Caterva (mathematica)

Caterva (aut gruppus aut grex) est structura algebraica abstracta: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris corporis.

Definitio

Caterva est copia $G$ cum operatione $(\cdot )$ inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

Clausitas

Pro omnia elementa $a,b$ in caterva, $a\cdot b$ quoque in caterva est.

Associativitas

Pro omnia elementa $a,b,c$ in caterva, haec identitas est apta: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Elementum Idemfactor

Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe $e$ scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta: $a\cdot e=e\cdot a=a$

Elementum Inversum

Pro omnia elementa $a$ in caterva, est alium elementum, $a^{-1}$, cum ita sit $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$

Caterva numerorum

Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a.

Caterva matricum, vel caterva linearis

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.

Caterva symmetrica

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:

idemfactor: omnia puncta manent	r1: rotatio 90° ad dexteram partem	r2: rotatio 180°	r3: rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem
fv: reflexio verticalis	fh: reflexio horizontalis	fd: reflexio in uno diagonale	fc: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa caterva dihedralis.

Bibliographia

• Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.

• David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.