Systema aequationum linearium

Systema duarum aequationum, x - y = -1 et 3x + y = 9, quarum solutio est x = 2, y = 3. Linea quae aequationes repraesentant in puncto (2,3) intersectunt.

Systema aequationum linearium est duae aut plures aequationum linearium quarum variabiles idem sunt. Debemus resolvere has aequationes: hoc est, quantitates invenire, quae omnes aequationes satisfacerent. Pars rei mathematicae quae de talibus systematis tractat est algebra linearis.

Exempli gratia, ponamus has equationes:

$2x + 3y = 5$

$3x + 4y = 7$

Facile est videre numeros $x = 1, y = 1$ aequationes satisfacere.

Si systema continet plures variabiles quam aequationes, aut habet numerum infinitum solutionum, aut nullam solutionem habet. Systema, quod tot variables habet quot aequationes, habet aut numerum infinitum solutionem, aut nullam solutionem, aut unam modo.

Sint aequationes

${a_{1,1}}{x_1} + {a_{1,2}}{x_2} + ... + {a_{1,n}}{x_n} = b_1$

...

${a_{m,1}}{x_1} + {a_{m,2}}{x_2} + ... + {a_{m,n}}{x_n} = b_m$

Deinde possumus matricem facere A:

$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ ... \\ a_{m,1} & a_{m,2} & ... & a_{m,n} \end{pmatrix}$

et vectores X = $(x_1, x_2, ... x_n)$ et B = $(b_1, b_2, ..., b_m)$. Possumus ergo breviter scribere AX = B. Si m = n, solutio systematis aequationum est:

$X = A^{-1}B$

ubi $A^{-1}$ significat matricem inversam matricis A. Si illa matrix inversa non exstat, systema aequationum habet vel nullam solutionem, vel numerum infinitum solutionum. Matrix inversa $A^{-1}$ est illa matrix quae satisfacit regulam $A \times A^{-1} = I$. I est matrix idemfactor, quae 1 habet in diagonale principali, 0 in omnibus aliis cellulis:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ...\\ 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 1 & ...\\ ... \end{pmatrix}$

Lex Crameri dicit solutionem systematis (si exstat) esse

$x_{i,j} = (A_{1,j}b_1 + A_{2,j}b_2 + ... + A_{n,j}b_n) / |A|$

ubi $A_{i,j}$ est cofactor elementi $a_{i,j}$ et $|A|$ est determinans matricis A.

Solutio invenitur etiam algorithmo illius Gauss per eliminationem.

Bibliographia

• Howard Anton, Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, 1977.
• Garrett Birkhoff, Saunders MacLane, A Survey of Modern Algebra. Editio tertia, New York: Macmillan, 1965,
• Nicolas Bourbaki, Algèbre, chapitres 1 à 3 Éléments de mathematique. Berlin:

Springer Verlag, 2007.