Caterva (mathematica)

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Caterva (aut gruppus aut grex) est structura algebraica: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris.

Caterva numerorum[recensere | fontem recensere]

Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a.

Caterva matricum, vel caterva linearis[recensere | fontem recensere]

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.

Caterva symmetrica[recensere | fontem recensere]

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:

Group D8 id.svg
idemfactor: omnia puncta manent
Group D8 90.svg
r1: rotatio 90° ad dexteram partem
Group D8 180.svg
r2: rotatio 180°
Group D8 270.svg
r3: rotation 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem
Group D8 fv.svg
fv: reflexio verticalis
Group D8 fh.svg
fh: reflexio horizontalis
Group D8 f13.svg
fd: reflexio in uno diagonale
Group D8 f24.svg
fc: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa caterva dihedralis.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.

Roman numeral 10000 CC DD.svg