Combinatio linearis

In mathematica, combinatio linearis est summa copiae vectorum scalaribus quibusdam quorumque multiplicatorum.

Definitio

Sit spatium vectoriale $V$; combinatio linearis vectorum $v_{1}...v_{k}$ ex spatio $V$ coefficientibus $\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, est is vector:

$\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}\in V$

Subspatium genitum

Si sunt vectores $v_{1}...v_{n}$, eorum subspatium genitum est copia universarum possibilium combinationum linearium eorum:

$Span(v_{1}...v_{n})=\{\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}:\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R} \}$

Potest demonstrari subspatium genitum esse subspatium vectoriale. Subspatium genitum enim clausum est summae:

$(\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})+(\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n})=(\alpha _{1}+\beta _{1})v_{1}+...+(\alpha _{n}+\beta _{n})v_{n}$

quod rursus est combinatio linearis vectorum $v_{1}...v_{n}$.

Simili ratione, subspatium genitum clausum est multiplicationi scalaribus:

$\lambda (\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})=(\lambda \alpha _{1})v_{1}+...+(\lambda \alpha _{n})v_{n}$

quod est combinatio linearis ipsorum vectorum.

Subspatium genitum igitur est subspatium vectoriale, quia clausum est summae multiplicationique scalaribus.

Huius rei unum corollarium est systemati aequationum $Ax=b$ adesse solutiones modo si vector $b$ subspatio inest genito columnarum matricis $A$.

Independentia linearis

Dicitur copia vectorum $v_{1}...v_{n}\in V$ ex spatio vectoriali $V$ lineariter dependens si sunt coefficientes reales $\alpha _{1}...\alpha _{n}\in \mathbb {R}$ quibus valeat:

$\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}$

neque sunt omnes nulli, ergo adest $\alpha _{i}$ unus vel plus qui non $=0$.

Nisi vectores sunt lineariter dependentes, lineariter independentes dicuntur, eisque modo valet $\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}={\underline {0}}$ cum omnes coefficientes nulli sint: $\alpha _{1}...\alpha _{n}=0$.

Independentia linearis vectorum aliquorum potest probari ex vectoribus faciendo matricem $A=|v_{1}...v_{n}|$ et systema aequationum solvendo $Ax={\underline {0}}$: cum enim sola solutio sit $x={\underline {0}}$, vectores sunt independentes, quod si adesset solutio $\beta$ quae non esset nulla, tum valuisset $\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{n}v_{n}=0$, quae esset definitio independentiae linearis.

Vide etiam

• Vector (mathematica)
• Systema coordinatarum

Bibliographia

• Abate, De Fabritiis, 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.