Productum interius

Haec commentatio nondum stipula est. Oportet intra tres menses paginam corrigere. Etiam minimis paginis Vicipaedianis habendus est: Titulus in primo exordio typis crassioribus repetitus Comprehensio (200 vel plurium litterarum) quae rem apte describat Nexus extra-Vicipaedianus (sive et fons bibliographicus) qui et titulum et rem ipsam satis corroboret Nexus interni caerulei ex hac pagina et in hanc paginam ducentes; categoriae caeruleae (quibus absentibus formula {{Dubcat}} ponatur); pagina annexa apud Wikidata (aut formula {{Nexus interviciales absunt}}) Cetera hac encyclopaedia digna, velut descriptio (explicationes, historica, exempla); imago necnon titulus suffixus; ceteri nexus externi siqui utiles sint; bibliographia. → Interpretationes vernaculae

Productum interius duorum vectorum

Productum interius seu productum scalare seu puncti productum est productum duorum vectorum ${\vec {a}}$ et ${\vec {b}}$ ubi singulus numerus scalaris producitur, quid datur formula

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\|{\vec {a}}\right\|\,\left\|{\vec {b}}\right\|\cos \theta \,$

Quod productum valorem zerum attingit cum duo vectores perpendiculares sunt et maximum, cum duo vectores paralleli sunt, aequantem magnitudines duorum vectorum multiplicatos.

Coordinatis orthogonalibus et valoribus realibus

His vectoribus iuxta basem orthogonalem scriptis

${\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}\,{\textit {et}}\;\;{\vec {b}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}$,

productum scribi potest

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle ={\vec {a}}^{T}\,{\vec {b}}={\begin{bmatrix}a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,\dots \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

ubi T denotat transpositionem matricis, Σ denotat summam arithmeticam et n est dimensio spatii vectorialis.

Coordinatis orthogonalibus et valoribus complexis

His autem vectoribus valoribus complexis praeditis, productum interius scribi oportet

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle ={\vec {a}}^{\dagger }\,{\vec {b}}={\begin{bmatrix}a_{1}^{*}\,a_{2}^{*}\,a_{3}^{*}\,\dots \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}=a_{1}^{*}b_{1}+a_{2}^{*}b_{2}+\cdots +a_{n}^{*}b_{n}$

ubi * denotat coniugationem complexam et † denotat simultaneam coniugationem et transpositionem. Hac definitione maxime numeris complexis accomodata effecit ut semper scribi possit valore scalari reali

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\left\|{\vec {a}}\right\|^{2}$