Physica statistica

Physica statistica sinit proprietates macroscopicas calculari ex proprietatibus microscopicis, sicut diffusione atomorum per crystallum mostrata, ubi moleculae iuxta declivatem concentrationis gradiuntur, legi Fickianae hic obtemperantes.

Physica statistica est studium physico-mathematicum quod praesertim ingenia physica ex perspectiva statistica investigat. Physicae thermodynamicae (theoriae caloris mechanicae) fundamenta dat, entropiam alteramque legem thermodynamicam explanans. Prodigia macroscopica enim explanare potuit per symmetrias, legesque conservationis quae confusionem atomorum statisticam supersunt.

Fundamenta

Axioma fundamentale huius scientiae est: Omnem microstatum eadem probabilitate fieri.

Microstatus est status systematis specificatus ab unicis coordinatis omnium atomorum participantium. Macrostatus autem specificatur a solis coordinatis macroscopicis, sicut pressione, temperatura, magnetizatione, compositione, densitate, et similibus. Cuique macrostatui enim multis microstatibus correspondentibus, secundum axioma fundamentale, macrostatus maximae probabilitatis erit ille cui numerus maior microstatuum correspondat.

Ludovicus Boltzmann demonstravit hos macrostatús maxime probabiles, cui maximus microstatús numerus W est, esse eos qui entropiam in maximam facerent, iuxta omnes exteras condiciones in systema inpositas, quia

$\;S=k\ln W$

et S maximum attineret semper cum W maximum attineret; et vice versa.

Huic formulae, quae nexum fundamentalem inter physicam statisticam et thermodynamicam dat, Boltzmann formam logarithmicam deduxit quia ea ita definita eandem quantitatem ac entropiam thermodynamicam daret (ubi entropiam duorum systematum $S_{1+2}=S_{1}+S_{2}$ additivam esse oportet).

Entropia et energia interna

Entropia S(E,V,N) maxime utilis est ad statum aequilibrii inveniendum sola cum omnia extensiva systematis parametra fixantur, sicut summa energia interna E, volumen V, et numerus variarum particularum N. Aequivalentur, summa energia interna E(S,V,N) valet quia, cum entropia maximum valorem caperetur, energia tamen mimum semper attingit.

Energiae variorum generum

Condiciones autem experimentales saepe aliter sunt quia dum aequilibrium statuitur in laboratorio pressio p, non volumen V, fixatur; temepratura T, non energia E; et numerus N molecularum in lagoena variat, quamquam potentiale chemicum $\mu$ fixatur.

Quamobrem variae energiae, quae minimum iuxta varias condiciones impositas capiunt, per transformationes Legandreanas definiuntur:

• Enthalpia: $H(S,P,N)=E(S,V,N)+PV$ ubi $P$ loco $V$ fixatur;
• Energia libera canonica: $F(T,V,N)=E(S,V,N)-TS$ ubi $T$ loco $S$ fixatur;
• Energia libera Gibbs: $G(T,P,N)=E(S,V,N)-TS+PV$ ubi $T,P$ loco $S,V$ fixantur;
• Energia libera macrocanonica $\Psi (T,V,\mu )=E(S,V,N)-TS-\mu N$ ubi $T,\mu$ loco $S,N$ fixantur.

Collectiones

Physici praecipue tres collectiones statisticas definiunt quibus proprietates systematum thermodynamicorumex proprietatibus molecularum sive atomorum calculari possunt:

• Collectio microcanonica ubi $E,V{\text{ et }}N$ fixantur
• Collectio canonica ubi $T,V{\text{ et }}N$ fixantur
• Collectio macrocanonica ubi $T,V{\text{ et }}\mu$ fixantur

Tabula monstrans collectiones statisticas plerumque adhibitas	Collectiones :
	Microcanonica	Canonica	Macrocanonica
Variabiles fixae	E, N, V aut B	T, N, V aut B	T, μ, V aut B
Functio microscopica	Numerus microstatus $\;W$	Functio partitionis canonica $Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}$	Functio partitionis macrocanonica $z\ =\ \sum _{k}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{k})}$
Functio macroscopica	$S\ =\ k_{B}\ \ln W$	$F\ =\ -\ k_{B}T\ \ln Z$	$\Psi =-pV=-\ k_{B}T\ln z$

Collectio microcanonica utilis est ad multa theorema statistica demonstranda. Physici autem plerumque adhibent collectionem cannonicam ad res physicas calculandas, nisi cum de problematis quanticis tractandum est, ubi tunc oportet propter continuam particularum creationem et destructionem collectione macrocanonnica uti.

Collectio microcanonica

Probabilitas microstatui k cuidam est $\rho _{k}=1 \over W$ ubi $W$ est numerus omnium microstatuum.

Collectio canonica

Condicio collectionem canonicam definiens est contactus thermalis cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est $\rho =e^{-\beta E}$ ubi E est energia totalis huius microstatus, et $\beta =1 \over k_{B}T$.

Collectio macrocanonica

Condicio collectionem macrocanonicam definiens est contactús simultanei cum balneo thermico temperaturam absolutam T manteniente et cum reserva particularum potentiale chemicum $\mu$ manteniente.

Probabilitas macrostatui cuidam k est $\rho =e^{-\beta E_{k}-\mu n_{k}}$ ubi E est energia totalis huius microstatus, N_k est numerus particularum in microstatu k, et $\beta =1 \over k_{B}T$.

Haec stipula ad physicam spectat. Amplifica, si potes!