Numerus pi

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

In mathematicae scientia numerus pi seu $\pi$ est praeclarus numerus irrationalis, quem ex divisione circumferentiae magnitudinis per diametrum eius emanat. A littera graeca $\pi$ denotatur, ut notum est anno 1706 a mathematico William Jones primum scriptum fuisse. Omnes autem tantum hac notatione usi sunt solum post ipsius adoptionem ab helvetico mathematico Leonhardo Eulero. Omni ratione, $\pi$ est prima verbi περιφέρεια littera, quae Graece 'mensura circum' significat.

Parva π adhibetur constantem exprimere.

Numerus pi ad 50 figuras decimales est praeterpropter

$\pi$ ≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

sed ultra quam satis est tantas figuras scire in computationibus physicae, fere semper solum primas figuras sex uti sufficit.

Curiositatis tantum causa, in his locis (vicifons) numerus pi multis figuris decimalibus scribitur:

• 1.000 figurae decimales
• 10.000 figurae decimales
• 100.000 figurae decimales
• 1.000.000 figurae decimales.

Proprietates et curiositates

Numerus pi est numerus irrationalis, i.e., exprimi ut duorum naturalium numerorum fractionem nequit, quemadmodum ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 bene demonstratus est. Praeter irrationalem, etiam constat numerum pi esse transcendentem, ut anno 1882 a Ferdinandus Lindemann probatum, qua de causa integris sive rationalibus coefficientibus polinomium non est talis ut numerus π sit huius polinomii radix. Quamobrem manifestum est numerum π ut numerum finitum integrorum numerorum et rationalium fractionium aut radicium eorum scribi nequire.

Propter numeri π transcendentiam, problema quadraturae circuli solvi non potest: Dato quodam circulo nemo est qui regula et circino tantum utendo quadratum cuius area sit accurate aequalis circuli areae describat.

Numeri π computatio

Explicatio visualis propotionis pi ad diametrum circi.

Multi sunt modi ad numerum π computandum, pauci quarum infra monstrantur:

• François Viète, 1593:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots$

• Leibnitii formula:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

qua etiam sequente modo scribi potest,

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}$

• Productus Wallianus:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Formula quae integrale utitur:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

• Problema Basileae, quae ab Eulero primum soluta est:

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

• Functio gamma puncto 1/2 computa:

$\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$

• Coniectio Stirlingiana:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

• Euleri identitas (a Ricardo Feynman vocata "mirabilissima mathematicae formula"):

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Area quartae partis circuli radium 1 habentis:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}$

• Usus residui theorematis:

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i,$

unde via integrationis (anglice:path of integration) est circulus circum originem in curso anti-horologium ambulata.

Singulorum figurarum decimalium computatio

Anno 1995, David Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe formulam mirabilem ad numerum pi computandum inveniunt (vocatam BBP pro eorum nominibus), quam infra scribimus:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

Enesimam (n) figuram binariam aut hexadecimalem hac formula BBP facile computare possumus, sine necessitudine computandi alias enesimas minus unam (n-1) figuras praecedentes, quod verum est mirabile. Hoc interretis locus (Pagina Bailey) huius formulae demonstrationem habet et ipsius usum in computatoris linguis diversis continet.

Numerus pi in memoria

Die 2 Iulii 2005 Iaponicus Akira Haraguchi, anno 59 vitae suae, novum mundi recordem statuit quia numerum pi ad 83.431 figuras decimales recte memoriter recitavitBBC NEWS | World | Asia-Pacific | Japanese breaks pi memory record apud news.bbc.co.uk.

Vide etiam

• Numerus Euleri

Nexus externi

• Pagina Bailey
• Pi-memorare