Functio momenta generans

E Vicipaedia
Salire ad: navigationem, quaerere

Functio momenta generans M_X\colon\R\to\R^+,\ t\mapsto M_X(t), variabilis fortuiti \,X sive distributionis eius exsistit, si pro omnibus n\in\N valores medii exspectati \operatorname{E}(X^n) exsistunt. Tum \,M_X sic definitur:

M_X(t)=\operatorname{E}(\operatorname{e}^{tX}).

\,M_X ad momenta calculanda adhibetur, quod expansione functionis exponentialis in seriem demonstratur:

\,M_X(t)=\operatorname{E}\left(\operatorname{e}^{tX}\right)
             =E\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tX)^n}{n!}\right)
             =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\operatorname{E}(X^n)
             =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}m_n,
ubi m_n=\operatorname{E}(X^n) est momentum variabilis fortuiti \,X ordine \,n.

Haec expansio dicit quomodo momentum \,m_k omnis ordinis k\in\N calculari potest:

m_k = \operatorname{E}(X^k) = \frac{\operatorname{d}^k}{\operatorname{d} t^k} M_X(t)\biggr\vert_{t=0}.

Si \operatorname{E}(X) parametro \,\mu familiae distributionum correspondet, momenta centralia eis momentis non-centralibus correspondent, quae ad parametrum \,\mu=0 pertinent.

Semper momenta centralia, \mu_k = \operatorname{E}([X-\operatorname{E}(X)]^k), etiam ex relationibus ad momenta non-centralia, m_k = \operatorname{E}(X^k), calculari possunt.

Vide etiam[recensere | fontem recensere]