Roman numeral 10000 CC DD.svg
Latinitas nondum censa

Vector (mathematica)

E Vicipaedia
(Redirectum de Vector)
Jump to navigation Jump to search
Vector a = (ax, ay, az). Est etiam combinatio linearis vectorum i, j, k qui basim spatii explicant: a = ax i + ay j + azk)

Vector (-oris, m) appellatur collectio in dimensiones redacta quae elementa continet. In geometria Euclideana vectores aequant structuras magnitudinem et directionem habentes, quae velut punctum quoddam in aliud vehuntur, de quo verbo etiam nomen "vector" ducitur. Vectores igitur saepe notis sagittiformibus describuntur, quia sagittae quoque directionem ac longitudinem habent. Vectores latissime variis in disciplinis adhibentur, imprimis in artibus mathematicis et in physicis, necnon in aliis sicut oeconomicis, chemicis, informaticis, ceterisque.[1]

Fundamenta mathematica[recensere | fontem recensere]

Gravitas vectorum[recensere | fontem recensere]

Problema[recensere | fontem recensere]

Trianguli ABC et XYZ

Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum . Ad multa problemata geometriae solvenda figurae geometricae in systemate coordinatorum collocantur.

Exempli gratia, trianguli ABC (, , ) altitudo puncti C, , sine ulla computatione cognoscitur: .

At multa problemata eius modi sine vectoribus non tam simpliciter solvuntur. Exempli gratia: si altitudo puncti Z trianguli XYZ (, , ) computanda est, hoc sine vectoribus vix peragi potest. Nam problema poscit, ut punctum P in directione per X et Y situm ita quaeratur, ut directio per Z et P cum angulum rectum circumcludat. Sed nullis vectoribus adhibitis nihil nisi aequationes functionum directionum et graphia habitantes computari possunt ac per computationem generalem punctum P, quod directionem quaesitam dat, reperiri potest.

Haec autem quaestio usu vectorum multo facilius peragitur. Quae quaestio simul unum ex iis exemplis praebet quae introductionem usumque vectorum laudant. Est etiam categoria geometriae quae tota in usu vectorum versatur: geometria analytica.

Definitio exacta[recensere | fontem recensere]

Vector exacte definitur, ut sit copia omnium sagittarum (superficiei planae aut spatii) parallelarum, quibus eadem longitudo directioque sunt. Plerumque vector uno elemento suae sagittarum copiae datur quod sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.

Vector ergo non solam sagittam, sed copiam infinitam sagittarum designat. Saepe autem duo vocabula permiscentur: repraesentans vectoris pro ipso vectore habetur. Vectoris repraesentans (= sagitta) et ipse vector ita inter se differunt, ut sagittae suos quosque locos certos obtineant, cum vectores omnes locos suarum sagittarum (globaliter) designent.

Coordinata vectorum[recensere | fontem recensere]

In mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est), aut pluribus (si spatium plures dimensiones habet): iis quae capienda sunt, si via a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, ei sagittae quae a puncto ad fert coordinata sunt . Haec quoque coordinata eius vectoris sunt quem haec sagitta repraesentat.

Vectores et puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine ad hoc punctum patentem habet et vector positionis puncti nominatur.

Puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae semper hac formula computari possunt:

(regula "hasta de apice subtrahenda est").

Operationes vectorum[recensere | fontem recensere]

Regula "hasta de apice subtrahenda est" iam quandam operationem vectorum, id est subtractionem, continet, sed talis operatio primo definienda est. Cum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita sit, operationes ad multa problemata solvenda usurpari possunt.

Additio vectorum[recensere | fontem recensere]

Additio duorum vectorum tertium vectorem dat atque ita definitur: Hasta sagittae repraesentantis cuiusdam vectoris summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab ima hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) perducit, repraesentans summae duorum vectorum est.

In genere summa vectorum ac computari potest hac formula:

Subtractio vectorum[recensere | fontem recensere]

Subtractio per additionem definiri potest: Subtractio additionem vectoris (vectoris adversi vectoris ) ad vectorem significat. Ergo differentia duorum vectorum est:

Multiplicatio scalaris vectorum[recensere | fontem recensere]

Vectoribus duae species multiplicationis sunt: multiplicatio scalaris (vel productum interius) atque multiplicatio transversa (vel multiplicatio in forma crucis).

Scalaris multiplicatio duorum vectorum sic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris in repraesentantem vectoris computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans habet, aut signo negativo (-), si proiectio directionis diversae est, ornatur. Hic numerus productum scalare vectorum et nominatur. Computari potest etiam formula:

= .

Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalare eorum 0 est.

Multiplicatio transversa vectorum[recensere | fontem recensere]

Altera multiplicatio vectorum multiplicatio tranversa nominatur (vel multiplicatio "in forma crucis"). Quae tantum vectoribus spatialibus definitur.

Quod ad operationes iam dictas pertinet (id est, additio, subtractio, multiplicatio scalaris duorum vectorum), eae pariter cum vectoribus spatialibus definitae sunt. Exempli gratia additio duorum vectorum spatialium ita fit:

.

Multiplicatio transversa vectorum spatialium productum dat vectorem tertium, cui haec proprietates sunt:

1.) Repraesentans vectoris et cum repraesentante vectoris et cum repraesentante angulum rectum circumcludit.

2.) Longitudo repraesentantis producti transversi aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum tenditur.

3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus hac regula reperiri potest: Vectores , et easdem directiones habent atque primus, secundus, tertius digitus manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu tenduntur ("regula manus dexterae").

Productum transversum ita computatur:

.

Aliquae problemata, quae vectoribus solvi possunt[recensere | fontem recensere]

Quomodo punctum dimidii lineae reperiri possit[recensere | fontem recensere]

Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:

Sagitta a puncto A usque ad B patet. Si solum dimidium sagittae capitur atque ad sagittam positionis puncti A additur, hoc sagittam positionis puncti dimidii quaesiti H dat:

,

ergo (regula "de apice hastam"),

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo ,

ergo

Vector positionis puncti H dimidium summae vectorum positionum punctorum A et B aequat.

Exempli gratia, si et , , ergo .

Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogrammum[recensere | fontem recensere]

Si cuiusdam parallelogrammi puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.

Exempli gratia, puncta , et rectanguli cognita sunt punctumque D reperiendum est. Quod , coordinata ita computantur:

,

ergo ,

ergo ,

ergo

Quartum punctum igitur coordinata habet.

Centrum gravitatis trianguli[recensere | fontem recensere]

Centrum gravitatis computatur per formulam , si triangulo anguli in punctis A, B et C sunt.

Triangulum punctorum , et igitur centrum gravitatis habet.

Vectores in physica[recensere | fontem recensere]

Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut vires. Omnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.

Velocitas, exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente moveri potest, sed etiam in directionem certam.

Vires[recensere | fontem recensere]

In physica vis significat productum massae et accelerationis, quae in motione cuiusdam rei hac vi effectae observantur.

Exempli gratia, si res aequaliter accelerata movetur (acceleratio ) et huic rei massa est, vis effecta fortitudinem habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quam vis habet, exprimitur.

Si duae aut complures vires eodem tempore rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.

Exempli gratia, si res massam habens atque in puncto sita a viribus et movetur, vis, quae vero rem movet, est . Si nunc unitas longitudinis vectorum significat, fortitudines virium sunt: , et . Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.

Labor[recensere | fontem recensere]

Si res massae in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, , aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, ), quia hoc modo res in directionem contrariam trahetur!

Labor qui administratur ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. In physica terminus "laboris" sic definitur, ut productum scalaris cum factoribus spatio (ibi spatium vectore exprimitur!) atque vi aequet:

Hac in formula longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris in spatium est, atque longitudinem repraesentantis designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest; hic casus est, si directionem contrariam atque habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Vide Neri p. viii

Nexus interni

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

  • Ferrante Neri, Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering. Helvetia: Springer, 2016.
  • C. E. Weatherburn, Elementary Vector Analysis, with Applications to Geometry and Physics. Londini: G. Bell & sons, 1935.