Roman numeral 10000 CC DD.svg

Systema aequationum linearium

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Systema duarum aequationum, x - y = -1 et 3x + y = 9, quarum solutio est x = 2, y = 3. Linea quae aequationes repraesentant in puncto (2,3) intersectunt.

Systema aequationum linearium est duae aut plures aequationum linearium quarum variabiles idem sunt. Debemus resolvere has aequationes: hoc est, quantitates invenire, quae omnes aequationes satisfacerent. Pars rei mathematicae quae de talibus systematis tractat est algebra linearis.

Exempli gratia, ponamus has aequationes:

2x + 3y = 5
3x + 4y = 7

Facile est videre numeros x = 1, y = 1 aequationes satisfacere.

Si systema continet plures variabiles quam aequationes, aut habet numerum infinitum solutionum, aut nullam solutionem habet.[1] Systema, quod tot variables habet quot aequationes, habet aut numerum infinitum solutionem, aut nullam solutionem, aut unam modo.[2]

Sint aequationes

{a_{1,1}}{x_1} + {a_{1,2}}{x_2} + ... + {a_{1,n}}{x_n} = b_1
...
{a_{m,1}}{x_1} + {a_{m,2}}{x_2} + ... + {a_{m,n}}{x_n} = b_m

Deinde possumus matricem facere A:


\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\
... \\
a_{m,1} & a_{m,2} & ... & a_{m,n}
\end{pmatrix}

et vectores X = (x_1, x_2, ... x_n) et B = (b_1, b_2, ..., b_m).[3] Possumus ergo breviter scribere AX = B. Si m = n, solutio systematis aequationum est:

X = A^{-1}B

ubi A^{-1} significat matricem inversam matricis A.[4] Si illa matrix inversa non exstat, systema aequationum habet vel nullam solutionem, vel numerum infinitum solutionum. Matrix inversa A^{-1} est illa matrix quae satisfacit regulam A \times A^{-1} = I. I est matrix idemfactor, quae 1 habet in diagonale principali, 0 in omnibus aliis cellulis:


\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & ...\\
0 & 1 & 0 & ...\\
0 & 0 & 1 & ...\\
...
\end{pmatrix}

Lex Crameri dicit solutionem systematis (si exstat) esse

x_{i,j} = (A_{1,j}b_1 + A_{2,j}b_2 + ... + A_{n,j}b_n) / |A|

ubi A_{i,j} est cofactor elementi a_{i,j} et |A| est determinans matricis A.[5]

Solutio invenitur etiam algorithmo illius Gauss per eliminationem.

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Anton, p. 20
  2. Anton, p. 32
  3. vide Birkhoff et MacLane p. 189-193
  4. Anton, p. 47
  5. Birkhoff et MacLane, p. 286

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

  • Howard Anton, Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, 1977.
  • Garrett Birkhoff, Saunders MacLane, A Survey of Modern Algebra. Editio tertia, New York: Macmillan, 1965,
  • Nicolas Bourbaki, Algèbre, chapitres 1 à 3 Éléments de mathematique. Berlin:

Springer Verlag, 2007.