Usor:Tchougreeff/QUOMODO sive HOW TO/ELEMENTORUM PHYSICAE MATHEMATICAE VOLUMEN PRIMUM AUCTORE ANDREA CARAFFA E SOCIETATE JESU IN COLLEGIO ROMANO PHYSICAE MATHEMATICAE PROFESSORE

E Vicipaedia

PRAEFATIO[recensere | fontem recensere]

Rerum naturalium ordinem considerare, Deumque in iis mirifice operantem intueri, proprium est verae sapientiae, quam Philosophia profitetur. Haec scientia, quae dicitur Physica , inter scientias homine dignissimas. atque inter praecipua Dei dona jure commendatur: ecquid enim potest esse praestantius aut utilius quam divinae sapientiae opera, Deumque ipsum suas in natura perfectiones ostentantem contemplari? An quod Deus omnipotentia sua non judicavit indignum in iis quae creavit , quod in iis quae regit et gubernat attentione sua dignatur Providentia Dei, hoc nos meditari supervacaneum atque otiosum iudicabimus? Otiosam illam dicerem Physicam, quae ita immoraretur in Operis consideratione, ut opificis non perpetue suspicere! industriam: caecus est, qui Deum non videt in natura ejusque providentiam ac sapientiam non admiratur. Similem illum dixerim homini, qui librum ob Oculos apertum tenens characterum elegantiam contemplatur, numerat verba; sensum non penetrat. ⋅Neque vero minus utilis Naturae cognitio ministris Ecclesiae quam caeteris hominibus existimanda est: imo et hanc ipsis maxime necessariam duxerim hoc praesertim tempore cum homines vano inflati doctrinae apparatu scientias pro viribus adversus Religionem convertant , et Phyicam praecipue revelationi satagant opponere , vereque Opponi non desinant clamare eoram ignaris. Cum igitur se linguae impiae in injuriam Religionis armant, pudeat hominem Religionis amantem, et eo charactere insignitum qui ipsum Religionis statuat defensorem, aut turpiter obmutescere, aut Religionem. male defensam hominibus impiis vanum jactantibus triumphum, et ministrorum ignorantiam in Religionis opprobrium vertentium, deridendam proponere. Quod si nihil a viro ecclesiastico quaereretur aliud in Physica quam honesta mentis recreatio, justaque serii laboris intermissio, quid potest esse homini laboribus sacris defuncto aut jucundius aut dignius quam otium inutile, ac saepae periculosum, otio erudito et physico commutare? Quam multa offeret naturae spectaculum , ipsiusque arcanorum inquisitio, quae laudabilem nutriant curiositatem ,utiles praebeant considerationes, suaves atque innoxias pariant delicias! Etenim nullam esse in Philosophia partem quae majori voluptate quam naturae contemplatio animum compleat, Tullii auctoritate facile possem confirmare. Haec nihilominus voluptas non sine studio ac labore comparari potest: sapientissimus enim rerum omnium creator et rector Deus, quamvis sensuum nostrorum perceptioni corpora haec sensibilia subjecerit, illorum tamen naturam et vim mira quadam sepsit caligine, ut quicumque ad eam penitus scrutandam accedunt, in media luce densis veluti tenebris repente se obrui sentiant; quas tenebras etiamsi non ita discutere possimus ut claram ac certam rerum omnium scientiam assequamur, attamen si nos studii, diligentiae ac laboris non piguerit, ita tenebras attenuari experiemur ut multarum rerum certam cognitionem , plurimarum admodum probabilem obtineamus . Ad occulta Naturae arcana inquirenda duae sunt viae, quas eximii ingenii vir Franciscus Baconus de Verulanio notavit in novo scientiarum organo lib . 1. aphor, 19. Prima, qua a sensu et particularibus incipientes advolamus ad axiomata maxime generalia; atque ex iis principiis, eorumque immota veritate judicamus et invenimus axiomata media . Altera a sensu et particularibus excitat axiomata ascendendo continenter et gradatim , ut ultimo loco perveniatur ad ma xime generalia. Primam viam plures arripuerunt, qui conjecturas non admodum graves sequuti , atque experientia non satis accurata innixi generalia axiomata nimia festina tione constituerunt , iisque naturalium causarum et effe ctyum vim omnem contineri voluerunt; atque in iis tuen ∼∣⋁in Physica quam honesta mentis recreatio, iustaque serii laboris intermissio, quid potest esse homini laboribus sacris defuncto aut iucundius aut dignius quam Otium inutile, ac saepae periculosum, Otioterudito et physico commutare? Quam multa offeret naturae speCtaculum, ipsiusque arca- norum inquisitio, quae laudabilem nutriant curiositatem, utiles praebeant considerationes, suaves atque innoxias pariant delicias! Etenim nullam esse in Philosophia partem quae majoriivoluptate quam naturae contemplatio animum compleat, Tullii auctoritate facile possem confirmare. Haec nihilominus voluptas non' sine studio. ac labore Comparari potest: sapientissimus enim rerum omnium creator et rector Deus, quamvis sensuum nostrorum perceptioni corpora haec sensibilia subiecerit, illorum tamen naturam et vim miraaquadam sepsit caligine, ut quicumque ad eam penitus scrutantium accedunt, in media luce densis veluti tenebris repente se obrui sentiant; quas tenebras etiamsi non ita discutere possimus ut claram ac certam rerum o- mnium scientiam assequamur, attamen si nos studii. dili-gentiae ac laboris non piguerit, ita tenebras attenuari ex- periemur ut multarum rerum certam-cognitionem , pluri- marum admodum probabileur Obtineamus. Ad Occulta Naturae arcana inquirenda duae sunt viae, quas eximii inge- nii vir Franciscus Baconus de,.Verulamio notavit" in novo scientiarum organo lib. ∎∙ aphor. 19. Prima, qua a sensu et particularibus incipientes advolamus.ad axiomata-; mas- xime generalia; atque ex iis principiis, eorumque-[immota veritate iudicamus et invenimus axiomata 'media. :Altera'a sensu et particularibus excitat axiomata ascendendo contio nenter et gradatim, ut ultimo loco perveniatur adfusa-i- xime generalis. Primam viam plures arripueruut, qui' con- iecturas non admodum graves,,s'equuti , atque experientia non satis accurata innixi generalia axiomata nimia festina- tione constituerunt,, iisque naturalium causarum et eil'e- ctuum vim omnem contineri voluerunt; atque in iis tuen-dis totam ingenii aciem intendentes inciderunt in perver sam philosophandi rationem , adeo ut rerum universitatem commenti sint omnino aliam ac éa est. Altera aliis placuit via, qui rerum naturam in rebus ipsis longa observatione atque accurata experientia quaerendam esse statuerunt; isti effectuum et causarum naturalium indolem singillatim in quirere coeperunt, corporum texturám intimam , configu rationem, motum scrutati sunt; atque ex his; aliisque in numeris diligentissime observatis Naturae leges deduxerunt, verasque rerum causas deprehenderunt. ' Hoc pacto plura nostris temporibus certissima sunt , quae olim ignoraban tur : alia probabili conjectura assecuti sumus : adhuc ta men non pauca restant ambigua et involuta ; sed non de erunt fortasse, qui aliquando novas in lucem eruant veritates. Notandum vero Naturam ubique mathematicam esse , eamque velle absque Mathesi expiscari perinde fore, ait Gul lielminus , ac sine cruribus ambulare. Porro tota Naturae compago soliditate constal geometrica, resque physica rei geo metricae unitur mystico quodam nexu, quem soli mathe maticae Analysi datum est reserare: Analyseos ductu ex ob servationibus et experimentis ab iis quae in promptu sunt ad reconditiora deferimur, et ab exteriori venustate ad in ternos naturae sinus. Observationes quidem virium existentiam demonstrant, sed proprium est Analyseos pate facere virium leges, curvas a corporibus in gyrum actis descriptas, circumvolutionum ac motuum inaequalitates et aberrationes; quae omnia aspectabilem hanc Mundi ma chinam maxime illustrant . Quid ab Analyseos indole magis abhorrere videbatur quam electricorum phoenomenorum congeries, cum et innumera prope sint, et innumeris obnoxia conditionibus? Ad electricas tamen vires expendendas accessit Analysis , earumque non paucos effectus leges que aequationibus definivit. Ut Tyronum , qui physicis praelectionibus in Romano Soc. Jesu Collegio dant operam, commodo utilitatique ser ' dis totam ingenii aciem intendentes inciderunt 'inrïperwe'r.» sam philosophandi rationem, adeo ut rerum.:nniversitatem commenti sint omnino aliam-ac ea est. .Altera aliis placuit via, qui rerum naturamin: rebus ipsis longa-ObservatiOne atque- accurata - experientia quaerendam, 'esse' statuerunt: :.i'sd effectuum. ïet; causarum. naturalium 'indolem tsin'gillat'im in— quirere coeperunt, corporumf-textuttam--imimdmf, configu- rationem, motum scrutati sunt; atque ex his, aliisque-.in- numeris diligentissime observatis Naturae leges deduxerunt, verasque rerum causas deprehenderunt. 'Hoc pacto plura nostris tempOribus certissima sunt, quae Olim ignoraban- tur: alia probabili coniectura assecuti sumus : adhuc ta- men non pauca restant— ambigua et.-involuta; sed non de- erunt fortasse, qui aliquando novas in lucem eruant veritates. Notandum vero Naturam ubique mathematicam esse, eamque velle absque Mathesi expiscari perinde fore, ait Gul- lielminus, ac sine cruribus ambulare. Porro tota Naturae compago soliditate constat geometrica, resque physica rei geo- metricae unitur mystico quodam nexu, quem soli mathe- maticae Analysi datum est reserare: Analyseos ductu ex Ob- servationibus et experimentis ab iis quae in promptu sunt ad reconditiora deferimur, et ab exteriori venustate ad in- ternqs naturae sinus. Observationes quidem virium exi- stentiam demonstrant, sed prOprium est Analyseos pate- facere virium leges, curvas a corporibus in gyrum actis descriptas, circumvolutionum se motuum inaequalitates et aberrationes; quae omnia aspectabilem hanc Mundi mn- chinam maxime illustrant. Quid ab Analyseos indole ma- gis abhorrere videbatur quam electricorum phoenomenorum congeries, cum et innumera prope sint, et innumeris Ob- noxia conditionibus? Ad electricas tamen vires eXpenden- das accessit Analysis, earumque non paucos eil'ectus' leges- que aequationibus definivit. Ut Tyronum, qui physicis praelectionibus in Romano Soc. Iesu Collegio dant operam, commodo utilitatique ser-VI viam , in lucem edo illas Physicae partes , quae intimiori vinculo nectuntur mathesi, quarumque explicandarum cu ra mihi est demandata. A Mechanica exordior ; siquidem reliquarum est veluti basis et fundamentum : caeterum sic Physicae mathematicae tractationem concinnavi, ut quae aste risco inveniuntur signata, possint ab iis Tyronibus omitti, qui primo duntaxat Philosophiae anno mathematicis insti tutionibus studuerunt. VI viam , in lucem edo illas Physicae partes , quae intimiori vinculo nectuntur mathesi, quarumque explicandarum cu- ra mihi est demandata. A Mechanica exordiar.; siquidem reliquarum est veluti basiset fundamentum: caeterum sic Physicae mathematicae tractationem concinnavi, ut quae aste- risco inveniuntur signata, pOssint ab iis Tyron'ibus omitti, qui primo duntaxat Philosophiae anno mathematicis insti- tutionibus studuerunt.

MECHANICAE PRINCIPIA[recensere | fontem recensere]

Notiones Praeambulae[recensere | fontem recensere]

1. Moto puncto materiali, si ratio inter numericos spatii percursi ac respondentis temporis valores ac permanet eadem, motus dicitur uniformis; quod si ratio illa jugiter mutetur, motus dicitur varius, acceleratus nempe vel retardatus, prout crescente e crescit vel decrescit ipsa : porro motus rectilineus atque uniformis est simplicissimus omnium motuum, quorum exsistit capax punctum materiale. In motu uniformi ratio dicitur velocitas; qua designata per , erit

Quoad punctum materiale, cujus massa seu quantitas materiae (), et velocitas , factum appellatur quantitas motus.

2. Corpus de se est indifferens ad motam et ad quietem. Haec indifferentia sic probari potest ex natura loci: nequit corpus de se postulare at localiter moveatur nisi exigat natura sua non esse in loco ubi est, et locum in quo non est occupare; contra nequit corpus de se quietem exigere nisi exigat natura sua esse potius in loco ubi est quam in loco quem occuparet si moveretur. Neutrum vero ex natura sua exigit corpus; cum enim omnia loca sint ejusdem rationis, jam nulla datur ratio cur corporea substantia exigat esse potius uno in loco quam in alio: propterea etc.

3. Quae causae motum gignunt, accelerant, retardant, detorquent, eae vocantur potentiae seu vires. Plures potentiae corpori aut corporum systemati applicitae sese ita possunt impedire, ut nullus inde oriatur motus; tunc vero potentiae dicuntur constitutae in aequilibrio. Fac ut duae vires punctum materiale sollicitent in partes contrarias; si eae sunt in aequilibrio, dicentur aequales: pone duas, tres etc. . . : . ex ejusmodi viribus aequalibus applicari puncto materiali ita , ut in unam eamdemque rectam conspirent; inde habebis vim duplam, triplam etc. . . . Poterunt nempe vires omnes exprimi per numeros ; et consequenter repraesentari per lineas rectas istis numeris proportionales, quarum directiones cum ipsarum virium directionibus congruant. Mechanica tota est in aequilibrii ac motus doctrina consideranda.

4. Finge tibi globum quiescentem e filo pendulum, in quem impingat globus cum certo quodam velocitatis gradu. Si nullam motui resistentiam afferret globus , eadem velocitate pergeret moveri , qua movebatur antea , secum pertrahendo globum : cur enim minueretur motus in , cum globus nihil obstaret illius motui , et ipse loco suo facile cederet? Iamvero si experientiam consulimus, multo aliter rem evenire comperiemus: cedit quidem loco suo globus , sed non sine detrimento motus in , eoque majori quo majorem globus opponit massam impellenti se globo . Resistere igitur motui , status que mutationi obniti concipitur , acquisitumque motum resistentia sua destruere in . Motus habetur tamquam vis activae effectus; quod autem vis activae effectum destruit, potest et ipsum verae vis nomen accipere. In ipsis etiam corporibus motis sese prodit ejusmodi vis: corpus certo quodam velocitatis gradu donatum, eumdem servabit nisi quem inveniat obicem , nec ullum sui motus augmentum patietur nisi cum vis alienae in ipsum agentis detrimento; haud aliter ac restitit primo motui dum quiesceret; ipso in motu resistit majori motui.

Non ergo praefata indifferentia sita est in non renitentia ad motum ex quiete, vel in non renitentia ad quietem ex mota, sed in eo quod corpus de se non magis ad motum quam ad quietem tendat, nec magis resistat quieti si fuerit in motu quam molui renitatur si fuerit in quiete. Quoniam igitur ab ipsa materia nequit oriri ulla de terminatio ( huc pertinet materiae inertia ) ad novum statum sive quietis, sive motas; profecto deficiente causa quae materiale punctum determinet ad hunc potius quam ad illum novum statum, punctum ipsum si in quiete sit quiescet semper, si ad motum semel fuit excitatum perget moveri cum eadem perpetuo velocitate et directione: porro motus directio est recta linea, quam mobile aut describit, aut describere nititur; primum obtinet in motibus rectilineis, secundum in curvilineis.

5. Duo puncta materialia et ( fig 1. ) eamdem massam habentia, eamdemque lineam communi vi incedentia, haud dubie conjunctim procedent: verum ubi puncto praeter applicetur et vis , disjungetur illico ab , et observator constitutus in deprehendet: motum puncti perinde ac deprehenderet si quiesceret et moveretur sola : sive nimirum ponatur moveri vi et viribus et , sive quiescere et moveri unica , idem in utroque casu, experientia teste , prodibit motus puncti quoad : huc spectat principium motus relativi . Jamvero in secundo casu motus relativus soli est manifeste, adscribendus; idipsum ergo dicendum et in primo. Effectus videlicet a nova vi genitus in puncto materiali idem est utcumque caeteroqui se habeat praecedens status ipsius : quod consequi videtur ex materiei inertia. Etenim si variato statu praecedente variaret effectus ille, non aeque se haberet materia ad status omnes , punctumque materiale sibi commissum rediret tandem in statum illum , ad quem magis tendit; sicque ab ipsa materia oriretur determinatio ad novum statum.

6. Exhibeant et velocitates, quas gignunt vires et , sitque velocitas, quam generat vis assumpta pro communi mensura (3) ipsarum et ; erunt (5) , unde: . Permanente videlicet massa, vires erunt ut simplices velocitates: et quoniam permanente velocitate et variata massa, vis est ut massa ipsa; inferimus vires esse ut motus quantitates.

7. Dixi (4) tantam motus quantitatem excitari in globo quantam ipse resistendo destruit in globo : atque huc spectat illud de actione et reactione principium, quod sic enunciari solet "actioni contraria semper et aequalis est reactio, sive duorum corporum actiones in se mutuo semper sunt aequales, et in contrarias partes diriguntur". Huic autem principio locus est in rerum natura sive corpora in contactu agant in se mutuo, sive dissitis e locis sese invicem ad status mutationem quocumque modo determinent.

Notetur illud: cum corpus omne obnitatur semper sui statos mutationi, inferimus ipsam status mutationem haud repente gigni a viribus extrinsecis, sed per gradus indefinitae attenuationis capaces: secus enim dicendum foret inesse materiei vim quamdam infinitam. Siquidem in hypothesi finitae mutationis instantaneae materies valeret opponere resistentiam finitam, labente tempusculo infinite quod nequit admitti. Verum quia vires quaedam tam cito gignunt mutationem status, ut eam in istanti videantur absolvere; inde fit ut vires dividi soleant in instantaneas, et continuas.

De virium compositione et resolutione, deque earum momentis et aequilibrio: aliquid quoque notatur de vecte, axe in peritrochio , trochlea etc. . . .[recensere | fontem recensere]

8. Fac ut per communem vim puncta et (fig. 2.) determinentur ambo ad percurrendam motu uniformi rectam lineam intra tempus , per vero determinetur ad percurrendam motu pariter uniformi rectam lineam intra idem tempus  ; et comple parallelogrammum . Ex principio motus relativi punctum in fine temporis reperietur in  ; ac proinde intra tempus percurret motu uniformi diagonalem  : idem nimirum existet motus sive mobile feratur per diagonalem velocitate ex vi unica impressa , sive conjunctis viribus et impellatur per latera et velocitatibus et ; eritque (6)

Hinc pro duabus viribus et poterit, substitui vis ; quae substitutio dicitur virium compositio : et viceversa pro poterunt substitui duae et ; quae substitutio dicitur virium resolutio : et vocantur componentes, resultans, vel etiam composita.

9. Haec notentur. 1º. ex tribus , , unaquae vis potest repraesentari per sinum anguli, qui sub aliarum directionibus continetur ; nam

2°. Hinc et sunt reciproce ut perpendicula , quae a puncto quolibet resultantis ducuntur ad ipsarum et directiones .

3º. Denotante angulum interceptum directionibus virium et , triangulum praebebit

4°. Si punctum ( fig. 3. ) urgetur viribus etc. . . , ducantur autem parallela et , parallela et , parallela et , etc. vis cunctis aequivalens exhibebitur manifeste per lineam rectam , quae jungit punctum et extremitatem ultimae . Porro linearum rectarum aequalium et parallelarum projectiones sive in recta quavis , sive in plano quovis , sunt aequales et parallelae: hinc virium , etc. . . projectiones in recta simul sumptae aequabuntur projectionibus rectarum etc. , in eadem simul pariter sumptis. Harum vero projectionum summa nihil est aliud nisi projectio resultantis  : igitur projectio resultantis aequabitur projectionibus componentium , etc. , in summam contractis , si modo habeatur ratio signorum, ut censeantur negativae, quae vergunt v. gr. ad , habitis pro positivis, quae versus se dirigunt.

5°. In hypothesi trium duntaxat virium , quisque videt aequipollentem vim repraesentatum iri per diagonalem parallelepipedi sub lateribis .

6°. Si punctum urgetur vi , constructo ad libitum polygono , ductaque parallela et , parallela et , parallela et etc. resolvetur in , etc ....

7°. Ad resolvendam in ternas sese dirigentes juxta datas rectas , satis erit per ducere tria plana parallela planis ; hoc pacto exsurget parallelepipedum , cujus latera apud exhibebunt ( 5°) quaesitas vires componentes.

8°. Puncta , ponantur inter se rigidis lineis connexa: manentibus virium directionibus, si ternae componentes intelliguntur applicitae punctis , adhuc iis manifeste aequipollebit . Inferimus vim quamvis resolvi posse in ternas, quae et sint applicitae tribus punctis ad libitum sumptis ( si sumuntur ita , ut in eorum plano inveniatur etiam punctum , non debebit esse extra id planum ) et sese dirigant juxta rectas ab istiusmodi punctis ductas ad punctum , cui applicatur ipsa .

9º. Dato systemate punctorum materialium rigidis lineis inter se firmiter connexorum ( huc spectat corpus solidum ) respondentibusque viribus sollicitatorum; quia possunt (8º. ) singulae vires resolvi in cernas applicitas tribus punctis ad libitum sumptis, poterunt ( 4°) omnes traduci ad aequipollens trium virium systema.

10° . Per unam ex hisce tribus viribus duc planum , quod secet reliquas duas : vis , per quam ducitur planum , poterit resolvi ( 4° ) in binas , applicitas intersectionum punctis. Inde fit, ut vires omnes solidum corpus sollicitantes traduci etiam possint ad aequipollens duarum virium systema.

10. Facile est determinare quandonam plures potentiae eidem puncto applicitae in aequilibrio permaneant. Binas potentias pro lubito sumptas compone, et pro illis aequipollentem substitue , atque id iterato donec ad duas devenias. Si hae directe contrariae et aequales inveniuntur, constabit omnes potentias in aequilibrio consistere .

Facile etiam intelliges quanam ratione inveniri possit potentia duabus ( fig. 4. ) in eodem plano jacentibus, rectaeque rigidae applicatis aequivalens, et aequilibrium obtineri; productis (?) enim directionibus donec concurrant in , transferantur potentiae in punctum . Sumptis in earum directionibus , et , istae componantur. Facto parallelogrammo , cujus diameter equivalentem vim repraesentabit, haec producatur donec concurrat in cum ; perspicuum est potentiam translatam in et rectae applicitam in D aequipollere duabus . Quare si in puncto sustentetur, potentiae in aequilibrio quiescent; et constabit quam potentiam exerceat punctum , nimirum aequalem et oppositam potentiae aequivalenti . Ad positionem puncti quod pertinet, concipiamus ex eo duci duo perpendicula et , alterum in , alterum in  ; sintque , longitudo , angulus , angulus  : erunt , ideoque Sed( 9.2º ) ; igitur , unde

Quod spectat ad angulum interceptum resultante et data recta , is dicatur  : erit ( 9. 1º ) , unde

Quod vero spectat ad resultantem , habemus ( 9. 3º ) .

Penultima formula traduci potest ad

Haec subjungimus. 1º. Recta rotetur circa , ut ejus extrema puncta et eodem tempusculo infinitesimo describant circulares arcus infinitesimos ; ex et duc perpendicula in directiones virium  ; sintque : erunt ; et consequenter

Nihil sunt aliud et nisi spatiola tempusculo infinitesimo circa immobile punctum simul describenda ab et in hypothesi turbati aequilibrii; quibus punctis et applicantur vires et : exhibent illorum spatiolorum projectiones super ipsarum virium directionibus. Vires igitur sese mutuo librantes circa erunt reciproce ut eae projectiones.

2º. Etiam sic : triangula , itemque habent latera sibi respective perpendicularia ; igitur .

Denotet valorem rationum aequalium , projectio insuper computata in ipsa directione respondentis potentiae censeatur positiva; projectio vero computata in directione contraria illi , quam obtinet respondens potentia , censeatur negativa: erunt  ; propterea

Huc spectat principium velocitatum virtualium.

3º. Ex quovis puncto ( ) sive intra , sive extra angulum , duc perpendicula ad  ; duc quoque ab ( ) ad rectam ( ), cui normaliter insistat alia recta ( ) transiens per : singulis resolutis in duas , alteram juxta ( ) , alteram juxta ( ), expriment componentes juxta ( ) . Quoad () situm extra angulum , primae duae erant conspirantes; quoad () situm intra erunt contrariae : cum igitur resultet ex et , prodibit ( 9. 4° ) in primo casu et consequenter , in secundo.

, ideoque sumptis signis vel superioribus , vel inferioribus , prout vel : rectangula dicuntur momenta virium quoad punctum (). Hinc stabilitur illud: momentum resultantis aequatur summae ex momentis componentium et si et in eamdem plagam circa () nituntur movere puncta , quibus applicitae sunt; aequatur differentiae si nituntur movere in plagas contrarias.

4° . Idipsum facile extenditur ad quemvis numerum virium , ... in dato plano jacentium : fac v. gr. ut ternae , in unam eamdemque plagam circa ( ) nitantur movere puncta, ad quae sunt applicitae; caeterae vero , ... in plagam contrariam ; sitque resultans ex et ; resultans ex et , ac proinde ex ; resultans ex reliquis . . . Erurt  ; et consequenter  : simili modo obtinetur . Iam si exhibet resultantem ex et , ideoque ex , ... ; cum sit fist the , erit quoque

5º. Fac ut transeat per () ; erit : propterea  ; viriumque systema consistet in aequilibrio circa immobile punctum () . Vocatur () centrum momentorum.

6º. Habemus ( 2 ) Traducetur igitur aequatio ( 5°) ad

7° Vires haud jacentes in eodem plano nequeunt ad unicam vim aequipollentem traduci. Si enim tradu ad aequipollentem , poterit etiam ex quodam istius puncto ad quoddam punctum componentis v . gr. duci recta linea haud occurrens alteri componenti : fac ut haec recta linea evadat immobilis ; elisa , emerget aequilibrium; sed elisa quoque , et salva , ex hac ultima emerget motus. In ea ergo qua sumus hypothesi de traductione virium ad unicam obtinebit simul aequilibrium et motus in eodem systemate: quod nequit esse; ideoque etc. ...

8°. Patet solidum liberumque corpus haud consistere in aequilibrio, nisi binae aequipollentes ( 8. 10° ) vires , ad quas traducuntur vires omnes corpus ipsum sollicitantes , sint aequales, contrariae, jaceantque in directum .

9°. Patet quoque solidum corpus, mobile dumtaxat circa punctum fixum , consistere in aequilibrio, si eae binae vires aequipollentes et jaceant in eodem plano ( 7º) , et suppeditent resultantem , quae transeat per punctum illud .

10°. Solidum corpus ponatur mobile dumtaxat circa rectam fixam ( fig.5 ), sintque et binae aequipollentes vires, ad quas traducuntur ( 9. 10° ) vires omnes corpus ipsum sollicitantes. Duc planum et normaliter insistens rectae , et secans in punctis v. gr. directiones virium : poterit resolvi in duas , alteram perpendicularem plano Y , alteram jacentem in ipso ; similiter poterit resolvi in duas , alteram perpendicularem eidem , alteram in eo jacentem . Binae , utpote parallelae ad rectam fixam , peribunt elisae : in ea igitur qua sumus hypothesi haud consistet solidum corpus in aequilibrio, nisi resultans ex transeat per aliquod punctum rectae fixae  ; et consequenter ( 9. 2° ) , ductis ex in istas vires perpendicalis , nisi valeat aequatio

:

producta ex in et ex in dicuntur momenta virium et quoad . Si v. gr. , applicita ad punctum , est parallela plano , applicabuntur ad duae quaelibet vires et aequales, contrariae et parallelae axi ; tum una ex iis v. gr. componetur cum  : vis inde resultans poterit transferri in punctum v. gr. plani , ibique resolvi in binas, alteram parallelam rectae , alteram jacentem in ; eritque momentum vis quoad . Quisque autem videt , si per ducitur planum parallelum plano , et ex pancto, ubi istud novum planum secat rectam , demittitur perpendiculum in vim applicitam ad , ejusmodi perpendiculum nihil fore aliud nisi ; ita ut, sive momen tum sumatur apud planum , sive apud illud alterum planum parallelum ipsi , perinde sit.

11. Fac ut vis ( 10) (fig. 4) revolvatur circa punctum , donec evadat parallela vi ; erit , ideo que si vires ad eamdem plagam obvertantur ; , ideoque si ad contrarias plagas. In primo igitur casu exsistent.

In secundo

valet signum superius ubi , inſerius ubi ; siquidem denotant hic virium dumtaxat intensitates. Inferimus illud; resultans ex duabus parallelis viribus adaequat istarum vel summam, vel differentiam , prout vel ambae conspirant in eamdem plagam, vel altera in unam et altera in contrariam plagam; ipsis insuper componentibus viribus est parallela , et ad eam plagam semper obversa , quam respicit major ex componentibus illis ; transit denique per ejusmodi punctum in directione , quod distet a punctis applicationis componentium in reciproca earum ratione : istud punctum appellari solet centrum virium parallelarum ; estque invariabile, modo et respectiva virium positio et ipsarum ratio non mutentur. Si , in secundo casu nulla exsistet resultans. Non est enim ratio in ea qua sumus hypothesi cur ad plagam unius potius componentis quam ad alterius componentis plagam sese dirigat resultans. Formulae praebent

Etsi vires et (fig.6) parallelae, aequales et contrariae nequeunt librari unica vi , utpote omni resultante destitutae; librabuntur nihilominus duabus aliis viribus et parallelis, aequalibus, contrariis, et in plano iacentibus, dummodo ductis ex in perpendiculis et , exsistat : tunc enim , ductis ex in et perpendiculis et , ob erit quoque ; et consequenter ( 9. 2°) resultans ex et sese diriget a puncto ad punctum , simulque resultans ex et sese diriget a puncto ad punctum  ; istiusmodi praeterea resultantes sunt manifeste aequales: iccirco etc. ... Systema itaque virium aequipollebit systemati virium  ; poteritque alterum ( mutatis ejus directionibus in contrarias partes ) alteri substitui. Consequitur posse binas vires parallelas, aequales et contrarias transferri ab una positione ad alteram in proprio ipsarum plano, variata simul virium et magnitudine , et directione ; modo tamen productum ex communi earum valore in mutuam distantiam maneat constans.

12. Sint nunc plures vires parallelae , ... variis solidi corporis punctis applicitae , quarum aliae conspirent in unam plagam , aliae in plagam contrariam . Componendo v . gr. et in unicam , et in unicam , et in unicam , etc. , ... facile devenies ( 11 ) ad illud : resultans ex pluribus viribus parallelis adaequat differentiam inter summam conspirantium in unam plagam et summam conspirantium in plagam contrariam ; ipsis insuper componentibus viribus est parallela , et ad eam plagam obvertitur , quam respicit major ex illis summis .

Hinc si vires tendentes in unam plagam censentur positivae , tendentes vero in plagam contrariam negativae , obtinebit aequatio . Ad haec : denotantibus (fig .7) , ... puncta , quibus applicantur parallelae vires , ... , et . .. rigidas rectas jungentes puncta illa , cum transeant , ... per ejusmodi puncta , ... , quorum positiones sive in rectis , ... sive in earum prolongationibus unice pendent a conditionibus etc. ... ,

seu

, etc. ... ,

devenietur etiam ad illud : in systemate parallelarum viriam habetur constans et immutabile centrum , per quod semper transit resultans , quacumque ceteroqui ratione componentes vires volvantur circa puncta quibus applicitae sunt , modo et maneant parallelae , et applicitae iisdem punctis in iisdem respective distantiis.

13. Ducto quolibet plano , demittantur in illud ex punctis ... perpendicula  ; sive ( 12) , ... sint in rectis , ... . sive in earum prolongationibus , demittantur quoque in idem ex istis punctis perpendicula , ... ; per ipsa , ... agantur rectae , ... , prima rectae MN parallela et perpendiculis occurrens in , secunda rectae parallela et perpendiculis occurrens in , etc ... Erunt ; etc .... Jamvero ( 11 ) ,etc ..., ideoque etc.... Igitur etc.... unde etc. seu etc....

Generatim exhibente , perpendiculum ex centro omnium datarum virium parallelarum ductum in , habebimus

rectangula , dicuntur momenta virium , ... quoad plapum .

Haec notentur: 1° Etsi non omnia puncta , quibus applicantur parallelae vires ... sita sunt supra planum adhuc tamen algebraica summa rectangulorum sub ... et respondentibus perpendiculis ductis in ex punctis illis adaequabit rectangulum sub resultante et perpendiculo ducto ex centro ipsarum ... in idem ; moto enim versus ea puncta ita , ut maneat sibi parallelum , atque a primitiva positione recedat intervallo , si nova perpendicula exhibentur per erunt ; hinc ...

est autem ( 12.a) ;

igitur

ubi possunt esse vel positiva , vel negativa.

2° Praeter seu ( Fig.8 ) concipiantur duo alia plana ; quod autem in ordine ad est, sit , sit in ordine ad , et in ordine ad ; qua ratione assequuti sumus eadem assequemur (a')

3° Si compendii causa per exprimitur summa potentiarum et per designantur summae rectangulorum sub potentiis et respectivis perpendiculis , formulae ( a' ) scribi poterunt in hunc modum ( 12. a) unde In hypothesi planorum orthogonalium , et , erunt orthogonales coordinatae , quibus determinatur positio centri parallelarum virium .

4.° Aequatio P + P + P + ... ... = o ( a '' )'' manifeste denotat unam quamvis ex datis potentiis v. gr. P esse aequalem et contrariam resultanti R, ex reliquis omni bus P' , P '' , ... Ponamus XOY perpendiculare , et XOZ , YOZ'' parallela directioni potentiarum ; in hac hypothesi erunt P et R, directe contrariae si perpendicula x et y spectantia ad punctum , cui applicalur P , spectent ambo ad centrum quoque virium p ', P '', ... , si nempe habeantur'' x R , = x'P' + x '' P t ... ,'' y R, =ÝP' +y'' P'' + . seu , ob R, x P + x' P ' + x '' P'' + yP + ' P ' + y '' P'' + -P = 0, 0; }(cm

5. ° Quibus positis , stabilitur illud : parallelarum virium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditio nibus simul explendis ; altera est , ut evanescat earum sum ma : altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordi ne ad duo plana ipsis viribus parallela. Si parallelae vires inveniuntur omnes in eodem plano, secunda conditio jam de 18 tur summae rectangulorum sub potentiis et reSpectivis perpen- diculis, formulae (a') scribi poterunt in hunc modum (12. a) a:, EP :ZxP,y,ZxP: ZJP, z.l 2P:ZzP, unde u ∙∙∙ zxp ∙∙ \sum∫ M) (0 ) ∙−− ⋅ −\sum−⇂⋅−↗∫≖ \sum⇂≀ .z,--—— ZP ln hypothesi planorum XOT, XOZ , TOZ orthogonalium , x, ,y, , et 2! erunt orthogonales coordinatae, quibus deter- minatur positio centri parallelarum Vtrium. 43 Aequatio P gr ≖⋡⋅−⊦∙∙⋅−−∙∶∘ (a''')''' manifeste denotat uuam quamvis-ex datis potentiis v. gr. P esse aequalem et contrariam resultanti R, ex reliquis omni- bus P', P'', Ponamus XOV perpendiculare , et XOZ ,'' ïOZ parallela directioni potentiarum; in hac hypothesi erunt P et B[ directe contrariae si perpendicula x et y spectantia ad punctum , cui applicatur P , spectent ambo ad centrum quoque virium P',P'', , si nempe habeantur''

:: Bl :x'F—I-x'' P'' ⊣−∙∙∙∙ Ja, ∶−−∫∣⊉≀−⊢∜∣∣≖≻∥−⊢∙∙∙∙

seu,ob B' :—P, xP—- x'P'-- x'' P'' −∙∙ :o, yp ——y' PI ...—7'' P'' −∙∙ ∙∙∙ :0' ) (a'') 5.'' Quibus positis , stabilitur illud : parallelarum virium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditio- nibus simul explendis; altera est , ut evanescat earum sum- ma :altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordi- ne ad duo plana ipsis viribus parallela. Si parallelae vires inveniuntur omnes in eodem plano, secunda conditio iam de19 9 se explebitur quoad istud planum , satisque erit ut explea tur quoad aliud tantummodo planum . 6. Etsi vires P, P' , P '', ... non sunt parallelae , pos sunt tamen reduci ad terna ejusmodi systemata , quorum pri. mum coalescat ex viribus parallelis axi OZ , secundum ex viribus jacentibus in plano XOY simulque parallelis axi OY , tertium ex viribus agentibus juxta axem OX.

Ut demonstretur assertio , resolve unam quamvis ex datis viribus v. gr.

P applicitam puncto A in tres X, Y, Z, respective parallelas axibus Ox, OY, OZ; ad punctum A applica duas vires H et - H aequales , contrarias , et parallelas axi OZ ; compone X ( = AC ) et H sese dirigentem juxta AE , sitque AB dire ctio resultantis ; produc BA donec in N occurrat plano XOY ; transfer in N resultantem illam , et sic translatam resolve in binas , alteram parallelam axi OX , alteram axi OZ ; prodi bunt componentes X ( = NC = AC ) , H ( = ND ) , qua rum primam transfer in C ut sit C'C' ( = NC' ) = X; ad C applica binas vires K et — K aequales , 'contrarias et pa rallelas axi OY ; compone X ( = .CC ') et K sese dirigen tem juxia C'F , sitque C'L directio resultantis ; produc LC donec in V occurrat axi OX ; transfer in V novam istam re sultantem , et sic translatam resolve in binas , alteram juxta ox , alteram parallelam axi OY ; emergent componentes X ( = VV' = CC'' ) , K ( = VF '): compone nunc Y et - H ; produc directionem resultantis donec rectae C' F occurrat v . gr. in N ' ; hanc resultantem transfer in N ' , et sic traus latam resolve in duas , alteram parallelam axi OY , alteram axi OZ ; exurgent componentes Y et -H applicitae puucto N: hoc pacto vi P poterunt substitui sex vires Z, H, — H applicitae punctis A, N, N' et parallelae axi Oz, K, Y - K applicitae punctis V, C' et parallelae axi OY , X applicita puncto V et agens juxta OX . Consimiles operationes cum possint instaurari quoad P', P ” ... non pluribus opus est , at pateat veritas assertionis . 19 se explebitur quoad istud planum , satisque erit ut explea- tur quoad aliud tantummodo planum . 6.o Etsi vires P, P', P'', non sunt parallelae ,pos- sunt tamen reduci ad terna eiusmodi systemata , quorum pri- mum coalescat ex viribus parallelis axi OZ , secundum ex viribus jacentibus in plano XOT simulque parallelis axi Oï , tertium ex viribus agentibus juxta axem OX. Ut demon- stretur assertio , resolve unam quamvis ex datis viribus v. gr. P applicitam puncto A in tres X, T, Z, respective parallelas axibus OX, OT, OZ; ad punctum A applica duas vires H et ∙∙∙ H aequales , contrarias , et parallelas axi OZ ; compone X (: AC) et H sese dirigentem iuxta AE .sitque AB dire- ctio resultantis; produc BA donec in N occurrat planc XOT; transfer in N resultantem illam , et sic translatam resolve in binas , alteram parallelam axi OX , alteram axi OZ; prodi- bunt componentes X (: NC':AC ) , H (: ND) , qua- rum primam transfer in C' ut sit C'C'' (: NC' :) X; ad C' applica binas vires K et —K aequales , 'contrarias et parallelas axi OV; compone X (:.C' C'') et K sese dirigen-'' tem juxt'a C'F , sitque C'L directio resultantis ; produc LC' donec in V occurrat axi OX ; transfer in V novam istam re- sultantem , et sic translatam resolve in binas , alteram juxta OX, alteram parallelam axi OV ; emergent componentes X (:VV':C' C'') ,K (:VF'): compone nunc V et —H; produc directionem resultantis donec rectae C' F occurrat v. gr. in N'; hanc resultantem transfer inN' , et sic traus- latam resolve' tn duas , alteram parallelam axi OV, alteram axi OZ ; exurgeut componentes ?et —H applicitae puncto N': hoc pacto vi P poterunt substitui sex vires Z,,H — H applicitae punctis A, N, Net parallelae axi OZ, K, ï— K applicitae punctis V, C' et parallelae axi OV, X applicita puncto V et agens juxta OX. Consimiles operationes cum possint instaurari quoadP' ,P'',... non pluribus opus est , ut pateat veritas assertionis.20 7. Axes OX , OY, OZ sumantur orthogonales ; erit H : X = ND : NC' NC zX Z : H , et consequenter perpendicula ducta ex N in plana YOZ , XOZ exprimentur per 2X H g ; erit quoque H : Y = AC ' : C'N ' = 2 : C'N' = 2Y H ac proinde perpendicula ducta ex N' in eadem plana YOZ , XOZ exprimentur per x18+1; insuper Vi : Ci = VV' : VF' , seu x - OV : y = X , K , ex qua eruitur perpendiculum ductum ex Vin planum YOZ, nempe OV = y X K 8 . '* Quod in ordine ad Pest X, Y, Z, H, K, sit X ', Y , Z ', H , K ' in ordine ad P ', sit X ”, Y '', Z'', H ” , K '' in or'' dine ad P, etc. ... Systema ( 6'') virium parallelarum axi OZ consistet in aequilibrio sub tribus istis conditionibns ( 59) 2 + Z ' + Z '' +... + H + HP + H '' + .- H - H²- H '' -... = 0 , x2+x+2 + .. + ( x -7 ) +la ZX H - ) H + ' x H - X'H '-... 20 7 ∙∘∙ Axes OX, 07, OZ sumantur orthogonales ;erit H:X:ND:NC': -Nc': f—X ...-7 et consequenter perpendicula ducta ex N in plana ïOZ, XOZ exprimentur per zX x——s.7-i eritquoque H. r:.tcx ea:: aut: 2? —, H ac proinde perpendicula ducta ex N' in eadem plana TOZ, XOZ exprimentur per T xsf'l'ïïi—i insuper Vi:C'i:VV':VF',senx—OV:J:X,K. ↴ ex qua eruitur perpendiculum ductum ex Vin planum TOZ, )- nempe ) ∘∇∶∙≖−⋅\sum⋮∙ K 8. 01: Quod in ordine adPestX, T, Z, H, K, sit X'.ï', Z', H', K' in ordine ad P', sit X'', T', Z'', H'', K'''m or- dine ad P'' , etc.. «Systema (60) virium parallelamm axi OZ consistet in aequilibrio sub tribus istis conditionibus (50) z −⊦ ⊠∣⊣−≀∥⊹∙∙∙−⊦∐⊣−∐∣⊣−∐∥−⊦ ∙∙⋅− ⊟∙↧∓∣∙⊟∥∙∙∙∙ : xZ-l—x'ZH—''xl-(x- fl—iï' H—1-(x' - )''IX, H'—)- ..

: r H—x'H'-.. . : o.21

y2 +y2 + ... + 38+y'! '+ ..- ( o + #) : - (-+ -+* ) r -...--. seu 2 + 2 + Z'' + ... = 0 , x2–2x + x2–5x' + x Z'' _z'' X '' + ... = o, y2 - zY + y'Z' — zY + y'' Z'' —z'' Y'' + ... :. =0. 360''

Systema (69) coalescens ex viribus jacentibus in plano XOY simulque parallelis axi OY consistet in aequilibrio

sub duabus istis conditionibus ( 5° ) .

Y - K + Y - K + Y'' _K'' + . + K + K + K + ... = a, 2{Y -K)+7 (9 –K)+- + (3 - X) +(37 )K + seu Y + Y + Y '' + ... = 0, xY4yX + x'Y' — y'X ' + x '' Y'' -- y'' X '' +... =0. 0.}10'') Systema ( 6°) virium agentium juxta OX

consistet in aequilibrio sub ista tantum conditione

X + X+X''+... = o ( a '' '' ). Inferimus solidum liberumque corpus viribus P , P' , P'' , ... sollicitatum haud mansurum in aequilibrio, nisi ex pletis conditionibus ( a' ) , ( a '' ) , ( a '' '' ); quas ita scri bimus ( 30 ) 21 ⊺∄⊹↗⋅∄∣−⊢∙∙∙⊹∫∐⊹∫∣∐∣⊹∙⋅∙− ( ∫⊹.äï.) H — (y'-]- ⋮⋅≨⋚∣⇀∙≻ H'—. ..

: o,

seu ∅⊣−∅∣⊣−⊈∥⊹∙∙∙∶∘∙ ; (a') xZ—zX-I-x'Z'— z'X'-l-x''Z''— z'X''—-]-. ..

: o,

yz -— zV-l—J'Z'—z'ï'—I- y''Z''—z''ï''-l— ..

:

. 0. Systema (60) coalescens ex viribus jacentibus in plano XOV simulque parallelis axi OV consistet in aequilibrio sub dua- bus istis conditionibus ( 5o )- r—x-t-x'—x'—l-1z''—xq-.. —[-K-]-K'-)-K''—]—. ..

:

0, I ' X ! IX ∣ .. ï—KH—x (r—x ⊢⊢⋅∙∙−⊢ xli?) x-l-(x ïk.-')K ∙⊦∙∙≔∶⋅∘⋅ seu . y—I—T-I- ï''—l— ..

:

. 0, ' h 0'') xï—yX-l—x'ïL-y'X' x''ï''-y'' '' ∙⊦∙∙∙∶−−∙ ∙ Systema (60) virium agentium iuxta OX consistet in ae- quilibrio sub ista tantum conditione ' ,x-t—X'-l-X''-1-...:o (a'''). Inferimus solidum liberumque corpus viribus P, P', P'', .. . sollicitatum haud mansurum in aequilibrio, nisi ex- pletis conditionibus (a' ) , ( a'' ) , (av'' ); quas ita scri- bimus ( 3'')22 EX = 0 , EY = 0 , E2 = 0 , } ( a '' ) 2 ( zYX) = 0,2 ( x2–2X ) = 0,2 (x2 – zY ) = 0.. 9 '

# Denotet

R ' resultantem ex viribus primi syste matis ( 6 ° ) , R '' ex viribus secundi , R '' ex viribus tertii''

;

erunt ( 12

:

a ) R = EZ , R = EY , R '' = EX . Recta , in qua agit R '' , occurrit axi OX sub angulo recto

;

et disignante r '' distantiam inter O et punctum occursus erit ( 2º . 7 ° ) . r “ R ” = x (Y — K ) + x'( Y ’ – K ” + ... XK ( s – '' ) k ' + ...,ideoque ?''= EfxY -yX ) . R '' tra potest R ' '' transferri in illud punctum occursus sicque componi cum R '' ut inde obtineatur resultans VR '' 2 + R '' 3. Iterum ( 9. 9º . 10 ° . ) patet ergo vires P P ' , P ' , , ... duci vel ad ternas , vel ad binas aequipollentes . 10. °

# Recta

, in qua agit R ' , occurrit normaliter plano XOY

; et designantibus

a ' , b ' coordinatas istius occursus , erunt ( 2º . 7º . ) a ' $ (xZ - zX ) R ' 6 Egy Z - Y ) 1 R Occurrent sibi mutuo R’et VR ” ? + R '' 2, ac proinde jacebunt in eodem plano , quotiescumque a ' et b ' recident in duas quasvis ex coordinatis illius rectae in qua agit VR' 2 + R '''' 2

; propterea

22 ZX:0,Zï:o,ZZ:o,

; (aVIII)

\sum (xï—ïyX):o.Z(xZ—zX):0,2(yZ—zï): 0. 9. 01: Denotet B' resultantem ex viribus primi syste- matis '(60 ), B'' ex viribus secundi , B''' ex viribus tertii; erunt ( 12. a) R,:Z Z, B'':Zï, R''':ZX. Recta, in qua agit R'', occurrit axi OX sub angulo recto

;

et disignante r'' distantiam inter 0 et punctum occursus, ertt∙ ( 2 ∘ ∘ . 7. ). r''R'':x(ï—K)—)—x'(ï'—K')—-)—...-)- (x... JKX.) K −⊦ (x'-— 2274.) K' −∙⊢∙ ∙ .,ideoque r''-— xwy-FK)

:

potest B''' transferri in illud punctum occursus , sicque componi cum B'' ut inde obtineatur resultans l/B''3-l—B''''. Iterum (9. 90.100.) patet ergo vires P P', P', , .. . tra- duci vel ad ternas, vel ad binas aequipollentes. ↿∘∙∘⋕ Recta, in qua agit B', occurrit normaliter plano XOT; et designantibus a', b' coordinatas istius occursus, erunt (20. 70.) ↙⋮∣∙− X(xZ—zX) b' ∙∙∙ \sum (yZ—zï) B' ' R' ⋅ Occurrent sibi mutuo B' et l/B''2-)-B'''2, ac proinde iacebunt in eodem plano, quotiescumque a' et b' recident in duas quasvis ex coordinatis illius rectae in qua agit ⇂∕ B''2-I-B'''2; propterea23 a ' - p '' : 6 = R : R '' et consequenter b' R' + ( r '' – a ' ) R '' = 0 ; quae , adhibitis substitutionibus, traducitur ad EXE(yZ — ZY) + EYXzX— « Z ) + EZE (xY yX ) = 0. Sub hac ilaque conditione occurrent sibi mutuo vires R' , V R ''2+ R '' ), dabuntque resultantem VR2+ R ''2 + R ''' a = V (EX)2 + (PY )2+ ( EZ )2. 11 . '* Si nequeunt vires alium gignere motum ni si circa immobilem axem Oz , quisque videt aequilibrii conditiones redactum iri ad unicam r ' = 0 , seu ad quar tam ( a '' ), Ad haec si nequeunt vires alium gignere mo tum nisi circa immobile punctum 0 , redigentur aequili brii conditiones ad r'' = 0 , a' = 0,6 = 0 , seu ad quar tam , quintam et sextam ( a ) 12. '* Fac ut duo solida corpora A et B ( Fig. 9) , alterum viribus P , P , P ''... sollicitatum , alterum viri bus Q , , Q '' , ... , sese invicem aeque premendo apud da lum mutui contactus punctum C maneant in aequilibrio ; quaeritur istiusmodi pressionis magnitudo w. Duc per C pla num tangens DD' , cui normaliter insistat recta ECE': de notent fig, h coordinatas puncti C ; a , á , a '' angulos interceptos recta CE axibusque orthogonalibus OX , OY , OZ ; et quod in ordine ad P' , P' , P '' , ... est X, Y , Z, á , : , X , Y , Z , X ', . . . sit a , b , c , a , ... A , B , C , A ', ... in ordine ad C , Q , ... Pressio agens versus E resolvetur in ternas 23 a'—- r'': 6':a''': a'' et consequenter ↘∙∙ b' B'''—i— ( r''-—a') B'': 0

;

quae , adhibitis substitutionibus, traducitur ad ZXZUZ—zTH-ZïXzX—xZH-ZZZ (a.-T —JX):o. Sub hac itaque conditione occurrent sibi mutuo vires B', l/ B''2-)- B''', dabuntque resultantem ⇂∕↓↖⋅≖−⊦↓⊰⋅⋅≖−⊢∐⋯≖∶ ⇂∕ (mun-)- (zx) ≕⊣−≺ \sum∣∠≻≖∙ 11.''; Si nequeunt vires alium gignere motnm ni- si circa immobilem axem OZ, quisque videt aequilibrii conditiones redactum iri ad unicam r'' :o , seu ad quar- tam (a'''' ). Ad haec si nequeunt vires alium gignere mo- tum nisi circa immobile punctum 0 , redigentur aequili- brii conditiones ad r'':0, a':o, b':o, seu ad quar- tam, quintam et sextam ( am'') 12.'': Fac ut duo solida corpora A et B (Fig. 9), alterum viribus P , P', P''. .. sollicitatum , alterum viri- bus Q, Q' , Q'', .. ., sese invicem aeque premendo apud da- tum mutui contactus punctum C maneant in aequilibrio; quaeritur istiusmodi pressionis magnitudo 'a'. Duc per C pla- num tangens DD', cui normaliter insistet recta ECE': de- notent f, g , ]: coordinatas puncti C; at, a', a'' angulos interceptus recta CE axibusque orthogonalibns OX, Of , OZ; et quod in ordine ad P' , P', P'', ... est a:, 7, z, x', . . X,ï, Z, X',. . . sita,b, c, a,... A,. B, C, A', . . . in ordine ad Q', Q, . . . Pressio :: agens versus E resolvetur in ternas24 cosa , cose , a cos '' , agens vero versus E resolvetur in ternas w cos ( 180 ° - « ) = - COS Q, a cos ( 180 ° - = - a coseć, cos ( 180º – Ø'' ) W cos a : in primo casu w librat ex hypothesi vires P, P, in secundo vires Q, C, ... Igitur EX +w cosa = 0, Erto cosá = 0 , xZ + w cosa '' = 0 , Σ Α W cosa = 0 , EB - cosa = 0,8C — a cos '' = 0 , E ( «Y -y X ) + W ( f cos ' - g cosc) =0 , ElxZ - 2X ) + o ( f cosc '' — h cosc ) =0 , Ely2 -zY) + wig cosa '' -hcosé ) =0 , (aB - 6A ) - ( fcos - g cos ) = 0 ,E (aC - A ) a ( f cosa '' -hcosa) = 0 , E (6C - cB ) - ( g cosa '' - h cosa') = 0 . Eliminata , prodibunt undecim aequationes , inde pendentes ab ipsa a , inter quantitates datas ; quibus ae quationibus expletis, habebitur aequilibrium , poteritque ab una quavis ex duodecim praecedentibus erui valor u . 13.0# Solidum corpus sollicitatum viribus , P P ', P '' , ... delineatur duobus punctis fixis , sumptis in axe v. gr. OZ ; sic facile determinabuntur pressiones M, N , L et M ', N ', L' exercitae in puncta illa juxta coordinatos a. xes Ox , OY, OZ. Exprimant m, n , l coordinatas unius ex duobus panciis , et m ', ní, ľ coordinatas alterius. Quo uiam spectari debent 24 a: cosa, a cosa', wcosac' , agens vero versus E' resolvetur in ternas m cos(1800—a): — arcus a, acos (1800—at'):—w cosa', a cos ( 180o -— ac'') ∶≖ −meos ac'': in primo casu ut librat ex bypOthesi vires P, P', . ∙ ∙ , in secundo vires Q, Q', . . . Igitur 2X —l—w cosa::o, Zy-l—a cosa':o,ZZ—l-ar cosa:'':o, EA — z: cosa: :0, 2B —a cosa':o,ZC—z.ïcos at'':o, Z (xï —7 X) −−∣− 15 (fcosa''—-g cos ac) :0, 2( a:Z—zX)-I—w(fcosa''—hcosa):o, XOZ—z?) −⊦ w(g cosa''--hcosat'):o, E( aB—bA) —w(fcos a'—gcosa):o,2 (aC—cA)—- a(fcosa''-h cos a):o,2 (bC-cB) -zz(gcos a''- hcosac'):o. Eliminata a, prodibunt undecim aequationes, inde- pendentes ab ipsa a' , inter quantitates datas.; quibus ae- quationibus expletis, habebitur aequilibrium, poteritque ab una quavis ex duodecim praecedentibus erui valor a. 1394: Solidum corpus sollicitatum viribus, P P', P'', . . . detineatur duobus punctis fixis, sumptis, in axe v. gr. OZ; sic facile determinabantur pressiones M, N, L et M', N', L' exercitae in puncta illa juxta coordinatos a- xes OX, DV, 02. Exprimant m, n, !coordinatas unius ex duobus punctis, et m', n'. [ coordinatas alterius. Quo- niam spectari debent25 M, N , -L, — M ', - N - L' tanquam vires , quibus librantur caeterae P , P , P' ... , ac insuper m = 0 , n = o , m' =0 , n = 0 , necnon ( 110. ) (xY - yX ) = 0 : iccirco ( 8º. a '' ) EX - M - M ' = 0 , EY -N - N = 0,8Z -L - L ' = 0 , { ( xZ - 2X ) + 2M + l'M' = 0 , E ( yZ – zY) +IN + Ľ N' = 0 ; quarum tertia nos edocet axem OZ premi vi XZ in dire ctione z , reliquae vero suppeditant M , M' , N , N' . Si P , P ' , P '' , ... evadunt parallelae axi OZ, et se dirigunt ad plagam negativam , erunt ( 12: 13, 2° ) , EX = 0 , EY = 0 , EZ = P - P - P ' -... = - R, ExZ- X ) = - xP - X'P' - '' P'' --... X, R, (y2 — zY) = - ype ' P' y '' P '' —... = - y . R; hic denotant P, P ', P '' , ... virium duntaxat intensitates. Quare M + M ' = 0 , N + N = 0 , L + L + R = 0,2M + I'M – x, R = 0 , 2N + IN - Y , R = 0 ; unde M = -M' 1, R 1 - T ' N = -N y R , , L L + + LEL' = - R. 3 25 —M,-FNg-Lg—M'g—N' '..L, tanquam vires , quibus librantur caeterae P, P', P''. .., ac insuper m::o, '':D, in'-:(), ''' ∶−−⋅ o, necngn ( 110.) Xxï—yX :) o: iccirco( 80. a'''' ) EX—M—M':o,2ï-—N-—N' :o,ZZ—L-—L' :0, Si xZ—zX)—I-lM-I— l'M':o,Z(yZ—-zï)—l-IN-l- !' N':o; quarum tertia nos edocet axem OZ premi vi ZZ in dire- ctione :, reliquae vero suppeditant M, M' , N ,N'. Si P, P' ,P'' ,... evadunt parallelae axi OZ, et se dirigunt ad plagam negativam, erunt (12: 13. 20 ), ZX:o, Zïzo,zz :P—P'-—P''-—. ..

: — R,

XxZ—QX):—xP -x'P' -— x''P'' —-. .

:

. —a:. B,. 2(yz ∙∙∙ zï):—yP—— r' P' —.7'' P'' ∙∙∙ ∙ ∙ ∙ ∶−∙ ∙−−∫∎ R; bic denotant P, P', P'', ... virium duntaxat intensitates. Quare ∐−⊦∐∣∶∘∙∾⊣−∐∙−−∶∘∙ ↧⋅−↽↧⋅∙−↽≖↸≓∘∙≀∐⊣⊸ I'M' — x,R:o, lN-i-l'N'—-y,R:o; nnde M: x,B -—M':— ---—- r—z ' Nz—N' :-—l',y'—-—R—2,L-I—L':—R- 326 14. Ex dictis de virium aequilibrio deduci possunt aequilibrii leges in Machinis. Sic v. gr. in vecte poten tia librabit resistentiam seu pondus, quotiescumque ( sumptis ( 10. 10 ) momentis quoad axem immobilem, circa quem po test vectis moveri ) momentum potentiae aequatur momento resistentiae.Idipsum obtinet quoad Axem in peritrochio ; idi psum quoad trochleam fixam . Potentia et resisteutia istis machinis applicantur in directione parallela planis perpen dicularibus axi immobili; perinde igitur ( 10. 10 ° ) erit si ve in eorum uno sive in altero accipiantur momenta ; poteritque vectis repraesentari per lineam mobilem circa punctum fixum , quod dicitur fulcrum , hypomoclion : axis in peritrochio per circulares projectiones rotae ac cylin dri in uno quovis ex dictis planis , mobiles circa com mune immobile centrum : trochlea fixa per circulum ro tatilem circa suum centrum , cujus circuli radius sit ipse trochleae radius; verum quia in trochlea fixa nihil sunt aliud perpendicula momentorum propria nisi trochleae radii, ducti ad puncta ubi funis desinit ipsam trochleam tangere, ideo erunt aequalia , et consequenter aequilibrium in trochlea fixa importat potentiae ac resistentiae ae qualitatem. Ad trochleam mobilem quod spectat , sit P (Fig. 10) pondus sustinendum a potentia Q : quoniam in casu aequi librii , P et Q praebeant oportet resultantem R transeuntem per punctum fixum 0, iccirco ( 9. 10. ) Q : P = sin \beta : sin a = sin i : sin 2i = cos x : sin 2x = cos x : 2sin x cos 1 : 2 sin ; ac proinde P Q 2 sin s Posuimus angulum OaQ dividi aequaliter directione ponderis P : id vero facile intelligemus animadvertendo , si filum OaQ fixum in 0 et Q , tenditur vi applicita puncto 26

14. Ex dictis de virium aequilibrio deduci possunt aequilibrii leges in Machinis. Sic v. gr. in vecte poten- tia librabit resistentiam seu pondus, quotiescumque ( sumptis (10. 100) momentis quoad axem immobilem, circa quem po- test vectis moveri ) momentum potentiae aequatur momento resistentix-Idipsum obtinet quoad Axem in peritrochio ; idi- psum quoad trocbleam lixam. Potentia et resistentia istis machinis applicantur in directione parallela planis perpen- dicularibus axi immobili; perinde igitur( 10. 100) erit si- ve in eorum- uno sive in altero accipiantur momenta; poteritque vectis repraesentari per lineam mobilem circa punctum fixum, quod dicitur fulcrum, hypomoclion: axis in peritrochio per circulares proiectiones rotae ac cylin- dri in uno quovis ex dictis planis, mobiles circa com- mune immobile centrum: trochlea lixa per circulum ro- tatilem circa suum centrum,cuius circuli radius sit ipse trochleae radius; verum quia in trochlea fixa nihil sunt aliud perpendicula momentorum propria nisi trochleae radii, ducti ad puncta ubi funis desinit ipsam trocbleam tangere, ideo erunt aequalia , et consequenter aequilibrium in trochlea fixa importat potentiae ac resistentiae ae- qualitatem. Ad trocbleam mobilem quod spectat , sit P (Fig. 10) pondus sustinendum a potentia Q: quoniam in casu aequi- librii , P et Q praebeant oportet resultantem R transeuntem per punctum fixum 0, iccirco (9. 10.) Q: P:sin 13: sin «

: sin i :sin 2i:cos x : sin Zx:cos x: Zsinxcosx : 1: 2 sin a:; ac proinde

P Q''üü' Posuimus angulum OaQ dividi aequaliter directione ponderis P: id vero facile intelligemus animadvertendo, si iilum OaQ fixum in 0et Q , tenditur vi applicita puncto ∙∙∙ '. 'una- ,.. ↙∙∙∎⋅−27 a libere excurrenti juxta ipsum Oal , punctum a necessa rio permansurum in perimetro ellipseos , cujas foci O et Q; ideoque in casu aequilibrii vim illam fore perimetro elli pseos normalem ; quod certe importat praedictam anguli OaQ divisionem . Vide n. 55. 13 . Etiam sic : cum in casu aequilibrii funis ubique ma neat aeque distentus , pondus P librabit resultantem R' ex duabus viribus aequalibus Q et concurrentibus apud punctum a ; et quoniam R' aequaliter dividit angulum Oal , idipsum dicendum erit de ponderis directione. Jamvero R ' ( = P2) = Q + + Q2 + 2QQ cos 2i =2Q ( 1 +cos 2i) = 4 Q* cos 2i = 4 Q* sinºx : rursus igitur P - 2sin x angulo x = 90° respondebit minimal ; erit Q = P 2 si x = 30° ; vergente x ab 30° ad 09 , verget Q ab P ad co . 15. Vectis primi generis nuncupatur , si fulcrum sit inter potentiam et pondus ; dicitur secundi generis si pon dus sit inter fulcrum et potentiam ; denique si potentin me. dium locum teneat inter fulcrum et pondus , vectis tertii ge neris vocatur. Hinc vectes primi et secundi generis poten tiam juvant , quatenus eo minor requiritur potentia ad da tum pondus sustinendum , quo major est potentiae distantia a fulcro relate ad ponderis distantiam ab eodem fulcro ; adeo ut quodvis pondus utcumque ingens possit vectis ope a quacumque potentia utcumque exigua sustineri : quod cum bene nosset Archimedes , illud dixisse fertur Hieroni Regi .. dic ubi consistam , coelum , terramque movebo ,, : vectis au tem tertii generis potentiam non juvat , quia in hoc vecte potentia minus distat a fulcro quam resistentia seu pondus. 27

:: libere excurrenti juxta ipsum OaQ , punctum :: necessa-

rio permansurum in perimetro ellipseos, cuius foci O et Q; ideoque in' casu aequilibrii vim illam fore perimetro elli- pseos normalem; quod certe importat praedictam anguli OaQ divisionem . Vide n. 55. 13.0 Etiam sic :cum in casu aequilibrii funis ubique ma- neat aeque distentus , pondus P librabit resultantem R' ex duabus viribus aequalibus Q et Q concurrentibus apud punctum a; et quoniam R' aequaliter dividit angulum OaQ, idipsum dicendum erit de ponderis directione. Iamvero a' ∙≺⇌−− re:? -1-Q*-l—2QQcos2i:2Q'(1-l-cva 20: 4Q' cos 3i:4Q3 sin'x: rursus igitur P Q— 2sinx, angulo x:900 respondebit minima Q

: ä; erit Q:P

si a: 300 ,- vergente :: ab 300 ad 00 , verget Qab P ad 00 .

15. Vectis primi generis nuncupatur, si fulcrum sit inter potentiam et pondus; dicitur secundi generis si pon- dus sit inter fulcrum et potentiam ;denique si potentia me- dium locum teneat inter fulcrum et pondus , vectis tertii ge- neris vocatur. Hinc vectes primi et secundi generis poten- tiam iuvant, quatenus eo, minor requiritur potentia ad d'a- tum pondus sustinendum , quo maior est potentiae distantia a fulcro relate ad ponderis distantiam ab eodem fulcro; adeo ut quodvis pondus utcumque ingens possit vectis ope a quacumque potentia utcumque exigua sustineri :quod cum bene nosset Archimedes , illnd dixisse fertur Hieroni Regi ,, dic ubi consistam ,coelum ,terramque movebo ,, :vectis an- tem tertii generis potentiam non juvat , quia in hoc vecte potentia minus distat a fulcro quam resistentia seu pondus.28 Ex indicata vectis theoria redditur ratio innumerabi liam effectuum quos quotidie cernimus fieri ; ac primo qui dem quicumque ex lapidicinis extrahunt lapides utuntur ut plurimum vecte ferreo : quoties autein multum resistit la pis sive propter magnitudinem sive quod nimis firmiter aliis adhaereat , tunc hypomoclion quam proxime ponderi admo vent , ut facilius moveant , quod vulgo dicitur ,, dar la leva ,, . Pro hypomoclio antem utuntur quovis sustentaculo v . gr. lapide ; saepe etiam cum duo lapides ab invicem sejungendi sunt , unus respectu alterius habet rationem hy pomoclii . Hic notandum est maxillas quoque esse vectes secundi generis quum cibi dentibus molaribus comminuen di traduntur . Secundo : si avellendus est clavus ope mal lei , quanto clavus , qui ponderis vicem obtinet , propior fuerit hypomoclio , eo facilius educetur ; unde cum jam tan tisper eductus est , ita ut extremitas mallei nequeat am plius insistere subjectae tabulae aut parieti e quo est dedu cendus , solemus aliud corpus interserere ut quam minima sit distantia. Tertio : in forcipibus quoque duplex est vectis primi generis , quorum unum est commune hypomoclion , clavus nempe circa quem uterque ramus volvitur , eoque va lidius stringetur corpus quo rami , qua parte secant , brevio res , qua parte vero applicatur potentia seu manus , longiores erunt . Quarto : cum portas aperimus aut claudimus , eo facilius id praestamas , quo longius a cardinibus eas impel Iimus , nempe janua est vectis secundi generis , cujas hy pomoclion sunt cardines. Quinto : remorum motu cymba promovetur , quia remi sunt vectes secundi generis , quo rum bypomoclion est aqua , cymba est pondus seu resi stentia , manus hominis sunt potentia applicata : hinc quo magis ab aqua remotae sunt manus quam punctum cym bae , cui remi insistunt , eo majus est potentiae momen ium. Sexto : ex his etiam intelligitur cur difficillima sit bacali oblongi elevatio si per extremitatem accipiatur , el cur quo longior fuerit ipse baculus , eo facilius curvetur aut frangatur. 28 Ex indicata vectis theoria redditur ratio innumerabi- lium efi'ectuum quos quotidie cernimus iieri ; ac primo qui- dem quicumque ex lapidicinis extrahunt lapides utuntur ut plurimum vecte ferreo :quoties autem multum resistit la- pis sive prOpter magnitudinem sive quod nimis firmiter aliis adhaereat , tuuc hypomoclion quam proxime ponderi admo- vent , ut facilius moveant, quod vulgo dicitur ,, der in leva ,, . Pro hypomocliol autem utuutur quovis sustentaculo v. gr. lapide; saepe etiam cum duo lapides ab invicem sejungendi sunt , unus respectu alterius habet rationem hy- pomoclii. Hic notandum est maxillas quoque esse vectes secundi generis quum cibi dentibus molaribus comminuen- di traduntur. Secundo: si avellendus est clavus ope mal- lei, quanto clavus, qui ponderis vicem obtinet, propior fuerit hypomoclio , eo facilius educetur ;unde cum iam tan- tisper eductus est, ita ut extremitas mallei nequeat am- plius insistere subjectae tabulae aut parieti e quo est dedu- cendus , solemus aliud corpus interserere ut quam minima sit distantia. Tertio :in forcipibus quoque duplex est vectis primi generis, quorum unum est commune hypomoclion, clavus nempe circa quem uterque ramus volvitur, eoque va- lidius stringetur corpus quo rami , qua parte secant , brevio- res, qua parte vero applicatur potentia seu manus , longiores erunt. Quarto: cum portas aperimus aut claudimus , eo facilius id praestamus , quo longius a cardinibus eas impel- limus , nempe janua est vectis secundi generis , cujus hy- pomoclion sunt cardines. Quinto : remorum motu cymba promovetur , quia remi sunt vectes secundi generis , quo- rum bypomoclion est aqua, cymba est pondus seu resi- stentia , manus hominis sunt potentia applicata: hinc quo magis ab aqua remotae sunt manus quam punctum cym- hae, cui remi insistunt , eo majus est potentiae momen- tum. Sexto : ex his etiam intelligitur cur difficillima sit baculi oblongi elevatio si per extremitatem accipiatur , et cur quo longior fuerit ipse baculus, eo facilius curvetur aut frangatur.29 16. Supponantur nunc plures quotcumque vectes ita dispositi , ut potentia Q in 0 ( Fig. 11 ) magis , puta decu plo distet a fulcro A quam resistentia in L , quae simili ter magis distet , puta noncuplo a fulcro C quam resisten tia in K , quae rursus magis distet a fulcro D puta quin tuplo quam resistentia in E , et haec similiter magis puta quadruplo distet a fulcro G quam resistentia in F , haec denique duplo magis distet a fulcro H quam pondus P in B. Si res ita se habet , atque insuper potentia et pondus di rectiones habeant perpendiculares ad respectivos vectes factis AO = a , CL = a ', DK = a '' , GE = a '' , HF - a '' , AL = 6, CK = b' , DE = 6'' ,GF = 6 '' , HB = 6 '' b '' , erunt in casu aequilibrii, L. 6 E. 6 '' Q F.6'' '' il K = Kiba,K E F P. ''

;

a a'' a ' IV ex quarum multiplicatione prodibit b 6'6'' 6 '' 8 '' P Q α α' α P a '' a '' 3600'' Quisque videt haec applicari systemati cuicumque rotarum dentatarum. Supponantur quoque plures trochleae mobiles v.gr. tres (Fig. 12) ; erunt ( 14) Q L 2 sin r '' K р LE 2 sin ac ' > K = ; 2 sin x et consequenter Q = P 23 sin x sin a ' sipx'' Quod si detur systema coalescens ex trochleis fixis v. gr , C , C' , C '', C ''' ( Fig . 13 ) et ex mobilibus F, E, K 29 16. Supponantur nunc plures quotcumque vectes ita dispositi , ut potentia Q in O (Fig. 11 ) magis , puta decu. plo distet a fulcro A quam resistentia in L , quae simili- ter magis distet , puta noncuplo a fulcro C quam resisten- tia in K, quae rursus magis distet a fulcro D piita quin- tuplo quam resistentia in E, et haec similiter magis puta quadruplo distet a fulcro G quam resistentia in F, haec denique duplo magis distet a fulcro H quam pondus P in B. Si res ita se habet , atque insuper potentia et pondus di- rectiones habeant perpendiculares ad respectivos vectes , factis AO:a,CL :a' , DK: a'', GE :a''',HF :a'', AL:&, CK:6', DE :6'', GF:b''', HB:ö'' , erunt in casu aequilibrii, ' ' '. ∙ '''' Q—qy'b,L—K'£.,K:E'f ∙ !' ,E—Eb ,F—Pf ; a a a a a ex quarum multiplicatione prodibit Q 6 b' 1)'' b''' 6''P P ⇠ a .: ∙ as an aut alv 3600 Quisque Videt baec applicari systemati cuicumque rotarum dentatarum. . Su pponantur quoque plures trochleae mobiles v. gr. tres (Fig. 12) ; erunt (14). ⋅ et consequenter Q.... 23 sinu: sinx' sin x'' Quod si detur systema coalescens ex trochleis fixis '' gr, C ∙∁⋅∣ C''. 0'' (Fig. 13) et ex mobilibus F, E, K30 uno eodemque fane conjunctis ; quoniam , librato systemate , funis ubique manet aeque tensus , ideo Q : Q = Q '' Q '' = Q '' = Q = Q '' = Q '' '' . Jamvero F E K Q Q '''' QP 2sin x' ' 2 sin x 2 sin 2 et consequenter F = 2Q ' sin '' 2Q sin x '' , E = 2Q sin ü'' , K = 2Q sin x ; cum igitur sint L = Q'' '' , F +E + K +L = P , iccirco 2 Q sin x '' + 2 Q sin x' + 2 Q sin x +Q = P : unde P Q = 1 +2 (sin x +sin x ' + sin x '' ) Fac demum ut puncta materialia K , K ', K '' , K '''', ( fig. 14 ) jungantur Glis K K' , K'K '' determinatae quidem longitudinis, sed mobilibus circa K , K '' . Si pun cta illa sollicitantur viribus Q , Q , Q '' , Q ''' , ad aequi librium haec manifeste requirentur : potentia Q in di rectione K'K tendens ab K' versus K ; resultans R' ex Q et Q' in directione K '' K ' tendens ab K '' versus K' ; re sultans R '' ex R' et Q '' in directione K '' K '' tendens ab K'' '' ' versus K '' ; potentia Q ''' in directione K '' K' ' ' tendens ab K '' versus K' ' ' : demum ipsa Q's aequalis resultanti R '' .

* Denotantibus X , Y , Z componentes coordi

natis orthogonalibusque axibus parallelas , in quas resolvi tur Q, erunt 30 uno eodemque fune coniunctis; quoniam . librato systemate, funis ubique manet— aeque tensus , ideo, Q:Q' ∶⋅−−−−∙ Q'' ∙∙∙−∙∶ Qu:: le: Qv :va :Qvu ∙ Iamvero F ∙∙∙ E v K Q −⇀⋅⋅ 2 SQ..— sin m' 2 sinx Q'— −⋅ Zsin x'' ∙ et consequenter F: 2Q'Isin a:'' ZQ sin x'', E:2Q sin x', K: 2Q sinx; ⋅ cum igitur sint LSva'sF4-E—FK—FL2P, iccirco— 2Qsinx''—I-2Qsinx'—]-2Qsinx—l-AQ:P: nnde P 1—l-2 (sinx-l—sin x' ∙−⊢ sin x'') . Fac demum nt puncta materialia K,K' ,K'', K''', ..: (Gg. 14 ) iungantur filis K K', K' K'' , ... determinatae quidem longitudinis, sed mobilibus circa K', K''. Si pun- cta illa sollicitantur viribus Q, Q' , Q'' , Q'' , ad aequi- librium haec manifeste requirentur: potentia Q in di- rectione K'K tendens ab K' versus K; resultans R' ex Q et Q' in directione K''K' tendens ab K'' versus K'; re- sultans R'' ex B' et Q'' in directione K'''K'' tendens .ab K'' versus K''; potentia Q''' in directione K'' K''' tendens ab K'' versus K'': demum ipsa Q''' aequalis resultanti R''. & Denotantibus X , T, Z componentes coordi- natis orthogonalibusque axibus parallelas, in quas resolvi- ⋅ tur Q, erunt Q;:31 X Y ē z Q cosinus angulorum , quos cum iis axibus intercipit l; de notantibus insuper 2 , y , z coordinatas puncti K , et x' , j ', z coordinatas puncti K' , erunt 2x yay 22 KKKK KK cosinus angulorum, quos cum ipsis axibus efficit K'K ; ob tinebit itaque primum ex requisitis ad aequilibrium, quoties cumque fuerint X XX Y DKKKK . yg Z KÖK > K’K '' seu X Y Z (h ) . Quod in ordine ad Q est X , Y , Z , sit X', Y ', Z ' in or dine ad Q ' : si resolvitur l' in ternas coordinalis axibus parallelas, eae erunt ( 9. 40. ) x + X ' , Y + Y ' , 2 + Z '; hinc designantibus a'', y ', z '' coordinatas puncti K'' , ob tinebit secundum ex requisitis ad aequilibrium , ubi fuerint X + X __ * ' - '' Y + Y_y_y'' 2 + 2_z'- '' R ? KK R' K ” K R K''K''' . seu X + * _ * + Y_2_Z x - x yay 22 ( h '). 31 X ? Z Q Q Q cosinus angulorum, quos cum iis axibus intercipit Q; de- notantibus insuper a: , y , :: coordinatas puncti K,, et x', y', s' coordinatas puncti K' , erunt ⋅⇂⋅−−⋅⊴⇂∙∣ .7-7'' z—z' K'K , K'K . K'K cosinus angulorum, quos cum ipsis axibus efficit K'K: ob- tinebit itaque primum ex requisitis ad aequilibrium, quoties- cumque fuerint ' ≟−−−⋅−∝−−≄∣ it.s,-ï Z Q K'K'' 'Q K'K ''G'ka' ↽−≖∙⊍↼∙≕∣ seu gx z r—x' y—y' x—z' Quod in ordine ad Q est X , T, Z , sit X', ï', Z' in or- dine ad Q':si resolvitur Q' in ternas coordinatis axibus parallelas, eae erunt (9. 40.) X—FX' , T—Fï' , Z—l-Z' ; ↽ hinc designantibus z', y'', :'' coordinatas puncti K'', ob- tinebit secundum ex requisitis ad aequilibrium , ubi fuerint ⋅ X—l—X' x'-x'' T—l-Tl—TI—j''' ∅⊣−⊈∣↼↼≂∣∙ z'' B' ⋅⋅⇀∣⋦∣∣↓⊊∣ ∙ nf- KI/KT '-T—KHK' '— ....t ∙⇁−⋅∣ ↖↽∙∣ ∣ X X T T—Z-Z.(h). / II I I/32 non pluribus opus est ut intelligamus quod, expleta X + X + X '' _Y + Y + Y '' _Z + Z + Z '' x ' - 0 '' g'my '' z ''' - '' ( h'' ) ,'' obtinebit tertium ex requisitis illis ; componentes X” , Y'' , Z'' spectant ad vim Q '', coordinatae z ' ', y, pun. clum K ''' . Designantibus demum X '''' , Y Y ' '', '' , Z '' componen tes in ordine ad Q'' , expletisque X + X + X '' + X '' = 0 , Y + r' + '' + I'' = 0 , 2 + 2 +2'' + Z '' = 0 , ( h '' ) manifeste obtinebit quartum simulque quintum ex requisi tis ad aequilibrium. Sub novem igitur distinctis condi tionibus propositum quatuor virium systema consistet in aequilibrio: si quinque darentur vires , undecim prodirent conditiones; generatim 2 n + 1 conditiones quoad n vires. Collatis primis ac secundis membris formularum ( h) , (h') , ( h'') , emergent Y ( 2 - x ) – X (y - ) = 0 , ( Y + Y') (a' - '' ) – ( X + X ') ( 7'- , ' ) = 0 , ( X + Y' + Y '') ( ' < '' ) — ( X + x ' + X '') (y '' , ' ') = 0;'' quarum summa praebet xY_yXfwY — y'X ' + x '' Y '' —y '' X '' + '' ( X + X' + x '') — x '' ( Y + Y ' + Y '' ) = 0 , ∃⊈∙ non pluribus Opus est ut intelligamus quod, expleta x-1-xq-x'Q—v-1-rq-rff—z-i-zq-z'' W,), xli—xlli J/l ∙∙⇁ 7'', z''—z''' obtinebit tertium ex requisitis illis; componentes X'', ?'' , ⋅ Z'' spectant ad vim Q'', coordinatae x'''. '', z''' ad pun- ctum K'' . Designentibus demnm X''', ï''' , Z''' componen- tes in ordine ad Q''' , expletisque \sum∙⊦\sum∣∙⊢\sum∦⊹\sum∣∥∶∶∘∙ T .l-T-l-TII—l- III,: 0 , (hi/I) Z-i-ZIä-le-l—ZIflzo' manifeste obtinebit quartum simulque quintum ex requisi- tis ad aequilibrium: Sub novem igitur distinctis condi-* tionibus propositum quatuor virium systema consistet in aequilibrio: si quinque darentur vires, undecim prodirent conditiones; generatim 2 n ⊣− ↿conditiones quoad :: vires. Collatis primis ac secundis membris formularum (I:), (b'), U;'' ) , emergent ?(x—x') —X (?'—?') −∙−−−∘ ∙ ( ï—l— !' )(x' ∙∙∙ x'')—( X-l-X') (r'—y'') :o , (HF-IJ'') (x''-— ∣∣∣≻⊣≖≖−⊦\sum∣−⊦\sum∥≻ (y'—y''') −−− .; quarum summa praebet xy-Jx-Jlïl—y/X/ :'' ï''—y''X''—l—y'''(X XLI-X'') ∙−⋅ ↕∣∣∣≼↕⊹⊺∣⊹↕∥≻ :0 ,33 seu , ob primam et secundam ( hm) , -Y yXTY'y'x + x'Y'' _7 / X '' + x '' I '' —7'''X ''''' Simili modo collatis primis ac tertiis membris ipsarum ( h) , ( h') , ( h'' ), attentisque prima ac tertia ( h '''') ; itemque col latis secundis ac tertiis membris earumdem ( h ) , ( h ) , ( h'' ) ,'' attentisque secunda ac tertia ( h ''') , assequemur''' xZ - 2X + « Z_z'X' + x'Z'' _z''X '' Tx '' Z '''' —Z'y'' = 0 ,'' 32—3Y + y^2?–49 + ''Z'' >''Y '' +y '' Z'' — ;'' Y'' = 0 . Conditiones videlicet aequilibrii ( 13. 8º. ) quoad systema punctorum lineis rigidis inter se firmiter connexorum in cluduntur in conditionibus aequilibrii quoad propositum systema habens formam variabilem .

De centro gravitatis.[recensere | fontem recensere]

17. Constat experimentis corpora jugiter sic tendere, seu gravitare in tellurem, ut sibi commissa descendant verticaliter in eius superficiem, gravitas ergo, seu vis unde provenit iste verticalis descensus, eatenus haberi poterit pro sibi ad sensum parallela, quatenus licebit superficiem illam habere pro physice plana: constat insuper experimentis omnia quaevis corpora eodem tempore idem spatium verticaliter in vacuo percurrere, idest aequali velocitate ex aequali altitudine perpendiculariter ad horizontem descendere. Inde sequitur vires gravitatis in diversis corporibus esse illorum massis proportionales, et corpus quodlibet spectari posse tanquam aggregatum materialium graviumque particularum, quae gaudeant parallelarum virium proprietatibus: centrum virium parallelarum (12) in casu dicitur centrum gravitatis. Resultans ex omnibus gravitatis viribus, quae vigent in corporis particulis, vocatur corporis pondus; transit constanter per gravitatis centrum, et directionem obtinet horizonti perpendicularem.

Porro si massula indefinite parva apud datum corporis punctum dividitur per respondens volumen , ratio vocatur corporis densitas apud illud punctum; diciturque corpus vel homogeneum, vel heterogeneum prout apud singula corporis puncta est vel eadem, vel diversa; in corporibus homogeneis ratio est eadem ac ratio inter totalem corporis massam et ejus totale volumen; pondusculum massulae , utpote proportionale ipsi , exprimitur per ductam in quandam constantem ; ratio appellatur specifica corporis gravitas apud praefatum punctum; estque densitati proportionalis.

18. Notetur illud: etsi corpus gravitate sua jugiter sollicitatur deorsum; hoc tamen non officit quominus adhuc (2) dicatur corpus de se et natura sua indifferens ad quietem vel motum. Gravitas enim est dumtaxat vel aliquid extrinsecum corpori, vel illi intrinsecus additum, non autem aliquid eidem essentiale. Patet, quia vel nomine gravitatis intelligitur vis quaedam, qua corpora versus terram urgentur, vel vis qua tendunt ad determinatam quamdam spatii immobilis partem. Non hoc secundum, quia eo ipso casus purus admitteretur contra principium rationis sufficientis, cum nulla appareat ratio cur mobile ad hanc potius partem ferri debeat quam ad illam, cum spatium ubique sit homogeneum; ergo primum erit dicendum: sed si ita est, certe gravitas non est corporibus essentialis; nulli enim corpori essentiale est ut sibi caetera coexistant, ac proinde unum potest existere quin existant caetera, et consequenter etiam quin existat terra.

19. Dato centro gravitatis corporis, facile definitur utrum corpus in dato situ extra lapsus periculum constitui possit. Nam ex eo centro demissa ad planum horizontale recta perpendiculari, quae vocatur linea directionis, si haec intra basim cadat, corpus extra lapsus periculum erit positum, secus ruet in eam partem in quam perpendicularis recta dirigitur. Hinc patet ratio cur turres aliquae inclinatae non cadant, ut sunt Bononiensis, Pisana etc: linea scilicet directionis extra ipsarum basim non excurrit. Hinc etiam valde pingues, et qui magnum aliquod onus brachiis complectuntur, retrorsum; gibbosi autem et bajuli antrorsum; qui dextra pondus aliquod sustinent, sinistrorsum; qui vero sinistra, dextrorsum inflectuntur. Per hanc scilicet declinationem efficiunt ut linea directionis transeat per spatium, quod inter pedes continetur; quod spatium est basis corporis humani. Eamdem ob caussam si quis velit ex. gr. dextero pede stare, crus inclinat paullulum dexteram partem versus, nec diu haerere potest in eo statu , quia cum basis totius corporis sit unus dumtaxat pes, linea directiouis facile potest basis tam anguslae limites praetergredi. His autem corporis nostri flexibus ac librationibus ita ab infantia assuevimus usu continuo ut nec advertentes recto illas ordine peragamus. Patet hinc denique cur aves uni pedi insistentes dormire solent capite sub ala recondito; id nempe faciunt ut linea directionis intra pedis cui insistunt latitudinem servetur.

20. Centrum gravitatis inveniri potest vel ratione mechanica, vel ratione, algebraica. Ad primam quod attinet, si corpus aliquod filo suspendas, volvetur converteturque donec in aequilibrio tandem consistat, et filum ad terrae superficiem perpendiculariter dirigatur. In hac perpendiculari, quae est linea directionis per quam centrum gravitatis corporis tendit, erit centrum ipsum. Iam notetur linea a filo perpendiculari in corpore designata, rursusque ex alio puncto suspendatur corpus, et facto aequilibrio linea perpendicularis pariter notetur. In communi duarum linearum intersectione reperietur quaesitum centrum. Ratio algebraica desumitur ex dictis ( 13.2.ºa" ): sumantur nempe vires proportionales massis , ..... punctorum, quibus applicitae sunt; hoc pacto, ad positionem centri gravitatis determinandam exsistent

Si corpus intelligitur divisum in varias portiones dimensionis finitae , et earum massae denotantur per , adhuc valebunt formulae (b); nihilque aliud erunt , ... nisi coordinatae centrorum gravitatis illarum portionum. Si corpus ponitur insuper homogeneum quoad omnes partes, erunt massae ut respondentia volumina; poteruntque haec illis substitui in formulis (b) : quisque videt coordinatas , ex (b) haud pendere ab intensitate gravitatis. Caeterum plures sunt casus, in quibus centrum gravitatis absque formularum subsidio immediate cognoscitur. Sic in linea recta centrum gravitatis est medium ipsius rectae punctum: in parallelogrammo punctum, ubi binae diagonales se mutuo secant: in circulo centrum figurae: in cylindro habente bases parallelas punctum medium axeos: in parallelepipedo punctum, ubi quatuor diagonales se mutuo secant: in sphaera ipsum magnitudinis centrum.

In triangulo centrum gravitatis est punctum illud, ubi sese invicem secant rectae lineae, quae a duobus trianguli verticibus ducuntur ad puncta media laterum oppositorum: cum enim (Fig. 15) dividat aequaliter rectas omnes lateri parallelas, et rectas omnes lateri parallelas, reperietur centrum gravitatis areae triangularis tam in quam in ; ideoque erit in . Jamvero ducta , ea exsistet parallela lateri ; et consequenter triangula erunt similia; hinc

sed, ob et , est DE = ; igitur ; ac proinde ; et .

In pyramide triangulari (Fig. 16) erit centrum gravitatis; ubi nempe se mutuo secant binae rectae , quae ex et ducuntur ad centra gravitatis et triangulorum . Secetur enim pyramis,

1.º planis parallelis triangulo ,

2.º planis parallelis triangulo ; transibit per centra gravitatis omnium illarum sectionum triangularium; transibit per centra gravitatis omnium harum. Ergo pyramis habebit suum gravitatis centrum tam in quam in , et consequenter in . Ducatur nunc ; erit parallela rectae , et triangula similia praebebunt Sed, ob et , est ; ideoque ; igitur , et .

De corporum collisione[recensere | fontem recensere]

21. Quaestio de corporum collisione eo redit, ut datis velocitatibus ante collisionem, determinentur velocitates post collisionem. Corpora sese collidentia assumimus sphaerica, et in singulis stratis concentricis homogenea; in quibus proinde corporibus centrum gravitatis erit ipsum magnitudinis centrum. Corporum sese collidentium centra vel moventur in eadem recta, vel in diversis rectis; in primo casu collisio dicitur normalis, in secundo obliqua.

22. Invenire velocitatem , quam habent duo data corpora non elastica post normalem collisionem, datis eorum velocitatibus et ante collisionem. Dicantur corporum massae; erunt quantitates motus ante collisionem: eatenus corpus subsequens agit in antecedens quatenus hoc lentius illo movetur, adeo ut perseveret actio donec ad aequalitatem velocitatis deveniatur; unde velocitas post collisionem erit communis, et aequalis in utroque: summa praeterea quantitatum motus est eadem ante et post collisionem; velocitas autem obtinetur dividendo quantitatem motus per massam. Ergo demum

Haec observentur:

1.° exprimit quantum velocitatis acquisierit corpus antecedens, quod ponimus esse ; et quantum amiserit impellens .

2.° consideranda erit pro lubito alterutra velocitas tamquam negativa, si corpora ex oppositis plagis adveniunt; hinc in formulis ubicumque ea inveniatur, signo contrario erit adhibenda - Sic v. gr. si massae directio habeatur pro positiva, sumenda erit negative, ac proinde .

3.° ponetur , si corpus impellendum quiescit; erit : hinc ferme evanescet si massa sit physice infinita respectu .

4.º numquam habebitur perfecta quies post collisionem si et in easdem partes oppositas, et velocitates sint reciproce ut massae, tunc , et consequenter habebitur perfecta quies.

23. Invenire velocitates corporum perfecte elasticorum post normalem collisionem, datis velocitatibus ante collisionem. Perspicuum est hujusmodi corpora sequi leges non elasticorum toto compressionis tempore, tum restitutionis tempore effectum hunc instaurari. Ergo facta partium restitutione inveniri debet in corpore impulso dupla velocitatis acquisitio; dupla vero celeritatis amissio in impellente. Itaque si dicantur r' ' et " velocitates corporis im pellentis et corporis impulsi post factam restitutionem , erunt ( 22) u " = V - 2 ( 0--0" ) = v - 2 my + ms mtm 2 mv tv (m ' — m) ( 9 ), m + m ( 1 vi " = 0 + 2 (0 " ~ v ) = 2 + 2 ( -v) mv + m's m + m 2 m ' ú tu (m - m ') (9) . mtm

24. Haec ex formulis (9) et (q' ) deducuntur .

1.• Si massae sunt aequales , elastica corpora post colli sionem movebuntur .facta velocitatum permutatione, Nam moveantur primo in eamdem plagam ; propter m = m' , for mula (9) abit in 2 m v' et ( 9 ') in 3,10 v' ; ergo etc. Rursus praeter m = m ' habeatur etiam v = 0 , hoc est cor 2 mo pus percussum quiescat; erit v = 0 , et v ' . = V ' ; corpus nempe percutiens post collisionem quiescet , et per 2 mv 2 m 2 m 2 m 1 39 moveantur, vel* alterutra solum quiescat :quod si collisio liat ad partes oppositas , et velocitates sint reciproce ut mas- sae, tunc v":o , et consequenter habebitur perfecta quies.

23. Invenire velocitates corporum perfecte elasticorum post normalcm collisionem, datis velocitatibus v', 0 ante col- lisionem. Perspicuum est huiusmodi corpora sequi leges non elasticorum tOto compressionis tempore, tum restitutionis tempore effectum hunc instaurari. Ergo facta partium re- stitutione inveniri debet in corpore impulso dupla velo- citatis acquisitio; dupla vero celeritatis amissio in impel- lente. ltaque si dicantur v'" et v" velocitates corporis im- pellentis et corporis impulsi post factam restitutionem , erunt (22) ' ' um:-D' --2 ('n'—v") :'--2 (,; ∙−−−−−−−−⋯⇂↓−⊢⋯∣∣↗ m −−⊢ m ) ..2 mv −⊢∣v (m' −∙∙ m) 'm ∙−∙∙ m' ∓∎∎∎∎∎∎ (9): W:w—l-2(v"—v):v-l—2 Maii:-31; -v) -"2mv—l-v(m-—m) (qr). m-l-m' J— 24. Haec ex formulis (q) et (q') deducuntur. ↿∙∘ Si massae sunt aequales, elastica corpora post colli- sionem movebuntur.fdcta velocitatum permutatione, Nam moveantur primo in eamdem plagam; propter m:m', for- mula (q) abit in 2 mv ' ∙ 2 '" 'v'"::«v p. . , et (q ) 111 10": :v ; ergo etc. a m ' - Rursus praeter m:m' habeatur etiam :::o , hoc est cor- - - ∣∣∣ tv 2 m "( pus percussum qutescat; er1t a::o, et a::: 'v ; m corpus nempe percutiens post collisionem quiescet , et per-40 cussum movebitur velocitate , quam percutiens habebat ante collisionem . Demum sibi mutuo occurrant : ubicumque ergo invenitur v , sumenda erit negative ; qua mutatione facta , habebuntur 2 mv 2 mv' 2 m v, et viv v' . 2 m Jam vides mutationes velocitatum exhiberi per ipsas litte ras , et ubi debeat etiam mutari directio , regressus expri mitur per mutationem signorum. 2.• Si statuatur series corporum perfecte elasticorum , ae qualium , se mutuo tangentium , et quorum centra unam rectam constituant , in primum autem quacumque velocitate incidat alterum corpus aequale , movebitur tantummodo cor pus ultimum , quiescentibus omnibus aliis . Quod si statua tur series corporum habentium massas in progressione geo m3, metrica m' , m, ... ; et caeteris quiescentibus, pri mum m' incidat in secundum velocitate v' , expriment m2 m ? m 2 m v' . m +m (m *:)*,~(m2 I ) m velocitates excitatas a primo in secundo , a secundo in ter tio , a tertio in quarto etc. Denotante igitur n numerum cor porum , movebitur ultimum velocitate 2 m' N- 1 I Cena ntmi ). 3. Quotiescumque corpus impellens minus erit corpore impacto quiescente , toties illud regredietur , uti patet ex formula ( 9 ) , posita v = o et m > m' . Quod si m = et v =0 , prodibit v = -1 , nimirum si globus minor ∢⋅∘cussum movebitur velocitate ,quam percutiens habebat ante collisionem. Demum sibi mutuo occurrant :ubicumque ergo invenitur :: , sumenda erit negative; qua mntatione facta., habebuntur 2mv " 2mv'

—-v,et'v :

2m ∙∙−−−∙⋅∙≀≀∙ 2m Iam vides mutationes velocitatum exhiberi per ipsas litte- ras , et'ubi debeat etiam mutari directio , regressus expri- mttur per mutat1onem signorum. 2." Si statuatur series corporum perfecte elasticorum, ae- qualium, se mutuo tangentium, et quorum centra unam rectam constituant , in primum autem quacumque velocitate incidat alterum corpus aequale , movebitur tantummodo cor- pus ultimum , quiescentibus omnibus aliis. Quod si statua- tur series corporum habentium massas in progressione geo- ∙ m! ma. metrtca m', m, ∙ ∙ ∙ ∙ "7, , m .; et caeterts qmescenttbus , prt- mum m' incidat in secundum velocitate v', expriment v,2m' ⋅∙ 2m' : ,( 2m' 3 m—l—m" 'v (m—l—m')", m-l-m' velocitates excitatas a primo in secundo , a secundo in ter- tio , a tertio in quarto etc. Deuotante igitur n numerum cor- porum , movebitur ultimum ⋅⋅⋮ velocitate ea" 3." Quotiescumque corpus impellens minus erit corpore impacto quiescente , toties illud regredietur , uti patet ex formula (q) , posita v :o et m m' . Quod si ut:ea et 9

o

, prodibit v'": -— v' , nimirnm si globus minor41 incurrat in globum immensae massae quiescentem , resiliet cum velocitate eadem , cum qua advenerat . 4.• Si duo corpora elastica occurrant sibi velocita tibus v , v ', quae massis m, m ' reciproce sint proportionales , eadem qua venerant velocitate ambo resilient. Etenim cum ex oppositis partibus corpora congrediantur , ac praeterea m : m ' :: v ' : v , in formulis ( 9) , ( 9' ) sumenda erit » negative , et ponendum mv = m' '; quibus peractis , obtinebitur v ' " = > " (m + m ) et viv=v Im + m no-tm Imtin -- 5. ° Ex ipsis ( 9) et ( 9' ) eruitur m'y's mula m 'ustomus: factum ex massa in quadratum respondentis velocitatis dicitur vis viva ; hinc in corporibus perfecte elasticis summa virium vivarum permanet eadem ante et post collisiopem .

25. Formulae ( 9) , (9 ') aptari possunt etiam corporibus, imperfecte elasticis , modo quantitatibus 2(v— mm Imus) my tms mtm et 2 ( mahu my + mv m + m --) substituantur (n+ m ( = m **)e (1+- ( Inv—-). denotante r rationem inter vim , qua partes sese resti tuunt , et vim comprimentem. Quantitas r experimentis de terminanda est in singulis corporum speciebus : fac ut m quiescat , sitque co ; erit post collisionem '" = -ru': unde , cognita velocitate v' ., qua m ' offendit in m , et velo citate negativa v , qua post impactum resilit , habebitur - 4 ⋅↣ ' 41 incurrat in globum immensae massae quiescentem , resiliat cum velocitate eadem, cum qua advenerat. 49 Si duo corpora elastica occurrant sibi velocita- tibus v, v', quae massis m, m' reciproce sint proportionales , eadem qua venerant velocitate ambo resilient. Etenim cum ex oppositis partibus corpora congrediantur , ac .praeterea ut :m'::v': 9, in formulis (q) ,(q' ) sumenda erit .9 negative , et ponendum m 9:m' v'; quibus peractis , obtinebitur v'": — v' (Z.—lm,) :-v'. et v":v (m )

v. ∙ ∙⊢⋯⋅ ⋯∙−⊦⋯ ∂∙∘ Ex ipsis (q)et.(q') eruitur m' v'"3-l- mv":: m'∎∣∣≖ -l-m vi: factum ex massa in quadratum respondentis velocitatis dicitur vis viva; hinc in corporibus perfecte elasticis summa virium vivarum permanet eadem ante et post collisionem. .

25. Formulae (q), (q')'aptari possunt etiam corporibus , imperfecte elasticis , modo quantitatibus . 2(v,—nw—-mlv) et/2 (mv-l-mlv m-l-m —v) mm substituantur (1 44) (v'. m.,-(.m'v') et≰↿⊹↗⋝⋅≼⋯⇂≩−−⋯⋅∣⇂≀∣ ∙∙∙∙∙ v) ∙ ∦⇂⊣−⋯≳ m—l—m denotante r rationem inter vim , qua partes sese resti- tuunt , et vim comprimentem. Quantitas r experimentis de- terminanda est in singulis corpürum speciebus :fac ut 11: quiescat , sitque :co ; erit post collisionem v'": - r v': unde , cognita velocitate v' ., qua m' olfendit in m, et velo- citate negativa v'" , ua post impactum resilit, habebitur '42

26. Ad collisionem obliquam quod pertinet , si corpora sibi mutuo occurrunt directionibus convergentibus bm , b'm ( Fig.17 ) et velocitatibus expressis per easdem rectas bm ,b'm ', resolvantur bm , b'm ', altera in duas by, ba, altera in duas b'y ', b'a', ita ut by, b'y' existant normales , ba vero et bá parallelae sint rectae m m corporum centra jungenti. Quoniam componentes b y , b'y' parallelae sunt tangenti TT ductae per punctum contactus, ab ipsis nullo pacto pendebit collisio, nullamque in collisione subibunt mutationem . Cor pora igitur sese collident velocitatibus ba = ym, b'a' = y'm '. Inventis itaque ( 23 ) v " , et v , sumptisque ex. gr. mf = y " , mi = " in recta y r', et ductis mv = by , m'ú = bóý , si complentur parallelogramma fv, iv', exprimentur per diagonales mf, m'i' tum velocitates , tum directiones corporum post collisionem. Haec autem ex modo dictis facile colliguntur;

1.º Si globus minime elasticus iacidit oblique in planum immobile, progredietur secundum directionem plani cum velocitate m'v ' ( = a'm '), quae ad velocitatem priorem b'm ' erit ut sinus anguli incidentiae b'm'y' ad radium.

2.º si globus fuerit perfecte elasticus, resiliet per m'z efficiendo angulum reflexionis z míy aequalem angulo incidentiae b'm'ý .

3.° quod si globus incidens sit imperfecte elasticus, resiliet ad angu lom i'm'y ', cujus cotangens ad cotangentem anguli inciden liae b'm'y ' ut r : 1 .

De motu rectilineo utcumque vario.[recensere | fontem recensere]

27. Nonnulla hic praemittimus ex analysi infinitesimali. 1.o Quantitas iniinitesima a: (minor videlicet qua- cumque data utcumque parva) censeatur esse primi ordinis ; «2 erit inlinitesima secundi ordinis; «3 iniiuitesima tertii; etc. 2." Inlinitesima a) dicetur esse primi ordinis si ra- ∙ G) ∙ ∙ ∙ a tno ∙ .. valorem habet (imtum , secund1 s1 ∙−− valorem obtinet ac «:43 similiter finitum , atque ita porro . Denotante generatim k valorem illum finitum , poterit infinitesima quantitas ordinis msimi exhiberi per w kam 3. Sumptis aliis valoribus finitis k,; ka, ... km , habentur pro aequalibus kmetkam tk , an- tkzam- ² + ... + kmiat kma km_ ,a et kam + kamer + ... + km_, & , kmed k * et kam + kamer t . tkm -rQ ?. etc .... ; admittuntur nimirum aequationes kam tka"-t ... tkm , at km km kam +k ,am -s +... +kimeza? + kmail km , 51 etc. quatenus differentia inter utrumque membrum est minor quacumque data quantitate alcunique parva. Huc spectat illud : quantitates infinitesimae , quaecumque eae sint, et quo rumcumque ordinum , absque ullo errore negliguntur prae quantitate finita : itemque infinitesimae quantitates altiorum ordinum absque ullo pariter errore negliguntur prae infini tesima quantitate inferioris ordinis. 4.0 Quantitates infinitae ( majores videlicet qua cumque data utcamque magna) cum possint exprimi person 43 similiter tinitum , atque ita porro . Deuotante generatim k valorem illnm finitum , poterit intinitesima quantitas ordinis msimi exhiberi per m::ka" 3." Sumptis aliis valoribus finitis k, , It,, ... k,", habentur pro aequalibus

, et kat'-I-k, ∝⋅⋅−≖⊣−≀∣≖∝∙−⋅≖−⊦ −⊦↗⊏⋅∙∙⋅∝−⊦∣⊏⋅⋅∙

∄⊄⋅⋅∙≖∘≖ et ka" ⊣− 1, ∘⋍⋅∙∙⋅⋅⊳⋅ ⊣− ⊣− r.,, a: - It,... «* et kat" −⊦ kp?" -]— ∙∙∙−∣⋅⋅ km., æ. etc-eoo ; . admittuntur nimirum aequationes ⋅ ' ↗⊄⊧∘↙⋅⊣−∣∁⋅⊶⋅∙−⋅⊣−∙∙∙∣−⊦↗≂⋅∙∙⋅⊄−⊦↳ ↿ ⋅ km . l kan-l-Ic,ac""-l--. "'l-kaum", hngua −⊦⋠⋅∙∙∙∸⇂⇉⊄∙−⋡↿ ⋅ « ⋅ etc. ∙ ∙ , . . .. ⋮∙ ; ,- ∣

quatenus differentia, inter utrumque membrum'est'minor quacumque data quantitate utcumque parva. Huc. "spectat illud :quantitates inünitesimae, quaecumque eae sint. et quo- ∙ rumcumque ordinum , absque ullo errore negliguntur prae quantitate finita :itemque infinitesimae quantitates altiorum ordinum absque ullo pariter errore negliguntur prae ⋮≖≖∅≖∙≖∃∙∙ tesima quantitate inferioris ordinis. ∙∡∙∘ Quantitates infinitae (majores videlicet qua- cumque data utcumque magna) cum possint exprimi per-;,44 tribuentur et ipsae in varios ordines ; illudque facile stabi lietur : quotcumque finitae quantitates tuto : negliguntur prae quantitate infinita ; quantitatesque infinitae ordinum in feriorum tuto etiam negliguntur prae quantitate infinita altio ris ordinis. Facto enim \beta . , et designantibus a, b,c, ... , 9 valores finitos , habebitur 1 . 0 a \betam + bBm - tom-> + ... +9\betato 1 EL -la + bw twat..tqomat ww . 5.- Si variabiles x, y sunt inter se per certam quam dam relationem ita connexae ut data v. g. X , inde possit valor y determinari , y vocatur functio quantitatis x ; ipsa vero x dicitur independens. Si relatio inter x et y expri mitur aequatione minime resoluta quoad functionem y habi tam pro incognita , y appellatur functio implicita ; quod si valor y detur expressus immediate per independentem x, vel talis obtineatur per aequationis resolutionem , y dicitur functio explicita. In aequatione v, g. yo -2xy + m2 =0 y functio implicita quantitatis variabilis x ; at facta re solutione , evadet y functio explicita ipsius x , duplicemque habebit valorem , scilicet y = x + Vx? m2 , Functio nes explicitae quantitatis x designari solent in hunc modum est - F ( x) , f ( x) , .. 6.0 Differenziale dx quantitatis x est incrementum infinitesimum , quod ipsi x adscribitur : differentiale vero dy functionis y = f (x ) est respondens incrementum f ( x + dx) - f (x ) .quod ob variatam x recipit in se functio illa : pro ponantur v. gr. invenienda differentialia functionum 44 tribuentur et ipsae in varios ordines ; illudque-facile stabi- lietur :quotcumque finitae quantitates tuto.: negliguntur prae quantitate infinita; quantitatesque infinitae Ordinum in- feriorum tuto etiam negliguntur prae quantitate infinita altio- ris ordinis. Facto enim þ: S;, et designantibus a,b,c, ..., q valores linitos , habebitur ∘∣⊰⋅∙⊣−∂↙⊰⋅⋅∙⋅≖−⊦∘≀⊰⊶−≖ −⊦⋅⋅⋅ ⊣−⊄∣⊰−⊦ . ∸−− te». "(a ∙⊸⊦bæ—l— ccc" −⊦∙∙ .-l—qm""' ∎∙−∣− r m'"). 5." Si variabiles æ,y sunt inter se per certam quam- dam relatidnem ita connexae, ut data v. g. a: , inde possit valor ]determinari ,; vocatur functio quantitatis se: ipsa vero «: dicitur independens. Si relatio intern- et y expri- mitur aequatione minime resoluta quoad functionem ]habi- tam pro incognita , ]appellatur functio implicita ; quod si valor y detur expressus immediate per independentem :, vel talis obtineatur per aequationis resolutionem , ]dicitur functio explicita. ln aeqnatione v,- g. ;" -—,2ay −⊢ ⇑∙∅:o est 7 functio implicita quantitatis variabilis z'; at facta re- solutione , evadet ] functio explicita ipsius a:, duplicemque habebit valorem, scilicet 7—:a:∶⊨ ⇂⋅∕⋅↕∙≖ −− m'. anctio- nes explicitae quantitatis a: designari solent 1n hunc modum ,F (x), f(x),... ⋅∙ 6."Dill'erentiale dx quantitatis x est incrementum infinitesimum , quod ipsi :: adseribitnr :differentiale 'vero dy functionis y:--f (x) est respondens incrementum f (x dx) —f (a:) , quod ob variatum se recipit in se functio illa: pro- ponantur v. gr. inVenienda difi'erentialia functionum45 at +6,9 +0,24+ Cisin x + C , cos x+c , tang x + C, log x + C , a ' tc , ubi a et C sunt quantitates constantes. Erit I. dy = [ alx + dx ) + ] - [ax + C ] = adx. a II.dy = [ f'da+ c ]- [* + c]atda X adot adx x2 + xdx . III.dy = [ ( x + dx)* + C]-[x4 +C]=ax“-'dx + 29, a'a- 1 ) 24-2d.22 t . ax-' dx . IV.dy = [ sin ( x + dx ) + c ]- [sinx + C ) = sin ( x + dx ) — sinx 2 cos 2xdx)sinh dz = 2cosx sind = cos xdx . V.dy = [cos ( c + dº + C ]- [cos.FC ] = cos ( c - day -cosx = 2 sin - (2x +dx)sin __ (x -x -dx) = sin xdx. VI.dy = [tang ( xtdx )+c] - [langat.C ]= sin ( x + 2x) cos(x + dx ) sinx cosxsin (xtdx)-sinxcos( x + dx ) sin ( x + dx - x ) cos2 cosx cos ( cdc ) cos2x 45 a'−⊦∁∙−⋮∙−∙⊹ C, æa-l- C,'sin a: ∙⋅⊢ C,cos æ-l-C, tang æ-l—C, logæ-l— C, ar-l-C, ubi a et C suntquantitates constantes. Erit l. dy: [a( æ-l—dx) ——C ]— [ux—I»- C ]:adæ. ∥⋅↙∣↗↗⊣⋤⋮⋅−−⊦ (i]—[?" C]— jd,— :— ∥∣∙↙∄∫⇋∶∐↕⊹≴≀↕≻⋅⊹∁⊐∙⋢∞⋅⊹∁∃≕∞≕∙∣↙≀↝⋍⊹↽∘↙↙⊑⋅∣≱↶∶⊄−≖∠≀↓⋅≖ "I- ∙ ∙∼ ∙ :aæ"-' dx. IV. a];:[sin(æ-l-dæHCI-[sinæ-l-C] :sin(æ-l—dæ)— aina:

2cos—;..(Zæ-l-dæ)sin-—;. dæ: a cosa: sin-;— dx:cos ædæ .

V.dJ:[cos(æ-l—dæ)-l-C]- [cosa: −⊢∁↥ ∙−−− cos (æ—l—dæþcosæ: 2sin :(ZPFdrþin-i—(æ-x-dx):— sin ædæ. Vl.dy::[tang ( .z—l-dæ ≻−∣−∁⋮∣ ∙ ⇂⊏∄∐⊰⊅⇥∙∁⊐ —8lll(æ..ll-rlæ) cos(æ—-dæ) aina: cosæsin(æ-l-dæ)-sinæcos(H—dx)— sin(.i—l—dx-æ) cosa: cosæ cos( æ ⊹∠≀∙↧⋅ ) coszx ⇁⇁−∙↼46 dx cos2 x VII.dy= [log(x-tdx)+ c]-[logo +C ]= log ( + ) dit 15 ( 1 +4x)dx _d2log [2 + } (1- dot) + 23 (1-4 )(1-2dt)+... ] det 103 ( 2 + + 43 + 234 + ...) dxlog [ 2 , 718281828 dx ] ; sumptisque logarithmis quoad basim 2 , 718281828 dx dy X istiusmodi basis solet exprimi per e. VIII.dy = [a ++dx + C ] - [ a * + C ] = a *+ x_qt = da? = a* d log (a *) = a * d [ x log (a )] = a * log (a ) dx. 70. Quantitas constans C, quaecumque ea sit, non in venitur in differentialibus: idemque proveniet differentiale sive differentietur v. g. sin x + C, sive sin x. dy 8º. In primo exemplo habemus a, dz cundo axe- ', in dy quarto dx dx - in se dy a in tertio dy dx x2 46 da: ∙∙∙∎∙∙↼⇁∙−⇁ ∞∘⇄∙⋍∙∙ ∇∥∙ ↙≀↨↶−−−∏∘⊰≺⊿↾∶∙∔⋞≀∙↕≻−⊦∁∃⋅⊏∣∘∷∞⊣−∁↿⇌ log ( ↿ .? −⊢↙∙⇣⋮⋮⋟⋮ dx —log (HE ↙↿−⋤⋅∶∙↙≀−≟−∅∣∘⊰∣∶≆⊣⊸≑−≺↿− ff): ⋮⇡↽≐≺↿−⋛≣≤ (fi-:): --]— da: ↿ ↿ ⊺⊅−∣∘⊰≺⊈⋅∙⊦−≆−⊣−≐−∙≡ 2..3 ∢⊯∎⊦∙∙∙ '): ≦−↕∣∘∥⋣∙ 718281828 ... ]; sumptisque logaritbmis quoad basim 2, 718281828 ..., . (II:—;: istiusmodi basis solet exprimi per e. Vlll'dy :[a"dx—I—C ]—[ax ∙−⋅⋅⊢∁⋮∣∶∅≖↤≖− ar: daJr:

a'd log (a'):axd [æ log (a)]:axlog (a) dt.

⋅70. Quantitas constans C,quaecumque ea sit, non in- venitur iu differentialibus: idemqne proveniet dili'erentiale sive dilferentietur v. g. sinæ ∙−∣⋅− C, sive siuæ. 80. In primo exemplo habemus ?: a, in se- x d d cundo a- . J ⊋−⋮⋮⋮ :— &, 1n tertio 23:01: ', 111 quarto 71:47 in COST in octavo dy dy cost , in quinto sin x, in sexto dx dx 1 septimo di die= a * loga . Quisque videt dy fore generatim novam functionem variabilis z : si ea denotatur per f(x) , erit 2 dx de = f( ), et dy = f ( z )dx . Functio f '(x ) appellari solet derivata ex primitiva f( x) : caeterum dx, seu differentiale variabilis independentis x, spectatur quidem ut quantitas infinite parva ; sed simul con stans atque arbitraria, 9º. Ex ivº, vº, et viº exemplo habemus d sinx d sinx da dx : dcosx COS X V sinx 1 - sinar dcosx 77- cosa a ' dx = cosa x d tang x = d tanga sec2 x dtang x 1 + langa x Aequationes istae in hunc modum scribi possunt dz dz darc (sin = z ) = darc(cos = 2 ) = V1 - Z V 1-22 dz darc ( tang = 2 ) 1 + z2 47 cosa: , in quinto ?; −∙−∙−∙ -—sinx, in sexto ⋛⋚∶≎∙⊂≐⊭−∙ in septimo g

-.::— , in octavo :::-ï :axloga. Quisque videt 217— fore generatim novam functionem variabilis :: si ea

denotatur per f(æ) , erit ngþ), et 47 :f(æ)dæ . l Functio f(æ) appellari solet derivata ex primitiva f(æ): caeterum dx, seu differentiale variabilis independentis x, spectatur quidem ut quantitas infinite parva; sed simul con- stans atque arbitraria. go, Ex "o, vo, et vi" exemplo habemus dsinæ dsinæ dccsæ dar.... ∶−−−−−⇀⋅−⇁−⋅ : .

⋅ cos 3" l/ 1

- sm'æ '"": & , dx:cos3xd tangæ: deosæ Vi-oos'x dtangx ∙∙∙ dtangx secaæ 1—i—tang3x Aequationes istae in hunc modum scribi possunt ' d dare (sin— !.):sz ,darc(cos——z)-—- V 132 , -zz ∙ 2 darc(tang:z): T'↶−≀≘≖−−?'48 10 ° . Sicuti ex y = f( x) obtinuimus ( 8" ) dy f ( x )dx, sic ex hac obtinebimus ddy = f' ( x) dxdx f '(x )dx?, ex qua rursus dddy = f " (x )dx dx ' = f " (x ) dr }, atque ita porro ; denotant fif ", ... novas functiones variabilis independentis x. Itaque si compendii causa e xhibentur ddy, dddy, ... per dy, dy,.. , profluent d d’y = f '( x ) dx?,dy = f " ( x ) dx3, dy= f (x) , da² d3y = f'" (r ) , ... : d.x3 assumpta v.gr.y = x ^, erunt f( x) = x ^ , f ( x ) = axa if '( ') =a ( a - 1 ) 219-2, f ( x ) = a (a - 1 ) ( a - 2 ) x4-3, . Differentialia dy , dºy , dy ,. . , itemque functiones deri vatae f (x ), f ' (x) , f " (x ), ... dicuntur primi, secundi, ter tii , ... ordinis respectu functionis primitivae y = f (x ). 11 ° . Quemadmodum data functione possunt quaeri ejus differentialia , ita vicissim dato differentiali quaeri po test functio unde illud promanal. Sint F (x ), f (x ) ejusmo di functiones variabilis x , ut exsistat F' ( x) =f( x) : quan titas F ( x) + C vocatur integrale indefinitum differentia lis f ( ) dx, designaturque praefigendo litteram ſipsi differen tiali , ut scribatur ſf(x) dx F ( x) + C ; exprimit C quantitatem ( 7 " ) constantem atque arbitrariam. 12° . Formula f ( x )dx ita sese aliquando exhibet, ut statim appareat eam esse differentiale cujusdam da tae functionis ; tunc vero in promptu est integrale: atque hoc pacto habemus ( 6º . 9° ) f (a + 1)x*dx ******+. C,unde fredr = xati atito 48 100. Sicuti ex 7:f(x) obtinuimus (80) d] ∶∙∙−−⋅ f (æ)d.r, sic ex bac obtinebimus ddj : f '(æ) dædæ : f'(x)dæ', ex qua rursus dild]:f"(æ)dx dæ' :f'"(æ) dx3, atque ita porro; denotant f,f ", ... novas functiones variabilis independentis æ. Itaque si compendii causa e- xhibentur ddy, dddy, ... per dy, d37 ,. ., profluent dïy &? d')" :f'(x) da.",dfly :f" (æ) das-3, ...,

f'(æ),

113! dæ3 :f'"(.r),...: ∙∙⋅⋅∙⋅ assumpta v. gr.y:æ", erunt f (æ):æ',f' (x):ax"',f'(a-)

a(a — 1) x"",f" (x):a(a—1)(a—-2)x"3, ....

Difаerentialia dy, diy, d3y,. . , itemque functiones derivatae f(x), f'(x) , f"(æ) , ... dicuntur primi, secundi, tertii, ...ordinis respectu functionis primitivae y:f(x). 110. Quemadmodum data functione possunt quaeri eius differentialia, ita vicissim dato differentiali quaeri po- test functio unde illud promanat. SintF(x),f(æ) ejusmo- di functiones variabilis x, ut exsistat F'(æ):f(x): quan- titas F(x) −−∣− C vocatur integrale indefinitum differentia- lis f (.r) dar, designaturque praefigendo litteram ]ipsi differen- tiali, ut scribatur ff(æ)dæ:-—F(æ)—1-C; exprimit C quantitatem (70) constantem atque arbitrariam. 120. Formula f(x)dx ita sese aliquando exhibet, ut statim appareat eam esse dili'erentiale cujusdam da- tae functionis; tunc vero in promptu est integi—ale: atque hoc pacto habemus (60. 90) a & a-l-l C :: xtt-H f(a—1-1)æ dx:x ∙⋅∣− ,undefæ dx: ∉⊋∙∙⊦∙∙∙∓ ⊹∁⊒ï49 QCx ſalog/a)d(c== q** + C, unde ſe*dx =clogiastc

dx S = arc ( sin = x ) +C ; V 1 - 22 Sa dx 1 + x2 = arc ( tang = x ) + C. 130. Interdum formula f (x )dz, de cujus integra tione non constat , per quasdam substitationes transfor matur in aliam , cujus integrale illico cognoscitur. Sic. v . gr. positis ax = 2 , - = z ,assequimur a dx dz 1 Si Salita = 14a²x² arc ( tang == z) + C = 1 arc ( tang = ax ) + C , Sa dix 22 ta 1 Sat dz a (1 + z2) arc ( tang = 2 ) + c = a -a arc tang * + c, -Svador - Svado --Svet ( cos = ) + c arc ( cos = z ) + c = arc fa"log(a)d(cæ):a" —]—C,undefa" dx: -ac dx - ⇂∕↿∙−⋅⋥∎⊑ :arc (sin :x) −⊢∁≂ f 1112 :arc( tang:x )-l-C. 130. Interdum formula f(æ)dx, de cujus integra- tione non constat, per quasdam substitutiones transfor- matur in aliam, cuius integrale illico ougnoscitur. Sic. .. æ . '. gl'. POSIUS nær-z.;— Zoasaequlmur dæ ⇀∙∙− dz 1 — ∙−− fl'l'a'æ' a(1-I-za) a "c (tang—z)-[-C—.. dx xï-l-a dz 1 faU-l—z') − a arc(tangzz)-I-C: ↿ —a.arc (tang :ax)-[- C,] —— .— —1-arc( tang : −⋅⋮− ⋟⊹ C, et f dx ] adz ] dz ∙∙∙ [fas-xa ∣∕ ∅≖∙∅≖≖≖ −⇀ ∣∕↿ -zz arc(cos:z)-1-C : arc(cos :?) ⊹∁∙50 140. In integrali indefinito ( 11 °) adhibeantur suc cessive pro x peculiares valores xo, x n , ac dein ab F ( zn ) + C subtrahatur F ( x ) +C ut , eliminata C , prodeat F (xn) - F ( xo) : ejusmodi differentia vocatur integrale de finitum differentialis f (x ) dx , sumptum videlicet ab x = а " x Xo xh ſ p(x)dx = F(wow )— F( xo ) . Xo Hinc v. gr. a dx jederati 7T a o Variato altero ex binis limitibus v. gr. x ny variabit ipsum quoque integrale ; et adhibita x pro xmo erit X ſ f(x)dx= F ( x) — F ( xo ) : Xo habebitur videlicet integrale illud , quod incipit ab xo , quodque evanescit facto x = x,: et quoniam aff(x)dx = d [F(x)-F(xs)] =dF( x) =f ( x) dx ; X. iccirco X S SP(x)dx = Sp«x ) dx + c . X. 15 °. Sit arcus infinitesimus ABEH ( Fig. 18 ) , et in eo chordae infinitesimae AB , BE , EH , quarum prima 50 140. In integrali indefinito (110) adhibeantur suc- cessive pro x peculiares valores xo, x,, , ac dein ab F (x,) −⋅∣− C subtrahatur F(xo)-I-C ut, eliminata C, prodeat F(x,,)— F (x,): eiusmodi differentia vocatur integrale de- finitum differentialis f(x)dx, sumptum videlicet ab x: x" x, ad x:æ, ,designaturque per [f(x) dx, ut scribatur æo xn ] f(æ)dx :P(æ.) — P(æ. )- æo Hinc v. gr. [ a fa,-' dx: ..-.-..-—1 J'EL : -E- a-l—1 ' xï-l-aa a. 0 0 Variato altero ex binis limitibus v. gr. x,, variabit ipsum quoque integrale; et adhibita x pro x,, erit .? faa-w.r: ∌⇁≺∙↿∶≻−−∙≖⊸⇁≺∞∘≻≃⋍∙ æo habebitur videlicet integrale illud, quod incipit ab x., , quodque evanescit facto x: x,: et quoniam &? df/(x)dæ:d[F(x)-F(æ.) ]:dF(æ) :f(æ) dx; xo iccirco fff(-1')dx:ff( x ) dxH—FC. ↿⋅⇂⋝∘⋅ x., Sit arcus iniinitesimus ABEH( Fig. 18 ), et in eo chordae infinitesimae AB, BE, EH, quarum prima51 SUC: ac tertia producantur donec concurrant in D. Quoniam an guli DBE, DEB sunt infinitesimi, angulus quoque ODE erit infinitesimus: designetur iste angulus per i , et fiant odest e de BD = es BE = c , DE b ; habebimus lur 62 =a +62 – 2ab cos ( 180° -1i ) = a + b2 + 2 ab cos i = a : + 62 + 2 ab- 2ab + 2 abcosi = (a + b )2 2 ab ( 1 — cosi ) =( a + b )2 – 4ab sin ’ şi , unde

1

4ab sin _ i = 1 (a + b ) ( a + b )2 ariabi et consequenter [1 - ( +5)*] sinº in = - = [ - (-3 ) ]su'_

[" - )*]*sist i -....

2 + b ban Differentia nimirum inter unitatem et rationem c ad a + b consistet in terminis duntaxat infinitesimis , quorum ordines excedunt omnes ordinem primum . 16º. Idipsum a fortiori dicendum de differentia inter unitatem et rationem ipsius c ad subtensum arcum BmE ; siquidem BmE <a + b et > c. Inde fit ut et ar cus infinite parvus censealur aequalis respondenti chor dae , et curva quaevis spectetur tamquam polygonum coa lescens ex laterculis infinitesimis numero infinitis, et isto. rum laterculorum prolongationes habeantur pro totidem tangentibus apud varia curvae puncta. rini ⋅ 500 (I.] 0an ede- lur anali bf" Lr; (im! 51 ac tertia producantur donec concurrant in D. Quoniam an- guli DBE, DEB sunt infinitesimi, angulus quoque ODE erit infinitesimus: designetur iste angulus per i, et fiant BD—fd, BE:c, DE:6; habebimus ea :a: ⊹∂≖ —2abcos(180'-'—-i) :03 ∙−⊦ 63 −∣− Zabensiz—maa-i-ba -l-Zab—Zab-l-2abcosi :(cs-Fb):— Zab,(1—- cosi):( a --[-b): - 4absin* −≧−≀⋅∙ nnde c*— 406 (a- -b)' ∙∙∎∙∙∙∙∙∶↿∙∙∙ . (a -l-b)3 sin ∙⋮−∎ a—ö a .

,

. [1 (—r—b)]sm;-h et consequenter c ⋍↿∙−−∶∙−∣∶↿ −≺∅≆≴≻≖∃ aina-Li— a b a ∸⋇⋅∣∶↿ 3 −≺⋮−⋮−−⇣∙≑≻≏∃≏∘⋮∎≖∣⇩ ..;-i ∙−− ∙ ∙ ∙ ∙ DiEerentia nimirum inter unitatem et rationem c ad a −⊦ & consistet in terminis duntaxat inünitesimis, quorum ordines excedunt omnes ordinem primum. 160. Idipsum a fortiori dicendum de differentia inter unitatem et rationem ipsius (: ad subtensam arcum BmE ; siquidem BmE a −↿− 6 et 0. Inde Et ut et ar- cus infinite parvus censeatur aequalis respondenti chor- dae, et curva quaevis spectetur tamquam polygonum coa- lescens ex laterculis infinitesimis numero infinitis, et isto- rum laterculorum prolongationes habeantur pro totidem' tangentibus apud varia curvae puncta.52 17º. Fac ut aequatio y f( x) pertineat ad cor vam ABD ( Fig. 19 ) et sumptis coordinatis orthogonali bus, sit abscissa OG = x, ordinata CB = y , infinitesimum abscissae incrementum CC = dx : ducta per C' alia ordinata C'B' , et per B lineola recta Bm parallela axi abscissarum OX, erunt B'm = dy , Bm = CC = dx. Pone tangentem BE occurrere abscissarum axi in E , normalem vero BH in H; triangula rectangula et similia BEC , B'Bm , BCH dabunt ydy

tang E - tang B'Bm dy, ce = ydx CH dx dy dx CE dicitur subtangens, CH subnormalis. 18º. Ob auctam x area curvilinea BCa'a recipit incrementum infinitesimum BB'C'C; est autem BB'C'C = dx (rty + dy ) = dxdy ydx + 2

ydr: 2 facta igitur Oa' = xo , erit BCa'a- j^ydx = ${( )dx Xo Xo Area BCa'a manifeste traduci polest ad rectangularem a ream sub ejusmodi lateribus , quorum alterum sit differen alterum vero ordinata quaedam ym media in ter ordinatam aa' respondentem abscissae xo et ordina tam BC respondentcm abscissae x : propterea tia c Xo , X ſ ydx = ( x - X . \ 'm , seu S f (x )dx = ( x - x . ) f ( xm ) . X. Xo Eadem area BCa'a spectari potest veluti summa ex infini tis numero infinitesimis areolis rectangularibus 52 170. Fac ut aequatioy : f (et) pertineat ad cor-- vam ABD( Fig. 19) et sumptis coordinatis orthogonali— bus, sit abscissa OG:x. ordinata CB: , infinitesimum

abscissae incrementum CC':dx :ducta per 0alia ordinata C'B', et per B lineola rectaBm parallela axi abscissarum OX, erunt B'm:dy , Bm:CC':dx. Pone tangentem BF. occurrere abscissarum axi in E, normalem vero BH in H; triangula rectangula et similia BEC , B'Bm, BCH dabunt J—— , tang E: tang B'Bm : .. £,CF—Jjæ (31:731: ' ] .L' CE dicitur subtangens, CH subnormalis. 180. Ob auctam x area curvilinea BCa'a recipit incrementum infinitas-imum BB'C'C; est autem ⊞∍⋅∁∙∁−−−−↙⋚∁≺⊺ −⊢∫ ⊣−↙≀∫ ) ∙−−∶ ydx −⊢ ∂⋅⋅↕−⋮↨−↗− :ydx-l— [figi-£ :ydx: facta igitur Oa':x., , erit x x BCa'a:fydx :ff(x)dx. xo xo Area BCa'a manifeste traduci potest ad rectangularem a- ream sub eiusmodi lateribus , quorum alterum sit differen- tia x —-xo , alterum vero ordinata quaedamym media in- ter ordinatam aa' respondentem abscissae an. et ordina- tam BC respondentem abscissae x: propterea x ⋅ x fydx: (x -e-x., ly,", seuff(x)dx:(x—- x.,)f(x,,, ). x., . xo Eadem area BCa'a spectari potest veluti summa ex infini- tis numero inlinitesimis areolis rectangularibus53 f ( x ) dx , f ( x +dx ) dx , COP f ( xo +2dx ) dx f ( x — dx ) dx ; nali imum Binala . sarum ubi nibil sunt aliud f (xo) , f( x + dx ), f (xo + 2dx), ... nisi ordinatae respondentes abscissis xo , xo + dx , to + 2 dx , Quare entem in Hi; bunt C ſ f(x).lx = f(x )dx + f( xo + dx)dx + Y : Xo fl xo + 2 dx )dc + . + f ( x -dx )dx. recipé 19º. Ponatur arcus aB = s , ejusque incrementum infinitesimum BB' = ds; quoniam BB'2 = Bm2 + B'ma, erit 2 ds = dx= + dy ,ideoque s= V dx=+dya = X. jäevitro Xo Tema iffere dia is ordin 200. Circulus habens communia cum curva CC ( Fig. 18 ) duo proxima latcrcula v. gr. AB et BE, dici tur osculator: sit O centrum istius circuli, BO ( r) ra dius, OʻK et O'K' perpendicula ex O ducta in AB et BE , i angulus OBE , ds' et ds infinitesimi arcus laterculis AB et BE subtensi, alter spectans ad circulum osculatorem , al ler ad curyam CC' . Quadrilaterum KOʻKB praebet angu lum KO'K ' = 180° — KBK' ; sed KBK' = 180°-OBE = 180° -1 ; igitur KOK' = , et consequenter ds' = r( KOK' ) = ri' . Est autem ( 16 ° ) ds' = ds : propterea infini mali- imum linat: arua entem Liuii; ↽ bum ⇟⇁∙∎↘⊰ .. recipi rem ? illerä dia i? orzlïm' inüw' 53 f(xo)dx,f(xo-I-dx)dx, f(xo—l—2dx)dx,. . ..f(x—dx)dx; ubi nihil sunt. aliud f (..-.,) , f(xo—l-dx), f(æQ—l-2dæ). .. . nisi ordinatae respondentes abscissis xo , xo -l-.dx , xo −∣− de, . .. . Quare æ J. f(x)dx :f(xo)dx −⊢∙∣≼ xo-l-dx )dx ∙−∣− ∙↾≀⋅⋅∘ f(xo-l-2dx)dx −⊦ ∙ ∙ .. -I-f(æ-dx)dx. 190. Ponatur arcus aB: :. ejusque incrementum iniinitesimum BB':ds; quoniam BB'a :Bma—l-B'ma ∙ erit x d:":dxï-l-dyïddeoque s:f V de-l-dy ∶−∙⋅−∙ æo x ⋅∣∙↙≢∙↿∶⇂∕↿∙∙⊢∣⇃≖≼⋅≖⋅⋟∙ . xn ⋮⋅⋅ 200. Circulus habens communia cum curva CG' ( Fig. 18 ) duo proxima latercula v. gr. AB et BE, dici- tur osculator: sit 0' centrum istius circuli, BO' (:) ra- dius, O'K et O'K' perpendicula ex 0' ducta in AB et BE,

" angulus OBE, 'ds' etïds-iniinitesimi arcus later-culis AB

et BE subtensi, alter spectans ad circulum osculatorem, al- ter ad curvam CC'. Quadrilaterum KO'K'B praebet angu- lum KO'K':1800 −− KBK'; sed KBK':1800—OBE: 180o — i' ; igitur KOK':i' , et consequenter ds": r( KOK') :ri'. Est autem ( 16o ) ds':ds: propterea54 ds 21.• Curva CC' sit plana ; exhibeaturque per y = f (x ), sumptis abscissis x in RX ( Fig. 20) . Erit i = Q a = - (-a) = - dx , ideoque ( 170) ds ds d x darc ( tang dy - dx ) Jamvero (90 ) dy darc ( tang ) a dy dr dy² dx² df ( 30) 1 + f ? (x ) f (x ) dx ; 1 + f ? ( x ) dx igitur [1 + F2(x) ] } f " ( 3) 22.• Si ordinata y in curva y =f ( x) fit alicubi maxima vel minima, exhibeaturque respondens abscissa per Xn , quisque videt angulum interceptum tangente geometrica et positivo abscissarum axe fore acutum vel obtusum pro ut punctum contactus habuerit abscissam x < vel > xn in casu maximi , > vel < x , in casu minimi , fore autem in utroque casu = o ubi punctum contactus habuerit abscissam x = x , Inferimus illud ( 8º. 170) : functio f (xn) est maxi ma quotiescumque f ( x) < o quoad x = x + w ( denotat a quantitatem infinite parvam >0 ) , et f ( 2) > o quoad x = xn - W ; est minima quotiescumque 54 21 ∙∘ Curva CC' sit plana ;exhibeaturque per :7 f (x), sumptis abscissis x in RX (Fig. 20). Erit :" a— a': —(a'- a): — dx , ideoque (170) ds- ds ↗−− dx— dy darc(tang:ä-; Iamvero (90) - si! darc(tang:i-'r .— dx ∙− ↙≀∣↬≺∙↿∶∟∙∙− f (adde; dx −−↿ ,dJ' 1-t-f'(æ) l*f'ix) dx' igitur 3 [1 ⊣∙↾↔≖ (æ) ] ∶⊸∙ f" r— (æ) 22.0 Si ordinata ;- in curva ;-:[(x) (it alicubi maxima vel minima, exhibeaturque respondens abscissa per x,, , quisque videt angulum interceptum tangente geometrica et positivo abscissarum axe fore acutum vel obtusum pro- ut punctum contactus habuerit abscissam x(vel )x,, in casu maximi , )vel (x,, in casu minimi , fore autem in utroque casu: 0 ubi punctum contactus habuerit abscissum x:x,. Inferimus illud ( 80. 170) :functio f (x,) est maxi- ma quotiescumque f (x) (o quoad x :. x,, ↼⊢ co (denotat a quantitatem infinite parvam )o ) . et f' (x) )o quoad x :x. — a) ; est minima quotiescumque55 f (x ) < o quoad x = x, — W, et f ( x ) > o quoad x = X'n tw ; valores X c.quibus respondet maxima vel minima f( xr ), quae rendi sunt inter radices aequationis p' ( x) In Si f ( x) maneret aut constanter negativa , aut constan ter positiva, dum x versatur in viciniis x m , certe f ( x ) neque maxima esset , neque minima . Ad haec : quoad casum maximi, crescente x in viciniis decrescit f' ( oc) , decrescente x decrescit f ( x) ; ideoque df ( x) < 0 , seu f" ( 30 ) <0 . Quoad casum vero minimi , dx crescente x crescit f (x) , decrescente x decrescit f ' (x ), et af' ( x) consequenter > o seu f ( x) >o . 23. Functiones plurium variabilium independen tium x , 2 , u , ... designantur in hunc modum dx F ( x, 2, Ú, ... ) _f ( x, 2, U, ... ) , ... Ponatur j = f (x ,2 , 9-9.) : si quaevis una ex quan titatibus x, 2, u, spectetur uti variabilis et habeantur cae terae pro constantibus , poterunt differentialia functionis u eodem manifeste modo determinari ac differentialia functio num quae ab unica pendent variabili. Ejusmodi differentialia dicuntur partialia , ipsaque sic exhiberi queunt , ut det , draf . d. , dal , ... denotent differentialia functionis fe , primi , secundi ... ordi nis quoad x , quoad 2 , ... Ad partiales functiones derivatas quod pertinet , eae poterunt sic exprimi , ut per 55 f(x)(oquoad x:x,,—-o),etf (x))o quoad x: a'.—FG); valores x,,,quibus respondet maxima vel minima f (x,,) , quae- rendi sunt inter radices aequationis ,'(æ)::00 Si f (x) maneret aut constanter negativa , aut constan- ter positiva,-dum x versatur in viciniis xn, certe f (x,) neque maxima esset , neque minima. Ad haec :quoad casum maximi, crescente x in viciniis x,, decrescit ]" (x) ,decrescente x decrescit f' (x); ideoque df (x) dx 0 .- seu f" (x) (o. Quoad casum vero minimi , crescente x crescit f (x) , decrescente x decrescit f' (x) , et consequenter (IS .(ræ) )o seu f" (x) )o. 23." Functiones plurium variabilium independen- tium x ,z , u, designantur in hunc modum F (x, :, ti, ...) ,f( x, :, u, ... ) , Ponatur p.: f (x, :, a.,.,.) :si quaevis una ex quan- titatibus x, z,u. spectetur uti variabilis et habeantur cae- terae pro constantibus , poterunt differentialia functionis p. ↴ eodem manifeste modo determinari ac differentialia functio- num quae ab unicapendent variabili. Eiusmodi dill'ereutialia dicuntur partialia , ipsaque sic exhiberi queunt , ut dxld-1 dxaPQ'" ∂∷⊬∙∠↨≖≖⊬∙∙∙∙ denotent differentialia functionis 9. ,primi , secundi ordi- nis quoad x , quoad :, Ad partiales functiones derivatas quod pertinet , eae poterunt sic exprimi , ut per56 doll darf dx dx2 dou , dazle dedz dza vel per fx(X , Z, Up... ) , f" , (3 , 2, U, ... ) , . f : (3 , 2, U, ... ) , fo( %, 2 , Wo...) , ... designentur functiones , primi , secundi ... ordinis derivatae ex M = f ( x , % , U. ... ) quoad x , quoad 2 , ... Plerumque tamen in his derivatis functionibus exprimendis detrahuntor , compendii causa , litterae d signa x , % , U 7 .** , et pro dal d , ² l dx dx2 d,I d², M dz dz adhibentur du del i dx dx2 du dele dz dz ? 9 24º . Totale functionis pe differentiale due ( quum nempe x spectantur omnes ut simul variabiles ) eruitur ex partialibus dx f , d , f , dul , ... ; sunt enim % , U , f ( x + dx, 2, 1, ... ) - f ( x , ,U, ...) = fx ( x ,2 ,4, ... ) dx, f ( x + dx, atdz, u, ... ) -f( x + dx, 2, U, ... ) = f: ( x + dx, 2, u, ...) dz = f : ( x, z, u, ... ) dz, f ( x + dx, atdz, utdu, ... ) — ( x + dx, atdz, u , ...) — f'u ( x + dx, z + dz, il ... ) du = f ( x, 2, u, ... ) du, etc... , ) 1 .— 56 ≀≀≖≀∸ −−↙≀⇄↕≴∸ .⋅≤≀−⊦∸ −∙∙ −−−⊓≀⇄≖≴∸ dx dx" , dz dza ' vel per fx(x, :, uh") , f": (x, :, u, a") , ∙∙∙ f, (x' z' u, a.) ∙ f',(x, :, u, ...) , designentur functiones , primi , secundi .. ordinis derivatae ex ". f (æ.:, u. ... ) quoad x, quoad :∙ ∙∙∙ Plerumque tamen in his derivatis functionibus exprimendis detrahantur, compendii causa , litterae d signa :, a, «,... , et pro de- dx'P- (!sz (I,,[L da: ∙ m ⋅⋅⋅⊤ ⋅−∂⋅⊒⋅− adhibentur ≴≀−⋅≖∸− ↙≀≖⋅⊀↓ de dw dæ'dx' ,' de, dza 240. Totale functionis p. dilferentiale dp. (qumn nempe x , z , n , spectantur omnes ut simul variabiles ) eruitur ex partialibus d, (1. ,d, pt , d,, p. , ; sunt enim fl xhi—dx, 39 ut ...) ↼f( æ, :, u, ...): f, (æ, :, ., ...) dx, f(æ-l—dæ, t—l—rlz, u,...) — f(x-[r-dx, :, n, ...): f: (xä-dx, :, ", mida: f, (x, s, u, ...) dz, f( æ-I- dx, z-l—dz, u-l-du, ...) ∙− ≼∙↧∙⋅∙∣−↙∣∙↧⋅∙ z—i-dz, u, ...) :: f," (x-i—dæi z-l-dzo nus) du:f,, (æ, Z, ", ,,.) du, etc-0- '57 quarum summa praebet p ( x + dx, atdz, utdu , ...) — f ( x, z , l , ... ) = fr ( x, 2, U, ...)dx + f : (x , 2, u, ...)dz + f'u ( x, Z, U, ... ) dut ... , seu dų = d .; + d ,l + d.le + ... 25.• Potest etiam functio pe differentiari successi ve quoad binas, lernas , ... variabiles v . gr. quoad x, z, quoad X , 2, u ; etc. ... Id genus partialia secundi , tertii , ... ordinis differentialia designari queunt per d, dx M , d , d , dal , ... sive autem functio u prius differentietur v . gr. quoad x deinde quoad z , sive prius quoad z , deinde quoad x , paallulum attendenti patebit idem in utroque casu pro venturum differentiale . 26. Detur nunc differentialis aequatio primi ordinis dy - cydx f ( x ) dx ; facta y = zu, et adhibita substitutione, emerget zdu + ud: czudx = f ( x) dx . Pone udz – czudr = 0 ; habebis dz = cdx , log ( x ) = cx = cx log ( e) = log ( eⓇx ) ; unde 7 z > eºx : in ea qua sumus hypothesi zdu = f(x) dx ; igilur du = f ( x ) dx f (x) dx , u Sf (x)dx + G ; et 7 es ex 1 5 quarum summa praebet f(x-f—dx, z-l—dz, (kl—du,...) —f(x,'z, u, ...): f: (æs 31 ut ⋅∙ ')dæ—I—fg (æ, :, II,. ..)dz—l—f'u (æ, .z, u, .,.) du-l—n., seu dy.— −∙∙ d,.p. :i- dyp. ∙−⊦ d,); ∙∣−∙∙∙ 25. ∘ Potest etiam functio p. diil'erentiari successi- vequoad binas, ternas... .variabiles v. gr. quoad x,z, quoad æ, :, u; etc. ... Id genus partialia secundi , tertii,... ordinis diii'erentialia designari queunt per ds dxp'adudadxp-vmi sive autem functio p. prius differentietur 11. gr. quoad ac deinde quoad :, sive prius quoad z, deinde quoad x , paullulum attendenti patebit idem in utroque casu p1o- venturum differentiale. 26." Detur nunc differentialis aequatio primi ordinis ,dy— cydx :f(x) dx; facta ]: zu, et adhibita substitutione, emerget zdu −⋅⊢ ud: — czudx : f (x) dx . Pone udz —. czud-r :o ; habebis dz Z ∙−−− ∖∙∘⊄≀⋅⋍∙⋅ , log (z):cx:cx log (e): log (e"); unde ∙−−− cx , z....e : « in ea qua sumus hypothesi zdu :f(x) dx; ∙ ∙ ' igitur du: , (x) dx *fbl'c) dx : ":M—i—C; et 2 0 .: et.: 5 d58 consequenter y = eriſ f x)dx = C ] : integratio videlicet dalae aequationis differentialis traducitur ad integrationem functionis f (x ) dx Porro absoluta aequa er tionum differentialium integratio eo redit , ut quae relatio inter quantitatem et quantitatem per eas exprimitur , aequi valenter exprimatur per aequationes differentialibus liberalas. 27 .. Si dalur differentialis aequatio secundi or dinis day dy ta dx + 0 , dxt by: designantibus k et k' radices aequationis 32 taz +b =0 , traducelur illius integratio ad integrationem binarum pri mi ordinis dy ' dy - ky ' = 0 , dx dx siquidem , eliminata y' , prodibit - ky = y ' ; a dy -ky) dx dy dx – k G - hy) == 0 ; quae , ob k tok = -a et kk' = b , recidit in datam. Jam vero ( 260 ) dx y ' = Cetry = e ** C elix

ergo y = ek's es [ foe-tyde +c ] - [ * +c ]= Ceks + C'ek's . 58 consequenter yzccxiffiæidæzcl: Bex integratio videlicet datae aequationis differen'tialis traducitur f (x) dx ad integrationem functionis ac: . Porro absoluta aequa- tionum differentialium integratio: eo redit , ut quae relatio inter quantitatem et quantitatem per eas exprimitur , aequi- valenter exprimatur per aequationes differentialibus liberatas. 27.0 Si datur differentialis aequatio secundi or- diuis ?;: 437 dr −⊦ "ï; −⊢ b,! −−∶ ∘⋅ designantibus I: et k' radices aequationis z' −⊸⊢ az —]-b:0. traducetur illius integratio ad integrationem binarum pri- mi ordinis ⋅ alt" ∙⋅− df ↙↙−↜↕∶∎∎−∎↗⋮∫−−∘∣∠≀↜↿∶−↻ ⋅⋅⋅⋅∙∙⋅−−−−−↗ ' siqnidem , eliminata y' , prodibit d d ∠−− ' (dx kf) A(g—F):0. d.; ⋅ dx ] ' quae ∙Ob k −⋅⊢ ∣⊏∎: — a et kk':b, recidit in datam. Jam- vero (260) .)": Ce"'.y:e*"[ ∫−⋅≤∎⇂−⊺∶⋮⇆∙⊹∁∙ ]

ek'x ergo ∙∙∙ ': ∙∙ ∙ r ∙ rr Ceu—H).: ..7— e*. [Ca,/460 &) dx—l—C] ∙−−∶ e* k—k. *C]: - Ce" ∙⋅∣−∁∎ e*" .59 28.- Si daretur d²y dxata dr. + by = f(x),tra duceretur integratio ad integrationem binarum dy' -ky' da P(z) Tipo - Ky = y'; sicque prodirent ( 260) [Sl + c] e** [ S ,* + c ] y' = etxe k et k 'sunt , ut supra, radices aequationis z2 taz + b = 0. 29.• Resumentes functionem f ( x ) , ponamus f(x) = a, tax taqx? +R3 2 :3 + 04x4 +

exsurgent f ( x) = a + 2a , x + 3az x2 + 404 x3 + ... , f" ( x) 2a + 3.2a3 x + 4.394 va t ... if" ( 0) = 3.2a3 + 4.3.204 x + Facto x = 0 , emergent ao f (o) , a, =: f ( 0) , a, i f' (o) , az =-3f" (o), etc.... Hinc etc... f(x) = f(0)+xf ( 0) + 1" (0) + "(o) + ... Sint v. gr. f (x) = e*. f (x) sinx , f (x) = cosx : quoad primam f (o ) = 1, f (0 ) = 1 , f ' (o) = 1,8 " (0 ) = 1 , etc...; quoad secundam , f (o) = 0 , f ( 0) = 1 , p (o ) = 0 , fr (0 ) • , 1 , f (0) = 0, f ( 0) = 1 , etc...; quoad ter 59 . dfy dy 28.0 St daretur . (: d −⊦∙ 6]: f (x) ,.tra- dxa x duceretur integratio ad integrationem binarum Si.-..;. ': dx '7 f (a:), £ —)(]: !' ; sicque prodirent (260) www-rc] 730, reli]dx 11 et k' sunt , ut supra , radices aequationis z' -l—az—-I—-b :o. 29." Resumentes functionem f (x) , ponamus f(x):ao—I"alx −⊦∁≖∙↕≖∙−∣⋅−↷∍ ∷∙⋅∍⊣−∦∣∙∙≂↙∣−⊦∙∙∙⇋ exsurgent f(x):a, -l-Za,x-l-3a3x3 404 ∞∍−⊢∙∙⋅ ,f" (x): 2a3-1l-3. Zaax-i— 4. 3a(,x2 -[-...,f"(x) :3.2a3—[— 4. 3. 244x—l-.., ,etc... Facto x:a, emergent a,: f(o) , a,: f (a) , a,:

f. (0) , 03 3— f" (0) ' :. etc-00. Hinc 3 ' f(x): f(0)-l-xf(0)-i-—-f'(0)'l"——f (o)-b"- Sint v. gr. f(x):ex.f(x) :sinx ,f (x): coax :quoad primam f(o):1, f (0):1, f' 'o):1,f" (o):1, etc...; quoad secundam , f(o):0, f(o) :1 , f" (a):0 , f" (Ol—"' -— ∙−− 1, f' (0):0, f' (0):1, etc...; quoad ter-60 23 tiam , f (o ) = 1 , f ( 0) = 0.8" ( ) 1,8 " ( 0 ) = 0 , f (o ) = 1 , ' (o) = 0 , p (0 ) 1 , etc... ; ideoque x2 24 3 e* : 1 tox +*+ + sin u = r 2.3.4 2.3 x2 8: 4 cos = 1 2.3.4.5 2 + 2.3.4 2.3.4.5.6 1+ ar5 x6 1.5.0 + ... 30.• Adhibita xV - 1 pro x in istarum prima, emerget = 1 x2 e **vi .x4 + 2.3.4 Xc6 2 2.3.4.5.6 + r3 xc5 + 2.3 2.3.4.5 -.)v = 7. ܪ unde , ob secundam ac tertiam , e #xVST = cos x + V1 sio x .

28. Fac nunc ut punctum materiale vi qualibet continua sollicitetur ad motum rectilineum: sit »» velocitas puncti in fine temporis t,,.s spatium percursum , et ds spatiolum percurrendam subsequente tempusculo dt. Perinde spectari poterit ds ac si motu uniformi conficeretur , sola nimirum velocitate praeconcepta 1); siquidem nova velocitas dv, quae labente d:accedit materiali puncto, utpote infinitesima. ne- gligenda.Hi11c (1 ) s [ ∥ Motus rectilineus puncti materialis iugiter sollicitati vi constanter eadem, dicitur uniformiter varius. Per ep desi-61 / gnetur velocitas, quam vis constanter eadem gignit intra tempus 1 , erit qe velocitas ( 6 ) genita intra tempus t : propterea denotante vo velocitatem initialem , qua nimirum donatur materiale punctum quum t = 0, existet v =v, +9 ds Hinc dt votoe : fac ut tempori 1 = o respondeat So ; habebis s -8 = v. i + 902 ?

2 1 et eliminato t , v2— v.2 = 29 / s - s . ) : positis v ,30, 0, erunt V = pt , s = - Det , v?= 205 , o dicitur vis acceleratrix : el designante m massam puno cti materialis, m q appellatur vis motrix : insuper spatium s in aequatione ultima vocatur allitudo debila velocitati v. Ad motum rectilineum utcumque varium quod spe ctat , nomine vis , acceleratricis apud terminum spatii per carsi s nihil aliud intelligitur nisi velocitas q , quam gi. gneret vis conversa in constantem, constantique energia qua inibi pollet , agens loto tempore 1. lamvero exhibet do numerum tempusculorum , ex quibus coalescit tempus 1 ; ergo velocitas illa exprimetar per dv; nimirum 1 61 gnetur velocitas, quam vis constanter eadem gignit intra tempus 1, erit got velocitas (6) genita intra tempus :: propterea denotante 'Uo velocitatem initialem, qua nimirum donatur materiale punctum quum :

o, existet

v:v, ⊣∙− cp :. Hincd ∙−∙−:v.,-l—got: fac ut tempori :

o respondeat

,,- s,;habebis (2 ⋅⇟−⋅⋅≖∘∶∶ '"o t"l" 92"; et eliminato t, vï—vo*:2?( s—s, ): positis v,: o ,r,: 0, erunt v:g0t, :: gt: , v': 291, q; dicitur vis acceleratrix: et designante m massam pun- cti materialis, m ? appellatur vis motrix: insuper spatium .: in aeqnatione ultima vocatur altitudo debita velocitati 9. Ad motum rectilineum utcumque varium quod spe- ctat , nomine visacceleratricis apud terminum spatii per- cursi :nihil aliud intelligitur nisi velocitas ga, quam gi- gneret vis conversa in constantem, constantique Aenergia , qua inibi pollet, agens toto tempore 1. Iamvero exhibet −↿−∙ numerum tempuscu'lorum, ex'quibus coalescit tempus dt 1 .: ergo velocitas illa exprimatur per Tit-dv; nimirum62 dv dt . et quia dy d's d dt ; idcirco erit quoque dès d12 habetur pro variabili atque independente quantitate. 29. Fac v. gr. ut materiale punctum sollicitetur versus datum centrum vi acceleratrice, quae distantiae z' ab eo cen tro exsistat proportionalis , ut , denotante C ' quantitatem constantem , habeamus q =C'z' ; sit z, initialis distantia , ibique vo =0 , t =0 ; sit insuper v ' velocitas in distantia z' : erit ( 28 ) v = d (20-3') dc dz dt du' ideoque C'z' = dt v'dz' dzi Hinc 19. Cʻz'dz' = -v'dv'; ex cujus integratione prodit C- W'2 C'z'2 =C -2'2 , z = ve C' facto z' =0, erit v' velocitas punci materialisió centro virium ; exprimit igitur C hujusce velocitatis quadratum : quod si fiat z' =2 . , erit ex hypothesi v = v = o, ideoque VT= 2.VC ; velocitas nempe puncti materialis in centro virium est ut ipsa initialis distancia zo. 62 0:32- ' dt -' et quia xlv::! g:- ; idcirco erit quoque d3s (:): d:: ' habetur :pro variabili atque independente quantitate.

29. Fac v. gr. ut materiale punctum sollicitetur versus datum centrum vi acceleratrice, quae distantiae z' ab eo cen- tro exsistat proportionalis , ut, denotante C" quantitatem constantem , habeamus q) :C'z'; sit zoïinitialis distantia , ibique v.:o, t:o; sit insuper v' velocitas in distantia z' : erit ( 28 ) d(zo-z')-——dz' .d ∙ ∙−− dp'— v'dz' d: d: " eoque c.. d. dz' ' I,..... Hinc ↿∘∙ C'z'dz': —- v'dv'; ex cuius integratione prodit C— 'v'ï cause—w.r: ⇂∕−∁∼⊤−⋮ facto z':o,erit v' velocitas puncti materialisin centro virium; exprimit igitur(] hujusce velocitatis quadratum: quod si fiat z':z,, erit ex hypothesi v':v,;—..-o, ideoque ⇂∕⋜⋮∶−−⊸−≖∘⇂∕−∁−⋮≂ velocitas nempe puncti materialis in centro virium est ut ipsa initialis distantia z..63 2.º du 1 Tc di= C'zi v CV C -via VC Vic С suinptisque integralibus , i = C " + ve are (sin = vo ): v = o quando i = 0 , proinde Vc are ( sin = o), exquav = VC sinero. 3º. Cum in centro virium sit v = VC, erit ibi 1 = sint y C , et consequenter t = Inferimus pun n 2V0 a 1 ctum materiale eodem semper tempore quacumque 2VC distantia z . perventurum ad centrum illud . 4º. Si materiale punctum movetur vi accelera trice, quae distantiae a dato centro sit proportionalis , sic absque formularum subsidio polest ostendi eodem semper tempore punctum ipsum peryenturum ad centrum illud : concipiantur duo puncta, quorum primum triplo magis i nitio molus distet a centro quam secundum : quoniam ex hypothesi vis est proportionalis distantiae a centro, erit vis primi triplo major quam secundi , ideoque triplam velo citatem primo tempuscalo illud acquiret, et triplum spa lium percurret; quare etiam tripla ibidem residua erit di stantia. Igitur et secundo tempusculo triplam velocitatem novam acquiret, et triplum spatiolum tum praecedente, imm ⊖⊰∆ 2.- −≀≀∙↗⋅ ∙∙∙ dv' ' dv' 1 C'z' yel/CT?"— ⇂∕⋅∁⋅ ⇂∕↿−−−∙∙−−∙∽⋅∙∑−⋅ : sumptisque integralibus , 1 ( . v' ) are sm −−− ; C' y'C v':o quando :: o , proinde

z ∁∙∙−⊢ ⇂∕

! (z.—1.-.— arc ( sin: v ), ex qua ≸↗⋅∶∶⇂∕ ⇂∕∁ ⇂∕∁ sint;/CZ 30. Cum in centro virium sit v': l/C,erit ibi 'io . n ↿∶∶ . sunl/C, et consequenter :: ï— . Infenmus pun- ctum materiale eodem semper tempore a quacumque 21/ C distantia za perventurum ad centrum illud. 40. Si materiale punctum movetur vi accelera- trice, quae distantiae a dato centro sit propmtionalis, sic absque formula1um subsidio potest ostendi eodem semper tempore punctum ipsum perventurum ad centrum illud: concipiantur duo puncta, quorum primum triplo magis i- nitio motus distet a centro quam secundum: quoniam ex hypothesi vis est proportionalis distantiae a centro, erit vis primi triplo maior quam secundi, ideoque triplam velo- citatem primo tempusculo illud nequiret, et triplum spa- tium percurret; quare etiam tripla ibidem residua erit di- stantia. lgitur et secundo tempusculo triplam velocitatem novam acquiret, et triplum spatiolum tum praecedente, tam64 nova vi et velocitate percurret: unde consequitur ut tripla pariter sit lota velocitas jam acquisita , triplum totum spa tium percursum, tripla distantia residua. Propterea et no vo tempusculo tripla erit nova velocitas acquisita , tri plum spatium novum percursum , tripla nova distantia; atque ita porro. Patet igitur post tempus quodvis distantiam primi fore triplam distantiae secundi, ac proinde imminu ta in infinitum ac demum evanescente hujus secundi di stantia, illius quoque primi distantiam in infinitum immi nui ac simul evanescere: haud poterit ergo secundum pun. clum ad centrum pervenire, quin simul cum secundo ipso primum punctum perveniat. Hoc tantummodo discrimen e rit, quod primum eo deveniet velocitate tripla secundi ; ex quo manifeste consequitur , quod si primum illud punctum ex centro cum illa tripla velocitate projicitur , debebit ad triplam distantiam pervenire; nam vis in recessu velocita tem codem ordine extinguit , quo generat in accesso. Por ro quod diximus de ratione tripla , patet generatim conve nire rationi cuicumque ; nimirum in quacumque propor tione fuerit distantia prini punci major quam secundi , eodem tempore semper ambo ad centrum devenient cum velocitalibus , quae distantiis initio habitis sint proportio nales; et si inde discedant cum velocitatibus quibuscumque, pervenient eodem pariter tempore ad distantias ipsis ve locitatibus proportionales. 5º. Dicatur tempus quo materiale punctum it ac redit uude primo discessit; erit ( 3º. ) 471 276 271 0 276 VC Quare ( 1º, 2º. ) 2750 C , 6 0 2751 0 G 220 210 VO TT z = VC COS 277 64 nova vi et velocitate percurret: tinde consequitur ut tripla pariter sit tota velocitas iam acquisita, triplum totum spa- tium percursum, tripla distantia, residua. Propterea et no- vo tempusculo tripla erit nova velocitas acquisita, tri- plum spatium novum percursum, tripla nova distantia; atque ita porro. Patet igitur post tempus quodvis distantiam primi fore triplam distantiae secundi, ac proinde imminu- ta in infinitum ac demum evanescente huius secundi di- stantia, illius quoque primi distantiam in infinitum immi- nui ac simul evanescere: haud poterit ergo secundum pun- ctum ad centrum pervenire, quin simul cum secundo ipso primum punctum perveniat. Hoc tantummodo discrimen e- rit, quod primum eo deveniet velocitate tripla secundi; ex quo manifeste consequitur, quod si primum illud punctum ex centro cum illa tripla velocitate projicitur, debebit ad triplam distantiam pervenire; nam vis in recessu velocita- tem eodem ordine extinguit , quo generat in accessu. Por- ro quod diximus de ratione tripla, 'patet generatim conve- nire rationi cuicumque; nimirum in quacumque propor- tione fuerit distantia prinii puncti maior quam secundi, eodem tempore semper ambo ad centrum devenient cum velocitatibus, quae distantiis initio habitis sint proportio- nales; et si inde discedant cum velocitatibus quibuscumque, pervenient eodem pariter tempore ad distantias ipsis ve- locitatibus proportionales. 50. Dicatur 9 tempus quo materiale punctum it ac redit uude primo discessit; erit (30.)

∡⊺≖∙∙∙∙∙⊸ 211 ,—21t 9 ⊋⇂↗⇠∁⋮↼−⇀∣−∕−⋐⇀∶⋅−∙⋅⇂∕∁−⇀⊺⋅∙ Quare (10. 20.) ∙∙∙⊇⇂∕∁ 9 220 ∙∙∙⊓∙ ⇂∕∐⋅ ∶∶↼⋤⋮−⇂∕∁∙≀≀↗⋅∶⇂∕∁⊱⋮∥ −−−−⊖−⋅ ⊋⋯⋅ ⋅− 9 271! z': l/C -—-co −−−−∙ 271 s 965

De verticali gravium descensu atque ascensu.[recensere | fontem recensere]

30. Si gravitas aequaliter semper ad sensum corpora decidentia sollicitare intelligitur, motus erit uniformiter varius (28): positis igitur , et denotante vim acceleratricem ex gravitate, in ea qua sumas hypothesi determinabitur motus per formulas

legibusque sequentibus subjicietar.

1a. Spatium percursum intra tempus est dimidia pars illus spatii , quod percurreretur si grave aequali tempore pergeret moveri uniformiter cum velocitate in fine temporis acquisita; nam (1)

2a. Spatia totalia a gravibus libere decidentibus percursa, sunt ut quadrata temporum quibus eadem spatia conficiuntur: item ut quadrata velocitatum tempore descensus acquisitarum Nam

3a. Spatia a gravibus libere decidentibus percorsa aequalibus et successivis temporibus sequuntur progressio numerorum imparium 1,3,5,7, ... ; assumpto enim , ... spatia illa exprimentur per

Hae leges experientiae cum sin consentaneae, hypothesis gravitatis aequaliter semper ad sensum agentis prope telluris superficiem existimanda est naturae conveniens: et quoniam experimentis saepe iteratis apud nostras regiones compertum est, grave sibi relictum percurrere pedes 15, 0915 ... intervallo unius minuti secundi, erit

[1]

Eam nimirum velocitatem gravitas valet mobili communicare intervallo unius secundi, qua si mobile pergeret uniformiter moveri, absolveret singulis secundis pedes 30,2 circiter.

Deprehenderunt quidem Physici gravitatem esse diversam tum ad diversas supra terrestrem superficiem altitudines, tum ad diversas ab aequatore terrestri distantias: verum ejusmodi variationes in corporum gravitate haud fiunt sensibiles nisi sub differentiis admodum grandibus sive inter altitudines illas, sive inter illas distantias; propterea absque sensibili errore contemni poterunt in ordine ad singula corpora terrestria, quae ut plurimum veniunt consideranda. Si retenta , ponitur , exsurgent (28)

31. Assumpta in (b'), prodibunt

quae formulae manifeste determinant verticalem gravium ascensum. Facta in tertia ac prima (b"), emergent maxima nempe altitudo ad quam ascendit grave, tempusque respondens.

Obiter hic notamus illud: Si datur ejusmodi potentia , quae agendo ad modum vis instantaneae valeat massae communicare velocitatem , ut sit (6) , ipsa agendo ad modum vis continuae per gradus infinitesimos poterit ponderosam massam sustentare libratam per totum tempus

Cum enim singulis tempusculis infinitesimis gignat gravitas in massa quantitatem motus , certe singulis debebit ad librandam exerere actionem infinite parvam ; proinde totalis actio respondens toti erit : igitur ; ideoque etc.

Quisque nunc videt posse vim exhiberi non solum per , sed etiam per .

32. Ad motum gravium determinandum in machina Atwoodi, sint et massae filo appensae: quisque videt motricem systematis vim exhiberi per ; unde profluit vis acceleratrix substituenda loco in formulis (b). Quoniam vis ista potest pro lubito attenuari, sequitur in Machina Alwoodi posse motus velocitatem imminui quantum libuerit; quod maxime conducit et ad accuratius definienda spatia percursa, et ad aeris resistentiam tuto negligendam. Sicuti enim corpus, quod movetur in medio aliquo materiali, agit in ipsum medium, ejus particulas expellendo, exerceturque corporis actio juxta motus directionem, ita medii particulae juxta contrariam directionem reagunt (7) in corpus atque resistunt; inde oritur quidem imminutio virium in corpore, sed major vel minor, prout major vel minor velocitas communicatur medio expellendo; et consequenter prout major vel minor est velocitas corporis expellentis.

33. Haec notamus circa gravium motum in medio resistente.

1º. Constat gravia decidentia in pleno homogeneo motum suum vi gravitatis sic accelerare ut paullatim evadat proxime et sensibiliter uniformis. Dum nempe corpus initio movetur, primumque velocitatis gradum acquirit, aliquam hujus gradus jacturam pati debet ex opposita medii resistentia. Sed quia velocitas corporis in progressu semper augetur, multo magis augeri etiam debet medii resistentia; siquidem major corporis velocitas non solum importat ut major quoque velocitas communicetur singulis particulis removendis, sed praeterea ut major quoque resistentis materiae quantitas dato tempore dimoveatur. Ergo velocitatis gradus semper magis imminuetur: unde fit quod velocitas corporis ad valorem constantem propius semper accedat, ejusque motus paullatim evadat proxime et sensibiliter uniformis.

2º. Medii resistentia cum tota exerceatur contra corporis superficiem, vis motrix inde resultans haud pendebit ab ipsius corporis massa, eritque eadem utcumque sub eadem et forma, et amplitudine superficiei, crescat vel decrescat massa: non sic dicendum de respondente vi acceleratrice, quae cum obtineatur dividendo vim motricem per corporis massam, permanente et forma, et amplitudine superficiei, erit reciproce ut ipsa massa. Hinc patet cur, caeteris paribus, quo major est massa corporis in medio resistente decidentis, eo etiam rapidior sit motus finalis.

3º. Si concipimus planum variis resistentis medii stratis normaliter occurrens velocitate , ponimusque et plani actionem in medii particulas intra singula tempuscula infinitesima sese protendere ad respondentia duntaxat strata dimovenda, et haec eadem strata illico sic dimoveri ut statim atque dimota sunt nullam praeterea actionem sive immediatam, sive medialam exerceant in dimovens planum; expressa per crassitudine strati dimovendi intra tempusculum , per densitate medii, et per area dimoventis plani, orietur inde (28) resistentia seu . Duplicatur resistentia in casu medii elastici (23).

4°* Si vis acceleratrix ex medii resistentia assumitur proportionalis quadrato velocitatis, ut denotante quantitatem constantem (experimentis determinandam), exhiberi possit vis illa per gravia descendentia sollicitabuntur vi acceleratrice ascendentia vi acceleratrice : proinde (28) quoad gravium descensum

 

quod ascensum

 

5°* In primo casu

 

sumptisque integralibus:(27.6 °) in hypothesi velocitatis ,

 

unde


Primum membrum est necessario ; ergo et secundum: crescente igitur crescet quidem ; ita tamen ut nunquam fiat : quod consentit cum dictis (10). Ad haec : quoniam (28) erit quam integrantes assequemur : in initio motus ex hypothesi , ac proinde ; igitur


6°* In secundo casu


ideoque (27.13°)


tempori respondet , et consequenter ; igitur (tang- ): 5l = k [ arc(tang = :) - arc (ranga ) ] . ds Ad haec : ob de habemus s V71 ndum : gds = kavdv ; propterea gs = C— kat va -- 105 (1º + vw). log ( Kº +w.), ce ka In initio motus s = 0 , v = Vo;hinc CF 2 gs = log k2+0.2 katua 2 Facta v = 0 , prodibunt k2 proind k log ktve t 2g 8 are (tang = ).

maxima videlicet altitudo ad quam in medio resistente ascendit grave, tempasque respondens.

7º. Fac ut, exhibente ( Fig. 17) directionem normalem stratis TT medii resistentis , planum A oblique occurrat stratis ipsis sub angulo . Recta parallela rectae repraesentet velocitatem , qua movetur A: resoluta in Kc perpendicularem et BK parallelam plano A , exprimet Aje . KC2 resistentiam medii; et quoniam KC bc . sin Kbc = vsin \beta , iccirco resistentia ista A jwa , sin a\beta . J =

De gravium descensu atque ascensu per plana inclinata; de attritu; deque cochlea, et cuneo.[recensere | fontem recensere]

Planum inclinatum

34. Super plano ad horizontem inclinato collocetur corpus quod habeat centrum gravitatis in (Fig. 21) et massam ; ex horizontem demittatur perpendiculum ; et ex ducatur alterum perpendiculum in communem plani horizontalis et plani inclinati intersectionem; vis motrix ex corporis pondere jacebit in plano perpendiculornm ; demisso enim ex perpendiculo in planum inclinatum, vis illa invenietur in plano normaliter insistente intersectioni plani inclinati et plani horizontalis; quod planum manifeste recidit in planum perpendiculorum . Sit communis intersectio istius plani et plani inclinati; perpendiculum ex demissum in angulus : recta vocatur longitudo plani inclinati, altitudo, angulus inclinationis. Vim motricem per repraesentatam resolve in duas , quarum altera sit perpendicularis, altera parallela rectae ; erunt

.

Cadat intra corporis basim; elisa a resistentia plani inclinati, gignetur motus a sola ; quae cum maneat constanter eadem, non alium pariet motum nisi uniformiter varium. His positis, ad determinandum gravium motum per plana inclinata satis erit in (6,6' . 30) et in ( 6 " . 31 ) substituere pro : denotantibus itaque tempus, velocitatem, et spatium, erunt quoad gravium descensum per plana inclinata u = g 9 sin c, z = * gga sin c, u = 2gz sin c ( 6 " ) si tempori 0 = o respondent u = 0,2 = 0 ; et u = u + go sinc,z = altiglasin c,u ? —a? = 2g zsin c (6 ) si tempori 0 =o respondent u = a, z = 0 : quoad ascen sum vero u =a -g6 sinc, z =a9— 1 g 2sinc, a ?—u? = 2gz sin c (65 " ) Componens exhibet pressionem, quam exercet grave contra planum inclinatum .

et :spatium , eruntxquoad gravium descen- sum per plana inclinata u:g93inc, :

äggï sinc, 113:2gz sinc (ö")

si tempori 6:o respondent u:o,:

o; et

u:u-1-g 9ainc.z:a G—i-äggasin c,u'—a*:Zgzsin c(b') si tempori 9:o respondent u:a, s:o :quoad ascen- ∙ sum vero u :::—gg sinc, :349— äggaslncaaa—uzzzgz Sine (b'-l)" r Componeus Gi exhibet pressionem, quam exercet grave contra planum inclinatum .73

35. Comparantes ( 6 ' ' ) cum (6 ) haec facile stabiliemus. 1. ' Si licals t . erunt i GH plaui 1 : sin c , s : 2 = 1 : sin c ; pla inter cula Br noguls si duo nempe gravia eodem tempore delabuntur, alterum verticaliter , alterum per planum inclinatum AB , tam ve locitates v , u ab ipsis gravibus in descensu perpendiculari et obliquo acquisitae , quam spatia s , z descripta , erunt ut longitudo plani ad ejus altitudinem . 2. ° Hinc ubi ex puncto C concursus rectae verti calis com horizontali ducatur perpendiculam CE ad plani inclinati lougitudinem AB , grave percurret lapsu obliquo spatium = AE eo tempore , quo percurreret lapsu verticali totam altitudinem AC ; nam AC : AE - AB : AC. 3. ° Inde sequitur chordas omnes circuli ad supre mam , vel infimam diametri verticalis extremitalem pertin gentes describi eodem tempore ; eo nimirum , quo descri beretur ipsa circali diameter. 4. ° Velocitates u , v gravium in plano ioclinato et in recta verticali aequales sunt si gravia ex punctis aeque altis ad eamdem rectam horizontalem pervenerint : in ea sumus hypothesi est s = zsinc , ac proinde a pla ifors 16 :3 cempo enim qua

u2 V =U .

5.° Tempus descensus per longitudinem plani inclinati ad tempus descensus per altitudinem est ut ipsa longitudo ad altitudinem : nam in casu ( 4º ) u = v; ideoque SIDEN g9 sin gt , et 0 : t 1 : sin c .

36. Sint nunc plura plana sibi contigua ( fig. 22. * ) diversimode ad horizontem inclinata . Si grave ab AB transit ad planum BD , in eo transitu non retinebit in initio plani BD totam velocitatem , quam habebat in fine plani AB. Si enim concipitur recta AC perpendi 6 et ? 73

35. Comparantes (b "') cum (6) haec facile stabiliemus. 1." Si 9:t . erunt v:u:1:sinc,s:z:1:sinc;' si duo nempe gravia eodem tempore delebuntur, alterum verticaliter , alterum per planum inclinatum AB, tam ve- locitates v , 1: ab ipsis gravibus in descensu perpendiculari et obliquo acquisitae , quam spatia s , z descripta , erunt ut longitudo plani ad ejus altitudinem . 2? Hinc ubi ex puncto G concursus rectae verti- calis cum horizontali ducatur perpendiculum CE ad plani inclinati longitudinem AB, grave percurret lapsu obliquo spatium :AE eo tempore , quo percurreret lapsu verticali totam altitudinem AC; uam AC :AE :- AB :AC. 3." Inde sequitur chordas omnes circuli ad supre- mam , vel infimam diametri verticalis extremitatem pertin- gentes describi eodem tempore; eo nimirum , quo descri- beretur ipsa circnli diameter. . 4." Velocitates 11 .'v gravium in plano inclinato et in recta verticali aequales sunt si gravia ex punctis aeque altis ad eamdem rectam horizontalem pervenerint: in ea enim qua sumus hypothesi est s:zsinc , ac proinde v": uz , v :u . ' 5." Tempus descensus per longitudinem plani in- clinati ad tempus descensus per altitudinem est ut ipsa longitudo ad altitudinem: nam in casu (40) u:v ; ideoque g95inc:gt,et-9:t:1:sinc. 36. Sint nunc plura plana sibi contigua (fig. 22.') diversimode ad horizontem inclinata. Si grave ab AB transit ad planum BD, in eo transitu non retinebit in initio plani BD totam velocitatem, quam habebat -in fine plani AB. Si enim concipitur recta AC perpendi- 6 - .... ↹∙∙∙↽∙⊾ −↿−⇀⋅⋅⋅⋅↽∙⋅↽ f.:-.. ∙−←−−− ↘−∼∙⋅ ,. ∙∙⋅∙∙∙⇁ . ∙∙ '1 cularis plano BD producto , et velocitas in fine plani ha bens directionem AB concipitur resoluta in duas AC , CB

illa prior AC

a novo plano BD elidetur , utpote quae tota insumitar in eo normaliter percutiendo , ac seclusa 0 mois elasticitatis consideratione , sola altera CB urgebit cor pus per novum planum BD , eritque velocitas prior ad no vam , qua nempe ingreditur novum planum ut AB

CB sive ut

radius ad cosinum anguli ABC , et prior velocitas ad amissam erit ut radius ad sinum versum ejusdem anguli ABC

cum

nempe , si centro B et radio BA describatur semicirculus EAE ' , sit velocitas prior ad amissam ul AB

CE

. Erraverunt igitur qui banc velocitatis jacturam minime considerantes falsum hoc theorema confecerunt,, Ex aliitu dine quacumque descendens grave per quotlibet ac quaeli bet plana AB , BD sibi contigua utcumque inclinata eamdem in puncto infimo D velocitatem acquiret ac cadendo perpen diculariter ex eorum omnium altitudine,, Erit tamen veris simum theorema si non ad plana contigua quaecumque scd ad curvas, quae ex infinitis numero rectis lineis et infinite parvis ( 27. 16 ° ) coalescere intelliguntur , applicetur et poterit verissime sic enunciari ,, Quodlibet grave ex quacum que altitudine cadens supra superficiem curvam quamcum que , eamdem in puncto infimo velocitatem acquiret ac ca dendo perpendiculariter ex ipsius curvae altitudine ,, Ratio est quia velocitatum jactura in transitu de uno in aliud planum , decrescente angulo quem continet planum alterum AB cum altero DB producto , decrescit siquidem decrescente angulo ABC decrescet sinus versus CE repraesentans velocitatem amissam . Quare faclo infinite parvo angulo ABC , uti contingit in curvis , velocitas quoque amissa fiet infinite parva , ac proinde grave ingredietur planum BD cum ve locitate acquisita in descensu per planum AB . Porro sinus versus CE ' ita decrescit ut, facto infinite parvo primi or dinis angulo ABC , ipse CE ' evadat infinitesimus secundi or dinis

nam EC
AC

= AC

CE

'. 74 cularis plano BD producto , et velocitas in fine plani ha- bens directionem AB concipitur resoluta in duas AC , CB; illa prior AC :: novo plano BD elidetur, utpote quae tota insumitur in eo normaliter percutiendo, ac seclusao- mnis elasticitatis consideratione, sola altera CB urgebit cor- pus per novum planum BD, eritque veloeitas prior ad no- vam, qua nempe ingreditur novum planum ut AB:CB sive ut radius ad cosinum anguli ABC, et prior velocitas ad amissam erit ut radius ad sinum versum ejusdem anguli ABC; cum nempe, si centro B et radio BA describatur semicirculus EAE', sit velocitas prior ad amissam ut AB: CE'. Erraverunt igitur qui hanc velocitatis jacturam minime considerantes falsum hoc theorema coufecerunt,, Ex altitu- dine qnacumque descendens grave per quotlibet ac quaeli- bet plana AB, BD sibi contigua utcumque inclinata eamdem in puncto infimo D velocitatem acquirat ac cadendo perpen- diculariter ex eorum omnium altitudine,, Erit tamen veris- simum theorema si non ad plana contigua quaecumque sed ad curvas, quae ex infinitis numero rectis lineis-et infinite parvis (27. 16") coalescere intelliguntur, applicetnr; et po- terit verissime sic enunciari ,, Quodlibet grave ex quacum- que altitudine cadens supra superficiem curvam quamcum— que, eamdem in puncto infimo velocitatem acquiret ac ca- dendo pan-pendiculariter ex ipsius curvae altitudine ,, Ratio est quia velocitatum jactura in transitu de uno in aliud planum, decrescente angulo quem continet planum alterum AB cum altero DB producto, decrescit; siquidem decrescen- te angulo ABC decrescet sinus versus CE' repraesentans velocitatem amissam. Quare facto infinite parvo angulo ABC, nti contingit in curvis, velocitas quoque amissa fiet infinite parva, ac proinde grave ingredietur planum BD cum ve- locitate acquisita in descensu, per planum AB. Porro sinus versus CE' ita decrescit ut, facto infinite parvo primi or- dinis angulo ABC, ipse CE' evadat infiuitesimus secundi or- diuis; nam EC: AC:AC: CE'.75 1

37. Hactenus nullam habuimus rationem attritus , seu resistentiae ex asperitate superficierum : prominentes nem pe unius superficiei denticuli foveas alterius ingrediun tur ; sicque haud poterit una superficies alteri superposita promoveri, nisi ipsi denticuli vel frangantur, vel inflectan tur, vel , saperiori superficie identidem elevata parumper , e foveolis egrediantur: possunt quidem denticuli ita poli tione imminui , ut sensum inermem effugiant, sed penitus tolli nequeunt.Statue corpus super plano horizontali ; tum pla num istud eousque sensim inclina , donec sub quodam angulo c=c'corpus tantum non incipiat descendere, incipiat vero cre scente utcumque parum c ultra c' . Attritus respondens angulo c = c dicatur f: quoniam f accurate librat vim gM sinc' erit f =g Msinc' ; hinc si per r exprimitur ratio attritus f ad pressionem gM cosc' ut sit fer. GM cosc ', habebitur . r.gM cosc = gM sinc' , ideoque r = tang c' . 0 5 Permanente qualitate massae M, itemque politionis gra du , constat experimentis quod permanet quoque angulus c' , et consequenter ratio r, licet quantitas ipsius M augeatur, vel minuatur. Inde sequitur attritum f, caeteris paribus, fo re proportionalem pressioni r.gM cosc' . Si ponimus attritum adhuc pressioni proportionalem quum angulus c superat angulum c'; ad habendam ratio nem attritus in motu gravium per plana inclinata , pro gsinc substituetur g sin c - rg cosc in ( b ), et gsinc + rg cosc in ( 6 " ); caeterum in casu motus videtur f non a so la pressione , sed a corporis quoque velocitate haud pa rum pendere. Haec subjungimus. " 75

37. Hactenus nullam habuimus rationem attritus, seu resistentiae ex asperitate superficierum :prominentes nem- pe unius superficiei denticuli foveas' alterius ingrediun- tur ; sicque haud poterit una superficies alteri superposita- promoveri, nisi ipsi denticuli vel frangantur, vel mflectan- tur, vel, superiori superficie identidem elevata parumper , e foveolis egrediantur: possunt quidem denticuli ita poli- tione imminui, ut sensum inermem effugiam, sed penitus tolli nequeunt.Statue corpus super plano horizontali; tum pla- num istud eousque sensim inclina , donec sub quodam angulo c:c' corpus tantum non incipiat descendere, incipiat vero cre- scente utcumque parum c ultra c'. Attritus respondens angulo c:c' dicatur f: quoniam f accurate librat vim nginc' erit f

g Msinc'; hinc si perr exprimitur ratio attritus f

ad pressionem gM cosc' ut sit:r. gM cosc', habebitur r. gM cosc': gM sinc' , ideoque r:tang c' . Permanente qualitate massae M, itemque politionis gra- du, constat experimentis quod permanet quoque angulus c', et consequenter ratio r, licet quantitas ipsius M augeatur,

vel minuatur. Inde sequitur-attritum f,'caeteris paribus, fo-

1e proportionalem pressioni ngM cosc'. Si ponimus attritum adhuc pressioni proportionalem ↴⋅ quum angulus c superat angulum ∁∙∍ ad habendam ratio- lnem attritus in motu gravium per plana inclinata , pro igsinc substituetur gsinc—rgcosc in (b' ), et gsinc −∣− ' rgcosc tn ( b "); caeterum in casu motus videtur fnon a so- lla pressione, sed a corporis quoque velocitate haud pa- rum pendere. Haec subjungimus.76 1º . Si corpus in plano inclinato constitutum li brandum sit potential applicita ( Fig. 21 ) puncto G, quae potentia et sollicitat ad ascensum, et efficit angulum & cum AB, gignitque propterea pressionem Qsind, satis erit ut re sultans ex viribus Q et M ( g sinc F rg cosc ) Fr (sin exsistat ipsi plano perpendicularis , sese videlicet diri gat juxta Gi: continet autem Q cum Gi angulum 900 An et vis Mg ( sinc F r cosc ) FrQsinc angulum cum eadem Gi. Igitur ( 9.10 ) = 90 Q: Mg( sincar cosc ) FrQsing = sin 90 ° ; sin ( 90 ° a ) = 1 : cosa ; ideoque sinc Frcosc OSCMS Q cos a Es since secun Sumpio superiori signo, nequit Q esse minor do membro quin corpus descendat; sumplo inferiori si gno, nequit Q esse major secundo membro quin corpus ascendat; perstabit aequilibrium intra limites sinc - rcosc sinc torcose Mg, el < cosa + rsing Mg. cosu - osinc 2º. In hypothesi nullius attritus erit r = 0 ; et consequenter sin c Q Mg COSU. 3º. Si Q est insuper parallela horizontali BC, e rit a = c ; ideoque 76 1". Si corpus in plano inclinato constitutum li- brandum sit potentia Q applicita ( Fig'. 21) puncto G, quae potentia et sollicitat ad ascensum, et eilicit anguluma cum AB, gignitque propterea pressionem Qsinac, satis erit ut re- sultans ex viribus Q et M (gsinc :rgcosc ):F r Qsin a exsistat ipsi plano perpendicularis , sese videlicet diri- gat juxta Gi: continet autem Q cum Gi angulum :90"— a, et vis Mg ( sine: rcosc) :rQsina angulum :90" cum eadem Gi. Igitur ( 9. 1" ) Q: Mgüincqzr 0050 ):t:rQsinat:sin 90" :sin ( 90"— at:) 1:cosa:; ideoque sinc ∓r cosc −∙∙ Mo cos a: r siua Sumpto superiori signo, nequit Q esse minor secun- do membro quin corpus descendat; sumpto inferiori si- gno, nequit Q esse maior secundo membro quia corpus ascendat; perstabit aequilibrium intra limites sinc—rcosc sinc rrnsr Q)...— Mg, et Q( −⊢ Mg. cosa rsiuat cosa—rsiua 2". In hypothesi nullius attritus erit r: o ; et consequenter sin 0 M g. szz cosa: 3". Si Q est insuper parallela horizontali BC, e- rit at:c ; ideoque77 sipc : Mg COSC potentia videlicet ad pondus ut plani altitudo AC ad hori zontaleon BC. Hinc facile deducuntur aequilibrii leges in cochlea et cuneo. 4º. Cum cochlea non sit nisi planum inclina tum ABC, quod circum cylindruni ducitur; dum vero co chlea agit , potentia sit rectae lineae BC parallela, erit potentia ad pondus seu resistentiam superandam , ut al titudo plani seu helicam distantia ( =h ) ad basim plani seu cylindri peripheriam ( = k ). Hinc Q hP ; k quae formula supponit distantiam inter cylindri axem et pun . ctum cui applicatur potentia , esse ipsius cylindri radium ( = m ) : quod si distantia illa fiat alia ab r', et exhibea tur per R' ; denotante e potentiam respondentem novae distantiac, exsistet mi? R' ac proinde Q - hP R ' LP 25R . k In ordine ad cochleam infinitam , dicatur A radius ma joris rotae , a radius minoris , et P' pondus seu poten tia apud dentes ipsius rotae majoris; erunt ар P = Q api A hP 27.R ' ideoque Q = h a P 21AR' 77 Q sine. NT: ⋅⇀ SE.—.' potentia videlicet ad pondus ut plani altitudo AC ad hori- zoutalem BC. Hinc facile deducuntur aequilibrii leges in cochlea et cuneo. 4". Cum cochlea non sit nisi planum inclina- tum ABC, quod circum cylindrum ducitur; dum vero eo- chlea agit, potentia sit rectae lineae BC parallela, erit potentia ad pondus seu resistentiam superandam, ut al- titudo plani seu helicum distantia ( :h)ad basim plani seu cylindri peripheriam :( k). Hinc Qz—k-i quae formula supponit distantiam inter cylindri axem et pun- ctum cui applicatur potentia, esse ipsius cylindri radium (: r' ): quod si distantia illa fiat alia ab r', et exhibea- tur per B'; denotante Q' potentiam respondentem novae distantiae, exsistet Q'—r' ∙∙ ∙∙∙∣≖∣⊃⋅↿⋅⋅∙−∣≀∌ ∙≺⋮−−−−∙↓⊤∙ ac ptomde QI—B— . ∣∙⋮−−−−∙ ⊋∙⋮⋮⋅⋮↸↽∙ In ordine ad cochleam infinitam, dicatur A radius ma- ioris rotae , a radius minoris , et P' pondus seu poten- tia apud dentes ipsius rotae maioris; erunt aP , hP' P::ï'Q—an' ' ide ue Oq haP78 1 5 ° Cuneus spectari potest tamquam coalescens ex duobus planis inclinatis ut ABC, tum ob figuram suam , tum quia idem est sive pondus per planum inclinatum trahatur sursum , sive planum sub pondere promoveatur. Agit autem potentia in cuneo juxta CB; quoad igitur u 1 nam cunei partem ABC respondens potentia Qerit ad m 1 respondentem resistentiam P ut AC ( = D ) , sen di midia cunei crassities ad BC ( = H ) , idest ad altitudinem 1 Q 1 ad respondentem resistentiam P P erit pariter ut į D ad H. Igitur m LQ.H - 1P.HD, Q (m - 1 ) . A m2 m m P (m - 1 ) mi ' · D ; quibus aequationibus in summam collectis , Q. H = P. , D , et consequenter D H totalis videlicet potentia Q ad totalem resistentiam P ut dimidia cunei crassities D ad ejus altitudinem H ; mo do tamen exerceatur resistentia normaliter ad H. 6º . Si in cochlea v . gr. considerandus esset at tritus , haberetur ( 10.40.) , 1 ! 1 5" Cuneus spectari potest tamquam coalescens ex duobus planis inclinatis ut ABC, tum ob figuram suam, tum quia idem est sive pondus per planum inclinatum trahatur sursum, sive planum sub pondere promoveatur. Agit autem potentia in cuneo iuxta CB; quoad igitur u- . . 1 nam cune1 partem ABC . respondens potentta —Qer1t ad . ' m respondentem resistentiam −↿−∙∶ P ut AC (: äD ), seu di- ↾ m midia cunei crassities ad BC (: H ), idest ad altitudinem . . 1 cunei. Quoad alteram partem respondens poteutta Q—- −− Q m . . 1 ad . . respondentem rc51stent1am P -— −−∙ P er1t partter ut 171 & D ad H. Igitur D, Q—(m-1).H: −↿−↽≺≀∙∥∶∶∙−↿∙−↕⊃∙ ;. m m m P ∙∙ - (m'1) -äD; ,- ut quibus aequationibus in summam collectis, QaHzpaL'D, et consequenter ≟≺−≀∙∙− :D . P −⋅⋅ H ⋅ totalis videlicet potentia Q ad totalem resistentiam P ut dimidia cunei crassities & D ad ejus altitudinem H; mo- do tamen exerceatur resistentia normaliter ad H. 6". Si in cochlea v. gr. considerandus esset at- tritus , haberetur (10. 4".), ≁−−−−∎⋅−− −−⋅⋅...-—79 sinc FrcoscP = cosc trsinc h = 2 te r'r P ; h Erk P k trh 2 trh ideoque Q Qr Pr' h = 27r's R ? -R 2 r'trh 0 70. Veniat quoque considerandus attritus in ae- , quilibrio corporis AB ( Fig. 23: 24 ) , quod ad rolatilem motum circa fixum cylindrum sollicitatur vi Rjacente in plano, cui normaliter insistit axis cylindri. Ac primo cylindrus impleat accurate circularem cor poris aperturam DE ( Fig. 23 ) , in quam inseritur: per cy lindri centrum O duc rectam OEE' parallelam vi R , et pancto E corporis AB applica duas . vires Q ', Q' aequa les eidem R, et contrarias, alteram nempe tendentem, ab E versus E' , alteram ab E versus O; vi R licebit substi tuere systema virium R , Q ', Q " : et cum possint absque sy stematis turbatione sic transferri ( 11 ) R et l ' ut aequi distent ab O, eae nitentur dumtaxat gignere motum ro tatilem circa cylindrum quin ullam pariant pressionem a pud ipsius cylindri superficiem ; pressio igitur in hanc su perficiem redigetur ad solam ୧ = R , ideoque f = Rr. Attritus fest vis tangentialis respectu superficiei cylin dricae; hinc denotante a radium OE cylindri , et p per pendiculum Oi ex O ductum in directionem potentiae R, ad aequilibrium satis erit, ut exsistat ( 9. 2° ) R 1 2 р Rr . 79 Q-—sinc:r:rc.oscP 11:er P—h:t:2nr'rp cosczbrsmc R::brh 2nr':t:rh , ideoque —Qr' Pr' II::ZRr'r a' "B' 'an'äzrh Q! ' 70. Veniat quoque considerandus attritus in ae- ↗ qnilibrio corporis AB ( Fig. 23: 24 ), quod ad rotatilem motnm circa fixum cylindrum sollicitatur vi R iacente in plano, cui normaliter insistit axis cylindri. Ac primo cylindrus impleat accurate circularem ocr- poris aperturam DE (Fig. 23), in quam inseritur: per cy- ⋅ lindri centrum O duc rectam OEE' parallelam vi B, et pnncto E corporis AB applica duas, vires Q', Q" aequa- les eidem R, et contrarias, alteram nempe tendentem, ab E versns E', alteram ab E versus O; vi R licebit substi- tuere system virium R, Q', Q": et cum possint absque sy— stematis turbatione sic transferri (11) B et Q'0ut aequi- distent ab 0, eae uitentur dumtaxat gignere motum ro- tatilem circa cylindrum quin ullam pariant pressionem a- pud ipsius cylindri superficiem; pressio igitur in hanc su- perficiem redigetur ad solam Q" −∙∙−− R, ideoque f: R r. Attritus fest vis tangentialis respectu superficiei cylin- dricae; hinc denotante a radium OE cylindri, et p per- pendiculum Oi ex Oductum in directionem potentiae Pt, ad aequilibrium satis erit, ut exsistat ( 9. 20)80 et consequenter P facto p > ar , disrumpetur aequilibrium ; facto p < ar , subsistet . Ponatur secundo circularis apertura corporis baud impleri accurate cylindro ( Fig.24) : vis R manifeste trans ibit per contactum E cylindri et corporis AB . Resolve R in duas EF, et ED' , quarum altera transeat per centrum 0 , altera tangat cylindrum : per EF exprimetur pressio ; ac proinde f = r.EF . Obtinebit igitur aequilibrium quotiescumque ED ' < r. EF , vel ED' = r.EF : cum autem ( 9. 1. ° ) . ED' : R = sin FER ; sin D'EF = sin FER : 1 , EF : R = sin D'ER ; sin D'EF = cos FER : 1 , cumque ducto perpendiculo Oi ex O in ER , Oi Ei voa ? OE sin FER Р cos FER 22 - p2 a OE iccirco praefatac aequilibrii conditiones vertentur in Rp Rr Vap2 Rp a Rr Va - p ? a a quae traducuntur ad 80 et consequenter "' p :: ar : facto p ar, disrumpetur aequilibrium; facto p ar , subsistet . l Ponatur secundo circularis apertura corporis baud impleri accurate cylindro (Fig.24): vis B manifeste trans- ibit per contactum E cylindri et corporis AB . Resolve B in duas EF, et ED' , quarum altera transeat per centrum O, altera tangat cylindrum: per EF exprimetur pressio; ac proinde f

r. EF.

Obtinebit igitur aequilibrium quotiescumque ED' (r. EF , vel ED' −−∶ r. EF :. cum autem (9. 1.0). .' ED': R ::sin FER : sin D'EF :sin FER : 1 , EF fii ∙−−∶ sin D'ER; sin D'EF: cos FER : 1, cumque ducto perpendiculo Oi ex 0 in EB . Oi p Et. ⇂∣ (13 ∙−− :; ' :∙−−− :... ∙ FER ↽− −∙ p sin FER 08 a 005 OF. a , iccirco praefatae aequilibrii conditiones vertentur in n,,(RrI/aa—pz ↧≹∣↗∙∙∙↧≹≀⋅ Wiz—pa 7." −−−−↴∶∎−−∙−↙≀∎ ⇀⇀ a ' quae traducuntur ad ⇁−∙↱⇁≓≓81 1 ar 2 p < р 1 + 12 vit ? 8.• Si ponitur R nihil esse aliud nisi resultans ex datis viribus P' , Pi ad puncta data v . gr. A , B appli citis , innotescet R ex dictis ( 10 ) , itemque p. ex ( 10.3° ) . Sic habetur ratio attritus in vecte : caeterum in machinis praeter resistentiam ex attritu spectanda etiam est resi stentia ex funibus . Hi enim inflexioni suae resistunt quum cylindris vel trochleis circumvolvuntur; et quidem eo ma gis , quo majori pondere tenduntur , quo insuper crassio res sunt , et quo minor fuerit trochleae, aut cylindri radius.

De motu gravium oblique projectorum.[recensere | fontem recensere]

38. Grave (Fig. 25) juxta directionem MG velocitate projectum urgebitur duplici motu, altero aequabili per ex impetu recepto, altero (nihil est aliud nisi motus relativus mobilis quoad ipsum iens per sola ) uniformiter accelerato gravitatis proprio per rectam verticalem , vel ipsi parallelam. Sit spatium quod cumque primo illo aequabili motu seorsim sumpto percursum, tempus impensum ad ejusmodi spatium percurrendum, sitque spatium pari tempore percursum secundo motu item seorsim sumpto. Completo parallelogrammo , in fine temporis grave erit (5) in ; et quia (1:30) eliminato , existet aequatio ad curvam (dicitur parabola) in qua defertur grave. Si altitudo debita (28) velocitati , dicatur , erit , et aequatio transformabitur in .

39. Denotet x horizontalem rectam MK , y vertica lem KQ , et h angulum CMK ; erunt x = S cosh , y = CK - CQ = S sin h -5 ; unde X X S = cosh . sinh : cosh quibus valoribus substitutis in (c) , prodibit x2 rcsinh 4 A CO -Y) , et consequenter cos2 h cos h y =xtang h 1 + tang k 4 A x2 ( c' ) .

40. Haec facile nunc stabiliuntur. 1º facta y = 0 , proveniet amplitudo jactus 4 Atangah 1 + tang h 4Asinhcosh = 2 Asin2h. 2.º Inde sequitur maximam jaclus amplitudinem haberi sub angulo h = 45°.

3. ° Si quaeritur angulus h , sub quo proiiciendum est grave ut offendat in datum scopum, cujus nempe dantur coordinatae x et y , erit 2A + V 4A2-4 Ay - x2 tangh 82 aequatio ad curvam (dicitur parabola) in qua defertur grave. Si altitudo debita (28) velocitati v, dicatur A, erit vio:2gA, et aequatio trausformabitur in S':4As (c) Esistente igitur 4 A 2—4 Ay-x >0 , poterit sub duplici angulo projici grave ut datum -scopum attingat : attinget autem in fine temporis ( 38 : 39 ) S ts Vo . Vo cos h

4.0 in ( c ) pone 2 Atangh ta ; 1 +tangah babebis A tangah 1+ tang2h ya 1 + tang 2h W? 4A ( c ' ' ) . Iam vero maxima y ( dicitur altitudo jactus ) manifeste re spondet valori w = 0 ; altitudo igitur jactus exhibebitur per A tangah seu A sinh. 1 +tangah

5º . Ex eadem ( c " ) quisque colligit parabolam , in qua defertur grave, dividi a maxima y in duas aequales simi lesque partes : extremitas maximae y vocatur vertex pa rabolae; ipsa vero maxima y indefinite producta juxla gra vitatis directionem appellatur axis parabolae.

6º Si angulus h fit < o, ut initialis directio cadat iтfra horizontalem rectam ML, jactus amplitudo x (1°) ex > fiet < 0; jactus vero altitudo y ( 40 ) permanebit >o. Quod si fuerit h = o, ut initialis directio recidat in rectam horizontalem ML, nulla erit amplitudo jacеus, nullaque ejus altitudo.

7º. Demittatur perpendiculum QP ex puncto Q parabolae in axem NI ... , sintque NP = x', Q P =y'; erunt ( 1º . 4º . ) x MI — QP = 2 A sinh con -y' y=NI — NP = A sin’h— x' : quibus valoribus substitutis in ( c' : 39 ) , proveniet y2= 4 A x' cosah aequatio ad parabolam M N L inter x' ety' computatas a vertice ; quantitas 4 A cos’h dicitur parameter parabolae ; quod si in axe sumatur punctum H ita , ut ejus distantia a vertice sit quarta parametri pars seu A cos ?h , habebitur punctum illud , quod appellatur parabolae focus.

41. Cum ad curvam parabolicam describendam, corporis motus, qui fit secundum lineam projectionis, debeat esse aequabilis, qui vero fit secundum lineam verticalem, debeat esse uniformiter acceleratus, cumque hujusmodi certe neuter esse possit si medium utrique motui resistat, iccirco nonnisi in vacuo motus corporis oblique projecti fieri potest per curvam, quae sit perfecte parabolica. In medio resistente curva minus late patet, minusque assurgit quam in vacuo; duobus insuper cruribus dissimilibus (Fig. 26) componitur, quorum descendens ad rectam quamdam ut asymptotum accedit in infinitum, quin unquam congruant. Etenim resoluta projectionis velocitate in duas, alteram verticalem, alteram horizontalem, verticalis tum ab aeris resistentia, tum a gravitate usque ad punctum minuetur: propterea punctum minus assurget quam in vacuo: postquam grave ad pervenerit, descendet ob gravitatis vim damna ex medii resistentia reparantem, et hujusmodi descensus fiet motu verticali ad motum aequabilem (33) semper accedente. At horizontalis velocitas minuitur perpetuo, nulla interim vi iacturam reparante, atque inde fit ut recessus horizontalis a recta verticali certum limitem non praetergrediatur, quem curva habet pro asymptoto. Haec contingunt potissimum corporibus ingenti velocitate in aere projectis.

De generalibus quibusdam proprietatibus motus curvilinei, orti a viribus, quarum una determinat materiale punctum ad motum aequabilem, altera ipsi materiali puncto est continue applicata.[recensere | fontem recensere]

42. Concipiamus secundam vim agere solum in initiis quorundam tempusculorum, ac tantam velocitatem unico impulsu valido producere, quantam vis perpetuo agens producit toto illo tempusculo, ut deinde inminuta magnitudine tempusculorum in infinitum, habeatur linea curva orta ex continua vis actione.

Projecto puncto materiali cum velocitate (Fig. 27) simulque illi impressa velocitate , abiret punctum per diagonalem CO parallelogrammi AOBC et esset in fine primi tempusculi in O cum determinatione describendi altero aequali tempusculo rectam OL = OC, eique in directum jacenlem. Si hic iterum illi imprimeretur alia velocitas OF, completo parallelogrammo FILO , incederet per diagonalem OI, essetque in fine secundi tempusculi in I cum determinatione describendi tertio tempusculo aequali rectam IM = 10, eique in directum jacentem. Sed ob impressam hic quoque aliam velocitatem IV abiret per novam parallelogrammi diagonalem IH, atque ita porro. Fieret ergo in ejusmodi hypothesi vis agentis per intervalla tempusculorum ut materiale punctum describeret polygonum COIHN etc, cujus latera certam magnitudinem et positionem haberent, definita nempe a directione virium et a ratione velocitatum, quas initio cujusvis tempusculi mobile obtineret. Hinc pro diversis virium ila agentium ordinibus numero infinitis infinita considerari possunt ejusmodi polygona, quorum alia in se ipsa redirent, desinente ultimo latere in puncto C ubi primum inceperat; alia abirent in infinitum. Concipiamus jam numerum tempusculorum augeri, et simul eorum magnitudinem imminui in infinitum, vitum magnitudine tum directione vel constantes manere, vel variare certa quadam lege ad continuam quamdam variationis rationem accedente in infinitum. Augebitur in infinitum numerus laterum polygoni determinato tempore descripti, imminutis interea in infinitum angulis, quos efficit quodlibet latus praecedens cum consequente: cum enim LI debeatur impulsui, qui initio tempusculi 0 eam velocitatem producere concipitur, quam produceret vis to to tempusculo agens, cumque per tempusculum infinitesimum vis ista habenda sit pro constante, existet ( 28: 30. 14. ) LI = 092; ideoque ob o finitam, et quadratum 62 infinitesimum secundi ordinis, erit etiam LI infinitesima ordinis secundi, sed OL est infinitesima ordinis primi, utpote quae tempusculo O describitur cum velocitate finita; ergo angulus LOI erit ivfinitesimus: atque eodem pacto demonstrantur infinitesimi anguli MIH , K'HN , etc. Hinc polygonum ad curvam continuam semper magis accedet; et ubi demum continua habealur actio vis, et continuae cuidam legi subjiciantur directio ipsius et magnitudo, obtinebitur curva continua cavam sui partem versus eam plagam obvertens, in quam tendunt vires.

43. Abeunte polygono in curvam , rectae CL , OM' , IH ', HK , etc abeunt in tangentes apud puncta C, O, I, H , etc. Ubi ergo in aliquo curvae puncto vis desinat agere,, excurret mobile per tangentem apud illud punctum.

44. Sit IM (fig, 28 ) spatiolum quod tempusculo 9 mobile percurreret sola velocitate praeconcepta, et IV spatiolum respondens vi agenti unico impnlsui valido ; ita ut existat (42) IV ::99". Completo parallelogrammo, positis- que lM:P , lH:B, et angulo MIV :i, erit (9. 3." ) ∶∶ Vra-Hæ os −⊢⋅∠⇂⊃⊊↶⊖⋍ cos :.87 Evolvatur quantitas radicalis in seriem : proveniet R = P + q9 cos i , unde R - P = º02cosi , neglectis infinitesimis altioris ordinis. Sit v' velocitas , qua mobile percurrit laterculum R; erit R = v'0 : sit etiam v velocitas , qua mobile percurreret laterculum P. si non adesset impulsus validas in I ; erit P =v @ : hinc R -- P = vv( ) 0 .; et consequenter v ' - v = q Ocosi. Ex hac aequatione patet v— esse quantitatem in finitesimam primi ordinis , positivam vel negativam prout i <vel > 90° , esse autem =0 si i 90° . Inferimus il lud : ubi tempore finito angulus , quem efformat vis ac celeratrix cum directione tangentis , fuerit semper aculus, acquiret mobile incrementum velocitatis finitum ; si sem per obtusus , patietur decrementum finitum ; si semper re lus , velocitas manebit constans.

45. In motu quovis curvilineo quadratum velocitatis aequat vim acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex ejus directione abscinditur a circulo osculatore. Denotet enim a lineolam infinitesimam IM (Fig. 29) ut sito et consequenter IV = 902 cipiatur circulus , qui transiens per tria puncta 0 , I , H ( fig . 27. 29. ) habeat centrum in G , quique erit circulus osculator apud curvae punctum O ; producantur IV , MH donec occurrant peripheriae in G " , G  ; et ex G ducatur perpendiculum GGʻad chordam IG " : erunt IG " MG " = IG " = ICE Est autem MH . MG ' " : MI. MO; 2 ergo MH . 21Gʻ = MI.MO = MI . 2MI , seu 21G' 2x2. Hinc v2 = . IGʻ ; ideoquc etc. Porro angulus IGG' = 2 Oxa

con

. px ? 22 87 Evolvatur quantitas radicalis in seriem : proveniet B:P −⊢ o9zcos i , unde B—P:cp92cosi , neglectis infiuitesimis altioris ordinis. Sit 'v' velocitas , qua mobile percurrit laterculum R; erit R: 0'9: sit etiam » velocitas , qua mobile percurreret laterculum P. si non adesset impulsus validus in I, erit P:-v 9: 'hinc R -— P:(v'--v)9; et consequenter v'—v:cp9cosi . Ex hac aeqnatione patet 'o'—v esse quantitatem in- fiuitesimam primi ordinis , positivam vel negativam prout i(vel 90" , esse autem :0 si 1": 90". Inferimus il- lnd : ubi tempore finito angulus, quem efformat vis ac- celeratrir cum directione tangentis , fuerit semper acutus, acquiret mobile incrementum velocitatis finitum; si sem- per obtusus, patietur decrementum finitum; si semper re- ctus, velocitas manebit constans.

45. In motu quovis curvilineo quadratum velocitatis aequat vim acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex eius directione abscinditur a circulo. osculatore. Denotet enim a lineolam infiuitesimam IM (fig. 29. ) gox- ; con- 92 cipiatur circulus, qui transiens per tria puncta 0, I, II (fig. 27. 29..) habeat centrum in G, quique erit circulus osculator apud curvae punctum 0; producantur IV, MH donec occurrant peripheriae in G", G'"; et ex G ducatur perpendiculum GG' ad chordam IG": erunt MG"':IG", −−−∙−↧∁⇀−− ⇀∸−↧−⊊≩−⋅∎−∙ Est autemMH. MG'":MI. MO; ut sit :9 i, et consequenter IV: 99": '» ergoMH.21G':MI.-:MO MI. 2Ml.seu—-— """" ,210': 'v" .Hiuc v": 39. lG' ; ideoque etc. Porro angulus IGG'— −∙∙ −∙↼⇀−− . −↼∙⋅⋅∙∙⋅↼−∎∣ −↼ ∙∙∙88 90 ° -GIGʻ = 900 (MIV - MIG ) = 90 ' - ( i - 90 °) = 180 °-i ; proinde , denotante r radium GI , erit IG ' = rsin IGG' = rsini , et consequenter va = grsini ( b ) .

46. Haec vera sunt de omni virium genere. Sint nunc vires acceleratrices directae ' ad centrum datum : in casu, curva ColH .... ( fig . 27. ) jacebit in plano transeunte per rectam projectionis et per centrum virium ; quod fa cile intelligitur , cum in eodem plano agant vires omnes. Viribus ad punctum aliquod S tendentibus , radius vector ( est recta , quae ab S ducitur ad mobile ) descri . bet areas circa idem punctum temporibus proportionales , et viceversa. Quod spectat ad primam assertionis partem , assum ptis tempusculis aequalibus , et ducta recta SL conside . rentur triangula SCO , SOL , SOI : est SCO = SOL , cum sivt super bases CO , OL aequales ob aequali tatem tempusculorum , eamdemque habeant altitudinem est etiam SOL = SOI , quia insistunt ambo eidem basi SO, et sunt inter easdem parallelas SO , LI : ergo SCO SOI. Eodem modo ostenditur triangula SOI , SIH aequa lia esse eidem SIM , et proinde aequalia esse inter se , et similiter omnes areas sequentium triangulorum aequa les esse inter se et cum areis praecedentibus. Quare cum temporibus finitis quibuscumque contineantur numeri tem pusculorum aequalium ipsis temporibus proportionales, areae terminatae polygoni perimetro et rectis ad centrum virium pertingentibus , hoc est compositae a lot areolis triangu lorum aequalium quot tempuscula respondent illis tem poribus , quibus perimetri partes describuntur , erunt ipsis temporibus proportionales . Cum autem id locum ha beat quomodocumque augeatur numerus tempusculorum, eorumque magnitudo imminuatur , consequens est ut, ubi ⇤ 88 ⊖∘∘∙∁≖↧∁↾⋅ :soc—(MIV—MIG) :90"—(i—gO"):180"—i ; proinde , denotante r radium GI, erit IG':rsin IGG': rsini , et consequenter -v":g9rsini (6).

46. Haec vera sunt de omni virium genere. Sint nunc vires acceleratrices directae'ad centrum datum: in casu, curva COIH .. .. (Gg. 27. ) jacebit in plano transeunte per rectam projectionis et per centrum virium; quod fa- cile intelligitur , cum in eodem plano agant vires omnes. Viribus ad punctum aliquod S tendentibus, radius vector (est recta , quae ab 5 ducitur ad mobile ) descri- bet areas circa idem punctum temporibus proportionales, et viceversa. Quod spectat ad primam assertionis partem, assum- ptis tempusculis aequalibus, et ducta recta SL conside- rentur triangula SCO, SOL , SOI: est SCO:SOL, cum sint super bases CO, OL aequales ob aequali- tatem tempusculorum, eamdemque habeant altitudinem: est etiam SOL :SOI . 'quia insistunt ambo eidem basi 50, et sunt inter easdem parallelas SO, LI : ergo 500:- SOI. Eodem modo ostenditur triangula SOI , SIH aequa- lia esse eidem SIM , et proinde aequalia esse inter se , et similiter omnes areas sequentium triangulorum aequa- les esse inter se et cum areis praecedentibus. Quare cum temporibus Gnitis quibuscumque contineantur numeri tem- pusculorum aequalium ipsis temporibus proportionales, areae terminatae polygoni perimetro et rectis ad centrum virium pertingentibus , hoc est compositae a tot areolis triangu- lorum aequalium quot tempuscula respondent illis tem- poribus , quibus perimetri partes describuntur , erunt ipsis temporibus proportionales. Cum autem id locum ha- beat quomodocumque augeatur numerus tempusculorum, eorumque magnitudo imminuatur , consequens est ut, ubi89 demum polygonum abit iu curvam continuam , areae ter minatae arcu curvilineo et rectis ad centrum virium ten dentibus sint itidem temporibus proportionales. Ad secundam assertionis partem quod spectat , sint areae SCO, SOI, aequalibus temporibus confectae , omnino aequales. Quoniam producta CO in L ita , ut existat OL = CO, est triangulum SOL = SCO, idcirco SOL =SOI; sed baec duo triangula habent basim communem SO ; erunt igitur inter easdem parallelas, ideoque IL erit parallela re ctae So. Ducatur IF parallela ad OL; motus per Ol com ponetur ex duobus per OL et OF , quorum prior cum oriatur a determinatione motum praecedentem continuandi per C O , certe posterior a vi acceleratrice generabitur , quae propterea dirigitur ad centrum S.

47. Velocitas qua pollet mobile in eadem curva , est reciproce proportionalis perpendiculo e centro virium du cto in tangentem . Velocitas enim mobilis in quovis latere polygoni est ut ipsum latus ob aequalia tempuscula , quibus unumquodque latus percurri supponimus : est autem unum : quodque ejusmodi latus reciproce ut perpendiculum quod ex centro virium ducitur in latus ipsum ; siquidem id perpendiculum habent pro altitudine triangula illa exigua polygoni , si hujus latera pro eorumdem trianguloruin basi bus assumantur ; ea insuper triangula sunt aequalia , et in triangulis aequalibus debent bases esse in ratione recipro ca altitudinum : est igitur ea velocitas reciproce ut per pendiculum ductum ex centro virium in latera polygoni. Sed abeunte polygono in curvam continuam , directiones la teruın abeunt in tangentes ; ergo velocitas mobilis in quo vis curvae puncto erit reciproce ut perpendiculum ex cen tro virium in langentem demissum.

48. Denotet a areolam NSZ , et g perpendiculum SE ductum ex centro S in laterculum NZ ; describetur NZ ve NZ 2a ; siquidem NZ.SE=2NSZ: hinc ( 45 ) o locitate v= 90 7 89 demum polygonum abit iu curvam continuam , areae ter- minatae arcu curvilineo et rectis ad centrum virium ten- dentibus sint itidem temporibus proportionales. Ad secundam assertionis partem quod spectat, sint areae SCO, SOI, aequalibus temporibus confectae, omnino aequales. Quoniam producta CO in L ita, ut existat OL: CO, est triangulum SOL:SCO, idcirco SOL:SOI; sed . haec duo triangula habent basim communem SO.; erunt igitur inter easdem parallelas, ideoque IL erit parallela re- ctae SO. Ducatur lF parallela ad OL; motus per OI com- ponetur ex duobus per OL et OF, quorum prior cum oriatur a determinatione motum praecedentem coutinuaudi per C 0, certe posterior a vi acceleratrice generabitur , quae propterea dirigitur ad centrum S.

49. Quoniam radius vector , juxta quem agit vis con tinua , potest assumi ut sibi parallelus per tempusculum quodvis infinitesimum 0 , ipsaque vis ut constans per to tum illud tempusculum ; ideo si mobile K incedens cur vam CX ( fig. 30 ) viribus ad centrum S tendentibus de scribit arcum infinitesimum HN labente , ductis SH , SN , et producto SN donec occurrat in H' tangenti HH " , lineola recta H'N repraesentabit motum relativum mobi lis K quoad ipsum Kieps per HH' sola vi praeconcepta in H. Igitur cum motus iste relativus sit unice repelendus ( 5 ) a vi continuata per tempusculum e , exsistet H'N son (6").

50. Haec subiungimus .

1." Sive vires tendant ad centrum datum , sive non; denotantibus any, :coordinatas puncti materialis in fine temporis t , profecto x ,r,:peu- debunt ab ipso :; erunt videlicet æ, y, :functiones tem- peris :, ut scribi possit . ——-—————.——-—-——-——.—.——...———..—91 = f ( ) , y = fi ( ) , z = 12

2. • Si vocatur s arcus a materiali puncto percursus tempore t, w velocitas ejusdem puncti in fine ipsius t , pe rinde spectari poterit ds ac si motu uniformi conficeretur , sola nimirum velocitate praeconcepta v ; siquidem nova velocitas, dv , quae labente dt accedit materiali puncto , est infinitesima . Propterea hic quoque ( 28 ) ds dt

3.º Resoluta vi o in duas , quarum altera sese dirigat juxta tangentem , altera juxta respondentem nor malem , erit ( 44) prima des o cos i duษ dc > dta secunda (45 ) 2² ♡ sini ds² r rdta

4.°# Incedente puncto materiali K per arcum s , mo vebuntur motu rectilineo projectiones K' , K ", K ipsius K in coordinatis orthogonalibusque axibus OX , OY, OZ ( Fig.5 ) , eruntque ( 28 ) dx dy dz dt dt dt > earum velocitates in fine temporis : , quum nempe K ha ds bet ( 2 ) velocitatem Vi acceleratrice dc K , resoluta in ternas P ', P " , D' ' ' iisdem axibus parallelas, . , qua sollicitatur ∙ 91- x:f(t)-J:fx(t)o 2:130)- 2." Si vocatur .: arcus a materiali puncto percnrsus tempore :, v velocitas eiusdem puncti in fine ipsius t, pe- rinde spectari poterit ds ac si motu uniformi couGeeretnr , sola nimirum velocitate praeconcepta v, ∙ siquidem nova velocitas dv , quae labente dt accedit materiali puncto , est infinitesima . Propterea hic quoque (28) ds Pr.—...... dt 3." Besoluta vi 9 in duas , quarum altera sese dirigat juxta tangentem , altera juxta respondentem nor- malem , erit (44) prima 'n'—'v—d'v-Sd": cpcost—p ,9 de dt" secunda (45) ⋅ ' ∙⋅ " ' ∙ . ,,,a d;: cpsmr— r — rdt"' 4."e Incedente puncto materialiK per arcum :, mo- vebuntur motu rectilineo projectiones K', K", K'" ipsius Km coordinatis orthogonalibusque axibus OX, Oï. OZ (Frg- 5) : eruntque (28) 'de: (I)-' dz dt ' dt ' dt earum velocitates in Gne temporis :, quum nempe K ha- bet (2") velocitatem? .Vi acceleratrice , qua sollicitatur

- -

K , resoluta in ternas P', P", P'" iisdem axibus-parallelas,92 motus projectionis K' nihil erit aliud nisi motus rela tivus puncti K quoad ipsum K sollicitatum viribus dum dx taxat P " , P  ; proinde velocitas debelur soli P' ex dt dr ternis P' , P " , P " ; simili ratione ostenditur. deberi soli dt dz P " ex ternis P' ,P " , P , et soli P" ' ' ex iis 'componenti dt bus . Hinc ( 28 ) adx ddy adz de de dt P' , P " , = P " , dt de dt seu dex day daz dt2 P' dia P " , di? = P " .

5. °* Si punctum materiale incedit curvam plagam, sumptis axibus v. gr . OX , OY in plano curvae , habebuntur tantummodo der day de² P ' , dia = P " . Fac v. gr. ut vis acceleratrix o sit parallela axi OY , ita lamen ut sese dirigat ad plagam ordinatae y negativae : erunt P = 0 , P : ideoque d2x dla 0, dy di ? Istarum prima suppeditat I 92 motns projectionis K' nihil erit aliud nisi motus rela- tivus puucti K quoad ipsnm K sollicitatam viribus dum- taxat P", P"'; proinde velocitas .j—f. debetur soli P' ex ternis P', P", P'" ; simili ratione ostenditur-(g.; deberi soli " ∙ ∙∙∙ dz ∙ n ∙∙ P ex ternis P', P" ∙ ∙ , P , et −− soh P' ex 11s'componeut1- dc bus . Hinc (28) ' ddf ddZ ddi dt dt dt ∙−−− −−∶ '. ∙−−−: P. −∙∙: dt dt '" ' de P ' seu ' ' ⊒ ∙ ' ' d3æ (137 d": dt" −−−∶ P ' ∙−− ∙−−− ∙−: P 'di" P ' dt"

5."; Si punctum materiale incedit curvam planam, Sumptis axibus v. gr. OX, O? in plano curvae , habebuntur tantummodo . ⋅ ⋅ dzæ - d dc" :")"Zïz' Fac v. gr. ut vis acceleratrix q; sit parallela axi Oï , ita tamen ut sese dirigat ad plagam ordinatae] negativae :erunt ideoque dh: ∙∙ d'] ∙∙∙ ∙∙ dt" —0' −↲⋅≀⋅⇀≖− ? Istarum prima suppeditat93 dx dt C , x =Ct +C' ; secunda, in hypothesi o constantis , praebet dy ota dt ot + C ", y = 2 +0" 4 + C " : eliminato t , y y = c" + * (** ) (* = ) . Habes itaque, in ea qua sumus hypothesi , coordina tas x ety expressas ( 10) per t; habes insuper aequatio nem ad curvam, quam describit materiale punctum : re stat ut constantes arbitrarias C, C' , C ", C '" determinemus. Ponatur materiale punctum ex ipsa coordinatarum origi ne O projici cum velocitate Yo juxta rectam inclinatam ad OX sub angulo h: resoluta v. in' binas, alteram paral lelam axi Ox, alteram parallelam axi OY, erit illa = v , cosh, haec Vo sinh: initio motus obtinent simul t = 0 , x = y = 0 , dx dt = v , cosh, dy dt = V , sinh ; igitur C = Vocosh , C = 0.C " = V . sinh , C = 0 ; et consequenter 012 x = vol cosh ,y = v , sinh - csinh cosh gx2 2v.cosh 93 dr . E—:C, æ:Ct-l-C, secunda, in hypothesi ? constantis , praebet ' d ∙ '

" 73: :,n—j-c'.7:— ∙≌⇉−−−⊦∁∥≀−⊦ ∁⋯≖ eliminato t ,

∜−⋅−−−≺⋮⋅⋅⋅⊹∁∣⋅ ("€")— −≣−≺∙≄ ; "): . Habes itaque, in ea qua sumus hypothesi, cbordina- tas æ ety expressas (1") per :; habes insuper aequatio- nem ad curvam, quam describit materiale 'punctum: re- stat ut constantes arbitrarias C, 0, C", C'" determinemus. Ponatur materiale punctum ex ipsa coordinatarum origi- ne O projici cum velocitate vo juxta rectam inclinatam ad OX sub angulo h: resoluta v., in' binas., alteram paral- lelam axi OX, alteram parallelam axi Oï, erit illa:vo cos 11, haec:vo sin/1: initio motus obtinent simul da: dy . t.:o,x:o,y:o, ï

vo cosh, ?::v., smh;

igitur C: vo cosh , C': o .C": vo sin]: ,C" ':o; et consequenter ' cpt" æsiuh (pa-" 2 "7— cos/1 -21Jo"cos"lt :

votcOsIt,y:vosiult—94

x tangh - 9 1+ tangah 2 v2. 22. Recole quae diximus ( 39).

6°# Fac nunc ut, permanentibus caeteris ( 5º. ) , pun clum materiale moveatur in medio resistente: poterit vis ac celeratrix ex resistentia medii exprimi ( 32. 33 ) generatim per f (v ) ; per functionem videlicet velocitatis v tem , decrescentem , evanescentem simul cum v Sit \beta an gulus interceptus directione motus et ordinatarum axe OY ; erunt ( 32 ) P' f (w) sin \beta , P " = -- flv) cos \beta ; ideoque crescen dar d²y : - flv )sin\beta , = -9 - flu) cos\beta ( c ) : dt2 dla insuper ( 40) dx dt dy v sin\beta , dt = v cos\beta (c' ) quae differentiatae suppeditant d22 dy d\beta dy do d\beta dt sin\beta tvcos\beta dt dt2 dt cos\beta — v sin\beta ordt dt2 . Ergo dv sin \beta + y cos \beta d\beta dt dt : -f (v )sin\beta, do de d3 cos \beta-usin \beta 0 - f v ) cos\beta: dt 94 x tangh .:: t—ïngïhæt Recole quae diximus (39).

604: Fac nunc ut, permanentibus caeteris (50.),ptm- ctum materiale moveatur in medio resistente: poterit vis ac- ⋅ celeratrix ex resistentia medii exprimi (32. 33) generatim per f(v); per functionem videlicet velocitatis v crescen- tem , decrescentem , evanescentem simul cum 0Sit B an- gulus interceptus directione motus et ordinatarum axe Oï; erunt (32) P': - f(v) siuþ ∙P": −− ? −f(P) 008 p; ideoque d'æ dt: :—ftv)sinþ,d —:— —f(v) cosþ (c): insuper '(40) da: . d . 'at—:".lnþO £: "waþ (0) quae diB'erentiatae snppeditant dzæ −↙⊼≖−−∶−⋇⋮∐⇪ ⊣−∙≀∘∞⇪⊼ d'B. dz :d—ïcosþ— —vsinþ dþ dt Ergo ——sin,8 −⋅⊢ vcos 5—d—-5 −∙−−−∙ —-f(v)sin,8, dv Ft— cosþ—vsin B (35—:— ep —f(v) cosþ:95 istarum primam multiplica per sin\beta , secundam per cos\beta, tum collige in summam; eamdem primam multiplica per cos\beta , et secundam per sin\beta , cum subtrahe; habebis dy d\beta + fv) =– pcos\beta, = Psins (c' ) . dc dt Quibus positis, haec stabilientur: cum nequeat \beta fie ri > 180° ( siquidem in transitu . per 180° vires omnes e vaderent verticales, motusque permaneret verticalis ) , cum que p etv existant perseveranter > 0, ob secundam ( c " ) erit d\beta constanter 0 ; proinde crescente e crescet semper an dt gulus \beta accedendo ad quemdam limitem B. In hypothesi anguli initialis \beta. (=90° - h)<90°, per get o cos \beta per aliquod tempus esse > o : sed flv ) > 0 ; i gitur , ob primam ( c), per totum illud tempus erit de et consequenter crescente t decrescet v. Prima ( c" ) differentiata praebet du < o . d2v dv d\beta gsin\beta ; dt - dea + au f '(o ) seu , attenta secunda ( d ), dev dy

dia + áf ( ) = q *sin- B dv facta igitur dt , emerget dev oʻsina> o. dt 95 istarum primam multiplica per sin 13, secundam per cosþ, ⋅ tum collige in summam; eamdem primam multiplica per cosþ , et secundam per. siuþ ,t'um subtrahe; habebis ∙ d d ∙ ⊋⋮∙∙⊣−∣↻⇝⇌− ws?- ∙⊺∙↙↙⋛−∶∶∲−−−∘∎⋮∙∂ (a")- Quibus positis, haec stabilientur: cum nequeat. þ Ge- ri )180o ( siquidem in transitu.per 1800 vires omnes e- vaderent verticales, motusque permaneret verticalis ), cum- que (p et v existant perseveranter o, ob secundam (e") erit ↭ ∣ d ∙ ⋅ constanter £ )a; promde crescente : crescet semper an- gulus þ accedendo ad quemdam limitem B. In hypothesi anguli initialis B., (:::90() -H( 90",per- get ? .cosp per aliquod tempus esse ∘:sed iv))o'; i- gitur , ob primam (e" ), per totum illud tempus erit ⋚∶≺∘∙ et consequenter crescente :decrescet 0. Prima (e") differentiam praebet ⋣≖−⊦↙↨−⋛∣≼⋅⇝⇌≡≴∊∹∾⋅≖⋅∣⋮⇋ dav d d . ∖∖ seu, attenta secunda (c' '), d'v dv ∙∙∙ ∳≖∘⋮∐≏∆⊙ ∙ ⊄⋮⋮⋝⊹⊋−∑ f(V)-— v ' . . dv facta igitur 22 :o , emerget dav cp'sinïþ üt: ⇀−− v )0-96 Inferimus ( 27. 22°. ) velocitatem v haud exsistere capacem maximi: poterit quidem esse capax minimi ; ita tamen , ut mutato decremento in incrementum, hoc neque vertatur ite rum in decrementum, neque certum quemdam limitem E praetergrediatur. Primum patet ex eo quod , posita conver sione incrementi in decrementum, jam obtineret maximum: secundum ex eo quod, aucta indefinite v, augeretur indefi dv nite flv ), simulque foret >0 ; id vero adversatur pri dt mae ( 6' ) . Ex ( c ") eruuntur binae 20 21 V2-01 ſię cos$ + fvde,B2- B;= Sosiu\beta dt ; t t exprimunt N,, V, velocitates , item B , B, angulos limitibus t, 2t respondentes. Fac o cos\beta + v ) = f (t) , psins = fa (t) : habebis ( 27. 18º. ) V; - v.--tfittat) • B. - = falttal) ; exprimunt a et a numeros > o et < 1. Sed crescente t in definite , vergit fi (t) ad q cosB + f (E ),et fu( t) ad qsinB E ac proinde 2 - -V2 limes quantitatis cos B + F( E ) , 3. - 22 O limesque quantitatis sinB E 96 ∙ Inferimus (27. 220.) velocitatem v haud exsistere capacem maximi: poterit quidem esse capax minimi; ita tamen, ut mutato decremento in incrementum,hoc neque vertatur ite- rum in decrementum,- neque certum quemdam limitem E praetergrediatur. Primum patet ex eo quod, posita conver- sione incrementi in decrementum, iam obtineret maximum: secundum ex eo quod, aucta indefinite v, augeretur indefi- nite f(v). simulque foret-(£)o, ∙ id vero adversatur pri- mae (c" ). ∙ Ex (e") eruuntur binae 2t ∙↗−⇂↗≖ −−−∙−− ∙∣ ( ? cosþ-l- fwndz, ↾⊖≖−,B— fra-018 de; exprimunt v, , v, velocitates,' 1tem (i,, ,H, angulos limitibus !, 2t respondentes. Fac 9) cosB ^v):fd!) ∙∲≊∣∶∁ : fam habebis (27. 180.) 'Ur—vzzf— tf1(t"l"at) ∙⇪≖−−⇪≃∶∶⊀≖↸≖⊣−⊄⋅∁⋟⋮ exprimunt a: et «' numeros )b et ↿∙ Sed crescente :in- ≺↿⊜∊⊓⋮⇂∊∙ ""sit fxw ad 90053 —I-f(E).et rm ad ?""B- ac proinde 2! -—v

limes quantitatis :

Bos B4-f(E) ,x—Bz ↽− wir-B : . limes ue uantitatis . q q E97 quoniam igitur VI - V2 lim. B - \beta , 0 lim t t erunt Ø cos B + f(E)= 0 ; sin B E et consequenter B = 180° , f(E )= . Ex istarum prima inferimus motum materialis puncti ver gere ad rectilineum verticalemque motum; e secunda ( viri bus p et medii resistentis sese in limite elidentibus, utpo te aequalibus et contrariis ) ad motum uniformem , proce dentem videlicet a sola vi praeconcepta. Divide primam ( c" ) per secundam (c") : proveniet dx d\beta sie X-X B-Brvm?; iccirco ( 27. 18º. ) i\beta Spa\beta Q Q Bm exprimit um valorem medium velocitatis v. Haud praeter greditur ' ' m certum quemdam valorem finitum ; insuper ver git \beta ad B= 180° : ergo neque x praetergredietur finitum valorem; ideo que materiale punctum incedet curvam prae ditam asymptoto verticali. Recole, quae diximus nº. 41 . Posita ( 33. 4º. ) flv ) formulae ( c) evadent k? qua 1 quoniam igitur "r'—Va lim. :o, lim Bi—Ba :.0, erunt ? ∘∞↿∃⊣−⊀≺≖∙∶⊢− 0 ∙ ∲≕⋮⋮∶⊔∄−∙−− −−∘⊰ et consequenter 3:180" ,f(E):9. Ex istarum prima inferimus motum materialis puncti ver- 97 gere ad rectilineum verticalemque motum; esecunda(viri- bus 91 et medii resistentis sese in limite elidentibus, utpo- te aequalibus et contrariis ) ad motum uniformem, proce- dentem videlicet a sola vi praeconcepta. Divide primam (c') per secundam (e") :proveniet iccirco ( 27. 180.) exprimit v,, valorem medium velocitatis ,,, Haud praeter- greditur v,, certum quemdam valorem finitum; insuper ver- git B ad B: 1800: ergo neque æ praetergrediatur finitum valorem; ideoque materiale punctum incedet curvam prae- ditam asymptoto verticali. Recole, quae diximus n".

41. Posita ( 33. 40.) f(v):SE,-2 , formulae (c) evadent .k?98 dar di ? -sing, day dla 9 qua cos\beta : ka sed haec hactenus. 7º. Intelligantur per coordinatarum orthogonalium originem O ( Fig. 5 ) duci binae rectae 8,0" intercipien tes angulum a : earum extremitatibus junctis recta d '", erit cosa = 02 +02.02 28 " Extremitas rectae , habeat coordinatas a ', y, z ', rectae au tem o coordinatas x ", 1 " , 2 " : paullulum attendenti pate bit fore õ = x's + y + 2,0% = < " + ya + z'2 , d's = (x - x " )2 + 6 - y " )2+ (z'- z" )?; adhibitis substitutionibus , cosa = x' x " ta'y " tz'z" 8o" Sint a' , b' , c' , anguli, quos Ở facit cum axibus OX, OY , OZ ; et a " , 1 " , c" anguli quos d " facit cum iisdem axi bus: erunt 1 x' = cosa' , y ' = ' cos b ', z ' = ' cosc' x " = " cosa " , y " = 0 " cosb ", z" = 0" cosc" ; rursusque adhibitis substitutionibus, 98 −∙−≂− −≌≝≖⋅ ∙ 9 9008?- sed haec hactenus. 70. Intelligentnr per eoordinatarnm orthogonalium originem O ( Fig. 5 ) duci binae rectae d', d" intercipien- tes angulum a: earum extremitatibusjunctis recta ö", erit ö": eo" −⊦∂∣∣∶∎−∂≀∥≖ ⋅−∎ 26' a" ' Extremitas rectae ö' habeat coordinatas 0:231, z', rectae an- tem d"coordinatas x" , y", z": paullulum attendenti pate- bit fore ⋅ ∂∣≏−−∶∞↾≖−⋅⊦∙↗∣≖−⊢≖↾⋩∙ ∂∣⋅≖∙∸⋅∞↾∎≖⊹∕∣≖−∣−≖∥≖ , 3' ⋅≖−−−−≺∙⊅∣∙∞⋅∣⋟≖⊣⊣∙↗∣⋅∫∎⋅ )'—l-(z'-z" ),: adhibitis substitutionibns , ∙−− æ; æ"——)")'"—l-Z' zn cosa ∶⋅↳ a, 6" Sint a', 6', c', anguli, quos 6' facit cum axibus OX, Oï. OZ; et a", b", e" anguli quos 6" facit cum iisdem axi- bus: erunt x':d' cosa' ,y*zzd" cosb', z':ö' cosc' æ": ö"cosa", y: ö" cosb", 2": d" cosc"; rursusque adhibitis substitutionibus, −∙∙⋅∙−⋅−−⋅99 cosa = cosa' cosa" -- cosb' cosb" + cose'cosc " .

  • His positis, fac ut vis acceleratrix o sese constanter dirigat ad centrum datum : constituta in eo coordinatarum ori gine O, erunt sle D 5.5 cosinus angulorum , quos cum axibus coordinatis efficit ra dius vector D; et P P " P '" P cosinus angulorum , quos cum iisdem axibus efficit . Pro pterea P X op + . $ . Þ==1 , sumpto vel superiore, vel inferiore signo , prout o nititur vel adducere materiale punctum ad centrum illud, vel ab ipso distrahere: in primo enim casu q et D faciunt angu lum a = 180° , in secundo angulum a = 0. Inde profluit ( 49) d2x Ide² dy v + D dia D daz dt2 8.• * Sumptis axibus OX, OY in plano ( 46) cur vae , quam incedit materiale punctum , erit der Q =F Ndt² on the + 5) . 99 cosa:eosa'cosa"-]-cosb' cos6"-1-cose' cosa". ∙His positis, fac ut vis acceleratrix (p sese constanter di- rigat ad centrum datum: constituta in eo coordinatarum ori- gine 0, erunt æLz D'D'D cosinus angulorum, quos cum axibus coordinatis edicit ra- dius vector D; et P' P" P'" r ' a ' ? cosinus angulorum, quos cum iisdem axibus ellicit ep. Pro- ? se P" 7 p--- ∙∙∙ ∙−−− ' D—"'ï"10 ? sumpto vel superiore, vel inferiore signo, prout ep nititur vel adducere materiale punctum ad centrum illud, vel ab ipso distrahere: in primo enim casu ? et D faciunt angu- lum a:1800, in secundo angulnm a −−−− 0. Inde profluit (40) ≕∙∙∙∙∙∙ dia: :: d'y )- ? D) *(dz : "D'l'dcz ∐↼⊦↲⋮−−≟ ⋅⋅− ⋅ 8.0 «: Sumptis axibus OX, 0? in plano (46) cur- vae , quam incedit materiale punctum , erit100 Ad exprimendamo per coordinatas polares , exhi beat 180°-W angulum interceplum radio vectore D et axe OX ; erunt De = x ? tys , x= - Dcosw , j = Dsina . Prima semel iterumque differentiata dat dDP + Dd D = xd x + ydży + dx2 + dy? ; secunda et tertia praebent dx = Dsiow cosw - coswdD . dy = Dcos wdw tsinwdD , ideoque dsa = dx2 + dyr= D -dw2+ dD2 , Hinc 2 der dia dy a D + dla D d - D dea D 2) ܪ . ac proinde la pa (d- D dla 0 ( ) ). Ad haec : P P " = P P " unde D àla D y et consequenter 1 1 1 100 Ad exprimendam (p per coordinatas polares, exhi- ' beat 1800—0 angulum interceptum radio vectore D et axe OX ; erunt Dï':a:3--l-)'2 , x: — Dcosw .szsinm. Prima semel iterumque differentiam dat dDL-l-DdzDzædïæ-l-yd'y-þdæï-l-dyz .; secunda et tertia praebent dæ:Dsinm cos co —cos ad D. dy:Dcos ædwf-sinædD, ideoque d.,- ∙−−− dx: −⊦ dyaznadæ-l—doa . Hinc dïæ a: dfy ] (PL) ? Dei?-),. ∎⊃⊣−≺∄↙⇄ ⋅∎⊃−−⇤↲⋍≖ dt " ac proinde dzD (deo)!) ∙−−∶ −− D — ? ∓ ∙ (aua dt Ad haec : P' a: P" ⋅∙∙∙∙ )» P ∙∙∙ P .;. :ï,?—q:.ü.,unde-; 7- et con sequenter ∙∙∙∎∙∎⋅∎−⋅101 • dx yd dt rady FO : de quam integrantes assequemur dr V dc dy dt C , seu ydx - xdy = Cdt. Est autem ydxxdy = Dsinud(-Dcosw ) + Dcosad( Dsinw ) Dºdw , propterea с dwla CdtD - da da de ( ) = C2 D D4 insuper AD Code : d d - D dla de dt dD da dt dt . ( dD C do D2 dt 1 . ( D ( ( d da da) da C2 D d d dw ,!... Hit C = as dt aan zoals da ? Coil 100 dwudt da . Da aby boxe parutis 1 C2 D D2 dw² Quare J 101 quam integrantes assequemnr da: dy," ⋅ ∙∙∙∙ ∙≯≀∙⊋∙↕−− ∙∙∷⊋∙⋮−−− C, seu ydæ—Jt'dj—Cdt- Est autem ydx—ædy:Dsinæd(—DcosmH—Dcosæd(Dsinæ) : D'daii , propterea ∙−− dai—C ∙ de) 3—01 ∙ ∁↙≀⇞−−∐⇟⊄∄∾⋅∙⋅⊋⊼−−−∐−≖⋅∙ (a)—"1373" insuper di? d(dD. 49) d(iD ∙⊆− ≀∄⋅∣⊃∙∙ d ∙∙∙⋅∃⊂∙−⊃⋅ 71? ∙− do) ne). dt'- d; ⋅ d:; dï- ⋪∙−⋅−⊳ ↿ ⋅ ⋯↿ 41 d(ï) d D d(B) 1101 ...-2 d, ⋅ da) ∙−↽∁⋅ ↪↼⋅−↽−⇁∁ ↜⊒⋅∶≥⇀⋍−−⋅−≤⋮∶ a d: dmwdt;,, nad-'O) . ' f" " c: ∐≖⋅↙∄∘−∎⊃−dasz102 D + ) ( 61 ). D2 dw² Fac v. gr. ut, viribus ad datum centrum tendentibus, materiale punctum incedat curvam (dicitur spiralis loga rithmica ) repraesentatam per Draw Habebis ( 27. 6.° ) . el = 2 11름 loga dw ,de 1 D% log ? a dway log.'a ; iccirco go CP D2 a log-a + b) ( logo a+ 1 ) . vis nempe acceleratrix erit in ratione reciproca triplicata distantiarum a dato centro.

9. # . Ad constantem C quod spectat, ex coordina larum origine 0.(Fig . 19 ) intelligantur duci bini radii ve clores, alter ad punctum datum a habens coordinatas xo, Yo, alter ad punctum quodvis B habens coordinatas x, y; sitque A area sectoris terminati arcu aB et radiis illis, A area aBca' : erit A = A + Xoyo 2 xy 2 > ⇀↿∘⊋∙ du- −−∶⊨ C, ...—l.).. ..,— (6) ..... i)? da: D !' Fac 9. gr. nt, viribus ad datum centrum tendentibus, materiale punctum incedet curvam (dicitur spiralis loga- rithmica ) repraesentatam per D: ac . Habebis ( 27. 6." ) 1 -ao 1 1 T)- :a ∙↙≀−∣⋝−∙−−−−−− logadæ,d'ï-— .. ∠≀≖−∣↿⋝∙ .. a logia dei:-, :logæa ,

dm" iccirco 1»ng ( −∾∙∣∘⊰⋅∅⊣−∎↿⋥≻−−−∌⋮ ——(l0gi ∅−⊦ 1): vis nempe acceleratrix erit in ratione reciproca triplicata distantiarum a dato centro. 9011. Ad constantem C quod spectat, ex coordina- tarum origine O-(Fig. 19) intelligantur duci bini radiive- ctores, 'alter ad punctum datum et habens coordinatas xo, yo, alter ad punctum quodvis B habens coordinatas x, y; sitque A area sectoris terminati arcu aB et radiis illis, A' area cha': erit ' A—A' : æozïo ?;103 ideoque ( 27. 18° ) dA = dA - d xy ydxxdy 2 denotante praeterea i angulum interceptum tangente in B et respondente radio vectore D, est ( 48) D sinids dA 2 Igitar ydx = xdy = Dsini ds, et consequenter ( 70 ) C dt = D sini ds ; unde ( 20 ) ds C = D sini - Du sini . dt Caetero quantitatem Dvsini esse eamdem ubicumqe suae cur vae sit materiale punctum, liquet ex dictis ( 47 ) .

10 ° # Habemus ( 2º. 8° ) ds de² DP dw2 + dD CP dc2 (Da dwa + dD")p4 dwa dD 2 D2 [ 11 + 9 seu de 103 ideoque ( 27. 18o .) dA ::dA'- J 222 −−−∫↙≀∞−⋍≀↨≧↩ −∫∂∞−≨⋅⇣⇃⋮↙≀∫ ; denotante praeterea t' angulum interceptum tangente in B et respondente radio vectore D, est (48) D sini ds 2 ∙ (IA: lgitur ydx':xdy :Dsint' ds, et consequenter ( 70 ) Gde:D sini ds ; unde ( 20) CZDsini £:Dvsiü. dt Caetera quantitatem Dvsini esse eamdem ubicumqe suae cur- vae sit materiale punctum, liquet ex dictis (47). 100a Habemus ( 20. 8") 2 (Isa 02 dGP—xl-JD':(02 da,-1- dDz) c, . — —∙∙∙ −⋅ dt" ⋅⋅−⋅ dt: D4 dc.-13: ∁≖ dDa äirl—(5)], seu de?104 v2 = C2 -- [ + (3 ] ( m) . 11. # Quemadmoduni , data linea quam incedit materiale punctum , innotescit q ; sic vicissim , data op , po terit sciri linea per quam movetur materiale punctum Denolante B quantitatem constantem et n numerum inte B grum , sit v . gr. g = ; erit ( 7° 6. ) D " B CP D + )

dwa 1 B quae , facto D = 1 D' et et og h , vertetur in C2 d2 D' h D ' r-2 = + diwa +D) . Chaton Haec multiplicata per 2dD ' suppeditat E12dD' dD d dw da + 2D'dDdD' ) -2-2 h D'n -2 d D' = 0 ; sumptisque integralibus , = [CD)* + D ] - 2,0-4C = 0; unde dw (6,2 dD' 2h Dina quoad o adducentem D'2 į ad centrum , '? – C ). ∠⊢⋅⋅ ↿ ' 2 2 1 D∶∁ Exi-(a)] ("**-

↿↿∙∘∙ Quemadmodum, data linea quam incedit materiale punctum , innotescit ?; sic vicissim , data ep , po- terit sciri linea per quam movetur materiale punctum . Deuotante B quantitatem constantem , et 11 numerum inte- grum, sit v. gr. ep:DT; erit ( 70 6.) l 'l 3— B 02 (...d D.. 57.— 25 .'.)* da: D ⋅ ↿ B ∙ quae, fama-:D et——⋜⋮−:h,vertetur tn

  • D' ≀≖≖≖⋅⋅−≖⇌⇀−⊻≐≺∡∽≖ −⊦∘∙≻⋅

Haec multiplicata per 2dD' suppeditat ∶⊨≺∶≳↙⊋≞⇗∠∄−−⊣− 2D' dD')—2h D"'2dD':——o ; sumptisque integralibus , 465)" HB ]-—'— ∣⊃⋅⋅−⋅∙−⊦∁⋅−−−∘≅ n—l unde da: dD' 2]; quoad ?adducentem TDV" —-D'3 —C')5 ad centrum,105 dD' dw 2h quoad o distrahentem (0 – a centro : n =; D**?— D» ) * quarum integratio praebebit relationem inter w et D' , ideo que inter coordinatas polares w et D lineae quaesitae . 12.°* In istarum aequationum prima sume v . gr. n = 2 ; ea sic poterit scribi D' doma V ha- C da h D' h2_C Hinc w = C " + arc cos = h - D' VhC cos (6-C' ' ) ; et restitutis valoribus h , D' , D = C2 B - 1 B2 – C4 C cos (W – C") · Pone C2 C = B (1 + €), =B' ( 1 —E) , B-HVB2_C4 C B - V B2 - C4C quae in summam collectae praebent B CPC B ' , invicem multiplicatae suppeditant -- 8 105 & dm: dD quoad p distrahentem (C' - 36- D'""' −−∙ ∎⊃∎∌≻≩⋅ a centro : ⇀ n—1 quarum integratio praebebit relationem inter 61 et D' , ideo- que inter coordinatas polares &) et D lineae quaesitae . 12."; In istarum aequationum prima sume v. gr. n:2 ; ea sic poterit scribi

.-n

' ↶⋮≼⇂∕−−⊮−∁∙⋟ dæ:- ⇂∕↿ Hinc −≺⊓⋅≻≖∙∣≖≖−∁⋅ G):C"-l— :COS(GO—C")i arC(cos ∙−∙−−−− h—D' h—D' ⋅⇂∕∣−≖−−−⋯≖−⇀∁∙ ⇂∕∣≖≖∙−∁∙ '" et restitutis valbribus I: , D', B—l/Bz—Clt C' cos (co—C") D Pone C2 02 −−−−− −−−−−−↧≉⋅↿ ). −−⋅⊨ −−−−−−∶ —B'(1—e). B—l/Ba—cac- ≺⊹⋮ ∌−⊢⇂∕∌≖−∁↙∣∁∣ quae in summam collectae praebent c:c' B -—-−⋅⋅ . B', invicem multiplicatae suppeditant106 <= B' ? ( 1 —-z ); habebis 1 C2 C' = B B'2 ( 1 B' ( 1 — 52) Propterea D = B' ( 1 - 2) E cosWC( ) (62) . 1 13.0* Potest C' esse vel > 0 , vel < o , vel == 0; in primo casu erit B ' > o et € < 1 ; in secundo B' <o et > 1 ; in tertio B ' = et z = 1. Primum ac secundum casum alibi considerabimus . 14. * Ad tertium quod pertinet , exhibeat NI... (Fig . 25) axem parabolae ( 40. 5.º 7.º ) ; sintque NO ( 3x) et 00' ( =y) orthogonales coordinatae : designante 2p pa ramelrum , exsistet ya = 2px . Substituto x' + ip pro x , transferetur coordinatarum origo in focum H , eritque quoad novam originem H ya = 2px' +p . Duc radium HO =D) ; habebis NHO x' --- D cos w , y = D sin w ; et consequenter D2 sin ’ w = p - 2pDcosw . Spectatur autem D ut quantitas constanter positiva ; proinde 106 ↿ 'a a . "ö'.:B (1—£)1 habebis ∙∙∙ ↿ ⋅ ∙∙∙ Ca B'3(1 - a") ' B' (1—5') ⋅ Propterea B' (1 — a') D −∙− (b,) . 1— :cos (co— C") 1391» Potest C' esse vel≻∘ ∙ vel (o , vel:o; in primo casu erit B' o et e ↿;in secundo B' (0 et s ↿; in tertio B':eo et e:1 . Primum ac secundum ⋅ casum alibi considerabimus . 145): Ad tertium quod pertinet , exhibeat Nl.. . (Fig.25) axem parabolae (40. 5." 79); sintque NO (:.r) et 00' (: y) orthogonales coordinatae :designante 2p pa- rametrum , exsistet y':2pæ . Substituto x' −⊦ ∙⇡∙↼ ;) pro æ . transferetur coordinatarum origo in focum H , eritque quoad novam originem H 7" ⇌ 2pæ' ⊣− r'- D'uc- radium HO' (:D) ; habebis NHO':61, uf:—D cos æ,y:D sin(-); et consequenter D2 sin2 01:p' −∙∙ 2pDcos co . Spectatur autem D ut quantitas constanter positiva; proinde107 DE P cosa + V V pa pacos w_P(1 ~ cos ) sin? W sin? W sin4 w sin' w Sed sin? w = 1 - Cos w = (1 — cosa) (1 + cosw ) : igitur P D = 1 +cosa (63) . Designata nimirum quantitate B '(1 - 6 ) per P , et assumpta C " = 180° , recidet (62) in (63) ; unde consequitur illud : iribus ad centrum datum tendentibus in ratione reciproca duplicala distantiarum ab ipso centro , poterit materiale punctum describere parabolam habentem suum focnm in centro illo . 15.0# Quoad parabolam ( 14º. ), (* ) sinaw 1 1 +cosw cosa a COS pa da P р 2 1 2 CM 1 1 D O Hinc ( 90.m) va - . р D P D Sit E altitudo debita velocitati v ; erit ( 12º. 14º. ) 2C E 2C? v2 = 20E = 2BE D2 E B D2 ' ( 1 -62 ) D2 p et consequenter 2C2 E 2C 1 E D

unde D2 D

. р P Inferimus illud : si in distantia D a centro virium proji . citur materiale punctum , haud describetur parabola nisi 107 D:∙∙∙ ;) cosa) ∙∙∙⊦ Vpa .l.-paene: c.)—p(l—cosï ≖⋮∐⇄ ∙ a) s1na a) sint! ea sin' 6) Sed sinit.):1−cosa a:(1— eos a)) ('l-l- cos a) :igitur ∼ P D:1—i-cosm ∅⋮⋝⋅ ⋅ Designata nimirnm quantitate B'(1-- 6") per p , et assumpta ":180o , recidet (b,) in (63) ; unde consequitur illud : viribus ad centrum datum tendentibus in ratione reciproca duplicata distantiarum ab ipso centro , poterit materiale punctum describere parabolam habentem suum focum in centro illo . 1530 Quoad parabolam (Mc,), ∙ ∙−−− — ∙−−− d' ⋅ ( D) sin'm 1—cosaæ—1—l-cosæ 1—cosa1 df" P" ?' p P 2 ↿ ↿ ∙ 2 c- 1

∙ D ∙∙∙ DQ. Hlnc (90.m) 02: ∙∙∙∎∎∙ ∙ ö ∙ Sit Ealtitudo debita velocitati «a; eri; (1241. 14o.) 2311: 20» E ∙∙∙∶≿∁∶ E ng—ZQE— Da —B'('l—-£3) ∙ [P p . 02 , et consequenter zcn E—zc: '-dE-1 p.Da—p.D,uneD—. . Inferimus illud :. si in distantia D a centro virium proii- citnr materiale punctum , baud describetur parabola nisi108 eidem distantiae D fuerit aequalis altitudo illa , per quam mobile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis ca dendo motu uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsius projectionis.

51. Hactenus de motu curvilineo libero, quum nempe nihil obstat quominus mobile obtemperet viribus; fac nunc ut materiale punctudi, cujus massa = m, moveatur motu impedito, sollicitatum videlicet vi acceleratrice q adstringatur moveri vel in data superficie vel in data linea curva. Quoniam ejusmodi superficies et linea nihil praestant aliud nisi exercere in puncto materiali resistentiam m ç sibi perpendicularem, ideo motus perinde fiet ac si punctum materiale esset liberum viribusque acceleratricibus et d', seu quod eodem redit viq " inde resultanti libere obtemperaret.

Pone quod motus impeditus in data linea debeatur unice vi praeconceplae et vi gp' ut sit 9 habebis q " = 0 ; i = 90 °; et consequenter ( 45. b) 0 : 2,2 ( 6' ' ' ) ; my? Precisa nimirum q , exprimet ( 28 ) pressio nem exercitam a puncto materiali in lineam illam , atque huc spectat vis centrifuga ; pressio videlicet a puncto ma teriali exercita in eam lineam , orta e sola inertia ad prae seulem velocitatis siatum contracta. Ad haec : in eadem hypothesi vis acceleratricis ♡ facile colligitur ex dictis ( 36) motum impeditum fore u niformem . ! 108 eidem distantiae D fuerit aequalis altitudo illa , per quam mobile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis ca- dendo motn uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsius proiectionis.

De vi acceleratrice in motu circulari, existente centro virium in centro circuli.[recensere | fontem recensere]

52. Ex demonstratis (47) patet istiusmodi motum esse uniformem. Sit R radius circuli, per cujus peripheriam incedit mobile: in ( b: 45 ) erant r = R, i = 90° ; in ( b' : 48) vero D =9 = r = R; et denotante A lotam circuli aream, T tempus periodicum, quo nempe mobile conficit integram circuli peripheriam, in eadem ( 8' ) erunt quoque A = n R?, = T. Hinc ex ( 6) 1 RO et ex ( 6 ) ( c ) 4 762 R T2

53. Haec facile punc stabiliuntur.

1º. mobile velocitate quadam projectum in distantia R a centro virium von describet circularem curvam nisi velocitas illa tanta sit quantam mobile ipsum acquireret cadendo per { R motu uniformiter accelerato et vi acceleratrice, quae viget in projectionis puncto; siquidem prima (c) suppeditat v = 2 0.4 R.

2º. In circularibus peripheriis eodem tempore descriptis vires acceleratrices sunt ut respondentes radii: patet ex secunda (c).

3º. Ex eadem secunda (c) inferimus vires acceleratrices fore in ratione reciproca duplicata radiorum quotiescumque quadrata temporum periodicorum fuerint ut radiorum cubi.

54. Obiter haec notamus.

1º. Ex circulari telluris rotatione circa suum axem oritur vis centrifuga (51) in materialibus punctis tam apud aequatorem quam apud circulos aequatori parallelos, generatim expressa per et quia rotatio illa fit motu uniformi, ideo

Tempus periodicum est ubique idem; vero decrescit ab aequatore ad polos; in eadem ergo ratione ab aequatore ad polos descrescet vis centrifuga.

2º. Exhibeat R , radium aequatoris terrestris (Fig. 31) et a geographicam latitudinem, cui respondet circulus aequatori parallelus habens radium R, erit R =R cosa , et consequenter R , cosa T2 Resoluta q' in duas, quarum altera sit verticalis, altera horizontalis, existet illa 402R , cosa D'cosa= T2 et quoniam q' cosa est vis contraria gravitati, inferimus gravitatem imminui magis semper a polis ad aequatorem, ejusque decrementum fore ut quadratum ex cosinu latitudinis, spectata videlicet tellure instar sphaerae.

3º. Exprimat s altitudinem debitam velocitati rotationis; erit ( 30) 2gs = v ?, ideoque ( 10 ) 2gs = q R, et consequenter 8 solia R . 2s 110 mg': mv"R; ) et quia rotatio illa Et motu uniformi, ideo 27rR et ∙∙∙∙∙ ∢∏≃∣≹ T ' ?" Ta .-

ecosa: Tat quoniam cp' cosa: est vis contraria gravitati, inferimus gravi- tatemimminui magis semper a polis ad aequatorem, ejusque decrementum fore ut quadratum ex cosinu latitudinis , spectata videlicet tellure instar sphaerae.

111 Hinc innotescit ratio inter gravitatem et vim centri fugam : sic apud aequatorem invenitur 8 R, = 288 circiter; 2s1 inde sequitur quod gravitas sub aequatore in hypothesi tel luris immotae esset == 1880' + q = 289 .

De vi acceleratrice in motu elliptico, existente centro virium in foco ellipsis.[recensere | fontem recensere]

55. Haec praemittimus:

1 °. si ex puncto quovis M (Fig. 32) ducuntur duae rectae MN, MS tangentes sphaeram SN .. , erit MN = MS: ductis enim ex centro C radiis CN, CS ad contactus puncta N et S; itemque CM ad punctum M, triangula CMN, CMS rectangula in N et S habebunt latus CM commune, latera vero CN , CS aequalia; ideoque etc.

2°. Si per tangentes MN , MS ducuntur plana tangentia NMT , SMT ad sphaeram SN .... sese muluose. cantia juxta rectam MT, angulus NMT aequalis erit an gulo SMT: nam ex C , N , S ad punctum v . gr. T rectae MT, ductis CT , NT , ST, quoniam NT et ST jacent in planis tangentibus NMT , SMT , iccirco in triangulis CTN , CT'S anguli CNT, CST erunt recti; latera in. super CN CS sunt aequalia , et CT commune: proinde NT = ST. Triangala igitur MNT, MST exsistent ( 1 ° ) invicem aequilatera; ideoque etc.

3º. Si denotat p projectionem lineae rectae l in plano quovis , et a angulum , quem efficit I cum eo plano , erit

: patet ex Trigonometria. 4º. Si denotat P projectionem mn (Fig. 33) areae planae cd ( = A ) in plano quovis gr , et i angulum , quem efficit A cum gr , erit, P = A cosi . Ducatur enim planum mg parallelum areae A, in quod demittatur ex d perpendiculum dK ( = x ) ; ducantor quo que plana gh , de parallela plano qr; ponaturque dg = y . Quisque videt prisma vel cylindrum md aequari prismati vel cylindro ge: propterea Ax Py ; unde P A ; est autem - sindgK = cosi ; igitur etc. yу

5º. Secetür cylindrus rectus aB ( Fig. 34 ) plano ad circularem ipsius cylindri basim inclinato; sectio AMBL dicitur ellipsis ; punctum C, ubi planum secans occurrit axi cylindri, vocatur ellipseos centrum; punctumque S, ubi se crio illa tangit sphaeram sambl cylindro inscriptam , appel latur ellipseos focus; pro cylindri base sumimus circuluin trans euntem per centrum c sphaerae inscriptae; inde fit, ut ba seos peripheria sit linea contactuum superficiei sphaericae et superficiei cylindricae.

6º. Si per C ducitur linea quaevis recta LM ter minata ad ellipseos perimetrum , ejus projectio in cylindri base erit ipsius baseos diameter lm , ita at lc sit projectio portionis LC, et mc projectio portionis MC. Sed lc mc ; ergo ( 30 ) LC = MG: lineae videlicet rectae transeuntes per ellipseos centrum , et ad ellipseos perimetrum terminatae , dividuntur omnes bifariam in eodem centro.

7º. Per extrema puncta 1 et m diametri lm du ctis ad circularem cylindri basim tangentibus lh et mt , hae utpote perpendiculares ipsi lm erunt parallelae; rectae quoque IL , mM utpote cylindri basi perpendiculares, erunt parallelae; ergo plana hll , ImM cylindricam superficiem 112 40. Si denotat P proiectionem mn (Fig. 33 ) a- reae planae cd:( A ) in plano quovis qr , et t' angulum , quem eliicit A cum qr', erit, P:A cost'. Ducatur enim planum mg parallelum areae A, in quod demittatur ex d. perpendiculnde ( −−∶ æ ); ducantur quo- que plana gh, de parallela plano qr; ponaturque liga:-7. Quisque videt prisma vel cylindrum md aequari prismati vel cylindro ge: propterea Aa: −−∶ Py: unde P: .i.-A; est autem −⋅↕⇣∙ ∶−− siudgK :cosi; igitur etc. .7 20. Secet'ur cylindrus rectus aB (Fig. 34 )plano ad circularem ipsius cylindri basim inclinato; sectio AMBL dicitur ellipsis; punctum C, ubi planum secans occurrit axi cylindri, vocatur ellipseos centrum; punctumque S, ubi se- ctio illa tangit sphaeram sambl cylindro inscriptam, appel- latur ellipseos focus; pro cylindri base sumimus circulum trans- euntem per centrum c sphaerae inscriptae; inde fit, ut ba- seos peripheria sit linea contactuum superficiei sphaericae et superficiei cylindricae. 60. Si per C ducitur linea quaevis recta LM ter— minata ad ellipseos perimetrum, ejus proiectio in cylindri base erit ipsins baseos diameter lm, ita ut lc sit projectio portionis LC, et me projectio portionis MC. Sed lc :: mc; ergo (30) LC: MC: lineae videlicet rectae transeuntes per ellipseos centrum . et ad ellipseos perimetrum terminatae. dividuntur omnes bifariam in eodem centro.

113 tangentia existent parallela inter se; et couscquenter inter sectiones quoque LH, MT istorum planorum cum elipseos plano exsistent parallelae. Liquet autein intersectiones il las esse tangentes elipseos in L et M; ellipseos igitur lan gentes ductae per extrema puocta cujusvis rectae, quae trans eat per centrum , quaeque terminetur ad curvae perime trum, erunt inter se parallelae. Recta LM secat bifariam ( 3º ) chordas omnes paral lelas tangentibus LH , MT; ejusmodi enim chordarum pro jectiones nibil sunt aliud nisi circularis baseos chordae pa rallelae tangentibus lh, mi, atque ideo perpendiculares dia metro lm , a qua proinde secantur bifariam : inde fit , ut LM dicatur ellipseos diameter.

8º. Ex M ad focum S ducatur MS; rectae MS ,Mm tangent ( 50 ) sphaeram, altera in S , aliera in punctum lineae contactuum superficiei cylindricae et superficiei sphaericae: ergo ( 19. ) MS = Mm. Simili modo, ex L ad S du cta LS, erit LS = LI.

9º. Plana TMS, MMT et transeunt per rectas MS, Mm tangentes sphaeram , et sphaeram tangunt, et sese mutuo secanı juxta MT; ergo ( 2º )anguli TMm, TMS erunt aequales : simili ratione ostenditur angulos IILS esse aequales.

10º. Denotet a rectam Cc jungentem centra Cet c: trapezium LMml suppeditat Ll +Mm 2a ; igirur i 80 ) SL + SM 2a . Variala utcumquc positione diametri LM , non ideo variabit recta Cc , sed mavebit cousians in ea dem ellipsi ; ergo summa rectarum SL et SM, quae in ea dem ellipsi ducuntur a foco ad extrema puncta cujuscum que diametri LM, erit quantitas constans. Ad haec: rectae SL, SM efficiunt cum tangentibus LH , MT avgulos aequa les SLH, SMT; cum enim LH et MTsint parallelae ( 7 °) , itemque Ll et Mm parallelae , angulus HLL aequalis erit angulo TMm; proinde ( 99) etc.

11º. Revolvatur diameter LM donec transeat per focum S, sicque evadal AB: rccidet SL in SA, et SM in 113 tangentia existent parallela inter se; et consequenter inter- sectiones quoque LH, MT istorum planorum cum elipseos plano exsistent parallelae. Liquet autem intersectiones il- las esse tangentes elipseos in L et M; ellipseos igitur tan- gentes ductae per extrema puncta cuiusvis rectae, quae trans- eat per centrum, quaeque terminetur ad curvae perime- trum, erunt inter se parallelae. Recta LM secat bifariam (30) chordas omnes parallelas tangentibus LH, MT; ejusmodi enim chordarum pro- jectiones nihil sunt aliud nisi circularis baseos chordae pa- rallelae tangentibus lh, mt, atque ideo perpendiculares dia- metro lm, a qua proinde secantur bifariam: inde fit, ut LM dicaturo ellipseos diameter. .Ex M ad focum S ducatur MS; rectae MS . Mm tangeiit (50) sphaeram, altera in S, altera in puncto m lineae contactuum superficiei cylindricae et superficici sphae- ricae: ergo (10. ) MS :Mm. Simili modo, ex L ad S du- cta LS, erit LS:LI. 90. Plana TMS, mMT et transeuntper rectas MS, Mm tangentes sphaeram, et sphaeram tangunt, et sese mutuo secant iuxta MT; ergo (2")anguli TMm, 'I'MS erunt aequales: simili ratione ostenditur angnlos HLS esse aequales.

12.• Aa est minimum , Bb est maximum omnium perpendiculorum Ll , Mm , ... quae ex perimetro ellipseos demittuntur in cylindri basim ; ergo ( 89) SA erit minima , SB erit maxima omnium rectarum , quae ex foco S du cuntur ad ipsam ellipseos perimetrum .

13.• Punctum S' ita determinatum in axe trans verso AB , ut sit CS' = CS , dicitur alter ellipseos focus. Jam si ex S' ad M et L ducuntur rectae S'M et S'L , quo niam SC = S'C et ( 69) LC = MC , iccirco SL et SM erunt aequales et parallelae ; igitur ( 109) SL + SM SM + SM = SL + SL = 2a . Praeterea angulus SLH aequatur angulo SMR ; ergo ( 10 °.) angulus SMT aequabitur angulo SMR.

14°. Producatur MS donec tangenti LH occurrat in H , erit ( 30. ) angulus LHS aequalis angulo SMT. Sed ( 109. ) SMT = SLH ; ergoò LHS == SLH , ideoque SL=SH: hinc ( 13. ) HM = 2a . 56. His praemissis venio cum D " o Arpere ad quaestio nem propositam de invenienda vi acceleratrice o in motu elliptico , exsistente centro virium in ellipseos foco S. Conci piantur duo radii vectores SM , SN intercipientes angulum inGnitesimum MSN , et producatur SN donec occurrat tangenti TM ... in R ; erit ( 49 , 6 " ) Q 2 NR 62 Binae NR , MH babendae sunt pro parallelis , eruntque 114 SB; ideoque (100) AB:Za. Quoad alias positiones diame- tri LM habetur semper LM (SL ∙−⊢ SM, et consequen- ter (100) LM 2a; igitur AB est omnium diametrorum maxima: AB dicitur axis transversus ellipseos; diameter per- pendicularis axi transverso dicitur axis conjugatus.

140. Producatur MS donec tangenti LH occurrat in H , erit (70.) angulus LHS aequalis angulo SMT. Sed (loo-) SMT:SLH ; ergö LHS:SLH , ideoque SL:SH: hinc (139) HM:20. 56. His praemissis venio cum D'" Atnpere ad quaestio- nem propositam de invenienda vi acceleratrice ep in motu elliptico , exsistente centro virium in ellipseos foco S. Conci- piantur duo radii vectores SM , SN intercipientes angulum infiuitesimam MSN , et producatur SN donec occurrat tangenti TM ... in R; erit (49. b") 2NR ∙∙∙⇀−−∙ −−⇀∙∙62 Binae NR , MH habendae sunt pro parallelis , eruntque115 proinde ( 55. 3. ) ut respondentes projectiones nr , mh in cylindri base : hinc ( 55. 14º.) nr . MH NR = nr 2a mh mh Sit T tempus periodicum , quo nempe materiale pun ctum totam percurrit ellipticam orbitam ; erit ( 46) ellipseos area ad aream MSN ut Tad 0 : istae areae sunt ut re spondentes projectiones ( 55. 4º. ) in cylindri basi , nimirum ut ipsa cylindri basis ambll = mila et area msn : ad haec ; demisso perpendiculo st ex s io tangentem mt , erit msn = j st , mr = 1 st (nr . mg) : quare ( mza) 712 14 ml 16 T2 2 SC nir , mg et consequenter mi ml 62 T2 . nr T2 2 st mg Triangula mlh , mlg sunt rectangula , alterum in l , alterum in g ; habent insuper communem angulum in m : iccirco ml" = mh . mg Anguli mhl et hmt sunt ( 55. 7. " ) aequales ; propterea triangula mlh , stm rectangula in l ac o dabunt (55.30. 14º.) 115 proinde (55. 39) ut respondentes proiectiones nr, mi: in cylindri base : hinc (55. 140.) nr . MH nr

2 −∙− ∙ NR mh (: mh Sit T tempus periodicum, quo nempe materiale pun- ctum totam percurrit ellipticam orbitam; erit (46) ellipseos area ad aream MSN ut T ad 9: istae areae sunt ut re? spondentes projectiones (55. 40.) in cylindri basi , nimirum ∙ ∙ ∙ ∙ ↿≖ −∎⋅ ↴ ut ipsa cylindri basis ambl(:-Z - ml") et aram nim: ad haec ; demisso perpendiculo st ex .: in tangentem mt , erit mm:&st,mr:äst(nr.mg)iï:quare l ml ml: 62 nr ∙−−− ∙∙ T! :,- ' —-- ' "rf"; ' st2 mg Triangula mih , mlg sunt rectangula , alterum in I, alterum in g; habent insuper communem angulum in m : iccirco ' tl, — z'mll. Anguli mi:! et hmt sunt (55. 73) aequales; propterea triangula mllt , stm rectangula in 1ac :dabunt (55 . 30. 140.)116 Im mh MH 2a SC si SM SM Non pluribus opus est , ut assequamur 47' a3 1 ( h) ; T2 SM vim nempe acceleratricem in ratione reciproca duplicata radii vectoris . Quoad aliam ellipsim 4 R² a , 1 T ; i S, MI 2 hinc si 1 1 a3 T2 a , T

erit op :

2 SM 2 S, M , Si nempe in diversis ellipsibus quadrala temporum pe riodicorum sunt ut cubi semiaxium transversorum , vires acceleratrices tendentes ad respectivos focos erunt in sola ratione reciproca duplicata respondentium radiorum ve ctorum .

57. Haec subjungimus .

1.º Fiat CS CA CS seu a € ; numerus & K1 ) dici lur excentricitas : ex L in axem transversum ducatur per pendiculam Li , et ponantur Ci = x , Li = r ; erunt SL = y2 + ( x — $ a) 2, S'L ' =y2 + ( x + ε a) 2 , et consequenter ( 55 , 13º. ) ↿16 lm mh MH 212 ∙−−∙∙−−− −∙∙sm SM SM .

Non pluribus opus est, ut assequamur 47:303 1 −− ∙∙∙ lt ; ? Ta sit-r, ( vimnempe acceleratrieem in ratione reciproca duplicata radii veetoris. ⋅ Quoad ≘∣⋮∘⊡↾ ellipsim ∙− 4 123 a,3 1 ut ?! Tla 5! M : hinc si .?- gz. . −↿− ↿ ⊽↓⊽∶⊺∣≖∙∁≖∣⇂∲∙∲∎⇌⇋⊤⊡∶ Si nempe in diversis ellipsibus quadrata temporum pe- riodicorum sunt ut cubi semiaxium transversorum, vires acceleratrices tendentes ad respectivos focos erunt in sola ratione reciproca duplicata respondentium radiorum ve- ctorum .

57. Haec subjungimus. CS

↿∙∘ Fiat äseuï :8: numerus : ((1) dici- tur excentricitas : ex L in axem transversum ducatur per- pendiculum Li , et ponantur Ci:æ , Li:7; erunt ST." :y2 −⊢ ≼⋅⊅−−∙⋮∠≖≽⇄⋮ ST]? :]! −⊢ ≼⋅≈⋅−⊢⋮∘≻≖ , et consequenter (55.130.)117 Vym + (x - ea) + V y2 + (x + ea ) 2a ; ! unde ye + ( x – sa )2 + 2V 99 + (2 - a) Vya + (xta) ty: + (x + a ) = 4aº ; ac propterea V12 + (x - a)2 V y2 + (x +-a)? = 2a? —yox? - ?o ? ex qua obtinetur ya = (1-2) (a? – x2) ( o) ; aequatio ad ellipsim inter x et y computatas a centro C.

2. ° Facta x = o in ( o ) , valor y inde proveniens nihil erit aliud nisi valor semiaxis conjugati ( 110.) : hinc , denotante 6 istiusmodi semiaxem , exsistet 2 62 CS seu ( 10.) 1 - 62 ideoque CS' =a2-6.

al' a a2 Inferimus distantiam inter focum et punctum illud , in quo semiaxis conjugatus occurrit ellipseos perimetro , acqnari semiaxi transverso . 39. Loco x substituatur a - ain (o) : emerget y2 = ((1 — 82 ) ((2ax - x2 ) ( 0' ) ; aequatio ad ellipsim inter x et y computatas a vertice A. Jam vergente e ad 1 , simulque crescente a indefinite ver 117 Vr-l—(æ—eaP-l- l/Ja-l—(æ—l-eaPr-h? ⇥ ' nnde y' −⊦ (æ −∙∙ id? −⊢ 21/7' ∓−⋅⋜∞∶∽≻∙ Vy' −⊢≺∙↿⊏⊹∽⋟≖ −⊦↗≖ −⊦ (..-'.]. ..). ∶−− ta: . EC propterea Vm VW:2(:* —y2—æ2—s*a' ex qua obtinetur ]" −−−−−− ≺↿∙−∊≖≻ (a' --.r*) (a): aequatio ad ellipsim inter se et] computatas a centro C. 2.(, Facta a: o in (a) , valor ]inde proveniens nihil erit aliud nisi valor semiaxis coniugati (HO.) :hinc , denotante b istiusmodi semiaxem , exsistet —2 b' CS &" ∙ ..... 1−−∊≖−∙−∶ 23, seu (1 0,)1 ...—a—z- ;; ;1deoque CSa −−∶∅⇄∙− ∂≖⋅ Inferimus distantiam inter focum et punctum illud, in quo semiaxis conjugatus occurrit ellipseos perimetro, aequari semiaxi transverso .

30. Loco a: substituatur a— a: in (0) :emerget

(1—82) (2aæ—æ2) (0') : aequatio ad ellipsim inter se et y computatas a vertice A . Jam vergente P. ad 1 , simulque crescente a indefinite ver-118 gat 2 (1 — ?) a ad limitem quemdam finitum B : aequatio ( 0 " ) verget ad yö = B x (o " ) , et consequenter , precedente foco S' indefinite a vertice A , ellipsis repraesentata per (o' ) ad parabolam repraesentatam ( 40.70. ) per (o " ) . Inferimus illud : si a quovis parabolae puncto du cuntur binae rectae altera ad focum , altera axi paral lela , eae cum tangente per idem punctum ducta aequa les ( 55. 130. ) hinc inde continebunt angulos.

4.• Pone conjugatum ellipseos axem fieri imagi narium ; adhibe nempe 26V - 1 pro 26 : fiet 22 1-62 = , ideoque e > 1 . Q2 Aequatio nimirum ( 0) novam curvam repraesentabit, quae dicitur hyperbola , quaeque secat abscissarum axem in distantiis CA ( = a ) et CB ( =-a) ab G ; inde in infi . nitum excurrit cum quatuor ramis ab axe illo magis sem per recedentibus , quorum bini respiciunt partem posi tivam , bini negativam , habet insuper centrum in C , focos in 0 et O' , exsistente CO = CO ' = ɛa .

5. ° * In aequatione ( o) substitue x' + sa pro x; habebis ya=( 1—62) ( a2 -x'tea) ) ad ellipsim vel hyperbolam prout << vel > 1 , exsisten te coordinatarum origine in respectivo foco S vel 0. As sumptis nunc ( 7.9 ) x = Dcosw , y = Dsina , 118 gat 2(t-—£*)a ad limitem quemdam finitum B :aequatio (a') verget ad J'2Bæ ⋅ (a"). et consequenter , recedente foco S' indefinite a vertice A , ellipsis repraesentata per (a') ad parabolam repraesentatam (40. 70.) per (a") . Inferimus illud: si a quovis parabolae pnncto du- cuntur binae rectae altera ad focum, altera axi paral- lela , eae cum tangente per idem punctum ducta aequa- les (55.130.) hinc inde continebunt angulos.

4. 0 Pone coniugatum ellipseos axem fieri imagi- narium; adhibe nempe ⊋∂⇂∕∙−−−−↿ pro 26 :iie't ↿∟∊≖−−∶−⋮⋮ ideoque : ↿∙ ∙ Aequatio nimirum (o) novam curvam repraesentabit, quae dicitur hyperbola , quaeque secat abscissarum axem in distantiis CA (:a) et CB (:—a) ab C; inde in inli- nitum excurrit cum quatuor ramis ab axe illa magis sem- per recedentibus , quorum bini respiciunt partem posi- tivam, bini negativam, habet insuper centrum in C, focos in O et O' , exsistente CO:CO':sa.

5.0 11 In aeqnatione (o) substitue x' −∣− Sa pro a:; habebis ↼ ⋅ J*-——(1—8*)(a—(x'-l—w)2) ad ellipsim vel hyperbolam prout :( vel)1 , exsisten- te coordinatarum origine in respectivo foco S vel 0. As- sumptis nunc (7?) x': -- DCOSGJ ,yzDsinm ,119 erit Dasin 6) = (1-2)( a ) - (ea - Dcosa)) ") ; quae traducitur ad Da 2 ea ( 1-2) cosa a ' (1-2) D = 1-6 cos26 1 - & cosa unde c D : a (1-2) ( ECOSW +1 ) . 18? cos26 1 Habetur D pro positiva quantitate ; sumpto itaque su periore signo quoad << 1 , emerget in ordine ad elli psim D al 1-52) ( 1 t-scosa ) ( 1 +acosw) ( 1 -ecosw) a ( 1-2) 1 -ECOSW ( h) ; sumpto inferiore signo quoad >1 , prodibit in ordine ad hyperbolam a (1-2) ( ECOSW - 1 ) a (621) D = ( 1 + scos ) (1 - Cosw ) 1 tecosw (h' ) Non pluribus opus est ut intelligamus in primo ex ca sibus alibi ( 50. 13.° 14. ) consideratis descriptum iri ellipsim , in secundo hyperbolam , exsistente focorum al tero in centro virium : quoad ellipsim , B= a; quoad hy perbolam, B' = - a. 6. # Ex ( h) 119 erit Didone-:( 1—s*)(a'—-(ea—chsæ)3) ; quae traducitur ad 25a(1—s*) cos 6) D∙∙− a'( 1 Da −∙∙ −∊≖≱≖ . 1—szcos2ca 1—e*cos*c.1 unde ∙∙∙ ⇩≺↿∙−⋮⇄⋟ (scusa) :bt) 1----ea cosa:» D 1 Habetur D pro positiva quantitate; sumpto itaque su- periore signo quoad e(1 , emerget in ordine ad elli- psim ' 3( l—sï) (1—l—scosa1) —a(1 —e') D—(l—l-Ecosw) (1—äcosm) 1—scosc1 (71) : sumpto inferiore signo quoad s)1 , prodibit in ordine ad hyperbolam ∙∙ -a(1—e*)(scosca——1) —a(sï—1) (1—I—scosa1) (1—scosm). 1—I—ecosct Non pluribus Opus est ut intelligamus in primo ex ea- sibus alibi (50. 13.014.0) consideratis descriptum iri ellipsim , in secundo byperbolam , exsistente iocorum al- tero in centro virium :quoad ellipsim, B:; quoad hy- perbolam, B': — a. 69 . Ex (h) ∙−− .n..- ∙∙ -" ∙∙∙∙∙∙∙−⋅↖∙∙∙− '.120 1 2 a ( 1-2) sasin ' ECOSA= 1 €2-82cos ? Ꭰ . dw al( 1 - E22 a-(1-6 ) a (1— $ 2) 2 ( 1 - ") a (1452) 2 1 1 1 a (14 € 2 ) D bi a - 1—62) D2 proinde ( 50. 9.º ) 02 2C2 a (1-2) G- ) ( h " ). Ex ( h' ) €2sin ? ECOS W = a( 82-1 ) D ( a2( 1–82) 2 –1). € 2 . a ( 821) & 2 - cos26 D 42( 1-2) 2 1 . a (21) D a’( 1-62) 2 1 1 a2 ( 2-1) Da, ideoque ( 50. 10.) V2 2C2 a 2-1 ( + za) ( 17"). 120 ∣a(1-52) d 0 eisinïæ sï-sïcosza) o ' −⋅ ' ⇀− ∙∙∙∙−∙ ∈∁∘⊱∞∶ ↿∙− −∙∙ czu-e*)a czu-ez): proinde ( 50. 99 ) vï— 202 ( 1 '1 ) h" ∙ (tU—83) D 20 ( ). Ex (h')

8003 6) a(83—1) ; (ï) ∙∙∙ £2sin26) −− ' dcc D aï(1—82)2 . &: e* (cuï—1) 1)2 −− ∊≖∁∘⊱≃∾∙∙∙ D ? 2 1 uzu—w?)a t czu—ez? a(e*—-1) D ↿ ↿ ∙ ↙≖≖≺∊≖−↿⋟ ⋅−⋅ ⋅↧⋅⊃−≖∙ ' ideoque (50. 100.) 202 1 1 ) ,,, ↗⇩≕−− an:—1 )(D 'l'ïiz (h)121 Sit E altitudo debita velocitati v; erit ( 50. 12º. ) 2BE v=2qE= Da 2C E B (1-82) D2 Igitur in ellipsi 1 E 1 B ' D (ó -za), 2 seu ( 50) olt E D D 2a ( h " ); in hyperbola 1 B' E Da - ( + za) seu ( 5 ) E = 1 + (tha") Ex (h " ) et ( h ) consequitur, si in distantia D a cen tro virium projicitur materiale punctum, haud descriptom iri ellipsim vel hyperbolam nisi respectu ejusdem distan tiae D fuerit minor vel major altitudo illa , per quam mo bile vi acceleratrice vigente in puncto projectionis cadendo molu uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsius projectionis. 7 ° * Quoad ellipsim ( 50 , h. 6° ) 9 ∙ 121 Sit E altitudo debita velocitati v.; erit (a 50. 12'.) 2BE— zcn E D: B'(1-e*) ⋅ ï; ⊍≖∶∃∲⊡∶−∙− ⋅ Igitur in ellipsi 1'Efn'1 1" 1) B"Dï—-a(o za' seu (50) in hyperbola seu (50) E -D , ⋮−⇂∃⇌−−⋅⊳⊣−⋅⇄−∅⋅⋅≺≀⋅⋟⋅ ∙ l Ex (II") et (h') consequitur, si in distantia D a cen- tro virium proiicitur materiale punctum, baud descriptum iri ellipsim vel hyperbolam 'nisi respectu eiusdem distan- tiae D fuerit minor vel major altitudo illa, per quam mo- bile vi acceleratrice vigente in þuncto projectionis cadendo motu uniformiter accelerato acquireret velocitatem ipsius proiectionis. - 70t Quoad ellipsim (50. I:. 60)122 7 a 옘 E COSQ ) 1 dw² a ( 1-2) Q ( 1-22) - 5 hinc ( 50. 8º. b .) go Ca a ( 1-62 ) 1 Da areo ds D sinids Est ( 50. 9º . ) C =D sini.

exhibet

dt 2 lam a radio vectore D descriptam tempusculo de : deno tante igitur A totam ellipseos aream, T tempus periodi cum, habebitur ds C = D sini dt 2A T Est ( 27. 18º. ) a A = 2V 1-* [Vaº-x:dx ; exprimit 2 | Va?-xă de circularem aream , cujus radius = a , et consequenter 1 A = Tla ? VT- Propterea 1 C2 4 A2 T2 4772 24 (1-2) T2 42 a3 et p = Ta 0 9 D2 122 ≖↿ ⋅ *

cosa) 1 1 dm" −⇩≼↿∙∊≖⋗⊽ ⋅⋅∙↽∙↰↿∙∊≖≽∙ D ' liinc ( 50. 80. b,.) ∙−− ∁∙ ↿ ,? ↼⇀ (tU-e")- ⋅ ⋅∎⋝≖⋅∙ Est (50. 90.) C :D ciuili-f.; exhibet Egit-If. areo- £ iam a radio vectore D descriptam tempusculo dt: deno- tante igitur A totam ellipseos aream, T tempus periodi- cum, habebitur " ⋅ ∙ ∙ ds 2A C—DSID! 'a'ï—T ∙ Est (27. me.) fZl/l-Ez l/a'-æ' dx;

∽ ∘ exprimit Zf Vaz- ac2 dx circularem aream , cujus radius o ∙−∙−−−∙− a , et consequenter A −−∶↿∽≖ ⇂∕↿ ∙a" ∙ Propterea 4A3 47taa4(1-s*) 41:303 1 ∙ Ta" TTL ∅∘⊔⊢− '1'» C*.—. 'ne'123 prorsus ut supra ( 56).

8º. Obiter notamus illud: si materiale punctum motu elliptico movetur viribus ad ellipseos centrum len dentibus, eae erunt in ratione directa distantiarum ab ipso centro . Assertionis demonstratio eruitur ex dictis ( 56) : sint enim duo radii vectores CM ', CN' sub angulo infinitesimo M'ON' , et producatur CN' donec occurrat tangenti M'T in R' ; erit ( 49. 6' ' ) 2N'R' ♡ 02 binae N'R' , M'C censendae sunt parallelae; proinde ( 55.3º. ) m'c : n'r' = M'C : N'R' M'C . n'r m'c area insuper ellipseos ad areolam M'ON' ut tempus pe riodicum T ad tempusculum 6 ; quae areae cum sint ( 55.4º. ) ut respondentes projectiones in cylindri basi , nimirum ut ipsa cylindri basis ambl ( = 76. cm ' ) et areola cm'.r'm' cm ' m'cn' V r'n'. 2 cm ) , iccirco 2 2 m' cm' r'n ' . 2cm 4 02 unde r'n' 762. cm 272. cm' ; 1 4 T2 T2

et consequenter M'C . 27. cm' T2 N'R' cm' Ta 272. M'C.. -- 123 prorsus ut supra (56). 80. Obiter notamus illud: si materiale punctum motu elliptico movetur viribus ad ellipseos centrum ,ten- dentibus, eae erunt in ratione directa distantiarum ab ipso centro. Assertionis demonstratio eruitur ex dictis (56): sint enim duo radii vectores CM', CN' sub angulo infinitesimo M'CN' , et producatur CN'donec occurrat tangenti M'T' in B'; erit (49. b") 2N'R' ? ∶−⋅− ⊖≖ binae NZR', M'C ceusendae sunt parallelae;proinde (55.30.) m'c:n'r':M'C: ⋅ 'C. " N'R'-— M nr : m'c area insuper ellipseos ad areolam M'CN' ut tempus pe- riodicum T ad tempusculum 9; quae areae cum sint (55.4".) ut respondentes proiectiones in cylindri basi , nimirum ut ipsa cylindri basis amb! (: Tt. 27:23 et areola , . cm'.r'm' cm ∙ ∙ ∙ 2 ...—3 CI". I o , —— - n .Zcm - 4 9: . . ∙ 9: a , . 32. cmlb :T2;undern :::-'F. 212. em, et consequenter 9: MC. ∙⊤↓⋅↴∙⋮−⋅∙ ⇄∏≖ cm

NR −− ∙ ∙−−− -;'21t'.M'C. cm124 Propterea . M'C : vis nempe acceleratrix Q directe ut distantia M'C ab el lipseos centro

  • Etiam sic : in ( o. 1º. ) fac

X Dcosw y = Dsinw ; prodibil aequatio inter coordinatas polares ab ellipseos cen tro computatas, nimirum av182 Dsin ? w = (1-2) (a² - D2cos w ), unde D= V 1-8? cos26 Hinc at 2 d:2 av1 (via1-2003 (1-8? cosaw ) V 1-2coscosti D3 1 a* ( 1-2) D . ac proinde ( 50. 8º. 3 , ) CP a4 ( 1482 ) D : quae ad superiorem expressionem traducitur; nam ( 70. ) 4724 (1-2) C2 = 4A2 T2 T2 124 Propterea 4 ita ?

0132 ∙ M'C; vis nempe acceleratrix go directe ut distantia MC ab el- lipseos eentro. & Etiam sic: in (0. 10.) fac' ∶−∙−− -Doosa) ,y −−−−− Dsinæ; prodibit aequatio inter coordinatas polares ab ellipseos cen- tro computatas, nimirum al/1— ei Dsin2 a): ( 1—53) (aa.-ul)2 cosm), unde D— Hinc ([21 « ⋅ ') ? cos-36) sium 113" (zl/1—ea ⇂∕ ↿−⋅⋅∊≖∞≘≖∾ ≼↿∙∊≖∘∘≘≖∾⋟⇂∕↿−⋅⋮∅∾∙≖∞≻ ∙∙∙ D3 1 −− a4(1—£2)—ï ' ' ⋅ ac proinde ( 50. 823, ) Ca ? ∙−− a4(1—-s2 ) quae ad superiorem expressionem traducitur; nam (72) Ca— 4A' ∙∙∙ 4n304(1—£2l T2 T: ⇂∕⋅↿ ∙⊽∊≖∞⊱≖∾ .125

De motu relativo punctorum materialium, tendentium in se mutuo viribus acceleratricibus quae sint directe ut massae in quas tenditur, et reciproce ut quadrata respondentium distantiarum.[recensere | fontem recensere]

58.* Sint m, m ', m , ... punctorum massae; a, b, c coordinatae orthogonales puncti m in ordine ad axes OX, OY, OZ (Fig. 8); x ', y', z' , x " , y ", z " , x '" , ... Coordinatae reliquorum punctorum in ordine ad novos axes et parallelos axibus Ox, OY, OZ, et habentes originem in m. Factis compendii causa ( 50. 7.0) x ' ty's tz's =k ?, x " ty's t-z" = k " , etc ... erunt ( 50. 4.0) quoad motum puncti m de a m ' x' m' ' Qc " d²b m' . g' , m " g + k' " " ) dc2 k2 k' k " 2 hit d12 ka kita d2c m' z' k' m " k' ' ? . dc2 ti to..., seu d'a d26 dc2 m'x m'z ' Σ k'3 niy' Σ dc dca > ( o ) . dt2 k'3 Nunc quod spectat ad aliud punctum v . gr. mi' , pone ( 50.70. ) (.x " —X')2 +6 " -Y')2 + (z" -z") = 002 , ( z" " ' —x' ) 2 + 6 — ')2+ ( z' — z ")2 = ' ' , etc... ; exhibebunt


126 t ... The **** + en +++ m " yy' + d'a + ... , + .. vires acceleratrices ab m " , m ' exercitas in m' , no visque axibus parallelas : denotant ac m j' k'a k' . C k'a ' ki k'2 k' vires acceleratrices ab m exercitas in m' , iisdemque novis axibus parallelas ; sunt insuper ata , bty' , cta' coor dinatae puncti m' in ordine ad axes OX,OY,02; facto igitur m " m '" + .. = assequemur quoad motum puncti m' 20 dQ d'a+x' ) dta mx' d2(6 + y ') k3 dla my' k'3 dx ' dy ' dQ mz' dºlc + z ) dia dzi k'3 d²a d2b Substitutis valoribus dac ex ( 0 ) , prodibunt dca dla dt2 daxi dl mx' m'r' dxc ' . day' d my' dc2 dy m'y' Σ dea k'3 k3 k3 k'3 126 m" .v"--.r' a"; 7 '—:7' F ∙⋅⊱∷−∎∙−⊦∂⋅≖ a ⊣−∙⋅∙∙ vires acceleratrices ab m", m'" , ,.. exercitas in m' , no- visque axibus parallelas: denotant ut se' m y' m : "F' la"—k" k""'1?'-"£' vires acceleratrices ab m exercitae in m' , iisdemque novis axibus parallelas ; sunt insuper a-l-z' , (Hl-y' , e—l—e' coor- dinatae puncti m' in ordine ad axes 0X,OT,OZ; facto igitur " m m m 37 −∂∙−⋅⋅ −⊦ −−∶ 9- assequhmur quoad motum puncti m' d'(a-[-æ') ∙∙∙ dQ mx' d3(b-l-y') ∙∙∙ dQ my . d,. dx" k-a de dy' k'3 (P(e-l-z') .... di) me' dt' dz' k'3 ∙ ∙ ∙ dia d'b die ∙ ∙⊱∎≖∣⋯⋅⋯∎⋯ valonbus dt" ∙ dt' ∙ dt? ex (0) , prodibunt g'æ/ dQ -mæ' zm'x' d'y' dQ my' zmiy' dt' dæ' 163 It'3 ' dt2 dj'- k'3- It'3127 daa' d2 mz' K'3 m'z' Σ dta dzi k3 formulae determinantes motum relatiyum puncti m' quoad punctum m . Quoniam 00 mx' m'x k'3 mtm x + k'3 dx ' k'3 zel 2 X m " come -ac ' 813 -) +mi" xc k3 V3 k'3) +... , dQ , - - monte + -" * 7- ) + m.A-A ) +... en e -maile + ) " V + d2 mz' -Σ dzi k3 m " tom " t ... ; 03 k3 hinc facto R = m " .6. – +) + (5--**" +jx +e*e")+ - ( " ), m " formulae ( 0' ) vertentur in 127 ∙⇌⋅⋮⋅⋮⋅≕↙⇣≴⋅≖−−−∶↗−⋅⋮−−− ∑∶≀−≖⇣ (.,-,, dt: dzï lt'3 k'3 formulae determinantes. motum relativum puncti m' quoad punctum m . Quoniam dQ ⋯⋅∙∙∙∑∽∙∙↼∙⋅⋅≈∙↾−∙ m—I-m' . ⊋⊑⋅∙⋅−⋅⊼∙∶⊤∣ k'3 −−−⋅∎−∎ ↗⊏∙⋮∣ æ III I'll .. ∞⋅⋅−−⋅↕∙⇗ æ" ,,, æ —x' x ≺−−⊽⋮−−−⋅−↗⋮⇁⋮⋮−≻ ⊹≖⊷ ⋯⋯≻⋅⊢ df ———— —— k'3 ∙−− 72— k"3 " yn ∙ yl! " yon—70 ..- 70". "' ( a"? ≀⊏⊤∍≻−⊦∽ ↾≺↴↼⋮⋅−∣⋮∎∎ ≀∎⊄−⋅∣∎⋅⋮≻∎⊦⋅⋅⋅∙ (19 Mi z m'x' m—l-m' zo ∙⊦ dQ my' Z mfy' m-l-m'y. ∙∙⊦ ⊋∎≖∎⋅∎∎∎∎ k'3 15"— ⋅∎∎∎ ↗⊏⋅⋮⇂ a'.—Z" z" "' zIIO—zt all-l . "'" ea ""17'5) "'"" «W ":?75) ⊹⋅⋅⋅⋅ hinc facto 1 æoæn ⊣∙∙ o n

, z'" B: m" (y'—W) ∙∙∣∎∙

1 me xlv ' '" zl zh, " mm (öt—or— J—æO—ïä—L) ⊣∎∙∙∙∙ (O 2, . formulae (o') vertentur in128 dax de2 m -tm ' + x's K'3 dR day ' dx ' ' de mtm + k'3 g mtm dR daz' dR dy' ' dit de k'3 dz Porro , cum habeamus ka + k "? – 02 x ' x " ty'y " + =' z" = 2 k'2 + k ' ' ? d2 x' x'" ty'g '" +z'z' " etc... ; 2 poterit (o" ' ) scribi etiam in hunc modum ( R = m k'o + k" — 0° ) + 22 in '" . k'2 + k 2 2k " 2 3* 2) + ... ( o " ) .

59 * Fac at systema reducatur ad duo tantum pun eta m et m' ; habebis R = 0 , et consequenter der mm x + k'2 k' day' mtm + dia K2 K > dta

  • 3". d2 z' mtm

dt2 + k'2 k Relativus videlicet motus puncti mi quoad m proveniet m +m: (50. 4. 20. ) a vi acceleratrice tendente ad m : pro. k' ? ⋯⊣−⋯⋮↨↾ ' (0 ∙∎∣). klö ,d—l; dR dïz' m—I—m'z, dR ∙ «(y' dc2 k'3 dz' Porro, cum habeamus " k': k": ∙∙∙ ∝↭⊹⊔↤⇥⋠−−⊦⊇ ∂∣∣≖ ⋅ -k'jl −−⊢ k'"a — ö"" x'M* x'" "' z'e ""— 2 ∙ etc... : poterit (o") scribi etiam in hunc modum !, k.: kn; −∙− ux.,, ∂∜≖ .). 21./"a ↿ ⋅ ra −⊦∣⊏⋯≖ −⋅∂∣∙⋅≖⋅≻ .. ∙−∂⋅−∣⋅∣∣ . ka2" .l.-"' (0 )- mllt 59; Fac 'ut systema 'reducaturad duo 'tantum pun- cta m et m' ;habebis R ∙−−∶ ∘, et consequenter d'x' m di' ' ' −⊦⋯P',—mi −⊢⋯⋅−⊣⋤↾⋮⋡−∙≛ −−−−−∘∙ (it—T k'3 k dca k' k' da z' ∙ ⋯⊣−⋯∣ .' d:: [ kl; ' kl :::-"'o. Relativus videlicet motus puncti m' quoad m proveniet (50 . 40 . 70.) a vi acceleratrice mt;". tendente ad m :pro.129 > 7 pterea ( 50.13º . 140.57.50. ) describet m' motu relativo vel parabolain , vel ellipsim , vel hyperbolam , existente foco in m . dR dR dR 60# Secunda membra formularum dx' ' dy' ' dz ( o " ) exhibent ( 50 , 4.:) vires turbantes relativum motum puncti m' determinatum per formulas (o ") . Hinc si membra illa manent constanter tenuissima , ita ut (o ' ') et ( o") dif ferant in terminis exiguissimis , turbationes quoque inde provenientes manebunt tenuissimae ; lineaque ab m descri pla circa m poterit adhuc spectari tanquam vel parabolica , vel elliptica , vel hyperbolica ; ita tamen , ut gaudeat ele mentis continue mulatis .

61 * Datis tribus punctis m , m ' , m " ( Fig. 35 ) , demissoque ex m' in mm " perpendiculo m'A , sint x' = mA , y' = m'A , X " = mm " , z' = 0, y = 0, z " = 0. Erit ( 58) a' x 1 R m' (-- = m " k3 ha( x" —x'to) 2ty'a ) unde prodeunt vires distrahentes m' ab m juxta directiones x' et y' , nimirum dR x " — x 1 dx = m " [(x" — x'ja traj . DR dy ' m " [(x“ — x'ja + y'a ] } Denotet h angulum m'mm " , et D distantiam mm' ; erunt x ' = D cos h , y = Dsinh , et consequenter 129 pterea (50 . 130. 14" . 57 . ö".) describet m' motn relativo vel parabolam , vel ellipsim, vel hyperbolam , existente foco in m . dR dR dR dæ' , d)" , dz' (o"') exhibent (50 . 40:) vires turbantes relativum motum puncti m' determinatum per formulas (a') .Hinc si membra illa manent constanter tenuissima , ita ut (o"') et (a') dif- ferant in terminis exiguissimis , turbationes quoque inde provenientes manebunt tenuissimae ; lineaqne ab m' descri- pta circa n; poterit adhuc spectari tanquam vel parabolica , vel elliptica, vel hyperbolica; ita tamen , ut gaudeat ele- mentis continue mutatis .

130 [ ( x " —x ) 2 + y'r] - = ( x " 2—2D.x" cosh + Daj - - mi [1+ (13–2cori)]- *

  • " [ - P2-2.5k)+3 . ) 6–2 cos )"

- 2.7 CM) 6-2005 )'+ ] Propterea , si D est ita parva prae aut possint omitui termini includentes factorem exsistet (2 )", [cº= 2') + s] = 1 +3 D cos h 73 "4 ac proinde dR dx = m ' 3 D cos h 3 D2 cos2 h x3 = 2 2:14 X

m

  • +357 Dosh )

( -Dout mi ( Doco 4-3C )*.) China + 202 )= 2 m D cos h dR 3 DP sin h cos h dy. m " 24 130 3 ∐∙↧⋅∥−−∙↧⋅⋅⋟≖⊹∫⋅≖⋮∣ −'i;:[£&—2th cosh-l— D'] −⋅⋮∎∎ : ∙∙ 3 æ" : [130 2, äl—Zcosh)]— 7: .'! 30 D 3.5 D): D ) a': ∣∶↿⋅−⋮⊸⋅⊋∙−⊤≺⋤−∣ 2—-cosh)-i—m (;" (;,—2005" −∶≣⋅−≣−−∶≟≺⋚⋛∥−≻ ≺−⋅⋅⋅⋛⋮⊽∙−⋮∞≖↗⋮≻⋮⊣−⋅∙∙∃∙ PrOpterea, si D est ita parva prae æ" ut possint omitti . . . termini D . . includentes factorem (F) , exsistet [(. ' BD-io-sh. «J)- −⊦∂∣≖∃−⋮⋅↼−↿ −−∽ ↽⊦−−−−−− ac proinde dR ,, a.,—a." æ"—æ' 1 ævo, a'./3" −⊦ [[[. ∎∎∎∎∎ II a: .r.-3 ,,(1 Dcosh BDcosh— BD'cosïh 1) ., 2 D cOs '! (D : cos: !: 2m" Dcos]: m -—-3 −− ∙ ,, −− ( æ... .) .: .r., a −∉⋮≹∙∙∙ ∣≺∐∘⋮∐∣⇂⊹∍∘∙∙⋮∐∣≖∞≖∣≖ −∙∙ dy —--—m ∙↿∙∙∦⋮ æ"], )—131 sin h cos m" - D sin h 3 +3 m" D sin h m

62. Bonum erit alia ratione nonnulla hic stabilire circa vires in praefato motu relativo .

↿∙∘ Sint duo puncta T , P (Fig. 36.) , quorum massae m, m', distantia vero TP (: k');et "veniat determinanda vis acceleratrix in motu relativo puncti P quoad T . Ex hypothesi P tendit in T vi I acceleratrice . m . . m

— ;et T in P v
acceleratrice ∙−−∣−−≖ sive au.

] 3 I tem T sollicitetur .. vn. m . m . −− ∣−⋮∣−≖− et Pv: 17; , sive T quiescat et P I sollicitetur vili—ïm]— &, idem in utroque casu (5) habetur motus relativus puncti P quoad T; vis ergo acceleratrix in istiusmodi motu erit

2." Praeter P , T detur et tertium punctum S , cuius massa m" , ut determinentur vires iude provenien- tes, quibus turbatur motus relativus puncti PquoadT ortus ex vi (0) . Ducta ST , completoque parallelogrammo .. STPP' , exhibeat diagonalis SP (: 8") vim g.: , qua sol- licitatur P versus S:resolvatur vis ista in duas, quarum al- tera (: ?') sese dirigat iuxta PT , altera (:f) iuxta PP'; exhibebitur illa (8) per parallelogrammi latus PT (: k') . haec per latus PP':ST (: k"); eritque ' m" .,

n ⇀
m" IC, '

m" k, ≒≀−∣−⋮∙⊊≱⋅∙∣⇆∶∂ ∶∣⊄∙ ]; ,unde 93:77sz "3 ⋅132 m' ' m " Sollicitatur T versus S vi ; et attentis f et i motus k2 relativus puncti P quoad T eodem prorsus modo fiet ( 5 ) sive T quiescat et P sollicitetur vi f m ' sive T sollicite k'2 m " tur vi et P vi f. Propterea vires provenientes ex S , et perturbantes motum relativum puncti P quoad T , al tera juxta PT altera juxta PP' parallelam rectae ST , ex primentur per k " 2 ø=73 m " k " g = f mi" " Cess ) ( c' ) . k's 3.° Ex puncto S demittatur perpendiculum SS' ( =i) in planum curvae , quam describit P motu relati vo quoad T; ab S ad T ducatur recta ST ( =n ) , sitque angulus STP = a : vis q" agens juxta directionem paralle. lam rectae ST resolvetur in duas, quarum altera q"cosSTS seu q " . ! existet parallela rectae ST in plano cur vae , altera q " sinSTS' seu o" . perpendicularis eidem pla k " resolvetur in duas quarum altera o " no: rursus onk cos a aget in curvae plano juxta TP , altera om. sina in eo k " dem plano normaliter ad TP. His positis , quisque in telligit vires perturbantes motum relativum puncti P exhiberi posse per 132 SollicitaturT versus S vi "'

et attentis f et −∥↼↕−∙ -, motus 1."» 1."

relativus puncti Pquoad T eodem prorsus modo fiet (5) sive T quiescat et P sollicitetur vi f— 'I—N. , ∣∣≖ sive T sollicite/- et P vi f. Propterea vires provenientes ex S , ∙ m tur '! k"- et perturbant'es motum relativum puncti P quoad T , al- tera juxta PT altera juxta PP' parallelam rectae ST, ex- primentur per ' mllko " "zl! " kl! 1 ' Pf"??- ⊕−−⇌↾−−⊺⋇⊽≏∶⋯ (Fa-"' ia") "'

3." Ex puncto S demittatur perpendiculum SS' (::t') in planum curvae , quam describit P motu relati- vo quoad T; ab S' ad T ducatur recta S'T (::n) , sitque angulus S'TPr-at: vis 9" agens juxta directionem paralle- lam rectae ST resolvetur in duas, quarum altera 9"cosST5' seu 9"? existet parallela rectae S'T in plano cur- vae, altera 9"sinSTS' seu q;".grperpendicularis eidem pla- no: rursus ?"]?- resolvetur in duas quarum altera ⊄∙⊅⋅⋅∙⋮∙− eos :: aget in curvae plano iuxta TP , altera ?")—;.sinat in eo- dem plano normaliter ad TP. His positis, quisque. in? telligit vires perturbautes motum relativum puncti P exhiberi posse per133 COS Q = cosa , 9 =porn o--" (* - ) .com Pa = e" sin æ = = m m " (- ) snæ , 93 = ml - ) ( c ) i

9 , et Q2 agentes in curvae seu orbitae plano ipsam orbi tam turbant ; 93 perpendicularis plano orbitae turbat ipsius plani positionem . 4. ° Pone S , T, P esse constanter in uno eo demque plario ; erunt i = 0 , n=k", a=S'TP=STP(=h) : proinde PI m " 8'3 -m"( )cosh , " sink , } ( cm) Q2 , 93 = 0 . Pone insuper ST, SP ita magnas prae TP ut , ex P du clo perpendiculo PQ in ST, assumi possit absque sensi bili errore SP=SQ , nimirum d" = k" -kcosh ; erit 1 js =(k“" —k'cosh)-3 = 13 + 3k'cosh + Hinc proxime m " m'k ( 1-3cos'h= ( 1 +3cos2h) , k " 3 2K3 ( c" ) 3mK'sinhcosh 3m'k'sin2h 92 k"3 2k'3 133

n" muli, " k" ! n 913? —Q ?

eos a: ïïï —m 673 k,,a k,, 0082, ." k ⋅ , 93——9 ",;— Blna :m "(ä-3- It.—741) ,——,- sin a ,- (c) ]. LII-. [ i 93:907?sz −−⋮ ⇁≖⊼↗ ; 4). et (p, agentes in curvae seu orbitae plano ipsam orhi- tam turbant; (pg perpendicularis plano orbitae turbat ipsius plani positionem. 4." Pone S, T, P esse constanter in uno eo- demque platfo; erunt i:o, n.:k", a:S'TP:STP(:h): proinde mrlk' " kn ' (Pr −−∶ 7873- −−⋅ m ⊱∣−⊵∙−− F,.)COSII, (e") ?::m"≣∶⋅⋅⋮∙−⋅ -—k,,,)smh , 93:30. Pone insuper ST, SP ita magnas prae TP ut. ex P du; cto perpendiculo PQ in ST, assumi possit absque sensi- hili errore SP:SQ , nimirum d":k"—k'cosh ; erit 1 I, , −∙∙ BkCOBh ∙≦↜−∽⋮⋅−−−−−≺↗⊏ —kcosh) ∍≔−−↼−−⊺⋮−−∣−−−− k", −⊦ , ∙∙ Hinc proxime ∙ ?: 2773— (1—3cosïh):— (1-1—3c092h) , z—kHS . (e") —3m' "ksinhcosh —3m "k sinZh134 5,9 Fac ut orbita puncti P sit circularis , ipsum . que P moveatur ad partes N : sive spectentur formulae ( 6 ') , sive (6 ") , sive ( c " ), aget 92 juxta orbitae tangen tem contra motus directionem : ejus proinde valori erit praefigendum signum negativum.

De pendulis; deque gravium descensu per arcus cycloidales.[recensere | fontem recensere]

Pendulum

63. Pendulum constat filo tenui secundum alteram sui extremitatem fixo, quod tamquam linea recta et gravitatis expers concipitur, ex quo suspensum punctum ponderosum a directione verticali dimotum potest huc et illuc circum punctum illud alterum extremum fixum in motum circinationis per arcum excurrere. Excursio penduli ab uno arcus, quem describit, extremo (Fig. 37) ad aliud extremum dicitur vibratio seu oscillatio: accessus ad verticalem directionem ex in punctum infimum , vel recessus ex in dicitur semivibratio. Si unicum ponderosum punctum pendeat e filo, pendulum dicitur simplex, si plura in diversa a suspensionis puncto distantia pendeant, dicitur compositum.

Illud facile quisque intelligit, pendulum circa punctum fixum eodem motu arcum circuli descripturum ac si, sublato filo, in superficie sphaerica perfecte dura et levigata punctum ponderosum moveretur motu impedito. Sicut enim adducto puncto illo ad praedictae superficiei punctum , et exinde demisso, gravitas horizonti perpendicularis resolveretur in duas vires, quarum altera ad tangentem normalis insumeretur in premenda superficie, altera expressa ab ipsa sollicitaret punctum ponderosum ad motum per tangentem infinite parvam, ac deinde per aliam atque aliam subsequentem, et sic deinceps per reliquas omnes numero infinitas et infinite parvas tangentes, quibus constare arcus descriplus concipitur; ita a filo resolvetar gravitas eodem prorsus modo , nempe partim in trahendo filo insumpta, partiin ad singulas arcus circularis tangentes infinite parvas subinde determinata, qua deducetur pendulum per arcum circularem motu omnino simili, subeunte filo vices curvilineae superficiei: hinc sicuti punctum illud ponderosum propter suam gravitatem, postquam descendisset ex in , cogeretur ascendere ex versus , ita ob rationem similem pendulum post descensum ex in ascendet ex versus . Rursus quemadmodum ponderosum punctum in praedicta superficie ascendere inciperet per arcum cum eadem velocitate, quam acquisivisset in puncto infimo , et ideo ad eamdem altitudinem, ex qua descendisset, perveniret, nempe usque in , ubi extincta omni velocitate, iterum gravitate sua inciperet descendere, et in puncto priori velocitate rursus acquisita, cum ea ascenderet iterum in , atque ita porro ascendendo et descendendo perpetuas et aequalęs in peripheria excursiones perficeret, ita ob eamdem rationem penduli oscillationes aequales essent natura sua et perpetuo duraturae, nisi ab aeris resistentia et frictione aliqua circa sustentationis punctum inaequales primo redderentur, ac denique extinguereatur; adimentibus scilicet ejusmodi causis in singulis oscillationibus aliquid de illa velocitate, quae producitur a gravitate.

64. Velocitates et in puncto infimo B acquisitae a gravibus per arcus descendentibus sunt ut ipsorum arcuum chordae.

Per concipiamus duci tangentem et in eam ex et demitti perpendicula et : denotante radium et denotantibus arcus quoad radium 1 similes arcubus , erunt

et quoniam (30: 36)

propterea

ideoque etc.

65. Pendulum, quod incipit descendere ex , percurrat arcum tempore ; sitque arcus quoad radium 1 similis arcui : erunt ; et designante velocitatem in puncto , exsistet

Si arcus est ita exiguus, ut possit absque sensibili errore substitui respondenti sinui, habebimus et consequenter (28)

unde

est arcus quoad radium 1 similis arcui infinitesimo Mm ( = ds ). Nunc centro H ( Fig. 38) et radio HD ( = k) describe circulum DED' ; sume HN : Ν » B; duc perpen dicula Ne, ne super HD: et Ey parallelam radio HD. Trian gula similia HEN, Eey rectangula in N, y praebent

∙∙∙⇀ ,4þf - ⇀∙⋅∙∎∙ .. ⊸∙⋅⋅⋅∙∎∎∣∙ 4.- ∙− ..137 Ey: EN = Ee: HE, seu B: V R2-42 = Ee: k : hinc B Ee 8 dt ; V R2-42 k et consequenter Ee dt kV tempusculum videlicet dt impensum ad percurrendum seu Nn, obtinetur dividendo respondentem arcum Ee per kV § . Inferimus tempus t impensum ad percurren dum ka seu ND, obtineri dividendo respondentem ar cum ED per kV ; nimirum ED 자 름 k Quare VED –are(com); ideoque Vare(cový = ) <( a ) . 10 137 Ey:EN :Ee: HE, seu ,8: V kï-aï: Ee: h: hinc ∙ ! Ee .... B ∙∸−⋅⋅ :: Vii. dt ; VIR-æ ]: ' r et consequenter ⋅↙≀↥∶∎∙−−⋮∶∶⇣∶⋮ *Ve- tempusculum videlicet dt impensum ad percurrendam þ seu Nn, obtinetur dividendo respondentem arcum Ee per ]; Vi . Inferimus, tempus : impensum ad percurren- '. dum ]:- ut seu ND, obtineri dividendo respondentem arcum ED per kI/ £.; nimirum r t ∙∙∙ ED l.V-f,- . Quare ∙ .yz... −∙−⊡∍ ...... « . rf- k —- (eos:.k), ideoque ≀⇌⇂∕∑− arc (eo: &) (a) ∙ 5 10138 Iam vero in puncto infimo B (Fig. 37) exsistit a = 0 ; erit igitur tempus semioscillationis TT ti V 2 8 tempus integrae oscillationis ( a ' ). t2 = V quas formulas cum non ingrediatur initialis angulus k, patet oscillationes ejusdem penduli, vel plurium pendulorum aequalis longitudinis r per arcus satis exiguos utcumque ceteroquin inaequales, fore ad sensum isochronas seu aequi diuturnas. Idipsum facile demonstratur hac alia ratione: angulus GCT = 90° BAC; hinc vis acceleratrix CG , ex qua sola repetendus est penduli descensus, exhibebitur per gsing: in hypothesi nimirum arcuum satis exiguorum spectari poterit CG tamquam proportionalis distantiae a puncto infimo B, computatae in arcu BC. Ergo ( 29. 4°) etc.... Etiam sic: est ds = d rík - a ) rda ; et consequenter rda da dt V rg (k -u?) -Vivok²-u? factaque integratione ( 27. 13º. 14° ) prius ab a kad a =0 , dein ab a = k ad a = -k, emergent binae (a' ) .

66. Haec notentur:

1º: secunda ( a' ) dat 77 r 8 ( a ); ta atque inde innotescit gravitas g. 138 Iam vero in puncto intimo B (Fig. 37) exsistit «:o; erit igitur tempns semioscillationis. " ∙−∣ ⋍⋅∶−−−−⇄⋅−∣∕−≦−∙ tempus integrae oscillationis (,,-) −∣−∙− ta:T! −∙− ∣∕ : , quas formulas cum non ingrediatur initialis angulus k, patet oscillationes ejusdem penduli, vel plurium pendulorum aequalis longitudinis :- per arcus satis exiguos utcumque ceteroquin inaequales, fore ad sensum isochronas seu aequi- diuturnas- Idipsum facile demonstratur hac alia ratione: angulus GCT

900— BAC; hinc vis acceleratrix CG, ex qua sola re-

petendus est penduli descensus, exhibebitur per gsinat: in hypothesi nimirum arcuum satis exiguorum spectari poterit XCG tamquam proportionalis distantiae a puncto infimo B. computatae in arcu BC. Ergo (29. 40) etc. ... Etiam sic: est ds:dr(k— a): -— rda; et consequenter rdat dat dt −∙− ↵ −− '" VrgUe-æ .? sz-az : factaque integratione (27. 130. 140 ) prius ab et: I: ad «:o, dein 'ab a: ∙−−− I, ad ac ∶−−⋅ —-k, emergent binae (a')-

2º. Etsi ponderosa diversae materiei puncta permissa sunt oscillare, attamen idem semper prodiit valor g in eodem terrae loco: rursus ( 17 ) igitur devenitur ad proportionalitatem inter corporum massas et respondentes gravitatis vires.

3º. Constat observationibus longitudinem penduli simplicis oscillationem absolventis intra mioutum secundum eo esse minorem, quo magis ad aequatorem acceditur: quoniam ergo, haud variato tz, gravitas est ut longitudo illa, minuetur gravitas a polo ad aequatorem usque ( 30) .

4º. Apud nostras regiones praefata penduli longitudo cum sit = 3ped opol glin, 38 = 440lin, 38, factis in ( a " ) tz = 1 ", r = 440lin , 38, prodibit respondens gravitatis valor g = 30ped , 183 alibi (30) indicatus.

67. Quod spectat ad pendulum compositum concipiamus (Fig. 39) puncta ponderosa B, B. , B2 , . . filo appensa: invicem disjuncta conficerent haec puncta temporibus inaequalibus oscillationes suas; punctum nempe B, citius (66) quam B, punctum B, citius quam B, etc: invicem ergo conjuncta agent ita in se mutuo, ut quae, minus distant a puncto suspensionis A retardentur ab iis quae magis distant, et quae magis distant a suspensionis puncto accelerentur ab iis quae minus distant: fiet propterea oscillatio penduli compositi tempore quodam medio inter minimum ac maximum praedictorum temporum inaequalium. Hinc sequitur fore in AB punctum quoddam B.,m suas conficiens oscillationes perinde ac esset solitarium, nulloque nexu caeteris punctis uui retor: Bm dicitur centrum oscillationis, cujus centri distantia a puncto suspensionis est longitudo penduli simplicis suas perficientis oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum. Inferimus oscillationes pendali compositi, et ipsas fore isochronas; modo tamen exsistant satis exiguae.

68*. Facile intelligimus ( 50. 3º. 6° : 66 ) motum penduli simplicis in medio resistente determinari generatim per aequationem

140 das di? = gsing -f(v ) . derka( ) di Ob dc2 dra dt2 et ( 27. 29º . ) sing 23 2.3 + aequatio illa eyadit creat + s ( « - +...)-fo) = Pone fv) = cv ; et angulum a ita perseveranter exiguum, ut ejus tertia potentia absque sensibili errore negligi pos sit : habebis da с + dla ola 0 . ds Est autem v = dt drak -a) dt da dt ; igitur d2C da dt2 to dt + baro: quam integrantes in hypothesi c constantis assequemur( 27.270. ) ... [ :V546.-V21 ( 6), In experimentis, quae pendulorum ope solent institui , r est multo minor quam g; item densitas penduli, et con sequenter ( 33 ) c fractio admodum parva. Fac ergo 140 tiis ∙ de'-* :gsmat —f(v) d': d2r(k—a) (lioc ↽⇁−−− −∙− ' Ob daz dtz 27. 290. .: rdtï , et ( ) stna ' a3 . '11 d' rdzatdta-l-g(at—-— ...):fþv) :0. Pone f(v): cv; et angulum ac ita perseveranter exiguum, ut ejus tertia potentia absque sensibili errore negligi pos- sit: habebis dza g c dia—FTa—Tv—o .Et : −−∠≀≖∙∙↙≀↗≺∣≖⋅⋅∝≻∙− ∎∠≀∘⊏∙⋮ ⋯⋅⋅ s auem'v— dt— dt rd , g1 quam integrantes in hypothesi c constantis assequemur(2 7.2 70.) " til "'i-i.]c) —l ! —-..—. 2:32 [CG 4 r—l—C'f—B ln expetimentis, quae pendulorum Ope solent institui, r est multo minor quam g; item densitas penduli, et con- sequenter (33) c fractio admodum parva. Fac ergo141 VS ut sit VA = iVT ; 4 . vertetur ( 6) in ti V = 1 -til +C'e 2 - " ] U = e seu ( 27. 30° ) 3 [ e ] ; C " sin it +C ' ' cosit unde cosit data o - [( c'i - ) (c": + * ) ainit ] da In joitio motus t=0 , a= k , 0 ; di propterea C " " k, C ' ck 21 ; et . = ke - - [ sin it + cosit ] . ) 2i ( 6 ) dan dt = -ke- Ź [ ita sinic. 141 ' . . ∙ c' a . . ä-ï': - utsit V—--€- :::tl/ −−↿ ∙ r 4 4 :- vertetur (b) in −−−∘⋮−≀ — tiV—1 -til/—1 at:6 2 ) C'0 v 380 ( 270 300 ) ↴ c ↼ a: ∘−−≖− '[C" sinit ⊣−∁⋯ cosit] ; unde ∘⋮ C'" ↙⋮⋮∶∶ . ∘∙⋅−

t [( C'i— 20) cosa
-— dt ∙

Cnc . . ( 0" i −⊢ —2 ) sunt ]. dat ∙∙∙ ∙ In initio motus t—:o , at:— ]: , "dt −∙− 0- ∙∙∙ k ': propterea C Ck et −−−∙−− ∙ ∙−− 21' ∙142 с Ex.Vihabemus zi 11 ll Hlacin c2 V C it =-V rc? 4g > 2V EV rc2 1 48 1 i + VE ;factoigitur V cr2 =c, 43 " Vi ro2 4g binae ( 6 ) sic poterunt exprimi a = ke

  • IVE Vētowi.V ]

1.) (6 ) dm-- .- iv E sinórV. In fine cujusque oscillationis est da dt = 0; proinde, ob = 0: inferimus in fine primae secundam (3"),since V 12 풍VV 2.V oscillationis fore t = > in fine secundae 8 271 376 in fine tertiae t =T 8 8 gulae itaque oscillationes absolventur aequali tempore E , in V , elc.. .. ; sin . с g. ∘ Ex ::i habemus 21. ∶∶ − c —- . ∙ ∙−−−−−−− I/ ⇂∕−−−⋅↿rc c ⋅ :! −⋮↓−≔⋤⋅ a cr" , . CZ .g 1;factoigilur V1—-- :c, ↓⊣− ' ⋅ −−∶ ⋅ binae ( b') sic poterunt exprimi £(sz 2 inc't cosc' g c[hc V—s Vg ∙−⊢ ::ll/:] (ö") (E;—..., ""T-V—sinc't 5- dt :- / In fine cuiusque oscillationis est ≤−∝⋮∶∶∘⋮ proinde, ob secundum (b"), sinc': Vi:o: inferimus in fine primae !' 1: osc1llat10n1s ∙ ∙ ∙ r ∙ fore :

−⋮⇆⊤ V—3, in fine secundae 271 . ⋅⊤ −∙ , in fine tertiae : −−−−−∣− −− ,etc.. -sm- gulaec itaque goscillationes absolventur aeqnali tempore143 و = ا ( 6 ) . 8 In primo substitutis valoribus 0, 20 , 30 , ... no pro t , emerge Qu - ke 2 A2 = ke - > 929 as= -ke- 30 Q. = 1–1 y" ke – no hinc successivarum oscillationum amplitudines 0 2 음 k + ke ke - 9 +ke - 2 -ke 39 - 2/2 20 the ke seu 1(1 +-2), ( +-3, -2,

  • (170-99 . -Ź- 42329......

Decrescunt igitur amplitudines istae in progressione geometrica : quod cum confirmatum sil experimentis pen dulorum in aere oscillantium per arcus satis exiguos, haud majores v . g. tertia parte unius gradus, licebit quoad e jusmodi oscillationes assumere aeris resistentiam tanquam proportionalein simplici velocitati. 143 n −−−∽−∣∕∙⊂− (B")- 0

6 In prim: (. ⋮⋅ substitutis valoribus 9, 29 , 39 , ... 719 pro :, emerge f ⋅∙⇁− - ∙ 1- 0 29 ⋅ C a;:— ke 2 ,agzke 2 ,a3z—ke 2 39 C 119 a.::(—1)" ke −⋮⋅ : hinc successivarum oscillationum amplitudines . c ⋅∙⋮∙∙ ...—£ k-l—Re— i.e.]:e— 294-ke ∙ 229 " ke −⋅⋮⋅⋮∂−⊦∣∥⋝ 2 39,. ; seu .- e ∘ 9 −−∘ & Decrescunt igitur amplitudines istae in progressione geometrica : quod cum confirmatum sit experimentis pen- dulorum in aere oscillantium per arcus satis exiguos, haud maiores v. g. tertia parte unius gradus, licebit quoad e- jusmodi oscillationes assumere aeris resistentiam tanqnam proportionalem simplici velocitati.144 Experientia insuper docet decrementum illud gradu admodum lento procedere : sic D. Borda expertas est non nisi post 1800 oscillationes valorem en converti in k . Hoc posito, existet 2 1 1800c7V .18000 e 2 2 2c seu ob (6 ' ') e 3اندبه et consequenler 1800CTE = c'log. 13 == c (o , 40546) . 2 ( 1800)? c ?72. " = 1 - c '? , ideoque 8 4g ro2 Sed 4 = (1800 ) 2772 /1— 2) ; igitur ( 1800)277 ?(1 — c'2) = c (0 , 40546 ) ; unde c' ? ( 1800 )2772 1 (1800 )222 I.(0,40546 ) > et e V +18007 1+ 0,4054612 180076 1 quam proxime. gua Si ( 33 , 4." ) poneretur f (v ) terminandum exsisteret ad penduli motum de 144 * Experientia insuper docet decrementum illud gradu admodum lento procedam : sic D. Borda expertus est non- . . , 1118! ∙ ⋅ ∙ ∙ 2 post 1800 osmllattones valorem ac,, com-cru mes-k. Ilnc posito, existet ' u 1eöocn VL .. ' 5. 20' ≀∙ ⋅ . ...—18009 2 e 2 −−∙−−− −∙− , seu 01) (b"') e ⊏⋅⋮− , . 5 ⇁ 3 (!l. 000 sequenter

.—c'(o ∙⇁ '40546) b. " .

1800072l/L . 2 g :c'lo '. (1800≻∖⋅:0:712.— g PC: ' ∙ ' Sed −−−−−↿ ---c2 , 1deoque 45 ⇌≺↿⋅∂∘⊙≻≃⊺≖≖≺↿−⋅≺∶∣≏≻⇋ igitur ≺↿∂⊙∘≻⇄∏≖≺↿−∘∣≖≻

c'5(o, 4054673; unde

(1800)??? - -, 1 , ↼−− ≺↿ et -c': ≨∃⊙∘⋟≖⇃∙≖⋍⊣−⋅⊏∘∙∠↥∘⋦∢⊖≻ ↼↼ '3 Vl—l"(7'g55; o.4(l546)z ≖≖−−−↿ quam proxime. ↓ 2 ' 51 (33. 41.") poneretur f(v) ∶−−⊸∙⋮⊥⋮− , ad penduli motum de- 02 termiuandum exsisteret145 des dt? gsing gu2 d ? seu de2 + sine — 8r /dala 2 = 0 . c²lde Haec prias multiplicata per 2du , ac dein integrata suppe ditat ' dala Idala ca ldt 2g COS O seu facto Slaa) dx = y , ideoque Coupe ( ) dy da dy 28 2gr COS Q da y = 0 ; cojas integratio traducitur ( 27. 26 °.) ad integrationem fun ctionis 2g cosada 2gra c2 re Jamvero , facto compendii causa 2gr = m , habemus c2 dem sina ) coso, da Se ma -mu m e sing da , d ( e-ma cosa ) -ma sina da - me COSQ da : igitur ſe-ma cosa da e -ma sina tm se-ma siac da , ſe-ma sina du = me-ma cosa m ſe-me. cosa da ; ex quibus 145 d's— ∙ g.": dia g ⋅⋅ . gr äzäfgsma— Z;- , sendt: da)!— -[-r sma 02 22 —--0. Haec prius multiplicata per Zda , ac dein integram suppe- ditat - (&)2— dt ∙−⊋∊∁∘≘∝−⋅⋮⋚⊆∫≺≦− r f:) ↙≀⊄∶∘∙∙∙ dat ∙∙∙ ∙ da: a... 47" seu facto f(ä—t) fia —J—, , 1deoque (22) −∙− ä; , ≝⊻−≟≝∁∘⊱⊄≉≣≝⋅∫∶∘⇋ . dat cuius integratio traducitur (27- 262) ad integrationem fun- ctionis Zg cosadat ∙ ⋅ 2grat . ∘≖ . re : ∙ 2 r ' Iamvero ,facto compendii causa −⋚−⋅:m ,habemus 02 ,! (.;-""" since ):e'ma cosa: d-a −∙∙ m e'm' sinat da , d(e'macosat):-e'm ∋⋮∘⊄↙∄∝−⋅⊪∘⋅⋯ "cosada: igitur fe'm. cosa da:: efm sinat—lfm fe'm sinat dat , fe'm sinat daz ⋅⋅−−− −−∶ e'm cosa: — m fe'm- cosa daz ,- ex quibus146 ſen-Ma cosa da e -ma sina — те cosa -m2ſe-mecosadu 7, et consequenter 2g Sce-ma cosa da 2g ( e -ma since me- mu cosa) r ( 1 + m2) Erit itaque (27. 26 °.) y = Cema + 2g ( sing - m cosa ) r ( 1 +ma ) ex qua differentiata quoad & cum emergat dy da Cmema + 2g (cosx + m sina ) r ( 1 +m2) restituto valore dy da habebimus ca dal 2g (cosa + m sina) = - Cmema + r ( 1 +m2 ) da In initio motus a = k , = 0 ; hinc dt Cm 2g ( cosk + m sink) e-mk r ( 1 + m2) propterea -m (k - a ) Cate) dal 2 ldt 29 r ( 1 +m2) cosa + msina - cosk + msink)e ( h). Facto a = o in ( h) , prodibit inde velocitas penduli in pun cto infimo B ( Fig. 37.) : ascendet pendulum cum velocitate 146 fe'm" cosa da: e'm" sinat —me*mcosoc −∙∙ ⋯≖∫∘⋅⋅⊪∞∽∡∠≀∝ ∙ et consequenter 2g " 2g (e-"W- sinat −∙∙ rne-ma cosa) ∙−∙∣ (.'-'"" cosa dat: ⋅ ' r(1 −⊢ ⋯⋅≀≽ Erit itaque (27 . 260.) 2g (sinat —m cosa) y.:Cama'i' r(1-l—m') : ex qua differentiam quoad a: cum emergat dy ∙− M Zg (com-[- m 5213.)- da :Cme r (1 —f-m3) ' ∙ d ' ∙ resututo valore 1, babebmus ⋅ de: ((!—S :Cma'" "I" 25 (cosa: ∙⊢ 11: sind:? ∙ .. dt r(1-l-m3) ∙ ∙ ∙ ' da ∙ In 1n1t1o motus a:k −∙− −−−−∙ o ; bmc 'dt 2g (cosk −↿− m sinit) er:-""* ∙ Cm: r(1—l-m2) .. propterea (de!)2 28 "[COSa-Hnsina—(cosk-i'msïnk) e-m(k-a)] 32 :r(1—i—m2) (73)- Facto a:o in (I:), prodibit inde velocitas penduli in pun- cto infimo B (Fig. 37.) :ascendet pendulum cum velocitate147 ista versus D , conficietque arcum , cui respondebit — Q,; et quoniam in extremo puncto illius arcus extinguitur tota ve locitas , iccirco COS - m sina, · ( cosk + m sink) e -m (4+ 1) = 0 , seu (cosa, m sing , emai (cosk +m sink) e-m * = 0 ( h ' ). ... mk . maa , Sunt ( 27. 29.° ) emas = 1 + m « . + + 2 mak ? =1 -mk+ -... ; est insuper m fractio admodum parva ( 33) : neglectis igitur terminis , ubi invenitur mº , traducetur ( h ) ad 2 > cos@g - m (sina, cosax) = coskt m (sinkkcosk ) (h " ). Denolante o differentiam inter valores a, et k ut sit Q= k -0 , certe ð erit fractio tenuissima : hinc substituto k- loco Qy in ( " ) , sumpto 1 pro cosd et à pro sind , missisque öz et mo , assequemur 2m Osink = 2m ( sink - kcosk) , d = 0 sink (sipk- kcosk ) ; unde Uy= h 2m (sink-kcosk) . sin k Si popimus k ita iguum , ut ejus quarta potentia prae termitti possit , obtinebimus (27. 29.° ) 147 ista versus D, "conficietque arcum , cui respondebit — at,; et quoniam in extremo puncto illius arcus extinguitur tota ve- locitas , iccirco 111 cosa:, −∙∙ m sinatl — (cosk −∣− m sink) e" (b'-3 1): o , seu (cosa, ∙− 11: sind,) a'"! — (cosk —-msink)e""'* :: o (b'). Sunt (27.29.0) erat: mna? ↿−⊦⋯⊄≖−⊦ 2 −⊦ ∙ ∙ ∙ ∙ ,∙⋯⋆ ⋯≖⇂∙∙≖ ⋅ ∙ ∙ ⋅

i —mk—l—-—2—-— ...; est 1nsuper m fract1o admodum ∙

parva (33): neglectis igitur terminis ,. ubi invenitur m', traducetur (h') ad tuom,—m (si na,—aleam,:cosk—l-müi nk—kcosk) (h"). Deuotante ö differentiam inter valores a, et k ut sit ac,: k-ö. certe d erit fractio tenuissima : hinc substituto k—ö loco a, in (II"), sumpto 1 pro cosd et 6 pro sind . missisque d' et md , asscquemur ösinkz2m (siuk—kcosk) , ö: ET- (sink—kcosk); . sink - nnde 2m sin lt at:-k— (siïnk—kcoslc) . Si ponimus !: ita exiguum , ut eius quarta potentia prae- termitti possit , obtinebimus (27. 293)148 2m 2m - (sink - koska gink k 21 k2 1 2.3 2m 2m ka ( 1 k2 2.3 h2 , 3 ac proinde Q = k 2m 3 k2 : quemadmodum valor a, deducitur ex k , sic ,yalor d, ex valor az ex la , atque ila porro ; erunt nempe 2m Aa = 2.1 az ?; 3=0,- 313, etc... | Patet illud ; si vis acceleratrix ex medij resistentia sumitur proportionalis quadrato velocitatis, haud subsistet superior lex, experimentis confirmata, de oscillationum amplitudinibus in progressione geometrica decrescentibus.

69. ° * Aliquid subjungimus de gravium descensu per arcus cycloidales. Circulus A'D ( Fig. 40 ) tangens rectam A”E in A" revolvatur super ipsa A”E ita, ut eam pergat semper tangere. Punctum A" circuli regredietur ab A" in E, lineamque curvam describet, quae appellatur cyclois: circulus ille mobilis vocatur cycloidis genitor, recta A ” E basis, diameter AB perpendicularis mediae basi dicitur axis, punctum A vertex; patet autem quemvis circuli genitoris arcum B’A' aequari rectae A'B, quae intercipitur duobus punctis A " et B', in quibus extre ma puncta ipsius arcus tanguntur ab A'E; et totam basim AE aequari peripheriae circuli genitoris. Ducantur 148 2 2," (siuk—kcosk)-— "' .↗⋮∍ mnk ]: ( kz 3 2.) ⋅ ac proinde 2m 'k 3k quemadmodum valor a; deducitur ex 1: , sic.valor ag, ex 'a, , valor 013 ex ac, , atque ita porro; erunt nempe a—a—ïaa' a—a—zma' etc - 2—1 3 1 , 3—3 T;, ∙Ducantur149 jam ex cycloidis puncto v. g . A' perpendicula A'rl= y ) et A'C , alterum in basim AE, alterum in axem AB ; sit A'r = x ; diameter circuli genitoris dicatur 2a; exhibea turque per & arcus quoad radium -- = 1 similis arcui A'B' . Erunt x = A'B - B'r - A'B ' - AM = a5 - asins , y = B'M = asin.v.zza( 1 - сoss) . ex istarum prima assequimur dx = ads - acoss ds = a ( 1 - cos )de ; et dividendo per secundam. dc de . y Est autem arc sin= are(sin = AMM))—are (sin V Zay —ya ) a IV2ay - y2 et consequenter de 2 2ay - y aa dyZay - y ? dy V2ay - y2 ; ergo 2a dy = dx V? (at ) ; y 149 iam ex cycloidis puncto v. g. A' perpendicula A'r(:y) ⋅ et A'C, alterum in basim A"E. alterum in axem .AB; sit A"r:æ; diameter circuli genitoris dicatur 20; exhibea- turque per & arcus quoad radium −∶∙−↿ similis arcui A'B'. Erunt æ:A"B'——B'r—-A"B'—-A'M:ae-—asins , y:B'M:asin.v.:a(1—coss) ∙ ex istarum prima assequimur dæ:ada—acoss de:-au -cose)d£ ; et dividendo per secundam. d -—æ-- :de ∙ 7, Est autem :arc(sin: M):arc (sin ∙−−∶ ∣∕⊋∅∫−↗↾≖ a a ), et consequenter de: .a— ∙ a ): ∣∕ ↿−− 5351- 02 dl/Zay—yz df a—y VZaJ—yi 'ergo150 aequatio differentialis ad cycloidem , computatis coordina tis a baseos initio A ", Quod si computentur a vertice A , ut novae coordinatae sint AC ( = x ') , et A'C ( =y' ) , cum habeamus x = an — y , y = 2a — x', prodibit -dx'adyV x' 2a- , seu dy = dxV 2a - x xช่ (a ") . Nunc ad gravium descensum quod pertinet per ar. cum quemvis cycloidalem , cujus vertex in puncto inſimo B ( Fig. 37), sit C initialis positio puncli ponderosi , quum nempe t =0 et v = v = 0 , M positio in fine temporis 1; quibus positionibus respondeant altitudines c et ac' supra horizontalem rectam transeuntem per B , ut in Mha beatur v = V 2g(c-x') : denotantibus h , se s' cycloidales arcus CB , CM , BMBM ,, erit erit dsds== dhd (h -- ss)) = - ds'; unde ds di ds' dt = V2g(c -x '), ex qua obtinelur ds' dt V 28(c — x ') Formula ( a" ) praebet ( 27. 19.0) 2a -x do = Vdx =+ody"a= dx V17 = dx '

x hinc da - c a dt dx' V. 8 V cx' — x'2 -Va GVFECITATE 150 aequatio diti'erentialis ad cycloidem . computatis coordina- tis a baseos initio A" Quod si computentur a vertice A , ut novae coOrdinatae siut AC (:æ') , et A'C (:y'), cum habeamus x:an'—-7, 1:20—æ', prodibit I Za—æ ∙−−− , seu df:dx I/ æ, (a') . Nunc ad gravium descensum quod pertinet per ar- cum quemvis cycloidalem . cujus vertex in puncto infimo B (Fig. 37), sit C initialis positio puncti ponderosi, quum nempe t:o et ⇂↾−−∙∶⇂↗∘∶∶∘ , M positio in fine temporis :; quibus positionibus respondeant altitudines c et æ'supra horizontalem rectam transeuntem per B , ut in M ba- beatur :»:V Zg(c-x ':) denotantibus ,: . s, s' cycloidales arcus CB, CM, BM , erit ds:d(h—s'):—ds'; uude ds di' . v −− dt— dt —l/2g(c-æ'), ex qua obtmetur ds' dc ∶−∙−− − ⇂∕−−−−− ⇄∊≺∁−−⋅↿⊏⋅ ) Formula (a') praebet (27. 19!) d.;— −−∙ ⇂∕∎∎−−∎∎−∎∎∎ ↙↙∙≖⇌ ≖⊣⊸↙↿∫− hinc (1".—— a flx' ;. (ll: ∙−∙ V ∙−− ∙−− V a .; 20 . l —— g J/Fæ—æ'z ∙ g ∣∕↿ ∙↕⋅∎⋅≩∁≻≖⊽151 sumptisque integralibus ( 27. 9,9 ) , = c +Vare (co== **)

in positione initiali est t=0, simulque x' =c; igitur C = o, et Vore (rosa ). Facta x=0, prodibit tempus descensus usque ad punctum infimum B, nimirum 11 =T VO ubi cum non inveniatur c , patet , ex quocumque cycloi dis puncto demittatur grave, eodem semper tempore per venturum ad B. Hanc cycloidis proprietatem posteaquam detexit Hugenius , cycloidem ad pendolum adhibere cae pit : quod qua ratione fieri possit , ostendit in parte 3. “ Horologii oscillatorii.

De attractione corporum in hypothesi attractionis agentis in ratione directa massarum, et in reciproca duplicata distantiarum.[recensere | fontem recensere]

70. Pyramis AH (Fig. 41) habens basim GH infinitesimam secetur superficie sphaerica, cujus centrum in A , et radius AZ ( = r ); sit Ky = B ) projectio intersectionis VZ ( = ) in plano AB; supra basim Ky erigatur prisma KyE altitudinis CH ( =x): exprimet KE AZ sumptisque integralibus (27. 93) , ↥⋅∶∁⊹ l V— a1c (eo: 200) ; in positione initiali est t:o. simulque æ':c; igitur (l:-o, et

  • x −−∶−∁

Facta x':o. prodibit tempus descensus usque ad punctum infimum B, nimirum a II:" V— : g . ubi cum non inveniatur c , patet, ex quocumque cycloidis puncto demittatur grave, eodem semper tempore perventurum ad B. Hanc cycloidis prOprietatem posteaquam detexit Hugenius, cycloidem ad pendulum adhibete caepit: quod qua ratione fieri possit, ostendit in parte 3.' Horologii oscillatorii. ⋅

lit-F. AZZ152 vim attractivam ( p) segmenti CG in punctum A juxta directionem perpendicularem plano AB. Intelligatur enim segmentum CG secari sphaericis superficiebus numero infinitis , quarum centrum in A , et r2 , 7* 3 sintque eoz , A2 , A3 intersectionum areae. Erit radii rs . din 23

2

2 r2 3 p2 vis nempe attractiva cujuscumque areolae Qy , da , . aequabit vim attractivam areolae A. Ex punctis Z, C, ducantur in AB ... perpendicula Zy ( =n) , CB ( = n ) ...: singulis viribus resolutis in duas, quarum altera sit paral lela , altera perpendicularis plano AB , componentes per pendiculares repraesentabuntur per ni na n 2 ri ra et quia ni n2 n 72 iccirco li ni 0.2 п, = a n . t'i p22 ra his positis , quisque videt fore n f 152 . vim attractivam (:f) segmenti CG in punctum A juxta directionem perpendicularem plano AB. Intelligatur enim segmentum CG secari sphaericis superficiebus numero infinitis. quarum centrum in A, et radii r; , r,. rg .... sintque at, , at,, ata ... inter-— sectionum areae. Erit «! a; «3 ∙ . a r,: fa, rna ra. ∙ ' vis nempe attractiva cujuscumque areolae at,, at,, ∙∙∙ aequabit vim attractivam areolae at. Ex punctis Z, C, ... ducantur in AB ... perpendicula Zf (:n) , CB (:m) ...: singulis viribus resolutis in duas, quarum altera sit paralf lela, altera perpendicularis plano AB , componentes per- pendiculares repraesentabantur per a! "[ a:; "a a n . , ∙ , ∙ ∙ . ∙−−− .—,. r,2 r, rf r, :-a r et quia —: "! "2 n ∙−− ∙ ∙ ∙ :∙ —; r, r, r iccirco «! "r a: n, a n ∙ ∙−−∎ ∙ ∙ ∙ ∙:∙∙−∎ ∙ ∙∙∙∙ : rl: rl ,.22 ", ", r153 Jamvero (55.4. ) \beta = cosyZA 3 igitur > n ela B sli oli a et consequenter Bx r? KyE f AZ

71. Singula corporis cuiuscumque KGDH (Fig. 42) puncta trahant punctum C positione datum. Centro C et radio quolibet CM describatur sphaera MBN; in eius superficiem incurrat in A recta quaelibet CG permeans corpus KGDH iuxta DG ; demittatur ex A perpendi- culum AQ supra planum MCN; capiatur in- AQ pars TQ aequalis segmento DG intra corpus KGDH demerso; quod si plura fuerint huiusmodi segmenta, pars in per- pendiculo accepta sequetur omnium summae, Si per GM? dividitur solidum ïTXV, quod continetur plano MCN et superficie ab omnibus punctis T determinata , expri- met quotus vim, qua totum corpus KGDH trahit punctum C perpendiculariter ad planum MCN. Prodeant enim ex C infinitae numero pyramides, qua- rum segmenta DG impleant totum corpus KGDH; pote- runt totidem respondentia (69) prismata TQ concipi , quae totum solidum ïTXV impleant; ergo etc. Quoniam vires omnes sollicitantes punctum C possunt traduci ad ternas , quarum directiones congruant cum tribus rectis se mutuo ad angulum rectum secantibus in ipso C; ternae vero istiusmodi vires in unam com- ↿↿154 positae dant resultantem ex illis omnibus , inde fit quod ubi determinentur (70) ternae vires corporis KGDH re spective perpendiculares tribus planis orthogonalibus per punctum C traseuntibus , eae in unam contractae suppedi tabunt et directionem , et intensitatem illius vis , quae re sultat ex omnibus viribus punctorum constituentium cor pus ipsum KGDH. Si punctum C intra - corpus trahens collocaretur accipienda esset TQ aequalis differentiae inter distantias ipsius C ab extremis D et G rectae DG transeuntis per C. Hinc si C fuerit situm intra ejusmodi crustae cavita tem , ut per C ducta quavis recta , aequales hinc inde par les illius rectae intra crustae crassitiem intercipiantur, eva nescentibus omnibus TQ , evanescet etiam omnis vis pla no cuicumque perpendicularis , et punctum C in aequi. librio consister.

72. • * Coordinatarum originem O constitue in quovis corporis puncto ; sin que x, y, z coordinatae pun cli altrahentis ; a , b , c coordinatae puncti allracti ; ' distantia inter punctum attrahens et punctum altractum : expriment b - r CZ ba 몇 7 A' A cosinus angulorum , quos a continet cum axibus coor dinatis OX , OY, OZ. Quare denotantibus Hc , H,, H, componentes iisdem axibus parallelas , in quas rosolvitur attrahens totius corporis vis H , et dm elementum massae, eront H, - Som dm , 1 , = Sabah dm (o) H , Set dm : A3 154 positae dant resultantem ex illis omnibus; inde Et quod ubi determinentur (70) ternae vires corporis KGDH re- spective perpendiculares tribus planis orthOgonalibus per punctum C traseuntibus, eae in unam contractae suppedi- tabunt et directionem, et intensitatem illius vis, quae re- sultat ex omnibus viribus punctorum constituentium cor- pus ipsum KGDH. ↴ Si punctum C intra -corpus trahens collocaretur , accipienda esset TQ aequalis differentiae inter distantias ipsius C ab extremis D et G rectae DG transeuntis per C. Hinc si C fuerit situm intra eiusmodi crustae cavita- tem , ut per C ducta quavis recta, aequales hinc inde par- tes illius rectae intra crustae crassitiem intercipiantur, eva- nescentibus omnibus TQ, evanescet etiam omnis vis pla- no cuicumque perpendicularis. et punctum C in aequi- librio consistet. ⋅ ⊽∑∙∘∙ Coordinatarum originem O constitue in quovis corporis puncto; sintque x, ],:coordinatae pun- cti attrahentis; a, b ,"c coordinatae puncti attracti; A' distantia inter punctum. attrahens et punctum attractum: expriment ⊄≖∙∙−−∙∙−−∙⋮≖ b—gr c—z ∆∣∙ ' ∆∣ ' ∆∣ cosinus angulorum, quos ∆⋅ continet cum. axibus coor- dinatis OX , Oï, .OZ. Quare denotantibus H, , H, , H, componentes iisdem axibus parallelas, in quas rosolvitur attrahens totius corporis vis H ∙ et dm elementum massae, erunt ⋅ a—æ "bf—7 ⋅ ∏≖∶∶∫ ∆∣⊰ dm, ⊟⋮⇌−∽∙∣∙−⊒↙∙⇁⋮⇀≀≀≀↿∙ .- (0) ,:szjä-äfdm:155 integralia se se protendunt ad totam corporis massam M. Pone Q = Sam ( o ') habes quidem A2 = (a — x )" + ( my) + cz( )" ; sed quia integrationis limites non pendent ab a , b , c , ideo ex prima ( o' ) erues dQ da ſ dm , dQ db den ES , do dm dQ dc -dm ; da secunda vero (o' ) praebet / a 영 1 dA a -X a A' ? da b da 4'3 db A'3엷 slot dc 4'3 traducentar itaque ( o ) ad H= dQ da H , do db H, dQ dc ( o " ) , componentesque H , H ,, H, pendebunt ab unico integrali l. Fiat a : + 62 + c = A2 , 155 integi-alia se se protendunt ad totam. corporis massam M.,, Pone ≺≀⇌⇀⋅ dm −∙−≃ habes quidem (O,) ∆≏⇋−∙≺∅∙−∞≻⋍⊣−≼≀↗−∫≻≔⊣⊣∘∙−≖≻⋅ ; sed quia integrationis limites non pendent ab a, b , c , ideo ex prima (a') erues ⋛≣∎∶∆∼∣↙≟ dm' ∎−⋅∫↲∂↙≀⋯⋅−−−−∫ "'"-('m- secunda vero (a') praebet ↿ ↿ ⊄∄−−−↽ ∆∙ ↿ siA—, a—æ (LA-7 b—r de'" A'da A'3 ↞∙ ∠≀∣⊃−−⋅−−−−∆⋅≀∙ ' ↙≀∙∙↿⊽ ac. .... de −⋅⋅ ∆∣∍ traducentur itaque (a) ad dQ dQ dQ−⊋⋤−∙ Hic—2? ∙ Ha ≔−⋅⊋⊂∙∙− (O") 1

componentesque H, , H,, H, pendebunt ab unico integrali Q. Fiat ⋅ ∁≖⊹∂≖−⊦∁∶≖−−∆≖ ∙156 ut secunda ( o ' ) scribi possit in hunc modum A ' = 12—2(axtby tcz) + wa + ya + z2 ; erit 1 - [ 12—2( ax + by + cz) + xa + ya + za = + + 2(ax + by + cz) xtya taza) + 243 12(ax + by + cz)2- [ 12 (ax + by + cz )-3(x2 + ya + za) ][ x ? tye + z") 845 + . unde, ob prinam ( o' ) , m Q

  • ++ ſ(ax + by+ ca)dın

25 /(x +y +z")du + z flar+ by +czydom.co". Sit coordinatarum origo in centro gravitatis massae at trahentis; erit ( 20. b ) 1 43 Slax ( ax + by + cz) dni = ta fædm + bſydm + ſzam ] = 0 ; ideoque vertetur ( o '"') in 156 ut secnnda (o') scribi possit in hunc modum A"::A3—2(aæ—-l-bj-l—cz)*æï-þyl-l-z' ; erit −↙∃≃∙⋅⋅ −−−−− [∆⋅−≆≺∾↼⊦∂∫⊣⊸≉≻⊣−↕⋅⇀⊦∫⋅−⊦≖≖ ⊐⋅− * ↽−⇌−↿≴↸ ⋍≺∅↕⊹≀↗∫⊣⊸∡≻−≺↕∙⊣⇀∫⋅⊹≖≖≻ 2A3 12(aæ-l—b.7—l-Cz)'-[1 ⊋≼↙⇂∙↿∙∙⊹⊘↾⊣⊸∅⊢∃≼∞≖⊹∫≖⊹≂≖≻∃ ∣⋮∙∙∁≴⊣↰↾⊣∎≖∶∣∙ 8A5 ' ' -I-..; unde, ob primam (a')- . 1 1 Q ∙∙∙ Z ∙∣∙− A3] (aæ-l-bJ-l-czkim— 1 - 3 " 555] (x'-l'f' ∙⊦≖≖≱ dnl-l— üïf(aæ'l'lïï'*l'cz)'dm-n-(0 '). Sit coordinatarnm origo in centro gravitatis massae "' trahentis; erit ( 20. b) . ↿ ∆↿−⋮∫≺∘∞⊣−≀≀↗−⊢∞≻↙≀⋯∶ 33— ta xdm-i- bjïydm ⊣− rfzdm ]: 0

ideoque vertetur (o"') in157 M 1 Q Δ 243f\ x3 + y* +32) dmt 3 245 (ax + by + cz)-dm-, .. ( 0 " "). ca 73. Corpus KGDH Sit sphaericum , ejusque centrum in puncto extremo B radii CB (Fig. 43) inveniatur ; ipsi corpori occurrat QA in T. et Q '; ducto perpendiculo BE supra CA , triangula rectangula AQC, BEC propter latus AC=CB , et angulum QAC=BCA , erunt aequalia , adeo que QC=BE ; chordae nimirum SD,CT aequidistabunt a centro B; erunt itaque inter se aequales , ac proinde OʻT ( Fig. 43 ) , aequabit QT (Fig. 42): quod cum ubique contingat, erit area KGDH (Fig. 43) sic .aequalis areae XYC (Fig. 42) , ut solida genita ab his areis cir suos axes revolutis aequalia sint inter se. Vim proinde , qua punctum C tendit in sphaeram KGTH ( Fig. 43 ) exprimet ipsa sphaera divisa per CM (=CB) seu per quadratum distantiae puncti C ab ' ipsius sphaerae centro; siquidem aliae duae componentes (71) evanescunt: Sed si sphaera ita condensaretur , ut coiret in centrum , eodem prorsus modo exprimeretur ejus attractiva vis; ergo punctum extra sphaeram situm eadem omnino ratio ne in ipsam tendit , ac si omnia sphaerae puncta in cen tro compenetrarentur. Haec vera sunt , licet corpus non sit omnino ho mogeneum , modo tamen sint ubique bomogeneae ejus par tes a centro aequidistantes ; quod notandum etiam in se quenti assertione.


73. Corpus KGDH Sit Sphaericum . eiusque centrum in puncto extremo B radii CB (F ig, 43) inveniatur; ipsi corpori occur1at QA in T et Q'; ducto perpendiculo BE snpra CA , triangula rectangula AQC, BEC propter latus AC;-:: CB, et angulum QAC:BCA , erunt aequalia, adeo- que QC—BE- , chordae nimirum SD Q' T aequidistabunt a «centro B; erunt 'itaque inter se aequales , ac proinde Q'T (Fig. 43) aequabit QT (Fig. 42): quod cum ubi- qne contingat, erit area KGDH (Fig. 43 ) sic .aequalis areae XTC (Fig. 42) , ut solida genita ab his areis cir- ca suos axes revolutis aequaha sint inter se. Vim proin- de ,qua punctum Ctendit in sphaeram KGTH (F 1g 43) exprimet ipsa sphaera divisa per ∁∾∙≖ (:CB') seu per quadratum distantiae puncti. C ab ipsius sphaerae een- tro ; siquidem aliae duaeïcomponentes (71) evanescunt,: Sed si sphaera ita, condensantur,, ut coiret in centrum, eodem prorsus modo exprimeretur eius attractiva vis; er- go punctum extra sphaeram situm eadem omnino ratio- ne in ipsam tendit , ac si omnia sphaerae puncta in cen- tro compenetrarentur. ⋅ ⋅ Haec vera sunt , lieet corpus non sit omnino ho- mogeneam, modo tamen sint ubique homogeneae eius par- tes a centro aequidistantes; quod notandum etiam in se- quenti assertione.

74. Si punctum materiae locetur intra crustam sphaericam, sive intra orbem sphaericum intus cavum terminatum binis superficiebus sphaericis concentricis, id punctum, destructis viribus consistet in aequilibrio. Sint ( Fig. 44) NEQ, MFP superficies illae concentricae , punctum vero materiae sit O. Ducta per 0 quavis chorda MNEF, et ex centro K demisso perpendiculo KC supra ipsam chordam, erunt CM=CF, CN=CE; igitur MN = EF , ac proinde ( 72 ) etc:

75. Ex dictis ( 73. 74 ) sequitur:

1º . punctum in superficie duarum sphaerarum positum gravitare in ipsas sphaeras in ratione radiorum directa: nam sphaerae sunt ut radiorum cubi, quibus per eorumdem quadrata divisis, prodeunt radii simplices:

2° . gravitatem puncti intra globum homogeneum pergentis a superficie ad centrum decrescere in ratione directa distantiae a centro ipso.

76. Haec notentur. 1º. materiale punctum valde distans a corpore attrahente, utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centro gravitatis compenetrarentur; patet tum ex dictis (12: 20) , tum ex eo quod in casu vires attrahentes punctorum constituentium corpus considerari possint tamquani proxime parallelae et proportionales ipsorum punctorum massis.

  • Patet etiam ex ( 0 " . 01 .: 72 ) ; nam si A est ila na

gna , ut, retento primo termino in ( o " ), possint caeteri praetermitti absque sensibili errore , sicque habeatur M Q exsistent M C H M A2 ., HH , M 3 42 : A H ac proinde M H ViH + H ,* + H , + 158 Sint (Fig. 44) NEQ, MF P supetticies illae concen. tricae, punctum vero materiae sit 0. Ducta per 0 qua- vis chorda MNEF , et ex centro K demisso perpendicu- lo KC supra ipsam chordam, erunt CMr—CF, CNzCE; igitur MN— EF , ac proinde (72) etc:

75. Ex dictis (73. 74) sequitur: 10. punctum in su- perficie duarum sphaerarum positum gravitare in ipsas sphae- 'ras in ratione radiorum directa: nam sphaerae sunt ut ra- diorum cubi, quibus per eorumdem quadrata divisis, pro- deunt radii simplices: 20. gravitatem puncti intra globum homogeneum pergentis a supe1ticie ad centrum decrescere in ratione directa distantiae a centro ipso.

76. Haec notentur. 10. materiale punctum valde di- stans a corpore attrahente, utcumque se habeat forma cor- 'poris, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus , qua tenderet si corporis partes in centro gravitatis comPe- netrarentur', patet tum ex dictis (12: 20), tum exeo quod ih casu vires ,attrahentes punctorum constituentium cor- pus considerari possint tamquam proxime parallelae et pro- portionales ipsorum punctoruin massis. ' ea Patet etiam ex (a" . o" 72); nam si∆∙ est tta ma- gna , ut, retento primo terminogin (o'f ), possint. caeteri praetermitti 'absque "sensibili 'et-rore , sicque habeatur . ' . - «. ∙ ⋅ r ↾ 1' I . . M. 11" ≺≀⇌⋅⊼−↿⋅ ⋅ exsistent '1- - --M 0 'M 6 "' M ∣⋅ ∏⋍−⋅−− −−∶∙−−⋅∙−− ...—...; .' AaA'H' ArA'H': ∣⋅∙↘∆∙ ac proinde −−−∙∙−−−−−−∙∙∙∙−−∙ M H:: l/Hil'i'nya'i" He's-A"?159 2º. Non pluribus opus est , ut stabiliatur illud: u bi dimensiones corporum quorumcumque se matuo attra hentium in ratione directa massarum, et reciproca duplicata distantiarum sint admodum exiguae prae distantiis, quibus ipsa corpora disjunguntur, eorum alterum tendet in alterum perinde ac si essent 'ambo in suis gravitatis centris compe netrata . Dicantur enim M , M' massae duorum ejusmodi corporum , m, massa cujuslibet puncti spectantis ad M , et A distantia inter m, ac centrum gravitatis massae M ; ex Mm , primet vim attractionis motricem ( 28) , qua m, len. dit in M, simulque ( 7 ) vim attractionis motricem, qua M tendit in ma; ideoque merit vis attractionis acceleratrix, qua M tendit in mo . Atqui hoc pacto M tenderet in mo, si to la massa M compenetraretur in suo gravitatis centro ; er go M revera tendit in mi, id est in singula puncta mas sae M' , perinde ac si tota M foret in suo gravitatis cen tro compenetrata: cumque ob paritatem rationis idem con tingat massae M' quoad M , jam patet veritas assertionis.

3º. Quoad sphaerica corpora, quorum partes aequidistantes a suis centris sans homogeneae, obtinet assertio, utcumque caeteroqui se habeat intercedens distantia.

De gravitatione universali[recensere | fontem recensere]

77. Quae de coelestium corporum motibus, ex astronomicis observationibus hic subjicimus, ad ipsorum gravitatis centra respiciunt.

1º. Areae, quas circa solem describit radius vector uniuscujusque planetae sunt respondentibus temporibus proportionales: idipsum obtinet quoad areas descriptas a radio vectore uniuscujusque satellitis seu planetae secundarii circa suum planetam primarium.

2º. Convertuntur planetae circa solem in orbitis ellipticis ita, ut singularam ellipsium alterum focum occupet sol: convertuntur planetae secundarii circa suos planetas primarios in orbitis ellipticis ita, ut istarum focum occupet respectivus planeta primarius.

3º. Quadrala temporum periodicorum sunt in diversis planetis ut cubi semiaxium transversorum: idipsum obtinet quoad diversos satellites circa respondentem planetam primarium.

78. Hinc

1º. planetae urgentur vi acceleratrice tendente in solem; itidem satellites urgentur vi acceleratrice ad respectivos planetas primarios tendente: plauetae, nimirum gravitant in solem, satellites vero in planetas, quibus adhaerent.

2º. Unusquisque planetarum (56) urgetur in solem vi gravitatis, quae sequitur rationem reciprocam duplicatam distantiarum ab ipso sole: idem dicendum de unoquoque satellite in ordine ad suum planetam primarium .

3º. Collatis inter se viribus acceleratricibus, quibus diversi planetae urgentur in solem, eae erunt (56) in sola ratione reciproca duplicata distantiarum a sole ipso; praecisa igitur projectionis vi, si diversi planetae in aequalibus a sole distantiis constituerentur, aequali tempore in eum descenderent. Idem obtinet in satellitibus quoad respectivos planetas primarios.

79. Planetae secundarii una cum primariis, quibus adhaerent, in solem urgentur eadem gravitatis lege. Nam corpus omne, quod circa corpas alterum utcumque motum describit areas temporibus proportionales, urgelur duplici vi, altera tendente ad corpus illud utcumque motum, altera utriusque communi (5:46): cum igitur planetae primarii gravitent in solem, cumque planetae secundarii circa suos primarios describant areas temporibus proportionales; propterea etc.

80. Gravitant in se mutuo corpora omnia, ex quibus coalescit planeticum systema. Planetae siquidem omnes cum primarii tum secundarii vi gravitatis urgentur in solem; ergo sol in planetas omnes vi ejusdem gravitatis (7) urgetur: atque hoc argumento ostendes terram gravitare in lunam (id confirmant phoenomena marini aestus) caeterosque planetas primarios in suos satellites. Quod autem planeta quilibet in alium quemvis gravitet, satis e sola comprobaretur analogia, etiamsi nulli essent effectus, ex quibus haec gravitatio immediate detegi posset. Sed ejusmodi effectus non desunt: perturbationes videlicet, quae in recensitis motibus (77) observantur, quaeque per mutuam coelestium corporum gravitatem optime determinantur (62*60). Sic cum lunae motum ad regularis calculi normam ex observationibus exigere se posse Astronomi desperarent, tandem postquam ejusdem perturbationes ex mutua corporum coelestium gravitatione investigare coeperunt, tabulas lunariam motuum potuerunt conficere, quarum tantus est cum coelo consensus, quantum sperare ex observationibus nemo potest.

81. Praecisis perturbationum causis , urgebitar luna in tellurem vi acceleratrice (56):


denotat tempus periodicum = dieb. 27 , 322 = minut. secund. 602. 24. 27 , 322; semiaxem transversum orbitae lunaris, radium vectorem ipsius orbitae. Iamvero mediocris radius terrestris = 16931100[2] ped., mediocris parallaxis lunaris 57' + 11", unde facto igitur , gravitatis vis qua luna urgetur in terram evadet in ipsius terrae superficie

qui valor cum sit proxime 30,2 ped., inferimus gravitatem qua luna urgetur in terram nihil esse aliud nisi gravitatem ipsam terrestrem imminutam in ratione reciproca duplicata lunaris distantiae a terrae centro.

82. Vis gravitatis, qua lapis v . gr. urgetur in terram, est (80) ejusdem speciei cum illa gravitatis vi, qua corpora mundani systematis in se mutuo tendunt; ergo idem in utraque erit agendi modus. Atqui vis qua totus lapis urgetur in terram resultat ex viribus, quibus singulae lapidis particulae in eamdem nituntur; igitur et vires, quibus corpora mundani systematis gravitant in se mutuo, resultant ex viribus, per quas singulae ipsorum, particulae se mutuo petunt. His positis, stabilietur illud: gravitas ita materiam afficit, ut singulae ejus particulae in alias omnes et singulas gravitent in ratione directa massarum, ad quas tenditur, et reciproca duplicata distantiarum alterius ab altera. Recole quae diximus (76.2º.3º); etenim coelestia corpora et habent dimensiones admodum exiguas prae mutuis distantiis, et induunt formam prope sphaericam.

83. Bonum erit nonulla hic annotare.

1º. designantibus et solarem et planeticam massam, ex dictis (56.k, 62.c) eruitur

ratio igitur inter cubum semiaxis transversi et quadratum temporis periodici, utpote pendens a massa planetica, nequit esse accurate constans quoad diversas planetarum massas. Atqui tamen ex astronomicis observationibus infertur rationem illam, sin minus accurate, certe esse quamproxime constantem: concludendum itaque planetarum massas admodum exiguas esse, ubi comparentur cum massa solis. 2.º Eodem modo ostenditur, si lunam excipis, satellitum massas fore et ipsas valde parvas prae massis planetarum, quibus adhaerent.

3.° Quae quantitates sunt designatae per quoad planetam , eae designentur per quoad satellitem; erit

Hinc (1°)
praetermissa ( 19. 20. ) in numeratore primi membri, itemque m in denominatore , et facta M = 1 , prodibit. T2 TO a's i quae formula suppeditat rationem inter solarem massam habitam pro unitate , et massas planetarum ( tellurem ex cipe) , qui satellitibus stipantür.


4.° Quod spectat ad tellurem consideratam in star sphaerae habentis radium R , et massam m , sit & gravi . tas prope ejus superficiem , erit (73) 8 =R. , ideoque (10. ) M +m 4 712 a3 & R2T et praetermissa ( 19. ) m in numeratore primi membri , factaque solari massa M = 1 , emerget 163 2! Eodem modo ostenditur , si lunam excipis, satellitum massas fore et ipsas valde parvas prae massis planetarum, quibus adhaerent . -l ⋅

41:2003 - ∙∙ ↶↿ m-4—m' £S.-"IW., Hï'n'c (10) ⇀ .. .m -- in'. T., a'-3-- - M,-—-.nsl ≔−⋅⋅∙−∙− ∙ ∙∙∙ : T'a :: " praetermissa (.10 20. ) tu' in numeratore primi membri , itemque ut in denominatore , et facta M— −∙− ↿, prodibit. ⋅ 1 ↴− ⋅↧⇁≖ -a ∙ − ⋯∙↽↽⊽ . ..;3, .' ∙⊾⊺⋅⋅ quae? .fottmule- suppeditat rationem - intcr. solarem^ massam habitam pro unitate , et massas planetarum (tellurem ex- cipe) , qui satellitibus .stipantur. 'i-o Quæ-Spectat ad tellurem' consideratam in- star sphaerae habentis radium R , et massam 111, sit 3gravi- tas prope eius superficiem , erit (73) gr ≖⋅⇁⋅∙−⋮↾−⋮↾− , ideoque (10.) IUI—tm,— 4 11:303. , gRQTi' et praetermissa (10.) »: in numeratore primi membri, f.- ctaque solari massa M ∙−⇁−−−∙ ↿, emerget ⋅164 & R2T2 4 Ti ? a3 PE

5° Media telluris densitas ( = M) determinari potest ex penduli aberratione. Sit CB (Fig. 45) pendulum; a longitudo rectae CB, quae nec distendi possit nec inflecti; S centrum massae sphaericae ( = m' ) ad se trahentis punctum ponderosum B , r radius , M densitas; b recta CS; CD posilio penduli digressi a recta verticali CB; & angulus BCD; h angulus BCS; k recta SD: centro insuper C et radio CB intelligatur describi circularis arcus BD , et per D duci tangens nn' . In D sollicitatur materiale m' punctum viribus acceleratricibus g et altera juxta ver ka ticalem DD' , altera juxta rectam DS ; anguli SU 1 D'Dn = CnD = 90 ° — E , SDn ' = # (CDS - 90° ) , to et consequenter b sin (h — 5) cosD'Dn sins , cosSDn ' = sinCDS = k Vires igitur motrices respondentes praefatis viribus ac celeratricibus sese librant in D quotiescumque fuerit que bas bit ha m' 23 gsine b sin ( h - €) . sed Pone longitudinem penduli ita exiguam prae distantia CS , ut absque sensibili errore sumi possit k = b ; traduce tur aequilibrii conditio ad gb2 sin é = m ' sin (h - ) ; m et substitutis ( 4º . ) valoribus 8 T RH, m R? 3 4 90 paris 75 1'3 je , prodibit 164 g R*T3 m— 4 723 (13 50 Media telluris densitas (:: p.) determinari po- test ex penduli aberratione . Sit CB (Fig. 45) pendulum longitudo rectae CB, quae nec disteudi possit nec inflecti; S centrum massae sphaericae (: m') ad se trahentis punctum ponderosum B , r' radius , pf densitas ; 6 recta CS; CD positio penduli digressi a recta verticali CB; a angulus BCD : ]: angulus BCS: k recta SD: centro in- super C et radio CB intelligatur describi circularis arcus BD , et per D duci tangens nn' . In D sollicitatur materiale punctum viribus acceleratricibus 3 et ?; , altera juxta ver- ticalem DD', altera juxta rectam DS : anguli ix)-D'.. ∙∁∥↧⊃ :. 90o −−∙ e , sna':∶↿≐ (CDS — 900) . et ⋅ consequenter bsinUt—s) ——k . Vires igitur motrices respondentes praefatis viribus ac- celeratricibus sese librant in D quotiescumque fuerit ! r ' , !' cosD'Dn :: sins, cosSDn' ∶∙ sinCDS −−−−⋅− gsins: £;- b sin( h — £) . liane. longitudinem penduli ita exiguam prae distantia CS , ut absque sensibili errore sumi possit 1::6; traduce- tur aequilibt'ii conditio ad gbï sin ; −−∶ m' sin-(h — a) ; et substitutis (40.) valoribus g: €; ∶∶ £- 11 R p., m' −∙−∙−− 4 ,, , ' ∙⋅ ; " . . ⋅ ∙⋅⋮↿∏⋅ p. , prod1h1t ! ' I 151 sit lla165 1 b- Rue sin { = 13 M ' sio ( h - E)

unde i p3 y sin h rº ( sinh – coshtang :) 1 lang E = Ruba tospicosh ji Rba lang

Permanentibus r ' et ' , valores b = r ' et h = 90 ° manife ste suppeditant maximam penduli aberrationem & , ut quoad istiusmodi aberrationem sint Se re tang R pe 3/3 Rtang s Densitas fl , prout colligitur ex aberratione penduli , cen setur quater vel quinquies major quam densitas aquae. 6. ** Eadem u determinatur etiam experimentis in stitutis in libra torsionis . Sit ( Fig . 9. ) HH ( =2a ' ) posi tio vectis horizontaliter librati

E punctum medium, in quo vectis appenditur filo metallico verticali HA circulus horizontalis centro E et radio EH = a ')

SS

( 26 ) recta similiter horizontalis , transiens per E , ibique secta bifariam

sint

S et S centra sphaerarum inter se aequa liam et quoad volumen , et quoad massam ( = m ) , ad se trahentium massulas sphaericas m ' et m " inter se pariter aequales , quarum centra in H et H ' . Movebitur vectis circa punctum E immotum , motusque iste repetendus ab attrahente sphaerarum vi juxta circuli tangentem , cui vi jugiter adversatur vis lorsionis ex filo metallico verticali

et quoniam corpuscula m ' et m " eodem prorsus donantur motu circa E , satis erit alterum dumtaxat v . gr . m ' con siderare . Dicatur itaque h datus angulus HES

& angulus , quem in fine temporis i continet vectis cum initiali po sitione EH

k distantia inter S et m ' in five ipsius t

sol

licitabitur m ' juxla circuli tangentem vi attractiva ! )- a 165 63 Bpain :::/3 (fimul—15); unde tan E' ∙∙∙⋅ r'3 pf sin 11 p. ' r'3 (sinit −⋅ coshtang &) ∙ g −⇀ nubi-l- r'3 picas/1 .pf ⇀−− lib2 teng & . Permanentibus r' et p! , valores b

r' et 11
900 manife-

ste suppeditant maximam penduli aberrationem

, ut quoad istiusmodi aberratiouem sint tangi—£".! P',—. r −⇁∙ p p. Btang & , Densitas p., proutcolligitur ex aberratione penduli. , cen- setur quater vel quinquies maior quam densitas aquae.

6?- Eadem p. determinatur etiam experimentis in- stitutis in libra torsionis . Sit (Fig.'9*.) HH' (:Za') posi- tio vectis horizontaliter librati; E punctum medium , in quo vectis appenditur (ilo, metallico verticali; HA circu- lus horizontalis centro E et radio EH (:a'); SS' (:26) recta similiter horizontalis , transiens per E , ibique secta bifariam

sint

S et S' centra sphaerarum inter se aequa- lium et quoad volumen , et quoad massam (:m) , ad se trahentium massulas sphaericas m' et 111" inter se pariter aequales , quarum centra in H et H' ., Movebitur vectis circa punctum E immotum , motusque iste repetendus ab attraheute sphaerarum vi juxta circuli tangentem , cui vi jugiter adversatur vis torsionis ex filo metallico verticali

et quoniam corpuscula tu' et m" eodem prorsus douantur motu circa E ,,satis erit alterum dumtaxat v. gr. m' con- siderare . Dicatur itaque ]: datus angulus HES

& angulus , quem in fine temporis

continet vectis cum initiali po-

sitione EH; k distantia inter 5 et m' in line ipsius t

sol-

licitabitur m' iutta circuli tangentem vi attractiva-166 b hak sin (h — e), eritque kº = a's - 2a'b cos (h --- e) + 6+; experimenta insuper praebent vim torsionis proportionalem angulo e , et consequenter expressam per ce : quoniam igi tur labente e describit m' arcum ás , iccirco ( 50.3º. ) áre mb sin (h -€) dta k3 3 1 aequatio ad motum corpusculi m' . Ob angulum & valde exi gaum , sin (h-5~s)) = sin h - e cos h , k - = [ a's -2a'b ( cosh +sinh) + ] := k +. 2a'besio h ] R3 3a'b esinh + ubi denotat k , valorem k respondentem initio k. molus , quum nempe E = 0 ; proinde sin (h-E ) sinh 23 E COS h 3abe sin’h + k. k. sinh k. k . £ k cosh 3a'be sinh sinh + kb. K. her ) [ (a's tabo) cos h k . k5. sinh 2a'b cosah — 3a' b sin : h] [laat69)cosh - 2db -a'b sinä h] : et factis compendii causa mo [ la'a + b ) cosh — 2a'b – a'b sinºh] +c = g' , 166 m 1) . ' . F. ∙∣⋮∙ nuUi—s) ,entque ka: a'a— 2a'b cos (71—5)-1—63; experimenta insuper praebent vim torsionis proportionalem angulo :, et consequenter expressam per et: quoniam igi- tur labente :describit m' arcum a's, iccirco (50.?)0.) ,d'38 mb ∙ aa;-a.- Fama—Q—ct aequatio ad motum corpusculi m' .Ob angulum :valde exi- guum , sin (It—s) :sin h—s cos 11, k'3: [a" −∙∙ Za'b (cos): 3 . 3 -i-ssinh) ⊣−∂∙∎∙∣− 'a': [le, −∙∙ Za'besin H's—:i? ⊣⋅− a.:-s;": h, ubi denotat k, valorem k respondentem initio motus , quum nempe s.: o ; proinde sin (I;—s) sin 11 : cbs Il 30'68 sin'h sin ls ∙−−−⋅∙≖∙−−∙− ∙∙∙⋅ ks' """" k3, −∎⋮∣⋮∍∙ fl", P, P, sit' eos]: l Bez-'besin'h sinh : .

5, w cos-1. −−⋅ adb sin-t.] : 822" −⋅⊼⋮−⊏≺∘⋅⋅−⊦∂⋅↗ coslt ∙∙∙⋅ ⊋∘∣∂∙∙− a'b sin' &] :. et factis compendii causa iii- [(.-a ⊣⇁ 61) cos h—w— a'6 .i..- h] ∙⊦≖⋅∸ −−∶ z'-167 mô sinh wg' 23. aequatio ad motum corpusculi m ' vertetur in do e a' ó (0) -- s ) ; de² ex cujus integratione ( 27. 28º. ) (9)*va ' @ 'ri { = w + Ce + Ce Sunt autem ( 27.300. ) . va cos (9 )* + v = on e(2) , - ) vi cose ( ) -va sine ( 2) propterea szaf1CTC") cos( ) +(c —c )V= sine ( : sumptisque C +C' =C.cos C,, C — C = CV -ī sincs, = - + 6, co [4 ( 4 ) + c ] Minima vectis declinatio , í = u - C , ab aequilibrii positio 167 mb sinh −−∣−∣⋮−≣∶−−≂−↩∾⊰ aequatio admotum c0rpusculi m' vertetur-in ,d'l (: -d—t;:::g (6)—S): ex cuius integratione (27 . 280.) ⋅⋅ .

. .'.t ⋅↴∶ ≖−↽−−−⇀↠∾−⊦∁∊ :(?) [l:—[— 08 "(ä-') V .. Sunt autem (27 .300.) .;. propterea " ∙⋐⋅∶∶⊙−⊦≼∁−⊢∁⋅≱ ∾≘↙≺−⋚⊑⋅≻⋚⋅⋅−⊢ ((i—C' ) (V:; sint (?);; sumptisque ∁−⊢ ∁∙∶∁≖∞∙ c, , ∁−∁∽−↽⇌∁≖⇂∕∙⊺∘⋮∥∁≖∙ ⋅⋅ ∸ g' ? ≘−∙−−∙∾−⊦∁∙∞∘∣↣⋮≀ ≼⋮⇉⋟ −⊦∁≖∃∙ Minima-vectis declinatio , (:o)—G. ab aequilibrii pocitio-168 ue H'H respondet valori ( ) + Cs = ( 2n – 13 ;ma = + c = 212nt : determinatis itaque per observationem i'et s" , eruetur inde te" et ducta 00 ita , ut sit angulus HEO = w , perget vectis moveri instar pendali horizontalis circum EO , impendet que tempus tz = " - t ad integram conficiendam oscilla tionem , nimirum ty=T VAg' Sit nunc a longitudo penduli simplicis ( 66) , quod intra idem tempus t absolvit oscillationes suas : cum habeamus ty = TO Van a erit 8 et denotante si densitatem sphaerae m ,

a' r radium , substitutisque valoribus ( 5.0 ) 4 пRр .8 3 mbsinh wk3 471p3 M'bsinh 3wk. 3 proveuica Ruwk3 р p3M'bsinha unde ar3bsinh a'Rwk.3 1 Densitas pe sic determinata censetur esse ad tatem ut 5,48 : 1 . aquae densi 168 ne H'H respondet valori t'(g——,)ä -I-C,:(2n-1)1r; ma- xima ⋮∣↾∶∶∾⊹∁≖ valori : .(gwik) ⊹∁≖:2mr: determinatis itaque per observationem eet :" , eruetur inde −−≘⋮−⊢⋮⋅∣∙ −− ⇄ ∙ et ducta O'O ita , ut sit angulus HEOzzæ, perget. vectis moveri instar penduli horizontalis circum EO, impendet- que tempus :::-:i "—t' ad integram conGciendam oscilla- tionem , nimirum a'" Vf- ∙

5 Sit nunc a longitudo penduli simplicis (66), quod intra idem tempus :, absolvit oscillationes suas: cum habeamus (3:11 V? . . g a ' ∙ erit?-;? ; et denotante p. denutatem sphaerae m ,

- radium

. substitutisque valoribus (59) ∙∙∙⋅ ∙≤∙ nR ,— mbsinh— 4nr39'bsinh ∙ ∙ o ∙−−− 3 p. ,g 01:03 30 1:03 , provenit... Rpali-03 a p. arabsinh r3p'bsinh—c7 ' unde ∙∥∙∽ a'Rmkoï'l ' Densitas p. sic determinata censetur esse ad aquae densi- tatem ut 5,48:1.169

7. ** Ex mariui aestus phoenomeno deduci pol est ratio inter massam lunarem m " et terrestrem m. Sit m' ( Fig. 35 ) quodvis terrae punctum ; lunares vires distrah entes punctum mé juxta mm" et Am exprimuntur ( 62) per 2m " Dcosh m"Dsinh (0) , ( 0' ) :. x'3 X :' 3 quod in ordine ad lunam est h , x" , in ordine ad so lem sit H , X " ; prodibunt consimiles vires solares 2MDcosH MDsind X " 3 ( a ) , ( a '). X'3 In casu angulorum h et H aequalium habemus ( 0) m"X "3 (a) -- ( 0 ) M.2'3 ( a' ) caeteris vero paribus , ratio inter lunares et solares vi res est eadem ac ratio inter respondentes aquarum ela tiones ; denotante igitur p hanc secundam rationem , erit X3 M р m ' M m' unde m = P 3 x "' 3 X " 3 Observationes praebent p = 2 , 35333 : vide mechan, coel. vol , 5. pag . 206. Aliquid notatur de motu punctorum materialium utcumque inter se connexorum .

84.* Vires motrices P, P , P" , ... sollicitantes istiusmodi punctorum massas m , mi , m' 0 resol 12 169 7." Ex marini aestus phaenomeno deduci pot- est 'ratio inter massam lunarem m" et terrestrem m. Sit m' (Fig. 35) quodvis terrae punctum .; lunares vires distrah- entes punctum m juxta mm" et Am' exprimuntur (62) per 2m"Dcosh m"Dsinh (0) ∙ ∙−−∙↕∙−∙⋅∃−−⋅ (O,) xara ⋅ quod in ordine ad lunam est h , a:" , in ordine ad so- lem sit H , X"; prodibunt consimiles vires solares 2MDcosH' ⋅ MDsinH W (a), ∙∎∎ Xl/3 (a'). In casu angulorum I; et H aequalium habemus (o) -m"X"3l-(o') ∙ (a) Mx"3 X(a') ⋅ caeteris vero paribus , ratio inter lunares et solares vi- res est eadem ac ratio inter respondentes aquarum ela- tiones ; denotante igitur p hanc secundam rationem , erit X"3 d m" M a:"3 ∙ "";- un B −−∶ ∙ ,. x' 3 ' m ? m X'3 31 ≊⋅∙ p: Observationes praebent p——:2 , 35333 : avide machen. coel. vol. 5. pag. 206. Aliquid notatur de motu punctorum materialium utcumque inter se conus-xarum.

843: Vires motrices P, P", P", ... sollicitantes istiusmodi punctorum massas m , m' , m" , ... resol- 12170 vantur singulae in ternas coordinatis axibus OX , OY , OZ ( Fig. 8 ) parallelas ; designentur per X , Y , Z, X', Y , Z ' , X " , . . componentes inde ortae ; sintque x, y, 3 , x ', y ', z' , x " • punctorum coordinatae responden tes temporit , ut ( 50, 1.º ) per x == f (1 ), y = f(t), 2 = F (t), ' = fi (t), y = fz(t ), == F ,(t) x ' = fale) ,y" =f(e), z" = F.(6),7: " = f5e) , ... ) co) exhibeantur aequationes ad actuales molus ; ad eos nem pe motus , quos reapse concipiunt massae m , m' , m " , ob actiones virium P , P' , P ", ... Quoniam materialia puncta , etsi mutuis nexibus liberala , viribusque ( 50. 4.0 ) dºx dz m dạy de² m d²x dla m . dia dla dea d2z ' dca dc ? sollicitala , adhuc tamen conciperent motus ( 0 ) ; ideo , attentis nexibus , consistent in aequilibrio vires dez X - m d2x de2 Ymdạy di? 2m X' der' di2 > 7 dt2 Y - m d²ý dt2 daz' Z ' - m '? dt² X " -m.dºx ": . dt2 Conditiones ( a " 13. 8. ) includuntur in conditionibus aequilibrii quoad liberum punctorum utcumque connexo um systema : liquet enim varians systema, semel libra tum , adhuc permansurum in aequilibrio , etsi ejus pun cla rigidis lineis immutabiliter connectuntur. Propterea 170 vantur singulae in ternas coordinatis axibus OX, Oï , OZ ( Fig. 8 ) parallelas; designentur per X, ? ,- Z, X', 1", Z' , X" , . . . componentes inde ortae; sintque x,],

, x', y', z', æ" , ... punctorum coordinatae responden-

tes tempori t , ut (50. 19) per x:f(t), 7:112) ,z:F(t),.r ':f,(t),y ':f (t), z':F,(t), (0) x":-f.(t) . y":f.(t) . ("zl-".m. m"':--f3(t) . ∙ ∙ ∙ exbibeantur aequationes ad actuales motus; ad eos nem- pe motus , quos reapse concipiunt massae m , m', m" , ob actiones virium P, P', P", . . . Quoniam materialia puncta , etsi mutuis nexibus liberata, viribusque (50. 49) da.. mdzy de. ⋯∽∣↙≀≄∙↿∶ ∙↙∄≖∫⋅ "B'—'— m-——- m— d,. ' md:2 '. d? 'md? ' dta ' ,dzz, ad:-I?" m d£2 '.. m dt:- ' ∙ ∙ ∙ sollicitata, adhuc tamen conciperent motus (a); ideo , attentis nexibus, consistent in aequilibrio vires (P:: (P] daz ,dzæ' X ⇁∎−−∙ —p ⋅⋅⇁ ∙∙∙∙ ∙−−− '"sz ' ? "'d'T'z' Z ""da: X "'de ' ≀∠⋮⊺ "rad : " rnnndaæ ï'-——-—m ' ... dtï' ,..—z ⋯∠↙⊤ 'X— dtz ' Conditiones (a"f' 13. 8.0) includuntur in conditionibus aequilibrii quoad liberum punctorum utcumque connexa- rum systema :liquet enim varians systema, semel libra- tnm, adhuc permansurum in aequilibrio, etsi eius pun- cta rigidis lineis immutabiliter connectuntur. Propterea171 (xam )=o, 3(1— )= 0, $ (2- -o, =[+ (rad ) – (xrm ) ] = o,

  • [> (2 mm ) -- ( - ) ]

0 seu daz ΣΖ - Ση de² EX = sme , Y =sme > ( 0 ) $( wYyX) =Em ( -e ) 3(y2=-1)= sm (voeding - :) Eml 1 Z day de2 (0') (2X == Z ) = 2m Z dax dta - daz dea : formulae (o ') spectant ad translativum punctorum motum, prima juxta OX , secunda juxta OY , tertia juxta OZ ; formulae ( o“) ad rotatilem punctorum motum , prima cir ca OZ , secunda circa OX , tertia circa OY ; eaedem ve ro (o " ) simul , ad punctorum motum circa fixam coor dinatarum originem . Haec facile nunc stabiliuntur. 1 . ** Habemus (20. 6.) seu æ ,dþ- ∙−− ∠∄≖⋍ , day d3æ ? −∙∙ − ..(æy—yX) Em ( «: Tt" ]—dt3 ) . - ∑ dan: daz (zX—æZ): Zm( :217; — æ —) : formulae (c')/spectant ad translativum punctOrum motum, prima juxta OX , secnnda juxta Oï, tertia juxta OZ; formulae (a") ad rotatilem punctorum motum, prima' cir- ca OZ , secunda eirca OX , tertia circa Oï ; eaedem ve- ro (o") simul , ad pnnctorum motum circa fixam coor- dinatarum originem. Haec facile nunc stabiliuntur. ↿∙∘⋇ Habemus (20. b.)172 dar Em dea dex, dla day Σm. dt2 Em daz, dc2 da , Em dla Em > Em: dt? Hinc >, ob (o' ) , der ΣΧ daz, de ΣΥ Em ' dt2 ΣΖ Σm (o' ' ' ) : Am dla molo videlicet systemate punctorum m , m' , m " , perinde ( 50. 4. ) movebitur gravitatis centrum ac si , co euntibus punctis in ipsum centrum , applicarentur centro eaedem vires P, P , P " , ... cum iisdem directioni bus , quibus puncta illa sollicitantur . 2 . '* Fac ut vires nihil sint aliud nisi punclo rum actiones mutuae : denotante A actionem puncti v. gr. m in aliud quodvis v . gr. m' , et A' actionem puncti m' in m , erit ( 7 ) A=A' ; et expressa per D distantia inter utrumque punctum , resolvetur A' in ternas coordinatis axibus parallelas x' #A D TA EA ; ilem A in ternas iisdem axibus parallelas ( o'r ) ŁA to , EA D po', -A D sumpto superiori signo si A , A' sunt vires attrahentes, inferiori si repellentes . Quare EX =0, EY=0 , &Z=0, et consequenter dér, =0, adi ? day1 di? dz, -0, =O ; di? in ea scilicet qua sumus hypothesi nullis viribus acce ↙≀⊴⋅↕⋮ d'), inuia—z- ' d'æ, dta (if/y. md:2 dïz, dta dtz— Em 'dt: Em ' du ïm Hinc , 06 (o') , d'æ, EX (Ph- Zï diru— ZZ dF—Zm' dt" "Zm dt2 −∑⋯ (0 ): moto videlicet systemate punctorum m , m' , m , . . , perinde (50. .f.") movebitur gravitatis centrum ac si, eo- euntibus pnnctis in ipsum centrum , applicarentur centro eaedem vires P, P', P" , . . . cum iisdem directioni- bus ∙ quibus puncta illa sollicitantur. 294: Fac ut vires nihil sint aliud nisi puncto- rum actiones mutuae :denotante A- actionem puncti v. gr.m in aliud quodvis v. gr. m', et A' actionem puncti m' in m, erit (7) A:A'; et expressa per D distantia inter utrumque punctum, resolvetur A' in ternas coerdinatis axibus parallelas 3."—æ ∙−⇠ 7—7 ...-,: z—z . drA U , A D A D itcm A in ternas iisdem axibus parallelas (o") æ—x' J—y' z—z' ∙ sumpto superiori signo si A, A' sunt vires attrahentes, inferiori si repellentes. Quare XX :0, ∑∟ -o, ZZ:o, et consequenter in ea scilicet qua sumus hypothesi nullis viribus acce-173 leratricibus agetur gravitatis centrum , nulloque ob mutuas panctorum actiones afficietur motu. Huc spectat princi pium de conservatione centri gravitatis. 3.°# Super planis XOY, YOZ, XOZ fiant proje ctiones a, b, c, a' , b' , c' , a " , 6 ", c " , a ' , , . . arearum descriptarum a radiis vectoribus punctorum m, m' , m", computatis radiis ab origine coordinatarum : erunt ( 50. 8. ) xdy — ydx Σmda = Σm ydz - zdy και Σmdb = Σm 2 2 zdxxdz Σmdc = Ση 2 unde daa 2Em -Σm α2 dta dt 22m d2b dta daz у

= Em (: dla e )

)

dec dex dez 2Σm -Σm dt2 sm ( 20 de? et consequenter ( o " ) d'a 22m dt² 8(xY4yX), 28mmdla = Eby2 — zY), ( 0 ) dac 2Em =E( zX-xZ) . dta 4.0 # Si vires consistunt in mutuis punctorum actio nibus , erunt ( 2.º o " ) 173 leratricibns agetur gravitatis centrum , nulloque ob mutuas punctorum actiones afficietur motn. Huc spectat princi- pium de conservatione centri gravitatis. 3."; Super planis XOï, ïOZ, XOZ fiant proie- ctiones a, b, c, a', b'. c', a", b", c' ', a'", ∙ ∙ ∙ arearum descriptarum a radiis vectoribus punctorum m, m', m" , .. . computatis radiis ab origine coordinatarum : erunt (50. 8.") ∑⋅↾⋅⊿↙↓⋅−−≔−∑⋯⊔−−−−∫−≌∙∑⋯↲≀⊨∑⋯⇅−−−≖−≗↶∙ d d d—d 2 ∙ 2 Emma.—zn. fix—?? , unde 22m ⋛∙∶−≧∶−−⋅∑⋯≺⊰≵ :::-£v:— 7 id?-:?) ∙ ⋮⋯∶⊜≀≀∶≖∂−↽−−≖⋅⋯⋅↗≺ :: −− ::z ⇋ d'c— d:.r ædaz et consequenter (o") ZZm −⋛⊴⋮↥⋮−⇌∑≺∞⊺−∜∑⋟ , ZZmäï—b- :Zþ'Z—zï), d (a') 220: ⋅⊋≖−∶∶ :2(zX—-æZ). 494: Si vires consistunt in mutuis punctorum actio- nibus, erunt (2.o o")174 8 (xY - 7X ) = 0 , (yz - zY) = 0 ; $ (zX -- XZ) = 0; ideoque dra dc Emdl2 d2b Σm dc2 Emadt² } et computatis areis ab initio temporis t , Ema = Ct , Emb = Ct, Emc = C " ! (0 ) : huc special principium de conservatione arearum. Formu lae ( o " ) adhuc obstinent , etsi in systemate invenitur pun ctum fixum , modo tamen in pancto illo collocetur origo coordinatarum : siquidem vigent in casua equationes ( o" ' ' ) , unde profluunt ( o " ). 5.0 * Si arcus s refertur ad tres axes orthogona les , ejus incrementum infinitesimum ds poterit spectari tanquam diagonalis parallelepipedi rectanguli sub later culis dx , dy , dz : hinc. dsa = dx2 + dyz-tdz?, et consequenter ( 50, 2.0 ) v2= dx2+ dyatdz dla Erit itaque Emvdv = Em der de² d'I ayt ar - . ac proinde (0 ) Emvdv = E (Xdx + ydy + Zdz) ( o" " ' ) . Fac ut E (Xdx + Ydy + Zdz) exsistat differentiale exactum , ! 174 . £(xï—77X):o , ZUZ—zï): :X(zX—xZ):o; ideoque d'a 'dzb (130 dt2 ? et computatis areis ab initio temporis :, 2ma:Ct , 2mb:C't, ch:C"t (o"): huc spectat principium de conservatione arearum. Formu- lae (ov') adbuc obstinent , etsi in systemate invenitur pun- ctum fixum, modo tamen in puncto illo collocetur origo coordinatarum: siquidem vigent in casua equationes (o"'), unde profluunt (o"). 594: Si arcus :refertur ad tres axes orthogona- les, eius incrementum infiuitesimam ds poterit spectari tanquam diagonalis parallelepipedi rectanguli sub later- culis dx , dy , ds :hinc. ds':dæï-l-df3-l-dz3 , et consequenter (50, 2?) daga—.dyzudzz dt2 ⋅ 02.— Erit itaque da a : Zmpdu:2m(d£fdx : (iyd): ↿ d zdz) . ac proinde (o') ∙ vadv :!(de ⊣− ⊺⊄↴⋅⊺∫ ⊣−∅∠∄≂≻⋅⋅ (o"'). Fac. ut XXdæ—fïdJ—l—Zdz) exsistat differentiale exactum.175 prodeat nimirum ex differentiatione cujusdam functionis F (x , y , z, x ', y , z, x " , ... ) ; habebis Em (u2 — V.2) = 2F (x ,y ,z,x',...) —2 F (xo,9o , zo , x '. , ... ) ; quantitates v. , xo, Yo, Zo, x'o, ... respondent initio mo tus. Consequitur, quod, redeuntibus iisdem coordinatis, ea dem quoque redibit summa virium vivarum : huc spectat principium de virium vivarum conservatione.

6. °* Denotent coordinatas punctorum in ordine ad novos axes, qui et paralleli sint axibus et originem habeant in communi gravitatis centro; erunt x = xrth , y = yiti , z = zetk , x' =xith' , y = yiti, z= z+k ', w " = xrth " , ... ; quibus valoribus substitatis in ( o " ) , attentisque aequatio nibus ( 20) dah deh , dai dai Σm Σm=0, Σ . Σm=0 dcz dta des dt2 = dek Σm- dt dakı Em=0 dc2 1 nec non aequationibus ( o "" ), prodibunt dai dah 2 ( XiY) = Em ( h TI dea dt2 E ( iz - kY) = Em (ala dih), ( - ) com (akone ) ( o " ) dah ElkX_hZ) = Em ( k dt2 175 prodeat nimirum ex differentiatione cujusdam functionis F(x,y, :, x', y', z', æ" , .. .) ; habebis M(æ—voz):2F(æ,7,z,æ',..-) -2 P(æo,yo , zo , x', , .. .); quantitates v, , æ., y,,zo, æ'o, ... respondent initio mo- tns. Consequitur, quod, redeuntibus iisdem coordinatis, ea- dem quoque redibit summa virium vivarum: liuc spectat principium de virium vivarum conservatione.- 604: Denotent h, i, k, h', i', A', I:" .. . coordi- natas punctorum m, m', m" , . .. in ordine ad novos axes , qui et paralleli sint axibus OX, Oï , OZ , et ori- ginem habeant in communi gravitatis centro; erunt r—æl-i-h ,.szl-ï-i !≖∶∅∎⊹∣⊂ 'x':xx-Fll' , f:.yg-I-i', z':z,-l—k', x":æ,-l-h", ...; quibus valoribus substitutis in (a") , attentisque aequatio- nibus (20) d'h dïb, dii dïi, EMzzï—an—O, zmcïS—dtï Zm--o ∙ d']: dïk, ZmäF—äz; Zm—o ∙ nec non aequationibus (o"'), prodibunt E(hX—-iï):2m(hää—ci £b) ∙ dr2 ⋅ ∙ dq: ti*i z (iz—mzn. (. &? −:. $) ∙ (o....) d.,, dal. ∑≺⋌⊔∅≻⇌∑⋯≺∣≂−∂−↙⋮−−∣⋅⋮⋮↙⇆⋟∙ .176 Formulae (o " ) se habent ad commune gravitatis cen trum prorsus ut formulae ( o " ) ad fixam coordinatarum x , J, 2, x' , ... originem 0 , respiciuntque relativum syste matis motum quoad ipsum gravitatis centrum:

7. • * Relativus rigidi liberique systematis motus quoad gravitatis centrum determinatur per ( o " " " ) ; motus vero ipsius centri per ( o' ' ' ) Ad haec : si resultans ex omni bus viribus systemati rigido applicitis transit per gravi tatis centrum , nullus inde orietur relativus systematis mo tas quoad ipsum centrum : etenim quoad istiusmodi mo tum similiter procedet res ac si resultans illa exerceretur contra punclum fixum ( 6." ). Eadem de causa , accedentibus novis viribus , relativus systematis motus quoad gravitatis centrum nullo pacto turbabitur , ubi eae resultantem sup peditent transeuntem per centrum illud. 85.& Pauca subjungentes de motu rigidi systematis cir ca axem fixum praemittimus illud: praeter orthogonales axes ( Fig. 9 ) sint alii tres axes similiter orthogonales On, Op, Oq, quibuscum ii angulos efficiant designatos per ( xn) , (xp ) , ( aq) , (yn) , ( yp ) , (99) , (zn) , (zp ), ( z9 ) . Si panctum E, quod referebatur ad axes OX, OY, OZ , referendum sit ad axes On, Op , Og , quaeri tur relatio inter veteres coordinatas x , y nip , q. Ponatur OE = a, et per (ax ), (ay ) , (az), ( an ) , (ap) , ( aq) exhibeantur anguli , quos OE facit com axibus OX , OY , OZ , On , Op , Oq: erunt ( 50. 6º . ) ma z et novas cos (ax) =cos (an) cos ( xn) +cos ( ap) cos (xp) + cos (aq) cos (xq) , cos (ay ) =cos ( an ) cos (yn ) + cos (ap) cos (yp) + cos (aq) cos (79) , cos (az) eos ( an) cos ( zn) * cos(ap) cos (zp) + cos ( aq ) cos ( 29) . 176 Formulae (o"") se habent ad commune gravitatis cen- trum prorsus ut formulae (a") ad fixam coordinatarum æ, y, 2, æ', .. . originem O, respiciantque relativum syste- matis motum quoad ipsum gravitatis centrum: 73»: Relativus rigidi liberique systematis motus quoad gravitatis centrum determinatur per (o""); motus vero ipsius centri per (o"') Ad haec: si resultans ex omni- bns viribus systemati rigido applicitis transit per gravi- tatis centrum . nullus inde orietur relativus systematis mo- tus quoad ipsum centrum : etenim quoad istiusmodi mo- tum similiter procedet res ac si resultans illa exerceretur contra punctum fixnm (S."). Eadem de causa , accedentibus novis viribus , relativus systematis motns quoad gravitatis centrum nullo pacto turbabitur , ubi eae resultantem suppeditent transeuntem per centrum illud. ' 853 Pauca subiungentes de motu rigidi systematis cir- ca axem fixum praemittimus illud: praeter orthogonales a- xes OX, Of, OZ (Fig. 9) sint alii tres axes similiter or- thogonales On, Op, Oq, quibuscum ii angnlos efficiant de- signatos Per (æ")s (æpl- (xq) :(f") , 07)» (f?) :(znls (zp), (zq). Si punctum E, quod referebatur ad axes OX, OV, OZ, referendum sit ad axes On, Op, Oq , quaeri- tur relatio inter veteres coordinatas æ , y , :. et novas n , p , q. Ponatur OE :a, et per (aæ) , (ay) ,(az), (an), (ap), (aq) exhibeantur anguli, quos OE facit cum axibus OX , Oï , OZ , On. , Op , Oq: erunt ( 50. 60.) cos (aæ):cos (an) cos (xn) —-[-cos (ap) cos (æp) −⊢ ⋅ cos (aq)cos (xq) , cos (ay) :cos (an) cos (yn) −∙⊢ cos (ap) cos (yp) ∙−⊢ eos (aq) cos (rq) ∙ 005 (az) −−∶ eos (an) cos (zn) —,l-cos(ap)cos(zp)-—- eos (aq) cos (zq). 3751177 Sed cos (ax ) = a , cos(ay) = cos(az ) = a cos (an) = , cos ( ap ) = .. cos (aq ) = = 9 a adhibitis igitur substitutionibus , provenient x = ncos( an) + pcos (xp) + qcos(xq) , y = ncos(yn) + pcos (yp ) + acos(yq) , x = ncos( zn ) + pcos(zp) + qcos(zq) ; formulae praebentes quaesitam relationem . Nunc 1 . ** Sit OX rotationis axis, datumque systema tis punctum reperiatur constanter in plano YOZ: si per OX et per punctum illud ducitur planum occurrens plano YOZ, satis erit determinare situm intersectionis istorum plano rum ut innotescat systematis positio. Concipiamus itaque novos axes orthogonales On , Op , Oq sic constitutos , ut firmiter adhaereant systemati , primusque incidat in OX , tertius in intersectionem illam ; erunt y= pcos(zq ) + qsiu(z9) , z =qcos (29) — psin(zg) : adhibita substitutione in secundo membro secundae ( o " .84) animadvertendo quod variato e non ideo variant novae co ordinatae , factoque 2 m ( p2 +9 ) = B , proveniet d ' (29 ) di2 - $ (72—28 ) (o'r) : ∙∙∙⋅ 177 & Sed ∾⋇≺⊄∣∙↿∶≻∶−−⊶⋚ ,cos (ay): a , c08(az):ä— . '] ... (an): ⋮⋮−∙ costam: g.... (aq) ⇌⋅−− −↙⋅↓− . adhibitis igitur substitutionibus , provenient x:ncos(æn) -l-pcoa (æp) ⊣− 9005(-qu : )»:ncosU'n) pcos (ïp) −∣⋅− ⊄∾≘∩⊄⋟ '

"cos(zn) −⊢ pcos(zp) -I-— qcos(zq) :

famulae praebentes (quaesitam relationem. Nune ↿∙∘∙ Sit OX rotationis axis, datumque systema- tis punctum reperiatur constanter in plano ïOZ: si per OX et per punctum illud ducitur planum occurrens plano ïOZ, satis erit determinare situm intersectionis istorum plano- rum ut innotescat systematis positio. Concipiamus itaque novos axes orthogonales'.0n, Op , Oq sic constitutos, ut firmiter adhaereant systemati, primusque incidat in OX , tertius in intersectionem illam; erunt 7: pcos(zq ) ⊣−⊄⊗∃∥≺∅⊄⋟ : 3 −−∶ quos(zq) -- psiu(zq) : adhibita substitutione in secundo membro secundae (o".84) animadvertendo quod variato :non ideo variant novae co- ordinatae, factoque . Zm(p'-l-q3)-——-B. proveniet (P(zq) - dt2 z.. 1 -B— ZUZ—zï) (o"):178 d (29 ) velocitas ( 50. 2º BE . ) respondet radio 1 , diciturque dla velocitas angularis: binomia patq , p'? + 92.. nihil sunt aliud nisi quadrata perpendiculorum ex m , m' , ... in axem On de missorum ; summa productorum ex massis m , m' ... in quadrata respondentium perpendiculorum , seu m (pa+92) + m ' ( p2t 92) + . . . vocatur momentum inertiae systema tis m , m' , .... quod axem On . 2. °# Ponamus vires acceleratrices consistere in so la gravitate g, axesque Ox , OY jacere in horizontali pla no: erunt Y = 0, Z 8 , et consequenter 7 de( 29 ) 1 1 dla B & Emy = 1 g Em [ p cos ( zq) +qsiu ( zq ) ] E & [cos(zq) . Emp + sin ( zq) . Emq). Fac ut illud systematis punctum , quod posuimus ( 10.) reperiri constanter in axe Oq, sit gravitatis centrum; ex sistent ( 20) Σmp = p,Σm = 0 , Σmg = qΣm : proinde d? ( ) - 1/3 sin ( zqı ) . Em ; dt? B 891 quae prius multiplicata per 2d( 29, ) , ac dein integrata praebebit [da ] = - 69.cos/ 291). Em + c x 178 . ∘ ' d(zq) velocitas ( 50. 2 . .. . ) 7:2- respondet radio1,d1c1turque velocitas angularis: binomia phi-qi, p'H—q'æ. nihil sunt aliud nisi quadrata perpendiculorum ex m, tu',... in axem On de- missorum ; snmma productorum ex massis m , m' ... in quadrata respondentium perpendiculorum, seu m (pi-I—q'H- m' (p'ï-l- q'3)-i- .... vocatur momentum inertiae systema- .tis m, m', .... quod axem On. 2.0a Ponamus vires acceleratrices consistere in so- la gravitate g, axesque OX , Oï jacere in horizontali pla- no: erunt T:o, Z: -— g ,et consequenter d3(z ) 1 ↿ ∙ de? ∶−∙−−↕≣− g Em]: —B—g2m[pcos(zq)—l-qstn(zq)] 1 - . −−−−− -B- g[cos(zq). Zmp −↘∟ stn (zq). qu]. Fac ut illud systematis punctum ,quod posuimus (10.) reperiri constanter in axe Oq, sit gravitatis centrum; ex- BlStent (20) ∣ Zmp :plzm:o , qu :q12m : proinde* dï ↿ ∙)— B gq, sm (sq,). Em;

quae prius multiplicata per 2d( sq, ) , ac dein integrata praebebit . d Z [ 2 2 . [ld-g-l ∸∶−∙∙∙⋅ ∙∙∙ ï gqx 008(zq1). Zm ⊹∁ ∙ iis179 Exsistentibus in initio motus d (291) = uo et ( 291) = a , erit du 2 C = uo% + B 69 , cosa. Em : propterea d (290) 72 =u' . + dt 2/3 891 [ cosa - cos ( 291) ] Em (o' ) . Huc spectat theoria penduli compositi. 3.•* Intelligantur m , m' , m " , .... coire in u nicum punctum annexum axi horizontali Ox ope rectae r; exsurget pendulum simplex : in casu p = p = p = ... = 0 , q = 9 = 9 " = ... = 9 = r , B = 2m(p + g ”) = 2n ; et consequenter quoad pendulum simplex d ( 292) 7 2 [Company *== + s [ cos a - cos ( 291) ] (o " ). 2 4.0# Facto 8 2 B 89. EmEm , proveniet B 9 , £ m col) ; longitudo videlicet penduli simplicis , quod suas perficit oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum . Re cole quae diximus (67 ) . 5.° * Pone nullas esse vires acceleratrices i erit ( 1. ° 0 ' ) 179 d(zq !) dc Exsistentibus in initio motus :u. et (zq.):a, erit . 2 C:u.,2 −⊦⋅ ïgq, cosa. Em: prapterea d(dZQtli:u⋅−⊢ ∙−⋛−∊⊄∙ [cosa — cos (zq.)]2m (a'). Huc spectat theoria penduli compositi. 39»: Intelligantur m , m', m", ... . . coire in u- nicum punctum annexum axi horizontali OX Ope rectae r; exsurget pendulum simplex: in casu p::p'::p": ∙ ∙ ∙ −−∙−−∶∘ , qzq'2q": ∙ ∙ ∙ ∶⊄∎∶↿∙ , "B::ZmQF-l-qa) claim ; et consequenter quoad pendulum simplex ↙≀≺≦≦∣≖⋝⊺−−⋅↙∘≖ ; f ,. (.... ... (..., ]. 2 2 4.0a Facto ∙∓− g :ïgq, Em , proveniet B . r'."—∙−∙∙ q,2m Om) ; longitudo videlicet penduli simplicis, quod suas perficit oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum. Re- cole quae diximus (67). 5. ., Pone nullas esse vires acceleratrices: , erit (1. ∘ o)180 dº(aq ) dia d( 24) unde velocitas angolaris u = dc = const. = u , . 1 1 Motus igitur exsistet uniformis , eritque velocitas angu laris ad velocitatem puncti v . gr. m ut 1 ad radium cir culi descripti ab ipso m , seu 1 u : v =1 : V patqz , ac proinde v = u ? (patoga ) quoad illud itaque punctum obtinebit vis contrifuga expres sa ( 51 ) per = u’m V pat92 . V pr + q2 1 vam 2 Resolvatur haec vis in ternas coordinatis axibus On, Op, Og parallelas ; prodibunt 1 + 9 р 0 , u²mV p2tga . V p²ta? wimb p'tgo. Foto > seu 0 0 , ump , u'mg : 1 quoad totum ergo systema habebuntur 2 0 , użEmp , u’Emq ; ideoque orietur pressio in axem OX. Prima membra formu larum ( a : 13. 8.° ) in casu fiunt 0 , użEmp, użEmq , użEmnp , użEmng , u’Em (pa - pa ) : ! hinc ubi fuerint 1 1 Emp= 0 , Emg = 0 , Emnp = 0, Emng = 0 ( o'r) , 180 (l*(z'q) d? d(zq) dc

o

, unde velocitas angularis ::: :const.-zuo, Motus igitur exsistet uniformis , eritque velocitas angu- laris ad velocitatem puncti v. gr. m ut 1 ad radium cir- culi descripti ab ipso m, seu ∣ ...—.... a: p −−−−−↿ :Vpl-I—qa , ac proinde V::u' (pH-q2 ) quoad illud itaque punctum obtinebit vis centrifuga expres- sa (51) per vam l/P'"l'qa −−∶ """ Vlf-*?" - Resolvatur haec vis in ternas" coordinatis axibus On. Op, Oq parallelas; prodibunt seu 0, uïrnp , 'u'mq : quoad totum ergo systema habebuntur o , u'Zmp , u'qu; ideoque orietur pressio in axem OX. Prima membra formu- larum (a'm : 13. 8.") in casu fiunt o , ti*Zmp, uazmq , u'Zmnp , u'Zmnq , u'Zmþq—pq) : hinc ubi fuerint Zmp:o , M.,—:a, Zmnpzo, zmnqzo (atur) '181 1 vires centrifugae se muluo librabunt independenter ab axe Ox , nullamque iste axis patietur pressionem . Prima et se cunda (oh ) important ( 20. 6. ) transitum axeos On seu OX per gravitatis centrum tertia vero et quarta important peculiarem quandam axiuin On , Op, Oq positionem relate ad punctorum m , m ' , m " systema . Porro si On , Op , Oq ita sunt positi, ut suppeditent Emnp = 0 , Emng = 0 , Empq = o , appellari solent principales systematis axes in ordine ad originem itidem quae momenta ad eos referuntur , et ipsa dicuntur principalia inertiae momenta . Ex pletis tertia et quarta ( o " "" ) , non autem prima et secun da , ex omnibus viribus centrifugis resultabit ( 13. 9.0 10.9 ) vis premens rolationis axem in O. 6. '* Superiores formulae manifeste applicantur continuo materialium punctorum systemati mutando & in ſ et m in dm , integrationemque protendendo ad totam systematis massam . 7.9 Saepe videmus corpora impulsu aliquo loca liter mota affici simul rotationis motu

etiam praecisis

, quae diximus ( 84 ) , sic ostendi potest motum istum oriri ex eo quod impulsus non habeat directionem transeuntem per centra gravitatis corporum . Sic G gravitatis centrum cor poris MM ' ( Fig . 46 ) , et AZ vis corpori cominunicata .. Ducatur per G ad AZL perpendiculum GL dividalur

bifariam AZ in C , et resolvatur CA in AD per G tran seantem , et in AB normalem rectae AZ producatur AG

donec GF aequet GA intelligatur AD applicita ad punclum F , sitque FK = AD resolvatur FK in FH parallelam et FI perpendicularem rectae LGN

quibus posi

tis , substituti poteront vi AZ quatuor vires CZ , AB , FI , FH . Jamvero CZ , FI utpote aequales , parallelae et ad eamdem plagam tendentes contrahuntur in unam reprae sentatam per GE ( 11 ) =GZ +Fl =AZ , transeuntem per G , eidemque AZ parallelam proinde movebitur centrum

G non secus ac vis AZ ipsi esset applicata . At duae aliae ↿∂⋅↿ vires centrifugae se mutuo librabunt independenter ab axe OX, nullamque iste axis patietur pressionem. Prima et se- cunda (o"") important (20. b.) transitum axeos On seu OX per gravitatis centrum: tertia vero et quarta impor- tant peculiarem quandam axium On , Op, Oq positionem relate. ad punctorum m, m', m" ,... systema. Porro si On, Op, Oq ita sunt positi, ut suppeditent Zmnp:o, Zmnq:o, Zmpq:o, appellari solent principales systematis axes in ordine ad originem O

itidem quae momenta ad eos refe- runtur, et ipsa dicuntur principalia inertiae momenta. Expletis tertia et quarta (on"), non autem prima et secunda, ex omnibus viribus centrifugis resultabit (13. 9310!) vis premens rotationis axem in O.

63. Superiores formulae manifeste applicantur continuo materialium punctorum systemati mutando 2 in ]et as in dm , integrationemque protendendo ad totam systematis massam.

7." Saepe videmus corpora impulsu aliquo loca- liter mota aflici simul rotationis motu: etiam praecisis, quae diximus (84), sic ostendi potest motum istum oriri ex eo quod impulsus non habeat directionem transeuntem per centra gravitatis corporum. Sit G gravitatis centrum cor- poris MM' (Fig. 46) , et AZ vis corpori communicata. Ducatur per G ad AZL perpendiculum GL; dividatur bifariam AZ in C, et resolvatur CA in AD per G tran- seuntem, et in AB normalem rectae AZ; producatur AG donec GF aequet GA; intelligatur AD applicita ad pun- ctum F , sitque FK: A

resolvatur FK in FH paral- lelam et FI perpendicularem rectae LGN

quibus posi-

tis, substituti poterunt vi AZ quatuor vires CZ,AB, FI , FH. Iamvero CZ, FI utpote aequales , parallelae et ad eamdem plagam tendentes contrahuntur in unam reprae- sentatam per GE (11):GZ—-FI:AZ, transeuntem per G, eidemque AZ parallelam proinde movebitur centrum

0 non secus ac vis AZ ipsi esset applicata. At duae aliae182 .AB, FH utpote aequales , parallelae , et ad contrarias par- tes tendentes , nequeunt gravitatis centrum e suo loco di- movere : spectatis itaqne istiusmodi viribus, immobile eqn- sisteret gravitatis centrum; sed eae sese mutuo non de- struunt, cum e diametro non opponantur. Aliud ergo praestare non poterunt nisi corporis rotationem circa gravitatis centrum. Rotationis motus incipit circa reetam aliquam seu axem, et quoniam in omnes corporis particulas ex rotatione inducitur vis centrifuga; hinc si vires centrifugae inde ortae aequilibrantur circa rectam illam, invariabilis exsistet rotationis axis, defereturque per spatium sibimet semper parallelas; secus, mutabitur indesinenter rotationis axis donec ad aequilibrium deveniatur.

De fluidorum corporum aequilibrio.[recensere | fontem recensere]

86. Fluida corpora spectamus veluti materialiam punctorum congeries; quae puncta, utpote invicem independentia, vel minimo cedunt impulsui. In massa fluida undique librata sume punctum quodvis [exhibemus per , denotantibus ejus coordinatas] sollicitatum vi acceleratrice praebente componentes coordinatis axibus , parallelas et per punctum illud fac ut transeat superficies plana, rigida atque infinitesima: consistet in aequilibrio; et consequenter pressiones hinc et illinc exercitae in ab circumpositis massae fluidae stratis, erunt vires aequales et directe contrariae, simulque normales ipsi . Ejusmodi pressionum alteram repraesenta per ; ratio dicitur pressio hydrostatica exercita apud punctum contra aream ( = 1 ) sumptam in plano superficiei . In eadem massa fluida fac ut per punctum alterum transeat talis superficies plana, rigida et infinitesima, quae communem habeat projectionem cum superficie in plano ; voca projectionem illam, et , hydrostaticam pressionem apud punctum contra aream ( =1 ) sumptam in plano areae . Massa fluida adhuc perget esse librata, etsi in qualibet ejus portione intelliguntur puncta rigidis lineolis firmiter connecti, seu, quod eodem redit, etsi quaelibet ejus portio fit solida: ponatur id contingere portioni cylindricae habenti rectam parallelam axi pro generatrice, et pro basibus; denotet densitatem massae fluidae apud punctum ; sitque Exprimetur per

summa ex viribus motricibus, quibus juxta sollicitantur puncta illius portionis; exprimenlur praeterea per
pressiones exercitae juxta eumdem OX , altera in basim ko,altera in basim k quod spectat ad pressiones contra lateralis superficiei puncta, eae utpote normales generatrici rectae nullas dabunt componentes axi OX parallelas. Quia igitur solidata portio perseverat in aequilibrio, iccirco

Haud mutata positione superficiei , revolvatur utcumque superficies circa punctum : permanebit secundum membrum ultimae aequationis; ergo et primum. Quare perseverabit in eodem valore hydrostatica pressio quoad omnia plana per punctum illud utcumque ducta: huc spectat principium de aequalitate pressionis. Consequitur, si recta generatrix sumitur parallela, prius axi , deinde axi , denotantibus hydrostaticas pressiones apud puncta , fore etiam

Terni valores differentiati, primus quoad , secundus quoad , tertius quoad , praebent
et consequenter (27.24º)
Itaque conditiones requisitae ad massae fluidae aequilibrium eo redeunt ut exsistat ejusmodi functio variabilium , quae expleat sive ternas (o), sive unicam (o').

87. Haec notentur.

1º. Si fluidum continetur vase undique clauso satisque firmo, utcumque se habeat valor ex (o') quoad superficiem fluidi, is constanter aequivalebit reactioni ex vasis lateribus: at si fluidi superficies sit libera, externisque subjecta pressionibus, ad aequilibrium explenda insuper erit (o') per talem valorem , qui in singulis liberae superficiei punctis aequivaleat respondenti pressioni externae.

2º. Hinc si pressio externa vel ponitur vel ubique eadem, erit quoad superficiem fluidi librati, ideoque

3º. Traduci potest (o") ad

exprimunt cosinus angulorum, quos efficit vis acceleratrix cum axibus coordinatis ; denotant cosinus angulorum, quos recta tangens arcum apud ejus extremum facit cum iisdem axibus: inferimus (50. 6.) vim intercipere angulum = 90° cum rectis omnibus tangentibus ubivis superficiem vel nullo pacto, vel aeque pressam; ac proinde sese dirigere normaliter ad istiusmodi superficiem.

4.º Integrata (o"), si constanti arbitrariaeque quantitati tribuuntur alii atque alii valores, emergent aliae atque aliae aequationes, quibus totidem respondebunt distinctae superficies aeque pressae.

5.°* In hypothesi tendentis ad punctum fixum, constitue ibi coordinatarum originem: denotante distantiam inter punctum illud et , erunt (50. 6º)

hinc
Est insuper , unde et consequenter
In ordine igitur ad superficiem aeque pressam exsistet : propterea ; ex qua : massa videlicet fluida atque librata induet sphaericam formam.


6. Quoad fluidum elasticitate pollens, constat experimentis densitatem , permanente temperie, esse proportionalem respondenti pressioni , nimirum

Eliminata ab (o') et (o"), proveniet
et facto , erit:
hinc
coefficiens pendet a temperie vigente apud . Inferimus aequilibrii statum in fluido elastico importare temperiem vel ubique eamdem, vel talem ut sit functio quantitatis . Haec insuper quantitas est (2º, 4º) constans in unaquaque superficie aeque pressa; idipsum ergo dicendum de temperie.


7.º Constat etiam experimentis fluidum elasticitate pollens ita contrahi vel expandi, imminuta vel aucta temperie ac permanente pressione ut ejus volumen minuatur vel augeatur partibus 0,00375 pro singulis gradibus thermometri centigradi; inde fit, ut posito 0,00375 = , et aucta temperie gradibus ultra , volumen evadet ; propterea, designantibus et respondentes densitates, erit Nunc, permanente temperie , crescat pressio ab ad ; denotante respondentem densitatem, erit (1º) quocirca

; et facto , .

De gravium homogeneorumque liquidorum aequilibrio.[recensere | fontem recensere]

88. Planum sit horizontale, axisque (Fig. 47) vergat deorsum juxta directionem gravitatis ; erunt : proinde (86. 6),

Si pressio externa ponitur vel = 0, vel ubique eadem, erit quoad librati fluidi superficiem, ideoque , et : superficies nempe illa existet plana atque horizontalis.

Pone constantem; ex (0v) habebis

,

In fluidi superficie aeque pressa constitue planum horizontale : quoad eam erit ; nihilque aliud denotabit nisi externam pressionem in aream ( = 1 ) quaquaversus per fluidum aequaliter diffusam.

Haec facile nunc stabiliuntur circa pressiones gravium homogeneorumque liquidorum intra vasa in aequilibrio consistentium.

1º. Si per designatur pressio in horizontalem aream demersam ad profunditatem , exsistet

2º. Si , aequivalebit ponderi prismatis, cujus basis est , altitudo , densitas vero eadem ac densitas liquidi.

3º. Exhibente horizontalem vasis fundum, ideoque altitudinem vasis; quoniam nullatenus pendet a vasis figura, iccirco permanentibus et eadem perstabit liquidi pressio in horizontalem fundum, utcumque de caetero varient figura et capacitas vasis.

4º. Area sit oblique intra liquidum utcumque demersa: divide in areolas infinitesimas quarum distantiae ab extima liquidi superficie designentur per denotante totalem pressionem, et perpendiculum ductum ex centro gravitatis areae in planum ; erit (20)

.

Hinc si centrum gravitatis manet ad eamdem profunditatem demersum, haud variabit , utcumque circa illud revolvatur area demersa: potest A repraesentare quamlibet rectilineam portionem internae superficiei vasis.

Ad haec: coordinatae ( 13. 3º. )

seu (20)

respondent illi puncto areae , per quod transit resultans ex parallelis viribus ; istiusmodi punctum dicitur centrum pressionis.

5º . Veniat considerandum solidum liquido immersum: sume apud punctum in solidi superficie areolam infinitesimam , et apud puncta in eadem solidi superficie areolae , sitque projectio areolae in plano , projectio areolae in plano projectio areolae in plano ; congruant vero cum projectionibus areolae in iisdem planis: per exprimentur pressiones normaliter exercitae in areolas ; ejusmodi pressionum prima resolvitur in [3] parallelas rectis ; secunda praebet componentem

parallelam rectae OX, tertia dat componentem

parallelam rectae OY; quarta suppeditat componentem

parallelam rectae . His positis, quisque videt areolam , elisis componentibus horizontalibus, urgeri sursum verticali pressione

totum igitur demersum solidum ad verticalem ascensum sollicitatur parallelis viribus praebentibus resultantem, quae aequivalet ponderi liquidi expulsi, et transit per punctum illud, ubi erat gravitatis centrum ipsius liquidi expulsi. Itaque si et exhibent volumen et densitatem solidi liquido immersi, volumen liquidi espulsi; pondus, quod superest solido, exprimelur per : in solidis heterogeneis designat densitatem mediam.

89. Sit 1º cum nequeat esse , erit semper ; tamdiu igitur descendet solidum, ubicumque in liquido collocetur, donec aliquod offendat obstaculum, cui adstringatur adhaerere. Si collocatur in liquidi superficie; statim atque totum fuerit demersum, exsistet et consequenter perget solidum moveri vi acceleratrice seu

Ab exploratis solidi ponderibus P et P' in vacuo et in li quido elici potest ratio inter u et l ; siquidem P = gV ' ', P = 8 ! V' ' — Vp ) , et V = V : propterea P í M Hop unde р P P - P

Sit 2º. M '= H: tamdiu V'u ' - Vl > o quamdiu ; solidum nempe collocatum in superficie liquidi eo usque descendet, donec totum demergatur; quod ubi contigerit, evanescente V' M' — Vp , consisteret in aequilibrio nisi urgeretur adhuc vi acquisita descendendo ante et aequivalet ponderi liquidi expulsi, et transit per punctum illud, ubi erat gravitatis centrum ipsius liquidi expulsi. ltaque si V'et p! exhibent volumen et' densitatem solidi liquido immersi, V volumen liquidi expulsi; pondus, quod superest solido, exprimetur per g( V'p.'—Vp.) : in solidis heterogeneis designat p! densitatem mediam. ⋅ 89. Sit. 1041!) p.: cum nequeat esseV) V', erit sem- per V' pf ∙−− Vp.) o; tamdiu igitur descendet solidum, ubi-' cumque in liquido collocetur, donec aliquod offendat ob- staculum , cui adstringatur adhaerere. Si collocatur in li- quidi superficie; statim atque totum fuerit demersum, ex- sistet V:V'; et consequenter perget solidum moveri vi acceleratrice ' sv. ∣≺⊮∸⋮⋅⋅−⋅∟∸≻ ∘ −.r. v'F-I , .seu :,(1 l*') . Ab exploratis solidi ponderibus P et'P' in vacuo et in li- quido elici potest ratio inter p! et p.; siquidem ≖∙⊃−∙−⇀−∊⋁∙⊬↼∙∙ P',—.: g( vir—v,. ), .xv.-: V': prOpterea . P p! p!— P P' −−−⊬∙∙⊬∙ uude F- P-P' . Sit 20. pl: p.: tandiu V'pf -— VP) o quamdiu V" V ; solidum nempe collocatum in superficie liquidi eo .usque descendet,, donec totum demergatur; quod ubi contigerit, evanescentev p! —Vp. , consisteret in aequi-,- librio nisi urgeretur adbuc vi acquisita descendendo ante192 1 V'de VM 1 1 totalem immersionem ; ad aequilibrium praeterea deberent gravitatis centra solidi et liquidi expulsi esse in eadem re cia verticali,

Sit 3º. p < l tandiu . Vil – Ve < o quandiu V > ; et facto V , erit Vų – VH = 0. Solidum igitur collocatum intra liquidum ascendet ad li quidi superficiem ; situm in ipsa superficie supernatabit ; eritque portio demersa V ad volumen integrum V' ut j ': fl. Innatantis solidi aequilibrium requirii insuper ut in eadem recta verticali inveniantur gravitatis centra ipsius solidi et liquidi quod expellitur. Itaque positio aequilibrii quoad solidum homogeneum liquido insideas determinabitur si plano ita secetur soli dum, ut et alterius segmenti volumen sit ad solidi volu men ia data ratione pe': fhy et haec volumina habeant sua gravitatis centra in eadem recta , quae normaliter insistat plano secanti: rem declaramus exemplo. Determinanda sit positio aequilibrii in prismate recto ac triangulari , quod ita demergitur ut et ejus bases maneant verticales, et u na ex tribus faciebns v. g. BC ( Fig 48 ) exsistat cota ex tra liquidum. Quisque videt directionem plani secantis non pende re a mutua basium distantia, satisque esse ut determine tur intersectio De illius plani et baseos v . g. ABC. Exhi. beant a ', a“ latera AB, AC dati trianguli ABC , et a', w " latera incognita AD, AE crianguli ADE : triangulares areae ABC, ADE exprimentur per 3 i a'a ' sin A , Law" sin A. Sed area ABC est ad aream ADE ut integrum prisma ad prismaticam portionem demersam ; igitur le IWW 'sin A: į a' a " sin A = fe':J.,Was" P. -a'a' ( k) . 192 totalem immersionem; ad aequilibrium praeterea deberent gravitatis centra solidi et liquidi expulsi esse in eadem re- cta verticali. ⋅ ' Sit 3". p! p. : tandiu. V'pl ∙− Vp.( o quandiu V P- ;et factoV:V V) P- ,eritV'pf—Vp.:o. Solidum igitur collocatum intra liquidum ascendet ad li- quidi superficiem; situm in ipsa superficie superuatabit; eritque portio demersa V ad volumen integrum V' ut pf: p.. Iunatantis solidi aequilibrium requirit insuper utin eadem recta verticali inveniantur gravitatis centra ipsius solidi et liquidi quod expellitur. ltaque positio aequilibrii quoad solidum homogeneum liquido insidens determinabitur si plano ita secetur soli- dum, ut et alterius segmeuti volumen sit ad solidi volu- men iu data ratione an., et haec volumina habeant sua gravitatis centra in eadem recta, quae normaliter insistat plano secanti: rem declaramus exemplo. Determinauda sit positio aequilibrii in prismate recto ac triangulari, quod ita demergitur ut et eius bases maneant verticales, et u- ⋅ na ex tribus faciebus v. g. BC ( Fig 48) exsistat tota ex— tra liquidum. Quisque videt directionem plani secantis nou pende- re a mutua basium distantia, satisque esse ut determine- tur intersectio DE illius plani et baseos v. g. ABC. Exhi- beant a', a" latera AB. AC dati trianguli ABC, et m', a)" latera incognita AD, AE trianguli ADE :triangulares areae ABC, ADE exprimeutur per ∙∙⋅∙ äaa smA I "- , ämæstu A. Sed area ABC est ad aream ADE ut integrum prisma ad prismaticam portionem demersam: igitur P:. in' d'siu A: ;a' a" sin A∶∶∶ [1]: .n., 'n' a":—-—a'a" (k) .193

pla AM Ž AH ' Nunc secto bifariam in H latere BC, ducatur AH; sum 2 3 AH , centrum gravitatis trianguli ABC e rit in M: simili modo, secto bifariam in H ' latere DE, sum 2 ptaque AN = AH', erit N centrum gravitatis trianguli 3 AM AN ADE. Quia igitur ideo MN et HH' erunt АН inter se parallelae: sed in casu aequilibrii recta MN, jun gens gravitatis centra M et N , est perpendicularis rectae DE ; ergo et HH' erit perpendicularis ipsi DE . Hinc DH= HE: vicissim si DH =HE, erit HH' ac proinde MN per pendicularis rectae DE; conditio nimirum necessaria ac sufficiens ut recta jungens gravitatis centra M et N sit per pendicularis rectae DE redigetur ad mutuam aequalitatem rectarum DH, HE. Quibus positis , denotent B, Borangulos DAH, BAH, et b rectam AH; triangula ADH, AHE dabunt DA’ = w2762—2wbcos B ,HE' = w " 2 + 62—20 " bcoss *: propterea w2 -2bw' cos B = "? - 26w " cos \beta " (k' ) . Ex duabus ( k) et ( k ' ) eruentur a eta' , uude innotescit positio intersectionis DE. Quod si determinanda esset positio aequilibrii in eo dem prismate quum ita demergitur ut puncta B et C ma neant infra liquidi superficiem DE, foret area BCDE : aream ABC = h' : u ': fb, ideoque ABC - BCDE ( ADE ): ABC Hope': fl , seu −−∙≔∎⊾↼−−⇀ 193 ' Nune secto bifariam in H latere BC, ducatur AH; sum- pta AM: ∙⋛−⋅ AH, centrum gravitatis trianguli ABC e- rit in M: simili modo, secto bifariam in H' latere DE, sum- ptaque AN: ∙−−≣−− AH', erit N centrum gravitatis trianguli ADE. Quia igitur illi: −∙∙ 23, inter se parallelae: sed in casu aequilibrii recta MN,iuu- ⋅ gens gravitatis centra M et N , est perpendicularis rectae DE; ergo et HH' erit perpendicularis ipsi DE. Hinc DEI:-.' HE: vicissim si DH :HE, erit HH' ac proinde MN per- pendicularis rectae DE; conditio nimirum necessaria ac sullicieus ut recta iungens gravitatis centra M et N sit per- pendicularis rectae DE redigatur ad mutuam aequalitatem rectarum DH, HE. Quibus positis, denotent B', B"angulos DAH, BAH, et brectam AH; triangula ADH,AHE dabunt , ideo MN et HH' erunt BB': 'i—l-b' —29'6 cos B', B—Ea ⇌∾∣⋅≖−⊢ &" —20"bcosB": propterea a)" ---260' cos B': si"! - 266)" 'cos B" (k' ). Ex duabus (I:) et (k') erucutur a' et et", unde innotescit positio intersectionis DE. Quod si determinanda esset positio aequilibrii in eo- dem prismate quum ita demergitur ut puncta B et C ma- neant infra liquidi superficiem DE, foret area BCDE: aream ABC −∙∶−− pl: p.': p., ideoque ABC −∙− BCDE (: ADE ): ABC :p.- p.': p., seu194 Ww" sin A : 1 a'a" sin A = M - pe : plo et consequenter s'avº = ( 1- )« a”(k"). Ad haec : centrum gravitatis trianguli ABC invenilor in recta jungente centra gravitatis portionum ADE ac BCDE. Sed ABC et BCDE habent sua gravitatis centra in recta perpendiculariter insistente rectae DE : adhuc igitur MN erit perpendicularis ipsi DE ; rursusque prodibit (k' ) : eru entur videlicet in casu w' et w " ex binis ( k' ) et (k " ) .

90. Determinata aequilibrii positione, restat videndum utrum aequilibrium sit stabile nec ne. Pone v. gr. innatans solidum esse tale, ut secari possit plano verticali AB ( Fig. 49. ) in duas partes omnino symmetricas tum quoad formam, tum quoad densitatem, et in casu aequilibrii sit HK intersectio plani AB et horizontalis plani repraesentantis superficiem liquidi: gravitatis centra M et N innatantis solidi et ejecti liquidi invenientur ambo in plano AB super eadem verticali CD; si solidum est homogeneum exsistet N subter M; si heterogeneum, poterit M esse vel subter N vel supra. Fac ut aliquantulo revolvatur solidum circa axem perpendicularem plano AB, sicque removeatur ab aequilibrii positione; ita tamen ut, exhibente H'K ' (Fig. 50) novam intersectionem plani AB et horizontalis plani repraesentantis superficiem liquidi, segmentum solidi respondens angulo K i K' aequetur constanter segmento quod respondet angulo H i H' ; hoc pacto haud variato ejecti liquidi volumine, permanebit ( 89.30. ) gV'p ' = gVd : proinde solidum absque initiali velocitate sibi commissum movebitur ( 84 ) circa centrum M immotum. Jam si ex puncto N' , ubi , amoto solido ab aequilibrii positione , situm est gravitatis centram liquidi expulsi , du 194 & o'o'f aiu A:) a'a" sin A:p—p:p., / et consequenter Ad haec :centrum gravitatis trianguli ABC invenitur in recta iungente centra gravitatis porticuum ADE ac BCDE. Sed ABC et BCDE habent sua gravitatis centra in recta perpendiculariter insistente rectae DE: adhuc" igitur MN erit perpendicularis ipsi DE; rursusque prodibit (k') :eru- entur videlicet in casu a' et a)" ex binis (k') et (Is") . ducatur verticalis recta N'R occurrens rectae CD in R , oc cursus iste vel fiet supra M , vel infra , vel in ipso M : in primo casu vis g Vlagens sursum juxta N'R manife ste nitetur ut CD resumat verticalem positionem, et conse quenter aequilibrium erit stabile ; in secundo ipsa gVp. nitetur ut CD magis recedat a verticali positione , ideoque aequilibrium instabile ; in tertio aequilibrium adhuc ob tinebit quoad novam positionem .

De gravium liquidorum aequilibrio in vasis communicantibus.[recensere | fontem recensere]

91. Vasa communicantia dicuntur illa, quae ita sunt inter se conjuncta ut ex altero in alterum pateat aditus fluido. In altero contineatur fluidum homogeneum, cujus densitas ; in altero fluidum pariler homogeneum cujus densitas ; siatque et distantiae inter punctum quodvis superficiei communis utrique fluido ac extimas fluidorum superficies. Fluidis se mutuo librantibus, exsistet (88)

92. Haec facile nunc stabiliuntur.

1.º Si vasis communicantibus idem continetur liquidum, ut sit , erit ideoque emerget ergo vel , prout vel : in ea videlicet qua sumus hypothesi liquidum sub externis aequalibusque pressionibus manebit in utroque vase aeque altum, sub externis vero inaequalibusque pressionibus altias apud eam partem assurget ubi minor exercetur pressio. Inde profluit explicatio variorum effectuum; cujusmodi sunt hydrargyrum in barometro suspensum, aqua elevata in siphone, in antliis etc.... Sic v. gr. quoad antlias adspirantes, dum attollitur embolus ex in (Fig. 51), aer in tubo confestim fit rarior, et consequenter externus aer densior aquam in receptaculo vel puteo contentam cogit in tubum ascendere usque ad altitudinem v. gr. : quam ob causam descendet aqua in receptaculo ab in . Jam datis itemque horizontalibus receptaculi, ac tuborum sectionibus , si debeat inveniri altitudo , pone et : densitates aeris interni ante et post emboli elationem sunt in ratione reciproca voluminum

ideoque (87. 6º) in eadem ratione erunt pressiones a et; hinc( a'w ' ta'w ') a (a' +6) + (a" – 3 ) cs" | designante m aquae densitatem, aqua elevata supra ii ' exercebit (88) pressionem a = gm (B + B ).

Cum igitur a' to = 5W , cumque Bw "' = f'w , iccirco ( a'w' + aa) as (a + b ) w + la " -B, w

sia ponitur parvitatis contemnendae prae w , erit ( a'w' ta'a ') as tgms = a . ( a ' + 6) + ( a " -B) w" sunt hydrargyrum in barometro suspensum, aqua elevatain siphone, in antliis etc.... Sic v. gr. quoad antlias adspirantes, dum attollitur embolus ex H'H" iu Hl (Fig.51.), aer in tubo HB' confestim Et rarior, et consequenter externus aer densior aquam in receptaculo velputeo contentam cogit in tubum ascendere usque ad altitudinem v. gr. A' B': quam ob causam descendet aqua in receptaculo ab AE in ii'. Jam datis H'Q (: a')... EQ (: a"), HH'(:—...- 6), itemque horizontalibus receptaculi, ac tuberum BQFD', FQA'B' sectionibus a), m', ei", si debeat inveniri altitudo AA', pone AA':B et Ai:B' :densitates aeris interni ante et post emboli elationem sunt in ratione reciproca voluminum a'm' −↿− a"a)" , a'æ' a"o)" −∣⋅− ∂∾⋅−Ba)"; ideoque (87. 60.) in eadem ratione erunt pressiones a et se' ; hinc (a'ai' −⋅∣− d'un") ur −⇀⋅ (a'-1-b)m'-1-(a"—B)m" designante m aquae densitatem ,,aqua elevata supra ii' exercebit (88) pressionem 0": sm (49 ⊣− B')- Cum igitur a' -l-—a" :0, cumque Ba)":B'm , iccirco [ U' (a'æ' ⊣∙⋅ d'ai") ar −⊢⊣−⊣−⊰⋯≺↿⊣−∾−↜∶≻∣∃⇌≔⇌ si a)" ponitur parvitatis contemnendae prae a) , erit (a'æ' −⋅⊢ J'ai") :: l ∙−− (a'-l—b) ∾∣∙∙⊢ (avl—þ) 0)" l gmB—a-197 ln eadem hypothesi , post iteratos descensus atque ascensus, restituto embolo ab altitudine minima H'H ' ad maximam HI, pertingat aqua ad inferiorem superficiem membranae G; descendente rursus embolo et denotante k altitudinem aquae de se librantis atmosphaericam pressionem, elevabitur membrana D , ac proinde rarescente adhuc aere in consequenti emboli ascensu, aqua pergei assurgere quotiescumque fuerit EQ . HQ < k (HH'). Ut enim elevetur membrana D, debet elasticitas k' aeris HF sic augeri quum aer HF traducitur ad volumen H'F, ut elasticitas k' ' densiti aeris H'F superet elasticitatem k aeris atmosphaerici embolo superincumbentis. Est aulem ( 87.1º . ). k : k " = HQ : HQ ; vis insuper elastica k' unita ponderi aquae suspens ae EQ librat pressionem aeris atmosphaerici, nimirum h' + EQ = k; et consequenter k " k' (HQ) H'Q (k- EQ) (HQ) H'Q Igitur ( k — EQ) ( HQ) > k ; ac proinde etc. ... H'Q

2. Tubus cylindricus longitudinis h, et in una sui extremitate clausus, impleatur hydrargyro usque ad

... in eadem hypothesi, post iteratus descensus atque ascensus, restituto embolo ab altitudine minima H'H" ad maxi- mam Hl , pertingat aqua ad inferiorem superficiem mem- branae G; descendente rursus embolo et denotante ]: alti- tudinem aquae de se librantis atmosphaericam pressionem , elevabitur membrana D, ac proinde rarescente adhuc aere in consequenti emboli ascensu , aqua perget assurgere quo- tiescumque fuerit EQ . HQ h(HH'). Ut enim elevetur membrana D , dabei elasticitas k' aeris HF sic augeri quum aer HF traducitur ad volumen H'F , ut elasticitas k"densati aeris H'F superet elasticitatem k aeris atmosphaerici embolo superiucumbentis .Est autem (87.10.). k': k":H'Q :HQ ; vis insuper elastica k' unita punderi aquae suspensae EQ librat pressionem aeris atmosphaerici, nimirum k" -]— EQ:k ; et consequenter - k" k' (HQ) −∙∙≺∣⊂− EQ) (HQ). ↼−− l'l'Q HQ igitur de −−⋅⋅ EQ) ("Q) H'Q k; ac proinde etc. ..

2." Tubus cylindricus longitudinis A, et in una sui extremitate clausus , 'impleatur hydrargyro usque ad198 altitudinem hoh , cum digito ad orificium in altera parte exsistens apposito invertatur tubus ; et remolo digito , col locetur hoc ipsum orificium in superficie hydrargyri sta gnantis intra aliquod vas. Ascendet aer l' ad supremam in versi tubi partem ; augescet h , et fiet = h " . Jam vero ad inveniendam h " denotante k' altitadinem hydrargyri libran tis atmosphaericam pressionem , satis erit animadvertere h'ki quod exhibet altitudinem hydrargyri librantis rarefa h " clum aerem h ' ; unde hk h - h ' + To k ; ac propterea h " = h - k' = V Th — kj» + 4hºk 2 signum inferius non pertinet ad praesens problema . lu formula ( 10) C, C, Sle' Spkk sunt C, = gu'k ' , C, z' '

3º. Pone ple , pe inaequales , et C, = C2 ; habebis p.z = p ( = + z ) , unde 2 : 3+ = M ' : pe ; diversorum nempe liquidorum altitudines z et ztz' in vasis communicantibus erunt reciproce ut ipsorum liquidorum densitates. 198 altitudinem h—h' , tum digito ad orificium in altera parte exsistens apposito invertatur tubus ; et remoto digito , col- locetur hoc ipsum orificium in superficie hydrargyri sta- gnantis intra aliquod vas. Ascendet aer b' ad supremam iu- versi tubi partem ; augescet h' , et fiet:h". Jam vero ad inveniendam h" denotante k' altitudinim hydrargyri libran- tis atmos'phaericam pressionem , satis erit animadvertere quod exhibet (i£—, altitudinem hydrargyri librantis rarefa- ctum sereni I:" ; unde h—h" ∙−⊢ h—Ij—L: k' ; ac propterea 1." −∣∙ ∣⋅−∣⊏⋅∶⊨∣∕⇀≺∣≖−∣≂⊤≻⋅⊣−⊓≖⋅∣⊏⋮∙ , z signum inferius non pertinet ad praesens problema. lu formula (10) sunt C, :gpjk' , Ca.-:. ∙−−−−

diversorum nempe liquidorum altitudines : et in vasis communicantibus erunt reciproce ut ipsorum liquidorum densitates.

De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio; necnon de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et de pondere ac densitate vaporum.[recensere | fontem recensere]

93. Binae (oiii 87.), (ov 88.) dant

binae (oiii), (oiv 87) praebent
propterea
Assumptis autem logarithmis quoad basim 10,
ideoque dos dL(W) 0,4342945 Designante igitur pressionem apud punctum ( x , 0) in hypothesi temperiei constantis formula (6) suppeditabit. L - Llw ') 0,4342945 ( 6' ) . i ( 1 + an )

94. Quoad punctum ( x , y ; '-— z) supra horizontale pla num XOY ( Fig. 47 ) , aequatio ( 6' ) suppeditat LULLG ) 0.4342945 82 i (1tan)

et inde infertur valor z dimetiendae altitudinis supra XOY sic expressus i ( 1 + an ) L 0,4342945g ( 6 ) . Haec observentur: 1. ° sub temperie = 0 , et barometrica hydrargyri elatione =2,33958 ped. apud geographicam lati tudinem = 48° 50' 14 ", ubi gravitas 30,1959 ped. , Biot et Arrago invenerunt densitatem hydrargyri esse ad aeris densitatem po ut 10467 : 1 ; inde habemus respon dentem pressionem ( 88 ) Ww=( 30,1959) ( 10467 floo ) ( 2,33958) , ideoque wo - ( 30,1959 ) ( 10467) ( 2,33958) ро ( 30,1959 ) ( 24488, 38386) =739448, 790198174.

2.o Eo minorem experimur temperiem , quo ma- gis supra terrestrem superficiem assurgimus , at, igno"- mus qua lege liat ejusmodi imminutio; designantibus ?' et ': temperies in intimo ac supremo puncto dimetiendae altitudinis z, solet assumi .- 'r'-l—r ' ": 2• 201 poniturque ista temperies media constanter vigere per to tam 2. 1

3. Singulis gradibus imminutae temperiei respon det hydrargyri condensatio = ; igitur si M et M 5550 exhibent densitates bydrargyri sub temperiebus t' ; ac to DY in infimo ac supremo puncto altitudinis , erit t' M

1 = M' : M, unde M

5550 I' ,-1, 1 5550 rica ati. ed., e ad 00 Temperies hydrargyri tubo barometrico inclusi nonnisi post aliquod tempus ad aequalitatem reducitur cum aeris circumstantis temperie , hinc t'i et t, solent definiri sub sidio thermometri , quod ad barometrum ipsum adnecti tar ; aliae vero t ' et determinantur ope thermometri , quod cum barometro non communicat.

4.0 Si l' et h exprimunt barometricas altitudi nes apud infimum et supremum punctum altitudinis erunt ( 88 ) h' =gM'h , = &M'h t', 1 5550 ideoque ma' / Jora us ? endae

- * (

I' , - 1 ] 5550

5. ° experimentis pendulorum subsidio institutis 14 '201 ∣∙ poniturque ista temperies media constanter vigere per to- tam :. ' &" Singulis gradibus imminutae temperiei respon- det hydrargyri condensatio: 5150; igitur si M' et M

)

exhibent densitates bydrargyri sub temperiebus 'r', ac 't', ll ⋅ in infimo ac supremo puncto altitudinis , erit ———- f.:—T! M' :1: ': ∙∙∙⋅ J 5550 M M, uudeM T',—Tx ' 5550" ric-a Temperies hydrargyri tubo -barometrico inclusi nonnisi all' post aliquod tempus ad amnalitatem reducitur cum aeria ed.. circumstantis temperie , hinc 'r', et 1.", isolent definiri sub- sad ron- sidio tbermometri , quod ad barometrnm ipsum adnecti- tur; aliae vero 1" et ': determinantur ope tbermometri , quod cum barometro non communicat.

4." Si b' et lt exprimunt barometricas altitudi- nes apud infimum et supremum punctum altitudinis z , erunt (88) .: M'h ∙∣≖∙ ∙∙ g ∙ a *gM .m. fr.—ff: , ∎∎− 5550 mr ideoque nora- 0st a. ∙∙∙ h' 1 T.]- T; .»pdæ ⊺≖−−−∣≖ ("5550)' 5.0 experimentis pendulorum subsidio institutis 14 - x'! .202 probatum est , si gi est gravitas apud geographicam la titudinem = 45 , apud aliam latitudinem å fore g = g . (1-0,002589cos22 ) ; erit igitur ( 1 ) 30,1959 = g1 [1–0,002588 cos2 (48° 50'14) ] ac proinde 30,1959 ( 1–0,002588 cos 22 ) 1 -0,002588 cos2 (48 ° 50'14 " ) . 6.° Quibus positis , formula ( 6 " , 94) traducetur ad 24488,38( 1–0,002588cos2 [48° 50'14*]/ (1 +0,00395+7 ) X 1-0,002588cos22 L CO I ' 1 5550 0,4342945 -) ] ped. e , formu 95. # Sumptis logarithmis quoad basim la ( 6 " , 94 ) evadet i (1 + an ) . ,( ); upde et consequenter ( 87. 7. ) H = 82 e iſitan ) 202 probatum est . si g. est gravitas apud geographicum la- titudinem;—4

5. ∘ apud aliam latitudinem ). fore gzg, (1—0,002588cos2)t) : erit igitur (10) 30,, 95gzg,[1—o,002588 cosz (48-50'1 4")1 ac proinde ∙− 30,1959 (1—0,002588 cos zx) 5 1-0,002588 cos2 (4so50'14") ' 6." Quibus positis, formula (E", 94) traducatur ad 24488,38(1—0.002588cosz[4so50'14"])(1'-1-o,003757 BH) s— ⇁⋅⊤ ' - X '1—0,002588cos2'). h. r.!—T! )] L I: "( ↿−∎∎ 5550 o,4342945 pcd. 95-0 Sumptis logarithmis quoad basim e , formu- la (6". 94 ) evadet

i(1tan)L (jul-) ;

unde a, ex -- z . et consequenter (87. 7. ) p,: e i(t-l—an)203 1 g? i ( 1 + an) e il1 +an) Denotent V'et i volumen et densitatem corporis aere demersi , ipsoque aere specifice levioris : urgebitur corpus ad verticalem ascensum vi acceleratrice 8 (V'4 — V'x ') Vph Gelee Me gz if1tan) i ( 1 + an) e Facile intelligimus , si denotat densitatem mediam glo bi aereostatici , verticalem ascensum ipsius globi determi natum iri per daz de2 8 ) (6 ) . i (1 + an ) e i(1 + an ) Multiplica (6 " ' ) per 2dz, et sume integralia; habebis ( 27. 12.9) gz dz2 i(1 + an) dla с 2g role re' f 8 + ks) In hypothesi velocitatis initialis = o erunt simul z=0 20

o , ideoque C

Hinc do dz et 20 82 dza de ² ( 1 e i (1 + an ) — 2g2 (6 ") . hey 252 " 203 I 3 gz , i (1—l—an) e i(1—l-an) Denotent V' et pf volumen et densitatem corporis aere demersi, ipsoque aere specifice levioris :urgebitur corpus ad verticalem ascensum vi acceleratrice V' —-V' ') , 'a' , gt P " —g,(p p.) g( —H)- VP ⊬ M sz i (1-l—an) e t(t-i-an) Facile intelligimus, si denotat p! densitatem mediam glo- bi aereostatici, verticalem ascensum ipsius globi determi- natum iri per I daz g es' dt: p.( Multiplica (6"') per 2dz, et sume integralis; habebis (27. 12.") .. 52 dzz— c zg a t(1—l—an) '] ' &f— —F g '"')' ln hypothesi velocitatis initialis : 0 erunt simul 220 (12. 20! et ⊼⋅−−−∶∘ , ideoque C..: F.]iinc d:: 25, ∙−− ...—gj— ⋅ '[' (7:3—?( 1 — 8 : (l*'-an)) .'.2gz (6 ).204 cto ex cujus integratione innotescet relatio inter z ac t . Fa dez =o, formula ( 6 ' ' ' ) suppeditabit altitudinem 2, apud dia dz quam exsistet f = M ; et facto = 0 , formula ( 6 " ) praebe dt bit maximam globi elationem z.

96. Quod pertinet ad pondus ac densitatem vaporum, haec subjungimus:

1.0 Si vase undique clauso continetur satis liquidi, ut inde sese possit evolvere tantum vaporis, quantum postulat capacitas vasis, quantitas vaporis sese evolventis pertinget ad quoddam maximum unice pendens a vigente temperie: qua videlicet permanente, istud maxinium perstabit idem aut vas exsistat vacuum ab aere, aut aerem contineat, vel quodvis aliud gas ulcum que densatum vel rarefactum: sive autem obtinuerit illud maximum, sive non, tantundem augebitur vis elastica sicci aeris, vel gas inclusi, quanta est elasticitas evoluti vaporis.

2.° Si vapor aqueus seorsum spectatus posset sub data temperie, quin ad liquidam formam redigeretur, eam librare pressionem ā, quam sub eadem temperie librat siccus aer, ex Gay-Lussac foret densitas té aquei vaporis ad sicci aeris densitatem / ut 10 : 16 , ideoque M= 104 16

3.• Permanente temperie , fac ut aqueus vapor seor sum consideratus libret reipsa pressionem Wri si vaporis densitas vocatur Hiss erit ( 87 : 1. ) 10

@ = ht ' i theo unde pos = 16 Mo ;

et denotantibus P ac P, pondera aeris ac vaporis sub ae quali volumine , 204 ex cuius integratione innotescet relatio inter z ac :. Fa- dzz . . . cto 27; ::o, formula (F") suppedttabtt altitudinem :, apud quam exsistet p.:pl; et facto 5; :o, formula (ö") praehe- bit maximam globi elationem :.

96. Quod pertinet ad pondus ac densitatem vaporum, haec subjungimus: 1." Si vase undique clauso continetur .satis liquidi, ut inde sese possit evolvere tantum vapo- ris , quantum postulat capacitas vasis , quantitas vaporis sese evolventis pertingat ad quoddam maximum unice pen- dens a vigente temperie :qua videlicet permanente , istud maximum perstabit idem aut vas exsistat vacuum ab ae- re, aut aerem contineat , vel quodvis aliud gas utcum- que densatum vel rarefactum : sive autem obtinuerit illud maximum, sive non, tantundem augebitur vis elastica sicci aeris, vel gas inclusi, quanta est elasticitas evoluti vaporis. 2." Si vapor aqueus seorsum spectatus posset sub da- ta temperie , quin ad liquidam formam redigeretur , eam librare pressionem 0, quam sub eadem temperie librat siccus aer, ex Gay- Lussac foret densitas p! aquei va- poris ad sicci aeris densitatemlp. ut 10 : 16, ideoque

4. • Nunc ex aqueo vapore librante pressionem , et ex aere sicco emergat volumen V aeris vaporosi librantis pressionem , et habentis densitatem & ; istiusmodi aeris massa erit Vs; aer siccus in aere vaporoso contentus utpote librans pressionem ( 1.9 ) a— , pollebit ( 87 : 1. ° ) den ( - ) sitate Quoniam igitur ( 39) vapor aequeus in , to 10 WI 16 W aere vaporoso pariter contentus pollet densitate pi propterea ad Ve = y (0 ) tv 10 i 16 W por ICCI ris da unde bra € ( ---+ -s)= (:-) 1 " sic v. gr. in ordine ad aerem maxime vaporosum sub temperie =0 , et barometrica hydrargyri altitudine 2,33958 ped. , quoniam maxima pressio librata ab aqueo vapore sub temperie = 0 respondet barometricae altitu dini =0,015638 ped ., erunt ( 95. 1.° ) g = W = ( 10467No) ( 2,33958 )g , w = (10467 /lo) ( 0,015638 ) g; ac proinde designante eo respondentem valorem €, seor pors

3

2,33958 0,015638 lo 8 Eo = Too bi Wo :)-- (* 2,33958 =0,997495po. 205 ' —Pp.,— 10 ut, ⊬∙⊬≖≔⊉∙⊅∎∙⊉∎ F 16.;—P. , ∙ 2,33958 — 3- .0,015638 ⇌−⇀ −⋮⊥−∘⇠ −−∃↾− ).. 8 a'., ∘ a m ↼⊣∸∘ 2,33958

o,997495p.o.

l—xu .206 Hinc E. 0 , 997495 ; Ho ratio videlicet inter densitatem aeris maxime vaporosi et densitatem sicci aeris in ea qua sumus temperiei ac pres sionis hypothesi.

5. • Valor i jam inventus ( 94. 1. ° ) spectat ad ae rem siccum ; quoad aerem v. gr. maxime vaporosum erit T. . 0,997495 flo ( 30,1959 ) ( 10467 ) ( 2,33958 ) Eo 0,997495

6. Obiter notamus illud : aquam sub satis alta praesertim temperie in vapores versam conari sese qua quaversus incredibili vi expandere indubia evincunt expe rimenta. Hinc usus aquei vaporis in movendis machinis : certo quodam tuborum valvularumque artificio vapor ex caldario introducitur in antliam , ita , ut antliae cavitates , alteram infra embolum , alteram supra embolum , vicissim obtineat, vicissimque frigidae suffusione ad pristinam redeat Jiquiditatis conditionem ; vapor inferiorem cavitatem obtinens, attollit embolum ; superiorem, deprimit ; embolus adnexus est alteri ex duabus cujuspiam vectis extremitatibus ; qui vectis altera sui extremitate vel immediate vel instrumen. torum apte conjunctorum subsidio motum communicat rotis , malleis , elc.... ; prout nempe importat machinae movendae natura.

Hinc ∙⇣∘−−−∶ o,997495; p.. ratio videlicet inter densitatem aeris maxime vaporosi et densitatem sicci aeris in ea qua sumus temperiei ac pres- sionis hypothesi. , ' 5." Valor i iam iuventus (94. 1.") spectat ad ae- rem siccum; quoad aerem v. gr. maxime vaporosum erit ↿≖∘∙∙ ar, —(3o,1959) (10467) (2.33958) s, o,997495 ⊬∘ o,997495 ' i..—

De aqua egrediente per angustum foramen e vasis verticalibus sive cylindricis, sive prismaticis.[recensere | fontem recensere]

97. Haec praemittimus ex pluries iteratis experimentis

1.° Minuta corpuscula disseminata per descendentem aquam verticaliter descendunt commuui ad sensum velocitate usque ad horizontalem (Fig. 52), cujus distantia ab orificio aequat triplum radiurn ipsius ; tum cursum flectentia, perque lineas curvas incedentia conspirant versus orificium. Aqueae igitur particulae verticaliter descendunt usque ad ; formaturque ab ad conoides aquea , quiescentibus portiunculis lateralibus .

2.° Adhuc obtinent et verticalis particularum descensus, et earum conspiratio ad formandam conoidem, etsi orificium aperitur in latere vasis.

3.° Aqua ex aperto orificio verticaliter saliens assurgit ad supremam fere prementis aquae superficiem.

98. Denotet velocitalem aquae egredientis ex orificio , et altitudinem prementis aquae supra orificium, erit proxime (30:31)

Ad haec; si denotat horizontalem vasis basim, orificium , velocitatem particularum ex quibus coalescit suprema aquae superficies, erit unde et facta asna, a imen roting w = nv ( k' ) . Hinc (27 ) asis dz ndy do 2gz et dt V28% ideoque designante 2, initialem valorem » , quum nempe t = 0 , inted ft? ae- erit talil men" aul?" 207

98. Denotet &) velocitatem aquae egredientis ex ori- ficio hls', et : altitudinem prementis aquae supra orifi- cium , erit proxime (30 :31 ) a) −−∶ Vig.; (k). Ad haec : si a denotat horizontalem vasis basim , a ori- licium hh' , :: velocitatem particularum , ex quibus coa- lescit suprema aquae superficies, erit ac «.vdtzamdt, unde a): −⇀ v : et facta «scita, a mzn-v (k'). Hinc (27) ds ⇂∕ nds — :: ∙−−−∶ 2 :∙∙∙ ∙ dt ga , et dt V—zgs . ideoque designante s., initialem valorem :, quum nem- Pe ∁−−−−∘⇟208 i - V7( ..- , ) ( " ) .

99. Sit \beta volumen aquae tempore t egredientis ex orificio a ; erit ( 98. k . k " ) 233= a.orde=a(28)* . * de= a/ 2018 ( 3 - V . Jde Propterea B =a/25)*(*.* -VERSI-) ( k' ' ) .

100. Assumpta z = o in ( k ". 98 ) , prodibit tempus O , quo vas lotum evacuatur ; nimirum 11/ 를 2n 0— V 29 ( k " ) . In ( k ") et ( K ) substitae valorem molè ex ( k ' ) ; habebis 2n 을 21 5 B ag V28 2n (25–2-ce). ( ") .

101. Ex (k " ) sequitur illud : si duo vasa habuerint et altitudines zo , zo, el orificia a , a' aequalia , tempo ra 0 , 0 quibus deplentur , erunt in ratione basium a,a' , siquidem 2n 2n ' á 0 : 0 = V 29

z ' .

V 28 --- N : n ' = . Q : a' : a ' 208 ≖−−−−⇁ 21( soi—1 ii) (li") - l/Zg 99. Sit þ volumen aquae tempore :egredientis ex orificio a ; erit (98. I:. k") .l. s ' s i— dþzaüdtza (25? s 'dt:a(2g)ir" ( zog— & t )dt. ⇂

Propterea ,

100. Assumpta ≖∙∶−−− ∘ in (Is". 98 ) . prodibit tempus 9 , quo vas totum evacuatur; nimirum 9: 2: ∣∙∘⋚ (z.-") ⋅ l/Zg In (It-") et (I.-"') substitue valorem s.,ïli ex (Is"); habebis

6— 2n 3,- ag( .

⋅− 2- . — ⋅ 20 t): wg I.". (3 ," ( ) 101. Ex (It-") sequitur illud: si duo vasa habuerint et altitudines s. , a',, et orificia a . a' aequalia. tempo- ra 9. 9' quibus deplcntur , erunt in ratione basium a.d. siquidem ∙ 2n 2n'

9:∶−− zo : ...z'o zn:n'— :—,-—a:a':

l/Zg a a· 209

102. Quantitates aquarum successivis et aequalibus tem poribus effluentium decrescunt secundum numeros impa- res ordine retrogrado sumptos. Assertio facile ostenditur e secunda ( k ) , facto successive t=1,2,3,4, • ; nam quantitates illae prodibunt expressae per ag 2n (29-1 ) , L ( 49-4 ) – ( 29-11 , P.(69-9)– ( 49-4) , Se ag ( 80-16) 2n ag ( 60-9) ... , seu 2n ag 2n (20-1 ) , 29–3 ) , (29-5 ) , (29–7), - ; ideoque etc... Idipsum eruitur ex (k " ) et ex prima (k" ) ; denotantibus enim 21 , 22, 23 , ... valores z respondentes tem poribus 1 , 2, 3, ... eae praebebunt & 02 , 2, 3 (0-1) 2,225 2n? 2n2 , =-2,(0-2) », 23 = S (0-3 ) , ... 29-1 2n2 8 2n2 ; unde 6 ( 29-1 ) , 21-22 2n? 8 ( 29-3 ) , Zz- 23 = 2n2 8 2n2 (26-5) , ... 29-3 8 2n? et consequenter etc... Hinc si dividendum sit vas in partes successivis dati tem '209 102. Quantitates aquarum successivis et aequalibus tem-- poribus ellluentium .decrescunt secundum numeros impa- res ordine retrogrado sumptos. Assertio facile ostenditur e secunda (k') . facto successive t::1,2,3.4, .; nam qnantitates illae prodibunt expressae per Zn (29 'l), 2" (49 4) 2" (29 1) , 2n(69 9) g(49 4) , a—g - .. "£ - ∙∙ 2"(89 16) 2" (69 9) . , seu ag - es - es - ∙−− 7:091). 2" (29 3), 2809 5)sa g(29- "711"; ideoque etc... Idipsum eruitur ex (In") et exprime (k'); denotantibus enim sus,, & .... valores :respondentes tem- poribus 1,2, 3, ... eae praebebunt ' z.,: ⋚−⊯≖ ⊖⋅∙ z. ↼−− ⊋⋅⋚⇆≺⊖⋅↿ ):, ≖≖−−−∶⇄−⋚⊑≺⊖∙⊋≻≖∣ za⇌∎ - 2 -' ∙−−− i.— ↿∠∏−−≖⋅ i(ä 3) zo Zn' ' ↴ uude ⋅ 2, ∙z. ∙−−−⋮⋚≔ (29-1),z,-z, −−∶ Zif-;, (za-3), 22-33 −∙−−∙∸− s- - ...g. . ZI€3(29 5), ∙∙∙ Zo-x —-2na , et consequenter etc.. Hinc si dividendum sit vas in partes successivis dati tem-210 1 poris a unitatibus vacuandas , determinata altima 20-1 ceterae usque ad primanı erunt 320-7.526-4,72 6-7** (29-3 )z 0-10 ( 26-1 ) 0-1 . 1 1 Liquet autem fore 2:6-1 + 326-1 + 520.4 + 720-1 + . + 20-3)26-17 0 (29-1930_1 = {1 + 29-1) o 2 0-1 = 622 6-41 1 d .

103. Tria subjungimus, quae certissimis constant experimentis.

1º. Vena aquae exilientis a foramine aperto in pertenui lamina magis semper contrahitur usque ad ejusmodi distantiam ab orificio, quae vix aequat ipsius orificii radium; estque venae maxime contractae area cc' ad orificii aream ut 5 : 8 circiter. Istius contractionis ratio ex eo desumenda videtur quod aqueae particulae etiam paullo extra vas retinent obliquos convergentesque motus, quibus orificium subierunt.

2.• Tanta effluit aqua intra datum tempus ex fo ramine aperto in pertenui lamina , quantam suppeditat for 5 mula ( k " ) , modo tamen pro a substituamus 8

3.º Aptatis orificio exterius tubis cylindricis, co nicis etc., pro varietate tuborum variae habebuntur quan titates aquae dato tempore exilientis.

104. Haec notentur

1º. Acceleratio , per quam velocitas aquae admodum exigua usque ad HH' mutatur in finalein satisque grandem effluxus velocitatem, tota manifeste perficitur ab HH ad cc' intra spatium interceptum conoide ac vena contracta, ubi nempe descendentium stratorum amplitudines citissime decrescunt. Vas ergo ABB'A ' a. 210 poris 9 unitatibus vacuaudas . determinata ultima "9-1 , ceterae usque ad primam erunt" 3z9-1, 529-1,7z ⊖∙↿∙∙∙ (29-3): ∂∙↿ ' (29-1)z 9-1 ∙ Liquet autem fore ze, ↿ ∎∎⊢∍∅∂∙↿⊣−⋮≖∂ ∙↿ ⊣−⋅∄≖∂∙↿∙⊢∙∙∙↤⊋∂∙⊰≻∅∂∙↿−⊢ . 9 ∙∙∙ : (29-1)z9-1:(1-1—29-1)ïz ⊖∙↿ —9 294 - 7

1 '. er perto ejus citci ori. spectandum erit tamquam terminatum tubo Hcc'll' ad se ctionem HH ' aptato.

2.0 Motus aquae defluentis in regularibus alveis traduci potest ad motum aquae prosilientis ex angustis vasorum orificiis. Concipe regularem alveun secari plano verticali ; in plano isto insculpi plura foramina , ex qui bus effluat aqua ; iisque nova addi foramina ut indefinite crescat foraminum numerus , totaquc sectio veluti unicum efficiat foramen infinitis numero foraminibus' coalescens : cum e singulis foraminibus aqua debeat effluere veloci tate illa , qua et erumperet e vase ad eamdem altitudi nem pleno , et , sublato plano , Queret in eodem sectionis loco , idem ferme erit casus aquae defluentis per alveum et aquae prosilieatis e vase ad eamdem altitudinem pleno.

3. • Si in regulari atque horizontali alveo mo vetur inferior aqua ob superioris aquae pressionem , nec directionum obliquitate , et fundi laterumque resistentia turbatur conceptus motus , apud particulam quamvis de notante i altitudinem superincumbentis aquae , exprimet V 2gi particulae velocitatem.

4.° Quod si regularis alveus ad horizontem ex sistat inclinatus , sitque m altitudo debita velocitati apud supremam aquae superficiem , cum haec velocitas ( levio ribus corporibus aquae injectis determinari potest ) utpote orta ab inclinatione alvei debeat aquae omni esse munis , exbibebit V 28 (i + m ) particulae velocitatem .

5.° Hinc poterit in utroque casu definiri quan titas V aquarum intra datum tempus t defluentium apud quamlibet regularis alvei sectionem ; sic v. gr. in hypo thesi rectangularis sectionis habentis latitudinem r , erit in primo casu i 2tri. V = tr įdi 3 no es دالاق uibus fo o for com S, CO paano relo in 6 Dani ?ptom Vžg I stra B!! in secundo lCP perta ejus- filicii , ori- iot! .aullo uibui ⊊∣∝⊦ luan- «de new" ipua ! slfl' BN ↗− ⋅ 211 spectandum erit tamquam terminatum tubo Hcc'll' ad se- ctionem HH' aptato. 2." Motus aquae defluentis in regularibus alveis traduci potest ad motum aquae prosilientis ex angustis vasorum orificiis. Concipe regularem alveum secari plano verticali .; in plano isto insculpi plura foramina , ex qui- bus effluat aqua; iisque nova addi foramina ut indefinite crescat foraminum numerus , totaque sectio veluti unicum efficiat foramen inlinitis numero foraminibus' coalescens : cum e singulis foraminibus aqua debeat eflluere veloci- tate illa, qua et erumperet e vase ad eamdem altitudi- nem pleno , et , sublato plano , (lueret in eodem sectionis loco, idem ferme erit casus aquae defluentis per alveum et aquae prosilientis e vase ad eamdem altitudinem pleno.

105. Auctores non pauci tractantes de motu li quidorum ex apertis luminibus effluentium , illud usorpare solent tanquam principium , quod nempe unumquodque li quidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et hori zontale stratum coalescat iisdem constanter particulis com muni , eaque tantum verticali , velocitate donatis . Deno tante v verticalem velocitalem , qua pollet in fine tempo ris i quodvis massae liquidae punctum ( x, y, z ) sollicita tum gravitate g , vis acceleratris de se valens producere dy actualem motum exprimetur ( 28) per : et qaoniam , dt praecisis etiam mutuis punctorum pressionibns , adhuc ta du men vis de gigneret actualem motum ; ideo , attentis pres sionibus , consistet in aequilibrio punctum (x , y , z) solli du citatum vi g Propterea ( 88 ) dt do dz dvi dt (kº ) . Attenta insuper liquidi continuitate ( liquidum ponitur in capax compressionis ) ; sequitur , si A designat amplitudi nem cujusvis strati horizontalis , fore ( 98) viw = a : A , unde v = Ä ( * " " ) ; w est functio temporis t ; A distantiae ; ab XOY : sequi 212 ∙∙∙ i. & 3 VZU'l/ng (i-l—m) di: Z',..l/Zg g'[(10 m)⇣⇥≖∶∣⋅ a denotat i., sectionis altitudinem .

1054: Auctores non pauci tractantes de motu li- quidarum ex apertis luminibus ellluentium. illud usurpare solent tanquam prineipium . quod nempe unumquodque li- quidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et hori- zontale stratum coalescat iisdem constanter particulis com- muni, eaque tantum verticali . velocitate dona-tis . Deuo- tante v verticalem velocitatem , qua pollet in fine tempo- ris : quodvis massae liquidae punctum (.r.-7, :) sollicita- tum gravitate g. vis acceleratrix de se valens-producere . dv ⋅ ⋅ ∙ actualem motum exprimetur (28) per .d—t : et quoniam . praecisis etiam mutuis punctorum pressionibus , adhuc ta- dv men vis —d—£ gigneret actualem motu-m; ideo , attentis pres- sionibus . consistet in aequilibrio 'punctum (.r.-y. :) solli- citatnm vi g—⋛⋮ ∙ PrOpterea (88) der . ⋅ dv ' z,; ∙−−∶ P- ( −−⋅ (17) ('i ') - Atteuta insuper liquidi continuitate (liquidum ponitur in- capax compressionis ) ; sequitur . si A designat amplitudi- nem cuiusvis strati horizontalis . fore (98) psa-ca: A, lel). , undevzr-a— A ( cc est functio temporis :; A distantiae :ab XOï: sequi-213 1 i tur quoque supremam descendentis liquidi superficiem ma nere horizontalem . Ex kl( ) habemus dv a da a do dt aw dA dx A2 dz dc - A dt A do . aw dA a da a’w2 dA A2 dz A di A3 da iccirco formula (K ™ ) traducelur ad do dz dz =+ (sds - au de): 1 sumptisque integralibus quoad % , ==C+u(sma ) Zo ic exprimit 200 distantiam inter XOY et supremam liquidi superficiem A , Denotante w, pressionem v . gr. atmosphae. ricam in superficiem illam , assequimur Two -= C+4 (** 241,3. ) unde C=0. – ( ( 50-100) . li propterea -=o +15(2-)-avenit SA- G -->) ( 47 ). Zu je Apud orificium 213 tur quoque supremam descendentis liquidi superficiem ma- nere horizontalem. Ex (F") habemus dv a de.) am dA d: a dm .dt—A dt A*dz dc-TA dc as) ubi a da) ama dA ∙ Aza." Ad: A3 d.' iccirco formula (Is") traducetur ad ' dar − das d:. am: dA - ) ⋅⊋−⋮∁≀∅−−∙↱∙≺⊰∠≀∅−−∅∙∣⊺⋮⊺−⊢ A3 d: dz , ,. sumptisque integralibus quoad s, ⋍≖⇌∁−⊦⊬≺≊≴−∘≤≀≜∫≖≤≀⋮− − .-) ,. dt A 2112 zo .i- eXprimit s., distantiam inter XOï et supremam liquidi superficiem A.,. Deuotante wo pressionem v. gr. atmosphae- ricam in superficiem illam , assequimur 2 2 2 2 ≔∘−−−⋅∁−⊦⇤∸≼∊≴∘−≦⋏∘∶≕≻ ⋅ .... ∁−−⇌≖≖∘ .. (g.... ".? ): [" propterea d ad:. 2 1 1 w:eod—Pgu-uþauä A a" P:) (A*—. :) (k""). zo

. Apud orificium214

1 Wo A2 a designantibus insuper b et i distantias ipsius orificii ab XOY et ab A. , m=b , 2 = b - i , 1 - % = i : facto igitur b dz A biI ! erit ibi mode, gi - sa- (1-4 ) = (A " . Quoad (k " "" ) et ( k " ) notamus haec tria. 1.0# Si a est parvitatis contemnendae , ex (k " ) profluet a = w.tugis mo ) , ut in casu liquidi aequilibrari (88) ; ex (k' ) vero emerget V2gi , quae formula recidit in formulam ( k) . 2.0* Si , affluente novo liquido, eadem servatur in vase altitudo liquoris , quantitates i, A., B exsistent con stanles ac datae ; et facto a2 1 h A.2 ↿ 1 ≖⋝−−≖≖⋅∙ ∙ :::—:::; designantibus insuper & et t' distantias ipsius oriücii ab XOT et ab A.,. 526 , sozb—t' . s—sozi: facto igitur erit ibi ad!» c.)"( a2 g' Bdc 2.↿∎∎∎⊼∘⊑≻∶∘ (kl Quoad (k"") et (Is") n0tamus haec tria. ↿∙∘∙ Si a est parvitatis contemnendae , ex (k"") profluet Uzwoillg (z'—*o) ) ut in casu liquidi aequilibrati (88) ; ex ('tu) vero emerget ∾⋅⇌ vra-u quae formula recidit in formulam' (lt). 2.0a Si . affluente novo liquido. eadem servatur in vase altitudo liquoris. quantitates i. A.,. B exsistent con- stantes ac datae ; et facto emuli a ad Qiiia215 formula ( k " ) praebebit h d 2a Bdt V 2gi 2ada 2gi - hwa hV 2gi h2 .62 2gi d h h d a V 2gi V 2gi hv 2gil 1+ v 2gi +

) h h

- Vzgi unde , sumptis bogarithmis quoad basim a Bta log hy 2gi V 2gi + hw V 2gi ha non additar constans et arbitraria quantitas utpote =0 siquidem tempori t =o respondet w =o. Ex ista aequatio ne emergit Bhty2gi V2gi(1 a h 1 + e Bhiv 2gi a inferimus , elapso brevi quodam tempore t, fieri ad sensum 1 V 2gii itemque 21 5 formula (li") praebebit d—L ., Bdt— iuda −− 21. V? — ⋣∊∙−⋅∣⇂≖∾≖ hl/Zgi IP 1——c.)2 Zgi d a ita di;—00 —( ⇂∕2gi ∣ l/2gi ) h '⋅⊾ ⋅ l/Z-g—l ↿∙∙∙ .b— 6) , ⇂∕⇄∃−⋮⋅∾ Vzgi unde , sumptis bgarithmis quoad basim e , 'Bt: ]: a— log iii—E? : l/th' Vzgi −− hæ non additur constans et arbitraria quantitas utpote ∙−−−∘ , siquidem tempori tzo respondet 6) 30. Ex ista aequatio- ne emergit ⋅≖∃∣≖≀⇂∕⋝⋮⋜ & l/2-g-i1—e— :: ∎∎⇀ h B'm/223- 1—l—e— a inferimus . elapso'brevi quodam tempore :. fieri ad sensum 1 − −−−−−−↗↓−∎∕∑∊≀⋅⊰ itemque216 = w.tuzia - 2 .) – paga?i( 1 hot G1 - ),-- VE 3.•* Si vas consistit in verticali cylindro , vel pri smate , A erit constans , et A.=A ; insuper dz 7-zo 1 A A B ic zo

Aliquid subjungitur circa generalem theoriam motus corporum fluidorum.[recensere | fontem recensere]

106.* Velocitas v, qua pollet if fine temporis ! quodvis massae fluidae punctum ( x, y, z) sollicitatum (86) vi acceleratrice Q , resolvatur in ternas v' , w " , 1 "" coor dinalis axibus Ox, OY, OZ parallelas ; erunt ( 29 ) dý , 1 dy' ' vires iisdem axibus parallelae , in dt dt quas resolvitur' vis acceleratrix q' valens de se produ cere actualem motum. Quoniam , etsi praecisis pun cloruni mutuis pressionibus , adhuc tamen gignit actualem motum ; ideo , attentis pressionibus , consistet in aequi librio punctum ( 2, y, z ) sollicitatum viribus X , ) – , dv', 1 Y dy" , 2 dy'"'; ac proinde ( 86. o ) di 1 dt de = - ( x – do ). -- ( v- à dv" ) , ) de u ( 2-2 " ).. ( 6) 216 . ↴ a':' 1 ↿ a Vii—g' ∙ szo-l-pg(2'.—20) uia (Aa Ag) , VS—K ∙ T ∙ ∶⊰∙∘∙ Si vas consistit in verticali cylindro. vel pri- smate , A erit constans, et A.,:zA; insuper

pro functionibus variabilium x, y, z, t, exsistent ( 27. 24.0) dy' du dv du du' dx + dy + dzt. dix dz dc dur dul dy + dz + dt, dy dz de du du dy't dy + dz + dt , dx dy dz de du du= dr seu , ob dx v dt , dy udt , dz udt ( 27 ) , dv dú dv ' dun du' dt , dx dy dz de dur dvd dv du'a + dt , dy dz de ( 6 ). dy'll dy dy " \dx dy dz dat di axt du. du dyt dzt dz dt dy dl ; at will + leo lesin ' du' \dx vt alt - de dy ut 21" + .!" to at dt , ide dx du du. vt de ede : w itot dy dz formulaeque (6) vertentur in 15 1 1 217 Habitis v'. v" . v'", p. pro functionibus variabilium x,]. z,t, ∙ exsistent (27. 243) ' / dVr-äï-I-dæ-f-g dy—l—d 7; v/dz—l-dïvt-dth . I, I/ dp'p": " ≤⋮∙−≤⋅⇗↙↙∠∞∙⋅∣− dv ∙−∙↙∣∫⊣−↙≀↥≟ dz-l— ii)—dt, III '" dv'": dv Tdæ—i—djr dv/Il d-v'" dy −⊸⊢−−⋅ zdz—l- -^——--dt, d d ⊬−− ⊋⊥∸↙≢↕ ↙∄↕≤−⊦ Hari- ⋮⋮↙∄≖⊣−−↙−∣≛⋮∠≀≀⊰ seu , Ob dx: 'v' dt .ei)-':«:;"dt, dz 37)/"dt (2".. dv! ∣∙∙− d'", v" ∣∣ (if—,) dv—(ïr-v-l-ï P-l-d—z-IVI-ï-dï— dt, " " vl] II V"'—:(d—; V, "J—d gr."- .v/j-l—g-z- will-i-ïi'l;-—-)d[, (V). dv ∣−− dvlll dui/I −−−−⊋⋤−≼ . [v;/1.", dv'" , ∣∣ ), 1 ∎∎⊢∎∎∎−∎−∎ dz 'l" dt —)dt ⋅∣⊹ ' ∙−− dP'. ,v/ ! dlu' ut dp' ∣∣∣ dp') ∙ dy. (dæ'v [ dy" ⋅−↱⋅⋅∓⇂≀ −↽⊋−∁⋅− dt. formulaeque (6) vertentur in 15218 dos deild dy" dx dv' dx dy dz che si ( (v do ( 6") v' do' dy v du dz w dur dy dx de - ) , dy ') do dv'

-(2

v' dy't dy v du Win dz dx dz de

107 #. Quae portiuncula infinitesima massae fluidae apud punctum ( x , 3 , 2 ) sub volumine V in fine temporis i exprimitur per V , eadem sub volumine V+dV in fine temporis + dt ad punctam aliud translata exprimetur per ( V+dV ) ( pe + du ); ideoque V = V + dV) (v + dpl)= Vu + udV + Vdp. + dp.dV , et consequenter, misso dudv, Vdp. + pdV= ( 6 " ). Sumatur V = dxdydz, aequale nimirum parallelepipedo rectangulo AF ( Fig. 47. ) sub laterculis AD( =dx) , AB( = dy ) , AH = dz); punctaque A , B, C , D , H , M , F , E ponantur transferri tempusculo de ad A ' , B , C , D , H' , M', F' , E , ut sit V + DV = A'F'. Transferetur A in A ' velocitatibus d' , 0 , 2, juxta coordinatos axes , runtque e x + v'dt, y tv" dt , z tudt coordinatae puncti A': designatis v ', u ' " per d7 dx d] dz : ' , dm' dv"' −∙∙: Z- ∣- dv'" du dv'" ∣∣ ∙∙∙ ∙−−⋁∣∣∣∙− —) ∙ dz F ( da: v dy 'v dz dt 107-. Quae portiuncula infinitesima massae fluidae a- pud punctum (æ , I,: ) sub volumine V in fine tem- poris : exprimitur per VP-o eadem sub volumine V-l-dV in fine temporis t −⊢ dt ad punctum aliud transl'ata expri- metur per ( V-l—dV) ( p. dy. ); ideoque Virsz-l-dV) (p.-l—dp.) ∙−−∶ ⋁∣↓∙⊹ ⊦∙∠≀∇−⊢ ∇⊂∣≴⊥∙⋅⊢ dde . et consequenter, misso dpdV, . Vdp. −⊦ ⊬↙∣∇−−∶⋄ ('b'"). Sumatur Vzdædydz, aequale nimirum parallelepipedo rectangulo AF (Fig. 47.) sub laterculis AD(-:-:dæ) , AB(-—-- dy ), AH(-:dz); punctaque A, B, C, D, H, M , F , E po- nantur transferri tempusculo dt ad A' , B' , C' , D' , H' , M', F', E' , ut sit V −↿− dV −−∶ A'F'. Transferetur A in A' velocitatibus v'. a:" , ∙⇂∙∥⋅ juxta coordinatas axes , e- runtque ∕∕∕ ' ..: ⊣−⋁∣↙∣⊀ ∙ ]−⊦ wa: , z −⊢ war: coordinatae puncti A': designatis v', v", «a'/' per219 fi( x , y , %, t ) , fa(x , y , z , 1), 13 (x , y , z , t) , expriment fi (x , y , z + d2, e) ,fz(x , y , z + dz, t ), f3( x , y, z + dz, t) velocitates coordinatis axibas parallelas puncti H euntis in H '; et cum babeamus ( 27. 24.) filx9,2 + dz,t) = f (x , y ,z, e)7df1(x,y,z,e)dz = uti du dz dz , dz e ao em dy ” fa (x , y, 2 + dz, t ) = 0" + dz , dz spri. f3( x , y , z + dz, t ) = 0 !!! allt dv ! dz, dz IV , coordinatae puncti H'erunt X + (v + da )dt,y + ("* + de )de,

+de+ (** + adaptada dt:

pipedo AB = E po inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore ( 50. 6º. ) 1 , M. in 4 5 , ee A'H' = [ledesdeu + )de de + ) ]=d =+ dy " -dz dt dz dt . dz Motus puncti Cin C'juxta coordinatos axes fiet velocitatibus ! 15. C ∎∙ em- [pl'l' IV. . 219 fuci-'s], 3! 1), fa(æs)'s 3! t) ∙ ⊀∍≺⋅↕∎∙∫↿≖∙ :), expriment ftlæsfaz-l'dzs 1) ,falæoys z 'l'dz; t)sf3(æs ïs ≖∙∙∣− d:, 1) velocitates coordinatis axibus parallelas puncti Hieuntis in H'; et cum habeamus (27. 240.) dfx(æJ,z,t)d fax-a',: 4—dz,t):f.(æ,y,z, : dz dz—v ↾−⊦↙↙∙⋚∙ —dz, " falæsïsz (I:-',! :):vlf'i'd'ä- dz: d'UIII fave,], z-l-dz,t ): ⇝∣∣∣−⊢ —zdz. coordinatae puncti H' erunt ' "' ahi-(» ∣⊣− −↲≖≻≳≀∙∫−⊦≼↙∣⊣−≝∂≖⋟↙∦⋅

↽⊦ dz −⊦ (W.;- ↙⋛↙−≖

d: )dc. inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore (50. 60-) A'H': RSTV) dz-dz −⊦≺⋅⋮↷⋛↗−−−≖−∥≖⋟↙≀≖≏ d:: −⊦ d.,/II dv!" - (d:-[- d: dzdi )]ä :dz-F—dzdt- Motus puncti Cm∁∣ juxta coordinatas axes fiet velocitatibus220 falar + dx , y + dy, zil ) = fi(x , y , 2,1 ) + afı( 8• 7,5,6) det dfi (x , y , 2,1) du dy dy dic = tIdxt dx falx + dx , y tdy, 2, 1 ) = "" + -dat dx du " dy , dy dumi dy !!! ON + f3(x + dx ,y + dy , z , 1 ) = "" dat dx dy ; dy inde prodeunt coordinatae puncti C du d ) dy x + dx + (v + ad det )dt y + dy + ( ** + na tempat day ) di,

+ ( v" + data darym dy de :

motus puncti F in F ' juxta coordinatos axes fiet velocitatibus du' filxtdxy + dy,z + d2,2)= x + xdx + dydy + du dz, dz dy" du" falxtdx,y + dy,atdz,t)= " + de + dy dy du " da dz, du " du f3( x + dx, y + dy; z + dz,t) = 1 "' -dxt dy" dy dy + dz; dx dz inde exsurgunt coordinatae puncti F 220 fdæ'i'dng—i-dy- ≖∙⋅↕⋟⇌∣≖≺∝⇟∫∙ ze t)",- df,(æ.j,z,t) dfl(æsyszvt) dw'd d " ≀∂≖≺∙↿⊏−≱⊢↙↕↡∫↽⊢∂∫⋅ ≖↿−⊸⋅⋅⇂∙∥⊣−↽⊋− "L "ad; df ' f3(æ-l—dæ,y—]-dy,z, : )-— v'∣∣⊹−⇁∙ inde prodeunt coordinatae puncti C' ∙↴⊲−⊢∠∄∸≀∶⊣− (⊣−⋅≦⋮∠↴↧⋅↕⊣⇀−− ↙∄⋤↙↿∫⋟≴↙≀⋅ ∫∔∂⋮∫⊹ ( ∣∣⊣↼ d,,⇡⋮≀−−⋅∶≴←⊦≤−⋚−∥⇩≀ wa.) vll/ du ≖↽⊦≺⊛ ∣∣∣ w"'-l--d—-æ dr—l— df )dz: motus puncti Fm F'luxta coordinatas axes Eet velocitatibus ∙ . . . ' ' d ,. fia—W;? ∂∫∙≖−−∠⇣∙≀⋟∶⋁⊹⊼∶↙⊩⊦≣↗ −⋤−∶⊔⊹ −:dz, dv" dv" dv" ta(æ-i-er-l-dr, a—l—dzn): ⊎∣∣⊣⋅∙⋣∂≛−⊦ df dy ! dz ds, d" III d.." f3(æ—]—dx, ⊹↙∄∙↗∙≖−⊢∣≂∙ ():—Ju" i-i-d; dælL dr cir—]— —-dz; inde exsurguut coordinatae puncti F'221 dyn = da + ( + van de tener tous de Jdeo s + d3 + ( v +adar an nas tudi nadia )dt, s + de + ( * + dpt dathetn dy + advan die Jde: 1 inferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore CF = [ 'de de + oem )deº de + ( de + de "de de ))]]* = da + dy" de dt. dz Ad motum puncti B in B ', computatum in coordinatis axi bus, spectant velocitates f( x, y +dy, z, t ) , falx , yt dy, z, t), f3(x ,y + dy, z, t ) ; ad con similem vero motum puncti M in M' velocitates tatibus fi(x ,y + dy, z + dz, t) , 82(x , y + dy ,ztdz, t ) , th dan f3(x , y + dy , z + dz , t ) : dy". propterea coordinatae puncti B ’ desi dz + (x + dy dy )de , y + dy + (.* + dar dy ) dt, du", dy 7 + (*"'+ dydy hdi: 7; (221' I æ—l—dæ-l-(tb -]-d −∙⋮dx-j—d −−∣vlddy-l— ——dz )dt, ,, ' dv" . dv" y-l-dJ-l-( −⊢−− da.−−∥↙≀↓⊣− ⊒∫−∠≀∫−⊢−− ↙≀≖≻∠≀∁∙ " dv": z-l—ds-l—(" ⊣−≦−≦⊥∅≀∝−⊦↙∄ dyd ∣ ↙↙≖ d: )dt: unferimus, missis infinitesimis tertii ordinis, fore ∙∙∙⋅ dv) ∙ ' (du"ïd) ∙ es'—[(? d: a: & ∠≀∥≀⋍⋅−⊦ ≺∁≀≖−⊢⋛≖ ——dzdt )]; :dz—l-Q—ds dt. d:. Ad motnm puncti B in B', computatnm in coordinatis axi- bus, spectant velocitates I.i-ïs;)" ⊣∙∙ dy. 39 i) ' f2(æay—l— d]: 2. t)af3(-'rsy—l—dft Z, !) 3 ad consimilem vero motum "puncti M in M' velocitates ↿∎≺∞∙∙↗↾⊣−∠∄∫∙≖⊣− dzs t) sf2(æ sy'l—fi'r, ≖−⊦∠∄≖ ∙ :) ∙ fam ,y-l-dy.a-1- a.:): propterea coordinatae puncti B' æ-i- ("'-l- ⋛⋚∠∄∫≻↙∄∁ ,J—l-dy—l-(' ≻≖≀⋅≂⋮ "j,-l— 72:41)!"- z −∣⋅− (vm-I— dv dy222 coordinatae puncti M ++ (1 - en deJdt, y + dy + (** + disa dy + "deJdi. z + dz + (** + (** + + en in diehele hinc B'M dz + du dzdt . dz Ad motum puncti D in D ', computatum in coordinatis a xibus, pertinent velocitates fi ( x + dx, y , z , 1 ) , fa( x + dx,y ,z, 1), f3(x + dx, y , z ,t ) ; ad consimilem autem motum puncti E in E' velocitates filx + dr, y, z + dz, t ) , f (x + dx, y , z + dz , t ) , f (x + dx ,y , z + dz , t ): proinde coordinatae puncti D' de"

  • + dx + (ut ea adx)de,y + ( * + dxdx )dt,

++ (- + de -dx)dici 222 coordinatae puncti M' x-l—(tf— ⋛≶↙≀∫⊣− ——dz)dt, maH-( ⇂≀⋅⋛−−⊦ pri—4449 ≖−⊦↶≀≖↼⊦≼ ⋮⋅∠⋛⋮−⊣− MH-;'dzdu) hinc ,B'M'-— ∙−− tis-l- -—-dzdt. Ad motnm puncti D in D', computatum in coordinatis a- xibus, pertinent velocitates ru(æ ∙−⊦ ciæ,], zit)1fa(æ "l'dæofszo t) sf3(x"'i"dæs)'; 2; 1); ad consimilem autem motum puncti E in E' velocitates fdx—i-dæqæz-l-dz, t ) 'fa(x-l-dx,y , z—l—dz . t ). B(æ-j-dæ ,y, s--]— dz .: ):. proinde coordinatae puncti D' ∝⋅⊦⊄↿↕∸−⊦≼↩∙−⊦ ——dæ)dc ,y—l—(v' −⊦≤−−⋮⋅⊑⋅↙≀⋅⊐∁⋟↲↥∙

∙⋅⊢ ≺∙∽⋯∙⊢ ⋛⋮≽∙⋮⇣↿∙↕≻≺≀∷223

puncti autem E drt s + dx +((uv + des de +die dz)dt ,y+ (** + de la de "a )de, a (* " + dz) dt; 2 + dz to dv"" dy" , det da dz et consequenter D'E' = dz to du". dz dzdt . Itaque A'H ' = C'F' = B'M ' = D'E' = dz + du dzdt : đz simili modo eruuntur AD = B'C ' FM H'E di = dx + dx dxdt , 1t ) ; A'B' C'D FE H'M ' = dú' dy + dydt. dy es thi Ex laterculorum aequalitate manifeste consequitur eorum parallelismus ; eritque A'F' parallelepipedum obliquangu lum ; ita tamen , ut ejus anguli infinities parum diffe rant ab angulis rectis parallelepipedi rectanguli AF ; quan doquidem AF nonnisi tempusculo infinitesimo transfer tur in A'F ' . Nunc ex H ' v . gr. due perpendiculum Ha in areolam A'B'C'D ; erit A'F ' = H'a . A'B'C'D' = H'a . A'B ' . A'D' sio B'A'D ' A'H ' . A'B' . A'D' sin B'A'D' sip H'A'a : d:. 223 puncti autem E' dv' ' dv' ) .. da: −⊢ dz z .7' 41- dæ—t- ∙⋅∎∙⋅−⊢ du:-1- (v' ∙∙⊢ da: dv" dv'" dv"' ) −∙ dz —-d.r —-d d ; dz)dt , z-t-dz-tï 'v. −⋅⊢ da: ∙−⊢ ds : f et consequenter ⋅ dv": D'E'c: dz −⊢ 71"—2. dzdt . Itaque llo ' 'v A'H':C'F' −−∶ B'M' ∙−−∶ D'E' :: d: ⊣⋅− ∙−≀⋮⋅≖−↙≀⋍⊄∄↥ : simili modo eruuntur A'n' :: B'C' −−∶ F'M' −−∶ H'E':dæ −⊢↙≟⋛ dædt . A'B'r: C'D' ::F'E': H'M' ∙⋅−−−∸ dy ⊣⋅−∙≣⊥⋅ ↙≀∙↨↾∠∄≀⋅∙ ] Ex latel-culorum aequalitate manifeste consequitur eorum parallelismus; eritque A'F' parallelepipcdum obliquangu— lum; ita tamen , ut eius anguli infinities parum diffe- rant ab angulis rectis parallelepipedi rectanguli AF ; quan- doquidem AF nonnisi tempusculo inünitesimo transfer- tur in A'F' . Nunc ex H' v. gr. due perpendiculum H'a in areolam A'B'C'D' ; erit ∙ ∼ A'F' ∙−−− H'a . A'B'C'D' :: ' 'a . A'B' . A'D' sin B'A'D' ∶−−⋅≖ A'H' . A'B' . A'D' sin B'A'D' sin H'A'a :224 denotantibus w et w'angulos infinitesimos , poterunt anguli B'A'D ' , H'A'a repraesentari per 90º + w , 90 ° +6 ; iccirco sin B'A'D' sin H'A'a = sin (90 ° + w ) sin ( 90° + W' ) = 62 614 w'4 coswcos6= ( 1 -... ) ( 1 ...) . 2 2.3.4 2 2.3.4 Quare , missis infinitesimis quinti ordinis , dv " A'F ' = (dx + dv' du " dxdt) (dy + dx dzdt) x dy dydı) (dz + az wa du ( - - (1-7 • det dy" • det du" dt) dxdydz ; 2 dy dz ideoque dV = AF - V = - (dv dx- det -det dy di) dxdydz. His positis , vertelur ( 6 ) in dxdydzdje ele dv \dx dtot dt + dv" dy dz di )dxdyds= 0, seu ( 106.6' ) dje du ut u'+ dr dz djelo du + dy dt dvi dv" du " . dy + demon dz ) = (619) . dx

108. * Si massa fluida est incapax compressionis, unaquaeque particula immutabilem habebit densitatem eritque du = o : proinde ( 106 , 6') 224 denotantibus eo et tu'-angulos inünitesimos , poterunt anguli B'A'D' , H'A'a repraesentari per 900-l-cu , 900-l-co'; iccirco sin B'A'D' sin H'A'a −−∶⋅ sin (90"-FG) sin (900 ⊣−∙ w') ∶∸⋅ . ↿ a): 034 ↿ tu' te'-': ) cosmcosw—( ∙−⋅⋍−−⊢≳∙∙⋝⋅∕⇂∙−−⋯⋟≺ −−∙⋮∙ m—m . Quare , missis infinitesimis quinti ordinis , I d'u' dr" d'v " ' ' ∙−−− − − ' AF ∙−− ∙−− (dx—t- dædxdt,(dy-t—- d] afydt) (dz-t- az dzdr) )( a 'a .' " '" (1 "2' −−∘≩≻∙−− ≺↿⊹⋛⊰↲↥⊹≘⋚∂∁⊹↙≩⊤∶∂∊≻∂∅∂∫∂∥ ideoque (lv-.:A'F' v ( vd: : dv dc.-92:11) dædyde . dæ dy dz His positis , vertetur (b"') in dt" I),, vl'l dæd.) dzdp-t— "(c'ïx dc ⊣−∙ 217 dc ⊣−∙ 72- dt)dædydz ::o, seu (106 . b') "" ↿≀∙⊣⋅− d" ∣∣⊣− a'" "-4-'-'—'-' −⊢

17- 2?" f??" dt

d'v- ⋅⋅⊢ dv" dv'" ⋅ ⋅⋅∙∙− o F- b,; ( ⊣⋅−⋮⋤ ) —- ( ). 108.s Si massa fluida est incapax compressionis, unaquaeque particula immutabilem liabebit densitatem, eritque dy.:o : proinde (106 . b')225 de vt die du du v " + 2 " + = 0

dy dx dz de et consequenter ( 107.b ) ( 6 ) dv dy d.x + + dy dz Formulae ( 6 " ) , (69) suppeditant incognitas a , l , v , v ", v " . expressas per x , y , z , t obtentis autem v ' , v " , ?, " per xy , zat , eruentur x , y , z per t ex formulis dy dx dz dc - ” dc ru!!! dt Si massa fluida incapas compressionis est insuper ho mogenea , prima ( 6 " ) fiet identica, satisque erunt ( 6 " ) et secunda ( 6 " ) .ad incognitas , u ' , v " v '" determinandas . Demum si massa fluida pollet elasticitate, formalis ( 6 " ) et (61 ) jungenda erit formula ( o " . 87.6 ' ) .

De tubis capillaribus.[recensere | fontem recensere]

Capillares

109. Etsi liquidum homogeneam in vasis communicantibus (92.1º.) manet aeque altum, iu tubis tamen vitreis admodum angustis (dicuntur capillares) utrinque apertis, et altera extremitate demersis aquae vel hydrargyro, cernimus aquam suprema superficie concava terminatam ascendere supra horizoutalem circumambientis liquidi superficiem, hydrargyrum vero suprema superficie convexa terminatum descendere infra horizontalem circumdantis liquidi superficiem: ad istius modi ascensum descensumque explicandum, haec animadvertimus.

1º. ln phaenomenis gravium liquidorum expendendis gravitatem considerantes haud habuimus rationem sive virium quibus liquidi particulae se mutuo petunt, sive virium quibus vasorum materies ad se trahit particulas illas. Porro materiales particulae duplici pollent vi attractiva; altera se prodit utcumque crescant distantiae, sequiturque (82) rationem reciprocam duplicatam distantiarum; altera se prodit dumtaxat in contactu vel quamproxime contactum, sequiturque rationem quamdam distantiarum nondum compertam. Ubi sermo est de liquorum aequilibrio, possumus ab attractione primi generis absque sensibili errore praescindere: ad attractionem secundi generis quod pertinet; cum in contactu exsistat validissima, inde fit ut suprema liquidi superficies prope vasorum latera induat figuram curvam, modo concavarn, modo convexam, et nonnisi ad aliquam ab ipsis lateribus distantiam dici queat physice horizontalis. Exhibeat TT' (Fig. 53) verticalem tubum v. gr. vitreum, utrinque apertum, et infra horizontalem liquidi superficiem partim demersum; O centrum circularis areae tubo interceptae apud eam superficiem; A particulam liquidi in area ista sub actionem vilreae particulae R; OX rectam transeuntem per A; OY horizontalem rectam perpendiculariter insistentem rectae OX; OZ verticalem rectam. Si denotat vim qua A tendit in R, designatis per h, k, i cosinibus angulorum quos AR facit cum ox, oy, OZ, resolvetur in ternas ph , pk , ọ iisdem OX , OY , OZ parallelas: ex R in planum XOY ducatur perpendiculum Rp , producaturque in R' donec fiat R'p = Rp ; teadet A in R' vi aequipollente ternis ch , pk , - oi : demissis perpendiculis ex R , R' in planum Xoz , iisque productis donec productiones aequentur ipsis perpendicu 226 rium quibus liquidi particulae se mutuo petunt, sive virium quibus vasorum materies ad se trahitparticulas illas.

manifeste determinabuutur in tubo duo puncta , quorum vires dabunt componentes gh , - ok , pi , sh , - ok , - qi : in ferimus particulam A , elisis componentibus parallelis rectae OY , itemque componentibus parallelis rectae OZ , sollicitatum iri juxta AX vi 4Σ φh proveniente ex tubi materia. In OX sume Ab = Aa ; duc verticalem bb' ; et quod in ordine ad tubi materiam est q, in ordine ad liquidi materiam sit q' : quisque intelligit par ticulam An elisis componentibus horizontalibus, trahi ver ticaliter deorsum vi 4 Epi promanante ex liquido intercepto superficie cylindrica , quam general recta bb' dum sibi constanter parallela movetur in peripheria circuli habentis radium Ab. Liquidum ultra superficiem cylindricam praebet vires . - 2 Eph , 2 "pi, alteram horizontaliter agentem juxta XO , alteram verti caliter deorsum. Omnes itaque vires sollicitantes particulam A traducentur ad horizontalem 4Eph -2Ep'h = 2 [2Eoh —Eph] , et ad verticalem 45' pit 23" ' i. 227 lis, manifeste determinabuutur in tubo duo puncta. quo- rnm vires dabunt componentes 9ht—9k09i' -ph.-—9k,—qn': inferimus particulam A . elisis componentibus parallelis rectae 0? , itemque componentibus parallelis rectae OZ , sollicitatumeiri juxta AX vi 4297: proveniente ex tubi materia. In OX sume Ab: Aa; duc verticalem 65; et quod in ordine ad tubi materiam est p, in ordine, ad liquidi materiam sit go' :quisque intelligit par- ticulam A. elisis componentibus horizontalibus, trahi ver- ticaliter deorsum vi ↽ 42'9'i. promanante ex liquido intercepto superficie cylindrica, quam generat recta bb' dum sibi constanter parallela movetur in peripheria circuli habentis radium Ab. Liquidum ultra superficiem cylindricam praebet vires -— 2 297: , 2E'p'i , alteram horizontaliter agentem juxta KO, alteram verti- caliter deorsum. Omnes itaque vires sollicitantes particulam A traducentur ad horizontalem 4ng −− ⇄∑∲∣∣∣:2929]: −∙− ∑⊈⊅⋅∣⋅⊐ . et ad verticalem (f) 42: p'i-l- 22"qa' i.228 Potest 2Eph -Eph esse aut > o , velo, vel = 0: in primo casu vis aequipollens et gravitati , et binis (f ) , deviabit a di rectione verticali faciendo angulum acutum cum AX; et quia ( 83.3º. ) vis illa debet normaliter sese dirigere ad libra tam liquidi superficiem , ideo suprema liquidi superficies in duet curvam concavamque figuram : in secundo casu vis aequipollens et gravitati, et binis (f), deviabit quidem a ver ticali directione, sed faciendo angulum oblusum cum AX ; propterea ( 87. 3 • ) suprema liquidi superficies induet curyam convexamque figuram : in tertio denique casu ex duabus (8) remanebit sola verticalis, et consequenter suprema liquidi superficies erit plana atque horizontalis.

2º . Massae liquidae OS , OS' (Fig. 54 ) ejusdem naturae, planisque superficiebus OP , OʻP ' terminatae, ae qualiter trahunt exilissimas columnellas liquidas AR , A'R' perpendiculariter superficiebus ipsis insistentes; nisi tamen columella AR intra massam OS trahitur deorsum , columel la vero A'R' extra massam O'S' trahitur sursum. Intelligan tur enim centris A et A ', radiisque aequalibus AB et A'B ', ultra quos sensibilis attractio liquidi non protenditur, des cribi hemisphaeria BCD , B'C'D' : si vires , quibus hemi sphaeria agunt in particulas A, A ', resolvuntur in binas, alte ram horizontalem , alteram verticalem; elisis horizontalibus, remanebunt verticales, quarum summa est eadem utrinque cum hoc tantum discrimine quod A trahitur deorsum et A sursum. ln columellis sume nunc duo alia puncta E, Eʻae quidistantia ab A , A' , radiisque aequalibus EL, E'L ' ( = AB) describe segmenta sphaerica FML, F'M'L' : accepla EV=EA, ductoque plano horizontali HK, vires ex QHKN , QFMN in punctum E utpote aequales et contrariae se mutuo de struent , ipsumque E solo segmento HLK deorsum trahe tur : vis ex HLK deorsum sollicitans particulam E ae quatur vi ex F'L'M ' sursum trahenti particulam E'; siqui dem haec segmenta sunt aequalia et similiter posita ad contrarias partes quoad E et E '. Cum igitur idem redeat 228 Potest 229h—29'h esse aut) a. vel( a, vel:o: in primo casu vis aequipollens et gravitati, et binis ([ ), deviabit a di- rectione verticali faciendo angulum acntum- cum AK; et quia ( 87. 30.) vis illa debet normaliter sese dirigere ad libra- tam liquidi superficiem, ideo suprema liquidi superficies in- duet curvam concavamque figuram: in secundo casu vis ' aequipollens et gravitati, et binis (f), deviabit quidema ver- ticali directione, sed faciendo angulum obtusum cum ax, propterea (87. 3"-) suprema liquidi superficies induet curvam convexamque figuram :in tertio denique casu ex duabus (f) remanebit sola verticalis, et consequenter suprema liquidi supedicies erit plana atque horizontalis. 2". Massae liquidae OS , US' (Fig. 54) eiusdem naturae, planisque superficiebus OP , O'P' terminatae, ae- qualiter trahunt exilissimas columellas liquidas AR , A'R' perpendiculariter superficiebus ipsis insistentes; nisi tamen columella AR intra massam OS trahitur deorsum. columel- la vero A'R' extra massam O'S'trabitur sursum. Intelligan- tur enim centris A et A', radiisque aequalibus AB et A'B', ultra quos sensibilis attractio liquidi non protenditur,des- cribi hemisphaeria BCD , B'C'D' : si vires , quibus hemi- sphaeria aguntin particulas A, A', resolvuntur in binas, alte- ram horizontalem , alteram verticalem;elisis horisontalibus, remanebunt verticales, quarum summa est eadem utrinque cum hoc tantum discrimine quod A trahitur deorsum et A' sursum. ln columellis sume nunc duo alia puncta E, E'ae- quidistantia ab A , A', radiisque aequalibus EL, E'L' (::AB) describe segmenta sphaerica FML, F'M'L': accepta EVzEA, doctoque plano horizontali HK, vires ex QHKN , QFMN in punctum E utpote aequales et contrariae se mutuo de- struent , ipsumque E solo segmenta HLK deorsum trahe- tnr : vis ex HLK deorsum sollicitans particulam E ae- quatur vi ex F'L'M' sursum trahenti particulam E'; siqui- dem haec segmenta sunt aequalia et similiter posita ad contrarias partes quoad E et E'. Cum igitur idem redeat229 cimo di.

et

bra sin vis Ver LAX; ryam argumentum de caeteris particulis inter A et C , necnon inter A ' et C ' ( ponimus A'C " — A'C' ) , cumque particulae infra C viribus contrariis et aequalibus urgeantur, infra C sensibili non subjiciantur actioni, jam patet etc In eodem liquido vis, qua deorsum vel sursum colamella trahitur, constans est; eam in sequentibus exhibebimus per K.

3º. Fac ut massa liquida BAB'QQ (Fig. 55) , quae intercipitur superficie sphaerica BAB' et plano tangente QQ, trahat externam columellam liquidanı AR perpendicula riter insistentem plano tangenti apud contactum A : quo niam BAB O'Q gignitur rotatione areae ABQ circa ra dium AO, perinde erit sive spectetur attractio massae BAB'Q'Q, sive spectentur attractiones infinitarum numero superficierum cylindricarum , quae in ea rotatione gignuntur a perpendicu lis DC , D'C' , ... demissis ex punctis D , D ' . circu laris arcus BA in rectam QA. Exprimant p , pi ... per pendicula DC , D'C', . . ; 9.9 , .. perpendiculorum di stantias AC , AC' . .. ab A computatas in AQ; sitque r sphaericae superficiei radius OA: ob magnam lineolarum p , p ', . . . tenuitatem prae q, , .. quidi Eden A'R' ameo amel gaD AB, des erunt lemi aleo р 92 2r ,pa2r libus Bogu et A et consequenter praefatae superficies cylindricae exhibe buntur per -AB EL MY 2πη 비유 Toq3 ,2πα g's Tig'3 seu 9 dem 2r 2r cabe ae aqui. Atqui ob eamdem illam tenuitatem puncta uniuscujusque su : perficiei cylindricae haberi possunt pro aequidistantibus ab unoquoque columellae puncto: designantibus igitur o, o, .. quantitates pendentes et a certa quadam distantiarum lege, deal sit ac- qui' de:! 229 argumentum de caeteris particulis inter A et C- , necnon inter A' et C' (ponimus A'C" :: A"C), cumque particulae infra C viribus contrariis et aequalibus urgeantur, infraC" sensibili non subjiciantur actioni, iam patet etc ..... ∙ .In eodem liquido vis, qua deorsum vel sursum colnmella trahitur, constans est; eam in sequentibus exhibebimus per K. 30. Fac ut massa liquida BAB'Q'Q (Fig. 55), quae intercipitur superficie sphaerica BAB' et plano tangente QQ',trahat externam columellam liquidam AR perpendicula- riter insistentem plano tangenti apud contactum A*: quo- niam BAB'Q'Q gignitur rotatione areae ABQ circa ra- dium AO, perinde erit sive spectetur attractio massae BAB'Q'Q, sive spectentur attractiones infinitarum numero superficierum cylindricarum, quae in ea rotatione gignuntura perpendicu- lis DC , D'C', . . . demissis ex punctis D, D' . . . circu- laris arcus BA in rectam QA. Exprimant p , p', ... per- pendicula DC, D'C',. : .; q, q' , .. perpendiculorum di- stantias AC, A.C' .. ab A computatas in AQ, sitque :- sphaericae superficiei radius OA: ob magnam lineolarum p, p, . .. tenuitatem prae q, q', ..., erunt 9' ∣ vf: ?" 2r'p— 2r'...'l et consequenter praefatae superücies cylindricae exhibe- buntur per ' q,! "03 "q '3 , ∙ ∙ ∙ ' seu , 21) r r q? 2:- 2nq ,Zitq ,... Atqui ob eamdem illam tenuitatem puncta uniuscuiusque su.- perficiei cylindricae haberi possunt pro aequidistantibus ab unoquoque columellae puncto: designantibus igitur &, ö'. .. qnantitates pendentes et a certa quadam distantiarum lege,. Kn.-"M— . ⇀ ⋅−−∙⇀∙⋅↼ ⋅⋅−↪∎⋅⊾ −−↼↼∎↼ ↽− ↼−⋅−⋅−⇀−⇀−⋅∙∎∙∙↼ −−↼ ↰⋅−↽⋅ - −⋍⇂∙⋅−230 et a liquidi densitate, et a cosinibus angulorum quos cum AO faciunt rectae ab attrahentibus superficierum punctis ductae ad attracta columellae puncta, eae superficies colu mellam sursum verticaliter trahent viribus Teq38 Tog'38 totaque massa BAB'D'Q columellam AR sursum verticali ter trahet vi 1938 +7.9'38' + . Si concipitur altera massa liquida PAP'OʻQ intercepta pla no QQ et nova superficie sphaerica PAP, cujus radius O'A = p , simili ratione ostendetur vim ex PAP'Q'Q fore παδ+πα35 '+ . . Vires itaque istae erunt ut - Eq: 8 : "5q?: = > erunt nempe reciproce at sphaericarum superficierum ra dii. Hinc designante H opportunam quantitatem constan tem , exprimet H vim, qua sursum verticaliter massa liquida BAB'Q'Q trahit .columellam AR : caeterum quisque videt fore H = 12q30. 230 et a liquidi densitate, et a cusinibus angulum quos cum ⋅ AO faciunt rectae ab attrahentibns superficierum punctis ductae ad attracta columellae pnncta, eae superficies colu- mellam sursum verticaliter trahent viribus nq3d th'3ö" ,.... r :- totaque massa BAB'Q'Q columellam AR sursum verticali- tcr trahet vi ∏⊄∍∂−⊢∏⊄⋅∃∂⋅⊹ ∙ ∙ ∙ ∙ . r . Si concipitur altera massa liquida PAP'Q'Qintcrcepta pla- no QQ' et nova superficie sphaerica PAP', cuius radius) O'A-z r' , simili ratione ostendetur vim ex PAP'Q'Q fore 12:738 −−⊢ ∏⊄≖∃∂∣⋅−⊢ ∙ ∙ ∙ ∙ r Vires itaque istae erunt ut 7! :: ↿ ↿ r Zq d . —r,2q ∙−−≀∙ −∙⋮∙∙ , erunt nempe reciproce ut sphaericarum superficierum ra- dii. Hinc designante H Opportunam quantitatem constan- tem , exprimet H ∙∙−∙− ' vim, qua sursum verticaliter massa liquida BAB'Q'Q trahit .columellam'AR : caeterum quisque videt fore H::an36.231

cum e.

tis r r H

4. Quantitas K major est quam nim K exprimat vim ( 2.0) , qua sursum trahitur columella H AR a massa liquida LFAF'L' , exprimet K vim qua sursum trahitur AR a segmento sphaerico MBAB '. H Id vero importat K > o ; ergo etc.

5.0 Massa liquida BAB'E'E terminetur superficie concavo -spherica BAB' : ducto per A plano tangente QQ , sollicitabitur columella AR deorsum ( 2.9 ) vi K ex EFAF'E' , H sarsum (3.9) vi ex BAB'F'F ; tota igitur BAB'E'E trahet deorsum columellam AR vi (4.0) . bio 3 13 н . K IR in i, i' , ... ,

6.• Superficies sphaerica NAN' habens radium O'A = 0A tangatur plano QQ in A ; columella AR ae que trahetur sursum a massa liquida NAN'Q'Q ac trabi lur a massa BAB'Q'Q : patet ( 3. ) çum ex eo quod, pro ductis DC , D'C' , ... donec occurrant arcui circulari AN exsistunt DC=Ci; D'C' =C'i, ... ; tum ex eo quod Ci , Ci', ... , sunt tenuissimae prae AC, AC, si qua pars columellae non trahitur sursum sit tenuissima prae reliqua parte sursum altracta .

7.º Columella igitur AR magis trahetur deor sum ab EE'N'AN quam ab EE'F'AF ; excessusque unius H attractionis supra alteram erit . Propterea massa liqui da desinens in superficiem convexo- sphaericam NAN' traliet deorsum columellam AR vi ita ut ea 1 K + 1 i. 231 H 4." Quantitas K major est quam —-: cum e- - r nim K exprimat-vim (29) . qua sursum trahitur columella AR a massa liqui/da LFAF'L', exprimet K —E r vim , qua sursum trahitur AR a segmento sphaerico MBAB'. Id veroinrportat'K—g- ≻∘ ∙∙∙ ergo etc. . . . 59 Massa liquida BAB'E'E terminetur superficie concavo-spherica BAB' : ducto per A plano tangente QQ', sollicitabitur columella AR deorsum (2.0) vi K ex EFAF'E', sursum (3.") vi!-.;l ex BAB'F'F; tota igitur BAB'E'E trabet deorsum columellam AR vi (4.0) ∙ K—ll'a r 6.0 Superficies sphaerica NAN' habens radium ()"AzOA tangatur plano QQ' in A; columella AB ae- que trahetur sursum a massa liquida NAN'Q'Q ac trabi- tnr a massa BAB'Q'Q: patet (39) tum ex eo quod, pro— ductis DC, D'C' , ... donec occurrant arcui circulari AN in i, s". ..., exsistunt DCxCi; D'C'..-::C't", ...: tum ex eo quod Ci, C'i', . . . , sunt tenuissimae prae AC. AC', ita ut si qua pars columellae non trahitur sursum , ea sit tenuissima prae reliqua parte sursum attracta. 7.o Columella igitur AR magis trahetur deor- sum ab EE'N'AN quam ab EE'F'AF; eicessusque unius H attractionis snpra alteram erit -— . Propterea massa liqui- ⋅ r da desinens in superficiem convexo-sphaericam NAN' trahet deorsum columellam AR vi n ∣≺⊣−−−⊑−⋅∙232

8.º Pone superficiem BAB' neque esse sphaericam , neque gigni rotatione ullius curvae circa AO

secla BAB

planis transeuntibus per A0 , curvilineae sectiones apud contaclum A gaudebunt inaequalibus osculi radiis

quos

inter ( demonstrationem suo tempore videre erit in parte 3.4 nostrorum elementorum matheseos 0. 118 ) bi ni reperiunlur , alter minimus ( = r ) , alter maxi mus ( = r ' ), pertinentes ad binas sectiones sub angulo re cto invicem constitutas . Iam , in ea qua sumus hypothe si , hoc pacto determinabitur visex BAB'Q'Q sursum verticaliter trahens columellam AR . Intelligatur coalesce re BAB'Q'Q ex infinitis numero superficiebus cylindri cis normaliter insistentibus plano tangenti QQ '

' unaquae que superficies cylindrica non eamdem habebit ubique altitudinem

sed apud bina puncta

e diametro opposita , quibus nempe maximus respondet circựlus osculator , al titudo erit minima

apud bina puncta

e diametro pari ter opposita , perque gradus 90 ab illis primis sejuncta , quibus videlicet minimus respondet circulus osculator , altitudo erit maxima

apud intermedia puncta altitudines

interjacebunt minimam maximamque . Quapropter evoluta superficie cylindrica super aliquo plano , ea poterit reprae sentari per aream QNN " Q " ( Fig . 56 )

NN

" aequatur basi superficiei cylindricae

QN et

Q " N " simul cum Q'N ' exhibent altitndines minimas

Fu et F'u

' altitudines ma ximas hinc Nu

= uN ' = N'u ' = u'N " . ob perexiguum ba seos cylindricae radium poterunt QF , Q'F , Q'F ' , ( " F ' haberi pro lineis rectis

eritque

1 QN +Fu NN " QʻF'Q'FQ = 1NuFQ = 4 Nu 2 NN ” QN + F4 2 232 8." Pone superficiem BAB' neque esse sphaericam, neque gigni rotatione ullius curvae circa AO; secta BAB' planis transeuntibus per AO, curvilineae sectiones apud contactum A gaudebunt inaequalibus osculi radiis quos

inter (demonstrationem suo tempore videre erit in par- te 3.*' nostrorum elementorum matheseos n. 118) bi-s ni reperiuntur, alter minimus ( ::r) , alter maxi- mus (:r'), pertinentes ad binas sectiones sub angulo re- cto invicem constitutas. Iam , in ea qua sumus hypothe- si, hoc pacto determinabitur vis et BAB'Q'Q sursum verticaliter trahens columellam AR. Intelligatur coalesce- re BABHQQ ex infinitis numero superficiebus cylindri- cis normaliter insisteutibus plano tangenti QQ' :'unaquae- que superficies cylindrica- non eamdem habebit ubique altitudinem; sed apud bina puncta e diametro opposita, quibus nempe maximus respondet circulus osculator , al- titudo erit minima; apud bina puncta c diametro pari- ter opposita, perque gradus 90 ab illis "primis seiuncta, quibus videlicet minimus respondet circulus osculator , altitudo erit maxima: apud intermedia puncta altitudines interjacebunt minimam maximamque. Quapropter evoluta superficie cylindrica spper aliquo plano , ea poterit reprae- sentari per aream QNN"Q" (Fig. 56); NN" aequatur basi snperficiei cylindricae QN et Q"N' simul cum Q'N'

exhibent altitudines minimas -; Fa et F'u' altitudines ma- ximas; biuc NucuN'zN'u'2u'N" . ob perexiguum ba- seos cylindricae radium poterunt QF , Q'F, Q'F ', Q"F' habcri pro lineis rectis; eritque NN"Q'F'Q'FQ::4NuFQ

4 Nu 'QN'zl-F"

∙ NN" QNj'F" .233 ericam, a BAB es apud i quoi Retentis igitur denominationibus ( 3.9 ) , superficies cylin dricae , ex quibus intelligitur coalescere massa BAB'Q'Q ( Fig. 55 ) , erunt 92 Lo pár. + 92 q /2 + 2r 2r' 2r' 2πα , 2r 2tq' > seu mari 2 2 alore ypothe Sursa mga (: + ?). mg ( + ),... Dalesce linde naquat ubige pposila, et consequenter massa BAB'Q'Q desinens in superficiem BAB' utcumque concavam trahet verticaliter sursum co lumellam AR vi or , al πα 2 o pari ?( + 1) + ", ( +3)x + ... Atqui ( 3.9 ) 7.938 + Teq'38 ' + .... = H : Ejuncta, ulator , Studios evolu reprat equatur exprimetur ergo vis illa per 16+) les m2 um bio 1 07 9. Sume Q '"'N '" et F " u " ( Fig. 56 ) aequidi stantes ab QN et Fu : erunt Q " N "" , F " u " duae ex al titudinibus intermediis ( 8. ) respondentes duabus sectio nibus curvilineis ad angulum rectum invicem constitutis. Radii circulorum osculantium sectiones istas apud A ( Fig. 55 ) designentar per po" et p' : erit ( Fig. 56 ) 9'2 Q" N " +F " u " = 92 2r ". qo + 27 + g'? 2r . ' 2r' ' 1 16 233 Retentis' igitur denominationibus (3.") , superficies cylin- dricae, ex quibus intelligitur coalescere massa BAB'Q'Q (Fig. 55 ) , erunt / £ fl" q" a" 2r .l-Zr ∙ 2r 21tq 2 , 27tq .l-Zr' 2 , ∙ , seu ↔⇍≖↙≀⋮↿≺ , ') "rv ') ⋅⋅ 2 rii-" 2 ≀∙⊣−∣⋅⋅∅⋅⋅⋅⋅ et consequenter massa BAB'Q'Q desinens in superficiem BAB' utcumque concavam trahet verticaliter sursum co- lumellam AR vi "f(ï-Fl?) ∂⊹∙⋮≖−≣−⋅⋮−≺−∶−−⊦∙≙≻∂↝⊹∙ ∙∙ r Atqui (3.0) nq3ö -l-7tq'3d' ∙−⊦ ∙ ∙ ∙:∙ H: exprimetur ergo vis illa per ⋅≣⋅≺⊥⊣−−↿⊺≻ ⋅

- r

9.0 Sume Q'""'N et F"u" (Fig. 56) aequidi- stantes ab QN et Fu : erunt Q'"N"', F"u" duae ex al- titudinibus intermediis (89) respondentes duabus sectio- . nibus curvilineis ad angulum ≖⋅∁∁⋯⊞∙ invicem constitutis. Radii circulorum osculantium sectiones istas apud A ( Fig. 55 ) designentur per r" et r'" : erit (Fig. 56) 0 ( ns ' lr Jr ' ∎∙ lr. ' a a 'a' ': ≺≀⋅⋅∙↓↜⇃∙⋅∙−⊦∣∂⇁⇈≀↓∙∙∶∶−∙↙−⇃−⋅− ⊄ ⋞∣ −⊦⋞∣∙∙234 est autem mane cc Q " N '" + F " u" = QN + Fu = 92 2r 9'2 2r + 2r etc.: 1 igitur +++++ 110 et consequenter 16 + *) = " 6 + - ): under 10.º Si superficies concava BAB' ( Fig. 55 ) gi gnitur rotatione alicujus curyae circa OA , fiet Cor ace r = r = r ' = r '" I supe ac proinde vis ex BAB'Q'Q sursum verticaliter trahens columellam AR erit ban, zebic H reciproce nimirum ut radius osculi apud A. 11.• Facile nunc intelligimus attractionem mas sae liquidae BAB'E'E, terminatae superficie utcumque con caya BAB' , in columellam AR fore K - " ( + -) .velK6+ ); 234 est autem ↾∣∣ ⇌∎ ! '2 : NI" F" ": −∙ Q. ∙−⊦ u QN—l—Fu q2r ↿ q 0 L I 2r' , 2r ∙−⊦ 2r' ,etc.t igitur 1 ↿− ↿ ↿ i- ∣ rr ∣⋅⊤⋅ .'"? ' et consequenter H 1 ↿ H ∎↿ ↿ ⋅ −⋮−≺−≀∶⇀⊦ r' )— 2 (r" hl-r'") ⋅∙ 10.0 Si superficies con-cava BAB' (Fig. 55 ) gi. gnitur rotatione alicujus curvae circa OA , fiet I '; ∣←−∶≀∙ :r :r '" ; ac proinde vis ex BAB'Q'Q sursum verticaliter trahens columellam AR erit 'H- ", reciproce nimirum ut radius osculi apud A.

11.(, Facile nunc intelligimus attractionem mas- sae liquidae BAB'E'E, terminatae superficie utcumque con- cava BAB' , in columellam AR fore H 1,1) H(1,1 ∙ K 2(r '7 'velK 2r" 'r'")' ïfbiu235 massae vero liquidae NAN'E'E, terminatae superficie utcum que convexa NAN' , in ipsam AR fore K + 6 + -) . ved K + "6+ ) : fiet =r =r" = r" in casu superficiei genitae rotatione li neae curvae circa OA.

110. His declaratis , venio ad ascensum descensum que liquorum in tubis capillaribus.

1.° Aqua in tubis vitreis diversae capacitatis ad diversas ascendit altitudines, quae sunt reciproce ut tuborum diametri: idipsum contingit oleo, spiritui vini, etc..; ascendentesque liquores terminantur superne concava superficie. Concavae superficiei causam adsignavimus (109 1.): ad ascensum quod pertinet, sit QQ ( Fig. 57 ) suprema superficies aquae circumambientis tubum LE , et I A'B' concava superficies aquae intra tubum; sint insuper A'R, VR' binae columellae verticales, altera intra, altera extra tubum, quas columellas jungat horizontalis columella RR'. Urgebitur A'R deorsum gravitate simulque vi (109. 11. ° ) K - 16 + ); urgebitur VR' deorsum gravitate simulque vi ( 109. 2.° ) K :. cum igitur Н K > K ( 2 + ), 235 massae vero liquidae NAN'E'E, terminatae superficie utcum- que convexa NAN' , in'ipsam 'AR fore H 1 1 H 1 1 K—(-2(,, ∣∣⋅ .).ve1K( ,(,.,'. ...-) r r fiet r:r':r"—-::r"' in casu snperficiei genitae rotatione li- neae curvae circa OA".

110. His declaratis, venio ad ascensum descensumque liquorum in tubis capillaribus.

1." Aqua in tubis vitreis diversae capacitatis ad diversas ascendit altitudines, quae sunt reciproce ut tuborum diametri: idipsum contingit oleo, spiritui vini, etc..; ascendentesque liquores terminantur superne concava superficie.

Concavae superficiei causam adsignavimus (10913): ↙ ad ascensum quod pertinet , sit QQ' (Fig. 57) supre- ma superficies aquae circumambientis tubum LE , et I'A'B' concava superficies aquae intra tubum; sint insuper A'R, VR' binae columellae verticales, altera intra, altera extra tabum, quas columellas iungat horizontalis columella RR'. Urgebitur A'R deorsum gravitate simulque vi ( 109. 11.") H1711, K 2(rlr1)a urgebitur VR' deorsum gravitate simulque vi ( 109. Z.") ∕ cum igitur236 haud poterunt A'R , VR' consistere in aequilibrio nisi A'R ascendat supra QQ . Denotet z altitudinem AA , ad quam ascendit columella A'R supra QQ'; sitque c gravitas specifica liquoris: fiet eousque columellae ascensio donec habeatur H K = K -16 + )+c=;unde == 2c ( + ).

Vires ex materia tubi eas tantum liquidi particulas afficiant, quae ad internam ipsius tubi superficiem maxime accedunt; iccirco liquidum perinde trahetur, a tubo ac si interna superficies esset plana: permanente igitur tubi ac liquoris qualitate, etsi variat tubi diameter, eodem tamen pacto trahentur liquoris particulae versus tubum; quae attractio quia cum constanti attractione liquoris erga seipsum consociatur, extrema latercula curvae BAB' aeque inclinabuntur ubilibet ad internam tuborum superficiem. Arcus itaque omnes BAB' erunt similes in diversis tubis, ipsorumque arcuum rotatione circa tubi axem gignetur superficies concava superne terminans liquorem : bini videlicet r et r' exsistent aequales, simulque tuborum diametris pro portionales; ideoque altitudo z reciproce ut eae diametri.

2. • Hydrargyrum in tubis vitreis descendit in fra circumambientis hydrargyri superficiem QQ ad ejus modi altitudines , quae sunt tuborum diametris recipro ce proportionales ; descendensque liquidum terminatur su perne convexa superficie NOM. Convexitatis causam adsignavimus ( 109. 1.0 ) : ad de scensnm quod spectat , columellarum OR et VR' altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi ( 109. 11.° ) 0 { K + C + ) , 236 haud poterunt A'R, VR' consistere in aequilibrio nisi A'R ascendat supra QQ'. Denotet :altitudinem AA' , ad quam ascendit columella A'R supra QQ'; sitque c gravitas spe- cifica liquoris: fiet eousque columellae ascensio donec ha- beatur H ↿ ↿ H 1 ↿ ∣≮≓⋅∶∶∣⊊∙− −∙≨∙⋖−−∙−⊢⊤≻−⊢∶≖∙ under—' 2c(r ≓≀∙∙≻ . r . ! Vires ex materia tubi eas tantum liquidi particulas af- ficiunt, quae ad internam ipsius tubi superficiem maxi- me accedunt; iccirco liquidum perinde trahetur, a tuba ac si interna superficies esset plana : permanente igitur tubi ite liquoris qualitate, etsi variat tubi diameter, eadem tamen pacto trahentur liquoris particulae versus tubum; quae attractio quia cum constanti attractione liquoris erga se- ipsum consociatnr, extrema latercula curvae BAB' aeque incl'uabuntur ubilibet ad internam tubarum superficiem. Arcus itaque omnes BAB' erunt similes in diversis tubis, ipsorumque arcuum rotatione circa tubi axem gignetursuper- iicies concava superne terminans liquorem : bini videlicet r et r' exsistent aequales, simulque tubarum diametris pro- portionales; ideoque altitudo :reciproce ut eae diametri.

2.0 Hydrargyrum in tubis vitreis descendit in- fra circumambientis hydrargyri superficiem QQ' ad eius- modi altitudines , quae sunt tubarum diametris recipro- ce proportionales; descendensque liquidum terminatur su- perne convexa superficie NOM. Convexitatis causam adsignavimus (109. 1.(, ) : ad de- scensnm quod spectat, columellarum OR et VR' altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi (109. 11.") Hi 1 K".'a(1"'r")' I: 'P.?237 altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi ( 109. 2.0) K : cum igitur K < K + -( + ) haud 'poterunt OR et VR' sese librarè nisi OR descen dat infra QQ. Designet é altitudinem AO , ad quam deprimitur columella OR infra QQ' ; sitque c' gravitas specifica hydrargyri : eousque fiet columellae depressio do nec habeatur, H K=K + ( + )- c'z' , unde z' = 2c' ( + >>). Ut supra ( 1. ) ostenditur binos r , r' fore aequales, simul que proportionales tuborum diametris ; iccirco etc.

111. Nonnulla subjungimas, quorum ratio desumitur ex animadversionibus (109).

1.º Duae laminae vitreae et parallelae PP ', SS ' demergantur verticaliter in aquam, earumque mutua distantia aequetur diametro tubi capillaris LE: suprema aquae superficies B " A " B " inter laminas evadet concava instar canalis horizontalis; altitudo vero A'al= x ), ad quam attollitur aqua, erit duplo minor altitudine ad quam attollitur in tubo LE.: Infima superficiei B " A " B '"' puncta jacent omnia inea dem recta A'A'": secetur B " A " B " " plano perpendiculari ad A " A " '; sectio erit ubilibet arcus arcui BA'B' similis et aequalis : istorun arcuum radius osculi apud puncta infima dicatur r ; in tubo LE erit p = r , in laminis r= -0 . Colamellarum igitur A'R , VR aequilibrium praebebit .. 237 altera sollicitatur deorsum gravitate simulque vi (109. 23) K : cum igitur X(K ' H( ↿ r ral,).r baud' poterunt OR et VR' sese librare nisi OR descen- dat infra -'QQ. Designet z' altitudinem AO,- ad quam deprimitur columella OR infra QQ'; sitque c' gravitas specifica hydrargyri: eousque fiet columellae depressio do- nec habeatur. 1 ∙ ↿ ' ∣∟−∣≖⊹−−⊸ 2(-—--]——-)-—c",z undez'—.2[:7(1 [ r'). Ut supra (1 .") ostenditur binos r, 'r' fore aequales, simul- que praportionales tubarum diametris; iccirco etc. ,.,11.1 Nonnulla subjungimtts ,- quorum ratio desu-mitur ex animadversionibus (109).↿∙∘ ∐∎≖≔∘∙ laminae vitreae et parallelae PP', SS'demergantur verticaliter in aquam, earumque mutua distantiasequetur diametro tubi capillaris LE : suprema aquae super-ficies B"A"B"' inter laminas evadet concava instar canalishorizontalis; altitudo vero A"a(:.r) , ad quam attollituraqua , erit duplo minor altitudine , ad quam attolliturintnhoIfE.- ⋅∶∶⊸∙Infima superficiei B"A"B"' puncta iacent omnia infen-dem recta A"A'": secetur B"A"B"' plano perpendiculariad A"A"'; sectio erit ubilibet arcus arcui BA'B' similis etaequalis: istorum arcuum radius osculi apud puncta infimadicatur r; in tuba LE erit r'zzr, in laminis r'zoo; Cos-lumellarnm igitur A'R , VR' aequilibrium praebebit't-dïff2382c ( + ) " ;Tetscolumellarum autem A ” R " , VR aequilibrium suppeditabitH101 IK -K - I ( + ) +re , f =.2c1Hinc xai 2ż z ; ideoque etc.....2.0 Laminae PP ' , SS , sibi commissae ad sematuo accedunt.Sit P" punctum quodvis laminae PP: infra QQ adprofunditatem Alla " : columella verticalis Alla" transmittetpuncto P vim ( 1.0 ) .K- ( + ) +ostan") = KH+2r Tersus1 .C2c 5+c. a a'" = K +0. aa!"dicenndnetfenotaversus Qt : attenta columella horizontali . a " ' P " , urgebi amelltur P vi seu pressione externa + traiKversus Q't': colamella verticalis V'a transmittet puncto P "vimK+c.aa " "versus Qi' : attenta columella horizontali a'P ' , solicitabitur P " vi seu pressione interna 16TSU238H(t 1) H 1z— ⇂ ∙−−− ∙⋅ ;20 r !' C !'columellarum autem A"R"', VR' aequilibrium suppeditabit!H 1 1 H 1− ↿ ∣ ⊫−∙− −⋅⋅ ∙!cx . ∙∖Hlnc ∙ æ;—2—z;l ∙ ⋅ 1deoqueetc......⋅⋅ n .'2.o Laminae 'PP. SS', sibi commissae ad sea') 'At mutuo aeeedunt. )Sit P" punctum quodvis laminae PP' infra QQ' adprofunditatem A"a ": columella verticalis A"a transmittetpuncto P" vim (1.). & ↽(⋅. H 1 1⋅ " HK(cæ—-—aa"' :K −−−∙−−∙ 2 ≀⋅∙⋮∙∙∞ .'. (M' . 2r. . '"1ciii .-—--)-c.aa :::K'I—ILmaa'".⋅.. .: '".versuth : attenta columella horizantali- a.'"P" , urgebi-tur P" vi seu pressione externa,.. ⋅∙ ⋅('. a∙ t '. '(1 ..

infima dicatur r; in tuba LE erit r'zzr, in laminis r'zoo; Cos- lumellarnm igitur A'R , VR' aequilibrium praebebit't-dïff238 2c ( + ) " ; Tets columellarum autem A ” R " , VR aequilibrium suppeditabit H 101 I K -K - I ( + ) +re , f = . 2c 1 Hinc xai 2ż z ; ideoque etc..... 2.0 Laminae PP ' , SS , sibi commissae ad se matuo accedunt. Sit P" punctum quodvis laminae PP: infra QQ ad profunditatem Alla " : columella verticalis Alla" transmittet puncto P vim ( 1.0 ) . K - ( + ) +ostan") = K H + 2r Tersus 1 . C 2c 5+c. a a'" = K +0. aa!" dicen ndnet fenota versus Qt : attenta columella horizontali . a " ' P " , urgebi amell tur P vi seu pressione externa + trai K versus Q't': colamella verticalis V'a transmittet puncto P " vim K+c.aa " " versus Qi' : attenta columella horizontali a'P ' , solicita bitur P " vi seu pressione interna 16TSU 238 H(t 1) H 1 z— ⇂ ∙−−− ∙⋅ ; 20 r !' C !' columellarum autem A"R"', VR' aequilibrium suppeditabit ! H 1 1 H 1 − ↿ ∣ ⊫−∙− −⋅⋅ ∙ ! cx . ∙∖ Hlnc ∙ æ;—2—z;l ∙ ⋅ 1deoqueetc...... ⋅⋅ n . '2.o Laminae 'PP. SS', sibi commissae ad se a ') 'At mutuo aeeedunt. ) Sit P" punctum quodvis laminae PP' infra QQ' ad profunditatem A"a ": columella verticalis A"a transmittet puncto P" vim (1.). & ↽ ( ⋅ . H 1 1 ⋅ " H K ( cæ—-—aa"' :K −−−∙−−∙ 2 ≀⋅∙⋮∙∙∞ .'. (M' . 2r . . ' " 1 ciii .-—--)-c.aa :::K'I—ILmaa'" . ⋅ . . .: ' " .versuth : attenta columella horizantali- a.'"P" , urgebi- tur P" vi seu pressione externa , .. ⋅∙ ⋅ ('. a ∙ t '. ' (1 ..

- ∎∙ 3 ' ∙

. versus Q't': columella verticalis V'a' transmittat puncto P" visu ⋅⋅ ' ⇀ ' ' ' ⋅ ⋅⋅ K—l—caa ? . versus Q't': attenta columella horizontali a'P" , sollicita- bitur P" vi seu :pressione interna " ' ' - ⇂⇣ r 'a' ms 1111: "But "fin239 K versas Qt : erit igitur p " aeque sollicitatum hinc et illinc, nullusque motus gignetur ab istis viribus. Sit P' " ' punctum ipsius PP' inter QQ et A " A  : ver ricalis columella A " a " transmittet puncto P " ' vim к -16 + ) + ( 6 – aa ") = K - H + 2r H S c.aa" = K- c.aa' ' 2r versus Qt : ob columellam horizontalem P '" a " urgebitur P " " vi seu pressione externa K versus Qt : cum igitur K > K - c.aa " , nitelur " mo veri ad plagam (t' . Ascendet aliquantulum aqua externa prope laminam ÞP induetque ( 109. 1. ) figuram concavam ee'e ' ; propterea, denotante & radium osculi apud punctum v . gr. e' , co lumella e'b normaliter insistens superficiei curvae ee'e" in e' transmittet puncto v. gr. b vim H K 29 ( +4) = K 2 € versus Qt’ : attenta columella horizontali e'b ', urgebi tur b ' vi seu pressione interna K versus Qt : ex aqua éb'é' proveniet in bi vis ∙ 239 K Versus Qt: erit igitur P" aeque sollicitatum hinc et illinc, nullusque motus gignetur ab istis .viribus. Sit P'" punctum ipsius PP' inter QQ' et A"A"': ver- ticalis columella A" a" transmittet puncto P"'v vim K --—-(—1--—l--—) —[—c(x—-aa" ∙−−∶ ∣⊂−∙≗ ∙⋅⊢ H —— c.aa" −−−−− K— c.aa" 2r ∕ versus Qt' - ob columellam horizontalem P"'a " P'" vi sen pressione externa "— urgebitur K versus Q't'. ∙ cum igitur K)K—c.aa" , uitetur P"' mo- veri ad plagam Q't' . Ascendet aliquantulum aqua externa prope laminam PP' induetque (109.1.?) figuram concavam ee'e" ; propterea, denotante & radium osculi apud punctum v. gr. e' , co- lumella e'b normaliter insistens superficiei curvae ee'e" in e' transmittet puncto v. gr. b' vim H 1 1 H K— ⊸≳↽≼−⋮⇀⊣−∘−∘−⊢ ≖⊊−−⊸⇄−∊ versus Q't'- attenta columella horizontali e',b' urgebi- tur b' vi seu pressione interna '- . K 8 versus Qt: ex aqua e'b'e" proveniet in b' vis240 c.e" 6 versus Qit' : columella verticalis A " 6 " transmitiet puncto b' yim H K 25 + c . A " 6 " versus Qt : attenta columella horizontali b'b' impelletur 6 vi seu pressione esterna K versus Qt . Est H 2r = cx = C . A'a ; librato insuper liquido , pressiones apud V' et é' sunt ae quales , et consequenter K = K H 28 to.e" 6 , H = c.eb' ; 2 € detractisque proinde viribus versus Qt ex viribus versus Q'ť , emerget H н K 2e-K + c.e^ 6—K+ -c.A "b" + K = c.eb - c.A "6" + H H 2r 2 € c (e" b' — A " 6" + 1" a - c'b') = c.b "a > o : sollicitabitur ergo b' vi c.6 " a versus Q't' . Veniat denique spectandum in lamina PP punctum p ' inter A " A " et B " B " : sit P'a" columella horizontalis ; a'i columella perpendicularis superficiei curvae B’A " B " " apud a " ; dicaturque é radius osculi in a ' ' . Transmittet a'i puncto Ph vim 240 c . e"b' versus Q't' :columella verticalis A"b" transmittet puncto b' vim . H "" K—Z—i—c'Ab versus Qt :attenta columella horizontali b'b" impelletur b' vi seu pressione externa ↴ K versus Q't'. Est H ∙∠−≀∙−∶∶∘∙↿∽⋅∶∘∙∆∎∣∅ librato insuper liquido , pressiones apud V' et a' sunt ac- quales , et consequenter -——-K——'l"c. e"6'. Eli-:o- e"b': detractisque proinde viribus versus Qt ex viribus versus Q": , emerget ⋅ K—is'". -K—]— .- .∘∣∙∣↗∣−−⋅↧≮−⊦ ≛↿−⊑∙⊸∙∆∦∣⊃⋅∣−⊢↧⊊∶⊸⋅⊜∣⋅∣⊃⋅−∘⋅∆⋅⋅≀≀⋅∣−⊦ H H " .! ., h 1 ∙−− " . ii.—22"— ..—c("eb'- Ab -I-Aa-c.b)—-c.b a)o. sollicit'abitur ergo b' vi c.b"a vcrsus Q't' . Veniat denique Spectandum in lamina PP' punctum P" inter A"A"' et B"B" : sit P"'a" columella horizontalis; a"i columella perpendicularis snperficiei curvae B"A"B"' apud a" ; diceturque e' radius osculi in a". Transmittet a": puncto P" vim.241 K H 2 € . versus Qt : ex liquido superincumbente proveniet in p ' ' vis B ' P " versus Qc : attenta P " a " urgebitur p " vi seu pressione externa K versus Qit' : librato liquido , pressiones apud a " et A ” sunt aequales ; proinde ducta horizontali Allu , H H K tc.P" u = K = K- C. A'a , 2 € 2r H = c ( Pu + A " u ) = c.P ' : 26 detractis igitur primis duabus viribus ex tertia , assequemur H K - K + c . B ' piv H -C.B" piv 2€ 22' c ( Piu' B ' p ' ) > 0. Lamina itaque PP' movebitur versus Q'C' : eadem de causa movebitur lamina SS' versus Qt ; ideoque etc...

3. Si aquae substituitur hydrargyrum , supre ma liquidi superficies inter laminas PP' , SS ' fiet con vexa instar horizontalis inversique canalis ; deprimetur li quidam ad altitudinem duplo minorem quam in tubo LE ; ipsae insuper laminae adhuc ad se mutuo accedent . Haec explicantur simili ratione ac ( 10, 20. ).. 241 versus Qt :ex liquido superincumbente proveniet in P" vis & ∙ B1v Ptv versus Qt : attenta P" a" externa urgebitur P" vi seu pressione K versus Q't' :librato liquido . pressiones apud a" et A" sunt aequales .; proinde ducta horizontali A"u, H " ∙∙∙ H ∙∙ ↿⊂−∙−∙⋮≳−⋮∙−⊢∘∙↧∙ ∥⋅−−↿⊊∙−⋮≳≀∙−−∙−−↧⊊−∁∙ A a . H ,, ⊓∣ 27-—-c(P"u-l—Au)——-—c.P u: detractis igitur primis duabus viribus ex tertia , assequemur ⊏−≖⊂−⊢⋮−⋮∶∶−∘∙∌∏ ↕⊃≖⊽∶∶∶ IST—c .B" Piv: c (P"'u' — Blv P") ∘∙ Lumina itaque PP' movebitur versus Q't' : eadem de causa movebitur lamina SS' versus Qt ; ideoque etc... 3." Si aquae substituitur hydrargyrum , supre- ma liquidi superficies inter laminas PP' , SS' fiet con- vexa instar horizontalis inversique canalis; deprimetur li- quidam ad altitudinem duplo minorem quam in tubo LE; ipsae insuper laminae adhuc ad se mutuo accedent. Haec explicantur simili ratione ac (10. 20.) .242

4. • Super vitream laminam horizontalem AA'B'B ( Fig . 58 ) affunde gattam olei terebinthini mm ' ; tum al teram laminam vitream A " A'B'B " priori AA'B'B impone sub angulo sic exiguo , ut imposita lamina gutlam le viter attingat ; conspicies mm' , instar trochleae , termi natam quodam canaliculo ; qui canaliculus plano hori zontali sectus dabit curvilineam convexamque sectionem plano verticali sectus curvilineam concavamque sectionem . Radius convexitatis ( € ) manet proxime idem in punctis m et m' e diametro oppositis ; radius vero con cavitatis ( = r' ) in puncto m' magis accedente ad A'B' minor erit quam radius concavitatis ( = r) in puncto m minus accedente ad ipsam A'B ' . Spectantes columellam mam ' perpendicularem rectae A'B' , quoniam r et é ' apud m obverluntur ad plagas contrarias , itemque r et ê " apud m' , facile intelligemus ( 109. 110. ) sollicitatum iri mam ver sus A'B' vi H K 2 simulque versus AB vi K 16->). Cum igitur > m , prima vis erit major quam secunda ; columellaque mam , et una cum mam' tola gutta mo vebitur versus A'B' motu accelerato : idipsum contingit guttaeaqueae . At si ejusmodi guttis substituatur gutta hydrargyri , haec movebitur versus AB ; ratio est quia gutta hydrargyri tam in sectione horizontali quam in verticali praebet curvam convexam , radiusque novae con vexitatis in m superat radium novae convexitatis in m .

5.° Capillaris tubus in aquam QQtt ( Fig. 57. ) demergatur; tum, apposito digito ad orificium inferius extrahatur : remoto digito , aqua jam elevata eflaet ali quantulum ex orificio illo , ibique demum haerebit sus pensa in guttam rotundam conformata ; residuae vero aquae altitudo in tubo extracto invenitur major quam altitudo ( 110, 1º.) H Z = 16 + 3) = * ( + ) cr supra QQ in tubo demerso. Exprimant et w , altera radium convexitatis apud infi mam aquae superficiem in tubo extracto , altera ipsius aquae altitudinem : ex aqueae columnae aequilibrio pro fluit" ( 110. 1 ° 2°. ) H H K +++ www = = ktö : + H co ; cr ideoque w > z . Si aquae substituitur hydrargyrum , tam suprema quam infima superficies liquidi exsistet conve x2 ; ex aequilibrio igitur hydrargyri in tubo extracto emerget ( 110. 20. ) H H H K + tow == Kt H co CI et consequenter a = 0 si r = 0 .

112. Quae diximus de liquorum ascensu tubulis vitreis, applicari possunt ascensui liquorum in tenuibus cujuscumque materiei tabulis: hinc patet cur liquida ascendendo imbuant spongias, saccharum, ellychnia etc: cur succus inserviens plantarum vegetationi sursum ex terra eluctetur; etc... Istiusmodi corpora vel constant exilissimis fibris, in quibus tanquam in totidem capillaribus tubis ascendit liquidum, vel innumeros habent angustos meatus vicem tubulorum varie flexorum supplentes.

Caeterum methodo inhaerentes, qua D. Pessuti LaPlacianam theoriam ad faciliorem formam traduxit, capillarium luborum phoenomena explicavimus in hypothesi liquidorum eamdem usque ad extimas omuino superficies obtinentium densitatem: non enim nobis in animo est vel leviter attingere novam theoriam, quam de actione capillari anno 1831 edidit D. Poisson.

ACUSTICAE PRINCIPIA[recensere | fontem recensere]

Notiones preambulae[recensere | fontem recensere]

113. Acustica agit de sono: non defuerunt, qui sonum consistere putabant in efluviorum a soporo corpore vibratorum motu quae efluvia ex affrictu, vel contusione sonori corporis ejaculantur atque huic affinis est alia quaedam sententia, quod contusione illa vel affrictu particulae aeris purioris in eo corpore absconditi, vel ipsum circumdantis, expellantur et ad aures usque excurrant. Verum experimento machinae pneumaticae compertum est, quod incluso tintinnabulo vel horologio horas personante in recipiente, ubi aer incipit exhauriri, incipit sonus minui; ubi autem totus exhaustus est aer, nihil jam soni auditur, utcumque pergat tintinnabulum concuti, aut horologium pulsibus affici. Hoc probat sonum non consistere in effluviis a sonoro corpore vibrati cur enim non emittuntur amplius, aut ad aures non permeant, cum imo liberius ob minora obstacula deberent? Ad majorem rei evidentiam ita hoc experimentum instituitur horologium in vitro aere pleno ac probe clauso reponitur, ne aer scilicet inde possit exhauriri tum in recipiente pneumatico collocatur, atque ex hoc educentes aerem animadvertimus sonum nullum audiri. Machina horaria aere circumsepta est ergo nullimode suspicari licet aliquid deesse circa ipsum corpus sonorum quominus sonus exaudiatur.

Dicendum potius non audiri sonum propter defectum aeris intermedii inter utrumque corpus. Porro corpus cum resonat, motu tremulo atque oscillatorio minimarum partium afficitur singulis autem oscillationibus aer corpus tremulam circumdans concutitur, similesque recipit vibrationes, quas in ulteriores particulas aereas pariter defert nisi quod impulsus in circumfusum aerem delapsi atque auditus organum afficientes eo minores ac debiliores fiunt quo magis a fonte recedunt. Enimvero corpora, quae sonora dicantur, tunc sonum excitant quando ita agitantur, ut illorum partes tremulo ac vibratorio satisque rapido concutiantur motu: sic campanae malleo percussae, ratione elasticitatis concipiunt tremoris motum, qui major fit postquam vehementius ac diutius agitatae fuerint: instrumenta musica, dum illorum fides agitantur, simili pariter tremore concutiuntur; hinc est quod chartae frustula resonanti corpori imposita subsultare cernuntur. His positis certum est tremorem similem communicari debere aeri immediate ambienti, et deinde tremorem late diffundi per aereas particulas; nam particulae aeris sonoro corpori proximae illius impulsu comprimuntur; et cum sint elasticae , post compressionem dilatantur, aliasque sibi proximas urgent; atque hoc pacto et illae vibrant, et longe lateque in particulas aereas similis vibratio omni ex parte discurrit. Hinc pulvisculi aeri innatantes, qui radio solis in obscurum conclave intromisso conspicui sunt, agitari videntur si sonus proxime intendatur: pulsato prope stagnantem aquam tympano, validius et crispari, et subsultare aqua pariter cernitur.

Haec notentur. 1º . Vis acceleratrix in vibrante particula resonantis corporis ita pendet a spatiolo quod particulae superest excurrendum usque ad nativam aequilibrii positionem, ut crescente, decrescente , vel evanescente crescat simul, decrescat, vel evanescat; propterea

et quia particularum excursiones exsistunt exiguissimae, erit,
vis nempe acceleratrix assumi potest proportionalis spatiolo .

2º. Non pluribus opus est ut intelligamus (29.4º) vibrationes omnes, sive majores, sive minores ejusdem particulae fore aequidiuturnas.

114. Progignitur quoque sonus ab aere vehementer compresso seseque statim restituente: etenim propter impetum in restitutione conceptum ad majorem, quam in statu naturali occupabat, extensionem perveniet; ac proinde cogetur se rursus contrahere, minusque naturali spatio tenere. His autem successivis contractionibus et expansionibus in reliquo aere pulsus excitantur: sic producitur sonus v. gr. virgae aerem celerrime perstringentis: simili modo qui in tibiam insufflat, sonum gignit; dum nempe per tubi orificium aer insufflatione intromittitur, ille, qui continebatur in tubo, necessario secundum longitudinem comprimitur; unde fit ut is iterum expandatur, tum denuo coarctetur; atque hoc pacto, quamdiu perseverat inflatio, perficiantur oscillationes, hisque sonus progignatur. Certe si aerea columna tubo inclusa non afficiatur nisi motu totius, sonus minime obtinebitur; utcumque vero excitentur vibrationes; ut perceptibilem sonum edant, earum numerus intra minutum secundum non debet praetergredi quosdam certos limites, videlicet 6 circiter et amplius 24000; uti compertum est experimentis Dni Savart.

115. Saepe contingit nos voce elatiori quibusdam in locis loquentes, aliquo tempore postquam siluimus repente audire rursus verba a nobis antea prolata; atque haec est illa echo, de qua plura fabulantur poetae. Philosophi in hoc conveniunt, quod echo sit motus reflexus aeris, qui motu ondulatorio affectus obici incurrens resilit consimili motu, et rursum aures nostras afficiens nos determinat ad eumdem sonum audiendum, quem antea audivimus: ut autem effectus iste contingat, necesse est aliquanto longius a loquente obicem existere. Ratio est quia si obex proximior fuerit, sonus reflexus efficiet in auribus impressionem suam antequam impressio soni directi defecerit; tunc vero non poterit secunda impressio a prima discerni. Aliquando semel tantum, aliquando saepius eadem vox per reflexionem auditur: primam contingit quando ab unico loco vox collecta rejicitur, vel a pluribus, sed ad eamdem distantiam: secundum quando vox in pluribus locis ad diversas distantias collecta revertitur ad aures sensibili successione. Hinc intelligitur quare in vallibus, quas undique colles cingunt, echo saepius iteretur.

116. Non solus aer est medium idoneum transmissioni sonorum: nam per alia quoque elastica fluida propagatur sonus. Vapores ipsi, in quos aqua, spiritus vini etc. attenuantur, sonum transmittunt; etenim si recipiens pneumaticum aere atmosphaerico evacuetur, tum aliquo ex dictis fluidis repleatur, sonus campanae vel horologii adhuc bene audietur: quin et liquores, aqua v. gr. sonum non intercipiunt, sed ipsum debilitatum licet propagant; qui enim intra aquam sunt, audiunt sonos extra aquam editos; et qui extra aquam sunt, audiunt sonos editos intra aquam. Tandem etiam corpora solida deferunt sonos ad ingentes distantias: celebre est apud milites ita terram excavare donec strato alicui bene solido aurem applicare possint, ut ex reboatu agnoscant adventum hostilis legionis, praesertim equitatus; huic strato non raro tympanum imponunt, atque levia corpora tympano imposita ex sonoris tremoribus subsultant.

De intensitate soni; deque ejus gravitate, et acutie.[recensere | fontem recensere]

117. Intensitas major vel minor soni importat majorem vel minorem ejusdem soni vim ad sensationem excitandam, quae proinde in intensiore sono vehementior est, ita ut aures prae violentia laedat aliquando; in remissiore ita debilis, ut vix aliquando audiatur. Iamvero evidens est quod quo plures sunt partes sive in corpore sonoro, sive in aere simul oscillantes, eo plus motus atque activitatis, caeteris paribus, habent; ac proinde vehementius organum auditus pulsare poterunt: quo singularum partium itus et reditus major est, seu quo fortius singulae particulae comprimuntur et restituantur in unaquaque oscillatione sive in corpore sonoro, sive deinde in aere, fortiori item impressione aptae erunt organum auditus afficere. Contra, quo pauciores partes sonori corporis oscillant, eo minus communicabitur motus particulis aeris, et consequenter ab his minus afficietor auditus organum: quo singulae sonori corporis partes unamquamque oscillationem minorem habent, eo minorem item oscillationem in aeris particulis producent, ac proinde impressione minus valida auditus organum concutient. Quod ratione perspectum est, experientia quoque confirmatur; et quod ad sonum, quem vocant primitivum, attinet, corpora densiora, caeteris paribus, magis sopora sunt quam quae ex opposito; atqui hoc nonnisi quia plures particulae in his oscillant simul; ergo ex numero particularum oscillantium sonus major vel minor pendet. Rursum inter corpora aeque densa, atqae elastica, quod validius percutitur validiorem profecto sonum excitat et magnitudo soni magnitudini percussionis est proportionalis: undenam hoc repetendum est nisi ex eo quod validior percussio fortias comprimit atque oscillare vehementius cogit particulas elasticas? Quoad derivatum sonum res constat experimento machinae pneumaticae (113): cum enim exhauriri aer incipit, sonus incipit imminui; atqui hoc est quia aeris quantitas in excipulo imminuitur; et cum rarior evadat aer, minus valide comprimi et restitui ejus particulae debent; neque enim ulla alia probabilis causa est. Condensando insuper aerem in eodem excipulo ultra statum ordinarium, quem tenet in almosphaera, compertum est quod condensatus aer sopam reddit intensiorem; atque hoc quidem ita, ut intensitatis augmentum proportionem servet cum augmento condensationis. Franciscus M. Zannotti diligentius rem exploravit: aerem inclusum vase calefecit; quo pacto aeris elasticitatem auxit, densitate eadem servata, cum nullus permitteretur aeri exitas; et tunc sonus intendebatur, At rima aliqua in vase relicta, per quam aer posset erumpere, tum igne admoto, sonus multo minor visus est quam antea fuerat. Cum igitur, permanente aeris elasticitate, non idem permanserit sonus, rursus patet quod soni intensitas non solum ab elasticitate, et consequenter a magnitudine vibrationum, sed a densitate, id est a numero particularum vibrantium dependet. Nec arte solum ex rarefacto vel condensato aere intensitas soni mutata deprehenditur , sed naturali etiam aeris rarefacti vel condensati constituțione idem evenit: hinc in altissimis montibus, ubi aer rarior est, ac proinde minus elasticus, sonus multo est remissior quam in planitie , ubi condensatione atque elasticitate pollet majori.

118. Ex his explicantur sequentia circa soni intensitatem.

1º. In aperto aere sonus calore minuitur, in clauso vero calore augetur: apertus enim aer, ubi calore afficitur, sese continuo dilatat, adeoque ejus intensitas minuitur, quin elasticitas augeri debeat; quia nempe habet quo se rarefactus recipiat; ergo minor numerus particularum oscillat, adeoque remissior sonus. Contra, si aer undique clausus est, cum densitas eadem manere debeat, elasticitas autem ex calore crescat, idem erit particularum numerus, sed singularum oscillatio propter auctam elasticitatem augebitur; ergo intensior sonus.

2°. Sunt qui dicunt, aestate sonum intensiorem esse, caeteris paribus, quam hyeme; alii contra opponunt, quod hyeme intensior sit sonus quam aestate. Si in re incerta quoad factum et ex circumstantiarum varietate adeo varia ut fortasse determinari non possit , si inquam ratio reddenda esset, ajendum sonum aestate imminui debere, quia aer terram ambiens calore rarefactus minori densitate pollet, ac proinde minor erit numerus particularum oscillantium. Cum autem ex calore elasticitas crescat , hoc capite augeri debet sonus , cum nempe singularum particularum oscillationes validiores debeant. Videndum igitur quid praevaleat; et juxta vel densitatem hyeine praevalentem imminutioni elasticitatis, vel elasticitatem praevalentem aestate imminutioni densitatis, qui effectus sequi debeat.

3º. Hinc etiam explicant nonnulli cur nocte, caeteris paribus, soni majores sint quam interdiu; quia nempe densior est per noctem aer ob calorem minorem; at hujus rei explicatio verior est, quod per noctem, cessante ea aeris commotione quae per diem habetur ex multiplici strepitu, magis aptus sit aer ad soni vibrationes concipiendas et deferendas, organumque auditus nulla alia sensatione percussum aptius sit ad peculiarem aliquem sonum exaudiendum.

119. Discrimen inter gravem et acutum in sono importare profecto debet diversitatem aliquam in motu aeris, quo afficitur organum auditus, atque adeo in motu sonori corporis ex quo in aere motus hujusmodi derivatur; nam cum sensatio sonii ex impressione organi auditorii oriatur, at omnis alia sensatio ex impressione organi proportionati, et impressio ista per motum aeris ad organum appellentis fiat, profecto diversa impressio, quae a sono gravi atque acuto fit, diversum motum exigit tum in aere ex quo immediate producitur, tum in corpore sonoro a quo mediate progignitur; atqui ista diversitas non ex validiori vibratione seu oscillatione majori provenit; ex hac enim quantitas sive intensitas soni (117), non autem qualitas seu tonus procedit; ergo diversitas ista in celeriori seu crebriori vibratione partium aeris, et consequenter sonori corporis, derivanda videtur. Ratio consequentiae est, quia non alia diversitas saltem probabilior in oscillatione partium concipi potest quam, ut haec sit vel major ut scilicet quisque itus et reditus spatium majus percurrat, vel quod sit celerior ut scilicet eodem tempore plures situs ac reditus habeantur. Ergo cum ex primo capite discrimen acuti et gravis repeti nequeat, nihil afferri probabilius potest: quam celeritas oscillationum, quae certe in satione diversitatem afferre debet.

Quoniam vero in rebus physicis natura explorari maxime debet experimentis atque observationibus, ita prosequor. Constat in chordis musicis, eas quae vel breviores sunt, vel magis tensae , vel minoris diametri (nam ex hoc triplici capite diversitas tonorum habetur in fidibus) acutius resonare; contra graviorem sonum reddere eas, quae longiores sunt, vel minus tensae vel majoris diametri: atqui chordae breviores vel magis tensae etc. percussae, plures numero vibrationes pari temporis intervallo producunt, pauciores aliae; hoc patet ex ipso sensuum testimonio: ergo sonus acutus habetur in chordis, quae frequentius dato tempore oscillant; gravis autem etc. In ea insuper proportione, in qua frequentiores aut rariores sunt vibrationes chordae musicae, est etiam magis vel minus acutus sonus: ergo frequentior aut rarior vibratio omnino connexionem habet cum tono per chordam musicam producto; pendetque tonus ex illa frequentia aut raritate vibrationum, tamquam effectus a sua causa. Quod dictum est de chordis musicis, valet etiam in campanis et pocalis vitreis, aliisque id genus sonoris corporibus; haec enim percussa figuram rotundam in ovalem mutant, eorumque proinde fibrae eundo et redeundo oscillare debent, atque ex hac oscillatione sonus oriri colligitur; ut autem gravior vel acutior est sonus corporis, ita in figura immutatio et restitutio seu fibrarum ítus ac reditus rariores sunt aut crebriores. Porro si id in sonoro corpore contingit, ut gravior sonus obtineatur quando minor vibrationum numerus habetur in corpore, jam tunc in aere quoque minor vibrationum numerus haberi dicendus est: siquidem tot numero vibrationes dato temporis intervallo producuntur iu aereis particulis a tremulo motu corporis resonantis, quot ab ipsius corporis sonori fibris seu particulis eodem tempore peraguntur; et vice versa quot in aere gigni ac propagari vibrationes constat, totidem in ipso corpore resonante produci dicendum est.

120. Dum plurium corporum sonus ita temperatur ut gratus sit auribus, dicitur consonantia seu concentus, si ingratum sonum produxerint, appellamus dissonantiam: in sonis ita temperandis ut sint jucundi, ars musica versatur. Tonus musicus seu consonantia pendet ex eo quod certo tempore certus vibrationum numerus a pluribus sonoris corporibus peragatur, et particulis aereis communicetur. Si duo vel plura corpora sonora intra idem tempus vibrationem absolverint , consonantia est omnium perfectissima , et sonus dicitur unisonus ; si eodem tempore unum corpus unam , aliud duas vibrationes expleat, consonantia haec dicitur octava: ita appellatur ex eo quod per quandam tonorum seriem ascendendo hic tonus a musicis octavo loco constituitur. Si eo tempore quo unum duas vibrationes, aliud tres absolvat, adeoque secunda unius cum tertia alterius concurrat, dicitur quinta: si eo tempore quo unum tres, aliud quatuor vibrationes conficiat, quarta nuncupatur; atque istae sunt consonantiae illae, quas Pythagoras advertisse traditur, dum quinque fabri malleis ferreis massam ferream contunderent. Consonantiae istae in vibrationibus chordarum inventae sunt ; imo etiam alii successu temporis consonantiae gradus additi , quos diligenter musicae scriptores explicant. Si videlicet numeri vibrationum , quas dato tempore chordae musicae efficiunt , sunt ut chordae illae edent notissimos tonos do, re , mi , fa , sol , la , si , do: constat experimentis saepissime iteratis; etenim chordae homogeneae , aeque crassae , eodemque pondere tensae , quarum longitudines sint uti praefatos tonos edunt.

Haec subjungimus circa exiguissimas chordarum vibrationes.

1°. Chorda homogenea (Fig. 59) uniformiter crassa ubique tensa aequaliter, punctisque et fixa, traducatur ad datam formam curvilineam ; tum sibi relinquatur: pro quovis temporis momento determinanda proponitur curva , in quam abit chorda. Sint et coordinatae orthogonales; longitudo chordae ; massa; tensio: in ea qua sumus exiguissimarum vibrationum hypothesi, maxima chordae elongatio ab aequilibrii positione cum sit ferme insensibilis, haec obtinebunt quamproxime. Primo: apud quodvis chordae vibrantis punctum Seadem vigebit constanter tensio . Secundo: movebitur juxta directionem respondentis ordinatae. Tertio: denotante a angulum tenuissimum interceptum tangente et abscissarum axe , erunt . Quoniam exercetur juxta vibrantis chordae longitudinem; sumptis arcubus infinitesimis , denotabunt directiones tensionum apud : resolvatur tensio juxta in duas, quarum altera existat parallela rectae , altera perpendicularis eidem ; et idipsum fiat quoad tensionem juxta . Componentes parallelae axi se mutuo destruent; componentes vero perpendiculares ipsi exprimentur per versus , et Osini atda ) versus S , seu per Ox et Oatd « ). Superest igitur vis - Oda gignens motum juxta SO : differentiale da sumendum quoad x tantum, utpote denotans variationem anguli a in eadem curva AC " B. Quisque videt --Oda esse vim motricem, cujusmodi est tensio : propterea, designante dm elementum massae , exprimetur per Oda dm ∶≀≤↓⇟≓ miter crassa, ubique tensa aequaliter, punctisque A et B fixa, traducatur ad datam formam curvilineam AC"B; tum sibi relinquatur: pro quovis temporis momento de- terminanda proponitur curva AC"'B, in quam abit chorda. Siut AO (:æ) et S'O (::y) coordinatae orthogonales; ' h longitudo chordae AB; M massa;9 tensio: in ea qua sumus exiguissimarnm vibratiouum hypothesi, maxima chordae elongatio ab aequilibrii positione cum- sit ferme in- sensibilis , haee obtinebunt quamproxime. Primo: apud quodvis chordae «vibrantis punctum S' eadem vigebit constanter tensio 9. Secundo: movebitur S' inxta directio- nem SO respondentis ordinatae. Tertio :denotante et an- gulnm tenuissimum S'EA interceptum tangente S*E et abscissarum axe AB, erunt ut :sina −∙−−−− tangat ; cos at −−−∶↿∙ Quoniam exercetur 9 iuxta vibrantis chordae longitudinem : [snmptis arcubus infinitesimi: S'i , S'i', denotabunt S'i et S'i' directiones tensionum apud S': resolvatur tensio iuxta Si in duas , quarum altera existat parallela rectae AB, alte- ra perpendicularis eidem AB; et idipsum fiat quoad ten- sionem iuxta S'i'. Componentes parallelae axi AB se mu- tuo destruent ; componentes vero perpendiculares ipsi AB exprimentur per Osina versus O, et 9sin( at-l-dat) ver- sus S , seu per 90: et B(a-I—dat). Superest igitur vis —9dat gignens motum juxta SOI: dili'erentiale dat sumendum quoad, utpote denotans variationem anguli & in ea- dem cnrva AC'"B. Quisque videt —-9dat esse vim motri- cem , cuiusmodi est tensio 9: prapterea , designante dm elementum massae , exprimatur per Gala "2711-255 respondens vis acceleratrix. Ob uniformem chordae cras sitiem , dx h dm M Mar ideoque dm = h

insuper a = tang a = dy dx ; sumptisque differentialibus quoad x , da dany dx dx² Facto itaque compendii causa on M superior expressio vis acceleratricis traducetur ad d²y C2 dx² unde ( 28 ) day da(SS) dia d ” (SO - SO ) dc2 d²y dx² de² seu 1 255 respondens vis acceleratrix. Ob uniformem chordae cras- sitiem , , ideoque dni ∙∙∶−− —-—de ; 9."M :. da: ∙∙∙⋅ h −∙− insuper at:—— tangat-agi ; sumptisque diiferentialibus quoad a: , data:-dv dx dx: ⋅ Facto itaque compendii causa 911 ∙∙−∙∙↽−∙∶∘∙ ∙ M superior expressio vis acceleratricis traducetur ad da ⋅−∘⋅⊒≀−⋛−⋮⋅ ∙ nnde (28 ) ,↶≀≖↗∙∙ irss; -dz(so-s'b) ∙∙∙ a., c dx" dt: d? d;: — ' sen256 day c2 day dia (a) . dx2 Formula ( a) suppeditat quaesitam problematis solutionem. 2. • Fac ut vis acceleratrix sit ut 1 , nimirum day C'y ; erit dta der · c? day dx2 C'y 1 seu tör so . dra Inde habemus ( 27 , 27.0 ) VVT y=CC + C, e с - CV-4 evanescente X , evanescit et y ; hinc C = -C, , et con sequenter ( 27. 30. )

  • V0V1

y = C , [e - *70V1 1 = 2011'sin rc=2C1V= 1sin 2 VMCMC h9 facta x = h , evanescet y ; proinde sin k V MC ik V MC' ho TT C' = OTE2 LM . ho 9 ordinata CC " respondens abscissae AC ( **) 256 ∙ da,, ⋅ −−↙⋮∎⋅≒↿∣ dx? :d—t; (a) . . jl C: Formula (a) suppeditat quaesitam problematis solutionem. * 2." Fac ut vis acceleratrix sit uty , nimirum ' lude habemus (27. 27.?) f.. t/CV −−↿ -..-z ∁∣⇂∕∶⋅↿⋅ yiL-3010 c ⊣⋅∙ O; 6 - c : evanescente a:, evanescit et )" , hinc C,: ---Cl , et con- sequenter (27. 30. ∘ ) ⋅−∙⊽⋮⋅∣∕∁⋅⇂∕∶↿ ... ⋅⋮∸−⇂∕∁⋅⇂∕∶↿ c c y-—-—C,[e -—e ]∶∶ 2C1V —-1 'sin −⋅⋮−− ∣∕∎∁⋅∶⊋∁∎≖∣∕∶−↴ sinx 9:709. : facta x:h , evanescet y; proinde . ⋅∙∥⋅∪⋅∙∙ VH?" 97:- "[III 119 ∙−−−∘∙≀∙ WC;", (:::-IIM: , ordinata CC'" respondens abscissae AC (;.-ä 11) ex- '257 hibeatur per y ' , erit

= - 20, vt in . V MC =20,V = tsin.V MORE

TT 2C,V -1 sin î 2C, V 31 . Propterea 2 = sin - 77 ()a' ) ; aequatio ad curvam ACB. 3.° Per ty denotetur tempus unius semivibra tionis ; erit ( 29. 3.° ) TT 1,5 2V C VhM

0 et consequenter tempus unius vibrationis hM ta VRM Ad haec : designante n numerum vibrationum , quae ip tra temporis unitatem absolvuntur , exsistet 1 V TANTE 12 In hypothesi chordae cylindricae habentis radium r el densitatem , erit M = fErPhò ; ideoque 257 hibeatur per J", erit . -—- . ': MC' −− ∙ h M9112 r;.—20. ⇂∕⋅−↿ sm ∙− ∙−−−⇌⊋∁≖⇂∕⋅−∙↿ 810 2— IPGM :: 2 116 ∙−− 7! −∙∙ ≢∁⋅↾∕∙−↿ sin ∙−⇇∋∙− −−−∙⇌ my.—1 . Propterea yzy' sin :; 71 (a') ; aequatio ad curvam AC'"B, 3.0 Per t. denotetur tempus unius semivibra— tionis; erit ( 29. 33 ) et consequenter tempus unius vibrationis .:Vg. Ad haec: designante n uumerum vibratiouum, quae in- tra temporis unitatem absolvuntur , exsistet In hypothesi chordae cylindricae habentis radium r et densitatem 8 , erit Mr.-:Ttrïhö ; ideoque558 13=rkVis, n - EVO 4. • Facta Osy. , velocitas puncti S in fine temporis ( erit ( 29. 1.° 2.° ) v = y.Vī sine VC -Yosin hinc ( 29. 1. ° ) =V 9. C - 02 C yo V1 - sin’LVA yo coseV C sy= . COS cos r. Simili modo , facta CC“ =jo , velocitas pancti C in fine temporis ( erit 7 t yo sin Ti; simulquey'= y's cososeme- T ; ta et aequatio (a' ) ad chordam vibrantem poterit scribi in hunc modum y = yo com-A sin C -TT h ( á '). 5.° Si abscissae x in ( a) substiluitur vel anh vel ( 2n + 1) h, prodibit y = o quotiescumque n aut erit =0, aut erit quivis numerus integer : binae videlicet 558 9 ≄≖−⊣⋅↗≖⇂∕∂ ∙ ∙≖⋮−−⇀⊑⋅−−≀≖ '?Eä' 4.0 Facta OS;-:]. , velocitas puncti S in line temporis : erit (29. 1." 2.') v': J/ö' sint t/"ä ∶∶−∶−≖−∫∘ sin-;- tt !- 8 hinc (29. 1."-) ∙⊺∶−−−∙∙⇂∕⋅↗⇗ (S'—v ∙−−− J. l/1—s1n'q/ Q':: j'. costV C' :y, cos ∙⋮− 11. 2 Simili modo , facta CC ∙−−∶ y'.. , velocitas puncti C" in fine temporis :erit ' n s ∙ t ∙ ' ' : si:—y., s1n——1r;stmnlquey-:yocos—1t ; t

, :,

et aequatio (a') ad chordam vibrantem poterit scribi in hunc modum ∙−− ' cst nsinæn ⋅ (a") J—yo O.t2 h . 5.0 Si abscissae a: in (a") substituitur vel an]: vel (a'n-l-nh, prodibit yzo quotiescumque 11 aut erit 20, aut erit quivis numerus integer: binae videlicet Je!259 x = 2nh , ( 2n+1 ) h spectabunt ad quiescentia chordae vibrantis puncta. In ferimus illud : chorda AB produci potest ultra limites A et B quin puncta A et B per iteratas chordae vibra tiones a statu quietis dimoveantur , etsi puncta illa poo nuntur de se mobilia ; modo tamen AB in eamdem ac antea conformelur initialem curvam , eidemque subjiciatur tensioni : imo sumpta BH = HH' = =h , ita vibra tiones suas conficiet chorda ABHH ' . ut puncta A, B , H , H ', ... in quiete persistant. Ad istiusmodi vi brantis chordae figuram quod pertinet , sit v . gr. HD HD = AO = x ; erunt AD = AH -HD = 2h - x , AD = 2h + x : in la " ) substitue prius 2h-x , deinde 2hta loco x ; provenient ordinatae yı ety respondentes punctis D et D ', nimirum visy.cos Ti sin ( 2 a sin 16 는 (2-m ) R = my'o cos t2 sa= com sin ( 2+ )n = foco na sio ža . Igitur y = -y, ya= y : ordinatae scilicet y , y , sunt aequales , et ad eamdem plagam obversae ; ordinatae ve ro y , y sunt quidem aequales , sed obversae ad con trarias plagas. Chorda itaque dividitur in partes alterna tim vibrantes supra et infra rectam AH'. 6.** Quoad (a) generatim spectatam ; denotanti bus f et F binas functiones arbitrarias , satis hic erit animadvertere eam expletum iri per y =-flatct) + F ( x - ct) (a ' ' ) ; siquidem 259 a.:2n71 ∙ :r (2n—l-1)I; spectabunt ad quiescentia chordae vibrantis puncta. ln- ferimus illnd: chorda AB produci potest ultra limites A et B quin puncta, A et B per iteratas chordae vibra- tiones a statu quietis dimoveantnr, etsi pnncta illa po- nantur de se mobilia; modo tamen AB in eamdem ac antea conformetur initialem curvam, eidemque subjiciatnr tensioni: imo sumpta BH −−−−− HH' :: ... zh , ita vibra- tiones suas conficiet chorda ABHH' . .. , ut puncta A, B , H , H', ... in quiete persistant. Ad istiusmodi vi- brantis chordae figuram quod pertinet , sit v. gr. Hl): HD'zAOsæ; erunt AD;:AH-HDzah-æ , AD':.2h-l—æ : in (a") substitue prins alz—a:, deinde Zh—l-æ loco :; provenient ordinatae y. etj, respondentes-punctis D et D', nimirnm ' tnsin(2 −⋅⋮≻↿∎∎∶ 'cos tu' æ fac:-Tou." (: 'l "70 :: Olli-i:". , s ∙ æ , t . æ Jar—jre cos-1t am (2 −⋅⊢ --)1t :yocos —-1t sm --1t . - :, h : 11 Igitur y. ∙∶−−−∙ −∫∙ ∙↗≀≏−−−−−⋮↗↟⇌ ordinatae scilicet y , ;, sunt aeciuales , et ad eamdem plagam obversae; ordinatae ve- ro y, y, sunt quidem aequales, sed obversae ad cou- trarias plagas. Chorda itaque dividitur in partes alterna- tim vibrantes supra et infra rectam AH'. 6 ∙∘∙ Quoad (a) generatim spectatam; denotanti- bus f et E binas functiones arbitrarias , satis hic erit animadvertere eam expletum iri per Fnæ-l-ct) −∣⋅− P(æ—ct) (if") ; siquidem'260 dº[fix + c ) + F(x – ct) ]_da[fixtet) + F (x – ct )] . do[ ) dt2 7 . ** Velocilas puncli S in fine temporis i prodit expressa ( 28) per dOS - OS') dt dy dt [flatct)-F"(x – ct)]: initio motus , quum nempe t = 0 , est v=0 ; iccirco c [ f '( x )-F'(x )] = 0, $' ( x)=F" ( x) , et f (x ) = F (x ) ; aequationes igitur determinantes et curvam ASB , et ve locitatem traducentur ad y = f(x + ct) + f(xớctct), v '= -c[ f '( x + chf'( x - ct) ] . Facto t = 0 , istarum prima praebebit y = 2f \x ) , aequationem videlicet ad curvam datam ACSB : ex hac itaque curva pendet natura functionis f. Caeterum , ge neralem de integratione differentialium partialiumque ae quationum doctrinam suo tempore videre erit in parte 3.4 nostrorum elementorum Matheseos n. 200 , 201

121. Si chorda instrumenti musici percutiatur, et prope adsit instrumentum aliud, in quo chorda sit ad unisonum cum, priore tensa, haec alterius instrumenti chorda sensim tremere incipiet, et undulationes sensim maiores concipiendo ad sonum ipsa quoque excitabitur eumdem tonum reddendo quem prior illa chorda percussa reddit. Jam vero si ad hujus rei rationem attendas, plana erit juxta theoriam traditam: sicut enim pendulum quiescens etiam minimo impulsu, uti est qui ex iusufflatione procedit, ad motum oscillatorium minimum primo concitabitur, et si in suflationem saepius repetas, poteris sensim oscillationes majores, ac majores perficere (tunc tamen id fiet quando novi isti impulsus certa periodo, parique intervallo habeantur; si enim pendulum contra insufflantem venit, insufflantes rursum potius motum impediemus quam adjuvabimus, atque ideo finita una oscillatione debet opportune rursus alius impulsus addi, sicque ubi oscillationes penduli et novi impulsus certa periodo sibi respondeant, effectus habebitur) ita in chorda praefata evenit ut tremitus concipiatur et augeatur; donec excitetur sonus; quia nempe oscillationes unius chordae consentiunt cum oscillationibus ad quas altera determinabilis est, iccirco ex repetitis chordae percussae undulationibus, quae sunt isochronae undulationibus alterius, obtinebitur ut hae augeantar donec sonus excitetur in chorda etiam plectro minime percussa. Ex hac doctrina infero: ergo in utraque chorda oscillationes sunt pares numero; ergo cum tonus ab utraque redditus idem sit, tonus igitur a numero vibrationum hujusmodi pendet.

Ad magis declarandam traditam doctrinam de acutie et gravitate sonorum, utile erit non nulla hic explicanda proponere circa chordas vibrantes.

Ac 1º. quamvis chordae non sint unisonae, attamen una percussa, alia sonum edit, si modo tensae sint ad octavam, aut alias quasdam habeant armonicas proportiones.

2º. Si duae chordae tensae sint ad octavam, et pulsetur chorda longior; quae dimidia ejus est, reddet tonum sui proprium, scilicet octavam acutam; at si pulsetur chorda brevior, excitabitur in longiore tonus non sui proprius, scilicet ad octavam gravem, sed tonus chordae brevioris.

3º, Refert Sauverius hoc phoenomenon: chorda longa 5 ped. percutiatar, et notetur tonus; tum ad distantiam unius pedis ponatur supra chordam leve aliquod obstaculum velati plumae frustulum, quod tamen non impediat molus communicationem: si quinta haec chordae pars pulselur, tongm efficiet proprium chordae unius pedis; hunc autem ipsum tonum reddit etiam reliqua chordae pars, etsi quadrupla. Rursum si obstaculum ponatur post duos pedes, eveniet ut pars brevior citius oscillet, et longioris motum perturbet; subinde utraque chordae pars ita, sese componet; ut vibrationes eodem tempore compleat: tunc vero tonus reddetur neq w proprius chordae duorum pedum, neque trium, sed proprius chordae unius pedis.

Ad primum quod attinet, quoties duae chordae lensae sunt ad octavam, jam vibrationi unius chordae ,respon dent duae vibrationes alterius; ergo quamvis singulae , O scillationes non conveniant, adeoque tremitus aeris non re novet impulsum in alia chorda post singulas ejusdem oscil lationes, renovari tamen potest impulsus hic post binas ; eo ipso poterit chorda ad octavam tensa , etsi difficilius , ad oscillandum determinari ex alterins oscillationibus. Idem valet de aliis chordis quae eam habent proportionem ut oscillationes recurrere possint post aliquem ipsarum nu merum: ac proinde illae, quae vel ejusmodi recursum non admittuut , vel quarum recursus majorem postulat' quam par est vibrationum numerum, non ita invicem ad reso nandum poterunt determinari.




Ad secundum: quod chorda brevior resonans ad pulsationem longioris reddat tonum sui proprium, cohaeret cum doctrina jam tradita: quod autem chorda longior reddat Lonum proprium chordae brevioris non officit; etenim si chorda sit dupla , quasi in duas dividetur, neque tota oscil Jabit ( 120..5º. ) per modum unius, sed habens in medio punclum quiescens, seu nodúm, oscillabit seorsim in sin gulis dimidiis partibus, ac si, scamould adjecto , bifariam arte divisa esset ; , et si chorda ' triplo sit longior , ia - tres partes aequales dividetur: quo posito , nil mirum quod chor da dupla non sui proprium tonum , sed tonum subduplae reddat, et tripla sonum subtriplae. ic 0 at LE 262 chordae pars pulsetur, tonum efficiet proprium chordae n- onius" pedis; hunc autem ipsum tonum reddit etiam reliqua chordae pars,; etsi quadrupla. Rursum siobstacnlum pona- tur post duos pedes'. eveniet ut pars brevior. citius oscil- .let,. et, longioris motnm perturbet; subinde utraque-. chor- dae pars ita sese componet", ut vibrationes eodem tempo- re compleat: tunc vero tonus reddetur neq ,.: proprius chor- dae duorum pedum, neque trium, sed proprius [chordae u- ,niuspedis. ↴ ⋅⋅∶⇟⋡∢⋅ ∙

Ad tertium: idem Sauverius hanc in Academia Pari siensi explicationem attulit . Dum chorda nullo obstaculo apposito pulsatur, vibrationes efficit toti suae longitudini proportionales: at dum leve illud obstaculum apponitur post pedem unum , undulatio totalis chordae dividitur ; prima enim pars chordae , utpote quinta chordae totius , quinquies citius oscillare debet quam oscillaret integra chorda : sic citius oscillando abripiet partem sibi proxi mam in vibrationes aequales ; secunda pars tertiam, atque ita singulae quinque partes seorsum oscillationes pera geat. Alterum vero, quod magis est admirabile, ila ab eo dem auctore explicatur ; pars brevior chordae, scilicet duo rum pedum, citius oscillans quam reliqua , secum abripit per sui motus communicationem partem sibi similem, nem pe duorum pedum; in quinto autem pede oscillationes e tiam communicantur, quae cum esse debeant longitudini proportionales, duplo crebrius oscillabit extrema haec chor dae pars quam reliquae; proinde ista sibi proximam unius pedis partem trahet ad analogas oscillationes , et secunda tertiam atque ita de reliquis , donec in hoc etiam casu quin que chordae partes oscillent juxta longitudinem propriam , et consequenter sonum reddant respondentem longitudini upius pedis.

122. Quaeri potest quomodo sonus trans obicem queat communicari ita, ut tonus proprius sonori corporis permaneat; nam fibrae, seu partes elasticae obicis puta parietis aut cancelli vitrei, ad motum concitatae vel sui proprium tonum reddere debent, vel si dissimiles sint, plurium tonorum mixturam, quod non accidit. Respondeo nullam esse difficultatem, si immediate per aerem soni propagatio habeatur, etiam intermedio exsistente obice. Quod si per obicem sonus diffunditur, in ipso admitti possunt partes aptae diversos sonos reddere aerique transposito communicare; atque ita, ut ille sensibilis sit trans obicem tonus, qui a partibus analogam oscillationem habentibus cum sonoro corpore communicatur. Forte etiam dici potest, quod si fibrae non habentur aptae eum tonum reddere, dividantur, ut in chorda non unisona contingit, adeo ut idem tonus transmitti possit.

123. Quoniam de tonis, ex quibus qualitas soni denominatur, egimus; quaerendum esset unde asperitas aut lenitas, quae pariter ad qualitatem quamdam soni pertinet, proficiscatur. Animadverte sonum quemcumque non esse simplicem, sed compositum e sono plurimarum sonori corporis partium: sic chorda musica percussa non simplicem edit sonum, sed quemdam veluti concentum edicit , qui a peritioribus musicis probe dignoscitur; in quo tamen cum fortior tonus praevaleat, alios minores obruit: coexsistunt videlicet in chorda sonora, et generatim in quovis particularum systemate, variae exiguarum oscillationum species.

Imo vero non tantum sonorum ipsum corpus attendendum est plerumque v. gr. chorda musica, sed instrumentum ipsum cui chorda adhaeret: variae insuper reflexiones animadverti debent, quibus aer ad aurem deveniens diversas subit modificationes. Itaque si vibrationes partium sonori corporis sint homologae, sonus lenis erit; si contra, asper: atque hinc aspere sonant chordae inaequales in materia, crassitie etc; item ex reflexione aequabili atque uniformi sive instrumenti, cui chorda adhaeret, sive circumstantium corporum, lenitas soni orietur, asperitas ex opposito. Bonum erit observare quod chorda musica vehementius quam par est distracta stridet; quia videlicet valde percussa non eam servat legem quam in moderatis percussionibus obtinet ut sub eodem tempore oscillationes suas sive majores, sive minores absolvat; sed continget ut tempora oscillationum inordinate mutentur, stridorque pro tono solito erumpat.

124. Haec notentur

1º. chordarum vibrationes hactenus consideratae, dicuntur transversae: quae nimirum obtinentur chordam percutiendo in directione ad ejus axem perpendiculari: quod si atteratur chorda in directione ad ejus axem parallela, adhuc sodos edet, sed, caeteris paribus, multo acutiores quam qui ex vibrationibus transversis progignuntur; idque ex eo repetendum esse videtur quod elasticitas propria chordae in vibrationibus longitudinalibus validior sit quam in transversis.

2.° Ubi in longitudinalibus vibrationibus chordarum obtineant nodi, motus ita fiet ut partes hinc illinc circa podum quemlibet positae simul ad ipsum nodum accedant, simulque alternatim recedant.

3º. Corpus omne, dum resonat, dividitur in plures partes vibrantes invicem separatas lineis, quae vocantur nodales, quaeque oculis subjiciuntur spargendo per superficiem corporis minutissima arenae grana: haec enim super lineis illis acervari observantur. Nodales propterea lineae modo sunt rectae, modo curvae, modo ex rectis simul et curvis coalescunt.

4.º Mutata nodalium linearum figura, plerumque mutatur et sonus; semper autem acutior vel gravior evadet sonus, prout corporis superficies in majores vel minores numero parles vibrantes dividetur ab ipsis noda libus lineis.

5.° Laminae rigidae ex ferro, vitro etc. in transversis vibrationibus absolvendis sequuntur leges alias ab illis, quas sequuntur chordae.

De directa soni propagatione per aerem.[recensere | fontem recensere]

125. Experientia nos edocet quod in iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitate in toto decursu devehiеur; atque omnes soni , sive intensi , sive remissi , sive graves, sive acuti eadem velocitate diffunduntur.

Nam 1.º Academici Florentini ad percurrendam distantiam unius milliaris sonum tormenti bellici impendisse quinque secundorum tempus experti sunt, ejusdem vero tormenti sonum ad conficiendum dimidium milliare impendisse dimidium tempus testantur aequabili nimirum velocitate perrexit sonus. Derhamus saepius repetitis experimentis idipsum invenit, adeo ut ab uno ad duodecim milliaria sumens intervalla invenerit aequale spatium aequali tempore in quavis a sonoro corpore distantia confici.

2.º Prope sonorum corpus intensior est sonus, remissior in majore a sonoro corpore distantia atqui tam prope quam procul a sonoro corpore aequali velocitate pergit sonus ergo tam intensus, quam remissus etc. Hoc ipsum institutis ad id experimentis etiam constat Gassendus sclopeti et tormenti bellici fragorem eodem tempore pervenisse affirmat, cum eodem tempore exploderentur. Florentini et Derhamus in diversi generis tormentis idipsum evenisse notant itemque tormenti bellici minoris et mallei fragorem idem unius milliaris intervallum confecisse eodem tempore. Certum est ergo tam intensum, quam remissum etc. Huc spectat quod Derhamus quoque notat post Florentinos, scilicet eodem tempore sonum ad aures pervenire sive tormentum ad observatorem convertatur, sive ad contrariam plagam videtur enim intensior in eam partem, in quam tormentum dirigitur, esse debere sonus.

3.° In concentu sive ex instrumentorum pulsatione, si malleorum ictibus etiam ad satis notabilem distantiam dignoscitur tonorum successio eo praecise ordine, quo ictus varios tonos producentes habentur successive, et quidem sine sensibili temporis mora atqui si toni diversi non eadem propagarentur velocitate, jam qui toni successive habentur, non successive atque ordine illo ad aures venirent ergo etc. Erit fortasse qui quaerat qua ratione fieri possit ut sonus in quavis distantia, sive intensus, sive remissus, uniformiter propagetur. Respondeo: eadem materiae quantitas eodem tempore, tum ex vi majore, tum ex minore, undulare potest ergo eadem aeris portio, seu unda ejusdem latitudinis, eodem tempore potest undulationem perficere, sive ex majori, sive ex minori vi impellente. Antecedens est evidens; pendulum enim idem , adeoque eadem massa , eodem tempore oscillationes peragit sive magis , sive minus impellatur ad oscillandum: ergo a pari eadem aeris quantitas oscillare potest sub eodem tempore sive ex majori , sive ex minori impulsu. Sed si eadem aeris quantitas aequali tempore potest comprimi et restitui , jam eodem tempore potest sonus, ad datam distantiam pervenire , sive intensior , sive remissior: haec minor est evidens; si enim eadem est latitudo undae , idemque tempus, jam eodem intervallo temporis spatium datum a sono conficietur; ergo sive intensus sit , sive remissus , seu vi majori aut minori aereae undae propellantor, eadem esse potest soni velocitas.

Quid ergo provenit ex hoc quod in sono intensiore vis major aerem impellat? Nempe quod ejusdem latitudinis unda, licet eodem tempore conficiatur , compressionem tamen ac restitutionem patiatur validiorem , vel languidiorem; sicut in pendulo accidit , quod eodem tempore oscillans ex impulsione maiori oscillationem concipit magis validam , et minus ex vi minori. Atqui hoc idem praestat minorem intensitatem , non autem minorem soni velocitatem . Ostendo: intensitas soni pendet a vi , qua in organum appellunt aeris particulae ; ergo si vi majore condensantur , et restituuntur , intensiorem efficient soni sensationem; at velocitas ex dictis pendet a latitudine undae, et tempore quo perficitur: neque latitudo immutatur , neque tempus; ergo non mutatur velocitas. Quod autem neque latitudo , neque tempus mutetur , ita probari potest. Latitudo enim undae , seu aeris quantitas ad oscillandum per modum unius determinata , ea esse debet quae potest obtemperare vibrationibus sonori corporis , a quo unda producitur , quaeque potest oscillationes suas eodem tempore complere quo sonorum corpus oscillationes suas perficit: ergo latitudo undae proportionari debet tempori quo sonorum corpus perficit vibrationes suas. Atqui sive intensior , sive remissior sit sonus, tempus quo sonorum corpus vibrationes suas complet , est ( 113. 2.°) semper idem; ergo item latitudo undae aereae eadem esse semper debet. Idem probat simul, quod sicut eadem latitudo, ita idem esse debet tempus quo unda perficitur. Et sane si tempus mutaretur , deberet quoque mutari tonus: atqui idem manet tonus in quacumque distantia a sonoro corpore , et quidem sive corpus resonet intensius , sive remissius; ergo etc.

Hinc dum de sono agitur duplex in motu undae aereae velocitas distinguenda est: altera importat tempus quo unda conficitur , seu quo segmentum aeris datae latitudinis oscillat ; altera importat motum particularum aerearum itum et reditum perficientium in ejusdem undae efformatione.

Quaeri hic potest in quanam ratione intensitas soni minuatur in progressu . Reponunt communiter quod intensitas soni est in ratione duplicata distantiarum inversa a centro soni : rationem afferunt , quia sonus quantum est de se aequabiliter undequaque diffunditur in modum sphaerae. Atqui ex hac aequabili in modum sphaerae diffusione sequitur decrementum in ratione praedicta ; nam si ita diffunditur , debet in ea proportione intensive decrescere , qua extensive augetur , sea qua latius materia , cui communicatur motus , sese expandit ; sed hujusmodi extensionis augmentum est in ratione duplicata distantiarum ; hanc enim rationem sequuntur sphaericae superficies : ergo etc... .

126. Sit c velocitas , qua propagatur sonus ; distantia inter vibrantem sonori corporis particulam et particulam aeream : exprimet tempus a sono impensum ad percurrendam distantiam  ; motusque particulae vibrantis nonnisi post tempus I = pertinget ad aeream particulam: propterea substituto 2— —c- 'a duabus ulti- mis formulis(29. 5."), si : ∙−−≜−⋅ incipit ab 0 , ultraque progreditur, determinabitur aereae particulae motus per» ∙ 271: A , 9 211 .A. ∦⋅⇋↙∁∘∎∐∙−⊖−⋅≺∁−−∘−−≻ , szC-Z-n' 008 ! j(t—z). F30i20,1t,2,3,4,-...,act—-e—:i9,tln- c de habes A:c(t—-i9): erit ⇂↓∣∶⇂∕∁ sin 21'12:o. Sumptis ergo distantiis Azct, c(t—G), c(t—29), c(t—BG), ..., uulla velocitas v' ibi invenietur : aer proinde in locisi il- lis omnino quiescet quando desinit tempus :; eritque n— sque ad Ar.-ct in plureswundas distinctum similes et aequa- les ; quarum communis latitudo ::09 ; numerus vero

∆−∘−⊖− ⋅ ∆ Quantitas l/C sin −⋛≖−≺ t — A;) manet positiva ab t — 30- :::-id ad : 2 — (i ] &) 6 ; manet-negativa A . A . ⋅ ∙ ∙ ∙ ab t—-—c- :::(12-l-ä)9 ad t— -c—-.-:(1-l-1)9. Ertt 1g1- tur v' positiva inter A———-0(t—i9) et A −−∶ c [t—(i—i—ä— )9]; erit negativa inter Ach-t—(i—i-ä-W] et A:c[t—(i-l—1)9]. in tribus hisce distantiis est praeterea v':o. Ergo quae- libet ex dictis undis constat duabus partibus aequalibus ; recedit aereum fluidum ab oscillante sonori corporis par- ticula in anteriora parte, accedit in posteriore; quiescit stra-270 tum medium ; maxima viget aerearum particularum velo citas in medio semiundae anterioris ; maxima item in me die semiundae posterioris.

127. Soni velocitas augetur a vento secundo, minui tur ab adverso. Derhamus videns ab aliis affirmari nullam mutationem afferri a ventis circa soni velocitatem , hanc rem statuit explorare ita exacte et diu , ut ambigendi lo cus omnis tolleretur. Ad hoc autem summa ipse fruens opportunitate experimenta habebat omnino in promptu . Nam cum ex arce Blancheath , ubi tyrones rei tormenta riae exercebantur , saepe exploderentur tormenta bellica , ipse e sua Ecclesia in agro Upminsther ad 13 milliaria distante flammam advertere poterat ; animadvertit autem optimo usus chronometro non semel aut iterum , sed triennio integro. Porro ex tabula , quam observationum suarum confecit, quaeque habetur in Transactionibus An glicanis, et a Masschembroekio descripta fuit in suis com mentariis ad lentamina Florentinorum , constat quod so ni velocitas inter tempus quo ventus favens spirabat , et contra venius sono adversus erat, cum scilicet in utro que casu yentus validus admodum esset , discrepat un decim semisecundis circiter in praedicto intervallo. Ergo experimentis hisce insistendo dicendum augeri secundo ven to soni velocitatem , imminui autem etc. Derhami observationibus consentiunt observationes Aca demicorum Parisiensium , qui anno 1738 exploraturi ve locitatem soni jussu Regiae Academiae pariter testantur non eandem esse adverso ac secundo vento velocitatem qua propagatur. Rationis momentum experientiae suffra gatur : nam ventus transfert loco aerem ; ergo undas so noras ad oscillationem a sonoro corpore impulsas trans fert ; ergo tantum accelerari debet propagatio soni , quan tum aeris sonori translatio ratione venti importat. Opporluna est comparatio circulorum in aqua exci latorum ope lapilli decidentis : si enim aqua non sit sta 270 tum medium; maxima viget aerearnm particularum velo- citas in medio semiundae anterioris; maxima item in me- die semiundae posterioris.

271 SUS asserue gnans sed fluens aequabili motu ; jam dum post lapidis descensum circuli successive efformantur , lota ipsa aqua, in qua efformantur circuli , localiter transfertur ; ergo circuli appellent ad datum locum citius in eam partem versus quam defluit aqua quam ad alteram in eadem distantia ex opposita parte : ita paritate rationis in sono. Iis , quae . modo diximus , objici possunt experimenta Cl. virorum qui de velocitate soni nihil immutari pror sive secundus sit , sive adversus ventus runt. Gassendus enim , et Mersennus id sibi accidisse te stantar ; et Academici Florentini , collocatis observatori bus inter se duo milliaria distantibus , dum ventus spi raret , asserunt tormenti bellici , quod medio illo inter vallo situm erat , fragorem pervenisse eodem tempore ad utrosque , etsi aliis faveret ventus , aliis esset contrarius. At cum experimenta recte instituta aliis item recte institutis nequeant esse contraria , yidendum quaenam praevaleant. ' Florentini , quorum tentamen prae caeteris in medium afferri solet , unica nocte , et in distantia pau corum milliarium experimentum instituerunt . Derhamus triennio experimenta iteravit , et in 13 milliarium distan tia ; haec autem distantia in experimentis Derhami eadem erat semper , a sua scilicet Ecclesia ad arcem ; in ten tamine Florentinorum tormentum constitutum est medio inter duos observatores intervallo ; quod intervallum utrin que aequale asseritur , sed fortasse non ita esse potuit. Ergo apparet quam recte Derhami observationes antepo nantur observationibus Florentinorum , atque eodem jure Gassendi et Mersenni . Reipsa etsi experimento quodam Musschembroekius quoque deprehendere sibi visus fuerit aequalem velocitatem tam secundo quam adverso spirante vento , tamen Derhamo assentitur , et Florentinis quo rum sagacitatem saepe alibi commendat , minime in hoc adstipulatur. Obiter hic notamus quod juxta auctores ferme omnes etiam intensitatem sąni auget ventus secundas , et minuit . 1 271- gnans 'sed fluens aequabili motn; jam dum post lapidis descensum circuli successive eil'ormantur , tota ipsa aqua, in qua eB'ormantur circuli , localiter transfertur; ergo circuli appellent ad datum locnm citius in eam partem versus quam defluit aqua quam ad alteram in eadem distantia ex opposita parte: ita paritate rationis in sono. Iis , quae-modo diximus, objici possunt experimenta Cl. virorum qui de velocitate soni nihil immutari pror- sus , sive secundus sit , sive adversus ventus , asserue- runt. Gassendus enim-, et Mersennus id sibi accidisse te- stantur; et Academici Florentini, collocatis observatori- bus inter se duo milliaria distantibus , dum ventus spi- raret , asserunt tormenti bellici , quod medio illo inter- vallo situm erat , fragorem pervenisse eodem tempore ad utrosque, etsi aliis faveret ventus , aliis esset contrarius. At cum experimenta recte instituta aliis item recte institutis nequeant esse contraria , videndum quaenam praevaleant.x Florentini , quorum tentamen prae caeteris in medium afferri solet , unica nocte ., et in distantia pau- corum milliarium experimentum instituerunt. Derhamus triennio experimenta iteravit, et in 13 milliarium distan- tia; haec autem distantia in experimentis Derhami eadem erat semper, a sua scilicet Ecclesia ad arcem; in ten- tamine Florentinorum tormentum constitutum est medio inter duos observatores intervallo; quod intervallum utrin- que aequale asseritur , sed fortasse non ita esse potuit. Ergo apparet quam recte Derhami observationes antepo- nantur observationibus Florentinorum , atque eodem iure Gassendi et Mersenni . Reipsa etsi experimento quodam Musschembroekius quoque deprehendere sibixvisus fuerit aequalem velocitatem tam secundo quam adverso spirante vento, tamen Derbamo assentitur , et Florentinis , quo- rum sagacitatem saepe alibi commendat, minime in hoc adstipulatur. Obiter hic notamus quod iuxta auctores ferme omnes etiam intensitatem soni auget ventus secundus , et minuit .272 1 P TE 8 ta 11 11 adversus. Hoc , ajunt , experientia vulgari notum est : si quidem campanae sonus , aut tormenti explosi fragor multo melius auditur si conspiret in eam partem ventus quan si contrarius sit ; et saepe ad aliquam distantiam auditar ope venti secundi, ad quam , cum ventus est adversas , minime audiri potest : auget ergo ventus soni intensita tem. Ratio quoque idipsum suadet : nam vencus secundus undas sonoras transfert ; ergo ad aurem appellent undae sonorae , quae a centro minus remotae erunt , adeoque intensiorem deyehunt sonum .

128. Ad soni velocitatem determinandam multa in stituta sunt experimenta , quae tamen non satis conve niunt : experimenta instituta ab Academicis Parisiensibus anno 1738 praebuerunt soni velocitatem , seu spatium minuto secundo a sono percursum = 172 , 56 hexap. = 336 , 32 metr. Apud Madras in India orientali D. Goldingham ex perimentis per annum integrum multoties repetitis ( Annal. de Plays . et de Chim . tom. 23. pag. 12 ) exploravit soni ve locitatem : prodiit mediocris velocitas 1134 , 33 ped. Britan . = 345 , 74 metr. Varias hujusmodi mensuras vi dere est in tabella , quam protulere DD Moll , Van-Beek etc. ( Bibliotheque universelle tom. 30) : qui Auctores opus definiendae velocitatis soni susceperunt anno 1823 , perfe ceruntque in Hollandia , assumpto ad observationes eo spa lio , quod Zevenboompies et Koolijesberg interjacet. Ten tamiva sumpta die 28 Junii praebuerunt soni velocitatem 339 , 34 metr. Hujus diversitatis plures esse possunt rationes : ac 19. In strumenti aut attentionis exquisitae ad instrumentum deſe ctus ; cum enim flamma attendi debeat simulque penduli oscillatio , jam facile est ut vibratio aliqua initio non nu meretur.

2. Spatium exiguum ab aliquibus assumptum ; minimus enim error facilius est contemaibilis , si ingens intermediet spatium.

3.° Venti qui aut retardant , aut ac celerant souum . llaec variationis causa attenuari potest , ac PL M ti . 0 272 ' adversus. Hoc , aiunt , experientia vulgari notum est: si- quidem campanae sonus , aut tormenti explosi fragor multe melius - auditur si couspiret in eam partem ventus quam 'si comrarius sit : et saepe ad aliquam distantiam auditur Ope venti secundi, ad quam, cum ventus est adversus, minime audiri potest: auget ergo ventus soni intensita- tem. Batio quoque idipsum suadet: nam ventus secundas undas sonoras transfert; ergo ad aurem appellent undae sonorae , quae a centro minus remotae erunt, adeoque intensiorem devehunt sonum.

39 Venti qui aut retardant , aut ac- celerent sonum. llaec variationis causa attenuari potest , ac J . maälzz—äwæ-EL'T-aa &.273 ferme destrui , si collocatis tormentis bellicis in utraque extremitate A et B illius distantiae , quam debet sonus percurrere , tormenta ipsa eodem temporis momento ex plodantur ; tunc enim si determinetur velocitas , qua per venit sonus ex A in B , itemque velocitas qua pervenit ex B in A , harum velocitatum semisumma erit velocitas illa , qua propagaretur sonus in aere tranquillo.

4.º Animadvertit Musschembroekius quod cum sonus non in instanti audia tur , sed initio minus , subinde organum aliquanto vehe mentius percellat, hinc quidam ad initium , alii ad progres sum sensationem soni potuerunt animadvertere , atque inde inter se discrepare.

5.9 Varia atmosphaerae temperies. Determinatio velocitatis , qua sonus propagatur , utilis est nautis ut agnoscant quantum littus , aut alia navis distet ; militibus ut quantam oppugnata urbs distet ; geo graphis item ut quantum inter duo loca , praecipue cum intervallum hexapeda metiri non licet , intersit . Etenim nu merando minuta secunda ab erumpente flamma ad usque audiendum sonum tormenti bellici , distantia loci colligi potest . Quod si ea sit locorum constitutio ut flamma videri non possit,o res ita supplenda est , ut cum ad aurem per venit souüs , exploso statim alio tormento bellico , alter hic sonus ad primum observatorem perveniat : si hic nume ravit minuta secunda ab eo puncto , quo explosit suum tormentum usque ad punctum quo audivit sonum alterius tormenti , et haec minuta bifariam dividantur , habebitur tempus propagationis soni inter duo illa loca : ita etiam nu bis distantiam aliqui metiri docent , numerando scilicet mi nuta secunda , quae inter fulgur emicans et auditionem to nitrus intersunt .

129.# Nonnulla subjicimus ex theoria fluidorum ( 106. 107 ) ad soni propagationem applicata ; ita tamen , ut ad aeris gravitatem minime attendamus , libratu mque aerem spectemus tanquam elasticum fluidum eadem ubique pollens et densitate p' , et pressione a' , et temperie n. 273 ferme destrui . si collocatis tormentis bellicis in utraque extremitate A et B illius distantiae . quam debet sonus percurrere , tormenta ipsa eodem temporis momento explodantur; tunc enim si determinetur velocitas , qua pervenit sonus ex A in B , itemque velocitas qua pervenit;: B in A , harum velocitatum semisumma erit velocitas illa, qua propagaretur sonus in aere tranquillo. 49 Animadvertit Musschembroeltius quod cum sonus non in instanti audia- tur, sed initio minus , subinde organum aliquanto vebe- mentius percellat, hinc quidam ad initium , alii ad progres- sum sensationem soni potuerunt animadvertere , atque inde inter se discrepare. 5.o Varia atmosphaerae temperies. Determinatio velocitatis , qua sonus propagatur , utilis est nautis ut agnoscant quantum littus ', aut alia navis distet: militibus ut quantum oppugnata urbs distet; geographis item ut quantum inter duo loca , praecipue cum intervallum bexapeda metiri non licet , intersit. Etenim nu- merando minuta-secunda ab erumpente flamma ad usque audiendum sonum tormenti bellici , distantia loci colligi potest . Quod si ea sit locorum constitutio ut flamma videri non possit A, res ita supplenda est , ut cum ad aurem per- venit somä , exploso statim alio tormento bellico , alter bie sonus ad primum observatorem perveniat : si bic numeravit minuta secunda ab eo puncto , quo explosiot suum tormentum usque ad punctum quo audivit sonum alterius tormenti , et haec minuta bifariam dividantur , habebitur tempus prcpagationis soni inter duo illa loca :ita etiam nu- bis distantiam aliqui metiri docent , numerando-scilicet minuta secunda , quae inter fulgur emicans et auditionem to- nitrus intersunt. 1294 Nonnulla snbiicimus ex theoria fluidorum (106 . 107) ad soni propagationem applicata ; ita tamen , ut ad aeris gravitatem minime attendamus , libratumque aerem spectemus tanquam elasticum fluidum eadem ubique pollens et densitate ≀⊥⋅ , et pressione a: ,-et tmperie n. ..—274 10 Fac ut concutiantur librati aeris particulae comprehensae sphaerico spatiolo habente radianı = (y , et centrum in coordinatarum origine 0 ; talem vero patiantur in densitate variationem , et velocitatem recipiant juxta re spondentes radios vectores a , ut utraque exsistat admodum exigua , et altera queat repraesentari per f ( ) , altera per f ( Q) , evanescentibus fg , f quoad a = o et « > « ,: sit r distantia puncti ( x , y , z) ab 0 , ut obtineant i x2 + y2 + z = p2 xdx + ydy + zdz = rdr , Propagato motu per reliquum fluidum ; quoniam v' , v " , 20 " sunt constanter parvissimae , et ad fluidi gravitatem minime attendimus , iccirco formulae ( 6 " , 106 ) , missis terminis exiguissimis secundi ordinis , factisque X = 0 , Y = o, Z=0, dabunt quoad punctum ( aco y, z) 1 do dui 1 do dv " 1 das de dv'" dt > M dx dt I dy to da et consequenter lo I can do to edip dy+ dz dz du dvi' dy + dt dt (©) . Jam vero dic dir -dx do dy do dr dr dx & ar ፊ dydy 9 dy dosdz dz da dr dr de dz 2 . 274 ↿∘∙≖∎⊀ Fac' ut concutiuntur Iibrati aeris particulae comprehensae sphaerico spatiolo habente radium −−−−≖ a, , 'et centrum in coordinatarum origine 0; talem vero patiantur - iu densitate variationem , et velocitatem recipiant iuxta re- spondentes radios vectores &! , ut utraque exsistat admodum exigua, et altera queat repraesentari per f! (a) , altera per f (a) , evanescentibus !; , f quoad ac −−∶ ∘ et a) 0:' :. sit :- distantia puncti (æ ,y, :) ab 0, ut obtineant x' ∙−⊢∫∙⊣−≖≏∶−−≀∙≖ , ædx-i—ydy-t-zdzzzrdr, PrOpag'ato .motu per reliquum Huidum ; quoniam v', 11", v'" sunt constanter parvissimae , et ad fluidi gravitatem minime attendimus , iccirco formulae (ö" . 106 ), missis terminis exiguissimis secundi ordinis ,factisque X::o, ïze, Zzo, dabunt quoad punctum (æ, y, :) 1 da der ↿⊄∄↑≖⋅∙∙∙∙ dv" 1 ftdæ— dt'pdj" dt'p. et consequenter 1 der da der − − ... −−⋍≀ ) ↽− ⊬ (dxdx—i- dy d),—i- dz :. eiu' dv" dv'" ) ∙ —- de—k-äuy—F—ät— d: (i)- Jam vero (la-: (lux dr dar das dr , (Erit: ∙−−−−∙⊋−∣∙∙ (?;-lld? ïydj : z; gd)»- , dadz—dw drdz ,275 ac proinde du do dos dx + dy + dz = dx dz 1 do Idr dr dr • dxt dr dy do-dr ) = dr v , " = insuper v ' un v , ideoque dv' dv " dv d (v'da tudytou '" dz) dx + -dyti dz = dt dc dc dt dfædx + ydy + zdz d (vdr) dc dt traducetur igitur ( i) ad 1 do dr d ( vdr) dt - ( i ) . f . dr Ponentes dQ u'dx + u'dy + v "da = dQ ,ut sint v'= dx 10" : dQ dy 2011 ! dQ dz assequimur dQ d To d Come) vdr d (vr) dr, dc dr - ' de dr dr : dr dt vertelur itaque ( i ) in 275 ac proinde Heia-4- — ;d; -]-d 2; ad;: ≤↾−⋮⋅↾ ïta.-.- −∙⋅⊄∄↗∙⋅∹−∙≦− ∙⋅−⋤−↙∄⇝⇌∶−∙⋡−−↙≀≀∙ ; ' ∙−−−⋅⋮∙⋅ ∙−− £ "zl. lnsuPero—rv,-v' '.—r-v,-v" rc:,ideoque dv' *d-v" ...-'de: "' d(v'dx -1-v"dy—1-v'"da) ïdïdæ'l' dc ↙↡↗⋅⋅⊢ ⋅⊋−⋮⋅∂≖ dt ∙−−−⋅ d (ædæ A-ydy ∙−⊢ zdz 0)

- d(wdr) ∙↗

d: ∙ "' dt traducetur igitur (i) ad 1 du! ∙∙∙ d(vdr) .,dr ∙−−− −− dt (( ).

Ponentes u m ∙ l ∙ 'o v'dx-t-m dy—t—v ds:dQ,ut sint d ∙↗∶⋛−≣−∙⇝ :::-g. *v ⋅⋅∙−−−∶∙−↿⋚≳−∙ ' assequimur ⋅ dQ d(vr) d —"'Q) d (....) — (dr ∙∙∙⋅ ⋅ dt . ⇀ mi'-"ïd" d: −⇀ dt 4" ∙− dr 4" vertetur itaque (t") in276 1 do Cena ( i " ) . hdr dr Pertingente motu ad punctum (x , y , z) , crescit ibi librati aeris densitas M , et evadit l = h' ( 1 + $) ; augetur aliquantulum etiam temperies n in ipso condensa tionis actu , fitque ntv : pressio , quae ob auctam den sitatem evaderet a' ( 1 + 8) , augescit adhuc propter incre mentum v ; et cum v pendeat ab € , novum pressionis in crementum pendebit rursus ab z , eritque ob incremento rum tenuitatem ipsi & ad sensum proportionale ; iccirco , praetermisso é , emerget pressio ex duplici capite aucta m = (1 + 5) (1 - +-AE) w [1+ (1 + A ) £] . Poterit ergo ( i" ) sic scribi 1 ale de de . ( 1 + A M 17 € dr dr > seu dt is 13 ( 1 +A) dL ( 1 + -E) dr dr Hinc Bis ( 1 - +- A ) L ( 1 + E) dQ dt 276 Pertingente motu ad punctum (a:, y, :) , crescit ibi librati aeris densitas p! ∙ et evadit it:-"a' ≺↿−⊦⋮≻⋮ augetur aliquantulum etiam temperies 1: in ipso condensa- tionis .actu , (itque n—l— »: pressio , quae ob auctam den- sitatem evaderet m' (1 ∙−⊦ e) , augescit adhuc propter incre- mentum »; et cum 9 pendeat ab a , novum pressionis in- crementum pendebit rursus ab a , eritque ob incremento- rum tenuitatem ipsi a ad sensum proportionale: iccirco , praetermisso ? , emerget pressio ex duplici capite aucta a:d(1-—1—s)(1-1-Aa) −−∶ a'[1-t-(1-t-A)s] . Poterit ergo (i") sic scribi ∙ ' d(ig) a' 1 de dt −− ↿⊣⇁∆∼ ∙−− — pii ' ↿⊣−∙∊ dr dr ' seu dc.-112) . : p. liinc ' d ⋮⋝−∽ ≺↿⊣⇁⋀≻↧∙≺↿⊣−⊽∊≻↽−∙−−−∙− 3- - p. dt277 est autem ( 27.29º. ) ? L ( 1 + E) = E + - + Propterea , facto ( 1 + A ) = C , A dQ " . ca do Ad haec : dv ' dy" dx dur dz d’Q dx² + d’Q dy ? + d2Q dz² ; dy formula igitur ( 619. 107) , substituto p. ( 1 + €) loco fe , mis sis terminis exiguissimis secundi ordinis, atque attenta ( i), praebebit d2Q daQ dea = ca e d Q dy ? det d2Q da ? ( it ) ; \ dx² et quoniam dQ dQdr dQ y dr dx dQ dQ x dQz dr of dQ_dQ dxi dz dr dy dr unde d’Q dx² daQ xa dra 2 dQy? +z2 d2Q dr p3 dy? d’Qys , dQ x2 + z3 dr ra dr p3 d'Q d22 d2Q 22 dr.2 p2 dQ x2 +y2 dr 产 产 277 est autem (27 .290.) e* 53 si 1 :−∙− ∙−−− Ou: ∙∙ ↥⋅≺−⊢∊≻ s ⇄⊣⋅∙∃ 4(.,, : Proptereü , factO : (1 :A) −∙− c,, 1 dQ ca dt Ad haec : d'v' dv" ⊣⇀ ↙∣⊛∣∦ ↙≀≏⊄⊋ sz dïQ . da: d] dz −⇀⋅ dx: d),: d:" a formula igitur (ö" . 107) , substituto p: (ii-145) loco p. , mis- sis terminis exiguissimis secundi ordinis, atque attenta (zw'), ' ∙ ?' praebebit sz sz daQ sz ." . (.i—t;. ⇀−− c" da,-3 ∙−⊦ ∠∄∫≖ .* dzg) (: la. et quoniam ⋅ ' ∙ ' dQ dQ dr-—dQæ dQ—JQJ, iq—æi dæ' drdæ dr-r'äy dr r'dz—drr' unde ( ⋅ ⇁ ⋅ , dj—æ i,*deail'zz dag—dïQlyiA-iQxa—an dat.:—dr: rr: dr "3 ,dyl d'.) rg ∙ & r3 dQdeina *igæ'ä-J' . d:" dr: ra dr 'a ".278 ideo traducetur ( i" ) ad d’Q dia coloro d-Q ( dra 2 dQ r Thedrbest seu da (rQ ) dla ca d ( ) dra Ex (i) habemus ( 120. 6º. ) Q = -- [80+ c ) + F(r — ct)] ; et consequenter dQ 1 dr [ f'ir tt) + F' ( r - ct )] ) — ] ( i" ) Ar + c ) + F (r - ce}] - [f(r + c )—– F"( – ce)]. 1 dQ c2 dt Ad f et F determinandas , sume t=0 ; habebis f(a ) f (a ) : . E = proinde a> f( x ) = af ( a ) + aF'( a ) f « ) - F( a ) , - caf( a ) = f ( ) – F' ( « ) . Pone fa) +F(a) = w , fra ) — F( X) = w ; erunt . 278 ideo traducetur (i" ) ad 432— . «PQ-,. 2 sit'—c &? 747↲≺≀≻∙⊷≖∂↿≺↾≬⋗−≖∙↲≖≺↗≺≀≻ de'—' dn Ex (.") habemus 120. 60.) - 1 Q ∙−−− ;- [f(r.:i- ct) −⊦ F(r— et)] : et consequenter−∙∙ :? ∙−−⋮∙ [f'(r-l-ct)-]-—F'(r-—ct)]

—--—1r;-[f(r-]-ct)-]—F(Qr—ct)] , 1 dQ— ↿ s — ⊑ ca d: ;S.-[f(r-t-cn— F'(r— cs )]. Ad f et F determinandus, sume :::-o; habebis w:f(a) , s:f,(a): proinde ⋅ æf(a):af(a)—1—al-"(a) -—f( cc)—P(a), —eaf,(a)——:f(a)—F'(a). Pone fe) -t-F(a) :::.) ,f(a)- F(ac) ∶−∙−∾⋅ erunt 0")279 d @ = f( ) + F"(x)= f(a) —F(«) da = f( x )da ; dw ' = [f ( ) — F ' ( ) ] da = -ca f ( ) da ; unde a fixdx , w == cfafica) da : hae suppeditant f(Q ) w -two 2 1 2 frazda - of facada, F(x)= afscada + ; fafceda; ideoque ( iº ) f(x)= ff( )fat a pascafica), Standa+ af )+ caf,ca). F ( a ) 2 20# Secunda membra (2011) evanescunt quoad a > Az ; ut igitur functiones flrtct) , f'(x + ct) , Fr — ct ) , F " (r — ct) sint aliquae , non debet r ct esse > & : atqui in ordi . ne ad fluidi particulas ultra Qi , cum e sit quantitas posi tiva, est semper s + ct > As ; ad has ergo particulas quod attinet, erunt constanter 279 d(a-i)— af(a)—t-aF'(ac) —f(a) --F(a) dae— f(a)da; « - æ dar.-:. [f(az) —- F' (et)] da :: — cat & (et) da; uude ' ∙∾−−−∶∶∝ «a)daz , Q':-irc af,(a)daz: bae— suppeditant aH—a' 1 - 1 f(a)-— 2 ∙−− ⋣∙ ⊄∫⇟↸∝⋟↙≀∝−−−⋮−−∘∫∝ f,(a)da, c.)—of 1 1 Hall- 2 "*.2 «li(alda—r—ïcfafdaW-ï & ideoque (i'") 1 1 1 f(a): -2- f(a') fat—1- ä-a ((a)—ïm f,(a) , ↿ 1 1 F'(a) ∶−∙−−∙ ∙⋮⋅≳−∫∫≼∝⋝↙≀∘⊢⊢ -2-af(a)-1- -2—- caf,(a). 2011 Secunda membra (im) evanescunt quoad ac) «,.; ut igitur functiones ⇀ f(r-t-ct) , f(f-Jf- ct) , F(r - ct ) ,F'(r - et) sint aliquae , non debet r

b et esse )a, :atqui in ordine ad fluidi particulas ultra et, , cum t sit quantitas posi- tiva, est semper :- −⊢ ct a, ; ad has ergo particulas quod attinet, erunt constanter280 fir + ct ) = 0 , f ( r + c ) = 0 ; et consequenter -F(r —c)F( r -ce ) , 6 = 1.- F " (r — ce) (**** ) . 30 Aereae particulae respondentes radio vectorir non incipiunt moveri nisi quum tempus sic increvit , ut habeatur rct = ly , seu r = ctt cy : inferimus sonum propagatum iri uniformiter velocitate V ( 11 + A ) Quod spectat ad numerum A, habemus (87. 70. ) a = im [1 + a (n + v)] = im '(1 + E)[ 1-+ an + ») ] , itemque ( 10.) 5 '[1+ (1 + A )ɛ] =; if' ( 1+ an) [1 + ( 1 + A ) ]: hinc i '(1 + E)[ 1-+-ant-v) ] = iu'1 + an ) [1+ ( 1 + A )ɛ ]; ex qua eruitur av A av( 17) El 1 + an ) $ ( 1 + an ) Ponamus vase aliquo accurate obserato aerem conti neri ejusdem densitatis pé ac temperiei n cum aere exter• no; sitque h altitudo barometrica utrique communis : con . ⋀≀∙⊣∙∙∘⊔≔≖∘∙⊓≀⋅⇀⊢∝⋟∶∘⋮ et consequenter 1 1 ⇀ ↿ ∙ −⋅−−−− —F'(r-ct)-—;F( r—ct). : ⋅−−−− -—F'(r—ct)(t""). r r cr 3":- Aereae particulae respondentes radio vectori r non 1nc1piunt moveri nisi quum tempus sic increvit, ut babeatur r— ct:ac, , seu ::- ct ∙⊦∙ at, :inferimus sonum prcpagatum iri uniformiter velocitate 'c: Vä- (1—1-A) (i") - Quod spectat ad numerum A, habemns (87. 70.) ∙ saiw-1-a(n-1-v)]:zp'u-u-e)[1-.-a(nM)]. itemque (10.) 6 −∙−−−⊤ w'[1—t-(1 a—A)e] :; ip'U—t— an)[1 ∙−⊦⋅ (1 ∙⊢ A)e]: bino - ⋅ ↴ 's ip'(1-1-s)[1-1-a(n-1-v)] ∶−− ≀⋅⊬⋅≺↿−⊢⊄⋯≻⊏↿⊣−≺↿−⊢∆≻∊⊐⋮ ex qua eruitur ↼ . cru-H:) av ∙−−− −∙∙ e(1-1-an) s(1-1-an) Ponamus vase aliquo accurate obserat'o aerem conti-- neri eiusdem densitatis pf ac temperiei iz cum aere exter- no; sitque !: altitudo barometrica utrique communis: con-281 1 11 cipiatur extrahi e vase aliquantulum inclusi aeris, vel qui erat inclusus aliquantulo magis comprimi , et denotet d'1 Fé) densitatem , h' altitudinem barometricam, postquam aer in tra vas ad pristinam redierit temperiem n. Tum constituta parumper communicatione cum externo aere, donec nimirum redigaturad h, mutationem quandam suscipiet lam p' ( 13) quam n; et illa quidem transformabitur in u'1 *8' ) (18" ), haec autem in ny. Sed cum v' brevi evanescat, et so la n supersit quin variet MIFÉ' ) (1 # " ) , mutabitur iterum h et evadet h " . Alteram instituendi experimenti rationem sequuti sunt Desormes et Clement , alteram Gay - Lussac et Welter: inspiciatur sequens tabella . torie pun Desormes et Clement. n = 12 , 5 , heo” , 7665 , h - hs o ” , 01381 , 11 h - h" = 0 , 003611 ; 2 " hi sese restituit ad h intra tempus < < 5 Gay - Lussac et Welter. n = 13° , h = omom,, 757 757 ,, hh -- hh : = 0 " , 0163644 , h " - h = 0 , 0044409 ; q " h sese restituit ad h intra tempus 6 Iam vero, depolante D densitatem hydrargyri , sunt conti erter Dgh = ip (176) (1 + an ) , 000 19 villi] 1 !' torir L, 111 )num conti- erit?' con- 281 cipiatur extrabi ei vase aliquantulum inclusi aeris,'*vel qui eratinclusus aliquantulo magis comprimi, et denotet p.'(1::1:s') densitatem, h' altitudinem barometricam, postquam aer in- tra vas ad pristinam redierit temperiem 11. Tum constituta parumper communicatione cum externo aere, donec nimirum h' redigatur ad h, mutationem quamdam suscipiet tam (if( quam ∎∶∙∶∔⋅∶∊⋅⋟ .: et illa quidem transformabitur 111 p.'(1.-.;:s')(1:£ e"), haec autem in :::». Sed cum v' brevi evanescat, et so- la n supersit quin variat p.'(1:1: a' ) (1 :1: e" ) , mutabitur iterum I: et evadet h". Alteram instituendi experimenti rationem sequuti sunt Desormes et Clement , alteram Gay- Lussac et Welter: inspiciatur sequens tabella. Desormes et Clement. 11:12", 5 , h:o",i7665 , 11 -h': 0", 01381 , h — h":o", 003611 ; h' sese restituit ad h intra tempus ≺∙−≣− ∙ Gay - Lussac et Welter. ' n:130, h:o'" , 757 ,h'-— h:d",0163644 , h" — h:o'", 0044409 ; 1" h' sese restituit ad h intra tempus (—6—- . hm vero, denotante D densitatem bydrargyri , sunt Dgh':i;t'(1q:e')(1—t-an), ∎⊨∎ 'i i ! 19282 Dgh = id'l 176) ( 1 #t" ) ( 1 + a nv( ) ) , $ Dgh " = id'l 176 ) ( 1 + ") ( 1 + an ) : hinc h " = 1 & € " , h h " 1+ anty') 1+ an = 1 + R 1 + an h " 'h αν"' h hh" h"

1 tan ideoque } ań = ( 1 - an ) h hh" h " 7 " -h* Substitatis valoribus ex Gay - Lussac et Welter , αν €" ( 1 + an) =0, 3785020934 : 1 R et quoniam iste numerus neque ex temperie neque ex pres sione pendere videtur, iccirco poterit generatim assumi 1 A= 0, 3785020934 ; sicque soni velocitas prodibit expressa per ( 94. 1 ° ) V 1 , 3785020934 to fe -V 1,3785020934i(1+ an) = 1009 , 614V1+ an (i" ). 282 1131. −−−−⋅⋅⋅⊬∣≺↿∓⋮⋮≻ ≺↿ :::" ) ( ↿ .... (a:-:») ) . Dgh":ip.'(1q:s-' ) (1:t:€") (1 qum): tibine −≸⋮−⋤⋅−⋅ ≕↿ ∙∙⋅⊧∙≘⋅⋅ , ∣∣⋮∙⋅ −−⋅↿−⊦⋅↿∘∙≦↾∙≔⋮∙⋓⇗≱ −−⋅↿∙−⋅⊦−∙↿−−∙⋮⋮≔−∙ zh :" ∙∙∙ l:" --l:' ,.4, .av' −∣∎ −∦∣⇂∙∙ ; ↙ h' 1 −⊢⋅⋯∎ & ideoque av' h' b—h" e"(1-t-an)— h" h"—-h' ⋅ Substitutis valoribus ex Gay-Lussac et Welter , av' et quoniam iste. numerus neque ex temperieneque ex pres- sione pendere videtur, iccirco poterit generatim assumi sicque soni velocitas prodibit expressa per (94. 10) I c ∸−−−⇀ ↿∙ 3785020934 1;— wjt—lV1, 3785020934 ⋅⋅≺↿∙⊢ an) ∙−−∶ 1009,- 614 ∣∕↿⊣⇀∘≀∎ tc")- H283

Si attendenda est quoque bygrometrica aeris constitutio, de notante 6, pressionem libratam ab aqueo vapore , pro ui' substituendum erit ( 96. 4º. ) 1 seu i( 1+ an) exsistet nempe V 11 w' il 1 to an ) 1 , 3785020934 3 --8 W1 009 , 614 V 8 ã' (1+ an ) 80-30 , (i " ) . In soni velocitatem diligentissime inquisiverunt an no 1822 DD. Arago, Prony , Mathieu , Bouvard, Humboldt et Gay - Lussac: distantia, ad quam observationes de cor ruscatione flammae et fragore instituebantur in explosionibus Lormenti bellici, ea fuit quae Monthlery et Villejuif inter jacet ; velocitas inde deducta, seu spatium iolra 1" a so no percursum, 89 Erat autemn =15°, 9; unde Vitan = 1 , 029 : dabit igitur formula ( it ) 340metr. 103gped . 893 metr . 337 , 432 . > Hygrometricam quoque aeris constitutionem notarunt Auctores Cl . Sub mediocri videlicet altitudine barometrica metr . 0 76 index hygrometri, quod vocant a capello, o slendebat grad . 72 : in hac vero hygrometrica aeris consti lutione, et sub temperie 15° , 9 ,pressioni , respóndet ba metr. rometrica aliiludo 0 00679; hinc 283 Si attendenda est quoque bygrometrica aeris constitutio, de- notante u', pressionem libratam ab aqueo vapore , pro pf substituendum erit (96. 40.) exsistet nempe ' ∙ 1 T ∘⋅−−− ∣∕ 1, 3785020934 "' '( a, ↼⋅⊢ s '""- .. 8 1009 614⇂∕ afuit—13:111) (i")- In soni velocitatem diligentissime inquisiverunt au- no 1822 00. Arago, Prony, Mathieu, Bouvard, Humboldt et Gay-Lussac: distantia, ad quam observationes de cor- ruscatione dammae et fragore instituebantur-in explosionibus tormenti bellici, ea fuit quae Montblery et Villejuif inter- iacet : velocitas iude deducta, seu spatium intra 1" a so- no percursum, :340'm" ,89 Erat autemn:150,9; unde l/1-t-an :1, 029: dabit igitur formula (ix) 0:1038ped' , 893 :..- 337'""' ,432. Hygrometricam quoque aeris constitutionem natarunt Auctores Cl. Sub mediocri videlicet altitudine barometrica Gum. , 76 index bygrometri, quod vocant :: capella, o- stendebat grad. 72:' m hac vero hygrometrica aeris consti- tutione, et sub temperie 150, 9 ,pressioni a', respöndet ba- rometrica altitudo Omm ,00679; binc284 v 80 8w' 30, =1,002 ; et consequenter ex (3 " ) eruetur 1040ped ., 97 = 338metr . 11 . Consensus itaque experientiam inter et expositam theo . riam tantus invenitur , ut major profecto desiderari non debeat in praesenti argumento : difficile admodum est in id genus observationibus ventorum vim prorsus eludere, alias que causas declinare quae huic consensui multipliciter no cere possunt : mirum deinde quantum ardua res sit va lorem A experimentis accurate determinare.

4. °* Evanescunt secunda membra (iº !! ) etiam quoad a = o : in distantia igitur r evanescent & , v statim atque, labente tempore , eo devenitur ut sit rect = o . Quia er go in distantia illa incipiunt , v esse aliquae quum rct = lg, sequitur motum in distantia illa minime du raturum ultra tempus Eaedem itaque & , v evanescent in distantia r- , statim atque incipiunt esse aliquae in di stantia r : propterea non cientur una nisi particulae con stituentes stratum crassiliei

5.° Velocitas v duabus ( 2.º į" ) constat partibus , quarum altera sequitur rationem reciprocam distan tiae a centro unde promanat sonus , altera rationem reciprocam duplicatam ejusdem distantiae: functiones praeterea F, Fmanent constanter parvolae. Quia igitur im pulsio in datum obicem facta pendet a velocitate v , patet , quo longius propagatur sonus , eo magis ipsum debilitatum audiri. Quum sonus ad modicam pervenerit distantiam, licebit secundam illam partem negligere; eritque

Inferimus illud: si impulsio in obicem facta quadrato ve. locitatis v sumitur proportioualis , rationem duplicatam di stantiarum sequetur soni debilitatio ( 125 ) .


6.°* Fac ut librati aeris particulae concutiantur una circum plura puncta O , 0 " , ... ; quorum distan tiae ab ( x , y, z ) exhibeantur per r' , o" .... ; ipsis. que O' , 0 ' , ... , tanquam originibu's respondeant sua axium systemata parallela systemati habeati originem O. Quoniam novae coordinatae s ', x ", ...5,0 " , ... é , z " .. constantibus quantitatibus differunt ab x, y, z ; ideo dr ' dr dr " ar dx doc ' F ' da d.x " ! y' g " dr' dy > dy ' p" dr dy " dr dz" dr dr dy dr'i dz 2 dz dz' el consequenter dQ _dQ dr dQdr" tar dx + .. dx dr' dx dQ x' dQ y dr + dQxt" dr gli t.... dQ_ dQ y + dy dr p ' dr to. dQ dz dQ á dr ' + dQ di " . . ilemque to d²Q x 2 dQ 7/ 2+22 dx² dr'a g'a + + 285 1 ' r inferimus illud : si impulsio in obicem facta quadrato ve- locitatis v sumitur proportionalis, ratiunem duplicatam di- stantiarum sequetur soni debilitatio (125). 691» Fac ut librati aeris particulae concutientur una circum 'plura puncta O', 0", ... ; quorum distan- tiae .ab (æ, y, :) exbibeantur per r' , r" . ...; ipsis- que O' , O", , tanquam originibus respondeant sua axium systemata parallela systemati habenti originem 0. Quoniam novae coordinatae se', a:", ...y' ,y", ... z', :" .. constantibus quantitatibus differunt ab a:, y, :; ideo dr' dr' æ' dr" ∙∙∙ dr" ∙∙∙⋅ æ" ⇀ dx daf—r dx' dr" ≀⋅∎⋅↬⋅⋅⋅ et consequenter dQ 'der- −⊦↙≀≺≀∂∙↾∙∙⋅ du:- dr'dæ dr" da: dQ æ' dQ æ" " dQ ∙−−↙≀≺⊇∙⊺ d.QJ "?;/7 21.-717 −⊢∙∙ 4"?!— −−⊣∎∎∙∙ ': "dy— dr'r' .dQ —dQ f:: dQ ∙⋮↾∙⋅ ∙−⊦ ' dz —dr' l"-1 dr" r" ⋅ .. itemque 'PQ −− ↨≖≬x" dQ ∟∣≖⊣−≖∙∙∣∷ . ⋅ ' dæ' dr'3 :"2 −⊦⋅−−(Ti—' −−⋅∣⋅∙−⋅↾⊰ ..,-286 daQ x2 dQ " 272" + dr2 p " 2 dri p/13 + ... , da d’Qy'a dya drar'a tari dQ x2+22 + p3 d'Q.7 "?, dQ x" : + z'2 + ti. dr" ' a p " 2 lo: dri d2Q ddza daQ z'2 dr2 p'2 dQ x's + y'2 dQ 242 dr' 3 + dril2 pll2 + dQ x2+ y'a ti .. Adhibitis substitutionibus in ( i ' ', 1.0 ) , d'Q de2 ( d - Q = c2 Adr'a + 2 dQ d2Q 2 dQ z dr + dra +pdr" + ... )

ex cujus forma intelligimus fore Q = [filr'tou + F (r — ct)]+ [far" +41++ F.(r" ct) ] + . ( * " ).

Nunc facile stabilitur illud : in hypothesi plurium concus sionum simultanearum , ubi eae ad punctum ( x , y , z ) eodem temporis momento una perlingant , numerus e ni hil erit aliud nisi summa consimilium numerorum re spondentium iisdem concussionibus seorsum spectatis ; si quidem ( 1.0 ) . 286 (PQ ∙⋅⇂⋅∥∙ ↿ dQ dr": ∙↗≀∦≖∙⊦≖∥≖⊹ r'" ∣ dr" r"3 ⋅⋅ ' ' - «PQ— d'Q 7" ∙⊦↙∄≺≀∙−−−−∙−−−−−⊦⋅ æ'2-l-z'2 d]:— d'Q )" dQ æ'ä-l—z"; . dr" ≀⋅∥⋮⊹↲≀⋅∙∣∣ r' '34- ⊣− ⋅⋅. ' d-Q Adeo ∷⋅≖ ∣dQ ⊴↾∶∣≖−⊦∜∣⋅ æno z.": dza 'di'/3 r'" ' dr' r'3 dr"3 r"' dQ ∙⋅≖∥≖⊣−∜∥≕ ↿ dr" rl'3. 'l . .. ∙ ∙ Adbibitis substitutionibus in (i". 1."). duo (PQ 2 dQ 2 dQ ∙ ∙−−− ∘≺↙↙↾∣≏−⊣−≀⋅∣ ∡≔∣∙⊦≤∶−−⊽− ⋖⋮≀≕−⊽∣−⊋−↾⊽⊣−⋯≻ ex cuius forma intelligimus fore Q ∶−∎⋅ ⋅↗⋮⊤⋅∐⋩≖≺⋅∦⊣⊸⊩⊢−∶⋮∙− ∇≖≪↗⋅⊣⊸≀⊢⊢ F,(r'—-ct)]-l— F.(r⋅⋅⋯ ]-l—- Nunc facile stabilitur illud :, in hypothesi plurium concus- sionnm simultanearum , ubi eae ad punctum. (a: , J ,

)

eodem temporis momento una pertingant, numerus :ni- hil erit aliud nisi summa consimilium numerorum re- spondentium iisdem concussionibus seorsum spectatis; si- quidem (1.").287 DP zo al - F" ['r( + ce)-F'(x'ct) [facr "+ c8)— F'xr" —cr) ] - ... Insuper DP dQx' dQx" + t . dx dr ' dr" r " + ... G [r« tch+F" ret) ]– 16 +6 + F.( c )]) + ( - "+e +F',(==ci)] – [for"tor)+F60—60)) + .... vº dQ dy dQ r' dl go " + + .. dr ' r ' + dr " r " G - triktet)tF'(x - ce )]= i [ fim'tot + Fa(r = -1)]) + ( -186 *408)+ F"(" –ce)] - wraca" terhFall -ct)]) + . 287 ⋅⇌⊐ ∙−−≕↿−∙⋅ ?,?"-- --',..'[f . (r -!-c:)—F'.(r -—-c:)1—- ⋅≺∽⋅−∎↿⋅⊤∶∁↿⋮⊅⋍∣⋅∥⊹⋯∙− ↧⋅⋅∣∙≺≀∙∙⋅∙⊳∙−∙∘≀≻ ]— .... lnsuper "- «me ⋅≄⋅ .... −−∶ .. ↼−−⋍⋜⊑⋅∙−−⋅∡⋰−∙⋅⊤−⊢⊿−≀⋅−∙⇉↗⊷ −⊦ ∙ ⋅⋅ ⋅ " , 1! ' ' ⋅∎ ≺∎≙∶∎↾⋅⊀∎≺∣⋅⋅−∣∎⊸∘⊣−∏⋅∎ (' -—0t )]-— ∙≀−∙⋅∙−∙−∣⋅∫∎≼∣∙∎∙⊦⊸↥⊢∣− , ' ⋅ æ' . ⋅ ↿ ⋅ ⋅ ⋅ ' ∙ Fl(r "'"'ct) " ])"T'f'l'(—: [f,(r'Lï-CO—l-F', ∎⋅ ( r—ct )] ∙∙∙⋅ r ∙ ∙≖−⋅≟⊑ ⊏∣≖≺↗⋅⋅−∣⊸≀≻⊣−↿⋮⋅≖≺⋅∙⋅⋅∙−−∝≻∃ )£f.-.- −⊦ ∙ ⋅∙∙ . ∂≺≀∙∙−⋅∠≀≖≀∜⋅ lu.—dy dr' r' ä-l-dr"— r"∶∣⋅−⊦∎⋅ .. 1 (£.- ⊏⊀⋅≺≀⊤∙∙⇀⊸⋅≀⊢⊢≖⋅⋅∙⋅≺ r'-ct )1: ;; [f.(f-l-cu-l- F.(r'— et)] ≻∙∜−⋮−⊦r ≺↿⊤↕∣∣≖≺↗⊓⊣⊸⋍⋝⊣−⇂⋅⇁⋅⋅≺∣∙⊷∙−∘≀∏ :- - ⋅ ⋝∙≟≟∁∣≖≼↾∣⋅⊹≕⊢∣⋅⇁≖≺∙⋅≀∙∙⊸∁∏ ⋟∑≖∙⊤⋅⋮− −⊦∢ ∙ ∙ ∙288 dQ dz dQz dr dQz" t . dr r " ( -fr.( tre)+F ;(r = cr)] - Pfalriteest Fu F.(x*—- )]) + ( far"+c)+ F "–ce)] - pen na[ far tcent Ffrº-cr)]) + ...; UI De go inferimus velocitatem v debitam simultaneis concussioni bus circum 0,0 eodem temporis momento ad punctum ( x , y , z ) una pertingentibus nihil fore aliud nisi resultantem ex velocitatibus , quae debentur iisdem concussionibus seorsim spectatis : atque hinc facile intel ligimus cur, pluribus corporibus simul resonantibus , inter oscillationes in aere excitalas non habeatur confusio , omnesque diversi soni inde orti ad aures distincte per veniant. Huc spectat principium de superpositione exiguo rum motuum. 7.04 Redeuntes ad unicam concussionem in 0 , ponamus aerem contineri tubo cylindrico , cujus axis ox, motumque particularum esse ipsi OX parallelum : erunt v" = 0, v" = 0; propterea formula ( i" ) evadet d2Q daQ de unde Q = f ( x + .ct) + F ( x - ct ) ; ረder2 1 et consequenter 288 ... dQ- JQ : "'l-(,Q' z'—dz −−↲≀⋅⋅ r' dr" r'

ll ≼⋅≟≑⊏∣∣∙≺↗⋅⊣⇥≻⊣−≖⋅⇁⋅≖≺↗⋅⋅−⋅∘≀∏ ∙−⋅⋅⋮−⋅⋮⋅⇆⋅⋅⊔≖⋅∊⋅↾⋅⊣↽⊸≀⊢⊦ ∙ , ⋅ mo*—cn] )f— ⊣−≺⊽⊏ ↑∼≖≼↗⋅∙−⊦∘↥≻−⊦ ≖∸⋅∙≖≺↗∙∙−∘≀∏ − ⋮∙−⊦∘≀≻⊹↧⊸⇁≖≺≀∙↝−−∘≀∏⋟−⋮⊽ −↿− ∙ ∙ ⋅ inferimus velocitatem v debitam simultaneis concussioni- bus circum O'. 0" , ... eodem temporis momento ad punctum ( x . y ,

) una pertingentibus nihil fore aliud nisi resultantem ex velocitatibus , quae debentur iisdem concussionibus seorsim spectatis: atque hinc facile intel- ligimus cur, pluribus corporibus simul resonantibus . inter oscillationes in aere excitatas non babeatur confusio. omnesque diversi soni inde orti ad aures distincte per- veniant. Huc spectat principium de superpositione exiguo- rum motuum. 7." Redeuntes ad unicam concussionem in 0, ponamus aerem contineri tubo cylindrico, cuius axis OX. motumque particularum esse ipsi OX parallelum: erunt 0' '::--0. 0" ':o; propterea formula (i") evadet ⋅ 32? —-c £?. unde Q—−−⋅∣↗≼∶∁−∔⊸⇂⋟ -l-F(x—-ct); et consequenter289 dQ 1 dQ dx = pilatot) + F '( x - 1), E = - ca do [fotot) – F (x – ct )] . Functiones f et F absque ulla difficultate determinantur: sunt enim ( 1.9). f( x) = f(@ + F'(Q ), - cf:(Q ) = f (a) F '( ) ; ideoque f'( X) = f (Q )-cfi(Q ) 2 f(@ t-of ( ) F (a ) = 2 Ultimae ac penultimae aequationis secunda membra eva nescisnt statim ac a fil >Oto : erit itaque f ( t ) = 0 quoad -aereas particulas ultra azi proinde quoad ejusmodi particulas F ' ( x-ct ) . Hinc sequitur souum adhuc ( 3. ) propagatum iri uniformiter velocitate се V 11 + 4 ). • De reflexa soni propagatione per aerem .
130. Cam in directa propagatione sonoras aer offen dit obicem aptum, reflectitur; hinc echo ( 115 ) progignitur; assertio sic probatur . Constat quod corpus in motu positum , si in obstacu lum incidit , quod elasticum sit , vel durum , et corpus ipsum ⋅ 289 v −∸−≖ B:] ')(æ-l-ct -l-F'(æ—ct), a:.— — ∙−∙−−−⋅⋅∶ ⋅↿ ∙
- [f(ar-l—ct)

- F'(x—-ct)] . Functiones f et P absque ulla didicu-l'tate determinantur: sunt enim (1."). ⋅ ⊞≀∝≻−−−↿≺⊄⊢⊦⋮⇁≀≺∝≻∙ ∙− cf.(a)-—:f(a1—F'(a) : ideoque f(ao ⇌≖ aa)-zcnm) ∙ Ha): Karl-faa) ∙ Ultimae ac penultimae aequationis secunda membra eva- nescunt statim ac « Et )a.. : erit itaque fur-H:):o quoad aereas particulas ultra «.' ,proinde quoad eiusmodi particulas ⋅-cs :: F' (a:—ct ).

Hinc sequitur sonum adbuc (3.") prcpagatum iri unifor- miter velocitate C::V-z-I—(i-I—A). ' De reflexa soni prcpagatione per aerem ∙⋅

130. Cum in directa propagatione sonoras aer oü'en- dit obicem aptum, reflectitur: binc echo (115) progiguitur: assertio sic probatur.

Constat quod corpus in motu positum, si in obstaculum incidit, quod elasticum sit, vel durum, et corpus ipsum impingens elasticilate gaudet, debet molus directionem mutare ac reflecti: ergo aer, elasticus cum sit, ubi in obstaculum offendit, quod vel elasticum sit, vel certe non molle, reflecti debet; undae videlicet aereae, quae ex sonoro corpore progignantur ac propagantur directe, debent obicem offendendo regredi, sonumque reflexum progignere. Exemplo circulorum in aqua ex injecto lapide excitatorum res oculis subjicitur: circuli enim isti ubi ad ripam appellunt, reflectuntur inde eo ordine, quo appulerunt . Aliter sic: ejusdem naturae est echo cum sono ipso directo; obtinet enim utrinque sonus eodem generatim tono, iisdemque affectionibus praeditus; ergo echo gigni debet eodem modo quo sonus directas: atqui hic per undas aereas successive a sonori corporis motu genitas procreatur; ergo per similes undas etc. Hinc in aperta planitie, ubi nullas est obex, sono directo minime Echo respondet. Cohaeret doctrina com Echo phoenomenis. Nam

1° redit reflexa vox duplo temporis intervallo: ab experientia doctus sum, inquit Derhamus, Echo redire duplo intervallo, quo vox primaria ad objectum phonocanticum pertingebat; scilicet tempus requiritur ut ad obicem vox primaria deveniat, et rursum tantumdem temporis exigitur ut reflexa ab obice redeat ad loquentem.

2º. Remissior plerumque est Echo quam vox directa audiri soleat; aliquando tamen intensius resonat Echo quam sonus directus audiatur. Ralio primi est: cum soni intensitas decrescat pro aucta distuntia a sonoro corpore, jam decrescit sonus ad obicem pergens; inde autem regrediens, et novas undas progignens, iterum decrescere debet intensitas: ratio secundi, quia si obstaculum concavum sit, plures colligere poterit radios phonicos , quos unitos simul in uno loco regerat.

3º. Aliquando ( 115 ) seinel vox reflectitur, aliquando saepius: prima dicitur Echo monophona, altera polyphona. Si enim obstaculum unicum sit , jam nonnisi semel potest vocem remittere; contra saepius remittitur duplici ex causa. Prima est cum iu variis distantiis plura habentar 290 impingens elasticitate gaudet , debet motus directionem mu- tare ac reflecti :ergo aer , elasticus cum sit ∙ ubi in ob- staculum offendit , quod vel elasticum sit, vel certe non molle , reflecti debet; undae videlicet aereae, quae ex so- noro corpore prOgignuntnr ac propagantur directe , debent obicem oll'endendo regredi , sonumque reflexum progignere .

3". Aliquando (1 15) semel vox refle- ctitur,aliquando saepius: prima dicitur Echo monopbona, altera polyphona. Si enim obstaculum unicum sit. iam nonnisi semel potest vocem remittere; contra saepius remittitur dupli- ci ex causa. Prima ut cum iu variis distantiis plura habentur291 obstacula: altera causa est, cum duo sunt obices e regione col locati; vox enim ex uno reflexa in alterum incidit, atque ex hoc iterum reflexa iucidit in primum, et ita porro. Apud veteres memoratur Olympiae porticus ; quam eplaphonam dicebant, quod septies eamdem vocem redderet , ut tradit Plinius. Prope Mediolanum celebris est Echo in palatio Simonetta, in quo ope duorum parietum parallelorum fra gor minoris fistulae bellicae vicies, et aliquando tricies re petitur teste Schoto.

40. Echo saepius unam tantum syllabam, aliquando plures refert: echo monosyllaba prima, et polysyllaba altera dicitur: habentur loca, ex quibus integer versus hexameter repetitur. Ea nempe est obicis ( 115) distantia, ut sonus reflexus primarum syllabarum tunc demumad aures regrediendo perveniat quando vocis directae impressio jam desinit; ac tunc sonus primae syllabae, qui opportune regreditur jam expleto versu, poterit esse sepsibilis, itemque aliarum successive.

5º. Echo redditur aliquando a silyis; imo etiam a campis sulco exasperatis et a planitie cespitibus ac virgultis inspersa reverberalur vox; reverberari autem a sulcis ac cespitibus animadvertit Kircherus, quia quando sulci eversi, ac virgulta praecisa fuerunt Echo nulla reddebatur: talis nempe esse potest irre gularis partium reflectentium dispositio, ut etiamsi plures ra dii phonici dispergantur, non pauci tamen in eumdem lo cum collineent.

131. Reflexio soni fil ad angulos incidentiae et refle xionis aequales : quod sic explicamus . Sit AB ( Fig. 60. ) fir ma , planaque superficies ; KCK' recta perpendicularis su perficiei AB ; K centrum sonorum , ex quo propagantur sphaericae undae CDD', C'EE', etc... appellentes ad AB in C, C'ete ... Fiet soni reflexio in C, C , ..; ethabitis C , C ... pro noris secundariarum undarum centris , ipsae secundariae undae remittentur cum eadem principalis undae velocitate. Pro grediente unda principali ab CDD' usque ad BB ' , unda manans ex C progredietur ab C usque ad Q ; repraesenta 291 obstacula: altera-causa est, cum duo sunt obices e regione col- locati; vox enim ex uno reflexa in alterum incidit, atque ex hoc iterum reflexa incidit in primum, et ita porro. Apud veteres memoratur Olympiae porticus; quam eptaphonam dicebant, quod septies eamdem vocem redderet, ut tradit Plinius. PrOpe Mediolanum celebris est Echo in palatio Simonetta, in quo ope duorum parietum parallelorum fra- gor minoris fistulae bellicae vicies, et aliquando tricies re- petitur teste Scboto. 40. Echo saepius unam tantum syl- labam, aliquando plures refert: echo monosyllaba prima, et polysyllaba altera dicitur: habentur loca, ex quibus integer versus hexameter repetitur. Ea nempe est obicis (115) di- stantia, nt sonus reflexus primarum syllabarum tunc demum ad aures regredieodo perveniat quando vocis directae im- pressio- iam desinit; ac tunc sonus primae syllabae, qui op- portune regreditur iam expleto versu, poterit esse sensi- bilis, itemque aliarum successive. 50. Echo redditur ali- quando & silvis; iuno etiam a campis sulco exasperatis et a planitie cespitibus ac virgultis inspersa reverberatur vox ; reverberari autem a sulcis ac cespitibus animadvertit Kir- cberus. quia quando sulci eversi, ac virgulta praecisa fue- runt Echo nulla reddebatur: talis nempe esse potest irre- gularis partium reflectendum dispositio, ut etiamsi plures ra- dii phonici dispergentur, non pauci tamen in eumdem lo- cum collineent.

131. Beflexio soni fit ad angulos incidentiae et refle- xionis aequales: quod sic explicamus .Sit AB (Fig. 60.) Gr- ma, plenaque superficies; KCK' recta perpendicularis su- perficiei AB ; K centrum sonorum , ex quo propagantur sphaericae undae CDD', C'EE', etc... appellentes ad AB in C, B' etc... Fiet soni reflexio in C, C',..; et habitis C,C'... pro novis secundariarum undarum centris, ipsae secundariae undae remittentur cum eadem principalis undae velocitate. Pro-x grcdieute unda principali ab CDD' usque ad BB' , unda manans ex C prOgredietur ab C usqæ ad Q; repraesenta-292 biturque hemisphaerio , cujas semidiameter CQ = D'B ' : item progrediente unda principali ab C'EE usque ad BB” , unda manans ex C' progredietur ab C usque ad C " : re praesentabiturque hemisphaerio , cujus semidiameter CC" E'B' ; alque ita porro. Inferimus , si concipitur superficies curva AQC " B tangens omnia haec hemisphaeria in Q, C " ...., in ea fore puncta illa , quae a secundariis andis reflexis attinguntur eodem instanti , quaeque tunc incipient concuti quum principalis unda pervenerit ad BB' ; exhibebit nimi rum AQC"B superficiem undae reflexae; et quoniam productis infra AB superficiebus BB' , Qa, C'a ' , ..., recta KA' exsistit per: pendicularis ad primam et secundam, recta KH ad primam et tertiam , etc ... ; ac proinde sphaerica superficies B'BA'A tan git sphaericas superficies QaA' , C'a'H , . ; sequitur super ficiem AQB undae reflexae fore sphaericam , ejusque cen trum in K , et semidiametrum K'Q = KA' . Jamvero quem admodum auris collocata v. gr. in C deprehendit sonum directum venire juxta KC' perpendicularem undae incidenti , sic auris in C' deprehendet sonum reflexum venire juxta K'C " perpendicularem updae reflexae ; et cum , ob mutuum sphaericarum superficierum AQB , C'a'H contactum , recta K'C " transeat per C' ; cumque , ob latus KC = K'C , et latus CC commune , triangula rectangula KCC , KCC' dent angulum KCC aequalem angulo K'C'C , erit angulus KCC angulo C " CB ; ideoque angulus incidentiae aequalis an gulo reflexionis . Sit nunc firma curvilineaque superficies AB ( Fig 61. ) , in quam incidant undae CE , HE" , ... BB' propagatae ex centro sonoro K ; si centris C , H , ... describuntur sphae rae , quarum semidiametri ( KB-KC' ) , ( KB - KH ) , ... , aereae particulae sitae in superficie BD tangente sphaeras istas incipient simul affici motu reflexo stalia ab adventu undac ex K in B. Erit igitur BD superficies undae refle xae : quam superficiem pon esse sphaericam nemo est qui non videat. Fac ut puncta C , H sint inter se infinite vi 292 biturqne hemisphaerio , cuins semidiameter CQ ∶⋅−⋅ D'B' : itcm progrediente unda principali ab C'EE' usque ad BB', unda manans ex 0 progredietur ab C' usque ad C"; re- praesentabitnrque hemisphaerio .cnius semidiameter C'C' :: E'B' ; atque ita porro. Inferimus ,si concipitur superficies curva AQC"B tangens omnia haec hemisphaeria in Q, C",..., in ea fore puncta illa , quae a secundariis undis reflexis attinguntur eodem instanti , quaeque tunc incipient concuti - quum principalis unda pervenerit ad BB' ;exhibebit nimi- rum AQC"B superficiem undae reflexae; et quoniam productis infra AB superficiebus BB',Qa, C'a',..., recta KA' exsistit per- pendicularis ad primam et secundam, recta KH ad primam et tertiam , etc... ; ac proinde sphaerica superficies B'BA'A tan- git sphaericas superficies QaA', C"a'H .∙∙∙ ;sequitur super- ficiem AQB undae reflexae fore sphaericam, eiusque cen- trum in K', et semidiametrum K'Q ∶⋅−∙⋅ KA'. Iamvero qnem- admodum auris collocata v. gr. in C' deprehendit sonum directum venire iuxta KC' perpendicularem nudae incidenti , sic auris in C" deprehendet sonum reflexum venire iuxta K'C" perpendicularem undae reflexae ; et cum , ob mutuum sphaericarum superficierum AQB , C"a'H contactum , recta K'C" transeat per C'; cumque , ob latus KC −∙−∸− K'C , et latus CC' commune , triangula rectangula KCC', K'CC' dent angulum KC'C aequalem angulO'K'C'C , erit angulus KC'C

angulo C"CB; ideoque angulus incidentiae aequalis angulo reflexionis . Sit nunc firma curvilineaqne superficies AB (Fig GI.), in quam incidant undae C'E' , HE" ,... BB' propagatae ex centro sonoro K; si centris C' , H , ... describantur sphae- rae , quarum semidiametri ( KB—KC') , (KB—KH) , , aereae particulae sitae in superficie BD tangente sphaeras istas incipient simul affici motu reflexo statim ab adventu undae ex K in B. Erit igitur BD superficies undae refle- xae : quam superficiem non esse Sphaericam nemo est qui non videat. Fac ut puncta C' , H sint inter se infinite vi-293 cina , sintque C'C " , HQ normales ad BD : ex H ductis per pendiculis Ha , Ha' in KC , C'C " , erit Ca ' = CC "—HQ = KB - KC ) - (KB - KH ) = KH - KC = Ca. Quoniam igitur triangula rectangula Cal , Ca'H habent latera aequalia C'a , C'a ', latusque C'H commuue , habebunt ae quales angulos ac'h , a'C'H : hinc sequitur , etsi unda re flexa non est sphaerica , adhuc tamen reflexionis angulum fore aequalem angulo incidentiae.

132. * Haec deducimus ex ( 129) in ordine ad aereum fluidum concussum in K ( Fig. 60 ) , planoque fixo AB ter minatum. 1 °* Sumpta x in KC normaliter ad AB, peribit apud AB tota componens v' ; erit nempe ( 129. 10. ) dQ dxdo O ( a ) quoad x = KC ( = h ). ProducaturKC donec KC = KC; radius vector r' computetur ab K' ; et x ab eodem K' in K'C ; explebitur (a) per Q = --[Pr + c ) + F(ra) ] + [fri + ce ) + F(x – ċe)] ( a ) ; siquidem quoad puncta sita in AB dQ dQ r=r' , dr x = h , it's - h , dr dris dx dx Determinatis praeterea f et F ex ( i" " . 129. 10. ) , re praesentabit ( a' ) initialem fluidi statum: quoniain igitur ( a' ) a— 293 cina , sintque C',C" HQ normales ad BD: ex H ductis per- pendiculis Ha , [in' in KC', 0C." , erit ∁≮≖⇌∁⋅∙∁ ∙∶−⇀−∐≺≀ (KB'—-KC';-(KB-—Kll)—-KH-—KC':C a. Quoniam igitur triangula rectangulaC aH, C:: 'H habent latera aequalia C'a , C'a', latusque C'H commune , habebant ae- quales angulos aC',H a'C' H hinc sequitur , etsi unda re- flexa non est sphaerica , adhuc tamen reflexionis angulum fore aequalem angulo incidentiae. 1324: Haec deducimus ex (129) in ordine ad aereum fluidum concussam in K (Fig. 60), planoque fixo AB ter- minutum. ↿∘∙ Sumpta æ in KC normaliter ad AB, peribit apud AB tota componens v'; erit nempe (129. 10.) 19. da: :0 (a) quoad .c— KC (: It ). Producatur KC donec K' C:: KC: radius vector r' computetur ab K'; et .r' ab eodem K' in K'C; explebitur (a) per ≬⇌−⋮−∥↸≀∙⊣−∘≖⋮⋟⊣−⊏⋅⇁≺↗⋅−⋅−∘∩⊐−⊦ ↿ −≀−∙−∙⋅−∣⋮⋀≀∙⋅−∣⋅−∘≀⊅⊹⊞↱⋅−−⊄⋮↕∙⋟⋅∙∣ (a'); siquidem quoad puncta sita in AB ∙∙ dQ dQ ∙∙∙ ↙≀↾∙∙∙⊲ dr' ⋅⋅−—"'-27—27 ***-" ∙⋅↕−⇀−∣⋅∙⋅↴∙⋮⋮⊒−− 2;- Determinatis praeterea f et F ex (i'". 129. 10.), re- praesentabit (a') initialem fluidi statum: quoniam igitur (a')291 ! 1 1 1 1 1 et satisfacit conditioni ( a ) , et exprimit initialem fluidi statum, poterunt per ( a' ) definiri, quae spectant ad motus propaga tionem, attento obstaculo AB. 2º . * Punctum C " , ad quod pertinent radii vecto res r et r seu KC" et K'C " , perinde motum concipiet ac si ( 129. 6. " ) , sublato plano AB, fluidum eadem omnino ratione concuteretur simul circa duo puncta K et K' . Per tinget itaque ( 229. 4º. ) concussio ad C ", primum in fine temporis deinde in fine temporis : hinc bi ni successive motus in C " , alter directus, alter reflexus ; et quia secunda concussio non pervenit ad C " nisi quum tempus sic invrevit, ut habeatur r = ct + a,, iccirco eadem velo citate c regredietur motus, qua incedebat antequam in obi cem impiogeret. Ad haec : cum anguli KC'C, K'C'C sint aequales, rursus ( 131 ) patet sonum illisum obici AB re gressurum efficiendo angulum reflexionis aequalem angulo incidentiae. C. с De instrumentis pneumaticis.

133. In instrumentis pneumaticis soni genesis repe tenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium so lidarum ipsius instrumenti. Etenim si in hisce instrumentis dicatur soous creari eodem modo ac in instrumentis per cussione resonantibus, jam sonus ipse connexionem haberet maximam cum materia qua instrumentum compactum est , nec non cum ejusdem crassitie; quod tum ratione verissi mum apparet , lum etiam constat ex vi paritatis. Ratione quidem: nam in instrumentis ex diversa materia compactis, quorum proinde particulae non aeque elasticae sunt, et ad mo. cum oscillatorium non aeque aptae, non eodem modo tremu. lus ille motus per insufflationem excitari debet ; quo vero crassius instrumentum est, eo in plures continuas partes 0 294 et satisfacit conditioni (a), et exprimit initialem fluidi statum, poterunt per (a') definiri, quae spectant ad motus prcpaga- tionem, attento obstaculo AB. 20.a Punctum C", ad quod pertinent radii vecto- res r et r' seu KC" et K'C", perinde motum concipiet ac si (129. 6.0), sublato plano AB, fluidum eadem omnino ratione concuteretur simul circa duo puncta K et K'. Per- tinget itaque (229. 40.) concussio ad C", primum in fine tempons c , deinde in fine temporis c : hinc bi- ni successive motus in C", alter directus, alter reflexus; et quia secunda concussio non pervenit ad C" nisi quam tempus sic iuvrevit, ut habeatur r': ct ⊣−∙ a. , iccirco eadem velo- citate c regredietur motus, qua incedebat antequam in obi- cem impingeret. Ad haec : cum anguli KC'C, K'C'C sint aequales, rursus (131) patet sonum illisum obici AB re- gressurum efficiendo angulum reflexionis aequalem angulo incidentiae. ∙ r—al r'e—a De instrumentis pneumatict's.

133. In instrumentis pneumaticis soni genesis repe- tenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium so- lidaram ipsius instrumenti. Etenim si in hisce instrumentis dicatur sonus creari eodem modo ac in instrumentis per- cussione resonantibus, jam sonus ipse connexionem haberet mammam cum materia qua instrumentum compactum est, nec non cum eiusdem crassitie; quod tum ratione verissi- mum apparet , tum etiam constat ex vi paritatis. Ratione quidem: nam in instrumentis ex diversa materia compactis, quorum proinde particulae non aeque elasticae sunt, et ad mo- tum oscillatorium non aeque aptae, non eodem modo tremu- lus ille motus per insufilationem excitari debet ; quo vero crassius instrumentum est, eo in plures continuas partes o-295 scillatorius molus dispesci debet. Vi paritatis autem : nam reipsa instrumenta, quae percussione sopant, pro materiae di versitate etiam in pari crassitudine diversimode contremiscunt; et si ejusdem sint materiae, pro diversa crassitie diversum item sonum edunt. Ergo sonus in instrumentis pneumaticis maximam connexionem etc. si in his soni genesis etc. Atqui hoc est falsum : in tibiis enim cylindricis ejusdem longitu dinis idem habetur sonus aut fere idem , nullo respectu habito ad materiam aut crassitiem ipsius instrumenti , ut constat experimentis; totumque artificium pro varietate to norum pendet ex instrumenti variata longitudine: propte rea etc. Quonam igitur pacto in hujusmodi instrumentis erit soni genesis explicanda ? Eo videlicet , quem indicavimus (114.). In interna instrumenti capacitate aeris columna includitur, quae externi aeris pressione urgetur: dum igitur per exiguum orificium fistulae alius aer insufflatione intro mittitur, aer ille inclusus condensari debet , atque urgeri contra aerem externum; externus autem vi suae pressionis resistere; et quum aeris interni aucta pressio vincit, hic se dilatando condensabit externum aerem , repelletque; externus aer ita densatus ut ejus elasticitas praevaleat, se restituendo rursum comprimet internum aerem : in columna videlicet illa fiei compressio et restitutio, sicque in aeris particulis oscillato rius motus excitabitur; qui motus communicabitur externo aeri contiguo, et ad aures perveniet. Aer itaque secundum lon gitudinem fistulae se habet instar chordae peragentis longita dinales vibrationes: quo tibia et consequenter columna aerea longior est, eo etiam longiores undae efformantur; longius que erit tempus compressionis et restitutionis , ac proinde Lonus gravior. Hinc in instrumentis, quae secundum longi Ludinem sunt foraminibus instructa, modo hoc et modo il lud foramen aperiendo, sublato digito, varii obtinentur to ni; siquidem externum aerem sic admittendo , modo ma jorem et modo minorem columnae aereae longitudinem ha 295 scillatdrius motus dispesci debet. Vi paritatis autem: nam reipsa instrumenta, quae percussione sonant, pro materiae di- versitate etiam in pari crassitudine diversimode contremiscunt; et si ejusdem sint materiae, pro 'diversa crassitie diversum item sonum edunt. Ergo sonus in iustrumentispneumaticis maximam connexionem etc. si in his soni genesis etc. Atqui ' hoc est falsum: in tibiis enim cylindricis ejusdem longitu- dinis idem habetar sonus aut fere idem , nullo respectn habito ad materiam aut crassitiem ipsius instrumenti , ut constat experimentis; totumque artificium pro varietate to- norum pendet ex instrumenti variata longitudine: propte- rea etc. Quonam igitur pacto in hujusmodi instrumentis erit soni genesis explicanda ? Eo videlicet , quem iudicavimus (114.).ln interna instrumenti-capacitate aeris columna in- cluditur, quae externi aeris pressione urgetur: dum igitur per exiguum orificium fistulae alius aer iusufflatione intro- mittitur, aer ille inclusus condensari debet, atque urgeri contra aerem externum; externus autem vi suae pressionis resistere; et quam aeris interni aucta pressio vincit, hic se dilatando condensabit externum aerem, repelletque; externus aer ita densatus ut ejus elasticitas praevaleat, se restituendo rursum comprimet internum aerem: in columna videlicet illa fiet compressio et restitutio, sicque in aeris particulis oscillato- rius motus excitabitur; qui motus communicabitur externo aeri contiguo, et ad aures perveniet. Aer itaque secundum lon- gitudinem fistulae se habet instar chordae peragentia longitu- dinales vibrationes: quo tibia et consequenter columna aerea longior est, eo etiam longiores undae efi'ormantur; longius- que erit tempus' compressionis et restitutionis , ac proinde tonus gravior. Hinc in instrumentis, quae secundum lougi- tudinem sunt foraminibus instructa, modo hoc et modo il- lud foramen aperiendo, sublato digito, varii obtineatur to- ni; siquidem externum aerem sic admittendo , modo ma- iorem et modo minorem columnae aereae longitudinem ha-296 benius. Ita in chordis, pro majori chordae longitudine gra vior est tonus, acutior pro minori; et digitis comprimendo camdem chordam, ut evadat plus aut minus longa , varios assequimur tonos . Dixi soni genesim repetendam non esse saltem prae cipue ex oscillatione solidarum partium etc. Etsi enim ex materia instrumenti non habetur varietas quoad soni qua litatem , aut valde notabilem intensitatem ; varietas tamen habelur quoad meliorem aliquam resonantiam; idque ex eo desumendum videtur quod aer inclusus pro diversitate cor poris includentis melius aut minus bene oscillare potest ; magis nimirum aut minus impeditus adhaesione ad ipsum corpus et scabritie aliqua. Ad haec; si instrumentum pneu maticum sit compactum ex materia non resistente, quale v.g. esset instrumentum membranaceum , tunc per vibrationes columnae aereae excitari poterit sensibilis motus oscillato rius in partibus instrumenti; quae partes vicissim in aerem vibrantem reagendo valebunt sonum ipsum modificari etiam quoad tonum; et quidem plurimum si instrumentum sit val de breve, quemadmodum expertus est D. Savarı; adeo ut brevi tubo membranaceo obtineri possil magna varietas lonorum , qui eo graviores erunt quo minus tenditur mem brana.

134. Haec proponimus explicanda circa instrumenta pneumatica.

1º. Aperto aliquo foramine ex. gr. tertio, cae lerisque clausis, ac deinde aperto alio puta quinto , variat lonus: at si ' per aperitionem tertii inducitur communicatio interni aeris cum externo, nonne ex dictis ( 133 ) audiri de beret idem tonus sive apertum sive clausum sit quintam foramen ?

2º. Sola inflationis intensione mutantur toni , e tiam servata eadem internae columnae longitudine

3º. In canna organi ejusdem diametri superius clausa, si subdupla sit longitudo , idem redditur tonus qui obtinetur ex can na superius aperta, et longitudinis duplae. Ad 1. Cum varia in instrumento pneumatico fora mina aperiuntur, variae interni aeris columnae communi 296 hemas. ita in chordis, pro maiori chordae longitudine g'ra- vior est tonus, acutior pro minori; et digitis comprimendo eamdem chordam, ut evadat plus aut minus longa , varios assequimur tonos. Dixi soni geneaim repetendam non esse saltem prae- cipue ex oscillatione solidarum partium ctc. Etsi enim ex materia instrumenti non habetur varietas quoad soni qua- litatem , aut valde notabilem intensitatem ; varietas tamen habetur quoad meliorem aliquam resonantiam; idque exeo desumendum videtur quod aer inclusus pro diversitate cor- poris incladentis melius aut minus bene oscillare potest; magis nimirum aut minus impeditus adbaesione ad ipsum corpus et scabritia aliqua. Ad haec; si instrumentum pneu- maticum sit compactum ex materia non resistente, quale v.g. esset instrumentum membranaceum , tunc per vibrationes columnae aerea'e excitari poterit sensibilis motus oscillato- rius in partibus instrumenti; quae partes vicissim in aerem vibrantem reagendo valebunt sonum ipsum modificari etiam quoad tonum; et quidem plurimum si instrumentum sit val- de breve, quemadmodum expertus est D. Savart; adeo ut brevi tubo membranacea obtineri possit magna varietas tonorum, qui eo graviores erunt quo minus tenditur mem- liraua.

134. Haec proponimus explicanda cirea instrumenta pneumatica. 10. Aperto aliquo foramine ex. gr. tertio, cae- terisque clausis, ac deinde aperto alio puta quinto. variat tonus: at si' per aperitionem tertii inducitur communicatio interni aeris cum externo, nonne ex dictis (133) audiri de- beret idem tonus sive apertum sive clausum sit quintum foramen? 20. Sola inflationis intensione, mutantur toni. e- tiam servata eadem internae columnae longitudine 3". In canna organi eiusdem diametri superius clausa, si subdupla sit longitudo, idem redditur tonus qui obtinetur ex can- na superius aperta, et longitudinis duplae. Ad 1." Cum varia in instrumento pneumatico forf- mina aperiuntur, variae interni aeris columnae communi-297 cantes çum aere externo excitantur; non ita tamen commu nicantes, ut simul non etiam inter se communicent; ergo looi variare per plurium foraminum aperitionem debent , etsi exquisitam ejus rei rationem aegerrime quis reddere possit. Ad 2." Ut per vehementiorem percussionem in chor da instrumenti fidicularis contingit ut ea resonet ad oclavam, ita in columna aerea per variam inflationis intensionem con tingit ut tonus mutetur; et sicut certum est in chorda mu sica quod ea tunc dividitur in duas partes separatim oscil lantes, ita eadem asserenda est fieri divisio et oscillatio in columna aerea sub tempore, quod sił proportionale tono quem reddit. Hinc deducitur explicatio saltus ut ajunt tu bae v. gr. ad octayam: cam paulo vehementius inspiralur tu ba, cogitur aer ad celeriorem motum , quem tamen colu mnae aereae jam vibrantes , utpote nimis longae, praesta re non possunt. Dividitur igitur columna per medium ita , ut duo nova segmenta aeris aequalia suas vibrationes separatim peragant. Ubi vero saltus non sit ad octavam , alia divi sio fieri dicenda est . Ad 3." Ia medio cannae duplae efformátur nodus , habetur aereum stratum quiescens , quemadmodum habetur in orificio clauso cannae subduplae ; adeoque ea dem undae aereae longitudo in utraque canna , idemque proinde tonus .

135.* Sit tubus cylindricus determinatae longitudinis 1, firmiter obseratus apud alterum orificium , aperius apnd al terum : aequilibrium aereae columnae inclosae ita turbari pono, ut qui aer orificio aperto ( ubi initium distantiae x consliluo ) respondet, nullam densitatis variationem subeat, et qui orificio clauso, nullatenus moveatur.Functiones ( 129.7 °) . f, fx , ac proinde f , F ' tanquam datas assumo ab x = 0 ad x = l. E statu aeris apud extremitates tubi habemus = o si x = 0, v = 0 si x = l; hinc seu fl + 1) + F'll — cl) = 0 ( 0 ) , 20 297 can'tcs cum aere externo excitantur; non ita tamen cdmmu- nicantes, ut simul non etiam inter se communicent; ergo toni variare per plurium foraminum aperitionem debent , etsi exquisitam eius rei rationem aegerrime quis reddere possit. Ad 2." Ut per vehementiorem percussionem in chor- da instrumenti fidicularis cdntingit ut ea resonet ad octavam, ita in columna aerea per variam inflationis intensionem cou- ting'it nt tonus mutetur; et sicut certum est in chorda mu- sica quod ea tunc dividitur in duas partes separatim oscil- lantes, ita eadem assereuda est fieri divisio-et oscillatio in columna aerea sub tempore, quod sit proportionale tono quem reddit. Hinc deducitur explicatio saltus ut aiunt tu- bae v. gr. ad octavam: cum paulo vehementius inspiratur tu- ba, cOgitur aer ad celeriorem motum, quem tamen colu- mnae aereae iam vibrantes, utpote nimis longae, praesta- re non possunt. Dividitur igitur columna per medium ita, ut duo nova segmenta aeris aequalia suas vibrationes separatim peragant. Ubi vero saltus non sit ad octavam, alia divi- sio fieri dicenda est, ⋅ ' Ad 3." In medio cannae duplae eEorm'atur nodus , seu habetur aereum stratum quiescens, quemadmodum habetur in orificio clauso cannae subduplae: adeoque ea- dem uudae aereae longitudo in utraque canna , idemque proinde tonus.

135 Sit tubus cylindricns determinatae longitudinis !, firmiter obseratus apud alterum orificium, apertas apud al- tequm : aequilibrium aereae columnae inclusae ita turbari pono, ut qui aer orificio aperto ( ubi initium distantiae .a- constituo ) respondet, nullam densitatis variationem subeat, et quiorificio clauso, nullatenus moveatur.F unctiones (129.7"). f, f. , ac proinde f, F' tanquam datas assume ab a: 30 ad .r.-zl. E statu aeris apud extremitates tubi habemus

osi æzo,v:——osiæ:-:l; hinc

≀≖∣⋅∶≀−∙⊢≀∶∠⊢⊢ F'(l—c1):o ( o ) . 20298 Fll — ct) - f ( c ) = 0 ( o' ) . In (0 ) substituatur ct +1- x in locum ct : prodibit f (21 + ci - x) = - F '(x - 1) ( 0" ) ; unde = f'( x + cl) – f'( 21+ ct - x ) , c = -f(x + ct) -f(21 +ct - x) : ( o ' ') in ( o " ) fiat x = 0 ; erit ob ( o') f (c + 2) = -F ( - ct) = -f (c ) (0" " ); subrogato ct +21 in locum ct, habebitur f '( c +4 ) = -f( ct + 2 ) = f(t ) (o '); denique si in ( 0 ") ponitur ci=0, emerget f( 21 — x ) = - F ( x ) ( 0 " ) . . Aequationes ( o' : 0' ! ) satis sunt, ut functionem f con siderare possimus veluti datam quoad omnes positivos ya. lores quantitatis variabilis , ad quam respicit ipsa functio. Etenim e statu initiali atque arbitrario aereae columnae ad motum incitatae , data est F' ab x = o ad x = l ; ergo ob (o " ) data erit fab x = l ad x = 21 : ex eodem sta tu jam dala erat fab x = o ad x = l ; ergo dabiturf ab x = o ad x = 21. Aequatio autem ( o") rem evidentissime absolvit quoad caeteros quantitatis variabilis positivos va lores. Ergo etc. 298 F'(—ct)——f(ct):-to (c'). In (o) substituetur et −⋅⊢≀ —- a: in locum et: prodibit f(2l −∣⋅− ct — a:) ∶−∙−− F'(x—ct) (o" ); uude v:f(æ-i-ct)—f(2l—l—ct—æ). etc:—f(x-i-cz)—f(2l -i-ct—æ): 111 (o") fiat m::- o; erit Ob (0') (o"') f(cs −↿− 21) ∶−∙− −F'( —ct) −−∶ —f(ct) (o"): subrogato et —-[-21 in locum et, habebitur f(cz ↽⊢ 4!) ∙−−− —-f(ct −⊦ 21) ↽↼−−⋅≖ f(ct) (a'; denique si in (a'—') ponitur ctzo, emerget f(ZI—æ) z—F'Lr) (o"). Aequationes (a': a'!) satis sunt, ut functionem f coa- siderare possimus veluti datam quoad omnes positivos ,va- lores quantitatis variabilis, ad quamrespicit ipsa functio. Etenim e statu initiali atque arbitrario aereae columnae ad motum incitatae , data est F' ab a: a ad w:! : ergo ob (o") data erit f ab æ-—-:l ad se:21 :ex eodem sta- tu iam data erat f' ab a: :: o ada::1; ergo dabitur [' ab a: :: 0 ad se:21. Aequatio autem (o") rem evidentissime absolvit quoad caeteros quantitatis variabilis positivos va- lores. Ergo etc.299 Quoniam ab x = o ad x = 21 dependet f' ab ini tiali atque arbitrario statu aereae columnae ; poterit igitur sic assumi inter illos limites , ut facto i = 1,3,5,7 ,..., sit 21 f'(c + % -f(cc + = p"(ce) ( 0 " " ); numeri pares = 2, 4, 6 ... debent excludi ob aequatio dem (o " ). Instaurantur ergo iidem functionis f valores 42 quotiescumque tempus t evadit it ; sed ( o " ) a functio ic ne f unice dependent v, E. Columna igitur aerea in eum dem restituitur statum per aequalia intervalla, suasque com 41 plet oscillationes intra tempus ; quarum propterea nu merus intra q ' erit ic ic 41 136.. Evanescet (135.0 '"') velocitas v ubi fuerit f ( x + cos = f (21 + ct - x ) ; evanescet e si f'( x + ct) - f (21+ ci - x ). Primum contingit ( 135 : 0 " ) quando (22 +ic - x ) 41'2 - ( x + cl) seu 21 2x ; secundum quando 21— 21" i 1 2x= • Hinc 1º. facto i = 0 , 1 , 2 , 3 .. i scet aer in distantiis 2 , quie lli - 21 ) X 2º . Facto i" =1 , 3 , 5 .... 1 ; movebitur aer in locis 299 Quoniam ab a: a ad a: 2! dependet ;" ab ini- tiali atque arbitrario statu aereae columnae ; poterit igitur sic assumi inter'illos limites, ut facto i:1,3,5,7,...., sit 41 21 ∣ '" ∣⇃≺∁⊢⊢ ∙ −−⋮∙⊣∶∶≕−∣↙≼⋄⊢⊢ 7): f (ct) (0 ): numeri pares r':2, 4, 6 ... debent excludi ob aequatio- nem (o"). Instaurantur ergo iidem functionis f' valores , quotiescumque tempus : evadit t −∣∙⋅ & sed (o"')a functio-ne )" unice dependent v, :. Columne igitur aerea in eum-- dem restituitur statum per aequalia intervalla, suasque com- . . . plet 4! osc1llat1ones intra tempus ∙≀⋅−≔∙ ; quarum propterea nu- merus intra 1" erit t'

136. a Evanescet (135.o"')velocitas :: ubi fuerit f' (æ—l—ct

f(ZH— ct —- æ ); evanescet :si f(x −∣⋅− et): — f(ZI-i- ct ∙−− a: ). Primum contingit (135: a'") quando (21—1—4 cs --' a:) 41"! −∙− ( æ ⋅−⊢ ct) seu 2! -- 21: −∙−−−−− T;secundum quando 21— 2 ∙∣∣ ∙−↿ . 2x: −⋮∙−↨ ∙Hinc ↿∘∙ facto 1": a, 1, 2, 3 .... 'T, qu1e- scet. aer in distantiis' - ∙∙∙ [( t' — 21") æ ! 20. Facto 1'" :1, 3, 5 .... i; movebitur aer in locis300 llimi) quin tamen ullam patiatur densitatis variationem, Aper tis itaque foraminibus in hisce postremis locis , nullo pa cto sonus mutari debet ; quod experientiae consonum re peritur: imo non mutabitur sonus, licet lubo abscindatur pars 1- x , quae ultra locum x ad fundum usque pro tenditur. Atqui pars reliqua nihil aliud est nisi tubus in utraque patens extremitate: ergo si de hujusnuodi cubis sermo sit, posita e = o apud unum orificium erit quo que apnd alterum { =0. 137. # In tubis itaque cylindricis, quorum ambo ori ficia libera omnino sunt, habetur ( 129.7 .)

Fl—ct) — 9 (2+ cl ) = 0, F1 — ct) - f'(C ) = 0. Hinc facile deducuntur ( 135 ) sequentes aequationes f (21 + cix) = F ' x - ct), v = P ( x + ct) + P (21 + c1 - ), c : = f ( 21 + (1 - x ) — f (x + c ! ), f (ce + 21 = F (-1)= f (c ), f'(21 — * ) = F ( x ). Quia vero ab x = o ad x = 21 rursus dependet p ab initiali atque arbitrario statu 'aereae columnae , ic circo poterit etiam asseri sequens aequatio. f (ce + *-) = f ( c ) in praesenti est i = 1. 2, 3, 4 ...... æs. lu.—'r') 1 , quia tamen ullam patiatur densitatis variationem. Aper- tis itaque foraminibus in hisce postremis locis, nullo pa- cto sonus mutari debet; quod experientiae consonumre- peritur: imo non mutabitur sonus, licet tubo abscindatur pars l—æ, quae ultra ↙ locum a: ad fundum usque pro- tenditur. Atqui pars reliqua nihil aliud est nisi tubas in utraque patens extremitate: ergo si de huiusmodi tubis sermo sit, posita :

o apud/uuum oriücium erit quo-

que apud alterum::o.

137.a In tubis itaque cylindricis, quorum ambo ori- licia libera omnino sunt, habetur (129. 70.) F'U—ct) - f(l −↿− ct) ∙−−−−∙∙ o,F'( - ct) --f(ct): 0. Hinc facile deducuntur (135) sequentes aequationes f(21 -l-ct -æ):F'(æ—-ct), v ::f'(æ ⊣− et)-t— f(ZI-i-ct—x). es:/(21 -t-ct —x)-— f(æ-t—ct), f(ct-t-Zl):F'(—cc):f(c1), f(2l — a: ): F' (æ)- Quia vero ab a: 0 ad ..r:21 rursus dependet f ab initiali atque arbitraria statu 'aereae columnae , ic- circo poterit etiam asseri sequens aequatio. f(ct—i- -—2'-£-) :f'(ct )

in praesenti est i: 1. 2, 3, 4 ...... ≡⊲∙⋅⇀≣∎ lJ-r

301

22 Iterat ergo aerea columna per aequalia intervalla ic oscillationes suas , quarum proinde numerus intra 1 " erit ic n = 21 Haud immoror inquisitioni distantiarum , ubi a er vel quiescit, vel nativam retinet densitatem : hujusmo. di namque investigatio similiter perficitur ac in Lubis, quorum unum orificium apertum est . Satius forsan e rit adnotare quod, facto i = 1 , exhibet ( 137 ) aequatio n ' relationem inter principalem tonum n ', redditum ab elastico fluido intra tubum oscillante, et velocitatem c qua sonus incederet si per ipsum fluidum propagaretur. Hinc patet quomodo experimentis indagari possit velocitas c in aliis elasticis flaidis ab aere atmosphaerico diversis : ex tentaminibus Van - Rees, Frammeyer, et Moll prodiit so ni velocitas sub temperie 10.° C 21 io gas oxigenio 3,7m, 9 : bydrogenio 1233 , 3 , nitrogenio . . 339 . oxido nitrico 317 , 4 , acido salphuroso 229 , 2 , acido carbonico 370 , 7 , . . suboxido carbonico . . 341,1 etc. etc. 301 . . 2! [terat ergo aerea columna per sequsl1a1ntervalla ∙∙∙∙⋮∙⋅− oscillationes suas ∙ quarum ⋅proinde numerus intra 1" crit ' IC Haud immoror inquisitioni distantiarum , ubi a- er vel quiescit, vel nativam retinet densitatem: huiusmo- di namque investigatio similiter perficitur ac in tubis, quorum unum orificium apertum est. Satius forsan e- rit adnotare quod, facto 1':1,exhibet (157) aequatio n' 0 ∙−−∶ -2-l- relationem inter principalem tonum n', redditum ab clastico flaido intra tubam oscillante, et velocitatem e qua sonus incederet si per ipsum fluidum prcpagaretar. Hinc patet quomodo experimentis indagari possit velocitasc in aliis elasticis fluidis ab aere atmosphaerico diversis: ex tentaminibas Van— Bees, Frammeyer, et Moll prodiit so- ni velocitas sub temperie 10.0C in gas oxigenio . . . . . . 317',g, hydrogenio . . . . . 1233,3, nitrogenio. . . . . . 339 . ∙ oxido uitrico . . . . 317 ,4 acido sulphuroso . . - 229 , 2 , acido carbonico . . . . 370 , 7 , suboxido carbonico . . . 341 , 1 , etc. etc.302

138. Si tubus proponilur utrinque obseratus , quis que videt fore v = o apud ambas extremitates; unde (129.7°) f (c ) + F ( -ct)= 0,flfct) + F (l ct) = 0, quarum ope determinatur motus inclusi aeris, De propagatione soni per liquida , et per solida corpora. 139.* Quod spectat ad liquida corpora , in comperlo est aquam v. g. contrahi perparum posse atque restitui in suis partibus : itaque qua ratione turbatum posuimus ( 129..1 . ° ) aequilibrium , eadem in praesenti imaginemur turbari . Propagato motu , densitas ré aquae libratae ver tetur in je = pili + :) apud (2. , y , z ) ; et pressio o' in w= '+Ae ; exprimit A numerum experimentis deter minandum. Sumptis hic quoque X=0, Y=0, Z=o, et ra tiocinando ut in citato n. ° assequemur d dQ 1 do dt ( dQ dt dr A dL {1+ :) dr seu р. dr pi A tum facto c ” , perveniemus ad formulas (i' '.;" . . ji į " : 129, 1.0 ) . Non pluribus opus est ut intelligamus ( 129. 2.° 3,0 ) sonum per aquam diffundi aequabiliter ve locitate. VA Numerus A potest determinari ex parvula contractione , quam juxta longitudinem à ( haud variata diametro ) pa 302 1381: Si tnbus praponitnr utrinqne obseratus , quis- que videt fore v:o apud ambas extremitates; unde (129.?) f(ctH-FX --ct):o,f7(l—i-ct)-i-F'(l—ct):a, quarum Ope determinatur motus inclusi aeris. De propagatione soni per liquida, et per solida corpora. 139:- Quod spectat ad liquida corpora, in comperto est aquam v. g. contrahi perparum posse atque restitui in suis partibus :itaqne qua ratione turbatum posuimus ( 129. ⋅↿∙∘ ) aequilibrium, eadem in praesenti imaginemur turbari. Pr0pagato motn, densitas pf aquae libratae ver- tetur in þ.:yJU—I—s) apud (.x.-,,] , z) : et pressio a' in ≔≖⇌≖⋝∣↰∟⋀⋮⋅⋮ eXprimit A numerum experimentis deter- minandum. Sumptis hic quoque X:0, ↧↗−−−−⋅∘∙ Z:o, et ru- tiocinando ut in citato 11.0 assequemur d dQ) ↼ 1 de ∙− dQ) (Et? A; JLu-Jr-s) ∙− "( dt ∙ a d? . dr ' se.. a' d.- 4.- A - ∙∣∣ -1 tum facto ?

cz, perveniamus ad formulas (:

'. t '. i' i": 129, ↿∙∘ ) . Non pluribus opus est ut intelligamus ( 129. 2.0 3.") sonum per aquam diffundi aequabiliter ve- locitate. ⋅ .: ⇂∕⋅−⋮∶⇡∣−⋅ Numerus A potest determinari'ex parvula contractione f:, quam iuxta longitudinem l (haud variata diametro) pa-303 tilur columna aquea ob incrementum 5. superadditum pressioni o '. Nam 1 : 1 - B = + ): , ideoque < = B \beta

' sed o=u'two=a' +As, igitur スー B 2

6. A : σολ E \beta In hypothesi pressionis . = 0 " , 76) g, ac temperiei n= 10.• C, experimenta Dni Canton suppeditant B = 0,000046 ), inter quem valorem et quos invenerunt DD . Parkins et Oersted , nimirum B=0,0000452 , B=0,0000482 , parvula est differentia. Ponatur hydrargyri densitas 1 ; erit proxime u'= . : assumpta igitur g=9m, 8088, 13,5819 1 emerget c=1483" , 59. Sonus videlicet propagatur per aquam plus quadruplo ce lerius quam per aerem. D. Beudant dicit in hac se fuis se sententia , ut e suis experimentis in mari institutis ta lem deduceret soni velocitatem , quae 1500m saltem aequaret. 140.* Quisque videt soni velocitatem eadem ratione posse in caeteris corporibus , sive liquidis , sive solidis , determinari , modo eorum partes contrahi perparum queant atque restitui . Sic , manente 5 . = (0,76 ) 8 , obtinuit idem ipse Canton hydrargyri contractionem B = 0,0000032 : as sumpla igitur u = 1 , erit c = 1576m , 35 1 303 titur columna aquea' ob incrementum m superadditum pressioni w'- Nam 71: l—þ:p.'(1-l-s): p! , ideoque :: P −⇀ 13 ⇤ ⋅ m−⊸T;'sed ∏∙−−∶∏∎∙⊦∏∘∶−−∸⋅∄≖⋅−⊦∆⋮∙ igitur ' A ∙− a'., ∙∙∙ wo). 8 5 In hypothesi pressionis uro :( o'", 76) g, ac temperiei :::, 10.(, C. experimenta Dni Cauton suppeditant þ:0,0000461, inter quem valorem et quos invenerunt DD. Parltins et Oersted , nimirum ,ezo,oooo45) ∙ þ:0,000048). . parvula est differentia. Ponatur hydrargyri densitas :1; ↿ 15.5819 erit proxime pf: : assumpta igitur g:9"?,,8088, emerget ⋅ c:1483"' . 59. Sonus videlicet prcpagatur per aquam plus quadruplo cc- lerius quam per aerem. D. Bendant dicit in hac se fuis- se seateutia , ut e suis exPerimentis in mari institutis ta- lem deduceret soni velocitatem, quae 1500" saltem aequaret. 1403 Quisque videt soni velocitatem eadem ratione posse in caeteris corporibus . sive liquidis , sive soli-dis , determinari , modo eorum partes contrahi perparum queant- atque restitui. Sic, manente wo:(0,76) g , obtinuit idem ipse Canton hydrargyri contractionem [5:0,0000037t : as- sumpta igitur pf:1 , erit 0:1576," ∙ 35304 velocitas , qua per hydrargyrom diffunditur sonus. Ante quam usum contractionis \beta animadverteret Laplace ad de finiendam soni velocitatem per liquida et solida corpora , exhibuerat Chladni in sua Acustica aliam methodum sane ingeniosam , ejusdem velocitatis investigandae in cor poribus solidis. 141. # Innititur ista methodus analogiae, quam norunt Physici inter oscillationes aeris in tubo cylindrico apud ambas extremitales aperto et longitudinales oscillationes virgae rigidae , cujus ambo extrema omnino libera sint. Exprimat enimvero l oscillantis virgae longitudinem ; n' principalem tonum , quem edit resonans virga ; c' quae sitam velocitatem . Erit ( 137 ) n " ; unde n ' : n " = 0 : c' , ' = 21 Iam si velocitas soni per aerem repraesenterar per " , ex perimenta D.ni Chladoi praebent soni velocitatem c per stannum . 717 를 per argentum per cuprum . 12 per ferrum et vitrum ... 17 per varia lignorum genera 11 ad 17 , . . Ad explorandam soni velocitatem per ferruin fusionis , in promptu habebat D. Biot 376 tubos ex hoc metallo com . pactos ; quibus singulis mediocris erat longitudo duorum 304 velocitas , qua per hydrargyrnm diffunditur sonus. Ante- quam usum contractionis þ animadverteret Laplace ad de- finiendum soni velocitatem per liquida et solida corpora , cxbibuerat Chladni in sua Acustica aliam methodum, sane ingeniosam . ejusdem velocitatis investigandae in cor- poribus solidis. 1414: lnnititur ista methodus analogiae, quam norunt Physici inter oscillationes aeris in tabo cylindrico apud ambas extremitates aperto et lougitudiuales' oscillationes virgae rigidae, cuius ambo extrema omnino libera sint. Exprimat enimvero! oscillantis virgae longitudinem ; n" principalem tonum , quem edit resonans virga ; c' quae- sitam velocitatem. Erit (137) ' c, ' nn 11":-2-i-;nuden:n":c:c', c':c-—J. » Iam si velocitas soni per aerem repraesentetur per 1, ex- perimenta D.!d Chladni praebent soni velocitatem c' per stannum . ∙ ∙ ∙ ∙ , 7 vet-- per argentnm . . . . . . 9 , per cuprum . . . . . .. . 12 , per ferrum et vitrum . . . 17 . per varia lignorum genera . . 11 ad 17, Ad explorandam soni velocitatem per ferrum' fusionis , in promptu habebat. D. Biot 376 tubos ex hoc metallo com' pactos ; quibus singulis mediocris erat longitudo duorum

  • a305

metr. cum partibus millesimis 515. Sumptis experimentis, prodiit soni velocitas 104 ; nisi quod jungebantur ii tu bi ope plumbi, quod aliquanto sonum retardare videtur.

De vocis humanae origine.[recensere | fontem recensere]

142. Vocis humanae organum etsi considerari maxi me debet tamquam instrumentum pneumaticum ftexili et elastica materia ex parte compactum , non tamen ita est ut cum instrumentis etiam fidicularibus aliquam non babeat analogiam. Quod ut melius intelligatur , nonnulla ex anatomicis sunt hic afferenda. Palmo est viscus respirationi inserviens: in duas par tes distinguitur , dexteram et sinistram , et duo magni lo bi dicuntur , etsi quivis ex his duobus dividitur mino ribus aliis. Substantia constat molli , spongiosa , rara et vessiculosa ita ut ad aerem excipiendum aptissimus sit : motu ergo dilatationis aere impletur , et constrictionis motu eundem expellit ; atque aer ita expulsus primo per multiplices canaliculos lobis interspereos , qui bronchia dicuntur ; tum per duos ex utroque lobo emergentes ; de. mum per ampliorem canalem emergit , qui ex praefa tis duobus in unum conjunctis coalescit. Hic canalis seu tubus ad oris usque radices ascendens trachea seu aspera arteria nuncupatur ; in summitate asperae arteriae brevis canaliculus habetur , qui larynx dicitur , cujus summitatem facit rima ovalis a duabus membranis horizontaliter jacentibus relicta ; quae rima glottis dicitur : atque huic superposita est epi glottis ; tenuis scilicet et mobilis cartilago glottidem te gens , quae ad hoc praecipue statuta esse videtur, ut dum aliquid deglutimus , quidquam cibi aut potus in asperam arteriam minime irruat, sed per contiguum canalem, qui exophagus dicitur, et cujus orificium pharynx vocatur , de more in stomachum demittatur. Itaque lobi pulmonis instar } 305 metr. cum partibus millesimis 515. Sumptis experimentis. prodiit soni velocitas 10;- ; nisi quod iungebantur ii ftu- bi »ope plumbi, quod aliquanto sonum retardare videtur. De vocis humanae origine.


142.1Vocis humanae organum etsi considerari maxi- me debet tamquam instrumentum pneumaticum fiexili et elastica materia ex parte compactam, non tamen ita est ut cum instrumentis etiam fidicularibus aliquam non habeat analogiam. Quod ut melius intelligatur, nonnulla ex anatomicis sunt hic aderenda. ⋅ Palmo est viscus respirationi inserviens: in duas par- tcc distinguitur , dexteram et sinistram , et duo magni lo- bi dicuntur , etsi quivis ex his duobus dividitur mino- ribus aliis. Substantia constat molli , spongiosa , rara et vesaiculosa ita ut ad aerem excipiendum aptissimus sit: motu ergo dilatationis aere impletur , et constrictioais motu eumdem expellit; atque aer ita expulsus primo per multiplices canaliculos' lobis interspereos , qui bronchia dicuntur; tum per duos ex utroque lobo emergentes :dc- mum per ampliorem canalem emergit , qui ex praefa- tis duobus in unum coniunctis coalescit. Hic canalis seu tubas ad oris usqne radices ascendens tracbea seu aspera arteria nuncupatur; in summitate asperae arteriae brevis canaliculus habetur , qui laryux dicitur, cuius summitatem facit rima ovalis a duabus membranis horizontaliter jacentibus relicta; quae rima glottis dicitur : atque huic superposita est epi- glottis; tenuis scilicet et mobilis cartilago glottidem te- gens, quae ad hoc praecipue statuta esse videtur, ut dum aliquid deglutimus, quidquam cibi aut potus in asperam arteriam minime irruat, sed per contiguum canalem, qui cxophagus dicitur, et cuius orificium pharynx vocatur , de more in stomachum demittatur. Itaque lobi pulmonis instar306 re cur com follium aerem excipiunt, cum compressi illum emittunt per asperam arteriam : aer ita expulsus per asperam arteriam in arctiorem laryngis canalem irroit , atque ita ex am pliori in angustius spatium redactus compressionem pati debet , oscillatoriumque motum concipere. Sed quia la rynx flexili et elastica materia compingitur, iccirco ( 133) ad motum tremulum ab aere vibrante excitabitur. Deinde vero in eumdem aerem diversimode reagendo, prout magis vel minus erit tensa , ejus Oscillationes diversimode quoque modificabitur. Obiter notamus antiquos et cum iis Galenum male organum vocis humanae in trachea constituisse ; quam arbitrabantur vices gerere tubi, per quem aer ad sonum jam excitatus excurrit. Refelles hanc opinionem consi derans aerem qui tracheam ascendit , libere ascende et liberius habere spatium ; unde non est primi debeat et oscillatorium motum habere : cum autem glottis sit multo arctior quam trachea , per glottidem transiens habet quidem unde comprimi possit. Haec de voce humana : ad vocem enim quod spectat quorumdam animalium , uti sunt multae aves ; hae cum etiam exse cto collo , sola ventris compressione sonum edant , in his utique trachea concurrit ad sonum ipsum modificandum . Sed nil hinc eruitur contra jam dicta: in istis namque avi bus trachea habetur supra glottidem , seu gloutis esse obser vatur non ad summitatem , sed infra tracheam ; contra ac est in homine , et plerisque aliis animalibus. In monumentis Academiae Parisiensis ad an. 1741 observat Ferreinius intra laryngem duas haberi fibras ad labrum glottidis ; quae fibrae ex impetu aeris per angu stiorem laryngis canaliculum irrumpentis ad tremitum con citantur , atque hoc tremitu resonant , quemadmodum in fidibus contingit ; unde dictum est vocis humanae organum analogiam habere aliquam ad instrumenta fidicularia . Sum psit ille plures laryages cum sua glottide ; dunque insuf 306 folliam aerem excipiunt. tam compressi illam emittunt per asperam arteriam: aer ita expulsus per asperam arteriam in arctiorem laryngis canalem irruit ,. atque ita 'ex am- pliori in angustias spatium redactus compressionem pati debet, oscillatoriamque motum concipere. Sed quia la- rynx flexili et elastica materia compingitur. iccirco (133) ad motum tremulum ab aere vibrante excitabitur. Deinde vero in eamdem aerem diversimode reagendo, prout magis vel minus erit tensa, eius oscillationes diversimode quoque modificabitur. ∙ Obiter notamus antiquos ,et cum iis Galenum male organum vocis humanae in trachea constituisse; quam arbitrabantur vices gerere tubi, per quem aer ad sonum iam excitatus excurrit. Refelles hanc opinionem consi- derans aerem. qui tracheam ascendit , libere ascende- re,'et liberius habere spatium ; unde non est cur ,com- primi debeat et oscillatorium motum habere: cum autem glottis sit multo arctior quam trachea , per glottidem transiens habet quidem unde comprimi possit. Haec de voce humana : ad vocem enim quod spectat quorumdam animalium , uti, sunt multae aves; hac cum etiam exse- cto collo, sola ventris compressione sonum edant, in his utique-trachea concurrit ad sonum ipsum modificandam. Sed nil hinc eruitur contra iam dicta: in istis namque avi- bus tracbea habetur supra glottidem , sen glottis esse obser- vatur non ad summitatem, (sed infra tracheam ; contra ac est in homine , et plerisque aliis animalibus. . In. monumentis Academiae Parisiensis ad an. 1741 observat .Ferreinius intra laryngem duas haberi, fibras ad labrum glottidis ; quae fibrae ex impetu aeris per angu- stiorem laryugis canaliculata irrumpentis ad tremitum.con- citantur, atque hoc tremitu resonant , quemadmodum in fidibus contingit; unde dictum est .vocis humanae organum analogiam habere aliquam ad instrumenta fidicularia. Sum- psit illa plures' larynges cum sua glottidc; dumque insuf-307 Aando sonus vocis animalis excitabatur, microscopio Gibras praedictas inspiciendo tremor et vibratio in iisdem cerne batur , prout in chordis musicis habetur dum resonant. Atqui eo ipso ex earum tremitu ab irruente aere tamquam a vi percutiente excitato sonus gigni debet, vel jam geni tus modificationem quamdam recipere. Rursus , sicut in chordis musicis contingit ' ut chorda brevior det sonum acutiorem , graviorem longior : ita ani madvertendum hic fuit an fibrarum illarum major minor ve longitudo toni mutationem induceret. Compertum au tem est quod , impedita illarum fibrarum parte ne tre meret , tonus prodibat acutior. Sumpsit etiam larynges bovis , canis, aliorumque ani malium , deinde insufflando excitabatur mugitus bovis , et conformis aliis animalibus sonus. Movendo autem musculos ita , ut traherentur et distenderentur fibrae, excitabantur mutationes soni , quae haberi solent in varia horum ani malium voce. Notetur illud : cum tensio vel remissio fibrarum glot tidis et cartilagineae substantiue , qua larynx constat , ab eodem musculo dependeat , ut notat Savart , consequitur una cum fibris illis etiam laryngem tendi vel remitti. Laxatis fibris, orificium glottidis ampliatur , et sonus pro dit gravior ; tensis vero , orificium restringitur, et sonus evadit acutior , ut in canibus observavit D. Magendie.

143. Si vox in larynge et glottide tanquam in proprio organo fit ; quid ergo, inquies, os atque ejus partes con ferunt ad formationem vocis ? Respondeo oris cavitatem , linguam, dentes, labia con currere ad modificationem perfectionemque vocis ; quae larynge et glottide incipit quidem , sed non omnimode ibi perficitur : nam quod in illis partibus sufficiens habea. tur organum quin prorsus necessaria sint oris et linguae or gana ad exhibendum aliquo modo sonum animalis pro prium , apparet ex eo quod grues abscisso in et anseres 1 307 flando sonus vocis animalis excitabatur, microscupio fibras praedictas inspiciendo tremor et vibratio in iisdem cerne- batur, prout in chordis musicis habetur dum resonant. Atqui eo ipso ex earum trcmitu ab irruente aere tamquam a vi percutiente excitato sonus gigni debet. vel iam geni- tus modificationem quamdam recipere. Rursus , sicut in chordis musicis contingit 'ut chorda brevior det sonum acutiorem, graviorem longior : ita ani- madvertendum hic fuit an librarum illarum maior minor- ve longitudo toni mutationem induceret. Compertum au- tem est quod , impedita illarum fibrarum parte ac tre- meret. tonus prodibat acutior. Sumpsit etiam larynges bovis , canis. aliorumque sni- malium, deinde insufflaudo excitabatur mugitus bovis , et conformis aliis animalibus sonus. Movendo autem musculos ita, ut traherentur et distenderentur fibrae, excitabantur 'mutationes soni, quae haberi solent in varia horum ani- malium voce. Notetur illud: cum tensio vel remissio librarum glot— tidis et cartilagineae substantiae, qua larynx constat , ab eodem musculo dependeat , ut notat Savart, consequitur una cum fibris illis etiam laryngem tendi vel remitti. Laxatis' fibris, ,orificiu-m glottidis ampliatur, et sonus pro- dit gravior; tensis vero , orificium restringitur. et sonus evadit acutior, ut in canibus observavit D. Magendie.

143. Si vox in larynge et glottide tanquam in proprio organo fit; quid ergo, inquies, os atque eius partes cou- ferunt ad formationem vocis? Respondeo oris cavitatem. linguam, dentes. labia con- currere ad modificationem perfectionemque'vocis; (quae in ⇁ larynge et glottide incipit ⋅ quidem , sed non omnimode ⋅⋅ ibi perficitur: nam quod in illis partibus sufficiens habea- tur organum qain prorsus necessaria sint oris et linguae or- ,gana ad exhibendum aliquo modo sonum animalis pro- prium ,,apparet ex eo quod grues et anseres , abscisso308 capite , ex ventris compressione sonos edere possint iis si miles, quos viventes edebant. Ad modificationem igitur per fectionemque vocis in larynge et glottide inchoatae caete ra concurrunt : neque haec modificatio in mera reflexione consistit, sed in resonantia proportionata tono soni a glottide emissi . Ad articulatarum vocum formationem quod attinet , ea praecipue a mota linguae et labiorum repeti solet : inter caeteros P. Fabri diligenter expendit quo pacto lin gua et labia componantur ad cujusque syllabae efforma tionem .

144. Dices: potest sonus excitari aerem expellendo per angustius spatium ; atque ita sibilus per labiorum com pressionem excitatur. Ergo dicendum videtur quod ex 90 la emissione aeris per angustius glottidis spatium vox effor inari possit quin confugiamus ad tremitum laryngis et fibrarum glottidis ; qui tremitus effectus erit soni quin in sonum ipsum influat. Respondeo : etsi sonus aliquis obtineri praecise pos sit per hoc quod ex ampliore in angustius spatium aer cogatar transire ; attamen quae hactenus diximus suadent tremitum laryngis et fibrarum ad vocis formationem con . currere; attenta praecipue varietate maxima , quae in vo cis modificatione habetur. Novimus enim et singulos ho mines modificari quam maxime vocem , et in diversis ho minibus quam maxime diversum esse vocis sonum . Iam ve ro cum habeatur sibilus per solam labiorum compressio nem , inde expulso violenter aere , exigua est hujusmodi soni diversitas; et omnes fere homines eumdem sonum ef ficiunt , licet in diversa intensione : ergo cum contra in voce diversitas sit maxima et proprius cuique sit homini so nus , ad diversam fibrarum et laryngis materiam ac ten sionem recurrendum potius videtur. Scio equidem ab in strumentis pneumaticis etiam materia resistente compactis et lingula instructis magnam edi posse varietatem sono 308 capite , ex ventris compressione sonos edere possint iis si- miles, quos viventes edebant. Ad modificationem igitur per- fectionemque vocis in laryuge et glottide inchoatae caete- ra concurrunt: neque haec modificatio in mera reflexione consistit, sed in resonantia prOportionata tono soni a glottide emissi. Ad articulatarum vocum formationem quod attinet , ea praecipue a motu linguae et labiorum repeti solet: inter caeteros P. Fabri diligenter expendit quo pacto lin- gua et labia componantur ad cuiusque syllabae efforma- tionem.

144. Dices: potest sonus excitari aerem eXpellendo per angustius spatium : atque ita sibilus per labiorum com- pressionem excitatur. Ergo dicendum videtur quod ex so- la emissione aeris per angustius glottidis spatium vox effor- mari possit' quin confugiamus ad tremitum laryngis et fibrarnm glottidis; qui tremitus effectus erit soni quin in' sonum ipsum influat. Respondeo: etsi sonus aliquis obtineri praecise pos- sit per hoc quod ex ampliore in angustius spatium aer cogatur transire; attamen quae hactenus diximus suadent tremitum laryngis et librarum ad vocis formationem cou- 1:11rrere; attenta praecipue varietate maxima, quae in vo- cis modificatione habetur. Novimus enim et singulos bo- mines modificari quam maxime vocem, et in diversis ho- minibus quam maxime diversum esse vocis sonum. Iam ve- ro cum habeatur sibilus per solam labiorum compressio- nem , inde expulso violenter aere , exigua est huiusmodi soni diversitas; et omnes fere homines eumdem sonum ef- ficiunt , licet in diversa intensione : ergo cum contra in voce diversitas sit maxima et proprius cuique sit homini so- nus , ad diversam librarum et laryngis materiam ac ten- sionem recurrendum potius videtur. Scio equidem ab in- strumentis pneumaticis etiam materia resistente compactis et lingula instructis magnam edi posse varietatem sono-309 recessum rum , atque ad instrumenta ista referri organum vocis ab auctoribus non paucis. Verum non video quomodo glotti dis fibrae se habeant ad vocis organum perinde ac lin gula : si non ita haec movetur , ut epistomium alterne aperiatur claudaturque ; licet ea citissime oscillet , nullus inde prodibit sensibilis sonus . Iam vero glottidis fibrae non sic oscillant , ut per mutuum accessum et alterne claudatur aperiaturque ipsius glottidis foramen . In glottidis fibris aeris irrumpentis impetu ad tremitum concitalis auctores aliqui cum Ferreinio organum vocis ma xime constituunt , illudque ad instrumenta fidicularia po tissime revocant , minime considerantes quod hujusmodi fi brae careant ea longitudine et crassitie , quae necessaria esset ad graves atque ingentes humanae vocis tonos effi ciendos,

145. Quaeres

1.º qui sit defectus, ob quem mutis loquela deest. Cum plerique muti sint, quia sunt a nativitate surdi, quique proinde cum non possint alios loquentes audire ne loqui quidem discunt unquam; attamen sunt qui auditu pollent, at loquendi facultate destituuntur. Vitium in his multiplex esse potest; aut ex humorum nimietate et crassitie; aut ex fibrarum inelasticitate, qua etiam fit ut, timore insolito obrigescentibus fibris, vox impediatur in iis qui caeterum muti non sunt; vel ex nimia linguae turgescentia; vel alio vitio: adeoque non desunt exempla mutorum arte medica, aut etiam solius naturae auxilio loquelam adipiscentium.

2.º Cur aves aliquae humanam vocem aemulentur, pleraeque non item. In psitlacis diligenter rem inspexit Kircherus, atque animadvertit pro corporis quantitate os satis magnum et excavatum, maxillas turgentes, linguam maxime flexilem, et rostrum superius contra indolem aliarum avium mobile; unde bruta pro majore vel minore aptitudine ad oris dilatationem, flexilitatem linguae, labiorum, vel rostri modificationem apta erunt ad sovum humanae vocis imitandum. Picae io 309 rum , atque ad instrumenta ista referri organum, vocis. ab auctoribus non paucis. Verum non video quomodo glottidis fibrae se habeant ad vocis organum perinde ac lingula: si non ita haec movetur, ut epistomium alterne aperiatur claudaturque; licet ea citissime oscillet, nullus inde prodibit sensibilis sonus. Iam vero glottidis fibrae non sic oscillant, ut per mutuum accessum et recessum alterne claudatur aperiaturque ipsius glottidis foramen. In glottidis fibris aeris irrumpentis impetu ad tremitum concitatis auctores aliqui cum Ferreinio organum vocis maxime constituunt, illudque ad instrumenta fidicularia potissime revocant, minime considerantes quod huiusmodi fibrae careant ea longitudine et crassitie, quae necessaria esset ad graves atque ingentes humanae vocis tonos efiiciendos.

145. Quaeres ↿∙∘ qui sit defectus , ob quem mutis loquela deest. Cum plerique muti sint, quia sunt a nati- vitate surdi , quique proinde cum non possint alios loquen- tes audire ne loqui quidem discunt unquam; attamen sunt qui auditu pollent, at loquendi facultate destituuntur. Vitium in his multiplex esse potest: aut ex humOrum nimietate et crassitie; aut ex fibrarum inelasticitate , qua etiam fit ut , timore insolito obrigescentibus fibris , vox impedia- 'tur in iis qui caeterum muti non sunt; vel ex nimia lin- guae turgescentia; vel alio vitio: adeoque non desunt exem- pla mutorum arte medica , aut etiam solius naturae auxi- lio loquelam adipiscentium. 2.(' Cur aves aliquae humanam vocem aemulentur , pleraeque non item. In psittacis dili- genter rem inspexit Kircherus , atque animadvertit pro corporis quantitate os satis magnum et excavatum, maxil- las turgentes, linguam maxime flexilem , et rostrum su- perius contra indolem aliarum avium mobile; unde bru- te pro majore vel minore aptitudine ad oris dilatationem , ⋅ Hexilitaïem linguae , labiorum , vel rostri modificationem apta'erunt ad sonum humanae vocis imitandum. Picae- iu-310 a ter caeteras aves , et corvi antiquitus etiam ad voces hu manas formandas instituebantur.

3. ° An verum sit quod vox ita procreari possit ut infra laryngem genita videatur , ideoque sonus audiatur non tanquam ex ore , sed tanquam ex alvo veniens. Ita de facto Pythonissae , quas Ethnicorum historiae , et sacra scriptura etiam memorat, loquebantur: aliquos tamen sine ulla suspicione daemoniaci operis ven triloquos esse exemplis pluribus compertum est. Sicut enim loquitur aerem expellendo , qui in larynge et glottide vo cem excitat ; ita fieri potest ut aerem ore ac naribus at lrahendo in gloutide item parem molum excitemus , sicque non ex ore sed infra laryngem vox orta videatur, प be AL

De auditus organo.[recensere | fontem recensere]

146. Externa auris pars palula est; et ex cartilagine intus concava atque elastica constat; quae in concham sea cavitatem referentem conchae figuram desinit. Inser vit ad colligendas uudas soni : hinc quasi natura duce qui minus acuto pollet auditu , aut ad vocein nimis e lon ginquo attendit , manum ad aures applicat , ut eo pacto plures colligat aeris undas. Externa haec auris pars , quae auricula simpliciter dicitur , musculis adornatur , quorum ope sunt aliqui homines qui auriculam ad libitum mo vent ; oves autem , equi et bruta alia multo facilius : adnotant nonnulli Analomici ila necessariam esse exter banc partem ut sonorus lenius allabatur in internas cavitates, ut nonnisi confusa et quasi cum inurmure fluentis aquae audiant ii, quibus auriculae abscis sau sint. Animadvertendum tamen reptilia et aves hoc ex lerno adminiculo carere. Ad fundum conchae incipit meatus auditorius , qui est canaliculus aliquanto tortuosus ; et ex majori latitudine in minorem paullatim coarctator. Ita factum notat Val 9 nam aer 1 1 310. ter caeteras aves , 'et corvi antiquitus etiam ad voces hn- manas formandasinstituebantur. 3.0 An verum sit quod 'vox ita proci-cari possit ut infra laryngem genita videatur, ideoque sonus audiatur non tanquam ex ore , sed tanquam ex alvo veniens. Ita de facto Pythonissae , quas Ethnicorum historiae , et sacra scriptura etiam memorat, loquebantur: aliquos tamen sine ulla suspicione daemoniaci operis ven- triloquos esse exemplis pluribus compertum est. Sicut enim loquitur aerem expellendo , qui in larynge et glottide vo- cem excitat; ita fieri potest ut aerem ore ac naribus at- trahendo in glottide item parem motum excitemus, sicque non ex ore sed infra laryngem vox orta videatur, De auditu: organo. 146. Externa auris pars patula est, et ex cartilagi- ne iutus concava atque elastica constat; quae in concham sen cavitatem referentem conchae figuram desinit. Inser- vit,ad colligendas undas soni: hinc qnasi natura duce qui minus acuto pollet auditu , aut ad vocem nimis e lon- giuquo attendit, manum ad aures applicat , ut eo pacto plures colligat aeris undas. Externa haec auris pars, quae auricula simpliciter dicitur , musculis adornatur , quorum 0pe sunt aliqui homines qui auriculam ad Hibitum mo- vent; oves autem , equi et bruta alia multo facilius : adnotaut nonnulli Anatomici itaqnecessariam esSe exter- nam lianc partem ut aer sonorus lenius allahatur in internas cavitates, ut nonnisi confusa et quasi- cum murmure fluentis aquae audiant ii, quibus auriculae abscis- sae sint. Animadverteudum tamen reptilia et aves hoc ex- terno adminiculo carere. Ad fundum conchae incipit meatus auditorins , qui est canaliculus aliquanto tortuosus; et ex maiori latitudine in minorem paullatim coarctatur. Ita factum notat Val-311 sa salva at sonus intendatur magis , sicuti in recurvis lubis a surdastris adhiberi solitis intenditur ; alii potius ad im minuendum aeris impetum , ne in auris interiora fortius impellat , has tortuositates in organo auditus a natura in stilutas putant. In auditorio meatu humor quidam amarus ac viscosus habetur , seu cerumen ; exsudat e glandulis quas sebaceas vocant , et institutum est ut minima ani malcula ab ingressu ad interiora auris arceantur . Ad finem hujus canalis habetur membrana tympani: haec membrana tenuissima , sicca , pellucida et valde ela stica , obtensa est annullo , qui tamen totum circuitum non complet ; et fere ad similitudinem pellis tympani mi litaris cavitatem interiorem superambit : non est recte exten sed curva nonnihil ; coacava scilicet respectu auris externae , convexa ad partes internas . Fuit acerrima quae stio , an membrana tympani omnem communicationem in ter externam internamve aurem excludat , an contra per via sit aeri externo. Argumentum pro communicatione va lidum est , quod aliqui fumum ore exceptum per aurem emittunt ; neque id semper imposturae vertendam est , ut compertum fuisse Nolletus ait a viro , cni Academia regia jussum fecerat facti veritatem explorare. Argumen tum contra communicationem est , quod Valsava , immis so in aurem internam hydrargyro , quantumvis excute . retur , nihil unquam per externam aurem defluxit ; quam quam reponere soleat qui communicationem tuetur , quod in cadaveris organo non est necesse partium structuram sal vari. Post pellem tympani habetur cavitas aere plena , quae capsula dicitur , quaeque cum membrana praedicta tym panum constituit. In hac sunt quatuor ossicula quae ap pellantur malleus , incus , os orbiculare , stapia. Alii tria tantum numerant , omisso osse orbiculari , vel quia, cum ompium humani corporis ossiam minimum sit , adeo ut non superet dimidium grani millii , animadversionem fu 31↿⋮ salva ut sonus intendatur magis , sicuti in recurvis tubis 'a snrdastris adhiberi solitis intenditur; alii potius ad im- miuuendum aeris impetum , ne in auris interiora fortius impellat, has tortuositates in organo auditus a natura in- stitutas putant. In auditorio meatu humor quidam amarus ac viscosus habetur , seu cerumen; exsudat e glandulis, quas sebaceas vocant , et institutum est ut minima ani- malcula ab ingressu ad interiora auris arceantur. Ad finem hujus canalis habetur membrana tympani: haec membrana tenuissima , sicca , pellucida et valde ela- stica , obtensa est annnllo , qui tamen totnm circuitum non complet; et fere ad similitudinem pellis tympani «mi— litaris cavitatem interiorem superambit: non est recte exten- sa , sed 'curva nonnihil : concava scilicet respectu auris. externae , convexa ad partes internas. Fuit acerrima qnae- stio , an membrana tympani omnem communicationem in- ter externam internamve aurem excludat , an contra -per- via sit aeri externo. Argumentum pro-communicatione va- lidum est , quod aliqui fumum ore exceptum per aurem emittunt; neque id semper imposturae vertendam est, ut compertum fuisse 'Nolletus ait a- viro, cni Academia regia iussum fecerat facti veritatem explorare. Argumen- tum eontra communicationem est , quod Valsava , immis- so in aurem internam hydrargyro , quantumvis excute- retur, nihil unquam per externam aurem defluxit; quam- quam reponere soleat qui communicationem tuetur , quod in cadaveris organo non est necesse partinm structuram sal- var]. ' Post pellem tympani habetur- cavitas aere plena , quae capsula dicitur , quaeque eum membrana praedicta tym- panum constituit. In hae sunt quatuor ossicula quae ap- pellantur mallens . incus , os orbiculare , stapia. Alii tria tantum numerant , omisso osse orbiculari, vel quia, cum omnium humani uerporis ossium minimum sit, adeo ut non superet dimidium grani millii , animadversionem fu-312 1 1 gerit : vel quia ita adhaeret slapiae et incudi , at cum al tero ex his confundi potuerit, Circa haec ossicula nolan dum , quod ejusdem magnitudinis sint tam in infante quam in adulto viro contra aliarum omnium corporis partium in- . dolem , quae aetatis progressu augentur. Hoc ideo factum esse docet Valsalva , ne augmento partium auditui inservien tium alia sit sonorum ratio adulla aetate ac fuit ab ini tio ; et ideas gravis atque acuti quas pueri imbibimus, ma tare aetate proficiente cogamur. In tympani cavitate habetur canalis quidam seu lu ba Eustachiana dicta ab ipsius inventore : per hanc tu bam ab interna auris cavitate obtinet communicatio cum cavitate oris; desinit enim ista tuba ad radices uvae; quem prope locum etiam interiora nasi communicant : hujus tu bae ope fit , ut sonus ex oris cavitate auri communicetur, ideoque qui dentibus stringit corpus resonans sobum au. dit etiam auribus impeditis ; et surdastri hiante ore so nos excipere solent , ut tali pacto juvelur melius auditio. Praeter foramen ex quo tuba Eustachiana procedit , duo alia babentur in tympani cavitate foramina , quorum unum dicitur fenestra ovalis , allerum fenestra rotunda. Feuestra ovalis basi slapiae occluditur, rotunda solo mem branulae tegumento obtegitur. . Ex tympani cavitate per duo praedicta foramina , ovale scilicet ac rotundum , itur in labyriothum , qui - est inte rior alia cavitas in osse petroso ulterius excavata , et quo dam liquido plena : in hac tres partes distingui solent ; prima est vestibulum labyrinthi ; secunda constat tribus ossiculis semicircularibus , quibus nomen labyrinthi pecu liarins aliqui tribuunt ; tertia est cochlea seu limax, quae ex osse constat in cochleae modum conlorto duos gyros cum dimidio faciente. Elsi cochlea unus canalis videri possit , est lameu revera duplex : dividitur enim secun dum longitudinem medio segmento , parim osseo , partim membranaceo , quod dicitur lamina spiralis. Cochlea in 1 1 1 i 1 1 1 • 2 0 1 1 1 . 312 gerit: vel quia ita adhaeret stapiae et incudi , at cum al- tero ex his confundi potuerit. Circa haec ossicula notan- dum , quod eiusdem magnitudinis sint tam in infante quam in adulto viro contra aliarum omnium corporis partium in-- dolem, quae aetatis progressu augentur. Hoc ideo factum esse docet Valsalva, ne augmento partium auditui inservien- tium alia sit sonorum ratio adulta aetate ac fuit ab iui- tio; et ideas gravis atque acuti quas pueri imbibitüus, mu- tare aetate proficiente cogamur. ln tympani cavitate habetur canalis quidam seu tu- ba Eustachiaua dicta ab ipsius inventore: per hanc tu- bam ab interna auris cavitate obtinet communicatio cum cavitate oris; desinit enim ista tuba ad radices uvae; quem prope locum etiam interiora nasi communicant :-huius tu- bae upe fit , ut sonus ex oris cavitate auri .communicetur, ideoque qui dentibus stringit corpus resonans sonum su- dit etiam auribus impeditis ; et surdastri hiante ore so- nos excipere solent , ut tali pacto iuvetur melius auditio- Praeter foramen ex quo tuba Eustachiana procedit, duo alia habentur in tympani cavitate foramina , quorum unum dicitur fenestra ovalis, alterum fenestra rotunda. Feuestra ovalis basi stapiae occluditur, rotunda solo mem- branulae tegumento obtegitur. . Ex tympani cavitate per duo praedicta foramina , ovsle scilicet ac rotundum , itur in labyrinthum , qui-est inte- - rior alia cavitas in esse petroso ulterius excavata , et quo- dam liquido plena: in hac,tres partes distingui solent; prima est vestibulum labyrinthi ; secunda constat tribus ossiculis semicircularibus , quibus nomen labyrinthi pecu- liarius aliqui tribuunt; tertia est cochlea seu limax, quae ex osse constat in cochleae modum contorto duos gyros cum dimidio. faciente. Etsi cochlea unus canalis videri possit , est tamen revera duplex: dividitur enim secun- dum longitudinem medio segmento, partim osseo , partim membranacea , quod dicitur lamina spiralis. Cochlea in313 avibus deest , si vera refert Boyle ; at ipsemet notat de fectum hunc suppleri per cavitatem oblongam instar sacci. Plures rami nervei per foramina perexigua ex eo , qui dicitur uervus auditorius , propagati per totam fere aurem distribuuntur : in labyrinthum per quinque fora mina ingrediuntur Gibrae nerveae , et ejus cavitatem inves tiunt ; sed de nervis totum auris organum permeantibus non vacat disserere. Id unum adnoto ex Mairano , spira lem laminam fibrillis ita instructam esse ut quemadmo dum ipsa ascendens ad cochleae apicem . semper angustior fit , ita fibrae ipsae breviores semper evadunt. 147. Quaenam vero ex hactenus descriptis auris par tibus pro praecipuo atque immediato auditionis organo sta tueuda est ?. Aliqui membranam tympani assignarunt : at experientia constat quod hac membrana lacerata vel erepta adhuc manet auditio aliqua. Alii inepte in ossiculis intra capsulam contentis organom auditus statuerunt , et sonum ab anima immediate perceptibilem ex horum collisione nasci affirmarunt. Praeter quam quod solus malleus in a nimantibus quibusdam habeatur, falsum omnino est collidi invicem haec ossicula atque inde sonum creari : adnexum enim est caput mallei firmiter corpori incudis , et hujus processus alter stapiae; adeoque cum aer exterous tympa ni membranam impellit, omnia per modum unius intromit tuntur et conjuncta simul sese restituunt ad locum pristi num. Magis autem absona est illorum sententia , qui in aere per capsam et labyrinthum existente auditus organum collocabant: aerem hunc, quem innatum, insitum, vernacu lum, implantatum dicebant, animatum statuere non vere bantur. Communiter nunc auditus organum collocatur in fibrillis nerveis per aurem internam, ac praesertim intra co chleam disseminatis. Tremores itaque a corpore excitati communicantur membranae tympani; tum per aea rem in tympano existentem , nec non per ossiculorum se riem, ad parietes asque labyrinthi et praecipue ad dupli Sonoro 21 313 avibus deest , si vera refert Boyle ; 'at ipsemet notat de- fectum hunc suppleri per cavitatem oblongam instar sacci. Plures rami nervei per foramina perexigua ex eo ,- qui dicitur nervus auditorius, prcpagati per totam fere aurem distribuuntur: in labyrinthum per quinque fora- mina ingrediuntur fibrae nerveae, et eius cavitatem inves- tiunt; sed de nervis totum auris organum permeantibus non vacat disserere. Id unum adnoto ex Mairano , spira- lem laminam fibrillis ita instructam esse ut quemadmo- dum ipse ascendens ad cochleae apicem- semper angustior fit , ita fibrae ipsae breviores semper evadunt.

147. Quaenam vero ex hactenus descriptis auris par- tibus pro praecipuo atque immediatoauditionis organo sta- tuenda est ?. Aliqui membranam tympani assignarent : at experientia constat quod hac membrana lacerata vel erepta adhuc manet auditio aliqua. Alii inepte in ossiculis intra capsulam contentis organum auditus statuerunt , et sonum ab anima- immediate perceptibilem ex horum collisione nasci affirmarunt. Praeter quam quod solus malleus in a- nimantibus quibusdam habeatur, falsum omnino est collidi invicem haec ossicula atque inde sonum creari: adnexum enim est caput mallei firmiter corpori incudis , et huius processus alter stapiae; adeoque cum aer externus tympa- ni membranam impellit, omnia per modum uniua intromit- tuntnr et coniuncta simul sese restituunt ad, locum pristi- num. Magis autem absona est illorum sententia , qui in.. aere per capsam et labyrinthum existente auditus organum collocabant: aerem hunc, quem innatum, insitum, vernacu- lum, implantatum dicebant, animatum statuere non vere- bantur. Communiter nunc auditus organum collocatur in fibrillis nerveis per aurem internam, ac praesertim intra co- chleam disseminatis. Tremores itaque a sonoro corpore excitati commnnicantur membranae tympani; tum per aes-. rem in tympano existentem, nec non per ossiculorum se- riem, ad parietes usque labyrinthi et praecipue ad dupli- 21 is314 cem fenestram , ovalem ac rolundam , transmissi deducuntur ad liquidum cavitate labyrinthi contenlum ; inde vero ad fi brillas nerveas praedictas, atque ad nervum ipsum audito rium: unde fit, ut ex lege commercii anima ad sensationem soni determinetur. Animadvertit Mairanus, quod sicut in instrumentis quibusdam musicis binae et binae chordae pro tonis singulis disponuntur, ita in lamina spirali nerveae fi brillae dispositae sint : ex quo infert huc potius spectare organum quam ad alias auris internas partes. 148. Quaeres 1º. Cur quibusdam grata , aliis pene ni hil, aut etiam molesta sit harmonia. Alibi ( 121 ) dictumn est chordam upisonam facile ad tremitum concitari: aliam item , sed difficilius prout majorem minoremve cum chor da percussa harmonicam proportionem habet. Alert Kir cherus aliud experimentum , quod ad rem aptum est etiam magis : experimentum ita se habet. Quinque sumantur scyphi vitrei.ejusdem magnitudinis et capacitatis , et unus quidem liquore impleatur, qui acquavite dicitur; alter vi no ; tertius aqua puriori; quartus aqua communi ; quintus crassiori aqua: tum ora cujusque poculi confricando sonus quam fieri potest acntissimus excitetur. In primo quidem • scypho spiritus ille maxime subsultabit; vinum moderatam su bibit concitationem ; adhuc moderatior erit molus purio ris aquae, et ita porro . Ex his intelligitur quomodo variae in variis hominibus partium corporis commotiones orian tur e sono. Cum autem animi molus, in quibus voluptas consistit vel molestia , pendeant ex partium corporis affe ctionibus; iis gratissima accidere poterit harmonia, quibus ea solidorum ac fluidorum constitutio est , ut in iisdem com motio consequatur impressionem factam in organo auditus satis . vivida et animi moribus cum voluptate conjunctis ex citandis apta: ii erunt ad harmoniam indifferentes, in qui bus impressionem factam in organo auditus vix ulla con sequitur alteratio solidarum fuidarumve corporis partium quae pariat animi motus vel consonos, vel incongruos: iis 314 cem fenestram, ovalem ac rotundam, transmissi deducuntur ad liquidum cavitate labyrinthi contentum; inde vero ad fi- brillas nerveas praedictas, atque ad nervum ipsum audito- rium: nnde fit, ut ex lege commerciianima ad sensationem aoni determinetur. Animadvertit Mairanus, quod sicut in instrumentis quibusdam musicis binae et binae chordae pro tonis singulis disponuntur, ita ip lamina spirali nerveae fi- brillae dispositae sint: ex quo infert huc potius spectare organum quam ad alias auris internas partes. 148. Quaeres 1". Cur quibusdam grata, aliis pene ni- hil, aut etiam molesta sit harmonia. Alibi (121 ) dictum est chordam unisonam facile ad tremitum concitari: aliam item, sed difficilius prout majorem minoremve cum chor- da percussa harmonicum proportionem habet. Affert Kir- cherus aliud experimentum, quod .ad rem aptum est etiam magis : experimentum ita se habet. Quinque sumantur scyphi vitrei-ejusdem magnitudinis et capacitatis, et unus quidem liqum'e impleatur, qui acquavite dicitur; alter vi- no; tertius aqua PUI'lOl'i; quartus aqua communi; quintus crassiori aqua: tum ora cujusque poculi confricando sonus quam fieri potest acutissimus excitetur. In primo quidem scypho spiritus ille maxime subsultahit; vinum moderatam su- bibit concitationem; adhuc moderatior erit motus purio- ris aquae, et ita porro. Ex his intelligitur quomodo variae in variis hominibus partium corporis commotiones orian- tur e sono. Cum autem animi motus, in quibus voluptas consistit vel molestia, pendeant ex partium corporis affe- ctionibus; iis gratissima accidere poterit harmonia, quibus easolidorum ac fluidorum constitutio est, ut in iisdem com- motio consequatur impressionem factam in organo auditus satis.vivida et animi motibus cum voluptate conjunctis ex- citandis apta: ii erunt ad harmoniam indifferentes. tu qui- bus impressionem factam in Organo auditus vix ulla con- sequitur alteratio solidarum fluidarumve corporis partium ∙ quae pariat animi motus vel consouos, vel incongruos: iis1 1 315 denique molestia etiam accidet, quibus ex impressione ner vorum acusticorum contingat incongrua motuum alteratio in partibus corporis ad pracfatos animi molus inservienti bus: quo fit etiam mechanice ut alii aliis sonorum gene ribus vel delectentur magis, vel contra. Hanc tamen me chanicam causam non arbitror esse sufficientem atque adae quatam: admittenda est causa ex rationali natura hominis pendens. Consistit harmonia in proportione illa , quam so ni habent inter se ; unde fit ut in organo auditus vibra tiones diversi generis, aliae frequentiores, aliaė tardio res efficiantur: dum vibrationes istae organum anditus af ficiunt, mens easdein comparat inter se, earumque propor tionem animadvertit : si haec proportio ejusmodi sit ut fa cile possit a mente percipi, et vibrationes facile comparari queant, ex hoc gaudet mens; si confusa et inordinata vi brationum sit comparatio , neque has mens facile con ferre inter se potest, obruelur taedio: et quia imperi tas in musica facilius comparat simpliciores consonantias quam magis compositas, ideo musica planissima vulgo arridet ; qui vero periti sunt et copiosioribus compositiouibus assueti, vix patiuntur musicam nimis simplicem: item cum ex consue tadine pendeat ut aliquas harmonicas proportiones faci lius mens assequatur quam alias ; inde oritur at volu ptas ex eo musices genere major sit, cui quis sit assue tus; adeo ut ex hoc capite diversis nationibus diversae placeant musicae species. Porro ab exercitatione etiam profluit ut gratior accidat musica , etiam qua ex parte mechanice voluptatem parit; ex assuetudine enim in fi brillas nerveas docilitas inducitur ad recipiendas facilius impressiones harmonicas. 2º. Cur duabus auribus unus idemque sonus au diatur. Communis responsio est hujusmodi : cum in utra. que aure creetur simillima impressio; non duplicem , sed voam sensationem ab anima haber¡ necesse est. Qua in re scite animadvertit Valsalva , summa industria provisum 315 denique molestia etiam accidet, quibus ex impressione ner- vorum acnsticorum contingat incongrua motuum alteratio in partibus corporis ad praefatos animi motus inservienti- bus: quo fit etiam mechanica ut alii aliis sonorum gene- ribus vel delectentur magis, 'vel contra. Hanc tamen me- chanicam causam non arbitror esse sufficientem atque adae-i quatam: admittenda est causa ex rationali natura hominis pendens. Consistit harmonia in praportione illa, quam so- ni habent inter se; unde fit ut in organo auditusvibraP- tiones diversi generis, aliae frequentiores, aliae tardio- res efficiantur: dum vibrationes istae organum auditus af- Hciunt, mens easdem comparat inter se, earumque propor- tionem animadvertit: si haec proportio ejusmodi sit ut fa- cile possit a mente percipi, et vibrationes facile comparari queant, ex hoc gaudet mens; si confusa et inordinata vi- bratiouum sit comparatio , neque has mens facile con- ferre inter se potest, obruetur taedio: et quia imperi- tus in musica facilius comparat simpliciores consonantias quam magis compositas, ideo musica planissima vulgo arridet ; qui vero periti sunt et c0piosioribus compositionibus assueti, vix patiuntur musicam nimis simplicem: item cum ex consue-, tudine pendeat ut aliquas harmonicas preportiones faci- lius mens assequetur quam alias; inde oritur ut volu- ptas ex eo mus1ces genere major sit, cui quis sit assue- tus; adeo ut ex hoc capite diversis nationibus diversae placeant musicae species. Porro ab exercitatione etiam profluit ut gratior accidat musica, etiam qua ex parte mechanica voluptatem parit; ex assuetudine enim in fi- brillas nerveas docilitas inducitur ad recipiendas facilius impressiones harmonicas. ⋅ 20. Cur duabus auribus unus idemque sonus au- diatur. Communis responsio est huiusmodi: cum in utra- que aure creetur simillima impressio; non duplicem, sed, unam sensationem ab anima haberi necesse est. Qua in re scite animadvertit Valsalva, summa industria provisum316 fuisse a natura ut in utraque aure quam simillima es sent organa omnia ; adeo ut, dum in diversis hominibus structura partium nonnihil variat, in eodem tamen bomi mine nulla prorsus sit utriusque auris vel minima variatio . Notetur illud : quemadmodum eadem chorda varios tonos varia tensione edere potest, ita membrana tympani lenditur diversimode ut variis tonis aple accomodetur ; eapropter manubrium mallei eidem adnexum est, et ba sis stapiae eodem modo membranae fenestrae ovalis: ten sio autem et relaxatio membranae, nobis insciis , potest na turaliter fieri. Itaque, ut primae vibrationes membranam feriunt, admonita natura organum opportuna tensione aptat ut respondens tonus in successivis vibrationibus fiat ma gis vel minus sensibilis. 316 fuisse a natura ut in utraque aure quam simillima es- sent organa omnia; adeo ut, dum in diversis hominibus structura partium nonnihil variat, in eodem tamen homi- miue nulla prorsus sit utriusque auris vel minima variatio. Notetur illud: quemadmodum eadem chorda varios tonos varia tensione edere potest, ita membrana tympani tenditur diversimode ut variis tonis apte accomodetur; eapropter manubrium mallei eidem adnexum est, et ba- sis stapiae eodem modo membranae fenestrae ovalis: ten- sio autem et relaxatio membranae, nobis insciis,potest na- turaliter fieri. Itaque, ut primae vibrationes membranam feriunt, admonita natura organum opportuna tensione aptat ut respondens tonus in successivis vibrationibus fiat ma- gis vel minus sensibilis.INDEX RERUM QUAE IN PRIMO VOLUMINE CONTINENTUR. MECHANICA E PRINCIPIA Notiones praeambulae. pag. 1 . Molus uniformis et varius : velocitas et quantitas mo tas in motu uniformi. num . 1 . Corporum indifferentia ad motum et ad quietem: quid vires : quid earum aequilibrium ; et quomodo repraesen tentur sive per lineas rectas, sive per numeros . n. 2, 3, 4. Principiom motus • relativi : vires sunt ut quantitates motus , n. 5, 6 . Principium actionis et reactionis : mutatio status in corpore haud repente gignitur a viribus extrinsecis , sed per gradus indefinitae attenuationis capaces: quid vires in stanlaneae et continuae. n. 7 . De virium compositione et resolutione , deque earum momentis et aequilibrio : aliquid quoque notatur de vecte, axe in peritrochio, trochlca etc. pag. 6. Compositio virium materiali puncto applicatarum: ae quilibrium: varia circa virium resolutionem .. n. 8. 9. 10. ⋅ N D EX RERUM QUAE IN ramo VOLUMINE CONTINENTUR. ' MECHANICAE PRINCIPIA ∙ W ⋅∙ Nott'ones praeambulae. pag. 1. Motus uniformis et varius: velocitas et quantitas mo- tus in motu uniformi. . . . . . . . . . num-1. Corporum indifferentia ad motum et ad quietem: quid vires: quid earum aequilibrium; et quomodo repraesen- tentur sive per lineas rectas, sive per numeros. n.2, 3, 4. . Principium motus 'relativi: vires sunt ut quantitates. motus. ∙ ∙ ∙ ∙↴ ∙ ∙ .' ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n. 5, 6. Principium actionis et reactionis: mutatio status in corpore haud repente gignitur a viribus extrinsecis , sed per gradus indefinitae attenuationis capaces: quid vires in- stantaneae et-continuae. . . . . . . . . . n. 7.» De virium compositione et resolutione , deque earum momentis et aequilibrio : aliquid quoque notatur de vecte, axe in peritrochio, trochlea etc. pag. 6. Compositio virium materiali puncto applicatarum: ae- quilibrium: varia circa virium resolutionem.. n. 8. 9. 10.318 Compositio duarum virium extremis rectae rigidae punctis applicatarum, et in eodem plano jacentium: aequilibrium circa immobile punctum: principiam velocitatum virtualium in ordi ne ad istiusmodi vires: momenta virium quoad punctum ( M) : momentum resultantis aequatur summae ex momentis com ponentium si hae in eamdem plagam circa ( M ) nituntur movere puncta , quibus applicitae sunt; aequatur differentiae si nituntur movere in plagas contrarias. n. 10. 10. 20.30, Haec ipsa extenduntur ad quemvis numerum virium in dato plano jacentium. n. 10. 4º , 5º , 6º. Binae vires haud jacentes in eodem plano nequeunt ad unicam vim aequipollentem traduci : vires in aequili brio constitutae; sollicitantesque vel solidum liberumque cor pus, vel solidam corpus mobile duntaxat circa punctum fi xum, vel solidum corpus mobile tantummodo circa asem fixum : momenta quoad axem . n. 10: 70. ... 10 °. Vires parallelae: vis inde resaltans: earum centrum : momenta quoad planum: respondens theorema n . 11 , 12 , 13. 10. 2º. 3º. Parallelarum virium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditionibus simul explendis; altera est ut evane scat earum summa; altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordine ad duo plana ipsis viribus paral lela . n. 13. 4º. 5º. . Etsi vires non sunt parallelae, possunt tamen rednci ad terna ejusmodi systemata, quorum primum coalescat ex viribus parallelis axi OZ, secundum ex viribus jacentibus in plano XOY simulque parallelis axi Qy, tertium ex vi ribus agentibus juxta axem OX: aequilibrii conditiones quoad systemata rigida viribus minime parallelis sollicitata; 1º , in 318 Compositio duarum virium extremis rectae rigidae punctis applicatarum,etin eodem plano jacentium: aequilibrium circa immobile punctum: princi pium velocitatum virtualium in ordi- ne ad istiusmodi vires: momenta virium quoad punctum (M): momentum resultantis aequatur summae ex momentis com- ponentium si hae in eamdem plagam circa (M ) nituhtur movere puncta, quibus applicitae sunt; aequatur differentiae si nituntur movere in plagas contrarias. n. 10. 10. 2230. ∙ Haec ipsa extenduntur ad quemvis numerum virium in dato plano jacentium. . . . . . . n. 10. 40. 50. 6". Binae vires haud jacentes in eodem plano nequeunt ad unicam vim aequipollentem traduci : vires in aequili- brio constitutae; sollicitantesque vel solidum liberumque cor- pus, vel solidum corpus mobile duntaxat circa punctum fi- xum, vel solidum corpus mobile tantummodo circa axem fixum: momenta quoad axem. .' . . n. 10: 70. 10"- Vires parallelae: vis inde resultans: earum centrum: momenta quoad planum: respondens theorema ". 11, 121 13. 10. 20. 30. Parallelarum virium systema consistit in aequilibrio sub duabus conditionibus simul explendis; altera est ut evane- scat earum summa; altera ut evanescat summa ex earum momentis in ordine ad duo plana ipsis viribus paral- lela. . . . . . . . . . . . . . n.13.4".5'- Etsi vires non sunt parallelae, possunt tamen -reduci ad terna eiusmodi systemata. quorum primum coalescat ex viribus parallelis axi OZ, secundum ex viribus jacentibus in plano XOV simulque parallelis axi QT, tertium ex vi- ribus agentibus juxta axem OX: aequilibrii conditiones quoad systemata rigida viribus minime parallelis sollicitata;1".in319 hypothesi systematis liberi; 2 °. in hypothesi systematis de tenti puncto fixo; 3º . in hypothesi systematis detenti axe fixo: conditio explenda ut plures vires minime parallelae traduci possint ad unicam aequipollentem . n. 13. 6 ... 11º. Duo solida corpora , datis viribus sollicitata , sese in vicem aeque premendo apud datum mutui contaclus pan ctum manent in aequilibrio : determinatur istiusmodi pres sionis magnitudo. n. 13. 12 . Solidum corpus , datis viribus sollicitatum, detinetur duobus punctis fixis, sumptis in axe v. gr. OZ: determi nantur pressiones exercitae in puncta illa juxta coordi nalos axes OX, OY, OZ. n. 13. 13 . Exempla aequilibrii in quibusdam machinis, praeci so attritu : aequilibrium punctoruni materialium juncto rum flis determinatae quidem longitudinis sed mobili bas circa data puncta. n. 14. 15. 16 . De centro gravitatis. pag. 33. Varia de vi gravitatis, de corporum densitate , deque specifica eorum gravitate: linea directionis. n . 17 , 18 , 19. Generales formulae determinantes centrum gravita tis: inveniri potest ratione mechanica: peculiari metho do determinalur in triangulo et pyramide triangulari, n. 20. De corporum collisione. pag . 37 . Normalis collisio : 1º. corporum non elasticorum : 2 ° . corporum perfecte elasticorum : 3º . corporum imperfe cte elasticorum . n. 21 , 22, ... 25 . 319 hypothesi systematis liberi: ". in hypothesi systematis de- ⋅ teuti puncto fixo: 30. in hypothesi systematis detenti axe fixo: conditio explenda ut plures vires minime parallelae traduci possint ad unicam aequipollentem. n. 13. 60... 1'l0. Duo solida corpora, datis viribus sollicitata, sese in- vicem aeque premendo apud datum mutui contactus pun- ctum manent in aequilibrio: determinatur istiusmodi pres- sionis magnitudo. . . . . . . . . . n. 13. 120. Solidum corpus . datis viribus sollicitatum. detinetur duobus punctis fixis, sumptis in axe v- gr. OZ: determi- nantur pressiones exercitae in puncta illa iuxta coordi-' natos axes OX, 0ï,OZ. . . . ∎∙ ∙ ∙ n.13.130. Exempla aequilibrii. in quibusdam machinis, praeci- so attritu : aequilibrium punctorum materialium iuncto- rum filis determinatae quidem longitudinis sed mobili- bus circa data puncta. . . . . . . n.14.15.'16. De centro gravitatis. pag. 33. Varia de vi gravitatis, de corporum densitate.deque specifica eorum gravitate: linea directionis. n. 17, 18, 19. Geuerales formulae determinantes centrum gravita- tis: inveniri potest ratione mechanica: peculiari metho- do determinatur in triangulo et pyramide triangulari. n. 20- Dä corporum collisione. pag. 37- Normalis collisio: 10. corporum non elasticorum: 2". corporum perfecte elasticorum : 3". corporum imperfe- cte elasticorum. . . - . . . . . n.21,22,...25.320 Obliqua eorumdem corporum collisio. n . 26. De motu rectilineo utcumque vario. pag. 42 Praemittantur nonnulla ex analysi infinitesimali, e jusque ad res geometricas applicatione. n. 27. 10.2 ... 300. Formulae spectantes ad motum rectilineum utcumque varium : formulae quoad motum rectilineum uniformiter varium: vis acceleratrix : vis motrix. n. 28. Formulae pertinentes ad motum rectilineum utcum que varium applicantur ad materiale punctum sollicita tum vi acceleratrice, quae sit distantiae a dato centro pro portionalis. n. 29.

De verticali gravium descensu atque ascensu . pag. 65. Formulae, legesque huc spectantes: motus gravium in machina Atwoodi. n . 30, 31 , 32 . Quid si gravium descensus vel ascensus fiat in me dio resistente sub ea conditione, ut resistentia medii sit pro . portionalis quadrato velocitatis. n. 33. De gravium descensu per plana inclinala ; de attritu ; deque cochlea, et cuneo. pag. 71. Formulae determinantes descensum gravium per plana inclinata: gravium descensus per plana inclinata compara tur cum verticali eorum descensu. n . 34, 35. 320 ⋅∡ Obliqua eorumdem corporum collisio. . ∙⋅ n. 26. De motu rectilineo utcumque uario. pag. 42 Praemittuntur nonnulla ex analysi infiuitesimali, e- iusque ad res geometricas applicatione. n. 27. 10. 2"....300. Formulae spectantes ad motum rectilineum utcumque varium: formulae quoad mo'tum rectilineum uniformiter varium: vis acceleratrix: vis motrix. . . . . . n. 28. Formulae pertinentes ad motum rectilineum utcum- que varium applicantur ad materiale punctum sollicita- tnm vi acceleratrice. quae sit distantiae a dato centro pro- portionalis. ............n.ag. ! De verticali gravium descensu atque ascensu. pag. 65. Formulae, legesque huc spectantes: motus gravium in machina Atwoodi. . . . . . . . . n. 30,31,32- Quid si gravium descensus vel ascensus liat in me- dio resistente sub ea conditione, ut resistentia medii sit pro- portionalis quadrato velocitatis. . . . . . . n. 33- De gravium descensu per plana inclinata; de attritu; ⇥ deque cochlea, et cuneo. ∙ pag. 71. Formulae determinantes descensum gravium per plana inclinata: gravium descensus per plana inclinata compara- tur cum verticali eorum descensu. . . . n. 34, 35-321 Gravium descensus per plura plana inclinata sibi con rigua . n. 36. non. Unde orialur attritus , caeteris paribus , est proportio nalis pressioni : quomodo habeatur ratio attritus in motu gravium per plana inclinata : grave in plano inclinato li brandum potentia aliqua, sive habeatur ratio attritus , sive n. 37. 10. 20 30 Aequilibrii leges in cochlea, et cuneo. n. 37. 4º. 5º. Spectatur attritus in aequilibrio cochleae: itemque in aequilibrio corporis ad rotatilem motum circa fixum cy lindrum sollicitati : in machinis praeter resistentiam ex at tritu spectanda etiam est resistentia ex funibus n. 37.6º.70.8° . De motu gravium oblique projectorum . pag . 81 , Aequatio ad curvam, quam describunt gravia oblique projecta; istiusmodi curva dicitur parabola. n. 38, 39. Amplitudo jactus: maxima jactus amplitudo habetur sub angulo projectionis semirecto: sub quo angulo projiciendum sit grave ut offendat in datum scopum : altitudo jactus : ali quid subjungitur de proprietatibus praefatae curvae. n. 40. 1º. 2 ° .... 70 Quid si gravia oblique projiciantur in medio resi n. 41 . stente. De generalibus quibusdam proprietatibus motus curvili nei, orti a viribus quarum una determinat materiale punctum ad motum uniformem , altera ipsi materia li puncto est continue applicata . . pag. 85. Ubi in aliquo curvae puncto vis acceleratrix desinat agere, excurret mobile per tangentem în punclo illo : ubi 321 Gnavium descensus-per plura plana inclinata sibi con- ligua...............n.36. Unde oriatur attritus. caeteris paribus, est proportio- nalis pressioni: quomodo habeatur ratio attritus in motu gravium per plana inclinata: grave in plano inclinato li- brandum potentia aliqua, sive habeatur ratio attritus, sive non. . , . . . . . . . . . . n. 37.10.2030. Aequilibrii leges in cochlea, et cuneo. n. 37. 40. 50. Spectatur attritus in aequilibrio cochleae: itemque in aequilibrio corporis ad rotatilem motum circa fixum cy- lindrum sollicitati: in machinis praeter resistentiam ex et- tritu spectanda etiam est resistentia ex funibus n. 37.60.70.80. De motu gravium oblique projectorum: pag. 81, ∙ Aequatio ad curvam, quam describunt gravia oblique proiecta; istiusmodi curva dicitur parabola. . n. 38. 39. Amplitudo iactus: maxima jactus amplitudo habetur sub angulo projectiouis semirecto: sub quo angulo proiiciendum sit grave ut offendat in datum scopum : altitudo jactus: ali- quid subiungitur de proprietatibus praefatae curvae. n. 40. 10. 20 .... 70. Quid si gravia oblique projiciantnr in medio resi- stente. ↖∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋅∙∙∙∥∙∡∎∙ De generalibus quibusdam praprietatibus motus curvili- 'nei, orti a viribus quarum una determinat materiale punctum ad motum uniformem. altera ipsi materia- li puncto est continue applicata. . . . . pag. 85- Ubi in aliquo curvae puncto vis acceleratrix desinat agere, excurret mobile per tangentem in puncto illo: ubi322 tempore finito angulus, quem efformat vis acceleratrix cum directione tangentis , fuerit semper acutus, acquiret mo bile incrementum velocitatis finitum ; si semper obtusus, patietur decrementum finitum ; si semper rectus , veloci tas manebit constans: quadratum velocitatis adaequat vim acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex ejus directione abscinditur ab osculatore circulo. n . 42.... 45. Haec vera sunt de omnium virium genere; ponantur vires acceleratrices ad centrum datum directae : jacebit cur va in plano transeunte per rectam projectionis et per cen trum virium: radius vector describet areas circa virium cen trum temporibus proportionales: viceversa si radius ve ctor describit areas circa punctum aliquod temporibus pro portionales, vis acceleratrix erit constanter directa ad pun ctum illud: velocitas, qua pollet mobile in eadem curva , exsistit reciproce proportionalis perpendiculo ducto a centro virium in tangentem: vis acceleratrix in quovis curvae pun: cto est directe ul radius vector, et reciproce ut factum ex osculi radio in cnbum praefati perpendiculi : si ultra punctum contactus sumitur arcus infinitesimus, a materiali puncto describendus subsequente tempusculo, radiusque ve ctor pertingens ad hujus arcus extremitatem producitur donec occurrat tangenti, vis acceleralrix in contactus pun cto erit directe ut pars radii vectoris producti intercepta ac tangente , et reciproce ut quadratum tempuscu li . arcu n. 46, 49. Sive vires tendant ad centrum datum, sive non ; coor dinatae puncti materialis in fine temporis e spectandae sunt tanquam functiones ipsius t : formulae respicientes et veloci tatem in quolibet curyae puncto, et binas componentes, al teram juxta tangentem , alteram juxta normalem , in quas resolvitur yis acceleratrix. n, 50. 10. 2º . 3º. . 322 tempore linito angulus, quem etl'ormat- vis acceleratrix cum directione tangentis , fuerit semper acutus, acquirat mo- bile incrementum velocitatis Gnitum; si semper obtusus, patietur decrementum (initum: si semper rectus, veloci- tas mauebit constans: quadratum velocitatis adaequat vim. acceleratricem ductam in dimidium chordae, quae ex eius directione abscinditur ab osculatore circulo. n. 42.... 45. Haec vera sunt de omnium virium genere; ponantur vires acceleratrices ad centrum datum directae: iacebit cur- va in plano transeunte per rectam projectiouis et per cen- trum virium: radius vector describet areas circa virium cen- trum temporibus proportionales: viceversa si radius ve- ctor describit areas circa punctum aliquod temporibus pro- portionales, vis acceleratrix erit constanter directa ad pun- ctum illud: velocitas, qua pollet mobile in eadem curva . exsistit reciproce proportionalis perpendiculo ducto a centro virium in tangentem: vis acceleratrix in quovis curvae pung- cto est directe ut radius vector, et reciproce ut factum ex osculi radio iu cubum praefati perpendiculi: si ultra punctum contactus sumitur arcusiufiuitesimus, a materiali puncto describendus subsequente tempusculo, radiosque ve- ctor pertingens-ad huius arcus extremitatem producitur donec occurrat tangenti, vis acceleratrix in contactus pun- cto erit directe ut pars radii vectoris producti intercepta arcu ac tangente , et reciproce ut quadratum tempuscu- li. ∙∙∙∙∙⋅∙∙∙ ∙ ∙∙ ..n.46,...49- Sive vires tendant ad centrum datum, sive non; coor- dinatae puncti materialis in fine temporis t spectandae sunt tanquam functiones ipsius :: formulae respicientes et veloci- tatem in quolibet curvae puncto, et binas componentes, al- teram juxta tangentem, alteram juxta normalcm. in. qu". resolvitur vis acceleratrix. . . . . . n. 50.1'-2"- 30,323 Resolata vi acceleratrice in ternas componentes axi bus coordinatis parallelas, stabiliuntur formulae huc per tinentes: applicantur formulae ad duas quaestiones, quarum al tera respicit gravia oblique projecta in vacuo, altera respicit gravia oblique projecta in medio resistente. n. 50. 4º. 5º . 6º. Quomodo vis acceleratrix directa ad centrum expri matur generatim per coordinatas polares : quomodo, data vi acceleratrice directa ad centrum , inveniri possit aequatio inter coordinatas polares ad lineam per quam movetur ma teriale punclum: exemplum desumptum a vi acceleratrice , quae sit reciproce ut quadratum radii vectoris: sub hac le ge poterit materiale punctum describere parabolam haben tem suum focum in centro virium: quaenam velocitas pro jectionis ad id sit necessaria. n. 50. 7º. 8º... 15 ° Motus curvilineus impeditus : vis centrifuga. n. 51 . De vi acceleratrice in motu circulari, existente centro virium in centro circuli. pag . 109, Istiusmodi motus ' est uniformis: vis acceleratrix obti netur dividendo quadratum velocitatis per curvae circularis radium: varia inde inferuntur et quoad projectionis velo citatem necessariam ad describendam cicularem curvam , et quoad vires acceleratrices in diversis peripheriis circula ribus. n. 52 , 53. Vis centrifuga orta ex circulari telluris rotatione cir ca suum axem : qua ratione decrescat ab aequatore ad po los: qua ratione vis centrifuga imminuat gravitatem a po lis ad aequatoren . n. 54. 323 Resoluta vi acceleratrice in ternas componentes axi- bus coordiuatis parallelas, stabiliuntur formulae huc per- tinentes: applicantur formulae ad duas quaestiones, quarum al- tera respicitgravia oblique projecta in vacuo, altera respicit gravia oblique proiecta in medio resistente. n. 50. 40. 50. 60. Quomodo vis acceleratrix directa ad centrum lexpri- matur generatim per coordinatas polares: quomodo, data vi acceleratrice directa ad centrum . inveniri possit aequatio inter coordinatas polares ad lineam per quam movetur ma- teriale punctum: exemplum desumptum a vi acceleratrice, quae sit reciproce'ut quadratum radii vectoris: sub hac le- ge poterit materiale punctum describere parabolam haben- tem suum focum in centro virium: quaenam velocitas pro- fectionis ad id sit necessaria. ' . . n. 50. 7". 80...150. Motus curvilineus impeditus: vis centrifuga. n. St. De vi acceleratrice in motu circulari, existente centro m'rium' in centro circuli . pag. 109. Istiusmodi motus 'est uniformis: vis acceleratrix obti- netur dividendo quadratum velocitatis per curvae circularis radium: varia iude inferuntur et quoad proiectionis velo- citatem necessariam ad" describendam cicularem curvam, et quoad vires acceleratrices in diversis peripheriis circula- ribus-.............n.52,53. . Vis centrifuga orta ex circulari telluris rotatione cir- ca suum axem: qua ratione decrescat ab aequatore ad po- los: qua ratione vis centrifuga imminuat gravitatem a po- lis ad aequatorem. . . .. . . . . ∙∙ ∙ n. 54-324 De vi acceleratrice in motu elliptico, existente centro virium in foco ellipsis pag. 111, Varia praemittuntur et circa rectas ita ductas ex puncto quovis, ut tangant datam sphaeram ; et circa plaua tangentia ducta per ejusmodi rectas ; et circa rectarum , arearumque planarum projectiones in plano quolibet ; sed praecipue circa ellipsim. n. 55. 1º, 2º ...14 °. . . Quibus praemissis, demonstratur illud : existente cen tro virium in foco ellipseos , vis acceleratrix in motu el liptico est reciproce ut quadratum radii vectoris : quid in duabus ellipsibus si quadrata temporum periodicorum sint ut cubi semiaxiun transversorum . n. 56. Paucis subjunctis de ellipsi , parabola , et hyperbo la, demonstratur quod, agentibus viribus in ratione reci proca duplicata distantiarum a dato centro, praeter para bolam poterit quoque mobile describere vel ellipsim vel hyperbolam, existente focorum altero in centro virium: quaenam projectionis velocitas requiratur ad ellipsim de scribendam , quaenam ad hyperbolam. n, 67. 1.2.7 . Obiter de lege virium in motu elliptico, ubi eae ten dant ad ellipseos centrum . n. 57 , 8 . De motu relativo punctorum materialium , tendentium in se mutuo viribus acceleratricibus quae sint di recte ut massae in quas tenditur, et reciproce ut qua drata respondentium distantiarum . pag. 125. Generales ad istiusmodi motum aequationes differen tiales. n, 58, 324 - De ui acceleratrice in motu elliptica. existente centro virium in foco ellipsis pag. 111. Varia praemittuntur et circa rectas ita ductas ex puncto quovis, ut tangant datam sphaeram; et circa plana tangentia ducta per ejusmodi rectas; et circa rectarum, arearumque planarum proiectiones in plano quolibet ; sed praecipue circa ellipsim. . . . . . . . . n.55.10. 20 ...140. Quibus praemissis, demonstratur illud: existente cen- tro virium in foco ellipseos , vis acceleratrix in motu el- liptico est reciproce ut quadratum radii vectoris: quid in duabus ellipsibus si quadrata temporum periodicorum sint ut cubi semiaxium transversorum . . . . . . n- 56. Paucis subjunctis de ellipsi, parabola , et hyperbo- la, demonstratur quod, agentibus viribus in ratione reci- proca duplicata distantiarum a dato centro, praeter para- bolam poterit quoque mobile describere vel ellipsim , vel hyperbolam, existente focorum altero in centro virium: quaenam proiectiouis velocitas requiratur ad ellipsim de- scribendam, quaenam ad hyperbolam. . n. 57. ↿∘∙ ⋍∘∙∙∙ 70. Obiter de lege virium in motu elliptica, ubi eae ten- dant ad ellipseos centrum. . . . . . . n. 57. 8". De motu relativo punctorum "materialium , tendentium in se mutuo viribus acceleratricibus quae sint di- recte ut massae in quas tenditur, et reciproce ut quab drata respondentium distantiarum. pag. 125. Gener-ales ad istiusmodi motum aequationes dideren- tiüles- ∙∎∎ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ "a 58.325 Spectantur duo tantum materialia puncta: vires per turbantes ex reliquis punctis. n. 59, ... 62. De pendulis ; deque gravium descensu per arcus cycloidales. pag . 134. Quid pendulum simplex ; quid compositum : vires gignentes motum penduli simplicis n . 63. Velocitates in puncto infimo acquistae a gravibus per inaequales ejusdem circuli arcus descendentibus sunt ut ipsorum arcuum chordae . . n. 64. Oscillationes penduli simplicis per arcus satis exi guos , ulcumque ceteroquin inaequales , sunt ad sensum isochronae seu aequidiuturnae : quid ex doctrina penduli simplicis circa terrestrem gravitatem n. 65 , 66. Centrum oscillationis in pendulo composito : etiam oscillationes penduli compositi suņt isochronae, modo ta men existant satis exiguae . n. 67. Oscillationes penduli simplicis in medio resistente : primo in hypothesi resistentiae proportionalis simplici ve locitati; deinde in hypothesi resistentiae proportionalis qua drato velocitatis . n. 68. n . 69 . Paucis praemissis de cycloide, demonstratur illud : ex quocumque cycloidis puncto demittatur grave , eodem sem per tempore perveniet ad punctum infimum De attractione corporum in hypothesi attractionis agentis in ratione directa massarum , et in reciproca duplicata distantiarum . Attractio corporum quorumcumque in materiale pun clum situm sive extra corpus attrahens, sive intra. n . 70,71,72. pag . 151 . 325 Spectautur duo tantum materialia puncta: vires per- turbantes ex reliquis punctis. . . . . . n. 59....62. De pendulis; deque gravium descensu per arcus cycloidales. pag. 134. Quid pendulum simplex; quid compositum : vires gignentes motum penduli simplicis . . . . . n. 63. Velocitates in puncto intimo acquistae a gravibus per inaequales ejusdem circuli arcus descendentibus sunt ut ipsorum arcuum chordae . . . . . .- . . n. 64. Oscillationes penduli simplicis per arcus satis exi- guos, utcumque ceteroquin iuaequales , sunt ad sensum isochrouae seu aequidiuturuae: quid ex doctrina penduli simplicis circa terrestrem gravitatem . . . n. 65 , 66. Centrum oscillationis in pendulo composito: etiam oscillationes penduli compositi sunt isochrouae, modo ta- men existant satis exiguae . . . . . . . . n. 67. Oscillationes penduli simplicis in medio resistente: primo in hypothesi resistentiae proportionalis simplici ve- locitati; deinde in hypothesi resistentiae proportionalis qua- drato velocitatis . . . .. . . . . . . n. 68. Paucis praemissis de cycloide, demonstratur illud : ex quocumque cycloidis puncto demittatur grave , eodem sem- per tempore perveniet ad punctum infimum . . n.. 69. De attractione corporum in hypothesi attractionis agentis in ratione directa massarum, et in reciproca duplicata distantiarum. pag. 151 . Attractio corporum quorumcumque in materiale pun- ctum situm sive extra corpus attrahens, sireintrafn. 70,71,72.326 Expediuntur quae pertinent ad attractionem corpo rum sphaericorum in punctum materiale n. 73,74,75. Materiale punctum valde distans a corpore attrahente, utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centro gravitatis compenetrarentur: ubi dimensiones corporum quo rumcuinque se mutuo attrahentium sint admodum exiguae prae distantiis , quibus ipsa corpora disjunguntur , eorum alterum tendet in alterum perinde ac si essent ambo in suis gravitatis centris compenetrata ; haec assertio quoad sphaerica corpora valet utcumque se habeat intercedens distantia n. 76. De gravitatione universali. pag. 159. Ex mutua coelestium corporum gravitatione collata cum terrestrii gravitate inferimus illud : gravitas ita ma teriam afficit , ut singulae ejus particulae in alias omnes et singulas gravitent in ratione directa massarum ad quas tenditur , et reciproca duplicata distantiarum alterius ab altera n . 77 , ...82. . Aliquid circa solarem et planeticas massas... n.83.10... 4. Media telluris densitas determinata ex penduli aber ratione ; itemque experimentis institutis in libra siouis n. 83. 5. 6.° tor Quomodo ex marini aestus phoenomeno deduci pos sit ratio inter lunarem ac terrestrem massam . n. 83.7 . ° 326 Expediuntur quae pertinent ad attractionem corpo- rum sphaericorum iu punctum materiale . n. 73,74,75. Materiale punctum- valde distans a corpore attraheute, utcumque se habeat forma corporis, ea proxime ratione tendit in ipsum corpus, qua tenderet si corporis partes in centro gravitatis compenetrarentur: ubi dimensiones corporum quo- rumcumque se mutuo attrahentium sint admodum exiguae prae distantiis, quibus ipsa corpora disiunguntur , eorum alterum tendet in alterum perinde ac si essent ambo in suis gravitatis centris compenetrata ; haec assertio quoad sphaerica corpora valet utcumque se habeat intercedens distantia ...............n76 De gravitatione universali. pag. 159. Ex mutua coelestium corporum gravitatione collata cum terrestrii gravitate.iuferimus illud: gravitas ita'ma- teriam allicit, ut singulae eius particulae in alias omnes et singulas graviteut in ratione directa massarum ad quas tenditur, et reciproca duplicata distantiarum alterius ab altera . . . . . . . . . ∎∙ ∙ ∙ n. 77,...82. Aliquid circa solarem et plaueticas massas...n.83.10...4.' Media telluris densitas determinata ex penduli aber- ratione : itemque experimentis institutis in libra tor- Sioni. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ n. 830 5-0 S.. Quomodo ex marini aestus phoenomeuo deduci pos- sit ratio inter lunarem ac terrestrem massam. n. 83. 7!327 Aliquid notatur de motu punctorum materialium utcumque inter se connexorum pag. 169. Formulae spectantes et ad translativum punctorum motum juxta coordinatos axes, et ad rotatilem eorum mo tum circum axes ipsos n. 84. Moto punctorum systemate, perinde movebitur com mune gravitatis centrum ac si , coeuntibus punctis in ipsum centrum , applicarentur centro eaedem vires cum iisdem directionibus , quibus pancta sollicitantur. n. 84.1.6 Principium de conservatione centri gravitatis : item de conservatione arearum : necnon de conservatione vi rium vivarum n. 84. 2.0 ... 5 .. Relativus rigidi liberique systematis motus quoad gravitatis centrum n. 84. 6. ° 7.0 Motus rigidi systematis circa axem fixum ; quibus cuinque caeteroquin viribus acceleratricibus sollicitetur sy stema : quid si vires acceleratrices consistant in sola gra vitate ; huc spectat theoria penduli compositi : longitudo penduli simplicis , quod suas perficit oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum : quid si nullae sint vires acceleratrices : inertiae momenta quoad axem principales systematis axes : principalia inertiae momen n. 85. 1.° 2.° ... 7.0 . ta . De fluidorum corporum aequilibrio pag. 182. Ex perfecta mobilitate , qua ponuntur gaudere flui dorum corporum particulae , ostenditur principium de aequalitate pressionis , atque inde eruuntur conditiones requisitae ad aequilibrium cujusvis massae fluidae. n. 86. 327 Aliquid notatur de motu punctorum materialium utcumque inter se connexorum pag. 169. Formulae spectantes et ad translativum punctorum motum iuxta coordinatos axes, et ad rotatilem eorum mo- tum circum axes ipsos . . . . . . . . . n. 84. Moto punctorum, systemate, perinde movebitur com- mune gravitatis centrum ac si , coeuntibus punctis in ipsum centrum, applicarentur centro eaedem vires cum iisdem directionibus , quibus puncta sollicitantur. n. 84.1.' Principium de conservatione centri gravitatis: item de conservatione arearum : necnon de conservatione vi- rium vivarum . . . . '. ⋅∙ ∙ ∙ n. 84. Z."...Sæ Belativus rigidi liberique systematis motus quoad gravitatis centrum . . . . . . . . n.84. 6." 79 Motus rigidi systematis circa axem fixum .: quibus- cumque caeteroquin viribus acceleratricibus sollicitetur sy- stema :quid si vires acceleratrices consistant in sola gra- vitate; huc spectat theoria penduli compositi: longitudo penduli simplicis , quod suas perficit oscillationes eodem tempore ac pendulum compositum .: quid si nullae sint vires acceleratrices : inertiae momenta quoad axem : principales systematis axes : principalia inertiae momen- ta. . . . . . . . . . . n.85.1.0 Z."... 7." De fluidorum corporum aequilibrio pag. 182. Ex perfecta 'mobilitate . qua ponuntur gaudere Hui- dorum corporum particulae ,, ostenditur principium de aequalitate pressionis , atque inde eruuntur conditiones requisitae ad aequilibrium cujusvis massae Huidae. n. 86.328 Quid notandum circa superficiem massae fluidae li bratae n. 87, 1. ° 2.° ... 5 . Quid circa fluidum elasticitate pollens, ni 87. 6.0 7 . De gravium homogeneorumque liquidorum aequilibrio. pag. 187. Liquida constituta in aequilibrio intra vasa : pres. siones in areas sive horizontaliter , sive oblique demer sas : centrum pressionis . n. 98. 1. ° . , . 4.0 Solida liquidis immersa : aequilibrii positiones quoad solidum liquido insidens n. 88.5 . , 89. 1.° 2. ° 3.° Utrum aequilibrium sit stabile , nec ne. n. 90. . De gravium liquidorum aequilibrio in vasis communicantibus. pag. 195. Quid si vasis communicantibus idem contineatur li quidum : explicatio variorum effectuum ; antliae adspi ranles , etc n. 91 , 92. 1.° 2.° Quid si diversa contineantur liquida. . n. 92. 3.0 De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio nec non de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et de pondere ac densitate vaporum . pag. 199. Conditio aequilibrii expressa per aequationem dif ferentialem : perficitur integratio in hypothesi temperiei constantis n. 93. Inde eruitur formula inserviens ad altitudines di 328 Quid notandum circa superüciemi massae liuidae li- bratae . . . . . . . . . n. 87.1.02."...5.0 Quid circa fluidum elasticitate pollens. n: 87. 6." 7." -De gravium homogeneorumque liquidarum aequilibrio. pag. 187. Liquida constituta in aequilibrio intra vasa: pres- ⋅ tiones in areas sive horizontaliter , sive oblique demer- sas: centrum pressionis . . . . . n. 88. 1." ..,. 4." ∙ !' Solida liquidis immersa : aequilibrii positiones quoad solidum liquido insidens . . n. 88.5.", 89. 1." 2.0 3." Utrum aequilibrium sit stabile, nec ne. . . n. 90. De gravium liquidarum aequilibrio in 'vasis communicantibus. pag. 195. Quid si vasis communicantibus idem continaptur li- quidum: explicatio variorum effectuum : antliae adspi- TODIBBQ etc ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ↼ ∙ ∙ a ∙ ". 5 91. 92. 1.02.0 Quid si diversa cbntiueantur liquida. . . n. 92. 3." De gravium elasticorumque fluidorum aequilibrio nec non de altitudinibus dimetiendis ope barometri, et de pondere ac densitate. naporum. pag. 199. Conditio aequilibrii expressa per aequationem dif- ferentialem : perficitur integratio in hypothesi temperiei constantis . . . . .'". . . ⋅ n. 93. Inde eruitur formula inservieus ad altitudines di-329 metiendas ope barometri : varia observantur pro commo diori formulae usu n. 94. 1. ° 2.° ... 6.• Verticalis ascensus globi aereostatici : maxima glo bi elatio . n. 95. Maxima quantitas vaporis sese evolventis in vase un dique clauso : vis elastica sicci aeris aucta ob evolu tum vaporem : ratio inter densitatem aquei vaporis ac densitatem sicci aeris sub eadem temperie eademque pres sione : ratio inter eorum densitates ac pondera sub ea dem temperie et diversis pressionibus : densitas aeris va porosi librantis datam pressionem sub temperie data. n. 96.1 . ° 2 . Usus aquei vaporis in movendis machinis. n . 99.6. • De aqua egrediente per angustum foramen e vasis verticalibus sive cylindricis, sive prismaticis. pag. 206 . Nonnulla praemittuntur ex pluries iteratis experimen tis . n . 97. Quaenam velocitas aquae egredientis: tempus impen sum in descensu usque ad quamlibet altitudinem datam . n.98. Quantitas aquae dato tempore egredientis : tempus quo vas totum evacualur n. 99, 100, Ratio inter tempora , quibus deplentur duo vasa ha bentia et altitudines et orificia aequalia : quantitales aqua rum successivis ' et aequalibus temporibus ex vasis ori ficio efluentium : divisio vasorum in partes successivis dati temporis unitatibus vacuandas n. 101 , 102. 22 ' 329 metiendus ope barometri : varia observantur pro commo- diori formulae usu . . . . . n. 94. 1..) ." ... 6." Verticalis ascensus globi aereostatici : maxima glo- bi elatio. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ' ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∎∎ ∙ n- 950 -Maxima quantitas vaporis sese evolventis in vase uu- dique clauso : vis elastica sicci aeris aucta" ob evolu- tum vaporem : ratio inter densitatem aquei vaporis ac densitatem sicci aeris sub eadem temperie eademque pres- sione: ratio inter eorum densitates ac pondera sub ea- dem temperie' et diva-sis- pressionibus: densitas aeris va- porosi librantis datam pressionem sub temperie data. n. 961." 2.0 ... 5." Usus aquei vaporis in movendis machinis. n. 99. 6." De aqua egrediente per angustum foramen e vasis «verticalibus sive cylindricis, sive prismaticis. pag. 206. Nonnulla praemittuntur ex pluries iteratis experimen- tis ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋅∙⋅ ∙ ∙ . ∙ ∙ ∙ ∙∎∎ ∙ ∙ ∙ "o 970 Quaenam velocitas aquae egredientis: tempus impen- sum in descensu usque ad quamlibet altitudinem datam. n.98. ,. Quantitas aquae dato tempore egredientis: tempus quo vas tatum evacuatur . . . . . . n. 99,100. Ratio inter tempora, quibus deplentur duo vasa ha- bentia et altitudines 'et oriiicia aequalia : quantitates aqua- rum successivis' et aequalibus temporibus ex vasis ori- iicio efluentium: divisio vasorum in partes successivis dati temporis unitatibus vacuandas . . . ∙∙ n. 101, 102. 22330 Contractio venae aqueae n. 103. Ubinam perficiatur acceleratio , per quam velocitas aquae descendentis admodum exigua mutatur in finalem satisque grandem effluxus velocitatem . n . 104. 1.0 Quomodo motus aquae defluentis in regularibus al veis traduci possit ad motum aquae prosilientis ex an gustis vasorum orificiis n. 104. 2.• , ..5. Illud cum Auctoribus non paucis assumitur tanquam principium , quod nempe unumquodque liquidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et horizontale stra tum coalescat iisdem constanter particulis communi , ea que tantum verticali , velocitale donatis ; inde vero eruun tur , quae pertinent ad ipsius liquidi motum n . 105. Aliquid subjungiur circa generalem theoriam motus corporum fluidorum . pag. 216. Aequationes ad istiusmodi motum et quum massa fluida homogenea vel heterogenea est incapax compressio nis, et quum massa fluida pollet elasticitate. n. 106,107,108. De tubis capillaribus. pag. 225. sol Vires ex materia tubi , et ex materia liquidi , licitantes datam ipsius liquidi particulam : attentis viri bus istis , suprema liquidi superficies vel induet curvam concavamque figuram , vel curvam convexamque , vel ma nebit, plana atque horizontalis, n. 109,1.9 330 Contractio venae aqueae . . . . -. . n. 103. Ubinam perficiatur acceleratio, per quam velocitas aquae descendentis admodum exigua mutatur in finalem satisque grandem effluxus velocitatem. . - .n. 104. 1." Quomodo motus aquae defluentis in regularibus al- veis traduci possit ad motum aquae prosilientis ex au- gustis vasorum orificiis . . . . . n. 104. Z.". ..5." Illud cum Auctoribus non paucis assumitur tanquam principium, quod nempe unumquodque liquidi in vase quolibet descendentis tenuissimum et horizontale stra- tum coalescat iisdem constanter particulis communi , ea- que tantum verticali, velocitate donatis : inde vero eruun- tur, qnae pertinent ad ipsius liquidi motum . ∙⋅ n. 105- Aliquid subjungiur circa generalem theoriam motus corporum fluidorum. pag. 215- Aequationes ad istiusmodi motum et quum massa fluida homogenea vel heterogenea est incapax compressio- nis, et quum massa fluida pollet elasticitate. n. 106,107,108. De tubis capillaribus. pag. 225. Vires ex materia tubi , et ex materia liquidi . sol- licitantes datam ipsius liquidi particulam: attentis viri- bus istis , suprema liquidi superficies vel induet curvam concavamque figuram , vel curvam couvexamque , vel ma- nebit, plana atque horizontalis, ,. . . .. . n. 109.1."331 Quam attractionem exerceat massa liquida , cujus su prema superficies est plana , in columellam liquidam per pendiculariter illi superficiei planae insistentem . n. 109.2 . Quam attractionem exerceat massa liquida , cujus su. prema superficies est vel concavo -sphaerica vel convexo sphaerica , in columellam liquidam perpendiculariter in sistentem plano tangenti , dactó vel per punctum infimum superficiei concavo-sphaericae vel per supremum superfi ciei convexo -sphaericae. n. 109. 3.° 4.0 ... 70 Quid si massa liquida terminetur superficie concaya vel convexa , quae non sit sphaerica. n. 109. 8.° ... 11.º His declaratis , explicamus ascensum descensumque liquorum in lubis capillaribus n. 110, . Nonnalla subjunguntur , quorum ratio desumitur ab actione capillari . n. 111. 1.° 2.° ... 5 ° , 112 ) ACUSTICAE PRINCIPIA Notiones praeambulae. 1 pag . 245. Corpora, quae sonora dicuntur tunc sonum exci tant quando ita agitantur , ut illorum partes tremulo ac vibratorio satisque rapido concutiantur motu ; qui motus communicatus aeri ambienti , et late diffusus afficit orga nym auditus: vis acceleratrix in vibrante particula resonan tis corporis. . n . 113. 10. 20. 331 Quam attractiduem exerceat massa liquida , cuius su- prema superficies est plana , in columellam liquidam per- pendiculariter illi superficiei planae insistentem. n. 1092." Quam attractionem exerceat massa liquida , cuius su- prema- superficies est vel concavo-sphaerica vel convexo- sphaerica, in columellam liquidam peu-pendiculariter in- sistentem plano tangenti , dnctö vel per punctum infimum superficiei concavo-sphaericae vel per supremum superfi- ciei convexo-sphaericae. . . . n. 109. 3." 4." .. . 7." Quid si massa liquida terminetur superficie concava vel convexa, quae non sit sphaerica. n. 109. 8.". .. 11." His declaratis , explicamus ascensum descensumque liquorum iu .tubis capillaribus . . . . . . n. 110. Nonnulla subjunguntur ∙ quorum -ratio desumitur ab actione capillari. . . . . n. 111. 1." 2." . . . 5",112 AOUSTIGAE W PRINCIPIA Notiones praeambulae. ∣ pag. 245. Corpora, quae sonora dicuntur , tunc sonum exci- tant quando ita agitantur, ut illorum partes tremulo ac vibratorio satisque rapido concutiuntur motu; qui motus communicatus aeri ambienti, et late diffusus afficit orga- num auditus: vis acceleratrix in vibrante particula resonan- tis corporis. . . . . . . '. . . . n. 113.1". 2".332 Progignitur quoque sonus ab aere vehementer compres so , seseque statim restituente , n. 114. . Soni reflexio; inde echo. n . 115 . Non solus aer est medium ideoneum transmissioni sonorum. n. 116. De intensitate soni; deque ejus gravitate, et acutie . pag. 248. Sonus intensior ex eo gignitur quod in sonoro cor pore plures ejusdem partes simul oscillant, et majus spa tium singulis oscillationibus dato tempusculo percurrunt; atque ita in aere ex numero item et majori oscillatione partium aeris intensitas soni dependet ; remissior autem sonus ex opposito. n. 117. Nonnulla explicantur circa soni intensitatem. n . 118. ex Soni gravis et acuti discrimen repetendum est numero vibrationum in partibus sonori corporis, ita ut sonus gravior oriatur ex minus frequentibus vibrationibus so nori corporis, ex crebrioribus contra sonus acutus ; idem que de oscillationibus aeris in sono derivato. n. 119. Quid consonantia , et quid dissonantia: varii conso nantiae gradus: theoria chordaram vibrantium in hypothe si vibrationum admodum exiguarum. n. 120. 1 ” 2 ”... 7 . Varia proponuntur explicanda circa chordas vibran tes . n. 121 . 332 Progignitur quoque sonus ab aere vdhemeuter compres- so, seseque statim restituente. . . . . . . n. 114. Soni reflexio; inde echo. . . . . . . n. 115. Non solus aer est medium ideoneum transmissioni SODOmm. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ". 116. De intensitate soni; deque eius gravitate, et acutie. pag. 248. Sonu's intensior ex eo gignitur quod in sonoro cor- pore plures eiusdem partes simul oscillaut, et maius spa- tium singulis oscillationibus dato tempusculo percurrunt: atque ita in aere ex numero item et maiori oscillatione partium aeris intensitas soni dependet; remissior autem sonus ex opposito. . . . . . . . . . ,n. 117. Nonnulla explicantur circa soni intensitatem. . .n. 118. Soni' gravis et acuti discrimen repetendum est ex numero vibratiouum in partibus sonori corporis, ita ut sonus gravior oriatur ex minus frequentibus vibrationibus so- nori corporis, ex crebrioribus contra sonus acutus,- idem- que de oscillationibus aeris in sono derivato. . n. 119. Quid consonantia, et quid dissonantia: varii conso- nantiae gradus: theoria chordarum vibrantium in hypothe- si vibrationum admodum exiguarum. n- 120. 1" 2"... 7". Varia proponuntur explicanda circa chordas vibran- tes. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Q ". 1210333 Quomodo sonus trans obicem possit communicari ita, ut tonus proprius sonori corporis permaneat. n. 122. Unde asperitas aut lenitas soni proficiscatur. n. 123. Transversae et longitudinales chordarum vibratio nes: nodi in chordis vibrantibus: lineae nodales in super ficiebus corporum resonantium : vibrationes laminarum ri gidarum . n. 124 . De directa soni propagatione per aerem . pag. 265. In iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitate in toto decursu devehitur; omnesque soni sive intensi , sive remissi, sive graves, sive acuti eadem velocitate dif funduntur: qua ratione intensitas soni minuatur in pro gressu . n. 125, Undae sonorae constitutio. n. 126, Soni et velocitas, et intensitas augetur a vento se cundo, minuitur ab adverso . n . 127. Experimenta instituta ad soni velocitatem determi nandam; quae tamen experimenta non satis conveniunt : hujus diversitatis rationes : quaenam utilitas ex determi natione velocitatis qua propagatur sonus. . n. 128 Generalis de fluidorum motu theoria applicatur ad soni propagationem : soni velocitas eruta ex applicatione theoriae comparatur cum velocitate quam praebent ex perimenta . n. 129. 10. 2º. 3º. Crassities aerei strati, in quo particulae cientur una : si impulsio in obicem facta quadrato velocitatis sumitur - 22" 333 Quqmodo sonus trans obicem possit communicari ita, ut tonus proprius sonori corporis permaneat. . n. 122. Unde asperitas aut leuitas soni proficiscatur. n. 123. Trausversae et longitudinales chordarum vibratio,- nes: nodi in chordis vibrantibns: lineae nodales in super-'- iiciebus corporum resonantium: vibrationes laminarum ri- gidarum...........;..n.124. De directa soni propagatione per aerem. pag. 265. In iisdem circumstantiis sonus aequabili velocitate in toto decursu devehitur; omnesque soni sive intensi , sive remissi, sive graves, sive acuti eadem velocitate dif- fuuduntur: qua ratione intensitas soni minuatur in pro- gressu..............-n.125. Undae sonorae constitutio. . . . . . . n.126, Soni et velocitas, et intensitas augetur a vento se- eundi), mall!!! EI) adverw. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n- 127. Experimenta instituta ad soni velocitatem determi- nandam; quae tamen experimenta non satis conveniunt: hujus diversitatis rationes: quaenam utilitas ex determi- natione velocitatis qua prOpagatur sonus. . . n. 128. Generalis de fluidorum motu theoria applicatur ad soni propagationem: soni velocitas eruta ex applicatione theoriae comparatur cum velocitate quam praebent ex- perimenta . . . . . . . . . . n.129.1o.2".3". Crassities aerei strati, in quo particulae cientur uua: si impulsio iu obicem facta quadrato velocitatis sumitur 22'334 proportionalis, rationem duplicatam distantiarum .sequetur soni debilitatio. n. 129. 4. 5 . Cur pluribus corporibus simul resonantibus , inter oscillationes in aere excitatas non habeatur confusio , omnes que diversi soni inde orti ad aures distincte perveniant: huc spectat principium de superpositione exiguorum mo tuum. n. 129. 6. Propagatio soni in cubis cylindricis indefinitae lon gitudinis. n. 129.7 . J De reflexa soni propagatione per aerem pag. 289. Cum in directa propagatione sonorus aer . offendit o bicem aptum , reflectitur : varia ad echo spectantia ex plicantur. n. 130. Reflexio soni fit ad angulos incidentiae et reflexionis aequales; regrediturque sonus eadem velocitate qua incedebat antequam in obicem impingeret. n . 131 , 132, 1º. 2º De instrumentis pneumaticis. pag. 294. In instrumentis pneumaticis soni genesis repetenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium solidarum i psius instrumenti : quo pacto sit explicanda : aer secun dum fistulae longitudinem se habet instar chordae peragen tis longitudinales vibrationes: etsi ex materia instrumenti non habetur varietas quoad soni qualitatem, aut valde uota bilem intensitatem ; varietas tamen habetur quoad meliorem 334 proportionalis, rationem duplicatam distantiarum .sequetur soni dehilitatio. . . . . . . . ∙ ∙ n.129.40.50. Cur pluribus corporibus simul resonantibns , inter oscillationes in aere excitatas non habeatur confusio,omues- que diversi soni inde orti ad aures distincte perveniant: huc spectat principium de superpositione exiguorum mo- tuum. ∙⋅∙ '. . . . . . . . . . . n.129.6". Propagatioi soni in. tubis cylindricis indefinitae lou- gitudinisa, ∙ ∙ ∙ . . . . . .. . . n.129.7". ] De refleæa soni propagatione per aerem pag. 289. !. ∙ . . Cum indirecta prOpagatione sonorus aer .oii'eudit o- bicem aptum, reflectitur : varia ad echo spectantia ex- Plimnturo. ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ n. 1300 . Reflexio soni iit ad angulos incidentiae et reflexionis aequales: regrediturque sonus eadem velocitate qua incedebat antequam in obicem impingeret. . . ."' 131, 132.1".2". 'pul ' De instrumentis pneumaticis. pag. 294. In instrumentis pneumaticis soni genesis repetenda non est saltem praecipue ex oscillatione partium solidarum i- psius instrumenti: quo pacto sit explicanda: aer secun- dum fistulae longitudinem se habet instar chordae peragen- tis lougitudinales vibrationes: etsi ex materia instrumenti non habetur varietas quoad soni qualitatem, aut valde uota- bilem intensitatem; varietas tamen habetur quoad meliorem335 aliquam resonantiam : quid si intrumentum pneumaticum sit compactum ex materia non resistente , quale v. g. esset in strumentum membranaceum .. . n. 133. Nonnulla proponuntur explicanda circa instrumenta pneumatica. n . 134. Tremulus aeris motus in tubis cylindricis determinatae longitudinis : 1º. Quum tubus est firmiter obseratus apud alterum orificium simulque apertus apud alterum n. 135, 136. 2°. Quum tubus est patens in utraque extremitate: in de eruitur ratio investigandi velocitatem , qua propagatur sonus in aliis fluidis elasticis diversis ab aere. n. 137. 3 °. Quum tubus est utrinque obseratus. n. 138. De propagatione soni per liquida, et per solida corpora . pag. 302. Formulae huc spectantes: parvula contractio aquae et hydrargiri ob auctam pressionem: usus istius contractionis in determinanda velocitate soni per haec duo liquida. n . 139,140 . Analogia inter oscillationes aeris in tubo cylindrico a pud ambas extremitates aperto et longitudinales oscillationes virgae rigidae suppeditat peculiarem methodum investigandi velocitatem propagationis per solida corpora. n. 141 . De vocis humanae origine. pag. 305. Nonnulla ex anatomicis praemittuntur; quibus praemis sis , stabilitur illud : vocis humanae organum etsi conside rari maxime debeat tanquam instrumentum pneumaticum 335 aliquam resonantiam: quid si intrumentnm pneumaticum sit compactum ex materia nou'reaistente, quale v.. g. esset in- strumentum membranaceum. .. .. .. .. .. .. . n. 133. Nonnulla proponuntur explicanda circa instrumenta pneumatica. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .n. 134. Tremulus aeris motus'iu tubis cylindricis determinatae longitudinis : ⇝ ↿∘∙ ⊄⊇⇂⋯⋯∙⋯∣⋯∘⋅⊖⊱⇂ firmiter ohseratus apud alternm orificium simulque apertus apud alterum . n. 135,136. 20. Quum tuhus est patens in utraque extremitate: in- de eruitur ratio investigandi velocitatem , qua propagatur sonus in aliis fluidis elasticis diversis ab aere. n. 137. ( 3". Quum tubus est utrinque ohseratus. . n. 138. i ' ⋅ ⋅ ↼ De prapagau'one soni per liquida, ettper "solida ⊳∣ corpora. pag. 302. .Fornrnlae huc spectantes: parvula contractio ailuae et hydrargiri ob auctam pressionem: ususistius contractionis in determinanda velocitate soni per haec duo liquida.ia.139, 140. Analogia inter oscillationes aeris in tuho cylindrico a- pud ambas extremitates aperto et lougitudinales oscillationes virgae rigidae suppeditat peculiarem methodum investigandi velocitatem propagatiouis per solida corpora. . n. 141. De 'vocis humanae origine. pag. 305. Nonuulla ex anatomicis praemittuntur; quibus praemis- sis, stahilitur illud: vocis humanae organum etsi conside- rari maxime debeat tanquam instrumentum pneumaticum ∩336 flexili et elastica materia ex parte compactum , non tamen ita est ut cum instrumentis fidicularibus aliquam non habeat analogiam . n. 142. Quid, os atque ejus partes conferant ad formationem vocis. n. 143. Variae refellantur sententiae de humanae vocis ori gine; variaeque circa vocem humanam proponuntur quae stiones. n . 144 , 145 .

De auditus organo . pag. 310. Auris descriptio. n. 146. Quaenam ex auris partibus pro praecipuo atque im mediato auditionis organo statuenda sit. n. 147. Cur quibusdam grata, aliis pene nihil, aut etiam mo lesta sit harmonia , n. 148. 19. Cur daabus auribus unus idemque sonus audiatur n.148.2 °. 1 336 ' Bexiliot'elgstica materia ex parte compactum, non tamen ita eat ut cum, instrumentis iidicularibus aliquam non habeat malogihmoo-o-0 ∙⋅∙∙∙⋅∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ "0142. Quid, os atque eius partes conferant ad formationem 'owa ∙∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙∙∙∙ ∙ ∙ ".1430 Variae refelluntur sententiae de humanae vocis ori- gine, variaeque circa vocem humanam proponuntur quae- 'none'- ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ "- 14401450 De auditus organo. pag. 310. Auriadeacriptio. . . . . . . . . . n.146. Quaenam ex auris partibus pro praecipuo atque im- mediato auditionia organo statuenda- sit. . . . n. 147. Cur quibusdam grata, aliis pene nihil, aut etiam mo- lestasit harmonia. ∙ ∙ ∙ . . . . . . n. 148. ∎∘∙ Cur duabus auribus unus idemque sonus audiatur n.148.2'.ERRATA CORRIGE pag. lin . 1. 4. saepae 1. 5. decresit 4. 28. istanti 5. 13. rive 7. 29. poductis 8. 14. sin a 14 29. AH'.BC 15. 3. AF saepe decrescit instanti . siye . prodactis sin a . AH'.BC BF' BF . Y. 4. AF 24, 7. Sy 50. 6 et 7. S * S

17. ſsfla)dx Sfaxdx. 52. 14. f (x )dx f '( x )d.x2 2 2 56. 18.- ( tdx ,z + dz,u,...) -f(xtdx , z + de, u, ...). dull . Sfx )dx 22. ( x) dx eck 58. 1.-C +0 . 57. 4. del 1 Sfaydar 62. 3. W v'dz' 11. dzi 63. 8. sint va 69. 12. quod ... 17. v'du' da sintVC . quoad ngt 2gt 70. 7.- 7 . kalog(k2—12) . .log(k ?-- ). 1 - 1 ! ERBATA CORRIGE pag. lin. ". 4. saepae saepe . 1. 5. decresit decrescit 4. 28. istanti instanti . 5. 13. rive sive . 7. 29. poductis productis . 8. 14. aina sin at . 14 29. AH'.BC AH'.BC' . 15. 3. AF' BF' . ⋅ ∙ ∙ ∙ 4. AF BF . 24, 7. :] z? . 50. 6et 7. f:" f:" ... 17. JfftæMx [f(xkiæ . 52. 14. figit" f'(æ2)dæ* . 56. 18.—(æ-]-dæ,z-l—dz,u,...) --f(a—-[-dx , z—l-dz, u, - . )- - 57. 4. d,,p. dup. . .. . 22. 111-2635 f(ældæ . 803 803 58. 1.-:.-C —]—G . 62. 3. 9) p ↿↿∙∙∙ v'dz' til—tf . d:, dz' . 63. 8. siun/C sint;/C . 69. 12. quod ' quoad . ⋅ n : 2 c ... 17. ∘−⋚∟ ∉−≓∙∙ k: 70. 7. −∙∙ 2 2 ∣⊂≄∣∘⊰≼∣∁≖−⋁≖⋟ −−⋅⊋−⋅ lOg(k —P ) -- . ∙∙∽∙∙⋅ −∙− ↼∙ - ∙−⊣ERRATA CORRIGE pag. lin . kdv Ka dy 70. 12 . katus kype " 71. 13 et 14. KC Kc 72. 23. u = ułgosinc u = a + g9 sinc . 75. 23. pressioni r.gMcosc' pressioni gMcosc' . 87. 2. Denotet enim a Denotet enim x . IG " IG " 27. = IC " : IC = 2 2 110. 9. R = Rcosa R = R , cosa 111. 5. 1880 to 288q'to . da dala 146. 8 . idt 148. 12. 69.º* 69. * 149. 6. x = A'B' - B'r - A'B ' - A'M x=AB'-B'r=A'B'-A'M . x' ? c x 151. 2 . ic (de) Centre Ide i 152. 78 et 20. r2 153. 22. (69) 154. 17. 72.°* 157. 8. SD 161. 26. 16931100 193. 23. u : M ' : fle .. 205. 7. aequeus 208. 14. aia r2 ( 70 ) . 72.* GD . 19631100 . Me : No : aqueus , Q:. i 3 ERRATA CORRIGE ∙∙∙ ∙∙∙∄≾≖∠≀⇂↗ * kæ-I—uz ⋅ Kc uza-l—gg sinc . 23. pressioni ngMcosc' pressioni gMcosc' . pag. lin 70. 12: liti—v- kZ.-v2 71. 13 et 14. KC 72. 23. uzu-l—gasinc ' 75. 87. 2. Denotet enim a ∙⋅≆↴ IG" ∙ IG" . 27.:IC :::—2— . 10: -—2-— . 110. 9- R::Rcosa: BzB, cos a . 111. 5. 1889'—]—-p' ∙ 28897'—-q)' . ' doc 146. 8. ; daz : (2? (22? 148. 12. 6994! 6931: 149. 6. a::A"B'-B'r-A"B'-A'M sz"B'-B'r:-A"B'-A'M . .... .. ⋅↕⋅≟≣∁ ⋅ ...-7... 50 ac 152. 78 et20. fi ∙∘−⋮⋅⋅∙ ra .rz 153. 22. (69) (70) . 154. 17. 7291: 724 157. 8. SD .GD . 161. 26. 16931100 - 19631100 . 193.23. p.':p.':p.., php. 205. 7. aequeus aqueus , 208.1.£. a:a' «:a' . Denotet enim æ .

  1. 9,78:30,183=0,324 m/pes
  2. Error in originale
  3. Figura deest ergo clare non est si aequatio est recte stripta