Logica propositionalis

-2 Latinitas huius rei dubia est. Corrige si potes. Vide {{latinitas}}.

Scientia huius commentarii est dubia, prava, parumve descripta. Corrige et amplifica si potes.

Logica propositionalis, in logica et mathematica, dicitur cognitionis ratio quae praecipue ad argumentorum analyses spectat.

Argumentum quoddam in varias propositiones dividitur; quae appellantur praemisa et deductiones seu conclusiones, quae verae aut falsae possunt esse; quae in denotatione formali litteris A, B, C, etc., repraesentantur et coniunguntur per sex operationes logicas, invicem symbolis repraesentatas, quae sunt: condicionale ($\to$), bicondicionale ($\leftrightarrow$), coniugens ($\land$), disiugens ($\lor$), excludens ($\veebar$), negans ($\neg$), et implicans ($\vdash$).

Argumentum, cum legibus logicae propositionalis paret, validum esse dicitur; et argumentum validum, cum omnia praemisa eius sunt vera, verum dicitur.

Definitio operationum

Condicionalis

Propositio condicionalis dicit: "Si $p$, tunc $q$". Si $p$ et $q$ praemisa proposita sunt, scimus:

• si $p$ verum est et $q$ verum, $p$$\to$$q$ verum esse;
• si $p$ verum est et $q$ falsum, $p$$\to$$q$ falsum esse;
• si $p$ falsum est et $q$ verum, $p$$\to$$q$ verum esse;
• si $q$ falsum est et $q$ falsum, $p$$\to$$q$ verum esse.

Bicondicionalis

Propositio bicondicionalis dicit: "Si $p$, tunc $q$ si et solum si $q$, tunc $p$." Scimus igitur:

• si $p$ et $q$ vera sunt aut $p$ et $q$ falsa sunt, $p$ $\leftrightarrow$ $q$ verum esse;
• si $p$ falsum est sed $q$ verum est aut $p$ verum est et $q$ falsum est, $p$ $\leftrightarrow$ $q$ falsum esse.

Coniunctio

Propositio coniunctiva dicit: "$p$ et $q$ sunt vera."

• si $p$ et $q$ vera sunt, $p$$\land$$q$ verum esse;
• si $p$ aut $q$ falsum est, $p$$\land$$q$ falsum esse.

Disiunctio

Propositio disiunctiva dicit: "$p$ vel $q$ verum est."

• si $p$ vel $q$ verum est, $p$$\lor$$q$ verum esse;
• si $p$ falsum est et $q$ falsum est, $p$$\lor$$q$ falsum esse.

Negatio

Propositio negativa dicit: "non $p$." Si $p$ propositio est, scimus,

• si $p$ verum est, $\neg$$p$ falsum esse;
• si $p$ falsum est, $\neg$$p$ verum esse.

Leges logicae propositionalis

Argumentum, cum legibus paret, validum esse dicitur. Quae leges in tabula infra ostenduntur.

Leges
Nomen	Symbola	Dictum
Modus ponens	$((p\to q)\land p)\vdash q$	Si $p$ tunc $q$; $p$; ergo $q$
Modus tollens	$((p\to q)\land \neg q)\vdash \neg p$	Si $p$ tunc $q$; non $q$; ergo non $p$
Syllogismus hypotheticus	$((p\to q)\land (q\to r))\vdash (p\to r)$	Si $p$ tunc $q$; si $q$ tunc $r$; ergo, si $p$ tunc $r$
Syllogismus disiunctivus	$((p\lor q)\land \neg p)\vdash q$	Aut $p$ aut $q$; non $p$; ergo, $q$
Dilemma constructivum	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\vdash (q\lor s)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed $p$ vel $r$; ergo $q$ vel $s$
Dilemma destructivum	$((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\vdash (\neg p\lor \neg r)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed non $q$ vel non $s$; ergo non $p$ vel non $r$
Dilemma bidirectionale	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\vdash (q\lor \neg r)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed $p$ vel non $s$; ergo $q$ vel non $r$
Simplificatio	$(p\land q)\vdash p$	$p$ et $q$ sunt vera; ergo $p$ est verum
Coniunctio	$p,q\vdash (p\land q)$	$p$ et $q$ sunt vera singula; ergo vera sunt una
Additio	$p\vdash (p\lor q)$	$p$ est verum; ergo disiunctio ($p$ aut $q$) est vera
Compositio	$((p\to q)\land (p\to r))\vdash (p\to (q\land r))$	Si $p$ tunc $q$; et si $p$ tunc $r$; ergo si $p$ est verum tunc $q$ et $r$ sunt vera
Theorema De Morgan (I)	$\neg (p\land q)\vdash (\neg p\lor \neg q)$	Negare (et $p$ et $q$) idem valet ac (non $p$ vel non $q$)
Theorema De Morgan (2)	$\neg (p\lor q)\vdash (\neg p\land \neg q)$	Negare (aut $p$ aut $q$) idem valet ac (non $p$ et non $q$)
Commutatio (1)	$(p\lor q)\vdash (q\lor p)$	(aut $p$ aut $q$) idem valet ac (aut $q$ aut $p$)
Commutatio (2)	$(p\land q)\vdash (q\land p)$	(et $p$ et $q$) idem valet ac (et $q$ et $p$)
Commutatio (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash (q\leftrightarrow p)$	($p$ idem esse ac $q$) idem valet ac ($q$ esse idem ac $p$)
Associatio (1)	$(p\lor (q\lor r))\vdash ((p\lor q)\lor r)$	aut $p$ aut (aut $q$ aut $r$) idem valet ac (aut $p$ aut $q$) aut $r$
Associatio (2)	$(p\land (q\land r))\vdash ((p\land q)\land r)$	et $p$ et (et $q$ et $r$) idem valet ac (et $p$ et $q$) et $r$
Distributio (1)	$(p\land (q\lor r))\vdash ((p\land q)\lor (p\land r))$	et $p$ et (aut $q$ aut $r$) idem valet ac aut (et $p$ et $q$) at (et $p$ et $r$)
Distributio (2)	$(p\lor (q\land r))\vdash ((p\lor q)\land (p\lor r))$	aut $p$ aut (et $q$ et $r$) idem valet ac et (aut $p$ aut $q$) et (aut $p$ aut $r$)
Negatio duplex	$p\vdash \neg \neg p$	$p$ idem valet ac (non $p$) negare
Transpositio	$(p\to q)\vdash (\neg q\to \neg p)$	Si $p$ tunc $q$ idem valet ac si non $q$ tunc non $p$
Implicatio materialis	$(p\to q)\vdash (\neg p\lor q)$	Si $p$ tunc $q$ idem valet ac aut non $p$ aut $q$
Aequivalentia materialis (1)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\to q)\land (q\to p))$	($p$ idem ac $q$ esse) significat quod (si $p$ verum est, tunc $q$ verum est) et (si $q$ verum est, tunc $p$ verum est)
Aequivalentia materialis (2)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))$	($p$ idem ac $q$ valere) significat aut (et $p$ et $q$ vera esse) aut (et $p$ et $q$ falsa esse)
Aequivalentia materialis (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))$	($p$ idem ac $q$ valere) significat, et (aut $p$ aut non $q$ verum esse) et (aut non $p$ aut $q$ verum ese)
Exportatio	$((p\land q)\to r)\vdash (p\to (q\to r))$	De (si et $p$ et $q$ vera sunt, tunc $r$ verum est) possumus demonstrare (si $q$ verum est, tunc $r$ verum est, si $p$ verum est)
Importatio	$(p\to (q\to r))\vdash ((p\land q)\to r)$
Tautologia (1)	$p\vdash (p\lor p)$	$p$ esse verum idem valet ac aut $p$ esse verum aut $p$ essev verum
Tautologia (2)	$p\vdash (p\land p)$	$p$ esse verum idem valet ac et $p$ esse verum et $p$ esse verum
Tertium non datur	$\vdash (p\lor \neg p)$	aut $p$ aut non $p$ verum est
Lex contradictionis	$\vdash \neg (p\land \neg p)$	quod et $p$ et non $p$ esse falsum, verum est

Nexus interni

• Algebra Booleeana
• Associativitas (mathematica)
• Formula bene formata
• Logica
• Logica mathematica
• Mathematica discreta
• Ratio propositionum
• Theoria copiarum

Bibliographia

• Brown, Frank Markham. 2003. Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations. Editio 1a. Norwell, Massachusettae. Editio 2a. Mineolae Novi Eboraci: Dover Publications.
• Chang, C. C., et H. J. Keisler. 1973. Model Theory. Amstelodami, Hollandiae Septentrionalis.
• Hofstadter, Douglas. 1979. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-46-502656-2.
• Kohavi, Zvi. 1970, 1978. Switching and Finite Automata Theory. McGraw–Hill.
• Korfhage, Robertus R. 1974. Discrete Computational Structures. Novi Eboraci: Academic Press.
• Lambek, J., et P. J. Scott. 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Cantabrigiae: Cambridge University Press
• Mendelson, Elliot. 1964. Introduction to Mathematical Logic. D. Van Nostrand Company.

Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!