Leges motus quanticae

Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni 1927 super electronibus photonibusque.

Leges motus quanticae sunt leges fundamentales quae coniunctim vectorem quanticum definiunt describendo quomodo hic vector surgit et mutatur ob vires externas impressas. Hae leges velut scientiae quanticae axiomata funguntur. Inter leges principales sunt tres: lex superpositionis, lex Born, et lex Schrödinger.

Lex superpositionis

Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.

Lex superpositionis vectorem quanticum, rem principalem theoriae quanticae, definit. Omni distincto actu vel eventu experimentali "A" (quem quaedam particula vel systema agere vel pati potest) adamussim singulo vectore quantico $|\psi _{A}\rangle$ conexo, lex superpositionis abstractiter definit vectorem quanticum generalem esse superpositionem vel summam

$|\psi \rangle =\sum _{A}a(A)|\psi _{A}\rangle$

ubi summatur super omnes eventus et actus experimentales "A" possibiles et ubi $a(A)$ sunt parametra numerica specialia quae quendam statum specialem $|\psi \rangle$ definiunt.

Lex Born

Lex Born describit quomodo vector quanticus $|\psi \rangle$ actionem systematis vel particulae definit cum ipsa quoddam dimensionis instrumentum offendit. Lex probabilitatem $P\left(\psi \rightarrow \psi _{B}\right)$ dat ut post interactionem particularem status ab vectore $|\psi _{B}\rangle$ datus eveniat. Lex scribitur

$P\left(\psi \rightarrow \psi _{B}\right)=\left|\langle \psi _{B}|\psi \rangle \right|^{2}$

ubi $\langle \psi _{B}|\psi \rangle$ est productum interius inter vectorem finalem $|\psi _{B}\rangle$ et vectorem initialem $|\psi \rangle$.

Lex Schrodinger

Instrumento dimensionis absente lex Schrodinger describit quomodo vector quanticus $|\psi (t)\rangle$ in tempus mutat ob externas vires impressas. In notatione bra-ket Diracis, lex Schrodinger scribitur

$\mathrm {i} \hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {H}}(t)\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$

ubi $\mathrm {i}$ est quantitas imaginaria, $t$ tempus, ${\frac {d}{dt}}$ derivativum respectu $t$, $\hbar$ constans Planckiana $2\pi$ divisa, $|\psi (t)\rangle$ vector quanticus, et ${\hat {H}}(t)$ operator Hamiltonianus. Forma vectoris quantici operatorisque Hamiltoniani contextu determinatur.

Axiomata mechanicae quanticae

1. Cuique magnitudini physicae $M$ operator linearis hermitianus ${\hat {M}}$ conferetur.
2. Cuique statui systematis physicae functio undaria $\psi$ conferetur.
3. Magnitudo physica $M$ potest solō valores principales operatoris ${\hat {M}}$ accipere.
4. Valor medius exspectatus ${\bar {M}}$ magnitudinis $M$ in statu functione undariā $\psi$ collato est diagonalis elementum matricum ${\bar {M}}={\frac {\langle \psi |{\hat {M}}|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}$ operatoris ${\hat {M}}$ respectu functionis $\psi$ per quadratum normae functionis $\psi$ divisum.
5. Pro quõque systemate insulatō existit operator ${\hat {H}}$ (operator Hamiltonianus vel simplice Hamiltonianus nuncupatur) determinans ūnĭcē evolutionem systematis in tempore. Duae formae praecipuae dependentiae temporalis sunt illa Schrödingeri et illa Heisenbergis.
   • Forma Schrödingeri: Evolutio temporalis functionis undariae $\psi$ describentis status systematis cum Hamiltonianō ${\hat {H}}$ aequationi ${\mathrm {i} }\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)={\hat {H}}\psi (t)$ subordinat.
   • Forma Heisenbergis: Operator ${\hat {M}}$ magnitudinis $M$ in systemate Hamiltonianō ${\hat {H}}$ descriptā secundum aequationem ${\mathrm {i} }\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {M}}(t)=-[{\hat {H}},{\hat {M}}(t)]+{\mathrm {i} }\hbar {\frac {\partial {\hat {M}}(t)}{\partial t}},$ ubi $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ - commutator operatorum ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$ et $\hbar$ constans Plankiana reducta, aliter quantum actionis, sunt, evolvitur.
6. Regulae correspodentiae.
   • Functio undaria $\psi$ systematis in spatio physico tridimensionale positae est functio loci $\psi =\psi ({\mathbf {r} });{\mathbf {r} }=(r_{x},r_{y},r_{z})=(x,y,z)$ i.e. trium coordinatārum cartesianārum.
   • Densitas probabilitatis $\rho ({\mathbf {r} })$ particulam in puncto ${\mathbf {r} }$ inveniendi quadratō magnitudinis absolutae ipsae functionis undariae $\rho ({\mathbf {r} })={\frac {|\psi ({\mathbf {r} })|^{2}}{\langle \psi |\psi \rangle }}$ per quadratum normae functionis $\psi$ divisō exprimatur.
   • Operator magnitudinis physicae "coordinata cartesiana corporis/particulae ${\hat {r}}_{\gamma };\gamma =x,y,z\;{\rm {vel}}\;\gamma =1,2,3$, etc" mutat functionem undariam $\psi ({\mathbf {r} })$ eam per sese multiplicando: ${\hat {r}}_{\gamma }\psi ({\mathbf {r} })=r_{\gamma }\psi ({\mathbf {r} })$.
   • Operator magnitudinis physicae "lateral cartesiana (quantitatis) motus corporis/particulae $p_{\gamma };\gamma =x,y,z\;{\rm {vel}}\;\gamma =1,2,3$, etc" mutat functionem undariam $\psi ({\mathbf {r} })$ eam per homonymam coordinatam differentiendo et unitatem imaginariam ac constantem Planckianam multiplicando: ${\hat {p}}_{\gamma }\psi ({\mathbf {r} })=-{\mathrm {i} }\hbar {\frac {\partial \psi (r_{x},r_{y},r_{z})}{\partial r_{\gamma }}}$.
   • Operator ${\hat {M}}$ magnitudinis physicae $M$, quae in physicā (theoriā) classicā aliquā functione $M(\{r_{\alpha }\},\{p_{\beta }\})$ coordinatārum ac motus lateralium exprĭmĭtur, substitutione operatorum ${\hat {r}}_{\alpha };{\hat {p}}_{\beta }$ in hanc functionem obtĭnētur. Si in evolutione functionis $M(\{r_{\alpha }\},\{p_{\beta }\})$ in seriem respectu potentiārum $\{r_{\alpha }\},\{p_{\beta }\}$ termini $r_{\alpha }p_{\alpha }$ appareant, pro illis formula ${\frac {1}{2}}({\hat {r}}_{\alpha }{\hat {p}}_{\alpha }+{\hat {p}}_{\alpha }{\hat {r}}_{\alpha })$ substituti debeant.
7. Casus plurimārum particulārum.
   • Functio undaria systematis plurimārum particulārum est functio $\psi ({\mathbf {x} }_{1},...,{\mathbf {x} }_{N},t)$, ubi $N$ est numerus particulārum et ${\mathbf {x} }_{j}$ sunt coordinatae $j$^simae particulae quae vicissim sunt dyades ${\bf {x}}_{j}=({\bf {r}}_{j},s_{j})$ compositae tri-dimensionalibus locuum vectoribus ${\bf {r}}_{j}=(r_{xj},r_{yj},r_{zj})$, suppletae additionale variabile $s_{j}$ quae est lateral spirularitatis $j$^simae particulae respectu alicujus fixi axis coordinatārum.
   • Quadratus magnitudinis absolutae (vel quadratus moduli) $|\psi |^{2}$ functionis undariae $\psi ({\mathbf {x} }_{1},...,{\mathbf {x} }_{N},t)$ systematis $N$ particulārum identicārum quae exprimit densitatem probabilitatis invenire aliam particulam in puncto ${\mathbf {x} }_{1}$, aliam in ${\mathbf {x} }_{2}$, ... , usque ad ultimam in puncto ${\mathbf {x} }_{N}$ ab ordine coordinatārum in serie ${\mathbf {x} }_{1},...,{\mathbf {x} }_{N}$ non pendet.
   • Ergo permutatione $j$^simae et $k$^simae coordinatārum ${\mathbf {x} }_{j}\rightarrow {\mathbf {x} }_{k};\,{\mathbf {x} }_{k}\rightarrow {\mathbf {x} }_{j}$ densitas $\rho ({\mathbf {x} }_{1},...,{\mathbf {x} }_{N},t)$ non mutatur dum functio undaria solo quemdam multiplicatorem phasis (multiplicatorem phasicum) $e^{{\mathrm {i} }\alpha }$ adjungit, idem ex densitatem magnitudinis absolutae (moduli) calculando dispareat.
   • Quoniam, primo (1°), queaque permutatio multiplicatorem phasicum $e^{{\mathrm {i} }\alpha }$ functioni undariae adjungit, et, secundo (2°), permutatio ${\mathbf {x} }_{j}\rightarrow {\mathbf {x} }_{k};\,{\mathbf {x} }_{k}\rightarrow {\mathbf {x} }_{j}$ duplo ad seriem ${\mathbf {x} }_{1},...,{\mathbf {x} }_{N}$ adhibita eadem non mutat, functio undaria aeque non mutatur, at ergo unitatem pro multiplicatore phasicō accipit: $e^{2{\mathrm {i} }\alpha }=1$; enim multiplicator phasicus $e^{{\mathrm {i} }\alpha }$ solō utrum duorum valorum $\pm 1$ accipere potest.
   • Particulae identicae quārum functio undaria pluriparticularis multiplicatorem $+1$ accipit bosones nuncupantur, quae authem multiplicatorem $-1$ gaudeant - ii - fermiones sunt.

Formae operatoris Hamiltoniani

Generaliter obtinemus forma operatoris Hamiltoniani quantici ex forma functionis Hamiltonianae classicaesubstituendo pro motu ${\vec {\boldsymbol {p}}}$ et positione ${\vec {\boldsymbol {x}}}$ operatores

${\hat {\vec {\boldsymbol {p}}}}=\int d^{3}{\vec {x}}~|{\vec {x}}\rangle ~{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}~\langle {\vec {x}}|$

et

${\hat {\vec {\boldsymbol {x}}}}=\int d^{3}{\vec {x}}~|{\vec {x}}\rangle ~{\vec {\boldsymbol {x}}}~\langle {\vec {x}}|$

ubi $|{\vec {x}}\rangle$ est vector quanticus particulae cuius positio definite est ${\vec {\boldsymbol {x}}}$.

Circumstantia non-relativistica

In atomis levibus effecti relativistici generaliter neglegendi sunt quia velocitates electronium sunt minor quam decum velocitatis luminis. In hac circumstantia Hamiltonianus non-relativisticus obtinetur (pro una particula):

${\hat {H}}=\int d^{3}{\vec {x}}~|{\vec {x}}\rangle \left\lbrace {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}-e{\vec {\boldsymbol {A}}}\right)^{2}\Psi ({\vec {x}},t)+U({\vec {x}})\right\rbrace \langle {\vec {x}}|$

ubi unitatibus MKSA ${\vec {\boldsymbol {A}}}$ est potentiale magneticum vectorale et $U$ est energia potentialis particulae. Casu bosonis volubilitatis 0, $U$ est simpliciter

Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob volubilitatem electronis quantificandam.

$U({\vec {x}})=-e\varphi$

ubi $\varphi$ est potentiale electricum particulae. Casu electronis quae fermion volubilitate ½ est, habemus

$U({\vec {x}})=-e\varphi -{\frac {\hbar e}{2mc}}\sum _{j}{\hat {\sigma _{j}}}B_{j}({\boldsymbol {x}})$

ubi ${\vec {\boldsymbol {B}}}=\nabla \times {\vec {\boldsymbol {A}}}$ est campus magneticus et matrices ${\hat {\sigma _{j}}}$ Pauli, quae particulae volubilitate ½ correspondent, sunt

${\hat {\sigma _{1}}}={\hat {\sigma _{x}}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {\sigma _{2}}}={\hat {\sigma _{y}}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

${\hat {\sigma _{3}}}={\hat {\sigma _{z}}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

Circumstantia quasi-relativistica Fermionium

In atomis gravibus et in generale, operator Hamiltonianus relativisticus a Paulo Dirac derivatus describit particulas elementarias fermionicas sicut electrones:

${\hat {H}}=\int d^{3}{\vec {x}}~|{\vec {x}}\rangle \left\lbrace \alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-eA_{j}({\boldsymbol {x}},t)\right]c+e\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\right\rbrace \langle {\vec {x}}|$

Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.

ubi unitatibus MKSA ${\vec {\boldsymbol {A}}}$ est potentiale magneticum vectorale, $\varphi$ potentiale electricum, et operatores $\alpha _{\mu }$ sunt qui satisfaciunt regulas anticommutativas:

$\left\{\alpha _{\mu },\alpha _{\nu }\right\}=\alpha _{\mu }\alpha _{\nu }+\alpha _{\nu }\alpha _{\mu }=2\delta _{\mu \nu }\cdot I\,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$.

Non possumus has regulas satisfacere si $\alpha$ sunt numeri simplices, sed possumus si $\alpha$ sunt matrices 4×4 modi vel n×n cum $n\geq 4$. Electio accomoda harum $\alpha$ est:

$\alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},$

$\alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}},$

quas appellamus Diraci matrices. Hic formalismus asciscit nos unam solam particulam describere, quod autem verum est solum quando $v\lesssim 0.9c$. Proprior lucis velocitate, ubi non est possibile solam unam particulam habere, formalismus theoriae camporum quanticorum est necessarius.

Theoria camporum quantica

In Theoria Camporum Quantica (TCQ) principales res naturalis sunt campos, et his campos in paucis motibus, qui motus esse particulae visi, movere compelleri sunt. His motus energiam requirunt. Igitur, est status imus, statum solium vocatur, in quo sunt nulli motus. Hic status scriptus est: $|0\rangle {}$. In hoc statu omnes campi sunt non moventes.

Hoc statu accepto, operatoribus novos status facere utimur. Pro exemplum, $a^{\dagger }(p)$ novum statum cum una ultra particula adstructa qua certum motum habet, $\psi ^{\dagger }(x)$ cum particula qua certum locum habet facet. In his exemplis, $p$ et $x$ sunt quattuor-vectores (q-vectores). Componites eorum 1-3 sunt spatiosos, componito 0 est temporalis. Ita: $x=(t,x,y,z),p=(E,p_{x},p_{y},p_{z})$

Nosce, tamen, hanc: $a^{\dagger }(p)$ et $\psi ^{\dagger }(x)$ non sunt operatores naturales, sed modo operatores mathematici, quia lex Heisenbergis dicet nullam particulam certum motumve locumve habere. Hoc in mentibus nostris, procedamus. Non est recta putare $a^{\dagger }(p)$, pro exemplum, esse unum operatorem. Est nomen pro infinitus numero operatorum, unusquisque discriminatus a inposito eius. Hi operatores, tamen, aliqua alios inter sese coniugendi sunt. Hoc coniugentum quoque debet esse reletavisticum. Facillimus modus coniugentum facere est theoria camporum classica relativistica quantifacere.

Theoria camporum classica relativistica

Inprimis, campum involubitatum studimus. Sicut communis est, Lagranginem scribimus:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi +{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}$

Euleri-Lagrangi aequatione, aequationem motus invenimus:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi =0$

Haec est Klein-Gordon aequatio.

Pictura theoriae quanticae

• Pictura Schrodinger
• Pictura Heisenberg
• Pictura Dirac

Fontes

• P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930, ISBN 0-19-852011-5.

• David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-124405-1.

• Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, 1985. ISBN 978-0-691-02417-2 —Liber celeber de physica quantica campoque quantico, pro peritis novitiisque.

• Berard De Philosophia Quantali et Institutione Publica, ISBN 2-87290-022-5 libri apud users.skynet.be Hoc libro, per Fundationem Melissae divulgato, Stephanus Berard, apud users.skynet.be