Roman numeral 10000 CC DD.svg
Latinitas nondum censa

Numerus irrationalis

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Systemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii

Naturales \mathbb{N} {0,1,2,3...}

Integri \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}

Rationales \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reales \mathbb{R} {Q U I}

Complexi \mathbb{C}

Infinitas \infty

Variae radices

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus N est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles a et b tales ut

N=\frac{a}{b}

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

Nonnulli irrationales numeri[recensere | fontem recensere]

Quod numerus pi est irrationalis, non est quadratum, cuius latera sunt quantitates rationales, et cuius area eadem est atque area circuli cuius radius est 1.

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, \sqrt{2},\log_32,\sqrt[3]{5},e^{\pi} esse irrationales.

Praeclara demonstratio[recensere | fontem recensere]

Numerum \sqrt{2} esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

\sqrt{2}=\frac{a}{b},

ubi a,b factores primos aequales non habent. In sequentibus disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc  a^2 = 2b^2, ergo a^2 est numerus par ideoque a quoque est numerus par (si a numerus impar esset tunc quoque a^2 numerus impar esset). Cum numerus a sit par notum est numerum k esse talem ut a=2k, unde a prima aequatione sequitur 2b^2=(2k)^2=4k^2, ergo b^2=2k^2. Simili modo comprobatur numerum b esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros a,b qui factores aequales non habeant. Ergo coniectura \sqrt{2}=\frac{a}{b} erat falsa ideoque \sqrt{2} est numerus irrationalis QED.

An numeri isti irrationales sint?[recensere | fontem recensere]

Mathematici nondum sciunt si \pi+e, \pi-e, et generaliter si m\pi+ne, m et n numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem an 2^e, \pi^e, \pi^\sqrt{2} et constans Euleri-Mascheroni \gamma etiam irrationales sint.