet tempus +3.80 annorum futurum.

Stellas Centauri ad ruchetam advenunt, cum $\Delta t'=1.25{\text{c.a.}}/0.95{\text{c}}=1.32{\text{a}}$. Apud Tellurem horologia autem sola ingrediuntur $\Delta t'=\Delta t/\gamma =1.32{\text{a.}}/3.20=0.41{\text{a.}}$, ut apud Tellurem horologium indicet tempus $0.41{\text{a.}}$, quamquam apud stellas Centauri tempus $3.80{\text{a.}}+0.41{\text{a.}}=4.21{\text{a.}}$.

Omnes partes universi simul stellis Centauri relatativae accelerant ad fere 0 c relativa ruchetae. Ob hanc accelerationem, mutationes inversas nunc accidunt, respectu puncto accelerationis apud stellas Centauri, ut distantia inter Tellurem et stellas Centauri ad 4.0 c.a. revertat et, cum Tellure $\Delta t=-\Delta xV_{o}/c^{2}=+3.80{\text{a.}}$, horologium nunc ad Tellurem situm tempus 0.41+3.80 = 1.32 a. indicet.

Effectus horologii originat in aequationibus Lorentzianis, ubi si rucheta quaedam velocitate ${\vec {V}}=V_{o}{\hat {x}}$ Telluri relativa movet, transformationes inter coordinatas primas $(x',y',z',t')$ ruchetae relativa et coordinatas alteras $(x,y,z,t)$ Telluri relativa habeamus:

$x'=\gamma (x-V_{o}t)\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {V_{o}x}{c^{2}}}\right)$

vel aequivalenter, solvendo pro coordinatis alteris respectu primis,

$x=\gamma (x'+V_{o}t')\,$

$y=y'\,$

$z=z'\,$

$t=\gamma \left(t'+{\frac {V_{o}x'}{c^{2}}}\right)$

unde

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {V_{o}}{c}}\right)^{2}}}}\,$

est ille factor Lorentzianus. Quamobrem horologium movens ad ruchetam affixum semper $x'=0$ praebens factum est segnius, quia

$T={\frac {T'}{\sqrt {1-\left({\frac {V_{o}}{c}}\right)^{2}}}}$,

ut omne secundum $T'$ horologio ruchetae designatum correpondat tempori longiori $T$ Telluri relativo.

Quamquam hic effectus, quem aequationes Lorentzianae praecinunt, vere est mirabilis, is cotidie Tellure verificatus est, cum physici periti particulas impellunt ad celeritates paene luminales. Particulae, quae quiescentes haud microsecunda vivunt, acceleratae diutius fere 30 microsecunda permanant. Effectus etiam verificatus est experimentis ubi aëroplana horologiis atomicis instructa itinera circum orbem terrarum faciunt.

De natura paradoxi

Cur theoria Lorentziana caret paradoxo

Dilatatio temporalis observata nullum paradoxum patefacit in theoria Lorentziana, quia in illa theoria horologia segnia sunt sola si aetheri relativa movent. Speramus igitur geminum, qui iter ad astrum distans facit, redire postilla multum iuveniorem gemine altero qui Tellure manet. Et geminus qui iter facit non sperat geminum Tellure manentem iuveniorem esse cum redeat.

De paradoxo in theoria Einsteiniana

Paradoxum videtur in theoria Einsteiniana, quia, secundum axioma eius primum, ambo systemata coordinatorum sunt valida. Ruchetae relativus est Tellus qui movet, non rucheta, ut sola Telluris horologia segnia sint. Simul autem Telluri relativa est rucheta qui movet, non Tellus, ut sola ruchetae horologia sentia sint. Ideo paradoxum habemus quod est impossibile certe, ut simul et ruchetae horologia segnia Telluris horologiis sint, et Telluris horologia segnia ruchetae!

De paradoxi resolutione in theoria Einsteiniana

Per transformationes coordinatarum

Resolutionem huius paradoxi habemus, ut Einstein docuit, quia rucheta Tellurem reditura, postquam ad astrum distans eat, est acceleranda. Et, cum rucheta distans accelerat, Tellus lapsum temporalem $\Delta t=\Delta x\,V/c^{2}$ transformationibus Lorentzianis supris datam patitur, ut exactiter omnes contradictiones possibiles ruchetae relativae solvantur.

In series imaginarum apud hanc paginam, pertractatio praesentatur, in quo aequationibus Lorentzianis utimur ad eosdem effectus monstrandos Telluri et ruchetae relativos. Nobis ostentatur omnes apud Tellurem et ruchetam quod accidit apud eos condicere, sine contradictione.

Discrepantia unica inter duos aequationibus usus est in aequatione $\Delta t=\Delta x\,V/c^{2}$, ubi $\Delta x$, aut stellae Centauri aut ruchetae relativa, semper respectu puncto ad itineris finem computatur.

In imagines solum iter ad stellas Centauri monstratur, sed tantum sufficit ut effectus universus explanetur; quia iter reversum item procedit.

Per aspectum lucis ex Tellure et rucheta provenientis

Luces transmissae cum rucheta iter facit ad stellam distantem. Lineae radios lucum repraesentant. Lineae rubrae indicant luces conceptas frequentiarum demissiorum. Lineae caerulae indicant luces conceptas frequentiarum altiorum. Ad laevam: luces a Tellure ad ruchetam transmissae. Ad dextram: luces a rucheta ad Tellurem transmissae.