Magnitudo absoluta

Magnitudo absoluta cuiusdam numeri $x$, $|x|$, ipsa numerus est. Terminus magnitudinis absolutae initio tantum numeris realibus, sed postea etiam numeris complexis definitus est.

Magnitudo absoluta numerorum realium

Definitio

Si x numerum realem designat, eius magnitudo absoluta ita definitur:

Si $x \in \mathbb{R}_{0}^+$, $|x| = x$.

Si $x \in \mathbb{R}^-$, $|x| = -x$.

Magnitudo absoluta igitur numquam negativa est.

Functio magnitudinis absolutae

Haec functio est $f(x) = |x|$. Omnibus numeris realibus magnitudinem absolutam eorum attribuit. Ei sunt has proprietates:

1.) Per definitionem (magnitudinis absolutae) valet: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{0}^+$

2.) Stricte monotone descendit in $\mathbb{R}^-$ ascenditque stricte monotone in $\mathbb{R}^+$.

3.) Non omnibus locis derivari potest: Si $x < 0$, $(|x|)' = -1$; si $x > 0$, $(|x|)' = +1$. Loco $x_{0} = 0$ derivatio huius functionis non est.

4.) Integralis eius continet omnes functiones F, quibus valet $F(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^2 + c; c \in \mathbb{R}$, si $x < 0$, atque $F(x) = +\frac{1}{2} \cdot x^2 + c$, si $x \ge 0$ (nota bene: necesse est c aequalis valoris duabus "partibus" functionis esse; nisi est, F loco 0 derivari non potest, quia tum ibi saltum, locum discontinuitatis, habet).

5.) Unum zerum habet, id est $P(0|0)$. Hoc punctum etiam solum extremum (minimum) eius est.

6.) Ei nulla puncta inflexionis sunt.

Magnitudo absoluta numerorum complexorum

His numeris creatis etiam eorum magnitudo absoluta definita est. Hanc ad definitionem intellegendam, primum necesse est scire omnes tales numeros vectoribus describi posse: iis vectoribus, qui habent abscissam partem realem numeri complexi atque ordinatam partem imaginariam eius. Magnitudo absoluta eo modo definitur, ut sit longitudo vectoris numerum repraesentantis. Ergo:

$|a + b \cdot i| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Haec definitio etiam eam numerorum realium includit, nam si $b = 0$ formula dat $|a| = \sqrt{a^2}$ hocque magnitudinem absolutam numeri realis aequat.