Sequentia (mathematica)

Sequentia in mathematica omnis quidem functio $f: \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace\rightarrow \mathbb R, \ n\mapsto f(n)=:(x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace}$ appellatur.

Exempla

• Sit $(x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2.$ Sequentia numerorum tum est $\frac 1 2,\frac 2 2 = 1,\frac 3 2, \frac 4 2 = 2,\dots.$
• Sequentia Fibonacci: Sequentia Fibonacci est sequentia recursive definita. (Id est: numeri principales sequentiae positi sunt et formula ad numerum proximum numeris positis putandum data est).

$x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1}$. Ergo sequentia est: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... .

Limes et puncta auctus sequentiae

Limes sequentiae

Limes sequentiae hoc modo defintus est:

$a \in \mathbb R$ est limes sequentiae $(x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb N \, \forall n \geq N_{\varepsilon} \,: \left|x_n-a\right|<\varepsilon$. Si sequentiae est limes a, scribitur: $a:= \lim_{n \to \infty} x_n,$ et sequentia dicitur ad $a$ convergere. Sin non est talis a, sequentia dicitur divergere.

Exempla

• Sequentiae superiore scriptae $(x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} = \frac {n+1} 2 \$ et $\ x_0 := 0, \ x_1:=1, \ x_n:= x_{n-2}+x_{n-1}$ divergunt.
• Sequentia autem $\left( \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F}\right)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace}$, ubi $(x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace}$ sit sequentia Fibonacci, convergit et limes est $\lim_{n \to \infty} \frac {x_{n-1}^F} {x_n^F} = \frac {1+ \sqrt {5}} {2} =: \phi$ numerus divinae proportionis.
• Sit $(x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n .$ Tum $\lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0.$

Puncta auctus sequentiae

Definitio: Numerus $a\in \mathbb R$ est punctum auctus sequentiae $(x_n)_{n\in\mathbb N \cup\lbrace 0\rbrace} :\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \, \forall n\in \mathbb N \, \exists m \geq n: \left|x_m-a\right|<\varepsilon$

Exempla

• Sequentiae $(x_n)_{n\in\mathbb N} = \frac 1 n$ est punctum auctus 0.
• Sequentiae $(x_n)_{n\in\mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace} =(-1)^n$ sunt puncta auctus et 1 et -1.
• Sequentiae Fibonacci $(x_n^F)_{n \in \mathbb N \cup \lbrace 0\rbrace}$ non est punctum auctus.

Cohaerentia limitis punctorumque auctus sequentiae

1. Sit $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ sequentia aliqua convergens et $a:= \lim_{n \to \infty} x_n$ sit eius limes. Tum a est punctum auctus.
2. Sit $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ sequentia aliqua quae punctum auctus $a$ habet. Tum est sequentia partitiva $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$, quae habet punctum auctus $a$ limitem.

Theoremata limitum

Si est limes $\lim_{n\to\infty} x_n=a$, tum omni numero $c\in\R\;$ sunt limites hi, qui eo modo putentur:

• $\lim_{n\to\infty} c \cdot x_n=c \cdot a,$
• $\lim_{n\to\infty} \left(c+ x_n\right)=c+a,$
• $\lim_{n\to\infty} \left(c-x_n\right)=c-a.$

Si insuper $a\neq 0$ est, tum etiam $x_n\neq 0$ a quodam numero indicabili $N_0\;$ et sequentiae partitivae $n>N_0\;$ valet:

$\lim_{n\to\infty} \frac{c}{x_n}=\frac{c}{a}.$

Si sunt limites et $\lim_{n\to\infty} x_n=a$ et $\lim_{n\to\infty} y_n=b$, tum etiam limites hi sunt, qui eo modo putentur:

• $\lim_{n\to\infty} \left(x_n+y_n\right)= a+b,$
• $\lim_{n\to\infty} \left(x_n-y_n\right)= a-b,$
• $\lim_{n\to\infty} \left(x_n\cdot y_n\right)= a\cdot b.$

Si insuper $b\neq 0$ est, tum etiam $y_n\neq 0$ a quodam numero indicabili $N_0\;$ et sequentiae partitivae $n>N_0\;$ valet:

$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}.$

Vide etiam

• Fibonacci
• Divina proportio
• Limes functionis