Vector (mathematica)

-3 (maxdubium) Latinitas huius rei maxime dubia est. Corrige si potes. Vide {{latinitas}}.

Vector (-oris, m.) est terminus mathematicus qui etiam in physica usurpatur. In coniunctione directa inter duo puncta cui directio est positus est, ergo fundamentum vectoris linea cum capite ac fine, qui exacte definiuntur discernunturque est. Saepissime graphice hoc sagitta exprimitur (apex sagittae finis eius est) atque etiam "sagitta" nominatur.

Fundamenta mathematica

Gravitas vectorum

Problemum, quod exemplo est

Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum $P(2|3)$. Ad multa problema geometriae solvenda, figurae geometricae in systema coordinatorum locantur.

Exempli gratia, trianguli ABC ($A(0|0)$, $B(5|0)$, $C(2|4)$) altitudo puncti C, $h_{c}$, sine ulla computatione cognoscitur: $h_{c} = 4 (e)$.

Sed multa talia problema non tam simpliciter solvi possunt, si terminus vectoris cognitus nondum est; exempli gratia, si altitudo puncti Z trianguli XYZ ($X(0|0)$, $Y(3|2)$, $Z(2|4)$) computari debet, hoc sine vectoribus paene impossibile peractu est; nam problemum est reperire punctum P in directione $g_{1}$ per X et Y situm, ut directio $g_{2}$ per Z et P cum $g_{1}$ angulum rectum circumcludat. Sed sine vectoribus tantum aequationes functionum directiones $g_{1}$ et $g_{2}$ graphia habitantes computari possunt atque per computationem generalem punctum P, quod directionem quaesitam dat, reperiri potest.

Hoc autem vectoribus multo facilius peragitur; est tantum exemplum quod introductionem usumque vectorum purget. Tota categoria geometriae in usu vectorum versatur, ea est geometria analytica, atque hoc ad illustrandam magnitudinem eorum pertinet.

Definitio exacta

Vector exacte definitur, ut copia omnium sagittarum (superficiei planae aut spatii) parallelarum, quae eadem longitudine directioneque sunt, sit. Plerumque vector elemento ipsius datur; haec sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.

Vector ergo non sola sagitta, sed copia infinita sagittarum est. Saepe autem duo termini permiscentur: Repraesentans vectoris vector ipse nominatur. Qui sic inter se differunt, ut sagittae loco finito teneantur, ut vectores autem omnibus locis (globaliter) repraesentantibus eorum usurpari possint.

Coordinata vectorum

In mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est): iis quae carpenda sunt, si a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, sagittae a puncto $A(2|3)$ ad $B(5|5)$ coordinata sunt $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, et haec etiam coordinata vectoris hanc sagittam repraesentantem habentis.

Vectores et puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine $O(0|0)$ ad hoc punctum patentem habet et vector positionis $\vec p$ puncti nominatur.

Omnino, puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae computari possunt formula:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix}$ (regula "hasta de apice subtrahenda est").

Operationes vectorum

Regula "hasta de apice subtrahenda est" iam quandam operationem vectorum, id est subtractionem, continet, sed talis operatio tandem primum definienda est. Cum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita sit, operationes ad multa problema solvenda usurpari possunt.

Additio vectorum

Additio duorum vectorum tertium vectorem dat. Haec ita definitur: Hasta repraesentantis cuiusdam summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) patet, repraesentans summae duorum vectorum est.

In genere, summa vectorum $\vec a$ ac $\vec b$ computari potest formula:

$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \end{pmatrix}$

Subtractio vectorum

Subtractio per additionem definiri potest: Subtractio $\vec a - \vec b$ additionem vectoris $-\vec b = -\begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_{b} \\ -y_{b} \end{pmatrix}$ (vectoris adversi vectoris $\vec b$) ad vectorem $\vec a$ significat. Ergo differentia duorum vectorum est:

$\vec a - \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} - x_{b} \\ y_{a} - y_{b} \end{pmatrix}$

Multiplicatio scalaris vectorum

Vectoribus duae species multiplicationis sunt: multiplicatio scalaris atque crucis.

Scalaris multiplicatio duorum vectorum $\vec a \cdot \vec b$ sic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris $\vec a$ atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris $\vec b$ in repraesentantem vectoris $\vec a$ computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans $\vec a$ habet, aut signo negativo (-), si proiectio alterius directionis est, ornatur. Hic numerus productum scalaris vectorum $\vec a$ et $\vec b$ nominatur. Computari potest etiam formula:

$\vec a \cdot \vec b$ = $\begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}$.

Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalaris eorum 0 est.

Multiplicatio crucis vectorum

Altera multiplicatio vectorum multiplicatio crucis nominatur. Quae tantum vectoribus spatialibus definitur.

Omnino, operationes iam dictae (id est, additio, subtractio atque multiplicatio scalaris duorum vectorum) pariter vectoribus spatialibus definitae sunt; exempli gratia, additio duorum vectorum spatialium ita fit:

$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \\ z_{a} + z_{b} \end{pmatrix}$.

Multiplicatio crucis vectorum spatialium $\vec a \times \vec b$ productum dat vectorem tertium, cui haec proprietates sunt:

1.) Repraesentans vectoris $\vec a \times \vec b$ et cum repraesentante vectoris $\vec a$ et cum repraesentante $\vec b$ angulum rectum circumcludit.

2.) Longitudo repraesentantis producti crucis aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum tenditur.

3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus hac regula reperiri potest: Vectores $\vec a$, $\vec b$ et $\vec a \times \vec b$ easdem directiones habent atque primus, secundus, tertius digitus manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu tenduntur ("regula manus dexterae").

Productum crucis ita computatur:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$.

Aliquae problemata, quae vectoribus solvi possunt

Quomodo punctum dimidii lineae reperiri possit

Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:

Sagitta $\overrightarrow{AB}$ a puncto A usque ad B patet. Si solum dimidium sagittae capitur atque ad sagittam positionis puncti A additur, hoc sagittam positionis puncti dimidii quaesiti H dat:

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}$,

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x_{b} - x_{a} \\ y_{b} - y_{a} \end{pmatrix}$ (regula "de apice hastam"),

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot x_{b} - \frac{1}{2} \cdot x_{a} \\ \frac{1}{2} \cdot y_{b} - \frac{1}{2} \cdot y_{a} \end{pmatrix}$,

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot x_{a} + \frac{1}{2} \cdot x_{b} \\ \frac{1}{2} \cdot y_{a} + \frac{1}{2} \cdot y_{b} \end{pmatrix}$,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \end{pmatrix}$,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \cdot {\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}$,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$,

ergo $\vec h = \frac{\vec a + \vec b}{2}$

Vector positionis puncti H dimidium summae vectorum positionum punctorum A et B aequat.

Exempli gratia, si $A(2|1)$ et $B(4|5)$, $\vec h = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}}{2} = \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}}{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$, ergo $H(3|3)$.

Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogrammum

Si cuiusdam parallelogrammi puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.

Exempli gratia, puncta $A(1|1)$, $B(3|4)$ et $C(2|5)$ rectanguli cognita sunt punctumque D reperiendum est. Quod $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, coordinata ita computantur:

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD}$,

ergo $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{AB}$,

ergo $\vec d = \vec c - {\vec b - \vec a}$,

ergo $\vec d = \vec a - \vec b + \vec c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Quartum punctum igitur coordinata $D(0|2)$ habet.

Centrum gravitatis trianguli

Centrum gravitatis computatur per formulam $\vec s = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}$, si triangulo anguli in punctis A, B et C sunt.

Triangulum punctorum $A(1|1)$, $B(6|5)$ et $C(2|12)$ igitur centrum gravitatis $S(3|6)$ habet.

Vectores in physica

Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut vires. Omnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.

Velocitas, exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente moveri potest, sed etiam in directionem certam.

Vires

In physica vis definitur productum massae et accelerationis, quae in motione cuiusdam rei ab hac vi causatae observantur.

Exempli gratia, si res aequaliter accelerata movetur (acceleratio $a = 5 \frac{m}{s^2}$) et huic rei massa $m = 20 kg$ est, vis effecta fortitudinem $F = 100 N$ habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quam vis habet, exprimitur.

Si duae aut complures vires eodem tempore rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.

Exempli gratia, si res massam $m = 5 kg$ habens atque in puncto $P(0|0)$ sita a viribus $\vec F_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec F_{2} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ movetur, vis, quae vero rem movet, est $\vec F = \vec F_{1} + \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$. Si nunc unitas longitudinis vectorum $1 N$ significat, fortitudines virium sunt: $F_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3,61 N$, $F_{2} \approx 5,10 N$ et $F \approx 7,28 N$. Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.

Labor

Si res massae $m$ in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, $\vec F$, aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, $-\vec F$), quia hoc modo res in directionem contrariam trahetur!

Labor qui administratur ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. In physica terminus "laboris" sic definitur, ut productum scalaris cum factoribus spatio $\vec s$ (ibi spatium vectore exprimitur!) atque vi $\vec F$ aequet:

$W = \vec F \cdot \vec s = \pm F_{s} \cdot s$

Hac in formula $F_{s}$ longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris $\vec F$ in spatium $\vec s$ est, atque $s$ longitudinem repraesentantis $\vec s$ designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest; hic casus est, si $\vec F_{s}$ directionem contrariam atque $\vec s$ habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).

Vide etiam

• systema coordinatorum

• operationes fundamentales arithmeticae:
  • additio
  • subtractio
  • multiplicatio
  • divisio

Vires atque labor tantum duo exempla usus vectorum in physica sunt; hae magnitudines etiam sic exprimuntur:

• acceleratio

• impulsus

Saneque informationes de viribus laboreque, quae hac in pagina dantur, plenissimae non sunt, qua de causa, si plus his de rebus scire vis, vide paginas:

• vis

• labor