Numerus quadratus

Numeri et eorum quadrati

Numerus quadratus in mathematica, etiam quadratus perfectus appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.

Proprietates

De visu

Numerus n est quadratus solum si n puncta in quadro ordinentur:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

Formulae et res pertinentes

Formula pro n numero quadrato est n². Etiam haec aequat summam primorum n numerorum imparum ($n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)$), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus +). E.g., 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

n quadratus ex duobus prioribus calculetur addendo (n − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (n − 2)um quadratum, et addendo 2.
I.e., ($n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2$).
E.g., 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n, ut monstratur super in picturis.
E.g., 4² aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.
Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g., 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16.

Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus; exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.

Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.

De notis ultimis

Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:

1. Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
2. Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
3. Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
4. Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
5. Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar.
6. Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.

Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.

Pares quadrati et impares

Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2n)² = 4n².

Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.

Brevis index

Primi 51 quadrati sunt: 0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Vide etiam

• Coniectura Legendre
• Numerus triangularis

Bibliographia

• Conway, J. H., et R. K. Guy. 1996. The Book of Numbers. Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

Nexus externi

• http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit
• Disce Numeros Quadratos
• Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org
• Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum