Aequatio trigonometrica

Aequatio trigonometrica sive aequatio goniometrica est aequatio, cuius variabile argumentum functionis trigonometricae (velut sinus) in ea apparet, velut $\sin {x}={\frac {1}{2}}$ . Tales aequationes saepe faciles solutu non sunt, quod nonnumquam cognitio relationum inter functiones trigonometricas ad solutionem necessaria est. Praeterea, propter periodicitatem functionum trigonometricarum aequatio trigonometrica, si unam solutionem certe habet, numerus infinitus aliorum valorum etiam in numero solutionum duci potest.

Aequationes fundamentales

Hae sunt:

$\sin {x}=c;c\in [-1;1]$
$\cos {x}=c;c\in [-1;1]$
$\tan {x}=k;k\in \mathbb {R}$

Solutiones simplicissimae harum aequationum per functiones inversas functionum trigonometricarum ( $\arcsin {x}$ ; $\arccos {x}$ atque $\arctan {x}$ ) reperiri possunt.

Exempli gratia:

$\sin {x}={\frac {1}{2}}$ .

Nunc is angulus, cuius sinus 0,5 aequat, reperiendus est. Una solutionum est $x_{1}=\arcsin {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}$ . Sed una regularum trigonometricarum dicit sinum cuiusdam anguli x sinum anguli $\pi -x$ aequare. Praeterea, sane anguli $x$ et $x+2k\pi ;k\in \mathbb {Z}$ etiam eundem sinum habent, quod iidem sunt.

Ergo altera solutio in intervallo $[0;2\pi [$ est $\pi -{\frac {\pi }{6}}={\frac {5\pi }{6}}$ .

Solutiones aequationis sunt igitur aut formae ${\frac {\pi }{6}}+2m\pi ;m\in \mathbb {Z}$ aut formae ${\frac {5\pi }{6}}+2n\pi ;n\in \mathbb {Z}$ .

Aequationes difficiliores solutu

Exemplum primum

$\sin {x}=\cos {x}$

Iam scimus angulum x inter $0$ et ${\frac {\pi }{2}}$ vel $\pi$ et ${\frac {3\pi }{2}}$ esse debere, quod tantum his in intervallis sinus cosinusque aequalis signi sunt.

Ad hanc aequationem solvendam, hac relatione uti possumus: $\cos {x}=\pm {\sqrt {1-\sin {x}^{2}}}$ . Terminus in aequatione substituitur:

$\sin {x}=\pm {\sqrt {1-\sin {x}^{2}}}$ ,

ergo $\sin {x}^{2}=1-\sin {x}^{2}$ ,

ergo $2\sin {x}^{2}=1$ ,

ergo $sin{x}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2}}}$

Nunc angulos reperire possumus: $x_{1}={\frac {\pi }{4}};x_{2}={\frac {3\pi }{4}};x_{3}={\frac {5\pi }{4}};x_{4}={\frac {7\pi }{4}}$ . Horum angulorum autem $x_{2}$ et $x_{4}$ excludendi sunt, quod in intervallis memoratis siti non sunt.

Ergo solutiones intervalli $[0;2\pi [$ sunt ${\frac {\pi }{4}}$ et ${\frac {5\pi }{4}}$ . Si solutiones e tota copia $\mathbb {R}$ venire licet, aut formae generalis ${\frac {\pi }{4}}+2m\pi ;m\in \mathbb {Z}$ aut ${\frac {5\pi }{4}}+2n\pi ;n\in \mathbb {Z}$ sunt.

Exemplum secundum

$\sin {2x}={\frac {1}{2}};G=[0;2\pi [$

Ut iam computatum est, anguli sinum ${\frac {1}{2}}$ habentes sunt ${\frac {\pi }{6}}$ et ${\frac {5\pi }{6}}$ . x igitur est ${\frac {\pi }{12}}$ et ${\frac {5\pi }{12}}$ (dimidia angulorum). Sed non solum ii anguli, sed etiam anguli, qui obtinentur, cum ad angulos computatos valor $2\pi$ additur, hunc valorem sinus habent; quod verae solutiones aequationis dimidia horum angulorum sunt, hic etiam anguli maiores quam $2\pi$ spectandi sunt.

${\frac {\pi }{6}}+2\pi ={\frac {13\pi }{6}}=2x$ , ergo $x={\frac {13\pi }{12}}$ . Hic angulus dum in intervallo $[0;2\pi [$ situs est!

${\frac {5\pi }{6}}+2\pi ={\frac {17\pi }{6}}=2x$ , ergo $x={\frac {17\pi }{12}}$

${\frac {13\pi }{6}}+2\pi ={\frac {25\pi }{6}}=2x$ , ergo $x={\frac {25\pi }{12}}$ , sed hic angulus non iam in intervallo situs est, ergo omnes solutiones aequationis repperimus.

Qui sunt ${\frac {\pi }{12}};{\frac {5\pi }{12}};{\frac {13\pi }{12}};{\frac {17\pi }{12}}$ .

Nexus interni