Matrix (mathematica)

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Vide etiam paginam discretivam: matrix

Matrix in mathematice est tabula numerorum formae rectangularis. Hi numeri matricis elementa vel componentia scilicet elementa vel fortasse relata scilicet elementa in matrice vocantur.

Matricis nomen mathematicus Anglicus Iacobus Ioannes Sylvester finxit.

Typus matricis definitur numero ordinum transversorum vel lineolarum et numero ut ita dicam columnarum vel ordinum directorum. Quodcumque matricis elementum ad quemdam ordinem tranversum et ad quemdam directum pertinet. Haec matrix exempli gratia habet ordines duos transversos et tres directos et designatur nomine matrix 2 \times 3:


  \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{pmatrix} 
vel 
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{bmatrix}

Si ordinum numerus directorum est idem quam transversorum matrix vocatur quadrata.

His cum matricibus operationes mathematicae perfieri possunt sicut additio, subtractio vel multiplicatio. Alia operatio specialis quae cum illis matricibus fieri potest, quae sunt regulares, est inversio. Et alia operatio est transpositio.

Matrix alii vel addi vel subtrahi potest[recensere | fontem recensere]

Si duae matrices sunt eiusdem typi alia alii addi possunt vel alia matrix ab alia subrahi potest.

Haec est summa duarum matricum:m \times n:

A+B := (a_{ij}+b_{ij})_{i=1 , \ldots , m; \ j=1 , \ldots , n}

Ad exemplum:


  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 & 2 & 7
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    0 & 3 & 5 \\
    2 & 1 & -1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1+0 & -3+3 & 2+5 \\
    1+2 & 2+1 & 7+(-1)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 7 \\
    3 & 3 & 6
  \end{pmatrix}

Multiplicatio[recensere | fontem recensere]

Matrix cum numero scalari multiplicetur[recensere | fontem recensere]

Matrix cum numero scalari multiplicatur eo modo, quod omnia matricis elementa multiplicantur cum numero scalari:

\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

Hoc in exemplo numerus scalaris est 5:

5 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 &  2 & 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
   5 \cdot 1 & 5 \cdot   2  & 5 \cdot 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    5 & -15 & 10 \\
    5 & 10  & 35
  \end{pmatrix}

Matrix cum alia matrice multiplicetur[recensere | fontem recensere]

Duae matrices multiplicari possunt si numerus ordinum transversorum laevae matricis est idem quam numerus ordinum directorum dextrae.

Productum matricis l \times m-Matrix A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m} cum alii m \times n-Matrix B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n} est l \times n-Matrix C = (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}, cuius elementa relata computantur multiplicando unum elementum lineolae primae matricis cum vectore directo aliae matricis:

 c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

Computationis exemplum:


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    6 & -1 \\
    3 & 2 \\
    0 & -3
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 6  +  2 \cdot 3  +  3 \cdot 0 &
     1 \cdot (-1) +  2 \cdot 2 +  3 \cdot (-3) \\
     4 \cdot 6  +  5 \cdot 3  +  6 \cdot 0 &
     4 \cdot (-1) +  5 \cdot 2 +  6 \cdot (-3) \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    12 & -6 \\
    39 & -12
  \end{pmatrix}

Matrix quadratica cum se ipsa multiplicetur[recensere | fontem recensere]

Matrix quadratica A sit:


  A=
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
    7 & 8 & 9
\end{pmatrix}

Matrix A cum se ipsa multiplicatur sic:


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
    7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
    7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 1  +  2 \cdot 4  +  3 \cdot 7 & 1 \cdot 2  +  2 \cdot 5  +  3 \cdot 8 & 1 \cdot 3  +  2 \cdot 6  +  3 \cdot 9  \\
   4 \cdot 1  +  5 \cdot 4  +  6 \cdot 7 & 4 \cdot 2  +  5 \cdot 5  +  6 \cdot 8 & 4 \cdot 3  +  5 \cdot 6  +  6 \cdot 9  \\
7 \cdot 1  +  8 \cdot 4  +  9 \cdot 7 & 7 \cdot 2  +  8 \cdot 5  +  9 \cdot 8 & 7 \cdot 3  +  8 \cdot 6  +  9 \cdot 9  \\
  \end{pmatrix}
  =
\begin{pmatrix}
    30 & 36 & 42 \\
    66 & 81 & 96 \\
    102 & 122 & 150
\end{pmatrix}

Eo modo matrix A est elevata ad potentiam secundam.

Matrix idemfactor est matrix quadrata diagonalis, cuius omnia elementa in diagonale principali sunt 1 et omnia alia sunt 0; signum talis matricis est I, vel In ubi n est numerus ordinum et columnum.


I_3 = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

Deinde, omni matrice A, AI = IA = A.

Matricis transformatio[recensere | fontem recensere]

Si est matrix A = \left(a_{ij}\right) cum forma m\times n, matrix transformata est A^T = \left(a_{ji}\right) forma n\times m, id est haec matrix


  A=
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots &a_{1n} \\
    \vdots &\ddots &\vdots \\
    a_{m1} & \dots &a_{mn}
  \end{pmatrix}

habet matricem transformatam


  A^T =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots &a_{m1} \\
    \vdots &\ddots &\vdots \\
    a_{1n} & \dots &a_{mn}
  \end{pmatrix}.

Exemplum:


  \begin{pmatrix}
    1 & 8  & -3\\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}^T
  =
  \begin{pmatrix}
    1 &  4\\
    8 & -2\\
   -3 &  5
  \end{pmatrix}.

Roman numeral 10000 CC DD.svg