Leges motus quanticae

Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni 1927 super electronibus photonibusque.

Leges motus quanticae sunt leges fundamentales seu axiomata quae coniunctim vectorem quanticum definiunt describendo quomodo hic vector surgit et mutat ob vires externas impressas. Inter leges quanticas principales sunt tres: lex superpositionis, lex Born, et lex Schrödinger.

Lex superpositionis

Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.

Lex superpositionis vectorem quanticum, rem principalem theoriae quanticae, definit. Omni actioni "A" possibili particulae adamussim uno vectore quantico $|\psi_A\rangle$ conexo, lex superpositionis abstractiter definit vectorem quanticum generalem

$|\psi\rangle =\sum_{A} a(A) |\psi_{A} \rangle$

ubi summa est super omnes possibiles eventus vel actiones experimentales "A" disiiunctas et ubi $a(A)$ sunt parametra numerica quique vectori quantico $|\psi\rangle$ specialia.

Lex Born

Lex Born describit quomodo vector quanticus $|\psi\rangle$ actionem particulae definit cum ipsa quoddam dimensionis instructum offendit. Lex probabilitatem $P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right)$ dat ut post interactionem particularis vector $|\psi_B\rangle$ eveniat. Lex ascripta est

$P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right)=\left| \langle \psi_B| \psi\rangle \right|^2$

ubi $\langle \psi_B |\psi\rangle$ est productum interius inter vectorem finalem $| \psi_B \rangle$ et vectorem initialem $| \psi\rangle$.

Lex Schrodinger

Ervinus Schrödinger qui lex Schrodinger mechanicamque undulatoriam statuit.

Instructu dimensionis absente lex Schrodinger describit quomodo vector quanticus $|\psi(t)\rangle$ per tempus mutat ob externas vires impressas. In notatione bra-ket Diracis, lex Schrodinger ascripta est

$\mathrm{i}\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \hat H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle$

ubi $\mathrm{i}$ est quantitas imaginaria, $t$ tempus, $\frac{d}{dt}$ derivativum respectu $t$, $\hbar$ constans Planckiana $2 \pi$ divisa, $|\psi(t)\rangle$ vector quanticus, et $\hat H(t)$ operator Hamiltonianus. Forma vectoris quantici operatorisque Hamiltoniani contextu determinatur.

Formae operatoris Hamiltoniani

Generaliter obtinemus forma operatoris Hamiltoniani quantici ex forma functionis Hamiltoniani classicaesubstituendo pro motu $\vec \mathbf p$ et positione $\vec \mathbf x$ operatores

$\hat \vec \mathbf p = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle ~\frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial \vec x}~ \langle \vec x|$

et

$\hat \vec \mathbf x = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle ~\vec \mathbf x ~\langle \vec x|$

ubi $|\vec x \rangle$ est vector quanticus particulae cuius positio definite est $\vec \mathbf x$.

Circumstantia non-relativistica

In atomis levibus effecti relativistici generaliter neglegendi sunt quia velocitates electronium sunt minor quam decum velocitatis luminis. In hac circumstantia Hamiltonianus non-relativisticus obtinetur (pro una particula):

${\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle \left\lbrace \frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \vec{x}} - e \vec \mathbf A \right) ^{2}\Psi (\vec{x},t) + U (\vec{x}) \right\rbrace \langle \vec{x}|$

ubi unitatibus MKSA $\vec \mathbf A$ est potentiale magneticum vectorale et $U$ est energia potentialis particulae. Casu bosonis turbinis 0, $U$ est simpliciter

Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob turbinem electronis quantificandam.

$U (\vec{x}) = -e\varphi$

ubi $\varphi$ est potentiale electricum particulae. Casu electronis quae fermion turbinis ½ est, habemus

$U (\vec{x}) = -e\varphi - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \hat{\sigma_j} B_j(\mathbf{x})$

ubi $\vec \mathbf B = \nabla \times \vec \mathbf A$ est campus magneticus et matrices $\hat{\sigma_j}$ Pauli, quae particulae turbinis ½ correspondent, sunt

$\hat{\sigma_1} = \hat{\sigma_x} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\hat{\sigma_2} = \hat{\sigma_y} = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\hat{\sigma_3} = \hat{\sigma_z} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$.

Circumstantia quasi-relativistica Fermionium

In atomis gravibus et in generale, operator Hamiltonianus relativisticus a Paulo Dirac derivatus describit particulas elementarias fermionicas sicut electrones:

${\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle \left \lbrace \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[\frac {\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e\varphi(\mathbf{x}, t) \right \rbrace \langle \vec{x}|$

Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.

ubi unitatibus MKSA $\vec \mathbf A$ est potentiale magneticum vectorale, $\varphi$ potentiale electricum, et operatores $\alpha_\mu$ sunt qui satisfaciunt regulas anticommutativas:

$\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = \alpha_\mu \alpha_\nu + \alpha_\nu \alpha_\mu =2\delta_{\mu \nu} \cdot I \,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3$.

Non possumus has regulas satisfacere si $\alpha$ sunt numeri simplices, sed possumus si $\alpha$ sunt matrices 4×4 modi vel n×n cum $n \ge 4$. Electio accomoda harum $\alpha$ est:

$\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$

$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},$

quas appellamus Diraci matrices. Hic formalismus asciscit nos unam solam particulam describere, quod autem verum est solum quando $v \lesssim 0.9 c$. Proprior lucis velocitate, ubi non est possibile solam unam particulam habere, formalismus theoriae camporum quanticae est necessarius.

Pictura theoriae quanticae

• Pictura Schrodinger
• Pictura Heisenberg
• Pictura Dirac

Fontes

• P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930, ISBN 0-19-852011-5.

• David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-124405-1.

• Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, 1985. ISBN 978-0-691-02417-2 —Liber celeber de physica quantica campoque quantico, pro peritis novitiisque.

• Berard De Philosophia Quantali et Institutione Publica, ISBN 2-87290-022-5 libri apud users.skynet.be Hoc libro, per Fundationem Melissae divulgato, Stephanus Berard, apud users.skynet.be