Usor:Toadino2/Harenarium/11

Proprietates quae spatium vectoriale definiunt

Spatium vectoriale, vel spatio lineare, in $\mathbb {R}$, est copia $V$, cui definiantur operationes summae $+:V^{2}\rightarrow V$ et multiplicatio scalaribus $\cdot :\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ quae has proprietates satisfaciant:

1. $1v=v,0v={\underline {0}}$, omnibus elementis copiae $V$, quae hic littera $v$ designantur;
2. Summa est commutativa: $\forall v,w\in Vv+w=w+v$;
3. Est summae oppositum, quod est numerus qui vectori additus zerum producit: $\forall v\in V\exists -v\in V:v+(-v)=0$;
4. Est summae neutrum, quod est numerus qui vectori additus eum ipsum producit: $\exists 0\in V:\forall v\in Vv+0=v$;
5. Summa est associativa: $\forall u,v,w\in V:(u+v)+w=u+(v+w)$;
6. Multiplicatio scalaribus est associativa: $\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\forall v\in V(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$;
7. Multiplicatio scalaribus est distributiva: $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\forall v,w\in V\lambda (v+w)=\lambda v+\lambda w{\text{ atque }}\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\forall v\in V(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$.

Spatium vectoriale etiam in campo ${\mathcal {K}}$ quolibet potest definiri cum eaedem proprietates valeant.

Elementa spatii vectorialis vectores, summaeque neutrum vector nullus ${\underline {0}}$ appellantur.

Subspatium vectoriale

Spatiis vectorialibus sunt subcopiae quae similes sunt lineis apud subcopias spatii euclidei. Hae subcopiae sunt subspatia vectorialia, quae subcopia sunt spatii vectorialis clausa summae multiplicationique scalaribus:

$W\subseteq V:\forall w,w_{1},w_{2}\in W,\forall \lambda \in \mathbb {R} \rightarrow w_{1}+w_{2}\in W,\lambda w\in W$

Vector nullus versatur in omnibus subspatiis vectorialibus, quia si $w$ est vector in subspatio, etiam est $0w={\underline {0}}$ (zerum est scalar). Et quod unus negativus est scalar quoque, si subspatio vectoriali inest vector, etiam eius oppositus inest.

In secundis, omnia subspatia vectorialia sunt spatia vectorialia, spatiaque vectorialia sunt subspatia vectorialia ipsorum. Etiam copiae solius vectoris nullius $\{{\underline {0}}\}$ est subspatium vectoriale.

Spatia vectorialia in systematibus aequationum solvendis

In systema aequationum lineare, si dextrae signi aequationis $=$ instant sola zera, sicque videtur:

$Ax={\underline {0}}$

Id systema homogeneum dicitur.

Demonstrari potest esse, si $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ est copia solutionum systematis linearis homogenei $n$ ignotis^? scripti $Ax={\underline {0}}$, $W$ est subspatium vectoriale spatii $\mathbb {R} ^{n}$. (Idem si non est homogeneum systema, eius solutiones non sunt subspatium, quod non inest vector nullus).

Systema enim sic videtur:

${\biggl \{}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=0\\...\\a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n}=0\end{matrix}}$

Si vectores ${\underline {v}},{\underline {w}}$ solutiones sunt, id igitur verum est:

${\biggl \{}{\begin{matrix}a_{1}1v_{1}+...+a_{1n}v_{n}=0\\...\\a_{m1}v_{1}+...+a_{mn}v_{n}=0\end{matrix}}{\biggl \{}{\begin{matrix}a_{1}1w_{1}+...+a_{1n}w_{n}=0\\...\\a_{m1}w_{1}+...+a_{mn}w_{n}=0\end{matrix}}$

Si dua systema summantur, vel scalari multiplicantur, id patet:

${\biggl \{}{\begin{matrix}a_{11}(v_{1}+w_{1})+...+a_{1n}(v_{n}+w_{n})=0\\...\\a_{m1}(v_{1}+w_{1})+...+a_{mn}(v_{n}+w_{n})=0\end{matrix}}{\biggl \{}{\begin{matrix}a_{11}(\lambda v_{1})+...+a_{1n}(\lambda v_{n})=0\\...\\a_{m1}(\lambda v_{1})+...+a_{mn}(\lambda v_{n})=0\end{matrix}}$

Combinationes lineares

In mathematica, combinatio linearis est summa copiae vectorum scalaribus quorumque multiplicatorum.

Definitio

Sit spatium vectoriale $V$; combinatio linearis vectorum $v_{1}...v_{k}$ ex spatio $V$ coefficientibus $\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, est is vector:

$\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}\in V$

Subspatium genitum

Si rursus sunt vectores $v_{1}...v_{n}$, eorum subspatium genitum est copia eorum omnium possibilium combinationum linearium:

$Span(v_{1}...v_{n})=\{\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}:\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R} \}$

Potest demonstrari subspatium genitum esse subspatium vectoriale. Subspatium genitum enim clausum est summae:

$(\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})+(\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n})=(\alpha _{1}+\beta _{1})v_{1}+...+(\alpha _{n}+\beta _{n})v_{n}$

quod rursus est combinatio linearis vectorum $v_{1}...v_{n}$.

Eodem modo, subspatium genitum clausum est multiplicationi scalaribus:

$\lambda (\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})=(\lambda \alpha _{1})v_{1}+...+(\lambda \alpha _{n})v_{n}$

quod est combinatio linearis vectorum.

Subspatium genitum igitur est subspatium vectoriale, quia clausum est summae multiplicationique scalaribus.

Huius rei unum corollarium est systemati aequationum $Ax=b$ adesse solutiones modo si $b$ subspatio inest genito columnarum matricis $A$.

Independentia linearis

Dicitur copia vectorum $v_{1}...v_{n}\in V$ ex spatio vectoriali $V$ lineariter dependens si sunt coefficientes reales $\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R}$ quibus valeat:

$\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}$

neque sunt omnes nulli, ergo adest $\alpha _{i}$ unus vel plus qui non $=0$.

Nisi vectores sunt lineariter dependentes, lineariter independentes dicuntur, eisque modo valet $\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}$ cum omnes coefficientes nulli sint: $\alpha _{1}...\alpha _{n}=0$.

Independentia linearis vectorum aliquorum potest probari ex vectoribus faciendo matricem $A=|v_{1}...v_{n}|$ et systema aequationum solvendo $Ax={\underline {0}}$: cum enim sola solutio sit $x={\underline {0}}$, vectores sunt independentes, quod si adesset solutio $\beta$ quae non esset nulla, tum valuisset $\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n}=0$, quae esset definitio independentiae linearis.