Quantum redactiones paginae "Physica statistica" differant
Linea 73: | Linea 73: | ||
Probabilitas macrostatui cuidam k est <math>\;\rho = \frac {e^{-\beta E_k}}{Z} </math>, ubi constans normalizationis (appellatus functio partitionis) <math>Z = \sum_{k} e^{-\beta E_k}</math>, <math>E_k</math> est energia tota microstatus k, et <math>\beta = {1 \over k_B T}</math>. |
Probabilitas macrostatui cuidam k est <math>\;\rho = \frac {e^{-\beta E_k}}{Z} </math>, ubi constans normalizationis (appellatus functio partitionis) <math>Z = \sum_{k} e^{-\beta E_k}</math>, <math>E_k</math> est energia tota microstatus k, et <math>\beta = {1 \over k_B T}</math>. |
||
Partitionis functione utentes possumus calculare omnes quantitates thermodynamicas per [[derivativum|derivativa]] huius functionis, sic ut tabula infera monstrat. |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Hermannus Helmholtz|Helmholtz]] [[Energia libera canonica|Energia libera Helmholtziana]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>F = - {\ln Z\over \beta}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Energia interna]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>E = -\left( \frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \right)_{N,V}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Pressio]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>P = -\left({\partial F\over \partial V}\right)_{N,T}= {1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V} \right)_{N,T}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Entropia]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>S = k (\ln Z + \beta E)\,</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Energia libera Gibbsiana]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>G = F+PV=-{\ln Z\over \beta} + {V\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_{N,T}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Enthalpia]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>H = E + PV\,</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Calor specificus]] volumine constante: |
|||
| bgcolor="white" | <math>C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{N,V}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | Calor specificus pressione constante: |
|||
| bgcolor="white" | <math>C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{N,P}</math> |
|||
|- |
|||
! style="text-align: left" | [[Potentiale chemicum]]: |
|||
| bgcolor="white" | <math>\mu_i = -{1\over \beta} \left( \frac{\partial \ln Z}{\partial N_i} \right)_{T,V,N}</math> |
|||
|- |
|||
|} |
|||
===Collectio macrocanonica=== |
===Collectio macrocanonica=== |
Emendatio ex 14:46, 24 Decembris 2009
Physica statistica est studium physico-mathematicum quod praesertim ingenia physica ex perspectiva statistica investigat. Physicae thermodynamicae (theoriae caloris mechanicae) fundamenta dat, entropiam alteramque legem thermodynamicam explanans. Prodigia macroscopica enim explanare potuit per symmetrias, legesque conservationis quae confusionem atomorum statisticam supersunt.
Fundamenta
Axioma fundamentale huius scientiae est: Omnem microstatum eadem probabilitate fieri.
Microstatus est status systematis specificatus ab unicis coordinatis omnium atomorum participantium. Macrostatus autem specificatur a solis coordinatis macroscopicis, sicut pressione, temperatura, magnetizatione, compositione, densitate, et similibus. Cuique macrostatui enim multis microstatibus correspondentibus, secundum axioma fundamentale, macrostatus maximae probabilitatis erit ille cui numerus maior microstatuum correspondat.
Ludovicus Boltzmann demonstravit hos macrostatús maxime probabiles, cui maximus microstatús numerus W est, esse eos qui entropiam in maximam facerent, iuxta omnes exteras condiciones in systema inpositas, quia
et S maximum attineret semper cum W maximum attineret; et vice versa.
Huic formulae, quae nexum fundamentalem inter physicam statisticam et thermodynamicam dat, Boltzmann formam logarithmicam deduxit quia ea ita definita eandem quantitatem ac entropiam thermodynamicam daret (ubi entropiam duorum systematum additivam esse oportet).
Entropia et energia interna
Entropia S(E,V,N) maxime utilis est ad statum aequilibrii inveniendum sola cum omnia extensiva systematis parametra fixantur, sicut summa energia interna E, volumen V, et numerus variarum particularum N. Aequivalentur, summa energia interna E(S,V,N) valet quia, cum entropia maximum valorem caperetur, energia tamen mimum semper attingit.
Energiae variorum generum
Condiciones autem experimentales saepe aliter sunt quia dum aequilibrium statuitur in laboratorio pressio p, non volumen V, fixatur; temepratura T, non energia E; et numerus N molecularum in lagoena variat, quamquam potentiale chemicum fixatur.
Quamobrem variae energiae, quae minimum iuxta varias condiciones impositas capiunt, per transformationes Legandreanas definiuntur:
- Enthalpia: ubi loco fixatur;
- Energia libera canonica: ubi loco fixatur;
- Energia libera Gibbs: ubi loco fixantur;
- Energia libera macrocanonica ubi loco fixantur.
Collectiones
Physici praecipue tres collectiones statisticas definiunt quibus proprietates systematum thermodynamicorumex proprietatibus molecularum sive atomorum calculari possunt:
- Collectio microcanonica ubi fixantur
- Collectio canonica ubi fixantur
- Collectio macrocanonica ubi fixantur
Tabula monstrans collectiones statisticas plerumque adhibitas |
Collectiones : | ||
Microcanonica | Canonica | Macrocanonica | |
Variabiles fixae | E, N, V aut B | T, N, V aut B | T, μ, V aut B |
Functio microscopica | Numerus microstatus |
Functio partitionis canonica |
Functio partitionis macrocanonica |
Functio macroscopica |
Collectio microcanonica utilis est ad multa theorema statistica demonstranda. Physici autem plerumque adhibent collectionem cannonicam ad res physicas calculandas, nisi cum de problematis quanticis tractandum est, ubi tunc oportet propter continuam particularum creationem et destructionem collectione macrocanonnica uti.
Collectio microcanonica
Probabilitas microstatui k cuidam est ubi est numerus omnium microstatuum.
Collectio canonica
Condicio collectionem canonicam definiens est contactus thermalis cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente.
Probabilitas macrostatui cuidam k est , ubi constans normalizationis (appellatus functio partitionis) , est energia tota microstatus k, et .
Partitionis functione utentes possumus calculare omnes quantitates thermodynamicas per derivativa huius functionis, sic ut tabula infera monstrat.
Helmholtz Energia libera Helmholtziana: | |
---|---|
Energia interna: | |
Pressio: | |
Entropia: | |
Energia libera Gibbsiana: | |
Enthalpia: | |
Calor specificus volumine constante: | |
Calor specificus pressione constante: | |
Potentiale chemicum: |
Collectio macrocanonica
Condicio collectionem macrocanonicam definiens est contactus simultaneus cum balneo thermico temperaturam absolutam manteniente et cum reserva particularum potentiale chemicum manteniente.
Probabilitas macrostatui cuidam k est , ubi constans , est energia tota microstatus k, est numerus particularum in microstatu k, et .