Numerus complexus

Systemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primi $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Rationales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I} Irrationales $\mathbb{I}$ Algebraici Transcendentes $\mathrm{Tr}$ Numerus pi $\pi \approx 3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e\approx 2.718281828459045\ldots$ Complexi $\mathbb{C}$ Numerus imaginarius $i = \sqrt{-1}$ Quaterni $\mathbb{H}$ Octoni $\mathbb{O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Numerus complexus est numerus generis $a+ \mathrm{i}b$ , ubi $a$ et $b$ sunt numeri reales et $\mathrm{i}$ est illa quantitas imaginaria qui aequationem $\mathrm{i}^2=-1$ satisfacit. Et a dicitur pars realis numeri, bi pars imaginaria.

Secundum theorema algebraicum fundamentale, numeri complexi sunt necessarii et sufficientes ad omnes aequationes algebraicas polynomiales exsolvendas. Tales aequationes algebraicae polynomiales sunt forma

$\sum_{j=1}^N a_j\, x^j = 0$ ,

ubi numerus integer N dicitur gradus aequationis. Theorema algebraicum fundamentale ergo dicit aequationi gradu N esse exactiter N solutiones distinctas. Hoc est, numeri complexi sunt corpus completum.

Exempli gratia, consideremus duas aequationes polynomiales gradu secundo:

$x^2 + 1 =0\,$

et

$x^2 + 2 x + 3=0\,$ .

Hoc duo exempla sunt insolubilia solo numeris realibus utendo, quod nullus numerus realis quadratus potest esse negativus. Solutiones primae aequationi sunt x = ±i et secundae aequationi x = -1 ± i.

Quamquam numeri reales in linea exhibiti possunt, numeri complexi non possunt: ordinem non habent. Hoc est, non possumus dicere utrum $a_1 + b_1\mathrm{i} > a_2 + b_2\mathrm{i}.$ Hi numeri ergo in planitie exhibuntur, pars realis in axe horizontali, pars imaginaria in axe verticali.

Numerus complexus in plano complexo.

Alia forma numeri complexi nominandi systemate polare utitur. Pro partibus a et b habemus angulum, vel directionem, et magnitudinem vel modulum. Si θ est angulus et r est modulus, habemus

$a^2 + b^2 = r^2$

$\frac{b}{r} = \sin(\theta)$

$\frac{a}{r} = \cos(\theta)$

Si $z = a+ \mathrm{i}b$ est numerus complexus, alius numerus $a- \mathrm{i}b$ dicitur numerus cum z coniugatus, cum compendio $\bar{z}$ . Tunc $z + \bar{z}$ et $z\bar{z}$ sunt numeri reales, quod $z + \bar{z} = 2a, z\bar{z} = a^2 + b^2.$