Topologia algebraica

Grex fundamentalis circuli.

Topologia algebraica in mathematica est pars topologiae quae modis et instrumentis algebrae utitur. Notiones magni momenti sunt multiplex, grex fundamentalis, et homologia. Topologia algebraica quantitates invariabiles invenit, quae ad spatium topologicum quodam cohaerent, similes dimensioni in geometria.

Homotopia

Homotopia est relatio inter functiones in spatio topologico. Sit f et g functiones continuae e spatio X in spatio Y: $f,g:X\rightarrow Y$ Sit I intervallum [0, 1]. Tunc f et g homotopicae dicuntur si exstat functio $F:X\times I\rightarrow Y$ ubi:

$\forall X\in xF(x,0)=f(x){\text{ et }}F(x,1)=g(x)$

Functio F est homotopia inter f et g; est quasi familia functionum inter X et Y.

Nunc, si X et Y sunt idem spatium (hoc est, si X = Y), functio continua $f:I\rightarrow X$ dicitur iter; si $f(0)=x_{0},f(1)=x_{1}$, f est iter ab x₀ ad x₁. Homotopia itinerum est notio similis homotopiae sed robustior. Sit $F:I\times I\rightarrow X$ talis functio:

$\forall s,t,0\leq s\leq 1F(s,0)=f(s){\text{et}}$

$F(s,1)=g(s){\text{ et}}$

$F(0,t)=x_{0}{\text{ et}}$

$F(1,t)=x_{1}$

Tunc F est homotopia itinerum inter f et g.

Grex fundamentalis

Grex fundamentalis (vel caterva fundamentalis) spatii topologici X est grex cuius elementa sunt itinera quaedam in X (non autem omnia itinera: vide infra) et cuius operatio est compositio itinerum.

Compositio haec est: Sit f iter in X ab x₀ ad x₁, et sit g iter ab x₁ ad x₂. Tunc:

$f*g(x)=f(2x),0\leq x\leq 1/2$

$=g(2x-1),1/2\leq x\leq 1$

Nova functio f * g est iter ab x₀ ad x₂. Quia $f(1)=g(0)=x_{1}$ (quod ambo sunt itinera), $f*g(1/2)=x_{1}$, quia $f(2\times 1/2)=f(1)=x_{1},{\text{ et }}g(2\times 1/2-1)=g(0)=x_{1}$

Idemfactor compositionis est iter "constans": $\forall x\in Iid_{0}(x)=x_{0}$ Si f est iter ab x₀ ad x₁, tunc $id_{0}*f=f{\text{ et }}f*id_{1}=f$ Notandum est tantos idemfactores esse quantae sunt puncta in spatio X.

Si autem in mente habemus itinera quae in eodem puncto initium et finem habent, hae itinera sunt grex.

Grex fundamentalis spatii X ad punctum x₀ ergo est copia itinerum ab x₀ ad x₀, sub operationem compositionem antea definitam, cum idemfactore id₀. (Etiam "primus grex homotopicus" nominatur.)

Etiamsi definitio gregis fundamentalis ab electione puncti pendet, omnes hi greges inter se isomorphici sunt.

Multiplices

Multiplex (vel fortasse manifoldum vel varietas) dimensionis N est spatium Hausdorff ubi omne punctum vicinium habet homeomorphicum copiae inferioris $\mathbb {R} ^{N}$ Multiplex dimensionis N dicitur etiam N-multiplex. 1-multiplexus est flexus et 2-multiplex est superficies.

Homologia

Grex fundamentalis est primus grex homotopicus; sunt alii, qui quasi plures dimensiones praebent. Similis gregi homotopico est grex homologicus; spatium topologicum X series habet gregum abelianorum homologicorum.

Utilitas topologiae algebraicae

Demonstratio simplicissima theorematis fundamentalis algebrae topologia algebraica utitur.

Nexus interni

• Algebra abstracta
• Algebra homologica
• Torus (mathematica)

Bibliographia

• Gowers, Timothy, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. 2008. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Massey, W. S. 1967. Algebraic Topology: An Introduction. Novi Eboraci et Heidelbergae: Springer Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
• Munkres, James. 1975.Topology: A First Course. Englewood Cliffs Novae Caesareae: Prentice-Hall. ISBN 0-13-925495-1.

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad topologiam algebraicam spectant.

• Cursus scholasticus topologiae algebraicae apud MIT Open Course Ware