Usor:Tchougreeff/QUOMODO sive HOW To/PRINCIPIA CALCULI DIFFERENTIALIS ET INTEGRALIS ITEMQUE CALCULI DIFFERENTIARUM FINITARUM AUCTORE ANDREA CARAFFA E SOCIETATE IESU ROMAE TYPIS IOANNIS BAPTISTAE MARINI ET SOCII MDCCCXLV

PRAEFATIO

Expeditissima via ad stabilienda calculi differentialis principia in eo videtur esse , ut adhibeatur infinitesimorum doctrina consociata cum doctrina li mitum : newtonianum binomium ad integrum ac positivum exponentem, progressio geometrica , una aut altera e communioribus formulis trigonometricis; ecce quid ineuntibus hanc viam opus est, ut eliciant functionum Derivatas, limitem nempe rationis inter infinitesima functionis et variabilis independentis incrementa ${\textstyle \Delta f(x),\Delta x}$ : neque restat nisi de apta Differentialis definitione. Sic habet definitio nobis adoptata : dato systemate binarum aequationum $y=f(x)$ et ${\textstyle {\mathrm {y} }-y=({\mathrm {x} }-x)f^{\prime }(x)}$ , ubi $f'(x)$ exhibet derivatam functionis $f(x)$ , differentialia quantitatum $x,y$ apud primam aequationem nihil erunt aliud quam differentiae sive finitae sive infinitesimae ${\mathrm {x} }-x,{\mathrm {y} }-y$ apud secundam ; quarum indeterminatarum ${\mathrm {x} }-x,{\mathrm {y} }-y$ ratio $f'(x)$ intime connectitur cum $f(x)$ ; et re geometrice spectata, cum flexu rectae ${\textstyle {\mathrm {y} }-y=({\mathrm {x} }-x)f^{\prime }(x)}$ tangentis curvam $y=f(x)$ in puncto $(x,y)$ , ideoque cum natura curvae. Definitioni consentit illud in theoria fluxionum : si magnitudo aliqua inaequabiliter fluit , prima ipsius magnitudinis fluxio pro quolibet instanti, erit metienda e spatio , quod dato tempore posset absolvi si pro eodem instanti fluxus ad aequabilem deduceretur ; quidquid enim adjicitur istiusmodi spatio , ad variationem pertinet velocitatis , non ad velocitatis mensuram. Nescio utrum ii omnes, qui tractarunt infinitesima, germanam infinitesimorum ideam sibi effinxerint : reperire est ita tractantes, ut suspicioni locum relinquant se pro infinitesimis finitas accipere quantitates , etsi longe illis minores, in quibus versantur; quod qui censent, profecto Geometriae adimunt, quod ipsius vel maxime est , de rebus non proxime sed ad amussim inferre. Quotiescumque agitur de infinitesimis, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper minuendas; ineptasque recipiendo ultimo parvitatis termino: inde fit ut ultima ratio $f'(x)$, quacum evanescunt ${\textstyle \Delta f(x)}$ et ${\textstyle \Delta x}$, non sit ratio quantitatum ultimarum; utique limes, ad quem quantitatum sine fine decrescentium ratio semper appropinquat, et quem propius assequi potest quam pro quavis data differentia.

Calculi integralis principia ab indefinito potius auspicamur integrali quam a definito; quum enim ex ipsa differentialis notione expressius apparet differentialium conjunctio cum integralibus indefinitis quam cum definitis , transitus a differentiali calculo ad integralem erit magis naturalis atque spontaneus. De ampla integralium definitorum materie, de integralium multiplorum transformatione, deque aliis quibusdam argumentis pauca seligimus; quae videlicet in penitiora irrumpere laboranti facem praeferant , viam que sternant. Sequuntur principia calculi differentiarum finitarum: in calculo differentiali binae ${\textstyle \Delta x}$ et ${\textstyle \Delta f(x)}$ sumuntur infinitesimae ut determinetur ${\textstyle \lim {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}$, binaeque ${\mathrm {x} }-x$

${\textstyle \Delta x}$ et ${\mathrm {y} }-y$ possunt quidem sumi finitae , verum prout postulat aequatio ${\frac {{\mathrm {y} }-y}{{\mathrm {x} }-x}}=f^{\prime }(x)$ : at in calculo differentiarum finitarum, missis ${\mathrm {x} }-x$ et ${\mathrm {y} }-y$, veniunt considerande ${\textstyle \Delta x}$ et ${\textstyle \Delta f(x)}$ tanquam finitae ut investigetur sive ${\textstyle \Delta f(x)}$ per ${\textstyle x}$ et ${\textstyle \Delta x}$ , sive novum integrale $\sum f(x)$ per easdem ${\textstyle x}$ et ${\textstyle \Delta x}$; quarum investigationum altera respicit calculum directum, altera inversum.

Caetero quid contineant haec triplicis Calculi principia, quove ordine, videre est in subsequente Indice.

N. B. Qui numeri in decursu Operis revocantur sub hac forma , (elem. 119), (elem. 301).... , ii referuntur ad nostra Elementa Matheseos jam ab anteacto anno 1844 in lucem edita.

PRINCIPIA CALCULI DIFFERENTIALIS

NOTIONES PRAEAMBULAE.

De functionibus sive unius, sive plurium quantitatum variabilium (1 - 4).

1. Si variabiles $x,y,z,v,...$ sunt inter se per certas relationes ita connexae, ut datis quibusdam inter illas v. gr. $z,v,...$ inde possint caeterae $x,y....$ determinari, variabiles $x,y,...$appellantur functiones variabilium $z,v,...$; ipsae vero $z,v,...$dicuntur independentes. Coordinatae v. gr. $x,y$ lineae rectae in dato plano eam inter se habent relationem, quae (elem. 343. 1°) per aequationem $y=ax+b$ exprimitur : et quoniam data $x$ , provenit $y$ determinata, et viceversa; iccirco duarum $x,y$ altera poterit assumi ut alterius independentis functio, Si rectam lineam contemplamur in spatio, poterunt (elem. 353. 20) relationes inter coordinatas $x,y,z$ exhiberi per aequationes $y=\Delta z+b,x=a'z+b'$; et quia data $z$ prodeunt $x,y$determinatae, ideo poterunt $x,y$ spectari ut functiones independentis $z$. Item coordinatae $x,y,z$ superficiei planae sic inter se connectuntur, ut ( elem. 351. 1°) valeat aequatio $z=ax+a'y+b$; et quoniam datis binis, tertia prodit determinata, iccirco ex tribus $x,y,z$ una quaevis erit caeterarum functio. ldipsum apparet in coordinatis linearum et superficierum curvarum. Generalim si $m$ repraesentat numerum variabilium $x,y,z,v...,$ et $n$ numerum relationum, facile intelligitur fore $m-n$ numerum variabilium independentium, et $n$ numerum functionum.

2. Si relationes inter variabiles exprimuntur aequationibus minime resolutis quoad functiones pro incognitis habitas, hae vocantur implicitae: quod si functionum valores dentur expressi immediate per variabiles independentes, vel tales obtineantur per aequationum resolutionem, functiones dicuntur explicitae. In aequatione v. gr. $y^{2}-2xy+m^{2}=0$ est $y$ functio implicita quantitatis variabilis $x$; at facta resolutione, evadet $y$ functio explicita ipsius $x$, duplicemque habebit valorem, videlicet $y=x\pm {\sqrt {x^{2}-m^{2}}}$. Functiones explicitae unius vel plurium variabilium designari solent ( elem. 119 ) in hunc modum, $F(x),f(x),\varphi (x),\chi (x)$, etc. , $F(x,y,z,\ldots ),f(x,y,z,\ldots ),\varphi (x,y,z,\ldots )$ , etc.

3. Functiones explicitae vocantur algebraicae (elem. 343.2°) si variabiles independentes subjiciuntur dumtaxat primis Algebrae operationibus, videlicet additioni, subtractioni, multiplicationi, divisioni, et evectioni ad potentias fixas sive integras, sive fractas. Hinc functiones $a{\sqrt {x}}+bx+cx^{2},\;a+{\sqrt[{3}]{x}},\;{\frac {{\sqrt {a}}+mx-nx^{2}}{c}},\;{\frac {{\sqrt {a}}+cx^{2}}{a+x}}$ sunt omnes algebraicae: prima et secunda, in quibus variabilis $x$ irrationalitate involvitur, dicuntur irrationales : tertia vero et quarta ex opposito rationales ; eadem insuper tertia dicitur integra quia in ejus denominatore non reperitur variabilis $x$ , quarta ex opposito fracta. Functiones integrae quantitatis $x$ dicuntur ejus gradus, ad quem in illis ascendit maxima potentia ipsius $x$ : functio primi gradus vocatur etiam linearis.

4. Functiones, quae non sunt algebraicae, vocantur transcendentes: tales sunt quae continent variabiles vel signo logarithmico affectas, vel ut exponentes, vel trigonometricis subjectas operationibus, v. gr. $\ln x,a^{x},\sin x,\cos x,\arcsin x,\arccos x$, quaeque peculiaribus etiam nominibus appellantur vel logarithmicae , vel exponentiales, vel trigonometricae. Istae sex functiones simul et quinque algebraicae, $a+x,\;a-x,\;{\frac {a}{x}},\;x^{a}$, ubi nimirum ac subjicitur uni operationi, dicuntur simplices: quod si $x$ subjiciatur pluribus operationibus, respondentes functiones (3) vocantur compositae. Prima operatione respiciente variabilem $x$ , fac ut unaquae que ex reliquis respiciat id, quod resultat ab operatione prae cedente, v. gr. $\ln(\sin x),\ln(\cos x)$; functio composita, inde orta, dicitur functio functionis.

De quantitatibus infinitesimis (5 - 9).

5. Finitam dicimus quantitatem, si vel est determinata in se, vel concipitur variare inter aliquos limites determinatos: infinitesimam , si ejus valor concipitur decrescere ultra quoscumque limites, seu vergere indefinite ad zero: infinitam, si ejus valor concipitur augeri ultra quoscumque limites; recole elem. n. 110. 29. Vides assumi posse quam libuerit quantitatem ($=\beta$) valoris indefinite parvi, et appellari infinitesimam primi ordinis: ea semel ad arbitrium constituta, reliquae $f(\beta )$ inde pendentes in certas classes sic tribuentur: si $f(\beta )$ ad $\beta$ habuerit rationem constanter finitam ($={\kappa }$), nimirum ${\frac {f(\beta )}{\beta }}={\kappa }$ , erit $f(\beta )$ pariter primi ordinis: si $f(\beta )$ ad $\beta ^{2}$ habuerit rationem constanter finitam , scilicet ${\frac {f(\beta )}{\beta ^{2}}}={\kappa }$ , erit $f(\beta )$ secundi ordinis: si ${\frac {f(\beta )}{\beta ^{3}}}={\kappa }$, erit $f(\beta )$ tertii ordinis: generatim, quicumque sit exponens $c$ , ubi extiterit ${\frac {f(\beta )}{\beta ^{c}}}=\kappa$ , erit $f(\beta )$ ordinis $c$. Denotante v. gr. $\beta$ circularem arcum indefinite parvum, et $f(\beta )$ ejus sinum, quoniam ( elem. 313. 1° ) ${\frac {\sin \beta }{\beta }}>\cos \beta$, simulque $\sin \beta <1$, iccirco (elem. 301) habebit $\sin \beta$ ad $\beta$ rationem constanter finitam; et consequenter $\sin \beta$ quantitas infinitesima primi ordinis. Quod si $f(\beta )$ denotet sinum versum arcus indefinite parvi $\beta$, cum sit (elem. 306: 31 1. 3°) $\operatorname {sinver} \beta =1-\cos \beta =2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\beta ,$ cumque ex modo dictis $\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\beta >{\frac {1}{4}}\beta ^{2}\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\beta ,$ propterea ${\frac {\operatorname {sinver} \beta }{\beta ^{2}}}>{\frac {1}{2}}\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\beta$; insuper ${\frac {\sin {\frac {1}{2}}\beta }{{\frac {1}{2}}\beta }}<1$ , ideoque ${\frac {2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\beta }{\beta ^{2}}}<{\frac {1}{2}}$ , seu ${\frac {\operatorname {sinver\beta } }{\beta ^{2}}}<{\frac {1}{2}}$; igitur $\operatorname {sinver} \beta$ quantitas infinitesima secundi ordinis.
Hinc quantitatum infinitarum distributio in varias classes: cum enim eae possint exhiberi per ${\frac {\kappa }{f(\beta )}}$, infinita quantitas dicetur esse illius ordinis, ad quem spectat infinitesima $f(\beta )$.

6. Sint nunc binae quantitates infinitesimae $f(\beta )$ et ${\mathrm {f} (\beta )}$, altera ordinis $m$, altera ordinis $n$, nimirum ${\frac {f(\beta )}{\beta ^{m}}}=\kappa ,{\frac {\mathrm {f} (\beta )}{\beta ^{n}}}=\kappa '$; ponaturque $m<n$. Erit ${\frac {\mathrm {f} (\beta )}{f(\beta )}}={\frac {\kappa '}{\kappa }}\beta ^{n-m}$; verget scilicet ${\frac {\mathrm {f} (\beta )}{f(\beta )}}$ ad zero: id autem esse nequit nisi valor numericus ${\mathrm {f} (\beta )}$ pergat magis semper ultra quemcumque limitem fieri minor valore numerico $f(\beta )$. Igitur ex duabus infinitesimis quantitatibus illa quae altioris est ordinis perget, quoad valorem numericum, magis semper ultra quemcumque limitem fieri minor quam altera inferioris ordinis.

7. Summa $f(\beta )+{\mathrm {f} (\beta )}$ est infinitesima ordinis $m$: si quidem ${\mathrm {f} (\beta )}+f(\beta )=\kappa \beta ^{m}+\kappa '\beta ^{n}$ unde ${\frac {{\mathrm {f} (\beta )}+f(\beta )}{\beta ^{m}}}=\kappa +\kappa '\beta ^{n-m}$; ideoque etc. Simili modo, si praeter $f(\beta )$ et ${\mathrm {f} (\beta )}$proponuntur aliae infinitesimae $\varphi (\beta ),\chi (\beta ),...$, quarum singularum ordines $n',n'',...$ altiores sint m^simo summa ${\mathrm {f} (\beta )}+f(\beta )+\varphi (\beta )+\chi (\beta ),...$ erit infinitesima ordinis m^simi; ea namque divisa per $\beta ^{m}$ traducitur ad quantitatem finitam $\kappa +\kappa '\beta ^{n-m}+\kappa ''\beta ^{n'-m}+\kappa '''\beta ^{n''-m}+...$

8. Factum $f(\beta ){\mathrm {f} (\beta )}\varphi (\beta )...$ infinitesimum ordinis $m+n+n'+...$ est $f(\beta ){\mathrm {f} (\beta )}\varphi (\beta )...=\kappa \kappa '\kappa ''...\beta ^{m+n+n'+...}$,  : etenim $f(\beta ){\mathrm {f} (\beta )}\varphi (\beta )...=\kappa \kappa '\kappa ''...\beta ^{m+n+n'+...}$ unde ${\frac {f(\beta ){\mathrm {f} (\beta )}\varphi (\beta )...}{\beta ^{m+n+n'+...}}}=\kappa \kappa '\kappa ''...$; ideoque etc.

9. Spectata $f(\beta )$ tanquam basi, ponatur ${\mathrm {f} (\beta )}$ pertinere ad ordinem $a$, nimirum ${\frac {\mathrm {f} (\beta )}{[f(\beta )]^{a}}}=\kappa$; denotet vero $c$ ordinem infinitesimae $f(\beta )$ quoad basim $\varphi (\beta )$, scilicet ${\frac {f(\beta )}{[\varphi (\beta )]^{c}}}=\kappa '$designabit $ac$ ordinem infinitesimae ${\mathrm {f} (\beta )}$ relate ad basim $\varphi (\beta )$; siquidem ${\mathrm {f} (\beta )}=\kappa [f(\beta )]^{a}=\kappa \kappa '^{a}[\varphi (\beta )]^{ac}$, et ${\frac {\mathrm {f} (\beta )}{[\varphi (\beta )]^{ac}}}=\kappa \kappa '^{a}$ : ideoque etc.

Consequitur, si $c=1$ , si nimirum $f(\beta )$ et $\varphi (\beta )$ sunt ejusdem ordinis, permansuram ${\mathrm {f} (\beta )}$, in eodem ordine a sive ${\mathrm {f} (\beta )}$ referatur ad basim $f(\beta )$, sive ad basim $\varphi (\beta )$.

De continuitate functionum (10 - 12).

10. Sit functio $y=f(x)$: aucta, vel imminuta $x$, mutabitur $y$; denotent $\Delta y,\Delta x$ earum incrementa (vocantur differentiae, altera functionis $y$, altera quantitatis $x$): erit $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$, unde $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, in qua assumi potest $\Delta x$ vel finita, vel infinitesima. Pone $\Delta x$ infinitesimam: functio $y$ dicetur continua ab $x=x_{m}$ ad $x=x_{n}$, quotiescumqne inter limites istos variata $x$ per gradus infinitesimos $\Delta x$, ipsa $y$ manebit realis, variabitque per gradus pariter infinitesimos $\Delta y$.

Sic v. gr. functio y = Σ=#=; praebens \Delta y = 2( ae + \Delta x )- b - c 2ac - b - c 2aAac(2ae - b - c)(2ae -H2\Delta x - b - c), non erit dicenda continua inter $x=b$ et $x=c$; disrumpitur enim continuitas quoad valorem intermedium x = b -- c: dicenda vero continua inter ae = – – et ae = - co , simulque inter 2b + c ac = et ae = + co . Functio y = sinae , suppeditans ( elem. 31 1. 2°) \Delta y = sin( ae + \Delta x ) - sinae =

cos( ae -4-£ Aa- )sin4 \Delta x , est continua inter ae = - co et ae =+ co. Functio y = V^ae , praebeus (elem. 96. 2° ) \Delta y = ve-- Ae)-v. - [vt + ** ) - * ] V* -

est continua (7) inter ae = 0 et et ae = -|- co: binae y et \Delta y inter ae =0 et ae= - co sunt imaginariae.

Ad haec: quando $f(x)$ dicetur esse continua in viciniis cujusdam peculiaris valoris qui tribuitur variabili $x$, id ita intelligendum erit ut ipsa $f(x)$ maneat continua inter binos limites peculiarem illum valorem comprehendentes, utcumque parum de caetero isti limites ab se invicem distent.

11. Sit $\mu =f(x,y,z,...)$ functio plurium variabilium independentium $x,y,z,...$. Porro vel istarum una , vel duae , aut plures, aut omnes sua recipient incrementa $\Delta x,\Delta y,\Delta z,...$ In hoc ultimo casu $\Delta \mu =f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z,...)-f(x,y,z,...)$ dicitur totalis differentia functionis $\mu$: in aliis casibus differentiae vocantur partiales. Si v. gr. crescit vel sola ae, vel sola 3r , erunt $f(x+\Delta x,y,z,...)-f(x,y,z,...),f(x,y+\Delta y,z,...)-f(x,y,z,...)$ differentiae partiales functionis $\mu$, altera quoad $x$, altera quoad $y$; quae differentiae designantur etiam per $\Delta \mu _{x},\Delta \mu _{y},...$

12. Si functio $\mu$ est continua (10) quoad singulas ae , J^ , z . ... erit quoque continua quoad omnes. Assumptis enim $\Delta x,\Delta y,\Delta z,...$ infinitesimis quantitates $f(x+\Delta x,y,z,...)-f(x,y,z,...),f(x+\Delta x,y+\Delta y,z,...)-f(x+\Delta x,y,z,...),f(x+\Delta x,y+\Delta y,z-\Delta z,...)-f(x+\Delta x,y+\Delta y,z,...),$ etc. ex hypothesi vergent singulae ad limitem = 0 , prima simul cum $\Delta x$, secunda cum $\Delta y$, tertia cum $\Delta z,...$; ad eumdem ergo limitem verget ipsarum summa $f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z,...)-f(x,y,z...)$, seu $\Delta \mu$ simul cum omnibus $\Delta x,\Delta y,\Delta z,...$; ac proinde etc.

De quarumdam quantitatum limitibus (13 - 16).

13. Denotante $n$ numerum integrum ac positivum indefinite crescentem, quaeritur limes quantitatis $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$

Habetur (elem. 92) $(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e$,

ubi factores omnes $(1+{\frac {1}{n}})$ sunt positivi, eorumque et numerus et valor crescunt aucto $n$ : consequitur, crescente $n$, augeri quoque ... . Atqui

2+ ;(1- : ergo 2 < ( 1 + »<2+4+£ +.+ #= . Est autem ( elem. 150)

igitur

$2<(1+)<3-(+$

crescente nimirum $n$, crescet quidem (1 + -)"; id tamen fiet inter 2 et 3, invenieturque inter 2 et 3 quidam numerus fixus ($=e$), ad quem indefinite accedet quantitas $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$.

Si loco $n$ in $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ substituuntur numeri integri ac positivi semper majores, vides posse inde valorem $e$ vero proximum erui quantum libuerit; scilicet $e=2,7182818...$

14. Designante \omega quantitatem infinitesimam, ut sit vel --

(1+-;)" ;

erit in 1° casu erit in 2°.\ casu

;>*-+» > +;p;

et consequenter ( 1 +;)"

seu (1+;)(* + ;y>(* + *)*>–.

Quibus positis, cum 1 -- 7, et 1 + ;t; vergant ad 1, liquet (13) numerum $e$ adhuc fore limitem quantitatis (1+o)).

15. Id ipsum obtinet quoad (1 - 2) siquidem assumpta infinitesima z ut sit 1- o) = - , exsistet (1-o) ideoque etc.

16. Exhibente $\beta$ circularem arcum infinitesimum, quaeritur limes rationis ${\frac {\sin \beta }{\beta }}$.

Cum habeamus (5) $\cos \beta <{\frac {\sin \beta }{\beta }}<1$, cumque $\cos \beta$, vergat indefinite ad 1, erit quaesitus limes = 1.

DE DERIVATIS AC DIFFERENTIALIBUS FUNCTIONUM CONTINUARUM.

Derivatae ex functionibus sive unius, sive plurium quantitatum variabilium (17-22).

17. Resumentes (10) differentias $\Delta x$ et $\Delta y$ infinitesimas quoad $y=f(x)$, limitem, ad quem vergit ratio ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, seu ${\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ vocamus derivatam ex primitiva $f(x)$, designamusque per $f'(x)$; vides derivatam respondentem, quantiuati constanti fore $=0$; facile determinantur derivatae ex undecim simplicibus functionibus (4) primitivis $a+x,a-x,ax,{\frac {a}{x}},x^{a},\ln x,a^{x},\sin x,\cos x,\arcsin x,\arccos x$.

Ac 1° $\Delta x\Delta x\Delta y$ unde $f'(x)=\lim {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=1$.

2° $f'(x)=-1$.

3° $f'(x)=a$.

4° $f'(x)=-{\frac {a}{x^{2}}}$.

5° \Delta x - \Delta x exhibita infinitesima (1 + -- )* - f per 0 , ut sit ( 1 + Aa. )* = 1 + 0, sumptisque logarithmis ( elem. 158) , <0 exsistet al( 1 +--£) = l(1-- 0); propterea. Atqui (14) lim. --=;:;- )T utcumque igitur accipitur exponens realis $a$, erit $f'(x)=ax^{a-1}$.

6° ΆΣ Π proinde habito $e$ pro basi logarithmorum, quod posthac constantar servabimus, $f'(x)={\frac {1}{x}}$.

7° a*(a**-*): exhibita infinitesima, a**-1 per \alpha, ut sit a** - 1 + ® , sumptisque logarithmis, exsurget \Delta x = . Hinc (14) ac

8° Aac seu «lem. 311.2) . sed cos(x-- 4 \Delta x ) vergit ad $\cos x$ , et (16) ergo $f'(x)=\cos x$.

9° Ar _ cos(x -|-\Delta x) - corae , seu (elem. 31 1. 1°) \Delta x É- sin(*+- A*; cum igitur sin(x +- 4Aae) vergat ad $\sin x$ , et (16) sin£ Aac ad 1 , erit $f'(x)=-\sin x$.

10°. Ex $y=\arcsin x$ habes $x=\sin y$ ; unde (8°) \Delta x Proinde $f'(x)={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

11°. Demum ex $y=\arccos x$ habes $x=\cos y$ ; hinc (9°) sin(3 + 44A)^), et -;; \Delta y propterea $f'(x)=-{\frac {1}{\sin y}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

18. Si per $y=f(x)$ repraesentatur curva $\mathrm {BM}$... (fig. 1) ad coordinatas orthogonales relata, estque $\mathrm {TM} (=t)$ tangens (elem. 345) curvam in puncto ${\mathrm {M} }$ determinato abscissa $\mathrm {AP} =x$; et ordinata $\mathrm {MP} =y,{\mathrm {M} m}(=c)$ chorda subtendens arcum infinite simum ${\mathrm {M} }om$; ducta recta $\mathrm {MH}$ parallela abscissae $x$, item $mp$ parallela ordinatae $y$, ac denotatis angulis ut in elem. n. 342, A erunt $\mathrm {M} b=\mathrm {P} p=\Delta x,mb=\Delta y$, et (elem. 309) ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(cx).$

Sed vergentibus $\Delta x$ et $\Delta y$ ad $0$, angulus $(cae)$ interceptus chorda $\mathrm {M} m$ et abscissarum axe $\mathrm {AX}$ vergit ad angulum $(tx)$ interceptum tangente $\mathrm {TM}$... et eodem $\mathrm {AX}$, nimirum $\lim(cx)=(tx)$; igitur $\lim {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)=\tan(tx)$. Inferimus, si $\mathrm {x,y}$ denotant coordinatas quoad tangentem $\mathrm {TM} ...$, ejus aequationem (elem. 343. 1°) fore $\mathrm {y} -y=(\mathrm {x} -x)f'(x)$.

19. Fac ut cum $y=f(x)$ consocietur $z=F(y)$ , sit nempe (4) $z$ functio functionis $y$: erit $\Delta z=F(y+\Delta y)-F(y)$, et A*\Delta x -*' rif Arl- £ r ). - \Delta xF(y + \Delta y) - F(y)\Delta y, ideoque $\lim XT=F'(y)f'(x)$: datis v. gr. $y=\sin x$ et $z=\ln y$ , erunt (17. 6°. 8°) $F'(y)1=f'(x)=\cos x$ ; proinde lim. -;... \Delta x y. cosac Jum quae

Fac etiam ut cum $y=f(x)$ et $z=F(y)$ consocietur $u=\varphi (z)$: habebis $\Delta u=\varphi (z+\Delta z)-\varphi (z)$, et ideoque $\lim -*;=\varphi '(z)F'(y)f'(x)$ : datis v. gr. y =CO$3C ,= l(y) , erunt ( 17. 5o. 6o. J^ , $f'(x)=-\sin x$; iccirco $\lim -a\ln ^{a-1}(\cos x)\tan x$ .

20. Proponantur nunc functiones compositae $r=F(x)+f(x)+...,s=F(x)f(x)...,u={\frac {F(x)f(x)...}{\varphi (x)\chi (x)...}},v=f(x)^{\varphi (x)}$, ut inde respondentes eruantur derivatae.

1°$F(x+\Delta x)-F(x),f(x+\Delta x)-f$ propterea $\lim {\frac {\Delta r}{\Delta x}}=F'(x)+f'(x)+...$: derivata nimirum e summa plurium functionum consistit in summa derivatarum e singulis. Si v. gr. r = a'ae -|-a"ae*+a"ae*+..., erit lim. - = a' -+ 2a'' r -4- 3a"ac*-!-....

2°. $s*=F*(x)f(x)p*(x)...$; sive autem $F(x),f(x),...$ exsistant $>0$, sive $<0$, erit (elem. 157) l(s*)=l[F*(x)] +

l[f°(x)] + l[\varphi*(x)]+...: et consequenter (19; 19: 17. 5°.6° ); ex eodem 1°. exemplo, si datangae

cos*ac

Jun. UCOs4ctur functio $y=\arctan x$ praebens $x=\tan y$ , habebimus in.£; cos3y ' ac proinde • • lim 1-Hae* 5 simili modo quoad sec*)^ \Delta y. obtinebimus in ;- sin*y * ideoque lim. ZV, " _ 1+x* si daretur $y=\operatorname {arcsec} x$, foret $x=\sec y$ , et ex 39. exemplo prodiret lim. 7W T cog7 ' unde \Delta x simy ; simili ratione quoad

y =segyV sec*y-1

arc( coseo = a) , ex 4°. exemplo erues

lin.£

4. 1» - *) Ifel, ;iin £-*®[re]-

f'(x);

propterea

lim.*, f(a)**-*[\varphi(x)f(x)l[f(x)] + ?(x)f(\alpha)] : si v. gr. v = a*, exsistet lim. £; = x*"'[xl(x)+ ae ] = a*[i(*) +- 1] .

21. In ordine (11:12) ad functionem $\mu =f(x,y,z,...)$ plurium variabilium independentium $x,y,z,...$ si quaevis una ex ipsis $x,y,z,...$ spectatur uti variabilis, et habentur caeterae pro constantibus, poterunt derivatae ex primitiva $\mu$ eodem manifeste modo determinari ac derivata ex primitivis quae ab unica pendent variabilii ejusmodi derivatas dicimus partiales, exhibemusque vel per lim. A., . . . vel per $f_{x}'(x,y,z,...),f_{y}'(x,y,z,...)$

Data v. gr. $\mu =$

, erunt lim. *-

lim.

22. Si per aequationem $z=f(x,y)$, repraesentatur superficies curva relata ad orthogonales axes $\mathrm {AX,AY,AZ}$ (fig. 2), sub hypothesi $y$ constantis et $x$ variabilis spectabit aequatio ad intersectionem [ i ] superficiei et plani paralleli plano $\mathrm {XAZ}$ ducti per punctum ubi terminatur 3r, sub hypothesi vero $x$ constantis et $y$ variabilis spectabit ad intersectionem [i'] superficiei et plani paralleli plano $\mathrm {YAZ}$ ducti per punctum ubi terminatur $x$: concipiantur binae rectae [t] , [t'] tangentes, altera curvam [i] , altera curvam [*'], apud punctum $(x,y,z)$ utriusque curvae commune, determinatum nempe coordinatis $x,y,z$; designantibus $(tx),(t3)$ angulos interceptos, alterum recta [t] et A axe $\mathrm {AX}$, alterum recta [t'] et axe $\mathrm {AY}$, erunt (18) lim. £tang(tae) , lim.= tang(t'y).

Ad haec: planum tangens superficiem $z=f(x,y)$ congruit cum plano binarum tangentium [t] , [t']: productis namque planis curvarum [i] , [i'] donec secent planum tangens, intersectiones inde emergentes tangent in puncto $(x,y,z)$, altera curvam [i], altera curvam [i'], congruentque7 um [t] , [t']; ideoque (elem. 247: 248) etc. Inferimus (elem. 249: 351. 1°), si $\mathrm {x,y,z}$ denotant coordinatas quoad planum tangens , ejus aequationem fore $\mathrm {z} -z=(\mathrm {x} -x)f_{x}'(x,y)+(\mathrm {y} -y)f_{y}'(x,y)$.

Differentialia functionum sive unius, sive plurium quantitatum variabilium (23-27)

23. Dantur binae simul aequationes

y = f(x) (a),

• - y - (*- • lin-?

(a'):

$\Delta x$ est incrementum infinitesimum variabilis independentis $x$ apud (a), et $\Delta y$ incrementum pariter infinitesimum (10) functionis $y$ apud eamdem (a): possunt x, x apud (a') variare quin inde apud ipsam (a') ulla oriatur variatio in $x,y$. Quibus ita constitutis, fac ut in (a') varient dumtaxat x et x; incrementum indeterminatum $\Delta x$, sive finitum sive infinitesimum, quantitatis $x$ ultra ae designabimus per $dx$: et respondens incrementum Ar quantitatis r ultra $y$ per $dy$.

Si (a) repraesentat curvam BM. . . (fig. 1 ), repraesentabit (a') tangentem (18) TO ductam per punctum quodvis M curvae (a); ducta MH parallela axi AX, sumptisque v. gr. Pp = \Delta x , Pp = \Delta x = dx , exsistent bm = AJ^ ,

δ'n' = \Delta x = dy.

Nunc in (a') substitue x + dx loco x , et y + dy loco x 5 prodibit dy = dac. lim.

, Seu

dy = f(x)dae (a").

Indeterminatas $dx$ et $dy$ apud (a') appellamus differentialia quantitatum ae et 3r apud (a), differentialia nimirum variabilis independentis ac et functionis y: quarum indeterminatarum ratio f"(x) intime connectitur cum f(x); et re geometrice spectata, intime connectitur cum flexu tangentis TM..., ideoque cum natura curvae.

Calculus differentialis versatur in inveniendis functionum differentialibus: ex (a") vides in promptu esse differentialia earum functionum unius variabilis, quas consideravimus ( 17: 19; 20) agentes de derivatis; satis namque erit multiplicare respectivas derivatas per dx; v. gr. da*=

d.

aae*-* dac, dl(x) =

, da*= a*l(a)dae, darc(sin=a) =

=

, dl( sinae ) = cotaedae , dae*a*sinae =

V 1 - ae*

cac*-* a*sinaedae + x*a*l(a)sinaedae-Hx*a*cosaedae, dtangae=

-f- , d* = ** [I(.)-+ +]d., etc.

cos^ac

24. Haec notentur. 1°. Quoniam limes rationis exhibetur per f'(a), designante $\omega$ quantitatem infinitesimam, licebit ponere

f'(*) + 6) : sume y = np = y + bn

= y + \Delta y + mn , x = Ap = ae + \Delta x ; aequatio (a') sup

mn,

peditabit \Delta y + mn = f(x) \Delta x : propterea 1+ 3; -

r

, \Delta x f'(*).

f'(a)

f'(x) \Delta y

=:

f'(x) -- a)

Cum igitur lim f'(x) + (» = 1 , verget ad 0 ; et consequenter infinitesima mn censenda ordinis altioris quam infinitesima \Delta y.

;o

2°. Hinc ratio quoque £- verget ad 0 ; siquidem

Mn,

Mn > \Delta y.

3°. Si ponimus dae infinitesimam et = \Delta x , erit mn = bm - bm = dy - \Delta y : in ea igitur qua sumus hypo

dy - A

\Delta y.

% - A'. -

thesi verget (1) £!... 0 ; et quia

\Delta y

• , ideo lin. *-= . \Delta y

4°. Per c , c' , c" expressis Mm , mn , Mn , et per a angulo Mnm , triangnlum Mmn dabit (elem. 316: 314. 3o)

c* =c'a + c"*- 2c'c"coso:= c'* + c"*+2c'c"- 4c'c'cos2 ga

c2

= (c'+ c")* - 4c'c'cos*#« ; unde (ATT;+c")*

:-i

Ir

lim.

;f = 0, et lim.(1 + 7 )*=f; ergo lim. (TT}; =s

1,

ideoque etiam lim.

ziz = 1. Inferimus illud; si As repraesentat arcum Mom subtensum chorda infinitesima c; quo

•

inlam

seu --;

lim. - = 1.

As

5°. Sub hypothesi indeterminatae $dx$ sibi constanter aequalis, erit habenda $dx$ pro constante arbitrariaque quantitate; quatenus nimirum, variata x, non ideo variat $dx$ ad libitum caeteroquin assumpta.

25. Dantur binae simul aequationes

z=f(x , 3)

(8'); $\Delta x,\Delta y$ sunt incrementa infinitesima variabilium independentium x, y apud (b); A, z , A,z incrementa partialia (11) similiter infinitesima (12) functionis z, alterum quoad ae, al rum quoad y apud eamdem (b): possunt $x,y,z$ apud (b') variare quin inde apud (b') ulla oriatur variatio in $x,y,z$.

Quibus positis, fac ut in (b') varient dumtaxat $x,y,z$; incrementa indeterminata \Delta x, AY, sive finita sive infinitesima, quatitatum x , y ultra x , y designabimus per $dx,dy$; et respondens incrementum $\Delta z$ quantitatis z ultra z per dz ;

Si (b) repraesentat superficiem curvam, repraesentabit (5') planum (22) tangens ipsam (b) in puncto ( ae , 3^ , z) :

sit v. gr. M (fig. 2) istud contactus punctum , determinatum videlicet coordinatis $AP=x,PQ=y,QM=z$; per quod puuctum transeat planum MH parallelum plano XAY: duc rectam QK parallelam axi AX, itemque duas alias v. gr. pq', nr' parallelas axi AY, ut habeas Pp == \Delta x , qq'= \Delta y, Pn = \Delta x = dx , rr' = \Delta x = dy; exhibente M' alterum ex

punctis superficiei (b), et N alterum ex punctis plani tangentis (b'), erunt $OM'=Aa,O'N=\Delta z=dz$.

In (b') substitue ae-|-dae loco x, y+ dy loco y et z-\-dz loco z ; proveniet ds = d c. lim.

da\= f,'(x , r)dx + f,'(x , y )dy

Ex indeterminatis $dx,dy,dz,$ apud (b^), primam et secundam dicimus differentialia variabilium independentium ae , j^ apud (b), tertiam dz differentiale totale functionis f(x, y): et quoniam producta f.'(x. y)dae, f,'(x, y)dy derivatarum (21) partialium f,'(x , y), f,' (x, y ) respective in differentialia dx, dy sunt dlfferentialia (23) functionis f(x, y), primum quoad solam ae , secundum quoad solam y, nimirum differentialia partialia functionis f(o y), alterum in ordine ad ae, alterum in ordine ad y; propterea totale differentiale functionis f(x, y) obtinetur colligendo in summam differentialia partialia ipsius f(x, y).

Ejusmodi partialia differentialia exhibentur quoque per d,z , d,z, ut scribi possit dz = d,z + d,z: cum insu

f,'(x. 3^)dae

per sint f,'(x , y) = -;- = -;- . f,'(x , J^) = f'(r J^dr.

, cumque detractis litterae d, compen

dy

dii gratia , signis . et , , habeantur f,'(x , y) = 75 *

f',(x, y) =

j; , poterit itidem scribi et dz = # dae-H dy, et dz

dae-- -– dy

26. Spectantes generatim binas simul (11: 12:21)

P. = f(x , y , z • • • • ) • -- - - *)#+(. - y)#-+(---)£-.,

denotatis per $dx,dy,dz,...$ incrementis indeterminatis \Delta x, \Delta x. \Delta z,... quantitatum x, y, z, ... ultra ae, y, z ... apud secundam, per d\mu. respondente incremento AM qnantitatis m ultra p. apud ipsam secundam , et in ea substitutis \mu.+ d;!, ae +dae, y + dy, z -Hd z , . . . loco M , x , y , z , . . . , assequemur differentiale totale functionis f(x , y , z , . . .) expressum per summam differentialium partialium ejusdem f(x, y, z, ...), scilicet

\mu= ----

v. gr. quoad p =

erit (21) du -

sunz ,

t

27. Haec notentur.

1°. sub hypothesi uniuscujusque ex indeterminatis $dx,dy,dz,...$ sibi constanter aequalis , erunt habendae $dx,dy,dz,...$ pro constantibus arbilrariisque quantitatibus, quatenus videlicet, variatis $x,y,z,...,$ non iccirco variant $dx,dy,dz,...$ ad libitum caeteroquin assumptae.

2°. Positis $dx=\Delta x,dy=\Delta y,dz=\Delta z,...,$ designatisque per \omega , o', 2" , ... infinitesimis quantitatibus ,

d

erunt (24,

3.)4; - * + •, £;- + •, £

a^

, seu (26)

d\mu. = A.\mu + A,\mu. + . . . -+• \omegaA.\mu. -- o'A,\mu. + . . . ;

consequenter o'A,\mu +.. .

Atqui

qui (

(6:7:8}

lim.

3°. Manente p. = f(x , y , z , ... ) , si praeterea z ponitur functio reliquarum independentium ae»J^ ,.., erit (26).

dz -: quo valore d* substituto in ( c. 26), emerget

d\mu=(d\mu.

ubi coefficientes quantitatum $dx,dy,...$ exhibent partiales derivatas ex \mu , primus quoad ae, secundus quoad y, etc.

4°. Quoniam sub hypothesi functionis $f(x,y,z....)$ constantem obtinentis valorem, seu $f(x,y,z,...)=Const.,$ una quaevis ex quantitatibus $x,y,z,...$ v. gr. z habenda est pro caeterarum functione, simulque (17:21) evanescunt partiales derivatae, consequitur praedictos (3°) coefficientes sub hypothesi illa fore singulos = 0, nimirum d\mu.

DERIVATAE ET DIFFERENTIALIA VARIORUM ORDINUM

Derivatae variorum ordinum ex functionibus sive unius, sive plurium quantitatum variabilium (28 - 30).

28. Quemadmodum data functione $f(x)$ inquirimus in $\lim {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$ istumque limitem exhibemus per $f'(x)$; sic data nova functionne $f'(x)$ possumus inquire

f'(x --\Delta x) - f'(x)re in lim.

, novumque limitem exprimere per f"(x): atque ita porro, ut habeamus

\Delta x

-

f"(ac + \Delta x) - f"(x) _A^fl//.

-

f"(a+\Delta x)-f"(a)

lim. -t- =f"'(x), lim. -;-

= f*'(a) , etc. Derivatae f'(x), f"(x), f"(x) , ... f"'(x)

dicuntur primi , secundi , tertii , . • • nsimi ordinis respectu primitivae f(x).

Exempla

1°. Accepta f(x) = a* , prodibunt (17. 7°) f(x) =

l(a)a*, f"(x)=l*(a)a*, ... f*(a) = l*(a)a*: si a = e, erunt

f'(a)=e* , f"(x) = e* ,. . . f°(x) = e*.

2°. Facta f(x) = aac*, habebis (17. 5°)f'(x) = naae**,

"(x) = n(n-1)aa*-* , f"(x) =n(n - 1)(n-2)aae*-* ,. , .

f°(a) = n(n - 1)(n - 1)(m - 3)... 2.1.a , f***(x) = 0.

3°. Posita f(x) = l(x), emergent (17. 6°: 20. 3°) f(a)

- 4. r()-- 4 , f"® = £ , f"®-

1.2.3

1.2.3.4 ... (m-f) -

--

a- .... f/•(*) = == -

; valet signum superius si m est impar, inferius si par.

4°. Assumpta f(x) = \sin x, assequemur (17. 8°. 9°) f'(x) = \cos x = \sin( x + £) ,

f"(x) = - sinae =

3

\sin( x + £), f"® =

- cosac = sin(x -H

É),

f!"'(a) = sinae = sin(x +

#. )•., f *(*)=sin(a+; ).

5°. Quoad f(x) = \cos x emergunt f'(x) = - \sin x = \cos( x + -j-), f''(x)= - \cos x = \cos(x + 3; )•

37r

f''(r) = \sin x =\cos(x + TJT ), etc.

29. Exsistunt (21) partiales derivatae variorum ordinum ex functione f( ae •J^. z. . . .) prorsus ut exsistunt derivatae variorum ordinum ex f(x): denotabunt itaque f,'(x,y,z,...), f,"(x, y, z, . . .), ... derivatas primi , secundi , . . . . ordinis ex f(x,y, z, ...) quoad ae; item f,'(x, y, z,...), f,'(x, y, z,...),... derivatas primi, secundi , ... ordinis ex f(x, y, z, ...) quoad

% 5 etc. Si v. gr. f(x, y) = ae* - xl(y), erunt f,'(x , y) =

3x*- l(y), f."(x , y) = 6ae , f."(x , y) = 6 , f,'(x , y) =

30. Ex functione \mu. = f(x , r , z . . . ) exsistunt etiam partiales variorum ordinum derivatae per vices quoad binas, ternas, ... variabiles v. gr. quoad y, ae, quoad z, y, ae, etc.; sic iaae*-* cosy est partialis derivata secundi ordinis ex functione ae*siny quoad 3^ , ae , nimirum derivata quoad ac exderivata quoad y respectu ipsius a “siny., Sive id genus partiales derivatae prius eruantur v. gr. quoad y ac dein quoad ae, sive prius quoad ae ac dein quoad y , perinde erit : nam istarum operationum altera exhibetur (21:25) per lim. -

,£;

;£ , altera per lim.- 4- Atqui

\Delta y

Hinc pronum est universim concludere ejusmodi partiales derivatas proventuras semper easdem, quocumque demum ordine, respectu variabilium ae, r, z, .... per vices veruantur.

Differentialia variorum ordinum , quoad functiones sive unius, sive plurium quantitatum variabilium (31 - 37).

31. Cum assequamur (23) differentiale quoad fanctionem quamvis unius variabilis ae multiplicando respondentem derivatam per dae, cumque inhaerentes hypothesi (24. 50 ) habeamus derivatas ex f'(x)dae, f"(x)dae*, ... expressas (28)

'(ac-\-\Delta x)-f'(x)ldae

per

lim.

Ire tegro). = f^'(x)dae ,

lin. Iftrt* -forl*r-- f"(x)dx* , ... ,

profecto quemadmodum obtinuimus (23) differentiale $dy=f'(x)dx$ relate ad $y=f(x)$, ita obtinebimus differentiale ddy=f^'(x)dac.dae

= f"(x)dae* relate ad dy = f'(a)dae, differentiale dddy =f"(x)dx*.dae=f "(x)dx* relate ad ddy=f"(a)d c*, etc. Nunc si compendii causa exhibentur ddy, dddy, ... per d*y; d3y,...,

erunt dy = f/(x)dae , d*y = f"(x)dac* , d*y = f"(x)dae*, ... d*y = f/*(x)dx* : accepta v. gr. f(x) = a* , profluent (28. 1°) dy = l(a)a*dae , d*y = l*(a)a*dac* , ... d")y =

i"(a)a*dae".

Differentialia dy, d*y , d*y, ... d") dicuntur primi, secundi, tertii,... nsimi ordinis: rationes insuper ¢y

d. c

seu derivatae f'(x), f^(x), ... solent etiam appellari coefficientes differentiales.

32. Manente y= ftae), sit z = F(y) : quoad istarum secundam habemus quidem (19: 23) $dz=F(y)dy$ similiter ac quoad primam; at cum dy nequeat assumi ut quantitas constans , iccirco in eruendis aliis differentialibus functionis z habenda quoque erit ratio differentialium ipsius dy,Exsurgent itaque (20. 1°, 2°) d*2=F'(y)dy*+-F'(3r}d*r, d*z=

F'(})ays 4- 3F"(y)dy dy + F'(y)d*y , etc. Hinc F'(y)=

.etc•

Si variabilis y evaderet independens, forent d*y = 0,

= j- , ... Inferimus (31), si habentur functiones derivatae F', F". F" , ... expressae per differentialia tum functionis primitivae z , tum variabilis y , fore F" eamdem sive J^ ponatur independens, sive non, caeteras autem esse alias in primo casu et alias in secundo: poterit vero ab ipso primo casu ad secundum transiri substituendo

dy(dyd3z-dzd%y)-3d»y

(dyd^z-dzd*y)

33. Partialibus variorum ordinum derivatis ex functione $\mu =f(x,y,z,...)$ jam consideratis (29: 30) manifeste respondent partialia variorum ordinum differentialia; et sub hypothesi (27. 1°) non secus determinantur acsi ageretur de unica (31) variabili independente. Quae differentialia partialia respondent partialibus derivatis (29), ea exhibemus per d.pt , d,*y* , d,*p , . . . d,\i

• d,*\mu

Seu

jÉ

dy dy .

et detractis signis .,

»• •• •

litterae d ,

dy*

d\mu

, • . • : quae autem respondent partialibus derivatis (30) , per d.d,u,

d, d,d,g , d,*d,g 2

seu

dacdyd

et

hic quoque detractis signis , , , •••

litterae d,

#-ard,

d\mu.

d*\mu.

Vides - per Z

designari partiales derivatas (29), per

daedydz

partiales derivatas (30)

Ex demonstratis de partialibus derivatis (30) liquet respondentia differentialia partialia emersura semper eadem quocumque demum ordine procedant successivae differen tiationes respectu variabilium ae , y , z , ...

34. Quoniam assequimur (26) differentiale totale relate ad functionem quamvis plurium variabilium independentium colligendo in summam differentialia partialia quoad singulas, facile determinabuntur totalia secundi, tertii, . .. ordinis differentialia dd\mu , ddd\mu. , ... seu d*\mu, d*\mu., . . .

Sic v. gr. d*p. = ddp = d(d.\mu + d,g. + d,;*+...)

d,\mu. -+ . . . ) + d,(d.\mu. -- d,u + d,g +...)+... ; unde

dog - d. g + dy*+ d*.p.-i-..--2d.d,-+2d,d,g+

Rursus d*p. = dd*p. = d(d*.\mu + a*,p. + d*.\mu +-...

+ 2d,d,g. + 2d,d,g +... + 2d,d.p. + ... ) ; ideoque

L. Simili modo eruuntur d%\mu, d°g. . . . .

35. Ejusmodi differentiandi rationem attendenti patebit eosdem proventuros valores d\mu , d*\mu, d°\mu, ... sive differentietur functio \mu , habitis ae , j^ , z, .'. , pro, independentibus, sive differentietur f ae + vdx , y + vdy , z - - vds , ... ) ita, ut ex quantitatibus, ae + vdae , %^ -+ vdy, z -H vdz, ... unaquaeque pro unico, habeatur termino;, tum,occurrentibus d(a + vdae) , dJ^ -+ vdy} , d(z + vdz ) , . . . et peragantur istae differentiationes respectu solius v, et dividantur per

dv diffèrentialia inde orta; hisque peractis fiat demum ubique v = 0. Atqui peculiaris ejusmodi operandi modus in id recidit, ut habita sola v pro variabili, facta insuper

f(x + vdx , y + vây , z + vdz , ...) = χ(ν) ' (g) ,

determinatisque functionibus derivatis Y(v), z'(•), X'"(9) , ... fiat dein ubique v = 0: posita igitur aeqnatione, (g) , et consequente ...

p = ft * ,3 , •,.. .) =z(0),

erunt quoque

d\mu = X(0), dp' = x'(0), d*\mu. = χ'/'(0), ...

36. Manente p = f( ae , y, z . . . .), ponamus z functionem reliquarum independentium ae-, y , . . . ; erunt. (34)

d\Delta z . Spectato v. gr. d*\mu, terminus d,*\mu. praeter suppeditabit etiam (32) eritque d*\mu = dac*d*

d\Delta z : ubi substitutis valoribus dz et d^z , prodibit

d\mu. *

Simili modo assequemur d°\mu., dêp. , ... : in formula, quae respicit d*\mu., coefficientes quantitatum dae* , dxdy . dr* , . . . exhibent partiales secundi ordinis derivatas ex \mu, primus quoad ae , secundus quoad y et ac per vices, tertius quoad y , etc.; item in formula , quae respicit d°\mu, coefficientes quantitatum dae* , dacdy? , . . . exhibent partiales tertii ordinis derivatas ex p. , primus quoad ae , secundus quoad J^ bis et quoad ae semel per vices, etc.; sicque deinceps , respectu formularum, quae respiciunt d°\mu, dép. , ...

37. Quoniam sub, hypothesi (27. 4°) f(x , r , z, ...)=a Const. una quaevis ex quantitatibus ae , y , z , . . . v. gr. z habenda est, pro caeterarum functione , simulque evanescunt (21; 28) partiales cujuscumque ordinis derivatae, consequitur praedictos (36) coefficientes sub hypothesi illa fore singulos = 0 , ideoque d*\mu. = 0, d*\mu. = 0, etc.

Ejusmodi derivatarum evanescentium usus in eliminandis quantitatibus constantibus, functionibusque arbitrariis.

Derivatarum partialium atque evanescentium usus in eliminandis quantitatibus constantibus, functionibusque arbitrariis (38 - 40).

38. Istiusmodi evanescentes derivatae praebent totidem variorum, ordinum partiales aequationes differentiales, quae adhiberi possnnt ad eliminandas quantitates constantes in datam aequationem \mu. = Const. ingredientes. Detur. v. gr-- r

z* + ay*+ b(a + y)* = c : ,

-£ = 2z ; unde

»(* +»+ • ; - o , ay + b++»+•+=o,

ex quibus et ex data eruetur .

+ *+)- c = 0,

ubi constantes a, b minime apparent. Illud facile intelligitur: si proponitur aequatio ternas complectens variabiles ae , y , z , cum ea suppeditet (27. 4°: 36) binas partiales aequationes differentiales primi ordinis, tres secundi, quatuor tertii , . . . m + 1 n""*, ac proinde differentialium ejusmodi aequationum totalem numerum (elem. 152)

+-+ a + )- 4i£t*

iccirco poterit inde et ex data elici aequatio ordinis n*t**,

(n + 1)(m + 2) . ao.

cui desint - 1 quantitates constantes. -

Item

1 •2

(elem. 176: 177) data aequatione inter quaternas variabiles,

-

ea praebebit partiales aequationes differentiales tres " primi ordinis, sex secundi, decem tertii, quindecim quarii, . . .

(m + 1 )(n -H 2)

n** , et consequenter id genus aequatio (m + 1)(n-H2)(n -H3)num totalem numerum -1. Quocirca

1.2.3

poterit inde et ex data obtineri partialis, ordinis n*, dif

(n + 1)(n -H2)(n -+ 3)ferentialis aequatio sine - 1 constantibus. Universim data aequatione inter m variabiles, licebit ex ea et ex derivatis partialibus consimilem, ordinis n***, ae

(n-H)(n-H2)(n-|-3)... (n-Hm-1) _•quationem eruere absque -

1

1.2.3...(m-1)

constantibus in ipsam datam ingredientibus.

39. Iisdem differentialibus aequationibus conceditur eliminare indeterminatas functiones, si quas amplectitur proposita aequatio.

Exempla.

1°. Sit

\mu. = f[\varphi(P) , ae , y, z ] = 0;

designat v datam variabilium independentium ac.y functionem omnino arbitrariam : facta \varphi(w)= r , cum habeamus d\mu. =

d\mu.

, cumque dr =

#a. +£; dy , iccirco (27.4°)

£+ # .£=o. Est autem (19; 21) #

*®%-. £ +#+%.-%--o,

Jam ex hisce binis aequationibus et ex primitiva \mu. = 0 eliminando \varphi(v) ac

*®) # perveniemus ad partialem primi, ordinis, aequationem differeutialem , arbitrariis: privatam functionibus.

2°. z = xp(v)+ } (v) ; exprimunt \varphi, \varphi binas functiones indeterminatas , v functionem datam variabilium independentium ae , y. Partialia in proposita aequatione differentialia capientes dz dv dw dz

invenenu.

ZI; =\varphi(v)-+ acp'(9) 77 + W (w) dae ' ay T

ay(»)

£; + \varphi'(v) £; : quarum secunda multiplicata per #* subtrahatur ex prima ducta in £-. prodibit

dzdvdzdv = \varphi(9)

Rursus partialia in aequatione (m) differentialia sumentes aSSeCTuemur

d*z . dv

inde

Ver eliminata

\varphi'(P),

exsurget aequatio solam continens indeterminatam p(v). Tum ab aequatione hoc pacto definita et ab (m) poterit expelli p(v)•sicque ad partialem secundi ordinis aequationem differentialem perveniri arbitrariis functionibus liberatam.

40. Quoniam, reiteratis differentiationibus, novae in aequationes introducuntur arbitrariae functiones £ , %' , . . . y , \varphi" ,... , vides, ad eliminandas functiones indeterminatas, plures requiri aequationes quam in eliminatione constantium quantitatum. Generatim si primitiva inter m variabiles x, y, z, . . . , aequatio complectitur p functiones arbitrarias expellendas p, p, X. ..., partiales primi ordinis aequationes praeter p, 4, X, ... continebunt etiam % %, X... ;partiales secundi ordinis aequationes comprehendent amplius q', //, χ'/,... atque ita porro, ut p(n + 1) exprimat numerum indeterminatarum functionum, quae in primitivam aequationem simul et in derivatas partiales , ad ordinem usque n*"""* perductas, ingrediuntur. Omnium autem ejusmodi aequationum numerus est (38)

(n -H 1)(n -H 2)(n -H 3) ... (n -H m -f)

1.2.3...(m - 1)

poterit igitur ex iis aequationibus elici partialis, ordinis n*" ,differentialis aequatio functionibus arbitrariis exspoliata,quoties

(n-|-1)(n-H2)(n-4-3)...(m-\-m-1)

cumque fuerit p(rv + 1 ) <

1.2.3...(m - 1)

-

seu p <

(m +

1) . Ponantur

1.2.3...(m - 1)

v. gr. ternae dumtaxat variabiles ae, y, z, ideoque m = 3;

• • •

prodibit p <

r;*

, et consequenter n > 2p - 2. Erunt nimirum protrahendae differentiationes in ordiuem 2p - 1. ut arbitrariae functiones prorsus eliminentur. Facto insuper p=2, tertius sese exhibet ordo : in aequatione (39. 2°) z===aeg(y)-|-\varphi (9) habemus quidem p=2, cum tamen -satis fuerit differentiationes ad ordinem dumtaxat secundum perducere ; id vero pendet a peculiari terminorum aequationis dispositione, ex qua fit ut , certis adhibitis operationibus, plures simul dispareant arbitrariae functiones.

DE RELATIONE INTER FUNCTIONES CONTINUAS ET RESPECTIVAS DERIVATAS SIMILITER CONTINUAS.

Relatio inter functiones ac derivatas primi ordinis.

41. Sit $h$ minimus et $H$ maximus valorum omnium, quos per totum intervallum $x_{a}-x_{o}=\delta$ recipit, ${\frac {f'(x)}{\phi '(x)}}$ ita ut ${\frac {f'(x)}{\phi '(x)}}-h$ et $H-{\frac {f'(x)}{\phi '(x)}}$ exsistant ambae $>0$. Pone $\phi '(x)$ vel constanter $>0$, vel constanter $<0$ ab $x_{o}$ ad $x_{a}$; binae quoque \varphi(x)[ f(r) .

h] , \varphi'(x)[H -

seu

\varphi'(ac)\varphi(x) f'(x) - h\rho(\alpha) , H®'(x)-f'(x) erunt constanter vel > 0 , vel < 0 ab aes ad ae, , prout nempe \varphi'(x) vel > 0, vel <0. Atqui denotantibus t, t, t rectas, quibus tanguntur curvae u=\varphi(x).

3r=f(x)-h\varphi(x), y.=H\varphi(x)-f(x) apud puncta (x, u), (x,J^) , (x, y), habemus (18) $\tan(tx)=\varphi '(x),\tan(tx)=f'(x)-h\varphi '(x),\tan(tae)=Hp'(x)-f'(x):$ perstantibus ergo tang(tae), tang(tae),

tang\tae) simul vel > 0, vel <0 per totum intervallum δ, ternae u, y , x crescent aut decrescent una per ipsum δ : propterea

23 T/ • ., _ 'aT**

, seu

\varphi(x,)-\varphi(xo)

£E£; - H contrariis afficientur signis ; unde sequitur

\varphi

fore

£+ inter h et H. Iam vero, designante a, unum

?(x, -?(x,)

quemvis ex numeris > 0 et <1, valores limitibus h et H circumscripti, ob assumptam functionum continuitatem , repraesentantur omnes per f'(.r,+ £,ô adhibita igitur ae pro aeo

\varphi'tx.-i- ε,δ)

et ae+ô pro ae, , erit aliquis numerus s, satisfaciens aequationi

q).

Relatio inter functiones ac derivatas variorum ordinum (42-43).

42. Haec nunc facile stabiliuntur. 1°. Per s, , 53 » • •exhibitis ejusmodi numeris , ut s, > s, > 3, >. . . , et singuli > 0 ac < 1, attentaque (q), exsistenu

f'(x-- ε,δ) - f^(x) _ f"(a + s,ô)

, et c.

\varphi"(ac + 8,6)

2°. Si evanescunt f'(x) , f"(x) , ... f"-'i(x) , p'(a) ,p"(x) , . . . \varphi"-') c) quando loco a substituitnr peculiaris

ftae, -|- δ)-f ae,)

valor ae, , prodibit

\varphi(x,+δ)- ®(x,)

\varphi'(x, + 5,6)

quae , praeter missis membris intermediis , et adhibito £ pro £,„ , poterit repraesentari per

f(x, + δ) -f(x,)

3°. Facta @(x) = (x - ae,)* in (q') , erunt \varphi(x,) =

(x, - ae,)* == 0, \varphi(x, -|- δ) = (x. + δ - x,)* = δ" ; ex

plebuntur insuper conditiones (2°) \varphi'(x,) = 0, p'(x,) = 0 ....

\varphi(x,) = 0, siquidem (28. 2°) ;'(x) = m(x - ae,)"-' ,

\varphi"(x) = m(m - 1)(x - ae,)"-*, ... g*-')(x)=m(m-1)(m-

2) . . . 3.2(x - ae,) ; et quoniam p")(a) = m(m - 1)(m -

2)...3.2.1 , ideo \varphi'")(x, + εδ) = m(m - 1)(m - 2)...3.2.1.

Hoc pacto, sub conditionibus f'(r,) = 0, f^'(x. = 0 , . . .

f"T"(x,) = 0 adhuc explendis, proveniet fae, + δ) - f(x„) = TE3IAT f " (x, + *ö)

(9").

4°. Exsistente f (x,) = 0 simul . cum f'(x,) = 0,

f'(r,) = 0 , ... f*-*'(x,) = 0 , erit (3°) f(x, + 8) =

3m

et ubi valor peculiaris ae, sit = 0,

mg

habebitur f(ò) *TE

ET f°(£ δ).• 4 J •••J7&

Inferimus, si proponitur ejusmodi functio F(ô) quantitatis ò, quae evanescat evanescente δ , et simul cum F(δ) evanescant quoque respondentes derivatae F'(ò) , F"(ò), ... usque ad ordinem m-1, inferimus inquam fore 1.2.3...m

5°. Posit• Fö) = f. + ) - f.) --j-f'(*) - δ* „ erunt F'(δ) = f(z + δ) - f'(z) --; f"(z) -

-;;- Fore + )-f'(•)-

1.2.3...(m- 2)

et eva...... s, Fo)-r--^- 0. F©) - r'®-re,

- o , F"(0) - f"(z)- f"(2)= 0• • • • Fa- (0)- f^-r)(.)-

for- (•)= O : propterea forma (q) suppeditabit ' f(a + 3)

- f(z) -

, sem

- 1.2.3...(m-1) ft*- (*) '.'

6°. Mutata z in zer: * 8 in * , formula (q'") fiet

fa = r(o) + +r0+

7°. Substitue 8 - &pro δ, et z + 8, pro z in

(q'*. 5°) } habebis , , .

8°., Mutata z in vero, δn z, et δ, in z, , prodibit

f(2) = f(z) +

43. Cum ex • (\varphi') ... habeamus y) =z(0)++X(O)+

proinde (3, §• g'),

Substitue (26; 34) valores d\mu ἀ\mu , d*\mu.,..: • et in iis pone vdae = δ, , vdy =ô, , va= δa , ... 5 obveniet

f(ac -+ô, , y+ δ,, z -H δ,....) = 1 +

.

APPLICATIONES ANALITICAE

DE RATIONE DETERMINANDI VALORES FUNCTIONUM UNIUS VARIABILIS SESE EXHIBENTIUM SUB QUIBUSDAM FORMIS INDETERMINATA

Sub forma scilicet ${\frac {0}{0}}$.

44. Sub hypothesi functionum

f.)

et ;u) evanescentium quando loco ae sabstituitur peculiaris valor a,, uiuirum f ae.)

ac, +ô)

... ut a ser- • un. — • ■ ri

mi membri prodibit expressum p f(a')

f-4 ), secundi

(m)

per

££

ut sit ...

ftae,) _ f °'(ae,)

äÜ5* £j' '°) •'. ... ...

S.cujus ope determinantur valores, illarum fraclionum , quae

..”

formam (elem. 126) recipiunt indeterminatam -T

quum iti ipsis loco ae subrogatur peculiaris, valor ae„.

•*.

1°. Sint f(x) = /(1 -+- x), p(ae) = x , quae facto w=

, = 0, praebent

£ — 4-=-; • habes f'(x)=

, unde f(x) = 1 , \varphi'(ae,) = *; et

eone

1—Hac

sequenter

-y (=-;-) = 1.

2°. Sume f(x) = ae + (aae — a — * } x*** , p(ae) =

(x — 1)*, quae, facto ae = x, = 1 •

-r-sunt

£;=

: item cum exsistant f(x) = 1 + (a + f)(aae- a -

1)ae*-+- a* , \varphi'(ae) = 2 ac — *)

»

erit adhuc %*).

\varphi'(x,)

at quoniam f"(x) — a(a -+- 1) (aae — a — 1) ae*-' -+-

2a(a -+- 1 )ae* , £"(ae) = 2 , ideo

Sub formis ${\frac {\infty }{\infty }},0\cdot \infty$ 45.

45. Si f(ae,) = co, p(ae) = oo, ut fractio sese exhibeat sub forma indeterminata —

, cum habeamus f'(x)\varphi(ac), cumque —=—=-;:;3 iccirco (44)£-— £#, unde Si praeter ftae,) . p(ae,) etiam f'(x,), p(ae,) prodeunt = •, simili modo ostendetur fore f(ae,) atqueita porro. Formula nimirum (o) suppeditat quoque valores fractionum sese exhibentium sub forma indeterminata - .

Q

Ad haec fa).**) —1jl—

5

per eamdem videlicet (o) obtinebitur valor facti f(ac.).®(ac.). quotiescumque binarum functionum altera existente = 0, altera = co, ipsum f(ae,) p(ae,) sese exhibet sub forma indeterminata 0. oo.

-

Exempla.

1°. Sint f(x)

= (£) , ?(x)= cotae;

erunt f'(ae) =

- ...

sim?ac : proinde q. quoad

ae = 0 ob

-

-veniet

t

(= –) = – = ... sinx==simace=0• .

J%

oo

2°, Pone f(ae) = ae* , p(ae) = e*, et m immediate > c; habebis (28. 1°. 2°) f(*)(ac) = c(c — 1) ... (c—m-+1)ae**,

oo

g")(a) = e* : propterea quoad ae = co erit

e*

c(c — 1) . . . ( c — m -+- 1 ) -

Hinc facto ac =

+ , quoad 3 =o

erit

=0,

utcumque magnus de caetero accipiatur ' numerus finitus

1

atque positivus c : habita nimirum 3 pro basi, erit e - 8 consideranda (5: 6) veluti quantitas infinitesima ordinis co.

-

Ad haec: quia –— constat terminis formae dumtaxat

d\beta*

ejusmodi ,

g— ; iccirco nulla ex eT£ , , '•' '*

I.

it

i

de

\beta, . . . desinet evanescere

J3T ' Tag T ' Td33

evanescente \beta.

-

3°. Sume f(x) = l(x), p(x) = ac*, ünde f'(x) = j-. •—; — =— = ; quoad ae = 0 erit l(ae).ae*(=— co.0)

4

Itemque $0^{0},{\infty }^{0},1^{\infty }$ 46.

46. E., (elem. 154.158) [f.j*° -***'^*'' ; hinc si peculiari valori ac, respondet f(x,)= 0 et \varphi(ae,)= o , vel ftae,) == oo et p(x,) = 0, vel etiam f(ae,) = 1 et p(a,) = co, ad inveniendum valorem functionis sese exhibentis sub prima, secunda, vel tertia e formis indeterminatis 00, co °, 1° , satis erit definire (44: 45) valorem

.__. l[f(ae,)]

ratiOniS [@)]" '

Exempla.

-

1 o.

Sit f(x) = v(x)= x : quoniam —j—

= —

et

dac-*

M

•

-

fi-

=— —

, ideo (45) quoad ae = ae, = 0 erit

dae

ac2

l(ac)

i¥ = — ac = 0, ac proinda x*(= 0°) = e* = *•

1

2°. Positis f(ac) = ac, \varphi(x) = — , cum habea

1 — ac

mus

dl(ac)

-*

1 , d(

1

)T*: dae = —1, propterea (44)

dx

1 — ac

'

,

quoad ae = a, = 1 erit

l(ae)

=

— 1 —

= -15 et

(

)-i

—1.ac

1 — ac

consequenter ,

ae

= 1° = eT* = — .

DE MAXIMIS, MINIMISQUE FUNCTIONUM VALORIBUS.

Quod functiones unius variabilis (47-48).

47. Vergente δ ad zero , si f(ae, == δ) — f(ae,) permanet constanter vel <0 , vel > 0, functio f(ae) apud ac, manifeste acquiret valorem quemdam maximum in primo casu, minimum in secundo. Atqui (41) ftae, = δ) —f(x,) === öf'(ae, == 5,6) : ergo in casu maximi exsistet f'(ar, —ε,δ) > 0, et f'(x,-+- ε,δ) <0 ; in casu minimi , f'(ae, — ε,δ)< 0 , et f'(ae, + ε,δ) > 0 ; ac proinde (elem. 110. 19),sub hypothesi f'(ae) continuae ab ae, — ε,δ ad ae, + ε,δ ,evanescet f'(x,) in utroque casu. Vides itaque valores ac,,quibus respondet maxima vel minima f(x,) quaerendos inter radices aequationis.

f'(ae)= 0.

Exempla

1°. Sit f(ae) = a* — 5a4-+- 5x* -+- 1 , ideoque f'(a)= 5a4 — 20ac3 -+- 15x* ; aequatio f'(x) = 0 praebet ae, =0 , ae, = 1 , ae, = 3 : denotante a compendii causa sive ε,δ sive — ε,δ , sumptoque ae, = 0 , erit f'(ae,--a) = 5o6 — 20a* -+- 15a*; quae cum quamproxime ae, perseveret (6: 7) constanter positiva sive a > 0, sive a < 0 ,primus valor ae, = 0 neque maximam dabit f(x), neque minimam: sumpto ae, = 1, erit f'(ae, -+- a) = (1-4- a)°(5aa — 10a); quae cum quam proxime ae, evadat negativa si a fuerit positiva, evadat autem positiva si a fuerit negativa, suppeditabit secundus valor ac, = 1 functionem f(ae) maximam: sumpto denique ae, = 3 , erit f'(ae, + a*) = (3-4-o)* (5a* -+- 10a) ; quae cum in viciniis ae, sit positiva si a > 0 , sit vero negativa si a < 0, dabit iccirco tertius valor ac, = 3 functionem f(ae) minimam. l(ae) 2° Proponatur consideranda functio f(ae) = –!, unde f@= 1-!*l : ex f'(x)=0 eruimus x„= e ; est autem

T(e--a)2TT

seu f'(ae, + a), negativa si , a > 0 ,positiva si a < 0 ; valor igitur ae, = e praebet functionem f(ae) maximam.

48. Cum sit (47) f'(r,) = 0 quoad maximum minimumque , ideo (42. 3°. q"). . f( ae, == δ) — f(a,) =(x, == εὐ) quoad utrumque; sed in casu maximi constanter f"(ae, =;= εδ) < 0; in casu minimi constanter f"(x, ==εδ) > 0: consequitur, haud evanescente f"(x,), fore f"(x,)<0 respectu maximi , et f"(x„) > 0 respectu minimi.

Evanescente f"(x,) una cum f'(r,), erit (42. 3°. q") f(x, == δ) — f(r,) = == 7E5 f"(x, == 33): propterea in casu maximi , f"(ae, — εδ)> 0 et f"(ae, + εδ) < 0 ; in casu minimi , f"(x, — εδ)< 0 et f"(ae,+ εδ)> 0. In utroque igitur casu , f"(x,) = 0. -

Sic procedendo assequemur hoc aliud criterium ad sciendum an datae radici ae, aequationis f"(ae)= 0 respondeat maximus vel minimus valor f(ae) functionis f (a): si ex derivatis. f"(x) , f"(ae), f"(ae).... , quae non evanescit prima, est ordinis imparis, certe flae,) neque maxima erit, neque minima; quod si fuerit ordinis paris, derivatae fl*(x)<0 respondebit maxima f(x,), derivatae f(*)(a,)> 0 respondebit minima f(x,). Sic in 1°, exemplo (47) habemus f"(x) = 20a 3 — 60a*-+-30x, f"(x) = 60x* — 120x + 30 , etc. Jamvero f"(ae,)= 0 et f"(ae,) = 30 quoad ae, = 0, f'(ae,) = — 10 <0 quoad ae, = 1 , f"(ae,) = 90> 0 quoad ae, = 3 : hinc ursus e valoribus ae, primus neque maximam neque minimam dabit functionem, secundus dabit maximam, tertius minimam. Sic etiam in 2°. exemplo (47) assequnde f"(ac.) =—;s- < 0 : valor nimirum a— = a,— e praebet functionem maximam.

Quoad functiones plurium variabilium (49 - 53).

49. Resumentes (35) functionem χ(9) intelligimus nunc illud: peculiari valori v = 0 respondebit maxima vel minima χ(0), quotiescumque et X'(0) = 0, et ex caeteris derivatis X"(0) , X"(0) , X'"(0) , . . . quae non evanescit prima , est ordinis paris : exprimat X**'(0) derivatam illam ; prödibit X(0) maxima si χ*)(0)<0 , minima si y*°(0) > 0 . Vides (35. g') haec eo redire, ut functio f(ac , y, z,... τ) variabilinm independentium ae , y , z , . . . τ haud fiat maxima vel minima nisi ejusmodi valoribus ac, , y, , z, , ... t,,per quos et expleatur aequatio $d\mu =0$, et, ex differentialibus $d*\mu ,d*\mu ,d*\mu ,...$ quod non evanescit primum, sit ordinis paris, utcumque alioqui se habent $dx,dy,dz,...dr$ ; et denotante d**\rho. differentiale non evanescens primum, functio p, prodeat maxima si fuerit constanter d**\rhoι< 0 ,i) minima si. . . . . d**\mu . > 0.

Vides (35. g') haec eo redire, ut functio f(ac , y, z,... τ) variabilinm independentium ae , y , z , . . . τ haud fiat maxima vel minima nisi ejusmodi valoribus ac, , y, , z, , ... t,,per quos et expleatur aequatio

d\mu = 0,

et, ex differentialibus d*\mu, d*\mu , d*\mu,... quod non evanescit primum, sit ordinis paris, utcumque alioqui se habent dae , dy , dz, ... dr ; et denotante d**\rho. differentiale non evanescens primum, functio p, prodeat maxima si fuerit constanter d**\rhoι< 0 , minima si

. . . . . d**\mu. > 0.

50. Quod spectat aequationem d\mu . = 0, cum ei satis faciendum sit utcumque caeteroqui se habent quantitates dae , dy , dz , ... dr invicem non dependentes, inde profluent (26. c) aequationes d\mu .d\mu . d\mu . d\mu . - praebiturae valores ac, , J^,. , z, , • • . t, • qui functionem \mu maximam minimamve poterunt constituere.

Quod vero spectat conditiones (i), haec notamus. 1 10. Cum d**\mu . eodem gaudeat signo ac —–d**\mu ., cumque (34) d**\mu = 2m. 2md**\mu propterea, designantibus p , q , r, • .. rationes dae = dt , dy : dr , dz : dt, ..., differentiale d**\rho. eodem gaudebit signo ac polynomium d**\mu .

2m.
d**\mu .
2m
d*\mu .
2m,

conditionesque (i) in id recident ut permaneat (w) vel <0, vel > 0 , quaecumqne exsistant p , q , r • • • •

20. Non mutabitur (elem. 116) signum polynomii (\alpha) (\alpha) si aequatio= 0 resoluta quoad p suppeditat vel

d**\mu Jac*** omnes radices imaginarias, vel, si quae sunt reales, eas et aequales, et numero pari, utcumque alioqui se habent q, r, •••: in quo casu signnm polynomii (\alpha) erit constanter idem ac signum coefficientis

£#-
©

dac

51. Sit v. gr. \mu = f( ae , y) , et m = 1: erit (\alpha) = j da

p* -+-
# p. + £; -2
; binae
-
radices aequationis

(a) _

e
............ .. , ** ,.

d*\mu =0 prodibunt (elem. 114) imaginariae si ( ZE ' - daca d*\mu . d*\mu

•
-
.

7A:* dy* < 0, prodibunt reales simul et aequales si haec ipsa quantitas = 0 : sub altera igitur ex ejusmodi condi 2 -

d

tionibus perstabit d*\mu . <0 ubi fuerit

## < 0 , persta

bit vero d*p. > 0, ubi d*\mu . - dac*> 0. d\mu . Si ic

accepta -
\mu . - = ....
\Delta y( 3a —
— ac
ae — —
%)
y^) , , er
erunt
dac
—
-
=-

j(3a— 2ae — jr ) ,

j; = ac(3a — a. — 2y) ; unde, at

2 tentis ('), ae, = a et 3^, = a : insuper

dx*
= — 2y=

d*\mu — 2a ,

=;-=—2*
= — 2a ,d*\mu .

= sa—2*—2r

55 = — a , et

consequenter (
#í; )* — # j;
-

— 3a* < 0 : valores itaque

ac, = a, y, = a
praebent fun

ctionem p. maximam si a > 0 , minimam si a < 0 ; si d*p.

-
-
d*\mu .
-

quidem

daca
< 0 0 in primo casu ,
daca
> 0 in secundo.

52. Proponatur quoque functio \mu . = f(ae , y, z), sit que rursus m = 1 : erit (\alpha) =

# p. + £•--

d*\mu .

2d*\mu .
2d*\mu 
2d*\mu .
-
-

Tx2

73-75 pq -+- 7J; P -*- 757; q , binaeque radices

aequationis

#
= 0 prodibunt (elem. 114) imaginariae si

dac? [( d*\mu . ,

d*\mu .
£*, •-,- 2r **. *

dacdy

Y— -;;;
dya
[ daedy, daedz

d*\mu .

d*\mu .
d*\rho.
dap. d*\mu .

• —

-I
--—!--
0

dx* dydz ]q -+-(

daedz )
daca . dz^ <

, prodibunt reales simul et aequales si haec ipsa quantitas = 0; quibus conditionibus satisfaciendum, utcumque se habet q. Ad primam conditionem quod pertinet, ea explebitur si ; j;;

d* 755

et denotante R quantitatem illam < 0, si praeterea aequatio

— (R)

resoluta quoad q suppeditat vel ambas radices imaginarias vel ambas reales aequalesque, si nimirum (elem.114) [-f#. dacdy dacdz vel <? 0. o vel = 0 0. Ad secundam vero conditionem quod spectat, ea vertitur in istas tres dacdy daedy d cd; T dx* dydzT** YI, 7? T7r* Tdz* Hoc pacto adimpIeta sive prima , sive secunda conditione , perstabit signum plynomii (w) utcumque se habent p et q, ideoque perstabit etiam signum differentialis d*\mu , quaecumque sint dae , dy et dz 5 eritque constanter aut d*\mu . < 0 si £-<0, aut d*\mu . > 0 si # > 0. Sume v. gr. p. = \Delta yz(4a — ae — y — z) : erunt dx: \Delta y(4a — x — y — 22); unde, attentis (i), ae, = a , J^, = a , z, = a : insuper dac* d*\mu . 2y — 22) = — a*; et consequenter 3a4 , [ daedy dacdz pletur nempeprima conditio.Valores itaque ae,=a, y,=a, z,=a praebebunt \mu maximam sive a > 0, sive a < 0; etenim in utroque casu £< 0. 53. Si inter variabiles ae , y , : , . . . numero n' vigent n" relationes, supererunt m' — n" variabiles independentes; totidemque proinde differentialia similiter indepen dentia, quibus applicanda tradita methodus. Sit v. gr. \mu . = \Delta x-H br -+- cz , vigeatque inter variabiles ae , y , z relatio ac* -+-3* -+- z* = 1. Habita z pro caeterarum independentium functione, erit (27. 3°) d\mu . = (#+#- J* #)a. quenter ex d\mu = 0 profluent d\mu , d\mu . dz dy + 7AT +=0; in casu,-;;-= a, #- ,;; = e, dz 2.

2.

quae simul cum data relatione suppeditant a, = 02 — — ; igitur (36) d*\mu . = — £ (1 -+- £)are, unde (\alpha) = — + ( : ++). Vides in expressione conditionis (51) substituendum — TE (1 -+- J7 ) lo loco

daedy ' et — —— loco g*u. : ea fiet — ( a*-+-*--•, < 0. Expletur nimirum conditio illa : et quia coefficiens — fi(! indeterminatae pa in (*) exsistit = =;= (1-+- £vaFF b*-+- c* , seu < vel > 0 , prout loco ae et z substituuntur valores a, et z, signis superioribus vel inferioribus affecti, iccirco valores ae, , y, , z, superioribus signis affecti dabunt maximam \mu . = Va*-+- b* -+- c*, inferioribus minimam \mu . = — Va* -+- b* -+- c*. Caeterum poterat id ipsum immediate deduci ex valore differentialis d* \mu ; is enim, adhibitis ae,, y,, z, cum duplici signo ==, vertitur in dap. = == (a* -+- b*-+-.

DE FORMULIS TAYLORI ET MAC-LAURINI

Conditiones explendae ut valeant istiusmodi formulae (54 - 55).

54. Possum binae functiones f( z -+- δ), f(z) ita considerari ut altera (42. 5°. q") aequivaleat seriei f(z), f"(z) , ... simul (elem. 88) et residuo

), altera (42. 60. q") seriei f(0) , 1.2.3...m f"(0), . . . simul et residuo j-f'(0), j; f . (32) Iam si , m. crescente m indefinindefinite, vergunt residua ad lim. = 0, certe serierum altera verget ad lim.= f(z + δ) , altera ad lim. = f(z) : in ea igitur qua sumus hypothesi valebunt binae indefinite protractae ^-+•)-(.)++reH- #re + £;re---, quarum prima est formula Taylori, secunda Mac-Laurini.

55. Facile ostenditur, si m , crescit indefinite, fractiones —–— , —–— accessuras indefinite ad lim.=0, 1.2.3...m1.2.3...m, utcumque de caetero sumuntur valores finiti δ , z. Multiplicatis enim terminis seriei 1 , 2, 3, ... m-2,m — 1, m, per terminos seriei m , m — 1 , m — 2 , . . . 3, 2 , 1 , primo per primum, secundo per secundum, etc.,ut emergat series $1.m,2(m-1),3(m-2),...(m-2)3,(m-1)2,m.1$ habens terminum generalem n(m — n -+-1), facto per vices n = 1 , 2, 3, . . . m ; cum iste terminus generalis scribi queat in hunc modum (rjt. )* — cumque valor hujus expressionis manifeste crescat ab m = ? ad n = " , consequitur terminos emersae seriei auctum iri a duobus extremis aequalibusque terminis {.m etm. 1 ad terminum medium si m est impar, vel ab ipsis 1.m et m.1 ad binos medios aequalesque terminos si m est par, ita ut m sit minimus inter omnes terminorum valores. Factum igitur ex omnibus m terminis emersae seriei erit majus quam m" , seu (1.2.3...m)* > m* ; et consequenter 1.2.3 Atqui crescente m indefinite , binae (7I aperte V^m vergunt ad lim. = 0 : idipsum ergo dicendum de 1.3.3.m ? 2 T.2.3.Im

Patet nunc illud : residua (54) vergent ad lim. = 0 quotiescumque f°'(z + εδ), f(*)(£z) sunt ejusmodi, ut non crescant indefinite una cum m.

Evolutio quarumdam functionum in series (56 - 58).

56. Transeo ad exempla. 1°. Pone f(z) = e* ; habebis (28. 1°) f(*)(z) = e*, ideoque fl°(£z) = e** : cum igitur e* maneat finita, utcumque crescit m , valebit formula Mac-Laurini quoad f(z) = e* ; et quia f(0) = e* = 1 , f(*)(0) = e* = 1 , ideo z4 Facta z = 1 , obveniet e =

2-+-;--- commodior (13) nunc sese offert ratio supputandi valoris e vero proximi quantum libuerit. Ad haec:

a = e*(*) ; proinde a* — e**)= 1 + zl(a)-+- * 212 p. 2°. Functio $f(z)=\sin z$ praebet (28. 4°) f*(z) = sin(z -+- m , unde f'*'(£z) = sin(ez -+- m-; ); functio videlicet f(*)(ez) permanet finita, utcumque crescit m: quo niam igitur f (0) = 0, et f°(0) = sin m4- , propterea sins = a -++

3° Ex $f(z)=\cos z$ provenit (28. 5°) f!”(z) = cos(a + m-;) , ideoque f'*'(£z) = cos( £z + m +); functio nimirum fl*'(£z), crescente m indefinite, manet finita: cum igitur f(0)=t , et f°(0) = cos m j. , iccirco co3z = 1 — —– 57. Etsi functiones f °(z -4- £ò), f"'(z), aucto m indefinite, quemcumque datum limitem praetergrediuntur, fieri tamen poterit (45. 3° ) ut residua iIla exsistant adhuc infinitesima: sit v. gr. f(z) = l(1 -+- z); proveniet (28, 3° ) (m) 1.2.3. ..(m—1) (1-+-z)"*, ideoque f'*'(£z) = 1.2.3...(m —1); functio scilicet f" (3:)indefinite (55) crescet una cum m: at fl°)(£z) seu

(-1)"T*

._ \Delta ym-1
( — z —)* vergit - ad $lim=0$ ab
ad
= 1 , nimirum ab z = — ad

. Formula igitur Mac-Laurini certo valebit quoad f(z) = l(1-+ z) sub hypothesi quantitatis z assumptae ab ad

et quoniam f(0)'= l(f) = 0, f'(0) =1, f°(0) = ( — 1)"-*. 1. 2. 3... (m — 1 ) ; iccirco, sub illa hypothesi,

I(* + *) = a — % + + — + + ... 2 Si sumitur extra limites — 1 , et 1 , ut reprae 1+ 8zsentari possit per = ( 1 + r) , profecto residuum (—1)"-' , z „ —— (-ti-r, utpoie — -==— 1 + mr-H

*=». ra -+-. . . ] ,

haud verget ad $lim.=0$.* 58. Consequitur, si in formula (56. 1°) a* = 1 +- zl(a) -+- . . . scribis c pro z, et 1 -+- z pro a, ut exsistat 2)-H. . . , consequitur inquam, haud praetergredienle z limites —...)-+-;-(a— 3--- -;--...)*+ ;;-(. — . . . • Seu (1+ z)* = 1 + cz -+- prorsus juxta notam legem ( elem. 92), utcumque alioquin se habet exponens realis c.

Ad haec: retenta l ad exprimendos logarithmos respectu haseos e ( vocant Neperianos a Vepero, qui primus ad eos applicuit animum), et adhibita L ad exhibendos logarithmos respectu alterius cujusvis baseos, erit (elem. 160) ! = l(1-Hz); unde mutata z , in , emerget (elem. 157): , z . . z^ -, • z*

Formulae Taylori et Mac-Laurini extenduntur ad functiones plurium variabilium (59).

59. Fac ut in (q"°. 43), crescente m ultra quemcumque datum limitem, vergat ΤΣΙΣ X'"'(&) ad limx0; ipsa (q"*") indefinite protracta nihil erit aliud nisi formula Taylori ad functiones plurium, yariabilium extensa: tum mutatis ae, y, z, ... in zero, et δ, , ô, , δa , •• in ae , y, z,... » proveniet formula Mac-Laurini ad easdem extensa functiones.

DE SERIUM CONVERGENTIA.

Conditiones explendae ut series exsistat convergens (60-63).

60. Deisunt. ( elem. 173) s, summam generalem seriei

t, , t, , t, , . . . , nimirum s, = t. -+ ta-{-t, + . . . -+- t, , vel est quidam valor fixus §, ad quem, crescente m ultra quem

cumque limitem, accedit s, indefinite, ut exsistat lim.(s — s.) = 0 , -vel- deest- ejusmodi- valor : „in primo, casu viseries dicitur convergens , omnesque simul termini habent sum mam = s; in secundo divergens, totaque series caret summa: sic v. gr. quoad seriem a, aq, aq*, aq*,... erit (elem. 150: 151) . valor s si q < 1, deerit si q vel = 1 vel > 1.-

61. Quoniam seriei convergentia importat lim-(s — s,) = 0 , et vicissim; liquet, si, series est convergens, fore lim (tA , H- t„,-+- t,„.,-+- . . . ) = 0 • • - ,, II 4 et vice versa. In serie * v. gr.'-*- , -; , -; •• • • , cujus 1

terminus generalis t, == 2n-H ' habes t,„,-+t„4-{-•..-+ta. 1 M.

> mta, = n.s-; : neque igitur lim.(t,.,., -+-

4n--1, !,

1 f 1*
- -

-

-
¤'·
4-+ 7,
-

t„. *t, g'++-...) =0, neque proinde series convergens: id -

ipsum, sume q obtinet • •!• in •••:-5 serie--:- -.-

, • • • • • cujus terminus generalis*.— ; siquidem t.-*-*-+- + ta, -

-
-
' : ... . . . . ,** i* .* s
*** . . . . .
. .
' -..-

> mtaa ===

n-j; = -;
.a iui.ur.i- • •* vivisis ;
*- ,

m, Etsi hae binae series sunt divergentes;erit tamen convergens, 4

1

quae obtinetur subtrahendo alteram ab altera,scilicet; — ; ,

• * a

fas
: _ r .....******

su- *n*i +t.+ *-* --(=p; - ΣΤΓ? -+- -- ita 75T5 )-. , • # exsistet, nimirum t„, -+- t,„.,-H t,„, -+-.. > igitur '2n-F-2

37T3T
„simulque <

.. cum igitur

M. = 0, erit quo lin.(£p*- =£;)=° et lin. ; E;que lim.( t... + t... + t., -+ ... ) = 0 ; ideoque

etc. :

reipsa (57) + — ++ t— ++. ... = 1 — l(1-H). Eadem ratione ostenditur convergentia seriei -:- 4... , aliarumque id genus serierum. ,.. „, ,,*** * 62. Spectatis dumtaxat numericis terminorum t, , t, • t, • • . . -valoribus, positisque t, > ta> t, > t, >• . • • binae , series

• , . . . -'- ' .

erunt simul aut convergentes, aut divergentes. Nam 4t, < 2ta -+- 2t, , 8t, <2t, + 2t,-+- 2t. -+- 2t, •, etc. ; item 2 t,-+-... -+ tig , etc. : proinde (®)<2®), (&)>®); ex quibus duabus patet veritas assertionis. 1 , ... .4 Hinc binae series-:;:-

,
'-:-
:
,
7
•
•
...
et
-5- .

-

----- 2e
3
-
• •
*

4

- -
-
8 ,: . i ;. r, /. .£r,* ' • * 1 • • • «»31:•') a *.'*** * * J} ' ' i ' ; i i

-:-', 3- , , , .'erunt simul aut convergentes, aut divergentes: atqui secunda nihil est aliud nisi progressio geo- * Ἀetrica 2*, 2**-*). 2***), ... , convergens si c >' 1 , divergens si c = 1 vel < 1 ; ergo etiam prima erit con vergens quotiescumque c > 1 , divergens quotiescumque c=!

vel < 1. r.

63. Crescente n indefinite ,vergat ' t, ad lim. =Ò ,

•

t,
•

numericus autem valor -#. ad quemdam limitem fixum h;

um, -sitque k ejusmodi numerus, minor quam differentia inter h et 1, ut h — k < 1 et h-Hk < 1. si h < 1 , h — k > 1 et h -}- k > 1 si h > 1 : licebit concipere n ita auctum, ut denique in utroque casu habeatur constanter h — k. < -#i < h —Hk , nimirum t,„„, >(h — k)t, , fv*2 >

ά —i)..,>(h-ys,, •.•>(à— *).•>(à-j'..-. fn4-1 < (h

—H k
)t,
•
t, 42 < (
h.
+ k )h*, <(h + k)*t, , •

t,, 3 < (h + k;t„ , <(h -+k)3t,.... In primo casu (elem.1 3)

h— k

®-

-
2
-
3
-

\alpha —*)-+-*-*** *-*»+...- * *

;...it ,

(* +*)+(** »*&+»+... = -;&#-*; ; h— k

-
-

et consequenter

TCHTER t. < t,-,-, + t,... a -+- t,43 +- . -~

h —H k

•
-•
h —k

<-;—;—; t, :

atqui
in-=;=;
t,
= 0 ,

._

h+k
'
••
-

lim-;=;=; .=0; ergo tim.(..,--t.---..,---)=0, ideoque (61) series certo convergens. Non item in secun do casu : nam, exhibente v, numerum, indefinite crescentem, foreut (elem. 150) (h — k) + (h-k)* 4- (h- kj* -+- .. , 69 h — k. = ;... [G. — k» — * 1

w
(* + k)-+-(* + k)• +

h -+- k

-

(* + *+...— i-£; (* +*)•— * 1 ; una. h —k 7TAT t„[(h — k)» —1] < t,„, + t,„ , -H t,„3 -H. . . h —H k . .,

- -
--
-
-

<

7TET
t,[(h -+- k )» — 1] : certa videlicet seriei con

vergentia importaret praeterea lim.t„(h == k)» =0, et vicissim. E

.
1
4.
M.
4

Ser16

2c
•
-;-
o
T7
•
• •
TATTF
©

•

(n-EZ)7T
--•
4
• ., ' . '
. .
satls
saUL1S
tis 1 intelligi
inleIIiglImus
gimus ium
limitem
11m11em h
m ==
= 1 Stare
stare cum
C

serierum convergentia aeque atque cum divergentia: series - 4

namque illa tametsi praebet lim.t,. = lim. — — =

4. 1+ – aC

lin-; ę
=
lim.(
É n-H1
y-iin (
'2
m ) \°

=4 , 1+ + / erit nihilominus (62) convergens quotiescumque c> 1, di vergens quotiescumque c = 1 vel < 1.

Animadversio in formulam Mac-Laurini (64).

64. Resumptis nunc functionibus e*, sinz, oosz, l(1+-2) evolutis in series (56; 57) per formulam Mac-Laurini, designatisque per t, , t„, numericis valoribus binorum terminorum sese immediate excipientium apud eas series , ra intelligis fore ex ordine ; 1°. lim.t, = lim.

—-— = 0

1.2.3..m

»

7O iin-i-—lin.-i-—0. 2°. lint.=-=-*-—=o ta

% HT°
*T1.2.3...-+-(2n—4)T°

-

tn4-t
-
22
•
2n.
-

lim. •

f& • -
lim .—*——
2n(2n-H1) =0: ; 3°. lim.t„=
lim.t, ——=0
2.3...2nT*

lim.

£ti-
— lin.—*—
= 0; 4°. lim.t, =

t, (2n--1)(2n-H2) m, m,

:
-

lim.

j- = 0 si z = 1 vel < 1, lim. ; =lim. #;
■

-

3
-• _
•
•

lim.

—
= a : attento nempe eriterio (63), certum erit

1-H+ — mû de convergentia primae, secundae ac tertiae seriei, utrumque se habet quantitas finita z; de quartae vero convergentia quoad numericos valores z < 1: ferme quidem ut in fertur attendendo ad residuum infinitesimum

(*)(ez);

1.2.3...m. sed residuum indefinite decrescens importat necessario in a:2 definitum seriei f(0),

+f '(0),
1.2
f"(0), ... accessum ad

functionem f(z), non item necessario mera convergentia :fieri namque potest ut series illa et exsistat convergens, et accedat indefinite ad functionem aliam ab. f(z) ; quod videre est, feu f(•) = e + <T*, et • > o. Cum enim, 1.

-

permanente eT* , emergant (45. 28) e

= 0, '

fle %;

da = 0 ,

£;- =0 , ... quoad
z = 0, profecto con

71

• ,

~a
-
, {?
-
-

vergens series f(0),

+f '(0), i;f"(0) , ...
accedet indefi

\ nite ad e*, non ad

f.)—•*+•T*
-

Nonnulla subjunguntur circa serierum imaginariarum convergentiam; ubi et variae stabiliuntur formulae (65).

65. Nonnulla subjungimus circa serierum imaginariarum convergentiam.

1°. Si binae series reales a, , a,, a, , ... et b, , ba , b, , . . . ponuntur convergentes , et per s', , s" exhibentur earum limites (60), erit $s'+s''\mathrm {i}$ limes seriei imaginariae a, + b, V(-1 , aa -+- ba \mathrm i , a, + b, \mathrm i, ...

(o),

videlicet s'-+- s"\mathrm i = a, -+- a, -+- a, +. . . -+- ( b, -- b, + b, -+-...) \mathrm i ; seriesque (o) dicetur convergens : quod si binarum seriernm realium vel utraque, vel alterutra fuerit divergens, talis quoque exsistet series (o). 2°. Factis Va,* -+- b,* = a, , Va*, -+- b*, = a, , -

a
£22
a

Va*,-+- b*, = n, , . . ., -ii- = a, , *-=aa , 5* =a,... r

ra.

R,

2.
3
= w, , 3-= ■, , — 3 = r, , ... , series (o) poterit

• ,

exhiberi per hunc modum, a,(A, + », V^-f), n,(a,-+•.V^-*), a,(a,-+ 8,M-f),... (o')• Patet autem, si series a, , a; , w, , ... est convergens, fore convergente etiam a, a, , aAAa , a, A, , . . • et a, b, , Raba • n,*, , . . . . , ideoque (1°) et binas (o'), (o) : ergo (63), .

,

sub hypothesi lim.-fti < 1 , haud dubie (o') et (o) erunt convergentes. Quantitates positivae, a,, aa, a,.... dicuntur moduli respondentium expressionum imaginariarum. 3° Pone Va* -+- ba = a ,

£ — • »

£-•,
ut sit

a + by^—1 = a (À--+ pV(-1) : binarum a et » neutra valorem obtinet numericum > 1 , insuper A* -+- p* = 1 ; iccirco per earum alteram licebit repraesentare cosinum, per alteram vero sinum cujusdam arcus & , nimirum cosa = a ,sinz= b, et consequenter a -+- b

VE
= a(cosz +
V ET sina),

-

-
Ib
δ

-

-

exsistente a = are(tang = --

= -)
: hoc pacto termini

A

ę

seriei (o) ad trigonometricam formam traducuntur. Sume arcum 0 ita , ut non praetergrediatur, + et 1. --;- ( haud poterit consequenter fieri cos0 < 0), habeat - -

-
b

-

-

que tangentem trigonometricam = ... : quoniam 9 et 0==2nt, deaccepto signo superiore si 0 > 0 , inferiore si 9 < 0 , desinunt in idem peripheriae punctum , ac proinde 9 et 0 == (2n -+- 1 )τ in bina puncta invicem sejuncta intervallo π , erit - a = 0 == 2nm, si a > 0, a = 0== (2n -}- 1); si a <0. 4°. Habes (elem. 311. 60) (coso: + V^ITA sinx)(cosa.'+ \mathrm i sinz') = cosa cosz' — sina sinz+-\mathrm i (sinzcosa' 73 -}- cosa sinx') =cos(a -+- «) + V.ETsin(\alpha + a');

proper

(cosa -+- \mathrm i sinz)(cos«'-+- \mathrm i sina') (cosz" -+- v-Tsinz") = cos(\alpha + \alpha'-+-«')-+- V -i sin(\alpha + \alpha'-+-a"): et generatim.

-

(cosa -+-y-* sinz)( cos2 + V-7 sino.') (cosa' + v-Tsin20(cosz" + V-7 sinz")... = cos( \alpha + \alpha' + \alpha*-+- 2"+...) -+- V -T sin(x + \alpha'-+- x' -+-«"-4-...). Denotante m numerum arcuum oz , &', ox', a'", ... , sume a = a'= \alpha" = \alpha'"=... ; prodibit (cosa -+- V -T sinz)* = cosnz + V^>-i sin nz. Inferimus illud: si series c, c, 2 , caz* • c,z* , . . . est convergens quoad valorem realem z = a , perstabit convergentia quoad valores imaginarios z, quorum modulus adaequat valorem illum realem. Etenim c, c,a , c, a* , c, a*, ... quoad z = a, c, c,a( cos« -+- \mathrm i sinz), c, a*(cosa -+- V(-1 sinz)*, c, R*(cosa -+- \mathrm i sinz)3,... seu c, c, B(cosz-H \mathrm i sinz ) , c, ■*(cos2o. —— V —1 sin22), c, R*(cos3a -+- V.°-7 sin32),... quoad z = R(cosa -+- V-T sino): con vergentia seriei c, c, R , c,R* , c,R*, ... manifeste importat convergentiam binarum c, c, R cosa, c,h*cos22, c,R*cos3a,... et c,hsinz , c,R*sin2z , c,R* sin3z, ... ; iccirco (1°) etc.

5°. Hinc si series c , c, z , c,z*, c,z* , ... manet convergens in ordine ad quoscumque reales valores z, ea perget esse convergens in ordine ad quoscumque valores imaginarios pro ipsa z substitutos.

Itaque series jam erutae (56) cum maneant convergentes respectu valorum omnium realium z, tales quoque manebunt respectu omnium valorum imaginariórum ejusdem 'z; determinabuntque significationem functionum, e*, a* , sinz z\mathrm i et cosz quum z sumitur imaginaria. Sic v. gr. e

='°

zI/.—1 )*

—1)* . • (•■^— 1)4

1+•v- + %FT 4- %FT 4- £! 2.3.4 . (*}/ — 1)5

-
-
z2
z4
-
-*

35a#-+-... = 1— 3-+ ;;;-+-... \mathrm i (= — z3

z5

+++ 35T5-

- • • • ); unde (56)
*
•* t. •

-1

-

„£V = cosz -+- \mathrm i sinz; et mutata z in — z ,

-
-
..
•

.-av^-

= COSz • •
V–IT sin z.

6°. Inde profluit (3°) a -+- b\mathrm i = R [ cos(0 == 2mt.) -+- V-i sin(0==2nT)]= ne' 9 == 2nT)\mathrm i

-
si a > 0 ,

a+b\mathrm i=n;cos[9+2n+1)7]-+VEisin[9=(2n--!)r]}— „[? =

(2m -+- 1)7. ]\mathrm i si a < 0 ;

itemque

a -+-bV-7 = R (cos0 + V -T sin0 ) =

0\mathrm i R e

in primo casu ,

a + by^-T= — n(cos0-4- V-7 sin!) = 75 - 0\mathrm i •

• Re
, in secundo. , 1 ;

i ' . • ;* 9V—4 7°. Pone a = 1 ; habebis 1-4-by^-f = ne

-

4. 01/ — a 4- &• '.'(T

•
hinc

• . . *. •*.

a •i • :
, -, ^

- . .. * l(1 -+- b\mathrm i) = # l(1 -+- b*) -+-0\mathrm i = 4 l(1 -+- b*)-+- VE arc( tang = b ). Series jam erutae (57. 58) utpote convergentes intra limites ibi constitutos, determinant significationem respectivarum functio num quum loco z substituitur expressio imaginaria, dummodo (4°) respondens modulus haud praetergrediatur limitesillos: fac igitur z = öV —1 ; sub hypothesi quantitatis b assumptae ab — 1

.
M.

1-+£ ad

1 —£

erit id + èy^-—*) = b\mathrm i + £.— *'/-'

— % + &\mathrm i, *

. . 5 et COn 2

— 3
— — -;-
5
;——.

3*

B4
8,6
_
33
-

sequenter -

_
-;
-
_
4
+
-
6
- - _• . • •
+ \mathrm i
—1 (b —
-
3
+

35 —...) — 4 I( 1 + b•)--v-i arc( tang = b) ;

—

unde , sub dicta

hypothesi,

• '

- 33 arc( tang = b )= b — 3---85

EX QUIBUS FORMULIS VARIA DEDUCUNTUR (66 -70).

Deducitur primo solutio aequationis $x^{m}=a+b\mathrm {i}$.

66. Deducimus primo solutionem aequationis $x^{m}=a+b\mathrm {i}$. Quia istius aequationis solutio eo manifeste redit ut determinentur valores omnes, quorum est capax expressio

Va-Hö\mathrm i ; fiat igitur Va -+- b\mathrm i = r(cos® -+- VE sin(»), ut datis m, a et b , ideoque (65. 3°) R et 0, inveniantur r. et \omega : erit (65. 4°) a -+- ö\mathrm i = r"(cos®-+- v-i sin»)*= r"(cos m»+V-T sinm»); propterea (65.6°) r = n et m2 = 0 =2nt, si a > 0, r* = B et mø = 0 == (2n -+- 1 ) ft si a < 0.

Itaque (65. 4°) in primo casu, • -

.
;
—*—2
— . 0==2

Va-Hö\mathrm i = n.

(eos? #* +\mathrm isin
£* )=

• ,

• ,.— .
o , , 2n* . . —. 2r,.

R

( cos -;-- \mathrm i sin
-j-)(co*; =\mathrm isini);

in secundo ,

' ' ' ■ ' '

•j
*

• •

•
7T
0 == (2m -+- 1)m.

Va + B\mathrm i=

■ '
'
[cos
m,
}t.
+
I. . . .
..' ;

- .* s.

t.

-

-
-
•
-
ę

-a'. '*

: ..
. --- -^
*• ii 1:1 .. . . .
..
... ...
ff; ' ' ' •
J !.

m 0 = (2n -+- 1

ma
-

£f%ttlt j — , *

(eo. £* .
**
*, .
•
,•

v= sin4=i*#-#

• • ,

- -:.._

0 , , _. 2n -+-
1 _ , . ;-;.. 2n -+- 1 J tr. :

\mu^—1sin

—1
•

um, • s.

)-( cos
•
-
m»
•
π =*=*
=*=
\mathrm isin
-
-
m, π)
-

• -
• -

.s'.

-
... -
-- --
** -*n*

Haec notentur. 1°. Posita' b = 0, simulque a = 1 in prima ex his duabus formulis et a = — 1 in secunda , e

runt h = 1 , 9 = 0: proinde

•*

• . . . . ' r \ *** ' . t

-

i • • •'••; ,

-
-
*.

•

.. m
2mt: ** • . , 2nr
a
-',-

• • • * * Z,-

...
1 , =
};*, ** cos
'.
==\mathrm i
... „.-I siri-
.. g 4
• * * * ***.._ ----- a •
• *
,•
•

-

J^
amb
\mathrm i.
m
'
s.* a

- -

- -

- - - .. , ' . r .

*- * • • , .s , *.....

( '. ; * . .:;.- ppo,

-
2m -+- 1
:—: . 2n
4

\mathrm i = cos—–— T == \mathrm i

sin*
ti-r 5

... • •*

•
---
--
...
•
•
*
m, , '*
7,
j*,
*
Je • m •• o • ."

.

t '. !
*
"—
... '.ii
• • •;

poteritque valor V a -+-by^—1 exhiberi per -

... -,,' ...
.f ..:
* , * * * . ..
-*
e- , ,* • *

•* (so. £+v=;in£ , 7* quod a>o, f

*

-— — A. ^ j .'. *i3f; sw'. i. ... per n

m
( cos
£+ v=;sin£;) -
-
7.—* -quoad ' a '< 0.
i

- ••

' •.
- -
*
•• ,

, ' • • • • • i.'; ,

; ;;

, •
•*• ,.,,
.

- . . :; . -

- -
-
-

r. • • *i* f , , :.'. . / 78 - 2° Exprimat i illum inter numeros integros, qui om

• , t

-*-
.,
.
` .
--
- - - - ***

-

-
*
--•--
m, _
* • •.
•
;...
;//.

nium maximè accedit ad -:

poterit i esse > vel<T-
;

um,

um,

-

4

- sed eorum differentia nunquam fiet > 7 •

Iam si n' re

-

,
i-
*\

• -

-
-
;
m * ' . ..

praesentat numerum* integrum haud >#, licebit* différen

-
-

a. • -

-
-
n.
... n
.
. .
n

tiam illam

-exhibere per – ut sit---
i==-
, et conse

(.; — — ww *-- qm's .. -

mœ-
, m- *** *- \;

sa

-
-
* ,,

r quenter

= 2ít: =*=
: repraesentabitur nimirum

¤? * =-= x,

tn,i.a;. , G — 3, m. ; ;; T , . . ' .*
;a

-s , ahnui ,** ai r --- --- *• ** «*, n* ' t ,,; , , , .£ /*• *.*;,r; y^

■
1 etiam (1°) per cos(2it == 2n'ττ
r
%+v-isinai=#
. *
• *
.
'tr.,
.

Seu

cos

I. m} - .. == V -f sin • • Hinc si in prima ex formulis (1°) assumitur per vices n = 0, 1, 2, ... m—2 2 •um, 5 .*

;
-

-

----
- «• ;
-
i
-. .-
... m-1

quando m est par, et n = 0, 1 , 2. .. .

quan

m., do m est

impar, provenient valores omnes V^f ; qui va

• . .

i ,
•,

lores erunt numero = m : inde totidem valores

W7a-+- by^-1

sub hypothesi a > 0.

•.
.

3°. Sit i'ille inter numeros integros, qui omnium maxime 2n-1-1

'
2n-#-1

n--

: exsistet i' aut > , aut <

accedit ad 2m

*

.

••
-
• $.

- istorumque, numerorum differentia exprimetur per fractionem praeditam numeratore impari ; quae fractio nunquam

1

-
- '

evadet > -;. Quare si denotat 2m'-+- 1 numerum imparem -|-1 haud > m , poterit differentia

illa exhiberi per
*#
•

-

•,
-
-

$ 2n-H '-

2n'-+-1ut habeamus
—;—
= — = —;-
, et consequenter

-

-
-
» i '. »
' - _
---
.
-

2n-+-1

-
2n'-+-1
"
..
-■-

τ = 2i' tt == –

T. : repraesentabitur scilicet

um,

m
-
-
-
-

:,
, w ,. .,.':
t . • •***
*** **** *** J
* .

»•

-
.
-
ui vt
,•
:
• ;•
2n'-+-4- J^
* * *
*
* *. •

-

•
M o) .
2i'τ == – 1.) ==

V^— 1 etiam (1°) per cos(2i

* * ****. mt
-T) == . . . .

-

-
2n'^
2n'-4-1

\mathrm i sin(2i'\alphaτ==.

3*tt-m,
, , seu
eos*
ft-r
--

m.

-
••
-• -
.
m*

-

2n"+-1
...
. .
-
-

I\mathrm i sin

*#i*,
Hinc
si in secunda ex formulis (1°)

m,

-
-
-
i

fit per vices 2n-+ 1 = 1, 3 , 5 •' 7 , . . . m — 4 quando m est par, et 2n -+- 1 == 1, 3 , 5, 7 • . • • m quando m, est impar -

-
*•
.. .
•
.
m
.
-
_
-
-
---
- -

obvenient valores omnes \mathrm i ; qui válores erunt humé -

•
-

. *•*•

.•
...
—
. i **
.

ro = m: inde totidem valores Va-4-by^—1 sub hypothe si a < 0.

Deducitur secundo ratio transformandi sinus et cosinus arcus multipli in potentias sinuum et cosinuum arcus simplicis (67).

67. Deducimus secundo rationem transformandi sinus et cosinus arcus multipli in potentias sinuum et cosinuum arcus simplicis: satis erit per newtonianam binomii formulam evolvere $(\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z)^{n}$, sicque evolutam conferre (65.4°) — .

• **

cum cosna -+ \mathrm i* sin mz. Hoc pacto assequemur

-

-

.
* * r.

m(n—1)(n-2)

c.
-

sin mz= ncos"-' z sino.—

2.3
os"-32 sin3z+

80 n(n—1)(n—2

-
)(n-3)(n —4) cos*-5 \alpha sin5 a — . . . . •

2.3.4.5

•

• •*• •

p.

• * u(m—-f)

cos na: = cos" a -

4;
cos*** a: sin*\alpha -+-

t a t

n(n — 1)(n — 2)(n — 3)cos*T4 \alpha sin4 \alpha — . . . 2.3.4 -

Deducitur tertio ratio transformandi potentias sinuum et cosinuum arcus simplicis in sinus vel cosinus arcuum multiplorum (68).

68. Deducimus tertio rationem transformandi potentias sinuum et cosinuum arcus simplicis in sinus vel cosinus ar cuum multiplorum: habes (65. 5°.) - zy^—1

—2V- 1

2y^-í sinz =

e
•
- e
»

-

• --
;

-

' ,
-
-
*. .**. ';-

zy^-

—zy^— 1

-

,
2cosz = e
-H e
•

••. .

*
-.

• * * u .:. -

-
-
-
-
-
...•
'. .-..-!**•

quas evehe ad potentiam n***** animadvertendo - f*. * termi num m -+- 1*** in newtoniana binomii formula exprimi n(n — 1)(n—2)... [n —(m-1)] a*-*y*; (elem. 93) per

*.
1.2.3...m

2°. respectu n paris , m -+ 1 =

%- -+- 1 quoad
terminum

.

-
' m-+-1
• *.

Im

-
-
3o.
-
•
—
• .
d.

edium ;

respecta n imparis, m + 1 = —;- quoad,

-

-
-
-
M

primum ex duobus terminis mediis , m -+- 1 =

*; -+-1

quoad secundum ; 4°. ipsam binomii formulam traduci ad ( ae + J^)* = x* + y* -{- naey(a** + y**) -+- n(m

+ 4)
ac*y*(**-*-+ y*-^)-+-...; 5°. e zJ^-f

81 —z\mathrm i e 1 ; 6o.

„ma\mathrm i
+e
—mzl/-1
mzV^
= 2cosmz :

7o.

„mav^
•
e
mzV^
= 2 V^-1 sin mz. His.animadversis , facile obtinebis , in hypothesi n paris

- - mu 2 ( — 1)

. 2*-* sin* z = cos nz — ncos(n — 2): -|-

m(m—1

n(n — *).(4 + 1)

• £l

coa-*)• —... + ;2
1.2.3... 4

2 2*-' cos"z = cosnz —4- mcos(n—2)z

+"; —1
leo, a-*--
-

--4m. n(n — 1).(++ 1) • -; — , 1.2.3.. .- 3. ..-; in hypothesi n imparis mi - i ( — 1 ) . 2"-* sin* z = sin nz — nsin(n— 2)2-+- h.

3

n(n—1)... ( *) ) m(n—1} 2

sin(
in n — 4 \z
)z —... == ——-
n—1
sinz, •

1.2.3. 2 -

-
—1

2"-' cos"z=cos nz-4-ncos(n—2)z+

..;n cos(n-4)z -+- .••

m-+-3 n(n—1}... (

2
)

-- —

——;
- C053 .

m, 1.2.3... — •

Deducitur quarto forma realium secundi gradus factorum, in quos potert resolvi trinomium $x^{2m}\pm 2k^{m}x^{m}\cos \theta +k^{2m}$: theoremata Moivrei et Cotesii (69).

69. Facto h F = k; deducimus quarto , trinomniorum a** — 2k^ ac^ co«5-|-k* , et ae* -+- 2k* a* cos0 -+- k* alterum resolvi posse in reales secundi gradus factores habentes formam a:2 — 2kaccos 0=*= 2mtt m} '• +

k2

(u) , alterum in reales secundi gradus factores habentes formam ac? — 2kaccos

3 = (* + ')* 4. P
(4).

•

m,

Etenim (65. 3°) [x” — (a -+- b\mathrm i )\[ae” — (a — bV^— 1)] = ac** — 2aa* -+- a* -+- b* = x*" — 2AM ac*-}- R* — aca"—2k*a*cosz+-£**; nimirum [a*— (a-+-bV-4)][ae"- (a — by^—4)] vel — a* — 2k* *" cos0-+- k *", vel = ,*^ -+- 24* a^ cos0 -+- k*", prout a vel > 0, vel < 0: item que [* — 7(a+ b\mathrm i)][*—W(a- b\mathrm i)] = x* — »[7{a-+ b\mathrm i)+ 7(a—BV—0] + 7(a*+ b) ; nimi rum (66. [. — 7(a+ by^—*)][*—7(a— b\mathrm i)]vel = 9 -+- 2mtt

0=- 2n-|— 1)t:

ac*—2k.ccos ... -+- k*, vel = .—2*. co*f*f'f + k*, 1ll

rum

prout a vel > 0, vel <0. Ergo (elem. 120) etc. Haec veniunt observanda. 19. Si variabili ae reales tribuumtur valores , poterunt factores (u) et (u') geometrice construi delineando triangulum, cujus bina latera a: et k , 0 == 2mt:

0 ==(2n -+-1)I:

angulus vero interceptus =

•
:

amo,

am,

porro (elem. 316) quadratum tertii lateris exhibebit respectivum secundi gradus factorem. 2°. Sume latus ae (fig. 3) pro basi omnium triangulorum, quae variis respondent factoribus (u) , (u') ; fac insuper ut latus datum k terminetur constanter altera baseos ac extremitate E: omnes illorum triangulorum vertices D et incident in puncta circumferentiae radio k descriptae, et apud ipsam circumferentiam bini quivis se se immediate excipientes eamdem (66. 2°. 3°) invicem servabunt distantiam. Iam si quadrata laterum z altera baseos ae extremitate E terminatorum multiplicantur inter se, productum ex istitis modi quadratis aequabitur trinomio ac* == 2k* a* cos0 -+- k**: huc spectat Moivrei theorema. 3°. Pone 0 = 0, et illa ipsa latera inultiplica interse ; productum inde emergens aequabitur radici quadratae trinomii y* == 2k* a* -+- £**, aequabitur nimirum binomio ae" == k* : huc spectat Cotesii theorema.

Deducitur quinto logarithmus expressionis imaginariae $a+b\mathrm {i}$ (70).

70. Deducimus quinto logarithmos expressionis imaginariae $a+b\mathrm {i}$: fiat enim $\ln(a+b\mathrm {i} )=u+v\mathrm {i}$ , ut, datis a et b , inveniantur u et v 3 erit l(a -+- bV^-f) = u -+- v\mathrm i (u -+ y\mathrm i)l(e) = l(e

), ideoque (65. 69)

(0 == 2nT)\mathrm i

u -+-
vV —1

l(Re

) = l(e
)
si a > 0 ,

[9== (2n -}- 1)7]\mathrm i `

u -+- y\mathrm i

l(R e

) = l(e
)
si a < 0 .

Igitur u -+- vV —1

seu

!(a -+- by^— 1) = l(R)-+- (0 == 2mπ)V—f in primo casu, l(a -+- b\mathrm i)= l(R)-}- [0== (2n -4-1)Tr]V —1 in secundo. Ex istis duabus aequationibus haec sequuntur. 1°. Quoniam secundis membris innumeri sunt valores imaginarii innumeri quoque logarithmi imaginarii spectabunt expressionem $a+b\mathrm {i}$. 2°. Si- b = 0 et a > 0, provenient (65• 3°) 0 = 0 , R = a ,3 et

-

l(a) = !(R) == 2nT-\mathrm i : cuicumque videlicet numero positivo a innumeri sunt loga rithmi, unus realis valori n = 0 respondens, caeteri imaginarii.

3°. Quod si b = 0 et a < 0, erunt 0 = 0, R = — a, et l(a) = l(f) == (2n -+- 1)τ\mathrm i : numerus videlicet negativus a gaudet et ipse innumeris logarithmis, qui tamen omnes sunt imaginarii.

RESOLUTIO FRACTIONUM RATIONALIUM IN ALIAS SIMPLICIORES FRACTIONES.

Formulae huc spectantes (71-72).

71. Exhibeant f(z), f(z) binas functiones rationales ; sitque f(z).fractio resolvenda ; exsistente denominatore f(z) = f(z) m. H(z — a)"(z — b)"(z — c)" ... , pone (ACEFGIEF II* —^— — F, (z)...; quoniam (42.8o.q) (z — a)"(z — c)"... F(z) = F(a) -+- (z — b)^'-'

{n^- 1)
(z — b)*'
tnr)

, etc., 1CC1I'CO

iccirco felis faCtiS
(z—a)"
(z—-a)**

, obvenient

14; =
;!}; =Σ'-+-\omega';

1. — j;. — Σ -+- »" , . .. Iam vero£;=

oo

quoad valores z = a, z = b, z = c •••; Σ' = oo quoad z = a, X = oo

d z =b
: &' perstat fini
d z =

— co quoad z = b, ... ; 2' perstat finita quoad z = a , •y perstat finita quoad z = b , ... : propterea vergente * ad lima= a,f(z) H <-< verget — f(z) Σ' r ad lim. =

1+
lim. £- = 1
;

Σ'

' '

vergente z ad lim. = b , verget f(z) $- ad lim. == 1 -+-

l;m. 3, 6A)

— 1 ;... Atqui vergente z ad lim. = a ,
ha

-

Σit

-

-
Σ'!

betur lim.(Σ'-+- 2"+ . . . ) = lim.X'(1 -+- -s- —H. • . ) = lim.X' ; vergente z ad lim. = b ,

ili- lim.(Σ +X"+ ...)

Σ! = lim'X(1 -+- 5T -+ ...) == lim.X';... : poterit igitur assumi. flz)

r
ir
r.

H.

1. -*-*-+-.. + ze).

dummodo functio χ(z) maneat finita in ordine ad unumquemqee ex valoribus z = a , z = b , z = c , . .. 72. Cum functio χ(z) perstet finita quoad valores z=a, z) z = b, z = c , . . . , cumque

n ff.
— Σ'— Σ" —... ne

f(z) queat evadere infinita nisi per valores illos, consequitur χ(z) esse functionem finitam quoad qnemvis valorem finitum z, ideoque functionem integram. Quia igitur Hf.z)= (Σ'+ Σ"+...) f(z) -+- χ(z) f(z) ; iccirco , si f(z) ponitur inferioris gradus prae f(z) , erit χ(z) = 0; ac proinde f(z)

_ Σ'-+- X" —■-. . .

flz) - -

-
H -
•

Exempla.

4o. f(.) — a* + z* -+- 2 et f(z) = z(z — 1)*(z —+ 1)* : unde h = 1

, a = 0 , b = 1, c = — 1 , n = 4 , m' =
2.

m/

_ (* + * + * . r ,. _ * * * + *

• » —2, Fe — ;—;;i;;-. F£-—==;— F,(z) = ———– ; et consequenter F(a) = 2 , F,(b) 88

-

F(a)

—

qui- ri, s-£-: . s-£%, F,(ô)

1
3
III
F,(c)
F',(c)

==;= =;;— t— , s"= -=-==— 1

5
-

z* -+- z*-+- 2 _ -ZET - TTT1)

' ideoque

z(z —1)*(z-{-1)*T 2

4
3
1
5

---

(ETFT TETjT ZETE - TEIT;

, 2°.f(>)=t et f(>)= *(**+*)==*(---V—1)(•—V.—*). unde H = 1 , a = 0, b = — V — 1, c = V^—1 , n = 3, ra ^

—
4
•
m.
"= 1
•
F(z)
=
z*-+-1
'-, F®
-*
-
z3(z—V^ — 1)

1 F,(z)=

TARGEWEY
; propterea F(a) == 1 ,
F'(a) = 0.,

F'o

——
2. F
% — ————

(a) ==

— 2 , F,(b)
=
(CWITEC2V7II) T 2 '

F,(c) = —

—
=
1
-
. Hinc X' =
F (a)
-
-|-

'^ .

(V—1)°(2V —1) T 2
(z—a)*

I.

^)

F'(a)

-;:; F
(a)
1
1
Σ/
F,(b)

(z—a)* +

z—a
T z*
a
'
z—b

4

F,(c)
4

Σ'" = —– = —— : ner conse 2(z+-y^-1) '

z -c
2g-WITT * P

- quens

—
—— l-
-
1-+ ——
-+-

z*(z*-+-1)

z3
z
2(z+V^—1)

89 ZETZITY '

v

DE FORMULA LAGRANGIANA, DEQUE THEOREMATE FUNCTIONUM HOMOGENEARUM.

Series Lagrangiana: animadversio in eamdem seriem (73-75).

73. Proponitur aequatio z = c -+- af(z), ut , data functione continua et explicita f functionis implicitae z , sub hypothesi z explicabilis in seriem A., -+- A, ae -+-A, ae* -+- A,a* +... inveniantur A,, A, , A,, A, , ..., determineturque proinde ipsa z.

-

Pone A. -+- A, ae -+- A, x* -+- A, ac* -+-... = \varphi(x); habe bis A, -+-2A, ae +-... = \varphi'(ae), 2Aa -+- 2.3A,ae -+-... = \varphi"(ae), 2.3A, + 2.3.4.A, ae -+- . . . = \varphi'"(ae) , etc. ; ideoque ¢'(0)

;'(0)

A. = \varphi(0), A, = \varphi'(0), Aa =

, Ag =
——— , •..

2

2.3

Proposita aequatio suppeditat £(ae) =

c -+-
eft?...]; unde (19)

£'(ae) = f[p(ae)] + aef'(z)\varphi'(ae), \varphi"(x) = 2f'(z\\varphi'(ae) -+- •[f®®*®+f'()'(*)], £"(x)=3f"(e)y-(e)+ 3f'(>\'(*) -- ae [. . . ] , etc. : ex quibus emergunt p(0) = c, \varphi(0) = •, c.) f(c), 4"(0) = 2®'(0) f'[\varphi(0)] = 2f(c)f"(c) =

ZIAT * \varphi"(0)=

3?*(0) f"[p(0)] -|- 3®"(0) f'[£(0)] = 3f*(e) f"(c) -+- 2

•;
2 £3

23fef.*) — '['/;fo l- £1 .... Quare Ao= c, dc A, =

f(c)
A. =
1 df*(c) , _ 1 _ d'f°(c)
-

• — —■— . a. = -;--;-, ^,-;:;-:;:--... et.

consequenter

—-

20 ,
a* df*(c)
ac* d^f3(c)

e ++^o)-+-j;-=#-+-;;;*#-+-...: series videlicet

Lagrangiana. Sume v. gr. f(z) = sinz :

df*(c)_

dsin*c= 2sinc cosc = sin2c ,

erunt f(c) = sinc,dc

dc

d*f*(c)

_ d*sin*c

dca

-
do2
— 2.3.$lrac
*) 3
2. ;
COSTC
*c
— 3sin?
3ιη°C
ι
== 4, 2.3sinc(1
5SanC(
—

sin*c) — 3sin3c = 2.3sinc—9sin3c = 23sine—9(-;- sunc 1

4
-
-

T sim3c ) =s

+(3*in3e —
3sinc), etc. ; ideoque z =

JC

.
-sina + ac3 (3**in3c—3s

inc)-+- c -- ;-sine +

;;-sinae --;-;;;;(>

^

umc)-+-...

74. Notetur illud : ex aequatione g'(x)= f[y(ae)] +- aef(z)y(x) = f(a)-+- a f'(z)y'(x) assequimur

p'(ae) =
t %;

Iam si ae variat gradatim ab ae = 0 ad parvissimum eorum valorum ae = ae, , qui praebent 91 af'(z) — 1 , variabit quidem z discedendo gradatim ab c ; sed quoniam p'(ae) =

£;
apud ae, , iccirco disrupta continnitate derivatae p'(ae) ex z , functio z desinet ibi repraesentari per

ILagrangianam seriem. Resumpta v. gr. functione (73) f(z)= sinz, erit a f'(z) = aecos2 = 1; quae simul cum z = c -+- acsinz suppeditat z = c -+- tangz: aequatio haec dabit z , 1 atque inde ae, = 00$z Valor z e serie Lagrangiana, respondens valori ac minori quam parvissimus ae, dicitur parvissima radiae ae quationis z = c -+- a f(z).

75. Datur nunc functio explicita f ejusdem z, ut sub hypothesi f(z) explicabilis in convergentem seriem B, -+- B, ae -+- B, ae* -+- B,ae* -+-.... inveniantur B, , B, , B, , B, . . . . , sicque obtineatur ipsa f(z). Pone B. + B, ae + B,** + B,** -+-... = }(a) ; ha bebis -

B. = \varphi(0), B, = V(0), B, =
3g,
'(O
, B,=
_ %!
%"
y"^(0
» • •• ;

est

autem
' \varphi(ae)
=
f[c +
j ^o)
;; dt;
+

ac*

d*f*(c)

..] ; unde \varphi'(a) = f'[c-+- ae(. . .)][f(c) 1.2.3.

dc*
-+ .

+ ae( . . . )] , \varphi"(ae) = f"[c -+- ae(...)][f(c) -+- ae(...)]*-+- f'[c -+- ac(...)][

d.
£?
+ ac(. ..)] .• V"(a) = f"[c -+-

/ 92 a (...)][f(c)-+- ae(...)]* -+- 3f"[c -+- ae( . . . )][f(c) -+- df2

-
d2£
-

ac(. . . )][

£?
-|- a (...)] + f^[c -+- ae(. . .)][
£+

ac(...)], etc. : ex quibus profluunt %(0) = f(c), y(0) = f'(c) f(c) , y'(0) = f"(e)f*(c) -+-

p«, af{e)
dc
dtf(3^0
dc
•

dfa(o

2f3(c

y'(0) — f^(e)f(e) -+- 3f*(e)f(e)

£;?. + f'(c) ££ }

£!££l , etc. Ergo B. = fe), B, — f'er(e), B.—

1-
d[f®f*(c)]
, p 1 . d*[f'(e)f*(c)]
;

• - 5 dc

• -, — 55
dc?
•
•
•
•
»

ideoque fe) = fe) + +f(e)r(e)+ #

d[f
gro]
+

a*

d*[f'(c)f3(c)]

1.2.3

dc2
-+- . . .
*
;

Theorema functionum homogenearum (76).

76. Functio $f(x,y,z,...)$ dicitur homogenea quotiescumque, variatis $x,y,z,...$ in eadem ratione, ut evadant $vx,vy,vz,...$, exsistet $f(vx,vy,vz,...)=v^{k}f(x,y,z,...)$(i):

exponens $k$ denotat gradum functionis homogenea.

Jam circa ejusmodi functiones facile demonstratur theorema ejusmodi: homogeneitas functionis $f(x,y,z,...)$ importat formulam $xf'_{x}(x,y,z,...)+yf'_{y}(y,y,z,...)+zf'_{z}(x,y,z,...)+...=kf(x,y,z,...)$ (').

Differentiata enim (i) quoad solam $v$, emerget$f'_{vx}(vx,vy,vz,...)xdv+f'_{vy}(vx,vy,vz,...)ydv+f'_{vz}(vx,vy,vz,...)zdv+...=kv^{k-1}f(x,y,z,...)dv$; quae recidet in (i'), ubi deleatur prius communis factor $dv$, ac dein sumatur $v=1$.

Exsistente $k=0$, habebimus $xf'_{x}(x,y,z,...)+yf'_{y}(x,y,z,...)+zf_{z}(x,y,z,..)+...=0$; uti videre est in functione $\ln {\frac {x}{y}}$.

APPLICATIONES GEOMETRICAE

Haec hactenus: nunc de quibusdam calculi differentialis ad res geometricas applicationibus.

LINEAE IN SUPERFICIE PLANA CONSTITUTAE.

De tangentibus, subtangentibus, normalibus ac subnormalibus, exhibitis per coordinatas sive rectilineas, sive polares (77-82).

77. Linea curva ad coordinatas orthogonales relata repraesentetur per $y=f(x)$; sitque $A$ (fig. 1) coordinatarum origo, $TM$ ( elem. 345) tangens apud punctum $M$ determinatum abscissa $AP(=x)$ et ordinata $PM(=y)$, $PT$ subtangens, $Mg$ normalis, $Pg$ subnormalis. Aequatio ad rectam tangentem $TM...$ est (18) $y-y=(x-x)f'(x)$ ; ideoque ( elem. 343. 1°) , denotantibus x' et x' coordinatas rectae Mg... , aequatio ad normalem erit Y—y

Elementa curvae $BMmm'$: $A$ coordinatarum origo, $TM$ tangens apud punctum $M$ determinatum abscissa $AP(=x)$ et ordinata $PM(=y)$, $PT$ subtangens, $Mg$ normalis, $Pg$ subnormalis.

1 = - ( x' — ac )

: factis x = 0, y' = 0 ; qui valo

f'(x) res x , x' inde proveniunt, ii manifeste spectabunt, alter ad AT(= d) , alter ad Ag(= D') ; nimirum d = ae —

fí;

p.

.y p' = ae + yf'(a). Hinc subtangens D — ae = — 773) subnormalis D' — ae = yf'(ae) : itemque, exhibita tangente $TM$ per t et normali Mg per n , t* = y* -+- ( d — ae)^ = 1 »t--;=), ne — r -«—»—»t--f^®).

Exempla.

dy 1°. Aequatio ad cycloidem (elem. 343. 3°) suppeditat (23) 2a—ac

-

=

a - quc
dV(2aae — ac^) ; ideoque

dy — d. v *Fi-

(*).

coordinatae computantur a supremo axeos puncto seu a cycloidis vertice. Quod si veniant computandae a baseos initio ita , ut abscissae sumantur in ipsa basi , satis erit in (1°) substituere ( elem. 342) 2a — y loco ae et atr — ae loco y : quae substitutiones praebent dy = daeV

*=r

2°, Inhaerentes secundae ex his duabus cycloidis aequationibus 1

-

differentialibus assequimur tamg(tae) = f '(a) =

#; <=

Jc y *=).

,
D — ac = -
yV^
J^

j^

2a—y

•

D' — ae =

2a—y

-
2.
2a

_- J^ V^

=
V^(2ay—y ) , t=yV^
•
n= V2ay.

2a—y Vides ( elem. 232. 3° ) normalem in cycloide respondentem cycloidis puncto (ae, y) nihil esse aliud nisi chordam . qua subtenditur arcus circuli genitoris interceptus cycloidis basi et ipso (ae , y) : consequitur ( elem. 232. 1°) supplementum illius arcus, computatum ab (x, j) extra cycloidem, subtendi chorda, quae cycloidem tangit apud ( ae , y ). 2°. Invenire subtangentem in logarithmica (elem. 344. 4°) jr = a* : erit dy = a* l(a)dae ; ideoque subtangens d — ae = -

J^
3rdae
a*
1

,

ubique ni

f'(x)

dy
a*l(a) T . l(a)mirum eadem.

78. Si aequatio ad curvam datur sub forma F(ae , y) = Const. , -

«JE
dF
al.
-
-

erit (27. 4°) 7E

-+-
7F £
= 0 : substituendum videli
-
- -

- 96 F" (ac. y)

-

cet

•
•
5 Ar.
*)
loco f'(x) in formulis ( 77 ). Sic v. gr.

F',(x,

J)

3/ 2

2.

quoad hyperbolam (elem. 367) repraesentatam per *,

-
;

-

dû
2.

2

2

= 1 habes F.(a , y) = -£ , F,(x, y) = — -£ ; unde subtangensa%y

a*—ae*

— = — ,

D — ae = — y b*ac

Jc

sub δ*ac normalis D' — ae = y

2

a )^ b*ac 2

•
etc. , prorsus
ut

q. in elem. 390.

79. In ordine ad memoratam (78) hyperbolam , ductis ex ejus centro perpendiculis in tangentes, juvat hic investigare locum geometricum illorum punctorum, ubi ea perpendicula respectivis occurrunt tangentibus. Constituta origine coordinatarum in centro hyperbolae, δ*ac aequationes b*ac* — a*y* = a*b*, x — y =

2
(x—ae)
*.

a y 2 x = —

£; x,

spectabunt, 1*. ad ipsam hyperbolam ,

JC 2°. (77: 78) ad tangentem, 3*. ( elem. 343. 1°) ad perpendiculum e centro ductum in tangentem: eliminatis ae et J^ ,habitisque x , x pro' iisdem in 2*. et 3*. , aequatio inde resultans pertinebit ad quaesitum locum. Itaque valorem y = δ*acy

-

-

ex 3*. substitae in 1*. ac 2°.: obvenient ae*(a*x 2 4 X — b*y*) = a* x*, ac(a* x* — b* y*) = a*x( x*-+-y*) ; ex qui bus duabus prius ejecta ac, dein mutata x in ae et x * in J^ • prodibit aequatio ad quaesitum locum geometricum 97 ' (ae* -|- y*)* -+- b*)* — a*ae* = 0. Pone hyperbolam esse aequilateram, seu ( elem. 387 ) a = b ; habebis (aea

+-y*)* -+- a*(j/*— ae* ) = 0:

nequationem videlicet ad curväm, quae dicitur Lemniscata.

80. Tangens, subtangens, normalis ac subnormalis possunt quoque exhiberi per coordinatas polares z et \omega (elem. 345;etenim ae = zcoso, y = zsino ; itemque dx = cosadz — zsinod», dy = sinodz + zcosado : recta z dicitur radius vector ; punctum vero, circa quod revolvitur z, polus. dy

81. Haec notamus

t

.
1 -
°.
t ang(tae)
tac ) =
—
dae
<— =

zdò ' sin(»dz + 2cos»d»

tang^o-H

dz
d
zdo)

cosòdz — zsinado

-

zdo
?
u. mole
dz
-—

1 —

tangòdz

-* tang(tae) — tanga

—– =.tang[(tae) — \omega] : et quoniam (nae) = 1-+- tang(tae ;tanga)

.

•

tr

-

-
zdo)
-
tr

75T -+- (tae), erit etiam

-,- = tang[(nae) — -; — \omega] =

Angulus, quem radius vector facit cum tangente, nimirum (tz) = ® — (tae) : propterea (1°) tang(tz) = -

zdo)

— tang[(tae) — o)] = — dz 98 3°. Concipe rectam indefinitam [z], quae et transeat per polum, et constanter ad perpendiculum insistat radio vectori : erit angulus (tz) =

£

— (tz) ;
ideoque (2°)

v. dz t.

ang(tz)

t2X) =
= cot(tz)
cot(tz) =
-
zdo)
-

4°. Hinc (1*) tang(tae) =

-% —

- 4 tango — — tang(t2)_ _ 1 1 + tango) – tang(tz) - — cot[(ta) -{- ^ ]. . - 1 — tang(t2)tango __ tang@-ETangOT T 5°. Quibus positis, vides (77) fore d — ae = zsino tang[(tz) -+- @ ] , d' - ae = — zsinocot[(tz) -+- (» ] , t* = zasin*\omega

{

1 -+-

tang*[(tz) -+ o]

,
m* =
•' in'»; 1-+- cot*[(tz)-+-(»] {
-

82 . Si ponitur a =-; , ejusmodi positio eo redibit, ut axis abscissarum ae recidat in rectam [z] , fiantque proinde ae = 0 et jr = z : sub illa nimirum positione tangens

(= t) et normalis ( = v ) terminabuntur ambae ad rectam [2] , subtangens (= δ) erit segmentum ipsius [2]a polo ad tangentem, subnormalis (= δ') segmentum ejus 99 dem [\alpha] a polo ad normalem. Itaque ô =zsin 5 tang[(tz) -+ 7r

-

.
t.
tr

a j-] = — zcot(tz)

, δ' = — asin-;- cot[(t2) -+-

5-]
=

ztang(to) , τ* = z°[1 -+- cot*(ta)] , v*= z*[1 -+- tang*(to)] , seu (81. 3°.) δ=

2d.
p.
δ' = —
—
,
τ* = z*( 1 -+-

dza »• — •' 1 + -#). Caeterum longitudines rectarum δ , δ', r , v obtinentur quoque ex duobus triangulis rectangulis; quorum alterum habet hypothenusam τ, cathetosque z et δ ; alterum hypothenusam v , cathetosque z et δ' : primum suppeditat — = tang(τz) = tang(t2), τ* = δ* -+- z*; secundum praebet 3/ — = tang(yz) = tang(nz) = tang[

£;

— (tz)] = cot(tz),

y2 = δ'2

+

z2 .
-

Exempla.

1°. Lemniscata (79) ad coordinatas polares traducta manifeste repraesentatur per z% = a*(z*cos* » — z*sin*»), seu (elem. 311. 30 ) z* = a*cos2®. 100 tr

tt

Vides z evanescere quoad o) = -t- , » =

3 ;

, (») =

tr

tr

-
-
-
-

5 – et \omega = 7

-; ; acquirere maximam longitudinem =

4 / - a (a dicitur semiaacis curvae ) quoad @ = 0 et

»=4-;

:

- -

-

t!
-

item z exsistere realem ab \omega = 0 ad \omega

=-;

, simulque

-

-

-
tr

decrescentem ab a ad 0; imaginarium ab \omega = T

ad

tr

T.

tt
-

\omega

= 3

T 5 realem ab
\alpha = 3 TA
ad
\omega = 4
T
simulque

• -

tr

crescentem ab 0 ad a ; adhuc reálem ab \omega =

4-j- ad

tr

-

-
-

(A)

= 5-;

, sed decrescentem ab a ad 0 : imaginarium

π

7r

-

-

ab

» = 5-;

ad
» = 7-;
; iterum realem ab \omega =

7r

-

7-;

ad \omega = 8

»
simulque
crescentem ab 0
ad a :

+ insuper polum esse centrum curvae. Non pluribus opus est ut intelligas Lemniscatae formam instar signi co habere. Scribentes nunc aequationem $z^{2}=a^{2}\cos 2\theta$ sub hac forma et differentialia capientes assequimur (17, 1 { ° : 23 ) d» = 101 z 1

d;

-
zdz
do_
z,
-

—;

: — — — 7 — 5 * A. -- AE;

V^(1- —–;) a'+ hinc δ = —

7*=:y.

3
δ' =
V(a* 4 — — z*)
24
, τ? =

a* — z

2.

a%z?

a4

——-

a4—z% '

, y? ... -
;- $ 5 ex
ex quarum
q
ultima liquet
q.
normalem »

esse tertiam geometrice proportionalem post radium vecto rem

z

et
Semla Xem
a.

Illud etiam quoad Lemniscatam facile ostenditur: angulus , quem facit normalis cum axe positivo abscissarum x aequatur triplo angulo \omega; etenim (81. 1°)

— cot[(nae) — \alpha]

zdo)

z 2

a?cos20

dz

TTZTE,

-* •
•
|V(a%-aAcos22«) T

cos20) sin20

= — cot2o) , ideoque (nae) = 30).

2°. Proponitur aequatio 2τV(ae*-+-y*)= arc(tang= £

•

quae ad coordinatas polares traducta vertitur in 2τz

== Q).

Fiet z = 0 si \omega = 0 , et exinde ambo poterunt simul in infinitum augeri: respondens itaque curva, ( una ex illis ,quae dicuntur' spirales ) incipiendo a polo,. atque inde magis semper recedendo , se se revolvet sine , fine circa ipsum 102 z°da» polüm. Iam si quaeritur v. gr. subtangens δ, erit δ= 7-= 2 2.

subtangens nimirum δ est tertia geometrice propor

tionalis post 2tt et \omega. 3°. Proponitur quoque al(Va-*-+-y*)=arc(tang= 2 ) , JC - seu l(z) =

£

:=

%l(e)=le * ) ;

unde

dam d. z =: e

-

aequatio ad curvam , quae dicitur spiralis logarithmica , (*) d.

-

Habes %

= £" = -f : hinc b — ae, y —— f.,

da»

•

de
q.

- ta = z*(1 -+- a*) , v* =z2 — ę (1-+-a*). Insuper (81. 2°.) tang(tz) = — a : curva nimirum infinitis spiris circa polum ita convertitur, ut radius vector cum tangente contineat angulum semper eumdem.

Tangentes asymptoticae (83 - 84).

De tangentibus asymptoticis.

8383. Si in aequatione (18) ad tangentem ponitur $x$ indefinite crescere , et facto ad limites gradu dispareat $\infty$,nova aequatio sic obtenta spectabit ad rectam determinatam, quae censenda quidem erit tangere curvam $y=f(x)$, sed apud punctum indefinite remotum ab origine coordinatarum; spectabit nimirum ( elem. 344. 4°) ad asymptoticam illius curvae tangentem: quod si, haud disparente $\infty$ ex aequatione ad tangentem, obveniat praeterea (77) $\mathrm {D} =\infty$ , nulla erit ejusmodi recta determinata , seu nulla tangens asymptotica ipsius curvae. Prodeunte $\mathrm {y} =\infty$ , non item $\mathrm {D} =\infty$, asymptotica tangens transibit per extremitatem determinatam rectae $\mathrm {D}$, eritque parallela ordinatarum axi.

Exempla.

1°. Quoad curvam $ay^{2}-a^{2}y-b^{3}=0$, habes y = acV(a*+ 4b3ac) , unde $\lim y=0,\lim(\mathrm {x} -x)f'(x)=0$; ideoque $\mathrm {y} =0$: tangens videlicet asymptotica congruit cum abscissarum axe.

2° Quoad parabolam $ay^{2}=2px$, habes $y=\pm {\sqrt {px}}$; iccirco *= lim. [3 + (x-x) f'(x.)] - -

v^£] = == oo :

parabola scilicet caret tangente asymptotica ; etenim est praeterea (77)

D = lim. [ ae -

+#- 1- - «

•

f'(ae) 3°. Quoad hyperbolam

proinde

dae

ac2

2 I/T( - - 1 a*v(;--

• )

x = == lim. Ly+ (x - ae)f'(x)] === b.lim.[V(

É-1)

-H

JU'

a:2

•===-==- - «0

a?

x -

-

a?

== b.lim.[

Xac

;
q?
]= ==b.lim.[
--*-- ]

a*V(;-- 1)

a*V(-; - =)

===–

x : aequatio nimirum ad asymptoticam hyperbolae

ce b, - tangentem erit y === -x.

Recole elem. 383.

de d. ' 4o. Quoad logarithmicam y = e* , habes

-%

= e*;

JC consequenter y = lim. [) + (x - ae)f'(x)] = lim. [e* + x e* - ace*]. Facta x < 0, prodibit (45. 2") y = 0:

asymptotica videlicet tangens congruit cum abscissarum axe.

84. Sit nunc aequatio u = hae + k ad rectam quamvis asymptoticam respectu curvae $y=f(x)$: crescente $x$ indefinite , verget u. ad lim.=1; iccirco 1= lim. hae+k

-

/•

ftae)

k

-

-1 •

h -H -–

-

-

lim.

1

* =
-*- }
, unde (45)
h = lim.
f(*)

-

-* •

-;f(*)
-
lim.
-
Jû
f(ae)
JC

-f'(•). Itaque u = rf'(»)+ k ; ideoque lim.[k +y - u]= lim.[f(x) - af'(oo)] = f(oo) - oo f'(3o) : atqui lim.[k + 3 - u ] = k ; ergo k= f(oo) - oo f'(oo). Quibus positis, recta quaevis asymptotica poterit repraesentari per $u-f(oc)=(a-o)f'(oo)$: inferimus ejusmodi rectas nihil fore aliud nisi tangentes asymptoticas.

Singularia curvarum puncta (85 — 89).

De singularibus curvarum punctis.

85. Sic appellantur ea puncta, in quibus aliquid peculiare se se exhibet, ipsi curvarum naturae inhaerens

Puncta inflexionis, ubi desinit curva obvertere cavitatem suam ad partes v. gr. abscissarum ut ultra progrediens ad easdem obvertat convexitatem, aut contra. Fig. 4.

In aequatione (18) ad tangentem pone x — ae = a ut sit x = J^ -+- a ae = f(ac) —— aae ; habes (42. 5°) f(ac + a)= 2 σ

g3

fae) + af(x)-+- —É;-f"(a)+

1.2.3

f"(ae) -+- . . . +

qm

-

-
-
-
-
-
•

-;-;it-f"(a + £a) :

igitur differentia inter binas ordinatas respondentes eidem abscissae ae —Ha , alteram curvae J =f(ae), alteram tangentis, exprimetur per

r. *•)—

Y =

-i;
g2
^"® +
;j;-f"(*) 3
-+ . . . . .

qm

-

- —— *") —+-

IZ3IE / ( c + sa)

Cum, quantitas a possit sic attenuari ut primus terminussecundi membri excedat (6:7) reliquorum summam, cumque curva in viciniis puncti (x, y) manifeste obvertat cavitatem vel convexitatem axi abscisarum prout $f(x+a)-x$ < vel > 0, consequitur obversum iri cavitatem si $f''(x)<0$, convexitatem si $f''(x)>0.$

His praemissis, quoniam post transitum per inflexionis punctum (ae, , y, ) debet f"(x) fiieri > vel <0 , quae prius erat < vel > 0, propterea sub hypothesi f"(a) continuae evanescet f"(ae,) ; abscissaeque ae, , quibus respondere potest inflexio, erunt quaerendae inter radices aequationis f"(x)

= 0..

Ut autem abscissis ac, revera respondeat inflexio (ut scilicet binae f ae, -+- a ) — y et f(ae, — a ) — y afficiantur signis contrariis) profecto ex derivatis f"'(ae,), f'"(x,), f*(a,), . . . , quae non evanescit prima , esse debet ordinis imparis. s imparis

t.

ae(a*— ae*)|^(aa—ae*) Data v. gr. curva y = a -+- a3 exsistent f/(x)= ( a 2

—

4x

2

¥*

* — ac* »*
)
, f"(ae) =

£=*

a*V(a*— ac*) , ' f"(ae)

rt.)-
= a3(a*
**=*=
— ae*)V(a* —
*#
ae*) , : .equ.
aeq

tio f"(ac) = 0 praebet ae, = 0 . ae, =

ce

2T *
ac, =

aI/T3

-

-

— — — ; ex quarum prima emergit f'”(ae,) = — Z¥ ' 36

-

e secunda ac tertia resultat f"(x,) = -j- . Ternis itaque abscissis ae, totidem respondebunt inflexionis puncta :quia vero quoad primum punctum est f'(x,) =1, et quoad alia duo est f'(ae,) = — 1 ; ideo tangens ducta per haec tria puncta occurret abscissarum axi sub angulo semirecto, etsi non ad eamdem partem semper obverso.

86. Puncta multipla; per quae transeunt duo, pluresve rami curvae F(c. y) = 0, ibique unusquisque ramus sua propria gaudet recta tangente. d. Itaque tang(tae) seu

-£multiplicem acquiret valorem apud punctum multiplum (ae, , y,): cum autem (78) sit

£ +- £-tans®

F
= 0, cumque in ordine ad

multiplicem illum valorem apud idem punctum (ae, , Jr.) ne dF

aJF

q.ueat

aequatio

q.
ista expleri
p
nisi evanescentibus -
dac , ' —–
dy ? ;

iccirco praesto erunt binae aequationesad inveniendas ae, et y, ; quae tamen coordinatae ae, et y, haud suppeditabunt punctum multiplum nisi et sint reales, et expleant insuper ipsam curvae aequationem = 0. Ad haec: protracta differentiatione aequationis F = 0, poterit sciri quot rami curvilinei transeant per (x,. , J^.) :potrahe in secundum ordinem attendendo ad 757 = 0 ; 2 -

d* F

2d*F
a
d
-

habebis (36; 37) ZZT*- ;tans *) +

ans

x−o.

Haud evanescentibus una

d*F

2F
•
d 2F
-;=
d*F per
sub

d.x*

—

dxdy
et
e

t)

• 108

stitutionem ae, , y, loco ae , y , indeque prodeuntibus bi nis realibus inaequalibusque valoribus tang(tae), duo tan -

2

tum rami transibunt per (ae, , y„) : evanescentibus „/,2

• • • • *

JC \ per (ae, , y,) duobus plus ramis transibit: protrahe igitur differentiationem in tertium ordinem , ut videas an emergens aequatio tertii gradus respectu tang(tae) praebeat termos reales inaequalesque valores ipsius tang(tae); atque ita porro. Quoad curvam v. gr. y* — ae*(1 — ae*) = 0 assequi dF

dF

-

mur

— 4a 3 — 2ae = 0, —– = 2y = 0, nnde coor

dae

dy

dinatae reales ae, = 0, y, = 0, manifeste satisfacientes 2Π aequationi F = 0. Habes praeterea

= 12ae* — 2 ,

dJ2F

f)

d2F

daedy

•- -

• ,
dya = 2; ideoque 12a*—2+2tang*(tae)=0,

seu tang*(tae) -+- 6ae* — 1 = 0 : facto ae = ae, = 0 , exsurget tang*(tae) — 1 = 0; unde tang(ta) = == 1. Per coordinatarum itaque originem transeunt duo rami, ipsaque origo est punctum duplum.

87. Puncta regressus; ubi se tangunt duo curvae rami, idest communem nanciscuntur tangentem: indeque ipsa curva regreditur, duobus ramis vel obvertentibus sibi mutuo convexitates ( regressus primi generis), vel altero convexitatem obvertente alterius cavitati (regressus secundi generis ). Fig. 5. Bini ergo debent esse aequalesque valores tang(tae) apud regressus punctnm (ae, , y„) : cum autem aequatio (78) dF

dR

7----;-

tang(tae) = 0 obtineat quoad omnia curvae puncta, cumque ea, utpote primi gradus respectu tang(ta), nequeat suppeditare binos illos valores, restat ut hic quoque (86) exsis

dF

_ . dF'

-
-
-

tant

j;=0 •

75.
= 0, praebiturae coordinatas ae, , y,:

quibus coordinatis explenda insuper erit F = 0. Sic definitis ae., y, , substituentur earum valores in

.

£
d*F
—H 7T77 2aJ*F
tang(tae) -+-

j2 r. tang*(tae) = 0 ; ex cujus resolutione binae radices dy* prodeant oportet aequales, ut (ae, , y,) sit punctum regressus. 1 Data v. gr. curva ae4 — aae*y — aay* -+-

-; a**=0,

alF

aJF

2

erunt

dac

= 4ac* — 2aaey — ay* = 0, -— = — aac*—

4 2aacy -+-

-;-a-r = 0

, unde ae, = 0 et jr, = 0; quibus

„J°F

2

„J°F

expletur F = 0. Praeterea

j;; = 12** —

2ay ,
Jy/yT

d2F

1

-

2aae

-
2ay, -
dy* = — -
2aae -+-
-
2
a* 2 ; -
et consequenter

1 j- a*tang*(tae) =

0 : ex qua prodeunt tang(tae) = 0 ,

tang(tae) = 0. Coordinatarum igitur origo est punctum regressus , ultra quod ad negativam plagam haud se protendit curva ; siquidem ejus aequatio dat 3^ = 2ac*

1 =*=

4x, 3c2
".
ubi abscissi

4ae—a ( —

V -j-

—-—
,
uDl
aDSCISSlS
me~

-; a==Va gativis respondent ordinatae imaginariae : vides ipsum ab • 1 10

-

scissarum axem esse communem binorum ramorum tangen 3

_—

dy

• (a=-; Vaae)

d*y

tem. Ad haec :

j;==

1
— , ——

(+a+Va*) 4-aa-!

-

3 )

2

Va r +-; ae1

-
; iccirco quoad utrumque ra

(-; a==Vaac)* d*y mum prope originem erit

> 0 ; uterque videlicet

daca ramus prope originem obvertet (85) convexitatem axi abscissarum : et quia ibi rami jacent ambo inter positivos coordinatarum axes ( patet ex aequatione ad curvam resoluta quoad y). ideo regressus censendus secundi generis.

88. Puncta solitaria; quae , licet sejuncta a curva ,habent nihilominus coordinatas explentes ejus aequationem. Aequatio igitur

dF

dF
tang(tae) = 0, utpote spe

-

-

-
= U, u.
-
-

quati

3

dae
dy
ang(tac
po

ctans ad curvam, explebitur coordinatis puncti solitarii (ae,, y,) : ita tamen, ut tang(tae) maneat quantitas imaginaria ; nequeunt enim admitti rectae tangentes mera puncta. Atqui aequatio illa, utpote primi gradus respectu tang(tae), non potest ad hunc modum expleri nisi evanescentibus quantita ib

lib

dF
d (

tubus reali bus -—

- : atou

•
-
evaneScemt ergO

dae

•

dy
p.
n • 3.)
£

JF

dF

-
-

£T ' 757 5 coordinataeque ae, , y, quaerendae inter eas ae -

F

dF -
-

quationum

dF.

== 0 et — — = 0 radices , quibus expletur

dae

ay

• 111 F= 0. Valores ae, , y, hoc pacto definitos substitue

in£

-+-

ac2 -&

2

1. -tang(tae) -+- £ tang*(tae) = 0 ,

ut videas utrum resultans aequatio suppeditet radices tangttae) imaginarias : nisi enim id contigat, non erit (ae, , y,) punctum solitarium, sed punctum duplum (86) si binae radices prodeunt reales et inaequales, punctum regressus (87) si reales aequalesque. Data v. gr. y* — x4 -+- a*ae* = 0, erunt -J;

—

JC alF 2a*ae — 4ae*, —–= 2y ; unde ae, = 0 et J^, = 0 , qui dy 2 bus expletur F = 0: insuper

== 2a* — 12aca ,

dac* 32

2

1. --o p.

£- = 2 , et
2a* -+- 2tang*(ta) = 0; pro

inde tang(tae) = == a V^—1 : origo nimirum est punctum solitarium.

89. Singularibus curvarum punctis annumeramus puncta multiplicis abruptionis; ad quae abrumpitur cursus duorum pluriumve ramorum curvilineorum, ulterioribus unius cujnsque rami ordinatis abeuntibus in imaginarias ex realibus; ibique non conmunem ut in punctis regressus, sed proprias singuli rami acquirunt tangentes: istiusmodi puncta differunt a punctis multiplis ob dictam ulteriorum ordinatarum conversionem in imaginarias. Quod si ad certa quaedam puncta abrumpatur cursus unici rami curvilinei, abeuntibus ejus ordinatis realibus in imaginarias, haec puncta itidem singularia poterunt dici puncta unius abruptionis.

De circulo osculatore, deque evolutis (90 - 95).

90. Circuli peripheria eo magis vel minus prope contactus punctum accedit ad tangentem, quo major vel minor ( elem. 232. 13°) fit ejus radius; hinc circulorum curvaturae censentur esse reciproce ut respondentes radii. Duobus punctis (ae, y) , ( ac -+- \Delta x , y -+- \Delta y ) intelligatur intercipi circularis arcus AX , cujus radius = p ; exhibeatur que per 9 recta tangens arcum AX in puncto (ae , y), per 0' recta tangens ipsum AX in puncto (a. —H \Delta x , y -+- \Delta y): angulus, quem faciunt 0 et 0', aequatur angulo, quem continent bini radii pertingentes ad puncta illa; et consequenter (elem, 308) AX = p(00'); unde circularis curvatura (00') = Puncta (ae , y), (c -+- \Delta x , y -+- \Delta y ) praeter circularem arcum AX intercipiant quoque arcum As curvae y =f(ae); designentque t, t' rectas tangentes arcum As apud illa puncta : accedente ( ae -- \Delta x , y -+- \Delta y ) ad (ae , y ) , vergent (24: 4°) As , AX ad communem chordam , ac proinde ad mutuam aequalitatem; eritque lim. — = — = 1: si praeterea flexus tangentis 0' vergit ad flexum tangentis t', ·4 verget circularis curvatura — ad curvaturam lineae y =f(ae) apud (ae, y); quae proinde curvatura lineae y=f(x) repraesentabitur per lim.

91. Quoniam (24. 4°) lim. τ = 1 , chorda vero infinitesima c=V(\Delta x*+\Delta y*); propterea lim, 1; As et quia As

iccirco, habita ac

VT!*f"(*)] - , pro variabili independente,; unde ds = dae V[1-+ f*(x)]: insuper (18: 20. 3°: 23) d(tae) = dare[tang = f'(ae)] =£f'(*) . . f"(x)dx . Non pluribus opus est ut intelligamus fore (77) 1-Hf*(ac) Circulus descriptus radio r dicitur osculator ; habet in puncto (ae , y) tangentem communem cum curva y=f(x), centrumque situm alicubi in respondente normali n , aut in ejus productione, ad cavam curvae partem semper obversum: ipse praeterea r vocatur radius osculi vel etiam curvaturae.

Exempla.

1°. Aequatio differentialis (77. 1°) ad cycloidem, com computatis coordinatis ad initio baseos, praebet 1+- f"*(x)= £- 2; ex qua differentiata emergit f'(ae)f"(ae) = - a d.

jr* dae , ideoque f"(x) = - ZT: et consequenter r = 2m. 2°. Aequatio ( elem. 366) \Delta x* + bya + adac = x ad lineas secundi ordinis suppeditat aa. -{- yf '(x) + d = 0 ; unde b*y*f"*(x)= A*ae*+2Adae -|- pa- a(Aaca + 2dae) + d*= A(x - y*) + d* , ideoque f*(a) - haec differentiata praebet f'(x)/"(ae)=- \Delta x+D* _1_ dy f'(ae); iccirco f"(x)= Exhibet autem

£ *.

quadratum semiparametri uti ,R. 1 || 5 patet ex comparatione aequationis \Delta x* + ny* + 2dae = x sive cum y* - 2pac = 0, sive (elem. 380. 4°. 390. 4°.) cum

igitur f"(ae) =- /- ; et r p* 3°. Quoad logarithmicam y = e* habemus f'(x)= e*, f"(ae) == e* ; proinde r = - : radius osculi emergit negativus; non enim obvertitur versus abscissarum axem, sed una cum curvae cavitate (85) in plagam contrariam. 92. Veniant nunc determinandae coordinalae v , u illius puncti , in quo situm est centrum circuli osculatoris : quoniam istud centrum est alicubi in normali , vel in ejus productione, aequatio (77) ad normalem praebebit u - y = - ( v - ac: ipse circulus osculator manifeste suppeditat (u - y)* + (v - ae)* = r* * eliminata v - ae , emerget ( u -y)*=; cum igitur u - y <vel > 0 prout curva f"a(ae) 9^ = f(x) convexitas cavitatem vel convexitatem obvertit abscissarum axi , erit 1-4-f"*(a) u- y = f"(ae) , ac proinde v - ae =-f"(x) Si ex his duabus aequationibus simulque ex y =f(x) eliminantur x et y , prodibit aequatio u = \varphi(9) ad lineam , ubi reperiuntur centra circulorum osculantium curvam y =f(ae).

Exempla

1°. Quoad cycloideiì habemus (91. 1°.) u - y = 1-4-f*(ae) f"(ae) = - 2y , unde - u = y > 0 ; nimirum u negativa in se , et consequenter posita (fig. 6) infra cycloidis basim : item

f'(*) -

f"(ae) , ideoque dv = dae -{- 2( 2a - 1 )* dy+ , seu J^ dw= ( + - 1)* d-w) - t*=-l i'a - ). Inferimus (77. 1°.) centra circulorum osculantium cycloidem fore in altera cycloide genita eodem circulo ac illa altera. 2°. In lineis secundi ordinis (91. 2°) f"(x) = - jr* praeterea f^(ae) = in parabola y* = 2pae , f'(ae) = b2ac in ellipsi

in hyperbola = 1. Igitur quoad parabolam assequimur 3*+ p* : ex istarum prima eruimus p*u = 9 _ 3^ =

e secunda , v =

3ae + p ,

quare Quoad ellipsim, u - y=-; 7 )-ae: hinc, factis compendii causa b - ;- = h , a - - = k , pro - Se u (

ideoque

v Simili modo quoad hyperbolam, ( £) ubi -a+%-, h = b +£ .

93. Radii circulorum osculantium curvam $y=f(x)$ sunt totidem tangentes respondentis (92) curvae u = \varphi\omega) : /2 mam et eliminato

f"(ae) , obveniet du = - , seu du . Binae nimirum , curvae y =f(x) et u = \varphi(9), altera apud (x , y) , altera apud respondens (v, u), habent (elem. 343 1*) tangentes invicem inclinatas sub angulo recto: propterea etc. 4.

94. Quoniam (93) . a79 ut - iccirco (92) u - y = -;- ( v - x ) ; per quam ejecta dvprius v. gr. u - y, dein v - ae, ex d[(u - y)*+(v - ae)*]== d(r*), nimirum ex (u - y)(du - dy)+(v - ae)(dv-dy)= dib rdr , prodibunt v - - dv*+du* Hinc ( u - y)* + ( v - ae)* seu r - £###'-; unde dr* Denotante nunc a arcum curvae u = \varphi(9) , erit (91) da* = dv* + du* : consequitur valores differentialium dr et do fore aequales inter se ; ideoque longitudines r et a vel pariter aequales, vel discrepantes per quantitatem constantem. Pronum est inde colligere illud : si curvae u = \varphi(v) advolvitur filam , tum evolvitur ita , ut ejus pars libera et maneat distenta, et curvam perpetuo tangat, extremum fili caput [quod in evolutionis initio ponimus in curva jr= f(x)] manebit semper in eadem y = f(ae) , ipsamque describet. Curvarum u = \varphi(9) et y = f(ae) prior dicitur evoluta , posterior evolvens.

95. Aliquid subjungimus de radio osculi, deque coordinatis v et u in curvis, quae ad coordinatas polares z, a (80) referuntur. Ac 1°. in formula (91) praebente , radium osculi desinat ae esse variabilis independens , ut pro tali habeatur d2 2^y^-a arcus 60: mutanda erit (32). ?, seu f"(ae) in drd*y-drdae dx*[1-4-f/a(ac)]T Iam vero dx* + dy* = dz* + z*d»*, daedy - dydaeae = 2dz*d» - zd»d*z + z*d»* : igitur 2°. Simili modo (92) u - y = (dae* + dy*)dae sumptisque (so. 3. 82) si scissis ae et consequenter etiam v in recta [\alpha],

z(dz*+ z*d»*) (dz*+z*d»*)dz u== z - 2dz *-zd*z-Hz*d«»*

Exemplum.

Resumentes (82. 3°.) spiralem logarithmicam z = e * ® -

1

«a
zda
dzdò

a.\

.

.
d/2 -
-

habemus dz = -- e

da)

•_
•
2 =
ę
-

4 zdo»* a*

proinde

2.

» ,à

a

r=-;-( + a*)

»

u = 0, v =--;
-

Istarum aequationum prima ostendit radium osculi esse radio vectori proportionalem; caeterae demonstrant et centrum circuli osculatoris reperiri constanter in recta [\alpha] , . z et distantiam ejusdem centri a polo fore v= - -

.

de Ad haec : triangulum rectangulum, constitutum hypothenusa r et cathetis z , v , praebet tang(vr) =

ā–

==-a; radius igitur vector v curvae evolutae continet cum radio osculi r,

idest (93) cum recta tangente, angulum semper eumdem , aequalemque (82. 3°) angulo (tz) : inferimus curvam evolutam nihil esse aliud nisi spiralem logarithmicam evolventi aequalem.

Curvae sese osculantes (96 - 99).

De curvis sese osculantibus.

96. Curvae $y=f(x)$ et $y={\mathrm {f} }(x)$ ibi dicuntur sese osculari, ubi et tangentem, et circulum osculatorem habent communem: igitur quoad osculationis punctum $(x,y)$ valebunt simul $f(x)={\mathrm {f} }(x),f'(x)={\mathrm {f} }'(x),f''(x)={\mathrm {f} }''(x)$; quarum prima denotat punctum $(x,y)$ esse commune utrique curvae, secunda tangentem quoque communem (18) apud $(x,y)$, tertia communem (91) ibidem et radium osculi: itaque ex resolutione aequationis f(ae) = f(ae) assequemur valorem ae expleturum alias duas, si $(x,y)$ est punctum osculationis. Mutua illarum curvarum appropinquatio in viciniis puncti $(x,y)$ desumi poterit ex infinitesima quantitate f(ae + δ) - f ae + δ): certe si ordinem istius quantitatis infinitesimae exprimit numerus c , curvarum altera in viciniis puncti (ae , y) ad alteram accedet maxime (6) reliquarum omnium y = \varphi(ae) , quibus respondet ordo quantitatis infinitesimae f(ac-4-3;-!/(r--ô) expressus per numerum < c.

97. Ponatur compendii causa f(ac-4- ) - f(ae +ô, = F(ò) , sitque n nnmerus integer immediate < c ; termini se F(δ)

F(ò)

F/ δ\
F(δ)

• riei F(ò),

évanescent

5- • -55- • -55- • • • • -5. omnes (5) simul cum ò. Atqui (42. 4°)

rp, = F'( ε,δ) .

F(δ) _ 1 „

F(δ)

' ,-,,,
F 8) _

-#-=-;

F'(...),

-s-=
-;;
F (ε,δ)
,
•
•
•
---

F*(e,8): ergo F(ò), F'(5,8) , F"(5,8), ... F"(£„ô) , 2.3...n et consequenter F(ò) , F'(ò), F"(ò), ... F*)(δ) evanescent omnes evanescente δ; quod eo redit , ut exsistant f(ae)

=

f(ae) 9.
f'(ae)
>-
f'(ae) *
f"(a)
-
{"(ac)
»

f"(ac)

=

f"(a)
•
•
•
•
f (*)(ae)
=
ft*)(ac)
-

Eumdem videlicet in utraque curva retinebunt valorem, non solum (96) ordinatae puncti $(x,y)$, et quae ab iis promanant derivatae primi ac secundi ordinis, at etiam caeterae usque ad ordinem n immediate < c. Primae duae aequationes important merum contactum 3^ = $y=f(x)$ et $y={\mathrm {f} }(x)$ , seu contactum primi ordinis; tres primae contactum intimiorem, seu contactum secundi ordimis; quatuor primae contactum adhuc intimiorem, seu contactum tertii ordinis; atque ita porro. Hinc mera osculatio recidet in contactum secundi ordinis; intimior osculatio in contactum tertii ordinis; osculatio adhuc intinior in contactum quarti ordinis; et sic deinceps.

98. Si e duabus curvis, quae se se debent oscnlari , altera non est omnino determinata , ut in ejus aequationem 3 == f(x) ingrediantur constantes arbitrariae a« , a, . a, , a, , . . . a, , hae poterunt definiri per totidem aequationes (97). Fac v. gr. ut curva y = ao-H a,ae + a,ae*+ a, ac* -|-. .'. + a,ae* debeat osculari datam curvam y= f(ac) apud punctum datum (h , k) : erunt f'(x) = a, -- 2a,ae + 3a,ac* + . . . + na,ae*T' , f"(x) = 2a, + 2.3a,ae -H... + n(n - 1)a,ac** , ... , f(*)(ae) = n(n - 1)(n - 2).. . 2. 1a,. Hinc a, + a,h + a,h* +... + a,h* = f(h) , a,-+ 2a,h-+ 3a,h* +... + na,h"-* = f/(h) , 2a, + 2.3a,h +... + n(n - 1)a,h*-* == f"(h) , ... , n(n - 1)(n - 2)... 2.1a, = f"(h) : ex quibus eruentur a, , a, , a, , . . . a,. ; conta ctusque erit (97) ordinis n

99. Quantitates infinitesimae f(a + δ)- f(ac+ δ) , f(ac -- ö) - f(ae - δ) aut contrariis afficiuntur signis , aut iisdem : in primo casu manifeste se mutuo secabunt osculatrices curvae , haud se secabunt in secundo. Sub hypothesi numeri c integri , erit c = n + 1 , simulque (97: 42. 5°) 124 8n+1

-4- 1

n•+• t
a.

f(ae-Hô)-f(ae +)-;;i;it;r'**(x-+£)-f**'(*4-£8)]; cum autem possit δ sic intelligi attenuata, ut f***)(a+g'δ)- f(***(ac + e'ò) eodem afficiatur signo ac f***(ae) - f**')(a); inferimus osculatrices curvas, sub illa hypothesi, se mutuo secturas si m fuerit par , haud se mutuo secturas si n fuerit impar.

Differentialia areae curvilineae et arcus (100 - 101).

Differentiale areae curvilineae. 100. Denotante a aream interceptam arcu Mom (fg. 1), ordinatis y, , y , et respondentium abscissarum differentia ac - ae, , area ipsa fiet A+ AA dum ac evadit ae + \Delta x , recipiet nempe incrementum infinitesimum AA dum ae recipit incrementum similiter infinitesimum Aac ; sit y' maxima et *" minima ordinatarum omnium ab ae ad ae -4- \Delta x : erit ¥'\Delta x > AA > y'\Delta x , ideoque y' >

È > y".

Atqui ver

J> gentibus \Delta x et AA ad lim.= 0 , vergunt y' et x" ad communem limitem y :

ergo

lin.-*- = y ,
seu
aa.
= y;

\Delta x

dae

unde dA = ydae.

101. Determinandam quoque sit differentiale sectoris A' intercepti arcu Mom et radiis vectoribus ab origine coordinatarum ductis ad M et m, seu ad puncta (ae. •J^o) et (ae, J^) : acoj^o

acy

facile intelligimus (elem. 222. 4°) fore A' = a + 2

2

ideoque da' = da -

a£

= ydae-
a£
. Erit itaque

'=

J^dae - acdy

`;

dA2

et transformatis coordinatis ac , y in coordinatas (80) po lares z , \omega , dA'=

-

z*d» 2 Haec sub hypothesi A crescentis decrescente \omega ; quod si A' et \omega simul crescant ; ob retrogradas variationes coordinatarum ae et y, mutatis signis differentialium dx et dy, erit dA'=

acdy - ydae

•

-,- : rursusque transformatis coordinalis ae , y in coordinatas polares z , a» , dA'= z*do» 2 Vidimus ( 95. 1° ) quod , adhibita eadem coordinatarum transformatione in ordine ad arcus differentiale (91) ds = V(dx* + dy* , prodit ds = Vdz* + z*d«»* . ]

LINEAE IN SPATIO CONSTITUTAE

De tangentibus, normalibus, plano osculante, asymptotis, et punctis singularibus (102-108).

102. Imaginemur in spatio curvam ad axes orthogonales $\mathrm {AX,AY,AZ}$ (fig. 2) relatam; sintque $\{x=f(z),y=f(z)\}(a)$ ejus projectiones ( elem. 353) in planis $\mathrm {XAZ,YAZ}$: porro sive curva sit plana sive duplici gaudeat curvedine, ipsius tangentem in puncto $(x,y,z)$ determinabunt eae projectionum tangentes, quae in duobus planis coordinatis v. gr. $\mathrm {XAZ,YAZ}$ ducuntur per puncta $(x,z),(y,z)$. Itaque designantibus $x,y,z$ coordinatas rectae tangentis curvam (a), erunt (18) dae

d!

a

{x - x =£(•

-•), • - y=£(•-•)}

(a').

dz Hinc si per (tae), (ty), (tz) exhibeutur anguli, quos recta t tangens in puncto (ae , y , z) curvam (a) efficit cum axibus $\mathrm {AX,AY,AZ}$ , facto compendii causa V^[1 + (

1. - )^ +

4. av.

-

(-j-)

]= h ,

erunt (elem. 355)

1

d.

1

cos(tae)=

-

ar.
, cos(ty) = -;- dx , cos(tz) =

h

dz

h
dz
;
(a").

103. Ex (a") emergit ( elem. 357) aequatio (v - ae)dae +- (u - 3^)dy +(r - z)dz = 0 (a") inter coordinatas v , u , t pkani, transeuntis per punctum $(x,y,z)$ et ad perpendiculum insistentis rectae tangenti ibidem curvam (a): in plano (a') jacent normales omnes (sunt numero infinitae), quae per contactus, punctum duci possunt ad ipsam (a) utcumque sitain in spatio.

104. Designet c chordam infinitesimam, qua subtenditur incrementum As arcus s ultra contactus punctum $(x,y,z)$; in tangente (a') concipiatur pars c" = c computata ab $(x,y,z)$ versus eamdem plagam ac c ; et extrema puncta binarum c, c" jungat recta c': erit c'* = c* + c"• - 2cc" cos(ct) = 2c"*- -

-

.
c'

2c"*cos(ct)=4c"*sin*

-;- (ct);

ideoque lim. -
=

c. lim.2sin +(ct) = 0. Quibus positis, vides , etsi curva (a) non est plana , adhuc tamen locum fore illationi (24. 4°), nimirum lim.

í

-

JS 1 :atqui c = V\Delta x* + \Delta y* + A2* ;ergo lim. *;

-

• VAae* -|- AY* -- Aza V^\Delta x*+\Delta y*+Az*

-

lim.

As

: et quia As

\Delta x*

\Delta y*

-

V 14-

Az*

-{-
Az2 '

As.

iccirco , habita z pro variabili in

Az dependente, proveniet (102) ds = V dae* -|- dy*+ dz* = hdz.

105. Denotet nunc a infinitesimam longitudinem computatam a contactu versus eamdem plagam et in curva (a) , et in tangente (a'): extrema puncta longitudinis a , alterum in (a), alterum in (a'), jungat recta linea δ ; ipsisque respondeant coordinatae $(x,y,z)$, in (a) et x, , x, , z, in (a'): habeatur insuper s pro variabili independente, ut in hac hypothesi investigentur cosinus angulorum (δae), ày), (ôz), quos recta δ efficit cum axibus $\mathrm {AX,AY,AZ}$. Coordinatae x, , y, , z, , exhiberi possunt per hunc modum

(

102. a":
104),
X, =
ac-+ acos(tae)= JC -Ha
%
•

dy x, = y

+ acos(ty) = y+ a TJ;T ?

z, = z
+ acos(tz) =

dz

-

-
-
-

z+-a-+

: coordinatae ac, , J^, , z, sic possunt exprimi

dae

ga

, d*ac
r.

(42. 5°), r, = x + a-; ---;- ( j;;

+ 2') , J^, =

dy

g2

d*y
Ir
-
dz

r+a j+;- (

ds?

+ \alpha") ,
=, = a + a +

g3

d2z

-- o"') ; vergunt \alpha', \alpha', 2" una cum a ad 2

ds*

lim. = 0. Igitur ac, - x,

q*

d*ac

cos(ô)==-s--= ;s- ( j;- + 2) , . % 1 T *■ .

g*

d*y
aa

cos(δy)=

ò

-
2ò
( ds* + \alpha"),

• ,

z, - z,
g2
d2z
a'I ■

cos(ò)==-;--=

75T (

#+«').

Ad ô quod spectat , cum habeamus (elem. 347) ô = [(ae, - x,)* + (y, - y,)* -i- ( z, - •, »1" , erit 129 a* , , d*ae , .,, , ,d?

d's , „*

δ- 4- [( j; ---«) +£+*'+j+«

)*] .

106. Facile invenitur cosinus anguli (ôt), quam recta ô efficit cum recta tangente : nam ( elem. 348) cos(ôt)=cos(δae)cos(tae)+cos(δy)cos(ty)+cos(ôz)cos(tz); et consequenter (102. a": 104: 105)

cos,ôt) =

£, * , „, , %, £x , „•, , . d* , * , „., , j;(;=*-«)+;(;#-+ «')+-; (j;=-f- «') A. d*ac

ry2

d*y
rfv 2
daz
,,.\2-i ?

[jä-+2)'--;-+2)'-+;-- 2")'] Numerator istius fractionis reducitur ad

«% + x%

«*% ;

siquidem (104) daedae + dydy + dzd*z =

dsd*s = 0 : inferimus , vergente a ad lim.= 0, angulum (òt) accessurum (105) usque adeo ad 90°, donec, facta a = 0 in contactus puncto , evadat (ôt) = 90". 107. Itaque directio lineae rectae δ vergit ad directio nem cujusdam e normalibus numero (103) infinitis, quae duci possunt per punctum (ae , 3 , z) curvae (a). Peculiaris ista normalis ( dicitur principalis ) exhibeatur per v ; e runt ( 105 ) 130 d72 ac

^l

cos(v 3) = [ZEEEFF@] d*y cos(v y) =

(a")

[ZFEFFAFFIFAEFì*' (v z) =

d*z

4. •

co***) - TAEE\Delta yT(TEi' hinc vero (elem. 357) aequatio (x-x)d*ae-}-(y-y)dy+(z-z)d*z=0 (a') ad planum, quod et transit per punctum (x , y, z), et per pendiculàriter insistit normali v. 108. Planum ductum per tangentem et normalem prin cipalem dicitur planum osculans: finge tibi rectam k trans euntem per contactus punctum (ae , 3r , z) ac perpendicu lariter insistentem plano osculanti ; eruut (kt) = 90° , (kw)= 90°, ideoque cos(kt)= cos kae)cos(tae)+cos(®)cos(ty)+ cos(kz)cos(tz) = 0, cos(kv) = cos(ka)cos(vae) + cos(ky)cos (yy)+ cos(kz)cos(wz) = 0. Hinc (102. a": 107.a) ' cos(kae)dae + cos(|y)dy + cos(kz)dz = 0 . cos(kae)d*ae + cos(ky)d*y + cos(kz)d*z = 0. His duabus

aequationibus substitui potest (elem. 107) for

mula

-

131 cos(kae)

. . . cos(k*)

_
cos(kz)

ΖΗΕΥΤ JEFFEAEFAT áEy-JW; (a") cui conjungenda ( elem. 348 ) cos*(kae) + cos*(ky) + cos*(kz) = 1 , ut inde eruantur cos(kae), cos(ky), cos(kz) , sicque deter minetur plani osculantis positio. Ad istiusmodi plani aequa tionem quod pertinet, ea erit (elem. 357) (x'-x)cos(kae)+(y'-\omega)cos(ky)+(z'-z)cos(kz)=0, seu ob primam (a") (a") (x'-ae)(dyd*z-dzd*y)-+(y'-y)(dzd*ae-dacd*z)+ (z'-z)(dacd*y- dyd*ae)= 0. Si curva (a) est plana, vides planum (a") nihil fore a. liud nisi planum ipsius curvae.

De circulo osculatore, deque evolutis (109-116).

109. Curva in spatio constituta gaudeat asymptotis; istarum projectiones in planis coordinatis erunt asymptoti projectionum illius curvae in iisdem planis. Ratio igitur investigandi asymptotos lineae curvae in spatio utcumque sitae traduci poterit ad methodum (83:84) determinandi asymptotos linearum curvarum, quae in superficie plana sunt constitntae. Id ipsum dicendum de ratione investigandi puncta singularia lineae curvae in spatio utcumque constitutae: istiusmodi namque punctis respondent consimilia puncta apud ejus projectiones super plana coordinata; et vicissim.

110. Puncta $(x,y,z),(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$ praeter arcum As intercipiant etiam circularem arcum AX,cujus radius = p 3 in punctis illis tangatur AX rectis 0,0', et As rectis t , t' ; quod autem est k (108) respectu plani (a") ducti per $(x,y,z)$, sit k' respectu osculantis plani ducti per $(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$. Hic quoque (90: 104) erunt verum apud $(x,y,z)$ duplex spectanda curvedo lineae (a). altera in plano (a"), altera in plano (a"); si, accedente $(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$ ad $(x,y,z)$, planum arcus circularis Aχ vergit ad planum (a) simulque flexus tangentis 0' ad flexum tangentis t', assequemur primam curve dinem expressam per lim.

+

= lim.
%

5

quod si pla

s num arcus circularis AX vergat ad planum (a") simulqueflexus tangentis 9' ad flexum rectae k', habebimus secun -

.

1
-
(kk')

dam curvedinem expressam per

lim.-;-='im-;-.

Hinc,

.$. -

-

4
1 .
•
-
1
1.
M

facto

lim. - = - in

primo casu, et lim. - = -
in

r•

p.

R.

secundo , exsistent s. r = lim. -–(ύΤAs , n = lim. - - '

(kk')

E duobus circulis, qui radiis r et a describuntur, primus dumtaxat dicitur proprie osculator; habet in puncto (ae. y, z) tangentem communem cum (a) , centrumque situm alicubi in respondente normali (107) v. 1 1 1. Patet illud: si cosinus angulorum , quos altera ex binis t , t' efficit cum axibus coordinatis , exprimuntur per cos(tae). cos(ty) , cos(tz) ; cosinus angulorum, quos altera continet cum iisdem axibus, poternnt exprimi per cos(tae) + Acostae), oos(ty) + Acos(y), cos(ta) + Acos(te). Hinc ( elem. 348 ) cos(tt') = cos(tae)[cos(tae) + Acos(ta)] + cos(ty)[cos(ty) + Acos(ty)] +- cos(tz)[cos(tz) + Acos(ta)] , 1 = [cosάa) + Acos(ta)]•+ [cos(y) + Acos(9)]• + [cos(tz)+ Acos(tz)]* , 1 = cos*(tae)+ cos*(ty)+ cos*(tz) ; ideoque 2[1 - cos(tt')] = [2sin4(tt')]* = [Acos(ta)]*+ [Acos(ty)]* + [Acos(tz)]*. As?

A**

4(tr')

Iude

tn01e transitur

transm iur ad
a
[2sin#(tt')]*
-
(tt')*
[ sing(tt') 2
] *
-

4 Acos(tae)

Acosty)

Acos (tz)
•

2

2

2

ä-J*-+t=ä-J-*-[=;=-] et facto ad limites gradu, obveniet (16: 110: 102. a:104) r=

1

-
(a 1).

d2ar

, d*y ,,

d*z „#

2 [-j-*+

ds* '

(#-y-+ (j;*)']

134 Simili modo, [2sin£(kk')]* = [Acos(kae)]*+ [Acos(ky)]* + [Acos(kz)]* itemque As*

£(kk')

]* = (kk')*

[ 7iijiíj4

-

5 unde Acos(kae)

Acos(ky)

Acos(kz)

[-=;*]*-+[=#-1--[-=;=-]- 1 4 * dcos(kae) ,

dcos(k)^) , ,

dcos(kz) „
£;

[(=#-*+(=#*-)*+(=;=-)*] 112. Determinandae sint coordinatae v , u , t illius puncti, in quo situm est centrum circuli osculatoris. Quoniam centrum istud invenitur alicubi (110) iu normali v , ideo V - ac

u

•
T-z
-

=cos(vae), v-x =cos(vy),

- = cos(vz)

(aa),

r

r•

v

-ar

d*ac
U- y

seu ( 107. a'": 111. a,)

=r-;- .

=:

.

r°

d*y

T-z

_.
d*z
ind

ds?

•

r•
=r-;
;
ac proin e

d*ac

•

d*y
d*z

v-ac=r* dsa

v-r=r*#
, t-z= r? ds*
(ag).

113. Si desinit s repraesentare variabilem independendentem ut pro tali habeatur v. gr. 2, adhibendae erunt (32) dsd*ae-dacd*s

dsd*y-dyd*s

dzd*s
d*ac

ds3

p.

ds3
• - -73- pro J , , :

£- »

1. .

Hoc pacto (a,) vertetur (102. a: 104) in

-i- [1 -|-f*(z) + f'*(z)] * r -

5

{[f(e)r(e) - f'(•)f^(>J*-+f*(')4-f"'• {* \

et (a,) in f'(a)[f'(z)f"(2) - f^(z)f(z)]+- f"(2)

v _ ar =

[1-{- f*(z)+ f^*(z)]*

p.

f'(z)[f"(2)f"(2)

- f'(z)f"(2)]+ f"(2) .,

u - y=

[1-Hf*(z) + f'*(z)]*

•
• .

T-z =

_ f'(^f"(3) + f'(*)f"(3) ,•

[T-E7*GJ-|- FP(z)]* ' * W Data v. gr. curva

{x = Acos(Bz), 3=Asin(*)}

prodi

bunt f'(z) = - ABsin(Bz) , f"(z) = - AB*cos(Bz) , f'(z) = ABcos(Bz) , f"(2) = - AB*sin(Bz) ; unde : 4+ A*B* r= AB* radius nimirum osculi ubique idem. Curva excurrit in superficie ( elem. 351. 2°) cylindri recti ae* +y* = A* , sгperficiem ipsam circumeundo: et quoniam (80) ae = Acoso, -

-

-
(A)

j^ = Asino) ; ideo z = - B. Facile quoque ostenditur radius R secundae curvedinis (110) esse ubique idem ; cum enim (104) ds = dzy^(1-}- A*b*), cumque proinde, resumpta variabili independente s, exsistat d*z = 0, habebimus dae= - Absin(Bz dz, d*ae-=-AB*cos(Bz)dz*, dy=ABcos(Bz)dz, dy=-AB*sin(Bz)dz*; sin(Bz) formulaeque (a. 108) suppeditabunt cos(ka)= -

cos(Bz)

AB

cos(/;y)

$y) = - -–

V (1-|-A*b*) , cos(
cos(kz) ) = ----
V (1+A*B*) .
Qua
-

1

2_2

re (114) radius R = 1+ a*b*

= ABr ; ejusdem ubique B longitudinis: ex valore cos(kz) intelligis axem cylindri cum plano osculante eumdem constanter angulum intercipere. Ad haec; ex tertia ( a'". 107) emergit cos(vz) = 0; normalis videlicet principalis continet angulum rectum cum axe cylindri , estque consequenter parallela basi ipsius cylindri. 114. Eliminatis ac et y ex (a) et (a,), prodibunt tres aequationes v - f(z) = f(z), u - f(z) = f,(z), t - z = f,(z) ; e quibus eliminata z, emergent binae {v =f, *) , v = f (*)} (a) spectantes ad lineam, nbi reperiuntur centra circulorum omnium qui curvam (a) osculantur.

115. Formгlae (a,) praebent ( elem. 348) (v - ae)* + (u -y)* + (t - z)* = r* (a.) ; formulae (a,) multiplicatae, prima per d*ae , secunda per d*r, tertia per d*z , suppeditant (111. a,) (v- a)d*ae-H (u - y)d*y + (t - z)d*z = ds* , seu (104) (v-x)d*ae -|- (u-y)d*y -4- (t-z)d*z-dx*-dy*-dz*= 0

(a.) :

vides aequationes (a.) , (a,) et (a". 103) expleri simul per coordinatas v, u , t lineae (a,). Ob (a,) traducitur (a") differentiata ad dvdac + dudy + dtdz = 0 ; hinc si denotatur per s arcus lineae (a,), et per t recta tangens in puncto (v, v, t) ipsam (a,) , erit (102. a": 104) cos(*)= dv ; d. #+ du u d ay. dt d

z

1. ï + E i, *

consequenter (tt) = 90°. Ob (a")

tradacitur

(a,) differentiata ad

(v -

a)ds + (u - y)du + (r - z)dt = rdr ;

^ unde ( 1 12. a,: 102. a": 104 ) dr*

v-ac

dv
u- y
du
T-z
dt

= cos(yt): + - -=-;--- --;---;--; sub hypothesi dumtaxat curvae (a) planae, recta v incidit constanter (93) in rectam τ . valoresque proinde differentialium dr , ds sub illa tantum hypothesi exsistunt (94) constanter aequales. 116.Curvae (a) advolvatur filum, tum evolvatur ita ut ejus pars libera et maneat distenta, et curvam (a) perpetuo tangat ; extremum fili caput describet quamdam curvam {v = F(t), u = $ (t) }

(a;).

Inhaerentes denominationibus jam adhibitis (94) curvam (a)dicimus evolutam, (a,) evolventem : circa istiusmodi curvas haec notamus. 1°. Designante λ distantiam inter duo puncta (ae, y, z ) (v , u , T ) sibi mutuo respondentia in (a) et (a,) , erunt v

-ac

dae

10

-

".
104 -=
~-
= -
,

( 102. a )

cos(λx) = cos(tae)

ds

u-*y

dy

T.
-z

- = cos(λ y) = cos(ty)= 7; , -;- = cos(λz)=

dz cos(tz) == -77- 5

unde

§. I.? dae

dy

dz

v-.aC

=*j-

, u-y=
λ-j-
, -==λj;
(a,)
-

est insuper λ + s = const., ideoque d) = - ds

(a).

-;-

...

Aequationes igitur (a,) differentiatae dabunt dv = -

)a£)

dv = - Xa%
dT= -
»a*
(ao).

dλ

• Jy •

'd},
`

139 Praeterea (104) d)* = ds* = dae* + dy* + dz* , et eonse d.

2

d.
2
d.
2
dae
d

quenter (£*+(£)*+(£)'=1,%-a (%)+ dy

dz.

dz
-
-

dy d ( -

dλ )+ -

dλ d (
-
dλ
)=
0 :
aequationes itaque (a,)
o.

dλ multiplicatae, prima per dae , secunda per dy, tertia per dz, suppeditabunt dvdae + dudy + dtdz = 0. Ex hac inferimns (102. a": 104) rectas lineas, quarum altera tangit curvam (a) in puncto (ae, y, z), altera curvam (a,)in puncto ( v , u , T ), fore invicem perpendiculares.

2°. Data curva evoluta, cognosci poterunt aequationes (a,)ad curvam evolventem: in hunc finem substituentur prius in (a,) valores ac, 3^, z, λ expressi per s ; dein eliminabitur s.

3°. Vicissim data curva (a,), sic poterunt determinari aequationes (a) ad respondentem evolutam: habemus (elem.347) (ae-v)* + (y-u)*+ (z-T)*=)* (a,,); et quia (a,) et (a,) praebent JC

-V

2 -T

dae =

d), dy=*='d),

λ
de=
dλ
(ara)
*•

λ

λ

ideo (a,) differentiata traducetur ad

[(x - v)* +

(J^ - u)* + (z - T )*] - (ae - v)dv - (3^ - u )du - (z-T)dt = λdλ ; quae ob ipsam (a,) recidet in (ae--v)dv + (j - u )dv + (z - t)dr = 0 (a,). 1 40 Differentiantes (a,) simulque attendentes ad (aa) obtinebimus (ae - v)d*v + (3^ - u) d*u + (2 - T)d*T + 4. [(ae - v)dv-+(y-U)du-H(z-T)dr]-dw*-du*-dr*=0; quae, denotante s arcum curvae (a;), ob ipsam (a,) ver tetur (104) in (ae-v)d*v-+(jr-u)d*u-|-(z-T)d*T = ds* (a,®). Differentiantes (a,ff) in hypothesi variabis ς independentis ,iterumque attendentes ad (aa) assequemur (ae- v)(d°v + d)

-

4-*»-(y-•) eo-4 ro 4-(•- *) E. + dλ ,,

2

-

-;-d T ) - dvd*v

- dud*u - dtd*T = 0 ; et quoniam

dvd*v + dud*u + dtd*T = dsd*ς = 0, iccirco (ae-v)d(λd*v)+(J^-u)d(λd>u)+(z-T)d(\d*T)=0 (a,5). ac-v Formulae (a), (a) dant -;;;;;;-;;;;;;;; - j^-u

z-T

et conse

ZITÜREVERWART- ZZJEIZETZFj quenter, factis compendii cansa dud(XdaT)-dtd(\d*u)= Q', drdúd*w)-dvdQd*t) - Q', avd()arl)- dvdQd*w)= Q", ob (a,) exsistet ... = **

$-

!
-
-

Q d32

(ae-v)* _ (3-t)* _

. Est autem 141 (2-1)* _ (x-v)*+( r-uY+(2-r)' ._

X2

-

Qu*

Q'*+Q"*+Q"*

Q'*+Q"*+Q"'a
•

igitur X2

dς4

QTjvTJT*- TJZTJ7TQVxF (**) Jam in (a,6) substitue valores v , U , T expressos per 5 ; proveniet differentialis aequatio primi ordinis dλ QP(X , 3 ,

-) = 0

(a;)

inter variabilem s ,

incoguitam λ , et derivatam -;- :

dς pone (a,) expleri per λ = \varphi(S , C) , ubi designat C constantem atque arbitrariam quantitatem ; si in (a,,), (a,3) , (a, 4) substituuntur prius valores v, U, T, λ expressi per g , ac dein eliminatur ς , exsurgent aequationes (a) ad quaesitam eyolutam spectantes : caeterum determinatio functionis \varphi pendet a calculo integrali.

4°. Quia C est arbitraria , tot erunt ejusmodi evolutae quot diversi valores ipsius C; innumeris videlicet curva (a,) gaudebit evolutis.

5°. Aequatio inter ac, y , z emergens ab eliminatione (3°) quantitatis ς e binis (a, 3) , (a,®) pertinebit ad superficiem amplectentem omnes evolutas curvae (a,) ; sed de his satis; nunc pauca

Сurvae sese osculantes (117-118).

:

-

117. Cum binae curvae ¥•-r- ?

y=f(*}

(b) ,
}•-*•)
, J^=
ze}
(5).

ibi dicantur sese osculari , ubi et tangentem, et circulum osculatorem habent communem, inferimus quoad osculationis punctum ( ae , y , z) praeter (102) aequationes f.(z)=®(z) •

f(z)=X(z), f (z)=p'(z)

•
f '(z)=X(z) •

valituras etiam f"(z) = \varphi"(z) , f"(z) = χ"(2) ; siquidem e secunda et quarta (113) profluunt f"(z) =

• -*-*-*'^'*'-[14p^e, -{- f'*(z)]

p.

r2 \varphi"(z)

=

v-*-t-^)?(•) p. + \varphi'*(z)+ χ'*(z)] 5

ex tertia et quarta , U-3^-(t-z)f'(z) f"(z) =

[1--f/*(z)+ f'*(z)] ,

p2 X(z) =

-Er-£=*'«'-l-[*+*) + X'*(z)].

Consequitur (96). si (b) et (b') sese osculantur in puncto /

(ae , y , z ), binas quoque projectiones x = f(z) , ae = p(z) sese osculaturas in puncto (ae , z) ; itemque jr = f(z) , jr = χ(z) in puncto (3^ , z) : et vice versa. 118. Hinc, denotantibus c , c' ordines infinitesimarum quantitatum f(z + δ) - \varphi(z + δ),

f(z + δ) - X(z + δ) ,

et n , n' ejusmodi numeros integros, quorum alter immediate < c, alter immediate < c', erunt (97) f(*) = \varphi(z) , f'(z) = \varphi'(z) , f"(z) = \varphi"(z), p' (z)

-

\varphi*(z)
•
• •
•
f!*(z)
-
g")(z) 5

simulque f(z) = X(z), f^(z) = X'(z) , f"(z) = X"(z) , f"(z) = χ"(z), ... f/*^(z) = χ'°'(z). Ex minore inter numeros n et n' desumendus ordo contactus, et eonsequenter osculationis binarum (b) , (b'): caeterum patet investigationem contactuum quoad curvas in spatio traduci ad investigationem contactuum quoad curvas in plano.

SUPERFICIES CURVAE.

Planum tangens et recta normalis (119 - 120).

De plano tangente, et de recta normali.

119. Reprsesenut superficie curva per z = f( ae , y ) ,planum tangens superficiem illam aqud punctum (x, y, z) repraesentabitur (22) per z - z =ä-(x - a)+dy (y - y). Inde profluunt (elem. 353. 4o: 401 ) aequationes ad rectam normalem n , dz» - y= - j- (2-2) : et (elem. 355), facto compendii causa V^ [1 cos(nae)=- T 7; ' cos(y)= - 77,

120. Si aequalio ad superficiem curvam sese exhibet sub forma f( ae , r , z ) == Const. (o) ;cum habeamus (27. 4") -;=- vertetur aequatio ad planum tangens in (x - ac) f.'+ (y - y) f', -4- (z - z)f', = 0 (o') ; vertentur aequationes ad rectam normalem in x'- ac = ¥- y _ z'-z (o") ; f', i---i. et facto, compendii causa, V(f,'* + f,'*+ f'*) - * • cos(nae)= TJ f.', cos(y) = f,', cos(nz) = + f.' (o").

Superficies conoidicae et cylindraceae superficiebus curvis circumscriptae (121).

121. Ex puncto (ae. , yo , z. ) sumpto in plano tangente duc rectam ad contactus punctum (ae , y , z) : aequationes ad rectam istam erunt (elem. 353.2°) w-ac, = ar.-ae, =;*--» • U- yo=j^o-(o,). Continet autem recta (o,) angulum = 90° cum respondente (119) normali; igitur (elem. 354) f-=0 , seu (120). zo-z

Jam eliminatis ae , y , z ex (o) , (o,) et (o,) , habitisque ac. , Jr., , zo pro coordinatis cujusdam puncti fixi, inde obtinebitur aequatio inter v , u , T ; quae cum pertineat ad rectas omnes transeuntes per (ae. . jro , z.), superficiemque (o) in aliis atque aliis punctis tangentes , pertinebit etiam ad superficiem conoidicam ( elem, 416) ipsi (o) circum scriptam. Ad haec : debet constanter planum tangens transire per (aeo , yo , z.) ; igitur (120. o') df - Ex (o), et (o,) elшminetur prius y. gr. r, deinde a 5 prodibunt aequationes ad lineam illam, in qua inveniuntur omnia contactuum puncta. Sint nunc { v-x=a'(T- z), U- y=a"(T-z) }

(o,)

aequationes ad rectam, quae motu sibi parallelo gignit superficiem cylindraceam superficiei (o) circumscriptam: quoniam recta (o,) continet angulum = 90° cum respondente (119) normali, iccirco (elem. 354) 1- a-*-- a qs = 0, dae

seu ( 120 ) df

Jam eliminatis ae , y , z ex (o), (o,) et (o,), prodibit aequatio ad circumscriptam superficiem cylindraceam. Aequationes (o). (o.) praebebunt locum geometricum seu curvam, ubi inveniuntur contactuum puncta. Eaeempla. 1°. Proponatur invenienda aequatio ad conoidicam superficiem circumscriptam ellipsoidi ( elem. 407) ac2

Aequatio ista suppeditat -;; = -;- . ;-

ZT = -;- ; consequenter ex (o) habemus z

quae ob ellipsoidis aequationem traducitur ad

22o in prima (g) snbstituantur valores ae.-ae , Yo- y ex (o,) ;proveniet

a? quae ob secundam (g) traducitur ad 2T

Jamvero aequationes (o,) possunt sic scribi

v-ro, , unde ( elem. 147 )

j^o-y : igitur (elem. 143: 148) z.-z , seu ob secundam (g)

(aeo-ae) 7- +(y.-y)-; +(e.-»)-a-

et ob (g'),

a^

aequatio ad conoidicam superficiem circumscriptam ellipsoidi. 2°. Invenire aequationem ad cylindraceam superficiem circumscriptam ellipsoidi. Ex (o,) habemus (1°) a binae insuper (o,) sic possunt scribi v-ae multiplicentur singuli termini (i) per singula membra ('); proveniet

, quae B* ob ellipsoidis aequationem traducitur ad 2T Nunc ex (i') eruimus (elem. 143: 148) = (-x)+-; (•-x)+; (v - »

, seu ob (i) et (i"),

aequatio ad cylindraceam superficiem circumscriptam ellipsoidi. Aequationes (o,), (o,) pertineht ad superficies amplectentes loca geometrica omnium contactuum ; altera in casu conoidicae superficiei circumscriptae , altera in casu cy lindraceae.Fac ut (o) spectet ad superficies secundi ordinis; vertetur' (elem. 398. h,) formula (o,) in (\Delta x -4- Ez + Fy + G)(aeo - ae) + (By + Dz + Fac + H)(y. - y) + (Cz + Dr + Eae + K)(z. - z) = 0, seu (\Delta x + Ez +Fy + G)aeo + (B) -+ Dz + Fac + H)y., +.(Cz -- Dy -4- Eae + Κ)z. -H Gae-HHy + Kz - Q = 0. Inferimus (elem. 351. 1°), si e puncto (aeo , yo , z.) ducuntur plana tangentia superficiem secundi ordinis , omnia contactuüm puncta fore in curva plana.

Annotatio circa superficiem genitam motu lineae, facto juxta certam quamdam legem (122).

122. Notetur illud : designantibus f, et f, functiones datas , X functionem arbitrariam , c constantem arbitrariamque quantitatem, si repraesentatur per {£(• , •) - c, £0 , •) - X(e)} (s) linea sive recta sive curva ; aequatio f,(y • z) = X. repraesentabit superficiem genitam motu lineae (g,) proveniente ex aliis atque aliis valoribus, qui tribuuntur arbitrariae c. Hoc notato, vides, quae diximus (elem. 417... 420) de aequationibus ad superficies conoidicas et cylindraceas eo redire ut f, et f, exsistant lineares , ac X determinetur ex generatrice (g,) et rectrice

{ r,(• , •) = 0, r,(y , >) = 0 }

(33). Sive autem f, , f, exsistant lineares sive non , definietur X eliminando ae , y, z ex (g,) et (g) : prodibit enim χ(c) = f,(c); recidetque X in determinatam f, . Vides etiam, quae dicta sunt (121) de superficiebus conoidicis ac cylindraceis circumscriptis etc. , eo redire ut f , f, sint lineares , et binae (g,) spectent ad locum geo metricum respondentium contactuum. Ad haec : differentiata (g.) prius quoad alteram ex independentibus ac et y , dein quoad alteram , obvenient df, da _ At 7; - i(;; + 7; ;;-) , 5*+ 7*-;= dX. . ex quibus eliminata dX.

aSSeCIuemur

tialem aequationem differentialem ad superficiem (g.) absque arbitraria functione,aequationem scilicet amplectentem partiales derivatas functionis implicitae z, sed exspoliatam functione X.

De radiis osculi linearum curvarum, quae in data superftcie describuntur (123 - 127).

123. In data superficie (o. 120) intelligatur describi curva; et in hac sit s arcus, r radius osculi apud pun ctum (ae , y , z ), t tangens et v. normalis principalis apud idem punctum: erit (107: 111: 120) cos(nv)=cos(nae)cos(vae)+ cos(y)cos(yy) + cos(nz)cos(vz) = : atqui ex (o) semel iterumque differentiata prodit É cos*(ty) + # cos*(tz)+ #; cos(tae)cos(ty) + cos(ty)cos(tz). Ergo cos(xy) = cos(tae)cos(tz)+ dydz

ideoque

cos(nv) : dato nimirum puncto (ae , y , z) , dataque positione tangentis t ac normalis v , inde poterit elici radius osculi r; caeterum cum r et x' sint quantitates > 0, w et cos(sv) contrariis afficientur signis.

124. Si planum osculans (108) insistit ad perpendiculum plano tangenti , erit (elem. 249. 3°: 257. 2°) cos(nv) = == 1 ; proinde x'• r = = -=(o) In ea qua sumus hypothesi, cum centrum circuli osculatoris sit alicubi in n , coordinatae v , U , T illius centri explebunt ae quationem (o. 120) : hinc df, _ (v.- a)* + (U - 3^)* + (T - z)* de (elem. 347).

3°-'. - JT" - *-' _

125. Si aequatio ad superficiem datam ponitur resoluta quoad z, ut traducatur (116) ad z =f(x , 3)

facta f-fe , »-•-•, erunt -;; df df dy dz dx dx dya praeterea - dac*+dy*+df* Quare, denotante J*= qy(ae) projectionem curvae in plano XAY ut sit = \varphi'(x) • . exsistent x' = V[1-+( dae )* + ( dy

dff . , d*f „, , . 2d*f.

formulaeque (q) et (q')

vertentur in [4-?--H£+%**iVtt-F(£*-*-%'] 126. Proponitur nunc invenienda ejusmodi \varphi', cui respondeat maximus minimtusve r. d coinpendii causa exsistet r = *V^(1-- a,*+ b,*) : habes e(aa + bap*+-2c.®) == [1+ \varphi*-4- (a,-+ b,®')*] = 0 (q"); sumptisque differentialibus quoad q', proveniet b»£* + 2c, p)+ 2e(b,p' + c,)== 2(p'+ a,ô, -- b,*®') = 0 : respectu maximorum minimorumve valorum, quos, variata \varphi', dr recipit r , formula (q") praebet a,*+b,*)=0; ideoque £ = 0. Ergo (b,g'+ ca) == (\varphi' + a,b, + b,* \varphi')= c,E == a,b, et consequenter \varphi' = T7EEEEEEEET : hunc valorem \varphi substitue in (q`); emerget (a,* == a,*: quae , factis 1 + a,*+ b,* = a, ==2a,b,c, = (1 + a,*)b,== (1 + b,*)a, = B , aab, - c*, = c , evadet ce* - B£* + A = 0.

Hinc E =

ac proinde

- quorum valorum alter suppeditabit maximum r , alter miiml mum.

127. Pronum est inde concludere, si data superficies secatur planis ductis per normalem n , ex omnibus intersectionibus binas fore, alteram maxima in puncto (ae, J^ z) praeditam curvedine, alteram minima : istiusmodi intersectiones, nec non respondentes radii r vocantur principales. Eliminata e ex (q") et (q"'), factisque == c,(1+a,*)== a,a,6, = A , == a,( 1 + b,*)= b,(1-Ha,*) = B, == ca(1-{- b,*) == a,b,b, = C , prodibit C\rho'• - B®'+ A = 0 , unde

B == V(B* - 4AC) Hsti duo valores \varphi' exprimunt tangentes angulorum, quos axis AX efficit cum rectis lineis tangentibus in puncto (ae , y) projectiones intersectionum principalium in plano XAY: exhibeantur ii valores per \varphi', et \varphi', ; erit \varphi,® Et quoniam positio plani XAY est arbitraria, constituatur ita ut congruat cum plano tangente: rectae lineae, quibus in puncto (ae , y , z) tanguntur intersectiones principales , congruent cum rectis tangentibus in puncto (ae , y) projectiones ipsarum principalium intersectionum in plano XAY ; df eruntque z=f(x, y) = 0 et dae apud - (ae , J^ , z) , ac proinde A = == c, , C = =;= c, . Hinc \varphi',®', -+ 1 = 0 : intersectionum videlicet principalium altera (elem. 343. 1°) exsistet alteri perpendicularis. Porro duarum curvarum altera ibi dicitur alteri perpendicularis ubi respectivae tangentes efficiunt angulum = 90°. Eliminatis ae , y , z , \varphi' ope formularum (q"), (q"),(q""), emerget aequatio ad superficiem, ubi sita sunt centra circulorum osculantium omnes intersectiones principales.

De superftciebus curvis sese osculantibus (128 - 129).

128. Superficies curvae z == f(ac , y) et z = r(ae, J^) ibi dicuntur sese osculari, ubi et planum tangens habent habent commune, et sectiones principales sitas in iisdem planis normalibus praeditasque iisdem priucipalibus osculi radiis: permauebunt itaque \varphi' (127) et respondens r ( 126) quum ab una superficie transitur ad alteram; permanet autem (119) V[1+ a,*+b,*] : idipsum ergo dicendum de & (126), et consequenter de a, + b.p'* + 2c,q'; erit nimirum j++ utcumque caeteroqui se habet \varphi'. Consequitur, quoad osculationis punctum (ae , jr , z), praeter r - , , 4- fore etiam (elem. 110.5°) Mutua illarum superficierum appropinquatio prope (ae, y, z) desumi poterit ex valore infinitesimae quantitatis f(* + \Delta x, r+\Delta y)- *(* +A*, r + \Delta y): certe si ejus ordinem exprimit numerus c, superficierum altera ad alteram in viciniis puncti (ae , jr, z) accedet maxime (6) aliarum omnium, quibus respondet ordo quantitatis ejusmodi expressus per numerum < c.

129. Fac ut infinitesimae $\Delta x,\Delta y$ censeantur ambae ordinis primi, et pone (5) $\Delta x=\beta dx,\Delta y=\beta dy$, ut superior quantitas infinitesima ordinis c exhibeatur per ftae-- 3dae, y + \beta dy) -r--pus, » + \beta dy) ; quam designa compendii causa per F(3); sit autem m numerus integer immediate < c. Evanescente \beta evanescent (5) F(3) ideoque (42. 4°) simul g * 3* cum 8 evanescent etiam F(\beta) , F'(\beta), F''(\beta) , F'''(\beta) , . . . F(\beta): exsistent igitur F(0) = 0, F(0) = 0 , F"(0) = 0, F"(0) = 0 , ... F*(0) = 0; seu (35) f(ae , y) - f(ac , y) == 0, df(ae , y) - dr(ae , y) = 0 ,d*f(ae , j^) - d*r(ae , y) = 0, d'f(ac , 3) - d*f(ae , y)=0, ... d'f(ae , y) - d*r(ae , y) = 0. Istarum prima, secunda ac tertia praebent (34) formulas (p); d°f _ d°r d°f _ d* quarta suppeditat (34)AAT- Z$ • A - Z5 • d°f • _ _dèr

d*f__ _d*r; et sic de caeteris.

dvdy* T ZEF * ZEZWT ZEW Vides binis F(0) = 0, F'(0) = 0 respondere merum superficierum contactum ; ternis F(0) = 0, F/(0) = 0 et F"\0) = 0 intimiorem contactum, meram videlicet osculationem; quaternis F(0)=0, F(0) = 0, F"(0) = 0 et F"(0)= 0 contactum adhuc intimiorem; etc.: recole, quae diximus (97). -

PRINCIPIA CALCULI INTEGRAILIS

GENERALES NOTIONES CIRCA INTEGRALIA SIVE INDEFINITA SIVE DEFINITA.

Circa integralia indefinita (130 — 133).

130. Quemadmodum data functione quaeruntur ejus differentialia, ita vicissim dato differentiali , quaeri potest functio unde illud promanat; et quemadmodum istarum investigationum altera spectat ad calculum differentialem , sic altera ad calculum pertinet qui dicitur integralis. Sint F(ae), f(ae) ejusmodi functiones, ut exsistat F'(x) = f(x): quantitas F(x)-+- C vocatur integrale indeftnitum differentialis f(x)dae , designaturque praefigendo litteram J ipsi differentiali, ut scribatur ff.d. = F(ae) -+- C : exprimit C quantitatem constantem atque arbitrariam, quaecum functione primitiva consociari potest, quin tamen (17)appareat in derivata.

131. Formula f(ae)dae ita sese aliquando exhibet, ut statim appareat eam esse differentiale cujusdam datae functionis; tunc vero in promptu est integrale: atque hoc pacto adae habemus (17; 20. 3°: 23) fadx = aac ; modo tamen in 'hac ultima formula non sit a = 1) ; fl(a)a*dae = a* , fa*dx = s.r d. ij : f #- = l(ae) ; fcosaedae = sinae ; fsinaedae = . f haec postrema suppeditat sinae cosae unumquodque ex his integralibus sua est addenda quantitas constans et arbitraria C.

132. Interdum formula f(x)dae , de cujus integratione non constat , per quasdam substitutiones transformatur in aliam , cujus integrale illico cognoscitur. Positis v. gr. ae*-+- a* l(x) = z , sin ae = z , cos ae = z • a -+- bcos ae = z , emer acdae sent f-i£ — : resurrit (131) animadversio de additione constantis arbitrariae C.

133. In eam , quam diximus (132), transformationem nonnunquam conducit formula (20. 2°) d(st) = sdt -+- tds ; unde fsdt = st — ftds. dae Positis v. gr. 1°. s = «Sero .... , dr = dx , provenient _-^ C : sic operantes dicimur integrare per partes.

Circa integralia definita (134 — 137).

134. Determinantes quantitatem arbitrariam C ita , ut integrale indefinitum (130) evanescat quum fit ae = ac, , incipiat nimirum ab x = ac, , habebimus F(aeo) -+- C = 0, Jc C = -F(x.); et designato novo integrali per ipsumque integrale indefinitum poterit sic exhiberi, Si f(x) repraesentat ordinatas cujuspiam lineae y =f(x) ,erit f(x)dae differentiale respondentis (100) areae A ; videlicet f(x)dx = da , et consequenter

135. Sume ae = ae, in integrali , quod incipit (134) ab ae, : habebis JTr.)d. — Fe.) — Fea. integrale scilicet deftnitum ; hinc v. gr. ( 131 : 132 ) Vides fore f f(ac)dae = —

136. Haec subjungimus quoad integralia definita.

1°. Intervallum ae, — ae, dividatur in partes xr-aeo , aea-ae, , aeg-ae, , ... ae,-x,-, (p): ac, quoniam f f(x)dx = F(ae,) — F(aeo) , f f(ae)dx = f(x)dae = F(ae,)— F(x,_,), iccirco

2°. Numerus partium (p), quas ponimus esse ejusdem signi , indefinite augeatur, et consequenter vergant singulae ad limitem = 0: erunt - (41) lim. F(ac, (ae,) ) — F(ac.sti) li ), unafolto – a, - aco f(aco) -- a 1 , F(aca) – F(ac,) a 2 - ac, = fa,) + aa , . . . F(ac,) f(an-)+ da ; exprimunt a, , aa . . . . a, quantitates vergentes ad lim. = 0 una cum singulis (p). Hinc F(ac,) – F(aco) = (ac, – aco ) faco) + (a, - co ) 7, , F(aa) – F(ac,) = (ara – a facto, compendii causa, S = (a - ce) faco) + (ea -a) fac,) +-... --(a, - ea-) fan-) , erit F(ac)–F(aco)= S--(ar-as)a,+. -- (aer-an-1)ga.

3°. Per b, , ba, ... b, designentur n quantitates ejusdem signi, quales ponuntur partes (p) ; per a, , aa , “ a, totidem quantitates sive eiusdem, sive diversi signi, quales sunt fac,), fa), ..., o, , oa . . . . . . per A maxima et per a minima omnium a, , aa , . . . an ; per o quantitas media inter easdem a, , aa , . . . an , idest A > M > A : erit a,b, + aaba +... -+- a,b,.= (b, +b, -+- ... -}- b,)m. Etenim ex differentiis A-a, , A-a,,... A-a,, a,-A, a,-a,... a, — a nulla potest esse < 0 ; ideoque producta b,(A—a,), ba(A-a,) nequeunt exsistere partim > 0 ac partim < 0. Consequi tur differentias (b,-+- b, +. . . -+- b,)A -(a,b, + a,b, -+-... -+ a,b,) , a,b, + a,b, +-... •+- a,b, — (b, + b, +-.. • + b))a fore ambas ejusdem signi ; binasque proinde a,b,-+a,b,-+-... -+-a,ö, +b, fore signi contrarii. Interiacebit ergo a,b, +a,b, + ... a,b,. b,-+-ba-- ... -+-b, a,b,-+-a-b.-H... +a,b, maximam A et minimam A; erit nempe b, + b, -+-... -+-b, M : propterea etc.

4°. Designantibus nunc ftae,) et a, quantitates medias , alteram inter f(ac.) , ftae,), ... f(x,_,), alteram inter g, , 3a , • . . \alpha, , erit F(ae,) — F(aco) = S -+- (ae, — aco)a,„ = (ae, - aeo) f(ae,„) -+- (ae, — ac)a,„ . Atqui, aucto indefinite numero partium (p ), vergit a, ad lim. = 0 ; igitur F, ae.) — F(r.) Seu .ac f(ae)dae = lim. S = (ae, — ae.)f(x,„): {το

superfluum est admonere de continuitate functionis f(x) ab ae, ad ae, . Notetur illud. scribentes valorem S in hunc modum , S=(x,-x•)(x„— a)f(acJ;—;*{*,-x,)(ae, — a)f(x, )—;+ , sub hypothesi ac,-,-a quantitatis ae • perstantis in eodem signo ab ae, ad ac, inferimus (3°) S =(x, — a) f(ac.) [(x,- aeo) aco - a; -+- ideoque lim.S = (ae. - a) f(x,„)

Seu

2Co

f(ae)dae = (x,„-a) f(x.) l( ): ac.-a; et evanescente a l(j).

5. Facto s, — (x, — a.)f(*)-+-(**-*'^*)+~+ (ac. — ac,_,) f(ac.), exsistet S, — S = (x, — ac.)[f(ae) — S, — S = (ae, — ae.)M, denotata per M quantitate media inter ftae,) — f(ac.) ,ftar,) — f(ae,), ... flae,) — f(x,_,). Atqui hae differentiae ,aucto indefinite numero partium (p) , vergunt ad lim. =0: idipsum ergo dicendum de media M ; ideoque lim.(S, — S ) = 0, et lim. S, = lim.S =

6°. Functione media inter f(ac.) et ftae,) exhibita per f(xo) , inter flae,) et f(x,) per f(x,), etc. ; quoniam (4°) ac, f(x)dx =(x,- ae»)f(x.), f(x)dae==(ae, — ae,) f(x,),..., iccirco (1°) ac, f(x)d. t-= (ae,-ac.) f(x.) + (aca- ac,)f(x,)-+- ••• + (ae,- z,-,)f(x,-1). , Vides valorem f f(x)dx , sub hypothesi functionis f(ae) vel constanter crescentis vel constanter decrescentis ab ac. ad ae, , interjacere valores S et S, : cum autem semisum S+S, ma quoque interjaceat S et S, 5 consequitur valo- `rem numericum differentiae s£s. — f[(x)dae ( ac proinde erroris qui committitur sumendo f(a)dae = ) sub dicta hypothesi haud pertingere ad valorem S -|— S, numericum differentiae ———–L-— S = – 1-—– .

7°. Si partes (p) accipiuntur aequales, nimirum ae, - ae. = ae, — ae, == . . . = ae, — x,_, S = h[f(ac.)-+-ftae. -+- h)-+- f(ae. -+-2h)-+-...-+- f(ae, — h)] , S, = h[f(aeo + h) + ftae, + 2h)-+- . . . -+-f(ae,)]. Quocirca , crescente vel decrescente constantcr f(ae) ab ac, ad ae, , numericus valor erroris, qui committitur sumendo S-|-S, ft*)dw= *#- =W[}f(r.)+(x.-+)+fa.--2h)-+-++f(x.)] , haud pertinget ad == = == -j-[f(ae,)

quoad functionem v. gr. f(x) =1-+-ae*, factis ac, = 0, 1 ac, = 1 et h

=-;- , erunt f(ae.) = 1 , f(r. +h)=-;;-

p.

f(x, -{- 2h) =

i; , ftae, -+- 3h) =-; ; quique

error committeretur •

sumendo

J, HIE-
dae
-5
M.
[ 75 M.
-+-
jö* 9
jg*- 9
TA 4
],

-

-

M.
1
1

is non pertingeret

ad

;-[!
e-
+]=-;
©

4 70

-

Caetero, utcumque se habet functio continua f(ae) ab ar, ad ac, , satis erit comparare (6*) valorem f fted. = h[f(x.)-+-f(x,)-+-... f(x,-,)] cum valoribus S et S, ut intelligamus differentiam vel in άm.

20,

ter S et

f

f{ae}dae , vel inter S, et
ipsum f
f(x)dae , haud

úa

ύo

pertingere ad factum ex nh = ae, — ae, in maximum om nium illorum valorum , quos recipit f(ac-+\Delta x) — f(x) quum assumitur ae ab ac. ad ae, et \Delta x ab 0 ad h. Est autem (42. 3°) f(ac -+- \Delta x) — f(x) = \Delta xf^(x -+- £\Delta x) : itaque si exhibet k maximum inter valores omnes, quorum est capax f'(ae) ab ae. ad ae, , profecto differentia illa haud pertinget ad (ae,-ae,)hk.

8°. Facto (132) f(ae)dx = f(z)dz, per F(a)-+-C et r(z)-+-C exhibeantur respectiva integralia indefinita , ut exsistat F(ae) = r(z) -+- C : sub hypothesi valorum ae, ct z, , itemque ae, et z, , sibi mutuo respondentium erunt F(ac.)= f(z.)-+- C , F(ae,) = f(z,) -+- C; ideoque F(ae,) — F(ac.) = f(z,) — *(z.) , nimirum f: f(ae)dae = f3*. 20n 9°. Si ponitur valere aequatio

\varphi(x)f(x)dx = 0 ut

2Co cumque alioquin se habet functio indeterminata p(ae), exsi stet necessario f{a) =0 : secus enim, cum liceat ab ae. ad x, sic assumere \varphi(ae), ut ftae) et ipsa q(ae) vel eodem vel con trariis signis constanter afficiantur , certe nihil obstaret quo 474 minus p(ae)f(ae) ab aeo ad ae, fieret quantitas vel constanter positiva vel constanter negativa; tunc vero , facta \varphi(ae)f(x)= ά,. X(ae), integrale (4°)

X(x)dx = (ae, — ae.)X(ae,) non es

3Co set generatim = 0: quod cum sit contra hypothesim, e xsistet necessario f(x) = 0. Idipsum verum erit etsi habentur p(x.) = 0 et p(r,)=0; adhuc namque intra ae, et ae, poterit sic assumi p(ae), ut f{ae) et ipsa p(ae) vel eodem vel contrariis signis constanter afficiantur. 137. Quoad functionem ftae , y) variabilium independen tium ac et y, haec notamus• 1o.

d,[(x,

-
x.)f(aeo •
y)-+-
(aea - ac,)f(ae;
•
}^) + ...]=

[(x,

-

zo)f,'(xo •J') +
(aca -
x,)f,'(x, , y) -+-
. . .
]dy
5

ideoque ( 136. 4°) 30a

ὐ,

άa

dy f7t*,3)de— f7/(*,y)dcdr- f^a/*, »a. -

J('o

2Co
3Co

ά

A,J^

2®
A^J^

2. Hinc a, fT fTr,ydra)- fa, forte, yidsar 2Co

7^o

ú'o
J^o

3c J.

fae , y)daedy : et facta integratione respectu y ,

JU' ac

A, )^

J^
,,ac
-

f f

f(ae, %)dxdy =f

f
f(ae , y)dacdy.

JCo

7o

J/o
ὐo

3°. Ex valoribus (136. 2°. 5°) S et S, inferimus 172 .3'n d/

/

ftae , y)dae

a'., —; —

-

-f(ae. ».)^),

.a', d

/

f(ae, y)dae

3Co —; —

—

fae, •J).

4°. Posita f(ae , y) = (ae — y)* f( y), erit ({•) J^

J^

d.f e-rt»- f„..-» •»- J^ n.f

(ae — y)*T'fJ/)dydae : unde .

J^o J^

-

A
^^

f* f

(*— y)'-' fydrd. =-; f

(ae — y)" f(y)d) ;

Ju*o

J(o

J/o

et facto n = 1 , J. J'»-/'•

— y)f(j)d).

DE INTEGRATIONE DIFFERENTIALIUM UNICAM COMPLECTENTIUM VARIABILEM QUANTITATEM.

Integratio differentialium algebraicorum (138 - 140).

138. Diferentiale

f(ae)dae dicitur algebraicum quotiescum

que functio

f(ae)

erit
(3) algebraica; poterit autem f(ae) esse

vel rationalis, vel irrationalis: si f(ac) exsistit rationalis, de componetur f(ae)dae in plures terminos (72), qui sese exhi bdae bebunt sub aliqua ex hisce formis, ba*dae, TT • 4 73 bdae

(a = b|^— 1)dae

(a = bV—4)dae .

deno (EINRYT ' TIFERVIT ' T( TERWITT' tant b , a , k , h constantes realesque quantitates, et n nu merum integrum. Jam si terminorum singulorum habean tur integralia, summa ex omnibus hisce integralibus erit (20. 1°: 23) integrale ff{ae}dae : illorum vero terminorum in 6a^n** tegralia sunt (131: 132) , fbae"dx = n+- 1 + C, bdx _ , ,/,

2

δdx
_

=-= {bl(. — k)*+ c.

J-to;

-

ô

(a == bi/ — 1)dae

(n — 1)(ae — k)"-'

+c,

AETEJZET*

f (a = bV^ — 1)(ae — k == hy^ — 1)dae (ae — k)*-+- h* T —k)dae

' hdc

(a=;= bV —

» f$£; +®=av—*J TACEFTH*

°

£(a=bV—f)l[(x — k)* + h*]-+- (5== aV —1)arc(tang = ac — k

(a == bV—f)dac

\ a = bV^—1 T TETUETTEVETE

+ C.

- -

ac*da:

f
2
4

Sic v. gr.

f

3:2 — 1
= II (ac*-+-1—- ac*—1 )dae =

174

3

4

4

.ac*

fe- + * + * -;— ===;)dx-++ M.

1-ae ,,

dac
-
4

1

4

1
-

7. * ZEZET * ZEE V — 1)

)dx =

• • -i- 1

1

• i(*j 1 — £ -+c

Sed

onatur int

d
atim formula
me

e01 orOo0naLur integram01a 2€mei*all. prop

3

8
ac"=-1
'

ubi numerus integer n minor est numero integro m: de me nOtanteS

4

τ per t , assequimur (66. 1°. 2°. 3°: 72)

quoad m parem, ac*

4

4|
cos2τ—V^Tisin2r

jE-T- 7T [

—;--

21r
_-
21t
+

J^- CQS

j-+ V-1 sinTAT

eos2t -+- V -isin2t

cos4t—V—1sin4t

21r

•_-

21r
47:
47r

ac-cos--

m,

V.
L/ —1 sin—–
ι
mo,
ac- cos-
m& -i- V.
L/-1
sim —
m,

cos4*+V-Tsin4t -+-

—+ ... +

4t;

— .

4ft

ac — cos—

mm,

-1/
V - — 1 sim —
umo

cos(m—2)t — V-isin(m— 2)r + m-2

— .

m—2

•—cos—;

-

tr
+V—1sin
—1
m.
7r

175 cos(m—2)τ-+ V^T, sin(m—2)τ

(—1)* ]

a" _

m—2

m—2

a-ET-' '
AEL, TT

ac—cos —

tt-l/-1si

n

7t

um,

V^

û
-

- - cost -+-

V ETsimt

1 . cost — V—1sint ---[

+

my

tr

•—• -
rr
t:
_-
ττ

•c

- - cos;+V

- -
—1sin-
sin;
ac-cos-
my — 1/- V.
1 sin
m,

cos3t — V—1sin3t

cos3t -+ VETsin3t

-+-... + 31t

— .

37:
37t
tr

Jc- Cos-

—1sin--

ac-cos- — 1/ —1sin

cos(m—i)* — VE sin(m— 1)* +- my-

•1

-
m-1

•c •

• COs

tt
+ V—1sin
t;

mò

mœ

cos(m—1)r-+VΕisin(m—i)r -|-

1:

m—1 ac— cos

T-V—1sin

tr

quoad m imparem, ac'*

-

1 [
4
+
cos2t — V—1sin2t

-H ac" -1

m *ac-1

21.

—

2r.

• —cos-; - - -_- _

+ V-1
—1 sin
sin —
m,

476 cos2r -+- V =Tsin2r

—L-

ess4r—VEÎsin4t

-\- 27r

-

2t.
47:
— . 4t.

x-cos;

-cos... — 1/

V^ — 1 sim-
m,
ac- cos —-
m,
-+- V.
V -1sin—
m.

cos4t

-Tsin4t

cos(m—f)t — VETsin(m—4)*

••* t ■^-'*

-+-...-,-

47r —

4π

m
-
—
. m—1

ac-cos--

um,

V^
L/-1sin-
mm,
.ac- cos
π-+-L/7—1sin
V^
um,
Tt

cos(m—f)r-+-|^—1sin(m—f)t ] » ac •

• cos

7. — V^—1 sin
TI

imo,

mm,

- ac* - - 1 , cos*—V Tsint

cos*+VEisint

I

+
+

ττ

-

tt
tr
-
tt

Jc- cOs-

j-+ V. -1sin—

j
ae-cos
- cos -
umb _ V-
1sin
m}

eos3*—VEÎsin3r

+

cos3*-+VE sin3t
+

3tt

_-

3tt
3t;
— . 3t.

J^- cos-

-1 sin- .

ac- cos- — 1/ — 1sin —

j+ V^

m,

;— V
m.

cos(m—2)τ—V^ΈΤsin(m—2): + —2

—

m-2

Jc- cos

τ-+-V^—1sin

tr

■

uiro,

cos(m—2)*+VEisin(m—2)t

(—1)"

1. m—2

x-+1

Jc-COS

unu

π-L/-1
V.
sin
7t

177 Quare 1°. pro m pari , na

1

2
4
2

fj-=

-

[co-*f'lni, ac* — 2aecos-£---1)--

ac"°—1

m,

m,
my

1

4

-2
1)

co;*f!;i(,'- 2xco£+*)+

- --

+co£i#flnit*
-

m. 7r JC- CoS •

m-2

2 . . 2(n-i-1)

um,

2

accos-;

—— τ-+-1
-+-1)]
)l-— —
m. [sim
f sí
mo,
TI,

arc(tang

ę

-
.
2T.
)-+-

sin-; tt . 4

M

3c•COS.—
-

sunt,

(n-i-

harcans—
m,
)-+•...
-.-.i't*'*f!

tr.arc(tang= m,

.

4π
m,

J?/}

7,

—!—)] + 7T l(ae —1)* — %£

l(x-+-1)*-|- C; itemque

m3 tr na

1

n--1
t;

f -*-—

— 1 [cos

T. l(ae* —
2aecos--- 1) -+-

ac"+1

m,

m3

M.

3

—1
4

co*** \i(-2.ccos* +1)-+-...-H co£t'**!!, l(x*— m,

m}

m»

x-eos-- m-1

2

n+1
-•vej

2 zoos

-_-

; τ-+-1)]-}-
—
Imo [sin
I sin — m.
— ftarc(tang
Tr.
- •
.
t.
•

) ._ san imo, 12 178 37r ac- coS— -+- sin (

3

1. 4

harctans —#)+
-
•

• sam— m} m-1 JC- COS —TI

-

._(m-1)(n--1)

mò

sin—–-*trarc(tamg=—

T—)1

—- C.

m,

( mg

m-1
)]sim — ττ

rrt, 2". Pro m impari , f

É na

•
=: •
1
•
[co*tflnis-ascos 2
1
£-
21t
1) -+-

3c"*—1

mo

umo
mm,

4(n-H 1) 47r

(m-1)(n-i-1)o

tt /
*—2
-
_-
•••
_-
T. l(aca—

cos—;

!(x'-2xcos

um,
+1)-+-...-+cos

-

m}

tt 1

2 , . 2(n--f)

J^- cos

m}- 2ae

JC COę -

m,
τ-+-1)] --
um, [sin -
um, rareuang-
-
a
-
. 2t
)+

san- m& - 47r •

- 1)

a-cos;
(m-1)(n-H1)

Ju/ù —— m,

—— Tr.

arc(tang
=
.
4t )-+-...-+-sin
•• •
im-—–——7t.
umo
arc(tang
ta/?&r =

san m} m-1 3c- cos

m

77

1 '

ac"dac

. m-1

)]--;'(a—*)*+ C ;

itemque /
7T
-—

sum - -7:

-

m. -

{co."#'ni(-2.coi+. 1

4
)-+- co.*t 1
hie asco*+* )-+-...

m& 1 79 — 2

4

-

+co-"—£!tf 'l* !(r*— 2aeco, *

2

T -+- 1)] -+-

me tr JC- cos

•

£t -

"f'* arcuan g.,+sin

3(n -+- 1)
(t-1 Sum — Tr.
= -
-
7I.arC(tan
or —

m,

imo,

8
.
ττ
r,
8.

m, ττ Jc- ceos - — *-) +—

•

•
•
+
sam,
-
^=*+*). —2
ftarc(tang =

sim — m, m—2 .2C—cOj;

7r

(—1)*

um,

-

——5—)]---;-/(1 -+-a), -,- c. Sene

7r

m,

139. Functio algebraica f(a) exsistat irrationalis: poterit adhuc adhiberi tradita methodus (138), modo sese offerat ejusmodi relatio χ(ae , z) = 0, cujus

ope differentiale f(x)dae transformari queat in aliud rationaliter expres

r / _c

,

, -*

-

a 'ac*-+-

5 ra

sum per

p. solam z. Sit

Sit v. gr. f(ae) = f[ace • (j£-
\ZT7-) Jae**;
acc-i.

denotat n numerum integrum, c numerum quemvis, f fun a'ae*-|-B' CtlO

ionem rationalem: relatio

a **-f- 6 — 2" = 0 p praebet

b'—bz'*

-

nz***(a'b — ab')da
-

ac*= —–; , ac°~'d c —

m.

^\2
5 ideoque

42'*- @

c(az* — a')

ftae)dx =

-

mz*-'(a'/, g? —

3°)

/
f[...;
b'— ô*; fo.
, z]dz : sic data

c(az“-a')

dez

- a.

180 ac?f(x) = — — , erunt c = 3 , n = 6 , (1—ac3)(2ac3—

•)#

a = 0, b = 1 , a' = 2, b^ = — 1 , 2ae* — 1 — 2° = 0 , f. a. — £ 140. Sit quoque f(x) = f}ae , V[(aa + b)* -+- (a'ae + ö')(a"ae -+- ò)T }

: relatio (a'ae + b')z* — 2(aae -+-

b)z — (a"ac -+- ò") = 0 suppeditat _ aae -+- b -+- V[(aae + b)* -+- (a'ae -Hb')(a'ae + b")] -

a'ae + b'

V[(aae + b)* -+-(a'ac -+- b') (a" -+- b")] = 2bz — b'z* -+- 5" » (a'ac -+- b')z — (aae -+-b), ac =

a'z* — 2az — a"

_2[(ab — a'b)z*-+- (a"b' — a'b")z -+- ab" — a"b]dz -

•

dac (a'z* — 2az — a")* Quibus positis liquet formulam f} x , V[(ax + b)•+-(a'ae + &)(a'ae + W)] {dx posse rationaliter exprimi per solam z. Fiat. 1°. a = 0 , b = 0; 29. a' = 0, b' = 1 , b = 0 ; M 31 3°. a' = 1, a = 0 , ò' = 0. Erit in 1°. casu V^[(a'ae -4- b) (a'ae + b")] a'ae -+- b' f{x , V[(a'+ W) (a"* + W)]}dx= 2(ab'—a'b")

{

ô" — δ/z2
(a'b" — a"b')z

(a'z*—a")*

a'z* — a"

a'z* — a
{de.

In 2°. z = aa -+- V(a*ae* -+- a'ae -{- b'), f; ac , V(a*ae* -+- a'ae -+- b") }dae

—

2(az*-+- a"z-Hab") f(

za — δ"

az* -+- a"z -+- ab"

(2az -+- a")*

2az-+-a" '

2az-+a"
)dz.

In 3°. , assumpta

p.

a" negative;
£

z -

b -+- V^(b* + b"ae — a"a*)

2C f{ae , V(b* -+- b"ae — a"ae*) }dx

-

2(bz*-+-B"z —a"b)

„ „ 2öz-+-δ"

bz*+ b/z —
ba”(z* -+- a")* z*-EaT ' z* -+- a" )dz.

Hinc v. gr. dx

-;

2d7z

V[ (a'ae -+- b) (a'ae -+- b")]

a'z* — a"

4

dz

dz

=

-

(
-—
a^'
)
»

• ./!

c/.^**'

s--w^£-
•—v £

182 dae

2dz

4
dz

-

...

-
- -
-

V(a*ae*-+-a'ae--b)

2az-+-a"

a.
a
?

z -+- —— 2a

-

dae

2dz

V(δa -+- b'ae — a'ae*) — — — -- a'T '

et consequenter

f

-

dac
-

V[(a'c -+- b') (a"ae -f- 5")T T 1

v(a'* + ') + v^£- v(a'ae + V)

– 1

a"

-+- C ,

V*•" \ v(a'* -+ *)— v^£- v(aa + y) fdac

-

V(a*z*-EaTATETT l(a*ae -+- 4 a" -+- aV(a*ae* + a'ae -+- b")

—+-

C , \omega. dae

-

V(b* -+- b"ac — a"ae*)

-

2

b -+- V^(5* —H δac

— a"ae*)Va'
arc(cot =
acV
a" ) -H C.

Integratio binomii differentialis ad integrationcm aliorum ejusdem generis differentialium traducta (141 — 142).

141.

Formul.

-
*.

| ... ae*(aae* -+- b)*dac (g) 183 vocatur binomium differentiale: fiat ae*=y ; vertetur (g) in k+I 4. -=- -1 k —H

1

— r (ay -+- b)*dy seu, facto — 1 = r , in c. 4y ay + b/a, (s); itaque integratio formulae (g) traducitur ad integrationem formulae (g'). Si m, n , p denotant numeros integros, sin -

ns

m.

1que vel r = == m et h = == – , vel r = == – et p. m,

m,

h = == m , vel r = =*= – et h = == m =;=- ,

pote

p. rit (g') rationaliter exprimi : etenim satis erit ponere in pri mo casu ay -+- b = z* , in secundo y = zP, in tertio y = (ay -+- b)z°. 142. Integratio formulae (g') traducitur ad integratio nem aliarum quarumdam formularum: pone 4

J^

r•
=-
h-+-r-*I.

— atrat; (:;;; r . *-*-+*" -

1

ay + b ,
-

h+r-+i 5 -;-t-(-;-* , * — , S=

-

;;:;:;;-( 4
ar-H)
h-+-r+2
,
T =(
-
25 j^
E'

r+1 .

»

,**r*a S= — ————b(h -+- 1) , a)^

+

ô
y*
3

T = (-; 484 ——^

-

I
.

==i-p-i;

w

T = (ay -4- b)** •

—a!

δ).

£#-, T = y*i ; erit semper sdr==y'(ay-+-b)“dy: et quia (133) fsdr=sT— ftds, ideo 1°. ex prima ac secunda positione emergent fy"(ay -+- r•

8)*

δr

b)'dy — -? (ay -+-

-

p*- I
„Äy/,1

) dy

a(h

—Ho- r -+-,
1)
a(h -+-
p•
+1) fy
(ay-+b) dy,

p.

h

_y**'(ay-+b)*
h.
j*
h-I

fy"(ay-+-δ)*dy = h -|- r-H1 + EjT;fr (ay -+- ò)*-*dy. 20. E

-

p.
h
3**'(ay-+-ò)**'

x tertia et quarta, fy'(ay-{-b)*dy=

b(r-H1)

a(h -+-r -+- 2)

i

=ij-f r*er + byay, fy® + bydy

/ _ J*(ay + b)**' , h-+ r -+-2 ,.,

i

äqiii--- -##-frar--»*ar. 3^(ay-+-b)*** 3°. Ex quinta et sexta, fy*(ay-{-b)*dy = a(h -+- 1) >- p.

=;; fy-ar-- b)*® , fyay + ydy

y"*'(ay -+- ò)^

ah

,.,
-

—=—-—-;i- f,^er--»-¥. 185 Sive r , h sint ambo positivi, sive ambo negativi, sive alter positivus alter negativus, paululum attendenti patebit, ope istarum formularum traduci posse fy'(a) -+- b)*dy ad alia ejusdem generis integralia in quibus exponentes quan titatum y et ay -+- b haud praetergrediantur limites 0, —1. Eaeempla. 1 o,

J—

*=
d.

: erunt k = 0, c = 2, h = — m ,

(1 — ac^)"* a = — 1 , b = 1 , r = — 3 ; hinc , ob secundam (28), dae

—£.

}*

f —

(1 — ac*)"*

= £ 4
fyT£ <e
(1— y)"dy= -m
-_
2(m-1)(1-yy-' -
+-

2m-3 . _,

-m

dac

£j fr

(1 — %)*T"dy , seu

J a* —
—

sar

, 2m — 3

2(m-T)(T-z*yTTT 2(m —T) dac (1 — a *)"*T*

rursus

f

dx

-—
JC

5-7=- — 3;=;i;-:;= + 2m — 5 2(m—2) dae (1

-

a*yn-*
*»
etC.

Ex quibus patet, si numerus m est integer , traduci poneft*; dae

ad f

dae
*= -j-!
1 , , 1--ae )* , ,
-+- C.

1 — ac

1-ae

186

---

2o.

J-tí*=; : erunt c = 2, a = — 1 , b = 1 ,

- mo

— 1

; ideoque ob primam (1°)

2 1. m-i a.“dac

wm -;

3T*( 1 -j)'

t=;=; fyT(1-9)-* 2

dy=——;-
+

• £1 f,*a

-% a
f
ac” dac

-J r ' (-rr* dr, seu J tii-; ; —

1. 2 — -*m- I (1

— ac*)

r*
-H
m,
— 1
fam-a(!
-
a*)-* dac :
rursus

um,

ira,

f ac"-*dac , _

ac"-3(1-ac^)

, m—3 ^
ac"-*dac

at- -= —

=-

, etc.

V^(1-ae*)

m—2

m—2
V^(1 — ae*)

It

-

ducet
f ac”dac

aque si m est par, traducetur

V^(1 — a*)

f

dac

(si
)-+- C ; si impar , ad

——=— = arc(sun = ac

5

•

V (1 — ae^) vo .

acdae

-

fti*a;—

ae*)

=
-
-
vi* [4 — — ^^?
*•)-+ C.

Integratio differentialium complectentium functiones trigonometricas, logarithmicas et exponentiales (143 — 147).

143.

Integrale

fsin*ae cos*aedae

(q)

487 traduci potest ad alia quaedam ejusdem generis integralia: '

1

•

.

•
xe

nam facto sin*ae = y , ac proinde sin ae = y^ , cosae = A. 1 —

-

*e
•
=
-;
d. ty
-

(

y)T , 2sinaccosaedae = dy , dae

ΣΙ\alphaΣΤ Τ

4. d/y. Β-i £-! , proveniet (q) = £ fy7T(1

— y)*dy

; ideo

2y*(*— y)* que (142. 1°. 2°. 3°.) sin*-*ac cos8*'ac 1°. fsin*cos*ae dae = — - g —H k }ς — 1

,. .

-
sin**'ac cos8-'ac

-——— fsin*-*accos*acdae, fsin*accos*aedae= -—– g -+- k

-

g-+k

g— * fsin*ae cos*-*acdae. g -+- k 29.fsin*ae cos* aedx = sim**'ac cos8*'ac /.

-H

1

+ v k —Hg —H 2 fsin***ae cos8aedae , fsin*ae cos*aedae = tp-i-—sin**'accos8*'ac

k-+-g-+-2

;-.k
-+-2

-

+

fsin*aecos***aedae.

g —H 1

g -+- 1

3°. sin*ae cos8acdac = — sin*-'ac cos8*'ac g+ 1 λ — 1 g -+- 1 fsin*-*ae cos**2aedae , fsin*ae cos*acdae = 188 sin**'arcos8-'ac k —H 1 ' g-1 k-+-1 fsin***ae cos8-2aedae. Integrale (q) traduci potest ope istarum formularum ad alia ejusdem generis integralia , in quibus exponentes quantita tum sinae , cosae haud praetergrediantur limites —1, —H 1. Quod si k, g valores habeant integros, vides (q) traductum iri ad aliquod ex integralibus cognitis (131: 132) , fdae , dae fsinaedae, fcosaedae , fsinaecosaedae ,.

f

——
,

sanae cos.ac f

sinaedae

f
cosaedae
dae
dae

»

-

»

- cos.ac

»

.su/r.20
sum.20
COscu'

144. Facto g = 0 in prima (142. 1°) necnon in pri ma (143. 2°), in hac insuper adhibito — k pro k, exsurgent sin*T'accosac 1°. fsin'aedae = —

k

+
£f.in- vds,

k- 1 -

cosec*~'accos

ac . k—2

-

fcosec*3cdae= ———— + ;—;fcosee**adae. Facto k = 0 in secunda (143. 1°), necnon in secunda (143. 2°), in hac

insuper adhibito — g pro g , habebimus

sinae cos*-'ae , g—1 2°. fcos*aedae = T — i-4-

fcos*-*aedae ,

§. -

g-r

-

fsecord. — "**■*+ £=?

fses-.a..

g—1

g—

1

.

Substituto — k pro g in prima (143. 3°) et — g pro k

in secunda (143. 3o), exsurgent 189 tamg*-'ac 30. ftang*aedae=

É

;-—ftang*-*aedae, fcoi*aedae=

- co78-13c g-1 -

fcot8-2acdae.

445. Denotante n numerum integrum ac positivum, haud difficulter ex (144. 19. 2°. 30.) eruentur pro n pari fsin"aedae = —

g:

[ sin"-'x +
;
-
â sin"-*ae -{-

(n — 1)(n — 3) „.„„_,

(n

— 1)(n — 3)...5.3 .

ZEAEAT° ac-H... + (n — 2)(n — 4)...4.2 sinae] (n — 1) (n — 3) . .. 5.3.1 + TE5TITETITIA

ac -+- C ,

fcosec"aedae = —

[cosec"-'ac -+-

m— 2

(n — 2) (n — 4)

cosec"-3 -

-_

m-5
•
•
•

n—3

ac -+- (n.

=;=;cosee
ac -+-

+ (n — 2) (n — 4). . . 4.2 cosecae ] -+- C , (n — 3) (n —• 5) . . . 3.1 .sane.dc

n —1

no.

d.

n-I
n-3.,

fcos*acdx =

m.

[cos'*-'ac -{- ;—;cos-* +

(n — 1)(m — 3)

(n —4)(n —3)...5.3 „

-

(n — _-

2)(n — 4)
cos"-3x
m-5 +-... + (n—2)(n — 4)...432 cosae -
]

1 90 (n — 1) (n — 3) . . . 5.3.1 -+- C , +-;=;=;=■*-* sinac

n — 2

-

[sec"-'ae -+-

3 sec"-°ac -+-

fsec"aedae= m — 1

me

-

(n—2°(n—4)

— 2\/m—

sec"-°ae -+-...-H
*=*=*'**
—2)(n—4)...4.2
sec.]+c,

(n —3)(n—ô)

(m—3)(ra-3)...3.1

tang'*-'ac

tang*-3ac

ftang*aedae= %-i-—

tangT*a- +

m — 1

n— 3

tang"-°ae §. m - Ø — -

. . . == tangae == ae -+- C ,

/ fcot'aedae = —cot"-' ac ——— m-1 -+-cot"-3ac —–;—— n—3 cot*-5ac –— -+- . . . == cotae == ae -+- C; iu - Q et pro n impari cos.ac

[sin'*-'x +

m, —
1
sin'*-3ac -{-

fsin"xdx = —

m.

no
2

(n—4)(m—3)

(n

—
2)(n
—
3)
. . . 4.2

(n—2)\n—4)

San'*T°Jc

*., n-5
+ •• •
+ (n -
— -
2)(n — 4) _-
. . . 3.1 ] +-C

» fcosec"aedae = —

c.O

É
[cosec"-'ac -+-

m —2

(n — 2)(n — 4)

cosec"°ac -+- ... cosec"-8.c

•

•
•

n—3

(n — 3)(n — 5)

+

(m — 2)(n — 4) . . . 5.3

2.,

-;-;—#-;;cosee* 1+ 19 | (n — 2)(n — 4) . . . 3.1 (n — 1)(n — 3) . . . 4.2 4

•* *

.-;-l( tang*-;-) + c, sinae

n-1

m —
1

m.

-

fcos"aedae =

[cos"-'ae -+-

m -
2
cos*-*ac -|-

(n—1)(n—3)

(n—1\(n—3)...4.2

cos*-°.c-4-... -|- —– – ] + C, (n—2)(n—4)

(n—2)(n—4)...3.1

fsec"aedae =

sinae

"-'ae -}-
n— 2
sec*-°ac -+-

I sectaeaae =

m—1

[sec"-'ac
;—; see--ae

(n—2)(n—4)

m-

(n—2)(n—4)...5.3
2

sec*-°ae-H... + TEXE5AZ5)...4.2 sec*ae]-+- (n—3)(n—5) (n—2)(n—4)...3.1

4

2r T
«ac

t-;;=;t;;,-;-!(ta-stá---5-] + c. tang"-'ae tang*-*aef tang"aeda

§.

=—–2—–
m—-4
— — —–9—–
n — 3
-+-

tamg"-5ac

tang2. r

'

TfLi-

— ... +

$it =- 4 l(cos*.*) -+ C,

n-o fcot"aedae

=

- cot*-'ac m—1 —H cot"-°ac ———m—3 — cot'*-5ac

cor*ar

• EF

=;= 4 l(sin*ae)-+- C.

m—5

-+- . .

2

146. Si denotat f functionem algebraicam, poterit f(sinae ,cosae)dae traduci ad aliam formulam, quae omnino sit algebraice expressa. Fiat enim sin = z , ut prodeant cosae = -_

d

-

V 1—z* , dae == —

f— : erit f sinae , cosx)dae = f(z ,

V 1—z* -

dz

-
-

- V 1 — z*)— . Quod si fiat cosae = 2 , proveniet f(sinae V 1—z* cosae)dae

v

-
-
f(V _-
1— z
p.
*7i>'
dz
S1C
-
*£** E=
dae

——*— (h-Hkz)V^ 1— z* Ad haec : redactis sinibus et cosinibus arcuum multiplorum ad varias sinuum et cosinuum arcuum simplicium potestates (67), poterit etiam formula f(sinae , sin2ae , ... cosae, cos2ae , . . . )dae ad algebraicam expressionem traduci.

147. Denotatis per y, z binis functionibus variabilis ac, -

-

dz
dz

positisque fydae= X, fxjî dae= X, , fx,j; dae = X, , dz fX, ZE dx = X3 , ..., quoniam integratio per partes (133) _, d

d.

dat \ fyz"dx = Xz'* — n fXz*T*

1. -dae, fXa'-' #

dx=

dz

dz

-

X 4yi-i

1 n.-2. -
nu- 2

1

(n — 1) fX, z 7, dae

, f X,z
= dx -
-
=

193 d

d

X,s"-* — (n — 2) fX,z"-3 # dae , fX,z"-3

j; dae

=

d.

•

X,z*-* — (n — 3) fX,z"-4

£d. , . . . ; iccirco fyz*dae =

Xz* — n X,z"T'-+- n(n — 1)X,z"-*— n(n-1)(m-2)X,z*-*-+- ...-+- C. Haec inde assequimur. 1*. Factis y= 1 et z=arc(sin=ae), erunt (17. 10°: 142. exempl. 2*) X = ae , X, =—VTF, X, = — ae , X, =

yTTA , X, = ae, X. = —VT-',...,

ideoque f arc"(sin =

•)a. =

ae.arc"( sin = ac) -+-

ny^1—ae*.arc*T'(sin = ae) — m(n — 1)ae.arc"-*(sin = ae ) — ' n(n — 1)(m — 2)V^1—ac*.arc"-3(sin = a) -+- . . . -4- C. Simili modo , factis jr = 1 , z = arc(cos = ae), pot erit obtineri farc"(cos = ac) dae. 2°. Assumptis y = ae* et z = l(ae), erunt (17. 6° : 131) X=

JC

x-+-i

=-

—–
,A-+•1
-
-
—–
At-+-i
i ••• :

k-+-1

»

X,
(k +1 y.
•
X,
(k-H1)*
• ••• •
unde

k+I

Jn-i (n-{)l*T*(ac)

Kjn

=

Jc na
-
nu-
(ae)
m,
-

f<'r(x)dx = ;-{-1 [*(a)— *;... +

(k-{-1)*

n(m- 1)(m—2)!*-3(ae)

m(n—-1)...3.2.f

-—=— -4- ...

-

...
-
C.

(k -+- 1)3

-+-

(k-{-1)*
]+

v 13 194 c.ar 39. Factis y = a** et z = ae , erunt (131) X =ct(a)' a**

a°*

cac -.nu.
-

x,=:;;;

.

» —
ARANT
··· · ·
unde
fa
ac"dae =

a^*

n*'-' , n(n—1)ac*-*

m(n-1)(m-2)...2.1

• [**—

f,—
-+-...
—...== –£;...]-{-C.

cl(a)

[x

cl(a) + c*l*(a) c"!*(a)
]-+-

4°. Positis y = sinae et z = ae , y = cosae et z = ae, assequemur fac"sinaedae, fac"cosaedae : quoad primum , X = fsinaedae = — cosae , X, = — fcosaedae = — sinae, X, = — fsinacdae = cosae, etc. ; quoad secundum, X= fcosaedae= sinae, X,= fsinaedae=—cosae, X,-=— fcosaedae=—sinx, etc. I

Determinantur nonulla integralia definita (148 — 153).

148.

Designuntibu. m, n numeros integros, et \omega quantitatem infinitesimam, sub hypothesi m > n erit (138. 1*) Yi oo

• n,}

,T,
2n
2
4

J".

j

= limJ
- #. — £[ji£n-*

_., ae*-+-1 , ae*-+-1

rm,

2m

-— ,

3(2n -+- 1)

.
(2m — 1)(2n -+- 1) _ ,

sin-;-*-+-... +sin — ;———*]

:

pone , compendii causa , 2m-+-1 T = a ; habebis (65. 5°) 2m. 2m } | &um,

2m

2m- ! 2 -+- Í 2m ! 95 1 57=;[e

—H- e**-+-

-_

-.

¢
3a
--

-+-

«*m-ia

— eT* —
a-3«
-
. .
.
—
e-(*m- i)a
]
-:

4

/

.1-e**
-
e-« 4. e-2ma
1
®"-eT)(2-o"-•***) ,

2V-T* TIAE

1-e-a* * 2V-1

2-e2*—e-2a

._2n-H sin-;-*[1-cos(2n+1)] ._2m-|-1 2sin

JjT*

er 1 1—cos 2n-1—1

n-H 7.

m, 1 — cos 2m-1-1

m-+- 7rT

sin*f!; m.

2m

Ergo f*

ac*" dac

t;
-

—–J--J- = —–— ... ae”-+-1

2n-H1

m sim

t:

in-; . -

• • • 4

.

ac2*d/

1
. 2m.
-

449. Facto ac*"=z, exsistet —;

$-=-! * "

*
-

x°"-+-1 T 2m a LPITA habes ( 135: 136.

• • ) /

„¢

ac*" 2m

dac
J O
j—
2m

_, x*-+-1

-

_, ae*-+-1

s-a:

ac**dae

_.
f
2C
ac*" 2n
dac
.
o

J.

j:=;-+

O.
TELET 5 itemque (136. 4°), at

T* ***a* tentis exponentibus paribus 2m et 2m, —f EET

-;

O 4 96; .l'

2nu

*
,£
ac*"dae
1
f'
ac**dac

v*"dae

. ..

a —t—: ICCITCO

=i — ;-

TELET°

O

ac*"*—-1

O
-.2c.

Quibus positis, vides (148) fore 2ua-+-i /*

-

2"*

dz mr O. z-+1 sin 2n+12m tt voo

150. Facile quoque assequimur (1 38.1</ ar**dar -—===

-

JV'
mu

- QO • —lim. --

Ca)

ac?'*a/.x: z= —;— qt

27. -+- 1

+[sin ==— rna.

• +

ro- 1 • \ •

2m-1—1

m—1Y2m-+-1 „„ ** +!) 7. -{- „30m-+1) T:-+-...-|-singu- ')3n-t }.

$

m,

nù ,

-+-...-+-
;—5]

•

-

-
. 2n--!

eadem methodo, qua usi sumus (148), inveniemus sin

T. -+-...

-

. (m—f)(2n-+-?

2n-!-!

.

sin't!*ttt)--si,

+-
7;

... (m-1)(2n-|-1)

me

—H sin :

7r=

2n-H1
-

rro,

-

- 2(1—cos...l—7;) nm 2sinf(2n-H1);-

• •

•
* ..
• . ft. JSara
. 2m—4—1
+ 7:
.
cos
2m-+-1
ru
tt
-

-

2

pr?
2m
Propt

-

-

. Propterea

. , 2n-H1

2m-#-1

4sin*

7τ

sin
+1,

2m

4!/ù,

/*

ae*"d.c

7:

•/ _ ... 1 — a*"

- 2n-i-1

-

m tang —

t.

- Facto ae*" = z, prodibit

(149).

21a-4-i f^

2

2"*
d/:

O

1 —z

tamg 7: 2m-+1 rra 7r 197 - 151 Ex dictis (142: exempl. 2° ) manifeste proflunnt f

1

a"d r__ -
1.3.5... (2n—1)
/'
dae

„ vd-ETATE-J , 77—7;— 1.3.5 . . . (2n — 1) r.

f'

ac***'a!a.

2.4.6 ITEAT TET

tt-—-;-

o 2.4.6 . . . 2n

f

1
acdae
2.4.6. . . 2m

3.5.7 . . . (2n -+- 1) •/ , V ( 1 — ae* )

3.5.7...(2n-H1) *

Crescente m indefinite, vergunt haec duo integralia ad mu 1 -

•

•
•
ac2“dac

tuam

aequalitatem , nimirum lim.

•_-— -•

</ , V( 1 — ae* ) .1

ac***'dx;

•
•

lim.J

-;-;—;- ; consequenter

o V( 1 — ae *) , r _ 2

2

4
4
6
6
8 .
8

5T ° ...

•

-j- •
- . ~
. ---
,
— -. -— .
— , ..

2

1

3
3
5
5
, 7 .* . 7
9
. T.

498 {.,.mula videlicet Wallisii quoad circularis peripheriae re ctificationem. 452. Pone c = — h -+-kV^—1 , a = e et n = 0 in formula

òrmula ( (147. . 3o)

3 ), , ut
ut sit
sit fe-**
Te-** r- e**V-' e
•*- a.--***'-
dac
1c =
—Tj7—,*C.

-

-

-hx
T.;

seu (65. 58.)fe-**(coskx-HVFinis).—fio#

1. "*c

-;

—hae

Tisinka)(h-i-kV-1

oo

• .

ere£ g. -|-kV(-1) —!-C: habebisfQ. e-** (coska -+-

V-1 sinkae)dae =h —H kV^—fTETE

unde

• QC

k

oo f

e-**coskacdae=

——
w
J
e-**sinkaedae= –, .

O

h?-+-k

O

h*-+-k*

Facto prius k — 0 , dein k = 1 , prima ex his dua bus formulis dabit

-

-n OO

1

wQO

J

e-^* dag-= 7

•
/
e-* dac= 1.

O l

• '

O 153. Permanentibus c = — h —– kV—1 et a = e • re stitutoque n , eadem formula (147. 3°) praebebit (45. 2°) oo

co%*v*ii';

(A)

a "e-"*(cosk

Tsin^ae dx=lim.

1—
mJ.
e-^*(coskae-HV-1sinkae)dx=lim
h.
[
—h-+-kV-!

»"e°(-h-HkV(-1) 199 m(m — 1)%)*

==

n(m—f)...3.2.1a)*
m(n-f)...3.2.1

{7T7T;*(EIVETF*TTT7TF m(n—1). . . 3.3.1

cum autem ho

t.

== —;-;-;— -;=;

:

uue

C
pOSLremum
mem

(—h-+ky^—1)

p.

n(n—1)...3.2.1(h -|- kV^—1 y** brum traducatur ad

(h*-+- k2y***

, cum

nu-#-t que (65. 3°. 4°) (h-HkV—1)*** = (h*-}- k») *[cos(n -4- k

—•

.
*-• i .

1)arc(tang = TE ) -+- J^—1 sin(n —- 1)arc(tang

=rs

h. )
]
•

k propterea , facto arc(tang =

j-) == A

,

oo n+-i f

x"e-**coskaedae= n(n—1)...3.2.1(h*-+- k*)T?Tcos(n--1)A,

O oo

_ !*!

f

ac"e-**sinkaedae = n(m—1)...3.2.1(h*-+k*)T * sin(n -+-1)A.

O. Assumpto prius k = 0 , dein k = 0 et h = 1 , prima ex his duabus formulis suppeditabit oo

—1)...3.2.1

f

ac*e-**dac

-*- ga!
»

o oo O ac*e*dae=n(n-1 )...3.2.1.

Integralia euleriana primae ac secundae speciei (154-155).

154. Pone hac = y: designante \mu constantem arbitrariam que quantitatem, erit a**e**dx =3**e-ydyh ideoque

, 200 oO

4

P- i „- .
•

J.

a *°' e-^*dar — , — —

a ** e**dac : et habito.

o

],*

O.

-noo J

a** e-*dae pro functione constantis arbitrariae \mu, ut

O scribatur oc

-

-woo
T(\mu.)

f

a *"'e-*dx=T(\mu), exsistet

J

a **e-**dac=

®) .

o

-

o
H*
-

455. Quoad functionem T haec facile stabiliuntur. 1*. Per vices assumpta p. = 1 , \mu = 2 , \mu. = 3 , • • • , \mu. = m • obvenient (152 * 153) T, 1)— 1 , T(2)=1 , T(3)=1.2, . . . T(n)=1.2.3...(m-1). -

-i

1

20. Pone

)

: habebis a **=!*' (-l-) ,

-

y

-
4»

•

i

•-• — •' y.

'= ——

= y , dae = — av. ; unde

„l( :-)

■^

Y.

- -- '

-1

!
-

,** e-*dx =— ,*

(—)dv

: valori ae = 0 respondet v =1

P.

•

et valori a = co respondet v = 0 3 igitur (135: 136. 8°)

• .

oo

o .. ,

4
1
*• •

f

a**e-* dac —

—f
[P-*
(£d. — f
1** (-l-)dv,
seu

v.

0

1 4^ . - 6) 4* +

.

1 -1 , 1 -

T(\mu)

—f
j*
(+dae.

-

0

201 oo 3. Adhibit• i-- pro h, erit fT **'•**'*d. — o

-

IT(\mu)

••
,
- -
-
A***aj},

\mu.

tum , assumpta nova arbitraria z,

(h-H1)*

-

(h-H)*

4 T(\mu) Qo a **'e-*h** e-**dxdh * acceptisque integralibus O respectu hab0ad oc,

exsiste /•oo

h.
},*-*/?,
- -
1
-
oo !*,*•-*a.
T(»y

-

«, (h-,-4)*

T(P)-' o a-* T

-...

T(\alpha)

oo „P-«-*e~*dae , • seu T(\mu) </ , f*

},*~*dh

T(\alpha)

- -

-

(\mu—\alpha).

o (h-+1)*

T(\mu)

1 4°. Fiat p. = 1 , 2 = 2n -+- 1 ; -prodibit (149) 2m 2n -+- 1 T(...-—) 2m

2n -+ 1

tr
-

—– T(1 —

»

4o

—rj-ra-==—-—==.-* 2m T(-=-;-

2n -+- 1 ) T, 1 —

2
n -+-
4
)=
tr
-

mo

2m

.
2n -+- 1
tr

sin—t—,

4

.

5°. Sumentes n =0 et m=1,assequimur T»( 7 )= π : hinc - - 202 1

oo

_ ,
-
4.1

r(4)— f

ac

*e*dx = r:* .

2

O

6°. Loco ae pone prius (ae + a)* , dein (ae — a)a , ut sint

-

T(-;)=2e
4.
-,^ •f
^°
e**e-2a*dae, _.»
T(
4

-5-) O. oo 2.* f

e*e*a*dx ; habebis

O e: a* F(£)— .,, 1

f° .e*(e-**

_.,
-+- e***)dx 2
= e*
¢_#
r* .

O 7*. Adhibe ay^—1 pro a : obveniet (65. 5*) 4

-\alpha?

1
oo
2
4
2
3
(l

-;- e* T(+

»— f

e***cos2aaedae = — = e- *rr* ;

2

2

O.
2

/ et facta a = 0, tum in formula, quae inde resultat , a

dhibito aT ac

pro ae ,

oo

4

#
oo
-
4
£.

f

e*da- 5 *

•
f
e -°a. =-;
« * )*

O

O

oo

P*a/.

T(\mu)
•

80. E

st (3°)

o
J. —*—f-=
(44-4)*+*
-
T(\alpha-+\mu) _
T(\alpha): S.
substi

- - ac

a** da

tue —– ac

loco z ; cum prodeat —–

(• 4- 4)***

— ae*'(! — ae)**ale, cumque sibi mutuo respondeant z= o» 203 et ac = 0, itemque z = 0 et ae = 1, et consequenter (135: oo

.** A.

o

136. 8o )

f o

— (a-+-1)***
*— f,——-— f
I
1
***(1-x)**dx =

+

' •

.

f a*-*(1 — ac)*~*da: :

iccirco

O _* J 1 a**(1—a)**dx= O. T(\alpha)T(\mu)T(\alpha-+-\mu). ' relatio videlicet inter integralia euleriana T et 4 f x**(t—a)*-*dae

primae ac secundae speciei.

Differentiatio sub integrationis signo quoad constantes arbitrariasque quantitates in datum integrale definitum ingredientes ducit ad nova integralia definita: id ipsum praestat integratio sub signo $\int$ quoad illas constantes (156 - 157).

156. Differentiatio sub integrationis signo (137) quoad constantes arbitrariasque quantitates in datum integrale definitum ingredientes ducit ad nova integralia definita. Sic v. gr. derivatam n*"*" capientes quoad a in ultima formula (155. 7°) assequimur

-

A.

2r-4-i

°

,..-a* 4.3.5...(2n—* *aT*'

O. Jc e

dae= —;=-—

157. Integratio quoque sub signo $\int$ quoad constantes arbitrarias in datum integrale definitum ingredientes ducit ad 1

• '•

-

-

-
*s
- -
•
• •
4

non integralis definita, sic v. gr. quis(33)J ,**d*-;=, 4

•

•.

d.

-

m
,,1

iccircof ac" dacdm=

T- ,

J. J
ac" dacdm =

O. m-+-1

m'

O

204 m

„ um,

——1

J r—;

(T-)

;
et cnm (131 : 137) sit

„, m-+-1

m'-+-1

m

4

1
m
1
m
„m"

J. f

ac" dacdm

— f J. s-asin- f 3"-^"
dae,

m'

O

o *^
m'
o /(x)

propterea 4

a'

J.

'

—-—
ac"' 1(x)
_ ac'^
dae
ac =
= ' l( .. m' m -+- ——1
1
)
-
-

oc

o

Alia integralia definita (158).

158. Habes(13

4

f

f
e*dae; consequenter

er

r

O

• ��

�

Q

<a
   1.
  (136.1 •. 155.7*)
   f
   e *dae = τ*: item facta a=>1 in formula (156),

-

- oo

oO

2

• _/•v/ • ••
-
#

lai-bi. f" •*•*'a. — tas g-*

. Ad haec :

• oo

-

, oo

2

- oo
2

cum sit (135: 136.

4°J

a*n-t.-*
de- /
ac**-'eT* dac

40

O.

O an-,.-a*

-

oo
— ac?

-

ac**-*eT*Tdac, ideo

aca*-'eT*Tdac — 0.

— QO

- Co

Generalis et particularis valor integralium definitorum: sub quibus conditionibus alter recidat in alterum (159).

159. Haec subjungimus. 1°. Fac ut nullibi abrumpa «ò tur continuitas functionis

fac) : positis

/
f(ac)dr=G ,

π \alpha'\alpha»

• .

-
205

r

-

I.
r

7

7®

--;

J

f(ae)dw=H,J

f(x)dx-+-J
f(x)dv ==A, erit (135)

—--

-i-

-
———
-

«ad

0)

\alpha'\omega

G — H = A , unde lim.G = lim.H + lim.A. Ultima formu -

1

- -

la (136. 4°) dat lim. A == oo, f co,„)l( 7) — 3^, f(— co,„)l(2') : consequenter, facto co,„ f(oo„) = X, et — ®,„f(— *„)=}a , lim.G = lim.H -+- λ, l(

£ ) -+- λ, l(«') ;

|

- co

valorque lim.G seu generalis valor

J ...

f(ae}dae , exspo

liatus arbitrariis 2. et a' , recidet in particularem valorem ... oc ipsius

/

f(x)dae , repraesentatum per lim.H , quotiescum

que X, = 0 et X, = 0. Quoad functionem v, gr. f(ae) =

τέE

, sub hy

pothesi (148) m > n erunt manifeste λ, = 0 , λ, = 0 : quoad JC fuuctionem vero f(x) =

, exsistet , X, -= % == 1. •

ac*-+-a* 2°. Si continuitas functionis f(ac) abrumpitur apud x=u, -

, u-\mu»

'
, z;

ut sit flu , = « ,

positis /

f • d-£J
flae dae==G,

-

m.

— -—

t-+-!/'\alpha)

2. **)

a

206 f"for-

f° r-u- ii.fIr». -+-

-i-

u-H-(...)

-
u--

Ju-H(A) f

f(x)dx = K, erit (135) G — H = K -+- A.

u-Hp1'\omega Quare lim.G = lim.H + lim.K —H lim.A : et quoniam pen ultima formula ( 136. 4° ) suppeditat lim.K = ! lim.[(x„— u)f(x,„)l(\mu)-+- (x,„— u)f(x,„)l( j;)] 5 propterea , facto lim.(ae, — u)f(x,„) seu (u—u)f(u) = X , lim.G = lim.H-+-

» (£) + λι(+)-+- 1

XJ(«).

Si continuitas illa abrumperetur etiam apud ae = u', I. u'-y(o

ac)dac -+-f

\alpha\omega
f(x)dx=G,

positisfTer-*f „ft u--\mu'\omega

u'-+-y'®

a.'co u.-(A)

u'—ò

+

f f(x)dx-+-f

f(x)dx-+

f f(ae)dx = H ,

--- u-H (*)

u'-+-a)u-\mu\omega

u'-yo)
ue+-(...)
-

f

fed. + f„ „^*** fT.

f(.)de +

t^-^) u--\mu'6) 207. u'-+-(.) f = K ,

adhuc foret (135) G — H = K -|- A ; et

u'-+-y'\omegadesignato lim.(x,„- u')f(x,„) seu (u — u)f(u') per λ', lim.G -

= lim.H -

—-
» (£)+*
P , , v,
l(-j-)+),!
• ,
7 1
)-+-λ,l(\alpha) a.
;

atque ita porro : valor autem lim.G seu generalis valor ^©© J

f(x)dae , expers arbitrariarum \alpha , \alpha', \mu, \mu' , v , y'...

- co

-

recidet in particularem valorem lim. H quotiescumque λ,=0, }, == 0 , X = 0, X = 0 , ... 2m Quoad functionem v. gr. f(x)

=-;i-;

, sub hypo

thesi (150) m > n habes X, = 0 et X, = 0. Abrumpitur ejus continuitas apud ae = u = 1 et ae = u' == — 1; re (ac — 1)ac** spectu istorum valorum prodeunt (44)

-

a;2"* - —1
—
- =

0 _ x*-+-(2n — 1)(x — 1)**-' _ ' 1

(ae-H)ae*

5—

2mac*m-*

= 5; • — *==;--

' — rtt'* — '* toti- — — '-,

conse

0

2mac2"*-'

2m ?
\

1

1

• \ —-

r. -

-

quenter A ==

7Γ • λ' =

2m
'

3°. Valorem ae = u , apud quem abrumpitur conti 208 nuitas functionis f{a), ponimus nunc interiacere determina tos limiles ac, et ae, , ut veniat considerandus generalis ὐ,

„u-\mu\omega

-
ὐn
-

valor

f(x)dae: factisJ

f(x)dae -+-
f a.
f(x)dae=G,

JÇo ,

JCo

u--\mu\omega„u-6)
•.
,,u-\mu\omega

fTr.)d-+ f" ^*)as-ii, JI feds-F JC o

u-H(A)

u —(4)

u-H%) f

f(x)dae = K , erit (135) G — H = K 5 proinde

u--\mu'\omega •

-

i *.•.

lim.G = lim.H

+ »(£

)
-

4 -

•

...
-

v. gr. X = (u—u)

u- u

•ac ==

4

•/.
*
_
ç- dac
-.
u.
o
et (45. 45.
3°)
o

ά, X = (u — u)l(u — u) = 0 quoad

f

l(ae — u)dx.

JCo Si apud binos valores u , ' u' interceptos limitibus ae. et ae, abrumpitur continuitas functionis f(x), factis u-\mu\omega

u'-v«»

ὐn.
-.

fTr.)d-+.fT.

f.)dx-+-fT , f-a. — G ,

JCo

u--\mu'\omega u'-+-y'\omega

u-(A) J'o ,u'-\omega

ú',.

a)dv-\-

v

x)dx = H ,

„f*) + f 7 f.) l!

u'-+-(.)

u-\mu\omega

u -+- 2)

\mu-»
-

J ' f(x)d.- / . . red-t- f. /(.)d. + t!- Q)

u-Hu'\omega

u'-\omega

„u'-+-\omega J

f(x)dx = K , adhuc erit (135) G —H= K ; ideoque

u'-+-ν'\alpha) lim.G = lim.H -+- λ!(

1. )-+-λ'l( j-)

:

-

J0,

et ita porro; valorque lim.G seu generalis

valorf

f(ae)dae re

JC cidet in particularem valorem lim.H quotiescumque X = 0 , λ' = 0, . . . .

INTEGRATIO PER SERIES.

Formulae huc spectantes (160 — 161).

160. Exhibentibus

Y. , Y, , τ\alpha , 

functiones quantitatis variabilis ac, ponantur eae constituere seriem convergentem ab ac = ac, ad ae = ae, , sitque f(x) summa totius seriei , et f(ac) residuum post terminum r***", ut exsistat f(x)= Y. -+- y, -+- y, -+-... -+- y,-, -+- F(x) : erit f(x)dae = y.dx-+- „®n. y,dae-*-y,dx -+-...-+-y,_,dx-+-F(x)dae; ideoque

J

f(x)dae =*

• f. 'ts. + Y, -+- Y, -+-... -+- y,-i]dx +JI*a.

-

JC, Est (136. 4°)

f

F(a)dae = (ae, - aeo)F(x,) 5 crescente r

w£o

-

indefinite, ob positam seriei convergentiam, lim.f(ae) = 0 , ac proinde lim.F(x,„) = 0 : igitur ,JC fede- f ti.-- ,-- ,--.. . ]d. 4'a

161, Assumptis yo = c, , y, = c, ae , y, = c,a * , y, = c,r° , . . . , ut sit f(x)=c.-+-c, x--c,ae*-+c,ae*-}-..., proveniet ac,

-

-f

f(x)dw= o(r,-x)++(r,'-**)+ j-(x.-r.)+.

ar., facta ae, == 0 , et adhibita ae pro ae, , .ac f f )d. — c. + + + +•+-... <£•

162. Hinc proflluit ratio evolvendi functiones in seriem, si nimirum exprimuntur per integralia definita; proponatur v. gr. arc(sin = ae): sume (131) arc(sin = ae) = JC f —*—

intra debitos limites (58) habebis

0

V(! — ae*) ;

untva
-

(1—a)-

• =1 -+-

j-+
* . 3a4
Ä
-+- 3.5a26
3.5ac
.
3.5.7 a8
ac

1. 2.4.6

+ T2IAI6.8 -+ . . . .

Quocirca

arc:sin = a) = ae -i ac* -+- 3ac* + sin = a) = x ++++-;t;

INTEGRALIA VARIORUM ORDINUM.

Traducuntur ad integralia primi ordinis (163 - 164).

163. Data

d"z = f(x)dae" 

seu , quod eodem redit ,

„}m-i d(j 5- == f(x)dae ,

proponitur determinanda z. Habes (is» -fi#

£-— ff. d. —

/ .^•as -+- C, :

.a* m-2. tum d( 7E=z-

)= fft.)i. — f

f(x)daedae -+- Cadae =

&'o

-

J^ f

f(J)dydr-f-Codx, dummodo post integrationem quoad y

J/o

-

fiant .) = ae , J^o = aeo ; quod et in subsequentibus observandum. Hinc ( 137. 40 ) Jm-*- J7== J ff(a)da* = .)^ m -3 f„£- ^J)dy -+- C»(ae-ae,)-+-C, :

item

d-j;j-)=

j^ f ff(x)dx*=f (ae- ))f(3^dydx -+- C.(ae—ae.)dx-+ C,dx. J^o Consequenter ( 137. 4o ) an-*

-3-

= f fJf(ac)dx* =

dacon ,J^

-

4./

-

(v— y)2.
f(})dy -+- -;- C,
(ae- ac.)* -{- €(τ-ά)-+- e\
* — *•
c.

:

-

J^o

•

*'.

212 rn-£ simili modo ,

-£-

= f ff ff(x)dx% =

Jac*-4

• . fo'

C,
, , C,
z

1. fI (•—yy^y)dy +

j;(-x)-+-;(. — *)' -+

J^o CA( ae — ae.) -+- C, , . . . ,

= f f . . . f(x)dx*T'=

——

J^

m-2
C
m-2

2.3...(m—2)

f e-»

f(y)dy-+- 72.3.I(mI2) (ae-aeo)
-+-

! —$i-—

-

Nm-3
rou -
-
•
•
—2 3
d
-

2.3...(m—3) (ae— ae.)"*-*-+-

-+- C, enique

z=

,'

f ff

• ••

f(»d.-—--—

-=;;J,-rr
f'- y-? ••
)d. +

| | 2.3...(m-1)

(ae—ac.)*-*-+- 2.3...(m—2 (ae — ae.)"-*-+-

i

——*——

(x-xs)"**

•
•
0
C..-.

:

2.3...(m— 3) (ae—aes)"*T* -+-

-+- C,,-,I

J^

,J/

J^

ubi

f

(x-y)"-'f(3)dy=z"-'
f
f(y)dy-(m-1)a"-*f j fty)dy

• ',

%^o

-
-
J^o
7^o

(m-1)(m-2)

um,

.-- f"»^»®-'t'%£***-
J^
ma-
1)(m-2)(m- 3),
rrt
fJ^
yfo)b-
...
.

2 J^e

-

J^o

J^

-

= / , y*7'f(y)dy, factis r=x et y.=x, post integrationem quoad ! J/o

Expressiones dae"-'. f ftx)dae , dae"*. fff(x)dx* , d r"*T*. f fff(x)dae* . . . . f ff. . . f(x)dae* dicuntur inte gralia indefinita formulae f(x)dae” , primi , secundi, ter tii , . . . m*"* ordinis.

164. Disparebunt constantes arbitrariae C. , C, , ... si capiuntur integralia ab uno ad alterum limitem; erit nempe f_f.J '*(acdae" -;;-;-;f'••-fol. sint v. gr. fta) = e* , m = 3, a. e= 0 ; prodibit (147.3°) 4 ^?

.

j^

-

f (x— y)*e*dy = #'ar* J

e*dy— aef ye*dy -+- ' * ;

2

o

o
O

4 , ^?

:

£f j*e*dy = # x*(e* — 1) — ae(jre* — e* -+- 1)-+- * . o e*( 4 3* — y -+- 1 ) — 1 : et mutata y in ac , obveniet 30

JC

_Jc

•,

.

J f fe*a.• — • — : •— •— 1.

O T

o T

o
-
-

INTEGRATIO DIFFERENTIALIUM PLURES COMPLECTENTIUM QUANTITATES VARIABILES.

Conditiones explendae ut integratio sit possibilis: quomodo, expletis conditionibus, e.rpediatur integratio (165-166).

165. Datis functionibus $\sigma ,\varphi ,X,\varphi$ , ... variabilium independentium $x,y,z,v,...,$ quaeritur integrale formulae zs dae + \varphidy -+- Xdz -+- pdv -+- . . . ; quaeritur nimirum functio \mu. earumdem ae , y , z , v , ... praebens (26) 214 \mu'. = c , \mu', = y , \mu', = X , \mu', = 4 , . . . Ut determinatio functionis \mu sit possibilis ( quo casu propositum differentiale dicitur ea actum), satisfaciendum (30) conditionibus a*,*? , • *.=X', , •'*-}',,...?.*=x',, ?v=#',v.X',*='?',».* quibus expletis ac denotante f, functionem variabilium y, z, y,..., cum aequatio JC p — f τ(ae , y , z , v ,. . . )dae + f. -

ae. -

• praebeat et \mu', = a , et (17. 1°) \mu',

I.

-/. w', dae
7F
df,

JC —

J.*.

-
d ac -+
_
dy df,
-
=?(x, y, z, V,...)-?(xoy,z,*,•.)
--
/
oa
* * » • ••

df. – dy, -

-

dsu
ponitur ;
— \varphi(aeo , y , z , v , . . . ) == 0. et conse

y. quenter f. =

f

\varphi(ae. , Jr , z , v , ,. .)dr-- f, (exhibet f.

J^o functionem variabilium z , v , . . . ), haud dubie satisfiet bi nis \mu'. = as , \mu', = p per .ac

J^

\mu =

f

w(x, J^, 2, v, ...)dae
+f
\varphi(xo, J^, z , v,...)d)-+-f, ,

J'o

J^o

-

x.

Haee suppeditat \mu',

—f

w,'(*, y, z , v , . . .)dae -+-

4%o 215 y.

-

df,
3*
u.
-
-

f

?.'(xo »

) * 3»
v,...)dy-+- Zlz
-*
f
X. (x',.) • ...) d.ae
—i—

J^o

2'.,

^J^

df,

J

X',(*• • J • • . . `dy

—H —
= X (x, y, z , v • . . . )

J^o

«u, 2,

df, . .

. ....

— χ(ae. , y» , z , v , . . .) -+- +

:

iccirco

si
ponitur

-

2.

-
-

df, — X(aeo ».) o , z , v , • • . ) == 0, et consequenter f, = dz • z.

.

f

X(xo , ) o • z , P • • • • \d: -}- f, (designat f, functionem

2o variabilium v , . . . ), satisfiet ternis \mu', = \alpha , \mu', = ? • p', = X per \mu.

=:

f
8(ae, y, 2 ,
v.)a**f
?(aeo »3^
• 2 • V• • • •
)dy

aco

J^o

z +.f

X(aes , y. , z , v , . . .)dz + f. .

3o Jc

.)^

Rursus \mu',

=f

a*»(ae, r,z,v».)dx-{-
f
\varphi'„(ae.y,z,v,...)dy-+-

3Co

J^o

df. , 1* J' 2

X'»(ro •.)^o» 23» v,...)ds-H ...-=

J
W,(x,J , 2 , v,...)dx +

23o

dv

ύo

• .

j^

2%

-

f

W,(aeo) , 35 v,...)dy -+-

f
\varphi',(xo ,
J^o , 3 , *' • • • •
)dz

}^o

2o

-
-

246 df

df.

+ji-=*(x, y, z, P, ...)- §(aeo , J . , zo , P)-+- £;

quapropter facto

1. . — \varphi(xo •J/o , zo , v,...)=0, ac proinde

f, =

J^ J

p(ae. , y» , zs , v , , . . )dv -+- f, (exprimit f, functionem

Pocaeterarum variabilium post P), satisfiet quaternis \mu'. = z , -

-

' — \mu', = p, \mu', = X , \mu', = # per • -

y.

\mu=

J

w(x,J^, z, P,
-a-+-f
P(ae, , y, z, v, . . . )dy -+-

o

J^o

„2

V.

/

X(aeo • J^o » 2. v,...)dz-+-

f
$(aeo •J^o •
2a* P» •
...)dw + f, 5

-

2o

P.

atque ita porro.

166. Hinc si proponitur differentiale wdae + ydy-\-zdz, complectens ternas variabiles ae , y et z, adimpletis condi tionibus w', = \varphi'. , z', = X. , \varphi, = X', , erit • y.

2

ea red-* f"*.year£.fz-.y.-)dac -J 37.,

J^o

<•
'

Item si datur differentiale wdae -+- pdy , complectens binas v ariabiles ae et y, expleta unica conditione σ',= \varphi', , erit «ac

, )^

[1.

—f

w(ae, y)dx -+-
J
\varphi(ae. •J^)dy -+- C :

... 4'o

J'•

247 jrdae—aedy

» habes

as =
J^

v.

gr.

quoad .ac +y
ac* -+- y*
•
4)
-

•

/

a.*— y*
-
•

-ai; , •, — a=;;-?.. J . *. » — 37. Jû'

j^dae

-
JC
•

J. ac*-+-y*

= arc( ( tang

tang = — ;)
)—arc(tam
(tang =
—–)
J^

}^

• ' ae.d

„a)^

3^

f

p(a ,

, y)dy = —
J —–;=
arc(cot=
)

J^o 3. 3Co

+-y

JC •

J^o

37o

3*o

-

ot= < — ) = arc(tamg= —–}- arctang=

5

—arceot-:

)

(ang=-;
)
ans- ;.
)

•

-

ideoque \mu. = arc(tang =-=-) -+- C : terminus constans J^ - •

— arc(tamg=

y. ) intelligitur comprehensus

constante atque

o arbitraria C.

· ··

Supersedemus investigare conditiones explendas ut diffe rentialia ordinum altiorum , complectentia plures quantitates variabiles, suis gaudeant integralibus, etc. , _ '

_, *

' \*

T ., , ... *.)

*•

DE QUIBUSDAM CALCULI INTEGRALIS AD RES GEOMETRICAS APPLICATIONIBUS.

Rectiftcatio curvarum (167 — 168).

167. Denotante s arcum curvae planae computatum in ipsa curva a puncto fixo (ae. , y.), ad punctum mobile (a. y), 248 cum habeamus (18: 91) ds--}^(1-4-

£; ) dae = V[f -+-

JU' tang*(tae)]dae = sec(tae)dae; propterea, facto (ta-) = 0, ac

2

JC

«*-

f

daeV (1 -+-
%; )= f
sec0dae :

J'o

20.,

ex demonstratis (102: 104) infertur consimilis formula re spectu lineae sitae utcumque in spatio.

• .

Exempla: 2

dy2

1°. In parabola y* = 2pae est

j£

=
£;
; cOnse

.ac 2 quenter s =

f d.v(*#*) pone (39)*#*— z*;

2ae 2C o ' emerget ly^ dae(

• j££ ) = — p. t*; .

Atqui

3c

2.

e*dz

1

4.
4
4 ,

f

(z*—1)^

-4/.t (z -+- 1)*
-
v-|-1 + (z—1)*

£o

4

2z

*
.
z— 1
4
22.

+ =;-]as---+[ ...-— IGit;)]+ i [==; — i(fi-

1; ergo es6, 8)

z.-{-f 219

• -*- P* — ? 1 /** te-/**.

r. ,

s = V(a-*-+-

+)-+ 1-tä=#;##-ve.

+

para

P.

V(2ae.-Hp)—V^2ae,

• 1. -+t -;=;;;;;;;;;)

si arcus s computatur a parabolae vertice, sumenda erit ae.=0. -

-

ac?
y2
dy*
δ*a*

2°. In ellipsi

ä-+;

=1
est
dac*
"ZARIE

T* unde, attenta2 (elem. 378) —

=1 — £* ,

q. 2

2.. 2

o T - 8*.... s=

dae V^

2
2

a'.,

da*- dc

a*—**a*

4

*.

et quoniam –

= sec?0

,
.£ =*

a^-ac?

cos20

• asin0

d.

a(1-8*)cos0d0
it

-_

V (1-s*cos*0) -

'
Jc
=-
a
.
'
ermt
quoque
quoq

•

' ,

(1- £*cos20) a s == a(1-8*) [0

d0

0,(1-5*cos*0) _3. 2 • Ad haec: ob ae haud > a , licebit exhibere a. per cosi ag num cujusdam anguli u , nimirum cosu =

â

r

220 sim9

1-s*

- V (Isacos*®) -

• ...

Proin inde
e
1 - s*c
cos*u
*11
=
-
1_32eos*9 '

u = \arccos *= • -"-

), du = -

V 1-£*cos*0

-;

V1-s* d9 1 - £?cos20 1 - £^)d9

.

- du V (1 - 3°cos*u ) =

(

)
; : ex quibus

- -; ( 1 - s*cos*9)patet fore etiam „u. • =- a

/

duV(1-£*cos*u);

lto vides u esse < u, , et 9> 9. . Nequeunt integralia ista obtineri sub forma finita; confugiendum itaque (160) ad series: v. gr. V (1- &*cos*u) = 4

§2 cos*

1.54
1.38° ..., 1.3.538 cos*u
�

_

-

-
-
-
_
-
-
s°u-..•>

■ --5-cos u - -;:;-cos'u - 5 Igco*u-5 täs as* ^*

fas* ^*

.

propterea s=a(u.-u)-+-...-

cos*udu -+-...

cos%udu -+-

2 <^ „.

2.4 ~ „,

U! 4.3a5 ^* -–

cos°udu -+- . . . : eruentur

f
cos*udu ,

2.4.6 l!q. luo !!

u!

-f

cosfiudu,

f
cos°udu, .. . ex tertia formula (145); quae

l!e

T

LA *
.

o cum praebeat f' **ud

(2m-1)(2m-3)...3.1

:. cos

uau = - -

ZAEIZ).AZT TE '

AT -

-

„0

obveniet ellipseos perimeter P =- 4aJ duV(1-3*cos*u) = tr 2 -

18

4
1.382 .
+
-
4.3.553

2aT-I 1-7 -)* - - ( -– \* - - | -– )* «... [

( 2 )

3 (
2.4 )
5 (
2.4.6 )

1 , • 1.3.5.78* ,, - + ( Στ55-)

-... 1 .

£*sin9cos9 Subjungimus illud: d(*cosucos0)=d[ V (1-8*cos*0)]=- £*(cos*9-sin*9-£*cos°9)d9 - (1-8*)d0-(1-ε*cos*9)*d0 -= 3

3

(1-g^cos*9)T*

.

(1-**cos*0) *

- d0V(1 - £*cos*0) -+- (1 - *)d?_

:3

( 1 - s*cos*0) °T uhde 9 d0

0 -

a(1

-*J 9

_3.
-
aJ „eve - £*cos*0) =

o.

(1-£*cos20)

9

-

a£*(cosucos9 - cosu,cos0,). Exhibet af£) d0V (1- s*cos*0; 222 arcum ellipticum a, cujus extremitatibus respondent abscis sae â

-

acos9, â,
-
acosff.
5
igitur

ac. &

g* xå-x,á.

s- a= a£*(

i-

– –) =É
de
•
de
de

sumptis videlicet in ellipsi binis arcubus ita, ut abscissae ae et ae, , 3 et â, ipsorum extremitatibus respondentes ex 2 -

3^

1-8?
•c.

pleant aequationes 1 - £*-–

=

zT • 1-£*-–

a? 4

, á a?

- ET - ę { - £* -

-

-

-

-

g-, poterit illorum arcuum differentia exprimi ana 1-5* * * 2lytice sub forma finita. 3°. In hyperbola

È -£

= 1 est
£;
-–

=*=; ; unde , attenta

(elem. 388)

£,
= ε* - 1 ,

s"=

J. 3c

a. V^
ε*ac* ac*- - a*
a?
-

et quia

£=*, = sec*0 =

-- , •---*--
p.

.acT-ag*

.

% T cos20
V (1-£*vos*0)

a(1- £*)cos0d0 da:=

, erit quoque

„ „ -– (1 - £?cos*0) a * - £)

d0

- a(-e)J,

§

"

• (1 - s*cos*0)'* 223 Ad haec: ob ae haud < a , poterit

j- exhiberi per

• cos U4 -

-

{
etc.
sim0
onSe
t.

Innm 1 rum

= - = -–-;-:;;- ;

COnsequenter .

cosu,

•,

V(2-**cos*0) ?
q

3

asin?0

cos*u
£? - 1

-

-

-
-
-
u =

cos*u

1-32cos*0 "

g*
ε?sin20
'

-*-*-

1. (

-V 1-£*cos0* ) , d (s*- 1)* d0

\arccos

=

--;-
sin0
w
u =
- sin0V -–-–
(1-£*cos*0) '

cos2r/

(82 - 1)d9

.. .

dul/(1- -–- )= -

: ex quibus

cosu2

|/(

£a
)
3
q.

- patet fore etiam -;- (1 - £*cos*0)„ut cos*u s -a /

--duV(

i-

).

cos?u

53

u.o Hic pariter (2°) confugiendum ad integrationem per 2 -

&

cosTu
ε

series : habes v. gr. -–

V^(1- –)=

-

cos?u

&:

cos*u

1

1 cos?u

1.3cos*u
1.3.5cos$u

- - 2E

2. ABT T TJAEGE5T T TEAAS 357

- . . . ; ideoque

u. a

fa

2

• =a<(tangu-tangu.)- j;-(a-u.)- ZAG5

cos*udu

- - l4o. - -*•-* 224 u.

ut

uz

4.3

w

-

2AI635#.

f
cos*udu -..., ubi
J
cos*udu,
f
cos*udu, ...

l4,

t!,

l4,

obtinentur ex tertia inter formulas (145). 4°. In logarithmica jr = e* est dy

e* , ac

dae dy

d9

d0
_

l(

1. )-(ang%), dae= sin 0cos0

' ds =
sec9;ET
-

d0

sin*9-4- cos*0

, tang9
1

--

-

•
d0 :sin0cos*0
sin9cos20
=(
os9
+ sin9 )d9
;

ideoque ( 131 ) -

9

s = sec0 - sec%-H

lans4) -

l(
tang-; ).

2a- 5°. In cycloide (77. 1*) dy = daeV^ f-i- est 1 -- dya £ 2 =-f- ; proinde JC

-

, - a.)* f *--

202)* (•*-*-*)

3'o

ac?

-

Facta ae, = 0 , obveniet s = 2V2a; ; quae, sub hypothesi ac - 2a, dabit s = 4a : consequitur arcum cycloidis, computatum a vertice curvae, duplum esse (elem. 232. 3*) respondentis chordae in circulo genitQre; item semicycloidem duplam esse, totamque cycloidem quadruplam diametri ipsius circuli genitoris.

6*. Denotante z radium vectorein lemniscatae (79* 82. n*), . * &» 2

-

habemus z* = a* + y* et * = x* - y* ; unde a. - Q. A7jVt -

2. T.IV^

a* -
+z -
*), ) J^=• „T;V(a
-...;
2.
(
2_„2
z )»
dae= -–L...
aV2V(a*-+z*)
(a*+2z*)dz -
-

a)=. £a'- 2z*)dz

, : consequenter

-

aV^2V(a*-z?) ••

a*dz

ds = V(dx* + dy*)=

7 ATT

- Evolvendo in seriem assequimur ds = (1-

j-)

*
_£.
*dz = (1--

&*

-

4 , 2.

1.3 :8

1.3.5 a.**
-

-5- -5- + ;-;- -* + -â– ...- +.. . )da ;

ta•

- Z z** 7 A + 775 == + . .)ds ; et computa tis arcubus ab z, = 0 , fa

£)*a-*+1?. 13 • 13.5 .'*

• -J '*-*) 'd==(!*;;;-+#i;--- 2.4.613aT* T *

).

Ad haec : Si MA... ( ftg. 7) repraesentat hyperbolam aequilateram ae*- y* = a* semiaxe GA - a , cÈ. lemniscatam , AH ... ellipsim = 1 semiaxibus CA

¢

-

et co = av2, CB- . radium vectorem lemmiscatae seu perpendiculum ex hyperbolae centro C ductum in ipsius hyperbolae tangentem ' BM - r, poniturque ellipseos ordinata HK aequalis radio vectori z ; computatis arcubus ab A , factisque AB = s , AH = s, , AM = s, , erit s = s, + s, - T . -

-

1

Etenim quoad arcum ellipticum s, habemus £ = 77 • •= , dae = ideoque (2°) ds,=

V2 zdz -

V (a*-z*)

-
-

2a* - a* + z*

(a*+z*)dz

2a*-2a*-+2z*

- -

-
-
V(a*-z*)
-

:

quoad arcum hyperbolicum s,, £ = V2, itemque (79)

•=*j'-

2,

IgTa _a

ap/ 2 Va*+ z

i-

a
V(a*+z*)
dac=- a*
dz '.' ' .

£,

77-,- •

z*V2 v(a+*)'

4 a*dz proinde - quoad rectam tangentem T , T = y(ÜM* V(x*+ y*-z*)=V(2x*-a*-z*)= V( z2

-a*-z*)=

1

4

_&
-
a*dz
-
z*dz
-

-V(a - 2"),

dt = -

z*V(a*-z*)
V (a* - z*) T

a*dz quoad lemniscatae arcum s computatum

P.

ab A, p. ds=--–,
J/(a*-z*) .

Ex quibus manifesle exsistit ds = ds, + ds, - dr ; consequenter etc. : huc spectat theorema Fagnani de rectificatione lemniscatae ad ellipseos et hyperbolae rectificatio nem traducta.

168. Differentiale arcus in ordine ad coordinatas polalares z , \omega est (101) ds = V(dz* + z*d»* ) : proponatur ca) v. gr. spiralis ( 82. 3°) logarithmica z = e” ; habes adz do*=

, V(dz* + z*do*) = dzV (a* + 1 ) : iccirco s =

2 (z - z,)V(a* + 1 ). Si 'proponeretur lemniscat. (82, 1• ) z*

-

zdz

(A) =

-;-are(cos

-=
)
, foret
•--;-;=;
; ob

a? a?dz veniretque. V(dz* + z*d»*) - 7ZTZT , prorsus ut supra (167. 6° ).

Quadratura superficierum planarum (169 - 171).

169. Ad obtinendam aream A terminatam ordinatis y. et y , intervallo ae- ae. sumpto in axe abscissarum ab x. ad ae , et respondente arcu, praesto est formula (100) „00 A=

J.

jrdae.

2Co

Exempla.

1°. In parabola y* = 2pae , 1 . a°

-

3. 2

(ac * - ac, a)= 3(y-ae*); 228

computata , a vertice curvae, ^ = -;-*). ac*

, y*

b . '_' ' "

2°. In

ellipsi ;*-+ *;*=!

e$t
}dae=
+dav(e*-**);

pone V(a* - ae*) = va} erit ae* = q? , ideoque (133).

£; V(a* - ae*)+ £ arc(cot== )

- ι - - - • ab

a* - ae*

-

bae,

V(a*- ac,*)-
£-arceot- 4 --
).

2a -

o

Sumptis ae. = 0, x = a, emerget quarta pars totius areae

ellipticae expressa per-t- ; unde tota area = abrt.

3°. In hyperbola

É- £=

= 1 est ydae =

+dsv (x* - a*):

pone V(ae* - a*) = aez ; erit ac* =

g2 --- , et consequenter fdx(ae* - a*) = fzxdx = 43c*z - 4 fac*dz = 4xV(x* - a*)

-j- f-£;-

: hinc

2 Fac ut hyperbola et sit aequilatera, et ad asymptotos referatur (elem. 391. 1°) ; ejus aequatio inter coordinatas orthogonales (elem. 387) erit

y=-£- :

unde

-

JC

4°. In logarithmica y = e* , „x •= /

e*dae = e* - e*o :

3Co factis ae» = - oo et ae = 0 , prodibit A = 1. 5°. In cycloide , si denotat i arcum circuli descripti radio 1 , similem arcui mon (fig. 6) circuli genitoris, computatis coordinatis a vertice curvae, erunt (elem. 343. 3°) J = ai + asini, ae = a(t - cosi) ; ex quarum secunda provenit dae = asinidi ; propterea (133: 145) ,ι A = a*

J

(i sini+ sin*i)di=a*[sini - sini, + 4(i-i.)+

Bo

i.cosi, - i cosi

+-; (sin2i, - sin2i)] .

.

Sumptis i, = 0 et i = π , emerget semiarea cycloidalis ex 3 - pressa per -; a*tt , totaque area per 3a?τ.

170. Quadratura curvae relatae ad coordinatas polares expeditur integrando differentiale (101) sectoris A'; v. gr. in lemniscata (82. 1°) @= 4 arc(cos = *,)

est d6) = --*-

unde A'= - -

1

f
z*do» =
1
-
z3dz

2 <^ «»,

2 J ,, V (a* - 2*)

1 --; [V(a^ - 2°) - V(a* - z'.)]. Acceptis 2, = 0 et z=a, 1 erit totius areae quadrans seu (fig. 7) ABC =-;-a*, totaque area = a*. Quoad lemniscatam obiter hic subjungimus illud : dy cum aequatio +

- 0

praebeat
( 167. 69) a* - 22* = 0,

3 radio vectori z = -f- , et consequenter abscissae r=4

respondebit (47: 48) maxima ordinata y = 5 V 5

2I/T2

quidem

É < 0.

(a* - z*)?

171. Permanente abscissarum axe , nec non ipsarum origine, praeter curvam , cujus ordinatae y , concipe et aliam , cujus ordinatae v , ut inquiratur in aream A, terminatam ordinatarum differentiis y - v , y, - v, , et respondentibus curvarum arcubus. Liquet (169) aream a, ex ¢ • pressum iri pcr

f

jrdae-
f
vdae ; unde

3o

úo

231 3c », - f

(y - v)dae :

άo simili modo, si concipiuntur binae aliae curvae, quarum

al

vera habeat ordinatas y', altera ordinatas V, erit respondens area <20> A, =

f

(3/' - v')dae.

ύo

Varia notantur circa projectiones planarum arearum in superficiebus similiter planis (172).

172. Denotantibus h et h' quantitates constantes• si A, et A, sunt ejusmodi ut ab x, ad ae, exsistat %...= j-, obveniet Pone A, nihil esse aliud nisi projectionem areae Aa in plano indefinito [P], cujus angulus cum ipsa Aa designetur per j^ - v

cos(PA,)

(PA.); erit constanter

, ac proinde Ar=

A, cos(PA,) : recol. elem. 341. Haec notamus

circa projectiones planarum arearum in superficiebus similiter planis. 1°. Sint areae quotvis a' , a, a" , . . • • quarum anguli cum planis coordinatis X\Delta y, X\Delta z, Y\Delta z (fig. 2) exhibeantur per h', 1: , ; , hy , 1', , N". k", '" , ... : expriment

a'cosh',

a'cosh', a'cosh", ... projectiones arearum a', a", a", ... in plano X\Delta y ; a'cosk', a'cosk" , a"cosk'" , ... projectiones in plano X\Delta z ; a'cosi', a"cosi', a"così" • • • • projectiones in plano Y\Delta z. Fiant a'cosh'+ a'cosh*-+ a"cosh"+. = a ,

a'cosk' + a"cosk'+ a"cosk"+...= b, a'cosi'+a'cosi"+ a"cosi" + ... = c : habemus (elem. 348) cos*h'+ cos*k'+ cos*i' = 1 , cos*h"-- cos*k*-+ cos*i"= 1 , . . . . itemque cos(a'a') = cosh'cosh'+ cosk'cosk'+ cosi'cosi", cos(a'a'")= cosh'h" + cosk'cosk"-Hcosi'cosi", . . . : quibus positis, haud difficulter pervenietur ad formulam a*+b*-+e*=a'*+a"*+a"*+... + 2a'a'cos(a'a")+ 2a'a"'cos(a'a")+.... +2a"a'cos(a"a"}+... Et quoriiam secundum membrum permanet idem , ut cumqne collocentnr in spatio plana orthogonalia X\Delta y, X\Delta z, Y\Delta z; idipsum ergo dicendum de primo,idest de summa quadratorum a* , b* , c*. 2°. Intelligatur duci planum indefinitum [P], quod cum planis X\Delta y, X\Delta z, Y\Delta z contineat angulos h , k , i , et in eo quoque fiant arearum a', a", a" , . . . projectiones,qua rum summa dicatur \mu : erit \mu. = a'cos(Pa') + a'cos(Pa")+ a'"cos(Pa”) +.... Atqui cos(Pa.) = coshcosh'+- eoskcosk'+ cosicosi' , eos(Pa) = coshcosh + eoskcosk" +- cosicosi, etc ... ; igitur (1°) p. = acosh + bcosk + ccosi. 3° Si planum [P] debet ejusmodi positionem hàbere ut summa p. sit, maxima omnium, quae ad alia plana spectare possunt; cum, inter variabiles cosh , cosk, cosi vigeat aequa tio cos*h + cos*k + cos*i = 1 , erunt igitur (53) cosh = + , cosk = V(a* + b*+ c*)

cosi ■=

, maximaque summa

--- vta-;=;=; . --- \mu. = V(aa + b*+ c*). -

A.

-

4°. Concipiatur alterum planum indefinitum [P.], quod cum planis X\Delta y, X\Delta z, Y\Delta z contineat angulos h, , k, , i,: factis etiam in [P,] projectionibus arearum a', a", a",.. , et ejusmodi projectionum summa designata per \mu,, erit (2°) \mu, = acosh, -Hbcosk,+c cosi,. Jam si plano P respondet maxima \mu, exsistet (3°) cos(PP.) = coshcosh, + coskcosk, -+ cosicosi, --

acosh, + bcosk, + ccosi, . igitur

' u

.. V(a*+b*+c*)

•, •
•

\mu, = Va* + b*+ c* eos(PP): summa videlicet projectionum manebit eadem in omnibus planis P, aeque inclinatis ad P. Aeeedente insuper (PP,) ad angulum rectum, decrescet \mu, usque adeo,donec, facto (PP,)=90°, evadat demum \mu, = 0. ,

Quadratura superficierum curvarum (173 - 174).

173.

I, superficie curva z= f(ae, y) spectentur bina puncta, alterum fixum (ae. , y,, z,), alterum mobile (ae . y, z): transeant per ( aeo , jr, , z. ) duo plana , alterum perpendiculare axi AX, alterum axi \Delta y ; itemque per (x, y , z) alia duo plana pariter perpendicularia, alterum axi AX ,alterum axi \Delta y. Ista quatuor plana secabunt superficiem secundum quàtuor curvas, planumque X\Delta y secundum quatuor rectas : pars superficiei quatuor illis terminata cùrvis utpote functio variabilium independentium ae, y , designetur per p(ae , y) : area quatuor illis terminata rectis vo cetur U , qnae cum sit aperte rectangularis, erit U = (ac-ar,\(y - y.) : rectangulum U est projectio areae p(ae , y) in plano X\Delta y. Ad haec: si ac, y recipiunt incrementa infinitesima Aac , \Delta y , expriment A.p(ae , y), A.U = (y - yo)\Delta x (a) incrementa arearum \varphi(ae , jy) et U respondentia soli \Delta x, et A,A,?(ae , J^) • A,A,U

-*

\Delta y.\Delta x
(a')

incrementa areolarum (a) quoad \Delta y. Ducatur nunc planum tangens superficiem in puncto (x , y , z) , et sub angulo 9 constitutum cum plano X\Delta y; intelligantur insuper per punctum (x + \Delta x , y + \Delta y , z + \Delta z) transire bina plana, alterum perpendiculare axi AX, alterum axi \Delta y; demum haec duo plana, nec non bina illa, quae jam posuimus transire per punctum (ae , y , z), concipiantur produci donec secent planum tangens. Si quadrilaterum ex quatuor hujusmodi sectionibus exsurgens in plano tangente dicitur v , cum secunda ex areolis (a') sit projectio ipsius v in plano X\Delta y, erit (172) \Delta y.A =-*-*- : ex dictis ( 24. 4° ) intelligimus fore cos0

lim.

am, -–I....-^

. . v
- '=
= 1.
Itaque cos0
-
= lim
lim.
- I-II–
\Delta y.\Delta x
-;

-

d,d.?(ae

dydx , J)
--
;
ubi -
(1
(119) 'E?
-
1
=
sec0
=
cos(Na)
4
-

M [ 1 + (

j. )* + (£; j*] : nus- quoad y eruimus

d.[?(• , •) - \varphi(r , dae J^ yo)]

=

/. sec0dy ; iterumque

235 inte grando quoad ae , p(ae , J^) - \varphi(ae , y.) - \varphi(ae, , y) + J^ \varphi(ae, ,

.-/. f

sec0dydae : sed evanescente projectione

o

J^o

-

U evanescit

quoque area \varphi(ae , J ),

ideoque \varphi(ae , jr.) = 0 ,

\varphi(ae, , y) = 0 , \varphi(ae. , y.) = 0. Igitur ?• , J ) -/. J'•••.

-

174. Fac ut superficies : z = f(ae , y) gignatur rotatio ne curvae planae v = f(ae) circa axem AX; erit (elem. 351. 2*) f(x , y) = V^f*(ae) - y*, ideoque

£- tt Ht;

•

d.

•_.

fì/^(1._!_ f'2

1. - 77*;; , sec0= %#

: quo valore sec0

substituto in secundo membro ultimae formulae (173), acceptisque integralibus ab y., = 0 ad y = f et ab ae, ad x, manifeste prodibit pars genitae superficiei interjecta planis coordinatis X\Delta z, X\Delta y et duobus aliis planis ductis per extremitates abscissarum ac., , ac normaliter ad AX ; exhibita nimirum

isjynodi parte superficiei per X(ae) ,

n f ac

_f

'
_3C
.

X(x)=

f -

f
fdydae
vÉ- 4. L£!*
f
fdx,/ =-;-;;,
1+-f'
f. Ë;;
d?

<2Co

o

. άo

236 f Est autem (440

f

-–=2arc(cot dy
= 4) - 2arc(cot=
*_ _ _ ^

(140)

,, V (f*-y*)

(

-

fr

•
-

oo) =

-;- ; insuper, denotante m normalem curvae ge

meratricis v=f(x), habemus (77)

fV (1+f*)=n:

igitur e

rit quoque

-

• &

JU'

-

i- • X(x)

=; f

ndae .

- -

ac,

2 b Si datur v. gr. superficies z* +%* =;-(a-**)

ge

-

•

-
'-
b2

iierata (elem. 408) rotatione ellipseos v* = -...-(a*-ae*) -

' à

2

circa axem 2a , erunt f(x) = Ta V(a* - ae*) , f'(x) = b

qc

Â
ts
2
2v __2

-- -

-

- . ?,
=-; V[a*-(a*-b*)ae*].

a TV(a*-a:*) ' Pone 1°. a > δ : facto a* - 5° = £*a*, obveniet n= 4v(a - •*);

ideoque (169. 2°), assumpta ae,= 0,

Q2 .•

••

_ bsf;

a*

a,
bsf;
a
2

X(x)=

£f.isv £-• }-=-;[* Vta - **)

-*

a*

s* *

a*

v(+-**)

- arc(cO£ =

)].

+# arct

JC

Pone 2°. a < δ : facto ö* - a* = £*b*, exsistet n = -

237

• va*--*-*-*);

ideoque de». 3°), assumpta s. - o,

¢

, *

;
.!;, vt a , eos, usu uit;

: ■ ■ ■ i,'y** *

•

. •, e. 1*. *' * T , , , • • , - , -
,
-
*o

, , ,. ' **;;r/ow^wwi io * , **', 3. 'o* i* », .^^

'*'*'}*gri

-

, , ® 8TI, %(x)=
i-;...;

: da V(ae*++++i)=– [xV(a* -4- • i •

2a* v/ ,

-

' , b's
4a* *
, '

, , _ „,*** ** ; o ., .,; ,.. * *, * . ιη

· · 1:11: ..., iv.

, , •'} 1-o, pi.i · · · · · \ 1 1 * assu. ***, 49 ( . , ;

-

... it. 1*;

a* \

a*

J.
beae -V^(b*s*a*+ a*) )*]

• • ,

&e ' we ' as--w****+•)' ` .

.'

Binarum a* -

b*, = £*a* et b* - a*=

ę*al tera
prae;

-

4* , ' ' • • . .

t
-
,
*

- * * * , * * **

... ...

, r ' ; T ••*• a.iji'js, if i. .;

• '

\

• _2

2
a;

63

o.

• 14* ... ... : '

bet.

- 3? =

altera a* +
- f.'. b*s*a*Jla*

-

-

-
•
-
-_-
•
+a

s* is

-

g*, * ^TT, Y,,,!;
ö*s2 ; : g*.,.', sa.= a*b*: capiendo itaque ae == a , et multiplicando
per 8, .

-

-

'*,
• , -,

: ...

-

-

assequimur totam \ solidi superficiem expressam in 1°. casu 2abt:

b , .

-

per 8X(a) = 25*r. -H

arc( cot = -–) , in 2°. per

- -- -- ---

o, :....; 43 , , ,.,. „, ,;* ...

>

2

1 -
•*)

). • • i • • . ,31: ... i* j* ». « , (----- -

\,,

-

Cubatura solidorum (175 - 178).

175. Proponitur cylindraceum rectumque solidum habens altitudinem = a, et basim A =f J^dae computatam JCo

-

in plano X\Delta y ab ae, ad ae : abscissa ae evadat ae -}- \Delta x ; incrementum Av, et parallelepipedum rectum \Delta y\Delta x erunt evidenter ejusmodi , ut exsistat lim.

= 1 . Hinc

\Delta y\Delta x: &c dv = \Delta ydae , et

v=af

J^dx = aA .

•¥o 238

176. Solidum v sit nunc terminatum utcumque: per extremitatem abscissae ae ducatur planum perpendiculare axi AX, quod secet solidum v ; et hujusmodi intersectionis area designetur per f(ae): super basi f(x) intelligatur constitutum cylindraceum rectumque solidum habens altitudinem = \Delta x, quod proinde (175) exprimetur per f(x)\Delta x. Liquet fore .

Av

•
•
,ι
-
f

JC .-–-

= 1:

-
¥•
-
v

:

lim

f(x)\Delta x =1;igitur dw=f(x)dx, et v

JC
ftae)dae

area' f(*) definitur ex jam traditis

de quadratura superficierum planarum.

• . • t*i.

m*,
&*

' Proponatur v. gr. invenienda soliditas ellipsoidis '

,.,

,
**

-

2

(elem. 407)

3--+ £+

JC
= 1: area f(x), est elliptica,

Q22. vn. 2

-

2

ad

-

. '
z2
3^
Jc

quam spectat aequatio

=+ ;* = 1 - -; ; et con

-

•

ac*
*
ac2
-

sequenter semiaxes, cV (1- -–), by^(1 - ... ).

Hinc

a*

,

ę

2

JC

2

(169. 169. 2°) 20

f(x) =

= rcb(!
--*-
;);
•
et v
E

• /.'

-
if-
a* )dae
dr=s

ac3

ac3.,

-

Tcb(.c - j+- ae.--

): si fiunt ae = a, ac, =- a ,

3a*

• •
*

prodibit soliditas totius ellipsoidis =

4;

abc.

-.

177. In plano X\Delta y intelligatur describi curva y = F(x) , ex cujus revolutione circa axem AX gignatur solidum v : intersectio (176) f(ae) erit manifeste circularis, cujus radius =y ; unde f(x) = πy* , et v =

nf

jr*dae.

3Co

Sic v. gr. in plano X\Delta y descripta cycloide, cujus vertex in A, basis vero secetur bifariam et ad angulos rectos ab axe AX, erit (169 : 5.°) y*dx = a*(i*sini + 2isin*i+- -

i

sin*i)di ; unde v = fta*

f

(i*sini +-2isin*i + sin*i)di.

'.

$

*
°, *•
-
-
.
›

Sunt autem (145; 147. 4*) fi*sinidi = 2isini - (i*-2)cosi,

• .

j **•2 : '

· ·· · ·· ·

-.

-
..
4
-

2 fisin*idi = fi(1 - co*2i)di= £;-

-

£; sin2i--;
cos2i,

4

-

fsin*idi =- [3 (sin*i + 2)cosi ; igitur v = tra* [

4;

+

-

-

-
-
'
. ^.
.
.
cosi
•
-
-
1

i(2sini - -:-sin2i - icosi) +

3j-(4-si

n*i)--

cos2i-

2

3

4

;*
- i,(2sinis -
-;
4 sin2i.-i.cosi.)-
cosi
-
3 o
(4-sin*i.)+

4 T.

cos2io]. Factis i, = 0, i = π , proveniet solidum genitum ex revolutione cycloidis circa suum axem , 3m*

8

v

-

fta?(
*( -–
2 - -–).
;-)

178. Sit ponitur solidum v terminari superficiebus Curvis z' = f,(ae , y), z"= Fa(ae , y) , superficiebus cylindraceis 3'= F,(ac), y' == F,(x) et superficiebus planis ae'=C,, , - /

• . *'-

W*' \ *
*••
•
•
;* . ..* - •;

ac" = C, , erit

(7) fo= J. (z"

- z/)dy =

-

•

•
' . , ,
• '•, ', ». *»*,
I* 3^', u},
iii
. i;.
•
oi .

, «J,,.*.* * • • • • •!it ,u*** **** -i -r- . ?

. . ;

f. 7^" 'f

,,2; <!ydz; ideoque a

(176) · · _ . · '.{*
· · · · } · ii · · · , , · · . · V /.
f.

y ° .'

-

*
-

¥ - ` ..." • J^ . *• -

-

i' - -
- \ . s) v.
\. 3.">. }" -,i ***i •
,', , , • • . \

,3 V=:

f f

(z"-2')dxdy=f
f J
daedydz.

•

•

a:'
.
3/
-
•
vv.vv.
\.
ac'. ' y!
I -
. .
z'
t si * , • t
*• ,,

Fac ut alternm solidum v, terminetur superficiebus curvis z'=4,(ae, J), z'=:/,(x, 3), iisdemque-superficiebus cylindraceis ac

j^

et planis, ac solidum v ; habebis v,=f

1

f (z"-z')dxdy.

-

JC

J^'Quare , si rectae z' - z', et z" - z constantem servant ra

-

.

, , , --- * * * ,
-

-

- , , ----- -;

-

• H

.,
.
H
•

tionem ;t , cum prodeat z - z' = -j-(z"-z'),

erit quoque

H -- V

{ • •, H

v,

DE INTEGRALIUM MULTIPLORUM TRANSFORMATIONE.

Formulae huc spectantes (179 - 181).

179. Proponitur integrale duplum $S=\int \int \chi (x,y)dxdy$, ut variabilibus $x,y$ subrogentur novae variabiles $u,v$, exsistentibus $x=f(u,v),y=\mathrm {f} (u,v)$. Obtinent

$$dx=f_{u}'du+f_{v}'dv,dy=\mathrm {f} _{u}'du+\mathrm {f} _{v}'dv:$$

pone integrationem faciendam primo quoad $x$; erit (21) $y$ habenda pro constante, verteturque istarum aequationum differentialium secunda in $0=\mathrm {f} _{u}'du+\mathrm {f} _{v}'dv$, unde $dv=-{\frac {\mathrm {f} _{u}'}{\mathrm {f} _{v}'}}du;$ et eliminata $dv$ ex prima,

$$dx={\frac {f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}'}{\mathrm {f} _{v}'}}du;$$

quem valorem $dx$ substitue in $S$, et post substitutionem finge tibi eliminari $x,v$ ab $S$ ope datarum $x=f,y=\mathrm {f}$, ut $S$ non alias complectatur quantitates variabiles nisi $u$ et $y$: nunc si facienda esset integratio quoad $y$, foret $u$ habenda pro constante; iccirco

$$dy=\mathrm {f} '_{v}dv.$$

Itaque $dxdy=(f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}')dudv$, et repraesentata $\chi [f(u,v),\mathrm {f} (u,v)]$ per $\varphi (u,v),$

$$S=\int \int \chi (x,y)dxdy=\int \int \varphi (u,v)(f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}')dudv.$$

180. Differentiantes aequationem $\varphi (u,v)=\chi (x,y)$ assequimur (19) $\varphi '_{u}=\chi '_{x}{\frac {dx}{du}}+\chi '_{y}{\frac {dy}{du}}=\chi '_{x}f'_{u}+,\chi '_{y}\mathrm {f} _{u}',\varphi '_{v}=\chi '_{x}{\frac {dx}{dv}}+\chi '_{y}{\frac {dy}{dv}}=\chi '_{x}f'_{v}+,\chi '_{y}\mathrm {f} _{v}'$; unde

$$\chi '_{x}={\frac {\varphi '_{u}\mathrm {f} _{v}'-\varphi '_{v}\mathrm {f} _{u}'}{f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}'}},\chi '_{y}={\frac {\varphi '_{v}\mathrm {f} _{u}'-\varphi '_{u}\mathrm {f} _{v}'}{f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}'}}$$

quibus formulis integrale duplum ${\textstyle \int \int dxdy{\sqrt {(1+{\chi _{x}'}^{2}+{\chi _{y}'}^{2})}}}$ exhibens (173) quadraturam superficiei curvae $z=\chi (x,y)$, transformatur in

$$\int \int dudv{\sqrt {[(f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}')^{2}+(\varphi '_{u}\mathrm {f} _{v}'-\varphi '_{v}\mathrm {f} _{u}')^{2}+(\varphi '_{v}\mathrm {f} _{u}'-\varphi '_{u}\mathrm {f} _{v}')^{2}]}}.$$

Fac v. gr. ut $x,y,z$ dentur per coordinatas polares , nimirum (elem. 352) $x=\Delta \sin \theta \cos \omega ,y=\Delta \sin \theta \sin \omega ,z=\Delta \cos \theta ,$ erit

$\Delta \cos \theta =\chi (\Delta \sin \theta \cos \omega ,\Delta \sin \theta \sin \omega )$: habita $\Delta$ pro functione reliquarum $\theta$ et $\omega$, sume $u=\theta ,v=\omega$; obvenient $f_{u}'=f_{\theta }'=\Delta _{\theta }'\sin \theta \cos \omega +\Delta \cos \theta \cos \omega ,f_{v}'=f_{\omega }'=\Delta _{\omega }'\sin \theta \cos \omega -\Delta \cos \theta \cos \omega ,\mathrm {f} _{u}'=\mathrm {f} _{\theta }'=\Delta _{\theta }'\sin \theta \cos a-\Delta \sin \theta \sin \omega ,f.'=f'\omega =\Delta \sin \theta \sin \omega +\Delta \cos \theta \sin \omega ,f=f,=\Delta '\sin \theta \sin +\Delta \sin \theta \cos \omega ,3.=\varphi =\Delta '\omega \cos \theta -\Delta \sin \theta ,\varphi ,'=\varphi '=\Delta ',\cos \theta$: hinc $f_{u}'\mathrm {f} _{v}'-f_{v}'\mathrm {f} _{u}'=\Delta \sin \theta (\Delta _{\theta }'sin\theta +\Delta \cos \theta ),f,'-\varphi ,/f'=\Delta \sin \theta \cos(\Delta cos\theta -\Delta \sin \theta )-\Delta \Delta '.,sino,f_{u}'f,'=\Delta \Delta ',\cos \omega +\Delta \ sin\theta \sin \omega (\Delta _{\omega }'cos\theta Ain?$; quarum expressionum quadrata in summam collecta dant $A*[A*.+(A*-HA*o)sin*9]$: igitur ffdxdyV(1--χ*.+x*,)= ffAdudwV [A'*.+(A*+-A*, sin-gj.

181. Proponitur integrale triplum $S=\int \int \int X(x,y,z)dxdydz,$ ut variabilibus $x,y,z$ subrogentur novae variabiles $u,v,w$ , exsistentibus x = f(u , v , w) , y = f(u , v, w), z = f(u , v , w ). Habes dae = f,'du-Hf,'dv-\-f.'dr, dy = f,'du + f,'dv--f,'dr, dz = F'„du + F', dv + F', dr : pone integrationem faciendam primo quoad x; erunt y , z censendae constantes, vertenturque secunda ac tertia ex istis aequationibus differentialibus in 0=f,'du-Hf,'dw+f,'dr, 0 = a.

f'„f,'- f',f'„

- f'„du + FVdv + F, dr , unde dy = - -£-–# du , F',f'„-f'„f, a

•

a.

-
-

F„f.'

y*u. - F'.f.

%-du ;
et eliminatis -
-
-
dv, dr ex prima -
,

dr

= -------

F, f,' - F'„f,'

-

- dx=

£(r/f;-*, f.)+f'*yf.-Erf.)+*Af;f/- £f?

du
S

F',f,'- F'„f', quem valorem dae substitue in S , et post substitutionem puta eliminari ae , v , r ab S subsidio datarum ae = f, jr = f, z = f , ut ipsi S restent variabiles u, y, z : nunc si facienda esset integratio quoad y , forent u et z exsistimandae constantes ; iccirco dy == f,'dv + f,'dr , 0 = Fwdv + F', dr, unde

-

f',f,'

--

f„f,'dy
dv.

-

F',

Valorem istum dy substitue in S jam traducto ad solas variabiles u , Jr , z , et post substitutionem finge ab eodem S eliminari J^ et r ope binarum y = f, z = f , ut S non alias complectatur quantitates variabiles nisi u , v , z : si facienda modo esset integratio quoad z , forent u • v habendae pro constantibus ; consequenter dz = F, dr. Itaque , repraesentata X(f, f , F) per ?(u , v , r), Se- ff fX(x, y, z)dxdydz= ff fp.u, v, r)[f,'(f',f/-f',f',)+ f,(f',f,'- f,'f,')+ F'„(f,'f,'-f,f,')]dudvdr. Sume v. gr. (180) ae = Asin9cos», y=Asin0sin^», z=Acos9; et pone χae, y, z) = 1 , ut integrale triplum fffdaedydz traducatur ad coordinatas polares A , 9 , r . Factis u = A. = 0, r = o» , erunt f. = sin9cosœ , f.' == sin0sino , F, = cos9, f. = Acos0cosa», f.'= Acos9sino, F',,=-Asin6 , f', = - Asin0sino) , f', = Asin9cosa» , F', = 0 : hinc f'(F',f,' - f'„f',) = A*sin*θcos*», f,'(f',f', - f',f.) = A*sin*0sin*» , F'„'f', f.'- f,'f,'} = A*sin0eos*0 ; ideoque f ffdxdydz = ff fA*sin9dAd9d».

-*

Consimili ratione transformantur integralia quadrupla, quintupla, etc.; vides rem eo redire, ut resolvantur varia systemata aequationum primi gradus: supersedemus formulis generalibus nuper in hunc finem excogitatis.

DE INTEGRATIONE AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM PRIMI ORDINIS.

Aequationes differentiales primi gradus inter binas variabiles (182 - 188).

182. Exhibentibus M, N functiones variabilium $x$ et $y$, datur differentialis aequatio primi gradus,

_

* •

Éâ

$Mdx+Ndy=0$

(o),

ubi nempe $dx$ et $dy$ sunt linearia. Si

£- £

N
, ratio

integrandi aequationem (o) erit ipsa eadem , quam exposui mus (166) ; sin minus, oportebit aut separare variabiles ae , jr , idest aequationem (o) traducere ad formam Xdac-{-Ydy=0, ubi denotat X functionem solius ae, et Y functionem solius y, dX

dY

'-.

ut habeatur

-=

0 = -J-
; aut
ejusmodi functionem

JC

-

tyr

-

\varphi variabilium ae , jr invenire, per quam multiplicata (o), sic que habita.

pMdae

+
pNdy = 0, inde prodeat
* *;
d(oM) ) ==
.

d(pN)

-

-
- -
*
*
-
** ; ,

J;- ; etenim ex jam traditis de integratione ' functionum

• • *j

eruetur vel integrale aequationis* Xdx + Ydy = 0, vel in tegrale aequationis pMdae + \varphiNdy = 0 ; quae integralia per tinebunt etiam ad (o). Porro integratio aequationum diffe rentialium eo redit, ut quae relatio inter quantitatem et quan titatem per eas exprimitur, aequivalenter exprimatur per aequationes differentialibus liberatas.

183. Separationem variabilium absque, ulla difficultate assequimur

1°. si, denotante X, functionem solius ae, et Y, functionem solius y, habeatur NT = X,Y, ; nam (o) manife d

-

ste vertetur in X, dr +

£- = 0 :

2°. si exponentes varia

-

m

bilium ac, y in singulis terminis functionum M , N eamdem summam efficiunt ; assumpta enim y = aez, et consequen •

M.

• • - •
'

ter dy = aedz + zdae , cum -;- evadat functio Z solius z , transformabitur (o) in (Z -- z'dae +- aedz = 0 , unde d.c

+

dz

= 0:

-

J'

Z+ z

*

184. In aliis casibus vel nullo pacto conceditur separare variabiles, vel si aliqua est via id obtinendi , ea*in quibusdam substitutionibus consistit. Etsi nulla certâ methodus tradi potest, per quam liceat cognoscere utrum va riabiles possint separari, et quaenam substitutio apta sit obtinendae separationi, attamen non desunt artificia analytica, quibus, rite adhibitis, haud raro sese. offert substitutio ad separandas variâbiles opportuna. Primum artificium est ejus modi : quae quantitates , integrationem impediunt, eae reij ciantur in communes multiplicatores

ac divisores ; dein cae

terarum integrale, aequetur : novae variabili , et ope substi-. tutionis eliminetur altera ex variabilibus ab aequatione data: hoc idacto saepe contingit^ ut in nova aequatione , variabi les q exsistant, separatae.... : + , , '

-

i;. :,. . .
.

-••:!i!s

, , ,

* * *po* »*;* : 111,
o. 1. f . ,.) !
. .**• '• ;'

-

-

... i .
*d
-
- -
-

'" Detur v. gr. •

i/£E££-- -

a
-
-
£#-;
qnae potest scri

- n • , ■ ,-,., ,* , ...v*y*-t-: a * *, , .

a , T. •, • T •,

-

-

z. , , • • i;i .,

* • *• •
• •
• •• •
•*

- bi in hunc'iiodiiin."--

a»- *' * feio

• i • •

f 1* •, et i|o- }, .ae?y*+ a* at*)=,i;
* ;

:••.■• . . . .

247 -

d2

-

a) = \Delta z , ideoque d(\Delta y) - adz, ae = j- •

exsurget

d.

dY

dY
adz
-

£;--

a?
; e
-----t;
= 0, aequatio

cum variabilibus separatis. 3 Detur quoque bydae -

rg: = \Delta ydy ;

qnae dispo

matur ita, 3^(bdae - ady) =

a*dac

3
, seu yd(bae - a)) =

a*dr

f

ô
•
_ bae -
a<

3c

:

faCtO

x - \Delta y = \Delta z
, ut sint y =
ę
2

-

a*

bdae - ady = adz, proveniet bacdz - \Delta zdz =

Sume.

... - **

habebis bacdz =

a'(£ + £)-

a* d aes)

: fiat aes = v , et consequenter » =- ; erit

Jc$

•

bvde

. £.

=a*
dv
, seu bdz - a*
d;
= 0 ; in qua cum s

s

• .

,
v
•
_
[9

data sit per z , variabiles exsistent separatae. 185. Alterum artificium praebent qnantitates indeter minatae in processu operationis ita determinandae ut, eva nescentibus aliquot aequationis terminis, ii qui restant se parationem admittant. , ; .** * Sit v. gr. dy + Xydae = X, dac : fac y = zs , et a 248 dhibita substitutione orietur zds + sdz +- Xzsdae = X,dae; si ponitur sdz +- Xzsdx= 0, ideoque

1. . + Xdx = 0,

dabitur z per ae ita, ut deletis binis terminis prodeat zds = X,dae , seu ds - X,dae = 0, in qua variabiles z. inveniuntur separatae. Itaque z=e -fxde, s= f X,dae -HC, 2. X,daej = z( f

+ C).

2 Aequatio dy + Xydae = X,dx repraesentat omnes li neares differentialesque aequationes primi ordinis inter bi nas variabiles : generatim, quicumque sit aequationum dif ferentialium ordo , aequationes illae dicuntur lineares , in quibus variabiles dependentesque quantitates et earum dif ferentialia neque primum excedunt gradum, neque invi cem multiplicantur. 186. Interdum adhibendo utrumque artificium perve nitur ad separationem variabilium. Sit v. gr. 1.° (\Delta y - a)dae - ydy = 0; et assumpta jr = zae + z , orietur - (\alpha* - aa+ 1)aedae-H(a-z)zdx «aedz-zdz=0: ut primus terminus evanescat pone &*-\Delta z+-1 a.

a*

0 , unde \alpha

2

=V (+ - 1 ) ; . restabit, aequatio

(a - «)zdae - oraedz - zdz = 0 , in qua possunt variabiles per primum artificium separari. Disponatur aequatio in hunc 249 dz

-

01-0x.

modum, (a-\alpha) a r.

- -2. - -

da =0, sive dl( *- )- dz

Jr.'

2

Ju*
cx.
•

2 = 0 ; et

facto

1i

cx.

03- q.

Σ \varphiΕ.

-

o0-ox

=s, ut sit x=s T. z T,0X. z habe 11

ox.

w-a+1
CX.

- -

-

-
-

ds

(■-\omegaς

00-ox

bimus

– -s

°* *
°*dz=0, seu s
ds-z
dz =0

cum variabilibus separatis. 2°. dy + Xydae = X,3/*dae , quae disponatur ita, d) , „ dae

4

1
dae

-

3* + X. j*-*

=
X, d. Jc
•
.
Seu
-
-
-
k-1
d(
3*-*
-
)+ X. }*-*
-

X, dae ; et facto – = z, prodibit dz -(k-1)Xzdx 

-(k - 1)X,dae ; ejusdem videlicet formae , sub qua sese ob ulit aequatio jam pertractata (185). Separabuntur ergo va iabiles per secundum artificium. 3°. dy + (êy* - \Delta x*)dx = 0

(h).

Separatio nullo indiget artificio si c = 0; nam habe dy tui immediate dx +

= 0.

by* - a Hoc primo casu observato, ut ad alios progrediar su Pu.

v

- _
_ -
-
v-r

mo y = aa' -+ zar' , et facta substitutione obtineo (vae -H 250 \mu+»

\mu-1

•

2,2,") d. + (pa." + bx***)dx-+bx"=*d* - a cedae + a* dz = 0 : primus ac secundus

terminus evane

„cent, si v - % = \mu + v , v-+ 2ba = 0 , \mu. - 1 = 2p. , \mu\alpha-}- λ\alpha* - 0 ; quarum prima et tertia praebent \mu = - 1, 1

-

secunda et quarta \alpha =-; , v = - 2 ; hinc J^=

--- -£

, ba*dae - \Delta x*** dae-Hae*dz=0

JC

-

(h'): si c - - 4 , manifeste traducetur (h') ad

-

d;
+

JC dz 7AIAT

T o , in qua variabiles exsistunt separatae.

z* _- a dz . aac***dac

bdae

Eadem (h') potest sic disponi, - TE

-- -* =0

1

¢

c-+3
bdac
•.
•
•
.

++++; de- -= - • • r- = -r- a*** = ae, , ideoque £ = -

j-5 *, c+3

dae, , exsurge

d 4

_ £££.ô

- e*-

dy, +

c ---

3
j^,*dae,
-
T;
ę,
c
dae, = 0, qae,

c.

+3

a

b,

c + 4

e= CA ,

abi in

= a, , • aTE3T**' c + 3

c -+ 3

dy, -i- (b, j,*

-

a,ae,* )dae, e-= 0
•

similem omnino aequationi (h): adhibita igitur y, = -;- + +

, fiet gradus ad

Ja* " ■ b,z,*dae, - a,****de;---pas, =0

(h),

in qua licebit separare z, , a, si c, = - 4. Disposita (h") quaemadmodum praestitimus quoad (h'), -

c,+3

a,
b,$umptusque - =
JC
-–
=b,, -–
=a

pu- -:;-., -, -.,:;;-:;;--- c. + 4 -

â -;-;- = c, , eruetur ex (h")

dya + (bajr„*- a,*** )dae, = 0; 4 unde, ope substitutionis y, = b\Delta xa 22 2

, nova item

ù72 deducetur aequatio inter variabiles ac, , z, , quae poterit se parari si c, = - 4; atque ita porro. Non pluribus opus est ut intelligamus variabiles ae, y in (h') fore separabiles quotiescumque una quaevis e quantitati bus

c.

»
c, - - ttt 4
, c, -=-
$ti-,
4
c,= - ex+4.
c.-1-4

**,
c.
+ 3
c,+
3
•.
c,+3

erit == - 4 ; sive, quod eodem redit, quotiescumque c ob -

-

12

tinebit unum quemvis e valoribus - 4 , - 8 - --

,

3 'T 5 . ; qui possunt exprimi per

formulam

2m-1

5 denotat n numerum integrum ac positivum.

n- Aequationem (h) nunc disponamus ita ,

£-

-}-

cd

1

bd. - *ff-

- 0, seu d+;-3;...dx*-bdx

= 0;

J^

j ' (c+1)y

- -*- ponantur

-

- •. ***' - ' ideoque dae= -
- .
"a:

- -

••

•
c+1

--

- - -

-
_ •
•
-
cœ
6

adhibitis substitutionibus, factisque

--;-=

B , --
=A,

c+1

c-i-1e

= i , orietur c -- 1 ds + (Bs* - At')dt = 0 (h"); quae cum prorsus sit similis ipsi (h), easdem proinde ac (h) transformationes admittet. Hinc pronum est concludere va riabiles s , t in (/"), et consequenter ae , y in (h) adhuc •

•

.
c.
4n
-

fore separabiles, si i = - - - =- -...- , idest 4n si c = * .

-

2n-H1

• Ad formulam (h) traducitur dy + (δae"y*-\Delta x')dae=0, i +t

T

facto a'dae = dz ; unde

1

= z, ae = [(r + 1)z]
•

alx = [ r -4- 1)z] T7T dz, ae" = [(r + 1 )•]*' : huc spectat 253 ea, quae a Iacobo Riccato formula riccatiana nomen habet. 187. Aequationes quaedam tametsi homogeneae non sunt, tamen apte mutatis exponentibus convertentur in homoge meas, ut possit dein ad variabilium (183. 2°) separationem transiri. Detur aequatio haud homogenea ( \Delta x”y" + Bac"3"' + . . . )dae + (\Delta x*y* + bae'y*' +.. .)dy = 0: fa cto y == z* , habebimus (Aa* .*-4- ba "2* +-... )dx + aa*z* -4- ba*z*

... )«z**dx = 0 ; quae cum exsistat

qhomogenea si m + an = m + \alphan'=... = k + \alphaί-H2-1= k'+ xi'+ \alpha' - 1 = .. ., convertetur data aequatio in ho I. m -rm. •

-

n-nu^
-
.
m' - m

mogeneam accipiendo J^ = z

ubi fuerit -–-–

=

n, - n, -

•/

= • . - =*
-
-
••
= • • • •

m-

-m.

m -i- 1
n - i' - 1

Resumentes v. gr. aequationem (h: 186. 3°) assequi mur m = 0, n = 2 , m' = c , n' = 0, k = 0, i = 0 , et

m' - m

c.
k-m - 1
1
t.
-

m - m'

=

-
2
,
--
n - i- 1
= - 1 :
pi'0pt€T€a
prop
• , sl
S

c = - 2 , aequatio (h) fiet homogenea ponendo jr = z'. 188. Quod ad factorem q (182) spectat, haud dif ficulter ostenditur ejus exsistentia : denotet enim V primum membrum aequationis (o), factisque dae = ae, , dy = y, , ut sit V = Mae, + Ny, = 0

(g),

ponatur PV = d\mu , idest pV differentiale exactum. Quouiam 254 .

d\mu.

d\mu

pV = d\mu, importat \varphiV =-j; ae, + 7, 2 ; , et consequenter ._ d ®V) d*\mu. d*\mu.

d\mu , d(pV)

et 1am

j;-

= dac*
x, +
7A;J.
- d(j-),
-;-

d\mu.

d(?V) _

d*p.
d*\mu.
d\mu.

7E ' T7TT ZE;

x, -H ;rr, -

aj;

d(\varphiV)

• . i--i--- ;

-
-
-

-;---; ; iccirco in ea qua sumus hypothesi binae d@V

„

d(?V) , , d(£V)
d(pW)

TxT

-

d(
-}-)-o,
dy
-
d( dy, ) = 0
seu

dV

dV

, dW
dp

• 1. -;uo- ra;) =-vj; ,

d

dV

dV
dp
(g')

V

• j;--; de- ra(i;)--vj; ,

necesse est proveniant identicae ; et cum habeamus W = 0, hinc binae quoque : dV

JV

dW

•_- -

-

-
–)=0,

• =-;*-?(;)

(g") dV

dV

«JV

?7- - 75, d\rho - \varphid( Σ' p. debent esse identicae quum in ipsis substituitur valor jr, ex V = 0 ; atque idipsum dicendum de dv dv

dW

. dW ,
dV
. dW
dV dV

- - •

• • -

...
0
rir

'T7ZE,

(g

'),

Σ Σ-j;*j}*;;;*;255 dp ma quae obtinetur eliminando

ex (g") : vicissim si (g")

prodit identica, haud dubie valebit pV = d\mu, et consequen ter aequatio (o) integrabilis ; secus neque binae (g), neque iccirco binae (g") provenirent identicae; nullus videlicet fo ret valor p , nullusque per consequens valor

£aubn. (g')

\ satisfaciens, et aequatio (g") non prodiret identica. Jam vero ex (g) habemus *' - dM

dN

dV

1. - # * * # r . ; - N.

dv

..

dv
dM
dN

-M,

7¥ -
;-*,-+ 75T y,
, quarum
ope

traducitur (g") ad ( M

Ny,)(

dJN
f*) - o;
uae

iur *) a (M-,-* Nr.) ; - ;

5 q

cum revera ob (g) sit identica, licebit inferre factorem \varphi semper exsistere, et aequationem (o) semper derivari posse ex ali qua primitiva aequatione inter ae , y. Haec notentur. 1°. Ad inveniendum \varphi , habemus qui dem (182) dp

dp_ _,_ , dM

dN „_
iv\ .

verum aequatio (g") utpote differentialis partialisque , seu ad derivatas partiales dfficilius integratur quam data (o): qua re hic quoque nihil ferme superest aliud, quo juvemur, nisi usus et industria. 2°. Si cognoscitur aliquis valor p, per quem converta tur (o) in differentiale exactum, poterunt inde innumeri alii valores \varphi derivari ipsam (o) pariter constituentes differen 256 tiale exactum. Sit namque p,Mdx + ?,Ndy = d\mu : certe ae quatio p,X(\mu)Mdae + p,X(\mu)Ndr = X(\mu)d\mu erit

identica3 se

cundum vero membrum est differentiale exactum , igitur et primum ; ideoque cognito q), apto ad constitnendam (o) inte grabilem , eruentur inde innumeri alii valores \varphi = ?,X(\mu) • per quos fiet (o) similiter integrabilis. 3°. Si in (o) functiones M et N sunt homogeneae e jusdem gradus k, erit 1 \varphi, =

Mac + Ny

d(p,M)

4

dM
aJN

Nam 1 *. `I!...

dy = (MATREQV -------

_-
dy
Mydy
II.- MN)
MN
•

d(p,N)

• 1

dN
dM

24.

1-

-
-
-
- -
-
-
MN
5

ZT* TITNA (M. j-- Nae ;

)

-

•

dM

et in ea qua sumus

hypothesi (76), 3*.

kM = ae-
+

jy

£;

, 4°. kN
- *£ +y£
. Iam in 1*. substitu

dM

dN

antur valores y ¥T

• *75-

ex 3^. et
4*. , animusque at

d(o.N)

.

tendatur ad 2*" ;

prodibit d(?M)__ d(?,N) , ideoque

etc.

dy

dae

-

©

.
1 , dp
M
dp

4°. Aequatio (g") scribatur ita,

-;-( 77 -

NT* Jy

IN-

4

(
#! -
-
£). -
si
secundum membrum prodit -
fu"

4:

-

257 ctio X solius ae , tale erit et primum ; qnod cum certe as sequimur ponendo \varphi functionem solius ae , iccirco in casu, d? _ 1 , dM , dN „,_ _ ... ,_. _fXdae . -;---s-

( -;--

j-)dx
=
xdx;
unde \varphi=
e
-

simili

1ΠnlI1

mOCIO
do
invenietu
1mw
r \varphi , si in -NT
-–
1
( 77
–-
dN
–
dM
;-) ) in
in

greditur sola Jr.

Aequationes differentiales altiorum graduum inter binas variabiles (189 - 191).

189. Differentialia dae, dy haud raro sese offerunt ela ta ad potestates altiores prima : universalis ejusmodi ae quationum forma est, dy* + Pdy*-* dae -{- Qdy*-*dae* +... + Tdydx*-*+ Wdae" = 0, seu d.

d.

d.

(

% )*+P(£)*-*+ Q( -£-)*T*+...+ T(#)+v-o

(5).

Ponatur (b) esse homogenea quoad ae , y : factis y = xz , xdz = tdae , ut sit dy = (z + )dae , traducetur (b) ad, (*+*)*+P,(*+*)*-'+Q,(a+*)*-*+...-+T,(x+)+V,=0, in

qua P, , Q, , ... W, designant functiones unius z ; datur

ergo t per z et vicissim , ideoque aequatio primi ordinis primique gradus d.c

dz

acdz=tdac

seu

-= -

JC

t.

praebebit x expressam per z ; uude etc. 17 258 s, ... , £v v/* * + * *--*-o: erunt si.s (;»-*£*+ + +-*-*• ".

M.

1

n=3 , P, = -# , Q, =-= , V, = - ;- : quare (2+t)*- -

1

1
-
•
- -
-

- 4(z +- t)* + -; (z+t) - ;;= 0 ; quae sic potest scribi , [2(z+t)-1][

ttjttrj - 0, uude

2(z-i- t) - 1 = 0,

Z 1 + z(a + t)*= 0 : harnm prima suppeditat t = % - z , ...

s

4* £
.

secunda t = - z == ( - -)*

: hinc

2. dx_

dz

dae
'dz
dx_
dz

==;=,,-- -;-; •-=-- II, ,

• *-* * +; ' '

+ - ;

Jam si prius, integrantur aeqüationes istae , ac dein adhi f • ,•

^^. , , , , . . .

• • • ..
. '
' •• •
• • •
•

betur

-!-

pro z , exsurgent
terna'
integralia aequationis

JC propositae : eadem methodo expediuntur aequationes

illae ,

quâ licet non homogeneae, pössunt tamen (187) • "°* mogeneitatem perduci.

:

.

• •.

Si P, Q, ... W sunt quantitates constantes , talis quo que erit

.

£ d)^
; et facto
#* a•
= a, ut sint -
a" -{- Pa"-*
'-}-

JG

.£

-

--C

-

Qa"-*+...--Ta -}- V =0, 3 = \Delta x + C,

a-'=* , exsistet

259 a.

---C

m.
y-C mu- I
-C
u-2
-C

• '++■+---Q'*++tô+v-o

.ac

integrale propositae aequationis. 190. Utcumque se habeat (b), si ea potest resolvi quoad %

, sintque p , q . . . . t , v radices inde prodeuntes, ha

bebimus n aequationes differentiales primi ordinis, primi que gradus. dy

dy

y.
dy

-

j;-p - -

- r,.-

0,

-

dae
- - m, ...
»
d.
-a t=U -
,
-
j, -
- * = 0
,

quibus pertractatis juxta superiores regulas ut obtineantur m integralia , spectabunt singula ad (b). Detur v.

sr. (#:

)* + 2
'y dr _Â ---;

=
, :
facta resolu

.

-

-
dy
. . . J^ 2°
1

tione, provenient binae

=

- ; + V^( ac2 +- 1 ) ,

£

- -

-
£ - V( %
-4- 1), quibus aptari poterit metho

dus (183. 2°). 191. Caeterum , cum generalis aequationum resolutio in potestate nostra non sit, cumque etiam quando eas licet resolvere, expressiones radicum saepe proveniant haud parum intricatae, hinc est quod plerumque ad peculiaria artificia oportet confugere. Sit 1

-

jr'= xR + aS
(m),

260 i ' R . S tur

d

dy
tantes utcum

in qua » ponun ut datae per

7T

et
cOnStanleS
Cu
-

que : sumpto dy = zdx, adhibitisque substitutionibus, di sparebunt dae , dy ex R, S, et aequatio recipiet hauc for mam, fzdae = aeR,+ aS, , in qua R, , S, dantur per z et constantes. Jam si aequatio haec differentietur, proveniet zdae = R,dx + aedR, + adS,

(m') ;

edi; quae quum scribi potest in hunc modum, dae -

£;

--

- 1ι, adS,

-

- --
-
-

z-R.

'

profecto erit separabilis (185) : eruetur itaque in

z-uv, tegrale aequationis (m) ex (/n') et ex dy = zdae. dy*

-

Data v. gr. y =

1. + %;

, erunt R, = z .

S, = z* et (m') vertetur in zdae = zdae +- aedz + 2\Delta zdz , seu (ae + 2\Delta z)dz = 0: hinc binae . dz = 0 ,

ae + 2\Delta z = 0.

Istarum prima suppeditat z = C , dy = Cdae • et J = Cae -4- C, : differentialis aequatio primi ordinis in tegrata unicaru importat constantem arbitrariam ; ad

alteram

igitur ex duabus C , C, determinandam substitue vulores y, d) in aequatione data: habebis Cae + C, = Cae + a C*; un de C, = aC* , verumque integrale erit y = Cae -+ aC*. -

•

:dx

Secunda praebet z = -

-;- , dy=- £.

, et y =

2. C-* 4a

est C = 0 ; siquidem substitutis valoribus y ,

d) in aequatione data, prodit C -

Solutiones particulares (192 - 194).

192: Si in integrali aequationis d. fa , y, %)= o (o) tribuuntur arbitrariae C alii atque alii constantes valores, palam est alios pariter atque alios proventuros integralis peculiares va. lores, qui aequationi (o,) satisfacient.Verum inter variabiles ac, y. sunt certae relationes, quae licet aequationi (o,) satisfaciant, nul lo tamen pacto ex praedictis arbitrariae C determinatis va -

-

-
-
acd

loribus exsurgunt, uti videre est (191) in y =

1. -+

JC ady*

h

-
-
-
f. .
-
| ac*

=- • nuc enim satisfacit relatio y = - . j-, quam pro

fecto,

nullus ex iis valoribus constantibus

suppeditabit, qui

tribui possunt arbitrariae C in integrali y == Cae -- aC* ; eiusmodi relationes dicuntur solutiones particulares. 193. Integrale aequationis (o,) exhibeatur per , ,

-

exsistet ... ,. F x • J^ » C) = 0 , (02) : -

• .

-
•
•

- >,

-

-
. d.
*
*
-

F. + F, £ = o (o), ex qua si eruis C ut ejus valorem substituas in (o,), ha bebis (o,): sic data v. gr. (

2VT7-- ac)dy + ydae = 0,

divide prius per 2VEF, dein integra; prodibit y+V 37- C, 262 seu y* - 2Cy + C* - aey = 0 : haec differentiata suppe ditat (2y - ae - 2C )dy - ydae = 0, unde C = 3 - ;- ; setconsequenter **v£-;-#, seu (2y 3:7+ a)dy+jrdae = 0, eadem prorsus ac data. Nunc si spectatur C ut functio quantitatis ae , aequatio (o,) differentiata quoad ae , y , C praebebit -

d

dC

F".+ F,

1. + F.-;

=0
(o,):

haec autem recidit in (o,), tibi ponatur * '

}

F', = 0

(o.) ;

in ea igitur qua sumus hypothesi proveniet (o,) sive adhi beatur. (o,), sive (o) ad eliminandam C. Inde colligitur, si , resoluta (o,) quoad C , exsurgit C=0 , colligitur inquam fore F(ae , y, 9) = 0

(o.)

particularem solutionem aequationis (o,); modo tamen 0 non exsistat vel constans, vel talis ut ejus in (o,) substitutio eo redeat ac si constans peculiarisque valor arbitrariae C sub stitueretur ; tunc enim (o,) nihil esset aliud nisi peculia vis valor ipsius (o,), seu peculiare integrale aequationis (o,) Eaeempla. ,

•

* •
• •• t • •
*,
-
*
.• •
•
-
' .*,

• •-.

-

- -
•
..
acdy , ady*

., -

p ---

**, Resumatur
\alpha\alphaι, aequatio differentiali, •- ä*+#;
*

263 aufus , integrale y.= Cae + aC*: erit; (o) == 2aG + ; '

.

;
-
,... ,
, , ; ;. '• t * * *

... - 0, ideoque C = -

5,

. Hinc
particularis
S0•

-

ac?

-

lutio y = Π\alpha, ,

r * •

20. acda. -Hydy = dy V (a* + y* -a* ), cujus inte grale v(a-+ye-a')-r--c , seu ac*- 2yC- a*- C*= 0: erit (o) - - 2y - 2C = 0 • et consequenter C = - y. Hinc

particularis solutio x* +J^* - aa = 0.

dac

•

•

-***--

- , quae, facto ae*=22, recipit hanc

3". dy =V (1 - ae*) d722 formam, dy = #

ideoque ejus integrale

VL 1 - (2z)* ] 2y + C = arc(sin = 22), seu ae* = sin(2y+ C): erit igi tt tur (o) = cos(2y + C) = 0 , ex qua

C =

-;- - 2) ;

unde solutio particularis ae* = 1.

-

4°. Detur aequatio (**-}-y*-a)(y-2Cy)+(x*-a)C*=0, erit (o.) = - y(ae* + y* - a) + (ae* - a)C =

0, ex qua

f*

ac*

*-a

c 3 (a*tr*-4)

et consequenter (...)-*j£=*'-0.

a*-a

a*-a

hinc aa -\- y* - a - 0 ; at quia haec resultat quoque ex 264 peculiari valore C = 0 substituto in aequatione data, iccir co non erit particularis solutio, sed peculiaris valor. 194. Aequatio (o,) ponatur traduci ad hanc formam dy

-

+

+ «•, )) - o

(o;) ;

et resolata (o,) quoad c,

emergat

C = v(ae , J^ , dy dae Quoniam (193), adhibita substitutione in (o,), prodit d. F[ae, J^ , v(ae , jr,

%)]=0,

eadem ac (o,), iccirco exsistet identice F[ae , y , v(ae , y , - (»)] = 0; proinde -

F',-+(v.-V. \omega'.)F', =0 •

F, +(v',
-
V. »',)F',
= 0
p.

ex quibus I.

F'.-4- F', v'.

-
E', + F', v',

\omega. =-–- , \omega , =

F'., q)'

v ”.,

v ?.,

atqui solutio particularis importat F',= 0 ; importabit ergo et hinc methodus eliciendi solutiones particulares ab ipsa aequa tione differentiali quin cognoscatur ejus integrale. Resumen tes aequationem ( 193. 2°) acdae -4-jrdy+dyV(x*+3^*-a*), 265 iam

• /--

Jû
0 . hab

-

Seu

dae
- y + V (ae* + y* - a*)
-.
•
fnabemuS

Jac. »( ac, y) = - - y+ V (ae* +y* - a*)

propterea

1 (»'_ = - .-- --======; + 2 J^ = oo, -

(** + y* - a*)( - y + y^[x* + y* - a*]) -

•

-

(a). = -

-

=QO 5.

(** + y* - a*) (- y +V[**+r*- a*]) quibus satisfit per binas ac* + y^ - a* = 0, ae* - a*=0. Jamvero istarum prima suppeditat xdx + ydy = 0, secun da aedae = 0; per alteram igitur data aequatio traducitur ad identicam 0 = 0, per alteram ad jrdy = ydy similiter identicam: consequitur binas aequationi datae fore solutiones particulares.

Aequationes differentiales inter ternas variabiles (195-199).

195. Proponitur aequatio Mdx +Ndy + Pdz = 0

(og);

ubi designant M. N, P functiones variabilium ac, y , z: vi dM _ dN

: dM _

de utrum expleantur conditiones , ?;-

=

dy

al.

'
dz

266 dP

JN

a/P

77E * 7AT

-=

77 : his expletis, methodus integrandi erit

ipsa eadem quam exhibuimus (166): etsi non explentur, ad huc tamen adhiberi poterit illa methodus , modo inveniatur ejusmodi factor p per quem multiplicata (og), sicque habita pMdr + pNdy + pPdz = 0

(o,) ,

inde prodeant dy^^

dy - *£$

Z, , ££M
-;;-=-;-
£go , . dj\)
-;-= , d?*
dy
Oio);
„

eruetur namque integrale aequationis (o) , quod pertinebit etiam ad (o§). Verum si difficile est invenire factorem quan do duae sunt (188. 1*) variabiles, multo difficilius erit quan do earum numerus = 3 ; siquidem inveniri debet quan titas \varphi satisfaciens ternis . d* •:•

• .: ». :.

*. M.
-
dy
-

- dp -

N l"'**

dae
-
-

dM

dN

( -–

dy

- ---
dx )=0 »

d,

., i,

dM
dP , , ( ,

M+ - P # + ?(j=- - j;)=0, 8 (o,) provenientibus ex evolutione (o,.). Prima (o,) multiplicetur per P , secunda per - N, ter tia per M, et in summam colligantur facta; exsurget dM

dP

dN
dP
dM
aN

P–-

dy

M;
-
-
-
P;- - -
-
N;; - -
N;; -

+ M –=0

dz

(ora)
a)>

267 hinc infertur, nisi valeat (ora), nullum fore factorem qui (o,) veddat integrabilem. 196. Si (o,) prodit identica, integratio aequationis (o,) unice pendebit ab integratione aequationum differentialium bi nas conplectentium variabiles, Assertio sic potest ostendi: scri batur (o,) in hunc modum N

M.

dz

+ TF dy=

-
ii- dx

(0.3); et denotante \varphi factorem illum, per quem primum membrum (o, 3) constituitur differentiale exactum, ponatur N. (ds + ; dy)\rho = 0

(o, 3) ,

haud habita ratione secundi membri: erit f(dz-H

-; dy}p=p.;

ubi \mu exhibet functionem solius ae. Facto compendii causa N. f(ds + ; d)* = y

(os),

differentietur aequatio V == [1.

(0,6)

• -

.
dW
dV
gV

quoad ae , y , z ; proveniet

1. -ds + j-ar-* j; dae

d\mu.

N

__
dV
d\mu.

-7; dae , seu (dz

++d)?=-j;

dx+
dae
dae ,

quam comparantes cum (o,3) multiplicata per p assequimur •. d\mu

dV

M.

j-= j; - ?-f-

(o;).

268 Patet nunc illud : integratio, aequationis (og) unice pendebit ab integratione aequationum differentialium binas complecten tium variabiles, quotiescumque secundum membrum (o,) tra ducetur [ saltem postquam, eliminata fuerit z ope aequatio nis (o,6)] ad functionem quantitatum \mu , . ae ; ac proinde ( dV

M. Y

7, -?

P

quotiescumque locus erit aequationi

= 0,

dy in qua ponenda est z variari ut functio quantitatis y. Ae quationem istam evolventes obtinemus M.

M

daV

d°V de _

*®, d(5-) „.

daedy

daedz dy

*(
dy
ZT7TJT

M , dp

d® dz ,_

-

+ ;+++-o ow. dW

IN

dV

habemus

autem ex(o,5) Â¥ = ?-;

, -;= ?; ex (o, 3)

d.

-

- - N. 5 primum insuper membrum (o. 4) ponitur dif

N d

d(p T)

ferentiale exactum,

ideoqoe

£ = - ;- :
itaque

N d o -- aev__**T'. M. ( -

-

N £ ., _ **° aev d-_ AL, --z; - = -;-;; + ?-;- , ;;;;;;-

• .,

N

_ N dp

dp _ N dy

d(-j-)

T 7- • 7-= T-7; +

dz

; quibus valo

ribus substitutis in (Oig),

persenieura

269 IN

M.

d(;;)

d(-;-)

+ - - - -i- M.

IN

„ dG)

m 4t )

dM

-;--;-- F -ZE- = 0, et consequenter ad P -;- dP

dN

dP
JM
dN

.._

.

•
■- -*
-
-
-
MI – = 0;

M ; - P; + N ; - N=; + M;

»

quae cum sit eadem ac (o,), jam patet veritas assertionis 497. Ex demonstratis (188: 196) intelligimus • quoties cumque expletur (o,,), aequationem (ος) fore integrabilem

»

ipsamque ab unica oriri primitiva (0,6); ideoque ad super ficiem aliquam curvam pertinere* integrationis vero metho dum eruimus ex ipso praecedentis (196) demonstrationis pro cessu, spectando nimirum unam e variabilibus ac, y, z tam quam constantem. Proponatnr v. gr. integranda (y*+yz)dx+ (ac- -j- 22)dy + (y* - xy)dz = 0 s erunt M = y* + yz , N - aez + z* 5 P = y* - \Delta y , qui valores reddunt (0,2) i denticam : habita y pro constante , poterit aequatio scribi -

d

in hunc modum,

--*- -H

--*-
=0; et facta mul

3^ - \Delta y

jr* + 3rz

-

tiplicatione per y , sumptisque integralibus, j^ -H z =[1.

(a):

j^ - ac haec differentiata quoad ae , y , z dat (.y + z)dae

= £tÊ it (r=**- - d\mu, seu

270 (y*+j/z}dae - (aey +yz)dy +(jr* - \Delta y)dz J^(jr - ae)*

= dp/;

quam comparantes cum aequatione proposita assequimur d

...

-
@-Hra)dr+(v*-+*)dy __ (x-+•)(3-t-z)dr .

[1.

3/(y-a)*

3^(y-a)* ' '

e cujus secundo meubro eliminanda est z ope aequationis (a) : facta eliminatione , prodibit d\mu. = - p/(\mu. - 1) dy, un de

-*---- 4-, seu

-*-- *--4.
5

\mu(\mu. - 1)

J^

p.-1
[/.
j^

ideoque \mu. - !

-

$
» \mu= y.
2- a
; et quaesitum inte

grale

erit

rit*-- - r
, quod potest ita scribi .

y - ae

y -C

\Delta y + yz j^ + 3 = C. 198. Conditione (o,) haud expleta, etsi secundum membrum aequationis (o,) minime redigitur ad functionem quatitatis ae , attamen aequationi (og) satisfiet per primitivam (o,6) , modo una cum (o,6) ponatur valere ipsa quoque (o,): facta ni mirum \mu. = χ(ae), haud dubie explebitur (og) per syste ma binarum dV

M.

I.

V=χ(x)

»

;-- 2-i;- = X'(x)
(oo),

quaecumque caeteroquiu sit forma functionis X pro lubito 274 sumenda. In ea igitur qua sumus hypothesi aequatio , (o,) non superficiei curvae, sed ob infinitas numerot diversas for mas functionis X innumeris respondebit lineis duplicem habentibus curvedinem, et quadam praeditis communi pro prietate expressa per ipsam (og). Detur v. gr. [z(z - a ) + y(y - b)]dae - (ae - c)(zdz +-jrdy) = 0: habemus M = z(z - a) + j^(j^ - b), N =- y( ae - c), P = - z(ae - c); quibus valoribus non expletur (o, •) : facto autem p = z, pro z* -- y*dibit V =

2

; explebitur itaque data aequatio per

systema binarum

'• a•

•
•

• t*r.

2
-z.), *=*l*2!r- ac - c
! = - X'(a).
<•!

Detur quoque ydae + (x - ae)dy + (ae- z)dz = 0 : erunt M = y , N = z - ae , P = ae - z ; quibus valori bus haud expletur (o.); habemus autem \varphi = 1 et V=z-r quare per systema duarum, z-y=x(x), -

• == X(x),

satisfiet aequationi datae. 199. In aequatione differenliali ponantur dae , dy , dz primum praetergredi gradum : ex ejus integrali, si quidem exsistit, eruetur certe per differentiationem aequatio , quae poterit ad formam (og) traduci : consequitur, nisi differen tialis aequatio ( postquam fuerit ordinata juxta potestates dz ) resolvi queat in factores hujus formae, dz + pdx + qdy = 0, denotantibus p , q functiones variabilium ae, y, z, consequitur inquam eam non fore integrabilem. Proponatur v. gr. Pdae* + Qdy*+ Rdz* + 2Sdvdy + 2Td.cdz+2W dydz=0: 272 factis compendii causa T* - PR = H , TV - RS = K , W*-QR = L, exsurget -Tdae -Wdy==V(Hdae*+2Kdxdy+Ldy*) dz= R Jam nisi termini snb signo radicali constituant perfectum quadratum, proposita aequatio neque in factores praedictam habentes formam poterit resolvi, neque proinde integrari ; constituent autem perfectum quadratum , ubi fuerit K=VHL, seu K* = HL .

Aliquid generatim de aequationibus differentialibus inter quatuor pluresve variabiles (200 - 201).

200. Proponitur differentialis aequatio Mdx +Ndy + Pdz + Qdu + Rdv +.. , = 0, (o,), in qua primum membrum non est differentiale exactum , et M, N, P, ... exprimunt functiones variabilium ae , y , z , u , v , ... : investigandae autem sunt conditiones illae, quae de bent expleri ut (o,) derivari possit per differentiationem ex aliqua primitiva aequatione. Si licet derivare (o,6) ab aliqua primitiva aequatione, licebit quoque considerare in (o,) unam quamvis inter varia biles v. gr. z tamquam caeterarum fanctionem; eritque proin dz

dz

elz
dz

de dz

dac dae-H dy dy-H

du.
du +
dy v
+

-

-

-
-
-
-
d. • • • •

et quoniam ipsa (o,) praebet dz = -

dae-
-;-â)
N
-

273. S. 4,

-

R. dv - . .
. , iccirco

P.

• --*

-*--*

-;--- P. w

dyT

P.
•

021) ; dz

Q

dz
R
•
( 21)

+=--;- . -;- =- -t- , etc., et

consequenter

. M

N

M.
Q

.

4(5) 4G0 d F) 4 ;)

dy

-

dae
?
du
-
dae
?

M

R

-
N
Q

d( ...

-

-
-

„- - +,-..-:;;--+ , IN

R

, Q
R

de*-)

d(i) 4-§-o 4-+)

aiy, ' T dy * *** Id, - -j-•- dz

dz

dz.

Jam evolutis (o,), et loco 7, • 77 ' Z ' ' adhibitis valoribus ex (o,), prodibunt conditiones explen dae ut possit (o,) derivari etc. Hinc si variabiles sunt numero tres , unam dumtaxat M.

N

d(-;-)

d(-;-)

habebimus conditionem,

, eamdem vi

dy

:=

dx

delicet ac (o,,). Si variabiles sunt numero

quatuor, ternas

48 274 M.

N

M

d(---)

dG)

d(...)

btinebimus , conditiones

P.

_ TP
P
-

ODL1m

dy

- -;- • - - -

Q

N.

Q

d(-§ )

• F' _ * É?

; idest

dae

•

du
dy 5
moies

JP

«JN

dM
dP
dN

Nã-- P#-+ P= - M ;- + Má-- dM

dP

dM
dQ
«HP

N#-o, M; - P # - Pi - Q = + (oa*) «JM

dQ

dP
dN

TJT

M-;= =0,

IN
AT -
P-;---

Generatim si variabilium numerus = n , erit conditionem - 1)(m - 2 numerus - 4 - 1% - 4 . 201. Attendenti patebit integrationis methodum jam de claratam (197) aptari aequationibus differentialibus, quae qua tuor pluresve complectuntur variabiles : exemplum praebeat aequatio z(y-+z)dx + z(u- ae)4y +y(ae - u)dz-Hj(y+ z)du = 0. Habemus M = yz + z* , N = zu - aez, P = \Delta y - jru, Q= ya-Hjrz; qui valores explent conditiones (0.3): dae

dy

-

ponantur z, u constantes; aequatio fiet

u

-ac
+}j, = 0 ,

275 -

"-

3+z

cujus integrale

= \mu : denotat \mu functionem bina

rum z, u. Differentiando quoad ae , y , z , u habemus (y + z)dx + (u - ae)dy + (u - ae)dz - (y -4-z)du =d\mu: (u - ac)* sed ex data aequatione profluit (3^ + z)dx + (u - ae)dy = jr(u -

- ae)dz

ae\dz -
- y(y + z)du
d.
5
igitur?#.-$trau

z

ur

zd\mu , seu \mudz - \mu*du = zd\mu.

Hinc &#* dz - zd

= du;

sumptisque -

integralibus -

-
, TET
2
= u + C , et \mu =
--*-
ATC • *

y+z = -* quare integrale aequationis datae eritu-TTT u-P-C '

Linearium differentialiumque aequationum systemata (202 - 205).

202. Inter variabiles ae , y, z proponuntur binae si mul lineares

differentialesque aequationes

(a,z-Hö, y)dx+h,dz-Hk,dy=X, dae, (a,z+b.y)dae-Hh,dz-+k,dy=X,dx, (024) ut inveniantur ejusmodi valores 3^ , z expressi per ae , qui bus eae expleantur ambae ; a, , ... k, , a,, . . . k, denotant quantitates constantes, X, vero et X, functiones independen tis ae, Si ab (o,) eliminatur prius dy , dein dz , et quae 276 resultant aequationes dividuntur per h,k, - h,k, , positis bre vitatis gratia a,ka-a,k, íí-í-^

-

-jjj-j

.

b,k,-b,k,

-

X,k.-X,k,

h, k,-h, k, -X'
_
X',,

loa5) aah,-a,h,

%'%-%• n

X,h,-
XAa x
2

H,E,E-*** J,IHJ,T°° HEEHLF,T**' habebimus

• -

(A,2+B, y)dae + dz = X',dr, (026) (A,*+B,y)dae + dy = X',dc : istarum altera multiplicetur per indeterminatam ® , factum que inde proveniens addatur alteri ; erit (ca-b»&*#-++++*++-x •+x»/. (o.). B,®-HB, - -

-

-
A,® -H Aa

- Jam si ad \omega determinandam ponitur

TERTE,

= @,

exsistet _ A,-B;==V[4A,B,+(A,-B,)*] 2B,

(028) ;

quibus valoribus \omega exhibitis per \omega, \omega" , iisque substitutis in (oa,) , prodibunt v

(B,«»'+B,)(»'z-+3)dx + d(»'z + y) = (X',«»'+ X',)dr.

(B,«"+ B,)(»"a + y)dae-- d(»'z + y) = (X',«»* + X',)dae: - hae

praebent (185)

277 -(B.»'+B,

X,«'+x',

•---*--'

,«»'+

*tc+f-£#...],

4-(B,»-+B,)* -

x.

-
(029).

-

mr

X',&+X,

».+,-. "**"°*tc,*f-*£#...] .-(B,«'+B, ae unde y et z. Datis v. gr. (44z + 49y)dae + 4da + 9dy= acdc , (34z + 38y)dx+3dz +7dy - e*dx, erunt (0,4) a, = 44, b, = 49 , h, = 4, k, = 9 , X, = ae , a,=

34, b,=a

38, h, = 3, k, = 7, X,=e*; et consequenter (0,5) A,=2, B, = 1 , X', = 7x - 9e*, A, = 4, B, = 5, X',=4e*-3ae;

• .

ideoque (o,) \omega' = 1, ©" = - 4. Binae igitur (o,) eva 2

5

4

dunt (134) z + y = -;-*- +e* + Ce-** - -5- • y - 4z = 20e* - 31ae -4- C;e-* + 31 ; proinde y = 24

47

'
55
49

- e* - -

-6r

~*-1-
-
- .'I I*
_•

-e

§-* +4Ce-* + C;e--- j-, a =-;-*-

29

56

-;- e* -H Ce-6*- C,e-*

-

T5T

- 203. Si 4A,B, -4- (A, - B,)* = 0, ideoque o'= @", binae (o,) recident in unam : verum in ea qua sumus hy 278 pothesi, exhibito compendii causa per X(ae) secundo mem bro alterutrius (0-o) ut sit j^ = X(x)- «»'z (03.), atque hoc valore y

-i-iue

in prima (0,6), exsurget

• da + (A, - ®')zdae = [X', - B,X(x)]dae,

cujus integratio (185)

suppedius

- z =

.'•-A)•tc.

+f
[X',-B,X(x)]dx
■

1 ]

(o3);

(»'- A,)ae edeterminata z , assequemur y ex (o3.). Proponuntur v. gr. (1 1 z + 31y) dx + 4dz + 9dy = e*dae , (8z + 24y)dx + 3ds +- 7dy = e**dae : quoniam (o,) a, = 11, b, = 31 . A, - 4, 8, - o, x, - •*, a.- 8, b.- 24. M.- 3. k. = 7, X, = e** , iccirco (0,5) A, = 5, B, = 1 , X'i= 7e* - 9e**, A, = - 1 , B, = 3, X', = 4e** - 3e* ; unde (o,g)

\omega'= @"=1. Est autem (o,)

xe-4•
-

-

•

31
49

+•*+Ce-* ; igitur (om. : o») • = # •*- j;e- C •

-\beta*

-&r ...
_
19
**- – 4
1
„c
-
C(ae-H1)-C
m.
-

Jace -H C,e •

/

36
e
75° + e4*

204. Si b,k, - b,k, = 0, erit B, = 0, et \omega, &" in 279 finitae ; at prima (0,6) in ea qua sumus hypothesi praebet A,zdae + dz = X', dae , ex qua (185) 2-

.-A*c + f A,ae X',dx)

(03.):

secundum membrum (03.) designa per χ(ae), illudque sub stitue loco z in secunda (o,6) ; habebis B,ydae + dy = (X',

-

A»x(x)dae ,
unde (185)

J^ == e -B,

• [C,-- fe B, JC

(X',
r.
-
A»x(x))dae]
(083)•

205. Inter quatuor variabiles ae , y , z , t proponan tur nunc tres simul lineares differentialesque aequationes (a,y+b,z-+h,t)dx+i,r]y-+k,dz-+m,dt=X,dae , (a,y+b,z-Hha£)dx+i,dy-+k.dz+madt=X,dae ,

(034)

(er-*,***)ds-H&-a-+ma-xas : eliminatis ab (o33) 1.° dy et dz , 2°. dz et dt , 3*. gy et dt, aequationes inde prodeuntes erunt ejusmodi formae (A, y+B,z-+H,t)dx+dt = X'dae , (A. y+B,z+H,t)dae-Hdy=x"dx .

} (035)

(A, y+B,z-HH,t)dae--dz=X"dx. Multiplica secundam (oas) per indeterminatam \alpha , tertiam per & similiter indeterminatam , et producta adde primae; exsistet 280 A,+A.«+A,^) B,+B,*+B,«»(H,+H,&+-H,&)(

y-+ H,+H,\alpha+H,»

z+t)dx
+

H,+H,x--H,® «dy + »dz + dt = (X' + X'z + X"»)dae.

(og) :

ad a. et \omega determinandas ponantur f§ 3

A,+A,\alpha+ A,®

e=s2
B+B.«-+B,^ _.,.

HTHZTHZ ** TITHATHZT-** eruetur ex prima

-• -i

H, - A,

H,\alpha*-A

A, - H,& et substituto valore 6» in secunda , proveniet aequatio ter tii gradus in ordine ad \alpha , unde terni valores \alpha'. \alpha', \alpha"; ideoque ex (o3;) terni pariter valores (»'. «»" , \omega". Itaque ex (o36) habemus (H, -|- H,x' + H,®')(\alphay + ®'z -Ht)dae + d(o'y+ (»'z + t) = (X'+ X"«'+ X"»')dae , (H, + H,«'+ H,«»")(«'y + «»"z + t\dx + d(\alpha'y + ®"2 + t) = (X' + X\alpha'+ X"»")dae , (H, + H,«"-}- H,®"')(\alpha'y+»"2+t)dx+ d(\alphay + ^»"'z + t) = (X^ + X"2"+- X"»")dae: quae sup peditabunt (185) z'y +- •'z + t = F,(ae), \alpha'y + ®"z + t= F,(x), \alpha"y+ ®"2+ t = F,(x); unde y, z, t expressae per ae.

DE INTEGRATIONE AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM PRIMUM EXCEDENTIUM ORDINEM.

Aequationes lineares (206 - 210).

206.

S,

datur linearis aequatio secundi ordinis

d*y , . dr

-

%

1. £* + a, # + ax = f(x)

ad coefficientes constantes a, et a, 5 designantibus r , r' ra dices aequationis R*-+ a, R + a, = 0, traducetur integra tio ad integrationem binarum primi ordinis aequationum li nearium N. ■ - £

- ry'=f(x),

daed. £

- ry = y :

d. d-£-ry)

- ,

etenim eliminantes y' assequimur

dae

- r' ?
-

-^ dey r)) - ^*), seu ; - (r + P)£ + rr'y=f(x); quae, ob r + r' = - a, , et rr'= a, , recidit in datam. Quo circa integratio datae aequationis expedietur (185) per y=e”<(ff(r)e-r*d* + C). j-= e"*(fy'e-**dx-|-C'). Item si datur linearis

aequatio tertii ordinis

dy

d*y

dy

div3

+ a, T. F -H a, 7; + a, y == f(r)

282 ad eoefficientes constantes a, , a, et a, ; designantibus r, r', r" radices aequationis m* + a, f* + a,b + a, = 0 , traduce tur integratio ad integrationem trium primi ordinis aequatio num linearium dy"

tw_ _m

d}
-
-
•/
dy
•

ja- - r r = f(x) , j;-rr =r. -;- rr= y * -

-

_ -
_
•_ _
-
■
... dor ,_ , _,, L., d*r

eliminatis enim y' et 3, proveniet

ja-(r-r+r )7j? +

(rr'+rr'+ r'r")

% - rr'r'y =f(x) ; quae ,

ob r-4- r'+

a/

a

•
-
-
- -

r" ==- a, , rr'+ rr" + r'r = a,, rr'r" = - a, , recidit in datam. Quare absolvetur (185) integratio per 3"

-

er**(ff(x)e-*"*dae + C), y'= e"*(fy"e"*dx-}- C'),

-

J^ =

e'*(fy'e-r*dae + C'):

atque ita porro quoad consimiles quarti , quinti , ... ordi nis aequationes lineares. da

-

-
-
-

Data v. gr.

£;

== y = 0, respectu signi superioris

exsistent R* - 1 = 0, r = 1 , r' = - 1 , f(x) = 0 •J^'= Cae , et y = e*(C fe**dx + C') , ideoque y = ce* - Ce-* : respectu signi inferioris, h*+1= 0, r = V-1, r'=-V- 1, f(x) = 0, y'=Ce-*V-*, et y = e*V-'(c fe-**/-'dx+C)= 283 Ce*V-' - Ce-*V-1 - (C' - C) cosae + (C +

CV -isinx S

consequenter, factis C'- C = C, , (C+ C')V-1 = C, . -

jr = C,cosae + C, sinx .

207. Sub hypothesi aequationis fi* + a, R + a, = 0 praebentis r' = r , erit y = e*(fff(*)•~de +

cx + C') :

sub hypothesi aequationis R*+ a,R* +a, a +- a, =0 prae benuis r// = r',

-

y-•*(fff(*)•"*d.---C*4-c), y=e* fye-a-+c); quod si eadem R*+ etc. = 0 praebeat r'=r'=r, erit y = e*(ff fftae)e-**dx*+Ca*-4-Cac-{- C") ; •

• •

•
•
e
d*y , , d*y

et sic deinceps. Respectu aequationis v. gr. ZEAT T 14 AT d. 64%

- 96y =0 habes a* - 14R*+ 64R - 96 = 0, r = 6,

r" = r'= 4 , y' = e%*(Cac + C'), et y = e$*[fe-**(Cac+ C)dx + C"]= e$*[-

£•*• + #)- £•-•• + C'] :

p. adhibita C pro - ( £+ £) et C' pro - £;

•

jr=e$*(C-+ C'ae + C'e**). - 208. Proponitur linearis aequatio secundi ordinis '284 djr -H

.

a,
dy
aa.)^
=0

ZET Hx-E*7; T (MATERF T ad coefficientes, quorum denominatores hae + k , (hae-H k)* praeter constantes h, k continent quoque variabilem x : sume jr =

C(hac -H £y + C'(hac

+ k)' 5

traducetur primum aequationis propositae membrum ad C[h*r(r - 1) + a,hr + a,] + C'[h*r'(r' - 1) + a,hr'+-a,]. Consequitur, si r et r' exhibent radices aequationis h*R(R-1)+ a,hf + a, = 0 , assumptum valorem y satisfacturum pro positae aequationi; et quia binas complectitur arbitrarias C, C', ideo erit generale ipsius aequationis integrale. Item si proponitnr linearis aequatio tertii ordinis d*y

a,

d*y
a,
dr
a,y

-

•

Âτ* ET # + 7;jHy -+

(hae-i-k)*

sumiturque y = CJiae-Hk)' -4- C(hae + k)' + C"Jiae + k)" ; cum primum aequationis propositae membrum traducatur ad C[h*r(r-1)(r-2)+a,h*r(r-1)+a,Àr+a,]+C[h'r'(r'-1)('-2)+ a,h*r^r' - 1) + a,hr'+ as] -|- C"[h*r'(r" - 1)(r' - 2)+ a,h*r'(r" - 1) + a,hr" + a, ] , propterea, denotantibus r, r', r" radices

-quiori, vs. - 1)(R -2) -|- a,h*a(a-1)+

a,hR + a, = 0, assumptus valor j^ satisfaciet aequationi pro positae ; et quoniam ternas complectitur arbitrarias C, C', C", - - -

285

iccirco erit generale ipsius aequationis integrale : atque ita porro quoad consimiles quarti, quinti, . . . ordinis aequatio nes lineares. Vides (hae + k)*, (hae + k)", . . . esse toti dem peculiaria istiusmodi aequationum integralia. J° Integranda sit v. gr. 54;

-–

JC obveniet R(R - 1)(R - 2) - 3R(R - 1) + 6R - 6 = 0; un de r = 1 , r' = 2 , r"= 3, et y=Cae -- C'ae* + C'ae*. 209. Exhibitis (hae + k)', (hac + £)”, (hae +k)", ... per f(r), f(r') , f(r"). ... , ut sit 3 = Cf(r)+ C'fw') + C'f(r")+..., pone r' = r + δ ; habebis (42. 3°) f(r')= fr+ b) = fr. + br(^ + ®), ideoque y- (c+cyfo C'óf/(r-H £ô)+ C/f(r) +... = C,f(r) + C,f(r+ sò) + C"f(r") + . . . . Evanescente δ , nimirum sub hypothesi bi narum r et r' aequalium, y=C,f(r)+ C,f/(r)+ C"f(r")+...; atqui (17. 7°) f'(r) = (hae + k)' l(hae + k) ; igitur sub di cta hypothesi , J = (hae + k)'[C, + C,l(hae + k)] + C"f(r")+... Praeter r' = r + ô fac etiam r" = r + δ'; habebis f(r') =fr + 8) = f(r)+&f(r-4- •*) = f(r)-- 8 [f®)+ 3'*f"(r + 5,8)], ideoque y=(C+ C+C')f(r)+ C'òf'(r-4-εδ) fovro, + C'£'δ'*f"(r + s,ö)+... =C,f(r)+C'.f'(r-4- £ô) + C".f'(r)+ C,f"(r + s,ô) + ... Evanescentibus δ et

• , nimirum sub hypothesi trium r, r', " aequalium, y =

C,f(r) + C,f'(r)+ C,f"(r) + C"f(r") +... seu y = (hae-- k)”[C, + C,l(hae + k)+ C,/*(hae + k)] + C"(hae + k)" + ... -

-

-
dey
4 dy
j^

et sic deinceps. Data v. gr. 77 - ac-H1 j;--- (ATT} =0, obveniet R(a - 1) - h -H 1 = 0. ; unde r = r' = 1 , et 240. Designantibus X, X, functiones quantitatis ae, re praesentabnntur per J*

dy

£ + x* + x, y =f(*)

(g)

omnes secundi ordinis aequationes lineares: exhibeat y pecu liare aliquod integrale aequationis d. d*y dac*

+x% + x, y =0

g),

et uy generalem valorem y satisfacientem aequationi (g) ut sit

it y= uY

v ; : fient
tien
77
?-=
-
u.
dx
* ., ,*
alr
'
£ri
alxa T,
* dara
£?

2%#+ Y

d?

#£
, Valores y ,
-%
d
•
£%
J*
substitue
-

287 -

-.

m.
J*y
dy

in (g) animadvertendo quod (g') praebet u(

1. -+x j;-+

d*u

dy

du

X,y) = 0 : emerget y ZART + (2 7I; + y ) 7¤ = f(x) , unde , facta du

= v ,

dae d.

d

• £ + (2£- + *)•= f(*) •').

Itaque dato Y, traducetur secundi ordinis aequatio linearis (g) ad primi ordinis aequationem linearem (g") : eruetur au tem v ex (g"), tam u = fvdae + C, et y = Y(fvdae + C). Similiter denotante y peculiare aliquod integrale aequationis 7x

d*y

X.
.
j3
d*
+x,-£
d.
-H X, y = 0
(i),
.

et uy generalem valorem y

satisfacientem aequationi

J5

d*

'
d

- -% + x£ +x, % + x,y=f(*) ('), qua repraesentantur omnes tertii ordinis aequationes linea ...

d*y

d8y
d\Delta y du
dy
dau

res, erit # = u ä--- 3:;;-- 3 #;-; d°u

-

dy
dey
d*y ,.,,,

• 77 : substitue valores y , 7E * ZE * 7E5

in (;')

animadvertendo quod (i) suppeditat u(

£- +- X £;

-!--

288 dy

.

d°u
dy
d*u

X....

- +

+ X,y)
x,y = 0; ;
proveniet
iet y s;;
- + (3j;
-
+ Xy) -
daca

d*y

dy

du
-
du

+ (3 :;;---

2xj-

+ X,y )77
= f(ae),
Seu,
facto ;-=-,

d*v

dy

dv
d\Delta y
dw •/a.

• Z7 + (3j; + Xy) JF

+-(3j;,
+ 2X j +x,y) =f(x)
(£/).

DAto nimirum y , traducetur tertii ordinis aequatio li „earis (;') ad secundi ordinis linearem aequationem (i'^): et sic deinceps quoad lineares quarti , quinti, . . . ordinis ae quationes. Caeterum,

respectu ejusmodi aequationum facile intelli

gitur, si y, • Va • • • • *• exhibent n peculiaria integralia ae -

•

',•
-
doy
do-sy
a!n-

quationis linearis 7jT * X. ATT + X,-;;;** -+ . .

. +

X,_y = 0 , et J^, peculiare aliquod integrale respondentis dy

. . d") l.

x **
_ ... -
e
• *

AFT -!--

xj:£;

+ X,
da*-• +.
- •
+
X, -1 J
=ra).

facile inquam intelligitur integrale generale aequationis ab que secundo membro ftae) fore C,Y, + C,y, +. . . + C,Y, • integrale vero generale aequationis praeditae secundo mem broT(a) fore C,y,-+C,Y,+...-+ C,Y, + J . . aliae quaedam differentiales aequationes. 2

Aliae quaedam differentiales aequationes (211 - 212).

211. Proponitur 1°.

£. = f(y) :

facto dae = vd) ,

289 dvdy

.

erit arae = o = vdy + dvd) ; unde dy = -v

'

substitutis valoribus dae , d*y in aequatione proposita, obr 4 veniet -

£- = f(y)dy , ideoque

7 = ff(y)dy + C.

Exsistet igitur v = == 4 V[2 ff(y)dy + C] , et consequenter dy dac = == ----==- .

• 7TZJ7U5JTFC]

. d*y dy , .

dy

-

2°.

7A*

= f(ac , jT):
facto
Z
* v , ac proinde

¬

1. -

d.
,
substitue valores d.
?
et
d. *y

d*y in aequa dac

dac*

dac^

JC

tione proposita ; habebis differentialem primi ordinis aequa tionem dv = ftae , v)dae, cujus integrale suppeditabit v = F(ae , C). Hinc dy = F(ae , C)dac. d*y

7

dy3°. o. -–-
7j;
= f(Jr,
f(j^,
-–
j-) ) ;

: quam positio

itio

(1° (1°)
dae=vdy
=wd

mutat in -

dvdy

d = f(J^ ,
;-)d**
4

:

est autem dac* =

V. / 2

m

2
.
. --:
dv
4
-
-

v*dy* ; igitur - -;- = f( y,

+)ar

, cujus
integrale prae

-/ bebit v - F(y , C). Quare dx = F(J , C)dy • 19 290 4°.

1. . -r-.y.£); quae ponitur homogenea quoad

-

d.

d2

• '), dx, dy, d*y: factis jr = uae,

£;
= 4^ ,
£
-=
j-
•

assequenlur aequationem V = 0 inter u , v et z : insuper d\Delta y

dv

3
. ;

dy = vdv = udae + acdu , 7;z = 7---- • ideoque dx

_ _du

d* _ _du

JC

-

çp- •ug
•
23
-
(V -u

Nunc, si in istarum secunda substituitur valor z ex V = 0, proveniet aequatio primi ordinis inter u et v , cujus in tegrale praebebit v expressam per u : et adhibita substi tutione valoris v in prima , eruetur inde relatio inter x et u 5 ex qua ejicietur u ope y = uae. 1

•

Data v. gr.

£= j* v(a- £ + by*) , eritV = z - V(a*vdv

+ bu*) = 0:

hinc

7ZETZAT
---

\rho- , seu (v - u)dv = duV(a*v* + bu*) ; unde (183. 2°) v expressa per u, etc. 2 o.

-

d
dy

5°.

Eadem

qnidem
%
= f(x, y ,
j;),
sed
ho

293 mogenea quoad solas r, dae, dy, d*y: sumentes

£.

= wy,

JC d*y

-

-
-

TAR = zr , assequimur aequationem inter ac, v, z, ex qua profluit z = F(x , P). Cum igitur zy =

£g!

=*

JC dy

dw

dw
dw

” AT

+ yj; = vir + r j-.

Seu
z = y
+ A;
ô

propterea f(x , P)dx = v*dae + dy , cujus integrale suppe ditabit v = f(ae , C), et consequenter

4-- f(ac , C)dx.

D

• £ *.

%=1%

+!-%

-

+-4-£
-_- - -

ata v. gr.-;a=-

dx

* y. #-+3/V^(aa-ac*) dx* '

δν2

-

vdae

-

p.

2

erit f(ac, v) = -=-

+ y* +

7®TAE}-
ac*) : proinde
-=- +

δν*dae v*dac-H

7====;- - v*dx + dv , quae traducitur ad

vdae - acdv

bacdac

.
30

v2

+ V^(a* - ac^)

=0. Hinc
7, =bV(aa-z*)+ C,

-

ac

et
dy_
acdae

T CLEEW(a*-35 '

3TÜTB7(aF-a*)

©

2 d

-

d
-

60. Rursus

%

= f(ae , y •
£
);
haud talis, qualem

292 posuimus (4o. 5o): sumptis y = uae" , 4--v.-,dae 2 doy ΖT zx** ; si licet iua determinare n ut dispareat ae , deve d*y nietur ad aequationem primi ordinis. Data v. gr.

[-.

daca ac* -H 2aeyac* dy dae 4y* , exsistet (z-w)a***+-(4u*-2uv)ac*"=0: ac* facto n-H2 = 2m , ideoque n = 2, disparebit ae ; eritque z - v + 4u* - 2uv = 0. .

d

Ex y = uae* emergit dy = 2uaedx + a*du ; hinc

4-

seu

dae „ du vae = 2uae + x* -–

, et

dae dae

-

du

.X*

v-2u

-

insuper

£-
da
Seu
d(vae
?
= z; unde -
vdae + aedv = zdx ,

dae

dv

du
9
-

et - =

. Itaque

; = ... ; substituto valore

•

z- 9

42-4u
z-V

z=v-4u*+2uv , prodibit dw=2udu; et v = u* + C: iccirco dae

-_

du

ac T u *- 2 I-C ' 7o.

•

d'y
ZT *
_ f.
, zA*T)
d""') , 5 . „ quae,
facto
,.„„ d""% ; =v, ver

.

dv

-
*;

tet tur*

■m

77
- dx: ex hac iutegrata eruetur v=F(r, C);

4»

-

-

consequenter d*~*y = F(x , C)dx"-', cujus ulterior inte gratio obtinetur ex dictis (163). '

-

! Data v. gr.

d. $y

d3 j^
dv

dac4

=aV^j;;

, erunt
7v
E-*
adae
•

2y/y=aa +C, v

- **;* : proinde dy== estgra.

f; nunc si accipitur ae, = 0 in formula (163), obveniet jr =- • ac*

a*ac*

C\Delta x
2
C, ae*

£t ( =;++ +C)++ + c = +c, . •

o

d*y
d-\Delta y
d-*y
•
.

·

8°.

dac'* =f( dacn-2 ) :
pone y =
TxFT
9
habebis

dv

'- „Ju-t

d*v
d*y
d*v
-

=

£-
• 7;; = + ;
unde
dac2
= f(9) ; quae

similiter

integratur ac formula (19). Sit itaque v = f(r.

C , C'); erit d-*y - F(ae , C, C)dae"-*, cujus ulterior in tegratio expeditur per formulam (163). Quoad aequationem v.

gr.

- d9r
=
•
•
-*- habes

d*v

«

ito dae=zd
eniet (1°)
*-

TAE

=s -

-
T ; et posito dae=zdv, prov
-
' *°

-

1

ę
®

– '. Hinc

-=

* +C,
z=

P.

za

P.
7==;=a=- , d* =

vdv V(a + Cv*) JC =

+ C', v =

C c. ] , etc. 212. Integrationi expedit apte sumere differentiale ha bendum ut constans : rem declarabunt

Eaeempla. •

d*y *' dy dy* *

•.•

Sit

4 •,

( a + ae ) -–-
dac* = -^-
;- -
-E
j;t
-*- • , • suppositio
ti0•

ne dae constantis transeamus ad hypothesim

nullius constantis;

daed*y - dyd^ae

s=:

aequatio mutabitur (32) in (a + a)

dac*

d

dy*

£- £;

: hanc modo in eam convertamus, quae sup

2

3

ponit dy constantem; erit

-(a+*£*- #- £-

•

ę

•

QC

seu aed*ae + dx* - dy* = - adae, quae integrata in hy pothesi dr constantis dat aedae - ydy = Cdy - adac ; et 2 iterata integratione, :...

2

= Cy - ax + C'.

295 2o, \Delta y(ded*y - dyd*ae)=ydydx*-y*df(y)dy*-aedaedy*, in qua neque dae ponitur constans , neque dy : aequatio nem ita scribe, (xydae +jrdx*- xdxdy)dy = y[xdxd*y+ acdae )dy = y[acdacd*y + jdf y)dy*], ut traducatur ad y*d( 3 df(y)dy*]. Pone

xdae

constantem ; habebis aedaed*y +

dic d* ydf(y)dy* = 0, seu df(y) = -

eg:

% :
atque inte

grando in hypothesi

£ constantis, f(3)= ardx # +C,

seu

(f.j) - c)ydy = acdc.

-
-

3°. a*dydae + a*yd*ae - aed*y + dvdy= ae*dxd*a-4- -

d2

a*dydj ; quam ita scribo, ae*(dyd*ae-H j d'a)-a*d(j!-) Hx ; -

JC

2

-
. . . d*y.
, , , ,
-

:.

ac*(dacd*ae + dydy) : accipio*

£tamquam

constantem; pro

dit dyd*ae-Hyd*ae = daed*ae + dy\Delta y, cujus integrale, *** d*y da*+dy*

J^da

• +c •

ac • ...
* \
2.
•
•
••
• ;
.*• *
.

. .. Solutiones particulares.

• , ..

^
- '•-- .',•
*
*
.

Solutiones particulares (213 - 216).

213. Data

f(ae

• )^ »

7* * J**

...

da'*

296 cujus integrale, F(x, y , C, , C, , . . . C.) = 0 , si ab 1

4

4
.

F = 0,

j= dF= 0, ja def=0,.. 774 F=0

(i)

eliminantur C, , C, , . . . C, , inde profluet f = 0: aequa tio v. gr.

£; -4-3-=0 suppeditat (206)

F=3^-C,cosae

JC 4

d.

C,sinae =0 ,

j;- dF=

£- -4- C, sinae - C,cosae = 0 ,

4

2

dac*

aef- f/-

-4- C;cosae + C,sinae = 0 ; quarum prima

daca JC •

-

«-
-
d^y

ac tertia manifeste praebent ipsam

AT

+ y = 0.

JC ' Hoc posito, differentientur aequationes (i) , exempta

ul

sima, quoad C, , C, , ... C, ; et quae resultant differen 1 tialia, designentur per d.F, d. -j-dF

, ... d °dac'-1Jn-1F:

ad eliminandas C, , C, , ... C, perinde erit sive adhibean •

1

tur (i), sive F = 0, 7I3; dF-4- d. F = 0,

+xf

-{-

1

`` I. 1'.

*,
1

d.--dF=0....

• dae dF=0,. ,

- J7 d
d*F+ d. '-ae-F=
dac'*-i d-rR=0, modo ta
2. A -

men exsistant d, F=0, d. 4df-o, ... d

d*-* Fa=0 ,dae

* dac^-t

seu

2.
-

•

• • •

*-

- - _.** / 297 A.

1

4
1
4

-

0, -– d. --

F=0.... - d. --d"~*P =
{/).

g f-o, ita ; df-o,-

a:=*-*-^ ®^

Colligimus ; si ab (i') eliminantur .

d

£ »
£.£

ut exsurgat differentialis aequatio f(x , 3 , C, , C, , . . . C, , dy

d-iy

7ΤΣ ' ' ' '

ZE)*

0 ordinis n-1*"* , itemque ab

• .

f -

0, F

F = 0,4

--

dae dF = 0 , . . .

1 -–

dac'*-i d*~*F==

1 F- -0

eliminantur C, , C, , ... C, ut prodeat differentialis aequa ' •

d.

„Jn-1
-
.
.
- ._

tio X(ae • J^ ,

%-

» • • •
££)- 0
ordinis n-1****, col

Iigimus inquam X = 0 fore particularem solutionem aequè tionis datae f = 0. - C -

• a

•-,

Proponatur v. gr. F = 3^ -

-#--C.*-C*,-C*,-6,

-

• ,,.^ ■

ex qu*

simul et ex duabus

# dF= 0, + d°F = 0

•

dy , ae* d*y

, d*y Jy

t f=

-

*T *
-
+ - - -
- - -1 •
* •■ •
-t •
*
• •_*

emergit (f

= y - *-7; 2 dac*

( dac* )*-( dae

d^y

4

ac*
dC

.ac

dac* ) *=

0

:

habes

dC, d.F --- ( -
-
2
-
+2C,) -–
dC,
-

298 1

{

-
dC,

a. - 2C, = 0,

+d.+dF-*

* - 1 = 0; un

-

2

4

de f=

(j- +2C,)-: - • - 2C.=0, et eliminatis C, .

1 C, ab f=0, F=0,

+dF = 0,

obveniet X = y(a* + 1)+

.ac

-

r 16 ,3 , dy

)* - ( ae +

j-
)
£ =0,
particularis solu

` dae

.®

tio aequationis f = 0. 214. Attendenti patebit, praeter X = 0, etiam ejus in •

-

-
dy
d*-»

tegralia variorum ordinum X,(ae, 3 , C, , Z* ja=;=0, d.

An-3Xa(ae ,Jr,

C, C, 3:
... j &-) = 0, ... X.-'*. r. C, •

C, , . . . C,_,) = 0 fore solutiones particulares aequationis f = 0 : infertur amplissimam omnium particularium solu tionum ipsius f = 0 haud plures posse complecti constantes arbitrarias quam m - 1. Evenit aliquando ut nulla ex arbitrariis C, , C, , ••. C. reperiatur in f = 0; tunc X recidet in f: sit v. gr. f = a*

dy*

d.
-

jraca

%-2.°

£; +- 6xr-%-
•_•
6ya = 0, cujus inte

4 grale (214. 4°), F = \Delta y+C, x* + C, y = 0 ; erunt 7ICII d.F= 299 dC

4

1
, dC
d)^

3 `t1--1-v= 0. - d. - dF =3ae* ...:-!- `Z-= 0 s hi •#-+r=o, ;d. i; df-3*#+ #== o : hinc .

•

-
M.
dy
J^
4
dy
dae

particularis solutio f= 3T A. T T. =0, seu a ; - - = 0; quae integrata suppeditat solutionem alteram particu larem y = C, x*. Si in f = 0 essent tantummodo m - m arbitrariae G, , C, , . . . C,_„ , transitus ab f= 0 ad X = 0 fieret per solas 4

1

4

f=0, ZET d*-1 F-0,

-;=-d**F=0,

“ ZE d”“F=0.

215. Ponatur aequatio f = 0 expleri , sive loco y ad hibeatur F,(x, C, , C, , ... C,), sive F,(ae , C, , C, , ,.. C,) -+ σ\varphi(ae , C, , C, , . . . C,„) ; denotat m numerum haud> m, •

•

-•
•_
•
-
ii ••*

a quantitatem infinitesimam: expressis compendii causa Ζ

JX da

qn

■
na
«•- •
'•

1. £

• • • •
É
per y', y', ... y*) ut f= 0 scribi possit

in

hunc modum

f(ae , y , y' , y" , . . . y") = 0

(k) ,

certe in ea qua sumus hypothesi subsistet (k) etiam quum lo co J^ , y',j",... y*' substituuntur y + a p, y' + σ\varphi', y'+a®",...

• J"'+ a ?'*) : designato igitur per \mu primo membro aequa

300 -

-

- _
.
- *
d\mu.
d\mu ..

tionis (k), erit (43) \mu +

a-;-?

+ Z57? --... +

d\mu „ , a* , d*\mu „.

d*\mu. _.,

-*+; ( #*?(•) * ;;?'(•)--... +

d*\mu.

a.

-
-
- _
-

2

• • ®?

(x)+... + o,) = 0 ;
denotat a, infinitesi

-

.__ d\mu.

d\mu.

mam quantitatem: est autem \mu = 0; hinc 75-?

+ ; -+ ...

-*--*--*- ** ~, +;= ? ---;-( j

£(x) -+dyd*u „,,„

• • ® + ... +

d*p.

-

-- -

-

-
-
-= 0:
-i

2-i;; **®-...-a, -os et fe- a-o. d\mu.

du.
-
d\mu.
d\mu.
-
• '•

„dy(*)

\varphi (n)

+

dy{*-') \varphi [n-i)

-H... + dy'

\varphi

a

-H dy

r-o
(k .1
)•

Jam vero coefficiens

1. functionis derivatae \varphi'") vel perma

net aliquis, vel evanescit: in primo casu, (k') utpote spectans ad n*****, ordinem praebebit p complectentem n arbitrarias; eritque m = n , et consequenter (214) jr = F, haud exsistet particularis solutio, sed integrale completum: in secundo, (k) ad n**"** non pertingens ordinem suppeditabit \varphi comple ctentem minus quam n arbitrarias; erit iccirco m < n , et y = F, particularis solutio. • 216. Inferimus, quotiescumque (k) admittit solutiones par ticulares, fore d 304 Ad haec: quia (26) -;-

4

d\mu=
#+ £ y-+#r-

dae

' dy^

+;# }(*)+ á; 3/(**') = 0; ideo in eadem solutionum particularium hypothesi erit, ob (®'), # -H

£r*.

+

£t j{*) = 0

proinde

j{***) -

£, --

#
(k'//).

Ope (k'), vel (k'") eliciuntur solutiones particulares ab ipsa aequatione differentiali quin cognoscatur ejus integrale. Eacempla. d*y

dy

■

1. j£ +2. - 2V(** ++)=o seu r^ + 2. - 2V(ae* +j^') = 0 ; quae transformetur in \mu. = J^V(ae* + \

.

j^')+ 2xV(ae* +J') - 2(ac* +%')=0 : inde (h")

...

V(ae* +j/)= 0 , et consequenter dy = - x*dx , y = ac3 C,--;-

: haec, cum aequationi datae satisfaciat , erit e

jus solutio particularis. 2°,

.vy'* - 2y3" + .c=0, ex qua

»"-#==;;
3"*-1
•

302 erunt (k") y* - 1 = 0 , \Delta y" - y' = 0; et eliminata y", 2 3/'• - a* = 0, dy = xdx , y = C,

+ -j-.

3°. y = \Delta y' - aV(1 + y'*) = 0 : erit y" = 0

-

-
I2
' -.
-

a-y^(1 +y'*) - \Delta y' , ideoque (k") aeV (1-*y'*)- \Delta y' = 0 ; unae de y- v* = = -–

a*-ac*

, y ' == =
-*-
V(a*- ac*) 5 : q
quarum
u.
ope

eliminata y' ab aequatione proposita, obvenient solutiones par ticulares y*(a* - a*)- (ae* + a*)* = 0, 3^*+a-*- a* = 0. Linearium differentialiumque aequationum systemata.

Linearium differentialiumque aequationum systemata (217 - 218).

217. Inter ternas variabiles ae , y , z proponuntur bi nae simul (a,y+b,z)dx*+(h,dy-+i,dz)da-!-k,djr--m,d*z=X,dx*, (g) (a,y-+b,z)dae*+(h,dy-+i,dz)dx+k,d*y-+m,d*z= X,dx*, ut inveniantur ejusmodi valores y , z expressi per ae , qui bus expleantur ambae (g) ; a, , . . . m, , a,, ... m, deno tant quantitates constantes , X, et X, functiones ae. Pone dr = udae , dz = vdae ; mutabuntur (g) in (a, y+b,z+h,u-Hi,v}dx+k,du-Hm,dv =X,dae ,

)

(p) (a3y+b,z-+h,w-+i.v)dx-+k,du--madv=X,dx.

)

303 Ab his eliminata prius du, dein dv, et factis compendii causa a,k,-a,k, b,k,-b,k,

h,k,-hak,

-–-–

=A

•
=B
•
= H
.
-

m,k,-mak,

m,k,-m,k,

' ' m,k,-mak,
1

i,k,-i,k,

X,k,-X,k,

X'
aam,-a,ma

-

-

-
=K,
»
=A ,
= A, ,

m,k,- mak,

m,ka-m,k,

m,k,-mak,

bam,-b, m,

ham,-h,m,

H iam,-i, m,
K–
–
• -
2w

:c

2 •

-
a
w

m,ka-mak,

m,ka-mak, ,

m,ka-mak,

Xam,-X,m, m,k,-mak, = X', prodibunt (A, y+B,z-4-H,u-HK,9)dx+dv= X'dx , (Aa

r+b.-i.-K»i-*a-xas,

/ (p') quibus addendae dy - udae = 0 , dz - vdx = 0. Multiplica (205) secundam (p') per a, tertiam per v, quar tam per \omega , et quae proveniuut facta, adde primae; exsistet A,-HA,x

B,+B,\alpha

(K, HK«-»(£ÉÉ== y + t;:== + H.--H\Delta z +v)dx+ydy--adz+zdu--dw=(X'+\alphaX")dae (p"). RTÉKZTZ*

)dx+ydy+adz+zdu--dw=

'-
-

Ad indeterminatas & , v , \omega definiendas fac A,+A, x

B, -+ B,o. H,-HH,x

Κ,+K,\alpha-\omega

•

a
-
y
•
K,+K,2.-
-
-
-
_
»
=25

-

-

-^, -rTÌZE,

304 emerget plerumque aequatio sexti gradus in ordine ad ox ; hinc sex valores \alpha ; et duobus , qui minus opportuni cen sentur, omissis, retine caeteros a:', a". 2"', \alpha'" ; inde infe » - res v , v", v", y'", nec non \alpha', \omega" , o'", «»'" ; sicque habe bis ex (p), (K, K,2' - ®';(y'y +«»'z + z'u + v;dc+ d(vy + a'z + z'u + P) = (X'+z'X")dae , (K, -H K, x" - \omega')(v'y+ ®"z + a"u + v)dae + d(»'y + \alpha"z + \alpha'u + v) = ( X'+\alpha"X'/)dae, (K,+ K,\alpha" - ®")(y'y + ®"z + o"u + v}dae -|- d(v"y + &'"z + o,"u-}-v) = (X'+\alpha"X")dae , (K,+K,\alpha-«»)(v'y+ «»"z + «"u + v)dae + d(yy + «»"z -}- z'u + v) = (X'+ z"X"}dae ; quae suppeditabunt (185) vj-+a'z-Hz'u--v=F,(x), v'y+\omega"z-\-z'u-Hw=F,(x), ]

IIr

(p") fir v"y* «»"2+x"u--v=F,(ae), v"y-|-»'"z--\alphau-Hw=F,(ae). ] Eliminata ab (p") prius z , u , v, dein y , u , v ; obve nient J^ z expressae per ac. 218. Si

h, = 0 , i, = 0 , h,= 0 , i, = 0, et X, ,

XA exhibent quantitates constantes r, , r, ut mutentur (g) in (a, y+b,z)dx*-+k,d*y-+m,d*z=r,dae*, (g') (a,y+b,z)dx*+k,d*y+m,d*z=r,dae,

]305

multo facilius integratio succedet hac ratione : elimina ab (g') prius d*z , dein d*y; et factis brevitatis gratia -a -,

b, m,-b,

•
• ■*

1. =#-=A, , #=É-=B,, #£# - R,

,ma- Kam,

,ma-Kam,

,ma-ram,

a,k, - a,k, k,ma-kam, A

bak, - b,k,

r»k, - r,k2
R

•• TT--•• k,m,-k.m, T `*' habebis (A,y + B,z)dae* + d:y = R,daea , ( Aa)^ + B,2)dac* + d*z = R,dae*. (p'") Secundam (p) multiplicatam per o: adde primae ; erit B,-|- B,

4

J
2

(A,-4-A,\alpha)(y+£#£*-*-*-®*

naui.

(p"):

B,

-|-

B,o:

fac

A, -i- A,2 = \alpha ; prodibit

(X = B, - A, = V[4A,B,

+ (A, - B.)']

2Aa (p"); et expressis per o', 2" valoribus \alpha , positisque -

R, τ
-H R,o'
■

» + 2. --;=;= - • , R,+ R. 2"

I ■

3 -- '•-!i£%

- •',

A,+A,o.(p'*') , j-

-.

-

-

.
d*v'
-
.
d°v'

aequatio (p')

dabit

£=-(A+
A.?)P
•
ZTAT
==

20 306 -

-

dv'

-

(A,+A,\alpha'/)w";

*/\..**. unde ( 21 1. 2o ) dae
*>r -
v'V [- (A, + A,cx')] --
'

dae =

dv"

3
et COnseCIuenter-
ar =

...=

V'VI- {AI-E AIZT '

seq
-

1

v'

1
v

VTEAT\Delta zj' J7). *- 7ΠΕΠZ5j'-äT). Hinc, ob (p"), R, -HR,z' _,

_xV [-(A,-+A,2)]

j^ •+- \alpha'z-

7AITEAAF

=
C,e »

(

viis)

e quibus y et z expressae per ac.

Duis

v. gr.

(17y + 88z Jdaea - 8d*y - 7d*z = 59dac*, (14y + 52z)dae* - 5d*y - 4d*z = 35dae*, erunt ® a, - 17, b, - ss, , - - 8, n, - - 7, r, = 59 , a, == 1 1 , b, = 52, k, = - 5, m, = - 4, ra = 35 ; proinde A, = - 3, B, = - 4, R, = - 3 , A, = 1 , B, = - 8 , R, = - 5 ; insuper (p"') \alpha'= -1 1 «- - 4 ; ergo p") » - = + +=C,e*, y-4. + 17

v/

• •.
-
-
4C,e**-C,e*V7
1

+ = C.e*V7; ideoque y = 3

7

•

C.e** - C,e*V7 2

i

+ *

3

14

'

307 Si 4A,B, -- (A, - B,)* = 0 , et consequenter \alpha' = o;', binae p') recident,in unam; verum facto c.*VI -

-' (A,+

A
A,

<)] r

,

£#£
R,
R,
-
= χ(x) ;
ut sit

J == X(ae) - z'z , et adhibitis substitutionibus in prima p'"), obveniet aequatio dara

d*z

+
, A,&'-B,
r
2 =
A,X(ae)+y"
X.
X. (ae)-R,

Q«

QX

AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM AD RES, GEOMETRICAS APPLICATIO.

Bina solvuntur problemata geometrica (219 - 220).

219.

Ponimus

dari y = f(ac , C), ut inveniatur curva y =

i!/(ae) secans sub dato angulo curvas omnes provenientes ex ipsa y = f(ae , C) quum constanti abitrariae C diversi uri buuntnr valores.

-

Per punctum (ae , y), ubi curva y = \varphi(ae) secat cur vam y = ftae , C), duc tangentes t , T , alteram ad y=f, alteram , ad y = \varphi 3 sitque a tangens , trigonometrica dati anguli (tt) : quoniam (18) tang(tae) = f' , tang(Tae) = \varphi' -£

, ac praeterea (elem.. 213. 8*) (tt) = (tae) - (tac);

JC iccirco (elem. 311. 7*) 4* _ , , 1-- f"!'

1-Hf'

#;

308 Jam si ex hac et y = f eliminatur C, prodibit differentialis aequatio complectens omnia intersectionum puncta ; cujus aequationis integratio suppeditabit quaesitam curvam y= \varphi(ae). 4--c Sume v. gr. ftar, C)=Cae ; erit a = -;

: elimi

1--c-; 4* _ 2 dae

/ ac

-

nata C,

a = -; ; hinc a(aedae--ydy)=aedy-ydae,

• +*#-

acdae + ydy.

dac - aedy

ac* + y*

+-

24:
+ y*
= 0, ideoque (166)

alvAF)+ arc(tang = -; )=C,. Habes arcans-; )

-

£-- arc(tang =4-):

mutata
igitur constante
arbi

• traria C, -

+in

al(C,), obtinebis al(
4* itr-)
-:

-

2

V. arc(tang = aequationem videlicet (82. 3°) ad spi .... ralem logarithmicam. 220. Proponitur invenienda ejusmodi curva ut, ab origi me coordinatarum ad illius tangentes ductis perpendiculis , •

•

I

haec exsistant constanter

aequalia inter se.

Aequationum •

- y =

£0 d.
x - ae) -
et y = -;
dr
X.

altera pertinet ad rectas tangentes curvam , altera ad re spondentia perpendicula: resolatis aequationibus quoad x et y , inde prodibunt coordinatae punctorum , ubi perpendicula • • • ' ' . .) , - .. .

•

•
.
(aedy
-
ydae)dy

da* + dy*

vo

occurrunt tangentibus, nimirum x =

-

-

$•

(aedy - ydx)dae

---

: denotante igitur a communem perpen

--;=-;-;- •

-

-
-- -
•:
ardy-ydae __

dialorum longitudinem, erit ve*-;# £;,-• . unde

differentialis ad quaesitam

curvam , aequatio

•*, . . oJ;*. , : ;

• -i-

eu s\Delta y - ydx = av(dx* + dy*)

(q) ;

quae cum admittat solutiones particulares jam determinatas (216. 3°.), certe suppeditabit circulum y* + ae* - a*=0, curvamque praeterea j/*(a?--ae*) - (ae* + a*)*=0.

• '

• T , .. *.,*..

2.

-

-{- • i
• ..'*.

Quoniam (216.

3°) y' = 0, seu

4- - 0 ; iccirco

ac? dy = C,dx) completumque aequationis (q) integrale y = C, ae + C, : et adhibita substitutione valorum y et dy in (q) ad binarum C, , C, alteram determinandam (191) per alteram, emerget C, = - aV^(1 + C;*). , ,-;, o, INTEGRAtio diffERENTiALiUM, ARQUATioNUM peR serues. . ■,,,

• G .. ■ . . ., , ...

; . ,'
. • . • .

dy

INTEGRATIO AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM PER SERIES.

Aequationum primi ordinis (221 - 222).

221.

e

P,, p onitur aequatio
quatio primi primi
ordinis
ordiai. -–
i; - = re f(ae , , ))
y

sic integranda, ut peculiari valori ae = ars respondeat y= Y,. , , , Exhibeatàrintegrale per y=z(a); erit (54) X(x+8)=x(x)+ I

-

8.
/?,.
33
fffr ....*
-
-

όχ(*)++x (ae)+ -;-; x"(*)+...; et quoniam

χ'(x) =

/• •

\*

,
,
•
'.

-

dx *

<...
f(r, y), χ"(ae) =£= F ,(r, J )+ F,(x, j)r(e , J )

3

-

-

d -

f(ae , y), χ"(x) =
£- = f.(x ,
y)+f',(x, j)r(x, y)

- (*, y44. - f.(x, y) + f ';(ae, j)r(ae , y) , x'(x) =-; = %(x.

, * ), • • •

, icirco X(ae
+ )- r '+ öf(3c
, y) +

Na

w*

33
... - '
-

%-fla , 3) + -;;-ftae ,

y) +. . . ; et adhibito ae, pro

-

,
\\,
-

? δ ae , χ(ae.+ δ) = J^ + öf(ae., J^.) +

5-f. z., J. ) +

,

' , •• ,

-

-

£;£•. , y.)+.. , quae, facta δ=*-*., praebebit x(ae) seu J^ = J^o -+. (a. - aco)F(

ae, ,

jy.) +
'*=;*' -
2©o
2
^*.
9
3.)

tii *'. *«

• '

, • •
r
*

: 3.

.

-
•
•
*

i-, ( i *

ac - ae.)*

-
'•
.
•
,.•,. • ,,. -{ f.,

+

£#-! flae. • r») -H ...

**
(h):

vides seriem istam hatid adhibendam nisi confirmata prius ejus convergentia ; quod et in sequentibus animadvertendum. De tur

v. gr.

-*- dy-
?-= =
-"!- --

: habes f(aco, Jr.)=

£; <;

�

°"'

alac

1+ ac
υ
3Co

r... , , - "'*-2.

_m(m-1)(m-2)

:

f(acâ

. }.)

-
(1+- ae.)*
•
f(r., Jr.)=
(1--ae.)* • •
•• 5

-* * * * ideoque y = y.[1+m

1+.c.

+
2
(
1+- ae. )2 +

mon-bon-2)

ac-ae, „

2.3

(

it*)
+. . .].

Si forte evenit at sese offerat summa seriei (h), asseque mur integrale accuratum sub forma finita ; sic in allato e 4

©

xemplo est y =y.(1-H 5

ac- E ro,

= J^.(
£ )": quod inte

m
»

grale obtinetur etiam ex. (185), factis X = -1-H x * X,=0; forent namque z=(1--ae)", s=C et =y= C(1-Hx)"; tum J^. = C(1 + ae.)* , C

- T£; o

, -
• y-y.£.
1-4-ac
ros
*
•

d. 222. Potest etiam boc pacto aequatio

£=f(x, y) inte

+1 grari per series : sume

3 =r.+a,(x-x) +a, -x."

+

0X +2 a,(ae- aco)

-+ ..., quae facto, compendii causa, ac-aese= z,

ideoque ae = z + ac, , dz = dae, vertetur in 0«

0« £-r

a.+2
v

» - y.+a;'+•.*+•,•

+ ...

(h'),

d.

-

cx+1

unde

£-

a, \alphaε' '+a, «--*)*+a,«-+ 2)z

+. (*} nm

.

£
d
=f(x, y) substitue
valores ae, 3^, a%
d.
; erit
-

dae h"- f(z + ae.,, h') = 0 ; ex qua ordinata quoad potentias ascendentes quantitatis z e ruentum' (X , 41 • a • • • • •

-

Proponatur v. gr. dy - ydx = bae“dae = 0 sic inte granda, ut valori ae = 0 respondeat y = 0: erunt ac, = 0, y, == 0 , f(ae , y) = y + bac* , et bz" - a,\alphaz cx- • r + [a, - a,(x +

1)]•*+ [a,- a,(x +2 „*+ + . . . = 0 ;

quae cum valere debeat utcumque se habet z, evanescent coef ficientes singuli potentiarum z : et quia b haud evanescit per se, ideo sic erit determinanda \alpha ut b- non sit considerandus seorsum ab alio quovis coefficiente. Jam si fit & - 1 = m, vertetur aequatio in [5 - a,(m + 1)]z"*+ [a, - a,(m + 2)]z*** + [a, - a,(m + 3)]z"**-4- . . . = 0, eruntque b - a,(m + 1) = 0

• 4,

- aa(m + 2) = 0 , a, - a,(m +

.

δ

δ

=0,... ; und

-|- , a,

——————*

s.

a, =

3)

ma* •-=Et , a. — =====;

-

ô

-
ô

(m+1)(m-H2)(m-f-3)

—–—–—–

„...
et consequenter 3^=—
Π* ae**' (1-4-

2 ===+

(TPE2TFE3) —H. . .). Facto m=0, prodibit (56)

2 .ac

ac*

χ = b(ac-i-

+ ;;---...)=

b(e* — 1).

2

Aequationum excedentium primum ordinem (223 — 224).

223. Data aequatione secundi

ordinis #-+fa)#-+

fzdae d

• -— „fed* , ,

jrf(ae) = 0, pone y = e ;

unde

d. .20* 2

-

-
dz

• !--

„fadae ,, ,,fed*
*.

: mutabitur aequatio data in

d.c*

dae

d. aequationem primi ordinis

1. -+ z* -+- zf ae)-+- f(a) = 0 ,

ex cujus integratione emerget z expressa per ae, substituen fzdae

—!--fuis---/£- + 4;#r.

+ •••

da in y = e -

3

224. Generatim data F(ae, y, dy . g*y . d*y ——

. -4: ....)

=0

al- * J*2 ' Jac* '

)

?

o.

v

ô
d.

sume y = a, ae

+o." -+- a,ae -+a, ae

+-... ; hinc
£=

ç a, 2**

τ

+a,3."
-+
ay.' '+.,
£. =a,\alpha(\alpha-1)ac

-

-

d2
-

J/; \beta—2

dJ3

—3

+ a, 3(3-4)ae' ' -+- . . . ,

1. £ =a,2(\alpha-1 )(«—2)."

-{-

—3 a, 3(3 — 1)(3 — 2)."

-}-. . . , etc.; adhibitisque substitu

tionibus in aequatione data, elaborandum ut apte determi nentur « , 3 , ... a, , a, , ... Proponatur v. gr.

£ +kyae"=0: erit a,\alpha(2-1)ae

-+-

JU' v

-

• 3 3-i)." +ia.*"+a»w—1."+ia."-- -

•,

8—2
v+u

a,ôô — 1)ac

+ ka,a ' -+-... = 0 ; quae, factis 3—2=

z -+- n , v — 2 = 3 -}- n, 8 — 2 = y + n . . . . , ideoque 3 = «-+- n -+-2 , v = z + 2n -+- 4, 8 = \alpha + 3n -+-6,..., ox-2 vertetur in a,z(\alpha—1)ae

+ [a,'\alpha + n -+-2)(\alpha + n -+-t)-+-

io.]." Ha (a +2n**«+ 2n -+- 3) -+- „*+**+* -*- w-H3r.-H4

+ -+• •.. =0; hinc

[a,(x -+- 3n-H6){\alpha-+-3n-i- 5) -+- ka, ]ae a,«(« — 1) = 0, a,(x -+- m -+- 2)(x -+- m -+-f)-+- ka, = 0 . a,(x -+- 2m -+- 4)(x -{- 2n -}- 3) -+- ka, = 0 , ... Ex istarum prima habes \alpha = 0, z = 1 ; quorum valorum alter prae ka,

-

k*a,

bet a,=— ( -ETYh-E2) ' **TTAAETATEZRxF3) * - - -

- ,

k*a,

»• •• •

alter

&

1.2.3(n -|- 1)(m + 2)°(2n -+-3)(3n-i- 5)

ka

k*a,

»

£3=

•

TTEEJAI3)

1.2(n-+- 2)*(ri-H 3)(2n-- 5)

et •*- TAXATEFATEBIZIETAT7J * * * * * quia a, permanet omnino arbitraria, iccirco adhibita C, lo co a, quoad \alpha = 0, et C, quoad a. = 1, provenient bina integralia incompleta, quae in summam collecta suppedita kC,

-.

bunt (210) integrale completum y=C, — (ATTIATZJT* **-4- kaC,

• "*% —...-+C,ae——–1—

89.
...
3

—————

2c

1.2(n+1 Xt-FZFTEF3)*

(n-i-2,(n-H3)

-H k*C, ÎZA-EFG;T3RAEF5J*

2^+5_

-
•

Si v. gr. n = — 2 , denominatores in utraque serie fient = 0 ; verum in ea qua sumus hypothesi erunt o: = ox. B = v = b = ..., y = (a,-+ a, + a,--...)*"=\Delta x

•

a,««—■)**T*+[a2« — 1)+ka,]*"+[a,«(« — 0-- ka.]**"--... —A[22—1)+*]*"=0, 2(3 —1)+£=o, a— tt4=*! (=«), \alpha = 1—4=* ( - «)

et

-

3 quia

A

permanet arbitraria, ideo y= c,**+C,**
-

DE INTEGRATIONE AEQUATIONUM AD DERIVATAS PARTIALES.

Aequationes primi ordinis (225 — 228).

225.

Habit,

: pro functione binarum ae , y , ut sit dz =

dz

dz

7T dae +

1. &.

et
consequenter

dz

1

dz
4
1
dz
dz

1. + +d) ;=;= ds, ;d=#; + ;

M — 4-ds, 1-d-

4 -- 4-

d, 4-
—1

dy

dzT dae

dz
dy

(a,) , proponitur integranda aequatio dz / dz ubi P, Q, R denotant functiones variabilium ae, y, z. -

Quaesitum integrale exhibeatur per χ(ae , y , z) = 0 :

conferentes propositam aequationem cum prima (a,) habemus - Q

4

R
4
-
-

—

z=de ,

ideoque Pdy — Qdae = 0,

È-=;= dy , ii Pdz — Rdae = 0 ; quarum integralibus (182... ) designatis - \. per \mu, = C, , \mu, = C, , obvenient ae = f,(z , C, , C.) •J = f,(z , C, , C,) ; et adhibitis substitutionibus in X(ae, 3r, z)= 0, X(f,

•

f, •
z)
= 0
(aa).

Haud disparente z per se ab (a.), necessario z exsisteret con stans: quod cum nequeat admitti, disparebit igitur z per se ab (a,), ipsaque (aa), vertetur in X,(C, , C,) = 0., seu χ,(\mu, , \mu,) = 0 ; proinde quaesitum integrale (39; 40) \mu, = \varphi(\mu,), vel, etiam \mu, = \varphi\rho,), ubi p designat functionem arbitrariam. Si proposita aequatio compararetur cum secunda (a,) , prodirent Qdz — Rdy = 0, Pdy — Qdae = 0 : quod si com pararetur cum tertia, emergerent Pdz—Rdae=0, Qdz—Bdy=0. « Eaeempla. dz

dz

•

4 o.

•#

+x+
— as : erunt P — •.
Q=y,

R = az , ideoque aedy — ydx = 0, aedz — azdae = 0, seu dy

dae

dz
dac
-
•

–-

--

=0 , —-
— a —
= 0; istarum prima sup

, J^

J0

z
JC

peditat l(

£)= l(C,), secunda l( -j-) = l(C,),

nimirum

J^

2

ct .f •

\mu, ==

• [12 =

Σ *
consequenter z = ae
p(*=)

d.

d

2. v; —•#. = y* : erunt P = — aea , Q _ .ry , R = y*; propterea ac*dy+aydae=0, ae*dz-+-y*dae==0. Harum prima vertitur in

£ 4-

dx =0; unde ay=C,= \mu,:

j^

•

substituto valore J = –

in secunda, proveniet dz -|-

...” - C,

2

£

= 0 ; ex qua obtinemus z —

JL 2 C, = C, , seu 3a-3

2 •

+ =C,=p., . Hinc z — %; = \varphi(ay).

dz

-

30.

y*j;

= yz : erunt
P = y*, Q = 0, R =3 z ;

iccirco dy=0, ydz—zdae == 0. Harum prima dat y=C,=\mu, ; C,dz ideoque secunda traducetur ad —– — da = 0, unde 3 l\z) — a = C, = \mu, : consequenter 3 l(z) — ae = \varphi{y). 226. Functiones arbitrariae determinantur ex assigna tis conditionibus : sit v. gr. ita determinanda \varphi in \mu, = p(\mu,) ut habeatur F(ae , y, z) = 0 simnl cum fac, y, z) = 0. Ex \mu, = C, , F(ae , y , z) = 0 , flae , Jr , z) = 0 erue ae, y, z expressas per C,, et substitue in \mu, : vertetur \mu, in functionem f, unius C, , nimirum \mu, = f,(C,) = f.(p.4), re cidetque \varphi in determinatam f,. Istiusmodi determinatio eo redit ut (122) superficies \mu,= £\u ,) ponatur gigni motu lineae

{\mu, = \varphi(C,), \mu, = C.}

u*a-

dentis lineam rectricem

F(ae, y, z)=0, f(ae, y,z)=0 }

-

227. Habita : pro functione trium variabilium r, y, t , ut sit dz =

£-i-- £;a,-- £dt, d

ac proinde
-
-

1. -+-;— d) ; + ;;d i — ;; de, ]

,

1

d. d. -

1
d 1
(a,),

2

2

2

dy

dae

dae
+ _-
dy -{- -
dy
dt –
dt = —
dy — d. z. • etc. elC
,
]

-

-

veniat integranda aequatio dz

dz

dz

N = + P;---Q; — f. ubi N , P, Q, R exprimunt functiones variabilium ae, y, z, t. Quaesitum integrale designetur per χ(ae, y, z, t) = 0 : comparantes aequationem integrandam cum prima (a,) ha P.

1

p.
4
R
1

b

— ==

—— d
-
- =
-
-
-
•
- = — d. $

emus § = j- dr , §-= ; d. , § — 7; de propterea Ndy — Pdae = 0, Ndt—Qdae=0, Ndz—Rdae=0, ex quarum integralibus (182...) \mu,= C, , \mu,=C, , \mu, = C, assequimur ae == f,(z , C, , C, , C,), y= f,(z, C, , C, , C.', t=f,(z, C, , C,, C,); et adhibitis substitutionibus in X(x,y,t)=0, X(f, , f, , f, , z) = 0

(a,).

Haud disparente z per se ab (a,) , necessario z exsisteret con stans : quod cum nequeat admitti, disparebit ergo z per se ab (a.), ipsaque (a,) vertur in X,(C, , C, , C,) = 0, seu X(\mu, , Pa , \mu,) = 0 ; unde quaesitum integrale P.=?(\muι, \mu,', vel \mu,=p(\mu, , \mu,), vel etiam \mu,=\varphiι\mu, , 92). Si

aequatio integranda compararetur cum secunda v. gr. (a;),

prodirent Ndy—Pdx=0 , Pdt—Qdy=0 , Pdz—Rdy = 0. Ad rem exemplo declarandam , proponatur aequatio

• 7I

dz
+-...;+a+*);-•*
dz
dz
t:
erunt N = ae,

P—z-+t , Q=z -+-.r , R = y -+- t 5 ideoque xdy—(z+t)dae _ o , aa. — (a -+- j)dae = 0 , aedz — ( r-- t )dae = 0: ex quibus cum aperte habeamus .c(dy — dt) -+- (j —t)dw=0, „ta, — d.)+-(y — a)dr = 0, ae(dy-+-dt + de)- 2 -+ t -4- z)dx = 0 ; iccirco ae(y — t) = \mu, • a (y — z) == \mu, r-

+fit ę

2.
. = \mu, , et jr -+- t + z =a*p(ay -
— aet, aey—ae z).

228. Habita denuo z pro functione binarum x, J , ve niat iutegranda aequatio

, *

dz

-

dz

F(ae , y , z, . -- , —;- (* ,) • s, 7 , 7; •

dz

dz
• •
v
p.

Expressis 7E ' Zy compendii causa per z. , z', 5 et resoluta aequatione quoad z', , emerget 2', = F,(ae, y, z, z'.): habes a.',— Ha. + Kay-i-Mds --Nds. — Hd*-+** + Mdx -+- N(d. z'. + d, z', -+- d, z',) ; unde

£#.—ii-*

cr N=;-

p.

=;-=M+
N—i-

: insuper aequatio (225)

dz — z'.dae — z',dy = 0 praebet (195. ora)d,• z', d.z'

d. 2'

d.z'

— z',
-j-+- z'. ji*
= 0; -
in qua substitutis
•
-

d z'

d z'

- valoribus

dac

É4-
, -£-
dz
, necnon F, loco z', , obveniet

• .*.-'

d
z'.
d, '.
, '
p.

IN

-
5 -H
#
(Nz.—F,)-+-Mz',-+-H=0.

- Haec dabit (227) z', expressam per ae , y , z ; inde ve ro z', = F, item expressa per ac, r, z: quibus valoribus z'., z', substitutis in dz — z'.dae — z', dy = 0, obtinebitur ae quatio differentialis ordinaria, cujus integrale (197) erit inte grale quaesitum.

Aequationes primum ordinem excedentes (229 - 233).

229. Proponitur integranda aequatio secundi ordinis

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+a_{1}{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+a_{2}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=f(x,y)(b_{1})$

ad coefficientes constantes $a_{1},a_{2}$ : designantibus $r,r'$ radices aequationis ${\mathrm {R} }^{2}+a_{1}{\mathrm {R} }-a_{2}=0$, traducetur integratio ad integrationem binarum primi ordinis aequationum:

${\frac {dz'}{dx}}-r'{\frac {dz'}{dy}}=f(x,y),{\frac {dz}{dx}}-r{\frac {dz}{dy}}=z'(b_{2})$

siquidem eliminantes *' assequimur ;;; —(r-Hr')

dacdy +

, d^z rr --;-

dy*

— flac , y): quae , ob r -+- r' = — a, et rr' =

9^

-

a,, recidit in (b.). Quoad primam (b.), habes (225) dy -+- r'dx = 0, dz'— f(ae , y)dx = 0; unde jr= r'ae -}- C, , z' — ff(x, C,—r'ae)dx; consequenter (225), facto fftae, C, — r'x)dx = X(ae, C), z'—y(x, C,)=\rho(y+r'x), seu z =X(ae, r--r'ae)+?0-f-r'ae): quoad secundam (b,), dy -+- rdx = 0, dz — z'dx = 0; y + rae = C, z — fz'dx = C, ideoque

— f2'dae = p,(y -+- rae), z= fz'dae -+- \varphi,(y-+rae).

Nunc, z = fχ(ae, y-+- r'a)dx-+-f?(y-+-r'x)dx-+-\varphi,(y-+rae) = fχ(ae, C — rae -+- r'ae)dae + fp(C — rae + r'x)dx -+- p,(y -+-rae): et quia fy(C— rae + r'x)dae = \varphi(C-rae-Hr'ae) = \varphi(3^-Hr'ae)

icirco,

adhibita arbitraria \varphi loco arbitra

riae \varphi , quaesitum integrale sic exprimetur, ==fx(x, C—rae +rae)dx-+y(y-- r'*)+?,(r+rae). Vides, si a, = 0, a, = — c* , f = 0, ut (b) evadat daz

d*ae

„TAT

=•-;

•
fore

.•

323

z = \varphi(χ -+- cx) -+- \varphi,( y — cae). Item, data aequatione tertii ordinis d3z

d*z

d*z
d*z

ZET +

4,

7¥J;
-+-
*•7Z7
•}• 43
;-^*
»,

ad cofficientes constantes a,, a,, a,, et designantibus r, r' , r" radices aequationis R* -+- a, R* -+-a,R + a, = 0, traducetur integratio ad integrationem trium primi ordinis aequationum dz'/

„ dz"

dz^
dz'
dz
dz
-

—– — r" – =f(ae, y), – — r' – =z", ... - r... =z ; dae

dy

dae
dy
dx
dy

-

-

-
•
_• •
-
d*z

etenim eliminantes z', z", assequimur

— (r -+- r'-+-

dac* d*z

d*z

d°z

ar^

a

ar
m_//
* _^/

r*') ————

rr.

rr ' -+- r'r) ——-—-
— rr'r — —
=

dae*dy + (

+

-
)
daedy*
dy*

ftac , y) ; quae , ob r -+- r'-+- r"= — a, , rr*-+- rr" +r'r" = a, , rr'r"= — a, , recidit in datam : atque ita por ro quoad consimiles quarti , quinti .... ordinis aequationes. 230. Haec notamus circa aequationem daz

dz

dz

-

+ *;
+ • ;
-+- hz -+- s = 0

(b3) , ubi P , Q , R , s designant, funetiones binarum ae, y. a-

dz

dw
du

1 o.

y.

—-=e"lu
------
---

Sume z = e*u

, unde 7;=e (u dae -}- dx ),

dz

dv

du
d*z
dw
dw
du

dy -*—

—*e*'(u

(u —
dy -+-
-
dy ) , -----
daedy
-=a e”
e —
dy (u -
dae -+-
'
-
7;)+

324 du dv

d*w

d*u

•'( 7y 7Γ + u

ZÉ-+

7¤7 ) ; transformabitur (5,) ia

dv

du

dy
d*u
du
. dv

Vt vm —

-

-
y.
_
..
-

•*# + ;)(;- •*•t;#-+ # –;- J* •)] + ue(;■/ + • % + •) +• — o ®; quae potest etiam scribi in hunc modum, dw

du

dv
dav
du
dv

w

-

V.
-_-

• *#-+ ;)(; +*)+et;#-+-; (#-+ d*y

dv

y.

-

-s

o]+ ue(;; + o; + •)+• — o 2°. Ponè

,

dw

d*u

.
du
dv
$

-

dae -+-Q =0

•
-
daedy +
-
dae (
dy -
-H P)
-* •
•
•
eV •

®. (b.):

-

.

d*y

dv
•
-

ex (b.) habebis 777 -|-P 7I3

+n=0, seu, ob

primam (b.),

dQ +

+ro — — o

(b), Hinc, expleta (b,), et determinatis u . v , integrale aequa tionis (5,) erit z = e*u : binae autem u , v sic determi nantur; prima (5,) dat (225) dy = 0 , dv -+- Qdx = 0, un de y = C, , v -+- fQdae = C, , v -+- fQdx = \varphi(χ), et v= du,

dw

— Jqdae -+- p(3) ; secunda praebet 75T + u,(άγT -+P)=_ 325 ■

•

•
du

—-

, faeto nimirum 7;

-= u, , ex quarum altera •

e

JC

ruetur (225) u, , ex altera vero u=fu,dx + \mu(γ). 3°. Pone dv

d*u

du
, dv
§

—– -+- P = 0,

ZÉ; + ; (#-+®--;-

e” (bg): day

dv

ex (b3) habebis dacdy +Q

-+ R =0, seu,

ob primam (5,),

dP ZIE-+ PQ R= -

0

(bg)

b,\).

Hinc, expleta (b), et determinatis u , v ex (b,), integra le aequationionis (5,) erit iterum z = e*u. d(

%+ro

4°. Aequatio (b) sic poterit scribi,

—% —

+

d.

-

d.
-

Q(

1. + Pz) -+- (a— -#;

— PQ)z
+ s = 0 ; quae ,
factis

dz

dP

++ ra = *, , • — ;— — ro — • (bis), traducetur ad 1 dz, ,

Q

S
-

-;; + -i •,-+•++= o

(b):

1 d— d b.,)

d*z

K dz
dz,

et quia k

–1L- =

1
—– –
—- -H-

dy

Σ* *Z; #+ q ;

326 Q.

S

d --

d

K

dz

R.
dz,

• -:;;--,--- ++

K
7}T = 0, KP. (b,,)= p #-+ros,

v 1 d-- + KPz -+- Ps = 0 ; ideo factis compendii causa k 7 3)^ d£

d£P = P, ,

*7-
+ PQ + k = f, ,
*7;
-H PS = s, ,
ob

primam (bio) exsistet d(b,,

_d*z,

dz, , dz,

-+- EP.(b,,) Tä; •}- P j#-+ sj;**.*.*.-o
(51.).

Quemadmodum (5,) suppeditat (b.), sic (b.) praebebit d*z,

•+- P

dza -H
dz,

dy -+- I,2, -+- s, — 0; Z5 +*•7; + « atque ita porro. 5°. Si neque (b,) expletur , neque (bo) , expleatur au tem altera e duabus dQ

dP

+ra--, — o. jî
+ P,Q — m, = 0 ,

superiore methodo (2°. 3°) determinabitur z, , tum z ex prima (bio) : quod si neque ex duabus novis oonditioni bus sive prima sive secunda expleatur, perges ad dp dQ 7¤ + PAQ — B, = 0 ;

+ ra — ,—o.

2.

327 quarum altera expleta, determinabis za , tum z,, denique z ; et sic deinceps. 231. Ad integrationem aequationis (b) traduci potest integratio aequationis daz

daz

daz
dz
dz

——- —-f -—-

-- -

- - _ -
–-+-f.2-+f= 0

• +*+++*+++*++f;-+-+-o

\omega,

ubi f, f, , . . . . f. denotant functiones variabilium ae , y. Sint enim r, s functiones earumdem ae , y , specte -

•

•
z

turque z ut functio ipsarum r , s ; erunt Tx -

JC

dz dr

dx ds

dz
=.
dz dr •{• dz ds
daz
-

jÉ Ér-+ 77 - ,

dy

dr dy
as ayT* * d;c- T

d*z dra

d*z dsa

d*z
dr
ds
dz
dar

-

-

-_-
-
2 --- -- ---
-
-•
-

• -+ j;j;-+2;;;;;;--- ;;= +

dz d*s

daz

_ d*z dr*
d22 dsa
2
d*z
dr ds

x x ' Z,; - 757 + ; dy* +

drds dy dy

dz d*r

dz das

d*y
d*z dr dr

+ dr

• +

7¤T ' Σ-
dr* dae
;-+

daz ds ds

d2z

dr
ds
dr
ds
dz
d*r

7### + ; ( ##+ #;#)+*#7; dz

d*s

-
· ·
·

ZITÀEF

: adhibe substitutiones in (b,3), pone

328 dr*

dr dr

dr*
ds^
ds ds
ds*

x* +f;

• f. ;-o,

ZE +f; dy + f;:-o
(5,4):

it

mpendii

2 dr
ds
f( dr ds

emque

Co

pe 11
Causa
7T7E —Ho- 7E77"
--

dr ds

dr ds

d*r
d*r
dar

-)+a',;;-- r,. ;=-f

;-+■+; +

d.

d.

d* s
.`
af*
d°s
ds

f, T-+-f,

£

— II

1. -+-f,;=*.. ;*-+*:;-*-f,;---f,; +

ds f,; = f, ;

traducetur

(b,3) ad

•• , •. a. . r, d. , , , , —–+

drds

—–
f, –-+-
dr
...-+-+
f, ds
-3-
;*+;
z-+-+ = 0

(bis) - Determinatis (228) r et s ex (5, 3) , fiet gradus ad inte grationem aequationis (b,5). 232. Data d*a:

d*:

d*z

-# — •(:;-* ;*). dz

dz das

dz ae

pone x* + y* = ** : habebis Tx* Tx x Τ TR AT ' dz

dz y .

unde
d*z
-
daz aca
dz y*
d*z

£*Z* a *

x* 75 £T ZE aT ' ZW;

daz y*

dz

ac*
- _
_ -
-
daz
d*z

• 7, 7; + 7H; 7* '

Substitutis valoribus
ä * 7F

329 eomparabilem scilicet cum (b;3). 233.

Data

daz

d*z

daz
d*z

1. -— et;, + ;+-;-)

-

dz

dz das

One ac*

a -{- z* * , - -

-
• -
-
---

pone

ae* -+- y =* : erunt -;

dσ dac

dz

ac

dz
dz y
dz
dz
t
da z

=

—

• •
• •

1. i- , ;— ;£- , ...;— i;i-, ideoque;-

£+

dz ya-Hta

zs* zs*

das.

zs*
-

d*z _ d*z y* dya

dasa as*

dz ac*-4-t* ATTAET• d*z

d<z t* .

dz ac*-+-y*
d72:
daz

1. =-;-;--;=#-. valores ; , ;-.

2

2

4*

substitue in ae uatione

data : habebi
d*a
2.

dta

q. -

epis - £- —

ca( d*z

££)

$eu
d*(c2).
, d*(•2) .

das* '

zs das

#— = e-;- $ conse

• quenter (229) wz = \varphi(a -+- c6) -+- \varphi,(a — e0). 330

Integratio per series (234-237).

Integratio per series. 234. Sumimus primo aequationem -

dz

, doz
v

dy

daco

(Si),

ubi exprimit k datam constantemque quantitatem : denotan tibus H, , H, , Ha, . . . functiones solius y, et a, 6, y, ... quantitates constantes, fiat 0,2

6x

7x

z = Hoe + H,e -- Hae --...; -

dz

22
6x
7x
doz
-

sbanenti-re

+ H,e +H',e --..., Tir-nea e +

6 H,6 e

2-

--
lireF . . . : adhibitis
substitutionibus in (g.),

6

2.

C E
6x

n.e +n e +n e'

--... = kH, x”e + kH,6°e

+

7x -

-

-

kH,)°e + . . . . Hinc H', - kH,2 , H, – kH,6”, l'a - Kn,)”, ... ; x., 6, y, ... manent arbitrariae, eruntque II,- kaoy

k6?y

kyoy
-
-

Coe

, H, e Cie

, H2 = C2 e
, . . . , designatis per

ce, c, ca, ... constantibus atque arbitrariis quantitatibus: integrale igitur aequationis (g) prodibit eiusmodi, kaoy ax

k6?y

6x
kyoy
yx

z = Coe

e

c,e
e + C2e
e +-“.
(ga);

singuli praeterea termini explebunt ipsam (g.) , 331 Haec veniunt observanda : 1°. Formulam (g.) sic li CX3c

6r

•
-
0X

cet scribere (56), z = coe + c,e'-4- c,' +-...-H(c,&*e

"+

6

•

-
6.

c,6*e

2*

+ cj'e' —H... )ky -+- (c. 2** —+ c,6*e " +

k*ya

•

c.)%'* + ••) i;- + ... : accepta

functione arbitraria

Q.2c

6x

'yx:
-

£(ae), et facto coe'-+- c,e'-+- c,e'-+-... = \varphi(ae), exsistent • ».*

av

, aae
tv

Co«*e

-+- . . . = ?"(x), coz'e -+-. . . = \varphi"(x), etc. ; ver

teturque (g,) in •— ?(*)-+ Byy(.)-+ £?"(*)4.

e).

• 2°. Exhibentibus C, , C, , C, , . . . constantes et arbi

trarias quantitates, sit \varphi(a) — C, -- C, ae +

$

C,a*

C,ac*

TZE -*- • • • ; emergent ?"(x) = C, -}- C, ae + i;--- ac3

C.ac*

C.„ac*

$ +... *(»-c,+c.+ É----j---., •tc. •_

•

C. k*y2

Quare (g.)

(g,) mutabit

mutabitur
in s = c. + C, hy +
4*
1.2
J^
-+-... -+
-

-

C,k*y2

C,k*y*
a

® + cA*-*;#-+-)-+(c. c.w+%££.)#, 332

-

C.k^y*

ac3

+-(C, + C,ky +

-+- ...) TE3I
-+-... Acceptis functio

nibus arbitrariis ?,(y), y,(r) invicem independentibus, pone C.-+- C,k*

2

C
2.„^

Cor +++-+ ... — ? (y), c,--c.v4-%£+-... — -

1

p,(jr) 5 habebis C, -+ C,ky-+ ... = 7 £',(J) , C, -+- C,£)^ + ...= £(y), etc. ; consequenter & ac* .

,•

z=p,(r)-+- TZE \varphi',(y) +

τΖΕ ?',(J)-+-...-+-aep, y) -+-

ac*

,

ac5

T.2.3F ?%(y)-+- T.2.3.AI5R? \varphi",(J) + • • • (3,). 3°. Vides nunc integrale aequationis (g,) amplecti vel unam vel duas functiones arbitrarias, prout ordinatur vel secundum potentias quantitatis Jr vel secundum potentias quan titatis ac. Quod si ordinetur secundum potentias exponentia lis e* , nullam functionem arbitrariam explicite continebit, sed binas dumtaxat series infinitas arbitrariarum constantium c• • c, • c» • •.. • a • 5 , Y ,• . . . 4°. Possunt binae series (g.), (g) exprimi sub forma fiuita per idem integrale definitum: habes (158) p(ae) = CO 1

• J•

4
r?
*/

• • ) fJ"a. -;};

. *» a , ve

oc)

oo

-

2 , „,, f •."

„. . ' f ***

•'.." a7,9
? (x) -•' e
dr=
77;
-«•
1-2 p"(x)e
T •

333 [-|

oO

46r*}*y*
-r?
4
f

oo

£;

•
•r•

<a '— —– q'"(x)e dr,..., — 2r(ky)? y(x)e dr = 0 , 7;J _„TAT*'** Vτ•/ _• ,2 4 ^° 3 -r2 e V7; f 8r°(ky)* \varphi'"(x)e dr = 0, ... ; iccirco poterit (g,) -QO i . CO 2 • • * 1 M' 2r(ky) , exprimi per hunc modum, •-;;J. [p(x)-+- —— p'(ae)-}- - |

:
3
-

4r*(ky) _,,

8r*(ky)* .
16r"(ky)* ,,
",

Ë**(*)+ +#- ?"(*)-+-;;£- £"(*)+... le dr, seu (54) í |

Co

r.

1
-r^ ,
•

£?

2.
=;
•OO
e
q/(ae +
2rVky)dr
(gs)...

â ì

co
-
■^, »

1

Item
(58) f
.-(r— «Vkrj*„.._ Vtt ,
.'

- QO f/

cx>

é/ Éy)* .

* «w
'

a

f eT*T*^°"* — v*, ..., „na.

4°'0 —

-

•oo

v,
/

a

-

CC)
oo
w

4

—-*

-
2
w
_..*

ì,f

„-r
„aarVky dr, „5 “- -1-
eT^
„2£rV Ar
/"•• ••5

V T-/ _.

Vτ•/ _.

334 -

-

-
-
4
^°
\alpha(ae--ary^5)

poteritque (g.) sic exprimi,

—;

[c.e
+

co .„*(*+arVv),. ..]e T" dr :

et posito ut supra (1°)

c.**+ c,

'*-- ... =

\varphi(ae), ideoque .3(*+arVW^)
-{-

C. „$x +arVW» , i

... =

p(*-+-2rV F), obveniet rursus
(g5).

235. Sumimus secundo aequationem –

d*z -+-

-
d2z
+
d^z -
-
0
•

:

dac*

dya

dt*
(i.)

denotantibus M ,' N , P , Q , R , s,... functiones binarum ae, J , ponatur z = M + Nt -+- Pt* -+- Qt* -+- Rt* -+- st* -+-... ; d*z

•

**
d*z

• runt

dac*
= M.
-+-
N'.t -+- P .t? -+- Q'/.t*
-+ ... ,

d2z w",-+- N",t -+- P", t* -+- Q",t*-+-...,

dt* = 2 P -}- 3.2Qt

.20t
-+-

4.3nt* -+- 54st* -+-... : adhibitis substitutionibus in (i.). prodibit M'.-+- M', -+- 2P -+- (N". -+- N',-+- 3.2Q)t -+ (P", P', +43B)t* -+-(Q',-+- Q"', -+- 5.4s)t* -+-... = 0. Hinc ' ,..,,

e/

1
d*M
d^M

» -— +■'.-'-*, ——-; ( #=+-;i), • — —-;;(•'.-+s',)= — ;; ( ##-+ #+). • 1

,-,

, ....
1
d*M
2d*M

- —-j-(• . + P",) =

4.3.2

(
7E; + dac*dya

d*M

-

–*), etc. ; ideoque dy* 4

d2M

d^M
1 . d*N
d^N. .

z=M-+-Nt

-

- -
2
(
daca
+ dy*
-i- )t
\r*—
33';**
——
-
Ζ'
-
a3 +
• •• •

ubi duae tantum inveniuntur functiones arbitrariae. azt

6t

d22

- Si poneretur z = Me -+- Ne -+-..., forent dac*

=*

JC ax£

6t

d*z
oxt
6z
d*z

M". e + N".e ••

-+-...,

:;;=•,• — ••

r•

-+-, =

• r

+N",e j;i-cxt.
, 6t
-
•/
oxt

Mz*e -+ N§*e -+ ... ; ideoque (M'. -+- M",-+ Mz*)eT -+- 6t - (N". + N", + N6*)e -+ . . . =0. Ad functiones videlicet M, N , ... determinandas haberentur

aequationes ad derivatas

partiales , M". + M', -+- M2* = 0, N, -+- N",+ N6*=0, etc.; ubi a , 6, . . . manent arbitrariae. 236. Sumimus tertio aequationem d*z

d*z

-

–; +e*-; = o

(i);

336 designantibus M . N, P, . . . functiones solius ae , pone, ut supra , oxt

6t

yt

z = Me -+- Ne + pe' -+ . . .

(i,);

2 .

d*z

, «t
, 6t
d^z
d*M

habebis ä

= Ma*e

-+- N6*e -+-... , 77 =
j; +

a. £

-+- . . . : adhibitis substitutionibus in (i,) , (Mz* -+-

d*M

at

d“N
6

•

>a

dac"
)e
'+
... = 0. Hinc differen

)e

-+- (N$*-+-c*

dx* 'a M.

= 0, N6* -+-

tiales aequationes ordinariae Mz* -+- c*

dac*

JC d°N

-

•

ea

7; — 0 , ... ad functiones M , N , ... determinandas.

J' 237. Factis M= $ (M.—M,V^—1), N =# N.—N,V(-3),-••, e = a.V—1 , 6 = 6,V^—1 , ... , vertetur (65. 5*) secun dum membrum (i,) in § [(M. —M,V(-1)

cosa.*+V-7 sin2ot)

+ (N.— N,V—1)(cosé.t + VE siné.)-+-...] i factis vero M = 4y. + M,V—1), N = +(N. + N,V(-1), . . . . z = — z.y^—1 , 6 = — 6.V—1 , ... vertetur membrum illud in 4[v.-- M,V — 1)(cosa. — V -i sina.*)-+- (No-*- x,y^—-1}(cos6.t

-

-
V-7
sin6,t)-+-...]. Consequitur,
ad ae

337 quationes (g,). (i,), (i,), aliasque consimiles lineares inte grandas, loco positionis (i,) adhiberi posse z = M.cos2,t -+ Nocos6,t -+-... + M, sina,t -+-N, sin6.t-#-...

METODUS INVENIENDI FUNCTIONES MAXIMI MINIMIVE PROPRIETATE QUAPIAM OBLATA GAUDENTES.

Proponitur invenienda functio praedita maximi minimive proprietate inter reliquas omnes functiones (238).

238.

S,

functio incognita y = F(ae) , et compendii cau

sa exhibeantur per y'. 3" , y", ... derivatae F'(ae) , F"(x), F"(ae) ,. . . : proponitur invenienda y ita, ut integrale „œ, JTrx, *, r,»^, ^,... d.

®)

úra

-*

exsistat maximum minimumve ; quaestio, si ad res geome tricas traducitur, eo recidet ut proponatur invenienda li nea in qua ipsum (b,) evadat maximum minimumve. Si maximo minimove integralis (b) valori respondet functio F(ae), certe in viciniis maximi minimive valoris po terit respondens functio generatim repraesentari per F(x)-+- op(ae) seu y -|- op(r); denotat ® quantitatem infinitesimam, \varphi functionem indeterminatam: exprimat A differentiam in ter maximum minimumve integralis (b,) valorem et valo rem illum, quem recipit idem (5,) quum pro y adhibetur J^ -+- \alpha\varphi ; erit 37, -=

f

[ftae.y,-+op,y'-+-oxy',y'+-\omega\varphi"....)—f(x,y,y',y",-)]dx 5

JC., quae differentia , utcumque caeteroqui sumitur infinitesi ms «) , retineat oportet idem signum, si quidem (b) de bet esse maximum minimumve; prodibit autem (b,) maxi 338 mum si permanet A < 0 , minimum si permanet A > 0. Quoniam differentiae A idem signum insit oportet, quanti tas igitur 7S erit ejusmodi , ut illius signum necessario -

-

-
-
A

mutetur mutato signo denominatoris \omega: atqui (43) —– Q) 20n

dfae, y, y', y". ... ) , _., , dftae, y, y', ...)

f fa- ==-;—- =;- + „, , df(ae , y , y', ...)

-

• ®*-;!- +.ji. 4

JU' 4/.T,

o [`",.„,„d*far. (ae)

dy*
Y. J'. •-) -Hp , „ga (ae)
d°f ae.j^, dy'*

y', ...)

+

-

d*f(ae, y, y'. . . .) -H 2®(ajg'(x) dydy' —- . . . -+- (»,]dae ; designat (», quantitatem infinitesimam : expressis itaque com pendii causa per R, S, T, V,... quantitatibus -

df(ac.

f(ac â y, 3'...)
y',..
•

£y df(ae, y. y'...)

•

df(ae, y, y',..)
dftae, y, y',...)
•
•

dy'

dy"

*
dy”
• •
•
• •

restat ut in casu maximi minimive exsistat ὐm fTr.)R-£(•)S-H(»T*?'• v-. Id. — o. 2®o

-

Jamvero (133) ę, S\varphi'(x)dx == S p(r,)—S, \varphi(ae,) — ύo - •¥/.•^ o 20,

aìS

,«*,,

fore, £d. J

T?"(x)d.r=T ?(ar,)—T @(ae,)—

3C.,

J.

3Co
•',. 3Co„®n.
dT
-
-

J. .?'fae) (*); ... da. da

— = T

.*
@(ae.)—T
(ae,)
.?«.)
o' ae.) — T'

.?*.)-+

\varphi(.

., „~

JU' ru

2T
-
.•• JU'
n.
-
r•

T' \varphi(ae.)-+-

J *•) £d. J

V;"(e)dw=V \varphi"(x)—

-

J*o 2Co

JÜ
.qu*
<£,o

V.?' ac.) — v'.?(r.) -+- V.?(r.) + v".?(*)

-

30,

d*3V dx , etc. . . . .

Quare , adhibitis

V” g(x,)—J

\varphi(ae)

dx* J'o

J'o

substitutionibus , (s.—T.+v".-... pa.-s.-T.-+V".-) *) + (T. — V.

-+-... )\varphi(ae,) — (T.-v.--. ..)

\varphi'(ae.)

47, +(V.—. •

. )®"(x,) -

(V. — ...);'(ae.) -+-... -{-

c. m.

dS

aJ2T
d3V
\

JIa

— -;--

dac
—–
dac* — —
dac*— -+- . . . )p(ae}dae
}dae= 0
(ba
ba).

Aequatio haec debet valere, utcumque se habet ?(x); et cum fieri possit ut exsistant \varphi(c,) = 0 , q'(x,) = 0 , \varphi'(ae,) = 0, . . . p(aco)= 0 , \varphi(x.) = 0 , \varphi"(x.) = 0 , . . . 340 quin tamen \varphi(ae) desinat esse indeterminata, cumque in ejus modi casu redigatur . (b.) ad 37n dS

J*T

d3V

f

(R —

j;-- ää — j;i-+)?(x)dx = o
(b.),

JC o consequens est ut ipsa (b.) importet binas aequationes di— stinctas : nimirum (b,), ex qua (136. 9°) d2S

x*T

aj3V

R — j; + + — + + + ... = o (®), et

(s. -T.+v". — ...?(x)-(S.—T,. +

v". —

-

-
-
)?(aeo) + (T. —V. +
-
-
-
)£'(x,}
-

(T. — V. +. . . ?(r)+V.—... w(r.)— V. -...)?'(x.) + ... (b.). Ex (b,) integrata habebitur quaesita relatio inter y et ae , seu talis functio y = F(x) ut, substitutis y , y' , J", ... in (b,), inde prodeat maximus minimusve valor ipsius (b,) ; modo tamen constantes arbitrariae ita determinentur , ut ex pleatur etiam (b.). Si desunt integrali (b) functiones derivatae y, y"...., ut habeatur

-

20). J7., »a. ®. ά, binae (b,), (b) manifeste redigentur ad unicam R=0 seu 341 cujus ope invenietur functio y = F(ae) praebens maximuun minimumve (b.). Eacempla. „¢n 1°. Detur

J.

(aae — y*)ydar : emerget inter 3r , ae re

30., άn latio (b;) = aae — 3y* = 0;

unde f

(aae — y*ydx =

30., —– (ae, * - ac«* ) V^--. Est autem

A— f

[(aae- (y +

3.5

3

3Co
-

»?(ae)*)(3 + \alpha?(x)) — (aae — y*) y]dx = —• f

(3y*(a)

V \alphax -+- (»p*(x))dae
, videlicet negativa ;

p*(*) V^-;---

oy(x)dx , •

-

•

•
•
o.r

ponimus namque ae, > aes : functio igitur y =

v-j-sup

peditabit maximum integralis propositi valorem; linea nimirum, in qua integrale illud fit maximum, erit parabola cujus pa d. rameler =;

T3T

-

άn 20.

f

(2ay — y^)dae: assequimur (b,)= 2ac-2y = 0,

JCo spectantem ad lineam rectam, quae transit per coordinata rum originem , et abscissarum axem secat sub angulo = 45°;

342 ,3€,.

,3

3

hinc

-

J
J*
(2ay — y*)dae = —
3:^,, — — 3 T.,
.
Est autem A =

- <*,. - fT2.(.--••)-(* + **) — 2 '-+ **}d. = J.o. 30, —» f

\varphi*(r)dae : itaque relatio ilIa suppeditat maximum.

2Co 3°. Inter lineas, quarum extrema puncta ad easdem ab scissas a, , ae, , easdemque ordinatas y, , y, referuntur, invenire 3Cn. maximam minimamve, seu eam in qua (167)

f

V^(1-Hy'*)dae

Jú'o» sit maximum vel minimum: etsi constat solas rectas lineas solutioni inservire, proderit nihilominus hoc exemplum ad tra ditam methodum declarandam. Habemus R=

%#*£-o

a2

- £)^ s—4*1— — — dy'

V (1-4:y'*)

, T = 0, V = 0, . . . ; •

-

dS
-—

igitur (b,) evadet

j;=0, unde S= C, seu ;-;-;;;-v.

id

-

eoque y

V^T-Ga

C, ,
dae
C, ; et y=C, x-HC,

ad rectam pertinens lineam: hinc vero 37, V (1 -+-y'*)dx = (ae, — ae.)V(1-4-C*,)

(ό\rho.

JCo Quoniam Hnearum extremitates ponuntur habere easdem co ordinatas , iccirco abscissis r., ae, respondebunt ordina 343 tae y.,, y, haud variabiles quum ab una linea transitur ad alteram, et consequenter p(ae,) = 0 , \varphi(ae.) =0, p'(ae,)=0, p'(c.) = 0, \varphi"(x„) = 0, ?"(aeo) = 0, . . . ; non pluribus opus est ut expleatur (b.). Designantes nunc per Q quantitatem 3'n infinitesimam, habemus A =

[V(1+(C, + \alphaγ(\alpha)*)

- JC -

30n

■
Lzxz,-'2
2 ..2.12

va 4. c* ma,- f"f***?'**'*'—9'*'*'*! t

3

• 2(1-4- C°,)*

2(14C*,)*

30a

'1 ...

2.12

+»o]d. — f [ *!!--—**"*'---•ojas 37o

-l-

- (1-4-C*,)*

(1-4-C*,) a

•

C

JCn.
•2

—*—(?«.)-?«.)+• f" 1 — fo- + Q]d. — 3 -I- 2.

TAT

(1-4-C*,)

2(1-4-C*,)

37n

/2(ac)

• f [ —*-; -H Q]dx : quia

igitur prodit A posi

3Co

-

-

2(1-4-C*,) a

tiva, certe non maximum sed minimum dumtaxat obtinebit. Si linearum extremitates non habent easdem coordina tas, cum ob T = 0, V = 0, ... aequatio (b.) redigatur ad S. £(*) — S„?(ro) = 0, cumque in ea qua sumus bypo thesi neque sint \varphi(ae,)=0, p(ae.) = 0, neque ob ae, , ae, datas possit universim assumi S. £(x)= S. p(x.), restat igitur ut m.

o

exsistant

S. — 0 /

S.— 0,
seu
»'.— 0 w
y'.-=0;quod

344 eo redit in praesenti quaestione ut evanescente tangente tri gonometrica anguli, quem linea recta efficit cum abscissa— rum axe, linea illa fiat ipsi axi parallela. Notetur illud: si ae, , ae, habentur pro abscissis curvarum J^, = \varphi(x,), J^o = X(aes)

(g),

profecto quae rectae ab una ad alteram curvam duci possunt, li cet earum extremitates ad easdem abscissas minime

referan

tur, adhuc tamen habebunt longitudinem = (ός) ; nisi quod valor tangentis trigonometricae C, exhibebitur per C, = -

U(ac.) — y(ae

.
•

'* T?? — $'*)

— X(*»). : quare ad ejusmodi rectarum

ac, — \alpha'o

ac, - aco

%l- o, 4%l

— o, id

eSt,

minimam spectabunt (50)

dae

dae

ae, — ae.-H[\varphi(ae,) — X(aeo)]!/(ae,) = 0,

|

')

ac, - ar.,

+ [#(ae,)

-
X(aeo)]X(aeo) = 0:

et quoniam \varphi(ae,) — X(aco) = (ae, — ae.)C, ; iccirco 1 -+- C,%/(ae,) = 0, 1 -+- C,X'(ae.) = 0. ex quibus colligimus bre vissimam distantiam inter duas curvas fore lineam rectam ipsis curvis normalem in punctis, quorum coordinatae ac, , j^,, , aeo , J^o eruuntur ex (g) et (g'). 4°. Inter lineas , quarum extremitates iisdem abscis sis aeo , ae, • iisdemque ordinatis r, , y, sunt praeditae, eam ά,

1—H

/a

invenire

in

que f V(-l-)ds
sit maximum mini

20., 4

/2

avéfr*)

3/

mumve. Habemus R =0, S = .ac dy'

-;-; V^(1 +y'*)

•

345 S — 0, V = 0, . . . ; propterea (b) =

£ = 0, unde

JC S = C , idest ■

acCa

tttt;;- cs • r* =-;=*= ® 4

•

30n
4. p.y'*

Ex (b,), 1-Hy*= 1—C*ae ideoque(140)

f

V(
â
)dx=

2Co ac -m&

dae

2
V(1— C*ae,)

J I...*-;-£ere-*£*- V^(1—C*ae.)

-

arc(cot =

CVxo

) ]. Ipsa (b) est ad cycloidem ;

4 nam expressa C* per ZA ? et adhibita 2a — ac pro ac • . dya

2a—ac

•
-

vertetur (bg) in ;;= — , quam in ordine ad cy cloidem jam invenimus (77. 1°). Quod ad (bg) pertinet, ea manifeste impletur ; omnium enim linearum extremitates P0 nuntur easdem habere ordinatas J^o , J^„ , ac proinde p(x,)=0, \varphi(ae,) = 0, ... Ad haec: denotante Q quantitatem infini

• n ,

1.

tesimam,

prodit

A— f +[(-*
(y-+-«»y(x)*)*
-
(1-1-

JCo

-

.* 1

acmo,

r.
a.
-
-
2a^'2
Y

'*) ldae=

[ *'•?'*)

°?*' — 4»o]dr=

^ -J . t;-;iii;* 3. 2y ac (1 +y'*)*37,

2. m2 a

fTc»*e)-+—***-—-»o]de-c»(?*J**J*

-

<*., 2y^ae (1+-y'•)* 346 -,• n

'?r.,

ę,
*2
,

» f^t-—fol----o)d.

— »' fTt —fi*-—--oji,

...”

3.

3Co
_3
\

2Vae (1—Hr'*) *

2V^ae (1 +y'*)*

videlicet positiva : ideoque, excluso maximo, obtinebit mini-

|

mum. Si eae dumtaxat linearum extremitates, quibus respon det abscissa ae, ,ponuntur habere communem ordinatam 3r., . .

?

erunt quidem \varphi(ae, ) =0, \varphi'(x,)=0 .... ; at non item \varphi(ae,)=0,

I

\varphi(ae,) = 0 . . . . : quare cum ob T = 0, V = 0 . . . . re digatur (b.) ad §.?(r,) = 0 , sumenda erit S,. ==0; ideo <'m que

?', =0. Cyclois nimirum, in qu* f

V^(—-—)dae
1-4- y^*
est

na

2Co

J^

minimum , debet ejusmodi positionem habere ut per pun ctum, ad quod pertinet ae, , ducta tangente, haec exsistat pa rallela axi abscissarum.

Proponitur invenienda functio praedita maximi minimive proprietate inter eas tantum , quibus una , duae , pluresve proprietates communes sunt (239).

239. Aliquando proponitur invenienda curva praedita ma ximi minimive proprietate inter eas tantum, quibus una. duae, pluresve proprietates communes sunt: sic v. gr. inter solas cur •

Λάn

vas , in quibus integrale

f

f(ae , j , y', . . .)dae retinet

ὐo eumdem valorem , quaeri potest curva illa, in qua 30 n

'

f

f.(x , J , y' r

,.. .)dae est maximum -
minimumve. •
•
Haec

20., nova quaestio facile traducitur ad hactenus pertractatam de invenienda ejusmodi curva inter caeteras omnes: assumpta con stante et arbiiraria \alpha , pone - ôCn f,(ae , y, y', . . .)dx = x , ....'q. | |

1 347 ,3'n

-

-
JEn.

unde

«/

f(x, y, y'.)da=z*; et facto
«f
f( a- , J •

3C.,

2'.,

-

ὐ, •

„œn

y', ... )dx -+-

J

f,(ae , y, y, ...)dae =
f(ae,J^J',•••)dae,

• 20 o

'

certe quae relatio inter ae et r ex

caeteris omnibus relatio

JCno. nibus -

praebet maximum �

minimumve
-
•
f
f(x,y, ę.
y', ... da),

30., άn. eadem ipsa manifeste suppeditabit

f

f,(x, y, y',.-)dx ma

ὐo 37n. ximum minimnmve quoad eas relationes, in quibus

f.

f,(ae ,

• o

y, y', . . .)dx retinet eumdem

valorem.

Eaeempla. -

•
•
•

4°. Inter omnes curvas ejusdem longitudinis jungent** puncta fixa (ac. , Y.) , (x, • 3.) invenire eam, quae ma §iiham vel minimam aream continet : erunt (167: 10°) άn

, ,-,37n.

-
ῦ,

f.

f,(ae , * , )' , . . . )dae

— f vti4^ d.f
f4(ae •

3Co

-

-
JC.,
JC'o

JÚ' ά,. 7 • 3'.3. . . )dae

—f

ydae ; unde
f
f(ae, y.y',
• •
•
)dae =

J`o

20.,

-,30n J

[y -4- zy (1 -+-3'*)]dae ; et (238) R = 1 ,

S=

3c, 348 •tí; , T = 0, V = 0, . . . . Aequatio (5,) fiet

)

1—2 dae 3^'V (-Hy'

)

Seum

diac

3^' V (1-H/'*) \beta χ'

-

-
ac—C

- hinc • — «;t;;-c, r- jt ===; . ae—C)d dy

£=*...-, r-—Vt«- (•— c)'}+c, ;

- 7TZEZECF] et (y— C,)* -+-(ae—C)* = \alpha*, aequatio ad circulum: quod ad (b.) pertinet, ea manifeste inpletur ; omnium enim curvarum extremitates habent ex hypothesi easdem coordinatas. Restat videndum utrum A sit positiva, vel negativa: habemus A = JTtr***)+<v(40-4*®)-r—vd-*)a. ά,

?.. ._^

2.* 2

— f_ero+• ;£;+ --; + ®*Q)]dae - 2(1—Hy'*)

2

37,

2,/2

— f It**) H.-c- (•)+a(- ol-2(1-4-y*)7 3Co + •old. „®n Atqui

J

ę
(»y(x) -+- (x — C)»y(x)dae =

•(*,?(r,) — ae.?(x.) — C£(x) + Cy(r.) = 0 ; ergoA = 349 „®a a* /

t—fol-; + Q]dae ; quae, cum sit positiva, de

2(1-Hy*)* notat minimum. At notandum quod e snperiore valore y' prodit functio derivata secundi ordinis positiva, nimirum y'= &2

ideoque (85) arcus circuli intra datos ter

3 [\alpha*— (ae—C)*]

2

minos constitutus convexitatem obvertet axi abscissarum : si concavitatem obverteret, profecto maximam contineret aream. 2°. Inter omnes curvas ejusdem longitudinis determinare illam, quae sese revolvendo circa axem abscissarum x gignit solidum maximae minimaeve superficiei: curvarum extremi tates ad easdem referimus coordinatas ae, , y.,, ae, , y, . -,\alpha'n.

<30,.

Erunt (167:1

74.J

f,(x,
r, y.a. — /
V^(1-Hy'*)dae,

J'o

J'o

-

\£a.

ú^,.

J

f (r • Y • y' ,. . .)dae =

f
j/V^(1 -+-y'*)dae , unde

J0o

άo

ά\mu

ά,

ftac , y , y'. . . )dae =

f

[(x -+- 3^1^(1 -+-j^'*)]dx ;

ὐo

ac.o

et ass) R — ve + ^), s-a-+ y) ti;\;;

»

^2 T = 0, V= 0, ... Quare (238: b,) V(*-+-y*) — ;-£-ET 1

r.

1
1

:

—— (x

d—— =0

-
-
-
-
-

z=(*-+**;t;£;;-o, - vtt;; — #-« + 350 dy' ) — II— J.

3

= 0 ;hinc (1—-y'*

2

(1 -+-y'*)dae = (a -+- ))d)' (ò,.): )^

-

-
_ J^'dy'

est autem

dic = — ; igitur

: et inte

\alpha-+-y

1-+-y'*

grando , l(z + y) = l\CV 1+y'*), ideoque \alpha + y = CV (1+y'*)

(ò,,).

Substituatur valor 2 -+- y ex (b,,) in (bvo ; proveniet dae-= —–—

VOTIET°)

Cd)^
, ' ex cujus inte 8 ratione (140) •
ae — C, = Cl(y^
() (+

3 —C, C y/ (t

-+-j'*): aequatio haec praebet e

=y'+V (1-+-y'*),

ae—C,

ae—C,

C

C

e

- e

unde y' = —,— ; et adhibita substitutione in (b,,), factisque \alpha + y = u , ae — C, = v , v

V*

c.

c.

e

+e

u= C —;— aequatio ad curvam , quae vulgo dicitur catenaria. 3°. Si in curvis praeter longitudinem permanet etiam area, quaeritur curva illa, quae sui revolutione circa axem abscissa rum gignit solidum maximum minimumve. Erit (167: 169: 177) 351 άn.

άa

Jore, r. y. 4. — fTtov( +y+•*+yja., 3Co

úo

-

unde R = -

a,

+ 2y
•
S
= —^——
V^(1--y'*) : et
(238. b. t* ),

4

y'

— a —

d —1—

0. seu \alpha
2v —

2, 4-3. — «; dvtt;; — o, seu a, + 2, « #; —*—— o.

Hinc, ob dy = ydx , (2, 4

(1+-y'*)* ' ,-J,,^ 2y)dy —

«—41— = 0;

ex cujus integratione, (\alpha, -|-

3 (1-4-y** y)y -+-

zt- -+- C = 0: inde autem

,_ V[2*—(C-+\alpha, y-+-y*)*] -

C-+-a, y-+-y*

»

differentialis aequatio primi ordinis ad curvam,

quae dicitur

elastica.

Quid, si oblata maximi minimive proprietas binas functiones determinandas respiciat (240).

240. Sint binae functiones incognitae y — F(x), z=F,(x) determinandae ita , ut -, t'/.

-

/

ftae , J , 2, Y', z', y”, z', . . . )dae , ..

(b , ,)

£., exsistat maximum minimumve. Valor z ponatur jam cognitus, jamque substitutus in (b,,) una cum derivatis z', z", ... : in ea qua sumus hypothesi 352 variabit (b).) quoad solam y, et consequenter prodibunt quoad jr (238) aequationes (b,), (b.), nisi quod litterae R, S,T, V, ... hic denotant quantitates

\

d ftae
-*-
•
, y •
, z, •
J^',
', z ',
-
-
-
Y

dy

•

df.c

•

.^,
2•
j^', z'....)
df(r
»
y • 2
»
Ύ' •
z',
. •
.)

dy'

•

dy"
• •

At q

quemadmodum habita est z ut nota et )^

y ut incognita,
3
sic

poterat haberi y ut nota et z ut incognita: hinc denotanti df(ae , y , z , y', z', ...) bus h , s , T , v, ... quantitates –––––– dz , dftae , Jr , z , y' , z', . . .)

df(ae , y , z, y', z', ... )

dz'

»

dz'
»

d.

J* •

•
^y' z', . . . )

4-; iii- , . . . ,

exsurgent quoad 2

3 ds

d2T

d*v
' ,

— j--- ;;; — -;;; +-... = o

(ba).

s

— T'

"
— . . .) p,(ae.) —
— t'

(,. — r. -- v".

\p(x.) — ®. — r.--

v^ ..-...* (r.) + (y. — v.+...)? (x)— (',. — •',. + ... ?, r.)+(v.—... ?'.(*) — '•..-...» «»--..-• ®. Excempla. 1°. Inter lineas jungentes bina puncta fixa utcumque in spatio collocata invenire maximam minimamve, seu eam , 353 Jt'n in qua (167)

J

V(1-4-y'*-+-z'*)dx exsistit maximum mini

JC - o mumve. Erunt R = 0,

s- vtTjaT; , T = 0

»

z' v— o... , • — o, • — vt;t;i;, •-, •-o,-, .

dS

ds
-
•

et binae (b.), (b,3) evadent

j;= 0,

;— = 0 ; igitur

——

conjtt., S

z'
con$t •;

—

==const., s = -=-;-;-;-;-;;, = const.;

V(1-4-y'*-+-z'•) T**""** "T V(*-+-y'•+-z'*) -

a.

-
dy

ex quibus profluunt j^' = C , z' = C, seu 7¤

=C ,

d

•

j- = C, ; ideoque 3 = Cae -H C, , z = C, x -+- C, (b,5) , aequationes ad lineam rectam : quod ad (b,), (b.4) spectat, eae manifeste implentur ; cum ex hypothesi extremitates li nearum omnium gaudeant iisdem coordinatis. Demum A = fItv(*r©- ('4- «y,(x)*)—V (1 + y*+ άn

a

r

,-ja. — f" [-9*®* £*£*• 4 •'

r

(! +C*+- C*,)* 23 354 »(y*(r) -+- \varphi'*,(x) + (C,p'(x)— Cy,(a)*)

+ \omega*Q]dx : est

3 2(1+C•+-C*,)? autem

f ac,

[C»? r
(x)-+-C,op ^v^'

£)

dx=

(A)
L.
[C(?(r,)—

• (1+C+c*)*

(1-4-C*+-C*,)*

?(r.)) -H- C,(\varphi,(ae,) — p,(x.)]

= 0; prodit igitur A positiva;

ideoque, excluso maximo, obtinet minimum. Juvat hic notare illud: longitudo rectae (b,5), cujus ex trema puncta definiuntur coordinatis ae, , y, , z, , ae, , y, , z, , exprimitur per

-

20,

, 2'n

fov(-|- y-+•*de- f vt + c. + c A. — Jco

2Ço

(ae, — ae,)V(1 -+- C* -+- C*,)

(b16).

Fac, ut coordinatae illae pertineant ad binas superfiicies curvas 2, = X(ae. • r.) , s. = \varphi(ae, , Jr.)

(h) ;

habebis

Ca

-.
23, — z,
-*
W(ae, •J^)
-
X(aeo •
J^o)

ac,- ac,

ac, - aco

•

- y.,

-

-
-

C= 21 --- s ad minimam rectarum omnium, quae ab άn -aca, una ad alteram superficiem duci possunt , spectabunt (50) d(5,6)

d(b,6)

d(b,6)
d(b,6)

=0, – =0 ,

=0 ,

= 0, seu

dx»

dyo

dx,
d)^,d
(
o •
o)
-

ae,-ae.-H[y(x, » y,)-X(xo

-

»
y.)]%#!
==0 ,

dX(aeo

:re'—o

j^,.-y«-+-[}(ae, , y„)- X(x. » J •)] dy ? (h') 355 d JC, •. n) ac,—ae.-H[}(x, »

y„)— X(r. •

).)]
4*#*al
=0
•

-

d

(h")

Jr„-r.-+[}(ae, •jr,) -X(ae. •

jro)]

*;•
(ae, •
..)
=0 ;

et quoniam W(ae, , r„) — X(r. , Jr.)= (ae,- ae.)C, , r,-y. = (ae, — ae.)C , iccirco 1 -+- CA(

1. ) = 0,

C -+-

ds,

ds,

dz.

c. i)-o, -c. ;) — o, c+c, (;) — o. -

-

1
dz,

harum prima et secunda praebent a;—— 7: . C 'CI dz, .

tertia et

t
1
dz,
C

jy. *

erua et quarta ,

a-=-;.
C,

dz,

J

.
1

-

d).

.
Jam
verO
C,
' Έ denotant tangentes an

gulorum, quos projectiones lineae rectae minimae in planis XAZ, YAZ continent cum axe AZ : itaque expressis per x, y , z angulis, quos recta illa minima efficit cum axibus AX, \Delta y, AZ , factisque V^[(1+-(

1. )* -+- (£; )*]= k.,

-

d

V [1+-(

£)' +(£; )*] = k, , exsurgent

( elem. 355)

©osX

1 dz,

Y
4
deo
1—

osX = -

- - R. -

dae.
• ,
€OfSY
= -—
--
k. dr.
•
co$Z =
k,
•
-

itemqueq cosx dz,. k, dae,

p.

1 dz.

Z

1

k, dae,

»

k,.

356 Ex quibus colligimus (119) minimam rectarum omnium , quae duci possunt ab una superficie curva ad alteram , fore normalem utrique superficiei in punctis, quorum co ordinatae ae, , y, , z, , ae, , y, , z, determinantur aequa tionibus (h), (h'), (h'). 2°. Ex lineis jungentibus duo puncta data in spatio a^n

^2 1 .^^

determinare eam, in qua

f

V((
1-+-y*-+-z

———)dae

est ma

JC 37., ximum minimumve. Habemus R=0, S= ac a. T=0 V=0,... h=0,

S=

—*——

• - ,

T = 0

p

Vae V (1—Hy'*-+-z'*

)

•

v = 0, . . . ; et binae (ba), (b,3) evadunt

= 0,

ds

-

-
y'

-

dae

-;
0 :
igitur S— Vac
-
V (1
—— j^'* + z'*) -
= C
•

a.

a.

z

—r . Fx his ernitnr-!-=

Vae V (1 -+-j^'* -+- z*) =C, . Ex his eruitur

z'

C, ,

seu dy = C, dz ; unde y = C, z + C, , aequatio ad pro jectionem lineae quaesitae in plano YAZ : ergo linea illa est plana. Constituatur planum X\Delta y in plano ipsius lineae ut sit z = 0 , et consequenter z' = 0; aequatio ad lineam istam erit —— =C; eadem nimirum, quae jam prodiit

(238.4°).

Vae V^(1-+-y'*)

Nonnulla subjunguntur, quae ad variationum Calculum spectant (241).

241. Haec subjungimus, quae J/ariationum Calculum re spiciunt. 1°. Pone ac, y, z , . . . functiones datas independen tis t , et f functionem pariter datam ipsarum ae , y , z , ... : denotantibus χ , \varphi , p, , . . . functiones indeterminatas ejus 357 ar-+-\omegaχ—ae dem t, et \omega quantitatem infinitesimam,habes lim.

=x,

Q) lin. rt*t.

z -+- (0 p,—z

=\varphi, lim.

=?, ,., itemque (43)

(») lim.

f(ae -+- \omegaχ

•.)^
-+ op , z -H ό\varphi,
• •
• . )—f(ae, y, 2•
.. • )
-

Q) -

d.

£z+ £*+ £*,* .... Unumquemque istorum

limi

•

9^

Z

tum vocamus variationem respondentis funetionis ac, . . . f: quae variatio si generatim indicatur per δ , erunt δae= X, d

d

d.

δ) = \varphi, ôz = p, , ... òf =

£ δae + £ δy -+- £•*.

Patet illud : ad inveniendam variationem functionis plu rium variabilium ae , y, z , . . . satis erit accipere totale fun ctionis differentiale, et ubi est dae , dy , dz , •.. ibi substi tuere δae , ôy , ôz , ... ac'-+-\omegaχ'--ae'2o.

dδx=dχ=x'dt, δdx=δ»'dt= lim. dt

=

(A) -

df"

X'dt ; ... döf = d(Xf". + ®f*,-+-...)= [x'f'.x(

£ ac'-+

d.

'.

a
1 a*
-
'y
a.
d
';
-
-

£+*+)+?r,+*£*+ £r4-)+.ja, δdf= δ'f'.dae -+- f',dy -+-...) = [χ'f'. -+- x'(

1. X -+-

4;

df'.

\varphi+ ... )-+- \varphi'f',-+-y'( r
., £x
df',
-+-
£?
df",
+...)-+-...]dt:
-

hinc dδx = δdae,... et (30) d8f = δdf ; variationi scili 388 eet differentialis aequatur differentiale variationis. 3•. 8dffdt = öfdt , ideoque (2°) dò ffdt = δfdt : sum pti, integralibus, ô ffdt = fòfdt ; variationi scilicet integra gralis aequatur integrale variationis. „t. 4°. Quoad conditionem explendam

ut /

f(x, y, *•••.)dt

te exsistat maximum minimumve apud certam quamdam lineam, 1 „t. facile (238) obtinebis

J

(
#*-+ -; δy -+- £ ôz-+-...)dt=0,

te t.

$.

sea (2°)

f

δ/(ae, y,
•-)a-* f fae, y, z, . . .)dt = 0.

te

f.

5°. Factis X = 0 , x = t , z = y' , p, = \varphi', ..., pro positum integrale (4°) vertetur in (b,), etc.

UNA AUT ALTERA EX PRAECIPUIS QUARUMDAM FUNCTIONUM PROPRIETATIBUS.

Functionum nempe $\int {\frac {dx}{\mathrm {R} (x)}},\int {\frac {x^{2}dx}{\mathrm {R} (x)}},\int {\frac {dx}{1-({\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}})\mathrm {R} (x)}}$ denotante $\mathrm {R}$ radicem quadratam functionis integrae ac paris $c_{0}+c_{1}x^{2}+c_{2}x^{4}+c_{3}x^{6}+...$ (242).

242. Eaibit. per R(x) radice quadrata functionis integrae ac paris c, —Hc,ac* -+- c,ae* -+- c, x°.+ . . . . nimirum R(x)= V(c. -+- c,ae* -+- c,a* -+- c,ac6--...), factisque E,(x) = dae

ac2dae

*.
f
dae

É;, £.)— fj, Ee — f—j — , quosa (1 — ... )R(a) Q«

functiones E, , E, , E, demonstramus illud: si f(x) , f(x) exprimunt functiones integras (f altioris gradus prae f), unam parem, alteram imparem (quarum functionum f , f coefficientes a., a, , ... b. , b, , . . . censentur totidem variabiles independentesque quantitates), te functio f^ — f*R* (necessario par) decomponitur in factores ac* — k*, , aea — k^,,.., ac* — k*, ut sit

-

f*— {*R*

>–

A(ac*
-
k*,)(ae* — k*,)
•
•
•
)(x*-- *.)•

ubi A minime pendet ab ae; designante C constantem atque arbitrariam quantitatem, et f functionem algebraicam variabilium a, , a, , ... b, , b, ... , erunt (14.) E,(k,) -+- E,(k,) +

- ••

+ E,(k„)
=C
•

(2*) E,(k,)-+- E,(k,)-+-... -+- E,(k„) = C — f , (*) E. *) -E*»+.+Eg.—c —;$ a!%

• %£

TZR Ø%ä -äÄ Ö'* Animadverto quod e positione \alpha = oo emergit E,=E, ; quoniam insuper (57) £i%

1. %#%—%+£t£yR'•) H£L£

j'r(a) H.2R(5%)—f(\alpha)R(\alpha)'Tf(«)T 3 *f(z)

Έι Β)

poterit f sumi ejusmodi gradus altioris prae f ut positio il QX

f(\alpha)-+-

f(\alpha)R(\alpha ) -

-

-

la det

7RZY

1#=

i t-) -

0: consequitur , si

va

e.), let (3*.), valituram et (1**.). dae - x* )_, dac ac* \alphaa + ac*dae

ac°dac

a dac

1

1

-;---...) — f #-+-; f =;-+-;-f-t- 1

-

+

... — E.---: E,-+-... ;

proinde, si valet (3*), elit

360 4 F,(k,) + E,(k,)-+-

•

-
-
+ E,(k,„) +
+[E(k)+E%)+.

• —lΠRAT+ E,(k„)]-}-... = Cf(z)-+-f(\alpha)R(\alpha)

f(\alpha)—f(\alpha)R(z) ): evoluto scilicet secundo membro in seriem ordinatam secundum potentias ascendentes quantitatis TAT • denotato per f coefficiente 4

-

-
•
'

- potentiae –

( vides f fore algebraicam functionem varia

Q. , , . . . ) , adaequatisque coefficien bilium a. , a, , . . b. , b-

-

4
-

-

_ -

tibus ejusdem – apud primum ac secundum istius aequa \alpha?

-

tionis membrum, obveniet (2*). Quibus animadversis, ad assertionem ostendendam satis erit stabilire formulam (3*"): designet itaque k unum quem vis ex k, , ka , . . . k„, ( sunt functiones variabilium a., a,,.,. b, , b, , . . . ) ; exsurget f*(k) — f*(k)R*(k) = 0

(g,) :

denotante X(k) primum membrum aequationis (g.), d diffe rentiationem quoad k , et d, differentiationem quoad a., a,... b. , b, , . . . , habes dX(k) -+- d;X(k) == 0 seu X'(k)dk -{- 2f(k)dif(k)— 2R*(k)f(k)d,f(k) = 0. Atqui (g.) suppeditat f(k) - fk)R(k) = 0, f(k) -+- f(k)R(k) = 0

(gs) ;

ex quarum secunda, f(k) = — f(k)R(k), f(k)R*(k)=—f(k)R(k): ergo X'(k)dk — 2R(k)[f(k)d,f(k) — f(k)d,f k)] = 0 ; unde +E,} £ 361 -...

Auaro,- f(k)d,f(k)

. Sumptis inte

} si

Indum; βά Im III* Cefà 08| s £j* 1 ji

r

e-;-) *)

(1— 3; %) .

gralibus, factoque compendii causa 2[f(k)d)f(k)—f(k)d,f})]= I. \varphi(k), exsistet Es(k) =

J. —£-— ; ideoque

E,(k,)-+-

(1— -...-)X(k) -

QX

•

-

(k,)

E;*, + ... + E, s.) — ft—%-—

+

(1— – )X'(k,) QX 1 %2

-+... +

£
J. Nunc , functio

(1—

)X'(k.)

(1 —
;;
)X(k„)

- χ(\alpha) =A(z* — k*,)(z* = k*,)...(z* — k*„) est altioris gradus £*!-- 1 r- !

\varphi(k,)

pr -

ae

\varphi(2) : icci
1CClrco ( 72) X(2)
—
A
[zT,
I —
• —
2k,(k,*-k*»)...(k*,-k*„.)
-——-*- -

- -i-k,

ΣΙΛΕ\omegaΣΙ**]-7 [ZT;

2k,(k,*-ka*)...(k,* -;-*-],

|; siquidem, ob } imparem, }(— k,) = — }(k,) ; praeterea 2

• 2

2
a.
•
\varphi(\alpha)

Ak,(k,* — k,*). . . (k,* — k*„) = 4χ (k,). Igitur 2χ\alpha)

—

1

&!/(k,)

4.
\alphaυ(k,)
1 ' a//(k*„) .

2*—k,a X'\k,)

z*—k,* X'(k,) —H...-+- ZETZ(k.) *

et consequenter E,(k,) -+- E,(k,)-+-... -+E,(k„)= f

?

...

a f f(z)d.f(\alpha) — f' \alpha)d,f(z) f*(\alpha)—f>(2)R*(z)

cum functio R(\alpha) haud contineat

362 variabiles a, , a, , ... b., b, , ... , erit R(\alpha) habenda pro constante respectu d, ; hinc \alpha

£f- f££_,

f
=:

f*—f*R

Il-R*

par 0X

4

1
f.

— £t f(

— -;-

-)^, 4 — c —

4+

£— R

-*- ( f(x) -+- f 2)R(\alpha) ), ut nempe importat formula (3*.). 2R ' f(\alpha) — f(2)R(\alpha)

-

Si valores f(k), f(£)R*(k) substituendi in X'(k)dk-+-2f(k)d;f(£)— 2R*(k)f(k)d,f(k) = 0 eruerentur ex prima (g) , obveniret — E,(k) =

f—4— , etc.

(1— -...-)X'(k) &*

Functionum ellipticarum , factis nimirum $c_{3}=0,c_{4}=0$ , etc. (243-247)

•
.
. . .
.
.
.
.
.
.

243. Pone c, = 0, c, = 0 , ... , ut R(x) vertatur in h(x) = V(co-H c, ac* -+- ca**), et E,(a) , E,(x) , E,(x) a beant in E,(ac)

= f 3; a

r,(a)— f É
, E,(x) =

\

\

dae 2

: functiones e, , E, , Es dicuntur elli

(1—

)R(x)

(22 pticae , E, primae speciei , E, secundae , E, tertiae. 1°. Sub hypothesi numeri m paris = 2m , et functio nis v. gr. f(x) similiter paris, assurget f in gradum 2n, et f in gradum 2n — 3 ; hoc pacto formula (3.*) tradu cetur ad (1*") per \alpha = oc : fac igitur f(x)

E= ao

+- a,ac* -+- a\Delta x*-+-... —+- a,_,ac**-*-+- ac**,

f(x) = ae(b, + b,a* -+- baa* -+-... -+- b,_„**"-6); 363 e secunda (g,), f(k,) + f(/,)1(k,)

— 0

»
f(k,) + f(k,)H(k,) =
0
» • •
•

ftka.-,)

-+-

fk,,-,)t(£,-,)
-...
0 5

quae aequationes numero 2n — 1 cum sint primi gradus quoad coefficientes ao , a, , . . . a,-, • b. • b. • • • • b).-»

(g,)

numero pariter 2n — 1 , praebebunt ipsos (g,) rationaliter expressos per £, , £, , ... ka.-, , i(k.), n(k.) , . . . n(k»-.)

(g.) ;

si videlicet non (g.), ut supra , sed (g.) habentur pro va riabilibus independentibus, spectandi erunt (g) tanquam ra tionales functiones quantitatum (g.) : cum igitur ex ! f* — f*R* == (ac*— k,*)(ae*— k,*). . . (a*—k*„), adaequatis terminis liberis ab ae , obtineamus a*.

-

(k,k,
-
-
-
£2,-1)*k*a.
•

etiam k, erit functio rationalis ipsarum (g.); cumque pri ma (g,) suppeditet f(k„)

-

fk,,\R(k»,)
= 0
•

iccirco et R(k,„) exsistet functio rationalis earumdem (g.) : adhibita y pro k,, , 0o

A f(3)

= -E

k

p.
B(3) = -;...
-

)^

k,k, .

• **2n-I
fl J^)

Substituendo valores f(z), f(z) et R(2) loco R(\alpha, in (g,), -

-

-
-
-
1

ac evolvendo Juxta potentias ascendentes quantitatis; , aS 364 -

1

sequimur coefficientem potentiae -;; seu r = b,-, : quo niam ergo ad R(k„) seu R(3^) determinandam adhibetur pri ma (g), formulae (1*.) , (2*.), (3*.) praebebunt E,(k,) -+- E,(ka)

-H... +- E,(ka/-1) =E,(y)-+-C,

E,(k,)-+- E,(k,)-+-... + E,(k,,_,) = E,(r) — b.-a-+- C, \alpha , f(\alpha)-+-f(\alpha)R(\alpha) Es( k ,)+E,(k,)-+- - -+-B,(ka.-,)=E.

E,(y)

(^yr].
- 2R(\alpha)
-
- l( m f(\alpha)—
-
f(\alpha)R(2) )-+- C.
-

2°. Sub hypothesi numeri m imparis = 2n -+- 1 , et functionis v. gr. f(x) similiter imparis, f(x) = ae(ao -+- a,ac* -+ a,ae*-+. ,. -+- a,,_, c**-*-+-ae*") , f(x) = b, + b,ac* -+- b,x'-+-... -+- b,_,ac**-* : e secunda (g,), aequationes f(k,)-+-f(k,)B(k,)=0, f(k,)-+-f(k,)R(k,)=0,...f(k,„)-+-f.k,„)R(k,)=0 numero 2n , primique gradus quoad coefficientes ao , a, , • • • a,-, • bo , b, • • • • b.-i

(§.)

numero pariter 2n ; unde (g.) totidem rationales functio nes quantitatum k, • ka • • • . kal. • R(k,), R(k,)

» • • •

R(k»,)
(g):

ex fa — f*h*= (ae* — £*,)(ac*— k*,)...(ae*—k*,„)(ae*— £*,„„.) , adaequatis terminis liberis ab ae, emergit c.b.*==(k,ka.k»)**a.+,5 ideo k,,„, functio rationalis ipsarum (g) : prima (g,) dat •' 365 f(k,„,.,) — f(£,„,)R(k,„,) = 0 ; consequenter etiam R(ka/-.) functio rationalis earumdem (g): adhibita y pro kal. ,., , b.V^co

=

f(y)

:

3^ = ==

, R(y)

k,ka . . . k2a

f(J^)

1 substitutis valoribus f(z), f(z) et R(2) loco R(2) in (g) , evolu .

.

1

tisque terminis secundum potentias ascendentes quantitatis 7 • prodibit coefficiens potentiae

+

seu F = b,_, . Non pluri

bus opus est, ut ab (1*.), (2*.), (3*.)

obtineamus

E,(k,)-+-E,(k,) -+- ... -+- e,(£,„) = B,(J^) + C , E,(k,)-+- E,(k,) -+-... + E,(k,„) = E,(y) — b,-, -+- C , \ E,(k,)-+-E,(k,)-+-.. \

+*,*.-r,r)-;ia, \

(2
l(
###)+c.
(\alpha)-+-f(\alpha)R(2)

Liquet nunc illud : summa plurium functionum elli pticarum potest exprimi per unicam functionem ellipticam ejusdem speciei , consociatam cum constante arbitrariaque quantitate si agitur de functionibus primae speciei, insuper cnm certa quadam functione algebraica si de functionibus secundae speciei, logarithmica si de functionibus tertiae speciei. 244. Sume v. gr. m = 3 , fac nempe n = 1 in for mulis (243. 2°) ; erunt f(x) = a,ac -+- ac* , f(x)= b o

, ideo

que a,k, -+- k,* + b,R(k,) = 0, a.k,-+k,*-+-b.h(k,)= 0; unde k,*h(k,) —- k',R k,)

k,k,(k*,—k*,)

.

--;——————

,

o
=s
—-—-
•

a,—k, R(k,) — x,R\k,)

k, Rk.) — k,R(k,)

366 et apud valorem y praetermisso inferiore e duobus signis arbitrariis, _ _(k,* — k*»)V(c.

_ _ [k, h k.)-+-

kat k)lV^c, .

2"

TENET

ÉNET

c, — c.k,*k,*

•

tum e,(k,)-+-e,(k,)=E,(J)-+C, E,(k,) + E, k,}=E,(y)—b.-HC, (2

a,o. -H \alpha*—■— b,R(2)

! ■< \

» (
-rx-
-

E,(k,)+E,(k, ) E,(y)

2R(\alpha) l( a,x -+- z* — b„R(\alpha)

)-+-

Vides posse b, exprimi per y , nimirum k,k,

„ka.^

:

hinc

R(.)) — *'T'i.
„y-+-y3 —
cr
„+-y*

b.= V^c. - V co

b.

-
k,ka

' Ad a., quod pertinet, adaequatis coefficientibus potentiae a* in f* — f*n* = (ae* — k*)(ae* — k*,)(ac* — y*) seu (a, x-+.c*)*—b»*(c. + c,ae*-+-c,ac*)=(c*-—k*,)(ac*—k*,)(x*—y*), exsistet 2a. — b»*c, = — k*, — k*, — y^ , proinde 2 m.2

2

a. — % * -—e,-e,-». Vides quoque , mutato signo quantitatis v. gr. ka , e mersuram differentiam binarum functionum ellipticarum ex pressam per unicam ejusdem speciei functionem. 245. Si k, accipitur aequalis constanti arbitrariae M, poniturque k, = ae , exsurget E,(y) — £,(x) = E,(H) : `sumptis differentialibus, prodibit aequatio 367 dy

dx

R(J^)

R(x)

cujus integrale completum exprimetur quoque aequatione al gebraica

-

[acR(H)-+- HR(x)] Vc, c, — H*c,ae* amplectente arbitrariam H. Datis ac et y, aequatio ista sup peditabit quantitatem H respondentem differentiàe functio num E,(J^), E,(x). Simili modo, posita k, == — ae , E,(y) + E,(x) = B(h) ; sumptisque differentialibus , dy

dae

R(y)

+ i; = 0,

cujus integrale completum exhibebitur etiam aequatione al gebraica

-

[HH(x) — aer (h)]V c. . c. — H*c,ac* ex qua, datis ae et jr, erui poterit H respondens summae fun ctiouum E,(y) , e,(x).

.'

246. Sub hypothesi k, = k, = . . . = k,„_, = k , ex formulis (243. 1°) profluunt (2n — 1)E,(k) = E,(3^)-+- C , (2m

1)E,(k)

=*
Ea( y)
-
b.-a -+-C, (2n
-
1)E,(k)=£,(y)—

ox

f(x)

-+-
f(x)R(\alpha)
2

-

4.

_-
v.
*— 2 n°—t ..?
2 \2n-1/.,2
-
w

2R(\alpha) ( fùa) — f(x)R(\alpha) )-+-C, f*—f*h*=(a-*—k*j**-'(x*—y*) J^===

£;

, R(y)=
f(y) : coefficientes ao , a, y. b., b, ,...

fy) . obtinentur ab aequationibus f(k) -+- f®)R*) = 0 , a[f®-*- fA)n(&)] _, . d'Ifk)-+

f*)aka]

dk --- v ,

dka == 0,...

368

-

Sub eadem hypothesi k,= k, =..= k„_,=k, ex formulis (243.2°) proveniunt 2ne,(k)=E,(y)-+-C, 2nEa(k)= e,(r)—b,_,-+-C, CX

f \alpha)-|- f z)R \alpha)

-

-_-

•
faR*
—

2ne,(k) = e,{y)— 2R(\alpha) /( f(z)— f(z)R(\alpha) )-+-C, f*f*R (a*—&*)**(ac*—y*), y=== b„J/c, fy) 247. Designantibus N,, N, , ... N, , N numeros integros quoscumque, facile nunc intelligitur, si y, f, f determinan tur per aequationem -

f*—£*

*=
(ac*— ■•)"; (c*—k*,"* ...(ac*— ,,*)*- (x*—y*)"
•

fore N,E,(k,) -+- NAE,(k,)-+-... N,E,(k,) = NE,(Y)-+- C, etc... Haec in praesens de functionibus ejusmodi, ad quas va ria traducuntur integralia , satis sit attigisse : tantummodo subjungimus consequi ex dictis (167. 6°) quod arcus lemni scatae gaudent proprietatibus functionum ellipticarum primae speciei.

PRINCIPIA CALCULI DIFFERENTIARUM FINITARUM

FUNCTIONUM DIFFERENTIAE.

Functionum videlicet unius variabilis (248 - 249).

248.

Designante.

per Af(x), A*f(x), A*f(a) , . . . primam,

secundam, tertiam , ... differentiam (elem. 173) functionis fìae), et per \alpha constans atque arbitrarium incrementum \Delta x , ha bemus Af(x) = f(ac -+- \alpha) — f(x), A*f(x)=Af(x-+z)—Af(x), A*f(a) = A*f(ac-\-\alpha) — A*ftae). . . . ; evolventesque f(ac-\- z), Aflae + \alpha), A*f(x-H \alpha), .... in series (54) assequimur Af= CX

&2

cx3
& dAf'
ag*
d*Af

I`_

1

f'-+- –
1.2 f*'-+-
—Ho-
—— ;j-f
f-+-....
—+-..., A*f=–
A*f. 1 –
È+
_-
1.2 _
dac*

\alpha3

d*Af

+

1.2.3 -_-

dae*

7 .

.. —a- \alpha*f"-}-

a*f"
z*f"--
3f —4-
—
12 «*f
&°f iV
**
-+-
•
•
•
•

3£ —

\alpha dA*f

&2 d*A*f
&3
d3A*f
*/■

A*f =

1 dr +

1.2 dac?
+ 1.2.3 dar3 -+-... = \alpha*f

3

-

+ 7; z'f'" -4-

£«r* + . . . , et

generatim

A"f = &" f'"*).-;-

A,z*' f*-+-A,z*•ftn*» 4-

- -

(b,); ubi coefficientes A, , A, , . . . unice pendent ab m. Hoc pacto eos determinabis: quoniam A, , A, , . . . perstant in suis valoribus utcumque sumitur f, si ponis f= e*, ideoque f' = f^ = f'/ — .... = e*, erit A"e*= 24 370 e*(\alpha* -+- A,«"*' -+- A,z"** -+-...): atqui Ae* = e*+*—e*= .** —4), A'e- — (e* —1)(e*** — e*) = e*(e* —1)*, A'.* — e*(e* — 1)* ;... A"e* = e*(e* — 1)" ; ergo (.* — 1)* — «* + A,«*** +A,«***-+-... (b.), seu (56. 1°)

«-% —— j+.-—«-+A«"--A«*+-,

et

consequenter

3 ox

&?

0X
2
-

(* +++ j, -- it;---)* = * + A,\alpha + A,z*-+-... ; _ _nu

_ m(3m —- 1)

m^(m-\-f)

unde

A;—

-j-
, A. =
24
, A, •=
48
•

A. =

m(5m* -+- 10m* — 19)

Factis v. gr. fJ) = x* et m '= 2 , erunt f"=5.4ac*. f"== 5.4.3.ca, f'"=5.4.3.2a:, f"==5.4.3.2.1, £"*=f"*'=...=0, 7

1

A, = 1 , A. = TZ * Ag= T * iccirco A*., 5 — 2022 v° -{- 602*.x* -4- 702* r -+-302*. 249. Adhibe zf pro \alpha in (b,) ; exsistet (*— y-zf-+A,«** f**4-A,z***f***+-...

(b,):

loco potentiarum p. f"* , f"**' , f"**, ... apud

p.

secundum -
mem

brum (b.) substitue derivatas f" , f"*' , f **a.

. . . ; tra

374 ducetur illud ad secundum membrum (b,). Consequitur dif ferentiam A"f repraesentatum iri per formulam symboly cam. A-f- (•*'—i)-

(b);

si nimirum, evoluto secuudo membro (5,) in seriem etc. • ex ponentes functionis f habeantur pro totidem indicibus deriva tarum. Exhibentibus D"f, D"**'f, D"***f, ... derivatas istas, formula (b.) sic poterit scribi , A*f — (e*°—*y*f

(b).

Functionum complectentium plures variabiles (250 — 251).

250. Denotet nuuc \mu. functionem f(ac , y, z , v,'...) variabilium independentium ac, 3, 2, v, . . . : factis \Delta x = x, \Delta y = \alpha', Az = z". Aw = z', ... , erit (249. b.) \alpha p.f(ac-+\alpha, y, 23 •

•,..)=p-+A.\mu =\mu +*"*p-\mu =e [1.»

ideoque f(ac -+ \alpha , jr -+- z' , z , v

, ... ) — 2°.

flae + \alpha ,

-

Q\alphaD

a.

J^ • 2 , V • • • • ) =

„« D,

aT**
„ .2o.-*-* °rg, flac +\alpha, y-+-a',

z-Ha",

•, ...) = *"• f * + «, y + z,

z , v, ...) =

e 2D.-+-2'D.-+-\alpha'/D

.-+-z'D,

* \mu . , . . . ; generatim
-

-

Ir
mr

fx-+z, y-+-z', z+2", v-+z",. .,

,2o.*« D,+2"D,+a' »*-,

251. Hinc Ag. = f(ac-+- x , 3^ -+- \alpha', ...) — ftae,Jr,...)= .2p,-+« D,-+... — 1)\mu .,

A*\mu .

-*
f(ae —+-
2a
»
J-H 22',.
-
-
)-

/ -

-

D.
•• •

2f(r-+z, y+z,... )-|- f ,.,,..., — •**"*"**"*"" — 372 Av.-+zp,+ -

,_aD.-+- \alpha'ο,-+-...2

-
+ 1)\mu . = (e
—1}*\mu , A*\mu =

f(x -+- 3a , ... ) — 3f(ac -+- 2z , . . .) -+- 3f(3c-+-\alpha,...) — f(ac,...) _.3(«p.*- •••) _3.2(3p.-+- .••) 4.3.2p.--- — 1)\mu . = -

.ap.+. — 1)*\mu . , . . ; generatim

mr

III

A"\mu . _.p.+ zp,-+«'p.-i- 2"),-+-...

_, )"\rho.

INTEGRALIA FUNCTIONUM QUOAD DIFFERENTIAS FINITAS.

Formula generalis huc spectans (252-253).

252. I., aequatione A"f(x) = f(x), functio f(x) dicitur in tegrale functionis f(x) quoad differentias fínitas, et qui dem ordinis primi si m = 1 , secundi si m = 2, tertii si m = 3 , etc. ; exhibemusque per X"f(a). ' Denotante f(x) ejusmodi functionem, quae praebeat de rivatam m**"*"* = f(ac) , nimirum ff")(ac) = f(x), ideoque F(x) = ff.f(x)dae" = f"'f(ac)dae" ; quoniam (248) A"f = «"f*) -+- A,z*' f***) -}- A,c *** f***) -+- . . . . et conse quenter f = z*x*F*)-|-A,z*'Στψn* j-A „gn**x*f*** -+-...; erit 1

-.\m)

s*f==; J

fda" — A,ôX"f' — A,\alpha*X"f"—...

(b.).

Animadverto quod, attenta (b,), p*A*F(x)= z*F"**-+ A,zm*'F|n**+*) +

• • • •

simulque A*F*)(ac)
-->
„m Ftm*n)
—H

A,«“F"***) -+- ... ; per consequens p'A"*F

-

An Fin}
...
Amp* F

:

373 posito igitur Σ*f = F , seu f= A"F, erit p^f — onAm F. A"D*F = A"D"Σ*f; ideoque Σ*D*f = pn>m£. His animadversis, ex (ô) obtineo 1

,(m-I)

-

Σ°f' —

£*J

fdae"-' — A,& Σ*f"—A,&*»ff//- ...

» Σm f** 4 ==- (m-2) fdacon-2 —A,\alphaΣ"f"— A,&2X "f'"—

• • ••

etc. • • . . ; i? quarum ope eliminatis Σ"f' , X'^f" , ... ex ipsa (b.), emer j. get aequatio habens hanc formam, j! 4

(m)

H,
.(m-1)
H,
(m-2)
H„_

• f=J fi**-*;!; f"ta.---+'.f

agm-*
fi.---++fa.

p.

-

2

--H„f-+ H,„„,«f'-+- H,„ , &*f"-+-...

(b,).

13; Perstant H, , H, , •.. in suis valoribus, utcumque au mitur f; iccirco, si ponitur f = e*, ob fim'fdxm — fim-' faam-

* • • •

ffdae = e*
et f= f'=
f"=...=e*,

4

H

H,
H„.,

erit

rl

X*e*
e
= e*( —
\alpha/m —■— +
— agm-i
i—

:=;

+.+

...+ ...-
QX
-+-H .n*

H,.,«-+H„2*-+-...): atqui formula (248) A*e* = e*(e* —4)* suppeditat e* = (e* —1)*xre* :

ergo

« 374 (.*— *}-*= z++

4

++
H
H
H._
m-t

-ā, + ... + + H, -+- H„«-+- H„, 2*-+-...

(%),

-

.

\alpha?
&3
- -m
4
H,

ceu

(56.

1
) (\alpha-+- -;--- TE3T
-+-...)
=*
7 + &E-T +-...

-+-

II;

-,- H, -H H,„,, & +-... , et consequenter

(1 -+-

j-+

2* —+-...)" =1+-H,\alpha-H H,&* -+-... ;

2.3 m(3m—1)

m*(m—1)

unde H, =—4

, H, =

*';-, H,—— "%...
»

m

15m*—30m*-+-5m-+-2

H— ;-

2.3.4.5.6

•
• • •

Factis v. gr. f = ae* et m = 1 , reducetur integra lium series in T(b,) ad primum dumtaxat termiuum 4

(m)

4
ac*

7T

f

fd**=-; facad.c,
eritque fae*dae=
-§-+Const.;

tam f' — 2ae , f^ — 2 , f"' = f = • • • = 0, H. =-= 4.

4

•

H,

= -

-;-
•
H.+.
=*
H, =-;;-

:

proinde

1 ar3 4

4

Σac2= —

—

— —
ac*
-
C.

• =-;;

2
+-
;«* +

ac

M ac*

4

assequemur

Σ 1 = —–

QX
+C , Σae=
-
2 -
\alpha
- -
_*
;* + C
»

1 arâ

4

4

Σx°=a —--—

— —

ae*
— ^r r?
e
•
•

•-at;

+**+ ;-** + C,

375 quod si , resumpta f = ae* , fiat m = 2, reducetur (m) integralinm series in (b,) ad binos terminos 7;

fdae" =

+ ff.de

et

H,
1
/
(m-1)
fda*-' =
% f.«.
•

&a

an-

ox

eruntque (163) ffae*dae*= j; + Coae -+- C, , fae*dx =* ac*

5

-;-; tum H, =— 1 , H. = H, — -;;- , H., = 4 H, = — —

: hinc

12 1 ac*

4 ar3

5

Σ*.r2=

.X'

—
12 22
-
-
g _
=-+-;-**
— ^r?
+ Cs. ac -+- -
C,
-

333. Adhibita of pro a in (b,), obveniet

«*—4)-—

4 4

H. 4

H„_,
1

—

— —■— —–1.

———■-...
f-i —
°—4-H_.
,&f'

=;=-+-;i, ;ic-+.++++ +H. f-FH.«f'+

H„, &*f* -+-... ; cujus secundum membrum traducetur ad 4

4 ,

4

secundum membrum (b,) si

mutantur

TE , ET • T in f* fdae*, f *-wfdx*-* ... ffdae , item f* in f, nec non f* , f* , ... in f^, f" , . . . . Consequitur integrale 2*f repraesentatum ivi per formulam symbolicam Σ-f- «*—*)-

(b);

si nimirum, evoluto secundo membro (b,) in seriem etc., ex ponentes negativi fanetionis f habeantur pro totidem indici 376 bus integralium f , positivi pro totidem indicibus deriva tarum , insuper f * et f pro synonimis. Vides , si integralia Xf , Σ*f , Σ*f, ... designantur per A-'f, AT*f , A*f, ... , et ffdae, f ffdx* , f fffdae* . . . , per D-*f, o-*f, d*f, . . . , formulam (b,) exhiberi posse per A-*f — (e°—1)-*f.

Varia determinantur integralia absque subsidio formulae generalis (254).

254. Haec subjungimus integralia absque subsidio for mulae (b,). 1.° Quoniam A(bae -+- h)[b(ae -+- 2)-+- h][b(£ -+- 2a)-+- h ] . . . [b(ac -+- mz ) -+- h] = (n + 1)ba[b( ae -- \alpha) -+- h][b(ae -+- 22) -+- h] . . . [b(c -+- m2} + h] , ideo Σ[b(* + 2)+h][}(x +22)+ h]. [σ\alpha +nz)-+-h] = (bae-- h)[b(x-+-x)-+-h][b(x-+-2a)-+h]...[b(ae + mox)-+-h] +C,. (n—-1)ba: 1

- =

2°. Quia A (bae -{- h, [b(x-+\alpha)-+-h]...[b(x-+-n2)-+-h] —

(n-H)bo.

, iccirco (bae -+ h)[b(a-+- a)-+-h]... [b(x--{n -+-1)2)-+- h] M.

• -E ΣΤΕEFFETTERTATTZPER] T

4

1

•_.

•

-
+C,
-

(n-H1)ba " (5x -- h)[b(c-Hz)-+-h]...[b(a-+-nz)-+-h] 3.° Data functione a*(b-+ b'ae -+- b'ae*-+-...), pone a*(b-+- δ'ae + ô"aca + ...) = Aa*(g -+- g'ae + g"ae*-+- ... ) , seu b-H va--&**+-, — a* Ig+g(a-+2) + g'(* + «)*+ -]-s 377 — g'.c — g'x* —... : ad g , g', g", ... determinandas habebis a* (g-+- ag'-+-x*g"+-...) — g=b, a* (g'-+- 22g'-+- 32*g"+-...) — g'= b', ... ; eritque Σa*(ö-Hö'ae--b'ae*-+-... )=a*(g-Hg'x-+-g"ae*-+-...). Sint v. gr. b"= 0, ò"= 0, . . . , ideoque g'= 0 , g"= 0, . . . ; provenient a* (g -+- ag') — g = δ , a* g-g δ'

í* (b —

ob^—ò

= δ'

, unde

g'=
, g-f " - *r*
5
et

Q.

ox.

a

—1

(a —1)*

consequenter cx.

•

r.

xa*®+ ve-a-t-*-* E*-- *— H;c, Q.

Qę

a — 1)*

a

-1

4°. Habemus Al[ac(ae — a)(ac — 22)...(x —(n—4)\alpha)]= ac-+-o.

-

l[7—(7 ETY ] :

propterea

Σ![

ac-+-o:

)
]=![C,x(*—2)(x —22)...(*-(n—i)2)].

ac -(n — 1)\alpha Hinc quoad valorem ac n?!*"* incrementi \alpha erit ar-H(X Σ! ]=l [C,ac(ae — a)(x — 22).. 22:2] ; [—;et facto \alpha = 1 , Σl(x-H) = l [C, ae(ae — 1)(x — 2)...2.1]. 5". Acosae = cos(x + \alpha)—cosx=—2sin4asin(x-+#3) , 378 Acosae unde sin(v -+- 4a) = —

• scribentes prius ae—4a.

2sin#a: loco r, ac dein accipientes integralia, assequimur — * Σsinae = —

eos(r — 42).') • •-- 1

-HC, .

2sin #a.

-f

6". Asinae = sin(ae + a)— sinae = 2singzcos(r-4-42); Asinac hinc cos(x -+-}\alpha)

: scribentes iterum ae—4\alpha loco ae,

2sin£a. tum integralia sumentes, obtinemus sin(ae — 42) Σcosae = 2sin#a. —H C, .

DE QUARUMDAM AEQUATIONUM INTEGRATIONE QUOAD DIFFERENTIAS FINITAS.

Aequationes primi ordinis, earumque usus in variis quaestionibus (255 - 256).

255.

Proponita, integranda aequatio

AJ^ — qy^ = r

(*)

• ub hypothesi q et r functionum unius variabilis ac.

Sumptis novis variabilibus u et v , fac y = e*v ; quem valorem substitue in (i): prodibit .“ v(*"-1-o)+ „u -+- “Av-r. Pone

•*—1—, =a 0,

ideoque „u--Au Aw=r; istarum pri

ma suppeditat Au — l(! -H q) , u = Xl(1 -+- q), et con sequenter secuuda praebebit 379 =Σ

p.

—Σ If— Σ/
!
+7
r_-211--q)

y.

„*/ 1+q-+(-+q.

Al-q)
T^ T-Eq*
-

i,iu, , .**?) x _ * _, -*'**)

©.

1-+-q In hypothesi q constantis, cum habeamus (252) .*+*)-t-*-+* j* _, ,,*,

1

-»l(t-+q.

1+-q

-

— — ' — [.“'*? j->'_

(1-+-g)

1-+-q

1—-q

, vertetur (i) in á- — ■

— ä

3^=(1-+-q)

Σr( -+ q)

(i"). 256. Nonnulla subjicimos , quae usum formularum (i) et (i") ostendent. 1°. Determinare quoties possint inter se permutari ae litterae: quaesitus permutationum numerus de signetur per jr ; et facto a = 1, ut litterarum numerus e vadat ac -+- 1, proveniet \Delta y = x:y ; siquidem ad obtinendas permutationes inter ae + 1 ' litte ras a, b , ... h , k satis est in singulis permutationibus inter ae litteras a , b . . . . h ponere novam litteram k vel primo, vel secundo, vel tertio, . .., vel postremo loco. Erunt itaque q = ae , r = 0; et consequenter (254. 4°.) 380 y=cÃl(!

t*)-c.' [C, ae(ae-1 Xx-2).a.1]_C, ae(ae-1)(ac-2)...2.1.

Ad C, quod pertinet, cum in hypothesi unius litterae u nica obtineatur permutatio, erit igitur C, = 1: recole elem. n°. 94.

1o.

2°. Ex urna, in qua continebantur a globuli albi et b nigri, pone jam esse extractos n — 1 albos et m — ac nigros : globulis haud repositis in urnam, quaeritur pro babilitas extrahendi adhuc n***** album priusquam extra hantur ae nigri. Quaesita eventus probabilitas designetur per f(a); ea vertetur in f ae — 1), si in prima subsequentium extractionnm sese exhibeat globulus niger: ad haec ; eventui favent a — (n — 1) casus, adversantur b — (m — ae) ; qui tamen b — (m — ac) contrarii casus adducunt probabilita tem f(ac — 1): igitur (elem. 171. 1°. 3°. 4°)

-

-

a-(n—1) ' '

-
b—(m—ae)

f(ac

f(ae-1).

[a-(n- 1}]-i-[b-(m-ae ] ' [a-(n—1)]-+-{b-(m-ac)] Substitue ae +-1 loco ae, et compendii causa fac a—(n—1)=g, b — m = g', 8. + &'

-

g" 5 habebis

§.

—H g' -+- ae + 1ftae

-H
1)=
f(x).

g"-Hae +1

g" -+- ae + 1

Sume \Delta x = \alpha = 1, f(x) = y; erit f(ac -4- 1)=y-+-\Delta y: hinc .§

3=

3

\Delta y-+ g'-+- ac -+- 3 °' g'-+- a -+- 1 cujus integrale obtinetur ex (j'), positis q=————*——

• /*

————*—
-

g"-+ ae + 1

g" + ;r -+-1

381 3°. Polygonum GHI... (fig. 8) se se revolvit circa polum A ; anguli HAG (= a), IAH, KAI . . . . assumuntur aequa les, itemque anguli AGH (=6) . AHI, AIK, •..; polygoni vertices G , H . . . . O, M, . . . designantur numeris 1,2,3,..., ac , ae + i , ... : vides radium vectorem AO (= F) fore functionem respondentis numeri ae. Quibus positis , veniat determinandus F per ac. AO

simAMO

Triangulum OAM praebet ZANT* TEAONT • **". f(x)

sim(τ—a—b)

sin(a -+-b)
-

F(ae-H1)

—!

sinb
-s
simb
•
-
inde, ob f(ac-{-1)
1

= F(x) -+- Af(x). Ar®-(-;+b)

f^^\—

—*—
-
1)F(ac) = 0

:

erunt nem

-

sinb

nempe y = f , q =

sin(a-+-6)

4

= 0, \alpha

, r= U, 1 apud (i"); per consequens sinb \._, F=(C

sin(a-+-b) )

-

Arbitrariam C determinabis accipiendo ae = 1: sic eam ob tinebis aequalem radio vectori AG pertingenti ad polygo ni verticem designatum per 1. 4°. Angulus GAO dicatur » : quoniam (3°) Ao = a , erit (252) \omega = ax 1 = a(ac -+- C) : numero ae = 1 respon det @ = 0; igitur C = — 1 , et (o = a(ae — 1). Hinc coordinatae orthogonales AB( = z) et BO(= y ) verticis O , expressae per ae , scilicet 382 r = f cosa(ae — 1) , y = f sina(ae — 1) ; ex quibus eliminata ae, emerget aequatio ad curvam transeun tem per omnes polygoni vertices: porro z* -+- y* = F*, si ^y^

-

-

mulque -

= tang«» = tanga(ae — 1); istarum prima, facto

2. sinb coinpendii causa

Tn(a-F55

= k , suppeditat z* -+-3* =

— l

z* -+-y* ,•2

Í

C C*k**-* , ideoque ae — 1 =

secunda prae

l\k) M.

1^

bet ae — 1 = —

arc(tang= 1—):

quare

\alpha

Z

1. / 4*#-

) = are(tang =
%) ;

aequatio (82. 3°.) ad spiralem logarithmicam. sinb 5°. Si b = 180° —- a—b , erit k =

= f ,

sin(a-+-b) polygonumque exsistet regulare: aequatio ad curvam transeun tem per vertices polygoni scribi potest in hunc modum , a!(

V^a*

â– 2
) = l{k).arc{tang =
--- ^•
;
et facto k = 1 ,

Z ea evadet

1,41 /r.2

;il) -.
= 0; unde 1/ z
2
-+ y*
2
=1 , aequa

tio ad circulum etc.

Aequationes prinum ordinem excedentes (257 - 258).

257. Si datur aequatio secundi ordinis

--- ...

383 A*y -+- a,\Delta y -+- a,y =f(x) ad coefficientes constantes a, et a,, itidem procedemus ut (206); designantibus nempe r, r^ radices aequationis R* -+- a,a -+-a, = 0. traducetur integratio ad integrationem binarum pri mi ordinis aequationum \Delta y'

-_

r'y' = f(x) 9
\Delta y —
ry
= y':

etenim eliminantes y' assequimur A(\Delta y — rr)- r'\Delta y-ry)= f(x), seu A*y — (r -+- r')\Delta y + rrjr = f(x); quae, ob r-Hr'= — a, et rr* = aa , recidit in datam. Quocirca integratio da tae aequationis expedietur (255. i") per -r

•

-r
•r

.z T' . , .T?

-i

-:

y'=(1 -+- r')

Σ(1-+-r')

f(r), y=(1+r)
Σ(1-+-r)
y'.

Item si datur aequatio tertii ordinis A*y -+- a,A*y -+- a,\Delta y -+ a, r = fta) ad coefficientes constantes a, , aa , a, ; designantibus r. r'. r" radices aequationis h*-+- a,R*-+- a,R + a, = 0, traducetur integratio ad integrationem trium primi ordinis aequationum a. \Delta y'—r"y'=f(x), \Delta y'—rj/'=*y", , \Delta y—ry = y' : eliminatis enim j^' et 3", proveniet A*y —(r-+-r'-+-r")A*y-+- (rr'-+- rr" -+- r'r)\Delta y — rr'r'y = f(x) ; quae, ob r-+r/-+r" = — a, . rr' -+- rr"-H r'r" = a, , rr'r" = — a, , recidit in datam. Quare ' absolvetur (255. i') integratio per 384 •

-r

- - I y'—(1+r')*

x(* +r') * f(x),y —

- - - I(1-4-r') Q. Σ(1 -+- r') -r

cr

0.

χ", y=(1-+-r)

cx

Σ(1 -+- r) •

• 3'.

atque ita porro quoad consimiles quarti, quinti,... ordinis ae quationes. 258. Sub hypothesi aequationis R*-+-a,a-{- a, =0 prae bentis r' = r, erit -*-—2

—-

o.

Q«

y=(1-+r)

ΣΣ(1-}-r)

f(x):

sub hypothesi aequationis R*-+- a, h* -+- a,R -+- a, = 0 prae bentis r" = r', -*-2

sor

*—1
i

y—(1+P)* xx(*-++) "^*), y=*+r)* » *-+r) " y; quod si eadem n'+ etc. — 0 praebeat r"= r' = r, erit -—3

——–

y = (* +r)*

xxx(* + r) * f(x);

et sic deinceps.

Applicatio ad series recurrentes (259 - 260).

259. Series t, , t, , ... dicitur recurrens, si quilibet e jus terminus determinatur per aliquot ex antecedentibus du ctis in datas constantes A, , A, ,... A generalis nimirum m

terminus t, sic habebit

-

t. = A,t.-i

+ 'Azt. -2 —+-

-
—+- Am!x-m
(g);

finis * =]|* |;!* his ir „initim 385 seriesque erit primi ordinis (progressio videlicet geometrica ) si m = 1, secundi si m = 2, etc. Exhibito t, per f(x), exhibebitur (g) per f(ac) = A,f(x — 4)-+- A.f(x — 2)-+-...-+- A,„f(x — m); et adhibito ac -+- m pro ae,

-

ftar -+- m) = A,f(x -+- m — 1) -+- A.ftae -+- m — 2)-+- . . . -+- A„.,f(ac-+- 1) -+- A,„f(x)

(g') :

quae aequatio, cum sint f(x -+-1)= f(x) -+- Af(x), fae-H2)= fa- + *)+ Af(. +) = f(x)+2A^x)-+ A'f(x), f(x+3)= ftae + 2)-+- Af(a -+-2) = fta)+3Af(x)-+-3A*f(*)+A'f(x),..., induet hanc formam, A"f(x)-+-a,A"-'f(x)-+- a,A"-*f(a) -+-... + a„-,Af(x) + a.fta)= 0, seu A"t, + a,A"-'t, +- a „A*~*t,-+-...-+-a,„_,At,-+-a,t,=0 (g"). Consequitur investigationem termini generalis t, traduci ad integrationem aequationis (g') sub hypothesi \Delta x = \alpha = 1. 260. Quoad m = 2 , aequatio (g') fit f(ac-\-2) = A, flae + 1) + A,f(x): substitutis valoribus f(x -+- 2) , f(ae -+- 1), collectisque terminis omnibus in primum membrum, A*f(x)-+- (2 — A,)Af(x) -+- (1 — A, — A,)f(x) = 0 , seu (g") A*t. -+(2—A,)At. -+- (1—A,—A,)t,.=0; nimirum a, = 2 — A, , a, = 1 — A, — A, . 25 386 Quoad m = 3 , aequatio (g') evadit f(ae -+- 3)=A,f(x-\- 2)-|- a,f(x-+-4)-+- a,f(x); substitutis valoribus f(ac-+-3), ftae--2), f(ac-\- 4), collectisque terminis omnibus in primum mem brum , A'f(ac) -+- (3—A,)A*f(x) -+- (3 — 2A, — A.)Af(x) -+- (1 — », — A, — A,)f(x) = 0, seu (g") A*t.+(3—A,)A*t.+-(3—2A,—A,)At,-+-(1—A,—A.—A,)t.=0; nimirum a, = 3 — A, , a, =3 — 2A,— A, , a, = 1 — A,— A, — A, : atque ita porro quoad m = 4, = 5, ... Exempla. 4o. Datur series recurrens 0, 1 , 4 , 12, 32, 80,-.., ubi m — 3, A, = 4, A, = — 4; proinde a, = —2, a2=1. et A*t. — 2At. -+- t. == 0. 'A Aequatio R* — 2R -4— 1=0 praebet r' = r =1 ; igitur (258) t. = C;2*-* X1 = C,2*-*(ac + C,): indici ae = 1 respondet t,=0, et indici x=2 respondet t,=1; hinc 0= C,2T'(! + C.) , et 1 — C, 2°(2 + C,). Quare C, = —1, C, = 1 ; terminus que

generalis

t. = 2*-*(ac — 1). 2°. Datur quoque series recurrens 0 , 0, 1 , 1 , T • 5

21

21
•
4

T • T5 •

i;

, ..., ubi
m = 3,
A, =1, 4. =-;-
»

-

-

3

», =—-; ; ideoque a, = 2, aa ==

-;-,

a, = 0,
et

-

387

3 A*t, + 2A*t, + 7- At, =

0.

3

•

-

Aequatio R* -+- 2R*

+-; R

= 0 suppeditat r = 0 , r' =

1

.,

3

—-;- , r" = — -5- ; quocirca (257 : 254. 3°) t, = 4

M.

—C,(—-;)*+ C, (-j-)* + C, * habes t, = 0, t,-=0 , t, = 1 , atque inde C, = -5

4

• Ca i-.
= — 4, c,=-;
•

Terminùs igitur generalis erit 4

4

4 .
1

t. •

= —

3 — 4(-tr-)*
( 2
—— —–
3 (— —
2 )*.

Aequationes ad partiales differentias (261-262).

261. Proponitur aequatio primi ordinis A.z — bA,2 = ftae , y)

(q),

ubi b est constans: sume z = \varphi(ae , y) ; habebis \varphi(ae-Hoz, y) = \varphi(r, J) -+- A.!/(ae , 3) , quam symbolice poteris sic exhibere , \varphi(x-+-a, J) =(1-+-A.)}(ae. y) ; item \varphi(ae + 2x, y) = %(ae -+- \alpha , y) -+- A.!)(x -+- x, y) = \varphi(ae , y) -+- A.!/(ae , 3) -}-

A.%(ae ,J^) -+- A*.!/(ac , y) = (1 -+- A.)*\varphi(ae, 3) • •

• • 3

generatim £(« + na, y) = (* + A.y/(*, »

(3).

388 1 quia insuper (elem. 85) 1 — (

1. £-y-tt* 1-+-bA,

TAT -

1-HbA, „_,

1—4-bA

(

É. )*-+-.. . +GÉ

y"][ 1 — £; 1, seu

(1 -+- A,)" —(1 -+- bA,)"=[(1+A.)"-'-+- (1+-A.)*-*(1-+-bA,) -+- (1

+A.)-( + bA,)* -+- ... + (1-H bA,y"][A.—bA,] 5

iccirco, ob (q) , (q'), \varphi(ae +- mz, y)= (1 -+- bA,)"}(ae , y) -+- (* + A.* + 6 + A.** + bA) + ... + ( + bA,Y'-']ftae, y): aequatio ista, ob (q'), convertitur in }(x-+na,y) = (1 + bA,)*}(ae , y) -+- f[ae + (n — 1 )\alpha, y]-+ (1 -+- bA,Y[ae + (n — 2)a , y]-*- (1+bA,)*f[ae+-(n—3}\alpha, y]-+-... -+- (1 -+- bA,)*T'/(ae , y) , unde V(x. +na,3)=(!--bA,'?(r)+ fi.-*• — 1)\alpha, y] + (1+bA,)f[x,-+-(n—2)2, 3r]+- (1 -+- bA,)*f[ae, + (n—3)z , y]-H...-+-(1+bA,)"-'ftae, , y)

(q");

denotat \varphi(χ) valorem illum functionis \varphi(ae. y), qui respondet pe culiari valori ae, quantitatis variabilis ac, nimirnm p(y)=%(ae., jr). Ubi ergo spectatur \varphi(y) ut data , poterit per (q") deter minari valor incognitae z = \varphi(ae, y) respondens valori x= JÇo

+ 710X.

389 262. Si proponitur aequatio secundi ordinis A,*z + a, A,A,z -+- aa A,*z == ftae , y) ad coefficientes constantes a, , a,; designantibus r , r' ra dices aequationis R* -+- a, R + a, = 0, traducetur integratio ad integrationem binarum primi ordinis aequationum ad par tiales differentias, A,z' — r'A,z'= f(ae , y), A.z — rA,z = z'; etenim eliminantes z' assequimur A.*z — (r -+- r')A,A,z -+- rr'A,*z = f(ac , y): qnae, ob r -+- r' = — a, et rr' = a, , recidit in propositam aequationem. Item si proponitur aequatio tertii ordinis LIII; A.*2-+a,A,*A,z-Ha,A,A,*z-+a,A,*z =f(x,J^); denotantibus r, r', r' radices aequationis R* -+- a,R* -+- a,B -+ a, = 0, traducetur integratio ad integrationem trium primi or dinis aequationum ad partiales differentias, A.z'—r“A,z'=f(ae, y) , A.z'—r'A,z'=z", A.z-rA,z=z' ; siquidem, eliminatis z', z", prodit A*.z—(r--r'-+-r")A,*A,z-+- (rr'-}- rr* -+- r'r^)A,A,*z — rr'rA,* = ftae , y) : quae, ob r -+-r'-+- r = — a, . rr^ -+- rr* -+- r'r" = a, , rr'r"=—a, , recidit in propositam aequationem ; atque ita porro quoad consimiles quarti, quinti , ... ordinis aequationes ad partiales differentias. FINIS.
—__—IX X e-_- IMPRIMATUR Fr. Angelus Modena O. P. S. P. A. Socius IMPRIMATUR Jos. Canali Archiep. Colossensis Vicesgerens <'a- ravz?a -

-

-
-

.* - - - /'- Prezzo del presenté Volume Baj. 80. . ^ </

|- Oberd.