Theoria copiarum

Theoria copiarum est ramus mathematicae qui copias tractat, quae sunt conlationes rerum. Quamquam res cuiuslibet generis conligi in copias potest, theoria copiarum saepissime adhibetur ad res quae ad mathematicam pertinent.

Georgius Cantor, anno 1894

Hodiernum theoriae copiarum studium a Georgio Cantor et Ricardo Dedekind decennio 188 coeptum est. Theoria paradoxorum in simplice copiarum theoria iam excogitata, multa systemata axiomatica saeculo vicensimo ineunte proposita sunt, quorum axiomata Zermelo–Fraenkel et axioma electionis sunt notissima.

Adhibetur lingua theoriae copiarum in definitionibus paene omnium rerum mathematicarum, sicut functiones, et notiones theoriae copiarum per curriculum mathematicae docentur. Facta elementaria de copiis et membra copiarum doceri possunt in schola primaria, cum diagrammatibus Venn et Euler, ut conlectiones corporearum rerum quotidianarum discuntur. Hoc in contextu, operationes elementariae, sicut unio intersectioque copiarum, disci possunt. Notiones difficiliores, sicut cardinalitas, sunt constans curriculi baccalaureati in mathematica pars.

Definitiones

Imprimis definitiones positandae quibus mathematici cotidie utuntur. Haec est quasi simplex copiarum theoria, et necesse erit hanc theoriam subtiliorem facere.

Cum copia sit conlatio rerum, hae res sunt elementa copiae. Si $S=\{a,b,c,...\}$ est copia, dicimus "a est elementum copiae S," et scribimus $a\in S$. Est copia vacua vel inanis, quae nulla elementa habet; signum huius copiae est $\emptyset$. Elementa copia potest quaslibet res esse, aliis copiis inclusis. Exempli gratia, $S=\{a,\{a\}\}$ est copia cuius elementa sunt a et copia alia {a} (cuius elementum est ipsa a). Numerus elementorum copiae est cardinalitas vel magnitudo copiae, sive finita sive infinita. Sit S = {a, b, c}; tunc cardinalitas copiae S est 3.

Si S, T sunt copiae, et omnia elementa S sunt elementa quoque T, possumus dicere S copiam inferiorem esse copiae alterius, quae est copia superior. Hoc est, si $S=\{a,c,e\},T=\{a,b,c,d,e,f\},$ tum $S\subset T$ et $T\supset S$. Copia vacua est inferior omnibus aliis copiis. Omnis copia est inferior ipsi (hoc est, semper $S\subset S$), sed copiae inferiores recte dictae sunt copiae inferiores propter copiam ipsam. Si S et T sunt copiae, non necesse est habere vel $S\subset T$ vel $T\subset S$: exempli gratia, si $S=\{a,1,b,2\}$ et $T={a,b,c,d}$, tum neque $S\subset T$ quod $1\in S,1\notin T$, neque $T\subset S$, quod $d\in T,d\notin S$.

Duae copiae, quae eadem elementa habent, sunt eadem copia, etiamsi elementa varie scripta. Exempli gratia, sit S = {1, 2, 3, 4, 5} et T = {5, 4, 3, 2, 1}; tum S = T. Est ergo una modo copia vacua.

Copia infinita est si tanta elementa habet, quanta habet copia sua inferior recte dicta. Duo copiae eundem numerum elementorum (et igitur eandem cardinalitatem) habent, si est functio biiectiva quae ad omne elementum unius copiae associat elementum alterius. Exempli gratia, copiae {a, b, c} et {1, 2, 3} eandem cardinalitatem habent, quod functio (a, 1), (b, 2), (c, 3) elementa associat. Sed {a, b, c} est copia finita, quod copiae inferiores pauciora elementa habent. Copia numerorum naturalium autem est copia infinita: functio f(x) = 2x associat omnem numerum naturalem ad numerum parem, et omnem numerum parem y ad numerum naturalem y/2. Numeri pares sunt copia inferior, quia numerus par semper est numerus naturalis, et copia inferior recte dicta, quia sunt numeri naturales impares. Sed tanti numeri naturales sunt quanta numeri pares: hae sunt ergo copiae infinitae.

Copiae infinitiae sunt aut numerabiles aut innumerabiles. Copia est numerabilis si eandem cardinalitatem habet atque copia numerorum naturalium; copiae finitae quoque numerabiles dicuntur. Copia innumerabilis maior est quam copia numerabilis, hoc est, maiorem cardinalitatem habet. Exempli gratia, copia numerorum realium est innumerabilis, ut Cantor demonstravit.

Copia cuius elementa sunt copiae inferiores alii copiae cuidam dicitur copia potens huius copia, aut copia partium. Copia potens semper plura elementa habet quam copia data. Exempli gratia, sit S = {a, b, c}. Tum copia potens S, vel ${\mathcal {P}}(S)$, 8 elementa habet:

${\mathcal {P}}(S)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},S\}$

Si S est copia finita et n elementa habet, cardinalitas copiae potentis S est 2ⁿ. Si S est copia infinita cuius cardinalitas est α, 2^α significat cardinalitas copiae potentis S, per definitionem.

Diagrammata Venniana quae monstrant operationes intersectionem, unionem, et complementum vel negationem

Coniunctio aut unio duarum copiarum est nova copia, cuius elementa sunt omnia elementa quae in utra copia insunt. Exempli gratia, sint S = {a, b, c} et T = {1, 3, 5}. Tum $S\cup T={a,b,c,1,3,5}$.

Aut, si S = {a, b, c} et T = {c, d, e}, tum $S\cup T={a,b,c,d,e}$; elementum c, etiamsi est elementum ambarum copiarum, modo semel videtur inter elementa novae copiae.

Intersectio duarum copiarum est nova copia, cuius elementa sunt omnia elementa quae in ambobus copiis insunt. Exempli gratia, si S = {a, b, c, d, e} et T = {a, c, e, g, i}, tum $S\cap T={a,c,e}$.

Aut, si S = {a, b, c} et T = {1, 3, 5}, tum $S\cap T=\emptyset$.

Differentia copiae S e copia T est nova copia, cuius elementa sunt omnia elementa quae in S insunt, sed in T non insunt. Hoc est, si S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} et T = {f, g, h, i}, tum $S\setminus T={a,b,c,d,e}$.

Complementum copiae S in universa U est nova copia, cuius elementa sunt omnia elementa universae quae non in S insunt. Exempli gratia, si universa est copia numerorum naturalium, et si S est copia numerorum naturalium parium, tum $\neg S$ est copia numerorum naturalium imparium. Non est complementum sine universa data.

Universa est copia quae continet omnia elementa omnium copiarum de quibus tractamus. Exempli gratia, si analysin realem facimus, universa est $\mathbb {R}$, numeri reales. Sed si de theoria numerorum agitur, fortasse universa est $\mathbb {Z}$, numeri integri. Scilicet non necesse est elementa esse numeros.

Axiomata

Axiomata Zermelo-Fraenkel haec sunt. S, T sunt copiae, a, b, c sunt elementa quae sunt, aut possunt esse, in copiis.

Ernst Zermelo, anno 1953 Friburgi

1. Extensionalitas. Si S et T eadem elementa habent, tum S = T.

2. Iunctio parium. Datis a et b, exstat copia {a, b} cuius elementa sunt a et b et nulla alia.

3. Separatio. Si P est proprietas et S est copia data, exstat copia $\{a\in S:P(a)\}$; est copia omnium elementorum copiae S quae proprietatem P habent.

4. Coniunctio. Exstat copia $\cup S$, quae est conunctio omnium elementorum copiae S.

5. Copia potens. Exstat copia ${\mathcal {P}}(S)$, quae est copia omnium copiarum inferiorium copiae S.

6. Infinitas. Exstat copia infinita.

7. Substitutio. Si F est functio et S est copia, exstat copia $T=F(S)=\{F(a):a\in S\}$

8. Regularitas. Si S non est vacua, habet elementum quaedam a quae ε-minimum elementum est. Hoc est,

$\forall S(S\neq \emptyset )\to (\exists x\in S:S\cap x=\emptyset ))$

9. Electio. Si ${\mathcal {F}}$ est familia copiarum et $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$, est functio electionis huius familiae; hoc est, exstat functio f quae elementum elegit e copiis familiae: $f(S)\in S,{\text{si }}S\in {\mathcal {F}}$.

Theoria ZFC (Zermelo-Fraenkel cum electionis axiomate: C significat "choice," hoc est "electio") nominata hae novem axiomata habet; theoria ZF (Zermelo-Fraenkel) modo octo prima, sine axiomata electionis.

Extensionalitas

Axioma extensionalitatis significat copiam modo ab elementis suis definiri. Etiamsi elementa alio modo scripta, est eadem copia: {a, b, c} = {c, b, a}.

Iunctio parium

Axioma iunctionis nobis permittit copias definire, elementis datis. Si copiam volumus quae unum tantum elementum habet, est {a, a}: hoc axioma dicit hanc copiam exstare -- tunc axioma extensionalitatis dicit {a, a} = {a}. Per inductionem possumus copias definire quas habebunt quamlibet cardinalitatem finitam.

Separatio

Axioma separationis nobis permittit copias definire etiamsi non possumus (aut non volumus) omnia elementa enumerare. Exempli gratia, $\{x\in \mathbb {Z} :2|x\}$ est copia numerorum parium. Maximi momenti est S in axiomate: nihil possumus dicere de elementis sine copia universale e qua veniunt. Si talem copiam non nominamus, paradoxa Russell resultat: Puta S esse copiam, cuius elementa sunt omnes copiae quae non sunt elementa ipsarum, et nullae aliae. Hoc est, $S=\{T:T\notin T\}$ Nunc, estne $S\in S$, annon? Si $S\in S$, secundum definitionem huius copiae scimus $S\notin S$. Sed si $S\notin S$, secundum eandem definitionem scimus $S\in S$. Haec est paradoxa a Bertrando Russell explicata. Axioma separationis tales definitiones non permittit.

Axiomate separationis possumus copiam vacuam definire: est copia $\{x:x\neq x\}$.

Coniunctio

Axioma coniunctionis operationem definit quem coniunctionem nominamus. Copia S data, $T=\cup S{\text{si }}\forall a\{a\in T\leftrightarrow \exists V:V\in S\land a\in V\}$. Hoc est, elementa T sunt elementa elementorum S. Si $S=\{\{a\},\{b\}\}$, tum $\cup S=\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}.$

Copia potens

Si S = {x, y, z}, haec est copia potens S

Axioma copiae potentis dicit copiam esse cuius elementa sunt copiae inferiores copiae cuidam datae. Exempli gratia, sit S = {x, y, z}. Copiae inferiores illius S sunt copia vacua {} vel $\emptyset$; tres copiae unius elementi {x}, {y}, {z}; tres duorum elementarum {x, y}, {y, z}, {x, z}; et S ipsa. ${\mathcal {P}}(S)$ est ergo $\{\emptyset ,\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\},\{x,y,z\}\}$. Quod S tria elementa habet, copia potens S habet 2³ = 8 elementa.

Infinitas

Axioma infinitatis dicit esse copiam infinitam. Alia axiomata nobis dicunt esse copiam vacuam, et, copia vacua data, possumus facere $\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},$ et alias tales copias, sed nescimus utrum copiae infinitae exstent. Eas igitur postulamus.

Substitutio

Axioma substitutionis, vel melius schema substitutionis, nobis permittit substituere valores functionis pro elementis datis. Hoc est schema:

$\forall a,b,c,{\text{si }}f(a,b)=f(a,c)\to b=c,:{\text{tum }}\exists T(d\in t\leftrightarrow \exists a\in S\land f(a,d)$

ubi f(a, b) est formula logica quae idem significat quod F(a) = b.

Stricte, axioma separationis est consecutio huius axiomatis: non necesse est regulam separationis axioma nominare.

Regularitas

Axioma regularitatis significat relationem inter copias $A\in B$ bonum sensum habere. Ex hoc axiomate scimus non esse sequentiam circularem talem $a_{1}\in a_{2}\in a_{3}\dots \in a_{1}$, nec sequentiam infinitam talem $a_{1}\ni a_{2}\ni a_{3}\dots$. Relatio $A\in B$ est ergo ordo partialis inter copias. Et inter elementa copiae data S, est elementum minimum secundum huius ordinis, quod dicitur ε-minimum elementum.

Electio

Axioma electionis ab aliis non pendet: sunt exemplara axiomatum ZF in quibus hoc axioma verum est, et exemplares in quibus falsum est, ut demonstravit Paulus Cohen anno 1963. Secundum hoc axioma, si habemus familiam F copiarum, possumus elementum eligere ex omni copia familiae. Quamquam facile est dictu, hoc axioma non dicit quomodo talis functio faciatur, ut sint mathematici qui id vetare malunt. Conferre possumus axioma Euclidis de lineis parallelis: hoc axioma quoque differt ab aliis, nec ab eis pendet. Sicut geometria saeculo undevigesimo, theoria copiarum saeculo vigesimo debebat nova exemplara et novas theorias invenire.

Theoremata et Problemata

Theoremata theoriae copiarum saepius probanda per exemplar axiomatum. Theoria exemplarum est doctrina mathematica quae exemplares tractat. Exemplar axiomatum quorundam est copia cum operationibus, ubi haec axiomata vera sunt. $(\mathbb {Z} ,+,x)$ est exemplar axiomatum anelli. $\mathbb {R} {\text{ et }}\mathbb {C}$ sunt exemplares axiomatum corporis. Ut propositio non ab axiomatis quibusdam pendere demonstretur, exemplar horum axiomatum facimus, ubi propositio data est falsa.

Quod axioma electionis ab aliis axiomatis ZF non pendet. Paulus J. Cohen anno 1963 hoc demonstravit.

Hypothesis continui: quid est cardinalitas ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$?

Quid sit cardinalitas continui. Hypothesis continui dicit nullam copiam esse maiorem quam copiam numerorum integrorum, minorem quam copiam numerorum realium. Quod ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ maior est quam ipsa $\mathbb {N}$, hypothesis etiam dicit cardinalitatem ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ = cardinalitatem $\mathbb {R}$. Haec hypothesis non pendet ab axiomatis ZF, nec ab axiomatis ZFC.

De numeris cardinalibus magnis. Numeri infiniti maiores quam cardinalitas copiae numerorum realium sunt numeri cardinali magni.

Applicatio vis (vel forcing, verbum Anglicum) est constructio exemplaris axiomatum ZF (saepius ZFC) in quo est numerus cardinalis quidam magnus.

Historia

Georgius Cantor theoriam copiarum anno 1874 primus definit, in articulo cuius titulus est Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reelen algebraischen Zahlen, hoc est Latine De proprietate copiae omnium numerorum algebraicorum realium. Hoc in articulo demonstravit copiam numerorum realium maiorem esse quam copiam numerorum rationalium: id est, infinitas non una res est, nec una quantitas, sed plures.

Ernestus Zermelo axiomata anno 1908 formulavit.

Vide etiam

• Supremum

Bibliographia

• Aczel, Peter. 1988. Non-well-founded Sets. CSLI Lecture Notes, 14. Stanford. ISBN 0-937073-21-0.
• Bandmann, Hans. 1992. Die Unendlichkeit des Seins: Cantors transfinite Mengenlehre und ihre metaphysichen Wurzeln. Peter Lang. ISBN 3-631-42559-7.
• Barwise, Jon, ed. 1977. Handbook of Mathematical Logic. North-Holland. ISBN 0-7204-2285-X.
• Bourbaki, Nicolas. 1970. Théorie des ensembles. Hermann; re-ed Springer 2006. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Cantor, Georg. 1932 Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. re-editio 1980, Springer.
• Cohen, Paul J. 1963-1964. "The Independence of the Continuum Hypothesis." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50 (1963), 1143-1148, 51 (1964), 105-110.
• Cohen, Paul. J. 1966. Set Theory and the Continuum Hypothesis. Benjamin; re-editio Dover, 2008. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dedekind, Richard. 1872. Stetigkeit und irrationale Zahlen. F. Vieweg und Sohn.
• Devlin, Keith. 1993. The Joy of Sets. Ed. 2a. Springer Verlag. ISBN 0-387-94094-4.
• Enderton, Herbert B. 1972. A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press.
• Ferreirós, Jose. (1999) 2007. Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Foreman, Matthew, et Akihiro Kanamori, eds. 2010. Handbook of Set Theory. 3 voll.
• Fraenkel, Adolf. 1928, 1972. Einleitung in die Mengenlehre. Ed. 2a. Walluf: Martin Sändig oHG. ISBN 3500249604. Prima editio Berolini, Heidelberg, Novi Eboraci: Springer Verlag.
• Hausdorff, Felix. 1927. Mengenlehre. De Gruyter. OCLC 997955.
• Jech, Thomas. 1973. The Axiom of Choice. North-Holland. ISBN 0-444-10484-4.
• Jech, Thomas. 2003. Set Theory, editio tertia. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Johnson, Philip. 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 0-87150-154-6.
• Kunen, Kenneth. 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.
• Mayberry, J. P. 2000. The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Cambridge. ISBN 0-521-77034-3.
• Machover, Moshé. 1996. Set Theory, Logic, and their Limitations. Cambridge. ISBN 0-521-47998-3.
• Suppes, Patrick. 1960. Axiomatic Set Theory. D. Van Nostrand; reeditio Dover, 1972. ISBN 0-486-61630-4.
• Tiles, Mary. (1989) 2004. The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.

Nexus Externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad theoriam copiarum spectant.

• Paginae mathematicorum qui theoriam copiarum colunt
• Theoria copiarum, pagina in encyclopedia philosophiae Stanfordense (anglice)
• Theoria copiarum et fundamenta mathematicae, pagina francogallice scripta a Sylvano Poirier
• Theoria copiarum apud Sciences.ch (francogallice)
• Theoria copiarum apud Universitatem Lugdunensem (francogallice)
• Libri et articuli de theoria copiarum, logica mathematica, et aliis partibus mathematicae, a Carolo Ivorra scripti (hispanice)