Continuitas (mathematica)

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:
\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

Idea continuitatis est: Functio realis dominii f: I\to\mathbb{R} super intervallo reali I\subseteq\mathbb{R} continua est, si graphum functionis f stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria."

Definitio[recensere | fontem recensere]

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

  1. Regula Epsilon-Delta[1]: f\colon D \to \R continua in x_0 \in D est, si
    omnibus \epsilon>0 est \delta > 0, ut omnibus numeris dominii x \in D, qui obtemperent
    |x - x_0| < \delta, valeat |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon .
  2. Regula sequentiarum[2]:  f\colon D\to \R est continua in x_0 \in D, si, cum quaelibet sequentia (x_k)_{k\in\N} (x_k\in D) posita est, quae ad x_0 convergit, etiam f(x_k) ad f(x_0) convergit.

Functio appellatur continua in D, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est  x_0 \in D , ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

Exempla[recensere | fontem recensere]

  • Functiones \sin\colon \R \to \R,\; x \mapsto \sin x et \cos \colon \R \to \R,\; x \mapsto \cos x continuae sunt in \R.
  • Functio signi \ \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x<0\ ,\end{cases}
    in omnibus locis x \in \R\setminus \{0\} continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes \lim_{x\to 0}\,\operatorname{sgn}(x) non est.
  • Functio Dirichlet
    f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.
ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

Theoremata[recensere | fontem recensere]

  • Si functiones  f et  g continuae in dominio communi D sunt, tum et  f + g et  f - g et  f \cdot g continuae super  D sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus  x_0 \in D ut  g(x_0)=0 ) sint, tum et  \frac{f}{g} continua est.
  • Compositio  f \circ g duarum functionum continuarum est continua.
  • Continuitas functionis inversae:
Si I est intervallum in \mathbb{R} et f\colon I\rightarrow\mathbb R est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli I sub f est intervallum J,
f\colon I\to J est biiectiva, et functio inversa f^{-1}\colon J\to I est continua.
  • Theorema valorum omnium acceptorum:
Si f:[a,b]\to\mathbb{R} est functio continua, cui a<b et f(a)<f(b) valet, tum omnibus numeris d\in[f(a),f(b)] est x\in[a,b], ut f(x)=d valeat.
Item in casu f(a)>f(b) et d\in[f(b),f(a)].
  • Theorema extremitatum acceptarum:
Si f\colon[a,b]\to\mathbb{R} est functio continua, tum sunt numeri t,h\in[a,b], ut
f(t)\leq f(x)\leq f(h) omnibus numeris x\in[a,b] valeat.

Vide etiam[recensere | fontem recensere]

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
  2. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212

Nexus externi[recensere | fontem recensere]