Theoremata Gödel de imperfectione

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere
Monumentum in aedibus ubi habitabat Gödel annis 1937-1939, Vindobonae.

Theoremata Gödel de imperfectione sunt dua theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae naturam imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus demonstrant.

Theorema primum[recensere | fontem recensere]

Expositio[recensere | fontem recensere]

Theorema. Sit theoria T, quae est copia sententiae primi ordinis, signatura S:=\{0,+,\cdot,<,E\}. Si T est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum T non est copia RE.

Nota bene:

  • T perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis \sigma, aut T\vdash\sigma aut T\vdash\neg\sigma.
  • T congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis \sigma, ut T\vDash(\sigma\land\neg\sigma).

Demonstratio brevis[recensere | fontem recensere]

Numeri Gödel[recensere | fontem recensere]

Sit signatura primi ordinis ut S, quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem \sharp : L_S \to \mathbb{N} esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in L_S. Ut, exempli gratia, operatio \land, quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in S utens numerus formulae (\phi\land\psi) calculat ab numeris formularum \phi et \psi. Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem \phi formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae \phi ab formulis in T concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae \phi, dicamus T\vdash\phi. Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur \operatorname{Prv}_T(n) nancisci possumus, ut

T\vdash\phi \implies T\vdash\operatorname{Prv}_T(\sharp\phi)

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae \phi.

[Lemma de puncto immobili[recensere | fontem recensere]

Sit theoria T congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam \gamma nanciscamur, ut T\vdash(\gamma\leftrightarrow\neg\operatorname{Prv}_T(\sharp\gamma)).

Demonstratio theorematis[recensere | fontem recensere]

Sit theoria T congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae \sigma, aut T\vdash\sigma aut T\vdash\neg\sigma. Sit \gamma ut dixi. Sed,

  • Si T\vdash\gamma, igitur T\vdash\neg\operatorname{Prv}_T(\sharp\gamma). Sed est scilicet demonstratio formalis formulae \gamma, igitur T\vdash\operatorname{Prv}_T(\sharp\gamma). Igitur T non est congruens.
  • Si T\vdash\neg\gamma, igitur T\vdash\operatorname{Prv}_T(\sharp\gamma). Igitur est demonstratio formalis formulae \gamma, ergo T\vdash\gamma. Igitur T non est congruens.

Igitur nulla theoria T est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum[recensere | fontem recensere]

Expositio[recensere | fontem recensere]

Theorema. Sit theoria RE T, quae axiomata PA continet. Si T se esse congruentem demonstrat, tum T non est congruens.

Nota bene:

  • T est congruens, si nulla formula \phi inveniri potest, ut T\vdash(\phi\land\neg\phi).
  • Ergo, T se esse congruentem demonstrat, si T\vdash\operatorname{Cons}_T, in quo \operatorname{Cons}_T sententia est ut:
\operatorname{Cons}_T := \neg\exists n\,(\operatorname{Prv}_T(n)\land\operatorname{Prv}_T(\operatorname{neg}(n)))
ubi \operatorname{neg}(\sharp\phi):=\sharp(\neg\phi) cuique \phi. Hoc igitur theorema alio modo exponitur:
"Si T\vdash\operatorname{Cons}_T, tum T non est congruens."

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

Theoremata ipsa[recensere | fontem recensere]

  • Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

De theorematis[recensere | fontem recensere]

  • Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, Charles L. Harper, Jr. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press, 2011. ISBN 9780521761444
  • Berto, Francesco. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza, 2008. ISBN 9788842085904
  • Delessert, André. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2000. ISBN 9782880744496
  • Deutsch, Michael. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen, 2003. ISBN 9783887225780
  • Díaz Estévez, Emilio. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra, 1975. ISBN 9788431303938
  • Nagel, Ernst, et James R. Newman. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press, 1958. OCLC 523475

Roman numeral 10000 CC DD.svg