Signum (numeri)

In mathematica, terminus signi significationem propriam habet; id signum, quo numeri ornantur, ut indicetur, si positivi aut negativi sint, designat. Est etiam functio, quae "signum" nominatur atque cum prima significatione conexa est.

Magnitudo signi numerorum

Introductio

Prima copia numerorum integrorum etiam valores negativos continet. Hoc introductionis eorum causa erat: Iam in copia numerorum naturalium, duae operationum fundamentalium arithmeticae (additio et multiplicatio), ita peragi possunt, ut summa productumque duorum numerorum copiae semper etiam elementa huius copiae sint.

Subtractione autem hoc non semper valet. Exempli gratia, differentia $4-3$ numerus naturalis (1) est, sed $3-4$ non iam naturalem repraesentat. Hoc vero etiam significat aequationes certas, velut $x+4=3$, solvi non posse, si tantum numeri naturales cogniti sunt. Ergo mathematici hanc copiam amplificaverunt; eventus erant numeri integri.

Similia problema alias amplificationes effecerunt, vide:

• numerus rationalis
• numerus realis
• numerus complexus

Proprietates numerorum negativorum

Numerus negativus $-x(x\in \mathbb {R} )$ elementum inversum additionis numero x est; id est, si ad x numerus -x additur, eventus elementum neutrius partis, 0, aequat.

In additione subtractioneque, numerus negativus signum calculandi mutat: $1+1=2$; $1+(-1)=1-1=0$; $1-(-1)=1+1=2$.

In multiplicatione atque divisione, numerus negativus signum alterius factoris mutat; exempli gratia: $+1\cdot +1=+1$; $-1\cdot +1=-1$; $-1\cdot -1=+1$

Functio signum

Haec functio $\operatorname {sgn}$ ita definitur:

$\operatorname {sgn}(x)=-1$, si $x<0$.

$\operatorname {sgn}(x)=0$, si $x=0$.

$\operatorname {sgn}(x)=+1$, si $x>0$.

Ut videri potest, functio signum argumenti indicat: Omnibus numeris negativis valor $-1$ attribuitur, omnibus positivis $+1$. Soli numero 0 alius valor datur; qua re exprimitur numerum 0 neque positivum neque negativum esse.

Alia definitio magnitudinis absolutae

Plerumque, magnitudo absoluta numeri x ita definitur, ut sit $-x$, si $x<0$ atque $x$, si $x>0$.

Functione signo cognito autem etiam hanc per functionem definiri potest:

$|x|=x\cdot \operatorname {sgn} {x}$

Ita tantum uno termino ad definitionem opus est.