Distributio probabilistica

Functiones cumulativae probabilitatis distributionis normalis

Distributio probabilistica variabilis fortuitae X est functio quae probabilitatem eventi dat, ubi "eventus" est valor quidem variabilis. Theoria probabilitatum est pars statisticae quae de talibus functionibus tractat. Distributio est functio cuius valores numquam decrescunt: si a > b, P(X < a) > P(X < b). P est "functio probabilitatis" quae ad copiam numerum assignat; distributio est functio F quae ad punctum vel numerum alium numerum assignat. Definitio F hoc est:

sit P(X < a) = probabilitas valoris X minor esse quam a

sit k valor constans quilibet

tunc

$F(y;k)=P(k<X\leq y),y>k$

$=0,y=k$

$=-P(k<X\leq y),y<k$

Tunc

$F(y;k_{1})-F(y;k_{2})=P(k_{1}<y\leq k_{2})$

Ergo omnes functiones F(y;k) eaedem sunt prater additionem constantis; licet ergo quemlibet k eligere et scribere simpliciter F(y). Ad probabilitatem P igitur correspondet distributionem F.

Distributio in $\mathbb {R}$ symmetrica dicitur i centrum $c\in \mathbb {R}$ exsistit, quo valet:

$P(X\geq c+x)=P(X\leq c-x)~~\mathrm {pro~omnibus~} x\in \mathbb {R} ^{+}.$

$\,c$ centrum symmetriae appellatur; semper valori mediano aequum est. Si valor medius expectatus, $\operatorname {E} (X)$, exsistit, etiam $c=\operatorname {E} (X)$ valet.

Densitas probabilistica distributionis symmetricae continuae circum axem $\,x=c$ symmetrica est, et functio distributiva eius circum punctum $\left(c,{\frac {1}{2}}\right)$ symmetrica est.

Obliquitas

Si tertium momentum variabilis fortuiti $\,X$ exsistit, $\,X$ habet obliquitatem

$\,\gamma _{1}=0,$

sed distributio cuius obliquitas est 0 non symmetrica esse debet.

Exempla distributionum symmetricarum

Distributiones symmetricae quae crebro adhibentur sunt:

• distributio aequalis, quae distributio rectangularis appellatur, si continua est
• distributio arcus sinus
• distributio Cauchyana
• distributio logistica
• distributio normalis
• distributio exponentialis duplex
• t-distributio

Distributio probabilistica non eadem est atque proprietas distributionis inter operationes.

Nexus interni

• Deviatio canonica

Bibliographia

• Harald Cramér, Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press, 1951.