Sequentia (mathematica)

Sequentia in mathematica omnis quidem functio $f:{\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace \rightarrow {\mathbb R},\ n\mapsto f(n)=:(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}$ appellatur.

Exempla

• Sit $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}={\frac {n+1}2}.$ Sequentia numerorum tum est ${\frac 12},{\frac 22}=1,{\frac 32},{\frac 42}=2,\dots .$
• Sequentia Fibonacci: Sequentia Fibonacci est sequentia recursive definita. (Id est: numeri principales sequentiae positi sunt et formula ad numerum proximum numeris positis putandum data est).

$x_{0}:=0,\ x_{1}:=1,\ x_{n}:=x_{{n-2}}+x_{{n-1}}$. Ergo sequentia est: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... .

Limes et puncta auctus sequentiae

Limes sequentiae

Limes sequentiae hoc modo definitus est:

$a\in {\mathbb R}$ est limes sequentiae $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}:\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists N_{{\varepsilon }}\in {\mathbb N}\,\forall n\geq N_{{\varepsilon }}\,:\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$. Si sequentiae est limes $a$, scribitur: $a:=\lim _{{n\to \infty }}x_{n},$ et sequentia dicitur ad $a$ convergere. Sin non est talis $a$, sequentia dicitur divergere.

Exempla

• Sequentiae superiori scriptae $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}={\frac {n+1}2}\$ et $\ x_{0}:=0,\ x_{1}:=1,\ x_{n}:=x_{{n-2}}+x_{{n-1}}$ divergunt.
• Sequentia autem $\left({\frac {x_{{n-1}}^{F}}{x_{n}^{F}}}\right)_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}$, ubi $(x_{n}^{F})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}$ sit sequentia Fibonacci, convergit et limes est $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{{n-1}}^{F}}{x_{n}^{F}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=:\phi$ numerus divinae proportionis.
• Sit $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}={\frac 1n}.$ Tum $\lim _{{n\to \infty }}{\frac 1n}=0.$

Puncta auctus sequentiae

Definitio: Numerus $a\in {\mathbb R}$ est punctum auctus sequentiae $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}:\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\forall n\in {\mathbb N}\,\exists m\geq n:\left|x_{m}-a\right|<\varepsilon$

Exempla

• Sequentiae $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}={\frac 1n}$ est punctum auctus 0.
• Sequentiae $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}=(-1)^{n}$ sunt puncta auctus et 1 et -1.
• Sequentiae Fibonacci $(x_{n}^{F})_{{n\in {\mathbb N}\cup \lbrace 0\rbrace }}$ non est punctum auctus.

Cohaerentia limitis punctorumque auctus sequentiae

1. Sit $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ sequentia aliqua convergens et $a:=\lim _{{n\to \infty }}x_{n}$ sit eius limes. Tum a est punctum auctus.
2. Sit $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ sequentia aliqua quae punctum auctus $a$ habet. Tum est sequentia partitiva $(x_{{n_{k}}})_{{k\in {\mathbb N}}}$, quae habet punctum auctus $a$ limitem.

Theoremata limitum

Si est limes $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=a$, tum omni numero $c\in \mathbb{R} \;$ sunt limites hi, qui eo modo putentur:

• $\lim _{{n\to \infty }}c\cdot x_{n}=c\cdot a,$
• $\lim _{{n\to \infty }}\left(c+x_{n}\right)=c+a,$
• $\lim _{{n\to \infty }}\left(c-x_{n}\right)=c-a.$

Si insuper $a\neq 0$ est, tum etiam $x_{n}\neq 0$ a quodam numero indicabili $N_{0}\;$ et sequentiae partitivae $n>N_{0}\;$ valet:

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {c}{x_{n}}}={\frac {c}{a}}.$

Si sunt limites et $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=a$ et $\lim _{{n\to \infty }}y_{n}=b$, tum etiam limites hi sunt, qui eo modo putentur:

• $\lim _{{n\to \infty }}\left(x_{n}+y_{n}\right)=a+b,$
• $\lim _{{n\to \infty }}\left(x_{n}-y_{n}\right)=a-b,$
• $\lim _{{n\to \infty }}\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)=a\cdot b.$

Si insuper $b\neq 0$ est, tum etiam $y_{n}\neq 0$ a quodam numero indicabili $N_{0}\;$ et sequentiae partitivae $n>N_{0}\;$ valet:

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}.$

Vide etiam

• Fibonacci
• Divina proportio
• Limes functionis