Triangulum

Triangulum, tria puncta A, B, C, tres angulos α, β, γ, et tria latera a, b, c monstrans.

Triangulum sive trigonum seu trigonium est figura geometrica plana cui sunt tria latera et tres anguli.

Summa anguli

Summa angulorum trianguli est 180°: a + b + c = 180°

Area

Area A trianguli datur a formula

$A={1 \over 2}\,c\,h$$A={1 \over 2}\,c\,h$

ubi c est longitudo lateris trianguli in figura supra descripta, et h est altitudo puncti C data a formula

$h=b\,\sin \alpha$$h=b\,\sin \alpha$

Equivalenter, possumus scribere

$A={1 \over 2\,}c\,b\,\sin \alpha ={1 \over 2\,}a\,b\,\sin \gamma ={1 \over 2\,}a\,c\,\sin \beta$$A={1 \over 2\,}c\,b\,\sin \alpha ={1 \over 2\,}a\,b\,\sin \gamma ={1 \over 2\,}a\,c\,\sin \beta$.

Triangulum rectum

Triangulum rectum.

Triangulum rectum seu triangulum anguli recti est triangulum cui est unus angulus rectus (i.e., 90°). Latus angulo recto contrarium dicitur hypotenusa, et alia duo latera dicuntur catheti. Quod ad triangula recta attinet, praesertim haec duo theoremata maximi momenti sunt: theorema Pythagorae et theorema altitudinis.

Theorema Pythagorae

De historia: Pythagoras re vera non fuit qui primus theoremate sibi tributo usus est, namque etiam Babylonii id cognoverunt. Alii fontes dicunt Aegyptios seu Indos primos fuisse.

Si in figura prima supra adlata, angulus γ = 90°, tunc latus c est hypotenusa et latera a et c sunt catheti. Tunc theorema Pythagorae dicit

$\mathbf {c^{2}=a^{2}+b^{2}}$$\mathbf {c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

vel explicate:

${\text{hypotenusa}}^{2}={\text{cathetus primus}}^{2}+{\text{cathetus secundus}}^{2}\$${\text{hypotenusa}}^{2}={\text{cathetus primus}}^{2}+{\text{cathetus secundus}}^{2}\$

Theorema altitudinis

Triangulum rectum altitudinem h monstrans, et quidem punctum R et partes p et q.

De historia: Euclides, mathematicus Graecus (saec. IV a.C.n.), et theorema altitudinis et theorema Pythagorae in opere suo, quod de Elementis scripsit, exhibuit.

Altitudo $h$$h$ hypotenusam $c$$c$ in partes duas dividit: $p$$p$ sub catheto $b$$b$ et $q$$q$ sub catheto $a$$a$. Ergo $c=p+q$$c=p+q$. Tunc theorema altitudinis dicit

$h^{2}=pq$$h^{2}=pq$   vel   $h={\sqrt {pq}}$$h={\sqrt {pq}}$.

Demonstratio

Theoremate Pythagorae ad triangula usi habemus

${\begin{array}{rcl}a^{2}&=&q^{2}+h^{2}\\b^{2}&=&p^{2}+h^{2}\\c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\end{array}}$${\begin{array}{rcl}a^{2}&=&q^{2}+h^{2}\\b^{2}&=&p^{2}+h^{2}\\c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\end{array}}$

Additis aequationibus prima et secunda habemus

$a^{2}+b^{2}=p^{2}+q^{2}+2h^{2}.$$a^{2}+b^{2}=p^{2}+q^{2}+2h^{2}.$

Et $c=p+q$$c=p+q$ in aequatione tertia substituendo obtinemus

$a^{2}+b^{2}=(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}.$$a^{2}+b^{2}=(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}.$

His aequationibus obtinemus

${\begin{array}{rcl}p^{2}+q^{2}+2h^{2}&=&p^{2}+2pq+q^{2}\\2h^{2}&=&2pq\\h^{2}&=&pq\end{array}}$${\begin{array}{rcl}p^{2}+q^{2}+2h^{2}&=&p^{2}+2pq+q^{2}\\2h^{2}&=&2pq\\h^{2}&=&pq\end{array}}$

aut aequivalenter

$h={\sqrt {pq}}$$h={\sqrt {pq}}$.

QED.

Exemplum

Tectum creare vis quod angulum rectum habet. Si p = 4 et q = 9 pedes, quae est altitudo h?

Solutio: 4*9 = 36, et h = 6 pedes.

Triangulum aequilaterum

Triangulum aequilaterum

Triangulum aequilaterum tres angulos aequales, tria quoque latera aequalia habet. Sex talia triangula hexagonum faciunt. Totius plani per triangula aequilatera tesselatio est deltilus.

Nexus interni

• Trigonometria
• Trisceles
• Triangulum arithmeticum Pascalianum

Nexus externi

• De triangulo, Theodisce
• De sententia Pythagorae, Theodisce

Figurae geometricae communes
Triangulum	Parallelogrammum	Rectangulum	Quadrum	Circulus	Pyramis	Cubus	Sphaera