Aequatio Lorentziana

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Aequatio Lorentziana describit quomodo campus electromagneticus vim in particulis quae onus habent causat, et in aequationibus Maxwellianis basem physicae electromagneticae fundat.

Aequatio Lorentziana vectorali forma scripta[recensere | fontem recensere]

Unitatibus MKSA[recensere | fontem recensere]

Aequatio Lorentziana forma vectorali (unitatibus MKSA) modo scriptae est sic

\vec \mathbf{F} = q (\vec \mathbf{E} + \vec \mathbf{v} \times \vec \mathbf{B}),

ubi

\vec \mathbf F est vis electromagnetica (in Newtonis)
\vec \mathbf E est campus electricus (in Voltiis per metrum)
\vec \mathbf B est campus magneticus (in Weberiis per metrum quadratum, aut equivalenter Teslis)
q est onus electricum particulae (in Coulombiis)
\vec \mathbf v est velocitas momentanea particulae (in metris per secundum), et
 \times est productum vectorialis sive productum crucis.

Unitatibus Gaussiana CGSF[recensere | fontem recensere]

Aequatio Lorentziana forma vectorali (unitatibus Gaussiana CGSF) modo scriptae est sic

\vec \mathbf{F} = q (\vec \mathbf{E} + \vec \frac {\mathbf{v}}{c} \times \vec \mathbf{B})

ubi

\vec \mathbf{B} est campus magneticus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,
\vec \mathbf{E} campus electricus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,
q est onus electricum particulae (in Franklinibus)
\vec \mathbf v est velocitas momentanea particulae (in centimetris per secundum), et
 \times est productum vectorialis sive productum crucis.

Aequatio Lorentziana tensorali forma scripta[recensere | fontem recensere]

Aequatio viris Lorentzianae scribere possumus in forma tensorali covariante (unitatibus MKSA) sic:

 \frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta}

ubi

\tau est tempus proprium particulae,
q est onus electricum particulae (in Coulombibus),
u est 4-velocitas particulae (in metris per secundum), definita sicut:
u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \, et
F est tensor campi electromagnetici (in Teslis) definitus sicut:
F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
.

Demonstratio[recensere | fontem recensere]

Pars \mu =1 viris electromagnetica est:

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left(-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,

ubi  \tau est tempus propium particulae. Elementa tensoris F electromagnetici substituta obtinemus:

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) + u^3 (-B_y) \right) \,

Et si expressim introducimus partes quattuor-velocitatis, deinde obtinemus

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z - v_z B_y \right) \,
 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right) .\,

Calculatio partium \mu = 2 et \mu = 3 est similis, postquam obtinemus aequationem Lorentzianam :

 \gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left(\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right) \,.

Roman numeral 10000 CC DD.svg