Theoremata Gödel de imperfectione

Latinitas bona
E Vicipaedia
Monumentum in aedibus ubi Gödel Vindobonae annis 19371939 habitabat.

Theoremata Gödeliana de imperfectione sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

Theorema primum[recensere | fontem recensere]

Expositio[recensere | fontem recensere]

Theorema. Sit theoria , quae est copia sententiae primi ordinis, signatura . Si est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum non est copia RE.

Nota bene:

  • perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis , aut aut .
  • congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis , ut .

Demonstratio brevis[recensere | fontem recensere]

Numeri Gödel[recensere | fontem recensere]

Sit signatura primi ordinis ut , quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in . Ut, exempli gratia, operatio , quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in utens numerus formulae calculat ab numeris formularum et . Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae ab formulis in concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae , dicamus . Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur nancisci possumus, ut

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae .

Lemma de puncto immobili[recensere | fontem recensere]

Sit theoria congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam nanciscamur, ut .

Demonstratio theorematis[recensere | fontem recensere]

Sit theoria congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae , aut aut . Sit ut dixi. Sed,

  • Si , igitur . Sed est scilicet demonstratio formalis formulae , igitur . Igitur non est congruens.
  • Si , igitur . Ergo est demonstratio formalis formulae , ergo . Ergo non est congruens.

Ergo nulla theoria est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum[recensere | fontem recensere]

Expositio[recensere | fontem recensere]

Theorema. Sit theoria RE , quae axiomata PA continet. Si se esse congruentem demonstrat, tum non est congruens.

Nota bene:

  • est congruens, si nulla formula inveniri potest, ut .
  • Ergo, se esse congruentem demonstrat, si , in quo sententia est ut:
ubi cuique . Hoc igitur theorema alio modo exponitur:
"Si , tum non est congruens."

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

Theoremata ipsa[recensere | fontem recensere]

  • Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

De theorematis[recensere | fontem recensere]

  • Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
  • Berto, Francesco. 2008. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
  • Delessert, André. 2000. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
  • Deutsch, Michael. 2003. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
  • Díaz Estévez, Emilio. 1975. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
  • Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

Nexus interni