Aequationes Maxwellianae

Iacobus Clerk Maxwell.

Aequationes Maxwellianae (ex Iacobi Maxwell, physico Scotiensi) praeclarae sunt copia aequationum quae campos magneticos et electricos atque eorum interactionem cum materia plane describunt. Quae aequationes et aequatio Lorentziana fundamenta physicae electromagneticae coniunctim iecerunt. Aequationes Maxwellianae in vacuo sunt fundamenta theoriae electromagneticae lucis in qua velocitas lucis

$c=2.99792458\times 10^{8}m/s$

in vacuo esse praecinitur.

Aequationes Maxwellianae hodiernae

Multi sunt modi Maxwellianarum aequationum scribendarum. Quamquam Maxwell primitus scripsit viginti aequationes cum viginti variabilibus, in usu hodierno vocabulum aequationes Maxwellianae solum quattuor principalibus aequationibus Maxwellianis vectoriali modo scriptis refert. Historia earundem aequationum in pagina "physica electromagnetica" iam praesentata, in hac pagina aequationes in variis formis hodiernis praesentantur, sicut in litteris scientificis inveniuntur.

Aequationes Maxwellianae hodiernae vectorali forma unitatibus MKSA^? scriptae

Hae sunt aequationes Maxwellianae hodiernae principales forma vectorali unitatibus MKSA modo scriptae:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {E} }}=\rho /\epsilon _{o}$

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0$

$\nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}$

$\nabla \times {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}+\mu _{0}{\vec {\mathbf {J} }}$

ubi

${\vec {\mathbf {B} }}$ est campus magneticus in Teslis,

${\vec {\mathbf {E} }}$ campus electricus in Newtonis per Coulomb,

$\rho$ densitas oneris electrici in Coulombibus per metrum cubicum,

${\vec {\mathbf {J} }}=\rho {\vec {\mathbf {v} }}$ densitas currentis electricae in Amperiis per metrum quadatum,

$\epsilon _{o}=8.85412\times 10^{-12}$ Faradii per metrum,

$\mu _{o}=4\pi \times 10^{-7}$ Henrii per metrum, et

$\times$ est productum vectorialis sive productum crucis.

Aequationes Maxwellianae hodiernae tensorali forma unitatibus MKSA scriptae

Manifestum est ex tempore Alberti Einstein aequationes Maxwellianas praecepta relativitatis specialis obtemperare, qua de causa notatione tensorali exprimi possunt. Aliquas definitiones primum statuimus. Sit $\phi$ potentiale electricum et ${\vec {\mathbf {A} }}$ vector magnetici potentialis, tunc ponamus (unitatibus MKSA)

$A^{\alpha }=\left(\phi /c,{\vec {\mathbf {A} }}\right)$, $J^{\alpha }=\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {J} }}\right)$, $\partial ^{\alpha }=\left(-{\frac {\partial }{c\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)$

et tensorem ${F}^{\alpha \beta }$, Faraday tensor dictum, sic definimus:

$F^{\alpha \beta }=\partial ^{\beta }A^{\alpha }-\partial ^{\alpha }A^{\beta }\,\!$

ex quo sequitur matrix

${F}^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

Tunc aequationes Maxwellianae in vacuo scribere sequente modo possumus

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }$,

atque

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$

Hoc tensorali modo manifestum est ut phaenomena electromagnetica principio relativitatis pareat, i.e., omnes aequationes physicae sunt identicae in omnibus systematibus coordinatium inertialibus. Etiam videmus separationem inter magneticum electricumque campum artificialem esse, quod ab uno spectatore in uno systemate referentiale campum magneticum vocatum alius spectator in systemate alio potest campum electricum vocari et vice versa.

Aequationes Maxwellianae modernae differentiali forma unitatibus MKSA scriptae

Aequationes Maxwellianae etiam differentiali forma exprimi possunt, quae modus est omnium simplissimus. Mathematice definimus 1-forma

$\mathbf {A} =\sum _{\alpha }A_{\alpha }dx^{\alpha }=-\phi dt+A_{x}dx+A_{y}dy+A_{z}dz$

ex quo 2-formam "Faraday" $\mathbf {F}$ obtinemus applicando derivativum exteriore $d=\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\;dx^{\alpha }\wedge$

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} =-dt\wedge (E_{x}dx+E_{y}dy+E_{z}dz)+B_{x}dy\wedge dz+B_{y}dz\wedge dx+B_{z}dx\wedge dy$.

Bianchi identitas $d^{2}=0$ bene nota plene satisfacta obtinemus recta

$d\mathbf {F} =0$

qui duas aequationes Maxwellianas continet. Duas autem alias aequationes Maxwellianas a sequente aequatione differentialibus formis modo dantur,

$d*\mathbf {F} =\mu _{o}\mathbf {J}$

si definimus 3-formam de densitate currentis

$\mathbf {J} =\rho dx\wedge dy\wedge dz-dt\wedge (J_{x}dy\wedge dz+J_{y}dz\wedge dx+J_{z}dx\wedge dy)$

et per Hodge operator * 2-formam "Maxwell"

$\mathbf {M} =*\mathbf {F} =dt\wedge (B_{x}dx+B_{y}dy+B_{z}dz)+E_{x}dy\wedge dz+E_{y}dz\wedge dx+E_{z}dx\wedge dy$.

Aequationes Maxwellianae vectorali forma unitatibus Gaussianis

Unitates Gaussianae CGSF permittent aequationes Maxwellinas scribere ut symmetria inter campos magneticum et electrum manifestum sit. Haec sunt aequationes Maxwellianae forma vectorali unitatibus Gaussianis (CGSF) modo scriptae:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {E} }}=4\pi \rho$

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0$

$\nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}$

$\nabla \times {\vec {\mathbf {B} }}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {\mathbf {J} }}$

ubi

${\vec {\mathbf {B} }}$ est campus magneticus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,

${\vec {\mathbf {E} }}$ campus electricus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,

$\rho$ densitas oneris electrici in Franklinibus per centimetrum cubicum,

${\vec {\mathbf {J} }}=\rho {\vec {\mathbf {v} }}$ densitas currentis electricae in Franklinibus per secundum per centimetrum quadatum.

Aequationes Maxwellianae tensorali forma unitatibus Gaussianis (CGSF)

Et haec sunt aequationes Maxwellianae forma tensorali unitatibus Gaussianis (CGSF) modo scriptae:

$A^{\alpha }=\left(\phi ,{\vec {\mathbf {A} }}\right)$, $J^{\alpha }=\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {J} }}\right)$, $\partial ^{\alpha }=\left(-{\frac {\partial }{c\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)$

et tensorem ${F}^{\alpha \beta }$, Faraday tensor dictum, sic definimus:

$F^{\alpha \beta }=\partial ^{\beta }A^{\alpha }-\partial ^{\alpha }A^{\beta }\,\!$

ex quo sequitur matrix

${F}^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

Tunc aequationes Maxwellianae in vacuo scribere sequente modo possumus

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}J^{\beta }$,

atque

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$

Aequationes Maxwellianae in vacuo

Aequationes Maxwellianae in vacuo sunt fundamenta theoriae lucis electromagneticae in qua velocitas lucis

$c=299792458m/s$

in vacuo esse praecinitur.

Forma aequationes Maxwellinae in vacuo

In vacuo densitas oneris electrici $\rho =0$ et densitas currentis electricae ${\vec {\mathbf {J} }}=0$. Quo modo aequationes Maxwellianae forma vectorali (unitatibus MKSA) scriptae sunt:

(1)    $\nabla \cdot {\vec {\mathbf {E} }}=0$

(2)    $\nabla \cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0$

(3)    $\nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}$

(4)    $\nabla \times {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}$

ubi ${\vec {\mathbf {B} }}$ est campus magneticus et ${\vec {\mathbf {E} }}$ campus electricus.

Solutio aequationium Maxwellianarum in vacuo

Notum est has aequationes habere solutionem quae undas describit velocitatem motus (sive celeritatem) c habentes, sicut a Maxwell patefactus est anno 1865.

Solutio campo electrico

Maxwell sequentes, cum aequatio (3) supra incohamus et computamus

$\nabla \times \nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=-\nabla \times {\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}$

quod simplificamus usando aequationes (1) et (4) et identitatem vectorialis

$\nabla \times \nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {\mathbf {E} }})-\nabla ^{2}{\vec {\mathbf {E} }}$

Sic faciendo, obtinemus aequatio differentialis undulatoria

(5)     $\nabla ^{2}{\vec {\mathbf {E} }}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t^{2}}}$

quae solvere possumus cum aequatione undae sinusoidis

${\vec {\mathbf {E} }}={\hat {\sigma }}E_{o}sin\left({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t\right)$

ubi

${\vec {x}}$ est positio,

$t$ est tempus,

$\omega$ est frequentia angulosa undae,

${\vec {k}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {k}}$ est vector undulatorius qui directionem propagationis undae ${\hat {k}}$ et magnitudinem longitudinis undulatoriae $\lambda$ coniunctim dat,

${\hat {\sigma }}$ est directio polarizationis undae (quae directione ${\hat {k}}$ transversa est).

Velocitas undae electricae manifesta est

$c={\frac {\omega }{|{\vec {k}}|}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=299\,792\,458\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Solutio campo magnetico

Similiter, aequatione (4) supra incohante obtinamus

(6)     $\nabla ^{2}{\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t^{2}}}$

quod solvamus cum

${\vec {\mathbf {B} }}={\vec {\tau }}B_{o}sin\left({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t\right)$

ubi

$B_{o}={\frac {E_{o}}{c}}$ est frequentia angulosa undae,

${\vec {x}},t,c,\omega ,$ et ${\vec {k}}$ sunt ut supra, et

${\vec {\tau }}={\hat {k}}\times {\hat {\sigma }}$ est directio undulatoria campi magnetici, quae ex aequationibus (3) vel (4) deducimus.

Nota historica

Haec praeclarissima velocitas c congruit celeritate luminis in vacuo ab experimentis inventa. Omnes alia proprietas undulatoria lucis quoque solutionibus supra congruentes, ex quibus Maxwell deduxit lucem esse ex magneticis electricisque campis propagantibus factam.

Bibliographia

• Griffiths, David. 1987. Introduction to Elementary Particle Physics. Novi Eboraci: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60386-4.
• Imaeda, K. 1995. "Biquaternionic Formulation of Maxwell's Equations and their Solutions." In Clifford Algebras and Spinor Structures, ed. Rafal Ablamowicz et Pertti Lounesto, 265–80. Springer. doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16. ISBN 978-90-481-4525-6.
• Jackson, John David. 1998. Classical Electrodynamics. Novi Eboraci: John Wiley & Sons.