Numerus irrationalis

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Systemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii

Naturales \mathbb{N} {0,1,2,3...}

Integri \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}

Rationales \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reales \mathbb{R} {Q U I}

Complexi \mathbb{C}

Infinitas \infty

Variae radices

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus N est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles a et b tales ut

N=\frac{a}{b}

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

Nonnulli irrationales numeri[recensere | fontem recensere]

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, \sqrt{2},\log_32,\sqrt[3]{5},e^{\pi} esse irrationales.

Praeclara demonstratio[recensere | fontem recensere]

Numerum \sqrt{2} esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

\sqrt{2}=\frac{a}{b},

ubi a,b factores primos aequales non habent. In sequentibus disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc  a^2 = 2b^2, ergo a^2 est numerus par ideoque a quoque est numerus par (si a numerus impar esset tunc quoque a^2 numerus impar esset). Cum numerus a sit par notum est numerum k esse talem ut a=2k, unde a prima aequatione sequitur 2b^2=(2k)^2=4k^2, ergo b^2=2k^2. Simili modo comprobatur numerum b esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros a,b qui factores aequales non habeant. Ergo coniectura \sqrt{2}=\frac{a}{b} erat falsa ideoque \sqrt{2} est numerus irrationalis QED.

An numeri isti irrationales sint?[recensere | fontem recensere]

Mathematici nondum sciunt si \pi+e, \pi-e, et generaliter si m\pi+ne, m et n numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem an 2^e, \pi^e, \pi^\sqrt{2} et constans Euleri-Mascheroni \gamma etiam irrationales sint.