Polynomium

Graphum Polynomium gradus quinti

Polynomium in mathematica omnis functio formae
$f(x)= \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^{i}=a_n \cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1 \cdot x+a_0,$
(ubi est $n \in \mathbb N, a_i \in \mathbb R$) appellatur. $n$ appellatur gradus polynomii.

Proprietates

• Omnis functio polynomialis continua est et differentiabilis.
• Fluxio polynomii est (secundum regulam summae et factoris functionis differentiabilis):

$f\!\,'(x)= \left( \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^{i} \right)^{\!\,'}= \sum_{i=1}^{n-1} a_i \cdot i \cdot x^{i-1}=a_n \cdot n \cdot x^{n-1} + a_{n-1}\cdot (n-1) \cdot x^{n-2}+\dots+a_1$

Symmetria

Si $n$ est numerus par et omnes $a_i = 0,\ \forall i=2k-1$ (id est omnibus i imparibus) sunt, tum functio est symmetrica ad axem verticalem, quae aequatione $x=0$ datur.

Si $n$ est numerus impar et omnes $a_i = 0,\ \forall i=2k$ (id est omnibus i paribus) sunt, tum functio est symmetrica ad punctum originis (0/0).

Exempla

• Polynomium $f(x)= 17x^4-7x^2-3$ est symmetricum ad axem verticalem, quae aequatione $x=0$ datur.
• Polynomium $f(x)= 8x^5-7x$ est symmetricum ad punctum originis (0,0).