Aequatio quadratica

Functio y = 6x² + 4x + 8. Graphum aequationis quadraticae est parabola.

Aequatio quadratica est aequatio formae $ax^{2}+bx+c=0$, ergo solutiones talis aequationis etiam zera^? functionis quadraticae sunt.

Formulae ad aequationes quadraticas solvendas

Aequationes, quae habent $a=1$

Quae etiam per expressionem $x^{2}+px+q=0$ describuntur. Transformationibus sequentibus solutiones reperiri possunt:

$x^{2}+px+q=0$,

ergo $x^{2}+px=-q$,

ergo $x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}={\frac {p^{2}}{4}}-q$,

ergo $(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q$,

ergo $x_{1,2}+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$,

ergo $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

Haec "parva formula solvendi" nominatur.

Aequationes, quae habent $a\in \mathbb {R}$

Solutio aequationis quadraticae: "confectio quadrati," ut dicitur

Eae formam $ax^{2}+bx+c=0$ tenent. Formula ad has aequationes solvendas reperitur, si in parva formula solvendi usurpatur pro p ${\frac {b}{a}}$ atque pro q ${\frac {c}{a}}$.

Ergo "magna formula solvendi" est:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Interpretatio formulae - casus solutionum

Utraque formula solvendi primo aspectu videntur dicere solutionum duas esse, sed hoc non semper est. Tres casus solutionum, qui in numero ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ (in formula parva) vel $b^{2}-4ac$ (in formula magna) discriminantur; qui numerus qua de causa etiam "discriminans" nominatur:

1.) $D>0$: duae solutiones reales

2.) $D=0$: una solutio realis (proprie duae solutiones aequalis valoris)

3.) $D<0$: nullae solutiones reales, sed duae solutiones complexae

Leges Vietae

Franciscus Vieta, proprie "François Viète," mathematicus Francogallicus, relationes inter solutiones aequationis quadraticae atque numeros coefficientes repperit, quae ad eius honorem "leges Vietae" nominantur. Dicunt:

"Si aequatio $x^{2}+px+q=0$ solutiones $x_{1}$ atque $x_{2}$ habet, leges sequentes valent:

1.) $x_{1}+x_{2}=-p$

2.) $x_{1}\cdot x_{2}=q$

3.) $x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$ (expressio termini quadratici per factores lineares)"

Nexus externi

• De aequationibus quadraticis in encyclopaedia Wolfram MathWorld (Anglice)