Continuitas (mathematica)

Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:
$\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

Idea continuitatis est: Functio realis dominii $f: I\to\mathbb{R}$ super intervallo reali $I\subseteq\mathbb{R}$ continua est, si graphum functionis $f$ stilo non sublato describi potest.

Definitio

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

1. Regula Epsilon-Delta:$f\colon D \to \R$ continua in $x_0 \in D$ est, si
   omnibus $\epsilon>0$ est $\delta > 0$, ut omnibus numeris dominii $x \in D$, qui obtemperent
   $|x - x_0| < \delta$, valeat $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$.
2. Regula sequentiarum: $f\colon D\to \R$ est continua in $x_0 \in D$, si, cum quaelibet sequentia $(x_k)_{k\in\N}$ $(x_k\in D)$ posita est, quae ad $x_0$ convergit, etiam $f(x_k)$ ad $f(x_0)$ convergit.
   

Functio appellatur continua in $D$, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est $x_0 \in D$, ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

Exempla

• Functiones $\sin\colon \R \to \R,\; x \mapsto \sin x$ et $\cos \colon \R \to \R,\; x \mapsto \cos x$ continuae sunt in $\R$.
• Functio signi $\ \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x<0\ ,\end{cases}$
  in omnibus locis $x \in \R\setminus \{0\}$ continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes $\lim_{x\to 0}\,\operatorname{sgn}(x)$ non est.
• Functio Dirichlet

  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.$

ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

• 

  Functio discontinua

• 

  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere

• 

  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere

Theoremata

• Si functiones $f$ et $g$ continuae in dominio communi $D$ sunt, tum et $f + g$ et $f - g$ et $f \cdot g$ continuae super $D$ sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus $x_0 \in D$ ut $g(x_0)=0$) sint, tum et $\frac{f}{g}$ continua est.
• Compositio $f \circ g$ duarum functionum continuarum est continua.

• Continuitas functionis inversae:

Si $I$ est intervallum in $\mathbb{R}$ et $f\colon I\rightarrow\mathbb R$ est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli $I$ sub $f$ est intervallum $J$,
$f\colon I\to J$ est biiectiva, et functio inversa $f^{-1}\colon J\to I$ est continua.

• Theorema valorum omnium acceptorum:

Si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ est functio continua, cui $a<b$ et $f(a)<f(b)$ valet, tum omnibus numeris $d\in[f(a),f(b)]$ est $x\in[a,b]$, ut $f(x)=d$ valeat.

Item in casu $f(a)>f(b)$ et $d\in[f(b),f(a)]$.

• Theorema extremitatum acceptarum:

Si $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ est functio continua, tum sunt numeri $t,h\in[a,b]$, ut

$f(t)\leq f(x)\leq f(h)$ omnibus numeris $x\in[a,b]$ valeat.

Vide etiam

• Analysis
• Functio differentiabilis

Nexus externi

• nexus ad paginam theodiscam continuitatem explicantem
• mathematik.de – explicatio visualis regulae Epsilon-Delta