Magnitudo absoluta

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Magnitudo absoluta[1] cuiusdam numeri  x ,  |x| , ipsa numerus est. Terminus magnitudinis absolutae initio tantum numeris realibus, sed postea etiam numeris complexis definitus est.

Magnitudo absoluta numerorum realium[recensere | fontem recensere]

Definitio[recensere | fontem recensere]

Si x numerum realem designat, eius magnitudo absoluta ita definitur:

Si  x \in \mathbb{R}_{0}^+ ,  |x| = x .

Si  x \in \mathbb{R}^- ,  |x| = -x .

Magnitudo absoluta igitur numquam negativa est.

Functio magnitudinis absolutae[recensere | fontem recensere]

Haec functio est  f(x) = |x| . Omnibus numeris realibus magnitudinem absolutam eorum attribuit. Ei sunt has proprietates:

1.) Per definitionem (magnitudinis absolutae) valet:  f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{0}^+

2.) Stricte monotone descendit in  \mathbb{R}^- ascenditque stricte monotone in  \mathbb{R}^+ .

3.) Non omnibus locis derivari potest: Si  x < 0 ,  (|x|)' = -1 ; si  x > 0 ,  (|x|)' = +1 . Loco  x_{0} = 0 derivatio huius functionis non est.

4.) Integralis eius continet omnes functiones F, quibus valet  F(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^2 + c; c \in \mathbb{R} , si  x < 0 , atque  F(x) = +\frac{1}{2} \cdot x^2 + c , si  x \ge 0 (nota bene: necesse est c aequalis valoris duabus "partibus" functionis esse; nisi est, F loco 0 derivari non potest, quia tum ibi saltum, locum discontinuitatis, habet).

5.) Unum zerum habet, id est  P(0|0) . Hoc punctum etiam solum extremum (minimum) eius est.

6.) Ei nulla puncta inflexionis sunt.

Magnitudo absoluta numerorum complexorum[recensere | fontem recensere]

His numeris creatis etiam eorum magnitudo absoluta definita est. Hanc ad definitionem intellegendam, primum necesse est scire omnes tales numeros vectoribus describi posse: iis vectoribus, qui habent abscissam partem realem numeri complexi atque ordinatam partem imaginariam eius. Magnitudo absoluta eo modo definitur, ut sit longitudo vectoris numerum repraesentantis. Ergo:

 |a + b \cdot i| = \sqrt{a^2 + b^2}

Haec definitio etiam eam numerorum realium includit, nam si  b = 0 formula dat  |a| = \sqrt{a^2} hocque magnitudinem absolutam numeri realis aequat.

  1. Warning icon.svg Fons nominis Latini desideratus (addito fonte, hanc formulam remove)