Usor:Tchougreeff/QUOMODO sive HOW TO/ELEMENTORUM MATHESEOS PARTES PRIMA ET SECUNDA AUCTORE ANDREA CARAFFA E SOCIETATE IESU IN COLLEGIO ROMANO MATHESEOS PROFESSORE

PRAEFATIO

Ti concinnandis Matheseos Elementis proposui mihi ut, quam fieri potest, demonstrandi rigorem cum simplicitate conjungerem, amplamque materiem ad praecipua quaedam capita ubique redigerem, unde caetera omnia veluti e primariis fontibus deducerentur obruitur siquidem animus rerum disparatarum multitudine ac licet singulas facile arripiat, earum tu « . men summam et nexum non tenet.Exempla passim adjicio ad methodos: illustrandas idonea, ut propterea tyronum fructus exsistat uberior. Probabilitatum doctrinam attingo; non ideo quia certam omnino existimem abstractae eventuum probabilium theoriae ad casus physicos applicationem, sed ut ejusmodi non tam solidarum quam splendidarum disquisitionum speciem quoddam exhibeam. Porro in problematis ad sortem spectantibus multae occurrunt causae et circumstantiae, ut cum de tesseris agitur tesserae cujusque forma et pondus, plani inclinatio, tesserae arripiendae et jaciendae ratio et caet. Singulae autem causae nec ad casus omnes possibiles indiscriminatim se hairIV . bent, nec ad calculum revocari queunt. Id sane norunt qui in ludo numerorum globulis inclusorum deprehendunt alium numerum saepius alium perplures etiam continentes dies nunquam obvenire: idipsum intelliges, si duabus acceptis tesseris, iisque assidue jactis, recenseas jactus habendos antequam definita tesserarum combinatio, ut puta senarius utrimque numerus prodeat. Consimili doctrina abuteretur qui "Scriptorum ac Testium authoritatem numeris vellet repraesentare, aut inquirere de numerica innocentiae vel reatus cujuspiam probabilis ratione: suis profecto limitibus perstringenda Mathesis, nec nisi ad numericam eorum inter se comparationem traducenda, quae, cum ad quantitatum classem pertineant, vere numeris exprimi possunt. Arithmeticam et Algebram 'hic'trado, a primis ipsis ac simplicissimis exorsus, traditurus reliqua in secunda ac tertia Parte: caeterum nihil aut inauditum Geometris, aut cuiquam in mathematicis disciplinis exercitato novum continent Elementa ista; satisque erit si in Matheseos arcana intimiora irrumpere laboranti facem praeferant, viamque sternant.

INDEX RERUM QUAE IN PRIMA PARTE CONTINENTUR, ARITHMETICA

Quidquid Matheseos, et quid Arithmetices nomine veniat num . 1 .

Notatio ac enuntiatio numerorum 2, 3, 4.

Numerorum distinctio in integros et fractos, itemque in rationales et irrationales 5 , 6, 8.

Fractiones decimales 7.

De universalibus quibusdam notionibus circa fundamentales in numeris operationes: additionem scilicet ac subtractionem 9, 10;

multiplicationem et divisionem 11 , 12, .... 21;

evectionem ad potentias et extractionem radicum 22, 23, .... 28.

De primis quatuor operationibus, quatenus in rationalibus numeris juxta notationem decadicam peraguntur:

ac 1.° in numeris integris. 29, 30, ... 45;

2. in numeris fractis generatim 54, 55;

3.° in fractionibus decimalibus 56, 57,

4.° in quibusdam aliis peculiaribus fractionibus 64.

Methodus inveniendi communem duorum numerorum mensuram maxiniam: 46 , 47.

Numeri primi inter se , et primi in se 48.

Qui numerus in se primus N metitur factum P :M.K... , is necessario metietur et aliquem ex factoribus P , M , K , .........Hinc si. N nullum: de ipsis 60 ;M , > num . P K metitur. , . neque metietar P. M. K. 49, 50 . Paucis observatis circa numeros exacte divisibiles per 2 , 3 , 5 , 9 , transitur ad methodum inveniendi omnes divisores dati numeri 51, 52. Quo pacto detegi possit. utrum fractus numerus , sal vo valore , ad minores terminos reduci queat 53 . Ostenditur qua ratione et in decimales - transformen tur fractiones aliae , et numeroruin divisio ultra in tegras quoti notas continuetur per decimales no tas 61, 62. In omittendis citra errorem sensibilem dexterioribus decimalium notis non expedit sic eas omittere ut nulla prorsus majoris accurationis habeatur ratio 63 . Nonnullae proponuntur animadversiones circa po tentias et radices 65, 66,... 7.1 . ' A L GEBR- A Qnantitates algebraicae reales , earumque signa 72 ... 77. De universalibus quibusdam notionibus circa primas in quantitatibus operationes : additionem scilicet ac subtractionem 78, 79 , ... 83 ; multiplicationem et divisionem 84, 85, 39 ; evectionem ad potentias et extractionem radicum 90 ... 95. Praeter quantitates reales spectantur. in algebra , et algebraicis subjiciuntur operationibus expressiones quoque imaginariae 96, 96 , De primis quatuor operationibus , quatenus in po lynomiis peraguntur : de additione videlicet ac sub tractione 100 , 101 ; de multiplicatione ac divisione · 102, 104, ....

108. Si, duo numeri tales sunt, ut queant singuli in duo quadrata resolvi , factum ex iis dupliciter poterit in duo similiter resolvi quadrata 103. Determinare an duo , polynomia communem habeant factorem 107.

• • • 99.mat

. Reliquae duae operationes : ac 1.0 evectio ad poten tias , quarum exponentes integri ac positivi num .109. Newtoniania binomii formula demonstratur quoad expo nentes integros sive positivos , sive negativos 110,112. Permutationum et combinationum principia 111. 1.º Si numerus integer N haud continet numerum in se primum k inter factores , ipse k'erit factor nume ri N- I - 1. Hac spectat theorema clarissimi Fer 111. II. Numerus integer N ponatur constare ' n notis , quae designentur per a , b , c , ... y , z : erit N = 10mai 10 -7bf 103ct 10g - 2 Exinde eruitur illud in summam collectis notis 79 ; 3a , 5a ,' on numeri- N , item - 2a , 42 , 62 , vis , dividetur N per 11 sine residuo , quotiescumque differentia inter utramque summam vel prodit = 0 vel exsistit divisibilis per:1:1 absque residuo 11t.III . “ 2.° Extractio radicum 113, 114 , 115, 116 . Methodus extrahendi radices in polynomiis applicatur ad 'extractionem radicum in numeris 117,118,... 122. Generales quaedam proponuntur aequationum ani madversiones. Quid intelligendum per aequationis radices , quid per ejus gradum , et caet. 123, 124

Productum e pluribus factoribus imaginariis haud eva nescit , nisi eorum aliquis exsistat = 0 125 In aequatione a ox" + a ,x x an-xan , = 0 potest primus terminus liberari a coefficiente a. , ut cumque caeteroquin se habent a ,, a ,, . än 126. Eliminationis doctrina 127, 128 . Methodus liberandi aequationem a terminis radicali bus 129 . Aequationes determinatae ac indeterminatae 130. Subjunguntur nonnulla , quae ad variabiles formula rum valores , ad earum incrementa et decrementa , n2VIII 2° , ... 136 ; - ad expressiones imaginarias , et caet. ... pertinent ; quaeque praeterquam ad alias investigationes , etiam ad aequationum proprietates inveniendas sunt uti lia num. 131. 1 ° , 8º. Resolvuntur aequationes determinatae primi et secun di gradus , utcumque se habeant terminorum cocí ficientes, réales nimirum vel imaginarii 132, ... 135. Resolutio acquationis x ” - (a + 6V - 1) = 0 ; 1. ° quum n2m 2. ° quum n = 2it1 137 , 138, 139 . 3. ° quum n = 2r (2k + 1 ) 140. De varijs aequationum determinatarum proprietati bus, Positis A , B , ... H , K realibus , aequationi [ z ].x " ** Axm? to Box"? + to Hx + K = 0 erit una saltem radix realis si n est impar ; erunt duae saltem radices reales , altera positiva ", altera negativa ,, şi n , est par simulque K < 0 141 , Sit ' K 30; ex reliquis vero coefficientibus si qui adsint > 0 , ' i ( ducto initio ab A , et ordine pro cedendo versus H ) ponantur esse aut unus , duo , aut plures , aut quotquot erunt usque ad H. Certe non earebit aequatio reali ac positiva radice , sed unam tantum habebit ejusmodi 142. Exprimant a ,, a, , ... An-ı , an numericos coefficien tium A , B H , K valores ; et designata per reali ac positiva radice aequationis xh — a ,xni a , ax " an -.х . denoțet a maximum omnium a , , ag , ... an ; erit 143.1. a < at1 Interjaçebit a maximum minimumque numerorum aut 2 . an 0 , 1 na ,, (nan) , .. 143. 2. ° (nano) (nan) Uicumque se habeant coefficientes A , B , ... H , K ,11 reales nimirum , vel imaginarii , ostenditur fore semper unum , pluresve valores x = f' + OVT ad aequationem [2] = 0 explendam idoneos : inz nuitur praeterea ratio , qua proxime obtineri potest f' + OVT num. 144. Polynomium [: ] est productum ex n factoribus pri mi gradus habentibus forniam ejusmodi - h , x . ܕ 2 1 ,: X et quia evanescit xh( ) ( x - 1) (x - 1)... (x -t) , quaecumque ex h , i , l , .... t adhibeatur pro x , et nequit aliter evanescere , ideo aequationi [ z ] = 0) erunt sane n radices , at non aliae quam quae de terminantur formulis x -h = 0,3 i = 0 ; ... to

145. Ubi in aequatione gradus nisimi coefficiens. primi ter mini est = 1 , coefficiens secundi acceptus cum si gno contrario aequabitur summae omnium radicum , coefficiens tertii acceptus cum signo proprio summae productorum e binis , coefficiens quarti acceptus cum signo contrario summae productorum e ternis, et sic deinceps ; postiemus vero terminus acceptus ,cum suo signo , vel cum signo contrario , prout nempe fuerit n par , vel impar, aequabitur produ cto ex omnibus simul 146. Si una e radicibus evanescit , erit K = 0 ; si duae simul evanescunt , praeter K = 0, habebitur et H=0, et caet. Mutatis signis radicum omnium , signum secundi termini in aequatione mutabitur , tertii ma nebit , quarti mutabitur , et ita porro

146. 1. ° 2. ° Multiplicabuntur radices omnes aequationis [z] = 0 per quantitatem a , ubi singuli termini ipsius [z] =0 multiplicentur per singulos terminos seriei 146. 3. " 1 , a ,Aequatio [ z]=0 potest liberari ab omnibus coefficienz tium fractionibus quin primus terminus novum acquirat coefficientem num. 146. 4. ° Aequationem a secundo termino liberare 146. 5 . ¡ Si A , B , ... H, K ponuntur esse reales , non poterit aequatio [z] = 0 admittere radicem imaginariam u+ yV- 1quin simul admittat conjugatam u —-V - 7. Ad hæc : polynomium [ z] exsistet resolubile in reales factores primi vel secundi gradus 147 . Coifficientes A , B , ... H . , K ponantur rationales , omnique fractione carere : -si qua radix realis et rationalis habetur , ea erit inter divisores integros ultimi termini ; ' quorum si nullus aequationem expleat , ' túto inferri poterit nullam aequationis ra dicem fore rationalem

147 . 0 Fractiones induentes formam

145. 0 Resolvuntur aequationes tertii et quarti gra dus 149, 150, : 155 . De formulis integris atque symmetricis in ordine ad aequationum radices. Quid intelligenduni per istius modi formulas, et quomodo ipsarum valores deter minentur 156 , 157 , ... 159. Exinde transitur ; 1.º ad rationem proxime determi nandi radices reales illarum aequationum , quae et radicibus carent aequalibus, et reales habent coëf ficientes 160. 1. ° 2. ° ... 9. ° 2. ° ad methodum , qua aequales aequationum radices redduntur solitariae 160. 10 °. 11.º ; 3. ° ad aliquid annotandum circa eliminationis doctri 162, 163. De aequationibus indeterminatis. Resolvitur aequatio Nx F My – A = 0 ; item Nx F My + P : fum Qu tome A = 0 ; nam* tum plures simul resolvuntur v. gr. NEMY + P : < A =0 , N , # M , 2 + P; z - A = 0 , sub ea conditione ut incognitae X , Y , Z Il y .. exsistant integrae num , 164, 165, 168 . Sub eadem conditione resolritur acquatio A Bret Cor ? + 3 *** A, + B + C ,xºntre

nec non

A + Bx + Cox ? t ... + Kixin As ( 8) 169 , 170

Si A , est numerus in se primus , nec dividit accura te K , et aequatio (1) resolvitur in integris per va lores x < A , , istorun numerus haud erit > n 171 . Variae numerorum proprietates .totidem fermulis ( 7 " ) et ( ,) exhibentur ; quarum formularum postrema f ) recidit in theorema clarissimi Wilson 172, 173. Nonnullae proponuntur animadversiones circa pecu liarem aequationem A A in integris solvendam

174. Exinde transitur ad quasdam aequationes in integris pariter solvendas , quae cum aequatione illa consociantur 175, 176 ; Si summa quatuor quadratorum a ? + -6 % + 6 + d ? multiplicatur per summam quatuor quadratorun a' : +3' ? + c' ? + d' » , : factum inde emergens con sistet in summa quatuor pariter quadratorum 177 Quilibet numerus aut in quadrato consistit , aut spe ctari potest tanquam summa vel duorum , vel trium , vel quatuor quadratorum 178. Proponitur explenda aequatioX11 : g3 Ay ? + Bxy + Cx ? + Dý + Ex + F = 0 per x , y rationales num. 179, 180, 183. Propununtur quoque y = 43: + . B.ic. + Cx? + Dx:3 , g3 = A + Bx + Cx ? + D3x3 . , = Cx? + D . 3 explendae per x , y , rationales 184.. De quantitatibus mediis : quid istarum quantitatum nomine veniat 185. Si h'est media inter quantitates a , a' , a " , .... , sumpto factore quovis r , erit quoque factum rh medium inter ra, ra' , rah 186. Per b, b' , 6 ",...designatis n quantitatibus ejusdem signi , et per ai, a' ,, a " totidem quantitatibus sive ejusdem sigui , sive diversi , erit a ta' ta'! t.. b . + 6 + 6 + a a ' media inter 2 et caet... ... , 187. 6 6 6 , a 2 a' , a " , .. Polynomium ab + a'b ', + - a b " + ... aequatur facto ex b + b +6" to ... in mediam quamdam inter 188. Si quantitas h ponitur media inter a a' , a " sit que B numericus quivis valor , erit Bh media inter Ba , Bal , Ba' ' , et caet. 189. Repraesentatis per B , B' , B " , ... C , C' ,C " , ... nume ricis quibuscumque valoribus , erit G + C ' + C " + B B' B' ' CH C media inter VB , B', VB" , et caet. Si valor numericus H est medius inter B , B' , B " 190. ,XIII caet.... et erit quoque potentia Hamedia inter Ba , B'a , B "'« et .num 191.

De rationibus , proportionibus et progressionibus :

rationum distinctio in geometricas et arithmeticas : quid antecedens . , et quid consequens rationis : quid proportio geometrica et arithmetica : quando bina rum quantitatum altera dicitur esse directe quando inverse ut altera 192 , 193 . In proportione geometrica factum sub extremis aequat factum sub medijs , in arithmetica vero extremorum summa aequat summam mediorum 194. Quid media proportionalis geometrica , et quid media proportionalis arithmetica 194. Si in proportione geometrica a : b =a ' : 6' exhibent a , b, a , b' numeros integros , 'et a .,. b sunt primi inter se , erunt b '= nb , a' = na ; denotat n integrum valorem numericum .195. In proportione geometrica - summa vel differentia ter minorum primae rationis est ad secundum , vel pri mum vel differentia terminorum se eundae rationis ad secundum , vel primum ; rursus est summa terminorum primae rationis ad eorumdem differentiam ut summa terminorum secundae ad ipsorum differentiam 196. Si plures geometricae rationes sunt aequales erit summa antecedentium ad consequentium summam., ut quivis antecedens ad suum consequentem 197 . Ubi plurium geometricarum proportionum primi seor sim termini multiplicentur invicem , tum secundi., tum tertii , tum quarti , facta erunt proportionalia. Idipsum contingit in arithmeticis proportionibus , si multiplicationi substituatur terminorum summa 198. Quid rationum compositarum nomine veniat 198. Si plures rationes geometricae sunt aequales ma ex factis singulorum antecedentium in respe ctivos consequentes erit media proportionalis geo 2 ut summa > summetrica inter summam ex quadratis antecedentium et summam ex quadratis consequentium num. 199. - Quid progressio geometrica , quid arithmetica , et qua ratione obtineatur utriusque summa 200, 201 , 202. Datis primo termino , ultimo , ac terminorum numero progressionis geometricae , vel arithmeticae , inye nire caeteros interjacentes terminos 203 . De logarithmis : quid intelligendum per quantitates. exponentiales , quid per numerorum logarithmos quid per varia fogarithmorum systemata , et quid per systematis basim · 204... Quando numerorum logarithmi proveniunt positivi , et quando negatives : logarithmus unitatis semper = 0 , logarithmus vero baseos semper = 1. 205.. Si plures logarithmi in aodem systemate arithmeti- . cam consituunt progressionem , respondentes nu meri progressionem efformabunt geometricam 206... Logarithmus producti aequat logarithmos factorum si mul sumptos ; logarithmus autem quoti aequat lo garithmum dividendi , dempto logarithmo divisoris... Ad haec : logarithmus potentiae dati cujusvis nu-' . meri obtinetur multiplicando logarithmum ipsius nu meri per exponentem potentiae ; logarithinus vero radicis habetur , si numeri logarithmus per indi cem radicis dividatur 207 , 208... Quid vulgare logarithmorum systema , et quomodo continua mediorum proportionalium investigatione supputatae sint vulgares logarithmorum tabulae 209.. Logarithmi duorum numerorum eamdem in quocum que systemate servant rationem 210... Logarithmorum characteristica 211 , 212 . Logarithmorum ope obtineri potest valor quantitatis incognitae ex quibusdam aequationibus , in quibus ea in exponentem ingreditur 213. De solutione problematum : aequationes , ad quas in problematum solutione pervenitur , aliquando spon te veluti sese offerunt ; at saepe artificio aliquo-X11 opus est ut ad aequatiónes deveniatur , et pro va + rietate ipsorum problematum variae industriae adhis bendae , nec generales tradi possunt regulae eli ciendi ex datisconditionibus aequationes : nonnulla proponuntur exempla num . 214, 215 .. Valores incognitarum negativi explent quidem aequa tionem unde oriuntur sed quaestioni ut est proposita , non semper inserviunt ; aptantur tamen quaestioni ipsi nonnihil immutatae 216. In solvendis problematis saepe ad aequationem perve nitur , inveniendo binas ejusdem quantitatis expressio nes diversas , quae aequatae suppeditant ipsam ae quationem : curandum tamen ut expressiones e diver sis. eruantur , conditionibus 217 , 218. In solutione problematum diligenter est attendenda ratio denominandi 219. Aliquid attingitur de arte conjectandi 220. Notiones generales de seriebus 221 . Series algebraicae 222, 223, 224, 225. Lagrangiana interpolationis formula : 226. Series algebraico - geometricae 227 . Aliud peculiare-serierum genus 228. Series recurrentes 229, 230, 231 , 232. De convergentia et divergentia serierum : quid in telligendum per seriem convergentem , et quid per seriem divergentem 233 . Si series t ,, ta , tz , (6 ) est convergens, terminorum tna tntgtntge unus aut duo , aut plures , aut quotquot erunt (du cto semper initio a primo tn) vergent una sumpti ad limitem 0 ; et viceversa 234 .. Spectatis dumtaxat numericis valoribus , ponatur: - 1XVI tnts tn vergere (crescente n indefinite) ad quemdam limitem fixum k . Series (b) erit convergens si k < 1 , erit autem divergens si k > 1 num. 235, 236. Si prodiret k 1 , non liceret inde seriei conver gentiam eruere ; aequatio siquidem ista aeque stare potest cum seriei divergentia 237, 238, 239. De quarumdam formularum in seriem evolutione : variae praemittuntur notiones 240. Eyolvuntur in seriem : 1. ° em , az 241 ; 2.° L( 1 +z) , L (k +-2) 242, 243. Explicatur quoque in seriem formula (-1-+ 2) in hypo thesi exponentis fe neque integri positivi , neque integri negativi 244. Aliquid annotatur de seriebus imaginariis : quid in telligendum per seriem imaginariam convergentem , et quid per divergentem 245 . Unde possit dignosci utrum series imaginaria sit con vergens , aut divergens De seriebus spectantibus ad formulas as , L ( 1 + z ) , ( 1 + z)th,, quum loco z substituitur expressio imagi naria 247, 248. Adjiciuntur nonnulla de exponentialibus imagina riis 249. De quibusdam infinitesimarum quantitatum proprie tatibus : quid intelligendum per istiusmodi qual titates , quid per earum basim , et ordinem 250. Ex duabus infinitesimis quantitatibus illa quae altioris est ordinis fiet tandem quoad valorem nunericum , constanterque postmodum servabitur minor quam al tera inferioris ordinis 251. Polynomium ex infinitesimis variorum ordinum titatibus coalescens censeri debet inainjtësimum illius ordinis , qui est omnium datoram minimus 252. Factum ex pluribus variorum ordinum infinitesimis .246 . dinum quanXVII nem , qui per quantitatibus censeri debet ad eum pertinere ordi illorum summam exhibetur num.253. Quas variationes subeat ordo infinitesimae quantitatis , quum transitur“ ab una ad alteram basim 254. De fractionibus continuis : ubi data formula ad ex pressionem a' a " q + 9" + g' traducitur , ea transformari dicitur in fractionem con tinuam . Desumitur exemplum a formula an - ZI + с Za in quá Zx est ejusmodi ut habeatur 2x26+ 3 255. 3 (v + 1 ) Variae proponuntur observationes circa fractionem continuam 2x + 1 u Зи . 5uo 2 versa in hypothesi v et u integrorum 256. Fractio continua transformatur in seriem , et vice 257 , 258. Fractiones continuae ac peryodicae 259. Facto a' a " a " =1 , ut habeatur fractio continua 1 1 g' + q " + + ..., ostendimus praecipuas ipsius fractionis proprietates , et usum 260 , 261 , 262. -ERRATA '. GORRIGE

10 ult. n.k 1 kr-1 70 14 h " k.n K - 5 hr il + 16 tkr N.B .. Consimiles correction. nes faciendae in ex ponentibus : pag. 76, 78, 79, 86, 95. 118 32 am 140 ... 144.Ubi inveniuntur R ', I , .. 237 ар bonum erit ponere R,, R,, ... 14 Zn tn 251 4 yiliturae valiturae b. b . 253 ult. kg ky р , 256 15 QUIBUSDEM + QUIBUSDAM IMPRIMATUR F. Dominicus Buttaoni O. P. S.P. A. Mag. IMPRIMATUR P. Piatti Archiep. Trapezunt. Vicesg.ÉLEMENTORUM MATHESEOS PARS PRIMAILOT!!! مهم3

ARITHMETICA

1. Mathesis tota est in magnitudinibus inter se conferendis (quatenus videlicet augmenti, vel decrementi capaces exsistant) mutuisque ipsarum relationibus investigandis. Certe magnitudinem alteram dimetiendo per alteram ejusdem speciei magnitudinem habitam pro unitate, assequemur numericam illius prioris expressionem: sicque licebit magnitudines exprimere numeris, earumque inter se comparationem ad numerorum traducere comparationem. Hinc facile intelligitur, cur Mathesesos Elementa conscribentes initium ab Arithmetica sumendum esse duxerimus ab ea scilicet Matheseos parte quae de fundamentalibus agit circa numeros operationibus. Hae sunt additio, subtractio, multiplicatio, divisio, evectio ad potentias, et extractio radicum; quas omnes breviter expediemus, postquam de numerorum notatione eorumque enuntiatione dixerimus. Breviter inquam: brevitati enim in his Elementis vel maxime consulendum putavimus. Quod si cui videbuntur quaedam aliquanto obscurius dicta, Magistri voce aliquid praestitum iri meminerit.

DE NOTATIONE AC ENUNTIATIONE NUMERORUM

2. In Arithmetica decadica, qua utimur, numeros designamus decem ejusmodi notis 0 (zero , cyphra , nihilum), 1 (unum), 2 (duo), 3 (tria), 4 (quatuor), 5 (quinque), 6 (sex), 7 (septem), 8 (octo ), 9 (novem); nec pluribus opus est: quaelibet namque ex decem unitatibus complexio mox in novam unitatem in decadem abit, decem; item decades in: centenarium, decem centenarii in millenarium , ........... Unitatum videlicet deoadibus , tamquam unitatibus uno: veluti gradu altioribus exprimendis satis: erunt notae illae: decadum insuper decades, tamquam centenariorum unitates duobus veluti gradibus altiores. designabuntur iisdem notis, atque ita porro. Ad varios autem hujusmodi unitatum gradus distinguendos utimur debita notarum collocatione. Consensum enim est inter Arithmeticos, ut infimus, gradus: dextimo censeatur loco; tum versus sinistram progrediendo: valor unitatum loco quovis sinisteriore fiat semper: decuplo major. Vide: sequentem tabellam.

Continet locus

MUS mus DUS VUSMUS itus tus i tus itius dus musi

> KUEt 111019 8 7 6.5.4 3 32 I caetera. lionum Decades Millenariorum Mil Millenarios Millionum Centenarios Millionum Decades Millionum seu Milliones Millenarios" Millenariorum Centenarios Millenariorum Decades Millenariorum centenariorum Millenarios deoariorum Centenarios, tum simplicium Decades seu denarios unila vel seu decades decades simplices Unitates59 cente

3. Priora sex loca considerantes deprehendemus: ea in : binos quodammodo ordines dividi posse ; quo- rum : alter tribus prioribus locis constitutus: unita tès , decades ,,centenariossimplices complectitur ; al-. ter tribus posterioribus: unitates , decades narios millenariorum . Simili nrodo sequentia sex loca spectantes intelligemus prioribus tribus : ( 7mo, 8vo . 9001), contineri unitates ,, décadés, . centenarios millio num ; posterioribus vero tribus ( 10mo , 11mo , 1200 ) unitates , décadès , centenarios millenariorum millio num : - prorsus ut quoad priora ser loca , nisi quod sex posteriora ad milliones pertinent. Eodem pacto quae post 12um , ad 18um usque sese protendunt ; continent. primo unitates , decadés ,, centenarios - bil lionum ; dein unitates ,, decades ; centenarios millena- riorum billionum ; et sic deinceps.. Ad haec : si alicubi vel unitates , vel'décadès vel centenarii désunt', usus habet ut'per zero explea tur locus : sic permanet valór caeterarum unitatum , décadám , centenariorum ..

4. Ex modo : dictis profluit consuetissima ratio et enuntiandi numeros : qui nobis exhibentur jam notis expressi:,.et notis exprimendi quos débite enuntiari audimus. : Hac-super re illud tantammodò restat no tandum , ut videlicet in enuntiandis numeris a sini stino inchoëmas. loco dexteram : versus procedendo.. Itaque- nuiferus v..go- , 734567038 sic enuntiabis :'septingenti triginta et quatuor mil liones ; quingenta sexaginta septem millia , tri- ginta' octo. Et numerum 7830476921110000720 septem trilliones ; octingenta triginta millia , qua dringenti septuaginta : sex billiones ; nongenta: vi ginti et unum millia ; centum et decem : milliones septingenta: et viginti ; itemque ܂6 meros. . 3000042000367 10000000 tercenti trilliones ; quatuor millia et ducenti bil liones ; triginta sex millia , septingenti et decem millionęs. Si aliud notarum systema adoptaretur alia quoque foret ratio et scribendi , et enuntiandi nu

5. Magnitudo habita pro unitate copcipi potest in plures aequales partes divisa. Jam si ex his partibus non omnes , sed aliquot dumtaxat accipias , habebis magnitudiņem alteram unitate minorem , hoc est fra çtionem proprie sumptam . Porro ut idipsum exprimas duobus opus est numeris ; altero qui denotet in quot partes divisą sit unitas , et dicitur denominator ; altero qui partium acceptarum numerum designet, et nume rator vocatur. Biņos autem ejusmodi numeros lineo la interjecta dirimit , ita ut qui numeratorem de notat , scribatur supra lineam , qui denominatorem , infra. Si v. gr. spatium metiris aliquanto longius tribus , sed brevius quatuor pedibus , et pedem pro unitate babitum . in duodecim aequales partes divi sum concipis , spatium vero ultra, tres pedes ad quin-, que partes. duodecimas sese protendat , babebis spa 5 tii longitudinem expressam per 3 et fractionem 12 idest per ternas integras unitates , et quinque uni tatis duodecimas partes.

6. Hinc desumitur numerorum distinctio in integros et fractos , qui communi etiam vocabulo rationales dicuntur. Ubi animadvertendum est illos quoque numeros (etsi minus proprie) generatim vocari fractos, qui licet haud exsistant minores unitate men sese exhibent sub forma fractionum, ut v. gr. qua numerica expressione indicamus sumendas esse novem partes unitatis quartas; quod eo redit ta 9manifeste , ut binge accipiantur; aniţates, simul cum quarta , unitatis parte. , , . ;

7. Fractiones, quarum denominator: est numerus 7.3.33 : 9. decadicus ,, Vogro. vocantur de 10 100 1000 cimales. Et quoniam decima unitatis pars aequivalet de cem centesimis , centesima decem millesimis, et caet... ; propterea peculiares ejusmodi fractiones , omissis des nominatoribus , solent instar integrorum ( 2 : 3 : 4.) expeditius exprimi ; at quo ordine a dextera ad lae vam · locum unitatum -sineplicium sequuntar decades i centenarii.,, millenarii eodem a laeva ad dexteram ipsum ' ' unitatum locum, interposita virgula i, sub sequantur partes unitatis decimae , centesimae , mil lesirmae... ; uti videre est in - subjectis numeris '... 35; 2406 ; 2,023 :; 0,0026 : Primus dénotat: triginta quinque unitates , duas dea. cimas anitatis partes , quatuor centesimas , nullam millesimam , sex denas millesimas , seu , quod eodem recidit ,, triginta . quinque unitates..et. bis mille qua drigentas sex denas, millesimas.. Secundus designat duas unitates, nullam decimam ,, dúas centesimas , tres millesimas seu duas unitates et viginti tres :millesimas.. Tertius nullam unitatem , nullam decimam , nullam.centesimam exhibet , sed tantum binas millesi mas , sex denas millesimas , sive. · viginti sex denas millesimas.

8. Assumpta certa quadam unitate , haud poterit, ejus ope data magnitudo numeris rationalibus exacte repraesentari ( 1 :: 5 : 6 ) , nisi vel ipsa unitas magnitudinem accurate metiatur , vel divisa unitate in quotvis partes aequales , deveniatur tandem . ad ejus modi partes , quae accuratam illam suppeditentmen surationem . . Ponamus utramque deesse conditionem . Aucto jugiter numero partium aequalium in quas8 + nem dividitur unitas , ideoque ipsis partibus magis sema per imminutis , indesinenter decrescentrestantes illae magnitudinis portiones, quae impediunt quominus sin gulae mensurationes obtineantur exactae. Quare , his ce portionibus minime consideratis , ex aliis atque aliis mensurationibus orientur alii pariter atque alii numeri rationales ; qui tametsi nunquam praebeant veram accuſatamque datae magnitudinis expressio ad hanc nihilominus semper propius accedente Istiusmodi expressiones , ad quas praefati numeri ra ţionales accedunt magis quam pro quocumque deter minato, numero, rationali utcumque parvo , quin ta men unquam pertingant, habentur ut eorumdem nu merorum rationalium limites , atque numeri irratio nales, appellari solent. Proderit haec in praesens de numeris irrationalibus innuisse , Caeterum tam ratio nales , quam irrationales numeri etiam Alphabeti lit teris exprimuntur , quod mox praestabimus. agentes, 2.37€:51

Additio.

9. Numero $A$ numerum $B$ addentes, sive quod eodem redit, efficientes ut $A$ recipiat incrementum $B$, assequemur tertium quemdam numerum, qui dicitur summa, quique designatur per $A+B$ signum "$+$" voce plus enuntiatur. Illud interim, quin demonstretur, solet ut evidens assumi; plurium scilicet numerorum summam permanere eamdem quocumque demum ordine alter addatur alteri.

Subtractio.

10. Ex numero $A$ subtrahentes numerum $B$, seu quod eodem recidit, efficientes ut $A$ subeat decrementum $B$, obtinebimus tertium quemdam numerum, qui vocatur differentia, quique exhibetur per $A-B$: signum "$-$" voce minus effertur. Liquet autem differentiam $A-B$ fore ejusmodi numerum $D$, cui si addatur $B$ inde prodeat summa aequalis: numero $A$, idest $D+B=A$: signum "$=$" denotat aequationem; $D+B$ dicitur primum aequationis membrum, $A$ secundum.

Multiplicatio.

11. Tunc dicimur numerum $A$ multiplicare per numerum $B$, quum subjicimus $A$ eidem operationi, cui subjicitur unitas ut obtineatur $B$. Numerus inde resultans appellatur productum vel factum ex $A$ in $B$, designaturque per unam quamvis ex ternis expressionibus

$A\times B,\ A\cdot B,\ AB$

$A$ vocatur multiplicandus, $B$ multiplicator. Jam $B$ esse potest vel rationalis (integer, aut fractus), vel irrationalis.

Sit 1.° $B$ integer. Certe obtinebimus B addendo iterum iterumque sibi ipsi unitatem. Itaque ut assequamur factum A.B , oportebit numerum A tidem similiter vicibus addere sibi ipsi , hoc est tot numeros , quorum singuli = A , in unam colligere summam , quot sunt unitates in B ..

Sit 2.° B fractus, ejusque numerator m, denominator vero n. Quoniam assequimur B dividendo unitatem : ( 5 : 6.) in n partes aequales , et ' unam: quamvis ex iis toties addendo sibi ipsi , quot sunt unitates m , assequemur igitur; factam A B dividendo. A in n partes aequales , et unam quamlibet ex istis partibus toties addendo sibi ipsi . quot. unitates inveniuntur in me

Sit 3.° B irrationalis ..Concipiatur" A successive multiplicatus per illos rationales numeros , qui (8) jugiter accedunt ad B .. Vel. leviter attendenti pate bit , producta ', quae inde nascuntur indesinenter accedere ad certum aliquem . limitem .. In hoc limite: consistet factam A.B..

12. Simili modo cum, nihilum seu zero haberi queat: pro limite numerorum rationalium jugiter decrescen tium ,, factum . A :0 habebimus tamquam limitem i eorum productorum, quae obtinentur multiplicando successive A. per numeros rationales assidue decre- . scentes. Et quia necesse est haec producta indesi nenter imminui , ,ita ut et ipsa magis,semper acce . dant ad :zero , propterea A.0 = 0 . -

13. Numeri h ' , ki, m , niponantur integri. Frat ctionem in n partes aequales dividere perinde est k ( 5 : 6 ) ac unitatem dividere in kon partes simili- ter aequales.-Pars igitur nsima fractionis ' expri --- k . mețur per: 1 $ kon h' unde sequitur partem nosimam " fractionis fore h nek 19 . n quam toties accipientes , quot unitates inveniuntur in m , habebimus Iz.mu kon Hinc ( 11. 2.° ) h home k kon

14. Factum ex numeris A , B permanet idem sive habeatur A pro multiplieando et B pro multiplicatore , sive e converso B pro multiplicando et A pro multiplicatore; nimirum . A.BB.A. Numeri A , B ponantur integri. Certe ( 9.3 -11.19 assequemur factum B. A toties addendo sibi ipsis unitates singulas quae sunt in B , quot unitates in veniuntur in A , et emergentes summas colligendo in unicam summam . Palam vero est id perinde fore ac toties' addere A sibi ipsi , quot sunt unitates in B. Ergo AB = B.A - ) ; Et quoniain multiplicatio - in numeris fractis traducitur ad multiplicationem in integris (13), haud dubie valebit assertio etiam quoad A, B fractos. Stat itaque assertio respectu A, B rationalium . Jam non pluribus opus est ut intelligamus (11.30), eam pariter valituram quoad A , B. irrationales.

15. Sive AB multiplicetur per C , sive A per BC, idem in utroque casu prodibit factum. Erit videlicet AB.CA.BC. Numeri A , B , C ponantur integri. Quoniam AB aequat A toties sibi additum quot sunt unita tes in B , propterea AB · C adaequabit A toties sibi pariter additum , quot unitates continentur in BC , hoc est ( 11. 19) ABC A.BC. .12 Nunc ex demonstratis ( 13 ) intelligimus asser- tionem veram quoque esse quoad A , B , C.fractos , et ex dictis ( 11.. 30), veramiadhuc esse quoad A B , C irrationales.. Hinc autem et ex : probatis (14) sequitur , factum ex tribus quibuscumque numeris: permanere idem , quocumque demum ordine invicem : multipli centur: Pronum : est ad' quatuor , quinque.... onume ros idipsum : extendere.. A , B , Coco- invicem :multiplicandi solent com mani nomine appellari factores illius numerii qui ex . eorum multiplicatione: resultato

Divisio.

16. Tunc dicimur dividere $A$ per $B$, quum in ejusmodi numerum, inquirimus, cujus productum per $B$ aequet $A$. Numerus $A$ vocatur dividendus $B$ divisor, qui vero emergit ex divisione, dicitur quotus.

Hinc si proponitur: dividenda unitas per numerum integrum $n$, quaestio: eo reducetur ut inveniamus partem n^simam innitatis; et consequenter exprimetur quotus (5), per 14 n “ Rursus si per ' nn debeat dividi' AA , eo res traducetur ut quaeratur pars n^sima ipsius A. Quare si pro A adhibeatur numerus integer m, cum pars illa n^sima aequet unitatis partem nsimam toties acceptam , quot sunt unitates in m , exprimetur (6) quotus per m ' n' Generatim expressio A B13 1

adhiberi solet ad indicandum quotum emergentem

ex divisione A per B., utcumque caeteroquin seiha beant . numeri A , B ...Idem praeterea quotus designa tur etiam per A : B .

17. Numeri m , n , h , k sint integri. Quotus qui h emergit ex divisione .numeri fracti k per numerom h fractum aequat productum exbinis fractis .k m n 7 -; idest (13) h m h k hon n k m kom n C per divisorem 加 一 m 儿 n h Multiplicetur enim k exsurget factum ( 13 : 14) h n m h mn h . k m in k mn k aequale «nimirum dividendo ; ideoque ( 16 ) et caet.

18. Quemadmodum m , n , h , k , ita p.q.i , denotent numeros integros. Erunt (17:13 : 15) m L TL 9

1. lelak

ela-t mk nh pl gi mpkl nghi k T mi Р тр. hi n 9

• " ng h

k T1. m Pr . ከኔ n 2 2 q mk pl mika h nh ni nthp h . i ті hop 1 ' nl 'h р k 9

18. Utcumque se habeant numeri A , B , C , D , rationales nimirum , vel irrationales , facile nunc intelligitur (8 : 11. 3° : 18) fore semper A с A.C B D B. kių 음. А C. D A.D B B.C A : с

20. Est ( 19:16) A.C B.C itemque A h.com = A B B A.C C A B.C A B C B Unde sequitur valorem numeri haud im B mutari si numeratorem per eumdem numerum mul tiplices , vel dividas -, per quem denominator mul tiplicatur , aut dividitur.

21. Ex modo dictis apparet ratio qua numeri116 cae A " E H B'F'K " idiversis praediti denominatoribus possint universim , salvis valoribus., ad eumdem redigi :denominatorem . Id nempe fiet multiplicando uniuscujusque numera torem simul eţ denominatorem per factum ex terorum denominatoribus. Sic , permanentibus.valori (bus , bini A E B „redigentur , ad .binos A.F * E B B.F eodem praeditos denominatore ; terni AΑ ' Ε " H B F. ' K ad ternos A : F : K E.B.K H.B.F B.F.K ! B.F.K B.F.K eumdem pariter habentes denominatorem . Hinc vero A L'E A.F E.B A.F +E.B B F. B.F B.F. B -F i B.F. A E A.F E - B B " A.F - E -B F B.F B.F B.F et caet... Evectio ad potentias.

22. Si e tribus numeris A , B , P ponimus P ita formari ex A ope multiplicationis , quemadmodum B ope additionis formätur ex unitate , A dicetur ra16 dix , P ejus potentia , et Bexponens quo potentiae gradus indicatur. Potentia P designari solet per AB . Quibus praemissis , evehere A ad potentiam gra dus B nihil sibi vult aliud nisi numerum AB deter minare. Jam exponens B potest esse vel rationalis (integer , aut fractus) vel irrationalis.

Sit 1.° B integer , ut existat B = 1 of 1 for summa videlicet plurium unitatum . Habebimus A8 = AXAX .... Erit nimirum As productum ex tog factoribus =A, quot unitates invicem addendae sunt ad for mandum B. Itaque potentia prima numeri A erit ipse A, potentia secunda productum ex binis facto ribus A , potentia tertia productum ex tribus ejusmo di factoribus , et sic deinceps. Potentia secunda solet quoque appellari quadratum , tertia solet vocari cubus.

Sit 2.° B fractus , cujus numerator m et deno minator n. Ut ope additionis ex unitate formetur exponens debet prius determinari pars nsima unitatis , hoo ' est numerus qui n vicibus sibi addi tus restituat unitatem , dein hic idem numerus toties sibi addi , quot unitates inveniuntur in me Igitur m n ad potentiam A " obtinendam , oportebit prius deter minare ejusmodi numerum a , ut invicem multipli catis n factoribus aequalibus ipsi « inde exsurgat A , dein productum efficere ex im factoribus aequali bus eidem & . In hoc producto consistet potentia A" . Hinc vero (19) Acom A am179 zero 9 . ad quem

Sit 3.° B irrationalis. Adhibitis pro B successive ¡ is rationalibus numeris qui jugiter ad ipsum acee dunt , paululum attendenti patebit potentias inde nascuntur , ad certum aliquem limitem indesi nenter accessuras. In hoc limite consistet potentia-ABC .

23. Quod ad potentiam spectat, cujus gradus est ea erit habenda ( 12) pro limite , ' continue accedunt valores ii , quos recipit AB' , cum loco B adhibentura nameri rationales jugiter decre-. scentes . Atqui limes iste = 1. Ergo Ali. Minor propositio est evidens quoad A = 1 '; tunc enim . et numerus < (22.2 !) erit constanter = to . In aliis casibus probatur ex eo , quod imminutis magis semper numeris rationalibus loco B adhibendis., nu merus Q. jugiter ad unitatem accedat crescendo: vel decrescendo , prout A.exsistet minor vel major unitate .

24. Denotent B, C numeros integros. Productum ex tot factoribus =A , quot sunt unitates in B + C , poterit evidenter exprimis ( 22.., 19) tum per AB, AGI, tum etiam per AB+C Exhibeant B , C numeros fractos , qui redigan tur , si opus est qui ad eumdem denominatorem (21) , ut habeamus h mi Bis C. BTC = т n n n Ex . modo dictis productum ex tot' factoribus = , quot unitates continentur in mth , poterit repraesentari per am, alt aeque ac per am.. At qui (22.29) m + h am . ah. = ]A ." . A " = AB.ACC; am ;k = An: =A810. Istud ergo productum exprimetur quoque per AB, Ac similiter atque per AB + C4 . PARS I. 2 .18 Itaque si B , C sunt numeri rationales , profe cto qui numerus designatur per Ar . Ac , is pari er designabitur per AB+c. Idipsum ergo valebit (22.39 quoad B , C irrationales. Utcumque nimirum se ha bent B , C , erit semper AB. AC = AB + C ; et generatim AB.AC.AD.A .... = A8 + c + 0 + * + : Ad haec : quisque facile intelligit (21. 19) fore etiam Am.Cm.Dm ... = (A.C.D ... )m . Quod si quemadmodum posuimus (22.2°)A = au .. , ita ponamus ( = v.v ... , D = 0.8 ... et caet... erunt m m A . C " : D am .,m.cm ... , m (A.C.D ...) " = (Q.v.d ... m . Igiturm m m m A" .c" .D " .... = (A.C.D ....) et universim (22.39) AB.CB.DB ... = (A.C.D ...) .

25. Potentia Ax evecta ad potentiam gradus C exhibeatur per (A1,"; m n fiant autem prius B =m , C =h , dein B h C = k In primo casu apertissime habemus ( 22.19) (Ami =Amh,} C 19 Ad secundum casum quod pertinet , sitB; ejus madi numerus , ut multiplicatis invicem k factoribus = ß . emergat (22..20) productum = 4 Nascetur igitur A ex multiplicatione nk factarum . = ß , eritque mh A Bmh.. nk . Est autem ( 22 , 20) * mh , h nk ( A " ) Igitur cam ) ( @mylo = ßmh .. m 2 m.hr nk ( A - Ànk .. et generatim (22. 3 °y utcumque se habent B , C ,, (ABC = ABC ,

26. Ponatur in AB m . n nп Ac B major quam C , ac prius fiant : B = m , C = h , h dein ( 24 ) BE Quoniam in primo casu Am resultat-.ex.m factoribus, A , et Ah ? ex h faotoribus = A invicem multiplicatis , certe salvo va- . lore: (20) poterunt numero Am An detrahi, factores ii , quisunt numeratori- ac denomis. natori communes : quo peracto redigetur denomina tor rad unitatem , numerator · vero ad productum ex m - h factoribus = A. Igitur; Am Anok : Amandle , A Ᏹ . 1 .20 In secundo casu habemus (22. 22.: 25 .: 21) m - h n Α.16 am sh = (A ™ )m -h = A SA Ex quibus colligimus (22.39) fore AB =ABC Ac etiam quoad B .C irrationales. Si ponatur B minor. quam Ĉ , eodem ratiocinandi modo eruetur AB 1 AC AC By Extractio radicum ..

27. Ex numero . A extrabere radicem notatam nu-. mero Ba significat , inyenire ejusmodi numerum R. qui evectus, ad potentiam gradus : B restituat Ao Nu merus B , quo notatur gradus radicis R , dicitur in dex , ipsaque radix exhiberi solet per VĀ. Radix secundi gradas vocatur etiam quadrata . tertii cubica. Usus insuper.habet ut radix quadrata , detracto indice , , repraesentetur per . V.

28. Denotantibus , ut supra m Nii numeros inter gros , cum An aequet (1-12 10 : 22.2°) productum ex m.n factoribus = % , certe v Am,aequabit productum . ex m factoribus = % ; ideoque (22.29)21 VAMEA" Est insuper (26) A ( A Igittir IN VĀ = A * = V AM Haec universim circa fundamentales in numeris Operationes : nunc

DE PRIMIS QUATUOR OPERATIONIBUS , QUATENUS IN RATIONALIBUS NUMERIS JUXTA NÓTATION BÀN DECADICAM PERAGUNTUR. 1

Additio in numeris integris

29. Si numero addendus est numerus qui unica designetur nota, quique vocatur simplex, nemo non illico assequitur numerum exinde resultantent. Quoad numeros, qui pluribus exprimuntur notis , quique vocantur compositi, ubi aliquo exemplo rem declara verimus totus certe operationis processus 32478 cuilibet palam fiet. Dentur itaque addendi 32478 , 397 , 96061 , 42. Alios ita alüs 397 adscribe serie descendente , ut unitates uni 96061 tatibus subjiciantur decades decadibus , centenarii centenariis , et sic deinceps 3 128978 tum infra omnes numéros duc lineam et ab unitas tum columna exorsus dic 8 + 7 = 15 , 15 +1 =16 , 16 + 2 = 18. Obtinės ergo ex hac columna unam decadem et octo unitates. Itaque in loco unitatum 4222 scribe 8 , et illam decadem adnumera "sequenti deca dum columnae' dicens21:-778 8 + 9 = 17 , 17 + 16 = 23 ,-23 + 4 = 27 : sic habes duos" cen tenarios ' et ' septem decades. Quare scribe 7 in loco de cadum , et binos centenarios rejice in sequentem cen tenariorum columnam dicens 2 + 436, 6 +3 =9 , 9 + 0 = 9 ; hoc pacto habes-- novem dumtaxat cen tenarios. · Pone igitur 9.in loco centenariorum. : Jam ad millenariorum columnam progredere , et habebis tantummodo 2 +6 = 8 ; quam notam 8 in loco mil lenariorum constitue . In postrema decadum millena riorum columna occurrit 3 + 9 = 12 , nimirum unicus millenariorum centenarius , et : binae millenariorum decades. Scribens igitur - 2 et 1 in propriis locis ( 15t0 et '60 ) assequeris quaesitam quatuor numerorum summam ; videlicet 32478 +397 +96061 + 42 = 128978 . est

30. Operationis ergo processus generatim in eo ut uniuscujusque. columnae numeri ita colligantur ac ' si ' essent unitates, totque ex summa quae inde oritur rejiciantur unitates in columnam proxime sequentem, quot in praecedente supra unitates collectae sunt decades. Dum enim ab una quavis columna ad reliquas versus laevam progredimur, cujuslibet notae valor in loco "subsequente decuplo major censetur, quam in proxime praecedente.

Subtractio in numeris integris.

31. Quum numerus simplex subtrahendus est ex numero simplici, aut e numero, composito intra 9 et: 19- constituto ,i quisque statim restantem numerum assequitur. Ad alios números quod spectat , subtra hendum numerum subjicies minuendo ita , ut unita tes respondeant unitatibus , decades decadibus , et sic de reliquis : tum dueta linea , et ab unitatibus exor23 ut sus , deme quamlibet inferiorem notam de superiori, et singula residua infra lineam in propriis locis con stitue. Hoc pacto numerum habebis , qui sit datorum numerorum differentias Exemplums E numero 267896 subducendus sit 267896 numerus 3104. Scribe hunc.infrà illum isthic factum cernis : tum dic 6 3104 -452 9-0 = 9,8—157 i ģ 3 = 4 264792 quae residua collocanda sunt infra lineam ut isthic pariter factuni vides. At quoniam duabus minuendi sinistimis notis nulla subtrahendi nota re spondet , tas ordine quo occurrunt in minuendo de bes adhuc lineae subscribere , ut proinde habeas quae sitam differentiami 267896 3104 =264792.

32. Quod si alicubi inferior nota inveniatur major superiore , hanc decem unitatibus augebis , easque sumes de nota proxime sequente , quam iccirco habe bis deinceps tamquam unitate imminutam (2).

Exemplum . Debeat subtrahi 2974 ex 3581. Cum 3581 numerus 4 nequeat subduci ex 1 , adde 2974 huic decem unitates , et dic 11 — 457; tum superiorem notam 8 proxime sequen 607 tem unitate privabis ; ab ea enim unitatem sum psisti , ut decem unitatibus praecedentem notam au geres : hinc 77= 0. Ultra progrediens , cum nu merus 9 nequeat auferri ex 5 , huic rursus decem unitates adjicies , et habebis 15 — 966. Ob denas unitates , quibus auxisti numerum 5 , postremam no tam 3 unitate mulctabis ; et quoniam 2-2 = 0 ; propterea quaesita differentia erit 3581 2974 607. LA24 ex no 33. Saepe contingit , ut una pluresve cyphrae subsequantur notam augendam. Tūnc vero ta , quae post- cyphras occurrit prima , sume unita tem , quam immediate transferes in locum ultimae cyphrae , ubi decadem valebit. Ab hoc loco una de cadis unitas transferenda pariter erit in locum pe nultimae cyphrae., ubi rursus, decadem valebit , atque ita porro , donec veniatur ad notam denis ' unitatibus augendam . Sic fiet , ut cyphrae omnes' in noverrarios vertantur , et nota post cyphras occurrens primami nuatur unitate. Exemplum . 9 = 0 , Proponatur snbdućendus numerus " 143975 ex 180002. Erunt 12—5—7 , 9-72, 180002 9 9 -3 = 6 , 7-4.53 143975 1-1 = 0 ; unde quaesita differentia 36027 180002 - 143975536027.

34. Totius operationis ratio constat , quippe uni tates ab unitatibus auferuntur , denarii a denariis et caet. Ut antem certus sis operationem rite fuisse peractam , adde inventâm differentiam nume ro subtrahendo. ' Si nullus error irrepsit , haud dubie prodibit summa aequalis ( 10) minuendo. Multiplicatio in numeris integris.

35. ' Ut scias quid praebeat numerus simplex per alterum simplicem multiplicatus , alterutrum toties 1.scribe in eadem serie verticali., quot sunt unitates in altero , ut dein colligas summam , sicque (11 .. 10 ) factum quaesitum óbtineas. Verum ut ejusmodi facta in promptu habeant tirones , ecce abacum Pythago ricum25 2 3 4 5 6 7 8 9 ' 1 1 213 4 18 19 2 2 4 6 1 8 .10 12 14 -16 18 3 -3 , 3 - , 6 .9 1-2 .15 .18 21 24 . 27 4 4 8 12 16 20.1-24 28 32 36 5 5 -10 1: 20-25 | 30 35 40 | 45 6.12 18 -24 30 36 42 48 54 7 14 21 -28 35 42 49 56 63 8 8 16 .24 32 40 4856 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Porro hujus abaci usus ex unico patebit exem plo. Quaeritur v . gr . factum ex 8 in 3. Alterutram notam v . gr. 8 inquire in laterculo supremo hori zontali , alteram vero :7 in laterculo primo vertica li : tum a nota 8 verticaliter descende., donec per venias ad eamdem horizontalem seriem in qua est altera nota 7. Incides in areolam contineniem nu merum56. Erit 56 factum quaesitum .

36. Ut in numeris compositis perficiatur multi plicatio , servabitur methodus ejusmodi. Constitua tur multiplicator infra ' multiplicandum ' ; ductaque linea , omnes multiplicandi notae per singulas mul tiplicatoris notas multiplicentur initio utrobique a )26 dextimis ducto ; et quae decades in his peragendis multiplicationibus colliguntur , eae seponantur ad dendae facto ex eadem multiplicatoris nota in pro xime sequentem multiplicandi notam . Facta , quae oriuntur e singulis notis multiplicatoris in omnes no tas multiplicandi scribantur seorsim infra lineam serie descendente ita , ut nniuscujusque'unitates sub jaceant notae illi per quam peragitur multiplicatio. Jam si eorum omnium inveniatur summa ea erit produetum quaesitum . Exemplum . Quaeritur factum ex 824 in 59. Consti i 824 tue 59 sub 824. , ut isthic vides ; tum ducta 59 linea dic , 4.9 = 36 : scribe 6 sub nota mul 7416 tiplicante 9 , ac tres decades sepone ad 4120 dendas facto sequenti 2.9 = 18 ; habebis 18 + 3 = 21 ': ' scribe 1 et facto 8.9 =72 48616 adjieens 2 scribe 74. Omnibus notis nu meri : superioris multiplicatis per 9 , restat ut eas dem per 5 multiplicemus. Dic igitur 4.5 = 20 : scri be o ita , ut subjaceat notae multiplicanti 5 , et se quenti facto 2.5 = 10 ' addens 2 habebis 12 : scri be 2 , et facto 8.5 = 40 adjiciens 1 scribe 41. N « meros sic dispositos collige in summam : prodibit 824.5948616 . -1. Simili modo si proponan -3045 9486 tur invenienda facta ex 3045 267 2103 in : 267., et ex . 9486 in 2103 , 21315 28458 erunt 18270 0000 3045.267 = 813015. , 6090 9486 813015 18972 ' . 9486.2103 = 19949058. 19949058

37. Totius operationis ratio facile intelligitur ex dictis ( 2 : 3 ) et ex principio illo , quod partes si mul sumptae totum adaequant.27 Divisio in numeris integris.

35. Quum numerus m. proponitur dividendus per numerum n , quaestio eo manifeste (16.) " reduci, po test, ut vel inveniatur quoties n continetur in m . , vel determinetur quota pars numeri ' m obveniat sin gulis capitibus , si debeat m ex aequo distribui in tot capita , quot sunt unitates in no Quibus notatis , proponatur numerus v . 3741/247 : 6 gr. 741 'dividendus per 3. Dividendo 'nu mero praefige divisorem , lineola inter 14 jecta : tum a sinistima dividendi -nota ex 12 orsus dic ; quoties 3 continetur in 3 ? Resp. 2. Itaque ex altera dividendi -par 21 te scribe 2 , lineola similiter interjecta et factum 2.3 =6 subtrahe de 7 , et re 00 siduot notam 4 adnecte , , quae in dividendo pro xime sequitur notam 7 jam diyisam . Dic rursus ; quo ties 3 in 14 ? Resp . 4. Notam 4 adjunge priori 2 post lineolam versus dexteram ', ' et faetunt 4.3—12 aufer 14. Residuo 2 appone sequentem dividendi no tam 1 ,' et dic ; quoties 3 in 21 ? Resp. 7. Scribe 7 in quoto , et factum 7,3 = 21 subtrahe ex- 21. Nihil remanebiti, eritque 247 quotus quaesitus ; idest 21 ex 30 741 24: 3 1

39. Operationis rationem sic reddere tibimet ipse poteris. Quaesivi ; : 3 in 7 quoties ? inveni primam quộti notam 2 ; tot nimirum obvenire posse centena rios unicuique e tribus capitibus Factum -2.3 = 6 ., quod non pertingit ad 7 , ex* 7 subduxi utdefinirem quot centenarii supersint ; nempe unus , quem "ap posita dividendi -nota 4 , reduxi ad 14 decades ; quae cum ulterius distribuendae sint , iccirco iterum quae sivi , 3 in 14 quoties ? Certe haud - major quoti nota28 quam 4 potuit obtingere. Hinc intellexi singulis ca pitibus praeter duos centenarios nonnisi 4 decades dari posse ; et quoniam 4.3 =12 , et 14--12 = 2 restarunt itaque binae decades adhuc distribuendae ; quas, adjuncta postrema dividendi nota 1 , reduxi ad 21 unitates simplices. Jam ut invenirem quot uni tates forent singulis đandae , quaesivi denuo ; 3 in 21 quoties ? et ‘habui postremam quoti ndtam quae cum per 3 multiplicata suppeditet piraecise 21 nihil praeterea dividendum remansit.

40. Si numerus v . gr. 2368 dividen dus esset .per 4 , nullus certė singulis 4/23681592 capitibus obvenire posset millenarius 20 cum in dividendo duo tantum sint mil 36 lenarii. Quare his ad centenarios reda 36 ctis , dices ; 4 in 23 quoties ? tum pro 008 cedendo ut supra habebis 8 2368 0 592. 4

41. Ubi peracta divisione aliquid residuí ex ul tima subtractione remaneat , obtentis notis adjungen da erit fractio , cujus numerator sit ultimum illud residuum , denominator vero sit ipse divisor. Sic v. gr . numeruin 6719 dividentes per 4 51671911343 5 sequemur quotum 1343 tri Ratio 5 5 17 est , quia cum ex illo residuo ne queant singulis capitibus obveniré uni- 15 tates intégrae , concipitur quaevis uni 21 tas divisa in tot partes , quot sunt ca 20 pita in quae proponitur divisio facien 19 da , et quae divisor exprimit ; et cum singulis capitibus dari debeant singu larum unitatum singulae partes , unum 4 quodque caput tot partes accipiet , quot unitates 5 as 312 31 1529 sed inveniuntur în residuo illo ; accipiet nimùum fractio ņem (5 ) , cujus numerator sit postremum illud resi duum , denominator vero ipse divisor.

42. Hactenus, divisorem posuimus numerum sim plicem . Sit jam numerus va gr. 26641 dividendus, per 372. Operationem instituens 229 în prioribus dividendi notis , quae 372 |26641171 numerum exhibeant vel aequa 2604 372 lem , vel proxime majorem (40) 601 divisore , dic ; 3. in 26 quoties ? 372 Continetur quidem . octies , non agitur tantum de prima di 229 visoris notane verum : de toto , divisore , qui per quos tum multiplicatus, non debet şuppeditare factum ma jus dividendo.: est autem 37.2.8 = 2926 , majus par-. te 2664 , quam , primo dividendam suscepisti. Quare sume notam proxime minorem quam 8 , scilicet 7 quae multiplicata per 372 praebet factum 2604 quod subtractum, ex 2664 relinquit 60. Serihe igitur ? in quoto , et residuo 60 adjice notam 1. Erit ite rum dividendus numerus 601 per 372, Dic itaque ; . 3 in 6 quoties ? Continetur quidem bis , sed quia fa ctum 372.22= 744) excedit alteram dividendi partem 601 , profecto sumenda erit unitas eaque scribenda post notam ? in quoto , Et quoniam subtracto 372,1 ( = 372 ,) ex 601 , prodit residuum 229 minus di visore 372 , nec alia superest dividendi nota quae residuo adjiciatur , iccirco (41) numero 71. adjunge 229 tur fractio 372 eritque 26644 229 372 747 372

43. Facile intelligis , sive divisor exsistat numerus: simplex , sive exsistat numerus compositus eodem fere modo operationem procedere ; nisi quod in30 secundo casu saepius contingit , ut; dum attenditur prima tantum divisoris nota , accipiatur quoti nota justo major. Sed quia multiplicato divisore per ejus modi quoti notam , prodit numerus major eo , a quo subtrahi debet , error iccirco , statim corrigitur. Possumus alia quoque ratione cognoscere. utrum illa quoti nota sit justa necne . Postquam determina tum fuerit quoties prima divisoris nota contineatur in prima , vel in duabus primis notis partis dividen dae videatur primo an : quod 'superest primae notae divisoris conjunctum cum sequenti nota partis divi dendae et habitum pro decadibus satis sit , ut toties saltem contineatur in eo secunda divisoris nota ; tuin an quod ipsi superest conjunctum cum alia sequenti nota partis dividendae sufficiat ' pro tertia divisoris atque sic deinceps usque ad postremam . Ubi singula satis fuerint *, ' praedicta quoti nota erit' evidenter ju sta , secus minuenda erit unitate. . Sic in superiori exemplo (42) quaeritur , 3 in 26 quoties ? Invenitur 8 , et notae 3 superest numerus 2 , qui conjunctus cum sequente partis dividendae nota 6 praebet . 26 , in quo numero minus quam octies continetur secun da divisoris nota 6. Quare pro 8 adhibendus 70. Sum pto autem ? , primae divisoris notae supererit 5 , qui conjunctus cum sequente partis dividendae nota 6 dabit 56 , et consequenter secundae divisoris no tae supererit 7 , qui conjunctus cum alia sequente nota 4 partis dividendae suppeditat 74 , in quo ter tia divisoris nota 2 plusquam septies continetur; un de sequitur totum divisorem 372 septies contineri in dividendi parte 2664.

44. Animadvertatur illud: fieri potest, ut subducto facto quod prodit ex divisore in quoti notam , habeatur ita parvum residuum , ut etiam adjecta ul teriore dividendi nota : adhuc maneat divisore minus. Tunc cyphram scribes in quoto , et adhuc ulteriorem31 dividendi notam residuo adjicies ut promoveatur ope ratio, Sic in apposito exemplo 224 quia i subducto 1644. ex. 1673 , 1673 , 548 |167364|305 548 residuum 29 auctum nota 6 1644 adhuc minus est divisore 548 2964 scribitur 0 in quoto , et nota 4 2740 adjecta numero 296 , quaeritur 224 quoties in 2964 contineatur di visor,

45. Operationis rite peractae argumentum habe bis si divisorem per integram quoti partem multi plices , et facto addas postremum residuum , si quod fuit , prodeatque summa aequalis dividendo ; nam si non prodit aequalis , manifestum erit errorem ali quem irrepsisse.

46, Numerus N contineatur in M vicibus q' et rep stet R' residuum R' contineatnr in divisore N vici bus q' ' et restet R " ; R " contineatur in R' vicibus q et restet R ' '., atque ita porro. Erunt (16) M =Nq! ti R' N =R'q" + R " R' =R'q'" + R" R" = R " q " + R " , R " = Rigv + RV *et caet... Jam si ponamus quod residuum v. gr. R " di visorem proxime praecedentem R . accurate divi dat , ut sit R ' = 0 , idem Riv dividet accurate nu merum quoque R " q "V + R "v = R" ) , ideoque et nume rum R " q " + R "" ( = R ')', ac proinde numerum etiam R'q"+R" (PN) ; et consequenter numerum pariter Ng'-+ R'SM ). Residuum nempe Riv erit accurata duo rum numerorum M , N communis mensura munis ipsorum factor, 1 seu com32 : 1 ma Ad haec : nulla alia major esse potest commu mis ipsorum M , N mensura. Finge enim fore K et communem numerorum M , N mensuramr , et majo rem quam R . Quoniam igitar: ex hypothesi Kmes . titur exacte binos M , N , ob -primam aequationem metietur quoque residúum R ' , . ideoque ob secun dam merietur" et residuum R " , ac proinde ob ter tiam residuum pariter R et consequenter gb quartam residuum etiam RV * numerus videlicet jor K. accurate metietur minorem R " : quod cum : fieri nequeat , sequitur haud posse aliam communem :: numerorum M, N dari mensuram majorem quam Riv .

47. Hinc habes methodum invenien di communem duorum numerorum men 1:47189|1 suram maximam. Numerum majorem di... 147 vide per minorem ; minorem iterum di- . 42 . vide per- residuum primae divisionis ; rursumque primae divisionis residuum 42 147| 3 divide per residuum secandae ; atque 126 ita porro , donec venias ad residuum 21 quod divisorem proxime praecedentem accurate dividit . Ejusmodi residuum 21 | 42|2 . erit mensura maxima communis. Sic ve . 42 gr. maxima numerorum 189 et 1:47: 00 mensura invenitur = 21 .

48. Si postremum iHud' residuum prodit =1 , id erit indicio (46) nullam datis numeris , praeter uni tatem , fore mensuram seu factorem communem , uti videre est in 15 et 154 , itemque in 19 et 37. Etsi 15 et 154 nulkim habent factorem communem , utrique tamen resultant ex propriis et suis factoribus invi-. cem multiplicatis ; nam 15=3.5 , 154 = 2.7..11 : cae teri vero 19 , 31 neque fäctorem communem , neque proprios habent unde resultent. .Numeri 15 et 154. : . aliique hujus generis dicuntur primi inter se : nu meri autem 19 et 31. aliique hujusmodi dicuntur primi in se.33 atque ita

49. Qui numerus in se primus N metitur exacte factum PM, is necessario metietur exacte et alterum e duobus factoribus P M . Numerus N haud accu rate dividat factorem M , ut valeant superiores ac quationes (46). Valebunt quoque (14+ 37 ) PM PN ' + PR . PN = PR'g " + PR " PR PR " g ", + PR " PR".- = PR'qiV - PRI PR' ' = PR " q". + PRY , et caet. " Atqui N ex hypothesi metitur PM igitur'ob primam aequationem metietur quoque facrum PR' ideoque ob secundam metietur et factum PRPR" , ac proinde ob tertiam factum pariter "PR" ., et conse quenter ob quartam etiam factum PRY porro. Quia vero N ponitur in se primus , residua R' , R " , R " .... ita decrescent, ut deveniatur tan dem ad unitatem (48)...Numerus itaque N metietur. certe P.1 , seu factorem alterum P : undé et caet...

50. Facile nunc transitur ad illud : qui numerus in se primus N metitur factum P.M.K.H ..... , is necessario metietur et aliquem ex factoribus P , M , K , H ..... Hinc si N nullum de ipsis P , M , K ... meti tur , neque metietur P.M.K.H.

51. Non ab re fuerit hic dicere quomodo dati nu nieri divisores omnes inveniantur ; qui videlicet in dato numero absque tillo residuo continenturs Prius vero ' bonum erit nonnulla observare ; quae cum ista consociantur quaestione :

1 % Numerus , cujusdextima" nota est par , idest 2 , 4 , 6 , 8 , est multiplus binarii , potest nimirum dividi accurate per 2 totus enim numerus exsistit par.

2º. Numerus , cujus dextima now : ta est impar , idest 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , nequit exacte PARS I. 3 3. ; , 34 dividi,per 2 ; excedit namqueunitate multiplum bina rii. 39. Numerus desinens in zero est'multiplusdena rii , et consequenter tumbinarii tum quinarii ; habet enim unum saltem factorem 1,0 ; 2 ideoque etiam 2 et 5,6 quia 10= 2.50 4.9 Numerus cujus dextima pota est 5 , potest exacte, dividi per 5 ; siquidem aequat nu merum desinentem in zero +5 ; v. gr. 7537075 .. 59 Numerus , cujus notae ' habitae, tamquam unitates praebent summam accurate diyisibilem per 9., po uist semper dividi exacte per ipsum 9. Sequitur ex co , quod numeri decadiei 10 ,-100 , 1000 et caet. divisi per 9 relinqyant singuli residuum=1 , ac pro

60 , 60,0 ... ', 70 , 700 . 9 80 , 800.... 90 , 900 ... divisi per 9 dent residua 2 , 2..... , 3 , 3 ... 4 , 4.... , 5. , 5.40 696 8,8.... , 0 , 0 ... Proponatur v. gr. numerus 53721, Quoniam 53721= 50000-+ 3000 + 700-720-71, 50,500 .... , ...

9

53721 iccirco quótus aequabit' numerum quemdam integrum una cum numero kasi 5 -+ - 3 + 7 + 2 + 1 ; 1 : 9 + qui pariter exsistet integer ; , quotiescumque dati nu meri notae suppeditabunt summam exacte divisibilem per 9. 6.° Cum novenarius ternarium contineat absque ullo residuo , simili modo ostendetur , numerum , cujus -notae habitae pro unitatibus praebent summam exacte divisibilem per 3., fore multiplum ipsius 3 . 52. His , notatis , venio ad , methodum , inveniendi omnes divisores dati numeri M . Inter numeros pria mos: 2,3,5,7 ,.11 , 13 .... quaere minimum , divisorem numeri M : si nempe Mest par , eum dis .35 vide per 2 , si impar , et divisio nequeat exacte fieri neque per 3 neque per 5 (51.4.06.0) , tenta divisionem per 7 ; fum , si neque numerus 7 dividit accurate M , utere divisore 11 , atque ita porró. Invento ejus modi minimo divisore , ipsum scribe seorsim item que respondentem quotum q separatim scribe. Hanc eamdem operationem instaura in quoto q , et sic per ge donec prodeat quotus ultimus 1. Ex istis di visoribus in se primis multiplica jam binos quosvis inter se , dein ternos , quaternos et caet. i . Facta exinde brta suppeditabunt caeteros omnes divisores...

Exemplum . Sit M = 420 ; erunt Respondentes quoti divisores in . se primi' • 9 = 210,9' = 105,9 " = 35; 2 , 2 , 3,5,7 q 7 , qv= 1 2.244 2.2.3—12 2.2.3 2.2.3.5 2.3.5=60 facta 2.36 2.2.5—20 2.2.3.784 2.5 = 10 facta 2,2.7 = 28 facta 2.2.5.75140 ( qua 2.7214 3.3.5 = 30 2.3.5.73210 ) ternis 3.5 = 15 binis 2.3.7= 242 ternis 3.7521 2.5.770 factum è quinis 5.7–35 3.5.7 = 105 2.2.3.5.7420 e e Itaque divisores dati numeri 420 erunt 1,2,3,4,5,6,7,10 , 12 , 14 , 15 , 20 , 21 , 28 , 30 , 35 , 42 , 60 , 70 , 84 , 105 , 140 , 210 , 420 . Neque possibile est ut alii praeterea inveniantur divisores : nam si numerus accipiatur in se primus ; atque alius a divisoribus 2 , 3 , 5 , 7 in se pariter primis , cum ' is fullum metiatur de hujusmodi divi soribus profecto ( 50) ne factum quidem 2.2.3.5.7 ( 420) metietur.36 dato v. gr. 53. Ex dictis (47 : 51) facile intelligimus quo pa cto detegi possit utrum fracti numeri denominator ac numerator habeant aliquem factorem communem , per quem uterque dividi , et fractus numerus , salvo valore (20) , ad minores terminos reduci queat. Sic 2910 apparet. numeratorem ac denomi-. 63570 natorem posse accurate dividi per 10 (51) ; - unde 29 + 0 .291 63570 6357

• Insuper cum habeamus

2 + 9 + 1 = 12 , 6 - + - 3 - + 5- + 7 = 21 . poterunt numerator 291. ac denominator, 6357. exacte dividi ( 51 ) , per 3 ; unde 291 97 6357 2119 Si jam . numerorum : 97 et 2119. quaeratur men sura communis maxima , devenietur, ad unitatem ; ut proinde hi numeri exsistant inter se primi ,atque re ductio nequeat ulterius promoveri. Si. ab initio men maxima communis numerorum : 2910 et 63570 fuisset quaesita , ea prodiisset =30 , et ad eamdem .97 expressionem deventum foret. 2119 sura 7 Additio et subtractio in numeris fractis. 54. Numeri fracti , in unam summam adduntur , vel ab invicem subtrahuntur traducendo eos prius , si, opus fuerit , ad eumdem denominatorem , dein -ad dendo vel subtrahendo numeratores, ac numeratorum summae , vel differentiae subscribendo communem de nominatorem ( 21) .37 Exempla additionisi 2 3 7 1 1 1 3 tr 2.. 3 6 6 $ 2 . +31 4 3 1 9 4 . 4 3 = 3 + 7 + 3 = 30 + 12 . 12. 2 . 3+ 4 13 3- + 12 1 12 .

Exempla subtractionis. ...

35 24 3524 11 Filco cuuri 11 40 40 11 40 40 8 8 23 T 9 22 ton 9. 22 9 . 9 . 1 15 12 5 =:15 for 7 42 12 30 42 14 festi 6 42 7 42 30 12 ... 42 49 2t 30 42 : 2 19 42 42 42 Multiplicatio et divisio in numeris fractis. 55.: Ubinumeri fracti debeant invicem multipli cari vel dividi , non est opus reductione ad eumdem denominatorem . Quod enimad multiplicationem spe ctat , satis est (19) numeratores itemque denomina tores invicem multiplicare , ut novus exsurgat nume rator novusque denominator numeri fracti , qui erit fáctum ' ex ' datis fractiš emergens. Ad divisionem ve ro quod spectat , numerator ( 19) dividendi multipli candus est per divisoris denominatorem , et illius de nominator per hujus numeratorem . Liquet ( 11.20 : 16 ) , si multiplicator ac divisor sunt numeri fracti proprie sumpti (5) , factum fóre minus multiplicando ,. quo tum autem majorem dividendo..38 3 3 Exempla multiplicationisa 3.7 21 5 2. 5.7.2 5.11 55 6 8 5 6.8.5. 7.2 . 9 1 5.11 6.8 7.2 7 7 3 12.3 24 12 . 12 1 3 6.2.4 6.4 4 4 1.4 4.3.3 1 20+1 1 21 1 21 10 1 2 S 4 2 7 14 3.7 3 2.7 2 = r Exempla divisionis, 5 2 5.7 35 9 11 wil.com 3 11 : 5 . 3 13 ynIl 7 13.2 26. 26 1 5 11.5.55 1 19 2.1 18 3 2 2

19 =

9 9 1 = 1.3 3 1 9.19 2 5 11 47 3 2 3 9-42 42 - +- 5 3 6 . : 171 6 11.6 11.2.3 22 3,47 3.47 47 De iisdem operationibus in fractionibus decimalibus, 56. Hujusmodi fractiones eodem pacto , quo in tegri, pertractantur ; nisi quod habenda est (ut mox dicemus) ratio virgulae , qua eae ab integris dirimun tur : illudque praeterea animadvertendum : cuilibet decimali fractioni , salvo valore , licet (1) tot in fine cyphras adjicere , quot lubet. Quod si anterius inter virgulam et notam sinistimam adjiciantur cyphrae ,39 At 0,39: erit decies: major quam : 0,030. mutabitnr fractionis. valor ita , ut fiat decies cen ties , millies ......minor,, prouti una , duae , tres fuerint cyphrae praemissae (7 ). Hinc y. gr. -0,390,390.6 : 0 ;3900 ,: = 0,39000 ',, et caet. . quam 0.0039 , millies quam . 0,00039 , et caet..... 57. Jam cum decimales fractiones : vel in unam summam colligimus , vel ab invicem subducimus , virgula summae vel differentiae propria debet in ea dem verticali linea jacere : ,, in qua jacent virgulae propriae illarum fractionum quae colliguntur , vel ab invicem subtrahuntur.. Exempla: additionis Exempla subtractionis 2,0456 0,08901 16,02000 2,01491 15,96845 9,87412 3,84156 1,33567 0,900312 ; 24901 : 12,17844 0,17924 18 ;914362 12,86413. nimirum 2,0456 +15,96845 +0,900312 = 18,914362 , 0,08901: + 9,87412 + 2,901 :12,86413 ; et (56) 16,02-3,84156= 16,02000-3,84156-12,17844 , 2,01491 - 1,83567,30,17924 .. 58. Ubi multiplicatio instituitur , eum locum virgu la debet in facto occupare , ut tot notas post se re linquat, qnot erant in utroque factore. Quaeratur v. gr: "factum ex 0,31 in 0,4 .. Cum fractio: 0,31 centies ) minor sit quam 31. , et 0,4 . decies minor quam . 4 . factum : 31.4 millies . majus erit quam factum quaesi tum 0,31.0,4 ; ideoque : 31.4 . vertetur in 0,31.0,4 si40 in eo ita collocetur virgula , ut ternas post so relin quat decimales notas', quot scilicet sunt in utroque factore 0,31 et 0,4 . Quod si non tot fuerint notae in facto , quot in utroque factore decimales tot evi denter ad sinistimam facti notam erunt anterius ap ponendae cyphrae (56), donec is notarum numerus expleatur. .

Exempla multiplicationis

15,05 3,12 2,00006, 301-0 0,034 1505 800024 4515 600018 46,9560346,956 0,06800204 ; videlicet 15.05.3,12 = 46,956 , 2,00006.0,034 = 0,06800204 . 59. Ad divisionem denique quod attinet , cum quo tus per divisorem multiplicatus debeat restituere di videndum (16 ) , profecto in quoto et divisore simul totidem sint oportet (58) post virgulam decimales notae , quot in dividendo. Hinc ubi , peracta divisio ne , plures in dividendo inveniantur decimales notae quam in divisore simul et quoto , huic anterius erunt adjiciendae tot cyphrae (56) , quot in dividendo su perfinunt notae. Addendo autem cyphras in fine di videndi obtinebimus , si opus fuerit, ut in eo deci males notae nunquam pauciores exsistant quam in die visore : V. gre 845,63 845,630 845,6300 et caetai , 3,127 3,127 3,127 141 Exempla divisionis. 15,2311112,709417,4 0,1230,0012115510,00985 106 617 1107 60924 1045 60924 984 U 615 615 nimirum io 112,7094 0,00121155 57,4 . , = 0,00985 . 15,231 0,123 et caet. 60. Eadem utemur cyphrarun adjectione in fine dividendi , quotiescumque is non tot habet notas quot requiruntur ad peragendam divisionem :: V. gr . 2,314 2,31400 2,314000 356,27 356,27 356,27 atque hoc pacto eruemus 356,272,3140000,0064 ... 2,314 213762 = 0,0064 . 356,27 176380 142508 33872

61. Apparet nunc ratio , qua et in decimales pos sunt fractiones aliae ( 54) transformari , et divisio (41) ultra integras quoti notas per decimales notas con tinuari. Sic ' v . gr. 229 229,0000 . = 0,6155 ... 372 372 ideoque (42) 26641 229 71,6155 372 37242 O 11 능

62. Contingit fieqnentissime , ut nullum habeat fi nem divisio per quam expeditur praedicta (61) fra ctionum transformatio . Quia vero residua quae inter dividendum obtinentur , exsistunt semper divisore mi nora , fiet haud dubie ut recurrant eadem tandem residua , eaedemque proinde quoti notae . Sic v. gr. inveniemus 5 1 : 0,056818181 0,33333 88 3

63. Saepe fit ut.ex pluribus notis decimalibus dex teriores citra errorem sensibilem omittantur ; v.. gr. retentis decimis et centesimis , negligantur millesimae, vel his quoque adhibitis , contemnantur denae millesi mae , et caet. Verum non expedit sic eas. omitte re , ut nulla prorsus majoris accurationis habeatur ratio . In hunc finem haec erunt observanda...

1.° Si prima ex notis omissis vel excedit quina rium , vel est ipse quinarius quem aliae subsequan tur dexteriores notae , ultima earum quae retinentur augenda erit unitate . Ex calculo prodeat v. gr. fra ctio 0,32156 , opusque sit , postremis duabus notis neglectis , adhibere millesimas. Sumenda erit potius 0,322 quam : 0,321.; nam : differentia 0,322-0,32156550,322000-0,32156 = 0,00044 minor est quam 0,32156-1,321 0,00056 : magis: videlicet 0,321.deficit ab 0,32156. quam 0,322 excedit ipsam 0,32156 . II. Quotiescumque omittitur nota quinaria quam aliae decimales notae minime subsequuntur aeque peccabitur excessu si ultima ex retentis notis augeatur unitate , ac defectu si haudquaquam au geatur. Sic in fractione 0,785 omissis millesimis , erit 0,79 -0,785 = 0,790 - 0,785 = 0,005 ,43 ! itomque

0,785.-0,78 = 0,005.

III. Si prima ex neglectis notis minor fuerit quinario , licet aliae etiam majores notae eam conse quantur , major tamen committetur error ultimam re tentarum notarum augendo unitate , quam non gendo. Fac ve gr .. quod in fractione 0,3467.498 adhi bendae sint denae millesimae , tribus postremis nolis, omissis, Erunt 0,3468-0,3467498 = 0,3468000 -0,3467498 = 0,0000502 au 0,3467498 - 0,346750,0000498 ; usu

j minus videlicet fractio 0,3467 deficit ab 0,3467498 quam 0,3468 excedat ipsam 0,3467498..

64. Etsi decadica unitatum partitio commodissima est , ut quisque intelligit ex hactenus dictis circa de cimales fractiones ; attamen in communi rerum horas , libras, caeterasque unitates longe aliter ple rumque partimur. Sic horas in 60 minuta prima ( 60' ) dividimus , singula minuta prima in 60 secun da ( 60' ) , singula secunda in 60 tertia ( 60! ") , et sic deinceps : item libras in 12. uncias , singulas uncias in 8 octavas et caet, Jam cum pondera , mensurae , aut alia ejusmo di vel in unam colliguntur summam , vel ab invi cem subducuntur , vel per aliquem numerum multi plicantur , aut dividuntur eadem adhibenda erit methodus , qua in reliquis ejusdem speciei fractioni bus usi sumus : nam et particulae , in quas v. gr. libram , unciam ... partimur , reipsa fractiones sunt ; quibus ideo non apponimus denominatorem , quia jam constat quot ex illis opus est ad unam ex partibus proxime majoribus efficiendam,44 unc. 1 unc . 1 quae valet 8 1

Exemplum additionis.

Exempl. subtractionis, lib . Oct. lib . oct. 25 . 11 . 24. 6. 9.. 8 . 6. 12 . 8. 7. 1 . 10 . 4. 37.. 7. 1 . 10. 7 . In primo exemplo cum colligantur 17 octavae uma tantum haerebit loco suo “ ; reliquae autem 16 , cum duas uncias constituant , harum numerum dua bus unitatibus augebunt.· Sie prodibunt 31. unciae quae librarum numero duas suppeditabunt unitates et 7 uncias relinquent proprio notandas loco . In secundo exemplo cum nequeant auferri 7 octavae à 6' , accipe' unam ex unciis octavas , et ex 14 subductis 7 , restabunt 7. Similiter cum ex 6 reliquis unciis nequeant auferri 8 ex libris quae 12 unciis constat , et ex 18 subtrahe 8 ; supererunt' 10 . Demum ex reliquis 23 libris aufer 12 , et habebis 11 . Quod ad multiplicationem et divisionem pertinet , sint v. gr . multiplicandae , vel dividendae lib . unc.. octo 3. 2 . per numerum 2 Quoniam quatuor unciae valent 3 quatuor partes librae duodecimas et sex ' octavae valent sex partes librae sextas et nonagesimas ex primetur tum multiplicandus , tum dividendus per 4 6 1 1 19 163 12 96 3 + 16 48 48 unde factum quaesitum lib . Oct. 163 8 163 1 1 9. 0 . 5 - ; 48 3 18 18 3 unam 6. 3 for 3 + unce 945 oct . quotüs vero libe unc. 163 8 489 " 105 1 . 3. 2 48 3 384 -384

1 :

siquidem unius'librae pars a'equivalet unčiae par 18 1 12 tibus i12 . ( = ; ex quibus tametsi 18 3 nulla exsurgat integra : uncia , habentur nihilominus 2 unius octavae , idest 5 inte 3 105 grac, octavae Simili modo fractio tradu 3 384 1 Oct. ( 18 3.) 1 partes 8.. ( 9 1 citur ad 3 unc..et:2

NONNULLAE PROPONUNTUR ANIMADVERSIONES CIRCA POTENTIAS ET RADICES.

-- Dati numeri potentia facile determinatur.,

65. quando exponens est integer (22.- 17. Sic v. gr. 1 '=1 : 1 =1 , 2 = 2.2 = 4 , 3 = 3.3 = 9 ,454.4= 16., 57= 25 ., 6'536 , -7349 , 8’64 ; , . 9.?=81 10 = 100 . , 11.121 et caet. Item 1 1 11.1.131 2 = 2.2.28 333.3.327 4364 , 5 = 125 , 63 = 216 , 73343 , 8 = 512 , 10331000 , -113 = 1331 et caet. Rursus 3.3 3 9 ( 3)= 3 5 3 5 5.5 2546 , 1 1 a.a.Q ... 1 2 2 2 2.2.2 23 8 7 7 7 7.7.7 343 (3 , 1 )' = 3 , 1.3 , 159, 61 , (1,01) ) = 1,01 . 1,01 1,01 = 1,030301 et caet. .

66. Longe difficilius est evehere numeros ad pos; tentiam cujus exponens est fractus (22.2°) . sive , quod eodem recidit (28) , e numeris radicem extras here ; verum de hoc alibi ; juvat interea illud ani madvertere : si ' nullus exsistit numerus in se primus ( 48) numerorum a b communis mensura , certe ne que ullus exsistet ( 50) numerus in se primus produa ctorum b.6.b communis mensura. In ea igitur qua sumus hypo thesi ne una quidem ex potentiis a ? a3 et caet. . . b ? : 777 25 erit numerus integer.

67. Hinc manifeste sequitur numeros integros radicem dati gradus ( 27 ) non habent in integris , ne in fractis quidem habere. Sic quia potentia secunda binarii est 4 , et ternarii est 9 , erit 2 radix secunda quaternarii , et 3 radix secunda novenarii : at cum nu meri 5 , 6 , 7 , 8 duobus 4 et 9 comprehensi radicem non habeant in integris , neque in , fractis ha bebunt.

68. Ponatur nunc differentia 3-2 = 1) dividi in quotvis aequales particulas , quarum singulae reprae sententur per w . Binarius ac ternarius una cum in terjacentibus numeris rationalibus poterunt exhiberi in hunc modum 2 , 2 + w , 2 + 2 , 2 + 36 , 2 + 46 ... 2+1 , .. ( 9 ) a os47 Aucto autem jugiter numero particularum w ideoque ipsis particulis w magis semper imminutis differentia inter binos quoslibet numeros ex (9) se se immediate excipientes decrescet indesinenter , ut fiat minor quocumque determinato numero rationali utcumque parvo ; atque idipsum evidenter continget in quadratis eorumdem (9 ) fines suos 4 et 9 haud praetergredientibus. Igitur inter haec quadrata sese offerent alii atque alii numeri rationales continue ac cedentes ad 5,6,7,8 ; illisque numeris respondebunt inter (9 ) alii pariter atque alii rationales numeri magis semper acceden tes ad 15,16,17,18; quin tamen unquam pertingant. Etquoniam expres siones istae nequeunt ( 67) in rationalibus numeris accurate obtineri ; restat ut eas (8) numeris irratio nalibus adscribamus. Simili modo expressiones 3 4 . V 12 10 innumerasque hujus generis alias inter irrationales numeros computandas esse ostendemus ; immo, eae vere sunt , quae passim apud rerum mathematica rum scriptores solent irrationales peculiariter appel lari : nam quae irrationles expressiones e radicum extractione minime oriuntur , communi etiam nomine transcendentes vocantur .

69. Numeri VA VB possunt ( 28 : 21) transfor mari in hunc modum k k ÞARTE= A7 = M *A VB = = = ỷ ,5 1.3 6 . 2.5 sicque , sálvis váloribus ; ad eumdem gradum per duci. Datis v. gr. V 11 et V5 , provenient V11 = V 113 = V 1331 , V5 = 15* = 25 . -

70. Habemus (28-: 24 : 25) VA.VB.Vc ... = AF . B ” 1 (A.B.C ...," = VA.B.C . A.B.C..., et Hinc vo gr• V A.B...An.K ! ... = AA " . B h " . K H.K. VA.B .... Ꮴ 72.73 = V6 , V2.18 = 116 = 4., et V18 = V239. = 3V2.. V648.= V3,2.535= 2.3V3 = 6V3. cin

71. Est praeterea (28-:.22 . 2 : 24::-25 : 19) 3 rc i YA_ -3- (3-0) ((4 ) --VA V- VĚ V = v = 2. Sic v. gr.49

ALGEBRA

72. Signum $+$ numero B praefixum indicio est (9:10) destinari B auction , signum vero $-$ ipsi B praefixum indicat 10) destinari B. imminutioni alte rius cujusdam numeri A. :: ista: videlicet, signa modificantur significationem numeri quem respiciunt, ferme uti adjectiva nomina modificantur substantivorum significationem. Jam, cui numero praefigitur signum $+$, is vocatur positivus cui signum $-$ dicitur: negativus.. cum altera ejusdem speciei magnitudine habita pro unitate , per parum numerum seu valorem numericum exhibetur.; quatenus vero destinatur auctionii,vel : im minutioni alterius ..datae · magnitudinis repraesentabitur per numerum positivum, vel negativum.

73. Numeros . absolutos ...V ., gr..A , quibus minime sunt praefixa siġna : + . , positivis adscribimus ; unde fit quod numerus positivus aeque designetur.v .. g ?.. per . + . B.ac. per: B ::: numeros insuper. + B et B ejusdem quidem valoris B sed non ejusdem : si- . gni dicimus invicem oppositos..

74. Quemadmodum (73) . + B et : B ' , sic + ( + B ) et + -Beodem gaudebunt significatu : item . consen- , suna : est , ut habeantur. pro synonymis , + 1 - B ), et-B. et Praeterea sicut ( 73 ) +-B et! -- B ' ,, ita +. ( + B ) ( + B) putabuntur pro invicem oppositis, : id ipsum obtinet ex . conventione quoad , + ( - B ) et --B)

75. Positivis ac negativis numeris constituuntur quentitates algebraicae reales, quae alphabeti litte nocthibentur ita , ut possit v.gr. k tum numerum B designare , tum numerummetB :: si primum , Pars I.50 tk quantitas expressa per k dicitur positiva , sin alte rum , negativa. Fac ut k alteratrum exprimat : ham bendac erunt ( 74) tk et k pro synonymis et - k pro invicem oppositis. Quae insuper quan titates eumdem valorem numericum habent idemque signum, vocantur aequales. °

76. Sive H numerum denotet sive algebraicam quantitatem pone a = + H et b = H.Habebis (74:75) atH , tm.b - unde a = -H , -b = + H ; H. nam singula inferiorum formularum membra respon dentibus superiorum membris opposita sunt. Nunc si pro a et b . adhibeantur assumpti valores + H et -H , emergent + + H) = + H , * H ) = - H , -6 H ) ( H ) H . } (1). H com Signum uniuscujusque secundi membri dicitur productum seu factum. ex duplici signo responden tis primi. Liquet autem huic facto. nihil esse mune cum eo , quod ad numeros ( 1.1 . ) pertinet

77. Vel- sola formularum ( 1) inspectione intelligimus factum e binis signis conformibus fore + , e binis vero contrariis ; itidem si alterutrum signum est + , factum nihil fore aliud quam signum alte rum . Propterea ubi plura concurrunt signa , licebit animum abstrahere asignis + quae adsint , attentis que reliquis - , haec evidenter factum to vel sup peditabunt , prout numero pari erunt vel impari. Ut cumque autem disponantur signa , palam est ex iisa . dem signis idem semper factum emersuruma51 :

DE UNIVERSALIBUS QUIBUSDAM NOTIONIBUS CIRCA, PRIMAS IN QUANTITATIBUS OPERATIONES.

Additia et Subtractio.

78. invenire quan titatem (vocatur summa) , quae si adhibeatur ad cer-. tum aliquem numerum augendam , vel minuendum ( prout nenipe positiva exsistet , vel riegativa ) eam dem auctionem , vel imminutionem suppeditet ,quam praeberent: quantitates addendae in hunc ipsum finem successive adhibitae. Sic ' v. gr.. quia certum aliquem : numerum prius augere sex unitatibus ac dein minue re viginti unitatibus perinde est ac eum quatuordecim unitatibus minuere , ideo . - 14 erit summa quanti tatum + 6 et 20.

79. Quantitatum summa indicatar connectendo eas per signa uniuscujusque propria : licet autem prae- . termittere signum primae quantitatis , si illud est. too . Hinc yo . gr., sumwa quantitatum +, b , c , -g , hệ–k ..... exprimetur per a . + .!6i -toc - .8 -- h - koce... In : hujusmodi expressione singulae quantitates: a ',. b ... , - g .... appellantur monomia ; expres sio ipsa dieitur polynomium , cujus termini sunt illa eadem monomia .. Si polynomium duobus tribus , quatuor constat, terminis , solet peculiari binomii , trinomii quadrinomii .... nomine designari.,

80. Quum certus aliquis numerus varia incrementa atque decrementa successive recipit.q. auctio vel im minutio totalis eadem manifeste exsistet . quocunque 152 demum ordine incrementa et decrementa illa ad nu merum accedant. Proinde eadem quoque indicabi tur summa ( 79:78 ) , quocumque caeteroquin ordi ne scribantur quantitates addendae. Sic a + b -to - g - h - k ... = a - g + b - h + o - k ... = - g - h + a + b - k + c .... Est insuper (76.1) a +b + c -s -h - k ... =+ ( + 2 ) ++ b) + ( + 0 ) + ( g) + ( h ) + ( + k ) ... = ++ a +b + c -g - h -k .. :) itemque -a - b - e + 9 + h + k ... = -- ( + a ) -4+ 6 ) ( + ) - 68) - ( h ) - ( - k ) .... = - ( + 4 + b + c -g - h - k ... ) . Duo nimirum polynomia repraesentabunt binas quantitates invicem oppositas , quotiescumque eorum alterum singulos habebit terminos singulis alterius terminis oppositos.

81. Ubi cum eodem signo idem terminus in po lynomio recurrit , satis erit eum semel scribere prae fixo numero (vocatur coëfficiens) , qui denotet quo ties sese ille terminus offert. Sic expressionis com pendio polynomium a -h - ota -hta h - g - h scribimus in hunc modum За 4h C - 8 Termini invicem oppositi , qui adsint , delentur salvo polynomii valore . Sic 5 mtse fame .4mtet je -f =4m + 7e - f. . m53

82. Subtrahere quantitatem k ex quantitate h si gnificat invenire ejusmodi quantitatem 4 , cui si ad datur k inde prodeat summathidest ( 79) A + kh. Adde jam utrique membro - k : habebis ( 79) Atk - k = h -k , sive ( 81 ) À = ħ - k ; et assumpta prius k = +g , dein k = -8 , erunt ( 76.1) Áh (+8) = h A = h - 1-8) = h + g . Duarum scilicet quantitatum altera subtrahitur ab altera addendo huic quantitatem illi oppositam . A vocatur differentia.

83. Quantitas h dicitur major titate k, prout differentia h – k exsistit positiva , vel negativa. Hinc et positivae quantitates erunt, semper censendae negativis majores et negativae eo minores putandae , quo valorem numericum habent majorem . Signum > binis quantitatibus interjectum denotat praecedentem esse majorem sequente , tra signum < esse minorem ; v . gr. +6 > +2 , +5 > - 10 , -8 < 6 . vel minor quan con Multiplicatio et Divisio.

84. Factum seu productum e binis quantitatibus invicem multiplicandis est quantitas , cujus numeri cus valor aequat factum ( 11) ex numericis illarum priorum valoribus , et cujus signum in facto ( 76) ex earumdem signis consistit. Altera ex iis vocatur mul tiplicandus , altera multiplicator , utraeque factores.54 Quibus ita constitútis ; patet ex dictis (15 : 77) factum ex pluribus quantitatibuspermansurum idem , quocumque demum ordine invicem multiplicentur.

85. Multiplicatio in quantitatibus designatur ut ia numeris ( 11.). Hinc ( 84) + hX + k = + lik , i++) X - = - hk, I ( ) -hx + k = -hk , -hx - k = + hk. :)

86. Dividere quantitatem h per quantitatem k ni hil importat aliud , quam inquirere in ejusmodi quan titatem , : , cujus : factum in k aequei priorem.hu idest kq = h ; h vocátur dividendus , k divisor , q : quotus : di visio . autem in quantitatibus exhibetur ut in nume 2 ris ( 16 ) h 9 k .9 = h : k .

87. Denotent H , K , Q valores numericos quan titatum h , k , 9. Erit ( 86 : 84) KQ H H KQ = H ., ideoque seu K K K Quia insuper factum e signis quoti ac divisoris debet in dividendi signum recidere iccirco (85 ) th h h k k 9 k i' ') h h Straat tk k -k ' k Itaque valor numericus quoti resultantis er di- . visione unius quantitatis per alteram erit idem ac quotus emergens er numericis earum ' valoribus , si- . gaum vero consistet in facto e signis ipsarum .55

88. Numerici quantitatúm a , b , c , d ... valores dicantur A , B , C , Dio . Certe quantitati a.c bod erit valor numéricus A.C À c seu ( 19) B.D B D ejus vero signum recidet in factura 77 : 87) e sia gnis quantitatum 2 응 et i Ergo ( 84) a.c b5 . d bid Similiter ostenditur (87) fore and b응 d을 b.c Et quoniam -= 1 , jam non pluribus opus est it habeamus etiam å C a.c à . á b.c 6 7 5 b.c - C prorsus ut in numeris ( 20 ).

89. Facile quoque intelligimus producto ex a + b + ctii in k , videlicet ( a + b + c ... ) k cumdem ac summae productorum56 ak , 'bk , ck ........ inesse valorem numericum, idemque praeterea si gnum ; unde (a + b + c + o ...k = ak + bk- + ck to... Item 1 o ( a + b + c + . ) = * a + * bt 1.- t ... hoc est attic for b ik k : k k Evectio ad potentias et Extractio radieum .

90. Superius dicta ( 22. 1.0.2.° : 27). circa numerorum potentias et radices , quarum exponentes ac indices per numeros rationales exprimuntur , transferentes ad qnantitatum potentias et radiees , quarum gra dus exhibetur per m vel per ( denotant.m , in numeros integros ) , habebimus definitiones ejusmodi 1.° Evehere quantitatem a ad potentiam gradus m significat efficere productum ex tot factoribus = a quot .unitates inveniuntur in m : a dicitur ra dix , ipsa vero potentia designatur per am . 2.0 ' Exhibeat 9 talem quantitatem , ut muliiplica tis invicem n.factoribus- aequalibus ipsi .0 . , inde ex surgat 2. Evehere quantitatem a ad potentiam gra dus significat efficere productum ex tot factori- · bus = o quot sunt unitates in m , idest . . m n -Amܗ,et a ܘܗܘ:57 Hinc si quemadmodum a = 0.0 ..... ita por patur C = V , V. erit ( 88) (--- 3.0 Radix quantitatis a notata indice im vel ni est quantitas, quae ad potentiam gradus im vel evecta restituit a.

91. Sicut per m ., n . , ita per m ' :, 'm " .... n " ... integri designentur numeri , et per a ', a " .... similiter ac per a quantitates exhibeantur sive :po sitivae sive negativae. Profecto qua ratiocinandi metho do usi sumus (24 : 25 : 28 ) , eadem facile devenje mus ad am . am ' . am " , amim'im !! ma m " m " a • a a am . a'm • a " m ( a . a ' . a " :) R a • a (a.a' . a " .. m.m (amym ? Samm' ( a Vam vez_Ba Ev ,.vaVezza.

92. Evehere quantitatem , a ad potentiam notatam - indice negativo .m vel nihil est aliud58 quam dividere unitatem per am vel per a videlicet 1 1 an am quac manifeste important sequentes m 1 am = 1 ho • am n 10 IR 1 - n a

93. Quisque videt fore etiam (88 : : 91) 1 1 a- ma- n . 1 . am am am ! 1 am + ml + mil + 1 am .am .am !! a - m * m ! m m m .. et simili modo . 1 = a -nen m m' m " - Als . • a a m.al.am ( a '. a ' . a " . ) m ha FIR a . .a . ) " (a.a'a" (ammm! = amm' (am )-m' , ( a == m m ' =amm's( am)m!,* 89 im.m ? ( a ' Q ) et caet...

94. Ad haec : sive m ponatur > sive < m ' , ideo que (26) sive exsistat am = an - n ' am! sive am ami am-n quoniam (92) 1 = an' ?) =am - n '., amon am' erit iccirco in utroque casu am 1 am sam.aon 'camen . am ! Exprimat nunc G' talem quantitatem , ut mul tiplicatis invicem nn' factoribus aequalibus ipsi go inde proveniat a . Habebimus (90.2.092) m mn ' nn ' Hri- m'n list Bled 11 I'mn ! 6'm'n S'mn'- nin min nn ! nn' a et consequenter M m m ' m a n a a

95. Circa acquationem (91) Va2 == a " = 060 . nonnulla veniunt observanda , prout nimirum quan titas a est positiva vel negativa et numerus n par = 21) , vel impar (= siti). Sint A , Q valores nu merici quantitatum a , Ø ; ponamus autem 1.0 a td et n=2i , 2.° a = + A et nazi + 1 , 3.º a -A et n = 2 + 1 , 4.° a = -A et n = ai . Quoniam ( 77) + A = ( + 2i = ( - asi , poterit in primo casu adhiberi 6 = ta aeque ac = - , eritque V + A == In secundo habemus tantum ( 77 ) situs + A = 6 + 2 )2i+ 1 1 et V + A = + ki In tertio (77 ) اهند -A= (-aita , etet VV- A In quarto denique casu cum fieri nequeat ut invicem multiplicatis si factoribus , quorum singuli vel = +a , vel =- & inde oriatur (77) productum negativum , nullus expressioni VA inter rationales aut irrationales numeros respondere poterit valor , nullusque proinde significatus. Expressiones , quibus neque rationalis neque ir rationalis esse potest valor , appellantur imaginariac; sicque nomine ipso distinguuntur ab iis bus quantitatibus (75) respondent.

96. Quemadmodum quantitates reales , ita expres siones imaginarias spectamus in Algebra , et alge · quae reali61 braicis subjicimus operationibus. Sic expressió ima ginaria perinde tractatur ac si quantitas esset realis , cujus quadratum = -1. Hinc v . gr. 70:17 : 85 : 86 : 90) VA.V- = V A , VA.VB= VA.VT.VB.V - 1 = 1 AB.V - 1) = VAB , - ar 1.6V1= -aby 1)' = ab , afi Ő . r= 12 =51 , by ( v — 1; i+'== V - 1 ; in duabus postremis valet signum superius , ubi nu merus i est par , inferius ubi impar.

97. Utcumque expressiones imaginariae sese of ferent eas revocabimus ad formam u + 1 = 1, apte videlicet , si opus fuerit , determinando quan titates reales u Interea haec animadvertantur : evanescente v ,censetur evanescere terminus vp - T, et + V – 1 redigi ad realem u : aequatio insu per imaginaria a + by - 1 = h + ky - 1 habetur tamquam symbolica repraesentatio aequatio num realium azh , bak ..

98. Diximus (95) radici nsimae quantitatis a vel duplicem , vel unicum , vel nullum csse valorem ; id62 ' vero de realibus intelligendum : nam si veniant con siderandae expressiones omnes , sive reales , sive ima ginariae , quae ad potentiam nsimam evectae restituunt a , longe aliter se res habebit. Sic quia : + 16 = 1+ 2)4 = (- 2)* = (+ 27-13 = (- 2-1)", propterea radici quartae quantitatis . + 16 quatuor crunt valores diversi +2 ,,.— 2:, + 2V - T - 21-1. Alibi ostendemus radici nimae cujusvis quantita tis fore' semper n valores invicem distinctos rum unus , vel. duo poterunt esse reales (95 ) , reli qui autem imaginarii.

99. Hoc posito , etiam potentiae a erunt n valores-invicem distincti , modo tamen expo nens sit ad minimos redactus terminos. Fac nunc n m N ut exponenti tribuantur alii atque alii valores magis semper accedentes ad numerum irrationalem B '. Sane crescente (8 ) ultra datum quemcumque li mitem denominatore n , imaginarii valores illius po tentiae fient numero semper majores : atque hinc est quod non liceat definite assequi significatum algebrai carum expressionum a . Assequimur tamen ( 22) quotiescumque a exsistit positiva , et eae habentur tamquam expressiones a rithmeticae , perinde nimirum ac si' aequivalerent binis AB , A - B . Idipsum dicendum de potentia aº cujus sensụm definite colligimus ( 23 ) , quum aequivalet expressioni63 1 arithmeticae A. Quod si haberetur q° tamquam pu ra expressio ( 94) quotiam 1 . am nallus certe difficultati foret locus

DE PRIMIS QUATUOR OPERATIONIBUS, QUATENUS IN POLYNOMIIS PERAGUNTUR.

Additio.

100. Cumdum polynomia proponuntur addenda , in dicatur summa adjungendo ( 79) ommium terminos cum signis uniuscujusque propriis. Si qui vero sese offerunt termini iisdem litteris iisdemque singularum litterarum exponentibus constituti ( vocantur similes) , ex jam dictis (81 ) fiet expressionis compendium ; per inde siquidem erit ac si idem terminus vel cum eo dem , vel cum contrario signo recurreret. Datis v. gr. polynomiis a? t Hab nt 36 % -h ; - a'c Bab 36 % + 2g i 2a²c13ab - 562 - h - k + bc , indicabitur summa per a + 4ab + 36% -h aʼcinto Sab -- 365 to 2g to 7a'c -- 13ab -56 -h - k + bc ; quae manifeste traducitur ad a' - ab 562 2h + 6a'c + 2g – k tobca Item ( 97) (u + 11) + (x - p - 1) = 2u + ( -vV - T = u. Proderit similium terminorum (praesertim si mul ti adsint) alios sub aliis scribere , ut facilius colli gatur summa .64 Subtractio .

101. Polynomiorum alterum subtrahitur ab altero addendo ( 100) huic polynomium illi oppositum ( 81 : 82) . Debeat v. gr. ex a' +4ab 3699 hk subduci ià ab - 36 + h - k . Erit (a + 4ab - 36 - hk ) ( aa ' - ab- 36 ' + h - k ) = a' + 4ab 36' hk 2a + ab +.36 htk = _a't 5abhk h + k , - Sic quoque ( u + vp = 1)– ( 1 — vv — 1 = u + vpi utu 1.= 2V 7.

Multiplicatio.

102. Polynomiorum alterum multiplicatur per al terum efficiendo producta totius primi per unum quemque terminum seeundi (89) , ac dein singula facta colligendo in summam , quae manifeste exhibe bit productum ex datis polynomiis. Sic v. gr. ( 84 : 91 : 96 ) ( a - bc k ) (ac bc ? tock ) = aca bc - k ) bc ' (a -bc k) + cka bc k ) = ac abc ' ack abc? + bc) to bc k + ack . boºk ck ' = a'c abc + bcck (a + bv -1) (c + ev — 1) = c(a + b = 1) ev = 1 (a + bV 1) = ac + bcv - 1 + aev 1 + ebiv 31) = ac - eb + (bc-+-ae) ; et simili modo ck'zt . (ut tip 1lor ) = 1) = + " + uur wp - 1--- lV - ) = u ’ - v ? V = 1)" = u + y * (expresiones imaginariae u + vV510-11 dicuntur invis. cem conjugalae). (a + b )(a - b ) = a + abab - 6 = a - 6 (productum.e summa et differentia quantitalum aequat differentiana quadratorum ipsarum -.quantitatum ) , ( 1 izotz to z3 tonot zh ) (1 .-- 2 } = ( 1 + it . + ) - {1 + 2 + z ? - + z + to zn) 2 = 1+ (z to za tozytornto zn ) - ( 2 : + z ? *.23 t ..... .Z !! ) --- 2 * 1 = 1:- 27.

103. Quoniam ( 102) (a + bV - 1)(a --6661= 1 = 2 + 3 ( a + ky-1) (h –ky - 1) = k^ + k * .. (a + b7 = 1) (h + kV - 1) = ah - bk + (ak to bh ) -7 , (a - b11) (h.- KV - 7) = .al - bk.- (ak + bh )V - 14 iecirco (84) (a? +6 ? ) (h ? + k ”) = [ah — bk + (aktıbh V = 1 ][ah bk (ak + bhp - 1 ]. Est autem : ( 102) [ah -- bk + (ak +bh) — 1 ][ah - bk ak min. bh ) -1) = (ah - bk)' + (ak + bh )" ; igitur Pars I. -566 (a ’+6' )( h +k" ) = ( ah - Uk)' + ( ak + bh)'. Mutata h in k , et k in h , erit quoque (a ' +b ) ( * + k ) = (ak - bh ) + (ah + bk)”. Ex formulis (g) manifeste eruitur illud : si duo numeri tales sunt , ut queant singuli in duo quadra ta resolvi , factum ex iis dupliciter poterit in duo similiter resolvi quadrata. Quia v. gr. 40 = 6 ' + - 22 et 587+3' , ideo 40.58 =(6.7 — 2.3 ) - + 2.7 + 6.3) = ( 6.3 -2.7) ' + ( 6.7 + 2.3 ) ; hoc est 40.58 = 36 ' + 32 " 342 + - 48 ' .. Atque hinc intelligimus posse imaginariarum ex pressionum usum occurrere in realium quantitatum proprietatibus, investigandis.

Divisio.

104. Tunc polynomium dicitur ordinatum per ali quam litteram , quum in primo polynomii termino invenitur maxima illius litterae potentia , in secun do potentia proxime minor , et sic deinceps : ita a3 + aºb . + ab ? + 63 est ordinatum per. a ., Quod si plures termini eamdem contineant ejus litterae po tentiam , considerandi erunt pro unico termino. Jam si polynomiorum alterum oporteat per al terum dividere , prius, ambo per quamdam litteram ordinabuntur , dein primus dividendi terminus. divi detur per primum divisoris , et notabitur quotus ut in Arithmetica ( 38) : per quotum hunc multiplicabi tur totus divisor ; subtrahetur factum a dividendo , et notato residuo , iterabitur operatio . eodem ordine usque in finem . En exemplum67 : Divisor Dividendus : Quotia h + kJh + kh - zk - ks | h - I -hkh -zhka +sh + kz 0 ha Ordinatis nimirum per litteram h tam divideum; do : quam divisore , divide primum terminum h ? per primum h ; habebis h :: scribe h in quoto , et h factum hh + k ) subtrahe a dividendo. Exsurget - zh-kz.de se quoad h ordinatum . Primum hu jus residui terminum divide rursus per primum di -zh visoris ; obtinebis scribe h . quo to , et ab ipso residuo subtrahe factum- ( h +k) : ; nihil restabit , eritque - z in h? +-khº zh kz htk h = % .. Simili modo assequimur: h3 + ks = h - hk + k' hitok htki hikh- kh -tk -hº - khº -kh ? Tk3 + khhk + hk k3 kihak3 068

105. Operationis ratio constat ex eo (86 ) , quod fiat per partes subtrahendo semper a dividendo fa ctum ex divisore in partem quoti inventam . Quia vero et singulae quantitates per eamdem ordinantur litteram , et inter primos ipsarum terminos constan ter instituitur divisio , iccirco nec , in quoto occurrent termini similes , nec proinde in iis qui e particula ribus emergunt divisionibus. locus erit expressionis compendio. -

106. Si quid peracta divisione supersit , apponen da fractio cujus numerator residuum , denominator, autem ipse divisor. Sic v. gr. invenietur h3 + 3khº + 3k’h- + -2k3 ks h2 + 2kh thato h -tk htk Potest etiam divisio continuari in hunc modum k3 k" k5 htk 1 ks 1 1 1:3 < scense kle + fee - ks h2 KG h3 k6 h 309 et caet . a.me69 11 1 & + 1 Inde habemus K & ks k3 h Ks 23 htk h htuk T hath h k3 K3 kh k k² htk h ha hutk hº k3 k3 ko k3 k3 htk h h 13 htuk h3 ot generatim k3 K k5 kn + a k ' kn . h -tk h hn htkhir valent signa superiora quando n est impar , inferio ra quando n est par, k Jam si valor est <1 , crescente n ultra h quem cumque datum numerum quantumvis magnum , ter minus kr htk . hin (ra ) hn decrescet ita , ut fiat semper propior zero ; id autem importat jugem polynomii k k * k5 krua h h h3 accessum ad quantitatem fixam ks ( s) ; htk haec igitur aequivalebit seriei k3 h .. (0 ) 370 (a " ) .. ha indefinite protractae ; ac poterit vere scribi k k3 k% ki hetk h h23 quin habeatur ratio termini (rn) , utpote evanescentis in limite : binarum ( s ) , fr. altera dicitur summa se rici (a ') , altera residuum post terminum nisimum . . Quod siº:valor exsistat vel = , vel > 1 , pro h fecto crescente n , residuum ( rn ) aut permanebit con stans aut fiet indesinenter majus : iccirco spectus habeatur ad (rn) , neque per ( s) exhibebi tur (a' ), neque proinde valebit (a :. Adhibita divisione per k in singulis terminis (a) , prodibit nisi re 1 1 k htk h ho + h3 krms 1 hr kn hn i hath (a ' ') et facto h = 1 . 1 = 1 - kék - kita ... # kr ktk 14k

107. An duo polynomia communnem habeant fa ctorem , invenitur eadem ratione quam in numeris adhibuimus ( 47 ). Expedit autem primos uniuscujus que dividendi ac respondentis divisoris terminos sic praeparare , ut alter per alterum exacte dividi pos sit sine fractione. In hunc finem notetur haud tur bari communem duarum quantitatum factorem , si al tera multiplicetur , vel dividatur per ejusmodi quan titatem , cui nullus cum altera sit communis factor.24 30 , Rem declarabit exemplum . Sint zi + 4z +.2-6.. ( s9)) -57 , 57'% + 923 – 18. (g') : Primus terminus z ' quantitatis (8 ) nequit divi di sine fractione per primum 5z quantitatis (8 ') cum inter factores illius desit 5 , nec per ipsum 5 potest exacte dividi ( g ') Itaque multiplicetur (s ) per 5 ut prodeat 573 f 20z 52 30 ...(8 "') ; et qui factor est communis duabus 's ' , (S ") , is erit quoque communis binis ( g ) , (8 ') . Dividatur jam fig ') per (g ') ; quotus erit. 2 ;, residuum 112 + 232 quod similiter ' multiplicetur per 5 ut continuari pos sit divisio absque fractione ; exsurget 552 + 115z — 150 ... (g ) . Quantitate (8). divisa per ' g') , quotus erit 11 , residuum 162 + 48 ( = 163* +- 16.3) , per quod nunc dividenda (g ') ; sed quia inter factores quantitatis 6' ) neque numerus 16 , neque ullus ipsius 16 fa ctor continetur , ideo praetermisso in 162 + 48 fa ictore 16 utemur divisore 2 + 3 ... (PV) . Succedit divisio absque residuo : propositae igi tur quantitates (g ) (g ) habent (46) communem fa ctorem (g "). Sunt revera z -+ 42' +265 ( 2-43)( 2 + 2 5z" + 92 18 = ( 2 + 3 X 5z -6 ) . Est "insuper ( g " ) communis ipsarum (8 ) , (8 ') factor maximus (46) ; quatenus videlicet divisis (8 ) (8 ) S'i per (g ?!) , expressio salvo valore (88) ad (g ')72 formam traducítur maxinde simplicem , 23 + 42' tiz 6 -2 5z ? for ez 18 52

108. Circa divisionem in expressionibus imagina riis haec notabimus.

1.° Quoniam 6 (4 + v - 1) = 1 + = propterea (86 : 96) h + ky - 1 ' h irat . c * te 2.° Quia ( 102) (a+ b1516 - V = 1){c + er = 1 = a + = 1; ideo (86:96 ) a -by - 1 fa + 60–116c- e11) cter 1 actbe . beae V - T. ! c²te ce ·

DI RELIQUIS DUABUS OPERATIONIBUS IN POLYNOMIIS.

Evectio ad potentias, quarum exponentes integri ac positivi.

109. Ejusmodi, potentiae eruuntur continua . mul tiplicatione per radicem ( 90. 10 ) . Sic ( 102)73 • ( x + yje = (x intrig)(x =+ 3 ) = 3 * + 2xy +39 ( x + y ) =(x + y )'(x + y ) = 348.- 3x y.uta 3.xy * + y ?,.et caet... ' . utcumque caeteroquin se habeant .x et y reales ni mirum vcl imaginariae ( 96) ; expressiones -namque imaginariae similiter ac reales per unicam quando que litteram designantur , ut ponatur v . gr. KV11 = y . 'Hinc autem vides quadratum binomii continere quadratum primi termini . , bina facta ex primo in secundum , et quadratum secundi ; item cu bum binomii continere cubum primi'termini , triplum factum ex quadrato primi in secundum , triplum fa ctum ex primo in quadratum secundi., et cubum secundi ; et caet .. Fiat in ( 8 ) x = a +6,07640., et caelo ..., prodibunt (a +b +y) = (a + b?) - ta2(a + bly tyd. , (a + b + c + y ) = (a + b + c)' +2(a + b + cly tyø = (a + b ) + 2a -tbc + c .-t . 2 (a toi btclyety , et caet. • • • • (a + b + y ) = (a + b)3 + 3 ( a + b)*y + 3 (a + by? + yo , (a + b + c + y ) = (a + b + c)' + 3 (a + b + c ) ” y +3(a +' b +c ).yo it yo=( a +b) 3 + 3 (a -t- b )° C - + - 34a - + b )c % -+- 68 +3(a + b + c)' y + 3(a + b + clys +903 , et caet ..... Ad haee : sumptis 31 x = -i , = VT, (8 )74

secunda ( g) praebebit ( 88:91 )

(=1+3*V = ) -- ++ 3.38 8 3.32 8 va1= 1 . -4-33V )(s" 2 VE 8 3.31 8 1 3.32 $ + ( 8 8 Ov =

110. Denotet n quemvis numerum integrum ac positivum , sitque polynomium n( n-1 ) n (n - 1) (n - 2 ) 1 -tnzator 2 23 to (Predi 2.3 quod abrumpitur post numerum terminorum n to 1 , simus cum terminus nt 2 et sequentes omnes conti neant factorem non . Productum ex Pn in 1 + z erit n (n - 1) 1 - nzfer 2 n (n - 1) (n -- 2 ) 2.3 zit ... = inz" n (n-1 ) z3 2 ( n - 1 ) - 1 ) 1+ {n-+ 1) + (n + 1 ) nın 2.3 zi + ..., 2 quod abrumpitur post numerum terminorum n + 2 ; quodque repraesentabit haud dubie ( 90) potentiam comam nat1 binomii 1 + 2 , si Pn repraesentat pritentiam:75 niimım ipsius. 't to Z. Nunc in Pre augeatur unita te numerus ñ et protractis terminis donec perve niatur ad factorem =0 , polynomium inde resultans designetur per Pne to... Quisque videt p nt , fore idem ac productum illud. Quare si valet aequatio ( 1 + 2)" = P valebit quoque (1 + z ) + ' = Pn + 1 : unde sequitur , si Pn exhibet primam (22 : 90) bi nomii 1 + z potentiam quando sumitur n=1 , exhi biturum certe secundam quaudo n = 2 , ideoque ter tiam quando n = 3 , ac proinde quartam quando ns4 et ita porro. Atqui , ut patet , est revera P = 1 + 2 = ( 1 + z ) ; itaque : universim Pn = ( 1 +2) : erit scilicet n (n - 1 ( 1 + z = 1 + nz + .2 n(n-1 )(n-2) zt ... (e) : 2.3 utcumque caeteroquin se habeat : , realis nimirum vel imaginaria. Facto a prodibit ( 21 : 88) ( 6 + y ) " n (1+ -) = 1. + to XN 1 I n(n-1 ) y n ( n -1 ) ( n-2) 1.2 1.2.3 x3 hinc vero (94 : 99) Newtoniana binomii formula76 n (n - 1 ) ( 20+ y = x + xracy + xn - y ' 1 1.2 n(n -1)(n -2) aº- y + ...(e). 1.2.3 177 senty 1 1 in qua sic procedunt termini , ut eorum m + 1 manifeste exprimatur per nn - 1 )' n — 2 ) ...' [ n - m - 1)] xn -mym ..... (e" ). 1.2.3 ... Sumpto nimirum m = 1 , = , 2 , = 3 . vertetur (e " ) in secundum , tertium quartum terminum formulae ( e') , atque ideo vocatur (e " ) ter minus generalis seriei n ( n - 1) 1.2 n (n - 1) (n -- 2) xn - 3y3 , . 11.2.3 Fiat in ( e ' ratb , a + b + c , et caet. Provenient ( a + 6 + y )n =(a + b )n + n(a + b )n - ' y + n (n - 1) ( a + b )re'y ' + ... + yn , 2 (a + b -+ - + y )n = (a + b + c)" + n (a + b + n ( n - 1) c )na'y + (a + b + c)n - ya to. 2 toy =( a +b ) r +n (a + b ) - 'c to n(n-1 ) ( a + b )nec' to ton to 2 n (a + b + c )n -'y + nino n ( n - 1 ) ( a+ b+ 2 c)nary ! + ... + yn , et caet. ... "'(e)77 с с 7 d .

111.. Nonnulla subjungimus , quae vel coefficien tes formulae ( e') aliquatenus respicient , vel usum ostendent ipsius (e') in quibusdam numerorum pro prietatibus investigandis. I." Ex n litteris a , b , c , d ..... prima a cum caeteris b , d .... constituit n - 1 binaria ab ac , ad ... secunda b cum caeteris constituit pariter n-1 : binaria ba , bc , bd . et sic deinceps. Omnium igitur ejusmodi binariorumi numerus erit n( n-1 ) Binarium ab constituit n - 2 ternaria abo abd .... cum reliquis litteris c , d ... , binarium ac constituit na-2 ternaria acb , acd .. cum b , d ..... et caet.: Quare omnium ternariorum numerus erit n (n - 1)(n - 2) . Simili modo invenitur quaternariorum numerus n (n - 1) n - 2 )(n - 3 ) , et caet. . . Huc spectat permutationum doctrina in qua habentur tanquam invicem distincta ea binaria , ter naria .... in quibus eaedem sese offerunt lit terae diversimode collocatae v. gr. abc , acb . Quod si istiusmodi binaria , ternaria pro uno eodemque binario , ternario .. .. censeantur quodvis binarium eo pacto bis ohveniet , v. gr. ab et ba , cum nimirum jungitur a cum b , et b cum Q ; quodvis insuper ternarium sexies prodibit idem cum nempe quaevis e tribus litteris jungitur cum eliquarum binariis , v. gr. a cum bc et cb ; quod vis item quaternarium quater et vicies proveniet idem , cum scilicet quaevis e quatuor litteris unitur cum reliquarum ternariis cum bcd , bdc cbd cdb , dbc dcb , et ita porro. Itaque nullo . y. gr. a ,78 respectu habito ( ut solet in puris combinationibus ) ad ordinem , quo litterae disponuntur , binaria , ter naria , quaternaria . erunt nuniero n ( n 1 ). n ( n - 1 )1-2 ( ) n (n - 1) (n - 2 ) (n - 3 ) n )n — . 2 . 2.3 . 2.3.4 litterae , po fieri quoque lum numerum n Juvat illud unum hic obiter notare. Habita de nuo ratione ordinis : quo collocantur litterae nantur insuper binaria , ternaria iteratione ejusdem litterae , v. gr. aa aab ., aaa • • • Binariis n ( n - 1) addenda erunt n binaria aa , bb oc .... , ut in ea qua sumus hypothesi totalis ob tineatur binariorum numerus ; qui proinde erit , ri(n - 1) + n = n '. Binariorum numero n' multiplicato per littera prodibunt in eadem hypothesi: ter- naria ns . et simili modo quaternaria et caet... II.° Exprimat k numerum in se primum .(48) :: erit k factor numeri htt ( * hki - 1 ; nam (110. e' ) kik - hk (h + 1 ; * - ht -1khti-' + 2 ( k - 1 ) (K - 2) ... 3.2 h.. 2.3.4 ... (k - 1) Itaque posito , h = 1752 , 3 et caet.. singuli nt .....79 2k - 2 , 34 26 -1,4h3k - 1 , 54 - 4 - 1 eki - tin et caet. • habebunt factorem k.. Idipsum ergo dicendum de 2* — 2 , (27 .-— 2) + (3* — 24-1) , ( 2x - 2) + ( k . i 21.-- 1) + (4k -- 34 - 1 ) seu 24 – 2 , 3 % 3 ; 4 * - 4,5 - 5 , .... et generatim de NA N. Est autem NX -N = N ( N - I- 1 ) ; igitur si numerus integer N haud continet' k inter factores , ipse k erit certe factor numeri ( 49) N - I - 1 . III. Ponatur N constare n notis , quae desi gnentur per a , b c ......... Liquet ex dictis ( 1 : 22) fore N = 101 - 'at 1.01226.4 100-30 + 10 + z ... (er ) : dato v. gr. numéro 34541 , erunt a = 3,6 = 4 ,, C = 5 ; 4,2 = 1 , ne 5 , et 34541 = 104.3 + 103.4 to 10 % . 5. 10.4+ 1 . Jam vero scribi potest (elv) in hunc modum N = (11-1) -ia + (11–1)nas bintar 11--11--3c ta. ... + (11-1) y + z ;80 evolutis insuper potentiis binomii , exhibitisque per N! et N " binis integris , habemus quoad n. parem ( 77 ) N = 11. N - a + b - C + ... y +2. , et quoad n imparem , N = 1.1.N " to a -bito y tlo. Igitur in summam collectis notis 12. , 3 * , 50 ..... numeri N , item 2 , 4a , 6......, dividetur certe N per 11 sine residuo , quotiescumque differentia inter utramque· summam vel prodit = : 0 , vel exsistit divia sibilis per 11. absque residuo. Si (el ), scriberetur ita N = 19 + 136 -'2 + (9 + 1.)n-*6 . + (9+ )n -ic to .... + (9 to 1) y -tz, inde facili. erueretur, negotio quod jam . ostendimus (51 . 59).

112. Si fiat in (e : 110 ) n =-1 , exsurget (77 ) ci ( 1 + 2 ) 1. z fezzet quin unquam abrumpatur formula : et quoniam ae quatio ista valet ' re ipsa (92' : 106 ) quoad eos valo res z , qui intra limites . + 1 et 1 comprehendun tur , licebit sane intra ejusmodi limites extendere formulam (e), ad exponentem :n = 71..Hinc vero (9.3.) (1 + z) = (1--2 + z ? — 2 ? + z -... n(n-1 ) 1.- nz{ 1- 2 3'- ' + ... + z ' (1 - z -to 2 n (n - 1 )(n - 2 ) -z - t ...) z ' ( 1 - z + z ' - ' + 2.3 ..)3 + ...61- nz( 1 -2−2+ 2 + 2-2 + ...).+ 3

)n =

.81 n(n-1 ) --227-37 - ... ) n ( n - 1) (n — 2 ) zº( + 2 2.3 'n ( n - 1)(n - 2)(n - 3 ) 3z- t .. + z" (1 —...) -. 2.3.4 n fin Anzt 29 2 info 3na to 2n 2.3 n6n ? + 11n : + 6n 2.3.4 24 sea n(n+1 ) , n (n + 1 )(n + 2 ) ( 1 +-2 )- = - nzt 2 2.3 valebit nimirum intra eos limites formula (e) etiam quoad alios omnes exponentes intégros ac negativos. Idipsum alibi demonstrabimus de exponentibus fractis sive positivis , sive negativis. Extractio radicum . •

113. Methodus extrahendi radices haud difficulter colligitur ab ipsa potentiarum constitutione ( 90 : 109 : 110 ). Res patebit exemplis. Extrahenda sit radix quadrata ex polynomio m* +2uⓇv + uºv ? + - 2uʼz + 2uvz + z'. En operatio nis processum ( p) Radix. u " + 2u® -tu??+ 2ū * z-t2uvzatz u + up-tz L" ₂(r.) (ra) 2uv-tu'y+ 2uºzt2uvz - tezº - 2uv- uva 20 * z + 2uvz tz* -2u * z - Zuvz - zº 0 PARS I. 682 Ordinato (104) nimirum (p ) quoad litteram ' v. gr. u , extrahe radicem quadratam e primo termino u " ; habebis 91) primum quaesitae radicis terminum Vu =u" = u ' : scribe u ’ in radice , et ipsius u? quadratum aufer ex ( p ) ;'residuum erit (ri ) , cujus primum terminum 2uⓇy divide per duplum termini inventi u' ; quotus erit uv prope ipsumuº scriben dus pro secundo quaesitae radicis termino. Novum radicis terminum uy multiplica et per duplum pri mi u ’ , et per se , productum vero uv{ 2u + 'uv) subtrahe ex ( r ;. Si nihil restaret , foret sane ( 109.g ) d ? -+ uv 'radix quadrata polynomii (p ) : at enim his omnibus ex ( p ) subductis adhuc restat (ra ) , indicio nempe radicem haud constare duobus tantumniodo terminis. Quare ( 109... g ') tertium habebis dividendo primum terminum 2uʼz residui (" ,) per duplum pri mi termini u ’ partis jam inventae - u ? uv et quo z scribendo in radice : nunc multiplica .. et per duplum ejusdem u + u , et per se , ut er fr ) auferas productum z( 2u? +2uv +z). Si novum exsurgeret residuum ( 13 ) eadem ratione ( 109.8') ex . (rs) ope u’ + uv + z obtineretur quartus radicis terminus , atque ita porro. Est autem in casu (73) = 0. Quamobrem (95 ) tum rip )= (u '+ u+ z). 2m.fil Hinc ( 98 : -90. 2° ) bini valores potentiae ( p) ( uⓇ + uv + za +1 - (u ' + uv + z; . 3N +

114. Quaeritur V 1 + z . Habes83 (p) 331+ 2 23 24 27 1 1 ( ra) (s) ( lalalala o + 23 26 ( 5 )rs - 26 3 23 23 23 - + - 2 24 25 28 524 26 ( ru) + 26 1 28 et caet. 2 23 În exemplo isto licet progredi in infinitum : et quoniam (1 + z) — 1 ' = (ra) = ( 1 + 2) = ( 1 + jarra) , (1 + z ) — (1+ (1+3)=(1+ - + = rwo et caetoj iccirco si residua ( r . ) , (r.) , (ra ) ..... decrescunt ita , ut (Fr) , crescente in ultra quemcumque datum numerum quantumvis magnum , fiat semper propius84 zero , erit in limite ( 106) Z ( 1 + z) -( 1+ -... ) = 0 , seu .2 i la•เป ' Z 1 + 1 =( 1+ . ) , .2 .23 ' Z 2" n et consequenter Vite = * (1+ 2 23 24 Haec ipsa series prodit er ( 1.10. e) , sumpto 1/2

115. Proponatur extrahenda radix cubica ex po lynomio 4 + 3u5v-+ -3v "v tuy + 3u'vºz +3uvz ' +7' + 3u " : + 6u ?yz + 3u *zº ordinato per u . Habes ſuº +-3u -3u'v -t- 3u " y?? u + 3u’yºz +-3uvz : + % ( p ) u ?Turts + 3u " z + 6u'vz + 3uº : * ***"} ( r .) 3uy-+ - 3u " v ? + -u’y ? + -3u'v* z + 3uvz' + - 23 + 3u * z- + 6u'vz + 3u'z ' -3u5v_3u "ya_uºv3 3u "z+6u'vz + 3u'v'z + 3uvz ' + {)و ( (r ) * 3uºz -3u " z - u'vz3u'yaz 3uvz . , zs - 3uºz? 185 U re Extracta nimirum radice cubica ex primo termino u polynomii ( p ) , prodibit (91 ) primus quaesitae ra 6 3 ; 5 . dicis terminus Vu6 = u ' , cujus cubo subtra cto ex (P ) restabit (r. ).. Primus terminus 3u v sidui (ra) divisus per triplum : quadratum : 3u4 quan titatis inventae ur exhibet uv pro secundo radicis termino. Factum . ex triplo: qnadrato ipsius: uº in uv est 3u'v , factum ex triplo u ’ in quadratum uv est 3u* o* , cubus uv est up . Quare ( 109.g) subtra hendum : 3u'v. + 3u " + uy3 ex. ( r .) . Primus termi nus novi residui ( ro) est 3u" z , quadratum ( u ? + uv)' habet primum terminum u" diviso autem illo 3u " z per hujus triplum : 3um , proveniet (109 · g' ) tertius quaesitae. radicis terminus z .. Triplum factum ex (a ? + uvja in zest Zuz+ 6u ?vz + 3u²vºz , triplum factum ex, uº : to. uv in zº est 3uºz " + Zuvz ' , ejus cubus: z3 ; et quia his omnibus: ex . (ra) . subductis . nihil restat , ideo : Vip = u ? +uv- t z. Ad haec :: sunt quoque ( 98 : 109.8") V po -- ++ 33VT. v (p ) = (u* to uv -tz) 2 . -36v1 v ( p ) = ( u * to uv toz). 2 . Exinde profluunt (90.. 2º) terni : valores poten-. 3m +1 5 . tiae ( p) ( u' tuv + 2,3m * 1 ,86 [ + 33 VT (u ” +uv + z) ]3m* : , 2 33y= 1 [ (u' + uv + z) ]3m+ 1 . 2

116. Non pluribus opus est ut intelligamus qua ratione extrahi possint e polynomiis etiam radices 4 , 5a ..... Generatim primum radicis nsimae ter minum assequemur extrahendo ( 91) radicem nsimam e primo polynomii termino , tum operationem con tinuabimus dividendo primum uniuscujusque residui terminum per potentiam n - 1 primi termini radicis jam obtentae multiplicatam per n ; exhibita vero per H tota radice prius obtenta , et per Kno va radicis parte quam repraesentat quotus ex illa divisione resultans , ab eodem residuo subtrahendum ( 110. e'.e ) polynomium nin-1 ) nHn-' Kh: Hn -- K to 2 -simam + Kn Eadem methodus applicatur ad extractionem radicum in numeris . 11:9 . Numerus integer M ponatur constare m no tis. Quoniam ( 111. III. e ' ) 10m est minimus inte grorum qui constant m +1 notis , et 10mi mi nimus integrorum qui constant m notis , iccirco po tentia Mn neque poterit ( 25) pertingere ad 10mm neque minor esse quam 10(min . Atqui ( 111. III. elv) 10mn est minimus integrorum qui habent mn + 1 notas, et 10 (mmen minimus integrorum qui habent (m - 1 )n + 1 notas : ergo notae quibus constat Ma neque plures esse possunt quam mn , neque pau , ciores quam mn -(n - 1 ). Quare si Mr , incipiendo ab unitatibus , dividatur in classes quasdam , quarum singulae , contineant: n notas sinistimae : autem classi , relinquantur quae supersunt , quotcumque fue rint , vel eodem numero , vel infra ipsum, haud du hie prodibunt m . classes tot videlicet, quot notae in numero M. Hinc manifeste deducitur illud. Dato numero integro P. , quo proponitur extrahenda radix nisima si , facto ab unitatibus initio , dividitur P in clas- . ses , quarum singulae complectantur n notas ", et sjä nistimae classi. relinquantur quae supersunt **• , pro deantque k classes , tot certe integrorum notis con stabit quaesita radix , . quot, unitates inveniuntur in ko, Numero 187388721. extrahenda sit v gr. radix quadra ta : dividendus erit nurnerus hoc pacto 1 | 87 | 38| 87 | 21 .. et ipsa . radix habebit: quinque notas.. Quod si eodem numero debeat extrahi radix quarta , is erit dividendus, in hunc modum , 118738| 8721. , et radix ipsa ternas habebit notas.

118. Spectatis itaque integrorum notis tantummodo , iisque exhibitis per a ., 6. , C .... 2 , erit (111.III. ! ) p = 10km + 10k-33 +. 10k- 5 + ......... to.za Insuper (24 ': 25) 110k - 1a = an . 10kiz - n , n( 10k -17271 . 10k - 2 ) = nan - 15 . 10kn-- ( 10k -1a + 10% -an ( 10a tbn . 10kn - an , n ( 10k-1a + 1 ( km2 ))* - 1 , 10k - 30 = n ( 10a + bn- 1c . 16kn - 2n - 1 , (16kna + 10k -a5 + 10k -3c) : (10'a + 10b + c )n . 10kn - 3n , n (104-12 + 16k - 2 ) + 10k - 3 , n - 1 , 108-41 = n ( 10'a + 106 + crud . 1 ( Rn - 3n - 1 ( 16k - ta + 10k-1 ) + 1CX- 5 , + 1 4--4 " = ( 10 ?a -to 10'6 + 100 + dr . 1 ( kn - fre , et cact....... 7:88 -sima -sima Ex quibus haec facile deducuntur :

1.° potentia nuima primae notae a radicis, neimae numero extra hendae continetur tota in sinistima classe ejusdem P ;

2. ° potentia n — 1 ipsius a multiplicata per net per secundam radicis notam b haud praetergre ditur primam notam secundae classis computa tis classibus a sinistima ;

3. potentia naime, partis 10 a + b non excurrit ultra classem secundam ;

4.° potentia n - 1 ejusdem 10a + b multiplicata per n et per tertiam radicis notam c minime prae terit primam classis tertiae notam ; 5. ° potentia noima partis 10'a + 10b + c nequaquam tertiam classem transgreditur ; et caet....

119. Positis in promptu (65) potentiis notarum 1 , 2 , 3 , 4 .... 9 , assequemur illico primam no tam a radicis neimae numero P extrahendae , siqui dem (118 .. 1.9 potentia an vel constitait ipsam nu meri P sinistimam classem , vel est maxima inter nsimas integrorum potentias quae classe illa continen tur . Reliquae notae b , c , d .... eadem manifeste ratione obtinebuntur , quam indicavimus ( 116) , mo do singulae divisiones et quae respondent subtra ctiones in debitis (118) tantum residuorum notis peragantur. Idem hic quoque notare oportet quod in divisio ne (44) observatum est. Nempe si potentia n - 1 radicis' jam obtentae multiplicata per n suppeditat factum majus numero qui per illud est dividendus respondens nota exsistet 0 .

120. Fiat P. 10hn = P' ; erit P VP P = et ( 71 : 28) VP = Ubi videlicet ex ultima subractione superest aliquid , opportuna cyphrarum adjectione poterit, sima, De = 10hn 1089 operatio in decimalibus continuari quantum libuerit ipsaque ľP constituetur k notis integrorum et h decimalium .

121. Numerus P quo extrahenda radix noima , prae ter integrorum notas praebentes k classes ( 117 ) , ponatur habere decimalium quoque notas. Certe harum numerus , salvis valoribus , poterit (56) adjectione cyphrarum , si opus fuerit , sic augeri ut traduca tur ad rn ; et detracta virgula ( 7 ) , vertetur P in integrum ( suppeditantem k + r classes : erunt igi turk + r integrorum notae in VQ; et quoniam P = Q 10r12 101 , iccirco 491 : 2 ) Űr_V2 · Dexteriores nimirum r notae integrorum in ve ✓ CU praebebunt totidem decimalium notas in v P.

122. His omnibus animadversis , jam patet qua ratione sit instituenda operatio , ut nihil restet in fine ubi radix potest accurate extrahi , restet autem numerus in infinitum decrescens ubi non potest , et semper ad verum accedatur valorem ( 68 : 114). Ex hibebimus exempla radicis, tum quadratae tum bicae.

1. ° Sint n = 2 , P=56169 , ideo quek= 3. Spectatis integrorum notis 5/61169/237 dumtaxat , erit ( 118) 4 V 56169 = 10²a + 106 +c . 16/1 Maxima inter illas integrorum potentias quae et secundi sunt gradus 3 269 et sinistima continentur classe , est 4 : 3 26 9 hinc ( 119) a” = 4 , a = 2. Subtracto cui 0 a ’ (54) ex classe illa , restat 1 ,90 b = - adjuncta ( 118. 2 ° ): prima nota 6 classis proxime se- quentis exsurget numerus 16 dividendus per 2a = 4 ) ut obtineatur b ; nequit autem (118. 3 ° ) sumi 16 4 nam 4(2.10a: - + 4) = 1.76 > 161 .: at 4 quia sumpto numero proxime minore 3 emergit (2..10a +6) = .129. < .161,, ideo b = 3. Subducto 129 ex 161 , residuum est 32 , cui adjecta prima nota 6 classis tertiae ( 1.13.4 ) , proveniet numerus 326 , dividendus per 2( 10a + b) = 46 ut habeamus , tertiam radicis notam c. Quotus 7. suppeditat nu merum c ( 2 . 10’a : + 2.. 106. + c ) = 3269 haud. majo-. rem illo ex quo subducendus est ( 118.5 ° ) ; proinde c = ?: et quoniam subtractione peracta nihil reli qui fit: ,, id erit indicio quaesitam , radicem solis in- tegrorum notis constare eamque fore accurate = 237.. II. n = 2 , et P = 38068,692544 , unde ( 121 ) r = 3 , Q = 38063692544 ; et spectatis integrorum notis dumtaxat ( 118 ) , vo= 10 % a + 1046 + 10 % c : 7.10'd + 10e + f. Jam vero a = 1- , 2a = 2 , 3|80168 | 69 | 25 |44 } 1951.12. b = 9 , 6 (2.10at 1 b) = 261 , 2( 10a + b) = 38 , 261 c = 5 , 1968 1925 c( 2.10'a + 2.10b + c) = 1925 , 4369 3901 2 ( 10'a + 100+ 468215 c ) 390 , 39021 d = 1 , 7804414 12.103a + 2.10 ' 780444 + 2.100-tl; = 3901, 280 091 2 ( 103a -ti 10 * 6. + 10c * d ) = 3902: , . e = 1 , e( 2.10'a + 2.1036 + 2.10'c + 2.10c+e ) = 39021 , 2 10'a + - 103b + 10'c + 10d + e =39022, f = 2 , f(2.10'a + 2.10'6 + 2.10'c + 2.10'd + 2.10e +. f ) = 780444 , nihilque superest ex ultima subtractione. Constabit igitur ve integrorum notis tantummodo eritque = 195112 , et consequenter ve VP = idest V 38068,692544 = 195,112. 103 3 III." n=3 , P = 143877824 , unde ( 117 ) h=3 , et ( 118) VP = 10'a + 106 +0 . Sunt autem ( 119) a = 125 , a = 5 , 143 | 877 | 824 } 524 3a = 75 , b = 2 , 125 3.10'a'b + 3.10ab ' + 18877 63 = 15608 , 15608 32698/24 3 ( 10a + b ) = 8112 , 3269824 c = 4 , 3 ( 10'a + 106) ? c to 3 ( 10'a + 10b) cº + 3259824 , nullumque prodit residuum ex ultima subtractione. Ergo 3 V 143977324 = 524. 092: 24 | 394 |5161000 10001 .._42057 ...

IV . Sint demum na= 3 , P = 74394516 , Ex surgent Q3 = 64 , a = 4 , 64 3a = 48 10394 b = 2 , 100 88 3.10'a'b + 3. 065116 3.10ab ' + 3. 065 16000 2 649 151 25 6310088 , 416 008 7 5000 3 ( 10a + 371 384 3 41 93 b ) = 5292 , 44 624 4 08. 07. et caetor . . c = 0 , 310'a + . 106) * c + 3 ( 10'a + 1.06 )c + = 0. Ex ultima subtractione restat numerus 306516 ; itaque operationem continuantes ( 120) assequemur 3( 10'a + 10b + c) ' = 529200 , d = 5 ', 3/ 10* a + 10% b + 10c)' d + 3( 10'a + 10 b + 10c)d" + d} = 264915125 , 3( 10'a + 10'6 + 10c + d = 53046075 , e = 7 , 3 ( 10'a + 10'6 + 10'c + 10d ) et 3 ( 10*2 + 1036 + 10'c + 10d )e + e' = 37138434193 , et caet. . .. Erit nimirum 3 3 VP's VP== 42057 . unde VP= 420,57.....Et 93

DE AEQUATIONIBUS.

05 . Generales quaedam proponuntur animadversiones. . Salva

123. alya aequalitate . potest quicumque termi nus , mutato signo , ex altero aequationis membro in alterum transferri : id namque eo manifeste redit ut utrique membro eadem addatur , vel dematur quantitas ( 82) . Per hujusmodi transpositionem possunt omnes aequationis termini in unum membrumconjici ita , ut in alio tantum supersit zero .

124. In aequatione en +Aun- ' +Bx + ... + Hx + K = 0 516 ; UT denotentur per A , B .... H , K quantitates datae sive reales , sive imaginariae ( appellantur coefficien tes terminorum , ad quos spectant) , per n nume rus integer ac positivus , per x autem incognita -quan titas determinanda sic , ut verificetur aequatio . His positis , tunc dicimur aequationem illam resolvere , quum valores incognitaex revera determinamus : ejusmodi valores nuncupantur aequationis radices , et ipsa aequatio dicitur ejus, gradus ad quem ascen dit maxima incognitae quantitatis potentia videli cet noimi. Sic aequatio .303 — 2x + 45o erit tertii gradus ; et quoniam expletur sumendo vel x =-2 , vel z = 1 + VT, vel x = 1-01; iccirco -2,1+VT, 1 - VT vocantur illius ra dices , prima quidem realis , reliquae imaginariae,

125. Factis ( a + 61-1)(c + dy - 1) = A, + B VT, , .94 ( 4, + B.V11(e pV 1 = Ag + B.V - , ( Ag + B.V1yg + hp - 1 ) = A. + B.VT, et caet. , ... , ( An - ; + Bn- V 1)(u + v1-1) = An + B.VAT, érunt ( 102 : 103.g) A , ' + B ;" = (a + b )(c + d ’) , A, ' + B , " = (A , B , ) e? + 8° ) A + BH (43? + B3%)/ g ? + hº) , et caet. ••• An + Bm = ( A’n-, +, B ?, - Xu + ) ; unde generatim À," + B_1 = (a? + 6*Xc2 + d“)...(103 +42) [4 ]. Nequit autem esse AR + BLV - T1 = 0 , nisi fuerint simul An = 0 , Br = 0 , hoc est A , " + BM = 0 , ideoque nisi evanescat aliquod e binomniis a' +b , cº + d ' , e + f . ... u ’ + v ?! Hinc sequitur productum e pluribus factoribus imaginariis haud evaniturum , nisi eorum aliquis er sistat50.

126. In aequatione ao + a ,xn--ot azXR3to.o.tanu, tai = 0 potest primus terminus liberari a coefficiente a. , ut cumque caeteroquin se habent á. , a ,, a, ... in95 @ - s axe Factis namque a , an an -B = H anIn K , a , ao 0 . agar sive a , = 2A , 2 , = a.B, B ,... ... ammss = a , H , an = a, K. licebit aequationem illam scribere in hunc modum aolon +Axr-' + Ban + ...... + Hx + K) = 0 . Non est autem a . secus enim haud foret primus aequationis terminus . ; restat ergo : (125 ) ut sit in + A.xn - 3 + Brn- 2 + ... +Hx +K=0 , ideoque et caet......

127. Si binae aequationes continent quantitatem aliquam w evectam ad potentias quaslibet integrum exponentem habentes , et ponantur ambae veriticari per eumdem valorem ipsius w , poterit ex aequatio nibus iis fieri tertia aequatio , quae quantitate illa prorsus careat. Res patebit exemplis . 1. • Sint w of P = 0 w + P Slo : Adhibita subtractione , prodibit P - P = 0 . Sic datis as + by --C = 0,290 - kg - p = 0 ; erunt by P = PS ky +1? a h ideoque96 by r ? ky - 3 h 0. Propositas aequationes hoc pacto tractantes di cimur ex iis eliminare w. II . ° Sint w? + Pw + Q = 0 , w2 + Pw + Q = 0. Facta subtractione , proveniet ( P - P ')W + Q - Q = 0 , seu w + = ... (A) . P - P Multiplicetur ( A ) per w , ut fiat Q - Q PSPw = 0 , qua subducta ex datarum alterâ , Y. gr. ex prima exsistet Q P = 0 P P! Q 0 ... (A '). wat seu P P - P Jam (4 ) , ( d ) suppeditant (A ) - (4' ) = 0 , qua deest 6. Sic . datis wa Vw to us 0 , W? avtal, in erunt P = -V , Qui , p = 0 , Q = -av tam , ideoque + ava? ( 4 ) W ro ,97 03 ( A ) = w + 2 0 av a vet av a ( 4 ) m(4 ) 3 a lp ? seu 04+ ay3- 2a’v + a = 0 . Datis autem wa h = 0 ; prius 'traducetur secunda ad formam h ? 0 . k ” = 0 , wy multiplicando eam per w et dividendo per vitum fient P = 0 , Q = -12.k P Q = 0 ündé vink) ha ( 4 ) — (4 ) 0 h? seü 24 + kv-0. III. Generatim si proponuntur we + Pow Qwn- + Ron-3 + .% .17 : 311 ??? :- ; ais an '1!un1 + UwUw -t+ VV := 0 ... o...wn p'wn-1 * Q'wn- + R'67-3 + .ai

ito U'W mti V ' E 0 ... (0 ) habebimusii, (O ) = PP( ) =1 + Q - gwaranto (R-— R ')w m50 . ( UmUW -V = 0.00 (0 ) , Pars I. 798 ſ R ...... U. ' '

( on) tum 3 factisque compendii causa, QQ R - R Qi P P! P UU' V V P P .P -P erit =winds + 2,69-3 + 1,60–3.ti . .P - + Uw + V , = 0 ...(8"') ; (g" ') . w= w" + Q.w + R6 " -- + V ,w = 0 ... (di ) , (0) - (0 ) = (P - Q.we .+ (Q - R ,)w -to.. +(U - V .) + y = 0 .... dr .; et, positis Q - R , V V = V , P -Q. exsurget (ar) w.cmt + Q ,w " P - Q .. + U ; + Y., line : (0! ) Nunc si operationes adhibitae in , (d ): et d') in staurentur in ( d! " ) et (Ov ) Hiquet binas alias emer suras inde aequationes , in quibus potentia maxima quantitatis w designabitur exponente n2. Eodem pacto e duabus novis aequationibus devenietur ad alias duas., in quibus potentia maxima ipsius w in dicabitur exponente n . 3 , et ita porro , donec per veniatur ad binas continentes tantummodo potentiam primam ejusdem w , unde tandem eruemus (Iº) ae quationem quantitate illa profsus carentem .*** U U , P - Q . P Q99 928. Èx ternis aequationibus possunt eliminari binae quantitates , quae in illis adsint cum quantitati bus aliis permixtae , et quarum valores iidem aequa tionibus ipsis ponantur satisfaceró. Sint . V. gr. azt ay tax afi all!! 0 bz + b'y + bac +8' " cz ' * 'C'y + " * +4" 0 Conferentes primam cum secunda ut ejiciatur habebimus ( 127. 1 °) a'y tartal PAb'y +6" x + 8 " unde a'y + a" x + a' B'y +6" x +-8"? b In eumdem finem conferentes primam cum ter tia habebimus a'y ta" x + "! P = P'S c'y + c" x + a a a et consequenter a'y + a " x + a " c'y 70'c + . " C Nunc ad ėjiciendam y ex binis novis aequa tionibus praesto sunt !", a " x ta' 7 " x 2 b L a a ' b' b ala to all c" x +101100

unde siis uf P - P = • = 0 . Universim ' ex m " aequationibus possunt ejici m - 1 quantitatesyr , z , Intors - Nam conferen do primam aequationem cùm secunda , tertia quar ta ... assequemur:m - 1 poyas aequationes quan titate. v . gr. y prorsus carentes ;tum hae poterunt eodem artificio reduci ad m . 2 aequationes , in quibus desit z , et ita porro , donec ad'únicam de veniatur aequationem quae nullam ex iis m - 1 quan titatibus contineat.

129. Hinc desumitur generalis methodus liberandi aequationem à terminis radicalibus. Sit 12 in " n vix Ş so 1 1 „ PV, x ,+ 9V.9. rVizyt quae contineat m terminos radicales. Fianti 2." x = h , Vy = k , Vz= l. habebuntur m +1 aequationes ** * ?, ' T hp + kq + lra 0 kn ! - In !!. : 0 qnarum ope eliminatis m quantitatibus hak , loog unica relinquetur aequatio sine radicalibus terminis.

130. Aequatio dicitur determinatasi unicam habet incognitam , indeterminata si plures , quia illa , ut videbimus , vel unicam , vel, finitas numero solutio nes admittit , haec vero infinitas. Atque huc spectat solutio problematum , in quibus nimirum ex datis quibusdam quantitatibus aliae incognitae proponun tur investigandae. Porro quum problematis condi tiones omnes exprimuntur per aequationes , fieri po test , ut illae vel tot exsistant quot sunt quantitates incognitae , vel pauciores , vel plures.40,1 Determinare duos numerosi, quorum : summa = a , et: differentia sbr. In hoc problemate-binae habentur, incognitae 3.9-7 . et binae pariter, aequa tiones x + y = a ,.xy= b . Quaeruntur duo numeris, quorum summa ' = c . Hic binae se : se offerunt incognitae x , y , et unicam assequimur aequationem x + = C . Invenire duos numeros M., M.es1. quorum sun maza, differentia : = b , productum = c ., Binas hic habemus incognitas x , y , ternasque aequationes x+ y=:a -y = b , xy = c . In : primo casu : poterit ad aequationem-:deveniri quae - ( 128) . unicam contineat incognitam , et proble ma: dicitur determinatum , in : secundo obtinebitur acquatio - complectens binas, saltem incognitas et problema vocatur; indeterminatum , in tertio demum dicitur plus quam determinatum , eritque impossibi le , nisi forte contingat ut determinatis incognitis per totidem aequationes , reliquae verificenturon

131. Nonnulla hic subjungimus , praeterquam ad alias , investigationes , etiam ad aequationum proprie tates inveniendas utilia .. 1 .. Sit polyuomium az + bza -14427-24 .... thz + k ... (p ) ; in quo :a , b , cocih , k censeantur fixae realesque quantitates , et . 3 realis pariter: quantitas : , . sed pere petuo:mutata sic ,, ut differentia- iüter binos quosli bet ejus valores : sese immediate : excipientes exsistat capax attenuationis indefinitae : . polynomii. quoque mutatio, perpetuo fiet per · gradus manifeste capaces attenuationis indéfinitae ; proinde si in mutatione con tinua valor ( p ) abeat e -positivo in negativum , aut102 viceversa , is transibit per zero priusquam ejusmodi subeat conversionem ; valores nimirum illos quanti tatis z , quibus respondent ( p ) > 0 et ( p .) < 0: interjacebít haud dubie valor quidam zm , cui respon debit aequatio, 42m + bcn +2 ... + hzm + k = 0.2 NS t.cmm 1 1 1 siquidem duo quivis valores quos recipit (p ) , alte rum ante , alterum , post conversionem i utpote signis affecti contrariis , haud, poterunt differentiam ., suppeditare indefinitae attenuationis. capacem , nisi . imminuta magis, semper eorum , distanția ab ipso con versionis puncto ,, vergant ambo jugiter ad zero , ibia que. evanescant. Ad haeca accedente ( p ) indefinite ad zero , cre scit valor. quantitatis ita ut transcendat quem . ( p ) cumque valorem datum utcumque magnum ; abit in super ' valor ille una cum (p ) e positivo in nega tivum aut viceversa ; et quia facto ( p) == 0 , vertitur 1 in ideo ex > . haud fietli, aut P..) ( 2 ) 1 : vice nisi post appulsum ad 9 consideramus veluti limitem ad quem vergat quantitas , cujus valor, ponitur indefinite crescere , de signamusque per c. vel per — .. , prout appulsus ille fit ex parte positiva vel ex negativa. Etsi limi tem istum nunquam assequimur ; non raro tamen con tingit , ut ejus consideratio in usum veniat.,

2. ° In polynomio (p ) ponatur valor quantitatis z perpetuo imminui. Certe az" + bz ht" + cz- + ... toho , op versa 6. Expression nem 0103 idéoque etfractió aztbzt.cz Sonths k magis semper decrescet. Id autem nequit accidere , nisi valor numeratoris evadat denique ... et pergat es se minor quam fixus,denominatoris ,valor : in ea igi tur qua sumus hypothesi. fiet denique - ac. perget és.. se (p ) > vel < 0 , prout k erit > vel < 0 . Quod si ,valor z : poneretur indefinite, crescere signum totius polynomii fieretdemum constanter idem ac signum termini az" . Patet ex eo , quod liceat. polynomium illud sic seribere. fi h (a

• ).

3.° Nonnunquam formularum valores post appul sum ad 0. , . vel ad sty.co retro cursum reflectunt quin : illos transcurrant limites sive eo adveniant ex paro . te -positiva ,,sive ex negativa , uti videre est in z ! -- 2z + 1 = (2-1) ; 1 -z * 2 : 2 (2-1)3 ; z - 1) facto z ex < gradatim > 1 .. Contingit quoque ut formulae. valor decrescens incipiat crescere ... vel crescens incipiat decrescere quin prius appellat ad O. vel ad #co. Id patet in 27 wpi2 , + 2 % -2 , z -- 22- + 2 faéto :similiter: 2.ex < per gradus > tó , Generatim ubi formulae valor decrementum mu tat in incrementum , ibi habet , minimum.quoddam ; ibi vero habet maximum , ubi incrementumin decre ... mentum mutat.1,04

4.° Aliquando plures, habentur appulsus ad o , vel ad = cum transitu , aut sine ipso : sic ascenden-. te z ab 0 ultra 2. , in formulis, (2-1) (2–2) , (2-1) ' (2-2)* bini sese offerunt appulsus ad 0 , in altera quidem cum transitu , in altera sine transitu , Plures etiam interdum habentur mutationes de crementi in incrementum , aut viceversa quin antea fiat appulsus ad: 0 , vel ad 5.00... Crescente v. gr. z ab 0 ultra 2 , formula (2-1)' (2--2) +1 bis evadit = 1 , ibique ejus decrementum vertitur in incrementum .

5. ° Si expressio imaginaria,M + NV - 1 exhibet summam , et P - QV - 1 differentiam binarum a + 6131,0 + .dy = 1 , çrunt (MP + N ) = (a* +-b* + 2{ac + bd) t.ca + d2) , (P + Q” = (22 + b? — 2 ( ac + bd ) + c++ d , ; in quadratis radicibus vel indicandis , vel extrahendis, positivos dumtaxat hic spectamus , valores. Nequit autem ( 103.g ) (ac + bd) ? esse > (a ? +62) . (c + dº) ;; valor igitur numericus binomii ac tbd haud excedet factum (a?+63 ( + do ,105 ipsumque binomium minime praeteribit limites + . ( a ? + bºy <* + d ) , et- (a* + 6=j3 ( 0 * + dot Quare ex binis (M + N2N ) , +( P* + Q neutra praetergredietur limites . ( a ? + 6 * - + . 21. a + b V c ca td + ( + daj Va + b + + da ( a” +62 — 21a76?102 7.da + c + dajż .

1. Va + b3 -10 + d ?).

Il

6.° Positis M , + NVT, = ( M + NV - 1) + ( +of V - 1) , M , + N , V - 1 = (M , + N , V - 1) + ( 8 + hv1) . et caệt... nunquam fiet , ut exsistant (M ," + N ," > MV + N + ve + pi , (M ," + N , > VM," + N," + Vg + ha, et caet. . .. . et consequenter haud poterunt esse ( M, " + N ,? ) > Va + b + Ve + da + ve + f?. (M, " + N ,2 > Va + b ? + Ve + da + Ve + + 927h V , et caet ......106 =Cn . },(h). Jam qui valores ao . a ,, ag • : •-an obtinentur (128)

7.. Si bina polynomia aj + 2,2 +0,2 . to ...... to anza , 0. +0,7 + Caza + ...0.7 cq ? ! . permanent aequalia quum loco z substituitur quili bet er.n+1 peculiaribus valoribus 2012. , 3 ... 21 erunt a. —Cool, Ciray = 0 , .an at9 ,. ta, zo ! + ... tam . " = P , + 2,2 ,,ta, ? , ! + ... + an ? ." = p .. ( A ). et caet........ ao ta, nta, n . + ... + an ? n " =Pni habebuntur ex hypothesi co + 0,20 +0,2. ? + + 0nzo" = PO Co +0,2, +0,2, ' + ... ont 0,2, " pou ( C ) et caet. • • Co + 0,2n + Cgen + ... + Cnzn = Pn . . Sint namque ex n + 1 aequationibus ( A) , iidem manifeste sunt ac valores Co , C ,, C,,.. Cn qui eruuntur. ex n + 1 aequationibus (C) ; ergo et caet..

8. ° Inde sequitur illud : si praedicta polynomia permanent aequalia otcumque sumitur z , vigebunt haud dubie aequationes (h ). Resolvuntur aequationes determinatae primi et 'secundi gradus.

132. Aequatio primi gradus reducitur ad hanc formam ( 126)107 x + A = 0 , unde x = - . A .... (1) , utcumque caeteroquin se habeat A , realis nimirum vel imaginaria .

133.. Aequatio secundi gradus potest generatim sic exhiberi x " t. Aix -tBal..... (i'). Fiat A = 0 , ut habeatur x* - + B = 0 , ac proinde x = - B ... (i " ). Ponatur 1. ° B realis : erunt ( 95 : 96 : 97 ) x = V - B , x = -V - B si B < 0 ., et ( i)

• = * v = 1 , x =-Bšv =

si B > 0. Illud autem restat videndum , admittatne incogni ta x alios praeterea valores , necne. In hunc finem sumatur x = a + vVT, in qua reales quantitates 10.0 sunt determinandae ita , ut satisfaciant aequationi ( u + or -1) + B = 0 , seu (97) binis u? us = -B , 2uv = 0. Jam, ut hae verificentur ambae , necesse est su mero. u = 0 , v = B . vel V0, u - B ; istarum positionum altera nequit conciliari nisi cum B : > 0 , altera vero nisi cum B < 0 ; ex prima ober tinemus108 v = 0 , v == 13, ==u .- +- vy- 1 = + BV7.; ex: secunda v = 0 , u==V - B , x = u + vV - 1 = * V - B : unde sequitur haud alios: fore; valores: incognitae x** quam praedictos (i" .

134. Ponatur:

2 ° B: imaginarias; sit : nimirum --B = a + b11., ut debeat resolvi aequatio . x ? = a + 6V1......(1 ).. Facto , ut supra , x =utvy, quantitates reales U ,, erunt determinandae ita',, ut satisfaciant aequationi (17-v1-1) = a + by to Aequatio ista dividitur, in binas : u * - = a , 2uv = b , unde a ' + b " = (u ? - v *)* + 4u'v* = (u ? - + - va) , ct consequenter u ’ + x = (22 + 62) . quae et eruitur iminediatae ex (l . 125 ). Huic prius , addatur , tum dematur prior e binis illis : exsurgent F109 2u” = (a*-+ 6°) + 0.720 = (22 + 821.-a; proinde Va + b ) a) ut {i ) astb et quoniam ob 2uv = b valor X -5U- fe : abit in 17 6 V 2u seu , quod eodem redit ? 4,9 19:33:01 of Bosport 1199 + 91-17 it. Bc.07 :20: 1.15 0.101Y erit igitur a Vu + 6 t'a X * E .22 b ( VI) 23 / a* + 6 + aja ay seu , quod in idem recidit 6 . 22 Va +67 Katab -a ) 23 !440 1 x = # 1,12 Proponatur v. gr. aequatio -x + V - 1 = 0 ; erunt a = 0 , b = -1, ideoque 1 V11 ) V2 135. Venio' ad generalem secundi gradus aequa tionem (i' . 133). Utcumque sumantur A et B , rea les videlicet , aut imaginariae , poterit fi') scribi in hunc modum A ? x fois 0 unde (avrt ) 2 mit B 4 북 ( x + 4)= - (8-4 ) 1 quae cum eamdem habeat formam ac (i ) , vel (iv) ; А eodem pacto resolvetur quoad x toy ac ipsae 2 (i ) , (iv) jam resolutae sunt quoad x . Itaque posita A' B reali , erunt 4 A

• B

ideoque A = +V-(8 - 4'). 4 ( 8-4)=1, 44 VB+ + Ako ll. 1 Chess et (iv ) quum B — X B111 A ' quum B A 4 ginaria , ut sit > 0. Quod si B ponatur ima. - ( B- * ) = a +01=1. erit aequo А 6 x + -2 3 , Meta serili 2u VT seu , quod eodem recidit ( it ) A 6 X + 2 + ora 2x sumptis u , v ex (iv . 134). Detur v. gr. X – ( 2 + 1 = 1 } x + 10 + 2 v1= 0 : exsistent ipse posita hinc Quocirca 1 et - a = 2,6 A = -1 - V = 1, B = 10 +2V - 1 ; - (8-4 )= 2+ ivvi Ich +2) 7 + 1 ܚܘܬ| 9 4 17 3 IT .2" ( + * + 2) 2 + y = + * + / = ),112 idest x = 5 + 1 = 1, x =2 . XN - De resolutione aequationis ( a + 61-1) = 1 ... (f)

136. Gradus n . est vel par , vel impar : denotan tibus mirik, i numeros integros > 0 , in primo casu exprimetur n aut per 2m , aut per 272k + 1 ) , in secundo per 2i + 1. Jam ducto initio åb n 2m poterit in locum ( f ) subrogari systema aequationum x = zziz, ' = % ; zg ! = %m- s mm Zmartby 1. Prodit autem ex ultima (134) 1919,95 zm == (1 + vK - 1), et adhibita substitutione in penultima , Fius 2 m-I a Sutier - 1 ) -- (114. vv-lj.si) Hinc (134) quatuor eruentur valores zma , quibus in antepenultima successive substitutis , octo inde "obtinebuntur valores mot atque ita conti nuando usque ad - x= 2, assequemur denique toc valores x aptos verificandae ( f ) quot unitátes con tinentur in exponente. n = 2m . --137. Sit nunc n impar , ac prius fiat b = 0 , dein a = 0 ut traducâtur-(74 ad i = 42* 2 *1 V - 1 . ( f Explebitur prima ' sumendo(95) 3i + ]413 Xa si a > 0 ; et si a < 0 . Explebítur secunda ( f) accipiendo. ( 95:96) ( f " ); naruma x = ( - 1) 331.4 -1.si .. > 0 , et x = -117? (46)2zi + 1vT 1r si b < 0 . 138.. In , eadem hypothesi gradus imparis etsibi- . b.neutra evanescit , erit tamen aliquis va lor i et habens consuetam formam (97 ) , " ēt aptus explendae aequationi ( 7. ). Assertio sic demonstratur In . ( a +6 V- 18 ... { {"). habeatur x pro quantitate continue mulata , sitque 3 + 01 = -1 unus quivis - ex ejus valoribus ; tradu cetur ( 1.10).( 8 + 0V - 11 ad Brt , V1, erit 1 que · ( 125. , 2) designantibus autem w , k , f numeros positivos , fa ctisque (8 + orT - 151 —(a + b11)ep+9V = 1, (BP + 0 = w.la ? +6 ) = k . (p" +971 4 li et posito en > k , w > k. , Pars I. 8 .* 14 1 non descendet ( 131.59) f ultra " - ki neque proinde ultra k , facto • Come > 2k , w > ( 2k) · ( fw) ; contra , sumptis ( 137 ) vel ò = 0 et " = f" =a . vel (f) B = 0 et x " = (ov )" = bV1, descendet f ultra k ; nam in primo casu p=0 , ga -6 , unde f = valori numerico solius ' b ; in secundo p = -a, q = 0 , etconsequenter f = val. num . unius a : quod si accipiantur ß = 0,0 = 0 seu x = 0 , proveniet f = k . Itaque minimo valo rum omnium quos , mutata x , recipit f respondebit valor aliquis x = B ' tod V - 1, ab zero diversus , sed talis ut non impleat conditionem (f " ) ; cum enim valores , quos recipit numerus positivus f , sint vel > , vel =, vel < numero positivo ķ , habebit f valorem quemdam minimum < k ; et consequenter si per ß! +dptexhibetur valor x minimo illi respondens, neque erunt simul f' = 0 , d=0 , ne que explebitur conditio ( atamis + (zu seu w > (2k ))* siquidem in primo casu prodiret f=k , in secundo f > k. Miximus ille valor exhibeatur per (pl? + q'zi ut sit115 n(n-1 ) 2 ( 3 + 0 V51)n— ( a + 61-1) = p' + 9 V - 1 ; ponatur insuper B + ,VT= B ' + + open Erit (110 .e) p + qV - 1 = {ß + 017it.gje ( + 6V213 = p " + 9V + n .(B' + oV. - 1) -9+ ( + 0V 1jam?co ? + ... + go" , quae , denotante y numerum parum admodum > 0 ,, et assumpto Oy p .' +9! V. =

..( fury ,

nig' + 0 7. - 1927 induit formam ejusmodi ( 108. 2º) . p + IV - 1 = [ p' + 9'V = 1][1 -- y + (9 . + 2. V, -1) g * + (0 , +.., K. - 1) + .... t . (Vinsam..thx - 1) , 1 ... (fit).. Hinc , factis compendii causa (V;" +2,2332 , ·= On-- , inferimus f haud exces suruņ (125 : 131.. 6 ) ( p'a + 9'7)$((11 — y +9,39 + 9.90* + bny Bigtit . ... ti On -- vyy nisi evanescat ( pl: +9032; et quoniam fractio y po test sic , attenuari , ut exsistat (131.2° ) NI + d116 seu y > 9.78 +0,78 t ... tonen (pour 1 > 0,7 + 0,7 + .... + 0n -13 " -s , sequitur , nisi evanescat ( p'? +g'oyź , fore indubi tanter ejusmodi numerum y , ideoque et ejusmodi valorem x = stov 1 alium ab x = B + d V - T, cui respondeat f < ( ple +9734 ; quod cum fieri aperte nequeat , restat ut sit (p" + 9'3) =0 , unde (B ' + 0 - 1 (a + 61-1) = 0. Quia igitur evanescit ( f" " ) ubi pro x substi-. tuitur.ß' +or-1, jam manifesta est veritas as sertionis. 139., Ex ipso , demonstrationis processu deducitur quoque ratio accedendi ad ß ' + d11. Designa to namque per x, valore x ( 137. f ") per quem ex-. pletur altera (fr . 138) , factisque X , ( a +611)Ep. + 9.11. 9, = - y. P: + 9.1nr nx ; ex nin --- 1 pita.V = 1 + nx;"M9, + x ," map ,' + ... + 0 ." . 2 seu [ p. + 91V = 1] [1-4 + ( ,+ 2,7-10 ? + (% + 1,8 + ... + ( n -e + domek 117." 1. I117 1 1 ndir determinentur respondentes 0,, 0 , : . : Orari et as 1 1 sumpta y, inter fractiones v . gr. 10 ' 100 1000 ita , ut exsistat idonea verificandae 'conditioni ( fr ) . ponantur 3, +9, = xg , x ", - (a + bv - 1) = p: +911, ut respectu x, consimilis instaðretur operatio , ha beaturque x, +90 3x et sic deinceps. Quemadmodum in hypothesi ( p's + gia jf evanescentis prodiret ( 138) (p? + qoji < (pli +9.99 sic in casu erunt ( . +4.% < p +9...( +9:" < p, +9, non 'et caet . sazbest ducir nesigua mer Quia igitur termini seriei ip ." + 9.5 *, ( p ;" + 9,5 %, (p: +97713 ,... indesinenter decrescunt , ideo x, , X , i j , . . . ver gent ad '+ 0 V. Illud hic animadverto , quod unum idemque mi nimum haberi possit ex diversis quantitatis mutatae valoribuś (131. 4 ) ; proinde superiori demonstratio ne haud excluditur multiplex valor x aptus aequa tioni ( 1) verificandae. 140. sit demum n = 27 ( 2k + 1) : pro ( 7 ) seu vxc >" 24 + 1) (a + by - 1) = 0 licebit substituere sy stema duarum aequationum akti = å + 6V . Ex secanda habemus ( 139) + 0 VT, -0418 hensam ; ideoque prima yertitur in x? " = .ß6! +or-1, quae resolvitur ex dictis ( 136 ). De variis aequationum determinatarum proprietatibus, 141. Sit aequatio gradus nsimi: [3] +Axº - Baº - 2 .. * Hx 4 K = 0 = 0. Positis A , B ... H , K realibus , sumptisque pro ' binis valoribus similiter realibus , si ex altero prodit [ z] > 0 et ex altero (z) < 0 , habebit aequa tio realem aliquam radicem valoribus illis compre nam inter utrumque continebitur certe ( 131. 1 ° ) realis valor , quo adhibito prox , evane scet primum membrum [z]. Hinc sequitur , ubi n est impar., aequationi fo re indubitanter unam saltem realem radicem ; siqui dem (131.. 2° ) adhibito' satis magno valore , negativo pro x , fiet [z] < 0 , et adhibito satis magno positi vo , exsistet [z] > 0 . Sequitur quoque , ubi n est par simulque K<0, aequationem habituram binas saltem radices reales alteram positivam , alteram negativam • facto enim x = 0 , prodit [z ] < 0 , tum exhibito per A valore satis magno, emerget ( 131.29) [ 3 ] > 0 sive accipia tur x = , sive 3 - A. 142. Sit K < 0 , ex reliquis vero coefficientibus si qui adsint > -0 , ii (ducto initio ab A et ordine.pro cedendo versus H ) ponantur :esse-aut unus , autduo , aut plures , aut quotquot erunt usque ad H. Certe non carebit aequatio reali ac positiva radice , sed unam tantum habebit ejusmodi. Designantibus namque a , , ag + payan nu mericos coefficientium A , B.; H , K valores , et numerum integrum ac positivum < n , poterit 5119 1m [ 2 ] scribi in hunc modum [z '] x + a zachmas to a goc" ? tiroo tu amor - anix : 0 , et spectari [ z '] ut productum e binis factoribus i et x . " + axot tosoofiam 11 am + , X - an n - M amty 2n- 1 a 12 ...[ z " ). 1-KZ X In mutatione continua ( 131. 1 ° ) quantitatis x ab O ad x = tic quisque videt tot fore transitus polynomii [ z'] per Ö , quot factoris [ z " ]. Jam altera ipsius [z ' ] pars na, x " progreditur ab am admin do , altera anos m C M-i Hirit am a an MI n -I . nen α ab - ad 0 , ideoque totus [z" ] jugiter crescendo verget ab – so ad + 0 : transibit ergo [ z " ] , et consequenter [ z ] , per 0 , sed unica vice ; proinde et caet. Hinc denotante il realem illam ac positivam ra dicem cuilibet valori : DHL manifeste respondebit valor polynomii [z'} > O ita , ut pergente x ab Ml ad +o , pergat [z' ] ab 0 ad too . 143. Sumpto m = 0 , [ z '] fiet [ : ], ini ах - a .2x angxx an = 0 ; et designata per ,a reali ac positiva hujus aequatio nis radice , erit; [3 ) > 0 si x > a , et crescente x ab o ad + cresceť [ : ' ] ab O ad +00 . Quod ipsam spectat 'radicem , haec notabimus : 1.9 expri120 quoad mat a maximum omnium coefficientium a , a, anto ant erit aza + 1 . Assertio indiget demonstratione tantum a > 1. Itaque cum sit [ z ] . 2 " = a.4 stoa , + an- jatan exsistet ah < a (en utat + 0 + 1 ) , an seu ((102)). La - 1 12 a ” Propterea 6-1 < a 2a , ar ét a < a + 1. 2. ° [ z ? ] suppeditat n 1 N e' unde.colligimus quotos aaz ani, ar an 1 vel fore omnes vel alios > alios autem 0 n 1

iccirco n

na , nag na , nan a Q? ideoque etiam 1. 9 n (nan) 2,10 na . (namoms) (nan) α .121 vel erunt omnes = 1 , vel alii , 'alii vero < 1 : consequens est ut radix a interjaceat minimum ma ximumque numerorum ña ; i ( na ) (na ). , (nan)* . 144. In polynomio [ s ] sint nunc generatim A = ,itd. v 1 , B =0, +d, V ... K = onton v1., et habita x pro quantitate continue imutáta s'expri mat B -tor- 1 unum quemvis ex ejus valoribus ; fiant insuper [ z ] = p + qvT. [z] — (B + 01 = 1)" = p , + qini, 'et'i (c, + did =ki(68° + 2,91 = ke ,... (6, + 4,91 = kn (p + q )! = f, (p. +9: 1 = fir (B* + ,- } = " Profecto f, haud excedit (125.1 : 131 . 6 °) kws + kacomina + ...:+ kno Jam si f, non superat w ?? , 'certe (125,1 : 134-.5 ). non descendet f ultra w " _f,, neque proinde ultra wa kwani kw" : -... -- kn [="]. Denotante autem a radicem positivam ( 143) ae quationis [ z '] = 0 , prodit -constanter [ z ' ] > 0 ubi W > & : non evanescet igitur f si a > a , et conse quenter aequatio [ z ] > 0 minime explebitur per eos122 too cum valores x = e + ov = 1 qui praebent (827071% > . Aů haec : pergente w ab a versus pergit [z ] ab 0 versus + co ; ideoque crescit f indefinite una w. Ergo minimus valorum omnium quos , mu tata x , recipit f , respondebit valoribus w 1 x quem dam determinatum limitem minime praetergredientibus. Minimus ille valor exhibeatur per (p's +093, cui respondeat x = f' + 0 7–7 ut exsistat (B' + 0 1 -1)" + A ( 8' + 0 VY ! + B.( 84-7 0 V-+1) ^2 + ... + K = p + qV- 1 ; fiat praeterea B + oVF = ' + oV T + Q ; erit p . + 91-1 = (3 + dV = + 9)? A (B ' + 0 V - 1 + )* -' + B (B' + 0 V - 1 + $ 59mns + ... + K , quae potest sic exprimi ( 110) p + gV = T = p' + q'viti, i sur - 199 + (re + sgV 1909 + [zw] (ľn-:- + 5mniV1)p ** ". Ponatur 1.º haud evanescere r, +5V -1; deno tante y numerum > 0 , et accepto prug' À notisiv 1123 ac traducetur [z ] ad hanc formam (110 : 108 : 2 ° ) p + 9V - TE [ p' +9' V1] [1– y + ( 0, + 2,71).j " + ... + (Vous + nev1) , " ]. Ponatur 2. ° quod evanescat rs + siv, inter expressiones rit sipat, r, + sapt... , ra + s, = To... ,"nus+ima v 1 prima earum quae supersunt repraesentetur per I'mtosmV - 1 : erit sane ( 108. 2 ° : 136. • . 140 ) aliquis valor o = y (x + 5V - 1) , per quem satis fiet aequationi m -gmpp ' + 2V9V et adhibitis substitutionibus in [ zvr] proveniet (110 : 108. 2 °) aequatio hujus formae p + 9V - 1 == [ p! + 9'V - 1] [1-10 + (ve to 2,71) gom + (0x + = 15g Maps it (Yn-m +ainm V - 1) ). Qua vero ratiocinandi methodo usi sumus (138) postquam obtinuimus ( fv" ) , eadem hic quoque uten tes eruemus tam in 1. ° quam in 2.° casu (p's + q!• = 0 ; propterea (B'- + Óo" V = 13" A (B' + 0 V - 1) + BiB + vyoms + ... + K = 0 Exinde manifesté colligimus , utcumque se ha 17124 elici X 36 bent coefficientes A , B ... H , K'aéquationis [ z = 0 . fore semper unum , pluresve valores x == B + V1 ad ipsam explendam idoneos , seu , quod eodem re dit , fore semper aequationi [z ] = 0 unam pluresve radices sive reales , sive imaginarias. Paululum autem attendenti patebit ( 139) quod , assumpto ad libitum valore x = ß , +0.1 possit in utroque casu ' ab.x, deduci x = x , + , tum ab ça = Xg to Do et caete ... ita , ut X , X, , ...vergant ad ß' + 0 V 1. Caete rum conditiones verificandae 1 > 4.9 to 0,9% to.it On- gn • ! • . [zyil ) 1 > 9,7 + 6,7 % + ... + On- mi [zvill] , altera in 1.º , altera in 2.° casu , possunt ita exprimi [ 2127] -0, - On-, > 0 hrim [2 -9, Quod spectat ad [ z *] > : 0, designante 8 maxi mum inter 7. , 0 , ... Onus , aequatio [z'x ] = 0 prae bebit ( 143) valorem positivum < 0 + 1 ; ideoque facto 1 = 6 + 1, proveniet [zta] > 0 , 'et con nem n - 3 -0 , > 0 . 1

• 33 * !,19

sequenter sumpto y explebitur conditio 071 1 > [ z ]. Quod vero pertinet ad [3*] > 0 , denotante 6 maximum inter 0 , 0, ... Onam , simili modo osten ditur conditionem 1 >[avi ] expletum iri per 1 y ?125 Hh ; 145. Exhibeatur per h una sive realis. sive imagi naria radix aequationis [ z ] = 0 ; erit K - ha Ah Bh " proinde [z] = x" — hạ t A ( 3c " , -1-) + B ( aximo — 2 "-a) + ... + H (x - h). Est autem generatim ( 102) . a ) " 15 { 1 + h ( ) +67 ) + .. +6( )" "} { - 1}, m zom m3 ideoque h = (BC h ) (3M-- + hwm- + hºa” + ... + h ). Quare traducitur [z] ad hanc formam ( ac -h ) (3c" ! +B, x", to CX -3 + + H, x + K ). Item repraesentata per i una sive reali sive imagi naria radice.aequationis [zx+] x." + B , 0 " ~ 3 + C0,3c " -3 + ... + H x + K , = 0 , eodem pacto traducetur [z ] ad (oc - 1 ) 0-2 ( ? + C22 Cgx" -3 + D xh- + ... + H2x + Kg) , et ita porro ; unde demum conficitur ut [z] sit pro ductum ex n factoribus primi gradus habentibus for mam ejusmodi126 x -h, xi, x - 1 , ... x - t , videlicet ax " + A.x " - " + Bxs+ ... +Hx + K h ) ( x - 1) ( x - 1 ) .... ( x -t) ...[ zx!! ].. Quia vero [zxllj et. evanescit quaecumque ex n quantitatibus h ,. ; ,.... t adhibeatur pro x , et ne quit aliter (125) evanescere , ideo aequationi [ z ] = 0 erunt sane n radices ,, at non , aliae terminantur formulis x - h = 0 , x - i = 0 , x - 1 = 0 , • Xt0.. Patet illud : factis . ut in n. ° 126 ? quam quae de B H = 41-1 , K = an ao A. ao а . erit high 2.Xn + 2,27m. to... + Apamput + an ao,( at — h) ( x -1) (0 - 1) ... (a -t). 146. Productum ex n factoribus x — h , x - i , ... x - t est conformatum ita , ut , assumptis i = h ( = h , ... tah , reducatur (110. e') ad n(n-1 ) ac nha " - " + th” . 2 Hinc facile colligimus ( 111. I. °) productum illud fore (htit... + 5 + t)x-' + ( hi + hl + ... + ht + ilti + st )xn thi... st , ideoque ( 145 . z 11 : 131 . 8. °) x²1.27 i tit ... . ts. yo t = - A , hi + hl + ... + ht + il + ... + st = B , et caet. • • [zir] hil ... rs +hil... rt + ... + il ... St = EH , summae cum hil ... st = EK . Ex quibus patet , ubi in aequatione gradus n simi coefficiens primi termini est =1 , coefficienten secun di acceptum cum signo contrario aequari summae omnium radicum , coefficientem tertii acceptum cum signo proprio summae productorum e binis , coefficien tem quarti acceptum cum signo contrario productorum e ternis , et sic deinceps ; postremum vero terminum acceptum cum suo signo , vel contrario , prout pempe fuerit n par, vel impar , aequari producto ex omnibús simul. Inde haec eruuntur. 1.0 si una e radicibus v. gr. h evanescit , erit K = 0 ; si duae simul v. gr. h et i evanescunt , praeter K = 0., habebitur et H = 0 ; et caeta ... 2,9 mutatis signis radicum omnium , si gnum secundi termini in aequatione mutabitur , ter tii manebit , quarti mutabitur , et ita porro. 3.° sub stitutis ah , ai , al , . .. loco h ini coef ficientes A , B , .... H , K fient aA , a'B a'-' H , a”K ; multiplicabuntur nimirum radices omnes, aequationis [z] = 7 per quantitatem a , ubi singuli termini ipsius [z] = 0 multiplicentur per singulos terminos seriei 1 , a , a , ..... a " . 4.° aequatio [ z ] = 0 facile poterit liberari ab omnibus coefficientium fractionibus , quin primus terminus novum acquirat coefficientem ; exhibitis namque per b fractionum denominatoribus , satis erit in hunc finem multiplicare singulos aequationis terminos per singu los terminos seriei 1 , (bcd ...) , (bcd ...) , ( bed .. )". Aequationis autem inde obvenientis ra с do 9128 túr x loco XC9 n dices nihil erunt aliud nisi aequationis [2 ] = 0 ra dices multiplicatae per bcd ..... 5.. quod si loco h , i , l , ..... substituantur hta., ita , la , augebuntur radices omnes quantitatea , et coefficiens A immutabitur. in A - na. Hinc si in [ z ] = 0 poni A proveniet ( 145 : 2411) nova aequa tio , quae secundo carebit termino. 147. In [z] coefficientes A , B , ..... H , K.ponan-. tur ease reales. Substituto in locum . x prius u + uV1, dein . u - vrati 4 cum : generatim habeamus ( 110. e' ) (u + 01—1 = U , + V, V - 1 , (u - 1-1 = 0 , -V.V1., iccirco in primo casu traducetur [ z ] ad U + VVT, in secundo ad U - VV - 1 ; istarum vero expres sionum nequit altera fieri = 0 quin altera fiat iti dem = 0. Igitur sub illa hypothesi non poterit ae quatio [ z ] = 0 admittere radicem imaginariam + rV - 1 quin simul admittat conjugatam ( 102) up - 1 ; proinde radicum imaginariarum nume rus par tantum esse quibit. Habemus insuper (ct —u — p - 1) (x −utov - 1) = (x - u)" +x3 hinc sub eadem hypothesi polynomium [z ] exsistet resolubile in reales factores primi vel secundi gradus. Ad haec : si coefficientes rationales A , B, ... K omni fractione careant , aequatio [ 3 ] = 0 nullam habe bit radicem realem et rationalem vere fractionariam : patet tum ex dictis ( 146. : 211) , tum ex eo quod fractio , cujus denominator non metitur accurate nu meratorem , conjuncta cum alia quantitate nequit eya .129 V 00): thicra - 26tତ pen DO x² + Ax ” 18 m -1 R eneratu 15 dére quantitas integra , nisi illa alia cum qua con- jungitur , sit. fractio eumdem habens denominatorem . Hinc vero in aequationibus, ab omni fractione libe- , ris , si qua radix realis et rationalis habetur , ea profecto erit inter divisores integros ultimi termini ; quorum : si nullus aequationem expleat , tuto inferri poterit nullam aequationis radicem fore rationalem ..

148. , Juvat hic obiter notare illud : siin : EK X't Mx" substituitur pro x quaevis radix orta ex numeratore, non communis denominatori , vel contra , quisque vi det fractionem evasuram = 0 , vel at pro x adhibito valore radicis communis tum numeratori tum denominatori ( si quam habent ejusmodi ) , fra ctio vel definitum aliquem obtinebit valorem diver sum ab zero , vel fiet 0 vel = 0 , prout nume rus radicum ejus . valoris fuerit in numeratore vel ae- . qualis , vel major , vel minor quam in denominatore ; et quia ipsa -fractio tam in primo , quam in secun do: ac tertio- casu ( modo communes factores retineat 0 induit formam hinc est quod forma ista dicatur 0 indeterminata

De resolutione aequationum tertii et quarti gradus, quae coefficientes habent reales.

149. Sit aequatio tertii gradus absque secundo termino (146.5.9) x3 + HautKe 0 on. ( 7") ;; ad quam resolvendam pone == u 9 :: habebis . 23au ont u ? + 3ur.(unto vai Pars I. 9 PEDIG fiat it terit at riam i nume 2 + 1 eraliste grades B. n habe zariam: 'quod ate na 0 uit era130 unde -.Zuvx (u +03) = 0 .. Haec autem recidet in (r ) si u et y sumuntur ita ,, ut exsistant simul 23 H uv 3 (r") 1 u' + N = -K. ! Resolutio igitur aequationis ( r ) ad resolutionem tra ducitur . binarum (7'). Jamvero us . et v ? sunt (146 :: z *111) radices aequationis z? — (u : -4.03 )zt u ?w = 0 , seu , ob (ro ) , H3 z + Kz = ( ... ( ). 27 Quare si per 2 , ,, 2 , designantur radices aequationis ; (r: ') , erunt (115) 5 – 1. + 33V1 3 1. - 33 1 $3 2 2 . terni valores u ; et -1 + 3& V 5 . - s 2 2 . terni valores v ; et quoniam binae u , v , ut ex earum summa coaleseat_x , sint- oportet ejusmodi , quibus expleatur prima ( ro') , iccirco cum habeamus. 1 + 3 - 1 3 2 . E131 radices (145 ) 2,9 C 29. X z aequationis (r) sic exprimentur 1 , 1 ? 5 X , Z , YZ, Cup 17 1+ 3ⓇV 31,5 -1-3 2. 3812 3 (r '"') 2 . 1 1 =-33V 3 -1-43VET X35 5 2 -22 2.3 Ad z ; ,,2 , quod pertinet , erunt ( 135 : 2V11T) K : K? H3 2 +. V 4 27 , V )(PV K K2 H3 2 . 27 . K? H3: quum > 0 , et 27 . K : zi 2 --v . - ( 27) va (r ") K K” H3. 2 . K? " quum H3 < 0. 4 . 22 .

150. Capiatur: aequatio secundi gradus x? + 2ax: ta? -3c = 0 ,, cujus radices132 ac, -a-tV 3c" , -a - V3c ** sunt reales vel imaginariae , prout c > vel < 0 . Ut ea efficiat aequationem tertii gradus carentem se cundo termino , multiplicaridebet (146) per x - 2a = 0 ;, sicque habebitur 23 -- 3 (a * + c )x + 6ac 2a = 0 . Hinc vero H K Зас — a ;. 3 . 2 . et consequenter: Kº H3 (3ac - a3) pane (a ? foc)3 - 4 27 9a " to 6a²c c3 c(3a' — c ) ; qui valor cum sit negativus , vel positivus , prout: c > vel < 0 , sequitur quantitatem , K H% 4 27, fore < 0 in casu omnium radicum x , X2 , X , .reas lium , fore autem > 0. in casu binarum imagina-. riarum . Quod si fuerit cs 0 , erupt Kº H: 4 27 K - 2 ( mv ). 1 X = 2a 26.) wlogo К. 12 = X2 a133

151. Quoniam , 'exsistente Kº нз 4 27 < 0 , secunda membra fr !!!. 149) debent esse realia ( 150 ) ; fet gol → 2 , = 0 dat ( 138 : 139) -y = z; = 6 + certe si fiat provëniet 1 t = 2 ° = B' - 0.1 'eruntque ( 149 :(! ) x, = 26 , 2 B' — 3a" , froV11) X 3 B ' + 3ig .

Exempla.

1 ° Proponatur aequatio 23.- 6x + 3x + 20 = 0 , quae ( 146 : 5. ') , substituto æ + 2 loco x , vertitur in 93 10 = 0. Erunt igitur K H = -9 , K = 10 , et = -2 < 0 ; 27 H3134 ideoque ( 149 : 1

-5 + 23V = 1 = (1+ 2%V -1) ,

2, = - 5-2y = (1-23V + 1)?; unde 11 vat , 22 1 d ' = 21 1 х 5 5 zi' = 1 + 20 VT 22 -1 ; et consequenter ( 151 ) B' = 1 Hinc (rV11) x ; = 2 , x ; = - 1-16,45 = -1 + pa, quibus addito binario , . habebuntur 4 , it - 6., 11 + , radices aequationis propositae. II.º. Detur quoque x3 for 3X 14 = 0. Erunt K? H3 H = 3 , K =-14 , et 50 > 0. 4 27 Quare ( 149 : plv) z , = 7-750 = (1 + 72) , zg = 7-750 = (1-- V2): ; unde 1 1 5 3 z ;' = 1 + 12 , z ,º = 1-12 ; et consequenter (149 : r )135

• , = 2,4, = _ 1763V 1,43= -1-6311.

III. Sit demum 203 12x + 16 = 0. H3 Erunt H = 12 , K = 16 , ' et = 03 4 27 proinde (150 : -V1)

• KC ; = -4i X, X = 2.

152. Obiter hic notetur illud : si coefficiente's H , K essent imaginarii , determinarentur 2 , , 2 , ex (i x : 135 ). 'Sed jam ad aequationes quarti gradus ac cedamus.

153. Sit aequatio quarti gradus absque secundo ter mino ( 146. 5.) x" + Gx ' + Hx + K = 0 frivir) ; ' ad quam 'resolvendam pone x = utytwo Habebis x' =u ' + 1+ w * + 2 (uv+uw + vw ) ; 1 tum [ x ? ( u +w v + Ww

• ) ] = 4uv 4 (

+ uw + vw )? = 4(u’v? + ü ?034 vw*) + suvw (u totiw ) ; demum 2c 2(u ? + w + w ").x * — 8uvat + (u” + * + w *) — 4 (u * v + u’w " + w w *) = 0 . Haec autem recidet in (VMI) si u , v , w sumantur ita ut exsistant simul 2 (u -pwa + w ') = - G , Buvw - H , (u * + 1 + w *)? —4u” y? -to u’w* + - v * w *) *K ,136 seu = - G. H m * + v + we 2 8 ( ) K u?ve for u ?wa tuw?

16 4

Resolutio - igitur aequationis ( povru ) ad resolutionem traducitur ternarum ( 1x). Jam vero:su ? , 12,2 " sunt ( 146) radices aequationis z ' -u*twa+w )zº+{u'v*+- u? wº ? w ' + vwz- u ? w 0 , seu FC Vio 2 4ş ) xi "G K H ' =0 ... (r ). 16 64 Quare si per z , , Zg , B3 designantur radices aequa tionis (r *) , erunt ( 133 : 134 : 1 " : {") u = wV4, , V = + Vzg , W = V zz. Et quoniam u w , ut ex earum summa coalescat -20 , sint oportet ejusmodi quibus expleatur secunda (plX) ; iccirco radices x ' , g , x3 , x4 aequationis (r " ! 11) sic exprimentur Vz; + Vz, + jizz , = V2, -12, 123 , ( ) -V 2 ,+ V2, V 23., Vz, -12, + Vzg , quum H <0 ; -et X , =V %. + V2, V- zz , X , = V & - Vig + Vza , (1877) -V2,413, +12 V2, -12- Vigo quam .H > , 0 . X, X3 X313 Exemplum Sit aequatio

• • _ 12x – 16.334 – 16 = 0 .

Erunt G12 H = - . 16.31 , K = 16 ; proinde fr *) fiet 23 6żº- moto 13.7 12 = 0 , cujus radices 3 + 77V 3 7 .2 2 Et quia H 30 , ideo (741) 3 3 + 7 1 x 2 V. 2 s + va -V . 13+ y= -7 . v = V3-V3+ v

• _V3+ 3+ y=1
• -V5-V3+ 1 + 1 =113 .

1s= 1=== Sed ( 134 : 1" ) 2 Quatuor igitur radices aequationis datae traducuntur ad V3+ V1, V3_V1, -V3+ , - / 3 - V .138 154. Cum e secunda (mix ), habeamus Hº · 2,2,23 - 64 profecto e radicibus Ze , Ze , Zg una saltem ( 141 : 146 : 147) v. gr. zz', erit positiva , reliquae vero 2 ,, Zz vel ambae positivae , vel ambae 'negativae , vel ambae imaginariae. In primo casu radices 2,7 Xg X3 , Xito aequationis ( VIT) prodibunt omnes reales. In secun do omnes imaginariae , modo tamen non sit 2 , = Zz ; hac enim exsistente aequalitate , in secundo casu duae erunt radices reales aequationi (7V111) et duae imagi nariae. In tertio denique casu adhuc duae habebun tur ipsius ( VIII) radices reales , et duae imaginariae.

155. Quemadmodum ' quoad ( r ) , sic quoad (pvill) obiter notabimus illud : si coefficientes G , H , K sunt imaginarii , determinabuntur z , Zg' , zg ex di ctis ( 152) ; tum vz. , V2, , .V.2 , ex ( 133 : 134)

De formulis integris atque symmetricis in ordine ad aequationam radices ; deque ratione proxi me determinandi ' radices ipsas , quando reales sunt ; ubi et aliquid annotatur circa elimina tionis doctrinam .

156. Formula dicitur integra in ordine ad aequationis radices, quas complectitur, si ab iis liberum habet denominatorem; dicitur autem symmetrica, si permanet eadem quum binarum quarumvis radicum fit mutua alterius in alteram immutatio; uti videre est in primis membris [ zx!!! : 146]: id genus formulas universim indicabimus per S.

157. Radices h , i , 1 , p . ... s ,'t aequationis ( 141 ) [ z ] = 0 ponantur inaequales ; ac 1. ° sume n=2 ut ea traducatur ( 145) ad:139 ++ Ax + B = (x - 7 ) ( x + h +A ) =

( x - 2) (x -ti + A ) = 0. Formula S ordinata quoad i (104) dividatur per ii toh- to'A ; devenietur ad residuum R , carens: radice : i ; et exhi bito quoto, per Q , erit

S = Q' (i- t'h- + A ) + R.

Ipsa Sordinata quod h dividatur per h + 1 + A ; devenietur ad residuum R, carens radice h ; et exhi bito quoto per Q , erit .S = " (h - + * + A ) -+ Rg. Sed ( 146) it'h + A = h -ti + A = 0 ; quia igitur S. ponitur symmetrica , iccirco S = R , = = Poh P ! " + iPhmiot P roso tPm- ih -ta ? Pm SER, = Pozºti P 7" rootPm -jito Pm . Residuorum R , et R , alterum dividatur per h' + Ah + B , alterum per i? + Ai +-B , exhibeantque Q' ', Q?V quotos , ' et Rg , R residua. Erunt Q'" (h? + Ah + B ) + 'Rz , Rg = Q'V (1? +Aint B ) + R2 Jamvero h ’ + Ah + B = 0,7 + Ai + B = 0 ; Ergo ' S = Rg , S = Rg : in quibus residuis minime continentur radices h , ¿ ;

M 1

R ,140 secus enim forent S = ph + Pz ', S = point pa '; aequátio nimirum primi gradus PortPSS expleretur per binos inaequales valores weh , ki; quod fieri nequit ( 145 ). . Same 2. ° n = 3 ut aequatio [ z ] = 0 traducatur ( 145) ad cº - Ax^ + Br+ ( 3 h) [ x * :- + (h + A )x hu nt 'Ah + B ] = ( T - i) [ x ^ + ( i + 1 ) x + 3 + Ai + B] = ( 26 - 1). [vc ? + (1+ A)x + 2 + Al + B ] = 0. Erunt x * + h + Ax + hº + Ah + B = ( x - 7)(x-+ ith + A = 0 , x ?Hi+ A )x + i? + Ai +-B = ( x - 1) ( x + I + + A = 0 . xº + + )* + l + A + B = ( x / h )( x + h + l + A ) = 0. Jam si S ordinata per l dividitur per 1- + i + h + A , devenietur ad residuum carens radice 1 ; hoc resi duum ordinatum quoad i , divisumque per 1 ? + (h + A ) i + h ' + Ah + B suppeditabit .(1.9) residuum R' complectens solam ra dicem h ; eritque SER = P hmota P , " -o to ... + Pm-, h + Pomo Simili modo si S prius ordinata quoad h diwiditur per h + 1 + i + A , dein ordinata quoad i dividitur per i + h + 1 + A , exsurget in primo casu residuum carens radice h . , in secundo residuum carens radi ce i ; quorum residuorum altero ordinato quoad I , divisoque per 1 + i + Alt i ? t Aimy B.,R " = R = altero autem ordinato quoad l , divisoque per h ? + (1+ A ) h + 1 + .Al + B , . prodibit ex prima divisione residuum R " complectens solam i , ex secunda residuum R complectens solam , l ; eruntque ob S symmetricam , SSA EPoh + Pinto ... to Pm , par Pm S = R " = P.2 P.2" + PP ,,24.5 24.mt ++ ... + Pm-,1 + Pm Dividätur nunc R '. per h3t Ah ? + Bh toC , R " pers i3 + Air + Bi + C , R per 13 + Al+. Bl+ Co aç denotentQQ ' quotos , RU , RY , R " re sidua , Erunt R = D (1.5.4. Ah + Bli'- + C ) + R " , Q" (13 to Ai? + Bi + C ) + RY d '" (2} + .Al + Bl + C) + RVI Sed hs +Ana + Bh + C = 0 , i + Ai* + Bi +-C = 0 , 18 + Al + BL + C =0 : , igitur SERIS RY , SERVE ; in quibus residuis haud continentur radices h , i , 1 ;. secus enim forent SER" =p.h" + p h + par S = R ' =poi' +pai +. Pai S = RV = pol + pil + pei, aequatio nimirum Pox + Pm3cat pe = S142 ) etsi gradus inferioris tertio , per ternos tamen exple retur inaequales valores x=h , x =i , x = l ; quod esse nequit ( 145 ). Sume 3.0 n = 4 út: aequatio [ z] =0 traducatur ( 145) ,ad x" +Ax3 + Bx ? + CxED ( x - )[ 0 + h + Ajx ? + (h ? + Ali+ B )x + h ? + Ah + Bh + C ] = ( x - 2 )[ x ? + i + A )x ? + ( i + Ai + B ) x + is + Aię + Bi + C )= ( x - 1)[x3 + (1 + A ) x ? + lº + Al + B ) x + 1? + Al? + BL + C )= x - p)[ x3 + (2 + A )x + (p ? + Ap + B )x + p ? + Ap ? + Bp + C ]= 0., Jam vero x3 + (h + A )x ?-+ (h ? + -Ah + B )a + h3 + Ah ? + B + C = ( x -2 )[ x ? + i + h + A ) x + i ? + hi + h ? + Ali + h ) + B ] = 0 , oc + i + h + A i? t - hit ha + Ali + h ) + B = (3-1) ( x + 1 + i + h + A ) = 0 . , Quare ( 2.9) si S ordinata quoad ' p dividitur per p + 1 +i + h +A , et residuum ordinatum quoad l di viditur per ľ + i + h + A )2 + + hi + h + Ali + h ) + B , novumque residuum ordinatum quoad i dividitur per - 1 + A) ^ 4- hº -Ah + B++++++ Alº -BB - C, devenietur ad residuum R ' carens radicibus iil , p ; eritque S = R ' = P . " + P RM - 5 oost Pm - h + Pme. Item x * i + A ).x ' + iP + Ai + B )x + 23 + Ai? + Bi + C = (x - 2)[ x ? + (1 + i + A )x + l + il-ti? + A (2 + ) + B ] = 0 ,143 unde x? + (1 +3 + A )x + 1 til + i + A ( +3) + B = (oc —p) ( 6. + p + lti: + A ) = 0 , cujus radices h et p . Quocirca ( 2. ° ) si S. ordinata quoad h dividitur per. h + p + 1 + i + A. et residuum ordinatum quoad p dividitur, per p' + (1 + i + A ) p + 1 + il + i + A (2 + 1) + B ., novumque residuum ordinatum quoad I dividitur per 13 + (i + Al + ( iº + Ai + B )l + * + Ai” + Bi +

6 ° devenietur ad residuum R " carens radicibus h , p , eritque ob S symmetricam , S = R" = Poim + P,7% toonut Pm -si + P me Simili modo S = R " = P.1" + P /M -tt.nontPm - skat PM , S = R " = Pop + P.pl + Powep + Ama Dividatur nunc R ' per h4 + Ah + Bh ? + Ch + D , li R" per i* + Air + Bi' + Ci + D , R "" per 24 - + Als | Bl" + Cl + D , R " per p4 + Aps + Bp' + Cp-+ D; exhibeantque Q ', 1" , 1 " , Qiv quotos , et Ry , Rv? RVI , Rruị residua. Exsistent144 R ' =Q' [h * + Alt + ... + D ) + R , R " = \" i" + Ai: + ... + D ) + Ryt ; R = Q " (2* + .Al3 + ... + D) + Rv , R " = Qi"(p * + .Apt... + ) + RYM . Sed h " + Ah ' to ... + D = 0,2 + Ait + ... + D = 0 , 19+ A1:" + ... t D=lip" + Ap ! + ... + D = 0 ; igitur : S = RY , S = RV..S = RVIT , S = RM ; in quibus residuis non continentur radices h , i, lip ; secus enim forent S = R = polisi + ip , h * + poh + Psr. SERV = p.i + pall + pi + ps , SERV = p.lt + p , l? + pol + Poe S =Ru= p.p! +Pup +Pap+ P: ; acquatio nimirum Pocs + prix ? + Pox + p3 = etsi gradus inferioris quarto , per quatuor tamen ex ... pleretur valores x = h , x=i , x=l , sp ; quod csse nequit ( 145).

158. Non pluribus opus est ut stabibatur illud --- exhibeat y polynomium [z] quum in [ z ] fit x=h ; % polynomium [ 2 ] —y [zija x -h quum in [z, ] fit x =i ; vg polynomium [z, ] Di 0quun: in [ z ,] fit x = l ; Vi polynomiúm . [z , ] — [ 23 ] = X 1 quum in [23] fit x = p .; ; Yn - polynomium [ zy - 21-1-2 [zr- ] = =xtos, too. tinth#A 2 s 1 quum in [zi- ] fit' x = t. Si $ ordinata quoad't di viditur per neh , devenietur ad residuum R, " ca rens radice t ; si R , ordinatum quoad's dividitur per vni ? devenietur ad residium Rg carens binis. t , si ....., si R , -2. ordinatum quoad i dividitur per v , , devenietur ad residuum. R2-2.complectens so Iam radicem h , eritque S =R, -. =Pºk" + Ph- +... + Pm- ih + Pre Aequatio ista subsistet etiam quum loco h ponitur in Rn-r una quaevis ex aliis radicibus .i , l , ... to Sive autem hac ratione , sive alia quavis transforme tur S in polynomium Pol " + P hm - ' + ..it P. , te Pm ; dummodo aequatio Pik " + P ,1 " - " + innitPmm, tPmES pergat subsistere quum in primo membra pro le adhi betur quaevis alia e radicibus i , l , ... t, ordinato polynomio quoad h , eoque ' diviso per » , devenie tur semper ad residuum R , enribus- carens radici bus. l , i , l , ... S. , t ; eritque R Residuum Rn est formula integra in ordine ad A , B , ... H , K ; in singulis namque divisoribus Yn-- , Yn - 2 , ... v , v primus terminus habet coefficien tem 5.1. , PARS I. 10 S146

159. Coefficientes A , B , ..., H , K intelligantur perpetuo mutati sic, ut una.. , vel plures diffe rentiae hãi, h - 1 , -1, -2, .. attenuențur indefinite.. Utcumque. pergant attenuari .. valet semper aequatio S = Rn valebit igitur etian evanescentibus differentiis : unde infertur assertionem modo stabilitam subsistere. et quum aequatio [ z ] = 0 admittit radices aequales. Ad haec. :: fieri potest ut antequam perveniatur ad Rr , aliquod e. praecedentibus residuis R , , Rg . R-, emergat liberum ab omnibus,radicibus h , i , ... t : tunc , abrupta, operatione , residuum illud sumetur : pro valore formulae S., Exempla .. 1. ° Sit S = i'l + il ? + 1h Ih ' h’i + hi"., Erunt 11 = 3 , [ z ] = x + Ax ": + Bx + C ,, yeh + Ah ' + Bh +C , [2, ] = x* + (h +A )x + h + Ah + B ,, V , = j + (ht.Ali tuht. Ah + B , [ :, ] = x + ith + A , v , = 1 + i + h + A ,, R , = (A + 3h)i + (3h' +4Ah + A *)i + Ah ' + A’h , R, =-3h3 - 3Ah - 3Bh — AB ; demum R, = S = 3C - AB ., II. ° Sit S= {h — ;)" hl( )...(h — 1)*( - 2)*(i-- p) .. (i-1)*...(s=t)';,147 ; . ac : 1 : 0 .sumaturrn = 2 , ut habeamus. S =th - ). Erunt [ ] = * " * Aix : + B ,, V = h ' * Ah -to B ,, [ z , ] = - x + h + -A ' , = ithin - A , R = 4h : + 4AhtA" , R ; = S = A ' - 4B.. Accipiatur : 2. ! n = 3 ;,ut habeamus S = th : -- )hd?( )*(i.-- )*., A equationis x? + (h + Acth; t Ah - - B = 0 , radices sunt: (157 : 2.-) i :et 1 ;;hinc ( 1. °) (i - 1) = ( h + -A )" - 4h +-Ah + B) A: -3h? --2Ah - 4B ;; et idemtice : ( st .-1Xx - 1) = x + (h + Ax: + -h ? + Ah + B , unde ( h : - .:hl)( ) = -h ? + (hit Ahth? + Ah + B = 3h ? + 2Ah + B.. Igitur

(3h2 +2Ah + B )*(A ? --3? - 2Ah 4B).

Nunc si loco - aequationis ; x ? + (hints-A )X. to.h ? t -Aht. B = 0 consideraretur: (157 : 2..) prius : x? +( i + A )x : +2?: to -Ai -+ -B = 0 ,, dein t * + (1 + A')x til + Al- + B = 0 , S 1148 altera praeberet ( 12 ) S = ( 3i* + 2Ai + B )*( A ’ — 3i — 2Ai — 4B) . altera S = ( 31 " + 2AL + B) (A - 32A2 - 4B . Itaque secundo membro (3h ? + 2Ah + B )"( 4 + 3h " - 2AN —4B) ordinato quoad h , et facta divisione per : 123 + AN2 + Bh + .Ci emerget residuum A ? B ? 4A'C 4B3 270? + 1.8 ABC ; ideoque S = A'B ' 4A'G - 4B3 270 ? + 18ABC . Simili modo , accepto n = 4 , 5 ot caet. . inve nietur respondens S. Ubi emergat S =0 , id manifesto erit indicio aequationem [2] = 0admittere radices aequales. Ad haec : si radices omnes fuerint inaequales ac praeterea numerici coefficientium A , B , ... H , K valores integri , prodibit (158) valor numericus S = , vel > 1 . 160. Exemplum istud occasionem nobis suppeditat aliquid annotandi circa rationem , qua proxime deter minari possunt radices reales illarum aequationum , quae et radicibus carent aequalibus , et reales habent coefficientes A , B , C , ...

Itaque 1. ° cum ( 144) aequatio [2] = 0 nequeat expleri per valores x = B + or-7 praebentes (8° +00) > a , cumque in ea qua sumus hypothe si ( 142) k , = a,, k , = ag , ... kinn = an149 si isim ) +s ( m) -7 exhibet unam quamvis e radi cibus h , i , 1 , ... ipsius [ z ] = 0 , erit certe ( 143) numerus ( Bim )? + o ) minor quam maximus , sive inter a , +1 , a, fa 1 an+1 , sive inter 1 3 па , , (na ,) , (na:) (nan) Hinc facile determinatur numerus c major quam ( sema + gmaj : ubi notandüm ", si radix ponitur realis , (fém)? 4. o(m) 22 nihil fore, aliud nisi nume ricum ejusdem radicis valorem. 2.° Differentiae ti Viit illi : ī 2 1 seu (S' — {") + (d'— 6" -1, (6-6 ) ( 0 "')V - 1 (8 "-3 " ) + (0" -2" y_1 dant ( 13175 °) [(S^= 3")* + à ") ( = r!) < 2c , [C5' — pujatilor = 3""} ]ż( = y") < 2c ; et caeti ... Sed ( 111 : 1. ) earumdem differentiarum numerus n(n - 1 )

igitur seposita , una quavis ex istis dif

ferentiis v . gr. h - i factum e numeris m " ; p.!!! 2150

• 6

qui reliquis differentiis : respondent , ' exsistet iminus quam in (n - 1) - 1 .2 ( 2 ) Hinc; posite ر " , .1 n (n - 1 ) 2 (20) singuli r?, P., " " superabunt numerum Mo 3 .** factum ex quadratis differentiarum interi radicesi aequa tionis , [ z ] = 0 : sic potesti exprimi ( 1:47) S = [5.6 ( ") + (0-0") V - 1]?: [( 9--8" ' ) . + (o )" - 1]'. [28'\ .— 1]... [ ( 8'-- . 6") + (o' + "")V - 1]" : [ " - 8"') + ( 09 + 0V - 1] ..[ ( S " – 8' " ) + (0" - "') - 1]” . [ CB " --- 3 ') + O + = 13*- [23" 1j . [&s". 5") + (0" +.0"") 11 ......... [ (8 - 6 ') + ( '" + o" ) V - 1 ] . [ (f5 " - 65" ) + ( 8"" . + 8 ") V – 11”. 20 " . V = 1]?... [ ' - .S") + ( -0+ 0")) - 1]” [ ( 3.3 .- 4 (-0' + 8"') .- 13 .-.. [(f ". ) + ( +0" matie o ""') - 1 ] .... = * [( 3' - 3) ? + CO .-' ,0 " ] [( S' - 5 '" )" + (a'.- 0?! )? ] ' ... X151 40 [ ( S' - B ') to (a + " )' l' . [ ( G { "') to (0 +0"!)?j? ..·: [ (S"!? - B " )* + (o" - "' ' ] ' ... X 40" ."[43" - ' ' ) 2 + (0" + dvi!)? 7 . 40 " ? Unde inferimus ( 2.° ) , si "extrahitur radix quadrata ex valore numérico formulae S , designaturque positiva radix per & , fore r' pill yo'l' .. ; = < ; ideoque . n (n - 1 ) ( 2c) 2 4. ° Si radices omnes , aut nonnullae tantum v . gr. h , ii l sunt reales , pátet r ' , r. ! nihil'fore aliud nisi : numéricos differentiarum hi' , h-I valores. Nu merus itaque j'erit minor quam minima differentia rum inter radices reales. 5.- Si s s , vel > 1 , uti contingit ( 159 : II.° ) quum numerici 'coefficentium A , Bº... valores sunt integri , poterit numerus le determinari ope formulae. À n( n-1 ) . 1 (2c) 2 6.° denotet N ejusmodi numerum integrum , qui sit immediate > ; erit c < Nu ; ideoque ( 1. ° ) f singuli realium radicum numerici valores erunt mi nores quam Nie Exinde infertur radices istas com prehendi omnes limitibus — Nu , + Nulis

7.º Constitutà serie -Nu , - ( N - 1) , - 34 ; - 24 , -1 , 0 , 4 , 24 , 31 , … . ( N – 10t , Na , quia subtracto quovis termino ab immediate sequente с } ()1152 restat constanter numerus p. minor (4.") quam mini mną differentiarum inter reales, radices , iccirco inter binos terminos seriei ( 8) sese immediate excipientes unica tantum ex istis radicibus poterit .contineri.

8." Hinc ( 141 ) in [ 2.] facto prius x = Npc , deinde ( N − 1 ) Le deinde x = N-2;. , atque ita porro , ut hoc pacto [z ] recipiat successive valores O ' , O " , O ' ' et caet. . ( g ) , si 'O ' , '0 " , ... prodeunt vel omnes positivi , vel omnes negativi , nulla erit aequationi [2] = 0 radix realis ; quod si prodeant partim positivi et partim negativi , tot 'erunt ipsi [ z ] = ( radices reales quot transitus in corumdem valorum serie a positivo ad negativura aut a negativo ad positivum ; interjaeebitque una quaeque radix binos terminos sese immediate exci pieutes in ( g) , quibus respondent in ( : ') bini valo Pes , alter > 0 , aller < 0.

9.º Designentur ii termini per a, et X , X , Hong quorum primus praebeat v . gr. [z ] < 0 , secundus (3 ] > 0 , ponaturque x , to X2 You 2 2 Radix aequationis [z] = 0 continebitur limitibus x , et y si , substituto y pro x in [z ] , prodit [ z ] > 0 ; continebitur limitibus y et x, si substitutio illa sup peditat [z] < 0 : sive autem novi limites sint x, et ya sive et c'e , eorum differentia fiet hypothesi novorum lignitum X., et 9 fac + X, g the In 1 ji 2 4 in hypothesi verò novorum fimitum j et ac, fac _2 -3 Ju 2153 1 su, In primo casu rađix-aequationis [ z }= 0 circun scribetur limitibus , x , et y, si , substituto y , loco X în [ z] , emergit [2] > 0 ; circumscribetur limiti bus y , et y si substitutio illa praebet [3] < 0 . In secundo casu comprehendétur- radix, limitibus y et y , si , substituto y , in [z] loco x , provenit [ 2 ] > 0 ' ; comprehendetur limitibus y , et ay si ex ea substitutione oritur [z] < 0 : in utroque autem ca limitum differentia faet . Sic ad alios atque 4 alios devenietur limites , quos interjacet fadix , quos que separant intervalla je pl M , et caet. 2. ! -4 ? 8 16 et quoniam haec intervalla jugiter decrescant , asse quemur denique binos limites ita vicios inter se , ut eorum alteruter spectari queat tamquam radix ve= rae proxima aequationis [ z ] = 0. 10. Si aequatio [z ] 0 habuerit radices aequales, ac proinde p = 0 , elaborandum ut eae fiant solitariae, Pone aequationem [ z ] = O'continere 'n ' radices = hin radices = i , et caet. . .. ; binae formulae [ 2 ] et [P] =nxi + An 1 ).c.23 tis B'n — 2 )x " –3 + ... +1. H ] ejusmodi factoren maximum M habebunt communem ut sit M = (x - 1)" fx 1 )"!'. ideoque invento ( 107) M ... divisa [ z ] per M .et exhibito quoto per Q , radices aequation Q = 0 erunt solitariae, explebuntque [ 2 ] = . . Habes namque (145) n154 -12 [z] == + (h + A )x ) + (hº + Ah + B) (h : + Ah ' +- Bh + Cjxindo tiro h + AR 7 BBlog tH , = X + (i + A)2"--+ ſiº + Ai + B ) x "h ? +... this + Az" ? to . • + H , nx et caet... Hinc positis compendii causa h + i + 1 + oro + stot = S ,, h ' + i +1 + ... + 5° + = S ; h + ; + 1 + i +53 + t ? Sz et caete : • • erit [ z ] h X - t (S, + nAging + (S , + AS, + nB ) a "-3 + (S , + : AS, + BS , + nCjx" + .... + Snows + AS,-. + BS n - 3 too . Et quoniam [z] 0 et caet. • • • praebent ( 146) X + nH. XL - (h + A ) = ithat .... + 1 , - (i + A ) = h +1 +... +t , ...- ( t + A = hti + b + ... + s , hi to Ah + B = B - h (i + 1 + ... +t) , + Ai + B = B - i (h + 1 + ... + t) , ... t + At + B = B - t'h + i + ... + s) , - (h * + Ah + Bh + C ) = -C - h (il to.. + it -t ...+ st ) , - (i3 + Ai +"155 Bi+9) = - ( - i (lil + ... + iht + ... + st), ... - (t3 + Atº + Be + G = - thi + ... + hs + ...). et caet... ac proinde ( 146) S, +nAs ( n - 1)A-, S , 4+ AS , TonB: = nB 2B , S ,' + AS, + 'BS , + nC : = (6" ) nC 3C , ' et caet. o '.... ; iccirco erit quoque ' [ z ] [ 2] [ 3] [ P ']

ih XZ

)

.X t . c Jam vero in ea qua sumus hypothesi ; [2] [ 2 ] [ 2] h Xi (x . h ) - ( x in ( x – 5).( t ) + (x - hyr '(x -- inha ( x - 3)( x -- t) + ... + ch( )" ( x - 2) !!... as( ). Formulis igitur [ z ] et [P! ] communis erit factor ma ximus (x - hu- ( x = 71-*.. M : propterea et caet..... 11.0 " quoniam qua lege deri vatur [ P '] ' ex [ z ] , eadem prorsus [ P " ] [ = n (n - 133+ )1).<? . + AA ((n - 1)'n — 2 ) x " > 3.cape B (n - 2) (n - (33)).xoikeus . .o titic . + 2.1G] derivatur 'ex [ P '] , itemque [P " ] [= n (n - 1)(1-2) ". 3 A (n - 1)(n - 2)(n - 3)ochme, to B( n - 2 ) (n - 3) (n - 4 ).3 " -5 + ... + 3.2.1F ]1 n necessaria ex [ P " ] , et.caeloos ideo quarum -radieum the = i ,. aequatio P = 0 habet nuineros n ' — 1 1 ci caet..., earumdem'aequatio P " = 0 habebit nume ros n ' --2 , n " —2 et caet. ... , P = 0 numeros n '- + 3 , n " -3 et caet. ... Hinc si innotuerit aliqua radix aequationis [ z ] = 0, facile deprehendetur utrum so litaria șit #ec ne. Erit solitaria quotiescumque per ejus substitutionem loco x haud ,evanescit [ P ] , erit duplex si per substitutionem illañ sola [Þ' ] evanescit

triplex si [P' ] et [ P " ] evanescunt ambae , et caetore pio

161. Aequationes ( g " : 160

10.0

) suppeditant ,S = A' — 2B ; unde infertur , si A2_2B < 0 ; aliquas sałtem z ra dicibus aequationis“ [ z ] = 0 fore imaginarias. Item 5,43AB - '13 " 30 , SA =A-4AB 4AC + 2B* 4D , et caet ...

162. Praeter [ z] = 0 detur quoque [ 3] x +Pxmi + 0xm; + Ux + V = 0 cujus radices h ' , in D'. Eliminata ( 127) x ", prodibit tertia aequatio [2 ] =0 inter coefficientes A , B , .H , K , P, Q , ... U , V ,. [ z] = 0 et [% ] = 0 . verificentur ambaç per eumdem valorem X. Nunc ex dictis ( 158) ' novam haud difficulter assequimur aequationem per A , B , .... H , K , P , Q , .. UVpariter expressam , quam licebit şubstituere loco ( = 0 ; siquidem [z ] = 0 et [3] = 0 aperte verificantur ambae .per eumdem valorem & quoties b 3 .

> ..IL 31,37 cumque evanescit aliquod e binomiis , h - h' , h - i', ... h -1', 1 - hl; i - , • . • i * v", 1 - hlil et caet. ... , i ..., :) 7 . facto igitur [3" ] = th -hh- i )...(h —v'li — ~ ) . 1 x fi - v' ) ( 1 -- h' ) ( 1. -i ' ) . c .. , poterit in locum [3 ] = 0 subrogari [3" ] = 0 : re stat 'ut [ 3" ) per coefficientes illos obtineatur expres sa. Est identice (145) ( x -1 )( x — ; ) ( am + Pam + Ux + V ; unde ( h — ')(1-2) ... (h — ') = h " + PKM" - + ... + Uh + V , (i— h ')(i - i') ... (i>-s' = ;m + Pimit - + ... + Ui + V , MI Qx.mm. • . et cảet ... 7 Quare [ 3 ] = (h " + PZ" - + ... + Uk + V (i" + P :" - " + ... + Ui + V ) ... + Ptm-' + + Ut + V) ; et quia secundum istius aequationis membrum est for mula integra atque symmetrica in ordine ad h , i , ... t ; obtinebitur igitur ( 158) [3 " ] expressa per A , B , ... K , P , Q ,: V. 163. Si coefficientes A , B , .. K , P , Q , ... V dan tur per variabilem y et quantitates constantes ita ut exsistant integri in ordine ad y , in singulis praete rea terminis formulae [ 2 ] exponentes variabilium x et y una sumpti praebeant summam haud > n , in singulis vero terminis formulae [ 3] summam haud IIL , profecto maximus exponens quantitatis y in158 m 9 (3 " ) haud erit > mn..In :ea etenim . qua : sumus.hypo . thesi exponentes quantitatis y, in A , B , C ,......... H , K ; P. Q ,, R , ...U ,. V minime superant : numeros : 1., 2 .,, 3 ,... n - .1 , .n . ;. 1., 2 .,, 3 , ........- . 1 , m.. Igitur etsii augeatur. y; indefinite... attamen : neque-ra tiones . A B н ! K. P : Q U V g y 34- godi ju neque proinde · radices : 6. aequationum : A B ін K Sig.* .... + y Johor g . P U.. V t ... t O. y y " y J habebunt valores in infinitum crescentes. . Sed ista rum aequationum primam icomparantes cum [ z]= 0 secundam cum [ š = : 0 ,, obtinemus ( 146 ::: 3. ° ) ;

ergo neque rationibus

y h i h' u > 6? + ght A to = ) , r² Qisto Marit gor then t 2 Ꭹ Ꭹ у Yу y g neque propterea -hhh ( * ) ;- )... ( ) E ... seu ( 162) [ 3 " ] ymi erunt valores indefinite crescentes quum y in infini159 tum augetur : quod manifeste importat ut maximus exponens quantitatis y in [3 " ) haud exsistat ' > mn, De aequationibus indeterminatis.

164. Si quaestio, est de aequatione indeterminata utcumque explenda:, inveniri poterunt infinitae solu tiones ponendo pro singulis incognitis , exempta uni ca , valores quos libuerit ; etenim unaquaeque positio suam importabit aequationem determinatam , respondentes valores incognitae relictae suppeditabit ; quod si aequatio indeterminata sub aliquibus additis conditionibus debeat expleri , solutionum numerus saepe definitus evadet , aliquando etiam fiet nulluse Proponatur itaque

1.º resolvenda Nx F My A = 0 ... ( ) sub ea conditione, ut incognitae x , 7. exsistant integrae; denotant M , N numeros integros > 0 , et A integrum sive positivum, sive negativum; carent insuper M , N , A communi factore. Jam si M , N non sunt primi inter se exhibito per C communi eorum factore maxino ut habeantur M = M'C , N = N'C , prodibit А N' x F M'y = с ex qua , utpote impossibili , intelligimus impossibilem quoque fore solutionem quaesitam : restat igitur ut M , N constituantur inter se primi.

165. Posito M > N , resolvatur ( i) quoad x ; erit A My ( i'). N Denotent ( 46) R' , R " , R ' ' , ... residua quae obtinentur dividendo M per N , N per R' , R' per R ". et caet. • • • â 2160 a' , a ' , a " do A i k' , k , K " tates. per N ••• residua quae obveniunt dividen R' , ah per R " et caeto ... integras et arbitrarias quanti per R' In (i " ) rejectis integris ab M N A N fiat a' = R'y N k " , eritys + NK" 1 R' rursus in (i") rejectis integris ex N R a' R' sumatur

• a ' = RK'

R' k " , proveniet k' = ' a + R'K " R " ... {i ' ' ) ; a " RT ponatur R denuo in (i) rejectis integris ab R" a = R '" K " R EK" , exsurget Fa" R " K " R (¿?v) ; sic continuando habebimus. a " + R "" krv Riv k " = )ir( kiv = Fav Rivky RY 2 et caet. ... Nunc quoniam M , N constituuntur inter se pri mi , residua R ' , R " , R " , ... ita decrescent , ut deve niatur tandem ( 48 ) ad unitatem ; sit v. gr. R ' = 1 , prima ( iv ) suppeditabit k " = a + R " * "Y ; tum rea tro revertentes per (i ) , (i'" ) , (i" ). , (i ' ) . inveniemus: quantitates quacsitas ,161 A Exempla . 1. * •Detur aequatio 3x F7y-50° ; erunt N = 3 , M = 1 , R ' = 1 ., A = 5 , a' . = 2 .; ideoque ek (i ) , (i ) y = 2 # 3k'., x = 7k'— 3 , quibus explebitur aequatio data , . utcumque caetero- quin sumatur quantitas integra ko II. 33.x 59y - 1 = 0 ; N = 33 , M = 59 , R = 26 , R = 7 , R = 5 , R = 2 ,

2 :, Ry = 1 ,

A = a = a " = al" = a = a = 1 ; proinde ex (i) , (i ! ') , ( i'"')', k " * 1 2kv , k = -2+ 5kv, k = 5.3 7kv . , k = -11 . + 26k ' , atque ex . (i" ) , (i') yS714 33kv . 25 + 59kv. III.º. 17207217 :+500 = 0 ; N = 17 , M = 21 , R = 4 , R " = 1 , A = 500 , a' -7 , a" -3 ; propterea ex (i'"') k'S_3 4K ". , atque ex ( i" ) , fi') y =+11 + 17k" , - = - 43 +21k" . . IV. ° 53 F 9 - 34 = 0 ; N =5 , M = 9 , R = 4 ; R ' = 1 , A = 34 , a ' = 4 , a ' = 0 ; cons sequenter.ex ( i"') k! = 4k " , atque ex (3" ), ( i') 3. = 71.75k ". x = 559k " . In his exemplis quisque videt , si a et ß denotant binos incognitarum x'et y valores aequationi (i) sa tisfacientes , ut sit : Na M - A = 0 , caeteros omnes repraesentatum iri per . j = ß Nk , (iv ) XQ+ Mk , Pars I.. 11 : }1 - 162 numerus integer k potest esse . vel positivus , vel ner . gativus. Id autem semper constanterque valere osten ditur ex eo. quod substitutis a + Mk et B. Nk loco. x et y in (i) , traducatur ipsa (i) ad N « FM A = .0 ., -

166. Si quantitates integrae x , y . debeant praete rea exsistere > 0 , ex formulis (i ) facile intelligi mus solutionum numerum fore , finitum , vel nullum quoad Nx + My-A = 0 ; infinitum vero quoad Nx My- A3.0. Sic in, ea. quæ sumus hypo thesi quisque videt (Exempl. 165 ) nullam fore solu tionem aequationibus 3x + 7y — 5 = 0 . , 33x + . 59y — 1 = 0 , 17x +217 + 500 = 0 , unicam aequa tioni 5x + 9y — 34 = 0 (nimirum.y= 1 , x =5 , quae solutio habetur ex k " = 0 ) , infinitas aequatio nibus 3.0 7y -5 = 0 , 33.x - .59y -1 = 0 , 17x 219 + 500 = 0 , 5x 9y –34 = 0.

167. Designantibus P , Q , .... novos integros si ve positivos , sive , negativos , si veniat 2.º resolven da aequatio NEMY + Pz + Qu + • < A = 0 ; (iv ) sub , ea conditione ut incognitae . x , y , 2 , u , ... exsistant integrae , loço z , u , ... substituantur va lores quilibet integri ; sic traducetur (iVII) ad Nx FMy — A , = 0 , Nx F My — A , = 0 , Nx F My - A3 = 0 , et caet.... , quibus aptabitur methodus jam tradita (165 )..

168. Si darentur 3. plures simul aequationes. Vo . Nx F My + Pz - A = 0 , ( V111) N ,x FM,y + P ,z— A , = 0 ; eliminata 2 , prodiret gr. binae163 } N , X * M JA, ; = 0 ; unde (165.2211) 9. = BEN,kin (314) 2 = lt.M , k ;: quibús valoribus: substitutis. in altera (iV!!?)' v.gr... in prima , obveniet. P2.7 Mzk - Ag = 0. , Exinde - (165 o 2%.!) z = lgt M ; k , , k = ß , + Pk, , qui: valor ik substituendus. in . (118)...

169...Detur nunc14.º. aequatio A " + Box : Cucis + -Dx3 for A , + B , x + C , x + D , x ? * explenda per numeros x : et y integros , denotant : A , B ,... A ,, B , 2. ...numeros pariter integros. Pone A + Bx ? + Cx??+ ... = P ; A , B ,x +-6.x ? + .. = P ,; ex quibus, ejice x ( 127 : 162).. Emerget aequatio ejus--- modi, formae · A ; = B , P + C , P ; + D , P ? + E PP, + F ; P ;” + .... ; + inter P et P, ; ubi Ag, B, , ...integros denotant nameros.. Et quia P = Piy ; iccirco : A, Ps B , y + , + D ,P.7 + E , P .) + F , P , + ... Cum igitur: ob'x .et.y, ex: hypothesi integros secun dum istius: aequationis membrum sit oportet nume- .164 rus integer , idipsum dicendum erit de primo : di videtur proinde in ea qua sumus hypothesi A , acs , curate per P , Inventis itaque divisoribus (52) , • , " numeri A, , iisque sumptis pro P, ut habeantur A , + B , x + C, XP + . ... = 0 , A, + B x + C, xº + ..... , 3 et caets . • • determina ( 147) integras istarum aequationum radices. Ex his radicibus eae manifeste aequationem datam re р solvent sub apposita conditione , quae reddunt Pр numerum integrum . Sit v .. gra 79 X ,P X + 1 erunt 29 - x = P , to t=P, ; et ejecta x , 80 = P + P, i unde A, = 80 ; cujus divisores, 1 , 2 , 4. , 5. , 8. , 10 , 16 , 20 , 40 , 80 suppeditant 1 = x + 1,25x + 1,4 = x + 1 , ... 40 =x + 1 ; 80 x + t . Hinc sequentes in integris solutiones x = 0,1,3,4,7,9, 15 , 19 , 39 , 79 , y = 79 , 39 , 19 , 15 , 9,7,4,3,1,0 .,

170. Si B , 0 , 0, 0 , et caet.....ut data aequan tio vertatur in165 A4 Bx 4 Cx² toont Haz4 Kan ( f), A, haud poterit adhiberi tradita methodus; verum no tetur illud : si ponitur quantitas A to Bx + Cxa to. t Hiactis * Kx * dividi accurate per A , quum loco x assumitur nu merus h , profecto dividetur accurate per A , etiam quum toco- x assumitur numerushukA; ; patet ex eo quod A + B ( h #kA, ) + C (h # KA ,)*** Dch ska kA, ) ** .. traducitur ad formam ejusmodi A + Bh + Ch : + Dht... + QkA , + R (KA )' + SikA ,) tond Exinde infertur , si aequatio A + Bx + Cat.... t Hx.hms +Kx " A, in integris resolvi potest , unam pluresve solutiones proventuras e valoribus in hand excedentibus limites A. A ët ; ubi enim h non sit intra limites 2 2 istos , poterit ita sami numerus k , ut hukÅ , in tra limites ipsos inveniatur. Data v. gr. 3 * 4.30 to 5x? 7 cum nullus ex 3 , 1 , 2 , 3 , qui lin 7 7 mites non excedunt , praebeat sola 2 2 tiones in integris , neque aliis quibuscumque nume ris obtinebuntur id genus solutiones : ' at data A yas -2 , et we1166 1 + 2rtr" quoniam -valores.r = 2,3 suppeditant solutiones in integris , habebuntur proinde id genus -solutiones etiam ab x = 2 = lk , 3 + 7k , utcumque caeteroquin accipitur inter k. 171." Si A , 'est innmerus inse primus , nec divi dit accurate K , et aequatio ( †) resolvitur in inte gris, per valores X < A ,, - istorum numerus i haud erit > n . Sint enim .x ,, Wg go...Xn ejusmodi . va lores , et per m , m ', mi' , m ,' mimgi M , M ,, M ,queo M ' qvoro integri. denotentur nu meri : erit . Kx; " +Hx, nous+Ix; ? t ...ot-C ,+ Bx ; + A = mAyo Sed ( 145) Kx," + Hx," ---+ ----+ CxBx,- A = K.x " + Hx.... " + Cc - B.x - TA -K ( * ".- x ; ") - H ( árhus. )– C( c* - **) - Ba - c ,) =KH + Cc?.-* Bx: + A - KW- 1 + H24 " -3. fo...)( cmagnoli positis igitur compendii causa Kx " + ... +.Bx +-A = P , KOCH-Ps " , ( erit " P- P.(x - x ] = mA, , ütcumque sutnatur.x . Fiat x=x, , #g , ... In in P et in x X , ; prima continebit exacte A , , secun da non continebit exacte ; propterea167 Kx, Kxg +- Hz, + Hz +99. EmA,, Si = m " A , ', et caet. Atqui ( 145) Kx", -- + H, x, nas trinaKami + 1,2 " -2+ .. Klochy 6 , " ) -- H, (como 3,7) Kiz ?- ? + Hicks+ ... (Kimno it Hach HqxC " -3 + ...)( x -xx) ; posito igitur K.25- + H20 " = P., erit P , -P,( x x ) = m , A, , utcumque pariter accipiatur x . Fiat x = x3, 34 , :.. X'n in P , et x — X , ; prima continebit exacie A ,, secunda 'non continebit ' exacte : igitur Kxz' = m , A ,, Kx" + Hyxim3 + io = m ;" A,, 5 + H2iX , 3 . et caet. et quia K - 9 + H2X3 + = Kirpins + H26737 (K.x "-3 + Hgit' .) ( c— ) , iccirco facto Kr . + Hax Pa , assequimur P , - Pg fx " x 3) = M,A, quoad quemvis 'valorem * Simili modo positis no( 468 > Kak-to Humas PA et caet. habebimus P , - P (x - Xw = m3A,, .... P.-; - Kox K ( x = xn ) * Mn- A , , quicumque ceteroquin sit X. - Hinc P - K (x - FXx - xxxx - x3) ... fixn) =MĄ,, sen Krim + Hoxha truit Cxca + Br + A K (x - x) (x - 2 ) ... (x = , ... ( f's , utcumque sumatur x. Itaque si quivis valor Xy + < A, , alius ab x, , X,; ... an , expleret in integris aequationem ( f ) , numerus 4.) xr+; - ;) ... ( pre- * n) K ( Xnts As Xin = Rn , foret integer "; quod cum esse nequeat ( 50) , liquet et caet.... . 172. Ponantur H - K (x , + Xgtoro + xn = R ,, I -K (x, x, + 36,4stro to x ,xnt x ₂X 3 t ... to nejen) =R, A +- Kx, , sumpto superiori signo si n est impar , inferiori si par. Aequatio ( f' ) sic poterit scribi ( 146 ) R.x "~* + R2X " >-+ - + Rp.2 *** R1_, + R; = MA, ; et quia haec subsistit utcumque accipiatur x ; iccir co facto x 0 , erit R = M , A , :

469

R , " R , x " } + ... + RugtRym ; = MA,'; et assumpto iterum x = 0 , exsistet Roma = M , _ , 4 ,; et sic deinceps. · Itaque H + Kfx , + x, trrotx ) = MA,, I - K (30 , X , X X3 Tino... for X ,Xn to I gdz atroot Xn- X.n ) M , A ,, ( 1" ) et caete . A * K.x x , x = MA : 173. Sint A = -1, B = 0 , C = 0 ,...H = 0 , K = 1igin 4, -1; vertetur ( 1) in A , 1 9 . eruntque ( 111 : II. ) 2 , X3 = 3 et ( f" ) fient .1 + 2 + 3 + ... + ( A ,-1) = MA , 1.2+1.3 toronto 1.( 4 ,-1) +2.3 to (A , - 2) 4 , -1) = M, A,, ( 12) A, X , 1 > x.n et caet. • • • 1 + 1.2.3...... (A , -1) = M ,A ,. 174. Sume n = 2 , K = 1 , H = 0 , ... C = 0 , B = 0 , ut ( 1) abeat in x . A ( p ) ,170 2 2 2 Li , et pone numerum in se primum A, > 2. Quoniarh A , - 1 x= yA, -A , ZA , =(A, -A) A , - 1 XA , –1_1= (YA, - A ) iccirco ( 111 : II. ° ) si ( f "') ' solvitur in integris , erit A, -1 ( -A) - 1 = mA, : . ( fir). Vicissim verificata ( f " ) , solvetur ( f "') in integris ; etenim ( fiv) suppeditat A , - 1 1 - mA, 1 , -1- ( - A) seu , factis compendii eausa A ,-1 = 2m' , -A= a , - 1 -mA, xam' -am '. Est autem ( 102) 2 2 24,-4 7 & A , -1 203m ! x % х - 13 1 to X : ? m ' ami a amim ? seu x²m ' ami = a )(ami + ami- > x to am !-3 * + ... + mºm'? ) ( f ) ; propterea facto A, 3 A, -5 2 2 ( -A) +( -A) x +... + 74, -340, erit171 84,-1 1 - 1 - MA, = Q(x + A ). Sed numerus A, mA, A ,

• est integer ( 111 : 11.') quotiescumque sumitur

x 1,2,3 Ą , 1 ; id ipsum ergo dicendum de Q (x2 + A ) A, Atqui (171). duobus ejusmodivaloribus x exemptis , numerus A, fit integer per reliquos dumtaxat ; ergo per duos illos valores. x numerus x2 +A A, reddetur integer ; : proinde et caet... Quoniam A , -- 1 . A, -1 A , 1 .2 2 -1) ; profecto si x haud continet A, inter factores , nume rorum A, - 1 .2 2 auto 1., 1 alteruter dividetur accurate per A, , et consequenter A, 1 2 = m " A , Flo -1=( ( X - 4372 175. Formula ( f " ) necessario verificatur si AS ; igitur aequatio a tz? -1 poterit in integris resolvi ; nam determinato ( 170) eo valore x , per quem expletur in integris aequatio 1 AX, satis erit assumere 2 mA . Etiam x² + z² + 1 A , A, poterit in integris resolvi. Liquet si ( = m ) est par ; tunc enim quoad x3 + 1 A, necessario verificatur ( fv) , ideoque et caet. ... restat ergo ut rem ostendamus in casu m ' imparis ; x for 1 quum nempe , haud verificata ( f " ) , nequit este numerus integer. In ( f ') pone 2 loco x , et - ( x + 1).loco a : habebis z'm' + (x + 1) ! =(z ' + x + 1 ) [(x + 1) : ( ° + 1)mimaza + (x + 1mz) ' -...- t zaml ] ; quae , factis 1 -- ( + 1 )m ' = P , (** + 1 )m! -! ( 2:2 + 13mments ... + zam !“ ? P' ,173 suppeditat P [ zºm' — 1 + 1 + (x + 1)m '] = (z ? + x + 1 ) PP' , seu P ( z'm ' -- 1) - [(x + 1)ºm !—1] = (22+ x + 1 )PP' . Jam binarum z'n' - 1 et ( x + 1) 'm ' - 1 prima redditur (111. II.') accurate divisibllis per A, sumendo z = 1 , 2, 3 .... A , -1, secunda vero utcumque ( 111.II. ° 174) accipitur x : ergo si loco x et z substituuntur duo quivis e valo ribus 1 , 2 , 3 , ... A , -1, fiet (2 + x + 1 )PP' exacte divisibilis per A,. Est autem P == 2^(cºm/ -3 + ' cºm/ -4 + ... + m ) , et consequenter (50 : 171 ) non plures quam 2m - 2 = A, -3) ex iis valoribus x reddunt P A, numerum integrum . Ex valoribus illis sunt igitur qui non constituunt P exacte divisibilem per A :: intelligantur substitui in P' ; non fiet P' A, numerus integer nisi ( 171 ) per 2m ' -2= A , 3) ex dictis valoribus z. Erunt ergo in serie 1 , 2 , 3 , ... A,-1 termini , e quibus loco x et zsubstitutis cum neque P , neque P' emergat divisibilis accurate per A,, emergetz + x + 1 divisibilis accurate per ipsum A, ; propterea et caet. i .176. Nou pluribus opus est ut intelligamus aequa tionem 3 X? +2? + 1 tu? to.rs 1 A, seu i2 * intr - u ” tu?

A, S in integris resolvi posse : et quoniam A , non est ins.. 2 . teger ; iccirco ( 170) . ea explebitur. per : integros A; A, A, x < u < 2 . 2 . 2 . Sint x ,, 2 , , V ,', V , istiusmodi , valores:, et mu le spondens valor y ; erit : x, '. +-2 , ?. + .u , " + viaSA - 4발 z : Visa 4. > 2 1 A , Numerus. 1 x ? + 2,8 toru ; + ve j permanet integer quum ::(120 ). loco :"X1 , , Ui ' , Ni's ponuntur X - my1, 2 , mayu, ujmy.i,Vm4yr . 1.1 Sed nequeunt esse simul x1 = 291, 1 913.0; = ï 91 ..siquidem .xt" + -2 ;? + . u; ' + v ;' = A, Y. > yi' ; ergo (170) numerorum

• , - miyu , 2 , - myju , u , -m3yı, V1 MAJ , vel

omnes fient < 2 vel partim = 2 Yo et partim 2 , 2 = 1 2 1 1 :175. < Yo : proinde (* - y ,)*+ 21-m ;y .) +(Ug-may )*+ 0,-mwyn)" 32= atque ita porro. Series autem numerorum positivorum ac decrescentium A ,, 91,92 , ... neuit progredi in infinitum ; desinet igitur in unitatem. 177. Nunc animadvertatur illud : si summa quatuor quadratorum a ' +.b + .c * + dº multiplicetur per summam : quatuor quadratorum a' : + 6'27 + d " , factum inde emergens cousistet in, summa, quatuor pariter quadratoruma Nam ( 103 : g) bc') ( a ” + b + c + d' ) (a + b + c + d ) = (a + b ?) (a's + 6'9 ) + (c ’ + da ) (a!? + b' ? ) + (a’ + 6* ) (c" > + d' ? ) + (c' + d’ ) (d's + d' ? ) = (aa' + 66' ) + (ab ' - ba') + (ca' + db') + ( CO' da ')' + ( ac' + bd' ) ' + (ad' + (cc' + dd' ) 2 + ( cd' dc' ) 2 = ( aa' + bb'la + ( cc' +dd ') ? + 2 (aa' + 66' ){cc! + dd ') , + (ab'_ba')' + (ed' -- dc') ' —2(ab' ba!)(cd ' — dc') + (ac' + bd' ) * + (ca' + db'): - 2ac' + bd')(ca ' + d6!) + (ad' — bc') + (cb' —da ')* + 2 ( ad'— bc')( cb'— da' ) = (aa' + bb ' + cc' + dd ')a + (ab' ba' -. cd' + dc' ) ' + (ac' + bd' -ca' - db')* + (ad' — bc' + cb' - da ') '.

178. Hoc animadverso , quisque videt fore ( 176 ) A ,yy19 , = (x ,?+2,' + 4,3 +0,? ) [ ( x , -my )* + (21 – myy . )2 + ( u , – myy.) + (V, - m4y. ) ' ] =176 [x, ( x, -m,,, ) + 2 ; (Z;-- my) + u ,(u ; m ,yot vik , —mays) ]* + [ x = (2 , -my.)- 2 ,( x , -m.7. ) u ,(4;, muy .) + x .(un: may ) ]* + [xy(u , -May .) + 2 , ( \, -mud). —ui(x , - » , 9 .)-0,(2, -m , y )]' + [ x , , — mwya) — 2 , (u ,.- my. ) + . u ,(2 ,.- m.a) -- V.( x , -m , 7 .)]? ; unde Agg . ( A , M , X ,, — mg% ,,--- mg , : mv.) ? - (m, 2, -mix, —m3u; +m ,un) + (mu , + mv, - mix, - muza)? + (m_, — m ,ut+ mg %, max ) ** Simili modo invenietur A , y, expressum per summam quatuor quadratorum ; et sic deinceps , donec obti neatur numerus in se primus A, expressus per sum- . mam quatuor pariter quadratorum , A , = X ' + 7 + UP + V ? i..lfta) : caeterum nihil obstat.quominus terminorum X?, ? .... unus aut plures exsistant = 0. Et quoniam qui nu meri non sunt in se primi , ir resolvuntur (52) in factores primos in se ; ideo ( 177) valebit ( fv ) etsi A.. non est primus in se. .

179. Detur 5 . Ay ' + Bxy + Cx ' + Dy +Ex + F =0 explenda per x et y rationales. Factis > B* — 4AC= a , 2BD — 4AE = b ,.D ? - 4AF = C ,. ea traducitur ( 135) ad 2Ay + Bx + D = Vax + bx + c.Quare debet: x , esse ejusmodi , ut trinomium ax " + bx: + c exsistat accurate quadratum , nimirum : ax? +baint.cz. , Haec autem ; -positis ; b ? - 4ac = 8,40 = i ,, praebet :(135) 2ax + b ==V8+ iz ; : ubi ergo z : ita queat determinari ut binomium gitiz ? 'emergat :aocurate : quadratum , sit nempe & + iz ? = 4 -u ? .. ( 0) , formulae 2Ay + Boč + D = * 2 , 2ax : + bastu suppeditabùnt 'valores X. et y rationales , quibus ex- . plebitur data aequatio..

180. Facile obtinebitur : % ;. quotiescumque seu g seu ii est accurate quadratum mi. Sumpto enim numero quovis rationali :v , fiat : in 1 ... casu 4 = 12 + m ;; erit m? +-iz ? = (vz + m )* : propterea izvºz-tom . 2mx ; unde 2my i Fiat in 2. ° casu : U = mzfon V;. erit 8 +m?z? = (mzito v ) ; proinde g = 2mvztus ; et consequenter 2my Pars I. 12178 Facile quoque assequimur 2 , si designantibus d ', r , d' , r' numeros rationales , fúerit g + iz = (d + rz) (d ' + r'z) ; assumpto namque H = vd + rz) , erit (d + rz)(d ' + r'z) = v ( d + rz )' . Quare d' + ' z = vºd + rz) ; ideoque d ' du ? rus

181 . Haec notentur : 1. ° divisa ( o) per z' , factis u = y 2 1 erit i + gy ' = W . Quare determinata g ita, ut binomium i gy evadat accurate quadratum , explebitur ( 0) sumendo z = 2.° si g =nm ut sit nm + iz ' u , positis и H 3 m m. erit n to ir = w ; proinde inyenta y ita , ut n tiga emergat, accurar179 . m m '. ī no US te quadratum ", explebitur (o) accipiendo z = my . 3. ° si i = n'm'z ut, sit g . + n'm'z'u , determinata y, ita ut binomium g . + n'y ' exsistat ac curate quadratum , explebitur (o) sumendo ( 1. ° 2.°) 4.0 si ? m '. g =nm' simulque i = n'm ' ut sit nm hi n'm ') ż > = uº , inventa y ita, ut binomium n . + n'ya fiat accurate quadratum , explebitur (0) sumendo (2.° 3. ° ) ze

182. Itaque pone g et i nullum continere factores rem quadratum , insuper esse ambas > 0 , et g > i.. a ß Factis . 2. = (denotant a , e , po nu f meros integros) ut ( o) vertatur in gua + iQ = ß * ... (0 ) solutio ipsius (o) in id manifeste recidet ut inveniana. tur a , e , f satisfacientes aequationi ( o'). Sume B == 90 gm ... (o ' ) , et substitue in (o ') ; habebis 92 i q* — 2000" + ga !? ( o' '). 8 Jam vero cum nullum ex hypothesi contineat 8 fa ctorem quadratum , d et g erunt primi inter se ; vi de igitur utrum ( 170 ) 02 i ( o! ) s expleri qucat in integris per 80 baud :> nisi180 pleta (o " ) , et per k * exhibito factore maximo qua enim id contingat , haud poterit adimpleri ( o'). Ex 1 drato , qui contineri potest in gı , ipse ç , exprime tur per s'k' , et ( o " ) mutabitur in = g'k”*a?* - 29&&' +ga's ; quae multiplicata per g'k” praebet s'k ? j ? = (g'k *«. . ') -- (G? c!? -gs'k c! )., Pone ku = pe ', g'k' .— .00 ! = ß' ... o" , et adverte quod (or) suppeditat 4* -- go'k ' = i ; habebis g'ul + ia !" = Bir ... (ov ) : quia vero in resolvenda (o") numerus fe neque su- . mitur < i , neque > 58' , iccirco g'exsistet >0 , et < 4 8. Quemadmodum ope formularum (o ") , fo!") , ( ov) traducitur ( o') ad (ov) , sic ope G - i B ' = l'a! — g'c" , = 8 , = g" k!?, ( 0112 k'le' = je " , g'k' ' - 6'4" = ß" traducetur (ov) ad sre ? + iq" = . . . . (ovu ) , in qua g" > 0 et < js'; atque ita porro , donec veniatur ad numerorum g ' , g " quempiam < ios Șit v. gr. g " < i ; traducetur (OST) ope formularum .

. 1 1181 (0²² ) b"= 6 x" – ", " 3" - = i'k " k " x " = " ., i'kaj " — 6" " = " ad " "' + i'&'"'s'= filis ... ( 0% ) ; tum haec ope Gilis -g" " 6" 2 " i'uer , ( 011) k" c " = a1 ., i"ki" ji" "div> fiv ' ad 8 " 4108 + i " QIV * = ßivo ... ( 0 !!), et caet. ... , donec numerorum ;' , ;' , ... quispiam v. gr. i" exsistat < g" ; et sic deinceps. Jam vero numerorum positivorum ac decrescentium Šģii, g " , i" , ' series nequit progredi in infinitum ; desinet igitur in unitatem . "Sit gr. i " : = 1 ; factis şiv EV , aiv MY IV HTY aequatio ( oxit) sic poterit 'scribi g" + ε = y ... ( 0 %!!!) , quae resolvétur ex dictis ( 180 ). Prodeant itaque m m n erunt alvem , Bivsm', jiv n ': his obtentis , eruentur a , e , pe ex (oxi) ; a " , B " , u ex (0" ) ; a ' , s' , ' ex (ovir) ; a , , li ex (ov) et (o ").182 = Notetur illud : expleta forv) , habemus 52 -i gk? ; s' iccirco (170) in ea qua sumus hypothesi erit semper quidam valor G. haud > ż s', per quem numerus 2 i fiet integer : solutio nimirum aequationis g' 612 mi -1 =828 in integris certe succedet quotiescumqae (ov) selvitur in integris. Ob eamdem rationem expleta in integris secunda (o" X) , explebitur haud dubie in integris se cunda (o ) , et caet.... Ut aliquod praebeamus exem plum sint g = 101 , i = 13 : in (ory, sumpto 6 = 35 , erit 35'- 13 = 12 = 3.22., . 101 unde k = 2 , g ' = 3 ; et ( o " ) , ( ov) fient B== 356 — 1010 , 2u = M , 124 —- 352' = B-(0 ). Quia verog' < i, ideo omissis (0911) transeundum ad (0x) , quae scribentur in hunc modum 012 - „ B = 6'de' — iju." k'a' = 2 " , i'k'on ' - O'le " = 6 ". In istarum secunda facto l' = 4 , erit 4 ' 3 1 ; .13

• -'—

i'k ' ,183 met 'consequenter i' = 1 , k = 1 : caeterae fient ft = 4u ' - 13422"" ,, a == 2 " ,, je! - 44 " = ß" ... (09) ; et (oxir) dabit 3 + = y . Ad hauc solvendam , pone ( 180) v = 1 , 2 , 3 . ; exsurgent respondentes valores 1 4 7 12 > 2 , 1 2 , 1 2 . quare " = 1 , -1, B " = 2 7 de" 4 Ex (02) profluunt a = 1 , B = 11 , 40 j ' = 6,23 Ex (03) proveniunt quidem 23 5 12 ܕ ܕ -1 , > 14 , 62 > 2 , 6 199 1387 B 3.1 , 2 6 -12 23 M3 2 3 >184 > sed faetis , ubi opus sit reductionibus ad eumdem de nominatorem , emergent valores integri a = .23 5 , -2, BE= 199. , 1387 , 31 , ... 3 , .. suppeditantes 23 5 2 = 3 .23 , 18 138 3 U . 3 199 1387 31 .18 138 quibus expletar aequatio 101 + 13z* =u?.

183. Posuimus get i inaequales; quod si sese of ferat gri, resolvetur ( o " ) sumendo 6 = 9; exin de g — 1 = g'k ” ; ideoque g ' > 0 - et < i in (o" ) , cui propterea aptabitur tradita methodus. Posuimus quoque g et i positivas; denotent nunc Het K numericos: earum valoßes : quoniam g et i nequeunt esse ambae < 0 , si quidem gu ? + ic de beat evadere accurate quadratum; iccirco veniunt con siderandae binae dumtaxat Hu ? - Ka? = ß?, - Hu? + Ka = 6. Istarum prima multiplicetur per H, et fiat Hu; secunda multiplicetur per K , et fiat. K « = w : eae vertentur in HKO ? + HB": = 0 " , HKj ? + Kß? = w * , quae superiori : methodo tractari poterunt.

184. Proponantur 6'. g. = A + Bx + Cx+iDrs , gs =A + Bx +Cx® + D’x3 , g = Gx* + Dx 3 explendae per x et y rationales.185 Ad primam quod spectát , ea potest in hunc modum scribi Вх 3 B373 gov = (^ A to :). В'r ? thi ? + D.com 3A ? 3A3 -27AS et facto y = A + Br 3A? exsurget BS 27AC unde 1

9A3(3AC - B' )

B3. - 27AD Quod ad secundam pertinet , ea : sic potest disponi C ya (DuDx- to + A + Bx Cpx C 3D? 3D327D6 et facto C y = Dx- t 3D erit (8-0) * + 1 C3 27D 3 unde C3. - 27AD 9D %( 3BD3 - C ?) ** Venio ad tertiam .; quae facto > = 12 , 1186 praebet С + D; X ideoque С 03 D e binis g ,

DE QUANTITATIBUS MEDIIS.

185. Mediam inter datas quantitates dicimus illam, quae minor est quam earumdem datarum maxima, et major quam minima. Hinc sequitur, si una k exhibet maximam, altera minimam plurium quantitatum, fore h mediam inter istas, quotiescumque (83) differentiæ g -h , hk prodibunt vel ambae positivae , vel ambae negativae.

186. Si h est media inter quantitates a , a a " sumpto factore quovis r , erit quoque fa ctum rh medium inter ra , ra ' , ra " Denotantibus enim g maximam , k minimam om nium a , a' , a " , ... exsistent g -- h > o , h - k > 0 ; igitur r (g- hh)),, rhrh -- kk)) seu differentiae rg rh - rk vel ambae positivae , vel ambae negativae ; ideoque (185) et caet...

187. Per 6 , 6' , designatis n quantitatibus ejusdem signi , et per a , a', a ", ... totidem quan titatibus sive ejusdem signi , sive diversi , erit ata + a " + b-babit a' media inter 7 : ū , rh , 6 " , a " .8.1187 "Expressa namque istarum maxima per g , et mi nima per k , differentiae a b 6 a " 18 67 18 a " ka ka . a' 2 응 k , b 6' 6 " erunt omnes positivae ; quocirca multiplicatis primis terminis utriusque seriei per b , secundis per b ' , tertiis рег b " et caet..... , producta -a , gb' -a' , gb" a " . a -kb , a kü' , a" - kb". et consequenter birae ( gb - a ) + ( gb - a ') + (86" -a") + . org (a – kb) + ( a' - kb') + ( a " - kb") + ... gb seu Blo ta' + b + ... ) - la ta' t ...) , k ( 6 + b ' to ... ) eodem afficientur signo. Jam si hae dividantur per 6 + 6 + ... , exsurgent a ta' ta' to a ta' to all to -k S but blot 6 " + b + b +6" ejusdem pariter signi. · Erit igitur ( 185) atatan b + b' to 8 " + a ah media inter a B > b Exinde infertur , sumptis b = b = l" :5 ... 1 ,188 fore a ta' ta" + ... n > b " C" , i .. séu > > 7 mediam inter a , a ' , a "

188. Praeter 6 , 6 ' , 6 " ... dentur et aliae n quan = titates c , c' , c " , . ejusdem similiter signi. Quia (187) ac + a'd' to a " c" too bc + 6'd' + bc" + est media inter ac ald' a " . al bc ' b'd' b 6 " ideo , sumptis iterum b = ' = " = ::= 1 , quan titas ac ta'c' a " c" to .... aequabit factum ex c + d + c" to... in mediam quamdam inter a , a' , a '

189. Si quantitas h ponitur media inter a , a' , .. (quarum maxima = g , minima = k ) , sitque B numericus quivis valor , erit Bh media inter Pa Ba" Quando enim habemus g - h > 0 , h - k > 0 , exsistent Pa' , B8 % Bh > 1 , B > 1 si B > 1 , et hak < 1 , B < 1 si B < 1 . Sed B8- = Bhak 18 BR Bh EA Ergo differentiae E8_Bh , Bh Bk eodem affi cientar signo ; ideoque (185) et caet.

190. Repraesentatis per B , B ' , B " , . . C , C ,189 pal , Ba" C ” = C " ,..... numericis quibuscumque valoribus , erit C + C + C " + B B ' B ' . C media inter YB, VB , ÜB", ... Possunt enim B , B' , B , ... exprimi per fe , ... ; proinde Q ” C' увB = BC , ÝB BC , VBÝ'" = BC” , Q + * + " C.+ C + C ” to C + C + C B B'B" Atqui ( 187 ) ata ta + C + C + C + a ' a " est media inter Ergo ( 156) et с C : C Q + Q + Q ” + . Q 6 + C + C " + с C ” ß erit media inter ß ß ß C + C + C " + B B' B " C C ” media inter VB, VB', VB" Assumptis C = C = C " = 1 , erit VB B'B' media inter B , B' , B " .

191. Si valor numericus H est medius inter B B' , B" , ... (quorum maximus = G , minimus = K) , erit quoque potentia HⓇ media inter B" , B “ , > 7 2 seu n . > a190 B . Nam > 1 si quantitas a > 0 ;. ( H )* > 1, ( * )**> (6 )* < 1, 6 ) et a < 1 si a < 0 . Quare differentiae Ga : -- Ha , Ha - Ka idem ha bebunt signum ; proinde ( 185) et caet. • Facto a = 1 , erit VH media inter VB , VB , VB" , ... Hinc vero sequitur , cum ata's + a '! * n sit media ( 187 ) inter a? , . a' ? , .a " » , . .. fore Va’ -t. a's + a Vn medium inter valores numericos quantitatam a . , al, la" , a

DE RATIONIBUS, PROPORTIONIBUS, ET PROGRESSIONIBUS.

192. Sint binae quaititates à ; 6 ; quotus a = b seu ở aliquando vocatur geometrica illarum ratio, differentia vero b ratio arithmetica; a dicitur antecedens rationis , b consequens; caeterum rationis nomine, nisi quid additur, semper geometrica: designatur. Nullam sane mutationem subit ratio geometri si antecedens et consequens per eamdem titatem multiplicentur, aut dividantur (88); neque a - ca quan191 4 > ratio arithmetica mutatur , si antecedens et consequens eadem augeantur , vel minuantur quantitate.

193. Duarum rationum aequalitas a:b = a':b' , a - b = a ' - b' appellatur proportio geometrica, vel arithmetica pro rationum ipsarum qualitate; et primus terminus a dicitur esse ad seeundum b geometrice, vel arithmetice , ut tertius a ' ad quartum b'; a et b' vocantur termini extremi, b et a' medii. Ad haec: si binae quantitates x et y ita sunt connexae inter se , ut licet crescant , vel decrescant ambae, quotus tamen retineat constanter eundem valorem, una dicitur esse directe ut altera. Quod si factum xy maneret idem tunc una diceretur esse inverse sive reciproce ut altera .

194. Ex aequalitate a: b = a': b' seu b 6 ab' alb habemus ( 88: 86) ab' = a'b; aequa 66 ' b6' litas autem a –b = a' — b' suppeditat ( 123) a + b' = a + b; in proportione videlicet geometrica factum sub extremis aequat factum sub mediis, in arithmetica vero extrentorum summa aequat sumam mediorum. Viceversa quia binae ab = ba ab' ba' a + b ' = a + b important , altera 66 66' a ' a ' - 6' , ideo si quatuor b termini a , b , a' , b' sunt ejusmodi, ut factum sub extremis aequetur facto sub mediis , vel summa extremorum aequetur mediorum summae, erunt ii geo metrice proportionales in primo casu, arithmetice in secundo. > sum a altera a192 atb' Facto : a = 6 , ut primae rationis consequens: idem sit cum antecedente secundae, proportio appellatur continua, eritque b ?= 'ab' , vel 26 =a + b '.. Quantitas dicitur media ( 187 . :: 191 ) proportionalis arithmetica: inter'a : et 6 ! ;; radix . autem nu- , merica Vab! vocatur media ( 190) proportionalis geometrica inter valores a et b'..

195. Notetur illud: si in proportione a:b =a': b' exhibent: a ', b , a' , b' numeros integros , et.a , b sunt primi inter se erunt haud dubie 6' = nb a' = na;: denotat n integrum quemvis, valorem numericum; habetur enim al = et quia a , b b carent communi factore , ideo (49) 6 metietur.exacte : numerum b' ; igitur b' = nb , et consequenter a ' = b > a..nbi na..

196. Exsistente a 77 valebunt sequentes b : a't hb 6 . > 7 등 (2) - a athb th = th 6 b' b . 6 ata hb athb thb' a't hb a a' å to hb at hb a' + hb hb a' -hb' al + 6 hb > hb a's seu , quod eodem redit , ex a : b = a : b ' inferuntur at hb : bra't hb' : 6' , a = hb : asa't hb' : a' , a + hb : a hb = a + hb : ahb ' ;193 > et assumpta.h = lig , atb b = a + b : b ' ,. a #b : a = a < b :: a', a + b : a - b = a + b ' : a b ' ; in proportione videlicet geometrica summa vel dif ferentia terminorum primae ·rationis est ad secun dum , vel primum , ut summa , vel differentia termi norum secundae rationis ad secundum vel primum ; rursus est summa terminorum primae rationis ad eo-.. lumdem differentiam , ut summa terminorum secuits dae ad ¡ psorum differentiam ..

197. Positis a a". 6 .. 6 conse . b . B = k . . (r ) , .. erunt a = bk , a' = b'k, a ' = b'k , ... at.a' ta k (b +6' +6" + ir. ) , a ta' ta' al b +6 +6" to b unde colligimus ; ubi plures geometricae rationes sunt. aequales, fore summam antecedentium ad consequen tium summam , ut quivis antecedens ad suum quentem . a' c' e '

198. Quoniam ex b 6 d . d ' f habemus a c'e' bdf .. b'd' t' ... iccirco si plurium geometricarum .proportionum pri mi seorsim termini multiplicentur invicem , tum se cundi , tum tertii , tum quarti , facta erunt propor-, tionalia. Idipsum contingit in arithmeticis proportio PARS 1 . 13 a с e 9 2 ace • •194 C : d (r") nibus , si multiplicationi substituatur terminorum sum ma ; nam ex a = b = a ' -6,6 - d = c - din.. eruitur (a + c + ...) ( b + d + ...) = ( a' + .c'te (6 + d' + ...) . Rationes ac .... : bd ... , ( a +c + .... ) (6+ d + ) dicuntur compositae , altera ex geo metricis a : 6 altera ex arithmeticis a - 6 , c ed

199. Paululum attendenti patebit fore universim ( ab +a'b' + a "' ": + ...) + (ab ! —a'b) to ( ab " --.a " .) + ... + (a'b !' - a " 6!)? +4 ... = (a'ta's +a " ' + ...X6 " +6! :+6"2+ ... ). Sedpositis, conditionibus. (r) erunt ab! - a'b = 0 ab " - ab = 0 , .... a'b " -a" = 0 , .... Sub iis ergo conditionibus exsistet (ab + a'b ' + a "8 " + . .. ) = (a ” tastas + ......) ( 63 + 6'9 + 6.3.4 ....) ; unde a ' ta': + ab ta'b ' + ab + ab +... 62 +612 +

200. Sumptis in (r)a = b , a ' = b' , a " = 6" fiet b b' " 6 뚱 6 " in qua termini a , bb ,, 6b! , 6 " ..., dicuntur constitue re geometricam progressionem . Jam vero ' a = bk , ck , 6 "495 k b = b'k ', b' = 6" k , 6 " = b "" kk ";, .... ... ,, ideoque b= be h kº 8 ". e ..... Itaque -termini usque ad n simum , quibus.constituitur: geometrica quae- - vis progressio , poterunt.sic.exhiberi , 6 ' = a . a , tikk” . 1 ie= ) in hunc quoque a a ? et facto (r' ) k modum i as az ; az?. armmi Est : autem :( 102 ); 172 + : z *.-* zooisten Quocirca - si colligantur. in summam n termini i (r' ) ', et summa designetur.per sni, proveniet azr Sn 12

201. Crescente in ultra quemcumque datum nume'. rum quantumvis magnum , et posito valore z < 1 , . azn decrescet ita , ut fiat semper“ propior zero ; id ivero importat jugem polynomii a faz + azot.co.az" accessum ad quantitatem fixam Igitur in ea qua sumus hypothesi summa progressionis (r") inde finite protractae erit ( 106) > 1 2 ? a 5 a » $ 1196 1 + 1 = a - b . ܪ Factis v . gr. a = 1 , z = , prodibit ! 1 1 2 4 8

202. Positis b = bb b " b " 6 ""' = et caet. . • . • . • , termini a , b , 6' .. , dicuntur constituere progressionem arithmeticam ; facto autem b- a = , proveniunt b = a + o , b' = b + ò = a + 20 , 61 = a +38 , : : ; igitur termini usque ad nsimum quibus constituitur progressio quaevis arithmetica , poterunt ita exhiberi a , a to , a + . 20 , a +30 , ( r ) . a + (n − 2)8 , a + (n − 1 ) 08. Et quoniam eadem obtinetur summa 2a + (n - 1 )0 , sive colligantur primus et ultimụş . ex terminis ( v) , sive secundus et penultimus , sive tertius et antepe nultimus, et caete , proinde summa totius progressionis, ( r ) erit > n -- [2a + (n - 1 ) ] .... ( VI). 2 n Factis v. gr. a = 1 , d = 1 , n = 100 , habe , 100 bimus 1 + 2 + 3 + ... + 100. ( 2 -+- 995050 = . 5050. 2

203. Datis primo termino a , ultimo u , aç termi norum numero n progressionis geometricae , vel arith meticae , quando, habetur ( 200 : 202) u = az- , vel u = a + (n − 1 ) ,, ex istarum altera eruetur z , ex altera d , atque in de obtinebuntur et reliqui interjacentes termini. Sint v. gr. a = 2 , u =54 , n = 4 , prodibit i 3. = V27 = 3 , unde az = 6 , az' = 18 ; item ,197 64_2 4 1 et consequenter : + d = 19. 3 17 3 3 a + 20 = 36 2 3

DE LOGARITHMIS.

204 . Quae quantitates sive constantes sint sive variabiles, exponentem habent variabilem, eae dicuntur exponentialės. Jam si in exponentiali ex ponatur a numerus constans et cuidam exponentis peculiari valori respondeat aequatio ax =z , hujusmodi valor x appellari solet logarithmus numeri z in systemate', cujus basis est a. Numerorum logarithmos designabimus praefigendo ipsis numeris litteram l « , vel L , uti sequitur Uz) , L (s ) . Quoniam vero hac notatione non dignoscitür basis , ad quam referendi sunt logarithmi ; iccirco ejus va lor seorsum indicetur oportet. Itaque adhibendo lit teram ! ad logarithmos exhibendos in systemate ha bente basima, quisque videt cum aequatione hanc alteram consociatum iri ' x' = 12)

205. Liquet illud ( 90 : 92) : sia > 1 , logarithmus xi numeri a proveniet positivus , vel negativas , prout ipse z fuerit > , vel < 1. Contrarium accidit si a< 1. Utcumque autem constituatur a , facto x = , erit z = 1 ; et facto x = 1 , erit z = a ; igitur 0 = l( 1) -51.5la). Logarithmus nimirum unitatis semper = 0 ; logari thinus vero baseos semper1493 V. .

• -y= 1 (0)

206. Si valores exponentis: wijn aequatione a- =; crescant , vel decrescant in progressione arithmetica (202) ; crescent , vel decrescent in progressione geometrica ( 94 : 200) valores , qui inde orientar pro 2. Ergo si plures logarithmi: in eodem systemate arith meticam constituunt progressionem ; respondentes. nu nieri progressionem efformabunt geometricam .

207. Eadem basi: a retenta , sint . x , y logarithmi numerorum . 2 , Erit ( 204) « * = 2 . ac proinde as ! y = ZY Hinc (204) x + y = lízv ) . ,. - Sed x + y = 1z): +* Kv) ,xr= 1(z) — 1(v). Ergo l(z») = L(2)+20), IO ) = (z) == \ ). Logarithmas videlicet prodæti zo aequat logarithmos factorum : z . , 'w .simul sumptos :: logarithmus :: autem quoti acquat. logarithmum dividendi. % , dempto logarithme divisoris .N .

• Nou pluribus opus est , ut quisque. intelligat: fo re: etiam

" Izz'z" ... = "Hz) + l{:') + 1(z") , ..., yo'y ". .:) = }+ {2}+ Ute"),... K( 0) – 10') — 1( ") , ... ;199

208. Elevato utroque membro aequationis aX = 2 ad potentiam flis vel extracta radice je ex utroque ; proveniet alle = zlu vel all = zM . Cum igitur sit (204) fx = (zl ) , = l(zl ) , x = l( z) ; erit quoque lézh ) = ulaz) , IZM ) = - l(z) д Logarithmus 'nimirum potentiae dati cujusvis nu meri obtinetur multiplicando logarithmum ipsius nu meri per exponentem potentiae . Logarithmus autem radicis habetur, ' si numeri logarithmus per indicem radicis dividatin

209. Determinatis itaque numerorum logarithmis in aliquo systemate , supputandi ratio commodissima eva det : multiplicatio enim additione ; divisio subtractio ne përfici poterit ; et quaevis dati 'numeri potentia inveniri poterit multiplicatione ejus logarithmi per exponentem potentiae ; radix autem divisione per indicem radicis. Commodissimum logarithmorum systema ; quod prae caeteris 'usurpatur , quodque propterea valgare appellatur , 'est illud , in quo basis a = 10. In hu jusmodi logarithmorum forma"est 10% = z ; unde nus meri in ratione decupla crescentes 1 , 10 , 100 , 1000 ... habent logarithmos 0 , 2 3 7 2200 is Logarithmi numerorum , qui interjacent1 et 10. , 10 et 100 , 100 et 1000 , ... inventi sunt veris pro ximi continua mediorum proportionalium investigatione ( 206 :-194 ), atque ita supputatae vulgares logarithmo rum tabulae ; quamquam aliae postmodum repertae sunt methodi , quibus facilius res expeditur. Sic ad habendum 1 (5 ) , quæeritur medius geometricus inter limites 1 et 10" ipsi quinario proximiores ; eritque V 10 = 3 , 162279. , 4. i cujus logarithmus est medius arithmetiens inter: 1: 1)., et 1 ( 10) , scilicet 211) +1(10) == 0,5000000. 2 At numerus 3 , 162 ... haud parurn distat a 5 ;; itaque rursus inter ipsuna et +10 quaeratur medius geometricus : prodit V 10.3 , 162 ...= 5 , 6234181, cujus logarithnus est 162 ) +-1( 10) = 0 , 7500000. 2 Eadem instaurata operatione in numeris 3 , 162 ... et 5 , 623 ... , eorumque logarithmis., proveniet me dius geometricus 4 , 2.16964 , ejusque, logarithmus 6250000.. Hoc pacto arctatis magis semper limitibus inter quos continetur quinarius , devenietur tandem ad nu merum , qui ne una quidem discrepet millionesima ab ipso quinario , ejusque logarithmuş 0,6989700 numero 5 attribuitur ; håbeturque quam proxime.

10 5 .

"En totam operationum seriem ex Eulero deprom ptam ( Introductio in analysin infinitorum : Tom . I. Cap. 6.) 163, 0.2 09698 9700201 > . ܕ Act, 000000; 1(A == 0,0000000 ; Sit B = 10, 000000 ; 1 (B ) = ' 1 0000000"; C = V AB C= 3. , 162277 ; ( C ) = 0 , 5000000 ; D = V BC D = 5 , 623413 ; ( D ) = 0 , 7500000 ; 'E = V CD E = 4 , -216964 ; UE) == 0 , 6250000 , FEV DE F = 4 , 869674 ; 1F) = 0,6875000 ; G = V DF G =5 , 232991 ; 1G = 0, 7187500 ; H = V FG H=5 , 048065 ; 4( H) =0 , 7031250 , IVFH 1 = 4 , 958069 ; } ( I : = 0 , 6953125"; K = VHI K = 5 , 002865 ; ( K )= 0 , 6992187"; EVIK L = 4 , 930416 ; 4L) = 0,6972656 ; M = V KL M = 4 , 991627 ; ( M ) = 0 ;" 6982421 ; N = VKM N = 4,997242 ; U( N ) = 0 , 6987304 ; 0 V KN O = 5 , 000052 ; 40 ) = 0 ., 6989745 ; PVNO P =4 , 998647 ; l(P ) = 0 "6988525 ; Q = VOP p = 4,999350 ;-4( Q = 0 ,6989135:; R = VOQ R = 4 , 999701 ; l ( R ) = 0 , 6989440 ;-S = VOR S = 4 , 999876 ; ' (S) = 0 , 6989592 ; T - vos T = 4 , 999963.; 11 = 0 , 6989668 ; V = VOT , V = 5 , 000008 ; ' ( V) =0,6989707 ; W = VIV W = 4,999984 ; (( W )= 0 , 6989687 ; X = Vwp X = 4 , 999997 ; ' (X) = 0 , 6989697 ; Y = VVX Y = 5 , 000003 ; ( Y ) = 0 , 6989702 ; Z = V XY Z = 5 , 000000 ; (Z ) = 0 , 6989700 ..202 ex. in Caeterum adhibetur methodus dumtaxat in niis meris primis" ; numeroruin enim , qui ex aliis inter se multiplicatis oriuntur , obtinentur logarithmi ad dendo logarithmos factorum . Sic habitis logarithmis numerorum 3 et 5 ; ' erit ( 207 : 208 ) L( 15) 1 ( 3 ) + 1(5)), 1:45 ) = 19) +7(5)=13") +1(5) = 2163)+1(5). Determinatis integrorum logarithmis , facile inveniun tur logarithmi fractionum; subtrahendo ( 207) nimirum logarithmum denominatoris a logarithmo- numeratoris ; gr. =12) —1(5 ) : " et cum 22) = o ) erit (2)= 110)-—- |(5 ) = 1-0 ,'6989700 = 0 , 3010300 . 210. Exprimant l., ' 2" , 2 " , - . logarithmos pertinen tes ad systemata , quorum bases ' sint “ a , a ' , a " , Accéptis logarithmis quoad systemata * a , aequatione a't = 9 , prodeunt x lla' ) = l ( ) , a l' (a') = l" (v) z o's . Sed cum aequatione illa consociatur haec altera (204) x = 1'.(V.) Igitur 'l(v ) 2" (v) lía ). = . 2 '(v;. Logarithmi videlicet duorum numerorum eamdem in quocumque systemate servant rationem , Praeterea si pro uno systemate "conditae fuerint logarithmorum tabulae , facili negotio poterunt "tabulae pro quovis alio systemate computari. Sic cum detur lív ) pro basi a = 10 , hinc ad inveniendum 1'(v ) pro quavis alia basi ex . gr . a = 2 , assumpto in vulgaribus ta bulis logarithmo binarii , nimirum 1 (2 ) = 0,3010300, satis erit per hunc logarithmum dividere l(v) ; adeoque lv) = 3 , 3219277.1 ). 0 , 3010300 {"(a )203 211. Ex dictis ( 209) manifestum est logarithmos nu- ; merorum inter 1 et 10 in systemate vulgari esse > 0 et < 1 ', ac proinde habere o cum aliquot decima

libus adjunctis logarithmos insuper numerorum in

ter 10 et 100 esse > 1 et 2 ,' ac per consequens unitatem habere decimalibus auctam ; atque ita -por ro . Sic. l (3 ) = 0,4771213 , 2171 = 1, 2304489 , |( 123 ) = 2,70899051. Numerus ille integer decima lìbus praefixus vocatur logarithmi characteristica , que tot constabit- unitatibus , quot notae ,' una dem pta , reperiuntur in numero, ad quem pertinet lo garithmus. Hinc' ex dato " cujusvis numeri logarithmo i jam statim poterit sciri quot notis numerus. constet. Sic continuata progressione geometrica ! 1,2,4,8 > > usque ad terminum sexagesimum quartum , cum is per ( 283) exhibeatur , ' erit 1 ( 244) =6372) = 18,9648900 ; ac proinde ' terminus ' ille novemdecim componitur notis.

212. Characteristica " ex. gr. 2 pertinet' tam ad numerum 100, quam ad alios omnes, qui sunt inter 100 et 1000. Sola itaque fractio decimalis characteristicae adjuncta indicat quibus nolis numerus constet . Sic invento logarithmo 4 ,respondens numerus esset 10000 ; at si inventus esset logarithmus 4,9741016 foret numerus- 94211. Permanentibus autem decima libus , perinde erit characteristicam augeri , vel mi nui una , duabus , tribus r . unitatibus, ac respon dentem numerum "decies , centies, millies , • majo rem , vel minorem fieri. Hinc (942110) = 5 ; 9741016 , 1(9421,1) = 3 , 9741016 , 119,4211=0,9741016 , 10, 94211) = - 1 + 0,9741016 ,204 10.094211 : 2 + 0 , 9741018 : pro characteristi cis vero negativis -1, -2; ... poni solent 9, 8 , in ut scribatur ex. ' gr. 1( 0 , 94211 ) = 9 , 9741016 , 10, 094211) 38,9741016 ; atque subintelligitur ha insmodi logarithmos denario minuendos esse. Sed haec fusius pertractata videre est in explanationibus, quae logarithmicis tabulis adjunguntur -

213. Interea notetur illud: logarithmorum ope obtineri potest valor quantitatis incognitae, ex quibusdam aequationibus, in quibus ea in exponentem in greditur : ita ' si deveniatur adaequationem " ! ? 0:56 zoru ch 120.9 . , 1122 317 9 187 ex qua eruendus sit ' valor incognitae '* ', sumptis lo garithmis habebitur ( 207 : 2052 208) ) (x - 1) ?( 9 ) ;.,, unde l (h ) -líc) 1+ L9 ) Proponatur quoque resolvenda aequation: с 1 ) ارh) =1 1) ( ) اسع ( = X 105 , 10. Insis 100 Acceptis logarithmis , prodibit 101 = l(10 ) == , 100 ic ) unde (207 ) 1 X l(101 ) - 1( 100) 4 101) —2 Cum igitur ex tabulis 1(101) = 2,0043214 , hinc 1 231 circiter. 0,0043214 1

DE SOLUTIONE PROBLEMATUM.

214. A equationes, ad quas in problematum soluz tione pervenitur , aliquando sponte velati sese offe runt. Si v. gr. quaerantur duo numeri x , y , quo rum factum , summa , et differentia quadratorum sint aequalia , in promptu erunt aequationes ay = x + yi xy = x ” – 2 ; et secunda per primam divisa , pro dibit 15x5. , ideoque x = 1 + y ; hoc. valo x substituto sive in 1.4 , sive iņin 2, a , exsurget -y 1 = 0 ; unde 1 V5 et consequenter 2 3 = 15 2. = 1 + y re j ? 1 2 : Idipsum aperté contingit in problematis jam pro positis (130) , ad quorum primum spectant a + b b 2 a 2 Hinc vero sequitur eorum tertium fore impossir, bile , nisi fuerit a” 6? 7. Sic quoque , ubi quaerantur duo numeri qua drati , quorum differentia =1 " , sponte sese exhibebit aequatio år ? — 3 = 1 ; eruntque ( 180 2. ° ) 2v > 20

215. At saepe artificio aliquo opus ut ad est aequationes deveniatur , et pro varietate ipsorum pro blematum variae industriae adhibendae , nec genera206 : et argen les tradi possuntregulae eliciendi ex datis conditia- - nibus, aequationes : quatuor hic subijcimus exempla. 1 .. Habeat quis binas massas ex auro to ita compositas , ut quaevis libra : 1.4e . massae con tineat in partes auri et n ' argenti , quaevis autem libra 2.ae * massaecontineat m "partes auri et n " ar genti : quot partes pio singulis massarum singula- . rum libris erunt: sumendae ut fiat: nowa - massa con tinens pro quavis libra m ' ! partes auri ; et'n ' ' ar genti ? Exprimatº š . numerum partium ; quae debent sumi: ex 1.a « massa ; et y numerum partium e 2.a ; continebuntur in cauri partes m'x et n'x argenti , in y vero auri partes : m'j et- n " y argenti ; siquidem : 1 : m ' = x m'a et: 11: n x : inx ; : 1 cm " :my, et 1 : n " = y : " y .. Itaque m'x: + m " ý = m . .... n'x . + :n " y = n " ; ; unde ( 127 : 132) m'in m'in's m'n' m " n ' IR m'n m'n " . Factis. V, - gre min" mi= 10 , .n' = 2 ., m " = 4 , n " = 8 ; m " = 9 , n " = 3 , prodibunt: (64). 5

10 unco", y

unc. == 2.unc. . 6 6 II. * Quidam debet: n scutata sub ea conditione , ut quotannis usuram . 5 de centenis solvere teneatur ; animo autem intendit exsolvere singulis annis cer tam aliquam scutatorum summam x ita , ut postm : annos extinguatur debitum . Quaeritur x . Elapso primo anno , deberet n , quando 105 quidem 100 < 105 =n : n ; solvit x , facto igi 100 jin 100207 105 tur compendii causa Sk, debebit kn 100 elapsis duobus annis , debebit k'n - kx - X ; elapsis tribus , kin - k'x - k.r — X ; ..... ; et elapsis m X ; sic annis , kmn . Kn m m Kimoms x KMSx -k’x kx Quoniam . ergo in fine anni msimi extinguendum est debitum , iccirco x (km- ?:+ kimono + .terk to k + 1) = 0 , seu ( 102) 1 - K k 1 Ann = 0 , unde a kn 1 - k km Si , datis x , k , n , requireretur m , foret (213) 1( x ) — 1 [ x - nk— 1)] l(k) ĮII .° Ex dolio , quo continentur 2n mensurae vini , extrahitur. iterato mensurarum . earumdem qui dam numerus x vase quodam ; post : singulas vero exhaustiones infunduntur m vini mensurae et reli quum ad eamdem altitudinem impletur aqua. Deter minare x , sive illius vasis capacitatem ita , ut post datum exhaustionum et repletionum , numerum tan tum vini habeatur in dolio , quantum aquae. Post primam exhaustionem : erunt in dolio 2n mensurae vini , et post primam repletionem 2n x +m ; tum rursus extractis x mensuris , quia ra tio vini ad aquam est eadem in vase. ac in dolio ideo in istis x mensuris continebitur vini quantitas ( 2n -2 + m)x expressa per 2n ( 2n x + m)x 2n : 2n x tom = X : 1 nam 2n2084 proinde residuum vinum in dolió erit 2n xt in 2n x +11 2n 2n x + m 2n 212 - inx O et post secundam repletionem :, ( 2n x + m)( 2n x) + m ...... ( p ) 2n . Simili modo vinum : demptum tertia exhaustione exe primetur per ( 2n x + m ( 2n X ) . ( 9 ) 4n? 2n eritque residuum vinum . (p) ( 9 ) , et additism mensuris , invenietur in dolio post tertiam repletio nem quantitas vini . (2n - x + m ) ( 2n - - ) 42x ( p )-9) + m fm . 4n% 2n et sic deinceps. Sed tantumdem vini ramanere debet in dotio , quantum habetur aquae ; unde sequitur quod vini quantitas debeat esse quatis igitur duabus expressionibus restantis vini • exsurget aequatio ejus gradus , quem designat ex- . haustionum numerus. Ponatur v. gr. hic numerus = 2 ; exsistet ( 2n x + m) ( 2n x) tmn, seu 2n x' —( 4n +m) x + 4mn + 2n = 0 ; hine. mensurarum .n : ae n m2 x = 2n + V 2162 2mn + 2 .209 IV.• Duo gravia , quorum primum secundo al tius est pedibus n , debent in idem horizontale pla num ita decidere , ut primum illud insumat mplum ejus temporis quod insumit secundum , ac praeterea k minuta secunda. Quaeritur tempus , et altitudo. Exhibeatur per x altitudo , ex qua secundum grave descendit, et per y respondens tempus ; erit +n altitudo primi , et my + k tempus quo per curritur.. Constat autem ex Mechanica et spatia totalia a gravibus libere decidentibus percursa esse ut qua drata temporum quibus conficiuntur, et spatium quod intervallo unius minuti secundi percurrunt gravia si bi relicta , esse =ped. 15 circiter. Itaque designato spatio isto per c , ħabebimus = C : X. , et . 1.: (my + k) ' = : + n .,, et : eliminata c (m ? - 1)g ' + 2cmky + ck? -n = 0 ,, 1 .: jv V n (ma 1) + ck JE [ - mkt m? -.1 . с et caet. . ... > ideoque x = cy Factis v. gr. n = 360 , m = 2 k = 3 , prodibunt y = 1 , y = -5 , x = 15 , x = 375.

216. Valores y modo inventi explent ambo aequa-, : tionem unde oriuntur sed qui negativus est quae stioni , . ut est proposita , minime inservit , non enim apparet quo pacto impendi possit in descensu tempus negativum ; satisfaciet tamen (modo positive · sumatur) quaestioni ipsi nonnihil immutatae ; exhibet nimirum solutionem problematis , quo quaeratur ut tempus de scensus primi gravis minus sit quam mplum temporis ab altero insumpti , exsistente defectu k secundorum ; , erunt namque Pars I.. 14 .210 1 : 9 " = 0 : x , 1 : (my - k ) = 0 : * + n , cm ' - 1) , - 2cmky + ck* - n = 0 , 1 [ mk V ním’ — 1) + cks Y ].. m? Cс . Simili modo licebit in aliis casibus algebraicum sermonem interpretari, ac definire cui problemati aptari queant negativị valores.

217. Ex conditionibus problematis tertio loco (215) propositi habuimus binas ejusdem quantitatis expressiones diversas, quae aequatae suppeditarunt aequa tionem. Id saepe fit cum successu in solutione problematum: curandum tamen ut expressiones e diversis, eruantur conditionibus; nam si ex eadem conditione, licet diversa via, deriventur, specie quidem poteruntesse diversae, reipsa tamen erunt algebraice eaedem; aequationem iccirco praebebunt identicam , quae ni mirum eosdem in utroque membro exhibebit terminos , quaeque traducetur ad 0 =0 , et solutioni minimo inserviet. In memorato problemate si * quaeratur, quantum aquae sit in dolio post iteratas repletiones, obveniet x -m post primam , 2x - 2m - post secundam et caete ...; quibus valoribus sub tractis ex 2n exsurgent respondentes vini residui quantitates in hunc modum expressae x2 mc 2n x? 2n - (x -m ) , 2n - (2x 2m :) 2n et caet . Comparatis jam his expressionibus cum illis prius, ( 215) inventis , obtinebuntur aequationes identicae211 : 2n (3C .m ) = 2n tim mx 2n ( 2x 2m ) 2n ( 2n - x + m)2n 354) + mi, et caet. • .. 2n

218. Aliter se, res haberet si aquae quantitas re spondenti quantitati vini residui aequaretur ; foret enim post secundam v. gra repletionem x ( 2n - xtm ) (2n - x ) 2x 2m to my 200 2x mx sel : (4n + mx: + 4mn + 2n ' O ; eadem videlicet aequatio ac superius ( 215) inventa ; quae potest etiam obtineri comparando cum n mensu ris quantitatem aquae determinatam post 2am reple tionem . Hinc vero intelligimus ad eamdem aequatio nem pluribus viis ex . iisdem conditionibus deveniri. Caeterum qui valor x major est quam 2n , haud po terit adhiberi in quaestione proposita.

219. In solutione problematum diligenter est attendenda ratio denominandi: etenim denominatio rite instituta et liberat i saepe- ab aequationum multiplicitate, et aliquando ipsum aequationis deprimit gra dum , uti videre est in subjectis exemplis.

1. Invenire tres numeros continue proportionales ita, ut summa primi ac secundi sit h vero extremorum cum nplo- secundi sit ko , lis numeris designatis per x , y , z , provenient (194) ternae aequationes y * = XZ , x + y = h , r + ny th = k , Verum attentius consideratis pro blematis conditionibus , evitabuntur plures aequationes; nam si primus numerus dicatur x , quia primi ae secundi summa h ideo secundus h summa 3. ,212 (h - x) ? et ob, positam proportionalitatem: erit tertius numerus; sed extremorum summa cum nplo. secundi est k; hinc unica aequatio (h --x) ? + n(h —x ) = k . X

II.° Invenire duos numeros , quorum summa dempta eorum quadratis relinquat a , addita vero eo rumdem facto praebeat b. , li numeri dicantur x , y ; erunt x + y X - ya, xy + x +y =b, ex quibus , eliminata altera incognita , profluet aequatio, quarti gradus. At si numerorum summa dicatur 2x , ' et differentia 2y , ut illorum major reprae sentetur (214) per x + y , minor per x -y , ha bebimus (x +y) * + (x - y )2 - 2x = a , (v + y )(x - 1 ) + 2x = b , unde +y* --. = , x" — 3 *+ 2x = 6 ,

quibus in summam collectis proveniet aequatio sea. cundi gradus 2x2 + x =2/ + b. 2.

220. Bina subjungimus problemata ad conjectandi artem spectantia.

1.° E duobus collusoribus, qui tessera ludunt, primus determinatum habet jactuum numerum n: quaeritur quot jactus ante ludum debeant adjudicari secundo ut amborum sortes fiant aequales.

Priusquam problematis solutionem aggrediamur; haec sunt annotanda.

1. ° si eventus e, pendet ab p casibus inter se aeque proclivibus, quorum f favent eventui ut nempe singuli eventum omnino adducant; reliqui vero p - f adversantur ut scilicet singuli ipsum certo excludant, eo probabilior censebitur &, quo numerus f exsistet major, p minor; expectatique eventus probabilitas seu sors E, exprimetur per f

Probabilitas autem contraria per E' =P Р istiusmodi probabilitates dicuntur simplices.

2. ° acce f dente f ad p , vergit &; ad certitudinem , et ad р p - f 1 ; S' ad impossibilitatem , et ad 0 : ideo in P conjectandi arte certitudo exhibetur per 1 , impossi bilitas per 0 ; utramque autem interjacet dubium , quod importat aequalitatem 'sortium & , et s' , ' et con sequenter 2 pi , 2 12 1

3.° saepe expectatio eventus & g pendet a praeceden te eventu & , ita , ut nisi prius accidat & , inutile sit expectare è, tunc probabilitas eventus € , vocatur composita, soletque designari per factum e simplicibus ipsorum e, et Ez probabilitatibus sic v. gr. si quaeritur probabilitas extrahendi et prima etsecunda vice globulum album ex urna, qua continentur, p globuli, quorum f dumtaxat sunt “ albil, ejusmodi ex284 Σ, tractionum secunda pendebit “ a prima , eruntque sing plices ipsarum probabilitates f f .P P modo tamen globulus prima vice extractns reponatur in urnam antequam fiat secunda extractio : quod si non reponeretur , forent f Σ, Р Hinc in primo casu quaesita probabilitas erit 1 P - 1 ( ) in secundo 1-1) p( p - 1 ) Generatim si eventuam ,, , , , ... En (quorum sim plices probabilitates Σ , , Σ , , Σ . , , , , 23, ... En ) secundus pen det: a primo , tertius a secundo , atque ita porro , probabilitas ultimi en exhibebitur perifactum -2 , 2 , 3 ... 9 sic probabilitas extrahendi n vicibus absque inter ruptione globulum album ex dicta urna , repositis glo bulis erit (-)" globulis minime repositis , Alf - 1)(f — 2) ... (f - * - + 1) p ( p - 1 ){ p -- 2 ) ( p - + 1) 4. si e pluribus eventibus satis est nobis ut unus215 quivis obtingat, optati successus probabilitas exhi bebitur per summam probabilitatum , quae singulis eventibus respondent. His annotatis, venio ad problematis solutíonem : exprimat x quaesitum jactuum numerum , p numeram facierum tesserae , f numerum earum facierum qui bus collusores obtinent ; " erit p -fc) numerus fa cierum quibus perdưnt. Quoniam in ' uno jactu ad obtinendum sunt f casus ex p , iccirco sors unius ja ' ctus exprimetar ( 1..) per L PР In primo duorum jacttum , ex p casibus sunt f ad obtinendum , et c ad sortem f adducendam ; igitur ( 3 : º 4. ') sors duorum jactuum erit f of. f (p + c) ( pmc) (perc) P po nimirum po p* In primo trium jactuum , ex p casibüs sunt f ad ob pe tinendum , et c ad sortem afferendam ; er go sors trium jactuum (3.° : 4:º ) erit 1 dp - cº) - ( p videlicet سي .p3 et caetera216 Universim sor's n jactuum habebitur’expressa per p " cm pa et sors nit x jactuum per pr** C !2+ pr Sed collasorum sortes ponuntur aequales ; igitur pn + x - cn + х 2p ” -- 20 " pr* p " ? unde 12.6* - *a ? , inlc) -12c" -p ") Hp) -le) II. ° Si tessera habet a facies albas et b'nigras , quot ejusmodi tesseris poterit A aequa sorte contra B susci pere ut'unica vice jaciat : r ex . faciebusa ? Sit - x numerus tesserarum ; erit ( 111 : 1. °) ( a b )* numerus casuum , quibus variari possunt tesserarum facies ; b * numerus casuum , quibus nulla ex faciebus x(x-1 ) a cadit ; =la , quibus una ; 1 1.2 - 1 )(x quibus duae ; 2x- 303 1.2.3 et sic deinceps. " Itaque si A unam ex faciebus a ja cere .susciperet , numerus ' casuum quibus lucraretur foret (a + bxb2 ) ; si duas , (a + b) b62a / ; x x - 1 ) 1.2 generatim sir, 1 si tres , ( a + b}x_bi- brosa -217 x ( x - 11) ( a + b)x = 63 - bria 16x9a ? 1.2 x (x - 1)( x - 2 )..... ( ac rat : 2) Ix -artiar - 1. 1.2.3.. ( r.1) Sors igitur A exhibebitur ( 1. ° ) per 6 6 1 1 b x( x - 1 ) aº .1.2 6 % 6.) - ) - (atb) Como x ( x - 1)( x - 2 ) (wc s 4 2) dra) b 1.2.3 (n - 1 ) . bro Sed sors ista " ex hypothesi aequat contrariam sortem B , ideoque (2.°) singulae ; ergo 2 1 2 a [ 1+ x(x -1) a? +6 1 - b 1.2 ba

• ( x - 1)(x - 2 ).- (x + 2) ar-i

- = 1 1.2.3.... (r 1) , Zn--] = '1.

DE SERIEBUS

Quarumdam serierum generales summae determinantur.

221 . Denotent tn , 'Sn ejusmodi expressiones , quarum altera , si loco n ponuntur successive numeri naturales 1 , 2 , 3 ,. .. , praebeat singulos términos seriei t, , ty , tz , tn , ...2.13 altera vero , si loco n ponitur quilibet numerus inte ger , suppeditet summam tot terminorum quot in eo numero sunt unitates : erunt snitt, tots + titne , Spe = t, +1, + tz tovo to one ; ideoque tnsn Sn - i ? Expressio tn est (110) generalis terminus seriei ; se dicitur summa generalis. Ad haec : positis In -tn-, =lm , 6'10'r_ = 5"'m , O'n - on- = et caet, .. B'n vocatur differentia prima , 6 "'n secunda , 6'" , tertia , et caet. .. ; eruntque P', sta 2tr- , + Ins) 3tn-, + 31 , - , et generatim ( 110) (r). r (r:— ) On 2 2t ins , - 2) Maraming i'r .1Xr tn_3 t = 1 ; 2.3 valet signum superius si r est par , inferius si impar.

222. Quibus, praejactis , fiat sna,ntagn ? tagn :tota, crit ( 0) 1,Ea; + a ;[n -(n - 1) + a ;[n ?-(n - 1)3] + ( 1) * ? ]. Hinc O'n , Al! ..(" ) prodeunt expressae in hunc modum219 r = B + Bin + B, nt torrt Bm ; n G" n = C + C.n + C , n° + ... + Cm - 8'" , D+ Dinnt Don't worst . Dmign " > m3 et caet. .

O(M )= P +P, n , Or (M ) = P ,.

Quae series emergunt e secunda ( ò) eae 'dicuntur al gebraicae , primi ordinis si m = 1 , secundi si m2, Interea ex 6m) = P et caet .. 2 Dm - 3 infertur series algebraicas ordinis msimi habere dif ferentiam msimam constantem , ideoque differentiam --imam imam mt 1 = 0 m + 2 = 0 , et caéto Caeterum vel leviter attendenti patebit (110) fore В.Bm- = am +,(m + 1)m , Cm - 2 = amti(m + 1 ) m (m - 1 ) , = am + i (m + 1 ) m ( m 1 ) (m 2) . , P, = a, ( m + 1 ) m ( m -1)( m 2 ) ..... 3. 2. 1 . .

223. Data serie algebraica , hoc modo determinabitur respondens Sno In secunda (o ) fiat successive n = 1 , m +1, ut obtineantur m + 1 termini. Singuli -hi termini comparentur cum singulis primis m + 1 terminis datae seriei , primus cum primo , secundus cum secundo , et caet. ... Sic efformabuntur m + 1 aequationes , e quibus eruentur valores a ,, ag , 43 , ... antı substituendi in prima (0 ).

Exempla . 2 , 3 , ...

I. Detur series 3 , 6 , 10 , 15 , 21. ... , .. ,220 in qua differentiae secundae 1,1,1 , ... Assumptis in secunda (o) m = 2 , n = 1 , 2 , 3 , erunt a , ta, taz = 3 a , + 3a , + 7a3 = 6 ) a , + 5a , + 19a z = 10 ; ex quibus 1 11 2 = 1 , a . 6 6 Quare = 11 1 nt- n't 6 n3 3 In 17 1/1 n 1) ( n + 1 ) (n + 2) 2 -2 II.º. Sit 1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , ... in qua differentiae tertiae -2 , 2 , .. , In secunda (o) factis m = 3 , n = 1 , 2 , 3 , 4 , erunt a , ta, + az + 2 = 1 , a , + 3a , + 7a3 + 15a = 5 , a , + 5a , + 19a3 + 652 = 14 , a + 7a , + 37ag + 175a = 30 ; ex quibus 1 5 a la = a. ' a , 12 12221 Propterea = 4 1 nt 6 5 1 n? + n't 12 3 12 n ' n . + n ” . n na + 6 2 3

224. Si datur generalis terminus algebraicae seriei , ad inveniendam generalem summam satis erit compa rare singulos terminos, formulae datae cum respon dentibus terminis secundae ( 0) ; sic formabuntur m+1 aequationes, ex quibus valores a , , a , ,... @mtie Exempla. 1. ° Sit tn ns. Erit m 3 ; et a , a , +23 ag = 0 , 20 , - 3az to 40 % = 0 , 3az - 60 , = 0 , 40, = 1 ; unde 1 1 1 а. a3 а . 1 a , 0. 4 2 Quocirca 1 n? + n '. II . Sit quoque In = n . Erit m = 2 ; et a , a , ta3 = 0 , 2a , - 3a ; = 0 , 3a3 = 1 ;222 unde 3 6 Quare Sn niton 6 : n! + 2. 3 n .

225. In (O ): 221 ) fiat en =n ; exsistet (1) (1-1) n. --r(n - 1 )" + (n1-22) + (nap)" . 2 . Sed posito r >m , est (222) 9,1 = 0. 0 . Quare in ea qua sumus hypothesi habebimus ( 131.8 . !) rr – 18r - 2) 3m 2 . 2.3 riyir 2 ” to 1 ... " = 0 ... (g .

226. Obiter notamus illud : si m + 1 peculiaribus valoribus Zoi 2,2 ,,, : ... %m quantitatis variabilis z ponimus respondere totidem peculiares valores Po , pi , Pg , • • • pm polynomii p =bo to b , z +6,2 + ... b poterit p exprimi in hunc modum m223 - P. 2 , )( 2 .) ( 2, -- 2x) ( 2 ( 2.. -2m ). Zm ) Potong ( z. (z -2 , ) . (2 2./2 , 23 ) zm) Po mnoho ( 2, zim ) 122 ( 2 z.X : (2 1 Pm zo ) an 2 , ) . ( 2m 2 mi) ps si Secundum namque hujus aequationis membrum ma uifeste reducitur ad Po si z = 2 , ad ad P , si z =2 ,, et caet. ... ; ideoque ( 131 : 7.°) et caeta . . . Hue spectat Lagrangiana interpolationis formula, cujus videlicet ope, cognitis m + 1 valoribus polynomii P , determinatur ipsum p.

227. Haec de seriebus algebraicis ; fiat nunc Sm =(ao train - toa ,na to ostama)k " et consequenter ( 221 ) a . ) ( o ') 1 [ nolk – 1 ) + a , ( kn –- (n − 1 ) ) + a ,(kn ’ - n - 1) ") + ...to am knm- (n - 1)" ) ]k”. E secunda ( o') emergit seriescomposita e binis , altera algebraica ordinis msimi (222) , altera geometrica ( 200 , k , k , k3 quarum termini singuli per singulos multiplicantur. Hinc serierum , quae hac ratione formantur , genera les summae facile iuntur : istiusmodi series al gebraico -geometricas appellamus. Rem declarabunt,

Exempla . 1. Series 6 , 20 , 56 , 144 , .224 prodit, ex, algebraica primi ordinis 3 , 5 , 7 , 9 , ... et geometrica 2 , 4. , 8 , 16 , ..., singulis terminis per singulos multiplicatis..Prima habet terminum generalem 1 + 2n . , secunda 2" . Igitur tn = (1. + 2n )2 " ; quae , si comparetur cum secunda (o' ) in hypothesi . m = 1 , dabit k " = 2 " , a, ( k - 1 ) + a , @oſk 1) = 2. 1 ki k . Exinde k = 2 , a ,. = . 4 ., .ao = -2; quibus valoribus substitutis in prima (o ') , exsurget . Sn = ( - 2+ 4n 21 +2.. II. ° Series 1 4 9 16 > 7 3 9 27 81 . construitur , per multiplicationem singulorum termino- rum ex algebraica secundi ordinis 1 , 4., 9 , 16 , ... habente generalem terminum n , et ex geometrica 1 1 1 1 2 > 3 9 27 81 1 habente generalem terminum 3. Igitur225 " tiền? 3* et instituta comparationecum secunda (0 ) in hypos thesi me 2 , exsistent aiſk - 1) +4; -a, k 0,9 3.1 az(k. — 1 ) + 2a k 09 a , k - 1 ) k made 3 - 3 2 .: 3 2 2 . et adhibitis substitutionibus in prima (o' ) . 3 1 1 sm = ( . 3 not 2 : n? 3?

228..Fiat quoque a , n + a , nº + ... + an" [b + cnim + 1)][b + cnM + 2 )]... (butor ) et consequenter ( 221). tr (6 + cn ) aita ,[n - (n - 1)}} + orontiam [n " (n - 1)" ]). — cm (ant- a ,n ? + ... tammy [ b tocn.- m)] [ b - can mot 1) ] 6+( cn ). Maximus exponens , . quem retinet n in numeratore termini generalis , nequit esse > m -- 1 ; ideo ipse numerator suppeditabit (222) algebraicam seriem -simum cujus ordo haud excedet m - 1 Ad denominatorem quod pertinet, ejus factores sunt numero m+ 1; singuli autem praebent algebraicam seriem, primi ordinis, imo eamdem, sed ita ut secunda incipiat a secundo termino primae , tertia a tertio , et caet...... In aperto itaque sunt conditiones explendae ut data, series fecipiat summam praesentis formae.

Exempla.

1. • Seriei 6 6 6 2.7 7.12 ” 12.17 terminus generalis est 6 6 1.7.22.22.27 6 . 6 3.; [ 2 + .5 (n − 1)]( 2 + 5n) Hinc assumpto m = 1 , et facta comparatione cum tiza prodibunt b = 2 , c = 5 , a;b .6 , a , = 2 quibus valoribus substitutis. in sn 2. erit 3n Sn 2 + 5n II. Seriei 4. ! 7 10 13 2.3.4 3.4.5.4.5.6 ' 5.6.7 terminus generalis est 1+ 3n (1 + n )(2 + n )( 3 + n ) Propterea assumpto m = 2 , et facta comparatione. >227 an cnmt, obvenient b . = 3 , c = 1 , ,ba,-ba , = 1 ; 20,6-0 , -a.c = 3 , 5 7 6 : 6 adhibitisque substitutionibus in sni eritt in + 5n ? Sn 2.3 (2. + . n )( 3 + .n ) III. Series 1 1 B 1 1.5 2.6 3.2 4.8 habet terminum generalem 1 . n(4 +n) cujus denominator caret factoribus intermediis 1 - f1z. 2.tn , 3 + n : verum 1 ( 1 + .n )(2 + 2 ) 3.4 n) --- n ( 4 + .n ) n ( 1 +an )(2+ n )(3 + 1 )(4 +-n ) Quare accepto ( 1 +n )(2+ n ) 3 + n ) trz n (1 + n)(2 + n )(3-4.n )(4 + n ) data series induet hanc formam 24 60 120 1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3.4.5.6.7 et assumpto m = 4 , factaque comparatione , obtinebuntur songs > 25 101 205. b = 4 ,c = 1 , as 515 2.24 2 2 2.24 24 . 24228 25 u 12 Size = . quibus valoribus substitutis in sin , crit 205 5.15 101 .no -n² t 24 2.24 24 2.24 (1 + .n )(2 + n ): 3. + n)(4 +n)

229. Pauca, subjungimus de seriebus recurrentibus, in quibus nimirum, terminus quilibet determinatur per aliquot ex antecedentibus ductis in datas constantes $A_{1},A_{2},...A_{m}$, ut exsistat In = A , nr. + A , mat ... + - Amenm-m. Series recurrens dicitur primi ordinis si m = 1 ,, secundi si m = 2 , et caet. .

230. Ex formula ( 110) m(m-1 ) m (m - 1m2)( ) 1 2 2.3 = 1- (1 - 1 )" = 1 , simulque ex ( g : 225) manifesta , est aequalitas ( a . + 4 , n tayni + .. n ”-“ ) z mz[ an: + a (n . 1.) + a,(n -1 ) ? : - + mm - 1 am - ,(n - 1)! ' ]z? z ' [ a ,, + a ; (n -2) +.. 2 azin 2 )* + d ... + am- (n 2 )" - ' ]: " - > + m [m — 1/m — 2) zº [9. + 2,(n — 3) + a,(n — 3)* + ... + 2.3, am -,(n − 3) –?]z" Izma, + a , (n m + azn — mi) + ... am - in m )mmi), valet signum superius quoad m imparem , , inferius quoad parem . Ad haec : paululum attendenti patebit fore: m229 n n - 1 + Um @m * - ) nas ut ulaza 4 , z,* +4,7," to+..tum .. m " = (2 , + , too: + 2m (1,2 , + UZ - (2,2 , + .. to % .,2m + % , 63 trienti 2,2m + . Xu, z. " otoritumama) + (2,2,23 + ... + 2,2,2m ...)(4,7,1-3 + ugd, Umm -34 ... 2,6g ooo zm (1,2, tuz 11mm ) ; sumptis signis ut supra. Series igitur , cujus termi nus generalis exhibetur per in =a. +a , n +a,nº + ... + am - in' DZ 03-7 ... fin nm nm 12m M n vel per } )(p in = u , z ," + Ug2," for ... t Um ? m ” , erit recurrens ordinis m simi.

231. Haec inde inferuntur circa datam seriem recurrentem t , tg , 12 , ... , in qua Artn , + Agtong to.. + Annin - m

4º. Si aequatio a ” — A ,ammis • Agmm. Am = 0 ... (9 ) habet omnes radices 21 ? xm X, 13 , • . • aequales , expressio termini generalis recidet in pri mam ( p) , eritque ( 146 : 111. 1 °.) ZX, X , valores autem a . , 9 ,, ... amas eruentur ex m aequa tionibus.230 (a , + a, +2, + ... tam -iz = ti , (a +222 +2g.2² +... + am -j.2m - e ) z ’ = ts ; ( ao + a ; .3 +2,03' + oodatam -j.3M - ?)z3= is , (9 ' ) et caet. • . • . (a + a ,mtazm '+--- + am - m " >) z " = tme 2º. si aequatio (9) habet radices omnes inaequales , expressio termini generalis recidet in secundam ( p ) ; eruntque ( 146) . 3. = 22 23 = 2 • • Zmimi valores autem uj , ugye..Um eruentur ex m .aequa . tionibus , % , to U22, ta o into Umém = t . , ų , z , tuzz , to (g " ) et caet.. ot u mm tge m m m U , % ," + U772" torotum ? m " = tmº 3° . quod si ex m radicibus aequationis (9) inveniantur aequales «x , , x , ... xm reliquae vero X miti , x m1* 2 inaequales , spectabitur terminus generalis tamquam coalescens e duabus partibus , altera habente formam ( p) , altera . formam ( p ') ut exsistat 2.m (a . + a ,ntot am -inmalmaz" + 4,27 nt uz ) ... fo Umumiz " ; eruntque +"}.com m - m231 X , X , 1 , 2, * * , sở m + 2 + -% m - m = im : caeterae autem quantitates ao , Quig , amicia U Ug , ..o Uim - m eruentur ex m aequationibus ( a . ta, t ... tam - n) -4U, 2 , uggg * ... + Um - m ? m - m = t, , ( a . tina 22;: : 2” tin. am-, • -2m '-- ")z ” + 0 , z, ' + ugz, + ... + (9) Um-mz'm matz , (aota, 3 - + -ag.3 * -t 1.. fi am • 3mm ) 23 4 U,2,3 + Ug2,3 + ... + Umemiz , et caeti • . a mm ) tz , Exempla . ' I. Detur series 0., 1,4 , 12 ,, 32 , 80 , in qua A , = 4 , A, 4. Erit m = 2 ; 'ét ( 9) 202 - 4x afin 4O Haec resoluta suppeditat proinde (1.0) 7 * 2 ; insuper ( 9') 2 (a2 + ax) = 0 , 2 *(a + a , 2) = 1 ex quibus 1 ay - * Igitur to -- meiten n) 29m2 II Detur232 0,0,1,1, B5 4 . 5 21 " '21 4 ' .16 , 16 2 in qua A. = .4., A , = 1,4 = 1 1 Erit m = 3 ; et ( 9)

• -* - **+

. Exinde (146. 4 ° : 147) X3 il > 2 2 . + et consequenter (2 ..) 1 2,= +,x = , = 2 Praeterea (g" ) .1 ż2 uz U3 2 0 , u , then Ug =0 , 4 1 1 Ug =1 ; ideoque 4 3 Igitur us = , u = -4, u = - -46 ) -1(-1) III.• Proponatur quoque series233 0 , 3 , -2, 23 ,-14 , 87. , - 90 > in qua - 2 . A, = 0 , A , = 4 , A , = - 2 , AL = -3, A 2. Erit m = 5 ; et. ( 9) rs4.x3 + 2x + 3x -2 = 0 , cujus radices (145 °: 147 ) W , = 1 , X3.51, 101., 55 - 2 . Hinc ( 3. °) m3, = 1 , 2 , -.1 in 2 Insuper ( q""') 4, + a + a , -u, -2u ; = 0 , a , 2a , + 4a , + u , t4u, 3 , a. t 3a , to 9a,-, 8u -219 a , + 4a , to 16a tu, + 16ug : 23 , a . + 5a, u , - 32ug = -14 ; unde a , = 1 , 2 , = -2, 2 , 1,4, = -2,4, to Igitur tn = 1 - 2n + n — 21-1) + (-2)".

232. Formae sub quibus se se exhibet (231) terminus generalis serierum recurrentium satis ostendunt generalem ejus modi serierum summam posse semper determinari ex dictis (227).

DE CONVERGENTIA SERIERUM.

233. Resumentes aequationem (221) Snat, tota m pira ponamus n crescere indefinite. In ea qua sumus hypothesi vel est quidam valor fixus s ad quem s_n accedat indefinite ut differentia $s-s_{n}$ fiat minor quacumque data quantitate utcumque parva, vel nullus invenitur ejusmodi valor. In primo casu series t ,, 'ta , tz , ... (6) appellatur convergens, eritque s limes quantitatis variabilis s_n, seu (106) summa seriei indefinite protractae , ut scribi possit lim . s_n = s et, tt, tooo to tnt ... (5 ') In secundo casu series indefinite protracta caret summa, et vocatur divergens. Exempla sibi quisque sumere potest recolendo series jam pertractatas ( 106 : 227. -228 et caeto -... ) . Sic v. gr. series 6 2.7 7.12 12.17 invenitur convergens; nam (228 : 1. ° ) 3n In 2 + 5n 6 6 3 2 n ac proinde 3 limo sme 5

234. Habemus (221 ) Sn = tn e Snti Sn-, 1 , + tn + ) Int2 Spong tnt toute to tnts , et caet. . . . Nequit autem series (6 ) esse convergens quin habeatur limo Sa + 2 limo spomenik limostoElimi Spital- 235 ideoque lim . ( Sn —Sn-1 ) =' lim. (Snti--- SA ) = lim . ( Sn + 2 -Sn - 1) = 0. Itaque si (b ) est . convergens , erit limo tr = lim. (tn + ta + u) lim . (tnito tretie + tx+2) = 0 ... fb ) ; terminorum videlicet tn , Inte , tr + 2 .. unus , aut duo , aut plures , aut quotquot erunt (du cto semper initio a primo tn) vergent una sumpti ad limitem = 0. Vicissim satisfacta (6 ") , inde profluet = lim . Sn + erit nempe in hac hypothesi quidam valor fixus quem , crescente n indefinite , generalis samma son minime praetergredietur ; ideoque (6 ) convergens. Exempla. 1. In serie lim. Spm Snline 2 1 1 1 3 1 7 2 9 est quidem 1 lim. tn = lim . 2n fe 1 at cum habeamus

1

tn to tntg troomkan tanm > n. 4n 1 4 n et consequenter1 236 lim. (t + to++++t n - 1) > 4 series iccirco proposita non erit convergens. Id ipsum

apparet in 1 1 1 1 > > 6 8 10 ubi 1 in lim . tn = 0 2n 1 . tnt- tn + ... + t2n - , > 1 4n - 2 • n > 2 4 n lim . ( tn + t2 + 1 torot tyn- ) > 14 . II. ° Etsi binae series , modo consideratae , sunt divergentes ; quae tamen obtinetur alteram subtrahen do ab altera , 1 1 1 Ş , > > > 2 3 est convergens : quod sic facile ostenditur. Habemus 1 tn n fin 1 unde tnttntot tnta 1 1 kati 1 n-+ 2 n+3 n4-47 + .... ) Est autem232 1 : 1 1 : 1 + 1 nt 2 n = 3 n +4 1 n to 1

)

1 1 1 (ata - nts) G- = ) G ---) + 6 ) + ... N + 5 n # 1 n to 2 Hinc patet , valorem absolutum in . + tnts to tntg tu ... 1. 1 1 . fore inter nt 뉴 et n 1 n - 2 Quoniam igitur 1 lim . .. 0 ܕ lim . (n + 1-7 = 0 , n to 1 jam non pluribus opus est , ut propositae seriei con ... vergenția innotescat. Simili modo potest ostendi convergentia seriei 1 1 1 1 > 20 . 30 40 5c aliarumque id genus , in quibus nimirum et zn (cre scente n indefinite) constanter decrescit , et termini sese immediate excipientes contrariis afficiuntur signis, 235. Designent Une , Un + s , Un+ s , Un + 3 ,.... (6 ). numericos terminorum tn , trta , Intos , tits , ... (61 )238 ; valores, ut sint : tn = # un , trts ==untı , tjème = + Uitg Quoniam tn to this to tntg to ta+3 to . nequit superare In to Un+ s , to Untug to U12 + 3 + profecto per convergentiam (8 ) importabitur conver gentia (biy), ideoque ( 234) et convergentia (b ). Series insuper (61) diverget quotiescumque in ( ) sese denique offerent termini quemcumque limitem datum praetergredientes.. 236. Quibus animadversis , ponatur. Untu un vergere ( crescente n indefinite ). ad: quemdam limitem : fixum h . Series (6 ) , ( 610) , (b) erunt convergentes si k < 1., erunt divergentes si k > 1. Exhibeatur per h numerus non . solum < k. , sed etiam minor : quam differentia quae inter 1 et k intercedit. Quo - niam lim . Un + 1 = k . , Unน poterit certe concipi n ita auctus , ut denique habea tur constanter ll , k - h n + < kth ; 118 ideoque (k — hun < Unt , < (k + h )un , (k - hunts < 0,1 + < ( k + h )un + 1 , (k — h )u , + 2 < Untuz < ( k + h )untia , et caet.....2:39. Manifeste valebunt etiam sequentes inaequalitates (k - h ) Ujz < Unts < . ( k to h) un , (k -- h'un < unts < .( k : + h ) Un , (h - h) ' un < Un+ 3 < .(k . + h ) ?un , et caet ... Quapropter termini seriei (6) interjacebunt respons dentes terminos binarum progressionum geometricarum: · Un , (k - k ) un , (k - h )’un , (k - h ) 'un , Uns (k + ) un , (k + h ) un , (k + h ) un , Jam vero progressiones istae sunt ambae convergentes si k < 1 ; sunt autem divergentes si k > 1., et qui dem ita , ut ipsarum termini crescant ultra datum quemcumque limitem . Id ipsum ergo dicendum de serie ( 6 ) , et consequenter de (61 ) , (6 ) ; quae pro inde convergentes , vel divergentes existent , prout fuerit ks , vel > 1. Exemplaa 3 u n2 u " 1. Un u” 22.3 2.3.4 2.3 2 .3 (n + 1 ) Utcumque sumatur valor finitus u habebimus Untus u lim , lim . O ип nt 1 hinc proposita series erit semper convergens. 11.7 , 2u , 3uº , 4u3 ( n + 1) u” (n + 2) unts , ... ,2402 2 U petst lim . = -limo . u = lim . Unt n + 1 : 1 . ņa n Igitur data series erit convergens si u < .1.,. diver . gens si u > 1 .. 237.. Si prodiret lim . 1 , Untı U ,น non liceret inde seriei convergentiam cruere , cum aequatio ista aeque stare possit cum seriei divergen tia , uti videre est in 1 1 17 je > > 1 20 30 . (n + ,er ? ( r + 2 , quae tametsi praebeat. 'nt n lim . C # ) lim , 1.9 int 2 fito n: erit nihilominus convergens si c . > 1 ,. divergens si c = 1 , vel < 1 : quod facile patebit consideranti sequens theorema. 238. Positis u , > u , > ug > ux > ... , binae series u ,, U , , U3 , 14 , ••••.. (6Y) 2u , , 4u3 , Buy , 1645 ( 6 " ) erunt simul aut convergentes , aut divergent divergentes. Nam 4u , < 2u , + 2u , 8ug < 2u , + 2ug + 2a + 2uq , et caet. ... ; 124t : itera 2u > uit My 4ug > ugat un + ust lug Sun > Ugifo .Ug to ug toe , to Use et caet. a . , ; proinde (6Y) < 2(b ) , ( bvI) > ( 6Y) ; ex quibus manifeste apparet veritas. theorematis. . 239. Hinc 1 : 1 1 2c 30 4¢ 2 . 4 8 20 > > 4C 8C erunt simulaut convergentes , aut divergentes. Istarum vero secunda nihil est aliud nisi progressio geometrica 21- c , 2 ' ( - ) , 23 (1- c ) , ... convergens si c > 1 ; divergens si c = 1 vel < 1 . Ergo , ut diximus ( 237 ) , etiam : 1 3c, 4c? erit convergens quotiescumque c . > 1 , divergens quotiescumque c =1 ; vel < 1. Vidimus praeterea (234 11. ) seriem 1 1 20. > ...... 1 20 30 40 semper existere convergentem . Itaque e sola, diver gentia' seriei U , ug & Uso una PARS I... 16242 pon profluit necessario divergentia (235 : 236) seriei t , tg , 13 , 14 , .... De quarumdam formularum in series evolutione, 240. Nonnulla praemittimus. 1. ° in binis ( 110: 112 ) n'ß? ( 1 + 3 )" = 1 to nß + mo2 (1 ) + (1-5) ( : - * ) + ..., no ( 1 +) +

• (1+ :-) ( 1+ 3 ) + ...

(1 ) ( 1 – 8 == 1 + nBn8 + "** A'ß3 2.3 ponamus numerum integrum n vergere ad oo simul que ß ad 0 ; ita tamen ut factum nß vergat ad fi pitum limitem 2. Termini constituentes secunda membra binarum (i . ) indesinenter accedent ad termi nos seriei 1 > 2 2 2.3 Haec autem exsistit convergens (236. 1. ° ) quoad omnes valores finitos z ; igitur ubi valeat aequatio lim . (np) ( 12 ) , valebit quoque lim :(1+ B)" =lim .(1—9) "= 1+ 3+ *2 + 2.3 2 , º numerus u ponatur interjacere n et n -t1 ; erit | ; 4243 ; < le? < 1 : to n n ideoque , vergentibus n , Mi ad oo , lim .. 1 .. п Inde sequitur ,,si , dum.fo.vergit ad co, simulque Bad ! 0 , vergat factum uß ad finitum limitem =z , ut sit lim. ( 9) ( iu ) , sequitur inquam valituras haud dubie etiam (in) et! ( iz]. Jam vero (9.1 .: 93) foi ( 1 +3) =[ (1 + B)"]. ". , (1-3) = [(1-8 " ]." ; et consequenter lim ..(1 + 3) = lim . (1:+8" , lim .,(1: - 37 = lims(1-3) . In ea igitur qua sumus hypothesi erit adhuc limo{1 + 3) = lim .(1-0) tromlis) 2003 3. expletur. (in) quotiescumque ponitur. 1 + mt 2 tunc enim erit constanter Meiß SZ:: itaque Z B 8 lim . (1+ ) = lim . (1-3) 23 1 : 2 to + .......(is) ; 2 . 2.3 .244 et facto 3.34, lim.(1–0 1 e , B lim . ( 1 + 3 ) P = lim . ( 1 - B) 1 2+ 2,718281828 ... 2 2.3 4. ° numerus 2,718 ... exhiberi solet per ut scribatur 1 1 3 lim . (1-4 = lima(1-3) By unde ( 91 : 93) (17) lim . (1 + 3) P = e = lim . ( 1-3) B. itemque, expleta conditione (in ), lima (+: + Bl = e = lim .( 1—834 . Hic idem numerus e non est in rationales numeros adscribendus. Nam , si foret rationalis , certę nihil ob staret quominus exprimi posset per denotanti k bus a et k integros numeros inter se primos. Jamvero 1 1 1 1 -2 + k 2 2.3 2.3.uk 2.3... (k + 1) facta multiplicatione per 2.3 ... k , 2.3 ... (k − 1)a = 2.2.3.4 ... k + .3.4 ..... k + ...++ 1 1 k to 11 ( k + 1 )(k + 2) ex quo manifestam fit non posse e per illum , expri mi modum , nisi summa totius seriei a > sive ,245 1 1 ( k-+- 1) (k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) fuerit numerus integer. Haec autem summa , utpoté > 0 , et minor quam tota progressio geometrica (201 ) 7 1 thin k+1 (k + 1 )* (k + 1) 3 k nequit profecto per integrum exhiberi numerum : tur neque e poterit per illum exprimi modum , quem dicebamus ; ideoque non debet in rationales adscribi 5.° assumptis ñ et ß ita , ut sit constanter .. (ig) , formulae (i. ) suppeditabunt igi numeros. nß Z B (1 + 3 ) = 1 + 2+ ( 1 2.3 = 1 + 3++ (1-1) + --X1 – 7.)+ ..., ++ (1 + --X1 + + ... ( 19 ) ß (1-3) ( 1+ 23 2 2.3 n Hinc sub conditione (is) ( 11 ++ BB))B < ef < ( 1 - 3 ) B (1.0) 1 (1 + B)B << < (1 - B)246 6.° denotante L 'logarithmos quoad basim e ( vocant neperianos a Nepero qui primus ad eos applicuit ani mum ) , secunda (i. ) praebebit L (1 + B ) si L (1-3) < < P et consequenter (i . ) L 1 ) 241. Quibus praemissis ., veniant in series evolven dae quantitates es ; oz . In ordine ad primam manifeste habetur (240. 3. ° 46.) z? 23 e 1+2+ ( 1.2) 2 .2.3 quoad omnes valores finitos z : et quoniam ( 204) nu merus a potest exhiberi per e La) , et consequenter a per ealla) , ideo zº L' (a) z? L' ( a) 1 .- +zL(a) + • ( iza) 2 2.3 Hinc 10 ° denotante c numerum quemvis fixum , erit caz c3_3 ecz .1 for CZ mfano 2 2.3 *** c iet vergente z ' ad co . , ecz lim. 2. ° facto z =Lv ) , ideoque ( 205:208) czle = cl (v ) , Lecz) = Lwc), ecz = vc , exsistet241 t (v) lim . slimo 0. DC ecz 3. ° quoniam vergente y ad limitem = potest v er primi per iccirco 1 > L (0) vcL (u) , et consequenter lima ve Z (y) = 06 . vc 242. Sit quoque in seriem explicanda formula L (1 + z ). Facto z = nw (vergit w ad O quum n vergit ad co ) ut sit 1 + z = 1 + nw , exsistet (207) L (1 + 2) = L( 1 + W ) + L = ) ... G + ja) 1+ 3a A to nw +34 fi L 3

20 tan

Sunt autem 1+ 20 = 1 of A touw 1 for 3W 1 to 20 1 fio now 1 fin- (inn ++ (n = 1 ) 1 + 2w 1 of 2w 1 1 + 20 1 for 3 1 - 36 1 + (n 1 ) 1-6 na ideoque ( 240 : 6°) 1 - na(218 ( 会) - ( 1 + 142) < 5 年 。 ( 士 ) < …… ( 16 ) < 29) 十 38 +20 ) 1 + 20 1 SL 1+ ( n 1 ) 1 + e 1 . 1 + 24 +3 ) 1 125 ( 1 2 ) 1 30 ! ”10) 1 + n) + ( N 10 10 ad haec ( 240 : 6.2 ) , ( 1 + 0) < p simulque L ( 1 + 1 ) = L ( 10一 ) Igitur [( 1 + 2 ) interjacebit binas series 1 + e 1 + 20++ 1+ ( n - 1 ) 1 中0 1 + 20 + . 1 n ) quarum differentia :: et quia 1 中 no com( -1 ) = lim . m13( ).: 249 - iccirco [{1+ z) = lim . (w + 1 of 260 -++ - 1 ). . ) u Jam vero 1 to 20 W (1-20 to 2 w' 2808 to ...) , w ( 1 1436 3wnti3 * W - 35W3 nt ...) , et caet. • . . 1+ ( n - 1 ) ? ] 1 ( n - 1) w + (n 1)*67.- (n - 1): wat .... ] Quare 1 1? w'] z na 1 - 1)' ) ; - Atqui ( 224)250 1 lim .(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1 ) ) = ;, lim . i (11 + 2+++ 3° + + ...+ (n − 1)")= , lim . ( 1 + 2 ° +39 + 3 + ... + (n − 1)")= 1 , 1 et generatim 1 lim . -( 1 + 2mm zř +.. + (nn- 11)) ):= 1 n Igitur L( 1 + 2) = 2 to 2 3 4 quae necessario subsistet ab z > - 1 ad z = 1 : nam ab z > -1 ad z = 1 series z > 2 3 4 haud dubie permanet convergens (236 : 234. 11 ° ). Facto z = 1 , proveniet 1 L(2) = 1

• cul

- 1+ 243. Habemus ( 210) 1(1 + 2) =L (4 + x) : le) proinde .) l(e)...(115) {{1+-3) = ( - D mething اس +et adhibita k pro Z , emergent (207) Z 3 lik + 3) =l(k) + 6 2k 3k3 :) ) ( ) L (k 4-2 ) = L (k ) - k 2k 3k3 Z necessario vihturae ab 1 ha > -4 ad k 244. Evolutionem formulae ( 1 * . z)" , in qua desi gnat ' n numerum integrum sive positivum sive , ne gativum , jam contemplati sumus (110 : 112) ; expri mat nunc u alium quemvis numerum , ut , subroga to le in locum n ., proponatur in seriem explicanda formula ( 1 + 2 ) . Est ( 204) 1 + 2 = eZ ) ; proinde ( 242)

M.2 2 M (

et consequenter ( 241) (1 + 5 )* = 1 +P3 -- + -... ) + 1 *( - + -... ) + 2.3x 3– + 3 Jam vero summa ·252

+ - ……

finitum retinet valorem ( 242) ab z > -tad z = 1 ; series igitur 十 ……) ( WE 2 12 - 3 Pre- + … 十 … ) ,. … exsistet ( 236 : 1. °) convergens ab z > - 1 ad z = 1 ; ideoque quoad ejusmodi valores z erit 1 x ( 2 3 + … N ? 11 :4 ? ( ? ) + 12 一步 十 …… …… + …… 1 + + + (号 - 号) +( + )- + ( 一 受 + 一号) + … + seu (1 + 2 ) * : = 1++ga ( -1 ) 2 WL - 1 ) -2) 2.3 中 , … tr( ) ; prorsus juxta notam legem ( 110).Aliquid annotatur de seriebus imaginariis.. 245. Si binae series reales 3 > ::}

}

ao , Q. Qg , ag , (8) be , b , b,, 63 ponuntur convergentes , et per A , B exhibentur ea rum summae ( 233 ) ; erit A + BV - 1 summa seriei imaginariae a, + b.V - T , a; - , bakt, ( & " ) a , + 6,7-1, quod per sequentem exprimitur aequationem A + BV1= a. + a , + a , t ... (bobet bag tos ne....) V - 1. In ea qua sumus hypothesi series ( 9') dicitur convergens : quod si binarum ( g ) vel utraque , vel alterutra fuerit divergens , talis quoque existet ( g" ) , eique nulla erit summa.

246. Factis 2 va +6. = Mo , Va, + 6,+ = Ma, Va, + b , flog itemque 2 . h . ao Q2 Mo b. aa프 f. = llig,,, .... Home b b . ME ke 2 ke ke , na He pos254 series ( 8 ') poterit exhiberi per hunc modum Holio + k. V = 1) , .(* . + k, V - 1), ( *' " ) Molh , + - k V - 1) , :..... Patet autem , si series Honflen flog , - • . • . est convergens , fore etiam convergentes: Hoho , fih , pah , Hoko , uk, , Hyka , ... ideoque et ( 8 '" ), (8 " ). Itaque (236) si.. Mnta lim . < .1 , porr haud dubie ( & "'), ( 8 ") erunt convergentes. Quod si Minta lim . > 1 , pn profecto , crescente n indefinite , praetergredietur thin quemvis datum limitem : cum igitur sit Hon = Van: ' +bn" , crescet quoque indefinite alteru tra saltem ex binis an , bn ; eruntque proinde ( : ' ) , (g ' ' ) divergentes. Quantitates positivae Mos Mos then dicuntur moduli respondentium expressionum imagi nariarum.

247. Si series > a . , a , I,, agx , , A 3X3 , • est convergens quoad certum valorem realem qui tribuitur variabili x patet ex modo dictis eam per mansuram convergentem etiam quoad valores ima ginarios x , quorum " modulųs , praeciso signo , ae quat valorem illum realem . Ergo si praedicta series255 manet convergens relate ad quoscumque reales va lores x , ipsa perget esse convergens , quicumque valor imaginarius subrogetur in locum x .

248. Series ( 1,2 ) et (1,3 ) , jam erutae (241) , perma nent convergentes utcumque sumiturz sive realis sive imaginaria. Quam ob causam eas usurpamus ad determinandam significationem expressionum em quum z ponitur imaginaria : idipsum dicendum de (im ) et ( 1,7 ) intra debitos limites. Ad haec : substis, tuto zl( a) loco z in (1,2), secundum membrum ipsius (112 ) recidet in secundum (113) ; iccirco el (a ) = a ... ( g " ) etiam quoad z imaginariam,

249. Eamdem ob causam (241 : 240 : 1. ) az ideoque os = lim.(1+ 5.)", cx = lim. ( 1 + %)", 5") 07.07 = lim. (1 + (x + y + * ) etiam quum x et y fiunt imaginariae. Jam vero -) + limu (1 + 1 ( +9+** ))" = lim . (1+ x + y + men + (1- -Xx + y + "Yj3 (1 ---X1-2)(x + y + "y + ... ) = 1 + * + y + * +,x) + ( n ( x + y )3 2.3 extra25616 prorsus ur. Igitur exiey = e** ... (8 " ) ; et substitiktis xl( a ) , yLa) loco x , y, erit ( 248 : g " ) ar . ay = Ox + .....(gr) ; ste profluunt er ey eylex!! ...Sex + y + y !my!! ( g ) all ar.aylay! ax + y + y:' + yllt ... quicumque caeteroquin sit numerus m. variabilium ; imaginariarum x , y , y Et factis x = y = I = :::, (ex) =şeme , ( ar)" ami .. ( g" ) ; tum in ( g " ) et (gl) adhibito x - y prom , . > ! . ex ar ex ( 8 "). ey

DE QUIBUSDEM INFINITESIMARUM QUANTITATUM PROPRIETATIBUS.

250. Nonon raro sese obtulit occasio considerandi quantitates variabiles quae vergunt ad limitem 0, quaeque proinde ad suum limitem accedendo fiunt minores quibuscumque datis utcumque parvis; ejusmodi quantitates dicuntur infinitesimae: econtra quantitates indefinite crescentes, quae proinde fiunt majores quibuscumque datis utcumque magnis, vocantur infinitae. Vergat ß una cum yg ad lim . = 0 ; ß dicitur Miss basis quoad Weiss et censetur esse primi ordinis ::257 adius vero quod spectat', exhibeat c numerum fixum , eti z numerum: variabilem ; si uß 62 vergit ad lim . = 0 ; quotiescumque z < c , et ad lim . = co quotiescumque z : > c , censebitur pats ordinis c .. Limes autem rationis Mais ſc poterit habere valorem fixum sive. > , sive <0 , aut : fieri -: 0 , aut = 00 . ; uti videre est in esse op Bceß . fc L ( B ) > , и gc efl 3):

• B. MoiB he

sunt: namque : Beeß lim . eß Bers = lim . = 0 , lim ..? = 1 , foc es lim .. BLB) 15 BeerLiB) lim. lim. B L® @c

251. Sint duae quantitates infinitesimae Page PB ; altera ordinis a altera ordinis b , et ponatur a < b: assumpto numero z ita, ut habeatur 6 > z > a, erunt ( 250 ) Pars I. Bran , 17 . 1258 1 PB . it B 0 , lim . f B* ideoque PB dim . lp Id autem esse nequit nisi valor numericus evadat Pop denique, et pergat esse minor valore numerico Hes igitur ex duabus infinitesimis quantitatibus illa quae altioris est ordinis fiet tandem quoad valorem numeri cum , constanterque postmodum servabitur minor quam altera inferioris ordinis.

252. Si a , b denotant ordines infinitesia marum Mg . 98 » Xş ? et ponitur a <b <c <... , erit Miß 98 + X3 infinitesima ordinis a. Nam ( 251 ) MB PB lim . C , • x3 tur . U 99B 13 -... ) fB MB (6 MB tima ( lim . up propterea (250) et caet....

253, Iisdem positis ac supra ( 252) , erit MB • PB • Xp infinitesima ordinis a + b + chey Nam259 MBPB• XB lim . 1 $ 2 + z' + Mis PB 18 lim . XB (52 lina . هتل si.. ? < a , z ' < 0 > Atqui ( 250) est Pв PB. XB 0 Bz' 33" < b .. , ac proinde 2 + 2 + z" too, Sa + b + c + ... ; est autem i uß Хg lim .. B2 si 2-> a 2' > b , ideoque- z ta' to z " > a + b + ct : idipsum ergo dicendum de Reg.PB • XB 93 5 BZ! z " > C., . Bz + z' + 3 ' + PB ac propterea ( 250) et caet. • ..

254. Spectata Miß tamquam basi , ponatur pertinere ad ordinem b; denotet vero a ordinem infinite simae MB quoad basim X3 Designabit ab ordinem infinitesimae relate ad basim 8 assertio sic XB : facile ostenditur, Habemus PB lig PB lim . = lim . -) . جرت 1260 Categi -) . 0.; atqui (250) acceptis. z < a , z' < b , ac proinde 27 < ab , est PB lim . (reglan et acceptis z > a , z' > b , ideoquezz' > ab. , est 98 (28) (Megler idipsum ergo dicendum de PB lim . HBO lim .

et consequenter (250) et caet. . . . Hinc sequitur numeros, quibus exprimuntur ordines infinitesimae PB quoad bases fore ut b : ab , PB, XB seu ut 1 : a ; propterea si a = 1 , nimirum si est primi ordinis relate ad basim X8 , permanebit qe in eodem ordine b sive referatur ad basim 98 Me sive ad basim X B pg

DE FRACTIONIBUS CONTINUIS.

255 . Ubi data formula ad expressionem a a " a " q " + q " traducatur, ea transformari dicitur in fractionem con め + al 9' "+261 tinuam. Detur v . gr . formula ZI za in qua 2x est ejusmodi , ut habeatur C ZI Z3 + 1 ZX + ( 0) ; x(x + 1 ) (erit XZ1 2x + 2 (o' ). C21 + 1 с (x + 1 ) 21 +1 Pone CZI +1 sphe , ideoque CZx + 2 = pox + 1 x ( x + 1 )2x + 1 zx vertetur (o') in 1 x + x+ I Mix с unde с с

et consequenter for xtutti x + 1 + 1 + 2

с Mxta x +2+ fx +3 , Max + 3 2 + 3 + M's too с et caet. . fixth Hinc xut 4+ Mortis CZ.C +1 Hig = C XZX X -71- toi C x + 2 + c 2 +3+262 Zr c 2 ac proinde 2.1 + 1 X " C x+1te-27 x Pro 2x assumpta serie convergente (236) C : ca c3 2x( x+1 ) 2.3x ( x-* 1 )( x + 2) ideoque c3 x+1 2 ( x + 1 }{ 2C + 2) 2.3 ( x + 1 X2 + 2 / 2 + 3 ) pro zx + , , explebitur (0) ; igitur ca x + 1 2 ( x + 1 / 2 + 2) 2.3 ( x + 1)( x + 2 )( x + 3 ) ca e3 23 ( x + 1) 2.3x ( 36 + 1 )( x + 2) с с с

tot - 1 for +2 x + 3tune 1

Fac sc et aequationem inde prodeuntem multi 2

4. plica per 4c habebis 40 4 c 4363 2.3 2.3.4.5 . 2.3.4.5.6.7 4c 4 ° c 4303 +... 2 2.3.4 2.3.4.5.6 1 Ac 4c 4c 1 . 7 ... 3 we found263 Quod si fiat 40 > et aequatio inde resultans u? multiplicetur per > prodibit u 7 2.3u 2.3.4.5us 2.3.4.5.6.7u7 1 1 2u ? 2.3.4u4 2.3.4.5.646 u 1 Зи . 5u 2u 256. Quoad secundum istius aequationis membrum haec annotamus in hypothesi v et u integrorum . 1. ° quoniam in serie us Зи 54 7u numerator est ubique idem, denominatores vero cre seunt in infinitum , pervenietur igitur ad terminum < li (2k +1) fractioque continua ( 2k + 1u ( 2k + 3 ) (21-4-5 )u utcumque protrahatur , erit semper < 1 : quod patet vel leviter attendenti.

2. ° haec eadem fractio indefinite protracta vergit ad limitem a irrationalem: et enim si a foret rationalis , certe nihil obstaret quonia264 р nus exprimi posset per denotantibus pret 9 9 nos integros; et assumptis quantitatibus . indetermina pl p " , ... ita , ut: sint ' bi tis r , Р ( 2k + 3ju (25 +5, - ( 26 **+ 7urod ) r (2k + 5 )u (2k+7 )u— p " ll > et caet. . v .. , (2n + 7 ju ( 2k + 9 )u—... haberentur 2 р II 9 . ( 24 + 1,u р (2k + 3 )u р p " > et caet. ... ; (22+5,4 2 unde r = (2h + 1 )up - viq p = (2k + 3)ur — vip , po ( 2k + 5) ur' - rv2 , et caet. . . numeri scilicet r , pol , p emergerent integri ; ac proinde ( 1. ° ) si foret rationalis , daretur series 9 , P , T , D' quae: et nunquam abrumperetur , et integris constaret terminis quorum numerici valores indesinenter decre scerent : id autem nequit admitti ; ergo'et caet. . . 3. ° sequitur fractionem continuam265 ol Зи - 54 -74 9u indefinite protractam inter numeros irrationales com putandam esse. Sit enim v . gr. 2k + 1 = 7 ; factis va au al 5u 3u - a erit al' = 0? il Зи би ws ди Su et quia '" est evidenter irrationalis , iccirco et caet...

257. Resumentes fractionem continuam a' at a " q " + ahli aly q " + q ! to . B' = ponamus A ' = a' , A " = q" A ', A ' = q" A " + a " A ' , Av = q " A " ta" A " , Av = qA" + avA'" , et caét. ••• habebimus 1.º = 9' , B ! q'B' + a " , B '" = q " B " + a " ' B ' , Biv = q1vB'" + a'B" , BV =qvBvv + a B '" , et caet.. • • •-266 a' Α ' AN q' B' a " B ' a' 9' + q " " A " B " a a " et caet. V. a'h q " + 9 " 2. " A(- )B(n) A (n ) B ( ) = A ( - )[ (x )B ("---) + a (n ) B ( --) ] -- [[ qq ((nn))AA (("-2m ")) + a [n) A ( -2)] BC"..?) a (n ) [ A (" --- ) B ( -1) -- Am! ) B (^ _-) ] ; et quia A'B ' --- A'B' = a'a " , ideo A " B ' " — AB' = -a (A'B ' — A " B ') = - a'u" a " .. , itemque A " B "V - A'B' = - AYA" B '" -- A " B") = a'a'a'a "?; et generatim AB( + ) - A ( +1) ( ) ta'a'a' ... a ( +1) ... ( o " ) , sumpto signo superiori ' si n est impar , inferiori si par.

258. Hinc A ' A (n ) ( n + 1) B (n + 1 ) a'a'a '" a (n + 1) B (n ) B (n ) B ( 120+.1 ) et consequenter A " B " A' ala " B'B " tole B a'a" B B'B " A " a'a'a'an -jet caetong B " B '" BAT A " A " Αν BV a'a " " BB Bry 1267 ai 1 ..(0 ") ܙ ܙ܀ " El quarum summa eruitur A ( n ) a'a " a'a'a' a'a'a ' ... a (12 ) B (n ) B' B'B' ' B'B " B ( 1-1) B (n ) Jam si , aucto n . indefinite , vergit fractio continua ad limitern fixuins, erit A(n ) Slim. B (n ) poteritque scribi a' a'a " a'a'a" o" ) , B B'B ' B'B ' cujus ope data fractio continua transformatur in se rien. Vicissim data series & 2? , 73 , koma , et caet. ( on ) traduci potest ad fractionem continuam : comparantes enim (o"' ) . cum (o'y ). habemus ala " a'a'a ' 23 , et caet. .. ; B'B " unde erutis a' , a , a !" , * . , caeterae g ' , 9 " , q '" permanebunt arbitrariae.

259. Si termini a a " a ( 4 ) q '" q (A) eodem ordine in fractione continua perpetuo redeunt, ea dicitur peryodica. Sit a '

q' + q " . + alt) al a' ܙ ܙ Zo gi > B' B'B ' al > 9 (k) + g' + 9" +268 a' a " II erit s = 9" alk) q (k) + factisque (257 : 1. ° ) alh +1) = s , g (h+ 1) = 1 , exsistet A (k + 1) A( k) +SAH- ) B ( + 1) B(k) + sB (k - 1) proinde B ( k- 1)s” + [ B (k) — A (k - 1)] s — A ( ) = 0 : aequatio secundi gradus , ex cujus resolutione obtine S ; bitur S. = 1 ut 260. Fiat nunc a 7 ' = a = a " exsurgat fractio continua 1 1 + 1 q '" + gt ... Erunt (257) A' ' = 1 , B ' = q' , A " = q " A ' , B " = q' B ' +1, A ' = q'" A " + A ' , B '" . 9 B' ' + B ' , Av = q " A "" + A " , Biv = q " B " + B " et caet. et caet . ... > 1 1 2 > 9 B' B " q " 1269 1 A " + B ' ? et caet. . . . ; g'+ nec non A (n) B (n + 1) — A (72 * 1)B (n) = 1 ... (0,). Hinc 1. ° numeri A(n) , B ( n ) sunt inter se primi ; etenim si haberent factorem communem f , possent sic exprimi A (n ) = mf , B (n) = mf, ideoque mB (n + 1) M'A (n + 1) ==1 quod esse nequit. 2. ° habemus A (n ) A (n + 1) 1 B (n ) B ( n + 1 ) i B (n ) B (n + 1 ) et consequenter A(n) A (n + 1) > , vel < B (n ) B ( 12 + 1 ) prout n erit impar, vel par. Et quoniam crescente n decrescit 1 B ( n ) B ( n + 1) facile intelligitur serierum A' A " AV B' B " BY > (ov) A " B " Αιν Biv AVI Bvi270 1 primam constare terminis decrescentibus , secundam , crescentibus. 3. ° si fractio i h interjacet binas Aram ) B ( am ) et A (3M .- > ) B (21 ) erit h " > B ( " ) , ideoque et > B (sms)' : nam (0 , ) praebet A ( 21.- ) Aram) B ( allament ] B (am ) Blam ) B ( mm ) i unde A (amino) i 1 B ( ammo) h Bram ) B ( amat) et consequenter h > B(Pm) (hA (?m- ') - iB (amma)] : propterea et caet. . . . Nequit itaque inter . A ( 12 ) A(+1) B ( 11) B(+1) et interjici nova fractio , nisi istius denominator superet illarum denominatores, 4. ° in A (n ) + mA ( +1) B( 1 ) + mB( +1) fac m = 0 ; habebis A ( n ) B (n ) . suine m = 9 ( **) ; obtinebis 127 . ( OV ) , A(+ ) B ( 6 % ). Quod si fiat m = 1,2 , 3 , ... q(**») — 1 , prodibunt q {" + ) 1 fractiones A(n) + A ( +1) A ) + 2A(+1) A ( L) + 3A ( 1 + 2 ) Br + B ( +1) ' BBO( 2)) ++ 2B2B(( +1+1)) ’ B (1 ) 3B ( +4) A (n ) - + [ g (" + 2) – 1 ] A ( " + 1) B (A) + [ g(n + 3) 1]B (" + 1) quarum binae sese immediate excipientes sic exhiberi possunt A (n ) + - ( m ' 1 ) A(1+1) A (n ) +-m'A ( +1) 1 )B (4 + 1 ) Bn) +-m'B ( +1) Jam vero ex (02) assequimur A (n ) + (m ' 1 ) A ( +1) A (n ) + m'A ( +1) B n 1 ,B(" +1) B ( n ) -to m'B ( +1) A (12 ) B ( +1) A ( +1) B ( n ) FB) +(m ' 1 , B("+1)][B(0) - + m'B (" + 1)] > O B (n ) + ( m 1 [ B (n) +(m'm . 1 )B (4 + 1) ][ B (n) - + - m'B (" + 1)] igitur in casu n imparis fractiones (OVI) decrescent A (n ) A(+2) ( 2. °) ab ad B (1 ) in casu autem n paris cre B(+2)' A(12) A (n + 3 ) scent ab ad B (u ) B ( +2 ) 261. Habemus ( 46)272 N 1 1 1 -R ' м. M.N. q! N. 1 q' + 1 N. R' 1 1 : 1 a' R " R ? 1 R '. 1 R "

• + * +

1 = et caet........ q " + R !" 9' " + R " Praeterea ( 46 : 260) R = M Nq' = A'M — B'N , R " = N.— R'q " N— ( A'M — B'N ) 9 " = - 9" A'M + (g " B ' + 1 ) N - A'M + B'N , R = R' - R " q'" = A'M — B'N — (- ATM + - B'N )," = (q " A " + . A'M – ( q "" B " + B' )N = A'M B ' N R " = R " - R " q " - ATM + B'N — (A " M – BN )q = - (q " A " + A " )M + (q'B'" + B ' )NS - AM + BIN , et caet..... ; generatim A(n )M - B (n ) N = + R (n ) ac proinde ( VII) A(n) N R(n) B (n ) M B (n ) M >

valet signum superius si n est impar , inferius si par. Hinc273 vel < A (n ) N B (0 ) M prout n fuerit impar , vel par : utcumque igitur se par habet numerus n , fractio interjacebit binas M A (n ) B ( n ) A ( +1) B (+1 + 1 ) Et quoniam aucto n et augetur B (n ) , et minuitur Rin ) ; liquet , quo major fit n , eo minus fieri intervallum inter A (n ) B (n ) et N M propterea (260 : 2. °) in prima ( ov) termini decrescent N N in secunda crescent 'versus eamdem M M versus Exempla. 1. • Sit N 2684 M 20929 erunt q' = 2 , R = 2141., 9 " = 1 , R " = 543 , q '" = 3 , 1 R ' ' = 512-, q1V = 1 , R ' = 31., qv = 16 , RV = 16 , q " = 1 , RV 15 , q = 1R1, , qvin = 15 , Rritt = 0 ; ideoque 17 *274 A= AM = 4. , 1 , B = 7 , A " = 1 , B " = 8 , B' " = 31 , Av = 5 , BIV = 39 , Av = 84 , BY = 655 , AVI = 89 , BV = 694 , Avi = 173 , . BYil = 1349. , Avill = 2684 , Bil = 20929 Hinc 2684 1 20929 7+ 1 1 3 1 1 16+ 1 1 1+ 15. binae vero (ov) fient 1 4 7 31 84 173 > 655 1349 > 8 1 et et 2 1 5 89 2684 39 694 20929 Ad haec : quoniam q'" v. gr. înventus est = 3 , ic circo ( 260 : 4. °) inter duos primae seriei terminos 4 2 3 interjici possunt binae fractiones 7 31 15 23 quarum denominatores comprehenduntur denominato ribus 7 et 31 : sed quia q = 1 , et consequenter 5 89 q " 1 = 0 , nulla, proinde inter inter 39 694 jici poterit fractio quae denominatorem habeat com prehensum denominatoribus 39 et 694. H.° Habemus V = 2 + 0 ; denotat , irrationalem numerum < 1. Jam si debeat et275 eonverti e in fractionem continuam , fiet N V 7-2 (V7—2)(V1+ 2) 3 M 1 V7+2 V7 + 2 Quare M V7+2 q ' = 1 ; N 3 N 3 3(V 7 + 1) R ' V7+ 2—3 7—7 ( V7-1XV 7 + 1) V7+ 1 q " = t ; 2 II > 3 11 1 B' 2 V7 + 1 R " V7 + 1-2 , q'" = 1 ; 3, R " 3 V 1 + 2 R " 7 + 1-3 , q " D4; R " 1 V 7 + 2 R®V7+ 2-4 3 M. quae ratio cum sit eadem ac recurrent igitur N quoti jam obtenti 1 , 1 , 1 , 4 quin unquam finem obtineat recursus. Erit propterea

i 1 1 1 47at ititit .. binaeque (ov) dabunt276 2 11 3 17 1 9 20 2 14 31 262. Aequatio (261 : OVI) A (n ) M - B (n )Na + R ( n ) manifeste importat sequentem A ( * ) M - B ( )NEER( +1) ; ex quibus eliminata prius M , dein N , prodibunt [ A (n ) B ( +1) - A ( +1) B (n ) ] N = + A (n ) R (Mt) = A(+ )R(») , [ A (n ) B ( + ) - A ( +1+ ) B (n ) ]M = + B ( n ) R ( +1) + B ( + ) R (n ) , seu (260 : 0 ) N = A ( n ) R ( +1) + A ( +1) (n ) M = B (n ) R ( +2) B ( +1) R (n ) . ' Sed haec hactenus. FINIS PRIMAE PARTIS.5

GEOMETRIA

GENERALES QUAEDAM DE EXTENSIONE TRADUNTUR NOTIONES.

1. Linea est longitudo latitudine carens; determinatae, autem longitudinis termini seu limites dicuntur puncta. Omnium linearum brevissima, quae inter duo puncta duci possunt, vocatur recta; quodsi linea neque sit recta, neque pluribus constet: rectis, appellatur: curva. Rectitudinis indoles ea sane est, ut si bina: unius rectae puncta congruant cum binis alterius, debeant totae ipsae rectae congruere inter se , licet indefinite producantur.

Superficies est longitudo, et latitudo profunditatis expers. Dicitur plana superficies illa, cui potest quaquaversus, aptari linea recta; dicitur curva; quae neque plana est, neque pluribus constat superficiebus planis.

Solidum est extensio triplicem habens dimensionem, longitudinem videlicet, latitudinem, et profunditatem.

2. In sententia de continua materiae extensione superficies, linea, punctum non sunt mera ingenii nostri commenta, sed vere - exsistunt in illa reali materiae extensione tamquam affectiones quaedam. Nequeunt certe divelli ab iis, quibus insunt, haud potest nimirum superficies exsistere seorsim ut velum crassitudinis expers, linea ut filum et crassitie, et latitudine destitutum, punctum ut granulum omni solutum extensione; erit: tamen superficies realis terminus solidi per se exsistentis linea realis terminus superficiei, punctum realis terminus lineae. Porro continuae magnitudinis natura in eo sita est, quod ejus partes sese immediate excipientes communem habeant terminum.

3. Ex ipsa termini seu limitis notione haec manifeste sequuntur. Limes, in ea ratione qua limes est, exsistit indivisibilis; si enim partes haberet, in quas posset dividi, jam interiores partes haud pertinerent, ad limitem, sed ad id, cujus pars extima foret limes. Punctum igitur erit prorsùs indivisibile, linea erit divisibilis secundum Iongitudinem tantummodo, superficies secundum et longitudinem, et latitudinem dumtaxat. Nequit terminus esse termino contiguus; siquidem indivisibilia vel non se tangunt, vel se tangunt secundum se tota, in prima casu a se inyicem distant, in secundo coalescunt in unicum. Superficies itaque superficiei secundum crassitiem, linea lineae secundum latitudinem, punctum puncto secundum longitudinem adhaerere non poterit: describitur quidem linea excursu continuo puncti, at non. additione ac repetitione ejusdem adnexi.

4. Quod binis indivisibilibus terminis continetur, id necesse est dividi possit ac partes habeat: etenim si foret indivisibile ac partium expers, penetraretur atque congrueret cum utrisque limitibus - ipsorum proinde limitum alter non distaret ab altero, sed in unicum coalescerent ambo. Et quo viam facta divisione, inter novum limitem et utrumque e prioribus interjaceat oportet aliquid rursus divisibile, iccirco, eodem recurrente argumento, poterit divisio indefinite, continuari, quin, unquam dexeniatur ad partem, quae sit omnium, minima. Inter hina, igitun puncta debet semper interjacere aliqua linea divisibilis in partes magis magisque minores nullumque poterit esse punctum alteri puncto ita proximum, ut alia propiora non adsint, propterea, com > 17 etsi in quovis determinato intervallo sunt primum et ultimum punctum, nullum tamen erit secundum, nullum penultimum. Id ipsum dicendum de lineis respectu superficiei, cujus sunt termini, et de superficiebus respectu, solidi. Nunc facile admodum intelligitur nulli lineae posse auferri primum, vel ultimum punctum tantummodo; cum enim residua linea adhuc suos haberet terminos, primum vel ultimum ipsius punctum fuisset secundum, vel penultimum ante ablationem, quod est impossibile. Idem obtinebit in quavis alia continua magnitudine; ultimus nempe terminus tantummodo, ant primus haudquaquam poterit deesse, permanentibus omnibus reliquis.

5. Notetur illud: numeri, quatenus sunt collectiones unitatum, saltu quodam procedunt; intermedii siquidem omittuntur, fracti videlicet omnes, et irrationales totum inter binos numeros quoscumque hiatum supplentes; neque enim ulla est distantia in se determinata utcumque parva numeri fracti vel irrationalis a quovis integro, qua minor in aliquo fracto, vel irrationali non inveniatur. Itaque si concipiantur omnes qui haberi possunt numeri sive rationales, sive irrationales, ex iis habebitur series, qua magnitudo quaevis continua poterit repraesentari.

NOTIONES PRABAMBULAE DE ANGULIS, DE TRIANGULIS, ET DE LINEA CIRCULARI

Fig. 1a

6. Inclinatio unius rectae (fig. 1^a) $kE$ ad alteram $kB$ dicitur angulus; punctum $k$, in quo eae concurrunt, appellatur vertex anguli; et angulus non ideo variat quia rectae seu latera $kE,kB$ intelliguntur produci, vel breviari, sed tantum ex eo, quod ipsa $kB,kE$ magis, minusve divaricentur. Liquet, si bini anguli sunt aequales, eos intelligi posse superimpositos alterum alteri ita, ut vertex et latera unius congruant cum vertice et lateribus alterius, et viceversa.

7. Recta Dk incidens in rectam AB ita, ut hinc et inde faciat angulos. $DkA,DkB$ aequales dicitur perpendicularis eidem AB: anguli hujusmodi vocantur recti. Qui angulus est recto minor, ut EkB , is dicitur acutus; qui vero . est recto, major , ut EkA; dicitur obtusus: patet autem fore $EKB+EKA=DKB+DKA$; itaque recta super rectam cadens; aut duos angulos rectos facit , aut duobus rectis, aequales; et generatim quotcumque sint lineae rectae Ek , . Ck , .. super AB. cadentes , atque ad idem punctum k concurrentes , anguli EB , EKC, CkA simul sumpti aequivalebunt duobus rectis. Facile quoque intelligitur illud: si tres rectae Ak , Ek , BÃ concurrunt in idem punctum, k ita ut summa angulorum. AkE , EkB aequet summam duorum rectorum, binae $Ak,Bk$ jacebunt in directum: secus enim, producta v. gr. Ak versas ļ , summae . AkE+EkB , AkE + EkQ, utpote aequivalentes, singulae (altera nempe ex hypothesi, altera ex modo, dictis) duobus rectis, forent aequales; quod

8. Rectae . AB , EE' sese mutuo secantes in puncto k efficiunt angulos EkB , EKA , AkE ' , E'kB quorum bini EKB . et AkE ', itemque EKA et E'KB dicuntur ad verticem oppositi. fieri nequit. Jam (7) EKB + EKA = EKA + AkE', EKA +EKB = EKB + E'kB , 2 et consequenter EkB = -AKE!: , EKA E'KB;; igitur,anguli ad verticem oppositi sunt aequales. Hinc producta perpendiculari: Dk. (7.) versus D ' ,,bini ARD ' , BKD': exsistent recti . ; . et: quotcum que sint lineae. rectae EE!, .CC' , se secantes rectam $AB$ in eodem puncto k , omnes , .quos faciunt , anguli BkE , EkC , CkA , AKE ' simul sumpti aequivalebunt quatuor rectis.

Fig. 2a

9. Triangulum est superficies plana (fig. 2^a) $ABC$ tribus rectis lineis, seu lateribus $AB,BC,CA$ comprehensa; ex ipsa vero lineae rectae notione apertissimum est unumquodque e tribus lateribus minus esse duobus reliquis simul sumptis. Ad haec: e puncto quovis $k$ intra triangulum ductis binis rectis $kB,kC$ , erit $kB+kC<AB+AC$; etenim si recta $mn$ et transit per $k$, et secat latera $AB,AC$ in $m,n$ habebimus $kB<Bm+mk,kC<Cn+nk$: unde $kB+kC<Bm+Cn+mk+nk$; sed $mk+nk=mn<Am+An$; multo magis igitur $kB+kC<Bm+Cn+Am+An$, seu $kB+kC<AB+AC$.

10. Si duo triangula $ABC,A'B'C'$ habuerint vel duo latera aequalia et angulos interceptos ab his lateribus pariter aequales, vel duos angulos aequales et latera interjecta his angulis similiter aequalia, erunt ipsa triangula aequalia etiam quoad reliqua.

Sint 1. $AB=A'B',AC=A'C',A=A'$, triangulum vero $ABC$ intelligatur superimponi triangulo $A'B'C'$ ita ut, vertex $A$ incidat in $A'$, et latus $ABinA'B'$. Ob aequalia latera $AB,A'B'$ punctum $B$ incidet in $B'$, et ab aequalitatem angulorum $A,A'$, ac laterum $AC,A'C'$, sic incidet $AC$ in $A'C'$ (6) ut punctum $C$ cadat in $C'$: triangulum ergo $ABC$ congruet cum triangulo $A'B'C'$, ideoque et caet .

Sint 2. $BC=B'C',B=B',C=C'$, intelligatur autem triangulum $ABC$ superimponi triangulo $A'B'C'$ ita, ut latus $BC$ congruat cum aequali $B'C'$. Ob aequalitatem angulorum $B$ et $B'$, $C$ et $C'$, incident latera $BA,CA$ alterum in $B'A'$, alterum in $C'A'$; cadet igitur punctum $A$ in $A'$, ideoque et caet

11. Angulus C ' (fig. 3^a) trianguli ABG secetur utcumque recta linea, quae ponatur aequalis lateri AC; altero illius l'ectae termino exsistente in C , al ter vel erit alicubi in latere AB v. gr. in a , vel intra triangulum v. gr. in a' , vel extra v. gr. in a" . Jam vel recta secans angulum sit ca , vel Ca', vel Ca " , latus AB trianguli ABC excedet semper lis neam rectam quae B ducitur sive ad a . , sive ad a ' , sive ad a". Quod habeatur AB > aB , id certe non indiget probatione ; restat itaque ostendendum fore univer sim et AB > a'B , et AB > a'B. Quod ad primam ex his duabus inaequalitatibus pertinet , cum ( 9.) sit AB to AC > a'B to a'c , ex hypothesi AC = a'C , erit igitur AB > a'B . Ad secundam vero quod spectat , cum habca mus (9) nB + na > a ' B , nC to nA > AC , prodibit ex etnB + na ' + n + nA > a'B + AC ; sed nB + nA = AB , na ! ton @ = a " C ; et ex hypothesi AC = a'C ; ergo AB > aB ..

12. In duobus triangulis ( fig . 24) ABC , A'B'C ' po nantur latera BCS B'C" , AB = A'B ' ,, AC = A'C ' ; tiangula erunt aequalia etiäm quoad reliqua. Intel ligatur namque triangulum ABC superimponi trian gulo. A'B'C Ha.,, ut BC congruat eum B'C' ; latus quoque AC congruet cum A'C' , et consequenter AB cum A'B ' , totumque ABC cum A'B'C' ; nisi enim AC congrueret cum A'C ' , foret certe ( 11 ) AB vel > , vel < A'B' , quod est contra hypothesim . In. aequalitatibus hactenus demonstratis circa triangula quisque videt angulos , qui inter se con gruunt, esse aequalibus lateribus oppositos , et vice versa . com

13. Recta HII' (fig . 4a) secans in k rectam EE insistat ipsi EE ad perpendiculum , puncta vero B et C in EE aequidistent ab k » rectae AB , AG , jungentes punctum quodvis A perpendicnlaris HH' cum B et i , erunt aequales : patet ex eo ( 7:10. 1. ° ) quod triangula ABK , ACk habeant latus Ak , mune , latera Bk , Ck aequalia , et angulos interceptos AkB , AKC aequales. E converso si AB - AC , et Bk = Ck , erit Ak perpendicularis rectae EE' ; quandoquidem in ea qua sumus hypothesi exsistet ( 12) angulus AKB = AKC , ideoque ( 7) et caet. . . .

14. Si punctum B' in EE distat a (in quo perpendicularis HH' secat EE') magis quam B recta ' AB' major erit quam AB : concipiatur, puncto k120 namque in HH' pars kA' ' = -kA , punctumque A' junctum .cum B., B ”.ope rectarum : A'B , A'B ' ; prodi bit (9 ) AB' + A'B' > AB + B ;. sed (8 : 101. ) AB ' = A'B , AB =-AB ; igitur 2AB' > 2AB , et consequenter AB': > AB.

15. Sumpto nunc. puncto P extra perpendicula rem HH ' , etsi kB = .KC , erit tamen. PB. major quam PC ; nam ( 9 ) PQ + QC > PC , sed : ( 13) QC = QB ; igitur PB > PC. Notetur illud : : cum in triangulo BQC (13: 12) an gulus QCB = QBC , habebitur, in triangulo. BPC an gulus PCB > PBC .

16. Ex dictis (13:14:15) haec manifeste sequuntur 1.9 perpendicularis Ak est minima omnium rectarum quae ex puncto A duci possunt ad rectam EE '.. 2 .. ex dato puncto ad rectam datam nequit duci nisi unica perpendicularis; ideoque binae rectae $HH':H'H'''$ ad perpendiculum insistentes eidem EE nusquam sibi sibi occurrent ,, licet intelligantur in definite productae : infertur quoque , si triangula ( fig . 5a) ` ABC , A'B'C' habent angulos B et B ' re ctos , latera opposita AC et A'C' aequalia , itemque angulos v. gr. A et A' aequales , fore triangula illa aequalia etiam quoad reliqua ; nam superimposito triangulo ABC alteri A'B'C' ita , ut AC congruat cum A'C ', cadet AB in A'B' , punctumque B. in B' , secus binae haberentur perpendiculares ex pụncto C' in rectam A'B' ...

3. ° Ex puncto dato ad rectam datam binae tantum aequales rectae duci queunt; hinc si triangula $ABC,A'B'C'$ habeant angulos B et B' rectos latera opposita AC , A'C ' aequalia itemque duo alia latera v. gr. . AB , A'B ' aequalia . > )13 certe triangula " erunt aequalia et quoad reliqua; superimposito enim triangulo ABC alteri A'B'C' ita , ut AB congruat cum A'B' , ob angulos B. , : B' rectos, et consequenter aequales, cadet BC in B'C '. punctumque C in C ' , aliter plures quam "binae ex A' ad rectam C'B' ... duci possentaequales rectae.

4.° In triangulo habente duo latera aequalia perpendicularis demissa ex vertice anguli intercepti in tertium latus - dividit bifariam et hoc ipsum latus (3º), et angulum illum (12); anguli praeterea appositi iis aequalibus lateribus sunt aequales.

5.° Ubi triangulum habet bina latera inaequalia, majori lateri opponetur major angulus.

6.° Quae latera in triangulo aequalibus opponuntur angulis, ea sunt aequalia; nam si forent inaequalia, certe majori lateri a major - (5°) opponeretur angulus.

7.° Non pluribus opus est ut intelligamus inaequalitatem angulorum in triangulo importare inaequalitatem (6°) laterum ita, ut (5°) angulo majori majus opponatur latus.

17. Linea ABDk (fig . 6^a) , cujus omnia puncta aeque distant a puncto medio C, est certe (1: 16.3.°) curva planamque superficiem comprehendit quae dicitur circulus. Ipsa AKA'HA vocatur circumferentia seu; peripheriā circuli, punctum illud medium appellatur centrum, quaevis peripheriae pars A'zz' arcus , recta A'z' subtendens arcum chorda intercepta arcu et chorda segmentum, recta linea a centro ad punctum quodvis peripheriae ducta radius, area intercepta arcu et binis radiis sector, recta demum per centrum transiens et utrimque ad peri pheriam terminata diameter , quae erit dupla radii : circulum praeterea secat diameter in binos aequales semicirculos ; nam si circa diametrum v . gr. AA ' in telligatur revolvi altera circuli pars ACA KA ut ca dat supra alteram ACA'HA , linea Ak'A congruet cum AHA' , siquidem omnia istarum linearum pun cta aeque distant a centro. area>

18. Aequales sunt bini arcus A.cB., Ba't si - aequalibus subtenduntur chordis $AB,BD$; concipiatur enim triangulum BCD revolvi circa latus seu - radium CB ut cadat supra triangulum ABC , punctum D incidet in A (12 )-, et cum omnia arcuum puncta aeque distent à centro - , arcus Bx'D congruet cum BxA ., ideoque et caet ... o ' . Vice versa ubi arcus AxB , Bx'D exsistunt aequales , aequalibus etiam subtendentur chordis '; facta namque conversione se ctoris Bx'DC circa radiam BC:, arcus Dx'B con gruet cum arcu AxB , siquidem et omnia arcuuñ puncta aeque distant a centro , et ipsi arcus , ponur tur aequalcs ; unde et caet :. Exinde manifestum fit angulos , quorum verti ces in centro , fore aequales si aequalibus subter duntur arcubus , et vice versa (10. 1.)

19. Si bini circuli AB ab commune ' habeant centrum C , et majoris circuli peripheria concipiatur divisa in quotvis aequales partes, ad singulas vero divisiones ducantur radii, hi peripheriamquoque minoris circuli secabunt in partes similiter aequales: nam si quivis sector majoris cirenli intelligatur revolvi circa radium alterum , cum (18) ar cus circuli majoris debeat congruere arcui sibi pro ximo , consequens est ut simul debeat et arcus mi noris circuli arcui sibi proximo congruere ; ideoque et caet.

20. Denotante f numerum quemvis , arcus AB evadat.fo AB ; si arcui AB respondet angulus ad centrum ACB, arcui fo AB respondebit angulus ad centrum fo ACB. Designantibus enim m , n numeros integros, sit

1. ° ff = m ; quia m arcubas , quorum singali ,, respondent totidem anguli , quorum ( 18) singuli =ACB , ideo arcui m .AB respondebit angulus ACB. Fiát 23 ME erit AB -АВ m m m .115 n n ' n n

• AB AB "АВ

sed arcui respondet

ACB ( 1º ) angulus , et m arcubus , quorum sing ali AB ACB totidem anguli , quorum singuli ACB proinde arcui --_. AB respondebit angulus m . R m n n m n 72 ACB ACB. Ponatur 3.078 irratio nalis ; poterunt- m et n ' ita assumi (8 ex parte 1.a ) , ut vergat ad limitem Eu, ideoque ad т AB n n m fiAB , et - ACB ad p.ACB ; atqui (2º ) arcui — AB n * n n V. respondet constanter angulus ACB ; ergo " árcui Jl. . AB respondebit angulus Melo ACB. 21. Arcus igitur et respondentes angulos 'dime tiendo , illos per certum aliquem arcum gr . AB habitum pro unitate , hos per angulum respon dentem ACB habitum similiter pro unitate , quam numericam expressionem assequimur pro arcubus , eamdem assequemur pro respectivis angulis que hinc ' est quod in arcu intercepto inter anguli latera , et centrum habente in ejus vertice , soleat quoque constitui mensura ipsius anguli , quicumque caeteroquin sit ( 19) radius illius arcus. Concipiunt autem Geometrae peripheriam circuli divisam in 360 partes aequales , quae vocantur gradus ; singulos gradus in 60 minuta prima ; quodlibet minutum pri mum in 60 secunda , et ita porro : quibus positis , at81: 16 dicitur angulus esse ' tot graduum ,'minatorum , quot continentur in respondente arcu angulus

ita que ( 7 :-8) rectus erit

90 graduum

, acutus pau ciorum , obtusus . plurium . Ad minuta prima , se cunda -o r . designanda superimponuntur numeris quae dam lineolae ad

gradus vero denotandos superimpo nitur o. Sic per 45°. .7'.-15" -20 " . exprimuntur 45 gradus , 7 minuta prima , 15 secunda , 20 tertia .

22. In Geometria elementari non aliae considerantur lineae quam recta , et circularis ; constat au tem illam duci ope regulae , hanc describi ope cir cini"; et quidquid regula et circino perficitur , sive ducendo rectam a puncto ad punctum , sive rectam terminatam producendo ita ut maneat recta sive circulum describendo ex dato puncto tamquam centro et dato intervallo tamquam radio , sive auferendo e recta majore partem aequalem minori , quid quid inquam sic perficitur , dicetur geometrice : fa

Exempla.

1.º Datum angulum BAC (fig.7^a) secare in duas partes aequales. In lateribus anguli sume circino aequales AP' AQ' , tum centris P , Q et radio eodem describe duos circulos se mutao secantes in A ' , due ex A ad A' rectam AA' ; haee angulum bisecabit : ductis enim A'P' , A'Q ', triangula AP'A' , AQ'A ' manifeste habebunt latera AP = AQ' , A'P ' = A'Q ' , latusque AA' commune ;ideoque ( 12 ) angulum ' P'AA' = Q'AA'.

II.° Rectam determinatam P'Q' secare bifariam . Centris P ' , Q' et radio eodem describantur duo circuli se mutuo secantes v. in A ; ductis AP' . , AQ' , et secto bifariam angulo P'AQ (I. ) per rectam AÈ , haec datam P'Q' bisecabit ; nam in triangulis ctum .17 . 2 ! AP'E ; AQ'E 'latus AP' = AQ'; AE commune , et an gulus, EAP = EAQ' ; . proinde ( 10. .1.9) P'E = Q'E .

III.. E dato puncto E : in recta PQ. perpendi cularem erigere. Circino sume EP = EQ' ; tum centris P !, D et radio eodem . binos, describe circulos se mutuo se cantes in 4A , , ex. E ad A duc rectam EA`; haec. erit perpendicularis quaesita : quando enim in triangu lis AP'E , AQ'E habemus AP = AQ', EP' = E et- latus AE commune , erit ( 12) : angulus AEP' = AEQ! : , ideoque (7 ) et caet ...

IV . Exidato extra , rectam indefinitam PQ pun cto A demittere . perpendicularem in ipsam PQ.. Ex A tamquam centro describe circulum , qui secet- PQ in P ! et. Q ' ; tum divide (11.9) P'Q' bifariam in E ;, et dicatur. AE ; haec erit perpendicularis quaesita. Demonstratio est eadem ac superior (III. ) . .

V.º. Ad punctum Hdatae rectae ER' facere an gulum aequalem dato angulo · ACD ( fig.:6.9 ).., Centris C et . H (fig. 6.a.7.a) , et quovis radio , modo sit idem utrobique , describe arcum abdoc currentem lateribus CA , CD in a .et d ; itemque arcum kk. indefinite ; tum centro -k ! et intervallo da tamquam radio describe arcum ut abscindas arcum k'k = abd ( 18 )... Ducta recta HKR., erit ( 18) angulus RHR' =ACD..

VI.º. Super data recta triangulum construere, cujusás vel omnia latera, vel duo tantum (quae nimirum rectae datae insistunt) sint, aequalia. Facto centro in utroque extremo datae rectae et: radio qui aequet rectam ipsam in primo casu, excedat (9). ipsius dimidium in secundo , describántur duo circuli , et ab extremis illis ad circulorum intersectiones ducantur binae rectae: exsurgent inde tam in primo quam in secundo casu bina triangula, quae duplicem suppeditabunt problematis solutionem.

Triangulum dicitur aequilaterum si habet omnia latera aequalia; isoscele si duo tantum habet aequalia latera; scalenum si omnia latera habet inaequalia. Ad haec: basis trianguli potest esse quodlibet latus; assumpto autem aliquo ex tribus lateribus pro basi, vertex anguli ei oppositi dicetur vertex trianguli.

DE LINEIS RECTIS PARALLELIS ET PROPORTIONALIBUS A parallelae.

23. Rectae lineae parallefae sunt , quae in el dem plano exsistentes nuspiam sibi occurrunt , etsi utrimque intelligantur indefinite productae. Binae igitur rectae HH ", UH " ( fig. 4a) , ad perpendiculum insistentes eidem EE ' , erunt ( 16.2. °).

24. Rectarum Bb , Aa ( fig. 8.a) altera ponatur insistere ad perpendiculum rectae. Az , altera obli que , idest angulos efficere hinc et inde cum Az mi nime rectos : si angulus aAz est acutus , poterunt An , Bb ita produci supra Az , ut obliqua Aa de mum occurrat perpendiculari Bb , eamque seceta E puncto A in Az excitętur perpendicularis A.x , quae determinatum angulum continebit cum Aa ; li cebit sane istum angulum sibi toties adjectum con cipere , donec inde obtusus exsurgat angulus xAu= n . xAa , denotante n certum aliquem numerum in tegrum ; licebit quoque rectam Az sic producere , ut in ea possint accipi' n intervalla aequalia AB , BC , CD QR , et ex punctis C , D , ... Q , R erigi Cc , Dd , ... 09. , Rr perpendiculares ipsi Az. Jam spatia « ABb , bBCc , cCDd , ... ita qui bunt alterum alteri superimponi , ut ( 6 : 7) sin gula congruaột singulis , quantumvis caeteroquin per 1 ..19

S 2. eamque secabit. pendiculares" Ax , Bb , Ce , ..... intelligantur aeque productae , et idipsum valet de spatiis indefinitis & Aa , aAy , :: . Exhibitis igitur per s , S , s ' , spatiis indefinitis. xAa , xAu ,, ABb XARr , ha bebimus S S = ns , S' =ns' , ideoque S est autem S > S' ; ergo et s < s' ; . quod cum ne cessario importet excursum obliquae Aa ... ultra perpendicularem Bb ... , obliqua Aa Occurret de mumperpendiculari Bb Si daretur obliqua Aa' continens cum Az.ob tusum angulum a'Az, producta Aa' versus a" in fra Az , angulus a "Az foret, acutus ( ? ) ; proinde, concursus obliquae et perpendicularis haberetur in fra Az.

25. Ubi recta DD ' ( fig . 9.4) ad perpendiculum . insistit binarum parallelarum EE' , HH' alteri EE' , insistet: quoque ad perpendiculum alteri. HH ' ; secus produeta DD's in Ket K" , vel angulus HDK , vel H'DK. foret acutus , ideoque ( 24) HH' occurreret demum rectae EE'., quod fieri nequit (23) Nunc. circa parallelas EE', HH'haec facile sta biliuntur. 1.° Ducta quavis recta BB', quae secet EE" , HH! in A , A' , erunt aequales anguli BA'E . B’AH' , qui dicuntur alterni, itemque BA'E '., B'AH , nam secta bifariam AA' ( 22. II. :) in . C , et ex C du cto perpendiculo CD' in EE' (22. IV . ) , eoque pro ducto in D , habebunt triangula ACD , A'CD' angu los in D , D' rectos , latera opposita. AC , AC ae qualia , angulosque ad verticem C oppositos pariter aequales (8 ) ; igitur ( 16. 2. ) angulus CÀD GA'D ' seu B'AH = -BÀ'E ; et quoniam (7). B'AH ' + B'AHBA'E + BA'E ' , iccirco etiam B'AH = BA'E '. 2.° Angulus externus.20 > BAH: aequat. internum , oppositum , BA'E' , itemque. BAH ! = BA'E '; etenim . ( 8) BAH = B'AH ' , et BAH = B'AH , ideoque ( 1:0) et caet. • ... 3.º Anguli interni et ad eamdem partem positi. B'AH ,, BA'E' simul sumpti aequantur duobus rectis , et id ipsum , dicen dum , de . B'AH , BA'E ';: nam . (7:21) BAH': + B'AH! = 180 ° = BAH + B'AH ,, ideoque ( 2. ) et caeta...

26. Si recta. BB' incidens. in binas rectas EE' HH' efficit. angulos, alternos.: B'AH' , BA'E aequales erunt EE" , HH! parallelaes secta , namque AA bi fariam , in C ,, et ex C : demisso , perpendiculo CD in HH! ,, eoque. producto donec . occurrat EE! in . D ' triangula .DCA , D'CA'. habebunt latus AC = AC et angulos ACD : = A'CD' , CAD = CA'D ' ; erit igi tur ( 10. 2. ) angulus . ADC = -A'D'C ; est autem ADC = 90 ° , ergo , ct A'D'C = 90 ° , ideoque ( 23) EE' HH! exsistent parallelae. Ad hoc , si angulus exter nus BAHaequalis est interno et opposito BA'D ' ,. vel interni et, ad eamdem , partem . BA'E ', B’AH duobus rectis aequantur , erunt: ( 8 : 7 ) et alterni B'AH ' , BAE aequales , ac proinde. EE , HH' parallelae. Exinde infertur ratio ducendi per datum punctum A rectam , AH' parallelam datae rectae. EE '. Ex quo vis hujus puncto. A duc rectam . A'B quae transeat per A ,, tum fac (22. V. ) angulum , H'AA ' = BA'E ; erit AH' parallela ipsi EE' .

27. Si inter parallelas rectas EE' , HH intelli gantur constitutae. binae aliae similiter parallelae . AA , PP' , quae illis occurrant in A ,, A ' , P , P' ,, erunt AASPP', AP = A'P' , et anguli PAA = PP'A ' , APP = AAP!';; .21 Ducta enim 'recta A'P , 'triangula AA'P , APP! praeter · latus A'P commune habebunt insuper (25. 1.9) angulos A'PA= P'A'P , AA'P = P'PA; proinde ( 10. 2. et caet. Viceversa .positis AA — PP' , AP = A'P', erunt AA' et PP' inter se parallelae , itemque AP et A'P' ; eteniın cum triangula A'AP , A'P'P praetei aequalia latera AA' et P'P , AP et A'P' habeant la tus A'P commune erit ( 12 ) angulus APA = PAP' , et AAP = APP', ideoque (26) et caet. s . ' . Quoniam perpendicula quàe'ex punctis datae rectae ducuntur ad aliam rectam illi parallelam sunt et ipsa inter se parallela (23), erunt igitur etiam aequalia. Jam distantia 'puncti dati a recta data con stituitur in perpendiculo , quod ex eo puncto demit titur in ipsam rectam ; binae itaque rectae parallelae distantiam mutuam servabunt constanter eamdem . Ad haec si duae reetae AP , A'P' sunt aequales et parallelae , earumque 'extrema jungantur binis AA' , PP'; hae quoque erunt aequales'et parallelae ; 'nam ducta A'P , triangula PAA " , PP'A' habebunt latus PA' commune , PA = P'A ' “ et (25. 1.º) angulum APA' = PAP! ; propterea ( 10. 1.° 26 ) et caet....

28. Patet nunc illud: in quadrilatero (est superficies plana quatuor lineis rectis seu lateribus comprehensa) ubi ex hisce tribus, quod nempe utrumque par oppositorum laterum servet (paralleli quod utrumque servet aequalitatem, quod alterum et parallelis hum , et aequalitatem servet , ubi inquam ex hisce tribus habetur unum, habebuntur et reliqua duo. Quadrilaterum, cujus bina 'opposita latera AA' et PP', AP ' et A'P' parallela sunt, smum > dicitur parallelogrammum; cujusvis autem quadrilateri diameter seu diagonalis est recta linea per angulos oppositos ducta. Itaque

1. ° in omni parallelogrammo latera, et anguli oppositi sunt aequales.

2.° totum parallelogrammum bifariam dividitur a diametro.

3.° in quovis parallelogrammo binae diagonales bifariam se mutuo secant.

4. altera e diagonalibus aequabitur alteri, si parallelogrammum habet latera ad rectos angulos juncta.

5.0 in parallelogrammo si per quodvis diagonalis punctum ducuntur binae rectae lateribus parallelae, dividetur parallelogrammum in quatuor parallelogramma, per quorum bina iransibit diagonalis; ad reliqua vero duo quod spectat, ea erunt semper aequalia; siquidem per diagonalem dividitur integrum parallelogrammum (2º) in bina triangula aequalia, quibus singulis ubi detrahuntur dimidia parallelogrammorum, per quae transit diagonalis., relinquentur illa duo pariter aequalia. Parallelogrammum , cujus omnia latera et aequalia sunt, et ad rectos angulos, juncta, vocatur quadratum; appellatur simpliciter rectangulum si angulos quidem habet rectos, sed duo latera opposita majora quam reliqua duo; quod si aequalia quidem sint vel omnia, vel dumtaxat latera opposita, sed minime constituta ad angulos rectos, parallelogrammum in primo casu dicitur rhombus, in secundo rhomboides. Superficies plana pluribus quam quatuor late ribus undique terminata (fig .-18.a) dicitur generatim polygonum , et speciatim pentagonum, hexagonum si quinque, sex, ... lateribus circumscribitur. Rectae , quac et aliae sunt a polygoni lateribus, et si versos ejus angulos conjungunt, dicuntur diago nales.

29. Quoties duae rectae HH' . , PP' (fig. 10.a) erunt parallelae eidem rectae EE ' , exsistent quoque pa rallelae inter se ; nam ducta BB' illis occurrente in A., A' , Q , erit ( 25. 1. ' ) angulus A'AH' = AA'E , пит 923 et ( 25. 2. ° ) ÅA'E = AQP ; hinc A'AH' = AQP, ideo que ( 26) et caet. ... 30. Binae rectae AB , AC (fig . 11.0) concurrentes in punctum aliquod A , et parallelae binis aliis A'B' ; A'C' faciunt angulos ad easdem partes aequales an gulis qui ab his continentur ; producta enim illarum altera v . gr. AB , donec occurrat rectae A'Cin E , erit ( 25. 2.) angulus BACEAEG' , et AEC = B'A'C '; igitur BAC=BA'C ' , ideoque (7 : 8 ) etiam BAD = B'A'D ', DAE = D'A'E' , CAE C'A'E '. 31. Rectae PP' , PP" (fig . 12.a ) ad quemvis angu lum P constitutae secentur parallelis rectis AA ', BB', CC' , DD' , ... , et alteri PP ' ponantur abscindi par tes aequales PA , AB , BC , CD , ... ; etiam alteri PP" abscindentur aequales partes PA' , A'B' , B'C ' , C'D' , ... ; ductis namque A'a' , B'b ' , 'c' pa rallelis rectae PP' , habebimus ( 30 : 25. 2. ° ) angulos PAA' A'a'B' B'B'C ' APA ' A'B' U'B'C ' = ii . ad haec ( 27 ) , A'a' = AB = AP , B'b' = BC , C'c ' = CĐ , et caet. ... , et consequenter AP = A'a ' = B'Í ' C ' = .... ; igitur ( 10. 2.° ) PA' = A'B' - B'C'C'D ' = Hinc discimus rectam datam Au (fig . 8.9) in quot tis aequales partes dividere. Cum Au ad quemvis an gulum constitue rectam indefinitam Az , in qua sua ine cireino tot arbitrarias aequalesque partesAB , BC, CD , . .. QR , in quot proponitur dividenda Au , duc rectam ex u ad R , eique parallelas ex B , C , ... Q ; eae manifeste secabunt Au et caet. 32. Rectae PP' , PP" ( fig. 13a) ad angulum quem vis P constitutae utcumque secantur binis rcctis pa rallelis AA ' , LL' , erit semper PL PL PL : PA = PL' : PA' seu PA PA'24

PL

Ratio " exhibeatur per ll , denotante peanu PA merum quemvis : jam designantibus::m , in numeros integros , ponatur 1. um; valori. PLM.PA • respondebit (31). PL' = m . PAP , unde PL · PL' -PA PAY Fiat.2.0.4 ==-.wut sit n PA PA PL = ከኔ ... PA n im on un in rn i valori : PL: PA "respondebit ( 1. ) m . n2 IPA ' PL:: m PA ; m in n

PA ',

un . n n Im n propterea .PL PL' PA PA Sit 3.0 p irrationalis ut habeatur PL = HPA ; i poterunt m - etsin ita'assumi (8-ex pol 1.4) , ut vergat ad limitem = p , ideoque - PA ad.MPA ," et m 2 m 4 n In m PA ad p .. PA!, hinci vero ( 2.9 ); PL = H.PA ', et n PL

PL PA PA Viceversa si binae 'AA' , : LL' ita secant" binas PP , PP" , ut sit25 PA'Y PL PL PA

• erunt ‘AA , LL' parallelae ; secus re puncto L duci

posset (26 ) recta linea et ; parallela rectae AA' ,' et secans rectam . PP" in puncto , . v. gr . - R., alio ab L '; inde . vero > PA PL PR PA " ideoque PR- PL' ; quod fieri nequit. “ 33. Facile nunc solvitur problema , in quo , datis tribus rectis , quaeritur quarta proportionalis. . Fiat quivis angulus: D'PP" ,' et in altero e duobus lateribus v . gr . PP" : sumantur PL' , ' PQ' duabus, primis datis aequales., in altero autem sumatur PQ-aequalis ter tiae , tum ducta QQ' , ducatur ex L' recta L'L ipsi QQ' parallela : " erit (32) . PL quarta quaesita. Quod si proponatur dividenda recta. PQ in data ratione, sumes PL' , L'Q' aequales terminis rationis datae , et rursus ducta QQ', 'eique , parallela L'L ex puneto L' , habebis ( 32) PL : LQ = PL ':: L'Q. 34. Notetur illud : si PP ' , PP " secantur tribus pa rallelis AA?, LL ' , QQ' , 'cum sint ( 32) PL : PA EPL : PA' , PQ : PL-= PQ : PL' , erunt quoque ( 196 ex p. 1.a ) PL - PA : PL = PL' PA : PL' , PQ - PL : PL = PQ . PL' : PL' , seu AL : PL- = 'A'L ': PL' , QL : PL = Q'L !: PL'. Hinc AL PL QL AL' PL O'Leorum 35. In triangulo tres anguli simul sumpti efficiunt duos rectos. Duc enim per verticem P trianguli PQQ rectam HH' parallelam basi Q ', habebis (25. 1.° ) angulum D'QP=HPQ , et QO'P = H'PQ' ; sed ( 7 ) HPQ + QPQ' + H'PQ = 180 ° ; ergo et caet. ... Exinde haec manifeste inferuntur. 1. ° In trian gulo unicus potest esse angulus vel obtusus , vel re ctus. 2. ° Datis in triangulo duobus angulis A , B ( fig . 2.a) , aut summa A + B , illico innotescet tertius C = 180° - (A + B ). 3. ° Cum in triangulo isoscele angulus aequis lateribus comprehensus est rectus , reliqui ( 16.4 °) erunt semirecti. 4.° Quoniam triangulum aequilaterum aequales habet angulos ( 16. 1800 4. °) , iccirco exsistent singuli 60°. 5. Si 3 e puncto A ( fig . 4.a) ducatur ad EE obliqua AB , sitque angulus ABE ' < 90 ° , et consequenter ABE > 90° , perpendiculum ex eodem puncto A demissum in ipsamEE' cadet versus acutum angulum ABE' ; nam si caderet versus obtusum ABE , exsurgeret trian gulum , cujus tres anguli simul suinpti excederent bi nos rectos. 6. ° Si e terminis B et C ( fig. 2.a) lateris BC junguntur duae rectae Bk , Ck intrà triangulum BAC , erit angulus k major angulo A ; summa nam que angulorum trianguli BKC aequat summam angu lorum trianguli BAC ; est autem angulus kBC < ABC , et kCB < XCB , igitur k > A. 7.° Quoniam polygo num DEHA ... ( fig. 18.r) , cujus latera numero n , manifeste dividitur per diagonales DH , DA , ... in n-2 triangula , iccirco si proponantur in summam col ligendi omnes interni anguli CDE , DEH ,...erit illa CDE + DEH +... ( n - 2) 180° ; et cum quivis internus cum suo externo aequeturduohus rectis , erit omnium externorum summa n . 180 ° -in -2) 180 ° 360 °. 8 °. Producto quo vis latere v . gr. PQ ( fig. 134) trianguli Q'PQ , an gulus externas P'QQ' aequabitur duobus internis op positis QPQ , QO'P simul sumptis ; quando enim habemus ( 7 ) P'QQ + PQQ = 180 °=PQQ' + QPQP + QO'P , erit sane P'QQ = QPQ' + QO'P . Triangulum dicitur acutangulum si omnes angir los habet acutos , rectangulum si unum habet angu lum rectum , obtusangulum si unum habet obtusum ; triangula acutangula et obtusangula communi etiam no mine vocantur obliquangula ; in triangulo insuper re ctangulo latus oppositum angulo recto vocatur hypo tenusa , reliqua duo catheti. 36. Si recta AD fig: 14.a) dividit bifariam angu lum A in triangulo ABC , dividet latus oppositum BC in ratione aliorum laterum AB , AC . Etenim producto BA donec fiat AE = AC , ducta EC , erit ( 16. 4.° ) angulus AEC = ACE , ac proinde ( 35. 89) BAC = 2. AEC seu 2.BAD = 2.AEC , et BAD = AEC. Rectae itaque ( 26) AD , EC erunt parallelae ; quocirca ( 34 ) BD : DC = BA : AE (= AC). 37. In triangulis ABC , A'B'C' ( fig . 15.a ) aequales habentibus angulos A = A' , B =B' , G = C latera aequalibus angulis opposita sunt proportionalia. Sumantur enim in lateribus AB, AC rectae Ab = A'B ', Ac=A'C ' , et ducatur bc ; erunt ( 10. 1.°) bc = B'C' , Abc = B = B , Acb = C = C , et28 &

ideoque (26) bc , ' BC parallelae , ' et consequenter (32) АВ Ab A'B' ' AG Ac A'C simili modo sumptis Ba & B'A ' , Bk = ' B'C ', et ducka ak , assequemur AB Ba AB' BC Bk B'C' ex quibus manifeste profluit AC AC BC B'C '. Viceversa posita laterum proportionalitate , inde necessario sequitur angulorum aequalitas ; nam sum pta Ab = A'B'yet ducta'bc lateri BC.parallela, trian gula Abc , ABC & praeter angulum communem A ha bebunt insuper (25. 2. °) angulos cbA B , bA = C , unde A6 AB A'B ' Ab . AB A'B' Ac AC AC bc BC B'C' et quia Ab = A'B ', ideo etiam Ac = A'C' , bc = B'C ', et consequenter ( 12) anguli A' =A , B' = cbA = B , C'EbA = C . Triangula similia dicuntur , quorum omnes an guli aequales sunt singuli singulis , ac proinde latera opposita aequalibus angulis ( vocantur homologa) pro portionalia. 38. Si in triangulis "ABC , A'B'C ' fuerint latera AB , AC proportionalia lateribus A'B' , A'C ', et angu li intercepti A , A ' aequales , triangula erunt similia. Fiat enim Abs A'B' , ducaturque bc lateri BC paral lela , erit (32)29 Ab AC : B' , AB A'B' Ac AC et: quoniam Ab = A'B ' ,,erit. quoque. Ac = A'C' , hinc (10., 1. ), anguli) B = cbA = B , C SbA = C ,. ideoque (37) et caet. , ... 39. Si in triangulis ABC ... A'B'C ' ( fig . 16.a ) latera AB et A'B' , AC et A'C' . , . BC et B'C ' sunt sibi mu tuo perpendicularia , triangula erunt similia. Ducan tur enim ex , B.rectae Ba., Bc , altera lateri A'B' pa rallela , altera-- lateri B'C ' , itemque ex C.binae Ca' , Cb , altera lateri C'A , altera Iateri C'B ' parallela ; , erunt anguli, ABa = 90° PCB , BCB =90º =ACa' , unde aBc = CBA, a'Cb = -ACB ;sed ( 30) Be = B' a'cb=C' , et consequenter B = CBA , C ' = ACB ; er go (35. 2.0) et caete ,.,. , o.um 40. In triangulo rectangulo CBA ( fig . 17. ) si duci tur ex vertice anguli recti A in hypotenusam BC per pendiculum AE, exsurgent duo triangula BEA , CEA similia ipsi CBA , ideoque et inter se. Nam anguli BAC , AEB , AEC sunt aequales utpote recti , anguli vero B , C communes , alter triangulis BEA , CBA alter triangulis CEA , CBA' ; iccirco ( 35. 2. ° , etiam BAE = C , ČAE = B , unde et caet.... Hinc 1.0 BE : AE = AE : CE ; perpendiculum videlicet AE demissum ex vertice an guli recti in hypotenusam BC est medium proportio nale (194 , ex p. 1.2) geometricum inter segmenta BE , CE , in quae dividitur BC ab ipso AE. 2. BE : AB = AB : BC , CE : AC = AC : BC ; uterque nimirum cathetus est medius proportionalis,30 2 2 2 geometricus inter segmentum adjacens et hypotenu sam.. 3. ° BE .BC = AB”, CE .BC = AC " ; quibus in summam collectis , BC (BE + CE ) = AB + AC seu BC = AB ++ AC ; quadratum scilicet ex valore numerico hypotenusae aequatur summae quadratorum ex numericis catheto rum valoribus. 4.0 Si latera: AB , AC ponuntur aequa , exsurget ВС BC = 2AB , ét = V2; AB proinde (67 et 68 ex po 10%) in triangulo rectangulo et isoscele nulla est communis mensura hypotenusae et catheti . 5. Si ex puncto A (fig. 4.a) ad EE! praeter perpendiculum Ak ducantur obliquae AB , AC , AB ut prodeant bina triangula ABC , ABB', alterum acu tangulum , alterum obtusangulum in B , erit ( 3.° ) AB' = Bk + Ak (BC -Ck )" + AC * ( B'k —BB')' + AB ' _B'K ", unde ( 109 ex p . 1.a) lia , Ck ' , 1 AC + BC 2BC . Ck , AB = = { AB +BB ** 2BB ' . B'k ; item (3 ° ) AB " = B'k" + Ak (BB' + Bk)* + AB* — Bk " , ideoque AB ' AB + BB?” + 2BB '. Bk ; 231 in triangulo videlicet haud rectangulo quadratum ex valore numerico cujusvis lateris erit minus , vel ma jus quam summa quadratorum e numericis reliquo rum laterum valoribus , prout id latus opponitur acr to , vel obtuso angnlo ; defectus autem , vel excessus exhibebitur per duplum factum ex valore numerico illius e reliquis lateribus , ad quod ducitur perpen diculum , in distantiam ipsius perpendiculi a vertice praefati anguli. 41. Similia quadrilatera , et generatim similia po lygona DEH ..., D'E'H ' ... ( fig. 18.a) dicuntur , quae et singulos angulos singulis aequales habent A = A' , B = B' , C = C , et caeta ... , et latera homologa ( idest similiter posita ) proportio nalia AB : AB BC : B'C ' CD : C'D ' = ... Haec interim circa ejusmodi polygona facile sta biliuntur: 1. ° Quoniam ex hypothesi AB BC CD A'B' B'G' C'D' iccirco ( 197 ex pe tor) AB CD te AB BC A'B' +B'C' to C'D' + A'B' B'C ' polygonorum videlicet similium perimetri sunt inter se ut bina quaevis homologa latera. 2.° Ductis DH , DA ,... , D'H' , D'A' , ... triangula DEH , D'E'H ' erunt ( 38 ) similia ; cum igitur angulus DHE = D'H'E ', erit angulus DHA = D'H'A ' : habemus insuper HD EH АН H'D ' E'H' A'H' ergo etiam (38) triangula AHD , A'H'D' erunt si > + BC 532 milia , et ita porro : polygona nimirum similia in eumdem similium triangulorum numerum dividi pos sunt. 3. ° Eadem ratione , si . licet polygona in si milia triangula. eodem numero eodemque ordine par tiri , ostenditur. ipsa polygona fore:similia . 4... Si su per data recta - DE construendum sit polygonum : si mile dato . D'E'H ' ...... similiterque positum , resol vetur D'E'H ' . ...in triangula .... , tum super - da ta DE fient (22.V ..) anguli i , e aequales angulis E'D'H' , D'EH' ; : coibunt (35:25. 3. ) latera in H ; rursus : super DH fient anguli h , kiaequales angulis . H'DIA ', A'HD!; coibunt latera in A , et ita porro : triangula HED , HDA ..... erunt similia ( 35 ... 2. ) triangulis H'E'D!, H'D'A' ,.... similiterque: po sita ; ideo: ( 3. ) et caet. ..... , 5... in parallelogrammo și per quodvis. diagonalis punctum ducuntur binae rectae lateribus parallelae ut dividatur illud in qua tuor parallelogramma (28. 5. ) ,, ea , per quae tran sit diagonalis , erunt, et inter se similia , et: tati ; idipsum valebit si , permanentibus caeteris , - paralle logramma non communem , sed angulum habeant ad verticem oppositum ; vicissim si bina parallelogram ma et sunt similia , et communem habent angulum , congruuntque directiones homologorum laterum , qui bus intercipitur communis angulus , . vertices angulo- . rum ipsi angulo communi: oppositorum . jacebunt in : eadem recta , cum qua congruent diagonalium dire ctiones.; quarum assertionum facilis est ac prompta demonstratio ex triangulorum similitudine. 6. in po lygonis: similibus si e correspondentibus. laterum . ho-. mologorum punctis ducuntur rectae in iisdem angulis cum iis lateribus , terminabuntur illae ad puncta pa riter correspondentia laterum homologorum , eruntque ipsis homologis lateribus proportionales : id quoque facile ostenditur ope similitudinis triangulorum . 7. ° polygonum regulare dicitur , quod et omnes angulos aequales habet , et omnia latera pariter aequalia ::33 histic si latera , et consequenter anguli sunt numero no hi exprimentur : singuli (35. - 1. °) per . - 2 2 180° — 1 .. n - 180 ° , quaecumque caeteroquin sit illorum longitudo. Jam : non pluribus opus est . ut intelligamus polygona re gularia , in quibus idem est n , fore similia.

DE COMPARATIONE AREARUM QUAE RECTIS, CIRCUMSCRIBUNTUR LINEIS.

42. Aequales sunt , areae ,rectangulares BCLK boda ( fig . 19.a; habentes aequalia latera BC et be ; . CL et cd . Nam si rectangulum bcdå intelligatur su perimponi rectangulo : BCLK . ila , ut latus.ed : con gruat cnim CL , congruent sane ( 6 : 28. 1. inter se latera quoque cb et CB, da et LK ; ideoque et caet. ...

43. Exhibitis per S, s rectangularibus areis ABCD , abcd ,, si altitudines BC , .bc ponunturi aequales ;., erunt S , s. ut bases DC , dc , idest.6 . S DC de bus m DC : Exprimat enim rationem et - denotantis de in numeros integros ; ponatur. 1.9i| iem , at ! sit DC = m.dc ; licebit (31 ) partiri DC in m par tes , quarum singulae dc ; et excitatis ( 22. III. ) perpendiculis ex unaquaque divisione super DC , di, videtur S in m partes , quarum ( 42) singulae = s , ideoque S. = m.5 , , et consequenter S : DC : dc PARS II:. 334 Fiat: 2. H = ,, ut sit n . m m dc do . DC = dc. n . n n n n dc valori DC Em respondebit ( 1. ) n m Sm m en n m propterea S DC dc Sit 3.0 p irrationalis , ut habeatur. DC = fhado : poterunt met n ita assumi, ut vergat ad limi . aisisi se tem = .f ; ideoque . dc , et pos ; hinc vero (2: ) S = feos , et S -DC n m de ad fole ad n S de

44. Habito, latere dc pro unitate ad longitudines dimetiendas, et assumpto bc :( = BC) =dc= 1 , s. fiet quadratum (28) , eritque SCD.Si et spectato s tamquam unitate ad areas dimetiendas haec circa mensuram arearum facile constituentur,

1.° Productis CB , DA donec habeantur rectae CF , DE aequales eidem.CD , ducta EF , et expres so per quadrato (27:28) CDEF lateris CD , exsi stet (43)35 CF CF = CD , S. CB unde Q = CD.Ş = CD. .S CD "; quodlibet nimirum -quadratum : Q aequatur : facto ex si (= - 1 ) in . 2.am potentiam illius numeri, per quem exprimitur latus ipsius. Q.

2.° Denotante R. rectangularem aream : DEFC ( fig . 20.a ), si: latera minora DE ; CF. producantur : donec fiat DA DG =CB , ducaturque. AB ut prodeat quadratum (1. ') ABCD = CD , crit::(43) R : CF CF. CB unde R ECD , CF ; ; CD , CD? ܀ obtinetur:-videlicet area rectangularis R : multiplicar- do s ( = 1 ) per factum ex numericis - baseos CD et altitudinis CF valoribus. .

3 .... In parallelogrammo DKHC ducantur DE CF perpendiculares: basi CD ut habeatur - ( 27.: 28). re ctangulum DEFC : quoniam CH = DK , CF = DE , an gulus (30 ) FCH = EDK , et consequenter ( 10. 1. ) triangulum FHC = EKD, iccirco FHC + FKDGSEKDFKDC : seu DKHG = DEFC ; et exhibito parallelogrammo per P , erit (2.9) P = CD.CF ; perpendiculum ex puncto quovis lateris HK demissum in basim CD dicitur altitudo parallelogrammi..36

4.° In triangulo quocumque DKC ducatur er vertice K recta KH parallela basi CD , et ex C re cta CH parallela lateri DK , ut habeatur parallelo grammum DKHC ; erit (28. 22 °) DKHC DKCS 2 Quare , designato triangulo per T , et demisso er K in CD perpendiculo. KL (vocatur altitudo triangu li) , exsistet ( 3.9) CD . KL T 2 ADB 2

5.° In quadrilatero ABCD (fig . 21,4) , cujus bi na latera AB , CD sunt parallela (dicitur trapezium ) si ex B et D ducuntur BL et DK , altera perpendi cularis basi CD , altera lateri opposito AB producto , erit (27) BLDK ; et ducta diametro BD, habebisen mus triangula ( 4 ) AB , BL DC . BŁ DCB 2 2 unde area BL ABCD (AB +DC). 2

6.• Universim aream cujusvis polygoni in plura divisam triangula (fig. 18.a) licebit metiri : omnium siquidem triangulorum ( 4. ) summa praebebit totius. polygoni dimensionem .

45. Quibus ita constitutis , nonnulla subjungimus quae inde profluunt

1.° in omni triangulo rectangulo quadratum hypotenusae aequatur (44. 1.° 40. 3.°)* ca thetorum quadratis simul sumptis.

2.° si quatuor rectae fuerint proportionales , rectangulum sub extremis aequabitur ( 44. 2° ; item 194, ex po 1.4) rectangulo3 2 sub mediis ; quod si tres fuerint rectae proportiona les , rectangulum sub extremis aequabitur (44. 1. ) quadrato mediae.

3.° designantibus B et B' bases , A et A' altitudines sive parallelogrammorum P et P ' , sive triangulorum T et T', quia (44. 3 .. 4. ) P : D = A.B A.B A.B : A ' . B ' , T : T ' ; ideo posita 2 B =B' , erit P : P = À : A ', T : T = A : A' : et facta A =A' , P : P = B : B' , T : T = B : B'; parallelogramma videlicet , itemque triangula erunt ut altitudines si aequales habuerint bases , erunt autem ut bases si altitudines habuerint aequales.

4° si in parallelogrammis P , P' , et in triangulis T , T' ba ses fuerint reciproce ut altitudines , hoc est ( 193 et 194 ex p. 1a) B : B ' = A ' : A , erit PEP' , ac T = T .

5.0 in triangulis T , T habentibus aliquem angulum aequalem , areae sunt in ratione composita ( 198 er p . 1.a) laterum , quibus ille angulus continetur : ex hibeantur enim ista latera per B , C in T , et per B ', C' in T' , ducanturque ad B , B' ex verticibus op positis perpendicula sive altitudines A , A '; erit ( 35. 2.° : 37 ) А. С A ; atqui ( 44. 4.") T - A B i ergº C' В! T C.B T C'.B' ideoque et caet. .... Assumpto T = T' , prodibit C.B=C.B' , et B : B = CC; in aequalibus ni mirum triangulis habentibus aliquem angulum aequa lem , latera circa eum sunt reciproce proportionalia.* 38 B 2 2 t > 2 H'A ' Haec ' eadem dicenda (28 - 2.°) de parallelogrammis.

6.° si triangula ponuntur similia , erit C B " T C2 unde C' B' T ' B'2 C' ? triangulorum nempe similium areae sunt ut quadrata laterum homologorum 7. ° divisis polygonis similibus DEH ..., D'EH' ... ( fig. 18 a ) in triangula similia (41. 2.°) DEH ( = t) , DHA (= t') D'E'H ' = 6 ) , D'II'A' =4' ) Ooo erunt (69) DE ť HA ЕН DE 6 D'E' GP ' ΕΗ DE' et caet - • ' ; propterea (197- ex p . -1.a ) tttt 0 +6+ 9 G DE EH į D'E ' E'H ' polygona scilicet similia quaecumque sunt: ut quadrata laterum 'homologorum . 6. ° in triangulo rectangulo BAC (fig . 17.a) si hypotenusa BC et catheti AB , AC sunt latera homologa quorumcumque similium poly gonorum (41. 4.°) p , ' , p " , erit p = p + p " ; nam ( 7.°) AB AC BC t 2 DE - > Р р р unde (197 ex p. 1. ) 3 AB + ACS BC p' tp" et quia (1.9) BC = AB° + AC” , iccirco et caet.... P39 46. Plurium problematum solutiones derivari pos sunt ex dictis (44 : 45) . ,

Exempla.

1.º Rectam invenire , 'cujus quadratum aequetur omnibus simul datarum quotcunque rectarum qua dratis. Fac ( 22. III. ) angulum rectum A (fig. 22.-) , et in ejus indefinitis lateribus sume Aa , Ab aequales binis inter datas rectas ; juncta ba , quadratum rectae ba aequabit ( 45. 1.0) quadrata rectarum Aa , Ab si mul sumpta ? sume Ac , Ad , alteram aequalem ter tiae inter ipsas datas , alteram = ba , et junge cd ; quadratum rectae cd aequabit quadrata rectarum Ac , Ad , hoc est rectarum Ac , A' , Ab simul sumpta , et ita porro. II. Rectam invenire , cujus quadratum sit ae quale differentiae quadratorum ex datis duabus inae qualibus rectis . In latere altero anguli recti sume Aa aequalem rectae minori , tum centro a , et radio = rectae majori describe circulum , qui secabit latus alterum V. gr. in b ; erit (45. 1.º ) Ab recta quaesita. III. ° Dato parallelogrammo P (fig. 23.") , super data recta H'K ' parallelogrammum construere , cujus area aequet aream ipsius P. E puncto quovis M lateris LM demisso perpen diculo ME in basim HK ... , inveniatur quarta pro portionalis ( 33 ) X post H'K ', HK , ME ; erit X ( 44. 3. ° ) altitudo parallelogrammi quaesiti ; hinc si e puncto quolibet a in H'K' excitetur ( 22. III ° ) 'per pendiculum ag = X , ducatur per punctum g recta FG parallela datae H'K ' , et in quovis angulo ducan tur ex H ' , K' usque ad FG binae parallelae H'L' , K'M '., ' solvetur problema ; quod patet esse indeter minatum ,40 Si novum parallelogrammum debeat insaper ' ha bere angulum aequalem dato , satis erit sab' eo an gulo (22. V: º : 26 ; ducere binas H'L' , K'M'. , et pro blema fiet determinatam . IV. ° Super data recta H'K' construere triangu lum , quod habeat 'aream aequalem areae dati trian "guli MHK , et angulum aequalem dato angulo. Inventa X , erecto ag , et ducta FG ut in : prae cedente problemate , constituatur H'L' (-22 . V.°) ita , ut angulus H ' aequetur dato 'angulo ; juncta i L'K' , erit (44.4 '.) H'L'K ' triangulum quaesitum. Vº Super data recta et in dato.angulo' construe re triangulum aequale dato parallelogrammo , .vel pa rallelogrammum aequale dato triangulo. Solvetur ut supra ( III.° IV. °) , nisi quod inven ta altitudo erit duplicanda in primo casu , dimidian da in secundo. VI.° Si super 'data recta ß construendum sit pa rallelogrammum aequale dato polygono , quaeritur ipsius parallelogrammi altitudo. Resolvatur polygonum in triangula 9 , 69,0" . et inveniantur (V.°) altitudines a , a , a !. pro i totidem parallelogrammis , quorum singulae bases Eh, et singulae areaesisingulis.9 , 6 ' , 69 nimirum ( 44. 3. ) .B = 0 , d . B = 9'., • ' . B = " , .. ; quoniam aequationes istae praebent Blata +4" + ...) = 0 + 0 + 6" to ... ,

iccirco a ta ta t ... erit altitudo quaesita.

DE CIRCULO.

47. In circulo DHE... (fig. 24:a) -si recta CB transiens per centrum C secat bifariam chordam HK ,141 secahit ad angulos rectos ; et si secat ad angulos rectos, secabit bifariam: res patet ex dictis ( 13 : 16. 3. ) , siquidem CH , CK , utpote . radii : ejusdem circuli., sant aequales. Et quoniam ipsa CB dividit bifariam ( 16. 4.° ) angulum HCK , iccirco , ubi producatur in E , divi det (21) bifariam et respondentem arcum HEK : item si CE dividit bifariam arcum HEK , dividet bifariam et ad angulos rectos ( 21 : 10.1 . ° : 7 ) ejus chordam HK . Exinde haec inferuntur. 1.° fieri nequit ut binae chordae haud transeuntes per centrum bifariam se mutuo secent; aliter recta e centro ad intersectionem ducta insisteret utrique ad perpendiculum .

2.° si recta DE 'bifariam et ad angulos rectos secat chordam HK in B , transibit per centrum C; secus, ducta CB, duae forent ipsi HK perpendiculares , quae concurrerent in idem punctum B.

3. ° si dati circuli centrum proponitur inveniendum, duc quamvis chordam, quam seca bifariam, tum ipsi per sectionis punctum duc perpendicularem utrimque terminatam ad peripheriam; ejusmodi perpendicularis transibit per centrum ( 2. ° ) , 'ac bifariam secta exhibebit quaesitum centrum.

4.° recta DE , quae chordamHK in B et ejus arcum HEK in E secat bifariam , vel arcum bifariam in E , et ejus chordam ad angulos rectos in B , transit per centrum.

5. ° chordae HK , UV. , quae a centro C aequidistant , aequales sunt., et viceversa; ductis enim ex C in HK , UV perpendiculis CB , CM secabuntur HK , UV bifariam in B , M ; sunt autem ( 40. 3. ) HC HBº + CB ., CV ( AC ) = YM ' + CM '., et consequenter AB’ + CB" = VM + CM " ; hinc assumpto CB = CM , prodibit HB =YM , ideo42 > E que HK = UV : et facta HK = UV , ac proinde HBEUM , exsurget CB = CM .

6.° quod si pona tur CB < CM , aequatio illa suppeditabit HB >VM , unde HK > UV ; chordae nimirum eo majores sunt , quo minus distant a centro , omniumque chordarum maxima est diameter,

48. Rectarum omnium (fig.-25.a) AB , AD , AE, quae ex puncto quovis A dato extra centrum G ducun tur ad peripheriae punčta B , D , E , ... maxima est AB , quae producta transit per C , reliquae eo minores , quo per majores arcus ab illius maximae occursu B distant puncta D., E ad quae eae pertingunt , et binae AD et AD '., -AE et AE' , hinc inde aequidistantia ab eodem occursu B aequales sunt; minima vero erit AH , quae tèrminatur ad punctum He diametro oppositum puncto B: satis erit ducere radios CD , CE , .e . ut res pateat ex dictis (11 ; 10. 1. ). Si punctam A daretur in peripheria, fieret minima AH = 0.

49. Recta CB ( fig. 26. ), ponatur ad perpendi culum insistere rectae indefinitae HK , et centro C , radioque CB describatur circuli peripheria EDB ..., haec obliquam quamvis CA secabit (16. 1. ° ) , eique abscindet partem CD = CB : consequens est ut quod libet punctum A rectae KH cadat extra circulum , qui propterea dicitur tangi ab HK in unico puncto B. Recta igitur et transiens per alterum diametri cxtremum , et ipsi diametro perpendicularis , circuli tangens est : viceversa , ubi recta HK est circuli tan gens in B , ea ad perpendiculum insistet radio CB ducto ad punctum contactus B ; erit namque CB mi nima omnium rectarum , quae ex centro C duci pose sunt ad KH , ideoque ( 16. 1. ° ) et caet. ... Ad haec : quantumvis exiguus ponatur esse an gulus ACB , si èi fiat aequalis EBH , quia ( 35) ACB43 1 6 -{ "BAC = 90." , exsistët quoque EBH + BAC seu xBA --- BAx = 90 °. , et consequenter ( 35) AxB = 90. ° Quare ( 14) tota BE erit intra circulum , unde sequitur inter tangentem et arcum nullam duci pos se rectam lineam . Notetur illud : recta LM habens communia cum eirculi peripheria duo puncta G et F ( neque vero plura quam duo esse possunt ejusmodi puncta-, secus liceret (17) plures quam biras e centro C ad LM ducere aequales rectas , quod nequit admitti ( 16. 3.°)) dicitar secans. Jam si concipiatur LM vel moreri si bi parallela donec Get I coeant ( 47. 6.°) in ' uni cum punctum U , vel converti circa alterum e binis punctis G et F v. gr. circa G , donec ad ipsum G deveniat alterum F , fiet LM in primo " casu tangens in U , et in secundo tangens in G. 50. Facile nunc ex dictis (49:47 : 26 : 25. 3. °) haec stabilitur assertio : ubi in circulo adest chorda , ac per quoddam peripheriae punctum transit: alia recta , et ex hisce tribus, quod nempe arcus a " chorda sub tensus secetar in illo puncto bifariam , quod ibi ea recta circulum tangat , quod exsistat ipsi chordae pa rallela , habentur duo simul , habebitur: et tertium . Tum ex dictis (48 47 49) haec alia : si centris A , C ( fig . 25.2 27.a) describuntur duo circuli , qui si bi occurrant, fiet occursus vel ' in duobus punctis ( fig. 25.r) , vel in ' unico punćto (fig . 27.a ) ; sese in primo casu secabunt ita , ut ex binis arcubus circuli v. gr. gk ... " ad binas intersectiones terminatis alter sit totus intra circulum BD ...., alter totus extra , et recta jungens centra A , C dividat bifariam ipsos arcus , bifariam item et (47 ) ad rectos angulos chor dam per intersectiones ductam : sese in secundo casu contingent in puncto illo unico , quod sane punctum erit in eadem recta cum binis centris ita , ut , si jacet inter ipsa centra , alter circulus sit totus extra alte rum , sibique convexitatein obyertant ; sin minus , to44 tus circulus minor in majore contineatur ; semper aus tem communem in eo puncto tangentem habebunt. Facile quoque solvitur problema , in quo quae ritur ut describatur circulus , qui et rectam datam HK ( fig :26 :a) contingat in dato puncto B , et transeat per punctum B' datum extra HK. Juncta BB' , eaque secta bifariam in i , duc BC., i ex B et i , alteram perpendicularem rectae HK , alteram rectae BB ' ; coibunt BC , C (24) in aliquod punctum v . gr. C : jam si centro C , radioque CB describatur circulus , ipse et tanget HK ( 49) in B., et transibit ( 13) per B '.51. Angulus habens verticem in centro circuli du plus est angulo verticem habente in peripheria , si eidem insistant arcui. Ponatur arcus esse minor quam semiperipheria , sintque 1.° (fig . 28.-) ECD , EAD , et centrum C in alterutro latere anguli EAD v. gr. in EA ; erit ( 35. 8.° : 16. 4. ° ) EGD = CDA + CAD = 2EAD ; 2.° BCD , BAD et centrum Cintra BAD ; eri ( 1. ) BCD =BCE +ECD= 2BAE + 2EAD = 2BAD:: 3.0 FCD , FAD , et centrum C extra FAD :; erit ( 2 ) FCD = BCD -BCF 2BAD 2BAF 2FAD . Ponatur nunc arcus esse major quam semipe ripheria , v. gr. B'ED' , cui insistat angulus ad peri pheriam B'AD' ; centrum G intra ejusmodi angulum necessario cadet , angulus vero ad centrum conside randus erit ex parte cuspidis externa , utpote exsi stens > 180 ° ( potest siquidem concipi angulus re ctae lineae cum alia recta ut major duobus , immo et quatuor rectis, ac generatim graduuna quotcumque ,45 concipiendo alteram sese circa alteram :revolvere , quotcumque absolvere conversiones) ; sic itaque con siderato angulo ad centrum B'CD' , prodibit B'CD ' B'CE + ECD = 2B'AE72EAD' = - 2B'AD. Si arcus in ipsa consisteret semiperipheria KED , angulus ad centrum foret binis rectis aequalis , ipsum que liceret repraesentare per KCE + ECD est autem KCE +- ECD = 2KAE : + 2EAD = 2KAD , propterea et caet. ... 52. Inde haec derivantur. 1. ° erit anguli ad pe ripheriam mensura dimidium illius arcus, cui insi stit ( 21 ) ; ideoque anguli omnes , qui aequalibus in sistunt arcobus in eodem , vel in aequalibus circulis et vertices habent in peripheria , sunt inter se aequa; les : praeterea angulus BAD (fig 29.a) diametro BD insistens , seu angulus in :semicirculo rectus , angulus EA'D in minori segmento obtusus , angulus. HA'D in majori segmento acutus : ponatur insuper chorda ATH > HD ; erit (16. 5.9) angulus A " DH > DACH et consequenter arcus A "EH > DzH ; viceversa posi to arcu A "EH > DzH, erit angulus A " DH > DÀ" H , ac proinde (16. 7.º ) chorda A'H ' > HD ; majori sci licet chordae in eodem , vel aequalibus circulis ma jor respondet arcus , minori minor perpendiculum ED(fig. 30.a) demissum e quovis pe ripheriae puneto E in diametrum AB est medium geometrice proportionale inter segmenta AD , BD , in quae diameter a perpendiculo dividitur ; nam duciis chordis AE , BE , erit ( 1. ) angulus AEB = 90° ; ideon que ( 40. 1. ) et caet. a . ; itaque si inter AD et DB quaeritur media proportionalis , bifariam divide AB in C , ac centro C radioque CA, describe circulum : erecto in D perpendiculo DE donec peripheriae ve currat , erit DE media proportionalis quaesita. 3. "46 chorda AE est (40. 2..) media proportionalis inter seginentum AD , totamque diametrum AB. 4.° quo niam (40..3.0) AC = EC = ED + DC" , et ( 2.. ) ED = AD.DB ; / iccirco ACE= AD : DB : + DC ; nimirum si recta · AB dividitur bifariam in C , et rion : bifariam in D , quadratum dimidiae aequabitur rem ctangulo sub segmentis inaequalibus una cum interme dii quadrato. 5.. si e puncto dato A ( fig . 31.9) pro ponatur ducenda recta linea , quae datum circulum BKD tangat , duc AC ad ejus .centrum C , ipsamque AC seća bifariam in R : et centro R , radioque RG .. describe circulum , qui secabit BKD in Bct D . ; -jun- . ctis AB , AD : ,, hae datum circulum tangent (49 ), utpote quae rectos .continent angulos ( 10) cum radijs CB , CD ; erit insuper . ( 16.3. AB = AD . 6. ° si binae chordae AB , CD ( fig. 32.? ) intercipiunt arcus aequales AxC , B2D, erunt parallelae ; nam ducta AD , prodibunt aequales anguli BAD, CDA, ideoque ( 26 ) et caet... ...... Viceversa si chordae AB , CD sunt parallelae", erunt ( 25. 1. ° ) aequales anguli BAD , CDA , ac proinde arcus AxC=BzD. 7.0 ubi chor dae EB , HD ( fig. 33.2) sese intra circulum secant ..gr. in K , semisumma arcuum interceptorum EH , BD erit mensura anguli EKHI ; nam ; ducta HB. aequabit EKHI ( 35. 8.° ) binos angulos ad periphe riam simul sumptos DHB , EBH . 8.° quod si habean tur chordae EB , HC . concurrentes extra . circulum Yogi: in A mensura anguli A erit semidifféren tia arcuum interceptorum EH , BC ; siquidem (35 ... 8.) A = EBH BHC. 9. secta bifariam in Can V. 12 cus , 2am (fig. 30:2) hypotenusa AB trianguli rectanguli AEB , si centro C et radio CA describitur peripheria , haec per verticem transibit anguli recti E. 10.º angulos RDH , MDH fig. 33.a ) , quos effiçit tangens RM cum chorda , DH; in puncto contactus D , metiuntur dimi dii arcus DEH, DCH ; ducta enim diametro DL , erunt anguli RDH = RDL - HDL , MDH = MDL + HDL ; sed rectos (49) angulos RDL , MDL metiuntur qua ' DEL DCL drantes ; et angulum HDL metitur ar- 2 2 HzL .: ; ergo et caet... 11.º quadrilaterum ABDC ( fig. 32.a) habens angulorum vertices in circuli pe ripheria , habet angulos oppositos simul sumptos duo bus rectis aequales. 12.º ductis EH et BD ( fig . 33.a), in , triangulis EKH , DKB aequales erunt (1.° ) auguli HEB , HDB , itemque (8 ) anguli ad verticem K ; du cta insuper BC , quia ( 11. ) EBC + EHC = 180° et (7):EBC + ABC = 180° ; ideo in triangulis AEH , ACB communem habentibus angulum A erit praeterea angulus. EHA = ABC : similia igitur erunt (35. 2." ) triangula EKH et DKB , AEH ei ABC ; unde DK KB AE AH DK . KH = EK . KB , EK KH АС АВ . AE . AB = AH . AC ;; > utcamque nimirum duae chordae se mutuo: secant sive intra , sive extra circulum , factum ex unius segmen tis aequabitur facto e segmentis alterius. 13. con-. cipiatur 'secans AE ita revolvi circa punctum A , ut crescat angulus EAH donec , evanescente BE , abeat ( 5. ' ) AE in tangentem AD ; erit AD ' == AC . AH . 14. secans AH ( ig. 34.a) transcat per centrum C48 ex quo ad punctum D , ubi AD tangit circulum , do catur CD ; cum sit (49) angulus ADC . =. 900 , erit ( 12. ) AC CD + AD = CK + AK . AH ”; divisa scilicet recta HK bifariam , eique in directum adjecta quavis recta , quadratum compositae ex di midia et adjecta aequabitur quadrato dimidiae una cum rectangulo ex tota in ipsam adjectam . 53. Circulum describere , cujus peripheria trane cat per tria data puncta B , B ', B ' ( fig. 26.a) hand posita in directum . Junge BB', B'B ' , easque seca bifariam in i et i' , et duc iC , i'C perpendiculares , alteram rectae BB ' , alteram rectae B'B " ; coibunt ( 25. - 3.9 ) iC , il in aliquod punctum C : jam centro C , et radio CB describe circulum ; hujus peripheria transibit non solum per B , sed ( 13) et per B’ , B ". 54. Notentur haec. 1 .. si ad eamdem partem ha beantur plures anguli aequales , quorum crura datis binis punctis discedant , describatur autem pe ripheria ita , ut transeat per illa bina puncta et per verticem unius cujuslibet ex ipsis angulis , transibit quoque (52. 1.0 7. 8. °) per reliquoruin omnium ver tices. 2 °. quando datis tribus punctis unicum ( 53 ) obtinetur centrum , hinc ubi duorum circulorum tria peripheriae puncta congruunt, congruent et reliqua onnia ; atque inde fluit solutio problematis , in quo quaeritur centrum dati arcus circularis , ut ipse com pleri possit ; assumptis enim in eo ad arbitrium tri bus punctis , satis erit determinare centrum circuli : per illa transeuntis. 3. ° descripta circuli peripheria ita , ut transeat per tres vertices A , B , D , (fig . 35. ) polygoni regularis ABD ..., ea transibit et per reliquos omnes vertices E , H , ... : nam si ex , puncto , in quod concurrunt perpendicula ( 53) iQx49 2 .... Ci' ' , Ci' ' , daxil iC ; praeter rectas aequales CA , CB , CD ducantur etiam rectae CE , CH , ... , cum angulus CDB ae quetur ( 16. 4. ° ; angulo CBD ; cumque CB dividat bi fariam ( 16. 3. ° ) angulum ABD , recta quoque CD dividet bifariam angulum : BDE ; quare ( 10. 1. ° ) CF = CB , et angulus CED = CBD ; secat nempe CE bifariam angulum DEH , unde ( 18. 1. °) CH = CD , et ita porro. 4. ° ex centro C , praeter Ci , Ci' (53) ducantur perpendieula Ci" , Ci , ad latera DE , EH , ... ; secabuntur haec bifariam ( 47 ) in i " , i' " ' et productis Ci ' , Ci' ; donec occurrant peripheriae, bifariam pariter secabuntur ( 47) arcus AxB , Bx'D , Dx" E , ... in x , x' , x " , ... ; jam per X , x!, ax " ductis (49 ) tangentibus , quan doquidem angulus xCb = x'Cb , et Cab. = Cix'b iccirco ob aequales radios Cox, Cäc' coibunt. ( 1.0.2...) tangentes ax., dx' in unun idemque punctum b ra dii CB producti , eritque bx = bx '; et eadem ratio ne bx' , ex' coibunt in d , dr" hx ' ' in e , ... eruntque dx ' da" , ex !' , ... 5.°. quia ( 25. 1. ) anguli CB = Cbr , CB = Cbx , CD = Cdc , CD = Cd.c" ideo toti b B , d = D , EE, ... , et singuli dividentur. bifariam rectis lineis Cb , Cd , Ce , ... ; hinc vero . ( 16. 6. ° ) Cb=Cd=ce = ... 6. ° habemus (37) Bi Bi' Ci' Dil Сх bir ber ' Cx! dx ' Di Ci" cx ' ' sunt autem Ai = Bi , Bi' =Di' , et ( 4.9 ) Di" = Ei" , Ei' Hi'! i igitur ax bx , bx ' = dx' , dx' ! ex' ' i et consequenter (4. ') ab = bd ... ; polygonum nempe abd ... est ( 5.9 ) re gulare. 55. Polygonum circulo dicitur inseriptum , vel cir culus polygono circumscriptus , cuin singulorum an PARS II. 4 - er Ci ax Ei' et caet. 9 ex " . de = .50 si 6 gulorum . vertices io,peripheria, sunt ; dicitur autem polygonum. circulo; circumscriptum , vel circulus po lygono inscripțuş., cum singula latera. circulum tan gunt. Jam ex dictis (54 : 3. 4. ...) sponte sese of fert ratio, et dạto polygono. reguļari circulum vel cir cumscribendi , vel inscribendi, et dato circulo , cui regulare. polygonum sit . inscriptum , simile (41., 7. °) polygonum circumscribendi. ABD ... . est hexagonum. , erit angulus 360° ACB = =60° , ideoque. ( 35 : 16.4 .' ) CAB = 60º = CBA , et consequenter ( 1.6 . 6.°) latus hexagoni regularis circulo inscripti aequat ipsius circuli radium :: hexagonum itaque regulare facile admodum dato cir culo inscribetur ; quod si tribus rectis lineis jungan tur puncta H et A , A et D , D et H , inde habebi tạr ( 18) triangulum aequilaterum inscriptum . Facile quoque dato circulo inscribetur. (10: 1 . 52. 1.' ) qua dratum ducendo binas, diametros , alteram alteri per. pendicularem ., et earum extrema sibị proxima jungen do quatuor lineis rectis : atque hoc pacto dati circuli peripheria dividetur, et in sex , et in tres., et in qua tuor partes. aequales ; tum vero , per successivam ar quum bisectionem (47) poterit continuari, divisio in 12 , 24 ,, 48 , ..., 8 , 16 , 32 , ... aequales partes. Proderit, hic subjungere solutionem problematis , in quo quaeritur ut dato circulo inscribatur triangu lum , cujus anguli aequentur angulis dati trianguli. Per punctum , quodvis peripheriae ducta , tangente ducantur, ex puncto contactus binae chordae quae cum ipsa tangente duos hinc inde. contineant angulos ( 22. V. ) aequales duobus angulis trianguli dati : jun ctis chordarum extremis , habebitur (52.1.010.035.2. °) quaesitum triangulum .. • 56. Quoniam (40 ..3.9) Ci = VĀC – Āis, iccirco ( 54. 6. ° )51. Αι VĀC Ai ax . Cr id = "x- Ci= Cx:-V AC - hi" ; et assumpto radio AC seu Cx = 1 , 2Ai AB Zax = ab . VT - Ai 1,1 - AB ix = 1 ix = V1 AB tum ducta chorda Az , habebimus Ax = vāti'=2–21– V -AB )" AB = -Ax.V4 - (8') et : 57. Designet m numerum-: laterum , quibus con stat perimeter ABD ... , ponaturque ipsa ABD ... =pn ; sit ,insuper pon perimeter polygoni regularis inscripti , cujus.latera - numero 2n , et. Pan perimeter respondentis circumscripti : prodibit ex . prima (8) Pon =-20V 2-261 (13) et : ex prima ( 8 ) Pan Pan ' Pan 1 . 2n52 . Jam si pro n successive adhibeantur numeri v... gr. 6 , 12 , 24 , 48 , ... exsurgent ( 55) Pie = 6,2116571... , Pia 5.6,4307806 ... , P24 5.6,2652572 .... , Peu 6,3193199 P98 = 6,2787004..., P48 = 6,2921724 . P96 = 6,2820639 ... , Pgs . = 6,2854292 ... P192 = 6,2829049 ... , Pig , 6,2837461 ... , P384 = 6,2831152,... , P384 26,2833260 P768 = 6,2831678... , P768 = 6,2832203 ... P1536 = 6,2831809... , P , 536 = 6,2831941... , P8.79 =6,2831842 ... , P3072 = 6,2831875 ... , P6144 = 6,2831850 ... , P614436,2831858 ... , et caet. ... a , . et caet. . . 58. Est ( 37 ) Сх Ca ab bd de Ci CA AB BD DE et consequenter ( 197 ex p. 1.a) ab + bd" #de , to Cx AB + BD + DE + Ci sed aucto indefinite numero laterum ab , bd ', AB , BD , vergit (56) ix ad limitem = 0 , ac Сх ad lim . = 1 ; verget ergo ad lim . = 1 Ci etiam ab tbd + de t ... AB + BD + DE + ... ideoque minuetur magis semper differentia inter peri metros abd .. ABD . ipsaeque abd ... , ABD ... ad interjacentis circuli peripheriam magis semper. ac... proinde53 cedent. Hinc exhibita ,per i circuli seiniperipheria , cujus radius = 1 , erit ( 57 ) T = 3,141592 ... 59. Denotantibus S , s areas polygonorum abd ..., ABD . erunt (44. 6.° 54. 3.º. Сх (ab + bd + de + ... ) , 2 ( 8") Сі (AB -+ BD --- DE H.:) ; . > S de + et lo . S Cox abut bd Ci AB +BD + DE + Quare ( 58) aucto indefinite numero laterum ab » bd , ... AB, BD ,,... minuetur magis semper dif ferentia S - s , ipsaeque S , s ad interjacentis cir culi aream magis semper accedent. Hinc si area cir culi designetur per a , semiperipheria per it' , et ra dius .perºr , altera (g " ) praebebit in limite a = r!; area nimirum circuli est factum ex semiperipheria in radium. 60. Expressis per 27 ". 27 " binorum circulorum peripheriis , per r " , eorum radiis , et per p ' p' perimetris polygonorum regularium , quae et ipsis circulis vel inscribuntur vel circumscribuntar ambo et laterum numerum n habent eumdem , erit semper 27" 2 71 27." Pр nam si aliqua inter rationes istas intercederet diffe rentia , ea , aucto jugiter n , decresceret (58 ) indefi54 nite ; quod fieri nequit , cum constanter sit (37:4769) P " P PNT utcumque caeteroquin se habet ' n . 6t. Exinde manifeste "sequitur fore 250" go 21 27 "" TE"" pl 27/11 2.77 " ca " al et consequenter ( 47 ).., designatis- circulorum areis per a ' ., . 4 "

• "

( 2r " ). I'" p " " (27 "',. circulorum videlicet,peripheriae sunt ut radii seu dia metri., areae vero ut radiorum seu diametrorum qua drata . Nunc facile (45.8. ') intelligitur: illud : si tres areae circulares a' , a " , a sunt ejusmodi , ut dia meter; primae haberi possit pro hypotenusa trianguli rectanguli , et reliquarum diametri pro - cathetis , erit a = X . 62. Quoniam (61' :-59 : " 58) elt astr ., П . iccirco area circalaris a poterit sicquoque exhiberi .Q = nr .

DE QUARUMDAM ALGEBRAICARUM EXPRESSIONUM GEOMETRICA CONSTRUCTIONE.

63. Datis rectis lineis, quarum expressiones a, b, c, d, ... , construere subjectos valores x , seu ,55 quod eodem redit, rectas illas determinare quae subjectis respondent valoribus ab abca abcd ehk htk matk abc + kki с c egt df

1º. Inveniatur ( 33 ) quarta proportionalis post c , 6 ', 'et ea (45. 2.°) respondebit primo ' ex proposi tis 'valoribus : simili modo licebit 'construere valo: а , rem hik' (h + k) (h — k) b b ab

2.º Determinatis (1.9) u's= cd h se e " UD CU is evadet x'- ( p. + d ) с cundus inter propositos valores fiet x = ă ; jus constructio ad praecedentem evidenter 'traducitur.

3. ° Quod ad tertium spectat", si fiat (1. °) ab P , cujus constru h + k ctio expeditur ut supra ( 1. °).

4. Construitur quartus determinando 'prius ( 46 . I. " ) rectam g ita , ut habeatur qe = h'ik' , dein inveniendo tertiam proportionalem post c ' et q , seu , quod eodem recidit , quartam post c , 9 , 9 . ab df vera

5.0 Factis (1.9) p = 79= 7 cp 4 hk 9 +u tetur quintus in cujus constructio perficitur ut supra (3.). Hisce methodis construuntur ii quantitatum in cognitarum valores , qui prodeunt ex determinataruni-56 N 2 primi gradus aequationum resolutione: tota ars in eo sita est, ut fractionum numeratores ad binos factores lineares seu primi gradus traducantur , denominato res vero ad unicum . Juvat hic animadvertere illud : ubi longitudines computantur super data linea a certo puncto , ut inser viant auctioni (72. ex p . 1a) , vel iniminutioni alterius longitudinis terminatae ad' id punctum in ea ipsa li nea , erunt illae in partes. contrarias- sumendae quo tiescumque respondentes expressiones prodibunt con trariis signis affectae.

64. Proponantur nunc construendi valores x = V ab , x = Va + b + c " , - * =Vab - + hk , = Va’ + 6 h ? k ”, x = Va + Vhi tk , qui prodeunt ex determinatarum secuudi gradus aequationum resolutione.

1.º Construitur primus determinando (52. 2.") médiam proportionalem inter a et b : simili modo construetur

= Vh? - k = V (h + k )(h — k)

2.° Secundus manifeste construitur ex dictis (46. 1.9 .

3.° Quod ad tertium pertinet , si fiat (63. 1. ° ) hk is evadet x = V46 + u ), cujus con structio habetur ut supra (1.°).

4. ° Factis (46.1.°) a ’ . + b ' = p?,htk = 9?, quartus valor evadet -x = Vp* – q* , quem scimus (1.9 ) , construere.

5.° Restat ut quintum construamus : ha

g , et erit -2 =Va + kVg2 + k ; fiat ite k

u a fiat itaque* rum Vg3 + = p , et erit å = va + kp ; facto demum kp = 9 ', exsurget x = Va’ + q ' , cujus constructio in promptu esi ( 2.° )

65. Geometricarumi constructionum usum osterident, quae sequuntur, analyticae problematum solutiones.

I '. Datam rectam AD fig. 34. ) secare in exire ma et media ratione , hoc est secare ita , ut segmen tum majus sit medium proportionale inter ipsam AD et segmentum minus. Existimemus factum quod postulatur. , sitque in E quaesitum scctionis, punctum : ponantur AD= Q , AEX, ideoque DE = a - x ;' erit unde r* + ax -a' = 0 , ex cujus resolutione ( 135. Mul ex p. 19.) a X > a-X V a² + 2 Jam cum de geometricis agitur problematis , ut ea dicantur geometrice resoluta , non est satis et ae quationes eruere ex appositis conditionibus , illas resolvere ; construendi praeterea sunt obtenti inco gnitarum valores : et quoniam propositae quaestioni evidenter inservit solus valor a ? a ’ to 2 4 duc igitur ex D rectam DC , quae et sit perpendi cularis rectae AD , et aequetur ipsius dimidio ; jun cta AC , habebis AC -Veto58 nunc centro C et radio CD describe circulum , qui secabit AC in K , eritque a AK CD + AC = a² + quare si centro A et radio AK describatur circulus , hic secabit AD in E ita , ut exsistat AD: AE = AE : DE. Idem ex facta constructione sic potest synthe tice demonstrari. Producta AG in H , erit (49 : 52. 13. °) AH : AD = AD : AK , 'unde ( 196 ex p 1.a) AD : AH ADAK : ADAK; sed AH - AD = AH2DC = AH - HKEAK =AE, et AD AK = DE ; igitur AD : AE = AE : DE . II. Super data hypotenusa AB (fig. 30.a) descri bere triangulum rectangulum AEB ita , ut sit AB: BEBE : AE . Concipiatur ex E in AB demissum perpendicu lum ED , ponanturque AB = a , AD = **, BD = y ; erunt ( 40. 1. ° 3. ) BESVBD + ED + ED" = V2+ xy = Vx + ry = vaj, AE = VAD + ED " = V7 + xy = Vix + y) = Vax', unde Va : Vy = Vy : Vx , et consequenter 'a : y = y : x ; dividenda nimirum AB in extrema59 AE ' ( 1. °) et media ratione. Exinde vero haec infertur con structio (52. 1. °) : divisa AB bifariam in C , centro C et radio AC describatur circulus ; tum ipsa AB divi sa in D in extrema et'media ratione, erigatur'ex D perpendiculum DE occurrens circuli peripheriae in È ; junctis AE , BE-, erit AEB triangulum quaesitum . Id "synthetice potest demonstrari in hunc mo dum : sunt (40.- 2.°) BE = AB , BD , AB , AD:; sed ex constructione AB. AD = BD'n, ideoque BD = AE , ' et BD = AE ; igitur BE =AB . AE, et AB : BE = BE : AE . III.° Super data basi BC (fig. 36.a) describere triangulum isoscele, in quo (16. 4.°) angulus ad ba sim exsistat duplus anguli ad verticem . Sit BAC triangulum quaesitum , et alteruteran gulus ad basim v.gr. B dividátur bifariam ' ope re ctae BD ": " erit angulus DBA= DAB = DBC , et (35. 8.° ) BDC = DBA + DAB = 2DAB = C , ideoque (37 : 16. 6.) triangulum BAC simile triangulo CDB , et AD = BD = BG. Itaque positis :BC - a , AC = X , obvenient ' CD XatCD ; unde a X gara 0-, et consequenter (135. ¡Tu sex p . 1.a) a' from 4 E signo inferiori "manifeste obtinetur longituda60 AC < BC ; quocii'ca ( 16. 5.°) propositae quaestioni mi nime inservit radix vaa + 2 Ad radicem alteram a V T a² t 2 -4 construendam , duc ex Crectam CH et perpendicur BG larem basi BC , et = ; juncta BH , eaque produ 2 ВС cta donec habeatur HK = erit 2 a BK HK 4BHA 2 Va + > BG . 4 Facto igitur centro in utroque extremo baseos BC , si et describantur duo circuli communi radio BK , et ab extremis illis ad circulorüm intersectio nem A ducantur binae rectae , exsurget inde quae situm triangulum BAC. Hinc geometrica peripheriae divisio et in quin que , et in quindecim partes aequales ; nam si cir culo A'zB inscribatur (55) triangulum B'A'C ', quod habeat angulos aequales angulis trianguli BAC , nimirum A' =A , B' =B , C'EC , erit ( 52. 1. ° ) arcus B'C' quinta pars peripheriae ; et quia 2 1 ideo si B'z exhibet latus trianguli 3 15 aequilateri circulo (55) A'zB'-. . inscripti , erit ar cus A'z quintadecima peripheriae pars; tum vero per successivam arcuum bisectionem (47) poterit conti 1 2611 nuari divisio in 10 , 20 , 40 , ... , 30 , 60 , 120 , ... partes aequales. IV. • Rectam datam HK (fig. 37.~ ) utcumque in Ę divisam producere in R. ita , ut prodeat HR , KR =_ERER .. Factis HK = h , EK = k , KR = x , erit (h + x ) (k + x )* ; proinde h ? h 2k Hanc expressionem sic construes : sume EK' = EK ut habeas HK' = - 2k ; per puncta E , K due EB , KC inter se parallelas , alteram = HK' , alte ram = EK : junge BK , et huic parallelam due CC ' ;. producta. HK donec occurrat rectae CC' in ' R , pro veniet quaesita KR : nam ( 30 : 37 ) KR EK EK . KC ka undę KR = KC EB EB h 2k 2 h Duo hic veniunt observanda : 1 ... si k > 2 punctum K' cadet ultra H , et HK' fiet negativa i propterea ( 63) , manente directione KC , ducenda erit EB in partem priori contrariam , et consequen ter etiam CR parallela reciae . BK secabit HK in h parte priori aversa. 2, º si k = punctum K' ca 2 det in H , eritque HK' = 0 ; igitur et EB = 0 , pun ctumque B incidet in E , ac CR parallela rectae BK nuspiam occurret lineae HK. V.° Girculum determinare , cui si aequilaterum inscribitur triangulum , hoc aequetur quadrato datae rectae Bm (fig . 38.9 ).

62 Exprimat 22 radium circuli quaesiti , ponatur- que Bm = h . E secunda (s ' : 56 ) habemus (37) trian- guli inscribendi latus = .223,,ideoque (16..4." 40. 3. ) ipsius trianguli altitudinem = V (22V 3)2 – (zV3 )' = 32 , et (44.. 4. °) ejus. aream = 3z? V/ 3..Itaque 3zV/ 3 = h?; et consequenter :: 4 h h3 V3y3 VDV. 275 Ad istum construendum valorem , produc Bm in , A donec fiat BAB 28h ; describe semicirculum BMA , cujus : diameter AB ,, et ex puncto m . erige mM perpendicularem . diametro ::erit. (40... 1..") .MM = V27h .. Sume mit = mM ,, et descripto semicircu lo , cujus diameter BC , duc chordam BD; tum ex B in BC excita perpendiculum BE = Bm , et duc Ed parallelam ipsi BC : recta Ed secabit BD in a : ex à demitte perpendiculum ak in BC ", eritque: Bk = z :-: nam (40. . 1. 37 ) mB mB mB kB KB -; ideoque mBI 2 mM Cm.mB 2 mD ka h 3 , KBS V mB3 mM V V 27h VI. Binos describere circulos , qui et sese et datum circulum ED ... (fig. 392.) cujus centrum C ita exterius contingant , ut junctis omnium centris ex surgat inde triangulum simile dato A'B'C '... Existimetur factum quod poscitur : sintque D., 163 E , H puncta: contactuum , per quae certe (50) transibunt rectae. AC , BC , AB jungentes centra C , A , B : fiant autem A'B ' = a , A'C' =b , B'C' = 0 , CD: = CE = , AD = AH = x , BE BH = 2 . Quoniam triangula ABC , A'B'C ' . ponuntur similia , ic circo (37) a X.cz X + Z i unde 6 rf X с r + z , tä (n. +.2),, + - (n +-2), et by Harum ultima praebet ( 1996. ex . p. , 1.a) 2r + x + b . tac 2r fxfor Z b +c r + b. rtz et adhibitis., substituționibus ,, 2r to (r + x) 6.tc 2r + ( + ) butoс r + 6 . r 十 a ex quibus atb - C -btc btca btc - a rectae nimirum x , z erunt , altera quarta propor tionalis post btc -a , at-6 -C r , altera post btc -a a btc, r . Itaque in dato circulo ad libitum ducto radio v. gr. CĎ , eoque producto donec habeatur at6 AD btc - a61 a BE = con ducto etiam radio CE sub angulo ( 38) DCE = A'C'B' , ipsoque producto donec sit -btc btc - . si centris A , B , et radiis AD , BE describuntur bini circuli , hi et sese et datum circulum exterius tingent, et triangulum . suppeditabunt ABC simile triangulo A'B'C '.

VII. Rectam ducere , quae binos circulos datos AD., A'D' : ( fig. 40 % ..) simul tangat.. Sit AA ' recta quaesita , quae producta Occur rat in E rectae CC' . jungenti centra C , C' ; du ctis ad contactus pancta A , A'radiis CA , C'A ' , triangula EAC , EA'C ' , praeter angulum communem E, habent insuper angulos A , A ' aequales , utpote rectos ( 49) ; factis igitur CC= a , CAGA = r. , C'A = r C'E = x = . , erit ( 35. 2.° 37.) ar' consequenter x = a for et 2 Hinc ( 34) si ducuntur bini radii CB , C'B' inter se paralleli , et eorum extrema B , B' junguntur ope rectae BB' , haec producta secabit CC' ... in puncto E , ex quo si ducitur ( 52. 5. ') recta EA' tangens circulum minorem , eadem et majorem continget patet autem aliam quoque ex ipso puncto E duci pos se rectam Eg' ... , quae utrumque circulum tangat.. Ad haec : inter C et C' facile determinatur quod dam punctum H , ex quo duae pariter duci possunt .. tangentes ; fiat namque C'H = 2 , et erit ar unde z = r AZ Z producto videlicet radio B'C' in K , junctaque BK haec secabit CC' in puncto H , quod novas praebebit. solutiones.

65 a Si r =r' , ' idest si: circuli ponuntur :aequales , ar' , exs istet : x = et 2 : e quatuor sci 0. ! 2 licet tangentibus, binae priores nuspiam occurrent re ctae CC , eique fient parallelae:: binae vero, poste riores bifariam divident in H ipsam CC . . VIII. ' Datis in chorda KP. ( figa 41.a) duobus punctis D , E , invenire in peripheria ejusmodi pun ctum A , ex quo si per ipsa D , Educuntur: binae chordae ADB, AEC , et jungitur BC , sit .BC paral lela datae KP... Problema istud ex illorum genere est , quae : multo facilius, resolvuntur analysi mere. geometrica . quam subsidio ab, Algebra comparato. Quando itaque punctum quod quaerimus , ponitur esse À ; erit sa ne ( 25. 2. ) angulus BCA= DEA ; et ducta tangente BH , quae occurret in H chordae KP productae cum habeamus (52. 1.9 10.º, angulum HBÀ = BCA , ideo - HBA = DEA , et consequenter ( 8 : 35. 2.° ) trian gula BHD , ADE similia"; unde HD : AD = BD : DE , et HD .DE. = AD.BD ; atqui :(52. 12.9) AD . RD = PD . DK , ergo HD . DE = PD.DK , et DE : PD = -- DK : DH ; erit nempe HD quarta proportionalis post datas rectas DE , PD , DK ; propterea determinabitur punctum H inveniendo (33) quartam illam proportio nalem ,, ac : producendo KR donec ei fiat aequalis DH.. Jam ex H ducta ( 52. 5. ' ) tangente HB , et ex conta ctu B ducta BD , haec , si producatur , pertinget ad quaesitum peripheriae punctum A.' . 2

DE PLANO ET LINEA RECTA.

66. Ubi duo , rectae puncta -suntin plano quo dain ' , tota certa (1.). recta in eo jaçebit : hinc si bina plana se mutuo secant , quae recta ducitur per duo. quaevis intersectionis puncta , illa in utroque ja Pars II . , 5 ,66 eaet. cebit ; et quoniam , binorum , planorum intersectia ca... reat oportet omni et profunditate , et latitudine ( 1 ) , erit proinde linea rectà ..

67. Per quamvis rectam infinita, numero planą du ci manifeste possunt . Ad haec : si planum indefi nitum intelligatur gyrum agere circa rectam lineam . quamcumque , profecto, transibit per punctum , extra ipsam rectam utcumque situm ; quocumque nimirum pacto sumuntur tria puncta in spatio , erunt semper in eodem plano , et consequenter ( 66) in eodem pla no erunt quoque, duae. rectae se mutuo secantes.

68. Congruunt inter se bina planą , quibus com munia sunt tria puncta haud constituta in directum . Transeat enim per duo quaevis ex illis punctis li nea recta indefinita , quam secent , aliae atque aliae rectae ductae ex, iertio puncto : tum illa , tum hae omnes (66) in utroque jacebunt plano , ideoque et

69. Plana parallela sunt , quae nuspiam sibi oe currunt , etsi intelligantur indefinite producta. Tunç recta dicitur parallela plano , quum ipsi , puspiam occurrit , etsi ambo indefinite producantur : dicitur autem plano perpendicularis , quum, perpen dicularis exsistit rectis omnibus in eodem plano du etis per punctum , in quo ipsa, et planum sibi oc Quibus positis , haec facile intelliguntur.,

1. si bina plana parallela secantur plano aliquo, intersectiones erunt inter se parallelae; aliter concurrentibus intersectionibus, concurrent et plana ipsa parallela.

2.° binae quaevis rectae AA" , BB" ( fig . 42.a) a planis parallelis P , P , P " secantur in puncțis A. A ', A" , B , B ', B" ita , AA ' BB' A'A * Ducta enim AB"., quae plano P! occurrit in C ; currunt. ut, sit B'B'TBA' ; quapropter ( 12 jungantur AB , AC , B'C , A " B " :. eronta ( 4.9 : 67 , 66.) A'C , A " B " inter se parallelae , itemque B'C ... AB. Hinc. ( 32 ) AA ' AC BB" . АС СВ" B'B ' CB ideoque et caet . ve

3. ° rectae - AB" , BB ' concurren tes in idem punctum B " plani P " nequeunt amhae ipsi P esse perpendiculares ; secus ducto plano ( 66) per AB" , BB3" , et per rectam (66) B'k exhibita ejus intersectione cum P , anguli AB'k, BB'k , utpote re eti , essent aequales , quod fieri nequit .

4.° si recta Al' est perpendicularis duobus planis P., P ' , haec erunt parallela inter - se ; nam ductis quotcumque pla nis per AA' , singulorum intersectiones cum P P" ersistent ( 26) parallelae , ideoque et caet.

5.° simili modo ostenditur (1. 25. 3.9) , si bina plana sunt : parallela , et recla quacdam est planorum alteri per pendicularis , ipsain fore perpendicularem et alteri..

70. Si recta AC ( fig. 43.a) est perpendicularis bi nis ' rectis . CB , CD se mutuo seca Hibus in C , etiam : plano P per ipsas ducto perpendicularis exsistet. Du catur enim ex puncto C in plano. P quaevis, recta Ch , et jungatur BD secans ipsam Ch in k ; produ catur AC infra P donec fiat CA = CA , et jungan tur AB , Ak , AD , A'B , A'k , A'D : erunt ( 13) DA DAB , DAB angulus ADB = A'DB , et consequenter ( 10 .: 1.°) in triangulis DAK , DA'k latus Ak = A'k , proinde ( 13) kC insistet ad perpendiculum rectae , AA' , et vicissim AA' rectae kć. Quoniam igitur AC est perpendicularis cuivis , Ck., etiam plano P. ( 69 ) perpendicularis erit.

71. Hinc: 1. °, per quodcumque datum punctum po test duci planum perpendiculare datae rrctae AB" (fig. 42. ) : nam si datum punctum sit in ipsa AB" ko gr.C , ductis per AB ". duobus planis AB" B , AB" A ", - ac.68 et in iis (22. III.“) ex Gerectis binis porpendiculis CA ' , CB' super AB" , planum A'CB? exsistet perpen diculare rectae AB " : quod si datum , punctum sit A' extra. AB" , ducto per A ' et per AB" "plano .AB'A " et in eo ex A ' ( 22. IV.) demisso perpendiculo, AC supra AB' , tum per AB" ducto plano AB'B., quod non transeat per A ' , et in AB'B ex C erecto perpen diculo. CB' super AB" , planum A CB erit perpendi culare rectae AB" . 2. ° tres rectae CD , CB , CE ( fig . 43.a) prodeuntes ex puncto G rectae. CA , et per pendiculares ipsi CA , jacent in eodem plano. ; secus planum DCB occurreret plano ACE in recta. V gr. CE ' , et anguli ACE', ACE ambo forent recti , quod fieri nequit. Quare si recta CD semper ad perpendi culum insistens rectae AC gyrum , agat circa CA ima motam , gignet planum ipsi CA perpendiculare.

72. Si recta BC ( fig . 44.m) ad perpendiculum insi stit plano P , et in hoc ducuntur binae quaevis rectae CD , DK ad angulum rectum CDK constitutae , erit DK perpendicularis plano P. transeunti per BC et CD , Sumpta enim . DĒSBC , ductisque DB, EB, CE , triangula DBC , EDC praebebunt (10. 1. ) BD = CE : quare ( 12) in triangulis ECB , EDB anguli BCE , BDE erunt aequales ; sed BCE = 90 ° , ergo et BDE = 90 ° , ideoque (20) et caet....,

73. Haec nunc facile stabiliuntur. 1. ° per pun clum quodvis D. rectae CD . concipļatur transire DA parallela perpendiculo BC; tota DA necessario jace bit ( 23 : 68 ) in plano. P' , eruntque. recti ( 72 : 25. 3. ). ADE , ADC , ideoque ( 70) AD perpen dicularis, plano P : e binis videlicet parallelis ubi al tera est perpendicularis plano cuipiam , erit et alte ra. 2.° si binae rectae. AD., BC exsistunt ambae per pendiculares plano, P, exsistent parallelae inter se ; nam , et anguli interni ADC, BCD) erunt simul sum pti aequales duobus rectis ,et DA jacebit in, plano ': transeunte per BC , CD i secus ducta ex Din69 plano P' recta parallela rèctae BC , binae ( 1. ) fox rent perpendiculares ipsi P concurrentes in idem pun ctum D , quod fieri nequit (69. 3. ). 3.º é tribas re ctis AD , BC , HF , licet haud sitis in eodem plano ; si binae v. gr. AD , BC parallelae sunt tertiae HF , erunt quoque parallelae inter se. Ducto enim plano P ita ut 'sit perpendiculare ( 71. 1.° ) rectae HF ,erit P perpendiculare ( 1 : º ) etiañ duabus AD , BG , ideo que (2. ) et caet. . . . 4.° ubi duae rectae AM , AN (Fig.45a ) "fuerint parallelae binis A'M ' , A'N ', licet non jaceant in eodem plano, angulos A et A ' ad easdema partes comprehendent aequales; sumptis enim AB = A'B ', AC = A'C ' , duetisque BC, B'C ', AA' , BB ' , CC ' , erunt BB', A A'atquales et parallelae ( 27) , item que CC ', AA ', ideoque etiam BB ” , CC' aequales et parallelae ( 3.°) , ac proinde binae quoque (27) BC , B'C' ; unde sequitur (12) in triangulis BAC, B'A'C ' fore A = A' . 5.° ex dato puncto B (fig . 44. ) extra datum planum P potest in ipsum P demitti perpen diculum idque unicum ; ducta enim quavis reçtà LK in plano P , in eam ducatur ex B 422. IV. ) perpendicularis BD, tum super ipsa LK ex D ex citetur ( 22. III.') in plano P perpendicularis DQ ; jam si ex B deřnittitur in DQ perpendicularis BC , erit BC perpendicularis plano P : ducta siquidem CH parallela rectae LK , cum ( 70 ) LK sit perpen dicularis plano BDC , erit ( 1. ) et CH ; angulus ita que BCH = 90º = BCD , ideoque (70) et caet.'• ; . Si autem praeter BC duci posset et alia recta v. gr. BE perpendicularis plano P , juncta EC, in trian gulo BEC anguli E et C forent recti , quod esse ne quit ( 35. 100). 6.° dato puncto D in plano P , pote rit inde erigi recta përpendicularis ipsi P ; assum pto enim quovis puncto B'extra P , demittatur ( 5. ) in P perpendiculum BC , tum ex D in plano BCD ducatur (26) eidem BC parallella DA, eritqué ( 1. ) DA perpendicularis plano P. 7 ° si duae rectae MA70 SI NA ( fig . 45.-) se mutuo ' secantes in . A " sunt paralle lae duabus HQ , KQ se mutuo secantibus in , pla num , per illas determinatum erit parallelum plano ds terminato per has : demisso namque (5. ) ex A per -pendiculo AA' in planum transiens per "HQ et KQ , ducantur ( 26) in eodem plano rectae A'M ' , A'N ! pa rallelae biuis HQ , KQ ; erunt ( 3.9 ) AM et A'M' in ter se parallelae , itemque AN et A'N ' ; . quare (69 : ..25. 3.°) anguli N'A'A = 90° = NAA', M'A'A = 90º = MAA' , ideoque . (70 : 69. 4. ° ) et caebo... . Hinc patet quomo do per datum punctum duci possit planum dato pla no parallelum . ltem per datam rectam AB (fig. 44.) parallelam plano P duci, poterit planun ipsi P paral lelum ; assumpto enim in AB puncto quovis R, per R ducitur planum dato P parallelum tota AB in plano isto jacebit , secus AB vel accederet ad P , vel ab ipso recederet. 74. Recta , AC . ( fig 46. ) non sit perpendicularis plano P ; :"demittatur ex A in P ( 73. - 5 .° ) perpendi i culum AB, centro C radioque.CB describatur in ipso P circulus BDE , ducaturque diameter BE , tum sum pto quovis, peripheriae . puncto . D . ,, jungantur AD , CD , BD . Erit (40. 3. ) AD = AB BD ; et quoniam (52. .1. ) , permanente AB, chorda BD eo fit major , quo punctum D magis accedit ad E , idipsum dicendum erit de AD : proinde (11) angulus ACD eo fiet major , quo magis crescet BD , eritquc acutus angulus ACB ( hic est, quem recta AC dici tur continere cum plano P ) minimus , obtusus ' vero ACE maximus omnium ACD . 75. Angulus binorum planorum P et P ' ( quem per (PP') designamus) sese in recta AB (fig. 47.*) interse ABS77 cantium nihil est aliud nisi alterius ad alterum incli natio : liquet autem , si bini anguli ( PP ) , (P'P' ! ) sunt aequales , eos intelligi posse superimpositos ita ut plana P , P' et intersectio AB congruant cum pla nis p " , " et intersectione ab et viceversa . 76. Ex puncto C erigantur super AB 'perpendicula CH , CK s. 47.a) , alterum jacens in plano P. , al verum in plano P' , et simili modo ducantur ch , ck : si angulus HCK = hck ', erit quoque (PP') = ( P" P'"'). Intelligatur enim planum transiens.per ch , ck supe rimponi plano transeunti per CH., CK ita ut punctum c cadat in C , et recta ch in CH ; cadet ( 6) ck in CK , et ( 70 : 69. 3. ") ab in AB' ; proinde congruent inter se (68) bina plana P et , itemque P '" et P ' , eritque ( 75) (PP') = (P'p '). 77. Denotante pe numerum quemvis , qua ratiocinan di methodo jam usi sumus (20) , eadem ( 36) facile ostendetur , si (PP' ) fit p . (PP ) , respondentem quo que angulum ACK ečasurum p. HCK Hinc ( 21) anguluin binorun planorum P et Pl (fig. 44.a) se in quadam recta DQ intersecantium me tilur angulus BCH comprehensus duabus rectis BC et HC , quae in P , P'e quovis ipuncto C intersectionis DQ ducuntur perpendiculares ipsi DQ. Si angulus BCH est rectus , plana dicuntur invin cem perpendicularia. Haec nunc stabiliuntur haud difficulier. 1. ° pla num P ' transiens ' per rectam BC perpendicularein plano P est perpendiculare ipsi P nam ; (69 ) angu lus BCH = 90° . 2. ° si plana P , P sunt invicemi perpendicularia , recta BC in plano P perpendicula ris intersectionis DQ erit perpendicularis alteri plano P ; quando enim et P ' ponuntur sibi invicem per pendicularia , erit angulus BCH = 90° , et quia etiam BCD = 90° , iccirco (70 ) et caet. .'. 3. ° hinc in ea dem hypothesi planorum P'et P' sibi invicem perpen dicularium recta uni ex iis perpendicularis per ita72 . tersectionem ducta jacebit (69.3.°) in altero. 4. ex inde infertur planorum . P et P ( fig . 45.a ) plano P " perpendicularium intersectionem'AA'fore ipsi p " per pendicularem ; siquidem recta, perpendicularis plano Þ " excitata e puncto ' A ' jaceat oportet (3 ° ) in P si mul: et in P ' ; proinde et caet . 78. Plura quam duo plana P , P , P " ( fig . 48.a): invicem inclinata : sese --intersecando : in rectis li neis " AK , * HK , EK , ...• praebent“ angulos AKH , HKE , EKD , ... qui in unicum punctum coeuntes constituunt angulum solidum K. Satis erit hic duo circa hujusmodi 'angulos demonstrare. 1.° uhiangu lus solidus K (fig : 49.a) resultat ex trium -'angulorum BKA , AKD , DKB concursu ; istorum ' bini quilibet simul -sumpti"majores erunt tertio : sit namque DKB eorum maximus , in plano' BKD ducatur KE ita , ut exsistat angulus BKE=BKA , tum sumpta KESKA jungantur BED , DA , AB : erit ( 10. 1.93* BE = BA , et quoniam (9) BA + AD > BD , iccirco'AD > ED ; proindé (11) angulus' AKD: > EKD ; et consequenter BKA + AKD > DKB.. 2. ° , ponatur . nunc generatim solidus angulus K (fig. 48.n) constitui n angulis" AKH, HKE , EKD, eorum summa erit <360 ° : jun gantur namque' AH , HE , ED , ... ita , ut in uno jaceant plano , sicque efficiant polygomum AHED. . , in quo : (35. 7. °) angulorum 'summa BAHHAHE 'HED + :. = (n -- 2 ) 180 ° ; habemus ( 1.9 ) BAH < BAK + HAK , AHE < AHK- + EHK ; et caet. insuper (35) . BAK + HAK to

• AHK + EHK : to.. = n : 180 ° - (AKH + HKE +

EKD + ...) ; igitur (n - 2) 180° < n.180 ° — (AKH + | HKE + EKD F ...) , ideoque AKH- * HKE- + EKDt . < 360° 79. Si ad augulum solidum construendum proponun tur adhibendi anguli regularium polygonorum , poterit73 dumtaxat res expediri per tres angulos pentagonorum , quatuor quadratorum , tres . vel quatuor vel quinque triangulorum aequilaterorum : cum " enim ( 41. 7.9) trianguli aequilateri angulus quivis == 60°' ,, quadrati == 90° , " pentagoni = 108 ° ; exagoni = 120 ° , reliquo rum vero polygonorum majores sint , profecto tres anguli hexagoni praebebunt 360° , ideoque ( 78, 2.0 ) non poterit ex iis construi' angulus solidus , et multo minus ex angulis polygonorum plura latera : haben tium ; tres anguli pentagoni suppeditant 324° ; et qua tuor 432 ° , tres autem anguli quadrati 270 ° ; et quatuor 360° , proinde tribus ejusmodi angulis licebit solidum construere “ angulum , quatuor non licebit ; trianguli demum aequilateri sex anguli praebent 360° , et cou sequenter sex ejus anguli haud poterunt solidum an gulum constituere poterunt vero vel quinque vel quatuor vel tres .

1. DE SOLIDIS QUAE PLANIS UNDIQUE TERMINANTUR FACIEBUS.

80. Ejusmodi solida vocantur polyedra. Regulare polyedrum est, cujus facies consistunt in regularibus, aequalibusque ejusdem nominis polygonis Plana P, P ' (fig .50.) sint inter se parallela, et in plano P describatur polygonum quodvis ABC e cujus angulis consurgant rectae Aa , Bb , CC y ... inter se parallelae determinantes in plano P' polygonum abc ...; inde habebitur polyedrum terminatum faciebus ABC abc ... , AaB quod dicitur prisma, estque rectum vel obliquum , prout Aa , B6 , Cc fuerint perpendiculares vel obliquae plano ABG ... Si reetae consurgentes ex angulis polygoni ABC ... fig. 51. ) coeant in unicum verticem K, exsurget polyedrum terminatum basi ABC ... , triangulisque AKB , BKC, ... quod vocatur pyramis. Bbcc , 31

81. Quibus positis, haec facile constituunttir.

4. * prismatis (fig. 50, bases ABC ... , abcó- sunt ( 69. 1.° + 73. 4°: 28.) polygona aequalia et similia, laterales autem facies AabB , BbcC , ... sunt totidem parallelogramma; ideoque ubi basis ABCD ( fig . 52.) est parallelogrammum , terminabitur prisma sex parallelogrammis , quorum adversa erunt ( 73. 7. ° 4.°: 28.) parallela, aequalia , et similia: ejusmodi prisma. vocatur parallelepipedum; si parallelogramma sunt rectangula; habebitur parallelepipedum rectangulum; quod si :parallelogramma fuerint quadrata, parallelepipedum dicitur cubus: perpendiculum ductum ab una ad alteram prismatis basim appellatur ejus altitudo.

2.0 quaevis prismatis sectio a'b'c' :... (fig. 50) facta plano P " basi ABC ... parallelo est (69. 1 ° : 73. 4.° 28.) polygonum simile et aequale ipsi ABC ..... 3.º secta pyramide ( fig. 51),plano P basi ABC • * . paral lelo ut habeatur sectio abcov , erunt ( 69. 10 : 73. 4. ° ) anguli A = a , B = 6 , C = C ,' " . ; insuper (32) ab КЬ bc Kic cd AB KB BC КС CD sectio itaque abc .... erit polygonum simile ( 41) basi ABC ...

4.° demisso ex vertice in basim per pendiculo KH ( vocatur pyramidis altitudo) quod sectio ni abc.... occurrat in h ; junctisque HC , hc , euun hae exsistant parallelae ( 69. 1.º) , prodibit ( 32) Kh Kc bc "KH KC ideoque ( 41. 7. ) ab to be + cd tori ки AB + BC + CD to . KH et ( 45.7. ) abc .. Kh ABC ... KH ܪ BC ,

5.° ponatur prisma ac (fig. 50) secari plano p ' perpendiculari lateribus Aa , B6 , ... ; factum e quovis latere v. gr. Aa in sectionis perimetrum a'b' + b'cinto dd' + .... exhibebit prismatis superficiem ," demptis basibus ; etenim omnia latera da , Bb • • . ' sunt et "aequalia inter se , et rectis a'b ', b'd' perpendicu laria , ideoque (44. 3. ) et caet... ; si prisma fuerit rectum , recidet ( 2. ) factum illud in factunr ex late re et baseos perimetro.

6.° in pyramide (fig. 51. ) si baseos latera AB , B1) , CD , ... sunt aequalia inter se llemque inter se aequales rectae KA , KB , KC , ... , erunt quoque ( 16. 4.0 : 40. 3. ° ) inter se aequalia perpendicula quae ex K demittuntur in singala late ra AB , BC ,...; in ea igitur qua sumus hypothesi superficies pyramidis , denpta basi , exhibebitur, per dimidium factum ( 44. 4.°) ex perimetro AB + BC + CD +... in unum quodvis ex iis perpendiculis v . gr. Kk. 5.9 secetur ejusmodi pyramis plano Pl. parallelo basi uț prodeat pyramnis truncata Ac ; hujus super ficies, demplis hasibus'abe ... , ABC ... , exhibebi tur (41. 5. ° : 69 1. ° 2.°) per factum e semisumına perimetrorum ab + bc + cd to . , AB + BC +CD ... in perpendiculum v. gr. ki quod e quovis puncto la teris v. gr. ae ducitur ad respondens paralleluin 19 tus AE .

8.° angulorum solidorum pro polyedris regularibus quinque tantum (79) habentur species , unde sequitur ea haud fore plura quam quinque. Porto demonstrarunt veteres , et Euclides persequitur in libro 13. polyedrum regulare componi vele duodecim pentagonis , vel e quadratis sex , vel'e'triangulis si ve quatuor, sive octo , sive viginti.

82. Exhibitis perK -k binis parallelepipedis re ctangulis CE' , ce (fig. 53. ) , et per B , 6 eorum ba sibus CF ' , cf', si altitudines FE , fe ponuntur maca quales , parallelepipeda erunt ut bases , idest76 K В B À 6 1 Assertio haec similiter probatur ac illa quae habetur n . 43.

83. Sumptis cffe = ff ' = 1 , b fiet (44. - 1.°) quadratum = 1 , k . vero (81. -1.9) cubus , eritque " ( 82 : 44. 2. ° KEBik FG . FF k ; et spectato k tamquam unitate ad solida dimetienda haec facile constituentur. 1.° repraesentato per K cubo HM ' , prodibit ( 82 : 44. 1. ° 2. °) 1 ' K' FM FF K FC.FE FG.1 unde FF' K' = K = FF .k = FF " ; FC cubus nimirum K ' aequatur facto ex k ( = 1 ) in 3.am potentiam illius numeri , per quem exprimitar latus ipsius K ' 2.° expresso per K ", "parallelepipedo rectangulo dn ' et per K " respondente cubo D'A , pro veniet ( 82 : 44. 2. ° 1. ' ) K" Dh . Dd " Dh . ' Dd KI" 2 DC - BD proinde ( 1. ) Dh . Dd Ki Dh . Dd , BD Dh . Dd BD ; BD K " obtinetur videlicet mensura parallelepipedi rectanguvel non , li K" multiplicando k .( t ) per factum e numeri cis baseos et. altitudinis: valoribus. .

84. Bina parallelepipeda BE , BE ' ( fig. 55.565 ) , quạe. eamdem habent basim et altitudinem eamdem , ac proinde ( 69..5.°) terminantur superne eodem pla no. parallelo basi , aequalia sunt. Vel enim exsistunt inter lateralia parallela plana AH , CF. ( fig. 55. ) , 1. ° Triangula GAG ' et HBH ' aequalia sunt, ac similia , itemque triangula ECE ', FDF', nec non pa-. rallelogramma AE !, BF ( 30 : 28 : 81..12") ; sequi tur 75 : 77 : 25. 2. ° : 73. 12.) prismata ACE'G , BDF'H sibi mutuo imposita congruere , ideoque aequa lia esse, Dempto igitur prius, ACE'G , dein BDF'H e communi solido ADFG' . , restabunt aequalia parallele pipeda BE , BE. 2. ° Produetis planis BG , DE , DH ' , CG ', F'G ' , ut inde oriatur (69. 160 : 73. 4. °, 7.9 . ) parallelepipe . dum , erit ( 1.0 ) BE - Be = BE '. ,

85. Si rectae AGʻ , BH ' , DE' , CE" sunt perpendi enlares basi AD , productis ( fig . 57 ) lateribus DC , F'E' , ductisque ex A , B , G ' , H ' ' ad ipsa DC , F'E ' perpendiculis Ac , Bd , H'f", G'e' , et junctis rectis ce ' , df", exsurget ( 72 : 73. 1.° 7 ° : 69. 1.° ) parallelepi pedum rectanguluin Ap habens cum parallelepipedo AF' communem faciem AH , eique consequenter ( 84 .. 1. ° ) aequale ; basis insuper AD aequat ( 44. 3.º ba şim Ad . Quodvis itaque parallelepipedum transforma ri poterit in parallelepipedum rectangulum ita , ut bases exsistant aequales , et altitudo eadem ; quodcum que. proinde illud sit , obtinebitur semper ejus men sura ( 83. 2. ) multiplicando kl = 1 ) per factum e numericis, baseos et altitudinis valoribus

86. In eadem hypothesi rectarum AG' , BH' , DF" , CE' ad perpendiculum insistentium basi AD , duccis78 diametris BC , H'E' , planum BH'E'C secabit paralle lepipedum AF' in duo prismata aequalia ABCG'H'E ', BODH'E'F' : patet namque (28 1. ° 2 °. : 69. 3. ° ) ejus modi prismata :ita posse sibi mutuo imponi, ul. Cua-: gruant.

87. . Quodcumque sit ' : parallelepipedum AC' ( figo 58.), planum per adversorum planorum diametros BD, B'D ' transiens secabit AC' in duo aequalia prismata ", ABDA'B'D ' , .CBDC'B'D '. Ducantur enim ( 71.1. ) per A et Af plana Ab , A'b' perpendicularia rectae lineae AA' ; productis B'B :, C'C , DD , exsurget ( 69. 1.0. 4.°) noyum parallelepipedum Ab' , in quo non solum AA , sed et rectae m'm 66., .n'n ( 7.3. 1.° ) erunt per pendiculares basi Abe. Prisma igitur AnmA'n'm' (87 ) erit dimidium totius parallelepipedi bA' ; sed habitis ADD'A' , Ann'A ' pro basibus , parallelepipeda AC' bA' habent (44. 3.") aequales bases , eamdemque in super altitudinem , ideoque (85). aequalia sunt, igitur mA'n'm ' erit quoque dimidium totius: AC . Pyra mides vero quadrangulares ADBmn , A'D'B'm'n' pog- sunt ita sibi mutuo imponi, ut congruant ( 65. 1.º 28. 1.° : 30 : 12) , ideoque aequales sunt : dempta ergo prius ADBmn , dein A'D'B'm'n' e solido : AnmA'D'B ', prodibit prisma ABDA'B'D ' = AnmA'n'm '. Erit igitur et ABDA'B'D ' dimidium totius AC! , ac proinde et caet......

88. Hinc ( 85) mensura prismatis super triangula ri basi constituti obtinebitur multiplicando k .( = 1 ) per factum e numericis bascos et altitudinis valoribns. Quia vero , ductis ( fig . 50, rectis lineis ex B v. gr. in E et D , itemque ex b in e et d , prisma polygo 21 cm resolvitur in plura prismata triangularia ejusdem altitudinis , ideireo eadem pariter ratione habebitur mensura cujusvis prismatis , multiplicando nimirum 1 ) per factum e numericis et caet. . ..

89. In pyramide ABCD ( fig . 59 ) triangulam ha lente basiin dividatur. latus AD in aliquot aequales79 non , partes DF , FE, EA , et per F , E , A ductis pla mis basi parallelis intelligantur pyramidi inscripta prismata triangularia Dinnfsr .,.. FyxEzh , nec eircumscripta prismata , CfDF , sel E , zaEA ; solida Cr , sh , zaEA simul sumpta praebent circumscripto rum cxcessum supra inscripta. Atqui ( 69.. 2 ° : 81.. 1 ° : 88. ) zaEA = FyxEzh , zaEA + sh = selE = DmņFsren ideoque zaEA - shit Cr C /DF ; excessus igitur ille nihil erit aliud nisi totum prisma CADF. Jam si AD in plures sine fine partes aequales dividatur , et consequenter prismatum numerus inde- . finite crescat , fiet DF minor quacumque data utcum que parya ' , ac proinde ( 88 ) etiam prisma C /DF fiet minus quoeumque dato utcumque parvo. Idipsum er go dicendum de circumscriptorum excessu supra in scripta ; unde manifeste sequitur pyramidem ABCD : habendam esse ut communem limitem ad quem tum circumscripta , simul omnia , tum- inscripta prismata indesinenter accedunt ,

90. Pyramides triangulares ABCD , A'B'C'D ' aeque altae, et super aequalibus bagibus constitutae quales sunt . Intelligantur enim , utrique pyramidi cir cumscripta prismata ,trigona aeque multa , et aeque alta , exhibeanturque pen SetSeorum summae ; erit. constanter (88 : 81. 4. ) > ae SS?' ,, ideoque S. S Habenda est autem (89 ) ratio ABCD A'B'C'D ' ut limes rationis S S80 ABCD » Restat itaque ut exsistat t , ac pro A'B'C'D inde ABCD = A'B'C'D '.

91. Pyramis trigona. B'BAC (fig . 60 .)..est pars ter tia prismatis habentis eamdem basim et altitudinem . Ex A et C ducantur rectae lineae AA' , CC ' ae quales et parallelae ( 73 2.0.6 %) lateri BB' , ut , jun cuis A'B ' , A'C ' , exsurgat ( 27:12 : 73. 7.9 prisma ABC'. Ducta diametro XC' , praeter B'BAC habebi mus in prismate et duas alias pyramides trigonas AA'B'C ' , B'ACC' , eritque ABC ' = B'BAC +AA'B'C ' + B'ACC .. Jamvero ( 90 : 81.1.') AA'B'C ' = B'BAC ; et quia py ramis AA'B'C' spectari potest tamquam habens basim AAC et verticem B ' , iccirco (28. 29 : 90) B'ACC' AA'B'C '. Ergo ABC ' = 3B'BAC ; ac proinde B'BACS ABC'.. 3 ,

92. Hinc (88) mensura pyramidis triangularis obti netur multiplicando k ( = i ) per trientem facti e numericis baseos et altitudinis valoribus. Et quoniam ductis vig . 51). ex B. v. gr. rectis lineis in E et D , resolvitur pyramis polygona in plures pyramides triangulares ejusdem altitudinis , iccirco eadem pariter ratione assequimur mensuram cujusvis pyramidis multiplicando nimirum k = 1 ) per trientem facti et caet.... ; unde manifeste sequitur illud ( 88) : omnis pyramis tertia pars est prismatis habentis eamdem basim et altitudinem.

93. Designantibus . B et B' bases , A et A ' altitudi nes sivé prismatum Q.et l ' , sive pyramidum q et 9 ' , quia (88. ; 92.) Q : Q = A.B : A , B' , 9 : 9' = AB: A'B', 1 TA // )84 ideo 1. facta B = B , erit Q : Q = A : A ' , 9 : 9 = A : A?, et facta A = A ' , Q :- ( = B : B' 9 : 9 ! = B : B' ; prismata videlicet , itemque pyramides erunt ut al titudines si aequales habuerint bases , erunt autem ut bases si aequales habuerint altitudines. 2.° si ba ses fuerint reciproce ut altitudines , hoc est B : B ' = A' : A , erit (194 ex p . 1.a) Q = 0,9= 9'.3. vi Qeversa si Q = Q , q = q ' , erit B : B = A' : A.

94.. Dimensio pyramidis truncatae Ac (fig. 51) obti netur ex datis basibus parallelis ABC ..., abe ... , earum lateribus homologis v., gr .. BC , bc , et altitu dine hH . Est enim ( 81. 4. : item . 196 ex p. 1.9) ΚΗ, Kh : Kh = BC bc : -bc , bc.hН unde. ( 194 ex . po 1.a ) Kh = BC —bc Hinc vero (92) pyramis. bc . hН Kabc 3 BC —bc et pyramis KABC.. (Kh + AH)ABC .... abc ... 1 4 1 ВС.hН BC . -be . ABC ..... ; 3 ideoque pyramis truncata Ac = KABC ...... - Kabc ..... hH ( BC . ABC .... abc BC . bc Pans II. 6 bc : CBC be --- )82 1 7 . yo 1

95 , Universim . polyedrum , quodvis. in. plures divia sum pyramides licebit metiri, omnịum siquidem (92) pyramidum summa praebebit totius polyedri dimen sionem.

96. Polyedri cujusvis superficies potest generatim (44) repraesentari per factum ex s = 1 ) in nume ricos duarum rectarum valores. x soliditaș. vero ( 92) per factum , ex k (51) in , numericos trium rectarum , valores x , y , z. Datis itaque binis, polye dris , quorum , superficies, a , a , soliditates autem ß , B', erunt Q : 6 = xy : x'y' , B : ß ' == xyz : xyz : x'y'z' .. Quod si fuerit X : X' = y : y = z : z prodibunt a :43.3 " = gt.: .!? ,. B.::$'=x?:33 = : 7'3 = z : 23. uti conțingit polyedris similibus. Porro similia.polye dra dicuntur , quae et similes habent facies et si militer positas , et aeque invicem inclinataso. 1

DE CONO, CYLINDRO ET SPHAERA

97. Solidum inclusum area circulari BED (fig .61. ), et superficie genita motu, rectae AB radentis ipsam BED semperque, transeuntis, per punctum quoddam A situm extra planum BED, dicitur conus. Recta genitrix AB vocatur latus coni, circulus BED basis, punctum A vertex, recta AC transiens per A et circuli centrum, C axis; qui si fuerit perpendicularis basi, conus appellatur rectus, secus obliquus.

98. Conus quivis ABED secetur plano parallelo basi , sectio erit circulus, cujus centrum in occursu83 ce axis cum eadem sectione.. Sit enim bed ' sectio basi BED parallela oecurrens axi in c ; planis autem ABC , AEC in rectis : bc , .ce. „ Erunt (69. - 1. ) CE et ce , itemque -- CB et cb parallelae ; ideoque ( 32) Ac . cb CE AC CB et- quia CB = CE , iccirco cb = ce , ac proinde et caet... Notetur illud : comparatis inter se tum peripheriis , tum areis circuloruin BED , bed illarum ratio exhibebitur (61) per : ce Ac ce Ac harum vero: per: CE AC : CE : AC ..

99. In cono obliquo demittatur perpendiculum .AH in basim ., ducaturque per H diameter BCD ; angulus ACB erit maximus. omnium angulorum ACE , angu lus: ACD minimus , ipse autem ACE eo fiet "minor , quo magis E recedet a punctoB et accedet ad D : pa tet. ex dictis (74 ). . Hinc ( 1.1): rectarum * omnium AE : maxima est AB , minima AD , ipsa vero · AE, eo fiet ; minor. quo magis E irecedendo a puncto B accedet ad D.

100. Intelligatur basi- BED inscribi , et circumscribi polygonum regulare , , sitque in numerus laterum tam inscripti- p ! quam circumscripti p ' ; .concipiantur insuper e singulis utriusque polygoni angulis ductae rectae lineae ad verticem A , ut inde exsurgant pyramides q', 9" , altera cono inscripta , altera circumscripta. Erit ( 93. : 1.9) q ! Pр 9 '. Atqui aucto n indefinite , vergit secundum mem 17 pi84 brum (58 : 59.) ad limitem = 1 , ergo et primum ad eumdem verget limitem . Conus itaque spectandus erit ut limes ad quem indesinenter accedunt q , q". Factis igitur radio CD = r , AH = a , cono ABED = 9 formula (92) 1 g' =fap' praebebit in limite (62) 9 ner’aq

101. Dimensio coni truncati Bd obtinetur ex basibus parallelis bed , BED , et altitudine hHa'). Fiat enim Ah = % , radiusque cd = r ; quoniam ( 69, 1. ° : 32 ) Ac & ta' АС iccirco ( 196. ex p . 1.a) a'r ' a' : z > r -rom , z = alter per Bd Conorum igitur ABED , Abed ( 100) alter exhibetur per 1 ta'rs 1 Ta'p 3 3 propterea πα ' πα ' ( * + rr' + p's ), 3 3

102. Si conus ABED ( fig . 62.) est rectus , expressis per S!, S' superficiebus pyramidum ( 100) q' , q " (demptis basibus) , per t' , t' perimetris polygonorum p ', p " , per v' uno quovis e perpendiculis quae demittuntur ex vertice in latera polygoni p' , et per çoni latere AB , erunt (81. 6.° : 54. 5.9 10. 1.0 : 13) )S ' = ft'u ', 5 = 1 t'u : sed aucto indefinite n , rationes iT vergunt (56 : 58) ad limitem = 1 ; verget ergo ad eumdem limitem et ratio S " S' Superficies itaque coni ABED spectanda erit ut limes superficierum S' , S" ; et consequenter si fiat superficies illa = S , radiusque CB = r , altera ex S' , S " praebebit in limite (58) S = 1.27rv = ATV.

103. Ad haec : facta sectione bed parallela basi positisque Bb = u , cb = r', superficies ( = 0) coni truncati Bb erit ( 81. 7.9) 1 ( 2tor + 2nr' )u = (r + r )u. Secta insuper bifariam Bb in f , ductaque perf recta fs parallela diametro BD , habetur ( 32) bc Ab Af_bf BC AB Af + bf fh AT Af fh Af Af BC ti bc ideoque = 2 , BC + bc = 2fh ; fh facta igitur fh = r" , erit quoque o = 27r'u.

104. Solidum inclusum superficie genita motu parallelo rectae AA' (fig. 63 ) radentis circulum ABD positae extra ipsius planum, vocatur cylindrus. Circulus ABD dicitur basis, recta CC ' per centrum basis ducta, et rectae AA' - aequalis - et parallela acis.., qui si fuerit perpendicularis plano ' basis , cylindrus appellatur rectus , secus.obliquus , recta vero:illa mo bilis dicitur cylindri latas. Cum igitur 'AA' , CC !, itemque BB '., CC' sint aequales etparallelae , erunt quoque (27) AC ,A'C'. , nec non BC, B'C' . aequáles et parallelae ; proinde fa cies , qua' superne" terminatur cylindrus , erit:circu lus aequalis et parallelus (73.. 7. °) basi , habensque centrum in -- extremo-axis puncto C.

105. Quaevis sectio 'A " B " D " basi parallela est: cir culus basi" aequalis , cujus centrum in occursu C " -axis cum ipsa sectione , etcylindri latera binis parallelis planis intercepta erunt inter se aequalia ; : nam prae ter parallelismum rectarum BB" et CC " , "AA" et CC" habemus quoque (69. 1. ') parallelismum rectarum BC et B'C " , AC et A " C " ; ideoque ( 27) et caet.....

106. Intelligatur basi: BED inscribi , et circumscri bi polygonnm regularė,, sitque in numerus , laterum tam inscripti p' quam circumscripti p " ; - concipian tur insuper e singulis utriusque polygoni angulis du ctae rectae lineae parallelae axi , ut inde proveniant prismata Q ', 1 " , alterum cylindro :inscriptum , alterum circumscriptum . Erit ( 93. : 1. ° ) Q " Q' Pр Sed crescente n indefinite , vergit ( 58 ' : "59) -se cundum membrum ad limitem = 1 : ergo et primum verget ad eumdem limitem . Cylindrus itaque conside randus erit. ut limes ad quem jugiter accediunt Q'- , Q ". Factis igitur radio CA = r , cylindri seu prisma tum altitudine =a , ipsoque qu cylindro : = l , formula Q = pa praebebit in limite (62) Q = r’a . I .82

107. Ex dictis ( 100 : 106) haec manifeste profluunto

1.° omnis conus tertia pars 'est cylindri eamdem ba sim et altitudinem habentis.

2.0 conorum aeque alto rum ratio eadem est , quae basium ; quod si ba ses fuerint aequales , ' coni erunt ut altitudines : idem cylindris accidit.

3. ° coni aequales reciprocant bases et altitudities : et si reciprocant , aequales sunt ; idipsum cylindris contingit.

4. ° ' coni nec non cylindri 'similes sunt ut cubi diametrorum quae ad bases pertinent ; porro similes coni ac cylindri vocantur , quorum axes et sunt basibus aequè inclinati , et ipsarum diametris proportionales.

108. Si cylindrus est rectus , exhibitis per S ' , S ' superficiebus prismatum ( 106) Q , Q" (demptis basi bus ) , per t'; t" perimetris polygonorum p', p" , et per v cylindri latere , ' erunt (81. 5. ° ) S'S t'v ; S " = tv. Atqui aucto indefinite numero ' n ', ratio T vergit (58). ad limitem =1 , verget 'ergo ad eumden limitem et ratio gi S. Cylindri itaque recti superficies spectanda eritut limes superficierum S ' ,, S" ; et consequenter si fiat superficies illa = S ; radiusque baseos = r ; ex S ' ;, S " suppeditabit in limite ( 58) S = 2try.

109. Solidum inclusum superficie genita motu sea miperipheriae círcularis AHB ( fig. 64 ) circa diametrum AB , vocatur sphaerà , cujus centrum est ipsum88 superfi semiperipheriae generantis centrum ; diameter recta quaevis per centrum ducta , et utrinque ad ciem terminata , radius recta a centro ad superficiem ducta. Quisque autem videt aequales esse omnes dios , quorum binos continet diameter.

110. Si sphaera AHBF secetur utcumque plano , se ctio erit circulus. Patet assertio ( 109 ) si planum transit .per C. Sit igitur sectio HeF haud transiens per centrum sphae rae ; et ad ejus planum ducatur ( 73. 5. ° 6. ° ) perpen dicularis diameter AB.quae ipsi occurrat in 6. Trian gula Cce , CcF rectangula in c habent latera Ce , CF aequalia (109) , et latus Cc commune ; ergo ( 45. 1. ° ) quodvis latus ce aequabitur cuivis cF ; ideoque Her erit circulus habens centrum in c. Liquet autem ob angulum in c rectum fore ' ra dium ce minorem radio CE , et eo minorem (45. 1. ° ) , quo major exsistit Cc. Quod si, abeunte c in C , eva nescat cc , fiet ce maximus et Ge. Liquet quoque illud .: si sphaera secetur plano , et in eo e centro circularis sectionis erigatur perpen dicularis recta , haec per sphaerae centrum transibit; etenim ostensum est perpendicularem rectam , quale e sphaerae centro ad cujusvis sectionis HeF planum ducitur , transire per ipsius HeF centrum .

111. Intelligatur duci planum ( 71. 1. ° ) ita , ut et transeat per diametri extremitatem B , et ipsi diame tro exsistat perpendiculare ; profecto sphaerica super ficies secabit (69:16 . 1.° quamvis rectam obliquam du ctam e centro ad planum illud ; consequens est ut reli qua plani puncta cadant extra superficiem sphaericam , quae propterea dicitur ab eo tangi in unico puneto B. Ejusmodi itaque planum sphaerae tangens est ; viceversa , ubi planum est sphaerae tangens in B , exi stet quoque perpendiculare radio CB ducto ad pun ctum contactus B ; erit namque CB minima omnium'89 gnet ili yectarum , quae ex centro duci possunt ad planum ; ideoque (70 : 16. 1. ° ) et caet. ...

112. In semicirculo Ai'B ( fig . 65) ducatur e centro C ad chordam ili" perpendicularis recta Ci ,, quae bi fariam dividet ipsam i'i " (47) ; tam ex i , ;' , i" du ctis ad diametrum AB rectis perpendicularibus ic , i'h , i'e, in hanc postremam demittatur perpendiculum i'g . Jam si gyrat semicirculus circa diametrum AB , gi superficiem ( = U' ) coni recti truncati erit que ( 103) a = 27 . ic . i'i" ; triangula vero similia ( 39) i'i'g , Cci praebent ic : iC = i'g : i'i" , ideoque ic . i'i " = ic . i'g = iC . he ; igitur a = 27.C . he . Ubi chorda fuerit Ai' , ejus rotatione gignetur integra coni recti superficies ( = & " ) ; et ducta e cen tro ad Ai' recta perpendiculari Cx , erit ( 102) a = tih . Ai' = 27. ih . Ax ; sed praeter angulum A cominunem habent insuper triangula Ai'h , AxC angulos in h et x rectos , ideo que ( 35 : 37) A.x : aC = Ah : ih , i'h . Ax = xC . Ah ; ergo a = 21. aC . Ah . Quod si chorda fuerit i'i"' parallela diametro AB, gignetur ejus rotatione superficies ( = 2 " ) cylindri recti ; et ducta e centro ad i'i'"' recta perpendiculari Cz , erit (108 ) all I 276. Cz . ed." 90 Factis Airii" = ;" " , erunt quoque (47.5.0) Cx = Ci=Cz , ac proinde ata" t = 276 . Cx . Ad .

113. Ex quibus haec facile intelliguntur.

1.º si semicirculo Kxx'D (fig. 35 )"concipiatur inscribi semipo lygonum quodvis regulare KABD., atque ad unum ex ejus lateribus v. gr. AB ducatur e centro G.perpendicularis recta Gi, semiperimeter polygoni generabit rotatione sua circa diametrum KD superficiem (= ) ita , ut sit B = 27-. Ći . KD .

2. ° si eidem semicirculo Kxx'D intelligatur circum scribi (54. 4. ° 5. ° 6. ° ) regulare semipolygonum kabd simile priori, quoniam centro C et radio Ck descripto circulo , is transit per reliquos vertices a , b , d , tă. ( 54. 5º) , iccirco 'superficies ( = e " ) , quam rotatione sua circa .kd generat semiperimeter polygoni exhibe B " = 27t- Cxs, kd.

3. hinc vero B " Cic kd B' Ci KD Sed aucto indefinite numero " laterum utriusque polygoni , vergunt ( 58) Cx kd Ci KD ad communem limitem = 1 ; verget igitur ad eum = dem limitem etiam B " B

4.° Superficies itaque sphaerica ( = 3 ) habenda erit bitur per91 pro limite superficierum B! 9 B " ; ideoque"facto radio Cx = r , altera ex ß' , S" suppeditabit in limite B = "41012; sphaerica nimirum superficies est quadrupla (62 : 110 ) circuli maximi.

5.° sphaerarum superficies sunt ut radiorum seu diametrorum quadrata .

6.° si concipiatur cylindrus' rectus circumscriptus sphaerae habens pro axe diametrum AB ( fig. 65 ) , pro basi circulum aequalem circulo sphaerae maximo , sphaerica super ficies erit aequalis cylindricae superficiei demptis ba sibus ; utraque enim exprimitur ( 108) per 4Tr?; in clusis vero basibus, ut 2: 3 sic altera erit ad alteram.

7.º sphaericae superficiei pars ( = w quae gignitur rotatione arcusv. gr. Ai" circa diametrum AB (demis so ex i " in AB perpendiculo ille , et'facta Aery) exhibetur per w = 2nry = 12ry "; aequatur nimiram areae circuli habentis pro radio chordam Ai" ( 40. 2.° 52. 1 ° : 62).

114. Iisdem positis ac supra ( 112) , area triangu laris ACi rotatione sua circa AC gignet solidum ( = u ") quod resolvitur in binos conos rectos , alterum e con versione trianguli Aih , alterum e conversione trian guli i'Ch ; propterea ( 100) 1 1 re " T.c'h (Ah -- CA ): (A44C) h.AC i'h ; 3 3 Sed ob similia triangula Ai'h , ACx est AC : Cx = Ai' : c'h , ideoque AC : i'h = Cx . Ai':; igitur 1 nih . Ai' . Cx = 3 1 a " , C= ;92 solidum nempe pe" exprimitur për trientem facti e su perficie genita 'motu lateris Ai' in perpendiculum Čx , quod e puncto Gducitur ad ipsum Ai'. Hinc productis i'i', CA usque ad occursum | quia excessus solidi geniti rotatione trianguli isCf supra solidum genitumrotatione trianguli icf prae bet solidum ( =' ) proveniens e conversione trian guli i'Ci " , idcirco . = d.cie Ad solidum ( = ) obtinendum , quod gene ratur conversione trianguli i"Ci satis erit animad vertere illud nihil esse aliud nisi excessum cylindri geniti rotatione rectanguli i'edi supra conos rectos qui gignuntur rotatione aequalium ac similium trian gulorum i" Ce , i '"'Cd ; itaque ( 100 : 106 ) 2 iď.ed 7.7'" . ed = le 3 = TT 1/을 21 . Cz . ed . Cz = ſa". Cz. Factis Ai = ii" = ii!! erit > pe' + k" + " = (6 +4" + " ). Cr.

115. Retentis iis , quae dicta sunt ( 113) , haec nunc facile stabiliuntur.

1.º semipolygonum quodvis re gulare KABD ( fig . 35 ) semicirculo Kxa'd inseri ptum generabit rotatione sua circa diametrum KD solidum ( =6' ) ita , ut sit 1 3 s'.Ci ; semipolygonum autem regulare Kabd eidemi semicir93 culo circumscriptum gignet solidum ( =5" ) ita existat 2 1 B " . Cz.

2.° hinc vero 911 BT Сх GP B Ci sed aucto indefinite numero laterum utriusque semi polygoni , vergunt " Cx Ci ad communem limitem = 1 ; verget igitur ad eum dem limitem et GH 6

3.° sphaera itaque ( = 9 ) habenda erit pro limite solidorum 6' , 6" ; ideoque alterum ex , " prae bebit in limite 4 Bare Ar3, 3

4.° sphaerae sunt ut radiorum seu diametrorum cubi. 5.0 si praeter circumscriptum cylindrum (113. 6. ° ) concipiatur conus rectus habens pro axe diame trum sphaerae , et pro basi pariter circulum sphae rae maximum , erunt ( 100 : 106) ut numeri 1 , 2 , 3 sic conus , sphaera , cylindrus. 6. ° sector sphaerae ( = ' ), id est solidum quod generatur rotatione se ctoris circularis v . gr. Ai'c ( fig . 65 ) circa AB , per hunc modum exprimitur 1 1 P TI . 2ry .ri 3 3941 aequatur nimirum cono habenti pro basi circulum rãe . dio.Ai" , et ipsius sphaerae radium pro altitudine.. 1

DE LINEIS TRIGONOMETRICIS.

116. Ex tribus lateribus, totidemque angulis cujusvis trianguli si dentur tria, fere semper possunt reliqua determinari; ejusmodi investigationem edocet trigonometria; et ea quidem, quae non alia considerat triangula quam in pļano descripta et rectis terminata lineis, dicitur: plana: .. quae vero contemplatur triangula, constituta - in sphaerae superficie ab arcubus circulorum ipsius sphaerae maximarum dicitur sphaerica. Utimur ad resolvenda triangula quibusdam lineis quae dicuntur: trigonometricae; sunt vero sinus, tangens, secans, sinus versus, cosinus, cotangens, cosecans, cosinus versus; quarum omnium natura et proprietates sunt exponendae...

117. Esto circulus NEN'E ':(fig . 66.9) in cujus centro C. se se ad angulos rectos intersecant diametri NN' , EE' ,; et ab extremo N diametri · NN ' suma tur arcus quilibet NK in peripheria circuli. Demittantur ex altera arcus extremitate K duo perpendicula KM , KM ' in diametros NN' , EE ', et per eam dem extremitatem K ducatur ex C recta CKP. Demum ex punctis N , E tangentes ducantur TT' , DD' quae alicubi occurrent lineae. CP ex. gr. in B. et H. Recta. KM ( = MC) dicitur sinus , NĎ tangens , CB secans , NM sinus versus , KM ': CM ) . cosinus , EH cotangens , . CH cosecans , EM ', cosinus versus arcus NK , atque adeo anguli NCK. Facto autem ar cu NK a , lineae istae omnes sic ,breviter indican tur . sina , tanga , seca , , sin sa cosec : a. , , COS.V.Q.

118. Itaque permanente in N initio arcus se se pro COS A. , cot aret tendențis ad quodvis peripheriae punctum , sinus erunt, semper referendi ad diametrum NN , cosinus ad dia metrum EE' ; tangentes, accipiendae in . TT a puncto N , secantes et consecantes a centro C in diame tro mobili per terminum arcus transeunte , sinus ver si in NN' ab N., cotangentes in DD' ab E , cosinus, versi in EE' ab E... Sinus , tangens , secans crescunt ab N ad E , ab Nad E' ; decrescunt ab E ad N , et ab E ' ad N ; in N , N' sin . = 0 , tang. = 0 , sec. = radio ; in E , E' sin . , radio ,, tangens. et secans evadunt infinitae , quia CK , TT' fiunt parallelae... Cosinus , cotangens , , cosecans decrescunt ab N. ad E et ab N ' ad E '. ; - crescunt ab. E ad N , et ab . E' ad N ; in N , N' cos. = radio , cotangens et co secans fiunt infinitae ; in E , E ' cos.Si, cot. = 0 , cosec. , radio ... Sinus versus crescit per totam semiperipherjam superiorem NEN' ; decrescit per totam inferiorem; evanescit in N .; aequat radium in E , E ' ; aequat dia metrum in N! Cosinus versus crescit per totam semiperipheriam EN'E' ; decrescit per totam ENE , eyanescit in E ; aequat radium in N , N ' ; aequat diametrum in E '.

119. Quod si arcus illi censcantur positivi , quorum progressus fit ab N ad KE ... ; negativi autem quo rum progressus fit ab N ad partes oppositas. K'E '.... ; ac praeterea quae lineae trigonometricae respiciunt arcum positivum et quadrante minorem , habeantur pro positivis ; e situ , quem eae obtinent, facile in telligitur tangentes, et sinus esse positivos, vel negativos , prout inveniuntur supra , vel infra diametrum NN' ; cotangentes et cosinus esse positivos , vel ne gativos , prout jacent dextrorsum , vel sinistrorsum relate ad diametrum EE' ; secantes et cosecantes es se positivas si eamdem habent directionem cum radio , 196 per terminum arcus transeunte , esse vero negativas si directionem habent contrariam . Ad sinus versos , et cosinus versos quod attinet , utrique manent semper positivi ; illi enim diriguntur omnes ab N ad N ' ; hi vero ab E ad E. Vide subje etam tabellam Ab Oº ad 90 ° / 90 ° 180 ° [180 ° ... 270° 12700 a . • 360 ° Sin . Coseca . Cos. Sec. li + } 1 Tangº Cot . a

120. ' Retento puncto N pro arcuum initio , termini arcuum a et -a- incident (47) in extremitates cujus piam chordae v . gr. LL' a diametro NN ' sectae bifa riam , et ad angulos rectos. Hinc ( 119) sin sina , cos cosa nec non ( 10. 2. ° : 49 : 8) tang - = - tanga , sec - a = seca , sin.v.a= sin.v.a , cot a = scota , cosec - coseca , COS.V .- & cos.v.a + 2sina.

121. Sive a sit positivus , sive negativus , quoniam à = 45° — (45 ° — a ) , 90 ° — a = 45 ° + ( 450 - a) , patet duorum arcuum a , et 90° - a terminos aequi distare ab extremo Rarcus NR = 45 °. Congruent97 " 5 igitur cum - extremitatibus : cujuspiam chordae v. gr. FF' , quae . a diametro RR' secatur bifariam et ad angulos rectos. . Altero autem ex extremis F , F' dexen trorsum vel sinistrorsum posito relate ad diametrum EE ' , alterum supra , vel infra diametrum NN '. erit situm . Igitur sin(90 °—a), et cose ; item cos( 90 °-a) , et sina sunt ambo vel positivi , . vel negativi (119). Quare , cum habeatur FE =FN , FN = FE' , erit ( 10. 2.°) sin (90 ° -a ) = cosa , cos( 90° -a)csina ; itemque tang( 90 ° a ) = cota - sec (90 ° -a) = coseca , sin.v. (90 ° _a) = cos.v.a , cot (90 ° — a) tanga , cosec( 900-2) = seca , cos.v. (90 ° —a) = sin.v.a . Duorum arcuum a , et 90- aalter vocatur con plémentum alterius..

122. In his aequationibus substituatur : a -- 90 ° loco arcus a ; prodibunt ( 120 : 121) sin (180 °: -2) = sina ; tang (180 ° -a) = - tanga , sec(180 ° -a) = seca ; sin.v..( 180°-a) =sin.v.a to 2cosa ; cos(180 ° —a) = cosa , cot (18 ° —a cota , cosec( 180 ° -2) = coseca ", cos.v. (:180 ° -a) = cos.p.a . Duorum arcuum a et 180° - a alter dicitur supple mentum ; alterius...

123. Triangula rectangula CKM ; CNB , CEH prae bènt (45..1.0) CK = KM + CM , CB = CN + BN CH = CE + EH ; triangula vero similia CKM , CBN , itemque -CM'K , CEH -praebent ( 37) BN_KM CB_CN EH MK , CH СЕ CN CM CK CM . ' 'CE . M'C' CK CM"' PARS II. 298 Hinc facto radio CN = t , ac retenta littera a ad arcum KN designandum , erit ( 117 ) 1. = . sin a +.cos’a ) sec° a = t + tang'a , ( i). cosec? a = .1t.cot’a , . sin a 1 tanga, sec a COS a COS a cos a sin a ( ) cota cosecas tangą sina Est insuper NM = = CN -— CM . , EM' =CE - CM ;; proinde sin.y.a = 1.— .cos Q , COS..V.2, 3.1 - sina

124. Si radius CN 3.1 mutaretur utcumque. et eva-. deret r . , lineae. quoque trigonometricae arcuum simi. lium , vel angulorum aequalium mutarentur, in eadem ratione: 1. : r. Utcumque enim radiuș CN concipiatur , auctus , vel imminutus . , semper tamen figura 66.a permanet sibi similis , et omnia triangula eosdem angulos servant quos antea habebant. Quamobrem si lineae trigonometricae quae referuntur ad radium 1. , multiplicentur per novuin radiumr, provenient lineae quoad ipsum r .

125. Cum igitur in quolibet triangulo, rectangulo PQR ( fig . 67 ) habita hypotenușa PO pro radio , ca theti. QR , PR sint , relate ad radium PQ., sinus an gulorum oppositorum , et cosinus adjacentium ( 117 ) , proinde factis PQ , = h , QR = 9 , PR =g' , et an : gulo QPR =b , erit ( 124 ) g = hsin bug' = .h coș bi, 8 ( i " ) tangb, unde (123) 8

126. Sint nunc duo quilibet arcus ( fig .-682) NK = syon NK' =b , eorumque differentia KK dividatur bifa riam in zi ; erit.. din b ZK -ZK' : > NZ - 2 . 2 ducatur chorda KK' , quae pariter secetur bifariam in Y ; et ex punctis. K , Y , K' demittantur, perpendicula KM , YX , K'M ' in diametrum NN' : denique ex cen tro Ċ ducatur ad punctum Z radius .CZ ( = 1 ) , qui chordae KK' occurret ad angulos rectos in Y. Quoniam per constructionem KY = KY , erit

• CM + CM MX = M'X ; hinc CX = 2

> seu (117) cos a t cos b : CX = 2 Jam vero triangulum CXY rectangulum in X. praebet (125) CX =CY.cost ( a + b ) ; est autem ( 117) CY = cosa— b ), ideoque CX = cos (a + b )cosaa— b): - ergo cosa + cosb = 2cosa + b )cos (a − b) ...(ilv).

127. Haec nunc facile stabiliuntur.

1. ° in ( 1 ) subrogetur 180° a in locum arcus, a : quoniam ( 122 : 120 : 121 ). at cos(180º + a ) = - cosa , cos ( 90 ° + 2 msin i ( a + b ), cos cos (60° +--sin 1 (2-6) ; 2 .. erit propterea cosb — cosa = 2sin 1 (a + b ) sin 1 (2-6 ) ... (iv. }.

2.º in ( i1V.) , (iv ) scribatur 90 ° - a pro a , et 90° -b pro b , exurget ( 121 : 120)100 . Cosa (in ) sina + sinb = 2sin 1 ( a + b )cos (@_b) , șina - sinb.= 2cos i (a +b )sin i ( a -b) .

3. fiat b =0 in ( le (i ) , (2V) ; prodit ( 118) 1 + cos a = 2casº fa , 1 cosa = 2sin fa , (1911) sin a = 2sin a cos fan

4.° non pluribus opus est ut, intelligatur fore etiam ( 123) cosb tang A (a + ) tang 3 ( a –6), cosb + cosa șina -sinb tang fla - 6 ) sina tsinb. tang (a + b ) ' 1 cosa =tangº da. 1 * cosa .

5. ponatur a + b pro a , et a- b.in (z ?" ) , ( iv) , (iv) ; exsistent cos(a + b ) + cos(a - b ) = cosa cosb , cos( a -b) -- cos(a + b ) = 2sin a sin b , (ix) sin ( a + b ) +sin ( a - b ) = 2sin a cos b , sin ( a +b) sina - 6 ) = 2cosa sinb .,

6.° exinde per solas additionis, et subtractionis operationes, eruuntar . cos(a + b ) = cos a cosb, F. sin a sin b ... (ix) sin ( a + b ) = sina cosb = cos a sinb .

7.0 harum aequationum secunda per primam divi $ a , atque tum numeratore , tum denominatore secundi }101 membri aequationis inde provenientis diviso per eosa cos b , prodibit ( 123) tanga tangb tangía b ) ( 2x). 1 tang a tangb

128. Datis tribus arcubus a , b , c , scribatur a -te pro a in prima ex aequationibus ( 21%) ; erit cos ( a + b + c) + tos( a + c -b2cos( a + c)cosb . Subrogato autem in aequatione illa a -c in lo cum arcus a , proveniet cos ( a + b - c ) + cos(a + bc) = 2cos( a — c )cos b ; ergo ( 120 : 127. 5.9) cos( a + b + c )-4- cos(a -tc - b ) +cos ( a + bc) to cos(b + c a ) = 4cos a cosb cosc ... ( 2x17).

129. Notetur illud : cum sinus arcus a sit ( 47) sub duphus chordae subtendentis arcum duplum 2a , ex primetur ipsa chorda per 2sina . Ad haec : si ab ex tremis punctis arcus 2a intelligantur agi binae tangen tes , et ad mutuum usqúe occursum produci , earum summa exhibebitar (52. 5. ') per 2tanga. Hinc , assumpto 2a 180 ° , 'erit 1º. 1 1 2sin a < 2a2tanga , ideoque sin > ܨܠ܀ tang a et consequenter sin a 1 1 tanga COSA ) > 1 . a Cosa 2 '. si ponitur à indesinenter imminui ut vergat ad limitem , erit 1 lim . cosa 1 limo cos a102 ac proinde sina tanga lim . 1 lim . a a

De resolutione triangulorum rectilineorum.

130. In triangulo quovis rectilineo exhibeantur (fig. 67^a) per $A,B,C$ latera $PQ,QN,PN$; per $a,b,c$ anguli oppositi; et per $p,p',p''$ perpendicula ex verticibus $N,P,Q$ demissa in latera $PQ,NQ,NP$. Poterit (125) unumquodque perpendiculam dupliciter exprimi; nimirum

${\begin{array}{ccc}p=B\sin c,&p'=A\sin c,&p''=A\sin b,\\p=C\sin b,&p'=C\sin a,&p''=B\sin a;\end{array}}$ ideoque Bsinc = Osinb , Asin ' c = Esina , Asin b. = Bsin a . Hinc sequitur A " В с (iii ) sinb

131. Proportio (130) A : B = sina : sin b suppeditàt (127. 4.° item 196 'ex po 1,2) А - В sin a - sin b tangila - 6) sed ( 35) A + B sin a + sin 6 langi (a + b) a + b + c = 180 ° ... (141v ), ideoque tang (a + b ) = tang (90° c)Ecotc : ergo ALB tangia—b) = cotic (i*y). A -ZB 132. Perpendiculum p " occurrat in R lateri PN sin a sinc 1103 4 ( 1 producto si opus est , dicaturque d distantia inter R et N : erit (40. 5.º) A ’ = B + C' 2Gd si an gulus a est acutus , et A ' = B2 + C + 2Cd si a est obtusus ; sed in primo casu invenitur ( 125) d = B cosa , in secundo ( 122) d = - B cosa : igitur A' = B’ + C = 2BC cosas: (iXVI ). Aequatio ista poterat etiam sic erui. Formulaė (ixti ) , ( iv) aptè combinatae praebent ( 118 : 119 : 122 ) 1 * cos2b + cos2c + cos2a = 4cos ( b +cocosb cos'c ; quae mutatur ( 127. 3. ° 5. ° 123) in 4—2sin ”6–2sin'c 2sina = 4cos'b cos'c --4sin b sin c . cosb cosc -sin’b ) (1 sin'c) —4sinb sinc. cos b cose ; unde provenit ( 127. 5. ) sin’a sin’b + sinºc + lsinb sinc'cos ( 6 +0. Bsin a Csina Ést autem ( 130) sin b = sind A A igitur A ’ = B : + C : + 2BCcos(b + c = BP +6–2BCcosa.

133. Habetur ( 127. 3.) cosa 1 2sin ' 'a '; cosa = cos' a — 1 ; et adhibita substitutione in (zva) , A’ = B’ + C = 2BC + 4BCsin'la (B- C)2 + 4BCsin ”la , A ' B + G? + 2BC 4BCcosa = (B + C) ? 4BCcos La . Igitur (A + B - C ) (A + G - B ) sina 4BC ( vis) ( A + B + C ) (BEG - A) cos'ha = 4BC > ;104

134. Quatuor aequationes' (1411t) ; (ii ).,(221) , ( 72411) sufficiunt , si ex tribus lateribus , totidemque angulis cujusvis' trianguli rectilinei : dentur tria , gufficiunt in quam ad reliqua determinanda , modo tamen ejusmo di determinatio sit possibilis. Jam singulos. casus bre viter percurramus. 1. Datis tribus angulis a , b , c , perinde esset ac si bini tantum * . gr. a , b'darentur. Etenim ob :(1 + IV )

180 -° @ - b . Porro in hoc casu , nihil sinveniretur

aliud , nisi : ratio laterum , quae per (141) sent- inter se ut sinus“ angulorum oppositorum . ..2 .. Datis binis angulis et und latere , tertiusan gulus innotescit ex (ex! ) , reliqua vero latera -ex (iar!).

3. Si dentur duo latera v . gr. 'A , B'cum angulo alteri eorum opposito v . gr. b , invenietur per ( mm ) sinus anguli oppositi alteri lateri A , et per tabulas ipse angulus ; tum tertius angulus c per ( XV. ) , ac tertium latus C per eamdem ( ixin ), Notetur illud :sina binis angulis respondet, nimi rum ( 122) angulo a, et ejus supplemento: 180—2. Hinc binas hic casus poterit solutiones habere , ut:manife ste colligitur ex fig. 67a , in qua haberi possunt bina diversa triangula cum eodemangulo P = b , iisdemque lateribus PQ = A , QN = B ; neque ambiguitas tol litur , nisi constet an angulus a sit - acutus , vel ob tusus ; quod ex circumstantiis plerumque scitur.

4.° Si dentur bina latera v. gr. A , B cum angulo intercepto.c , invenietur per (išv) tangia — b ), et per tabulas ipse angulus a - b ), qui additus angulo (180 °—c) = f( a + b) exhibebit angulum majorem a , ablatus exhibebit minorem b. Inventis angulis , inno tescet tertium latus per ( 1X11 .)

5. ° Datis ' tandem tribus lateribus , invenietur qui vis angulus per ({XVII) , et per tabulas. 135. Si triangulum fuerit rectangulum , formulae (i! " ) faciliorem suppeditabunt resolutionem : patebit percurrenti singulos casus , qui in triangulo rectan105 gulo dari possunt : simulque attendenti , cum in ejus modi triangulo angulorum obliquorum alter sit com plementuin alterius, dato altero dari etiam alterum .

Exemplam . Detur hypotenusa h = 875 cum angulo b = 57 ° :: erit alter angulus obliquus = 90 °-570 = 33° ; et sum ptis logarithmis in prima ex aequationibus (i'" ) , proveniet (g ) = lih ) + l{ sin b) = (875) to lsin5700 2 , 94201 + 9 , 92359 — 2 , 86560 , dempto denario ( 212 ex p . 1.a) ob lisin57 °): huic autem logarithmo namerus proximus in tabulis est.734. Igitar g = 734 Simili modo definietur g'ope secundae rex formulis (i'"').

136. Javat animadvertere quod in 4.° et 5.º casu obtineri etiam potest immediate area S trianguli. Nam Ap ABsinc ( 44. 4. ) S = igitur (130 ) S = ' Prae 2 -2 1 terea ( 127. 3. ° : 133) sinc= 2 sine.coskc 2A.B V ( A + B + C)( A + B - C)(AC-BB +CA) unde S - VA + B + C { A + B_C { A + C — BXB + C - A) * De resolutione triangulorum sphaericorum .

137. Angulus , quem in superficie spaerae efficiunt bini circulorum maximorum arcus v . gr. PU . , PE (fig. 694) , dicitur sphaericus ; cui substituitur pro ejus mensura angulus NPM comprehensus duabus rectis P.Y , PM , quae jacent in iisdem plauis cum illis ar306 cubus, et ad easdem partes, ipsosque tangunt in pun. cťo concursus P. Liquet autem (77) angulum , quem con tinent plana arcuum , habere pro mensura eumdem angulum NPM : tangentes enim PN , PM sunt per pendiculares (49) diametro pP transeunti per concur sum P ; quae diameter est communis eorumdem pla norum intersectio. Angulus proinde sphaericus aequa tiir angulo comprehenso planis arcuum continentium ipsum angulum sphaericum .

138. Triangulum sphaericam in superficie spherae comprehenditur tribus circulorum maximorum arcabus v. gr. PU , PE , EU , qui dicuntur ejus latera , et sumuntur semper < 180 ° Etiam mutua circulorum , qui non sunt maximi , intersectione constituuntur tri angula in superficie sphaerae ; verum hujusmodi cir culos non consideramus , et nomine circulorum et ar cuum circulos maximos eorumque arcus intelligemus.

139. Sphaerae diameter Pp perpendicularis plano circuli Hkh dicitur ipsius circuli axis , et extrema axis puncta P , p vocantur poli. Dactis e sphaerae centro C radiis CK , Ch , ... in plano circuli HKR , erit angulus PCK = PCh ... = 90 ° = pCK = pCh ...

Hinc 1.º arcus PK = Ph ... = 90 ° = pK = ph ... ; peripheria nimirum circuli distat quaquaversus in su perficie sphaerae per quadrantem ab utrolibet suo poto:

2°. angulus Kch est mensura anguli, quem con tinent plana arcuum PK , Ph ; est nempe (137 ) men sura anguli sphaerici KPh : sed angulum KCl meri tur arcus Kh ; ergo Kh metietur quoque angulum sphaericum KPh. Definitur videlicet angulus sphaeri cus per arcum circuli habentis polum in ejus vertice , interceptum inter ejus latera.

140. Productis itaque cruribus PU , PE ita , ut ite107 نست EPU area S. tum concurrant in p , efficient in ipso puncto pan gulum priori aequalem : facili autem negotio determi natur pars superficiei sphaericae binis semicireulis PUp , PEp. comprehensa. Exhibeat enim Rradium sphaerae , s partem illam , et ponatur angulus UPE = 0 ; erit (113. 4 ° : -62) CTR' 360° : c = 41R ' : 90°

141 . Datis angulis PEU = a , PUE=b , trianguli sphaerici PUE , haberi facile potest ejus Producatur utrinque latus PE , ut compleatur cir culus PHPhP ; producantur quoque latera PU , EU donec iterum concurrant in U ad oppositam sphaerae partem . Erit PUP 180º = UpU ' seu PU + Up Up + pU ' , EUE = 180°= UE'Useu EU + UE = UE' + E'U' ; unde PU - pU ' , EU=E'U' : anguli praeterea U , U sunt ( 140) aequales. Inferimus ( 10. 16 ) triangulum PUE aequari triangulo pU'E ' ; in superficie igi, tur sphaerae pars binis semicirculis UE'U ' , UpU' comprehensa = PUE + UE'p. Ponatur UE'p PUPEP = s , EPE'UE = s' ; erit ( 140) ER? ATR ? S toz 90 ° 90 ° 90° unde CAR : 2 > R ? S + sts' + 2 = (a + b + c ). 90 ° Est autem s + s + z = 27R + S , ideoque R ? - 2S + 270R ' = ( a + b + c ) ; igitur 900 atbtc 180 ° S =R^ (4+ 180 °108

142. Concipiantur tres radii CP , CU , CE , qui ad tres vertices Ñ , U , E trianguli sphaerici pertingant. Angulos planos PCU , UCE , ECP metiuntur arcus seu latera PU , UE , PE : sed ex tribus illis angulis ( 78. 1. ° 2. °) duo quilibet simul majores ' sunt tertio , et tres simul minores sunt quam 360 ° ; ergo in trians gulo sphaerico bina quaevis latera tertio maiora sunt , et triasimul minora sunt quam 360°.

143. Si vertices P , U , E (Nig. 704) trianguli sphae rici PUE ponantur esse poli ( 139) arcuum ve , ep ,pv , ex quibusalterum rexurgit'triangulum sphaericum pve , distabunt P , U per quadrantem ab e , itemque U , E et P , E per quadrantem distabunt a verticibus p et v ; ideoque ( 70) in e , p , v erunt poli arcuum PU EU , PE . Productis igitur , ut in figura , his arcubus , erit (139 )wk = ef = 90 ° , UN EM ==.90° ; unde vk + ef seu ve + fk = 180 ° UN - EMMN - UE = 180° : metitur autem ( 139) fk angulum UPE , et MN angulum vpe ; igitur latus ve est supplementum anguli UPE , ' et angulus vpesupplementum lateris UE . Simili modo ostenditur latera ep , vp esse supplemen ta angulorum PUE , PEU ; et angulos vep , pve sup plementa laterum UP , PE . Itaque si ponantur latera PU = A , PE = B , EU = C , pel ' , peB' , eve' , et anguli oppositi PEU = a , PUE = b , EPU = 6 , pev = a ' , pve b ', epvad , provenient a = 180 °—A' , b == 180 °-B', c == 1800_C' A = 180 - a ' , B - 180-6' .,

144. Primae tres aequationes ( 9 ) praebent a + b + c = 5400 - A - B - C ' ; hinc a + b + c < 540 ° . Est praeterea ( 142 ) A' B' + C' < 360 ° ; ac proinde a + butec > 1480 ° . = C180 1} ( 9)109 Ergo trianguli sphaerici tres anguli simul et mi nores sunt quam : sex: recti , et majores: quam bini. 145. Si producantur ( fig. 694 ) radii CU ; CE donec occurrant in N , Mtangentibus PN , PM , et agatur recta NM , triangula rectilinea PNM , NCM praebebunt ( 132) NM ' = PN' + PM 2PN.PM cos NPM , NM CN + CM -2CN.CMcos NCM ; ac proinde CN UCM -2CN.CM cosNCM - PN-PM+ 2PN.PM cosNPM =0. Jam vero superioribus ( 143 ) laterum et angu lorum denominationibus retentis pro triangulo sphaeri co PUE , et facto sphaerae radio CP= R , habetur ( 124) R R CN = RsecA = CM = RsecB = COSA COS B sinA , PM = RtangB = R . sinB PN = RtangA = R cosA cosB est insuper ( 137 ) COSNPM = COSUPE = cosc , cosNCM = cosC . Adhibitis itaque substitutionibus , factisque redu ctionibus animadvertendo quod ( 123) sec ’ - tang ' = 1 , prodibit cosC = cosAcosB + sin AsinBcosc ; et simili modo ( 9'). cosBzcosAcosC + sinAsinCcos b , cosA = cosBcosC tosinBsinCcos a .110 COSC 146. Ex his aequationibus , ope formularam (9) ,, facile transitur ( 122) ad sequentes cos c ' = sin a'sin b'cosC'cos a'cos b' , cos b ' = sin a'sin c'cosB ! - cos a'cos.c' , . cos a'zsin b'sin c'cosAcos b'cosc' : et deletis : accentibus utpote , in praesens inutilibus,,, COS sina sinb.cosCocos a cos ... , cos b = sina sin c. cosBcos a cosc , ( 9 ) cos a = sin b sin c.cosAcosb cos c .

147. Prima ex aequationibus (9') suppeditat : cos - cosAcosB cos'c : sinA.sinB cos'C - 2cosAcosB cosC + cos? A cos'B sin Asin’B Est autem ( 123 ) 1 -cos'csin'c ; igitur cos'C — 2cos AcosBcosC + cos Acos'B sin c = sin Asin'B sin ' Asin'B - cos'C + 2cosAcos BcosC cos' Acos'B , sin' A sin B ( 1 ---Cos’A )(1 - сos B - cos* C + 2cosAcosBcosC ) ” +cos' Acos B sinaAsin’B 1cosAcos’Bicos C + 2cos.AcosBcosC . sin ' A sin'B Si secundum membrum divisum per sin'C exhis . beatur per L , poterit aequatio ista sic scribi. sincLsin’C . >111 sinb, } (9"'); cas a Instauratis autem id genus operationibus in sem cunda et tertia (9' ) , proveniunt sin ?b . = Lsin ? B ., sin’a = Lsin? A ; ergo sin A sinB sinc sina sinc sinus videlicet laterum sunt in triangulo sphaerico ut minus angulorum oppositorum...

143. Tertia (9 ') praebet COSA - CosBcos : sinB sing Bu (9 ') eruitur sin A sinb sin as sinB Harum aequationum, altera divisa per. alteram praebet cosArcosB cosc cot a sinAsin sin b Subrogetur in locum cosB. ejus valor , qui habetur e secunda ( q' ) ; erit cosA - CosAcos C - sin AsinCcosCcos b cot a sinAsinsinb cosAsin’Csin AsinCcosCcosbe sinA sinC sin b cotA sinc - cosC cosbideoque sin b

cota sin b = cotA sinC — cosC cosbi7 itemque cotb sin a = coB sinc - cosC cosa..h 149. Habetur ( 127. 3.) (q )1129 1 cosa = 2sin ' a ; 1 + cos a = 2cos'ja .. Igitur (148 : .127..5 .. 1 .. ) COSA - cosB cosc 2sin'fe = 1 sinB sinc sinBsin - cosA.cosBcos . cosBC( )-eosA sinB sinc . sinB sinc 2sin HA + B - C )sin(A + 6 – B ) sinB sinc cosAcosBcosc : cosAcos( B + C ) cos'ja = 1+ sinBsinc sinBsinc - 2sin (A + B + C )sin }(B + C sinBsin . unde sin (A + B - C )sin ( A + 1 - B ) sin'la sinBsind ( 9 ) sin (A + B + C )sin (B + C - A ) sinBsinc > quae facili negotio ope formularum (9) transforman- tur in sin ' AB_cosf(a + b + c]cos (cb + c - a) sin b sin c cos'fA = ? cos (a +bc)cos (a + c- b ) sinb sinc ( 911) Notetur 1.º A + B + -C < 360° ( 142) ; ideoque · HA + B + C) < 180 °. 2.º a to b toc: > 180 ° , et : < 5400 (144) ; proinde (a + b to c) > 90 ° , et < 270 ° .113 ( sim B + C) 3.° 1800 - CC" , 1800_BB 180 = A ( 143) : sed ( 142) C ' < A + B ; ergo 180 ° —- < 360° a - b , a + b + c < 180 ° , f(a +bc) < 90 °, Ex quibus colligitur secunda membra aequationum (q ) , ( qvij.fore semper positivas

150. Formulae (qv ) suppeditant . sin 4a costb - cosga sinab = sin (A + € -- B) — sing B + C - A ) x sinc sin (A + B - C ) sin ( A + B + C ) sinA suzB Sed ob secundam ex ac tertiam ¿V !! ( 127,5.° 3.° ) sin a costb - cosza sinh = sin (a - b) , sin ( A + C - B )-- sin ( B + C - A ) sin ( A - B ) sinc sinic itemque ob secundam (qv) A - C )sin AItoB -C cosc. sin AsinB . Igitur sin ( a — b )sin C= sin (A - B coscº ; et simili modo coszla — b)sin ( = sin (A + B)sinde , ( qver ) sin (a + b )cos C = cos (A — B)cosc, cos(a+bjcosC = cas (A + B sine; quae formulae debentur clarissimo Gauss.

151 , Aequationes ( q !!!) manifeste praebent quatuor Neperianas formulas

tangila - b ), = cotic , sin }(A + B) tangi(a + b ) cos (A — B ) cotic , cos (A + B) (qv11) sin(a) tangi(A B) = tangẠC , sin (a + b) cosila — b) tangi(A + B) cos

152. Ex aequationibus ( 9) habetur: a + b = 360 ° — A' - B', ideoque f(a + b ) < 180. Itaque in tertia Neperi formula erit sinila-+ b ) semper positivus ; est insuper tangic et ipsa semper positiva : ergo tangi(A.- B ) , sin (a .--6 ) eodem sive positivo sive negativo afficientur signo ; ac pro inde si A > B , erit quoque -a > b ; si AB, erit etiam a < b . Lateri nimirum majori, opponitur major angu lus , minori minor.

153. Haec notentur

1.º sit q talis angulus ,, ut ejus valor pendeat ab aequatione tango = tangBcosc ; erit sing cosB: = sinBcosc .; COSO ac proinde aequationum ( 9' ) primamutabitur in cosB cosC = cosAcosB +-sinAcosB (cosAcoso + COSO cos șin Asing) , ex qua (127. 6. ° ) , COSB cosCcose cos cos(A - ., cos(Aro) (9 -x ). cos cosB 1 sing <1:15 (sin a cosa 4

2. ° quod si ita sumatur: Q ', ut sit cotu == tangbeosC , erit cosb co.se = sinb cosC ideoque aequationum (q ") sing prima transformatur in cosc = sina cosb cosa -cosa.cosb sing cosb sino cosa ) , unde ( 127. 6. ° ) sing cosb cosc = cosesin(a ), cos: c sing sin (a − m), sin ( a —Q = (9+) . sing cosb

3. aequationum (q ! ) prima suppeditat· cota = cotA cotb ; in si fiat qua cosb cosb prodibit cotb cota'sin ? cotas sino( C - ), sin (C - 9 ). = ( * ) cotb , = coto , sing Cola tcosb )

4. ° ex eadem aequationum ( 9 ' ) prima obtinetur ncota sinb cota cotA = cotc Ponatur = tango ; cosc cos exsurget cotc cotAcoso cotA = coscos((bb - )),; cos62( ) (qX ). cOSCO cotc .

154. Hactenus. de triangulo sphaerico universim ; ponatur nunc a == 90.°: Haec facile stabiliuntur.

1. ° ae quationum ( 9') tertia evadit : COSA=cosBcosC... , (9x1u ) ; in triangulo nimirum sphaerico rectangulo radius est ad cosinum unius catheti , ut cosinus, alterius ad co sinum hypotenusae. .

2.9. aequationum (9 ) tertia... evadit :1:46 cotc = tangbeosA ... (9414) ; radius ad ' tangentem unius anguli , ut cosinus hypo tenusae ad cotangentem alterius.

3. ° earumdem aequationum , ( q" ' ) secunda mutatur in cosb = sinc cosB ... ( gxv) ; radius ad sinum anguli: adjacentis, ùt cosinus catheti ad cosinum anguli oppositi.

4. ° ex formula ( 4" ) habetur sinB=sinb sin A , . , .. (9XVI ) ; radius ad sinum anguli , ut sinus hypotenuşae ad si ņum caiheti, oppositio

5. ° aequationum ( 9 ' ) prima suppeditat tangC = tang A cosb ... ( qXV11 ) ; radius ad cosinum anguli , ut tangens hypotenusae art tangentem , catheti adjacentis.

6. ° secunda ex eisdem aequationibus ( qv) praebet tangB = langb sinC ... ( qXVII ) ; radius ad tangentem anguļi , ut sinus catheti adjacens tis ad tangentem oppositi.

7.° quoniam latera trianguli sphaerici sunt singula < 180 ° , erit in aequatione (qavil) sinc semper posi tiyus. Igitur tangB , tangb eodem , sive positivo , sive negativo afficiuntur signo ; ideoque in triangulo spliae rico rectangulo catheti sunt ejusdem speciei cum an gulis oppositis. 8. ° in aequationibus ( qXH ), (qXIV ) est cost po sitivus vel negativus , et in aequatione ( qXv ) tanga est positiva vel negativa , prout B , C in ( 9!!!!) , b , c in ( qXIV ) , et C , 6 in ( qXVII ) sunt ejusdem , vel diversae speciei. Ergo si duo catheti , vel duo an guli obliqui , velcathetas cum angulo obliquo adja cente fuerint ejusdem speciei , hypotenușa erit qua drante minor , si diversae major , et viceversa .117

155. In triangulo sphaerico obliquángulo , tribus datis , ad reliqua determinanda ' abunde sunt formulae ( 9 " ) , ( qv ); ... (9X! ) , quibus logarithmi sé aplant ; modo tamen hujusmodi determinatio sit pos sibilis. Jam singulos casus percurramus.

1.º Datis tribus lateribus inveniuntür anguli 'per ( q } .

II. ° Datis tribus angulis , determinantur latera per ( 911 ).

III.. Datis binis lateribus cum ángulo interce pto , definiuntur reliqui anguli per primam et secun dain (qv!!! ) vel per q ) ; et tertiuin latus per (9 "},

IV. ' Datis binis angulis ciim latere intercepto , inveniuntur caetera latera per tertiain et quartam ( qy!!!) , vel per (981 ) , et tértius angulus per qsy.

V.. Datis binis lateribus cum angulo opposito al teri ex iis , invenitur angulus interceptus inter illa duo latera per (qX!! per (qXll ), tertium latus per ( 71% ) , ét ter tius angulus per ( 9).

VI.' Datis binis angulis cum latere opposito al teri ex iis , invenitur latus interceptum inter illos angulos per ( qXI) ; tertius angulus per Cat ) ; reli quum : lates per ( 9!). Quintus , et sextus casus sunt ambigui. 156. In triangulis sphaericis rectangulis sex pariter casas sese offerunt , qui per formulas (qxml) , ... ( ay ) facile expediuntur. 1 ° Data hypotenusa et altero catheto , inye nietur aller cathetus per formulam (qxrll ) , et angų li per (gxv ) , ( qXv1y). 11. Data hypotenusa et altero angulo, definie tur"alter angulus per (qriv) ; catheti per qxV ) , (q3v1!). III. ° Datis binis cathetis , innotescet hypotenusa per (gxin ) ; anguli per. (qxv1T ) . IV • Datis binis angulis , determinabitur hypo lenusa per (gary) , catheti per qxv) . V .. Dato catheto et angulo adjacente , innote418 scet hypotenusa per ( qXVII), alter cathetus per qxvili ) , alter angulus, per (qxv). VI. Dato angulo et catheto opposito , invenie tur hypotenusa per ( qXVI), alter cathetus per (9XV!!! ) , alter angulus , per igår). Postremus casus est ambiguus. Exemplum . Data hypotenusa A = 579,25' cum latere C=41° 16 ', quaeritur angulus adjacens b. Formula ( qxvll); praebet cosbx tangC Acceptis logarithmis , lcosb) = lítangC) l(tang A ) = ltang41... 16' ) — 1(tang57º. 25') 9 , 94323 -10 . , 19445 - 9,74878 (212 ex p . 1 :a ) , cui cum respondeant in tabulis :55º. 54 ', erit proinde b = 550.54'. tangA

DE TRIGONOMETRICA SOLUTIONE AEQUATIONUM.

} x " 1 + 0 =-1) == 0 ,, x3n + AX ” + B = 0 .

157. Nonnulla praemittimus. 1.° quoniam (127. 65") (cosa + V - 1 sina)(cosb- + 1 = 1 sinb ) = cosa cosb sina sin b + ' sin a cosb + cosa sin b ) V - 1 cos(a + b) . + V1sin (a + b) ' ; ` ideo (cosa + v - 1 sina) (cosb + V1sinb) (cose +V1sinc) = cos(a + b + c) + V - 1 sin(a + b + c) ;'ét generatim ( cosa + N - 1 sin a )( cosb + V1sin b )(cosc + v - 1 sin c) ( cosd + V - 1 sind ) (0 ) cos(a + b for ctdt It V - 1 sin( a + b + c + d + ... ) 1119 } > ' ex qua , ubi per solam multiplicationem traducatur primum membrum ad formam H + KV -1 ,habebi mus (97 ex p . 1.a) cos(a + b + c + d + .' ) = H , (o') sin ( a + b + c + d + ... ) = K . 2.0 denotante h numerum arcum a , 6 C , ... si ponitur á = b = 0 vertetur (0) in (cosa v1+ sinayyažcos ha + 1 = 1 sin ha ; fet consequenter ( 110 ex p . 19.) binae ( o') fient h( h—1 ) cosha = cosha cosh-sa sin’a + 1.2 h (h — 1) h — 2)(h - 3) shkasin"a—... , sinha = i 1.2.3.4 - co hcosh - la sina hh - 1)(h — 2).cosh - 3asin3a + (o") 1.2.3 Ad haec : (92 ex p. 1.4) 1 (cosa +v1sina)-ha (cosa +Visina 1 cosha -V1 sinha cos'ha-sin'ha cosha +r1sin ha seu (cosarV - 1 sina ) - Ecosha - V - 1 sin ha. 3. habemus u +v11 ou try Vu + y = ? ) ) ***120 " et quia biriarum

• • U

VuP + u Vu + v neutra potest numericum obtinere valorem . > 1 , ac praeterea ( * ) + 2 ) = 1 Vuº + v ? iccirco per illarum alteram licebit repraesentare ce sinum , per alteram vero sinum cujusdam arcus a , ut sint u COSA .. Yo '!) : sina = Vuº + v ? et facto modulo ( 246 ex p . 1.a) ?(O") Vu? + v = pe, erit vu + 1 = plcosa +V1sina), nec non ( 2 ) (u: + vr7h= uth(cosha +v1sinhá). 4. ° exprimat 9.ejusmodi arcum , qui intercipiatur limitibus. habeatque tangentem trigo 2 niometricam =; sit insuper m numerus integer , sumaturqueat2mm si u > 0 , a = ( 2m - +- 1) . si u <0 : explebunt isti valores a binas (o ' ' ) ; proinde TT TT et 2121 u + 1 = 1 = p [cOS (572m1}+ 1 = 1 sin ( S#2017)] si u > 0 , et ( 0) u + 1 = M [cos(5 = (2m - to 1.76 ) + v - 1 sin ( 8 st ( 2m +1 } 7)] si u < 0 ; quarum prima traducitur (1. ') ad u + 1 = u (coss + v - sing , secunda ad (OV) utop = -ucos9 +v1sing).

158. His praemissis , quia aequationis 32 " — (u -tu - v - 1) = solutio eo manifeste reducie tur , ut determinentur valores omnes , quorum est ca pax expressio Vurur , fiat igitur n n Vu -vy włcosô +v1 sind), ut datis ni u ety , ac propterea j et 9 , inveniantur w et 0. Erit ( 157. 2. ° 4. ) u+vV1 = p [cos( SE2mit) +11 sin ($ # 2m7) w ” (coś nô + V - 1 sin nò si u > 0 , et untop - 1 = pe[cos(6 + 2m + 1 ) 7) + V - 1 sin (6+ ( 2m + 1)7)] = w ".(cos no + 1 - T sin no) si u < 0. Quare 12122 0 + 2mtt et 0 n in primo casu , W = MA 0 (2m + 1 ) = d " eto n in secundo ; et consequenter n 0 + 2mtt 6 + 2mTE Vu + vV - 154" [ cos * V - 1sin + -], n vel lovin Vu + 1 =1 = 6 ( 2m + 17 [ cos n 0+ (2rh + 1) V - 1 sin - ] ) prout fuerit u > , ' vel 20: quarum formularum pri ma traducitur (157. 16 °) ad ' n 0 Vu + vV1= " (cos + visin v n 2mtt (cos - v - 1sin 2mit -) n n secunda ad (ort) 1 Vu+ vV == (cose + V = tsinx = v (cos -TV - 1 sin 2m -t1 2m -t1 -n n 1' 123 1

159. Haec notentur. 1.0 : posito v = 0 , simulque u = 1 in prima (ovil) et u = -1in secunda : erunt ( 157. 3.° 4. ° ) palg.650; ac proinde 1 2mto 2mti COS V - 1 sin > n en (ory) COS2m-+ 1 2m + 1 7 - sin n n 2.° hinc binae (ovir!). sic possunt scribi 1 Vu+vv =i= 1000 +v =1-sin,. 1, Vu-w == * eo. +/- ủ 2 v =t : ( 04) et facto v = 0 , Vu =vf 01,Vu==V1-... ( 041) 3. ° exprimat k illum inter numeros integros, qui omnium maxime accedit ad : poterit k esse > m n m vel < 2 n sed eorum differentia nunquam fiet > 4. Jam si m' repraesentat numerum integrum haud ' m' licebit differentiam illam exhibere per 2 ut sit > 를 > n m m' 2mti kt , et consequenter 2m'at 2ktit 90 n n n n424 Repraesentabitur itaque V1 etiam per 2m'TE 2m'r

1. V - 1 sin COS n n

' n Hinc si in prima (o'x) . ponitur successive -2 m = 0 1 , 2 , -2 2 quando n est par , et > m = 0,1,2 7 2 n quando ni est impar , provenient. valores omnes vis qui valores erunt numero = n. Exinde vero ob pri mam ( 04) totidem valores Vu+ vVT in hypothesi u > 0. 4. ° Sit k' ille inter numeros integros , qui omnium 2mat1 maxime accedit ad : existet k' aut > , aut 2n 2m +1 istorumque numerorum differentia expri 2n

metur , per fractionem habentem numeratorem impa rem ; quae fractio nunquam evadet > 1 Quare si denotat 2m ' + 1 numerum imparem haud > n , poterit 2m ' +1 differentia illa exhiberi per ut habeamus 2n

• 2m-t1 2m '- + - 1

k ' + 9 .2n . 2n et consequenter 2m-+ 1 2m'+1 TI * .2k'n n1,25 Repraesentabitur itaque V - 1 etiam per 2m ' +1 2m ' +1 -IVV -1.sin COS Ti.. N n Propterea si in secunda ( 0 " ) fiat - successive 2m + 1 = 1 , 3 ; ち , 7 ... n - 1 quando n est par , et 2m , + 1. = .1,3,5,7 ; .en quando n est impar , provenient valores omnes V - 1 ; qui valores erunt numero = n . Exinde vero ob se cundam (0 ) totidem valores Vu + vV1 in hypothe si ú < 0. 5 :• ex valoribus V11 sume peculiarem dumtaxat, va lorem (3. ) v = 1 , ut in hypothesi u >0 spectes respondentem dumtaxat 6 expressionis Vuuvi - ī valorem. ( 2. ) pe" (cos 9 1 sin. ) ; erit ( 157. , 2.º ) n h h (utvr1 n n 9 (cos - ot 5. th -1 sin ) п n ' h h n (cosaur1sin - 5) 2 n126 7T et 2. , sumpto 6 inter La Hinc denotantibus a , 2 . b , c , ... numeros fractos",-positis insuper . z = u + vV1, z' = u ' + vV1, z ' = u" + " V -1 , et caet......., iisque valoribus tantum spectatis quibus respondet : V1 = 1, e tribus formulis. zazbzc . = (z )a + b + c+ . ..., zaz'azila ... = (zz'z'! ....)a , - (za) = znb", prima haud valebit nisi habeatur , u > 0 ;,secunda ni-.. si , et u > 0 ; u' > 0 , u " > 0 , , , et summa arc(tang = * + arc(tang = ) + .arc(tang = +. T п sit intra : limites et ; tertia nisi et u > 0 , et 2 2 . intra limites illos contineatur arcus a , arc (tang - ) u Sia , b , c , ... essent integri , valerent semper (157 . 2.° 3. °) praefatae formulae. 160. Ad aequationem :x2" + Ax" + B = quod per- . tinet , . cum habeamus ( 135 : ZV ex p. 1.a) А A? V ... B . si B < o X < 0 , 2 4 4 et 1127 n A ic ' = (B - 4 *,*v -1 -1 si B > 0 , 2 patet aequationem illam resolvi per (041 : 159 ) in pri mo casu , per ( 0% : 159) in secundo 1

161. Facto desi, pone . ni y = VUEu Evrti ob primạm ( Ov : 158) erit in hypothesi, u > 0 (y - Vu + vVTxiy - Vu- up== ( + 2mtt j' —2rycos: to pos , ni itemque ob primam (0% : -159) ( "——V1) ( ==mu + V - 1 ) = gyen -2r" y"'co $0. + ..?? ob secundam vero ( ov : 158) erit in hypothesi u < 0 . ma ( - Vu + uV = 1163 -Vu- V = 1) = 0 +( 2m to 1 ) TT y _2rycos + pa n itemque ob secundam (04 : 159) (y "~ u ~ VT) ( ^_u+ vV 7 ) = guan +-2r" y" cos A- + pan . Exinde inferimus trinomiorum128 j ( osna. gen -2 " j " cos9 + pan yan + 2r" y" coss + pan alterum resolvi posse in reales- factores secundi gra dus , quorum forma : 02mti x2rcos tuto 3 n (oxin ) alterum in reale's factores secundi gra dus , quorum forma 6+ (2 + 1 ) y * --Zrycos yana. n . > n n Quibus positis , haec veniunt observanda. 1." . si va.. riabili y reales tribuuntur valores , poterunt factores ( 0811 ) geometrice construi delineando triangulum , cujus bina -latera y et r , angulus vero interceptus. 9t2mt 62m + 1) porro quadratum tertii lateris exhibebit ( 132 ) respectivum secundi gradus factorem .

2. ° sume latus y pro basi omnium triangu lorum , quae variis respondent factoribus ( 0X111 ) ; fac insuper ut latus r terminetur constanter altera baseos: j extremitate E : illorum triangulorum vertices et incident in puncta circumferentiae radio r descriptae , et eamdem circumferentiam divident ( 159. 3. 4.° ) in partes aequales. Jam si multiplicantur invicem quadrata laterum altera baseos y extremitate E' ter minatorum , productum ex istiusmodi quadratis aequa bitur trinomio J? " + 2r" ," cos4+ pan : huc spectat Moivrei theorema. 3. ° pone = , et illa ipsa latera invicem multiplica ; productum inde emer gens aequabitur radici quadratae trinomii yan 2 , " 7 " to pan ,. aequabitur nimirum binomio129 gu tr" : huc spectat Cotesii theorema.

DE QUIBUSDAM SERIEBUS TRIGONOMETRICIS.

162 . Nonnulla hic quoque praemittimus. 1. in binarum (gl. 249 ex p . 1.a, alterutra loco x vel y substitue zV - 1 ; habebis ( 157. 4. ° 2. ° ) ez11 z lim. ( 1+ n v = 1)" lim.pe" (cos no + V-1 sin nl) ;: in ܐܗ qua ܨ le " = (1+ } A 9 = arc tang = ). Jam vero lim . - lim , i 2n 20 , 2 n ideoque (240. 2° 4. ° ex p . 1.a ) 2 z ? lim .( 2") = lim . (1 + insuper. ( 129 ) tango lim , O == lim . (a )= 1,ac proinde lim .(n ) = : igitur PARS II.130 ; e VT cosz +V1sin zi ęt, subrogato -3 prom, -- V 2 - VT'sinz. ,)(o е COS Z ; 2. ° exinde 2cosze + e²V7 te 2 - VG- 1 2V — 1 sin z = eV1_6-27 ideoque . ezV = 1_o- zv 1 tangz = eV -te - zVVT c2zV - 1_ (02) 1 7 22V - 4 + 1 3. ° nec non ( 157. OV) utvV = ue(6 = 2m7 V - 1 si , u > 0 , et u + uVue(6 + 2m + 1)7V - 1 ( 03) si u < 0. 4. ° itemque ( 157. OV )131 utvVi ==peMOV in ordine ad u > 0 , et (0% ) , u + vp = 1= ~ ueVS in : ordine ad u < 0. 5. ° in aequatione 2 + xy - 1 = uttra exponens x : + yV - 1 dici solet logarithmus. imagina rius expressionis utv - 1 quoad basim e , ut scri batur x + IVT x yVT e ME !

• .. *V - 1T

et e.V. L(u tv1 . - 1). Est autem (249. g ' ex p. 1. " ) + .CMV 1, ideoque (3.0) ( 9 + 2mm) = si u > 0 , (6 + 2m + 1)7)V 1 = pe si u < 0 . Igitur x = L(u) , in primo casu , x = L (u ), y =0 +( 2m t.1 ) in secundo ; et consequenter L( u tvV - 7) = L ( ) + ( 2m7y7, vel L (u + v1-1) = L ( . + (6+ (2m +-1)7 )V (05)132 prout fuerit u > , vel <0. Et quoniam secundis mem bris istarum aequationum innuineri sunt imaginarii valores , innumeri quoque logarithmi imaginarii spe ctabunt ad expressionem utup 1. 6.° si v = 0 et u > o , erit L(u ) = L(u) = 2m07 - T; cuicumque videlicet numero positivo inzumeri sunt logarithmi , unus realis valori m=0 respondens , cae seri imaginarii. Quodsi v=0 et u < 0 , erit Lu ) = L (-u) + (2m + 1) 11; numerus videlicet negativus u gaudet et ipse innume ris logarithmis , qui tamen omnes sunt inaginarii.

163. Nunc prima ( 0 , 162) suppeditat ( 248 ex p . 1.a) 25 . 2 2.3.4 + 13 = 2.3 2.3.4.5 = cos 2+ y sin 2 . Quocirca (97 ex p. 1.4) 29 2 2.3.4 4 COS Z - 1 ( os ) sin z z 2.3 2.3.4.5 quicumque caeteroquin sit arcus finitus 2 : et quo-. niam tang : ; ideo ( 255 ex p. 1.a) sin z COS Z tang ( 0 ) 3 5 Line133 TE quoque ésset 76 COS 1 . Hinc ubi arcus z ponatur numeris rationalibus exprimi , ejus tangens exsistet ( 256. 3. ° ex p. 1. ) irra tionalis : unde inferimus numerum inter irrationa les numeros computandum ; nam si foret rationalis talis ac proinde tang 2 irrationa. 4 lis : quod nequit admitti ; siquidem ( 35. 3 ° : 16. 6.°) sin ac propterea tang 4 4 4 164. Evehe ad potentiam nsiinam primam et secun dam (0, : 162. 2. ° ) , et animadverte quod er = 1.6--1-1 = 1, emrine- mart = 2cos mi , mzV - 1_e -—mzv m =1-1 '= 27 = 1sin mz i habebis in hypothesi n paris 2 - icos" > = cosnz + ncos(n—2)z to n (n - 1 )...( +1 n(n-1 ) 2 cos(n — 4)z +not 2 1.2.3... = , n n 2 R (08 ) -1) 21m'sin " 2 = cos nz ncos(n -- 2 ) z te n n (n - 1)... ( + 1) n (n - 1) 2 2 .cos(n = 4)z— . = n 1.2.3 ... . 2 et quoad n imparem134 22-1cos” z = cosnz "cosnzt.cos cos(n—n-- 2)2-- + n ( n - 1 ) *N{n-- 1.693) cos (n- + 4)2 + ... + 1.2 COSZ, 1.2.3... 2 . N - 1 .(09) ” 2 - n ( -1 ) 2-7 sin"zsin nz -sinan 1 2 ) z 7 T - " n ( n-1 ) -sin (n 2 -4 )2 = int3 n (n - 1)... 2 -sin z. 1 1.2.3... 2 165. In prima (05 : 162) sume u = 1 ; m = 0 ha bebis L( 1 + 1)=L (1 : + **) + V - Tarctang = w). Substitue vV 1. loco " z in formula ( 1,72242 ex p.1.a) ; immutabitur primum membrum i L (1 + 1 = 1),

secundum in

ala .)V - 1. 2 6 3 Qua vero argumentandi ratione usi sumus (234. II. " ex p. 1.a) , eadem binae series135 12 04 is 6 2 2 4 03 '05 > 3 5 03 N

2 Ostenduntur convergentes ab və / 1 ad v = 1 : igitur ( 248 ex p. 1.a) ab v = 1 ad v = 1 erit L( 1 top 1 = L (1 + *) + V Tarc( tang = v = y ? ... to ( v -...) V - 1; 4 3 et consequenter quoad praefatos valores j , 25 arc( tang = v = v 5 Aequatio illa praebet etiam L (1 + 1-1) - 1L( 1 +va) arc( tang=v= V - 1 L (1 + x1 = 1)–L(1 — ~1—1). -2V

166. Habemus ( 200 ex p . 1.a) 3 + 0,0 () 17 *V =17201Fe ( +1)=( -1_1-onxV 1 1 -exV - 7 et quia eV -1063 +x) = 1_6(2+2x)V =Ine[z+ (n + 1)x18-1 -V =TexV = 77e23V -Foote(n=1 jx V -1),136 ideo V -Tes+ + 2xy = te[z + 1n — 18]/ 57_82 + nx) =TV1 ekz +na )y =1_77-7. e[3+{n -1}x ]1-1_ (z= x ) =1 RV-1 V -1-1 exV -10-1xV -1 cos ( 2 tnx - 1x) + 1 = sin ( z + nr — 1 x ) cos(z – x ) -V i sin z— x ) 2V - 1 sin 2 x sin ( z tnx 3 x ) — sin 2 – 3 x ) 2sina cos ( z - x) = cos( z +nx-V. 2sin it Est autem EV 1+ ( + x) = (z + 2x )V te[z + ( n − 1)x ] V 37 Os 2 for cosí z tox) + cesiz + 2x) + to cos [ z to ( n 1 ) ] + (sin z + sin (z + x) + sin ( z + 2.x ) + .... in + sin ( x + (n − 1 )x] V7;137 igitur cos z to cos( z + x + cos( z to 2x) 4. sin (3 +-n.c - x )-sin (z - buc) cos( z + 1--1)x )=

2sin * ( 0 ) sin 2 + sin'z to x) + sin (x + 2x) + . cos(2 - x )-cos(z +nx - x )

1. sin [ z + (n - 1) x ] =

2sin 167. In aequatione ( 201 ex p. 1.4) + 2 + z z3 ... -11 si loco z substituitur z{cosrtv sin x) , muta bitur primum meinbrum in 1 +z{ cos x + V - 1sinx } + z*(cos2x +/-1sin2x ) + .. , secundum in ( 108. 2. ° ex p . 1.a) 1 1 Z COST 1zcos x - ZV - 1 sin x 2z cos x to z sin x V - 1. 2z cos x tz Atqui permanente z intra limites -1 et +1 , series 1 , ( cosx + y = sinx), 2 *(cos2x + y =4sin2x), ., exsistit convergens ; igitur intra limites illos erit 1 + = cosx + y = 1sinx) +2 (cos2x + y = 1sin2x + .. z sinx rati 12zcosx-tz . 1-2zcos.xtzº 1 -ZcOSX138 ac proinde 1 + zcosx - + - z * cos2x + zcos3x +... 1zcosx zsinxtzºsin 2x : 1-2zcosx****Z ? (0,2) zsinx zºsin3x + 1-2zcosx + 2 %

168. Aliquid hic adjicimus circa expressiones imá ginarias · cos(x + zV - 1) , sin (x + 2V - 1), arc(cosu+ 1-1), arc(sin = u + vV - 1), quatenus ad consuetam traducuntur formam .

1. ° Substitue -xtz1 -1 loco : z in prima et se cunda (0 , : 162. 2.0) ; provenient 2 -1 z .e cos( x + zV - 1) = 2 -1 .ez XV.e sin(x + zV - 1 2 VT, seu ezte cos(x + zV - 1) = e - 2 PZ -c0s - 2 2 v -Isins, V - 1cosx. (013) el - e sin(x + 2V1= ez -tez-sina 2 2

2. ° In prima (0,3) adhibe = > pro * , et as 2139 ܐ sume: z negativam ; erit ete ee cost - x - 1-1 = sinx -te -V - 1cosx: 2 2 quae comparata cum secunda (0,3) dat sin (x + 21 = 1) = cos -2-1-1)...( 0.4) .

3. ° Proponatur aequatio arc (cos =utop - 1) = x + y = 1 , ut , datis u et v , determinentur x et z . E prima ( 0,3) habemus ete emēr COST sinc , ... 2 ..2 unde u il ez e ( 0,5) COSX sins cosr sinx et consequenter u ? e.e 1 = cos2x sinºx Ultima (0,5 ) suppeditat sin "x- (1 -- u ’ - v ) sin’x = vi ; ex qua 1 -u ? _02 sinºx + V01 " 1 - ??u -) -tar ? ]... (0,6 ) ; 2 2 ubi , cum nequeat sin’x fieri quantitas negativa , ac cipiendum erit signum superius . quotiescumque vel a > 0 , vel v = 0 et u ’ < 1 ; sumendum . vero signum140 inferius quotiescumque v = 0 simulque u" > 1 . Exinde 17- u ' 1-4-2 cosxsinºx * ) = 2 =V4429 1 +utup 14-04-0° EVIC )* _ u'] = 2 2 1 -tua tu? 1 -tu' ? EVIC : )* - u * ] 2 2 et quia ob primam (0,5) debent cosx et u eodem af fici signo , ideo ut COST 1 tutus 1 tu? ..(0,7) .)-- u ]) 2 2 Quod spectat ad z , tertia ( 0,5 ) praebet ( 213 ex po 1.a ) u V EL ( (0.8 ) COST sin a 4. Sit quoque arc(sin Sunfo vy - 1 ) = xfm x +ozv1, ut datis û et Vv , inveniatur arcus imaginarius x +2V - 1. Formula ( 0. ) sappeditat u + wp = sin (x + 3/ -1)= cos ( -3-1-1). Quare T 2 . ----1-1= = arc(cos = u + v11);141 ideoque

• + =1–1 = arc(cos = u + V -- 1)... (9. ).

5. ° Si v = 0 et u < 1 , erunt ( 3.0) 1 - u " sinar - u ' , 2 LL COSI U 1 + u ? + VEC 2 1 -fua -) 2 u ” ] ) 2 x =L( 1 ) = 0 ; et aequatio arccos = u + vV - 1) = 1 + 2/7vertetur in idemticam arc'cos = u) arc(cos u ). Quodsi v = 0) et u > 1 , in hypothesi u > 0 erunt 1 L ? 1 - U sinºx - 2 0 , 2 IL COST = 1 , x =0 , x=L (u) ; 1 - U 2 in hypothesi vero u < 0 , sin ^ 2 =0 , cosx == -1, x = , z = L (-u) : unde in prima hypothesi arc(cos = u ) = V1L(u ), in secunda ( 020) arc (cos = u = i +V1L(-u).142 6. ° Si in secuuda (0 .. : 165) loco v substituere- tur x + / --1, prodiret arc(tang= x+zV -7)= L(1+z+xV -1,-1 (1+z=z =1) 2V21 et posito zº > 1 , prima ( 05 : -162. 5. ° ) suppeditaret arctang= x + :V 15 = }[arc(tang = (021) (1 + 2 ) + x ? arc (tang =7.) + 4.1777 – z)* + <* X - ]. 1 - t - z Sed de his satis. ,

ALIQUID GENERALITER ANNOTATUR DE RELATIVA PUNCTORUM POSITIONE NEC NON DE LINEARUM ET SUPERFICIERUM AEQUATIONIBUS

169.Ducantur in superficie plana BKX (fig. 71.a) binae rectae indefinitae AX , AY ad angulum quemcumque XAY., et ex puncto ķ agatur KH parallela AY, et KD parallela AX. Lineae KH , KD; KH , AH situm puncti K relate ad AX , AY manifeste determinabunt. AH vocatur abscissa, HK ordinata puncti K. Abscissa et ordinata , si conjunctim considerentur, appellantur coordinatae; punctum A dicitur initium coordinatarum; AX axis abscissarum, AY axis ordinatarum; qui axes dicuntur orthogonales si angulus XAY est rectus, secus vocantur obliqui. Quemadmodum punctum K habet abscissam ab A versus X, ita puncto B sua erit abscissa ab A versus X; sed cum haec in plagam dirigatur illi contrariam, idcirco ( 63. 5. ) si abscissa sese protendens versus X habeatur pro positiva, quae versus. X ' fertur censenda erit negativa. Ob eamdem rationem habendae erunt pro negativis ordinatae quae punctis infra. AX sitis respondent, si pro positivis habitae sunt quae pertinent ad puncta supra AX.

170. Per extrema puncta a et b Fig: 72.a) rectae lineae ab concipiantur transire bina plana rectae BX perpendicularia, quibus BX secabitur in H et K; pars, HK intercepta, planis illis dicitur projectio ipsius ab super BX. Jam si datur polygonum quodvis abcdefga ut fiant laterum ab , bc , cd , ... projectiones p ' , p " p " ,: . super BX, aliae se se dirigentes ad partem positivam X erunt habendae pro positivis , aliae se se dirigentes ad partem negativam B pro pegativis. Sive autem polygoni latera jaceant omnia in uno eodem que plano , sive in diversis , patet fore semper p ' + p " + p " + .... = 0 . Et quia ex a. , b C , ... ductis ai , bil bil ,, ci' paraļlelis, rectae BX habemus ( 125 ) p ' = ab.cosiab , p " ==bc.cosi'bc , p '" = cd.cosi'cd , iccirco ab.cosiab -tbc.cosi'bctcd.cosi" cd + ... = 0. Exinde infertur illud :: si BX ponitur parallela lateri V. gr. ab , proveniet ( 1.18) abbc.cosi'bc - cd.cosi'cd -...

171. Punctum K ( fig . 73.a ) , quod referebatur ad axes AX, AY, referendum nunc sit ad novos axes A'X ', A'Y '; quaeritur relatio inter veteres coordinatas AH (3x ) , HK ( =y ) et novas A'H' ( = x' ) , H'K ( = y ') intercedens. E puncto K in AX demitte perpendiculum KB angulus XAY exhibeatur per (xy) ; anguli quos A'X' efficit cum AX et AY designentur per ( x'x ) ; (a'y ) ; qui vero efficiuntur ab A'Y' cum iisdem AX , AY per ... ;144 (y'x ) , ( y'y ) ; sihtque AN ( = C ), NA ( = d ) coor dinatae puncti A ' quoad axes AX , AY. Ad haec : ex K , H' , ' A ', N ad partem Yintellige ductas parallelas perpendiculo BK ; et per a , a , a , a denota angulos , quos continent earum prima cum KH', secunda cum H'A' , tertia cum A'N , quarta cum NL. Polygonum BKH'A'NB praebet ( 170) BK = -y'cosu' x'cosa " dcosa ' NBcosa'y Sed ( 125 : 121 ) BK = ysin (xy ) , cosa ' = -cosBKH ' = - sin ( y'x ) , cosa " - sin (x'x ) , cose'" = - sin (xy), cosa " = 0 , Igitur x'sin 'ac'x )+ y'sin (j'x ) y =d + sin(ay) Simili modo , si ex K demittitur perpendiculum KB" in AY , ex A' ducitur A'N' parallela rectae NA , et ex K , H ' , A' , N' ad partem X intelliguntur duci parallelae perpendiculo B'K , polygonum B'KH'A'N'B! suppeditabit x'sin (x'y ) + y'sin ( y'y ) . sin (xy ) Si AX, AY ponuntur orthogonales, erunt sin (xy = t , sin (a'y ) cos(x'x ) , (sin ;'y ) = cos ( y'x ) , et conse quenter y = d + x'sin (x +x ) + 7'sin ( y'x ), x = 2 + x'cos(ac'x ) + x'cos( y'x ) ..

172. In superficie plana sit linea vel recta , vel curva: quodlibet lineae punctum suas habebit coordinatas. Jam vero si ex iis quae propria sunt omnium coordinatarum eruatur aequatio denotans qua ratione ordinatae componantur ex respondentibus abscissis et quantitatibus constantibus , obtinebitur ea quae dici, solet aequatio ad ipsam lineam . Exempla. BA + 1. Linea B'F ( fig. 71 : 6 ) sit recta ; axes AX AY orthogonales , ac proinde coordinatae AH , HK ad angulum rectum constitutae. Occurrat B'F axi AX in KH B ; -erit ( 125 ) tangKBH , hoc est BH AE tangKBH ; sed = langKBH . Igitur facta AE = 6 , BA et tangKBH =2. , proveniet y = ax + 6 , aequatio primi gradus ad lineam rectam B'F..

Haec veniunt notanda : 1. ° si concipitur alia re cta quae sit parallela B'F , equidem non secabit axem AY ` in E , sed cum AX eficiet ( 25. 2.' ) angulum . = FBX , erit igitur ejus aequatio y ax +6'. 2. ° quod si debeat haec nova recta transire per punctum , cujus coordinatae X et g' exsistet j ' = ax' + b' ; unde b' =y' - ar' : et ejus aequatio y -y =a ( - x ' ). 3.° demisso in BF perpendiculo quovis H'E' , et facta AE5, erit y = 2 tangE'H'X + 6”. Sed ( 122 : 121 : : 123) tangL'H'X = - tangE'H'B - COCKBH PARS II. - 10146 aequatio igitur ad H'E ' sic exbibebitur. 1 x+6". a 4.° inde sequitur , si binae rectae repraesentan . tur per v = hz + c , v = kcc, carum alteram fore,alteri perpendicularem quotiescum que exsistet hk + 1 = 0. II . Exhibeat AK ( fig . 74.c ) circularem arcum ; AP = 2r) diametrum ; coordinatae AH , HK sint or thogonales. Proprium, est ( 52. 2. ° : 45. 1. ) hujusmodi coordinatarum ut quadratum ordinatae. HK aequet rectangulum , sub respondente, abscissa AH et reliqua diametri parte HP = 2r - x ) ; erit ergo yº = 2rx - ? aequatio, ad circuli peripheriam . Si coordinatarum initium non in extremitate diametri sed in centro circuli ( fig. 75.2 ) constituatur , tunc rectanguluın illud evidenter esprimetur per (r - x )(- +-x ) ; unde . yr? -X , altera ad circuli peripheriam aequatio ejusdem gradus ac prima. Generatim algebraicam lineae sive rectae sive cur vae aequationem in eodem gradu, permanere , quum ab uno quovis coordinatarum systemate transitur ad aliud quodvis , patet ex eo quod , 9. exprimantur ( 171 ) per x ' , unicam constituentes dimensionem : porro linearum aequationes dicuntur algebraicae si va riabiles x et y subjiciantur dumtaxat primis algebrae. operationibus , videlicet additioni , subtractioni , mul147 tiplicationi, divisioni , et erectioni ad potentias fixas sive integras , sive fractas. Quae aequationes non sunt algebraicae , eae vocantur transcendentes. . III. ° Circulus A " D ( fig . 76.a) , qui rectara A" E contingit in .A " , revolvatur super ipsa A'E ita , ut : eam pergat semper contingere. Punctum A " circali regredietur ab Ah in E , lineamque curvam describet quae cyclois appellatur. .Circulus ille mobilis vocatur cycloidis genitor , recta A'E basis , diameter AB per- pendicularis (49) mediae basi dicitur aris. Patet au tem quemvis circuli genitoris arcum B'A' aequari re ctae A " B' , quae intercipitur duobus punctis A " et B' , in quibus extrema puncta ipsius arcus continguntur ab A " E , et totam basim-ATE aequari periphaeriae circuli genitoris. Jam ad inveniendam cycloidis ae quationem ducatur ex quovis ejus puncto A' reeta A'C perpendicularis axi AB , et constituta in A origine coordinatarum , sit AC = r ,, A'Czy, diameter AB seu KB' circuli genitoris =2a , et arcus qui ad ra dium 1 refertur , quique similis sit arcui A'K , pa natur = z . Erit ( 124 ). A'M = a sinz , MC = BB' = A'B - A'B' = B'A'K - BA' = A'K = ax , ac proin- , = azt a sinz ; insuper ( 123 : 3" ) AC , seu : = asin.v.z = a .( - cosz). .Hinc y . az - a sinz - a cosz , ( y az ) + ( at -- a) ? ( 123 : i) ; ideoque y = az + V 2ax - x * : et quo niam aequatio A'M=a sinz praebet de j : 5 A'M V20x sinz a iceireo Navarcl dare(sin == V2ax a ~ + Viax - x * 173. Sicuti lineae suas habent aequationes , ita aequationibus per binas variabiles x , yet per quan : titates constantes expressis suae respondent lineae , quae dicuntur loci geometrici earumdem aequationum , Data videlicet aequatione , sume in axe AX (fig. 719. ) abscissas AH quot lubet determinatas , easque in lo cum it successive in aequatione substitue ; prodibunt valores vel reales , vel imaginarii ordinatarum y . Jam si unaquaeque realis ordinata HK , hoc pacto defi nita , axi AX sic intelligatur applicata ubi sua de sinit abscissa ut ad axem alterum AY sit paralle la , extremitates K ejusmodi ordinatarum manifeste designabunt totidem puncta ad lineam datae aequa tionis attinentia . Ordinatis imaginariis utpote impos sibilibus nullum respondebit lineae punctum .

Exempla.

1. Proponatur aequatio y ' = px , ubi denotat P quantitatem >0. Cuilibet positivae abscissae AK Vigo 772.) binae competunt ordinatae reales y = + påV ejusdem quidem longitudinis , sed nou ejusdem signi; sumptis autem abscissis negativis , provenient semper ordinatae imaginariae y = tv - p.x . Hinc propositae aequationi respondebit curva MAC sese protendens tantummodo versus X tam supra quam infra axem AX ; et quoniam crescente utcumque abscissa positi và x , magis semper crescit utraque ordinata = V px , idcirco bini rami sese indefinite protendent magis sem per ab axe AX recedendo. At cum , facta x=0 , prodeat etiam y = 0 , ideo curva ab initio A coordinatarum proficiscitur , ibique secat axem AX.

II. ° Si daretur aequatio y ' = plaims") , respon dens curva haud excurreret in infinitum , sed contine retur determinatis limitibus : patet ex eo quod pro veniat y imaginaria quando xa sive x sit positiva, sive negativa. Ponatur x = a , erit y = 0 ; proin de curva secabit axem abscissarum in punctis A , A' ( fig . 782.) ad distantias a ét - ab initio C coordi natarum : in singulas ex caeteris abscissis binae con venient ordinatae reales pla — x ?) decrescen tes ab a =0 ad xəta. Fiet igitur , intra certos li mites , curvae nullibi interruptae progressus aeque supra ac infra axem CX tam versusplagam positivame X quam versus negativam X'.

III.° Quod si detur aequatio y ' = plx maº),pro dibit y imaginaria quando valor x < a sive x accipia lur ad partem positivam sive ad negativam . Ponatur sta , erit y = 0 ; in singulas autem e reliquis abscis sis binae convenient ordinatae reales y = + V p -a ) crescentes ab xsta ad xsto . Curva igitur et secabit abscissarum axem ad distantias a eta ab origine et inde in infinitum excurret cum qua tuor ramis ( ig. 29.) ab axe illo magis semper rece dentibus , quorum bipi partem positivam respicient ; bini negativam . > > IV: º Proponatur etiam aequatio razba sitque a > 1 , et in D ( fig . 80.a ) statuatur abscissarum origo: Sumptis abscissis x in progressione arithmetica versus partem positivam X , provenient ordinatae y crescen tes in progressione geometrica : abscissae x = 0 res pondet ordinata = DK = b ; quod si considerentur ab scissae versus plagam negativam X' , erit y = ba ideoque acceptis ejusmodi abscissis in progressione arithmetica , minuentur ordinatae in progressione geo metrica : igitur curva quae per aequationem illam re praesentatur , quaeque dicitur logarithmica , magis semper recedet versus X ab XX ', sed versus X' ad XX' semper propius accedet quin tamen uspiam in ipsam XX' recidate150 ! iga Rectae , ad quas rami curvilinei licet accedant magis quam pro quacumque determinata distantia ut cumque parva , nusquam tamen in ipsas recidunt , vocantur eorum asymptotie

174. Positio punctorum M ( fig . 78. " ) datae curvae definitur interdum ope lineae rectae CM , et anguli quen CM efficit cum CX , vel cum CY. Fiat recta : CM = z ; angulus MCX = w ; et coordinatae CK , KM ponantur orthogonales : erunt ( 125) XZCOSC) = % sirw ; quibus formulis uti possumus ad transformandas com ordinatas rectilineas et orthogonales x , y in alias z , w , quae dicuntur polares. Porro si curvae aequa tio , ad coordinatas rectilineas relata , est algebraica (172 : II.º ) , et curva ipsa dicitur algebraica ; dicitur - vero transcendens, si talis fuerit aequatio : lineae in super algebraicae distingui sołent in varios ordines ; uniuscujusque autem ordo ex respectivae aequationis gradu desumitur ; sic linea recta est primi ordinis circularis linea secundi ; ad illam enim pertinet ae quatio primi gradus , ad hanc aequatio secundi ( 172% Linearum transcendentium exemplum habes in cy cloide , et logarithmica. Sive autem curva sit algebraica , sive transcen dens , in ea nomine tangentis , normalis , subtan gentis , subnormalis intelligitur ( fig . 77,a 78.a .79.a) pars MT tangentis geometricae intercepta inter conta ctuin M et abscissarum axem , VR perpendicularis tangenti in puncto contactus et ad axein abscissarum terminata , KT segmentum ipsius axis ab ordinata ad tangentem usque computatum , KR segmentum ejus dem axis ab ordinaia ad normalem

175. Lineas , earumque puncta in superficie plana contemplati sumus; quod si consideranda essent puncta utcumque collocata in spatio , relativa ipsorum positio tribus coordinatis definiretur. Sit M ( fig. 814 ) unum ex ejusmodi punctis: statue in spatio tres axes AX , AY , AZ sese mutuo sécantes in A ad angulos e. gr. rectos; demitte ex M perpendiculam MX in planum XAY ; duc ex K ad AX perpendiculum KH: coordinatae AH (= x) , HK (= y) , KM ( = z) illis axibus respective parallelae satis erunt ad situm puncti M determinandum relate ad tria plana YAZ; XAZ , XAY. Hic quoque obtinet animadversio jam facta ( 169): si eae coordinatae censeantur positivaė quae diriguntur ad plagas X , Y , Z , censendae erunt negativae quae diriguntur ad plagas oppositas.

176. Sit punctum alterumM cujus coordinatae AH' , H'K ' , K'M ' vocentur x ' , u ' , a ' : ex M ad M' , et ex K ad K' duc rectas MM' , KK' ; tum ex M' ; K ' demitté perpendicula M'N , KQ in MK , HK: Erit . ( 45. 1º. ) M'M ' = MNP- M'N ' = MN -K'K ' = MN -K'Q + QK" ; sed MN = 2 - z ' : K'Q = H'H = x - x ' ; QK = HK - HQ = HK - H'K = y - y ' : ergo MM' = (x - x ') + ( y ) + 2-2')' . Si x '= 0 , y = 0 ; 2 = 0 , punctum M' abibit in A ; unde AM = rº + yº+ z? ; et simili modo AM ' = x" +y +z' ?:

177. Triangulum AMM' praebet ( 132 : { X ¥ 5) AM + AM cosMAMA 2AM . AM' et adhibita substitutione ( 176) in numeratore , factoque angulo MAM'= ; xx' +yy' to zz' corsa AM . AM ' MM152 1 Exprimantur per X, Y , Z anguli quos efficit recta AM cum axibus AX, AY , AZ , et per X ' , Y' , Z' anguli quos cum iisdem axibas facit AM ': ex dictis (125) facile colligitur fore xx '= AM.AM'cos X cosX ' , = AM.AM'cosYcos Y ' , uz' AM.AM'cos cosZ. Quare cosfecosXcosX ' + cosYcosY ' + cosZcosZ '. Si B = 90 ° , erit cos XcosX ' + cos YcOsY' + cosZcesz 20; quod si fuerit B = 0 , rectae AM , AM' in unam cam demque rectam coibunt ; eritque cos X | COS'Y + cos Z = 1.

178. Punctum M , quod referebatur ad axes AX , AY , AZ (fig. 82.a) sub angulis quibuscumque inter se constitutos , referendum sit ad axes AX' , AX ', AZ sub quibuscumque pariter angulis inter se constitutos ; quaeritur relatio , quam habent veteres coordinatae X , 9 , % ad novas x ' , ' , z . Ex puncto M in planum XAY demisso perpen diculo MB ( = n ) , ducatur AB ; sintque AH = x , HK = ) , MK = Z , AH'= x ' , H'K ' = 9 ' , MK ' = z . Polygonum BMK'H'AB suppeditat ( 170) BMZ'cos(nz') 'cos(ny').- x'cos(nx'). Sed BM = MKCOSBMK S 3 cos (nz) ; igitur x'cos(nx') + y'cosiny') + z'cos(na'). cos(nz) Simili modo , exhibitis per n ', n " perpendiculisquae domittuntur ex M , alterum in XAZ, alterum in YAZ ,yan > prodibuat x'cosin'x') +y'cos (n'y'!+ z'cos(n'z") cos(n'y ) s'cos(n "x "} + y'cos (n" y') + z'cos(n " z') cos(n" x) Si coordinatarum x y , z'initium non incidit in A , sitque ejus positio determinata coordinatis c , d , ad axes AX , AY , AZ respettive parallelis , quisque videt prima istarum aequationum membra immutatum iri in 2-4 , god , Immo

179. Si axes Ax , Ay , Az ponuntur orthogonales , erunt (nz) = 0° , (n'y) = 0 ° , (n'x) = 0° , (nz') = 180 ° ~ (zz '), (ny')= 180 ° zy ') , (n ) 180- (2x ') , ct caet . . , ideoque ( 122) z = x'cos(zx' ) + y'cos(zy') + z'cos (zz') , y = x'cos(yx ') + y'cos(y1') + z'cos (yz'), x = x'cos (xx' ) +y'cos(xy ') + - z'cos (zz'). 180. Quodlibet superficiei vel rectilineae , vel cur vilineae punctum suas habet coordinatas x , y , z : ita que singulorum ipsius superficiei punctorum positio nes intelligemus, si noverimus aequationem per x , j , z et quantitates constantes expressam , ex qua , sumptis pro voluntate binis x , y , deduci possit qua lis quantaque futura sit tertia 2 .

Exempla. 1 :* Esto planum indefinitum BCE (fig . 82.9) cui axis AZ occurrit in C , quodque secatur planis XAZ , YAZ secundum rectas CE , CB : fiat AC = b ; sint a , a ' tangentes angulorum quos intersectiones CE , CB154 5 offormant, altera cum AX , altera cum AY ; et att sumpto in CB puncto quolibet D , ex eo ducatur li nea recta DP parallela CE. Aequatio rectae CE est ( 172. I. ) z = ax + b ; proinde aequatio cujusvis paral delae DP exhiberi poterit (ibid .) per z = ax + u ; de notat u perpendicula ex punctis Ď demissa in ' axen AY , et consequenter uta'y + b. Quare z = ax-+ a'y-+ 6 ; quae cum pertineat ad omnes parallelas DP , perti nebit etiam ad planum BCE . Notentar haec duo : 1. ° si concipitur alterum pla num ipsi BCE parallelum , facile intelligitur (172 : 1.°) ejus aequationem fore z = axta'y + 63

2. ° quod si debeat hoc planum transire per pun ctum , cujus coordinatae x ' , u ' , z' , exsistet z = ax ' + a'y ' + b' ; unde bazax' a'y' ; ideoque ejus aequatio 2 - z = (x - x ') + ally - y's II. ° Invenienda sit aequatio ad superficiem so lidi , quod gignitur rotatione datae figurae planae circa axem AZ . Ad distantiam z ab initio A coordinatarum in telligatur superficies plano aliquo secari normaliter ad AZ ; communis intersectio erit circuli peripheria : -di catur v ejus radius ; provéniet ( 172. 11.°) n ' = x ? ty ? Sed v est simul ordinata lineae qua generatur superficies, ac proinde habetur v expressa per z : ita que adhibita substitutione in locum quadrati va , pro dibit aequatio inter x , y , z , hoc est inter coordi natas superficiei.

Proponatur 1.° superficies sphaerica , cujus cen trum in A , et radius r. Erit (172II. °) v ? rz? unde135 x + y + z" , aequatio ad superficiem sphaericam pertinens.

Proponatur 2. ° superficies coni recti : sit altitu- do coni = 9 , centrum circularis basis in a , ejusque radius r . Exprimet tangentem anguli quem re 9 . cta generatrix eſficit eum are coni ( 125) seu cum AZ ; ideoque ( 172. I. ' ) v = (9–2) : erit igitur 4-5 x* ntya (9- )" 9 aequatio ad superficiem coni recti. 3. ° si supra eamdem circularem basim constitua tur cylindrus rectus, erit v = r ; unde x ' + y ’ r , aequatio ad superficiem cylindri recti , eadem nempe ac aequatio ad circularem basim . 181. Si AH , HK , KM (fig . 81. ") sunt coordinatae 3 , y , z cujusvis puncti M ad superficiem datam per tinentis , et ex A ducitur recta AK ad extremum K perpendiculi MK , poterunt pro coordinatis x ,9 , adhiberi anguli KAX , MAZ una cum recta AM ad positionem puncti M determinandam : satis erit same re MAZ ab 0 ° usque ad 180° , et KAX ab 0 ° ad 360. Ponatur KAX = W , MAZ= 9 , AMER ; erunt ( 125) AKcosa , AKsino , Rsin (90 ° —4) valores coordinata у % . Sed AK = AMcosMAK = Rsino , et sin ( 90 °-5) = cost ; hinc x = Rsin Gcosa , y = Rsinhsinw , z = Rcos9. 182. Concipiatur in spatio linea quaelibet L., ' ex cujus singulis punctis intelligantur demitti perpendi cula in duo ex planis coordinatis to gvo in YAZ , rum X 2 ?156 XAY. Bina perpendiculorum systemata binas lineas sis gnabunt extremis suis , alteram Pin plano YAZ , al ieram Q in plano XAY ; quarum prima manifeste de finietur coordinatis y , % , secunda coordinatis , lineae L. Hinc ubi fuerint cognitae aequationes fi nearum Q , P , assumpta , pro voluntate , una ex tri bas coordinatis v. gr. x, cognoscentur caeterae şi % , quae respondentem lineam: L in spatio sitam de terminabunt. P , Q dicuntur projectiones lineae L in planis YAZ , XAỸ. Eadem perpendiculorum systemata binas superfi cies cylindraceas in spatio constituunt , quarum com munis intersectio cum sit ipsa L , sequitur lineam quamlibet considerari posse tamquam communem hu jusmodi superficierum intersectionem. Equidem ple rumque non jaccbit linea in unico plano ; atque hinc eae lineae curvae , quae duplicis curvedinis appellan tur , quaeque juxta duplicem directionem inflectun tur : at sive plana sit linea L , sive duplicem habeat curvaturam , definietur duarum projectionum v . gr. P , Q aequationibus , quae iccirco appellantur aequa tiones ipsius lineae L. Exempla Lº Detur positio duorum planorum quae non sint inter se parallela , quaeque proinde sese mutuo secent : quaeruntur aequationes communis eorum in tersectionis. Exhibeant (180. I. °) z = ax + a'y + b , z = Ax + A'y + B aequationes planorum : pertinebunt ambae ad commu nem intersectionem , adeo ut relate ad ipsam varia biles z , x , y unius aequationis debeant esse eaedem ac variabiles z , X , y alterius. Jam si eliminetur z , prodibit ( A - 2 + ( A - a'y Bb- = 0 : 1157 quod si eliminetur . & , proveniet ( A — a )2+ ( Ala - Aa'y -t-Ba - Ab == 0) ; quarum altera est aequatio projectionis in plano XAY ; altera in plano ZAY ; utraque vero est aequatio ad lineam rectam ( 172. 1. ) . Datis aequationibus K = 0 , K=0 duarum qua rumvis superficierum curvarum S , S' , quae se mutuo secant , quisque videl eamdem adhiberi posse metho dum ad aequationes inveniendas communis earum in tersectionis. Utrum vero hujusmodi intersectio jaceat in unico plano nec ne., hoc pacto investigabimus : in alterutra binarum aequationum ad superficies S , S v. gr. in K = 0 pro x , y , z substituantur valores de sumpti ex generali ad planum aequationé z =axt a'y + b : aequationes inde resultantes spectabunt ad projectiones communis intersectionis ipsius plani et su perficiei S super YAZ , XAZ , XAY. Nunc si a , a' , 6 possunt ita determinari , ut istae novae aequationes! fiant eaedem ac illae , quae obtinentur eliminando x , y , z ex K =0 et K ' = 0 , id evidenter indicio erit communem superficierum S , S' intersectionem omni no jacere in plano ad quod pertinet aequatio z - axt a'y + 6 : sin aliter , intersectio illa haud poterit in unico jacere plano , utpote duplicem habens curvatu ram . II. ° Datis coordinatis x' , y' , z' et x ", y ", z " duo rum punctorum per quae transit linea recta , inveni re ipsius aequationes. Patet ( 66. 182, 1. °) projectiones in planis v. gr. XAZ , YAZ fore lineas rectas ; ideo que (172. 1.°) ipsarum aequationes sic exhiberi posse x = az + b , y = a'z + b' : restat ut a , a , b , b' determinentur. Quoniam recta proposita transit per illa duo puncta , erunt proinde

• = az' + b , x " = az" + b , simulque y' = a'z ' + b ',

Ju" = a'z" +b' . Hinc158 x'x" : a's bxaz', b = y - a'z '; et adhibita 'substitutione , provenient -X ge X - X ' -z ) , y ( 22' ) , & eejuationes quaesitae . , fr .. III. Si unicum punetum daretur per quod de beat linea recta transire, vocatis x' , ' , z coordi ratis illius puncti , haberentur tantum aequatiónes = az' + b , uşa'z' + b' , ex quibus b = 'maz , 5 = y - a'z' ; unde x - x = a ( z - 7 ), 3 -oy'= a (z - z!) :: quantitates a , al manent indeterminatae . IV. Invenire -aequationes perpendiculi quod ex puncto dato demittitur in planum datum. Sint x , y , coordinatae dati puncti ; BC , ECF (fig : 82" )lineae rectae , juxta quas plana YAZ , XAZ secantur a dato plano cujus aequatio . exbibea tur per z = mx +-ny + . !" Quaesitae aequationes habebunt hujusmodi fore. mam ( III. ) x - x'= a'z - ') , = - = a'z— ') , in qujbus satis erit definire a et a'. Si recta NI re praesentat perpendiculi projectionem in plano XAZ , quoniam datum planum et XAZ sunt ( 77, 1. ° ) ambo normalia plano per NI et ipsum perpendiculum transeunti , iccirco ( 77 .. 4.° : 69 ) angulus NIC erit rectus , ac proinde ZNI= 90° + FCA = 180 ° --CFA : lainc autem (122) tangZNI = -- tangCFA. Sed ( 172 . 1. ° 180. I. ") tangZNISa, tangCFA m ; igitur Me Simili modo- obtinetur, a ' unde .169 Resui

z = + ' ! xx'= - ( 3-2) , gamy' = - 1 (3-2) , acquationes ad propositum perpendiculum . Pertinent ad punctum ubiperpendiculum occur- , rit plano aequationes perpendiculi simul et planı. ;. resoluţis igitur hisce aequationibus , provenient m (q +-mx' +-ny ' - 2') 1+ m +-11 ? n (9 +-mx' + ny '- 2 ) y = 1 +-m - ton 9-4.mx' + ny - 2 1 +mtna Goordinatae puncti concursus. Praeterea longitudo pere, pendiculi exprimitur ( 176) per V (x - x')* + - % ') + (z - z') , quae ; adhibitiş substitutionibus , vertitur in : 9 +-mx' + ny'- Z! V1st m ? n ? 183. Retentis symbolis algebraicis (177) , singi x = az , y = a'z et x '= cz' , x = c'z '. aequationes rectarum . AM , AM' ( fig . 80.a. ) quas ibi; contemplati sumus ; considerentur autem coordinatae , quae punctiş M , M' respondente Erit xx + yy' + zz'zz'(acta'c' +- 1) ; est insuper ( 176) AM = V x + ya + z = zVa’ + a' +1 AM = V + x !? + = zVte'sFta.160 Igitur tractac cosß = Vita + a' . Vi+ catelo altera expressio cosinus anguli quem efficiunt rectae AM , AÑ' . Si rectarum altera fuerit alteri perpendi cularis , tunc cosß = 0 , ac proinde 1tacta'd' = 0 . 184. Ponatur 1. ° rectam AM ' incidere in AX ; erit y = 0,2 = 0, x ' = AM ', B = X , ideoque aequatio ( 177) xx ' + yy '-+ zz' costs vertetur ( 183) in. AM.AM cosX AM zVata" + Sed aequatio xeraz praebet =a ; igitur cosX = Vata Ponatur 2.° AM incidere in AY ; erit

, '= 0 , y '= AM ' , B = Y ; ac proinde cosY

y Sed ex aequatione y = a's AM za' ta' +1 habetur = a' : igitur 3 cosY pa1611 Ponatur 3. AM' incidere in AZ : erit x = 0 , y ' = 1 , z = AM ' , B = 2 . Quare 1 cos2 = AM 12

185. Dalis duabus rectis quae non transeant per initium A coordinatarum , quaeque definiantur aequa tionibus Daz + b , y = a'z + b' et x '= zcz' + d , y'= c'z'+ d' , duci poterunt per A lineae rectae AM , AM illis re- . spective parallelae ; quarum proinde aequationes erunt ( 172. 1. ° ) xaz , y = a'z et it'cz' , y '= c'z'.. Anguli autem ,quos hae invicem et cum axibus AX , AY , AZ efficiunt , respondentes illarum angu los ( 73. 4. ° ) aequant. Quamvis igitur lineae rectae non transeant per A , adhuc tamen valebuntformulae mo do inventae ad angulos ß , X , Y , Z determinandos.

186. Quoniam ( 184) cosX COSY cosz a' cosz ideo aequationes ( 184 : II . ) ad rectam transeuntem per punctum , cujus coordinatae x ' , N ' , z' , poterunt sie exprimi xx' yny za cosX cos Y cosZ Ad haec : si recta illa intelligitur normaliter insiste re plano transeunti per punctum , cujus coordinatae r " : " " , z" , poterit aequatio ad ejusmodi planum sic exhiberi ( 180. 1.° 2.° 182. IV. ) Pars Ile . 11 .162 1 ( x = x " )cosX + yy" cosY + (z - z">cos2= 0 .

187. Ex formula , qua invenitur cosinus anguli ( 183 ) , facile est determinare tum angulum f quem , efficiunt duo data plana , tum angulum S" quem li qea recta et planum datum :efformant.. Quod ad ß ' pertinet, sint = Ax + -A'y + A " , z '= Bx' + B'y' + B " aequationes, planorum . Ad ipsorum alterum agatur.ex . initio A (fig . 809) coordinatarum perpendiculum AM , ad alterum vero perpendiculum ĀM !; angulus MAM erit (77:73. 4 °)"aequalis angulo B. Cum autem per pendicula ponantur duci ex initio. A coordinatarum , erunt (182. IV . ) x = -Az, y = -A'z et x ' = - Bz' , y ' = - B'z' perpendiculorum aequationes. Ergo ( 183 ) cosMAM ' seu , 1 + AB + A'B ' cos V1+ A + A ' V1+ B ’ + B '? Si b'= 90 ° , erit cosp = 0 , ac proinde 1 + AB + A'B = 0 . Quod vero ad ß " attinet , sint z = Ax + A'y + A " et x = az + bi, y == a'z + ": aequationes dati plani et rectae datae .: agatur per initium A (fig . 80.a) coordinatarum planum MAM pa rallelum dato , et AB. parallela rectae. datae. Sumpto .. quolibet punto B in AB, ducatur ex eo perpendicu lum BC in planum ,MAM ' , et per . A recta AB' ipsi perpendiculo parallela ; jungantur denique puncta A , Cope rectae AC. Erit ( 73. 4.° ) angulus.(s" = BAC = 90 ° - BAB' , unde. ( 121 ) sins" = cosBAB : erunt insuper ( 172. I.°)163 , x = 12 ; y = a'z.? aequationes lineae rectae AB , et quoniam ex aequa- .. tione plani . MAM' (180. 1. ) z == A.c +-A'y habentur (182 ... IV . °) x = Az, y = A'z - acquationes perpendiculi AB ', prodibit (183)icosBAB'* seu . 1 - Aa - Ala sin , " vita? ta'? Vi+ AP + A '? Si recta fuerit parallela plano , tunc sin8" = 0 , et consequenter 1 A2 - A'a ' = 0 . '.

188. Superficies considicae , vel cylindraceae oriun- . tur ex conversione rectae, radentis curvam , et tran datum punctum , vel delatae motu paral lelo ; recta illa dicitur generatrix .; curva appellatur rectrix . Jam vero datis aequationibus: utriusque li neae , generatricis · nimirum : et rectricis , perveniri potest ad aequationem genitae superficiei : caeterum eisi methodus, qua: id obtinetur , valeat quoad omnes curyas rectrices , has: tamen et planas : assumimus , et in plano XAY.constitutas.. . Ac. primo : si recta generatrix transit per datum punctum cujus coordinatae sint , x" . ; ) " , 2 " ., erunt (182. 111. ) x - x = a { z - z " ) , y - y = a ( z - z ") aequationes ·rectae generatricis.. Equidem r " ,, " , 2 " permanent constantes , qualecumque sit punctum cur vae rectricis ad: quod recta generatrix devenerit , sed variato puncto illo , variantur , uti patet , a et a' : seuntis per164 ejusmodi puncta tam curvae reetrici quam rectae ge neratrici sunt communia , atque in ipsis ex hypothesi est z = 0 ; hinc facta z = 0 in aequationibus rectae generatricis , coordinatae x , y in aequationibus ar - az" y = y " -a'z" eaedem , erunt ac coordinatae x '"' , gu' ' in aequatione curvae rectricis. Poterunt ergo in hac aequatione sub stitui " Laz" , y " -a'z" in locum 2 " , 2 " : hoc pacto obtinebitur quaedam aequatio (R) per a , a' et quantitates constantes expressa. Atqui aequationes re ctae generatricis praebent úniversim a = ygi" 2-2" igitur in aequatione ( R) subrogatis hisce valoribus in locum a et.'a ' , prodibit aequatio per x , y , z et quantitates constantes expressa , quae ad puncta omnia rectae generatricis ubicumque curvae rectricis ea sit ac proinde ad superficiem conoidicam pertincbit. Secundo : sint x = az + :6 , yəa'z + b? aequationes rectae generatricis , ex cujus motu paral lelo oritur superficies cylindracea. Quoniam recta generatrix ponitur sibi semper parallela , iccirco ( 172. 1. ° ) ubicumque curvae rectricis ea fuerit permanebunt constantes a et a '. Non ita dicendum de b , b' quae variantur variatis curvae punctis, quibus respondet re cta generatrix (172. I. ° ) : haec puncta cum sint re quae generatrici et curvae rectrici communia , atque in ipsis ex hypothesi habeatur z = 0 ; sequitur coor dinatas x '"', " in aequatione ad curvam rectricem easdem fore ac x , y in aequationibus x = b , yah.165 Poterant itaque in aequatione adcurvam rectriä cem subrogari b , b ' loco x" , "; unde prodit aequa tio quaedam ( R ') continens b , b' et quantitates con stantes. Aequationes autem rectae generatricis suppe ditant universim b = x - az , b = y - a'z ; ergo in aequatione (R' ) substitutis x az , ya's loco b et b' , 'exsurget aequatio per x , y , et quantitates constantes expressa , quae ad puncta omnia rectae generatricis ubicumque curvae rectricis ea fue> rit , ac proinde ad superficiem cylindraceam pertinebit. Exempla. 1. Si curva rectrix est peripheria circuli haben tis radium = r , et centrum in ipso coordinatarum initio , erit ( 172. 11. ° ) 2 " + " = " aequatio ad curvam rectricem ; hinc ( 3c" waz")* + 6 " _a'z") = , aequatio quam notavimus littera R. Jam si ponantur X - X " 32" yar" pro'a , a' , exsurget

• " ( ) —23":"( )+ " (** )

27":"( > = = 3" = ", aequatio ad superficiem cujusvis coni basim circula rem habentis. II. Retenta eadem basi circulari , deferatur ge166 Deratrix : reeta motu parallelo ita .gytut enascatur ::su perficies cylindri. Erit b ? + 6 = aequatio. quam designaximus littera R.Substitutis x yana'z , prob, B!, proveniet ( rmaz) + ( y - a'z ) = -* aequatio ad superficiem cujusvis cylindri circularem basim habentis . Xaz

DE LINEIS SECUNDI ORDINIS.

189. Sit:generalis aequatio secundi gradus Axº + By + 2Cxy + 2D.x-+ 2Ey= K ... (1 ) inter coordinatas orthogonales-x ety ; exprimatur per ... 20 chorda subtendens quemvis curvae arcum , per i angulus quem chorda efficit cum positivo abscissarum axe ; et divisa : chorda' bifariam , designent Xov ) . coordinatas puncti medii. Habebimus quoad alteram chordae. extremitatem ( 125 ) X = X ; cose , y =yosina ... (i ,' ) , quoad alterain x = x +occosos yonticisina .... (is). Et quia tam valores : (in ) quam (is) debent satisfacere aequationi : (i), iccirco factis ' compendii causa Acos ? a + Bsin a + 2Csina cosa = P (Ax : + Gyö + D )cos& + By: + Cx . + E )sina == Q , Axo? + By. + 2C % .yo + 2D.xo +-2Ey = R

• erunt simul

Pc - 2Qc + R = K , Pc + 2Qc + REK , 71967 unde 2Pc +-2R = 2K , 4Qcco (is) , et consequenter G = Ax :+Cy + D ]cosa + (Cx: + By + E )sino = 0 , seu (Acosx + Csing )xo+ Ccosa + Bsinayo + Dcosa +Esina = 0: quae cum sit primi gradus ' quoad xo ,Yo, angulusque a permaneat idem in ordine ad chordas parallelas 2c , inferimas ( 172. I. ° 123) punćta 'media chordarum .pa rallelarum fore omnia in una eademque recta secante axem abscissarum sub ' tali - angulo w ut sit Acosa + Csina AstCtanga tauga ( ) Ccosu + Bsina C + Btanga

190. Hinc (172 : 1..4. ) ubi a'equatio A + Ctanga 1 - tanga= =0 ... 0 ... (is) G + Btanga expleatur per valores reales tanga , ' profecto recta illa exsistet perpendicularis chordis parallelis ab ipsa bifariam sectis. Jam vero potest (ig) sic scribi Acosa + Csina Ccosa - t -Bsinx 3 sina est autem ( 197 ex p . 1. ) Acosa =tCsina Ccosa + Bsing sinya cosa.coso sing.sina Acos'a + Bsin'a + 2Csinucosa sin'a - t - cosa ideoque ( 189 " : 10 : 123) COSA cosa168 Acosa - Csing Ccosa + Bsing P , cosa sina (19) seu et COI A - P + Ctanga= 0 , (B_P)tangata consequenter PA+ B ) P + AB - C ' = 1 ... ( ) Quoniam igitar istius aequationis radices( 135 ex po 1.99

• AB -B

+ C ' ] , 2 TP

+ r14 B - vi(45) P , (... ) A+B A - B for C'] 2 exsistunt reales , valores quoque P. - A ' C tanga , с P.B P-A с tanga , с P - B erunt reales : unde conficitur in quayis secundi op dinis curva fore semper talem parallelarum chorda rum positionem , sub qua eae possunt recta linea se cari bifariam et ad angulos rectos , sicque ipsa cur va dividi in duas aequales similesque partes Recta bifariam secans parallelas chordas dicitur curvae diam-ler ; quod si ' et bifariam , et ad angu los rectos secet parallelas chordas , vocatur exis.

191. Ad axem pertinent ( 189.: is : 192 : igo ,, ) aequationes P.(x ,cosu, + ..sina ,) + Dcosx, + Esina, (ielo P.(x , cos , ty sinag) + Dcosa , + Esina, = 0169 Jam P , et P, simul evanescentibus , prodeunt A = 0 , B = 0 , C30 , quod nequit admitti , si quidem de beat (i ) ad secundum ascendere gradum . Restat igi tur ut binarum P , et P, aut una dumtaxat evane scat, aut neutra evanescente sit vel P,-P;=0 , vel P.-P, > 0. In 1.º casu P , = A + B ., P,=0 ; proinde e binis ( ...) non erit nisi prima , quae possit rectam li : .titivi repraesentare ; ideoque parallelae chordae sub anda tantum positione B tanga , polis) с A bifariam et ad angulos rectos secabuntur linea re cha . Quarta ( in . ) praebet A с tanga , 읏 et secunda ( i. ) D tanga, E Verum expleta conditione D ) x² + C BВ. E aequatio ((,) eyadet CD CE D 3 ° + 2Cxy + 2Dx + 2E7 = K , E quae sic scribi potest с (Dx + Ey ) +2(Dx + -Ey)== K ; DE unde170 $ DE D.35 matn Ey = C ĆV( DEDE + CK) Haec autem aequatio non curvam , sed ( 172. I° : 1. ) vel binas rectas parallelas , vel unicam rectam ," vel nihil repraesentabit , prout nempe fuerit DEDEKCK) vel > , vel S , vel <0. In 2º. casu C = 0 , A - B = 0 , P = P = A = B . Explebuntur itaque (ig) utcumque sumaturæ ; pote runtque recta linea secari parallelae . chordae sub quavis positione bifariam et ad angulos rectos. Ae quatio autem (i,) evadet 2D 2E K a + y + A A A seu (3+ 2 ) + ( + 5) = AK+ D:+ E" Aa quae ( 172. II.º 173) vel circulum , vel punctum , aut nihil repraesentabit, prout secundum membrum vel > , vel = , vel < 0. In 3.º casu tangel1 to Cʻ ] , 1BA V65) C » ), SAA - VE(425)*+ C"); (inn ) 1 tangk , = с sub duabus nimirum positionibus invicem distinctis parallelae chordae ' secabuntur linea recta bifariam et ad angulos rectos. Et quia aequationes " istae sup peditant1971 ? 1 esse curvae cen tanga , tanga , = infertur ( 172.. 1 ° : 4.°) rectam , qua bifariam et ad angulos rectos secantur parallelae chordae sub positio-, ne 4 ,, fore porpendicularem rectae bifariam pariter et ad rectos angulos secanti parallelas chordas sub positione ago Unicus ergo in 1.° casu erit curvae axis ; in 2. * infiniti numero ; in 3. ° duo. Caeterum quisque videt , .. ubi duo axes se mutuo secant , ibi trum ; punctum videlicet illud in quo dividuntur bi fariam 'chordae per ipsum transeuntes.

192. Si variabiles x, y , in prima (i, ) spectantur ut eaedem ac variabiles x , y , in secunda , profecto qui valores ro , 7. in hac hypothesi eruuntur ex ( : 2), ii pertinebunt ad centri coordinatas. Erunt igitur ( 191.1, w) ejusmodi coordinatae CE - BD CD --AE X. ABC" ABC } (115) " Denotetr valorem R ( 189. in coordinatis istis respon dentem : adhibitisin R substitutionibus ex (115) , prodibit 2CD - AEP - BD ABC ( 1.6 ) ; unde ( 189. is) . quadratum semichordae transeuntis; per centrum yo K - 1 P . (it). Assumpto P = 0 , fiet o=0 ; et ' ex prima ( in : 191) ? 1 tang с B B VC - AB ... (is) ; duplex nimirum realis valor ( exhibemus per d' , : ") erit angulo , quotiescumque ABC' < 0 .172

193. Ex ( 1.2 . ) infertur , in curva centrum habente și axes occurrunt curvae , quadrata distantiarum inter centrum et occursuum puncta , seu quod eodem redit semiaxium quadrata expressum iri per KT K ci P. P, Jam vero valores P , et P, sic scribi possunt A + B A P, = (ABC') ] , 2 tric B - (A+ ) - (ABC)). P , A + B 2 Hinc si AB - C ' > 0 , et ( K - A - +-Bj > 0 ... ( .. ), erunt K P, > 0 K P, > 0 ; semiaxes nimirum c , etc, exsistent ambo reales ; quatuor proinde habebuntur occursum puncta. Quod si , haud eyanescente Kar, sit ABC' < 0 ... (ige ) , duarum P, et P, altera erit > , altera < 0. Propte rea semiaxium c, et c , alter exsistet realis , alter ima ginarius ; et consequenter duo tantam obtinebuntur occursuum puncta.

194. Sit recta tangens curvam (i.) in puncto cujus coordinatae x, et Y .;transibit per punctum illud dia meter bifariam secans ( 189 ) chordas omnes tangenti parallelas continentes cum abscissarum axe angulum co Quoniam igitur ( 189. is )utjo Cx , + By + EY, ; Axi + Cy. + D tanga (i ) ; Cx . + By: + E ° iccirco designantibus v et u cordinatas tangentis , erit 172, 1 ° : 20. ) Ax + Cy . + D (v - * .) ... (i. ) : Cx , + By + E et denotantibus v' et u coordinatas normalis , erit ( 172. 1 ° : 3. ° 2. °) Cxo + By +- E u' ( -1,) ... li , s) . Axitly.to

195. Facta u = 0 in (iga ) , et u ' = 0 in (1,3) , qui va lores v et r ' inde eruuntur , ii spectabunt , alter ad distantiam inter coordinatarum originem et tangen tem , alter ad distantiam inter ipsam originem et nor malem , coniputatis distantiis in abscissarum axe. Ex hibitis itaque ejusmodi distantiis per d et d' , erunt Cx+ By. + E Axo + ly. + D ". (isu) ; A. + CY-D des + d ' = x , o unde ( 174) subtangens Cx . + By + E da Ax . + 69. Do, subnormalis (ins ) Ax + y + D d ' - x . = Cxo + By . +EY Ad haec : si tangens designatur per é , et normalis , Jern , erunt1741 try.Hd =-x .) ; n'yo'td'= xox ;) ...(iso).

196. Accipiantur, nunc abscissae in recta bifariam ( 189) secante parallelas chordas , habeanturque semi chordae pro ordinatis ; sive : recta illa sit curvae dia meter , sive axis , aequatio ad curvam nullo pacto immutabitur , ubi loco ordinatae . positivae substitua tur ordinata negativa. Igitur aequatio erit : ejusmodi formae A'x ? + B'y ? + 2D'K'... (is ;) D K' Pone X pro x si A' ? > 0 , et x + si A=0; : A 2D ' quae positiones nihil praestant : aliud quam ab uno ad alterum punctum illius rectae transferre coordinata-. - rum originem . . Habebis in primo... casu .. D's Ax? + B'y ? = Kto A '. in secundo B'y ? + 2D'x = 0 .. Factis in prima ( 128 ) D's . D ': A == B't K' + A '. 8 A ? in secunda 2D) ' .. == 2p , B '. mutabuntur (ins) in

5 1 ; y ? = * 2p.%.. a ? 6 ? Binae autein 1175 , = 1,y'= - 2px 22 nihil significant ; restant igitur y? 6 62 - 1 11 , a ? C y² 1 ac 1 , y = 2px , a? b quarum prima exhibet ( 173) curvam certis limitibus circumscriptam , quae vocatur ellipsis ; secunda tertia curyam :quatuor infinitis ramis praeditam , quae dicitur hyperbola ; quarta curvam cum duobus ramis in infinitum sese protendentem , quae dicitur para bola : in ipsa quarta 2p appellatur curvae parameter. Etsi coordinatae in (129) esse possunt vel ortho gonales., vel obliquae , eas tamen sumimus, orthogo nales ; quod eo redit ut abscissae ponantur accipi in curvae axe : insuper ad repraesentandam hyperbolam , omissa segunda iny) , utemur- tertia.

197. Itaque comparantes ( iz9 ) cum (i ) habemus quoad parabolam A = 0 , B = 1 , C = 0 , D = -p, E = 0 , K = 0 , ideoque P , = 1 , P , = 0 ; quoad ellipsim A = b ' , B = a ' , C = 0 , D = 0 , E = 0 , K = a'b * et consequenter P = b , P , = a ' ; quoad hyperbolam A = b } , B , C = 0 , D = 0 , E = 0 , K = a ? l ?,1761 unde P , Pamela Igitur ( 191) in parabola sub unica positione , in el-: lipsi vero et hyperbola sub duplici poterant paralle lae chordae secari linea recta bifariam et ad angulos rectos : parabola videlicet unicum habet axem , du plicem ellipsis et hyperbola ; quocirca hae gaudent centro , illa non gaudet. 198. In ellipsi (192 : 193 .: 1197 ) ABC' = a'b ' > 0 , (K-- )(A + B = a'b '(c +6' ) > 0 ; coordinatae autem centri x = 0 , y.O. Centrum scilicet incidit in coordinatarum originem ; ; , exsistunt reales ; suntque sa , c , = stb. , Posito a > 6 , 2a vocatur axis transversus , 2b conju gatus : si foret asb , prima (ing ) spectaret ad circu- - lam ( 172 : II. ) In hyperbola ABCC = - a'b < 0 , Ka'b' ; item coordinatae centri semiaxes c , et ces -0,1 -0. Ergo hic quoque centrum incidit in coordinatarum originem ; at semiaxium c, , C , alter est realis , al ter imaginarius : sunt reipsa c = < a , c , = + by - 1. Ad servandam analogiam cum ellipsi " , 2a dicitur axis ; transversus , 2b conjugatus. 199. In parabola aequatio ad diametrum est ( 189 : 18 )127 , 1 - pcotx = = 0 ;; > in ellipsi b ?, Mot XocotxO; a ? ( 130) in hyperbola 62 yo X. cotch = 0 . a * Igitur (172. I. ° 118) diametri omnes in parabola: sunt : parallelae axi ; in ellipsi vero et hyperbola transeunt per centrum ( 195 ). 200. Computetur chorda 20' in ea ellipseos diame- .. , quae respondet chordae 2c, transeunti per : cen trum ; habebimus . (192 : 1,7 ), tro @ ? h ? c ' ? aʼsin ? @ +6 cosa Sed: ( 189 : in ) sin ? 6 " cosac a'sin ? a ܪ cos ? ideoque ( 196 ex p. 1,2 ) 6 " cosa sin ? w = > a'sin ?utb'cos? a sin a cos ? w = a'sin " at 6 " cosa Igitur a'sin’at- 6 " cos’d : a'sin ' a + b cosa a ? b ? a sina + bºcos Est autem ( 192 : 1,7 ) Pars II . 12178 a'12 a ” sin’a + b * cosaa Ergo 2 c' ? Są to 6 et consequenter c? to c'2 = a + 62 Chordae 26 , 2c' vocantur diametri conjugatae : quare. in ellipsi summa quadratorum e semidiametris con jugatis constanter aequatur summae quadratorum e-se miaxibus. Ad haec : ܪ c C sin (a ) = cos'w.sing - cosa tango ) ; propterea ( 189 : 17) cosa, sin ? ( Q -.W = (aʼsin’ & +b'cos'a) " = a " sin’a (a’sin’at-b'cosa ) a sina + b cos'a a 62 a'sin ' + bcosa ca unde cc'sinawab ( .... (133 ). Sed sina — w ) nihil est aliud nisi sinus anguli sub quo se mutuo secant diametri conjugatae 2c , 2c'. Ergo in ellipsi parallelogrammum , cujus latera (136 ) semi diametri conjugatae , aequatur rectangulo sub semi axibus. Haec duo notentur : 10 ° si ponitur cxc' , hinae: fiza) , ( 33) praebebunt

• b ? 2ab

sin (Q - w ) a ? +62 qui valores cum sint reales , patet in qualibet, ellipsi. EV binas fore diametros conjugatas aequales. 2 ° acceptos

2ab sin (a ) proveniet a + b7 2cc'ab > ab , ideoque . 2cc > a® 46.; a ' +62 2 Sed cº + c's > 2cc'; multo magis igitur c ? +c ' >>a? +ba: quod cum contradicat formulae 13a) , sequitur haud posse in ellipsi binas obtinerii diametros conjugatas 2ab angulum continentes , cujus sinus < a? tb 201. In hyperbola AB - Csa'b ' < 0 ; proinde ( 192 : 1,8 ) quoad semichordam . Ec transeun tem per centrum prodibunt valores reales tang % ; sant - reipsa b b tangu = tang ?" (izut. a . a Itaque,ubi chorda 2c et longitudinem habeat dea : , terminatam , et transeat per centrum , exsistet ba tang?« < ão, et consequenter. b * cos »« ~ aºsinº « > 0 ; eritque ( 192 : 1,7) a'b? (135 ). b * cosa - a'sin'a Quoad diàmetrum vero chordae isti respondentem ha betur ( 189 : 17 ) 64 a ? 62 tang'w a ' a " 6 tang?a = tanga " , .180 . ideoque . a’sinºw - b'cos > 0 ... Accipiatur. nunc in illa diametro pars ejusmodi: 2c' ; secta bifariam in centro , ut sit a’b ? c' ? a'sin ? w - bºcos Quoniam hic quoque ( 189 : 17 ). sin ? b'cos'a cosºw a'sin ” ideo ut supra (200) sin ' 6" cos'a a'sirl ? u + b +cosa cos? w = a'sin’a a “ sin’a + b" cosa " et consequenter a'sin ? a + b4cos'a bºcos ( -a“ sinºa a ? 6?-a? b ' - a ? tc ; b'cos' - a'sin'a unde c - c ? = a - 6 ... (136 ) . Rectae 2c , 2c' dicuntur, diametri conjugatae : qua re in hyperbola differentia quadratorum e semidiame tris conjugatis aequatur differentiae quadratorum e semiaxibus. Ad haec : sinºw — « ) = cos." W (cosa tangw ---sina )" ; propterea (189 : 27 )131

' cosa sin " W = (6 ? cos’a - aʼsin ' )" = a'sin'a (bcosa-a'sin'a) 6 ? cos a a’sin’a ' a ?? a'sin'a + b'cos'a ca Exinde cc'sin (W ) = ab ... (137) . Sed sinw = _X ) nihil est aliud nisi sinus anguli sub quo se mutuo secant diametri conjugatae 2c , Zc'. Er go in hyperbola parallelogrammum , cujus latera (136 ) semidiametri conjugatae , aequat rectangulum sub se miaxibus. Haec notentur : 1. ° aequatio 6 y = + X. (138 ) el ༽ repraesentat ( 172 : 1. ° ) " chordam co 'transeuntem per centrum. Est autem 62 22 x? —b? , ideoque y's > y? ; et insuper 72 ( 3 ' + 3 ) 6 * —y ) = b ” , ac proinde y'=y = zty Chorda igitur illa et tota cadet extra curvam , ad curvam accedet magis quam pro quacumque de temninata distantia utcumque parva quin tamen in ipsam recidat. Non pluribus opus est ut intelliga mus ( 173. IV . ) quemlibet e quatuor hyperbolae ra mis propriam habere ' asymptotum. 2.° si a = b , hy perbola dicitur aequilatera ; eritque ob ( i34 ) a'=45 ° ; et ob (136) c = c : in 'hyperbola videlicet aequilatera asymptotorum angulus 20 = 90 ° ; et quaelibet diame1182 ter aequatur diametro sibi conjugatae. 3.0 in hypei bola non aequilatera ' erit a > vel < b , et consequenter c > vel < c ' , prout 23 ' s vel > 90 °. 4. ° si pro ponitur invenienda aequatio ad hyperbolam inter ab scissas x , computatas a centro in asymptotorum alte ra et ordinatas y, alteri parallelas , eo res traduce . tur ut coordinatae orthogonales x , y transformentur in obliquas ry, Y.Erunt igitur (171 ) x = d ' + x cos( x ,x ) + y.cos(y1x ) , y = d + -x , sin ( x , x ) + y , sinly.x ), ahi d '= 0,0–0 , ( x : x = 1 , (XX ) = 2 " : propterea factis in tertia (129 ) a'x , ty ) bix , ) Va’ + 63 Va + b ? emerget, quaesita aequatio i 43 , VL = 1. a ? + 6 ° - 202. In parabolae axe sume duo puncta .F et E (fig. 83.2) hinc inde a vertice (ubi nimirum axis secat curvam) ita , ut utriusque puncti distantia ab ipso vertice sit ip ; alterum cadet extra curvam , alterum intra. Hoc dicitur focus : per illud age rectam indefi nitam BQ ordinatis y parallelam ; recta ista vocatur directrir . Jam si e quovis parabolae pancto ducuntur binae rectae , altera z ád focum , altera : z' tiormaliter ad directricem , erunt i ' = x + 1p z ? = ( r “ p )’ + j + = (x - p )* + 2px = (2 + ip) , unde x + p.183 Quodvis igitur parabola'e punctum aeque distat a foco ét a directrice : hinc si repraesentat EB regulam im mobilem per quam altera regula BD' ad angulos re ctos ipsi EB applicata ita excurrat , ut ubique maneat sibi parallela ; huic autem regulae in Dalligetur fili FCD' , cujus longitudo aequat BD ' , extremitas una , et firmnetur altera in puncto immobili F , deti ncaturque stilo mobili C filum ipsum partim regulae applicatum in D'G , partim distentum in FC ; erit semper FC = BC , ideoque stilus C motu suo descri bet parabolam foco F , et directrice EB . 203. In ellipsis et hyperbolae axe transverso sume duo puncto F , F' ( fig . 84a 85.a) hic inde a centro C ita , ut utriusque purcii distantia ab ipso centro sit in ellipsi = Va — 6% , in hyperbola = Va + 6 ° ejusmodi puncta dicuntur foci. A quovis curvae pun cto ducantur ad focos rectae lineae , z ' ; ' et positio quoad ellipsim 22 a - b ' = ' a ' , unde 1- ?; a ? quoad hyperbolam 6? a ' + 6 = ' a ' , unde prima fize) mutabitur in b ? (a’x?) (1 )(a ' -- x *) ; tertia in % facà“) = (1- ( a ' - . *) : a? eruntque in elipsi z' = x -ca)? + y = ( - a)" + (1-2)(a²- x4) = (a =5x ) , z = ( x +-a ) + y ' = ( x + ) + (1-2)(a ? -xº) = a +ex ) ;184 1 Za et attentis conditionibus s < 1 , x ? < a ?, ? x ? < a , EX , z's at EX , ex quibus (139 ) 32 + 2 = 2a : summa videlicet , binarum , z'aequatur axi transver so. Hinc facillima methodus describendi ellipsim . Assumpto filo FMF ( fig. 84.a) , cujus longitırdo'aemet axem transversum futurae ellipsis., firmantur ejus extrema capita in duobus punctis im mobilibus F , F .; · lum ' stilo M : circumducendo. filum ita ut semper “ma neat distevtum , describitur curva 2 quae manifeste erit ellipsis habens focos in F et F. Simili ' modo in hyperbola z ' =x-ca)' +y =x-t'aj?+ ( 1–2 ) ( a² -x2)=(a-s'x ) ? , < ? = x + s'a )? + y = a + e'x )" ; i et attentis conditionibus d'? > 1 , x ? > a ' , '? x ? > a ?, z = {' X - a , z '= 'xta

ex quibus ( 14. )

7 = 2a : differentia scilicet binarum z , z ' aequatur axi trans verso . Hinc ratio hyperbolae delineandae. · Bina fila jungantur ita , ut alterius caput tantum " excurrat ultra caput alterius quartus est axis transversus hyperbolae describendae ; firmentur autem ea capita in duobus punctis. F ; F ', (fig. 85.a ).atque stilo simul evolvan tur tila , ut distenta maneant , et aequales utriusque fili partes e stilo excurrant. Stilus motu suo curvam describet , quae erit hyperbolae ramus circa illud punctum - seu focum , in quo filum brevius firmatum fuerat. Numeri & et al dicuntur excentricitates.1185 --204. In parabola ( 195 : 197 ) .. . 2px . d = x X. Xo ) р р d ' = x . + p , d - x3-2x , , d ' xo = p , i= y. ”+4x. ”= 4x.(40+ 4p)=4 &77 ; n ’ = y .' + p = 2p(x : + 4p ) = 2p %. Hinc 1. ° subtangens est dupla respondentis ab scissae . 2. ° subnormalis manet semper cadem , estque dimidia parametri. 3. ° tangens est media geometrice proportionalis inter distantiam foci a contactu et qua druplam abscissam ipsi contactui respondentem . 4.° normalis est media geometrice proportionalis inter parametrum et distantiam foci a contactu . 5.º focus aequidistat a tangente et normali , computatis distan tiis in axe ; nam -utraque distantia exprimitur per xotip , idest per 1. 6. °. quoniam igitur FT = FR ( fig. 83.a ), normalis - erit dupla perpendiculi demissi e foco in tangentem ; et quoniam FT= FM erit an gulus FMT= FTM ; cumque , ducta Mi parallela axi , sit angulus (25. 2. ° ) FTMaequalis angulo iMt , quem ipsa Mi efficit cum tangente MT producta versus t , erit quoque FMT= Mt. Si nimirum e quovis parabo lae puncto ducuntur binae rectae , altera ad : focum altera axi parallela , eae cum tangente per idem pun ctum ducta -aequales hinc inde continebunt angulos. 7.º si perpendiculum illud exhibetur per 9 , exsistet

2pz n

pz 9 n 205. In ellipsi ( 195 : 197 )186 a_8? d = d' ak exo, d — 3 = X. a bo n b2 a X d'

• . aito, tº= y ." + )

yo ( a'yo? - + 6 * x * ) = ( a ? mēx ) , 62 en ( a “ y . ' +620?) (a -&?* , ). Hinc 1.º distantia inter'centrum et punctum .in quo tangens secat axem AX ( fig. 84.a ) est tertia geometrice proportionalis post abscissam contactui re spondentem et semiaxem transversum . 2. ° distantiae focorum a normali computatae in axe AA' exhibentur per 80Exc) , [( -t-Ex .) ; sunt proinde ut eorumdem focorum distantiae a con tactu . 3.° secat igitur (36) normalis bifariam angulum quem continent rectae a focis ad contactum ductae ; ideoque eae cum tangente angulos efficiunt hinc inde aequales. 4. ° distantiae focorum a tangente computati tae in axe AA' exprimuntur per as for En ; a EM , ko X. distantia vero tangentis a normali in AA ' similiter computata exhibetur per a 2x,: X. propterea denotantibus q. etq' perpendicula e focis ducta in tangentem , erunt ( 37) 71937 a? ax : sa = n : 9 , X. a” ? X . to sa = n : 9!; wo et consequenter a tito : a = n ' : qn , amex,? a = nº : q'n ; unde b b? 6 ? b? anz ( 2 -- x ) = 2,9'n = Latex a a a n 1 . ? 62 et facto =P a pa pz' 9 9 2p dicitur ellipseos parameter. 'B.° semiaxis conjuga tus est medius geometrice proportionalis inter nor malem et..perpendiculum q ' e centro ductum in tan gentem ; nam ap a? = n : 9 " , X. ideoque a ^ - ^ 2 * : a ^ = nº : ng " = 3^. - 206. In hyperbola ( 195 : 197 ) a ' +62 al d ~ x = ' XO, I. - * . --xo = aitos t = yo to y. " ( '*x , : - a ) , b" . bº na ' aa). 2 > dox a' ba C I*, ) ( a " y . * + 6 ** ; ") = X. ?.188 ru No No Hinc 1.º distantia inter centrum ét punctum ih quo tangens secat axem AA ' ( fig. 85.a) 'est tertia geo metrice proportionalis post" abscissam contactui respon dentem et semiaxem transversum . - 2.° distantiae foco a tangente computatae in " axe AA' exhibentur per a a ? e'a et s'at - , seu f'xo- a) et te'xo + a); X. X sunt nimirum ut eorumdem focoruń distantiae a con tactu . 3. ° secat igitur (36 ) tangens bifariam angulum quem continent rectae a focis ad contactum ductae ; ideoque producta FM versus g , binae FM , Mg an gulos aequales efficiunt tam cum tangente quam cum normali. 4.º distantia inter normalem ac tangentem computata in axe AA ' exprimitur per ai ? ex . propterea designantibus q , q' perpendicula e focis de missa in tangentem , erunt ( 37) a cºco (e'x , – a ) = 1 : 9 ) Xo X a? a 2 ( e'x , + a ) = n :q' ; 3. Co et consequenter ' T - a : đen” : ng , - a : a = n ” : ng ; esinde ? 33 ng - (ex . 3 2 ing' (€'x , a) = a a189 6 ? et ; facto a = pi. ps' n p3 9 9 2p. dicitur hyperbolae parameter. 5 °. semiaxis conju- gatus est medius geometrice proportionalis inter nor nralem et perpendiculum q ' e centro ductum in tan-. gentem : nam a ? a? € 2 X - = N : q9 No " , Xo seu !? x ? -a? : a ? = n ? : nq ' = b ”.. 207. Permanente origine in centro hyperbolae traducenda sit tertia (izg) ad coordinatas x " , y , qua- . rum altera computatur in assumptoto . 6 X a > altera sumitur parallela 2c '. Erunt ( 171 ) x = x'cos(x " x ) +gcos( yx) , ( , y=x " sin ( x " x ) +y" sin ( " x ) : et quia 6 b sin(x " x) e'a Va’ + 62 1 cos(x " x ) = ह& Va ’ + 69 sin ( y "x ) = - sinw , cos( 7" x ) = – cosw , iccirco (201 ) e 21907 g's 2c' (asino - bosa ) x "y " + " = 0. 06. e'a'b Eadem ratione traducetur aequatio b y! - a ad coordinatas x !" ,, " similiter compulatas ac.xt" g" ; eritque 2b.x " s'fa sinw + b cosw ) 208. Habemus itaque c's a sinw_bcose ) go" e'a'b V 1 ; " asinambCOSW ) " e'ta " 6 % binarum vero g " , x " altera exhibet tangentem Mt , altera respondentem abscissam Ct quotiescumque va- lores y " fiunt aequales ; ergo d'ab x " -Ct = g " = Mt = c' : c '( a sina - cos ) tangens nimirum Mt ad asymptotum terminata aequat semidiametrum conjugatam c'. Ad haec: facto x ' = Ct , prodibit 2a ' g = tT ' = = 2c' : c'a'sin ? w -b'cos'w) unde infertur tangentem tT ! asymptotis terminatam dividi bifariam in puncto contactus M. 209. Constituta origine in puncto contactus , si tra duccuda est quaria ( izq , ad ejusmodi coordinatas , ut194 abscissae sumantur in respondente diametro , ordinatae vero exsistant parallelae tangenti , satis erit 17.1 sub stituere.x.tity cosc loco et y otoj sin x loco .. Attentis conditionibus:( 194 : ) X , Y sino - posl = -0 , X , = 2 2p. assequimur 2p у ? T. sin ? a 210. Permanente , origine in centro si prima et tertia (1,9 ) sunt traducendae ad ejusmodi coordinatas ut abscissae computentur in 2c' , ordinatae vero su mantur parallelae 2c , satis erit ( 171 ) substiluere x'cosantycosa loco x , et xsinw tysina loco y : et quia (189 : 19) in ellipsi a'sing sin Usthécosacos = 0 in hyperbola a'sinosinacosso cosa = 0 ; iccirco ( 200) prima ( i .) vertetur in ga 12 tertia in ( 201) g? 2

ALIQUOT PROPONUNTUR PROBLEMATA, QUAE AD LOCOS GEOMETRICOS SECUNDI ORDINIS EORUMQUE INTERSECTIONES RESPICIUNT.

211. Alia erunt indeterminata alia determinata: initium ducimus ab indeterminatis.

1.° Si detur angulus BEM (fig. 84^a) una cum puncto P, et ducantur ex P quotvis rectae PD ad: anguli dati latus EB, quaeritur curva PQL quae ita secet PD, ut chorda PQ aequet semper KD interceptam inter latera ipsius anguli BEM ... Agantur per P, Q rectae PM , QR parallelae lateri EB et alteri lateri EM occurrentes in M , R ; sintque PM=h , EM = S , ER=r , QR = y. Quoniam ob conditionem problematis · PQ = DK ., erit quoque MR= KE ; hinc. KM = ER = 2 , et KR = ER - EKS EREM - KM = 2x - g . Ergo (37 ) cum ex triangu KM KR lis similibus KPM ', KQR habeamus MP: QR 2.x - g sive erit h у (2h - y ) x = gh. Producatur MP in N ita , ut sit PN=PM ; aga- tur par N recta NC parallela ME , quae secet DE in C : producta ordinata RQ usque ad concursum S cum NC , erit SQS.SR = RQ = MN — RQ= 2h - y ; itaque si in aequatione modo inventa scribatur y pro 2h - y , ea fiet xy = ghi, aequatio ( 201 : 4. °) ad hyper bolam ; origo coordinatarum perducetur ab E in C , eruntque So = y) novae ordinatae permanente abscissa x. Igitur inter asymptotos CN , CB descripta hyperbo la PQL transeunte per datum punctum P., ipsa erit curva seu geometricus locus quaesitus. II ° Recta PT ( fig. 74.a ) tangat circulum PQK cujus centrum in C. Si ducatur secans . CB , et ex B erigatur BM perpendicularis tangenti ' , sitqne BM aequalis interceptae BQ , quaeritur. locus geometricus omnium punctorum M quae simili definiuntur ratione. Agatur ME ad AX perpendiculariter , et fiat ME = BP ) = y , PE = BM = BQ = x , radiusque CQ = a ... Habemus (52. 13. ') BP = BD :BQ ; et:adhibitis substi193 tutionibus , y = 2ax + x aequatio ad locum quaesitum . Ea pertinet ad hyper bolam. aequilateram ( 201. 2.. ) cujus axis = 2a , ab scissis a vertice P incipientibus ; nam ubi in tertia , igy. 196) fiat b =a et loco & : substituatur+3 + aj , vertetur. tertia illa in aequationem modo inventam. Igitur si centro C , et vertice . P.describatur hyper bola aequilatera MP. habens axes diametro AP ae quales , ipsa erit quaesitus locus. III. Detur. linea recta indefinita, MN (fig . 75.“) , , et extra ipsam punctum B. Quaeritur locus ubi con stituta sunt centra omnium circulorum qui transeunt: per B et ex linea MN abscindunt. chordam datae ae qualem . Chorda data ponatur = 2a , sitque illorum cir culorum unus BKE e cujus centro. A ducatur AQ : perpendiculariter ad MN , unde KQ=a ; ducatur in super ex puncto B recta BD eidem MN perpendicu-. laris , quae ponatur = b , compleaturque rectangu lum APDQ ; sit autem . AP = y , DP = x , ideoque . BP = b - X . Ductis radiis. AK , AB , erit AQ + KQʻ ĀKº= AB = AP + BP ". Cum igitur AQ=DP ; adhibitis substitutionibus håbebimus x ? + a'systb- X )* , seu y = 26.35 + a ' - 6 , edocemur (196) quaesitum locum esse parabom . lam . IV .. Recta data CF ( fig . 844.) terminata constan ter -lateribus. dati anguli CEF moveatur intra ipsum augulum . Quaeritur curva quam deseribet quodvis ejus, datum punctum H. Ducatur. ex puncto H recta. HA parallela lateri EC , sitque-CH = d , HF = , EA=X , AH = y , angu PARS II. ex qua 13194 AF = 8°x3 -xy + = 0 , et AT cos3 lus CEF = FAH) = 3 . Habemus (132 ) HFAH + AF -AH.AFcose ; praeterea ob triangula, similia . EFC , AFH, est ( 37 ) EA.HF Adhibitis igitur substituțion¡bus , pro-, CH veniet 2gcos d da aequatio (198) ad ellipsim . Non erit inutile subjungere aliam solvendi problematis rationem . Agatur ex puncto F recta FT perpendicularis re ctae AĦ , et per puncta E , T recta. EU . Est EA EA.AF EA CH d AF 1

sed AT AT.AF AF HF cos

EA d Ergo -; quae cum sit quantitas constans, sequitur (172. 1. °) aequationem , istam inter coordina tas EA , AT pertinere ad rectam determinatam . EU , in qua proinde inyeniențur omnia puncta T. Jam si eurvam ab H descriptam referamus ad coordinatas ET= X' ) , THY') , facile ejus aequationem deter minabimus : triangulum enim rectangulum HFT prae bet (458. 1. ) HF CHT + FT" , sive g ’ = y') + FT ; et facto. angulo AET = W , habemus ( 130) FT ET x' sinEFT* ob angulum rectum . ATT . sina cos x'sina xc '? sin ? Hinc FT ac proinde g'sy' . cosß cosaß AT gcos 2 seu195 sina ? x? 1 12 1 g ?cos aequatio ad ellipsim cujus semidiametri conjugatae (196 ) gcos 3 EO = EO! Ege sina 4 Aequationes , ad quas in geometricorum proble matum solutione pervenitur,, .aliquando sponte veluti i sese offerunt, aliquando vero magna opus est indu- . stria ut obtineantur , et multa prius parari debent v. gr. duci parallelae , erigi perpendiculares , effici an -... guli , et alia id genus institui quae ad aequationes viam sternent. Cum autem haec omnia a variis pen deant problematum eircumstantiis , constantes proinde regulae nequeunt assignari. Sed haec hactenus', nunc ad problemata determinata veniamus ; sunt autem non nulla antea notanda... 212. Methodum tradidimus (63 : 64) , qua construi possunt aequationes primi, et secundi gradus unicam camplectentes incognitam . Est et alia methodus id ipsum obtinendi- (nimirum per mutuam locorum geo metricorum intersectionem , quae valet etiam in ae- quationibus superiorum graduum : Sint duae aequationes primi gradus... y = ax + b , y = a'x -+-6 ', quae valeant simul de duabus quantitatibus x , yo Quisque videt inde oriri aequationem determinatam . primi gradus ax - a'x = b - b ... , quae ex duabus illis indeterminatis veluti componi tur. Ergo vicissim haec ultima aequatio resolvi po terit in binas indeterminatas gradus primi : facta enim ax = y - b., haec crit prima ex binis aequationibus in196 axe determinatis ; et substituto hujusmodi valore ax in ( 0 ) , proveniet secunda yma'x = '. Data igitur quavis aequatione primi gradus, deter minata -... ( o') ut in binas indeterminatas resolvatur , multiplicanda erit per a-ala et a' sunt quantitates, ad libitum accipiendae.) ; sicque habebitur ar - ax = al - a ' , quae si comparetur cum (o) praebebit b ' = aC , baza'C ; ideoque y = ax + a'C , y = a'x -taç ... (o" ). erunt binae indeterminatae in quas poterit resolvi de terminata ( o' ). Hinc sumpto eodem abscissarum eodemque coordinatarum initio , si definiuntur ( 172. 1 : 173) binae rectae quae sint loci geometrici aequa tionum (o')., et ex earum intersectionis puncto duci tur ordinata , suppeditabit respondens abscissa inco gnitam x aequationis ( o'). Ratio est manifesta , quia aequationes ( o" ) nequeunt simul habere locum nisi in illis punctis quae utrique sunt communia. Sint nunc aequationes+ y = rs, yax + b ,

quarum altera ad circulum , altera ad rectam pertinet lineam ,quaeque , eliminatax , praebent aequationem , secundi gradus determinatain Zabr p_6 ? x + a +1 Si cum hac conferatur generalis secundi gradus . aequatio x + mx = n ...( o " ) , +1097 my a ” +1 = 2a erunt 2ab r mla " +1) n , unde bat a ’ +1 2a ( a ?+1 ) pana’+1) +b? [4a'n + (a ' + 1 m ] 4a ? in quibus valoribus a manet indeterminata. Aequatio itaque (o ) resolvetur in duas ( a ’ + 1 ). ma + 1) x ? ty - [ 4a'n + a ? +1 m ' ], y = aX + 4a? poteritque construi per intersectionem lineae rectae cam circuli peripheria. Describatur circulus cujus ra dius (fig . 74.") 1 CP = -Va + 1)[4a’n + (a ’ + 1)m ' ]; 2a is erit locus primae aequationis : assumpta diametro АР pro axe abscissarum statuatur in centro Ğ initium coordinatarum orthogonalium ( 172. II. ° ) ; tum accepta ( 172. 1. ) ' CH = 2a.a ducatur per H recta continens cum HP angulum cu* jus tangens sa ; recta illa erit locus secundae aequa tionis : nunc si e duabus intersectionibus rectae et circuli demittuntur in AP binae ordinatae , hae binas abscissas x determinabunt quae binas radices expri ment aequationis (o ' ' ). Si punctum H cadit intra cir culum , aequatio duas habet radices ; nam locus re ctilinens in duobus punctis peripheriam secabit. Ve rum si H extra circulum cadit , tres distinguendi sunt casus : poterit enim recta vel circulam secare , vel solum tangere , vel prorsus fugere : in primo casu , 2198 adlruc erunt aequationi binae radices reales : in secun do radices fient aequales , quod evidens est , quia ab eunte recta secante in tangentem , puncta sectionum scoincidunt, ideoque et ordinatae ab iis in AP demis sae coincident , unde fit ut utraque eamdem definiat abscissam seu radicem x. In tertio denique casu radi ces erunt imaginariae ; , quod pariter continget si valorradii CP provenit imaginarius.

213. Hisce positis : quemadmodum aequationes de terminatae primi, gradus construuntur per intersectio nem binarum rectarum , et aequationes'secundi gradus per intersectionem circuli et lineae rectae ; ita aequationes quae ad tertium et quartum assurgunt gradum

i per curvarum conicarum intersectionem construuntur. Difficultas in eo sita est , ut aequationes trae in binas securidi grädus indeterminatas apte resolvantur: hujus modi constructionum ut aliquam saltem praebeamus no tionem , "tria subjungimus problemata , in quibus re solvendis ad aequationes determinatas tertii , vel quarti gradus perveniemus I. Inter duas rectas datas b invenire binasme "dias proportionales. Ši prima ex duabus mediis quaesitis ponitury exprimet quartam b. Hinc a? ya’ko .. (1) , aequatio construenda. Resolvatur in duas indetermina tas secundigradus sumendo jszax ... (i') , tum substituendo in (i) assumptum valorem yº , unde i prodit xy = ab ...( i' ) . Aequatio (i') pertinet ad parabolam , fi' ) ad hy-. perbolam ( 196 201. 4. ° ) : constituantur ad angulum i . a > 23 > ? b seu asrectum in C (fig. 85.a) rectae indefinitae DC , BC ; dua catur CH quae bifariam dividat angulum BCD , et in BC accepta CP= 2V ab agatur ad CH perpendiculum PQ ; erit CQ= PQ. Jam si aequalibus semiaxibus CQ , PQ describatur hyperbola aequilatera RQO , ipsa erit (201. 2.° 4. ° ) locus aequationis (i ' ) : quod si parame troa et axe CB delineetur praeterea , parabola ECK , ipsa erit locus aequationis ( j ') . Curvae sic descriptae se in M dumtaxat intersecant'; aequatio -itaque (i) unicam habebit radicem realem : demisso ex M in CB.perpen diculo MN , erit MNEY) prima e duabus mediis quacº NM sitis , CN = x ) = secunda. Si aequatio ( 1) multipliceter pery , ut fiat 34 = a’by , ét ponatur ut supra y ax' , unde 24 =a’xº , aequatis inter se binis..goo valoribus , prodibit X ? = by ... (219) altera aequatio , quae pertinet ad pärabołam CMF , assumptis y in recta CD , ét x parallelis rectae CB. Poterunt nimirum adhiberi ' etiam dude parabolae ad constructionem aequationis (i). Si placet adhibere circulum , aequationum (1'), (i) alteram adde alteri ; proveniet 30 % -by +- ? * = 0 (ena seu (- )+( 3-4= a ” +6? (iv) , 4. aequatio ad circulum ( 172. II.°) « construenda in hunc modum . In ' axe CB (fig. 85.a) parabolae CMK ( quara ponimus descriptam parametro = a ) accipiatur a ver 6 CL et ducta AL = quae sit axi 2 pendicularis , describatur circulus CM ... centro A et radio AC ; is erit locus aequationis ( i! V) : secabit para tice C pars CLS sit axi per 2200 holam in puncto M , dabitque MN = y ) primam ' 6- dua bus mediis proportionalibus , CN (= **) 'secundam . I/. Datis duabus rectis MM' , PP' ( fig. 86 :a ) quae se mutuo .secant in N ad angulos' rectos , proponitur ducenda ex dato puncto A recta ABCita , ut pars - BC aequetur datae , quam ponimus = A .

Per A ducatur AA parallela rectae MM ', com

pleaturque rectangulum AONM ' , fiat NO = b, AO = 0 BO =sz, unde" BNb- Z , et CN = Va' - (6-2) . I Erit area trianguli ( 44. 4.' ) ABO = get area .2 ibo ftrianguli BCN = a- (6-2)'. Sed ista trian 2 gula sunt similia , ideoque f45. 6. °) ipsorum areae, rut quadrata laterum homologorum BO , BN ; ergo CZ Cz b2 A с ас (6=z) , seu 2z? 2 62( ) yas) , (6-2) , unde facile deducitur 74-2673 + (6antica”)zº -- 2bc2 + b + c = ... ( 2x). Si ponitur zy = be , facta prius 'substitutione , dein divisione per z?, exsurget. z ' ~ -26zty2eyat b*ticaº=0 , seu ( c) + 2 6) = a *, aequatio ad circulum : hinc (i ) construetur per hyper bolam et circulum . : Hyperbola.inter asymptotos AA' , PP! describitur ut in praecedente problemate : ad ha bendum circulum sume EO = AO ( = c ) , et in E erige perpendiculum ED = ) ; punctum D erit centrum , et a radius : ex puncto intersectionis S hyperbolae et cir culi demittatur in PP' perpendiculum SB , tum duoa20.1 tur ex ' A recta ABC , erit BC = a . Problema quatuor recipit solutiones si circulus secat' utramque hyperbo łam ut in figura ; at saepe ramus S " OS " minime se wabitur, et duae solutiones evadent imaginariae : quod si circulus tangat hyperbolam S'QS" duae solutiones coibunt in unam , et aequales fient bini valores abscis sae z negativae. III . Datum arcum circularem DD'D'D" .( fig . 87.«) in tres partes aequales dividere . Ponantur hae partes esse DeD ' , D'hD" , D'iD '" ; ducantur radii CD , CD '; CD " ; et chordae DD' ; D'D " , D'D'" quae erunt aequales inter se ; agatur quoque chorda DD' " nec non recta' D'P parallela radio CD " unde PR=D'D " . Habemus angulum 'DOD = COR = CD'D " CDD' = DD'Q == CD " U " == CD'D ' = CKQ = D'RD " ) =D'PQ ,ideoque triangula - CDD', DD'Q , D'PQ similia , el DD = DQ , D'D " = DR . Hinc (37) CD DD' DD ' D'Q DD' D'Q D'O PQ ܕ DD ' Ex prima eruitur D'o i e secunda CD DDD D'Q ’ = DD'.PQ : proinde . PQ= CD Jam vero DD' DD = DQ + DR + PR - PQ= 3DD' CD factis itaque DD = C , DD = Y , CD = r , proveniet y !-3rºy + cr = ... (iv ). Nunc ad geometricam constructionem transeamus . Multiplicetur aequatio (z ) per y , ut prodeat .-202 gk_3rºj?Fer"y = 0.0 0 . ( 977). Fiat gum = rx : adhibita substitutione in primo termino aequationis ( iv ) , prodibit " ~ 3y* + ey = 0 ; cui si additur aequatio ma - rx = 0 multiplicata per indeterminatam , exsurget , x + (9-3) ,etcy - rqueo "Aequatio ista praebet ellipsim , parabolam , vel hyperbolam , prout ( 191 : 193 ) fuerit q > 3 , q=3 , vel q < 3 ; praebét vero circulum si praecise q=4. Constructio proponatur perficienda per circulum et ellipsim : ponenda erit primo q=4 , deinde sumendus pro valore q alius numerus pariter > 3 v. gr. 5-; unde oriuntur sequentes adcirculum et ellipsim aequationes x * + y + cy — 4rx = 0 , x * 47-27 & + sy ~ -5rt1., seu (y + 2 ) + (21.— 2 )* = 47° + , ( -x ) ( x+ ) 1 . 2502 2502 ' c 8 4 16 Si harum secunda conferatur cum prima (ing : 196 ) , manifestum fiet eam pertinere ad ellipsim cujus se miaxis major (fig. 88.a) 1 ca ACE 2572 + semiaxis minor 2 2582 5r BCS ih abscissae CO X , 2 4 -2 ordinage 00' =y +203 cui respon 5r Hine si accipiatur abscissa CK = 2 det ordinata KM = À , et per punctum Magatur MD parallela ari AA' , erunt MK '= x , M'K ' = y. Quod ad circulum pertinet , abscinde KP = 2r cui insistat normaliter PQ = KM = ), tum centro Qet radio MQ describe circulum ; in quo pariter erunt MK ' = X , M'K ' = y . Praeter M , ubi x = 0 , y=0 , tria habebuntur puncta intersectionum circuli et ellipseos , videlicet M ' , M " , M " ; quorum ordi natae M'K ' , M'K " , MK suppeditant radices ae quationis (iv) , duas positivas , unam negativam.

DE SUPERFICIEBUS SECUNDI ORDINIS.

Sit 214. it generalis aequatio secundi gradus A.x ? + By + Czº + 2Dy22Exz + 2Fxy + 2Gx + 2Hy + 2Kz = Q ... (h ) inter coordinatas orthogonales x , y , z ; jungantur duo quaevis puncta superficiei ope chordae 2c ; sint a , a , ah anguli, quos efficit chorda cam positivis coordinatarum axibus ; et divisa chorda bifariam , designent Xo, yn, 30 coordinatas puncti medii. Habebimus quoad alteram chordae extremitatem ( 125) x = X .-- c cosa,yy. - c cosa' , z = 2. - c cose " ... ( ha ) , quoad alteram x = x , + ccosa , y = y.- + ccosa', z = 2 . + - c cosx" ...(hz): et quoniam tam valores (h . ) quam (hg ) debent satisfa cere aequationi ( hi) , ideo factis compendii causa204 Acos* u to Bcos * u ' + Ccos " " + 2Dcosi'cosa" 2Ecosa cox ' + 2Fcose cose '- = ' R , (Ax , + Fy . + Eze + G ) cos & + (Fx , + Byo + Dz, - H )cosa ' + (Exo + Dy. + 6. + K ) cosa " = R ” , Axia + By.* + Cz, ' + 2Dy , % , + 2Ex.20 + . 2Fx.76 +2Gx, + 2Hy, to 2Kz, R " , erunt simul Rc - 2R'ct- R " = 0 , Rc' + 2Rc + R " = Q-, unde 2R6*-+ 2R" = 2Q , 4R'c = 0).; et consequenter R ' = ( Ax , Fy . + Ez, + G )cosa + (Fx , + By . + Dz . + H )cosa '+ (Exo + Dy + Cze + k )cosa " = 0 , seu ( Acosa + Fcosa + Ecosa " }et , te fFcosive nete Bcosu' + Dcosa" by. + (Ecosc + Dcosa! + Ccosa ' ) z , + Gcosa + Hcosa + Kcosa = 0. quae cum sit primigradus quoad X, Yo , 2o , angulis que praeterea a , a , a maneant ildem in ordine ad chordas parallelas 2c , inferimus ( 180. 1 ° : 1.° ) puncta media chordarum parallelarum fore omnia in uno eo demque plano , cui normaliter insistet recta linea re praesentata aequationibus ( 182 : IV. ) Acosc - Feosa ' + Ecose " Ecosut- Dcosa ' + Gcosg " Fcosa + Bcosa' + Dcosa ' Ecosu + Dcosu ' + Ccosa '205 COSX

215. Hinc expletis ( 184) Acosi+Fcosu'+Fcos" . Ecoss + Dcosu ' + Ceosa ! cosa " 115) Fcosa+Bcosa' +Dcosa" . cosa Ecosa + Dcosa ' Obosa' cusu ! per valores reales cosa , cass' , cose ' , insistet planum illud normaliter parallelis chordis . Quod autein ( 15) expleantur reipsa per ejusmodi valores , sic attenditura Positis casa = vcosa " , cosa' v'cosz " , vertentur ( hg ) in : AvtF / ' + E FvBV'D Ev+Dv' +c Ex +-Dv' + C Istarum prima suppeditat E - AN - EN - Cy Du F et adhibita substitutione in secunda , deletisque termi nis DEʻv“ , -DE’v * , ... restabit aequatio tertii gradus. Ergo unus saltem ( 141 ex p . 1.4) e valoribus y ideo que et v!, exsistet realis : exinde realis valor ( 177 ) 1 cosa" V1 + v ' + u " realesque valores cosa , cosa' explentes ( h ). In qualibet itaque secundi ordinis superficie erit semper talis chordarum parallelarum positio sụb qua eae poterunt secari plano bifariam ei ad rectos angulos. Planum secans bifariam parallelas chordas vocatur dia metrale : quod si et bifariam secet et ad angulos rectus , dicitur principale.206 : 0

216. Sit recta tangens superficiem (h ) in puneto cujus.coordinatae xo ,9., .:per punctum illud tran sibit planum diametrale. bifariam seeans. chordas spsi tangenti parallelas continentes cum coordinatarum axi bus angulos a , a , a " . Jam vero aequationes ad.tan- . gentem illam possunt sic (186) exhiberi XX. yo 2-3 COSU . cosa' cosa!! ex quibus ( 197 ex p. 1.a ) (x-X, * + -y .) + ( 2---2. ) ? (XX.) cos’atcos” a + cos? a ! cosa . ( y - y .) ( 2_2. ) cos " a' . cos ,' sea :(197) (x - xº) + ( y - .) + (3 ^ 2 ) = (ymyo) cosaa cosa! 2 cosa" ܪ file Exinde valores cosu . , cosa' , cosce" ; quibus sub -. siitutis in ( h : : 214) proveniet aequatio ( Ax, + Fy . + Ez, + G ) x - Xo) + (Fx , + Ryo + Dzo + H )( y - ro) + (Ex, + Dy. +Cze+ (he), K (z -- Z .) = 0 quae utpote independens ab a ; a' , a spectabit ad rectas omnes tangentes superficiem ( h , ) in puncto xe Jo , % . ; spectabit videlicet ad planum tangens super ficiem (h ) in eo puncto.

217. Linea recta ducta ex contactu, et normaliter insistens plano tangenti, dicitur normalis. Aequationes, itaque ad normalem sic (186) exprimentur..207 36 y - fo Ax. +.Fy + Ez, + G Fx , + By : + Dz. + H (hy). ZZO , Exo + Dy. + Czo + K

218. Constituantur nunc orthogonales axes AX, AY, AZ ita, ut AX, AZ jaceant in plano principali: aequatio ad superficiem nullo pacto immutabitur si loco y substituitur - y. Quare omnes secundi ordinis superficies poterunt repraesentari per aequationem hujus formae A x ? + B'y? + C'z ? + 2E'xz + 2Gʻx-+ 2K'z == Q!: quam perducentes ab AX , AY , AZ ad axes A'X' ,A'Y ', A'Z pariter orthogonales, ita tamen ut A'Y' sit parallelus AY' , caeteri A'X ', A'Z' jaceant in plano X4Z , novaque origo A sit alicubi in AX , habebimus. ( 178 : 179) cos(xy') = cos ( yx ') z - cos( yz' ) = cos(zy') cos (xz') = cos( 90 ° + (zz')]==sin (ze') = - sin (xx'), cos( yy ' = 1 , cos (zx ') = cos[90° -- (zz')] = sin (zz')= sin (xx !) , cos(zz' ) = cos(xx ') ; hinc vero et explebuntur ( 177) conditiones cos( x'y ') = = cos(x'x )cos( yʻx )+ cos(xc'y )cooly'y ) -- cos(x'z )corly'z ) , cos(x'z')= 1 = cos(x'x )cos(z'« ) + ....... cos( y'Z') () = cos( 7.'x \ cos(z'x) + ..... , et caet...... et ad perductionem efficiendam praesto erunt formulae x = r + x'cos(xx ') — z'sin (xx') , y = y' , z = x'sin (xx ') + z'cos (xx '). Adhibitis igitur substitutionibus , prodibit aequatio 0 ,208" inter. x' et ' , quam ita scribimus : A " xc' +- B'y '** " z ? + 2E" x'z' + 26 " x '+ 2K ' : ' = 0 " . Jam vero positis E " = 0 , G " = 0 ;, seu A ' tang ? xx !,' + tang(xx') – 1 = 0 , G ' + K'rang[xx') + A'r + Efr.tang( xx ')= 0 , aequationes istae evidenter explentur per valores rea les tang:xx')et-ro . Poterunt igitur superticies omnes ordinis secundi repraesentari etiam per A " x's + B'y ?--C"'z' + 2K " z'- 0 " = ... ( hg). E. ipsa constitutione aequationis (he) liquet plana " X'A'Z' , Y'A'Z ' esse principaliai

219. Aequatio ( hg) exspoliatur penultimo termino si C " > > 0 ; exspoliatur ultimo si C " = 0 simulque K " K " . > 0. In primo casu : pone z ' . loco z ' ; in Q" ? 2. ° z ' to loco z' ; quae positiones nihil praestant 2K ' aliud nisi ab uno ad alterum punctum aris A'Z' transferre coordinatarum originem. Habebis in 1. ' casu .. K " 2 A " x "? + B';' + C " z" C" el, CT - Q" in 2. ° A'x's + B'y's +- 2K " z' = 0 ,. quas , detractis accentibus , ita scribimus , Mx ! + Ny? + Pz = L ...(hy) , Mx' + Ny? + 25z = ( ...(he) .. Jam binas (hg) , (hno), seorsim expendamus. 1209

220. Quod pertinet ad (hg) , haec facile - stabiliuntur.. 1 : º ex ipsa aequationis constitutione patet planum quo que XÁY; inter principalia computandum . 2. ° quod cumque diametrale planum transit per originem; nana : (hu) evadit Mx.cosa + Ny.cosa'-+-Pz.cosu" = 0.

• 3.9. si quae igitur sunt alia plana principalia praeter ·

XAY , XAZ , YAZ , ea transibunt certe per origi nem . 4.' non pluribus opus est ut intelligamus in ori- . gine situm esse centrum superficiei ; punctum videli cetillud , in quo chordae per ipsum transeuntes divi . duntur, omnes bifariam ..

221. In eadem (h , ponantur M > 0 , N > 0 , P>0 :: erit. L >0 ; secus nulla foret superficies. Fiant: L L L N pº gº vertetur: (he) in rº g (h .. ).. M = M = 11 능 P = s ...( ). P q? = 1 r? Sumpta x = 0 , proveniet .aequatio ģ? 97 ad intersectionem superficiei ( ..) et plani YAZ ; et quoniam aequatio haec ad ellipsim ,pertinet , liquet in tersectionem illam esse ellipticam . Simili modo sum pta prius y = 0 , dein == 0 , prodibuat x - - go pa po 92 ad ellipticas intersectiones superficiei (hu) et plano rum XAZ , XAY : istiusmodi intersectiones dicuntur principales. PARS II. 14 .210 Concipiantur quotvis plana parallela plano XAZ, quorum distantia ab ipso XAZ exhibetur manifeste per y : erity constans quamdiu unum idemque ex istis planis consideratur ; quisque insuper videi , si y est constans , aequatione ya 3 q * repraesentari (193 : 179) ellipses vel reales vel imagina rias , aut etiam punctum , prout nempe yo vel < vel > , aut== q '. Cwn, igitur in ea qua sumus hypo thesi aequatio ista pertineat ad intersectionem super ficiei (h .) et illius plani , sequitur intersectiones su perficiei (" , ) et planorum parallelorum plano XAZ fore ellipticas. Positis x et zsuccessive constantibus idipsumsimili ratione ostenditur de planis , quaesunt parallela YAZ , XAY. Solida terminata superficiebus (h .) vocantur ellipsoides ; suntque certis limitibus çircumscripta. Si p = q = r, (k,, ) evadet ; xaty * + z = rl , quae sphaericam superficiem repraesentat ( 180 : H.) . Quod si bini tantum v. gr . p et q ponantur aequales , (h .) evadet x' + yay = quae superficiem exprimit solidi generati rotatione el lipseos circa axem AZ ( 180 : 11 .)

222. Exsistentibus in (hy) M > 0 , N < 0 , P<0 , fiant L L E M = NE si L > 0 , po > q* L L M : II N P = si L < 0 ,, gº211 1 N PS -12 N = si L = 0 .. pº 9 Assequimur in 1. ' . casu 22 y² Z (hi ) , q in 2 . ya -- ... th , s ) ; P q* in 3.. ? = 0 ... ( h ) , . 9 ° circa quas haec notamus. .1... ( h . ) praebet intersectio nes principales y? q ? р p? 92 ellipsim videlicetimaginariam , binasque hyperbolas praebet quoque ellipticas superficiei curvae et plano rum parallelorum plano YAZ intersectiones x? 2 у ? 2 ܪ4ܐ - g? x fin på modo tamen sit “ x? >p' ; etenim ellipsis fieret imagi naria sit x ' < p ' , redigeretur ad punctum si = p : dat insuper hyperbolicas superficiei curvae et plano rum parallelorum planis XAŽ , XAY intersectiones x? x p ga pa q" Sumptis igitur distantiis : = P : =1+ --212 yo q ra r? q ' hinc inde ab YAZ , nulla erit superficies ( h.is) quam-.

diu x'

0 ; 1 , q " р Superficies igitur (h , 8) sese indefinite protendit ab x = 0 ad. x = * . 0 , Corpora terminata superficie-. bus (he), (h, s ) dicuntur hyperboloides. 3. lh .. ) praebet intersectiones principales y r . y² 0 , 9 pa P 99 punctum scilicet , lìneasque. rectas,per originem tran seuntes : praebet quoque ellipticas superficiei curvae et planorum parallelorum plano YAZ intersectiones 2 % q' p ? dat insuper hyperbolicas superficiei curvae .et plano rum parallelorum planis XAZ , XAY intersectiones xs y x 9 p 9213 Exinde inferimus aequationem (h.s) spectare ad superficiem coni recti basim ellipticam habentis (188 ). Proprium est hujusmodi coni , ut ejus superficies sit veluti asymptotus respondentis superficiei hyperbo loidicae. Denotent enim oc' et op , altera quoad su perficiem conicam , altera quoad hyperboloidicam , coordinatas respondentes iisdem valoribus y , z. Erunt it here one ill to

1. li

9² go unde x - '? P— r”? – p», et consequenter x - x'= xxx' ' Quoniam igitur , auctis y , z in infinitum ,'crescit quoque x + x' in infinitum , minuetur proinde x- ' in infinitum : ideoque et caetos : 223. Hactenus de ( he) ; nunc de ( h . ) nonnulla 've niunt notanda. 1 .. plana diametralia insistunt normali ter plano XAY ; patet ex ' eo (186 ) quod ino : 214) evadit Mx.cosa + Ny.cose' + Scosci" = 0 : igitur si quae sunt alia plana principalia praeter XAZ , YAZ , ea insistent normaliter plano XAY. Exinde in fertur superficieri hze ) carere centro. 2. exsistentibus M > 0 , N >0 , fiant 1 1 1 Mм 3 N Śs P q ? vertetur ( h ..) in ++20... (hg)1 pa quae praebet sectiones principales 29x² q Z 2 Z 72 p ' 9 r + = 0 , -2 pa ' po gº parabolas videlicet , et panctum : praebet quoque el lipticas superficiei curvae et planorum . parallelorum plano XAY intersectiones y² 2 p? dat insuper parabolicas ( 196) superficiei turvae et pla porum parallelorum planis YAZ , XAZ intersectiones r 2 .99 p" go Superficies itaque. (hos sese in infinitum protea dit ad unam dumtaxat partem plani XAY ; ad partem scilicet positivam si r < 0, negativam si r > 0. 3.° positis M > 0 ., N<0 , ut fiant 1 N .92 vertetur (he) in gy +2 0 ... (2,6 ), pº 92 quae suppeditat sectiones principales x? -2 50 , me q? P q ? parabolas videlicet , binasque rectas : suppeditat quo que parabolicas superficiei curvae et planurum 'paralle Joruin planis XAZ , YAZ intersectiones r? mu ? .4 1 M S y? T 50 , 72 = 0 ; 2 72 2 7 2 1 p²215 9 dat insuper hyperbolicas superficiei'curvae et planorum parallelorum plano XAY intersectiones r? 2 qo Jari vero istarum hyperbolarumasymptoti reprae sentantur ( 192.118 : 201. 1. aequationibus x , y's 9r . р р Igitur " si concipiantur duo plana indefinita se mu tuo secantia juxta axem AZ ita , ut cum plano XAZ efficiant ejusmodi angulos hinc inde aequales , quorum 9 tangens trigonometrica Ś , superficies ( 716) erit to р ta inter ista płana , ad quae magis semper accedet quin tamen uspiam in ipsa recidat. Corpora terminata super ficiebus (h ,5) , (h16 ) dicuntur paraboloides. 224. Quaelibet superficies ordinis secundi potest ita plano secari, ut communis intersectio sit circuli peri pheria. Repraesententur enim ejusmodi superficies (218 : ho) per Mx " + Ny ? + Pz? + 25z + L = 0. Si aequatio haec ab orthogonalibus axibus AX , AY AZ perducenda esset ad alios AX' , AY' , AZ' sic con sticùtus ut AX' jaceat in plano XAZ , AY' in plano XAY , AZ' in plano YAZ , haberemus ( xx ')= 90 ° ( zx' ; , (xy') = 90 ° — (77 ') , (xz') = 90 ° , (yx' )=90 ° ) ( y = 90 ° — ( zz') , (zy') = 90 ° ; unde ( 179 ) x = x'cos(xx ') + y 'sin (yy'), y = ay'cosiyy': + z'sin (zz') , zai'sin (xx') + z'cos(zz') . Quare permanentibus x', u ', e' sibi parallelis , si216 > 3 = , earum origo transferenda sit ab A in quodvis aliud punctum cujus coordinatae h , h' , h ", provenient: ( 178) x = h +-x'cos(xx' + y'sin( yy'), y = h '- + y'cos( yy ') +- z'sin (zz') , = h " + x'sinf x x '). f-z'cosizz'). Adhibitis itaque substitutionibus , factisque succes sive z' = ) , y = 0 , x = 0 , exsurgent aequationes ad i eas lineas , juxta quas superficies ordinis secundi seca

tur planis*respective paralleis- Y'AX ' , X'AZ' , -Y'AZ'.

i nimirum M'x'? + M "3 +2 + M "'x'y '-+ N'x ' + N " y' + N " = 0 , M'x ' + P'z'a + PX ': ' + Na + P '! :' + N " 0 (hj ) M" y'a+P'z" ' -t Qy'z' + N " y ' + P + N " = 0 , ubi M ' = Psin " (x : ') + Mcos"(x * '),' M " = Ncos"( yy') + Msin ^( xy ) , M " = 2Mcos( cr') sin ( x ) , N = 2( Ph" S sin (xx') +-2Mh cosíxx') , N " = 2Nh'cos( yy') + · 2Mhsin (yy ') , N " = Ph "32Sh" + Nh' ? + Mh L ' P = Pcos* (zz') + Nsin'izz') , PS2Psin (xx')cos(iz') , D = 2Nh'sin (zz') 2(Ph" S )cos(zz ') , Q = 2Nco's ( yy' sin ( zzł). Aequationes ( hin ) pertinent ad circuli peripherium relatam rad coordinatas orthogonales si ( 191 :-2. °) in prima MEM" , M " = 0 , in secunda M = P ' , P= 0, in tertia M " = P , Q = 0 .2:17 Angulus (veloc') 90° satisfacit aequatiöni M "" (zz ) = 90° aequationi P " = , et j'=90° aequa tioni Q=0. Acquatio M=M " ob (xx ' = 0 evadit ( 123 ) P [1 + tang?( yy' ] = N + Mtang ( y9 ') ; acquatio M ' P ' ob ( zz') = 90 ° vertitur in M + Ptang '(xx ') = N [ 1-+ tang "fxx')] ; aequatio M " = P ob ( yy ) = 90° immutatur in M [ 1 + tài ”( zz' ] = P + Ntarg*( 25') : Exinde N-P M - N tang '(y7's tang '(xx ') = P - M N-P P - M tang°( zz') = M - N Jamvero NSP MN P -M 15 P - M N-P M - N ideoque tres quantitates NLP M-N P - M PM N -PMN nequeunt simul exsistere negativae. Ergo quaevis su perficies ordinis secundi poterit ita secari planis inter. se parallelis et perpendicularibus alicui ex tribus XAY , XAZ , YAZ , nt communes intersectiones sint circulares periphaeriae. Aequationum M " = 0 , P" = 0 , Q = 0 primae sa tisfacit etiam ( y = 0 , secundae (äx' = 0 , tertiae ( 22') = 0 ; verum nihil inde haberetur aliud nisi quod jam eruimus ' ex ( 22' ) =90 ° , ( Jy ') = 90° , (xx' = 90 °. . 1218 225. Formulae (he), ( ha) quoad superficiem (hg) evadunt Mx ( - ) -Ny .( y - y .) +-Pz ,(z ) = 0 XIO. y / o z-2 . Mr. Pz quoad superficiem ( h.o ) Mx. * -— ~ .) + Ny .( - y . + 5( 2-2.50, I-X y - ro 22. Μα, Nyo S Sed haec hactenus. Ny. + O. FINIS SECUNDAE PARTIS .

INDEX RERUM QUAE IN SECUNDA PARTE CONTINENTUR. GEOMETRIA

cur vas num . 1 . Generales enerales quaedam de extensione traduntur no- ' nes : quid per punctum , lineam , superficiem et so lidum debeat intelligi ; distinctio linearum in rectas et curvas , item superficierum in planas et In sententia de continua materiae extensione superfi cies , linea , punctum non sunt mera ingenii nostri commenta , sed vere exsistunt in illa reali materiae extensione tamquam affectiones quaedam 2. Superficies superficiei secundum crassitiem , linea li neae secundum latitudinem , punctum puncto secun dum longitudinem adhaererenequit 3. Inter bina puncta debet semper interjacere aliqua li nea divisibilis in partes magis magisque minores , nullumque poterit esse punctum alteri puncto ita pro ximum , ut alia propiora non adsint ; propterea etsi in quovis determinato intervallo sunt primum et alti mum punctum , nullum tamen erit secundum , nul lum penultimum : idipsum dicendum de lineis res pectu superficiei , cujus sunt termini , et de superfi ciebus respectu solidi. Hinc nulli lineae potest aufer ri primum , vel ultimum punctum tantummodo ; et generatim in quavis continua magnitudine ultimus terminus tantummodo , aut primushaudquaquam po terit deesse, permanentibus reliquis · 4. Si concipiantur omnes qui haberi possunt numeri sive rationales , sive irrationales inter binos numeros , Cy220 iis habebitur series, qua magnitudo quaeris continua poterit repraesentari 5. Notiones praeambulae de angulis , de triangulis , et dhe linea circulari: quid per angulum , quid per ejus. verticem et latera sitº intelligendum : recta perpen dicularis alteri rectae : angulorum distinctio in aca tos , rectos et obtusos : anguli emergentes e pluribus rectis lineis ad idem punctum concurrentibus , vel ja eodem puncto sc mutuo secantibus : anguli ad verti cem oppositi 6,7,8. Quid sit triangulum : si duo triangula habuerint vel duo latera aequalia et angulos interceptos ab his lateri bus pariter aequales , vel duos angulos . aequales et latera interjecta his angulis similiter aequalia, erant ipsa triangula aequalia etiam quoad reliqua 9,10 . Si latera uniustrianguli aequantur lateribus alterius tri anguli, singula singulis , triangula erunt aequalia etiam quoad reliqua 11 , 12. Nonnulla demostrantur circa rectas perpendiculares et obliquas : exinde transitur ad quasdam alias triangu lorum affectiones ostendendas 13 , 14 , 15 , 16 . Quid circulus , quid ejus peripheria , centrum , et caet. . . 17 . Arcus et respondentes chordae ; item arcus et respon dentes anguli 21 . Varia solvuntur problemata de bisectione anguli et li neae rectae ; de perpendiculis sive erigendis , sive demittendis ; de angulo faciendo , qui aequetur dato ; de triangulo super data recta construendo , cujus vel omnia latera , vel duo tantum ( quae nimirum rectae datae insistunt ) sipt aequalia : quid triangulum ae quilaterum , quidisoscele , et quid scalenum 22 . Lineae rectaeparallelae et proportionales : linearum parallelarumprimariae affectiones ostenduntur : ratio ducendi per datum punctum rectam parallelam datae rectae 23 26 . Binae rectae parallelae inter binas alias similiter ,paral lelas constitutae arcus , 18 , 2 .227

30 ,l ' • . 34.

Quid sit quadrilaterum , quid parallelogrammum , quid rectangulum , quid rhombus, et quid rhomboides : parallelogrammi variae ostenduntur proprietates : quid polygoni nomine veniat : distinctio polygoni in pentagonum , hexagonuin , et caet.. .. 28. Quoties e tribus lineis rectis duae erunt parallelae ter tiae , erunt quoque parallelae inter se 29. Binae rectae concurrentes in punctum aliquod et paral lelae binis aliis faciunt angulos ad easdem partes ae quales angulis qui ab his continentur 30. Rectae ad quemvis angulum constitutae, quae rectis pa rallelis secantur : rectam datam in quotvis aequales partes dividere : datis tribus rectis, invenire quartam proportionalem : rectam datam dividere in data ra tione In triangulo tres anguli simul sumpti efficiunt duos re . ctos: exinde nonnulla eruuntur circa triangulorum et · polygonorum angulos tum internos tum externos : triangulorum distinctio in acutangula , rectangula et obtusangula 35. 1.º ... 8 . Si recta dividit bifariam angulum trianguli , dividet la tus oppositum in ratione aliorum laterum 36. Triangula similia ; item similia quadrilatera, et gene ratin similia polygona 37 Intriangulo rectangulo quadratum er valore numerico hypotenusae aequatursummae quadratorum ex nume ricis cathetorum valoribus : in triangulo haud rectan gulo quadratum ex valore numerico cujusvis lateris erit minus , vel majus quam summa quadratorum e numericis reliquorum laterum valoribus , prout id la tus opponitur acuto , vel obtuso angulo ; defectus au tem , vel excessus exhibebitur per duplum factum ex valore numerico illius e reliquis lateribus , ad quod ducitur perpendiculum , in distantiam ipsius perpen diculi a vertice praefati anguli -40.3° . 5º. De comparatione arearum , quae rectis circumscribun 9 ... 41 .222 • 50. tur lineis : rectangulares areae , si'altitudinos ponun tur aequales , erunt ut bases 43 Dimensio areae quadratae , rectangularis , atque trian gularis ; item dimensio quadrilatèri , cujus bina la tera sunt parallela ; et universim polygoni cujuscum que 44 . Nonnulla subjunguntur quae inde profluunt circa trian gulorum , parallelogrammorum , polygonorum simi lium rationes inter se 45. Varia solvuntur problemnata de construendis triangulis et parallelogrammis ita , ut certae conditiones appo sitae expleantur 46 . De circulo : rectae , quae ad peripheriam ducuntur si ve ex punctis intra circulum , sive extra ; item re clae tangentes 47 Angulus habens verticem in centro circuli duplus est angulo verticem habente in peripheria , si eidem in sistant arcui 51. Nonnulla hinc eruuntur de angulis quos efficiant chor dae inter se, sive hae in peripheria concurrant, sive extra , sive intra; de angulis, qui chorda et respectiva tangente continentur; de perpendiculis e peripheria demissis in diametrum seu de mediis geometrice pro porcionabilibus ; dequadrilateris vertices angulorum habentibus in peripheria; de chordis se mutuo secak tibus sive intra , sive extra circulum ; de rectis quae ducuntur ex eodem puncto , et quarum altera langit circulum , altera secat ; et caet.. 52. Circulum describere , cujus peripheria transeat per tria data puncta haud posita in directum 53. Polygona circulo inscripta., et circumscripta 57 : item 65. IV . Proxime determinatur ratio quani babet semiperipheria ad radium · 58 . Area circalaris 59 , 62 . Circulorum peripheriae sant ut radii seu diametriareae vero ut radiorum seu disquetrorum quadrata 60 , 61. 54 , .323 1 erunt De quarumdam algebraicarum expressionum geome trica constructione : construuntur ii quantitatum in cognitarum valores , qui prodeunt ex determinatarnin primi gradus aequationum resolutione 63. Construuntur incognitarim valores prodeuntes ex de terminatarum secundi gradus aequationum resolu tione 64 . Geometricarum constructionum usus ostenditur analy ticis variorum probleniatum solutionibus 65. De plano et linea recta : mutua planorum intersectio : alcurnque sumantur tria punota in spatio semper in eodem plano : congruunt inter se bina plana , quibus communia sunt tria puncta haud cor stituta in directum : plana parallela : lineae rectae , qaae planis parallelis secantur: rectae perpendicula res plano : et caetos • 66 73. Quid intelligatur per angulum , quem recta linea con tinet cum plane .74. Mensura anguli binorum planorum sese intersecan tium : plana invicem perpendicularia 75 , 76 , 77. Anguli solidi 78 , 79. De solidis , quae planis undique terın inantur facie bus : dicuntur polyedra : quid sit prisma , quid.py-. ramis , quid parallelepipedum , quid cubus : ejusmo di solidorum variae .ostenduntur affectiones , atque obtinetur mensura 80 , .... 96. De cono , cylindro et sphaera : ejusmodi solidorum variae demonstrantur proprietates , atque obtinetur 97 , ... 115. De lineis trigonometricis : triangula rectilinea et spherica : linearum trigonometricarum natura et rok lationes exponuntur · 116 129. De resolutione triangulorum rcctilineorum 130 , ... 136. .De resolutione triangulorum sphaericorum 137 , n . 156 . De trigonometrica solutione acquationum ex - u - to V - 1 = 0 , xºn + Ax** B = 0 : praemittuntur non Mensura224 -163 , ... nulla , quae praecipue spectant trigonometricam transformationem expressionis imaginariae u + 157 Illarum aequationum prima resolvitur 158 , 159. Resolvitur secunda 160. Theoremata Moivrei et Cotesii 161 . De quibusdam seriebustrigonometricis : praemittantur nonnulla circa rationem exprimendi sin z , cos z , tang z , 'utivV - per exponentialia imaginaria ; circa logarithmos expressionis imaginariae ato V - 1 ; et caet. . .

162 . Quibus praemissis , in series'evolvuntur « sin z , cos z , arc (tang = » ), et caet... 167. Ratio semiperipheriae ad radium numeris irrationali bus est adscribenda

163. Ad consuetam formam U + VV -1traducuntur expres siones imaginariae cositarzy -1), sin (x + zV 1 ), arc(cos= utuV - 1 ,et caeto. . 168 . Aliquid generaliter annotatur de relativa puncto rum positione , necnon de linearum et superf cierum aequationibus : quid intelligendum per abscissam , ordinatam , et caet... ': ratio determi nandi situmn puncti sive in superficie plana , sive in spatio 169, 175, 174 , 181 . Coordinatarum transformatio 170, 171 , 178, 179. In superficie plana sit linea vel recta , vel curva ; quod libet lineae punctum suas habebit coordinatas. Jam vero si ex iis quae propria sunt omnium coordinata rum eruatur aequatio denotans qua ratione ordinatae componantur e respondentibus abscissis et quantitati bus constantibus , obtinebitur ea , quae dici solet ae quatio ad ipsamlineam : exempla 172 Sicuti lineae suas habent aequationes , ita aequationibus per binas vamabiles et per quantitates constantes ex229 se pressis suae respondent lineae , quae dicuntur loci geometrici earumdem aequationum : exempla 173 . Distautia duorum punctorum potest exprimi per eorunu coordinatas . 176 . Datis angulis , quos binae rectae faciunt cum axibus co ordinatis , invenire angulum , quem faciunt inter 177, Quodlibet superficiei vel rectilineae , vel curvilineae punctunt suas habet coordinatas x , y , X : itaque sin gulorum ipsius: superficiei punctorum positiones intel ligemus ,' si noverimus aequationem per x , . ,. 2 et quantitates constantes expressam ., ex qua , sumptis pro voluntate binis x , y , deduci possit qualis quan .taque futura sit tertia z : exempla 180 , 186. Linearum projectiones in planis coordinatis : lineae pla neae et lineae duplicem habentes curredinem : ae quationes ad lineam in spatio sitam : exempla 182,186 . Çosinus angulorum , quo; data recta efficit cum axibus coordinatis 183 , 184 , 185. Cosinus anguli quem faciunt duo data plana : sinus angu li , quem data recta facit cam , daloplano 187. Superficies conoidicae et cylindraceae: exempla 188 . De lineis secundi ordinis : ejusmodi linearum proprie tates ostenduntur 189 , 190 , ... 210. Aliquot proponuntur.problemata ., quae ad locos geo metricos secundi ordinis , eorumque intersectiones respiciunt : problemata indeterminata 211 . Problemata determinata 212 , 213. De superficiebus secundi ordinis : ejusmodi superficie rum proprietates ostenduntur 214 , 215 , ... 225.ERRATA CORRIGE pag. lin . 30 13 isoscelec 45 16 (fig. 29. ) isoscele N.B. In hac figura deest lit-.. teraz : quae ponenda est alicubi in arcu infer riori DH... 14. ( fig . 35a). certe angulum 47 ult. 11.0 48 33 ( fig. 35°) 65 31 certa 72 pen. augulum 127 2 , 3 , 6 , 9 , 12, 15 0x 0x OVIT 172.14 occursum .. OXI OXOVIE occursuum