Roman numeral 10000 CC DD.svg
Mille Paginae.png
Latinitas nondum censa

Numerus complexus

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Systemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii

Naturales \mathbb{N} {0,1,2,3...} sive {1,2,3...}

Integri \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}

Rationales \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reales \mathbb{R} {Q U I}

Complexi \mathbb{C}

Infinitas \infty

Variae radices

Numerus complexus est numerus generis a+ \mathrm{i}b, ubi a et b sunt numeri reales et \mathrm{i} est illa quantitas imaginaria qui aequationem \mathrm{i}^2=-1 satisfacit. Et a dicitur pars realis numeri, bi pars imaginaria.

Secundum theorema algebraicum fundamentale, numeri complexi sunt necessarii et sufficientes ad omnes aequationes algebraicas polynomiales exsolvendas. Tales aequationes algebraicae polynomiales sunt forma

\sum_{j=1}^N a_j\, x^j = 0,

ubi numerus integer N dicitur gradus aequationis. Theorema algebraicum fundamentale ergo dicit aequationi gradu N esse exactiter N solutiones distinctas. Hoc est, numeri complexi sunt corpus completum.

Exempli gratia, consideremus duas aequationes polynomiales gradu secundo:

x^2 + 1 =0\,

et

x^2 + 2 x + 3=0\,.

Hoc duo exempla sunt insolubilia solo numeris realibus utendo, quod nullus numerus realis quadratus potest esse negativus. Solutiones primae aequationi sunt x = ±i et secundae aequationi x = -1 ± i.

Quamquam numeri reales in linea exhibiti possunt, numeri complexi non possunt: ordinem non habent. Hoc est, non possumus dicere utrum a_1 + b_1\mathrm{i} > a_2 + b_2\mathrm{i}. Hi numeri ergo in planitie exhibuntur, pars realis in axe horizontali, pars imaginaria in axe verticali.

Numerus complexus in plano complexo.

Alia forma numeri complexi nominandi systemate polare utitur. Pro partibus a et b habemus angulum, vel directionem, et magnitudinem vel modulum. Si θ est angulus et r est modulus, habemus

a^2 + b^2 = r^2
\frac{b}{r} = \sin(\theta)
\frac{a}{r} = \cos(\theta)

Si z = a+ \mathrm{i}b est numerus complexus, alius numerus a- \mathrm{i}b dicitur numerus cum z coniugatus, cum compendio \bar{z}. Tunc z + \bar{z} et z\bar{z} sunt numeri reales, quod z + \bar{z} = 2a, z\bar{z} = a^2 + b^2.

Aequationes solutionibus non realibus[recensere | fontem recensere]

Si scimus i^2=-1, totae aequationes quadraticae solvi posse:

ax^2 + bx + c = 0, \;

etiam si reales solutiones non habent quod discriminans negativus est:

\Delta=b^2-4ac<0.

Solutiones reperiri possunt formula:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Si discriminans negativus est, formula mutat:

\sqrt{-\Delta} = \sqrt{(-1)(\Delta)} = \sqrt{-1}\sqrt{\Delta} = i\sqrt{\Delta}.

Videmus documentum:

x^2 + 4x + 8 = 0\,\!\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2} =\frac{-4\pm i\sqrt{16}}{2} =-2\pm 2i.

Nexus externus[recensere | fontem recensere]

Commons-logo.svg Vicimedia Communia plura habent quae ad Numeros complexos spectant.


mathematica Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!