Functio quadratica

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Functio quadratica est functio formae  f(x) = ax^2 + bx + c; a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0 . Graphium talis functionis parabola est.

Proprietates[recensere | fontem recensere]

1.) Omnes functiones quadraticae continuae sunt atque omnibus numeris realibus definiri possunt.

2.) Ad monotoniam functionum quadraticarum parametrum a pertinet. Si  a > 0 , primum parabola stricte monotone descendit usque ad solum extremum (hic minimum), dum stricte monotone ascendit. Si  a < 0 , primum stricte monotone ascendit usque ad maximum, dum stricte monotone descendit.

3.) Derivatio talis functionis:  (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b . Quod haec functio linearis atque talibus functionibus solum unum zerum est, functio quadratica exacte unum extremum habet.

4.) Integralis functionis quadraticae:  \int (ax^2 + bx +c)\, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + d; d \in \mathbb{R}

5.) Problemum reperiendi zera functionum quadraticarum valde magnum est, nam per eum numeri complexi nati sunt:

 ax^2 + bx + c = 0 ,

ergo  ax^2 + bx = -c ,

ergo  ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = \frac{b^2}{4a} - c ,

ergo  (\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}})^2 = \frac{b^2}{4a} - c ,

ergo  \sqrt{a}x_{1,2} + \frac{b}{2\sqrt{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} ,

ergo  \sqrt{a}x_{1,2} = -\frac{b}{2\sqrt{a}} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} ,

ergo  \sqrt{a}x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2\sqrt{a}} ,

ergo  x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Functioni ergo duo zera sunt, si numerus  D = b^2 - 4ac (discriminans, quod tres casus solutionum aequationis/zerorum functionis discriminat) positivus, unum zerum, si 0 est. Si autem  D < 0 , functio nulla zera realia habet. Amplificando  \mathbb{R} , mathematici copiam numerorum complexorum  \mathbb{C} creaverunt. Hac in copia etiam casu  D < 0 zera, sed complexa sunt.

6.) Talis functio exacte unum extremum habet; computatur per derivationem functionis:

 (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b

Zerum derivationis extremum dat:

 2ax + b = 0 ,

ergo  x = -\frac{b}{2a}

Si hic valor in termino functionis substituitur hicque transformatur, coordinatum y extremi reperiri potest:  S(-\frac{b}{2a}|\frac{4ac - b^2}{4a})

7.) Derviatio secunda harum functionum semper numerus realis  \ne 0 est, itaque quibus nulla puncta inflexionis sunt.

Vide etiam[recensere | fontem recensere]

Nexus externus[recensere | fontem recensere]

"maths online function plotter" - instrumentum quo graphia functionum describi possunt (lingua anglica)