Aequatio quadratica

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Aequatio quadratica est aequatio formae  ax^2 + bx + c = 0 , ergo solutiones talis aequationis etiam zera functionis quadraticae sunt.

Formulae ad aequationes quadraticas solvendas[recensere | fontem recensere]

Aequationes, quae habent  a = 1 [recensere | fontem recensere]

Quae etiam per expressionem  x^2 + px + q = 0 describuntur. Transformationibus sequentibus solutiones reperiri possunt:

 x^2 + px + q = 0 ,

ergo  x^2 + px = -q ,

ergo  x^2 + px + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} - q ,

ergo  (x + \frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4} - q ,

ergo  x_{1,2} + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q} ,

ergo  x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

Haec "parva formula solvendi" nominatur.

Aequationes, quae habent  a \in \mathbb{R} [recensere | fontem recensere]

Eae formam  ax^2 + bx + c = 0 tenent. Formula ad has aequationes solvendas reperitur, si in parva formula solvendi usurpatur pro p  \frac{b}{a} atque pro q  \frac{c}{a} .

Ergo "magna formula solvendi" est:

 x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Interpretatio formulae - casus solutionum[recensere | fontem recensere]

Utraque formula solvendi primo aspectu videntur dicere solutionum duas esse, sed hoc non semper est. Tres casus solutionum, qui in numero  \frac{p^2}{4} - q (in formula parva) vel  b^2 - 4ac (in formula magna) discriminantur; qui numerus qua de causa etiam "discriminans" nominatur:

1.)  D > 0 : duae solutiones reales

2.)  D = 0 : una solutio realis (proprie duae solutiones aequalis valoris)

3.)  D < 0 : nullae solutiones reales, sed duae solutiones complexae

Leges Vietae[recensere | fontem recensere]

Franciscus Vieta, proprie "François Viète, mathematicus Francogallicus, relationes inter solutiones aequationis quadraticae atque numeros coefficientes repperit, quae ad eius honorem "leges Vietae" nominantur. Dicunt:

"Si aequatio  x^2 + px + q = 0 solutiones  x_{1} atque  x_{2} habet, leges sequentes valent:

1.)  x_{1} + x_{2} = -p

2.)  x_{1} \cdot x_{2} = q

3.)  x^2 + px + q = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) (expressio termini quadratici per factores lineares)"

Vide etiam[recensere | fontem recensere]