Functio biiectiva

Functio biiectiva: omni elemento e copia Y est unum elementum e X, nec plura nec minora

Functio biiectiva est functio, quae non solum ipsa singulis variabilibus liberis singula variabilia obnoxia attribuit, sed etiam cuius relatio inversa hoc facit. Qua de causa relatio inversa functionis biiectivae etiam functio est (functio inversa).

Terminus biiectivus etiam definiri potest per terminos "iniectivus" et "superiectivus",^? nam functiones biectivae sunt et iniectivae et superiectivae.^?

Aliquot exempla

Functiones lineares

Omnes functiones lineares $f(x) = k \cdot x + d; k,d \in \mathbb{R}$ (praeter functiones constantes cum $k = 0$) biiectivae sunt, nam earum aequatio functionis ita transformari potest:

$f(x) = k \cdot x + d$,

ergo $f(x) - d = k \cdot x$,

ergo $\frac{f(x) -d}{k} = x$.

Functio inversa functionis linearis, ergo semper etiam functio linearis est.

Functiones impares

Functiones impares formae $f(x) = a \cdot x^n + c; a, \in \mathbb{R} \setminus \{0\}; c \in \mathbb{R} ; n \in \mathbb{N}_{u} = \{1, 3, 5, \ldots\}$ biiectivae sunt, quod demonstrari potest has functiones rigorose monotonas esse. In genere, omnes functiones

$f(x) = a_{n}x^n + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{3}x^3 + a_{1}x + a_{0}; n \in \mathbb{N}_{u}; a_{n}, a_{n-2}, \ldots , a_{2}, a_{1}, a_{0} \in \mathbb{R}$

scilicet $sgn(a_{1}) = sgn(a_{3}) = \ldots = sgn(a_{n-2}) = sgn(a_{n})$ (functio signum) monotoniae suae causa biiectivae sunt.

Functiones exponentiales

Functiones exponentiales $f(x) = a^x; a \in \mathbb{R}^+$ etiam biiectivae sunt; quarum functio inversa logarithmus ad basim a est:

$f(x) = a^x$,

ergo $log_{a}(f(x)) = x$

Vide etiam

• functio iniectiva
• functio inversa
• functio superiectiva^?