Argumentum epsilon-delta

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Argumentum epsilon-delta est definitio limitis, in mathematica. Definitio dicit:

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b significat
\forall \epsilon>0 \exists \delta>0\ \text{ut}\ 0<|f(x)-b| < \epsilon \Leftrightarrow |x-a| < \delta

Hoc est, si vis valorem f(x) esse prope quantitatem b, modo elege valorem x qui sit satis prope valorem a.[1]

Exempli gratia, quid sit \lim_{x \rightarrow 2} x^2 rogamus. Estne 4? Si |x^2 - 4| < \epsilon, deinde scimus vel (x^2 - 4) < \epsilon (si x2 > 4) vel (4 - x^2) < \epsilon (si x2 < 4).

Casus primus: si x^2 - 4 < \epsilon, deinde (x + 2)(x - 2) < \epsilon, et x - 2 < \frac{\epsilon}{x + 2}. (Quod x est prope 2, licet dicere x + 2 > 0.) Et, si x2 > 4, scimus x > 2.

Casus alter: si 4 - x^2 < \epsilon, deinde (2 + x)(2 - x) < \epsilon, tum 2 - x < \frac{\epsilon}{2 + x}, hoc est -(x - 2) < \frac{\epsilon}{x + 2}, et hic est casus ubi x < 2.

Habemus ergo: |x - 2| < \frac{\epsilon}{x + 2}, quod est δ. Si vis x2 esse proximum 4, igitur, valorem x elege sicut quantitas δ est satis parva. Si vis habere x2 inter 3.99 et 4.01, ε = 0.01. Tum 2 - x < \frac{\epsilon}{x + 2} = \frac{0.01}{x + 2} < x - 2. Si x = 2.1, \frac{0.01}{x + 2} = 1/410, et x^2 \approx 4.0098, ut voluisti. Et limes est 4.

Functio dicitur continua si, omnibus x in eius dominio, \lim_{x \rightarrow a} = f(a).

Notae[recensere | fontem recensere]

  1. G. H. Hardy, Course in Pure Mathematics, 8a ed., Cambridge, 1952, p. 177