Productum interius

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Productum interius seu productum scalare seu puncti productum est productum duorum vectorum  \vec{a} et  \vec{b} ubi singulus numerus scalaris producitur, quid datur formula

 \vec{a} \cdot \vec{b}=\left\|\vec{a}\right\| \, \left\|\vec{b}\right\| \cos \theta \,

Quod productum valorem zerum attingit cum duo vectores perpendiculares sunt et maximum, cum duo vectores paralleli sunt, aequantem magnitudines duorum vectorum multiplicatos.

Coordinatis orthogonalibus et valoribus realibus[recensere | fontem recensere]

His vectoribus iuxta basem orthogonalem scriptis

 \vec{a}  = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \,  \textit{ et } \;\; \vec{b} =  \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix},

productum scribi potest

 \langle \vec{a} , \vec{b} \rangle =  \vec{a}^T \, \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \, a_2 \, a_3 \,  \dots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b _2 + \cdots + a_n b_n

ubi T denotat transpositionem matricis, Σ denotat summam arithmeticam et n est dimensio spatii vectorialis.

Coordinatis orthogonalibus et valoribus complexis[recensere | fontem recensere]

His autem vectoribus valoribus complexis praeditis, productum interius scribi oportet

\langle \vec{a},\vec{b} \rangle = \vec{a}^\dagger \, \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1^* \, a_2^* \, a_3^* \,  \dots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n a_i^* b_i = a_1^*b_1 + a_2^*b_2 + \cdots + a_n^* b_n

ubi * denotat coniugationem complexam et † denotat simultaneam coniugationem et transpositionem. Hac definitione maxime numeris complexis accomodata effecit ut semper scribi possit valore scalari reali

\vec{a}\cdot \vec{a} = \left\|\vec{a}\right\|^2