Integrale

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Integrale in mathematica est functio cuius functio aliquis est derivativum, aut est magnitudo spatii sub lineam quae functionem repraesentat. Theorema fundamentale calculi dicit has duas notiones easdem esse.

Si f(x) est functio, g(x) = \int f(x) dx est integrale et \frac{d g(x)}{dx} = f(x).

Exempli gratia, si f(x) = x2, tum \int f(x) dx = \frac{x^3}{3} + C. C est quantitas constans; quia \frac{d C}{dx} = 0, hic terminus nullum addit integrali. Hoc dicitur integrale indefinitum.

Approximatio integralis f(x) = √x inter 0 et 1

Integrale definitum est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat et alias lineas x = a et x = b. Scribimus \int_a^b f(x) dx. In imaginem vides \int_0^1 \sqrt{x} dx. Possumus magnitudinem aestimare si parvos rectangulos facimus, quorum latera sunt eadem, et altitudines sunt f(xi), valor functionis uno latere.

Tales rectanguli sunt in imagine. Sunt quinque rectanguli, colore flavi, quorum latus est 1/5 et altitudines sunt √ 1/5, √ 2/5, √ 3/5, √ 4/5, et √ 1. Magnitudines rectangulorum igitur sunt (1/5) x √ 1/5, (1/5) x √ 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.74974.

Sunt etiam duodecim rectanguli, colore viridi, quorum latus est 1/12 et altitudines sunt √ 0, √ 1/12, et cetera. Si magnitudines horum rectangulorum addimus, habemus (fere) 0.62029.

Integrale (per definitionem) est limes magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit P = {a0, a1, ... an} copia numerorum inter a = a0 et b = an, sicut ai < ai+1. Deinde summatio Riemanni est

\sum_{i=1}^n (a_{i}-a_{i-1})f(a_i)

et integrale est limes huius summationis dum i ad infinitatem it (aut, dum semper plures rectanguli sunt).[1] Bernardus Riemann hanc definitionem invenit.

Theorema fundamentale calculi dicit:

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), si \frac{dF{x}}{dx} = f(x)

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. Spivak, cap. 13; Hardy, sectio 240; haec non est definitio accuratissima.

Bibliographia[recensere | fontem recensere]

Hardy, G. H. 1952 A Course of Pure Mathematics, editio 10a. Cambridge.

Spivak, Michael. 1994 Calculus, editio 3a. Houston: Publish or Perish.