Latinitas inspicienda

Leges motus quanticae

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni 1927 super electronibus photonibusque.

Leges motus quanticae sunt leges fundamentales quae coniunctim vectorem quanticum definiunt describendo quomodo hic vector surgit et mutatur ob vires externas impressas. Hae leges velut scientiae quanticae axiomata funguntur. Inter leges principales sunt tres: lex superpositionis, lex Born, et lex Schrödinger.

Lex superpositionis[recensere | fontem recensere]

Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.

Lex superpositionis vectorem quanticum, rem principalem theoriae quanticae, definit. Omni distincto actu vel eventu experimentali "A" (quem quaedam particula vel systema agere vel pati potest) adamussim singulo vectore quantico |\psi_A\rangle conexo, lex superpositionis abstractiter definit vectorem quanticum generalem esse superpositionem vel summam

|\psi\rangle =\sum_{A} a(A) |\psi_{A} \rangle

ubi summatur super omnes eventus et actus experimentales "A" possibiles et ubi a(A) sunt parametra numerica specialia quae quendam statum specialem |\psi\rangle definiunt.

Lex Born[recensere | fontem recensere]

Lex Born describit quomodo vector quanticus |\psi\rangle actionem systematis vel particulae definit cum ipsa quoddam dimensionis instrumentum offendit. Lex probabilitatem  P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right) dat ut post interactionem particularem status ab vectore |\psi_B\rangle datus eveniat. Lex scribitur

 P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right)=\left| \langle \psi_B| \psi\rangle \right|^2

ubi \langle \psi_B |\psi\rangle est productum interius inter vectorem finalem | \psi_B \rangle et vectorem initialem | \psi\rangle .

Lex Schrodinger[recensere | fontem recensere]

Instrumento dimensionis absente lex Schrodinger describit quomodo vector quanticus |\psi(t)\rangle in tempus mutat ob externas vires impressas. In notatione bra-ket Diracis, lex Schrodinger scribitur


\mathrm{i}\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \hat H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle

ubi \mathrm{i} est quantitas imaginaria, t tempus, \frac{d}{dt} derivativum respectu  t, \hbar constans Planckiana 2 \pi divisa, |\psi(t)\rangle vector quanticus, et  \hat H(t) operator Hamiltonianus. Forma vectoris quantici operatorisque Hamiltoniani contextu determinatur.

Formae operatoris Hamiltoniani[recensere | fontem recensere]

Generaliter obtinemus forma operatoris Hamiltoniani quantici ex forma functionis Hamiltonianae classicae[1]substituendo pro motu \vec{\boldsymbol{p}} et positione \vec{\boldsymbol{x}} operatores

 \hat{\vec{\boldsymbol{p}}} = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle ~\frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial \vec x}~ \langle \vec x|

et

 \hat{\vec{\boldsymbol{x}}} = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle  ~\vec{\boldsymbol{x}} ~\langle \vec x|

ubi  |\vec x \rangle est vector quanticus particulae cuius positio definite est \vec{\boldsymbol{x}} .

Circumstantia non-relativistica[recensere | fontem recensere]

In atomis levibus[2] effecti relativistici generaliter neglegendi sunt quia velocitates electronium sunt minor quam decum velocitatis luminis. In hac circumstantia Hamiltonianus non-relativisticus obtinetur (pro una particula):

{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle \left\lbrace \frac{1}{2m}\left( 
\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \vec{x}} - e \vec{\boldsymbol{A}} \right) ^{2}\Psi (\vec{x},t) + U (\vec{x}) \right\rbrace \langle \vec{x}|

ubi unitatibus MKSA \vec{\boldsymbol{A}} est potentiale magneticum vectorale et  U est energia potentialis particulae. Casu bosonis volubilitatis 0,  U est simpliciter

Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob volubilitatem electronis quantificandam.
 U (\vec{x}) = -e\varphi

ubi \varphi est potentiale electricum particulae. Casu electronis quae fermion volubilitate ½ est, habemus

 U (\vec{x}) = -e\varphi - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \hat{\sigma_j} B_j(\boldsymbol{x})

ubi \vec{\boldsymbol{B}} = \nabla \times \vec{\boldsymbol{A}} est campus magneticus et matrices \hat{\sigma_j} Pauli, quae particulae volubilitate ½ correspondent, sunt


\hat{\sigma_1} = \hat{\sigma_x} = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\hat{\sigma_2} = \hat{\sigma_y} =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\hat{\sigma_3} = \hat{\sigma_z} =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
.

Circumstantia quasi-relativistica Fermionium[recensere | fontem recensere]

In atomis gravibus et in generale, operator Hamiltonianus relativisticus a Paulo Dirac derivatus describit particulas elementarias fermionicas sicut electrones:[3]

{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle  \left \lbrace \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[\frac {\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} - e A_j(\boldsymbol{x}, t) \right] c + e\varphi(\boldsymbol{x}, t) \right \rbrace \langle \vec{x}|
Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.

ubi unitatibus MKSA \vec{\boldsymbol{A}} est potentiale magneticum vectorale,  \varphi potentiale electricum, et operatores \alpha_\mu sunt qui satisfaciunt regulas anticommutativas:

\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} =  \alpha_\mu \alpha_\nu  + \alpha_\nu \alpha_\mu =2\delta_{\mu \nu} \cdot I \,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3.

Non possumus has regulas satisfacere si \alpha sunt numeri simplices, sed possumus si \alpha sunt matrices 4×4 modi vel n×n cum n \ge 4. Electio accomoda harum \alpha est:

\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},

quas appellamus Diraci matrices. Hic formalismus asciscit nos unam solam particulam describere, quod autem verum est solum quando v \lesssim 0.9 c. Proprior lucis velocitate, ubi non est possibile solam unam particulam habere, formalismus theoriae camporum quanticae est necessarius.

Circumstantia quasi-relativistica Bosonium[recensere | fontem recensere]

Descriptio lucis et campi electromagnetici[recensere | fontem recensere]

Theoria camporum quantica[recensere | fontem recensere]

In Theoria Camporum Quantica (TCQ) principales res naturalis sunt campos, et his campos in paucis motibus, qui motus esse particulae visi, movere compelleri sunt. His motus energiam requirunt. Igitur, est status imus, statum solium vocatur, in quo sunt nulli motus. Hic status scriptus est: |0\rangle{}. In hoc statu omnes campi sunt non moventes.

Hoc statu accepto, operatoribus novos status facere utimur. Pro exemplum, a^\dagger(p) novum statum cum una ultra particula adstructa qua certum motum habet, \psi^\dagger(x) cum particula qua certum locum habet facet. In his exemplis, p et x sunt quattuor-vectores (q-vectores). Componites eorum 1-3 sunt spatiosos, componito 0 est temporalis. Ita: x = (t,x,y,z), p = (E,p_x,p_y,p_z)

Nosce, tamen, hanc: a^\dagger(p) et \psi^\dagger(x) non sunt operatores naturales, sed modo operatores mathematici, quia lex Heisenbergis dicet nullam particulam certum motumve locumve habere. Hoc in mentibus nostribus, procedamus. Non est recta putare a^\dagger(p), pro exemplum, esse unum operatorem. Est nomen pro infinitus numero operatorum, unusquisque discriminatus a inposito eius. Hi operatores, tamen, aliqua alios inter sese coniugendi sunt. Hoc coniugentum quoque debet esse reletavisticum. Facillimus modus coniugentum facere est theoria camporum classica relativistica quantifacere.

Theoria camporum classica relativistica[recensere | fontem recensere]

Inprimis, campum involubitatum studimus. Sicut communis est, Lagranginem scribimus:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi + 
\frac{1}{2}m^2\phi^2

Euleri-Lagrangi aequatione, aequationem motus invenimus:

\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0

Haec est Klein-Gordon aequatio.

Pictura theoriae quanticae[recensere | fontem recensere]

  • Pictura Schrodinger
  • Pictura Heisenberg
  • Pictura Dirac

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Ubi vocabulum 'classica' significat 'praeter mechanicam quanticam'.
  2. Exceptiones sunt Uranium et alia elementa graves.
  3. P.A.M. Dirac "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A117 pag. 610 ; P.A.M. Dirac "A Theory of Electrons and Protons", Proc. R. Soc. A126 pag. 360; P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930; Vide etiam pagina Anglice en:Dirac equation.

Fontes[recensere | fontem recensere]

  • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930, ISBN 0-19-852011-5.
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-124405-1.
  • Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, 1985. ISBN 978-0-691-02417-2 —Liber celeber de physica quantica campoque quantico, pro peritis novitiisque.