Aequatio Lorentziana

Aequatio Lorentziana describit quomodo campus electromagneticus vim in particulis quae onus habent causat, et in aequationibus Maxwellianis basem physicae electromagneticae fundat.

Aequatio Lorentziana vectorali forma scripta

Unitatibus MKSA

Aequatio Lorentziana forma vectorali (unitatibus MKSA) modo scriptae est sic

$\vec \mathbf{F} = q (\vec \mathbf{E} + \vec \mathbf{v} \times \vec \mathbf{B}),$

ubi

$\vec \mathbf F$ est vis electromagnetica (in Newtonis)

$\vec \mathbf E$ est campus electricus (in Voltiis per metrum)

$\vec \mathbf B$ est campus magneticus (in Weberiis per metrum quadratum, aut equivalenter Teslis)

$q$ est onus electricum particulae (in Coulombiis)

$\vec \mathbf v$ est velocitas momentanea particulae (in metris per secundum), et

$\times$ est productum vectorialis sive productum crucis.

Unitatibus Gaussiana CGSF

Aequatio Lorentziana forma vectorali (unitatibus Gaussiana CGSF) modo scriptae est sic

$\vec \mathbf{F} = q (\vec \mathbf{E} + \vec \frac {\mathbf{v}}{c} \times \vec \mathbf{B})$

ubi

$\vec \mathbf{B}$ est campus magneticus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,

$\vec \mathbf{E}$ campus electricus in Gaussibus vel dyniis per Franklin,

$q$ est onus electricum particulae (in Franklinibus)

$\vec \mathbf v$ est velocitas momentanea particulae (in centimetris per secundum), et

$\times$ est productum vectorialis sive productum crucis.

Aequatio Lorentziana tensorali forma scripta

Aequatio viris Lorentzianae scribere possumus in forma tensorali covariante (unitatibus MKSA) sic:

$\frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta}$

ubi

$\tau$ est tempus proprium particulae,

q est onus electricum particulae (in Coulombibus),

u est 4-velocitas particulae (in metris per secundum), definita sicut:

$u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \,$ et

F est tensor campi electromagnetici (in Teslis) definitus sicut:

$F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$.

Demonstratio

Pars $\mu =1$ viris electromagnetica est:

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left(-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,$

ubi $\tau$ est tempus propium particulae. Elementa tensoris F electromagnetici substituta obtinemus:

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) + u^3 (-B_y) \right) \,$

Et si expressim introducimus partes quattuor-velocitatis, deinde obtinemus

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z - v_z B_y \right) \,$

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right) .\,$

Calculatio partium $\mu = 2$ et $\mu = 3$ est similis, postquam obtinemus aequationem Lorentzianam :

$\gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left(\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right) \,$.