Systema aequationum

In mathematica, systema aequationum nominatur turma minime duarum aequationum, quarum variabilia aequalis symboli (velut $x$, $y$, $a$, ...) etiam eandem magnitudinem designant. Solutiones talis systematis sunt omnia ea paria, triplicia et quae sunt similia numerorum, qui in eos substituendos in singulis aequationibus semper sententias veras dant.

Systemata duarum aequationum duorumque variabilium

Systemata linearia

Exempli gratia, hoc systema affertur:

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&x&-&y&=&1\end{matrix}}$

In systemate lineari, variabilia tantum primae potentiae esse licet. Praeterea, neque producta inter varibilia neque quotos ($x\cdot y$, ${\frac {x}{y}}$) continet. Ergo est formae generalis:

${\begin{matrix}(1)&a_{1}\cdot x&+&b_{1}\cdot y&=&c_{1}\\(2)&a_{2}\cdot x&+&b_{2}\cdot y&=&c_{2}\end{matrix}}$

Talia systemata saepe inveniuntur; qua de causa multae rationes ad ea solvenda creatae sunt. Sunt iis etiam tres casus solutionum possibiles.

Casus solutionum talium systematum

Ex numeris $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2}$ (coefficientibus valoribusque asolutis) pendent:

• Si $\nexists k\in \mathbb {R} :(a_{1}=k\cdot a_{2})\land (b_{1}=k\cdot b_{2})$, tum systemati exacte una solutio est.
• Si $\exists k\in \mathbb {R} :(a_{1}=k\cdot a_{2})\land (b_{1}=k\cdot b_{2})\land (c_{1}\neq k\cdot c_{2})$, nulla solutio est.
• Si $\exists k\in \mathbb {R} :(a_{1}=k\cdot a_{2})\land (b_{1}=k\cdot b_{2})\land (c_{1}=k\cdot c_{2})$, systema infinitam copiam solutionum habet (unum variabilium e tota copia $\mathbb {R}$ deligi potest, substituendo eum in una aequationum valor alterius variabilis qui pertinet ad valorem delectum reperiri potest; copia solutionum systematis ergo totidem elementorum atque copia numerorum realium $\mathbb {R}$ habet).

Exempli gratia, systema ante datum his notis cognitionis examinare possumus:

$a_{1}=b_{1}=a_{2}=c_{2}=1$; $b_{2}=-1$; $c_{1}=3$

Ergo: $a_{1}=1\cdot a_{2}$, sed $b_{1}=-1\cdot b_{2}$: $\nexists k\in \mathbb {R} :(a_{1}=k\cdot a_{2})\land (b_{1}=k\cdot b_{2})$. Igitur hoc systema aequationum unam solutionem habet.

Si systema sic fuisset:

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&x&+&y&=&1\end{matrix}}$

tum ei nullae solutiones fuissent. Si datum esset:

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&2x&+&2y&=&6\end{matrix}}$

systema copiam solutionum infinitam habuisset.

Rationes ad ea solvenda

Ratio additionis

Haec ratio cognitione multiplicationem esse transformationem copiam solutionum non mutantem utitur. Una aequationum eo modo multiplicatur, ut unum eius variabilium ($x$ aut $y$) magnitudine absoluta neque signo aequale variabile alterius aequationis aequet. Tum aequationes adduntur; aequatio, quae sic obtinetur, etiam solutionem describit. Multiplicatione apta facta, unum variabile nusquam iam apparetur, ergo alterum admodum facile computare possumus.

Exempli gratia, systema cuius iam mentionem factam est, hac ratione ita solvitur:

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&x&-&y&=&1\end{matrix}}$

Variabile y, status, cui studere debemus, iam convenit, itaque multiplicare necessarium non est statimque additionem facere possumus. Hanc aequationem obtinemus:

$2x=4$, ergo $x=2$

Nunc substituimus hunc valorem in una aequationum atque reperimus etiam alterum valorem:

$2+y=3$, ergo $y=1$.

Solutio huius systematis igitur est $(2|1)$ (nota bene valores x et y non duas solutiones systematis esse, sed unam solutionem coniunctim formare).

Ratio substitutionis

Unum variabilium explicite exprimitur, id est aequatio transformatur, ut sit $x=...$ aut $y=...$, tum terminus "..." pro variabile explicite expresso in alteram aequationem substituitur. Ita aequatio, quae obtinetur, tantum unum variabile continet, quod per transformationes computari potest. Alterum variabile substituendo variabile cognitum reperitur.

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&x&-&y&=&1\end{matrix}}$

Secunda aequatio ita transformatur: $x=y+1$. Nunc terminus $y+1$ in aequationem primam substituitur:

$(y+1)+y=3$,

ergo $y=1$, substituendo reperitur $x=2$

Ratio aequandi

Ad hanc rationem peragendam, in ambabus aequationibus idem variabile explicite exprimendum est; tum duo termini variabile describentes aequantur.

${\begin{matrix}(1)&x&+&y&=&3\\(2)&x&-&y&=&1\end{matrix}}$

Systema transformatur:

${\begin{matrix}(1)&x&=&3&-&y&\\(2)&x&=&1&+&y&\end{matrix}}$

Ergo:

$3-y=1+y$, concluditur: $y=1$ et ex hoc $x=2$.

Ratio quae lege Crameri utitur

In hac ratione, nullae transformationes necessariae sunt, sed numeri certi (determinantes) computari debent:

$x={\frac {\begin{vmatrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {c_{1}\cdot b_{2}-b_{1}\cdot c_{2}}{a_{1}\cdot b_{2}-b_{1}\cdot a_{2}}}$

et

$y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {a_{1}\cdot c_{2}-c_{1}\cdot a_{2}}{a_{1}\cdot b_{2}-b_{1}\cdot a_{2}}}$

Hic termini obtineri possunt, si systema generale (in quo neque coefficientes neque valores aboluti numeris certis supplentur) solvitur.

Interpretatio graphica

Graphice utraque aequatio systematis directionem describit; omnia puncta quorum coordinata uni aequationum satisfaciunt, in directione eius sita sunt. Ergo quaeque solutio systematis in utraque directione sita est.

Directiones parallelae interque eas aequales esse possunt; haec casus copiae solutionum nullius elementi et infinitae repraesentant. Plerumque autem altera directio alteram secat exacteque unum punctum commune habent, quod aequat casum unius solutionis.

Systemata ergo etiam graphice solvi possunt (id est, per directiones repraesentantes describendum), sed via calculandi saepissime facilior celeriorque est.

Alia talia systemata magna

Ut demonstratum est, systema aequationum etiam significationem graphicam habet; solutiones eius puncta communia graphiorum, quae ab aequationibus repraesentantur, aequant. Qua de causa non solum talia systemata graphice, sed etiam problema graphica, aequationibus expressa, per systemata aequationum solvi possunt.

Puncta communia circuli directionisque

Directio describi potest aequatione $ax+by=c$, circulus per $(x-u)^{2}+(y-v)^{2}=r^{2}$ (ubi u coordinatum x, v coordinatum y centri atque r radium circuli designat). Si puncta communia directionis et circuli quaeruntur, tantum hoc systema solvendum est:

${\begin{matrix}(1)&ax&+&by&=&c\\(2)&(x-u)^{2}&+&(y-v)^{2}&=&r^{2}\end{matrix}}$

Quomodo autem tale systema solvere possumus? Hic ratio substitutionis commendabilis est. In aequatione directionis, facile unum variabilium per alterum exprimi potest; terminus huius variabilis in aequatione circuli substituitur. Eventus est aequatio quadratica, quae , ut constat, aut duae aut una aut nullae solutiones reales habet. Hoc rursus graphice interpretare possumus, quod directioni ad circulum tres situs possibiles sunt:

• passans (nulle punctum commune)
• tangens (unum punctum commune)
• secans (duo puncta communia)

Puncta communia circuli (originis) ellipsisque

Nunc habemus systema

${\begin{matrix}(1)&x^{2}&+&y^{2}&=&r^{2}\\(2)&b^{2}x^{2}&+&a^{2}y^{2}&=&a^{2}b^{2}\end{matrix}}$

In utraquae aequatione variabilia tantum potentia secundae videmus. Ergo ea ita substituere possumus: $u=x^{2}$, $v=y^{2}$. Nunc systema est formae

${\begin{matrix}(1)&u&+&v&=&r^{2}\\(2)&b^{2}u&+&a^{2}v&=&a^{2}b^{2}\end{matrix}}$

Hoc systema lineare variabilium u et v repraesentat. Quod quadam ratione memorata solvimus, tum per valores u et v valores x et y (radices eorum) computare possumus. Si u aut v negativus est, nulla puncta communia sunt. Si unus valorum 0 est (ambos 0 aequare impossibile est, quod summa eorum $r^{2}>0$ est), tantum duo talia puncta, aliter quattuor sunt.

Systemata duarum aequationum triumque variabilium

${\begin{matrix}(1)&a_{1}x&+&b_{1}y&+&c_{1}z&=&d_{1}\\(2)&a_{2}x&+&b_{2}y&+&c_{2}z&=&d_{2}\end{matrix}}$

Talia systemata aequationum numquam exacte unam solutionem (trium partium) habent, quod ut hoc possibile sit, numerus varibilium eum aequationum aequare aut eo minor esse debet.

Haec interpretatio graphica est: Singulae aequationes superficies planas repraesentant. Ergo graphice demonstrari potest etiam hic tres casus solutionum esse:

1. Si superficies planae parallelae sunt, nullum punctum commune habent, ergo systemati etiam nulla solutio est. Hic casus fit, si coefficientes variabilium neque valores absoluti duarum aequationum aequalis proportionis sunt (id est, ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}=k\neq {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$
2. Si duae aequationes eandem superficiem planam describunt, omnia puncta huius solutiones systematis sunt. Hoc fit, si non solum coefficientes, sed etiam valores absoluti aequalis proportionis sunt.
3. Si autem altera superficierum alteram secat, omnes solutiones in quadam directione sitae sunt; tum coefficientes variabilium aequalis proportionis non sunt.

Omnes casus admodum facile cognitu sunt neque casus primi secundique copia solutionum difficilior repertu est. Sed quomodo possumus reperire directionem solutionum casus tertii?

Quaedam ratio est duo variabilium per tertium exprimere; hoc perfecto directio per parametrum realem describi potest.

Exempli gratia:

${\begin{matrix}(1)&5x&+&2y&+&3z&=&10\\(2)&2x&+&3y&-&z&=&5\end{matrix}}$

Hic varibilia y et z per x describuntur. Primum aut y aut z in utraque aequatione explicite exprimitur, quod dat, exempli gratia:

${\begin{matrix}(1)&z&=&-{\frac {5}{3}}x&-&{\frac {2}{3}}y&+&10\\(2)&z&=&2x&+&3y&-&5\end{matrix}}$

Nunc duo termini dexteri aequantur:

$-{\frac {5}{3}}x-{\frac {2}{3}}y+10=2x+3y-5$

y per x exprimitur:

$y=-x+{\frac {45}{11}}$

In uno terminorum z pro y substituitur:

$z=2x+3y-5=2x-3x+{\frac {135}{11}}-5=-x+{\frac {80}{11}}$

Parametro x aequatio directionis constituitur:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+x\\{\frac {45}{11}}-x\\{\frac {80}{11}}-x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {45}{11}}\\{\frac {80}{11}}\end{pmatrix}}+x\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}}$

Ergo:

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {45}{11}}\\{\frac {80}{11}}\end{pmatrix}}+\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}};\lambda \in \mathbb {R}$