Roman numeral 10000 CC DD.svg
Latinitas nondum censa

Copia

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Haec pagina copia in re mathematica explicat. Si aliud quaeris quod etiam "Copia" appellatur, vide Copia (discretiva).

Copia[1] in mathematica dicitur quorundam elementorum mathematicorum collectio. Secundum definitionem Georgii Cantoris "copia est comprehensio elementorum cogitationis nostrae bene discretorum in unum". Quae definitio omni rigore mathematico carens postea substituta est axiomatis a Zermelo et Fränkel positis, quibus inter alia efficitur, ut antinomia Russelliana (de copia copiarum, quae semet ipsas non continent, num se ipsam contineat) excludatur.

In philosophia, copia dicitur obiecta abstracta.?

Denotationes et definitiones[recensere | fontem recensere]

Denotationes[recensere | fontem recensere]

  • Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (praedicatum) pertinet, ante symbolis : aut | notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo:  \lbrace x: \ S(x) \rbrace . Si  x_0 elementum huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili  x_0 ), notatur  x_0 \in \lbrace x: S(x) \rbrace .
  • Tales  x solent esse in copia superiore (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit  X talis copia superior, tum scribi solet  \lbrace x \in X: S(x) \rbrace . Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet  X \supset \lbrace x \in X: S(x) \rbrace aut  \lbrace x \in X: S(x) \rbrace \subset X.

Definitiones[recensere | fontem recensere]

  • Copia cui nulla elementa insunt vacua vel inanis appellatur. Notatur symbolis  \lbrace \rbrace vel  \emptyset .
  • Copiae duae  A, B eaedem vel aequae appellantur, si copiae alteri  A eadem elementa ac alteri copiae  B insunt. Aequivalens, si  A \subset B et  B \subset A . Ergo:  A=B \Leftrightarrow A\subset B \and B \subset A.
  • Coniunctioni duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo  \cup . Ergo: Sint  A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace et
     B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:
     A \cup B= \lbrace z: S_1(z) \text{ vel } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \or S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \or y \in B \rbrace .
  • Sectioni duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo  \cap . Ergo: Sint
     A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace et  B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:
     A \cap B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \and S_2(z) \rbrace  = \lbrace x\in A \and y \in B \rbrace .
  • Differentiae duarum copiarum  A et  B elementa ex  A sola insunt quae copiae  B non insunt. Notatur symbolo \. Ergo: Sint  A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace et
     B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace . Tum:
     A \setminus B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque non } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \and \neg S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \and y \notin B \rbrace .
  • Productum Cartesianum duarum copiarum  A et  B , quod cruce  \times denotatur, est copia haec:  A \times B = \lbrace (x/y): x \in A \text { atque } y \in B \rbrace = \lbrace (x/y): x \in A \and y \in B \rbrace.


Definitones super descriptae visuales per diagrammata Venniana factae:

Exempla[recensere | fontem recensere]

Sint  A = \lbrace 1,2,4,7 \rbrace et  B = \lbrace 1,3,5,7,9 \rbrace .

Tum:

  •  A \cup B = \lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9 \rbrace = \lbrace 9,7,1,2,3,4,5 \rbrace . Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.
  •  A \cap  B = \lbrace 1,7 \rbrace.
  •  A \setminus B = \lbrace 2,4 \rbrace .
  •  A \times B = \lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9) \rbrace .

Aequatio aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis - copia solutionum appellatur. Aequatio quadratica exemplo:

 \lbrace x \in \mathbb R: x^2-2x-3 = 0 \rbrace = \lbrace -1;3 \rbrace .

  1. Warning icon.svg Fons nominis Latini desideratus (addito fonte, hanc formulam remove)