Physica statistica

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Physica statistica sinit proprietates macroscopicas calculari ex proprietatibus microscopicis, sicut diffusione atomorum per crystallum mostrata, ubi moleculae iuxta declivatem concentrationis[1] gradiuntur, legi Fickianae hic obtemperantes.

Physica statistica est studium physico-mathematicum quod praesertim ingenia physica ex perspectiva statistica investigat. Physicae thermodynamicae (theoriae caloris mechanicae) fundamenta dat, entropiam alteramque legem thermodynamicam explanans. Prodigia macroscopica enim explanare potuit per symmetrias, legesque conservationis quae confusionem atomorum statisticam supersunt.

Fundamenta[recensere | fontem recensere]

Axioma fundamentale huius scientiae est: Omnem microstatum eadem probabilitate fieri.

Microstatus est status systematis specificatus ab omnibus coordinatis omnium atomorum participantium. Macrostatus autem specificatur a solis coordinatis macroscopicis, sicut pressione, temperatura, magnetizatione, compositione, densitate, et similibus. Quique macrostatus enim multos microstatus complectitur, quia cum plures sunt atomi, amplius sunt configurationes unicae harum atomorum, cuidam pressioni ceterisque correspondentes. Ex axiomate fundamentali supero tunc provenit macrostatum maximae probabilitatis esse illum maiore microstatuum numero W correspondentem.

Ludovicus Boltzmann tum saeculo vicensimo incipiente entropiam S aequatione

\;S = k \ln W

datam demonstavit ubi k est constans Boltzmanni. Huic formulae, quae nexum fundamentalem inter physicam statisticam et thermodynamicam dat, Boltzmann formam logarithmicam deduxit solum quia ea ita definita eandem quantitatem ac entropiam thermodynamicam pro gasibus daret, et quod generaliter entropiam duorum systematum  S_{1+2}=S_1 +S_2 additivam esse oportet.

Boltzmann, quod maximi momenti fuit, etiam observavit entropiam S sic definitam maximum attinere semper cum W maximum attineret; et vice versa. Qua de causa etiam sequitur hos macrostatús maxime probabiles, cui maximus microstatús numerus W est, esse quoque eos qui entropiam in maximam facerent.

Entropia et energia interna[recensere | fontem recensere]

Entropia S(E,V,N) maxime utilis est ad statum aequilibrii inveniendum sola cum omnia extensiva systematis parametra fixantur, sicut summa energia interna E, volumen V, et numerus variarum particularum N. Aequivalentur, summa energia interna E(S,V,N) valet quia, cum entropia maximum valorem caperetur, energia tamen mimum semper attingit.

Energiae variorum generum[recensere | fontem recensere]

Condiciones autem experimentales saepe aliter sunt, quoniam, dum aequilibrium in laboratorio statuitur, pressio p, non volumen V, fixatur; temepratura T, non energia E; et numerus N molecularum in lagoena variat, quamquam potentiale chemicum \mu fixatur.

Quamobrem variae aliae energiae, quae minimum iuxta varias condiciones impositas capiunt, per transformationes Legandreanas definiuntur:

  • Enthalpia: H(S,P,N)=E(S,V,N)+PV ubi P loco V fixatur;
  • Energia libera canonica: F(T,V,N)=E(S,V,N)-TS ubi T loco S fixatur;
  • Energia libera Gibbsiana: G(T,P,N)=E(S,V,N)-TS+PV ubi T,P loco S,V fixantur;
  • Energia libera macrocanonica \Psi (T,V,\mu)=E(S,V,N)-TS-\mu N ubi T, \mu loco S,N fixantur.

Collectiones[recensere | fontem recensere]

Physici praecipue tres collectiones statisticas definiunt quibus systematum proprietates a proprietatibus molecularum sive atomorum calculari possunt:

  • Collectio microcanonica ubi E, V \text{ et }  N fixantur
  • Collectio canonica ubi T, V \text{ et } N fixantur
  • Collectio macrocanonica ubi  T, V \text{ et } \mu fixantur.


Tabula monstrans
collectiones statisticas
plerumque adhibitas
Collectiones :
Microcanonica Canonica Macrocanonica
Variabiles fixae E, N, V aut B T, N, V aut B T, μ, V aut B
Functio microscopica Numerus microstatus

 \;W
Canonica partitionis functio

Z = \sum_k e^{-\beta E_k}
Macrocanonica partitionis functio

 z \ = \ \sum_k e^{ -\beta (E_k - \mu N_k ) }
Functio macroscopica S \ = \ k_B \ \ln W F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z \Psi=-p V =- \ k_B T \ln z

Collectio microcanonica utilis est ad complura theorema statistica demonstranda. Physici autem plerumque adhibent collectionem cannonicam ad res physicas calculandas, nisi cum de problematis quanticis tractandum est, ubi tunc oportet propter continuam particularum creationem et destructionem collectione macrocanonnica uti.

Collectio microcanonica[recensere | fontem recensere]

Probabilitas microstatui k cuidam est \rho_k = {1 \over W} ubi  W est numerus omnium microstatuum.

Collectio canonica[recensere | fontem recensere]

Condicio collectionem canonicam definiens est contactus thermalis cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est \;\rho = \frac {e^{-\beta E_k}}{Z} , ubi constans normalizationis (partitionis functio appellatus) Z = \sum_{k} e^{-\beta E_k}, ubi E_k est tota microstatús k energia, et \beta = {1 \over k_B T}.

Partitionis functione utentes possumus calculare omnes quantitates thermodynamicas per derivativa huius functionis. Exempli causa, habetur

E = \langle E\rangle={\sum_i E_i e^{-\beta E_i}\over Z}=-{1 \over Z} {dZ \over d\beta}= -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}

et similiter sic ut in tabula infera monstratur.

Energia libera Helmholtziana: F = - {\ln Z\over \beta}
Energia interna: E = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}
Pressio: P = -\left({\partial F\over \partial V}\right)_{N,T}= {1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{N,T}
Entropia: S = k (\ln Z + \beta E)\,
Energia libera Gibbsiana: G = F+PV=-{\ln Z\over \beta} + {V\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_{N,T}
Enthalpia: H = E + PV\,
Calor specificus volumine constante: C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{N,V}
Calor specificus pressione constante: C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{N,P}
Potentiale chemicum: \mu_i = -{1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial N_i} \right)_{T,V,N_{j, \forall j\ne i}}

Collectio macrocanonica[recensere | fontem recensere]

Condicio collectionem macrocanonicam definiens est contactus simultaneus cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente et cum reserva particularum potentiale chemicum \mu manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est \;\rho = \frac{e^{-\beta (E_k-\mu N_k)}}{z}, ubi constans z=\sum_k e^{-\beta (E_k-\mu N_k)}, E_k est energia tota microstatus k, N_k est numerus particularum in microstatu k, et \beta = {1 \over k_B T}.

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Ernestus Gotthold Struve D., Paradoxum chymicum sine igne, Ienae, 1715, apud Ernestum Claudium Bailliar, p. 55. [1] Libri Googles (Latine)
Notiones thermostatisticales Increasing disorder.svg
Aequatio status: Lex gasis idealis | Gasis exemplar van der Waals
Quantitas inexacta: Calor | Labor
Quantitas exacta:
Quantitas extensiva: Energia interna | Energia libera | Enthalpia | Entropia | Volumen
Quantitas intensiva: Calor specificus | Potentiale chemicum | Pressio | Temperatura
Notiones physicae statisticae: Balneum thermicum | Microstatus | Macrostatus | Ordinis parametrum | Spontanea symmetriae ruptura
Collectiones statisticae: Collectio canonica | Collectio microcanonica| Collectio macrocanonica
Functiones partitionis: Canonica partitionis functio | Macrocanonica partitionis functio| Collectio macrocanonica



Atomi Haec stipula ad physicam spectat. Amplifica, si potes!

Roman numeral 10000 CC DD.svg