Jump to content

Caterva (mathematica)

E Vicipaedia
(Redirectum de Grex (mathematica))

Caterva (aut gruppus aut grex)[1] est structura algebraica abstracta: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris corporis.

Caterva est copia cum operatione inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

Pro omnia elementa in caterva, quoque in caterva est.

Pro omnia elementa in caterva, haec identitas est apta: .

Elementum Idemfactor
[recensere | fontem recensere]

Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta:

Elementum Inversum
[recensere | fontem recensere]

Pro omnia elementa in caterva, est alium elementum, , cum ita sit

Caterva numerorum

[recensere | fontem recensere]

Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a.

Caterva matricum, vel caterva linearis

[recensere | fontem recensere]

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.

Caterva symmetrica

[recensere | fontem recensere]

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:


idemfactor: omnia puncta manent

r1: rotatio 90° ad dexteram partem

r2: rotatio 180°

r3: rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem

fv: reflexio verticalis

fh: reflexio horizontalis

fd: reflexio in uno diagonale

fc: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa caterva dihedralis.

Lapsus in citando: <ref> tag with name "fons-nominis-desideratus" defined in <references> is not used in prior text.

Bibliographia

[recensere | fontem recensere]
  • Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.
  • David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.