Sequentia (mathematica)

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Sequentia in mathematica omnis quidem functio  f: \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace\rightarrow \mathbb R, \ n\mapsto f(n)=:(x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} appellatur.

Exempla[recensere | fontem recensere]

  • Sit  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2. Sequentia numerorum tum est  \frac 1 2,\frac 2 2 = 1,\frac 3 2, \frac 4 2 = 2,\dots.
  • Sequentia Fibonacci: Sequentia Fibonacci est sequentia recursive definita. (Id est: numeri principales sequentiae positi sunt et formula ad numerum proximum numeris positis putandum data est).
 x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1} . Ergo sequentia est: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... .

Limes et puncta auctus sequentiae[recensere | fontem recensere]

Limes sequentiae[recensere | fontem recensere]

Limes sequentiae hoc modo definitus est:

 a \in \mathbb R est limes sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb N \, \forall n \geq N_{\varepsilon} \,: \left|x_n-a\right|<\varepsilon . Si sequentiae est limes a , scribitur:  a:= \lim_{n \to \infty} x_n, et sequentia dicitur ad  a convergere. Sin non est talis  a , sequentia dicitur divergere.

Exempla[recensere | fontem recensere]

  • Sequentiae superiori scriptae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2 \ et  \  x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1} divergunt.
  • Sequentia autem  \left( \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F}\right)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} , ubi  (x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} sit sequentia Fibonacci, convergit et limes est  \lim_{n \to \infty} \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F} = \frac {1+ \sqrt {5}} {2} =: \phi numerus divinae proportionis.
  • Sit  (x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n . Tum  \lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0.

Puncta auctus sequentiae[recensere | fontem recensere]

Definitio: Numerus  a\in \mathbb R est punctum auctus sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \forall n\in \mathbb N \, \exists m \geq n: \left|x_m-a\right|<\varepsilon

Exempla[recensere | fontem recensere]

  • Sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n est punctum auctus 0.
  • Sequentiae  (x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} =(-1)^n sunt puncta auctus et 1 et -1.
  • Sequentiae Fibonacci  (x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} non est punctum auctus.

Cohaerentia limitis punctorumque auctus sequentiae[recensere | fontem recensere]

  1. Sit  (x_n)_{n \in \mathbb N} sequentia aliqua convergens et  a:= \lim_{n \to \infty} x_n sit eius limes. Tum a est punctum auctus.
  2. Sit  (x_n)_{n \in \mathbb N} sequentia aliqua quae punctum auctus  a habet. Tum est sequentia partitiva  (x_{n_k})_{k \in \mathbb N} , quae habet punctum auctus  a limitem.

Theoremata limitum[recensere | fontem recensere]

Si est limes \lim_{n\to\infty} x_n=a, tum omni numero c\in\R\; sunt limites hi, qui eo modo putentur:

  • \lim_{n\to\infty} c \cdot x_n=c \cdot a,
  • \lim_{n\to\infty} \left(c+ x_n\right)=c+a,
  • \lim_{n\to\infty} \left(c-x_n\right)=c-a.
Si insuper a\neq 0 est, tum etiam x_n\neq 0 a quodam numero indicabili N_0\; et sequentiae partitivae n>N_0\; valet:
\lim_{n\to\infty} \frac{c}{x_n}=\frac{c}{a}.

Si sunt limites et \lim_{n\to\infty} x_n=a et \lim_{n\to\infty} y_n=b, tum etiam limites hi sunt, qui eo modo putentur:

  • \lim_{n\to\infty} \left(x_n+y_n\right)= a+b,
  • \lim_{n\to\infty} \left(x_n-y_n\right)= a-b,
  • \lim_{n\to\infty} \left(x_n\cdot y_n\right)= a\cdot b.
Si insuper b\neq 0 est, tum etiam y_n\neq 0 a quodam numero indicabili N_0\; et sequentiae partitivae n>N_0\; valet:
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}.

Vide etiam[recensere | fontem recensere]

Roman numeral 10000 CC DD.svg